conjuntos numéricos - ens9002-mza.infd.edu.ar · Escuela Normal 9-002”Tomás Godoy Cruz” Nivel Superior Ingreso Profesorado de Educación Inicial y Educación Primaria 2014 Profesoras:

2014

Escuela Normal 9-002”Tomás Godoy Cruz” Nivel SuperiorIngreso Profesorado de Educación Inicial y Educación Primaria 2014

Profesoras: María Loreto Calot, Silvina Fondere y Flavia Minatelli

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BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

Alderete, J. y otros. (1995)”Matemática para la Educación Básica Serie Roja: El mundo delos números y la aritmética”

Dicesare Mirta, Caruso Susana, Fondere, Silvina apuntes de clase: “Nociones deGeometría del plano”,Revista 17–noviembre 2008 – SECCIÓN MATEMÁTICA Y CURRICULUM: “Los números decimalesen la EGB”. www.mendomatica.mendoza.edu.arRevista 17–noviembre 2008 – SECCIÓN TEMAS DE MATEMÁTICA: “Los números decimales”.www.mendomatica.mendoza.edu.arRevista Nº 18 – Abril 2009 – Sección Currículum y Matemática 12www.mendomatica.mendoza.edu.arRevista Nº 18 – Abril 2009 – Sección Currículum y Matemática 9www.mendomatica.mendoza.edu.arMaría Cristina Bisbal de Labato, y otros. Serie Horizontes. Ciclo Básico de EducaciónSecundaria. Escuelas Rurales. “MATEMÁTICA. CUADERNO DE ESTUDIO 1 Y 2”.

LIBROS DE LOS EJERCICIOS

Liliana Laurito y otros. Editorial Puerto de Palos: “MATEMÁTICA 8 Activa”Adriana Berio y otros. Editorial Puerto de Palos. MATEMÁTICA 8 3º E.S.B. en estudio -Luis Garaventa y otros. Editorial Aique: “CARPETA DE MATEMÁTICA 8”.Mariana Aragón y otros. Editorial Estrada. “MATEMÁTICA Carpetas de actividades 8”.

SELECCIÓN DEL MATERIAL DE ESTUDIO

Profesoras:

Loreto Calot,Silvina FondereFlavia Minatelli



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PRESENTACIÓN DEL MATERIAL

ESTIMADO ALUMNO

El material que encontrarás a continuación contiene tres bloques temáticos,el primer bloque presenta una selección de contenidos de Sistemas Numéricos, elsegundo bloque presenta una selección de contenidos de Geometría (nociones delplano) y finalmente el tercer bloque presenta algunos problemas para resolver coninterpretación, lectura y análisis de gráficos de funciones, tablas, enunciados yfórmulas.

Esta selección procura fomentar la actividad de lectura comprensiva, queconlleva al alumno a trabajar en Matemática con el razonamiento, las distintas formasde comunicación y los problemas, la Matemática es mucho más saber hacer quemeramente saber.

Cada bloque comienza con una serie de actividades que puedes emprendercon los instrumentos que ya dominas, hay ejemplos en el marco teórico que teayudarán a internalizar los diferentes conceptos y a continuación encontrarásnumerosos problemas con complejidad creciente.

Te pedimos que leas comprensivamente los textos presentados y queresuelvas los problemas de cada bloque. En los encuentros de febrero podremostrabajar sobre las temáticas del cuadernillo para que aclares dudas o reafirmes tusconclusiones a través de las explicaciones que recibirás del profesor especializado acargo

La excelencia te convierte en una persona de éxito, determinada, que sabe todo loque hace y todo lo que quiere, porque el lugar donde hoy estás no es tu llegada sinotu lugar de partida hacia el cumplimiento de tu sueño.

BERNARDO STAMATEAS



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MARCO TEÓRICO

Esfuérzate, sé valiente y te darás cuenta de que cuando empieces a moverte, todo loque hagas va a tener resultados extraordinarios.

BERNARDO STAMATEAS



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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES.

Para designar al conjunto de los números naturales utilizamos el símbolo lN. Si definimos a esteconjunto por extensión (haciendo abuso de la notación), será:

lN = { 0, 1, 2, 3, 4, ...}

Habrás notado que algunos autores excluyen el cero del conjunto de los naturales. Debes entenderque se trata de una convención. En nuestro caso adoptamos la otra, justificada por el hecho de que alconsiderar el cero como número natural, (0ϵ IN), la relación “menor o igual que” (≤) definida en elconjunto IN, resulta ser una relación de orden.Para hacer referencia a los números naturales no nulos, tenemos un símbolo: * 1,2,3,...IN , es decir

* 0IN IN .Cuando hablamos de los números naturales es conveniente observar que se trata de un conjunto, y sepresentan ordenados en un una sucesión

Algunas características de los naturales son:

Se parte de un elemento especial: el cero. Tampoco se cierra sobre sí mismo como ocurre con los números del reloj, que después

del 12 sigue el número 1, de partida. Es un conjunto infinito, no tiene último elemento. No existen números naturales intercalados entre los de la sucesión, es discreto. En

otras palabras entre dos números naturales existe un número finito de númerosnaturales.

Para los niños, estas características pueden partir, hasta quinto año, de la observación guiada einformal y en ejercicios que las evidencien, y darse en forma explícita en sexto de la siguiente manera:

Tiene primer elemento: el cero.

Es un conjunto infinito, no tiene último elemento.

Todo número tiene antecesor y sucesor, menos el cero que sólo tiene sucesor

Recta numérica.Resulta muy útil tener una imagen geométrica para IN, esto es, asociar a cada número natural unpunto de una recta en la cual previamente se fijó una escala. Entre dos puntos naturales existeninfinitos puntos de la recta a los cuales no les corresponde ningún número natural. La recta numéricase irá completando con números de otra naturaleza.

OPERACIONES DEFINIDAS EN lN.Adición.

Es una operación definida en lN y es: a + b = c donde a, b y c son números naturales.

Los números que intervienen reciben los siguientes nombres:

372 + 421= 793

SUMANDOS SUMA



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Propiedades fundamentales:

Asociativa: ( , , )( , , ) : ) (a b c a b c IN a b c a b c a b c

Para toda terna a, b, c de números naturales se cumple que

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: ( , )( , ) :a b a b IN a b b a

Para todo par a y b de números naturales, se cumple que a + b = b +a Existencia del elemento neutro:

Es el 0 (cero) porque a + 0 = 0 + a = a. Esto se cumple para todo número natural a.

Todas las propiedades que se mencionaron son demostrables, sin embargo a lo largo de la escuelaprimaria y la secundaria inclusive, las aceptaremos simplemente como válidas y las verificaremos conejemplos numéricos. Atención!!: Demostrar y verificar son cosas totalmente diferentes.

Multiplicación.

Es la operación definida de lN en lN, llamada producto entre a y b, donde a y b son númerosnaturales y b ≠ 0 no es otra cosa que la suma reiterada de a, b veces. Esto es:

a x b = a + a + a + ........

b veces el sumando a

La definición de producto queda completa estableciendo que a x 0 = 0 x a = 0.Los números que intervienen en la multiplicación se llaman:

Propiedades fundamentales :

Asociativa: ( , , )( , , ) : ) (a b c a b c IN a b c a b c a b c

Para todo a, b, c naturales, es a x b x c = (a x b) x c = a x (b x c) Conmutativa: ( , )( , ) :a b a b IN a b b a

Para todo a y b de lN, es: a x b = b x a Existencia del elemento neutro:

Es el 1 (uno) porque a x 1 = 1 x a = a . Esto se cumple para todo natural.

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma:

( , , )( , , ) :a b c a b c IN a b c a c b c

Sean a, b, y c números naturales cualesquiera, es (a + b) x c = a x c + b x cPotenciación

La potenciación es una forma abreviada de escribir una multiplicación.

an = a x a x a x ...n me indica el número de veces que multiplico el número a

372 x 2= 744

FACTORES PRODUCTO



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Los números que intervienen en la potenciación se llaman:

an = b

En estas escrituras hay algunas convenciones:

Cuando a es un número natural diferente de cero: a0= 1 Cuando a es un número natural cualquiera: a1 = a

Además recordemos que:

a2 se lee “a elevado a la dos” o “a elevado al cuadrado”

a3 se lee “a elevado a la tres” o “a elevado al cubo”

¿Te preguntaste de dónde aparecen estas expresiones?

La primera de ellas, por ejemplo, se explica por el hecho de calcular el área de un cuadrado cuyolado tiene longitud a; en cuanto a la segunda nos permite expresar el volumen de un cubo con aristade longitud a.

Recuerda que cuando un número se representa como una potencia, se dice que está escrito con“notación exponencial”.

ORDEN – COMPARACIÓN.

En el conjunto de los IN (naturales), la igualdad:a x b nos sugiere una condición: a b , que se lee “a es menor o igual que b”.

En efecto: decimos que un número natural a es menor o igual que otro b, si y solo sí, existe unnúmero natural x, tal que sumado a a da como resultado b.

, , ) . . :a x b a x b IN a x b a b

Cuando comparamos dos números naturales por ≤ estamos diciendo que hay dos posibilidades(excluyentes una de la otra): o a=ba b

En el caso a ≤ b, con b ≠ a, también se dice que “a es menor estrictamente que b”.

Análogamente a ≥ b, que se lee: “a es mayor o igual que b” nos permite indicar o a=ba b

Ten en cuenta que es lo mismo decir:

ba o ab 96 o 69

Lo importante es que dados dos números naturales a, b se verifica una y sólo una de lassiguientes afirmaciones: a<b ; a>b ; a=b (en este caso estamos indicando que a y b representanel mismo número).

También se dice que todo número natural siempre se puede comparar por la condición o a ba b .

exponente

base potencia



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La siguiente lista consigna todas las posibilidades que podemos tener en cuenta.

a < b; a > b; a ≤ b; a ≥ b; a < b; a > b; a ≤ b; a ≥ b; a ≠ b; a = b

La recta numérica facilita la interpretación de cada una de las situaciones que figuran en la lista, porcuanto nos suministran información referente a la posición relativa de los dos puntos correspondientes.

Observando la posición relativa de la representación gráfica de dos números naturales en la rectanumérica nos damos cuenta que:

Si x< y, entonces el punto asociado a x queda, en la recta de números, a la izquierda delcorrespondiente a y.

Si x>y, entonces el punto asociado a x queda, en la recta de números a la derecha de delcorrespondiente a y.

Mediante la condición x ≤ y, definimos una relación que es un orden.

Posibles cálculos en IN

SustracciónDados dos números naturales a y b, llamados minuendo y sustraendo, se llama diferencia a ba un número natural c, si existe, tal que sumándole el sustraendo da el minuendo.Es evidente que hay una restricción porque en la definición se habla de número natural c, si existe,que puede o no existir. Es necesario que el minuendo no sea menor que el sustraendo. Ahora si esa≥b entonces:

a b c c b a Recordemos los nombres de los números que intervienen en la sustracción:

3 7 2 Minuendo

- 1 5 2 Sustraendo

2 2 0 Resta o diferencia

¿Por qué nos salteamos la resta a la hora de definir las operaciones?Porque la sustracción no es una operación dentro del conjunto de los naturales, aunque sí es un

cálculo.

¿Cuál es el resultado de restar 5 – 8? ¿La cuenta tiene solución si trabajamos con los númerosnaturales?

Sabemos que la suma de dos números naturales existe y siempre es única; lo mismo podemosafirmar del producto entre dos números naturales. Sin embargo no pasa lo mismo cuando hablamosde la resta entre números naturales como pudimos observar en el ejemplo mencionado. Es por elloque no podemos decir que la resta en una operación sino sólo un cálculo.

En síntesis: para hablar de una operación es necesario que el cálculo este definido para todonúmero que pertenezca al conjunto numérico en el que estamos trabajando.

Aunque no sea una operación en el conjunto IN, hay que saber calcular restas y manejar elvocabulario que corresponde.

yx



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Observa el análisis de la suma 3+4 y la diferencia 7- 4:

Por todo lo dicho resulta que expresiones como:,a x b con a y b de IN,

Llamadas ecuaciones aditivas en x, tienen a veces, su conjunto solución vacío.

Ejemplo:1) x+1200=1720. ¿Cuál es el valor de x?

2) x+8=6. ¿Cuál es el valor de x? Ninguno. S

División.Dados dos números naturales a y b , con b ≠ 0, llamados dividendo y divisor respectivamente, sellama cociente a/b a un número natural c, si existe, tal que dé el dividendo cuando se lo multiplica porel divisor.

Esto es: / significa quea b c a c b

Recordemos:

3251 8

051

3

406

El cociente a/b también es posible expresarlo a : b o

Lo mismo que en la sustracción, la división no es operación dentro de los naturales.

División entera – división exactaDivisión exacta es aquella donde el cociente es un número entero y el resto es igual a cero. Ejemplo:12 :4 =3

División entera: es aquella donde el cociente es entero y el resto es igual o mayor que cero y menorque el divisor.

cociente

divisordividendo

resto

3

la suma o adición.

la diferencia o resta.Los términos

+ =3 4 7

7 - 4 =

x

+1200

-1200

1720



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Esto es: Si

D d

r cdr0yrcdD

El genio es un uno por ciento de inspiración, y un noventa y nueve porciento de transpiración. Thomas Alva Edison (1847-1931).



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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS.

Sólo haremos una mención superficial respecto de estos números.

Si bien los números enteros recién fueron usados por los matemáticos con lamisma categoría que los números naturales en el siglo XVlII, te lopresentamos en segundo término porque para encarar el tema de conjuntosnuméricos elegimos partir de los números naturales y por sucesivas ampliaciones llegar a los enteros,decimales y racionales.ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⊂ ℚ ⊂ ℛPara designar al conjunto de los números enteros utilizamos la letra ℤ. El mismo está formado por losenteros positivos ( Z ), el cero y los enteros negativos ( Z ).

0

Por extensión, y haciendo abuso de la notación, este conjunto será:

3; 2; 1;0; 1;2; 3; 4;...

Los números enteros tienen un distintivo: el signo. Para expresar un número negativo utilizamos elsigno “–“ que tiene un significado diferente al signo negativo que expresa una sustracción. Lo mismoocurre con el signo “+”, aunque, por convención, cuando un número es positivo el signo no se coloca.

Los números enteros resuelven el problema de la sustracción y de las ecuaciones del tipo:

a x b cona b . Ejemplo: 6 4x ; dentro de los naturales 4 6 no tiene solución, sin embargoen el conjunto de los enteros es 4 6 2

Además este nuevo conjunto numérico permite interpretar diversas situaciones: fechas anteriores alnacimiento de Cristo; distancias bajo el nivel del mar; saldo deudor; las pérdidas de una empresa;temperaturas bajo cero etc.

Por ser una ampliación de los naturales, en este nuevo conjunto siguen vigentes las operacionesválidas en el conjunto de los naturales, lo mismo que sus propiedades características.

A las propiedades conocidas, se le agregan:

Número opuesto: todo número entero tiene un opuesto, tal que la suma del número y su opuesto escero. Por ejemplo: el opuesto de 3 es –3 entonces 3 + (-3) =0. De la misma forma el opuesto de –4 es4, entonces (-4) + 4 = 0

Con esta última propiedad se ha ganado una operación: la sustracción.Características:

No hay ni primer ni último elemento. Es un conjunto infinito. No existen números enteros intercalados entre los de la sucesión: es no denso o

discreto. Todo número tiene antecesor y sucesor. Todo número tiene su opuesto. El cero es negativo y positivo a la vez.

Recta numérica.En la recta numérica se representan el cero, los números enteros negativos (a la izquierda) y losnúmeros enteros positivos (a la derecha). Recuerda que la recta esta graduada.



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Los números opuestos se encuentran a la misma distancia del cero.

La distancia que existe entre un número y el cero se llama módulo o valor absoluto. Por lo tanto losnúmeros opuestos tienen el mismo módulo.

Para expresar el módulo de un número se utilizan las barras de valor absoluto.

Ejemplo: l 3 l = 3 y l –3 l = 3

El 3 y el –3 están a una distancia de tres unidades del cero.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.

Adición.

Para adicionar números enteros tendremos en cuenta las siguientes indicaciones:

Si los dos tienen igual signo (son los dos positivos o los dos negativos), sumamos sus módulos yal resultado le colocamos el mismo signo que tienen los sumandos.

Ejemplos:12 + 4 = 16

-12 + (-4) = -16

Si los sumandos tienen distinto signo resto sus módulos y al resultado le colocamos el signo delque tiene el sumando de mayor valor absoluto.

Ejemplos:15 + (-3) = 12

-15 + 3 = -12 La adición en Z cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia del

elemento neutro, existencia del elemento inverso aditivo u opuesto.

Propiedades de la adición

Propiedadconmutativa

El orden de lossumandos no altera lasuma.

a + b = b + a

Propiedad asociativa: Dados dos o másnúmeros enteros lasuma final no varía si sereemplazan variossumandos por su sumaya efectuada.

a + b + c = (a + b) + c = a +( b + c)

Ley del elementoneutro

Existe en el conjunto Z,el elemento cero quesumado a cualquiernúmero entero, no alterala suma.

a + 0= 0 + a = a

- 4 -3 0 21-1-2 43



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Ley del elementoopuesto

Todo elemento delconjunto Z, admite unopuesto, tal que sumadoal número dado, da porresultado cero.

a + (-a)= (-a) + a = 0

Multiplicación.

Cuando multiplicamos dos números enteros debemos respetar las siguientes reglas de los signos: Al multiplicar dos factores de igual signo (los dos positivos o los dos negativos) el resultado es

positivo. Al multiplicar dos factores de distinto signo (uno es positivo y el otro es negativo) el resultado es

negativo.

La multiplicación cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa, existencia delelemento neutro, distributiva con respecto a la adición y sustracción. (Ver cuadro de propiedades.)

Propiedades de la multiplicación


El orden de los factores noaltera el producto.

a . b = b . a

Propiedadasociativa:

Dados dos o más númerosenteros el producto final novaría si se reemplazan variosfactores por su producto yaefectuado.

a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)


Existe en el conjunto Z, elelemento uno quemultiplicado a cualquiernúmero entero, no altera elproducto.

1 . 0= 1 . a = a

Ley del elementoabsorbente

Existe en el conjunto Z, elelemento cero quemultiplicado a cualquiernúmero entero, da porresultado cero.

a . 0= 0. a = 0

Propiedaddistributiva de lamultiplicaciónrespecto de lasuma y la resta

El producto de un númeroentero por una sumaalgebraica, puede serobtenido calculando la sumade los productos de cadatérmino de la suma por elfactor considerado.

d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c

(a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d



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Sustracción.

La sustracción no es más que un caso particular de la adición. Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.

Ejemplos: 200 – (-150) = 200 + (+150) =350 - (+150) = 100 + (-150) = - 50

Suma algebraica.

Se denomina suma algebraica a la sucesión de adiciones y sustracciones.Para resolver una suma algebraica se procede así: a la suma de los números precedidos por el signo“+” se le resta la suma de los números precedidos por los signos “-”

Ejemplos: -17 – 8 - 5 + 3 + 21 – 12 + 5 =

(21 + 3 ) – (17 + 8 +12) =

24 - 37 = -7

Si un mismo número está sumando y restando en el mismo miembro lo puedo cancelar.

Supresión de paréntesis.

Recuerda : Todo paréntesis precedido del signo + se pueden eliminar sin cambiar el signo de los términos que

están encerrados en él.a) 2 + (11 - 4) = 2 + 11 - 4

2 + 7 = 13 - 49 = 9

Todo paréntesis precedido del signo - se pueden eliminar cambiando el signo de todos lostérminos que están encerrados en él.

b) 12 - (11 - 4) = 12 - 11 + 412 - 7 = 1 + 4

5 = 5Si en el ejercicio aparecen paréntesis, corchetes y llaves, se suprimen en ese orden, aplicando lasmismas reglas de supresión de paréntesis.

POSIBLES CÁLCULOS CON ENTEROS

División.

Para dividir números enteros, dividimos sus módulos y al cociente le colocamos el signo quecorresponde según la regla de los signos de la multiplicación.

a – b = a + (- b)

:

:

::



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Operaciones combinadas.

Para resolver cálculos con operaciones combinadas debemos respetar este orden.

(+6) . (-5) – (7+2) : (-3) – 3 + 4 = Se separa en términos.(-30) - 9 : (-3) – 3 + 4 = Se resuelven las operaciones indicadas entre

paréntesis.(-30) - (-3) - 3 + 4 = Se resuelven las multiplicaciones y divisiones.-30 + 3 - 3 + 4 = Cuando dos términos son números opuestos,

se pueden cancelar.-30 + 4 = -26 Se resuelven las sumas y las restas.

Potencias de números enteros.

Una vez más recordamos que el conjunto de los números enteros es una ampliación del conjunto delos números naturales. Por lo tanto todo lo que ya sabíamos para el conjunto de los naturales secumple en el conjunto de los enteros.

Veamos el significado de las potencias de exponente positivo en el conjunto de los enteros, para ellopresentamos distintas situaciones.

1) Si a es un número estrictamente positivo, entonces x x x.....xa a a a , n veces, se escribe na

2) Si a es un número estrictamente negativo, entonces x x x.....xa a a a , n veces,

se escribe na . La base es a y el exponente es n.

3) Si a es 0 y n>0, entonces: 0 0n .

4) Si a es un entero no nulo, y n=0, entonces 0 1a

5) Si a es un entero cualquiera, y n=1, entonces 1a a

Regla de los signos: si la base es positiva el resultado es positivo. Si la base es negativa el resultado depende del exponente:

- si es par el resultado es positivo.- si es impar el resultado es negativo.

Para tener en cuenta:

44)2(2 22

Radicación.

Es la operación inversa de la potenciación.

+par = + +impar = +

- par = + - impar = -

radicando

Índice

raíz

Si una potencia tiene base negativa, estase debe encerrar entre paréntesis.

ran



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Regla de los signos:

Si el índice es par y el radicando es positivo, la raíz es positiva. Si el índice es par y el radicando es negativo, no se puede calcular. Si el índice es impar, la raíz resulta del mismo signo del radicando

Recuerda: cualquier raíz de cero es cero: 00 n

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS DECIMALES

En este apunte vamos a tratar sobre los números Decimales y sus operaciones, es decir vamos atratar nociones referentes al Sistema de numeración decimal.

Recordemos primero con el siguiente diagrama la cadena de inclusión de los distintos conjuntosnuméricos.

El diagrama nos otorga la siguiente información: IN Z IDQ

Donde:

IN es el conjunto de los números naturales: 0; 1; 2; …

Z (del alemán Zahl) es el conjunto de los números enteros … -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …

ID es el conjunto de los números decimales que como ya nos explayaremos más adelante

acepta dos formas de escritura, la posicional y la fraccionaria …2 3

;0,4; ; 1,5;0;1; 55 2

Q es el conjunto de los racionales :5 4 1

; 0; ; 0,3; ; 1,26; 3...3 2 4

par par

impar impar

no tiene solucción

0 1 2 5IN

-1 -3 -15 -26

0,2 -1,5 -0,333 25,4 3,25

ID

5 7 2 - 0,3 1,26

3 6 7

La mejor forma de librarse de un problema es resolverlo.Brendan Francis



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A partir de este diagrama surgen las primeras dudas: ¿qué diferencias hay entre 0, 3 y 0,3

quejustifiquen que aparezcan en diferentes conjuntos numéricos? ¿No todo número provisto con coma esun número decimal?

¿Cuál es la diferencia? En los números decimales hay un número finito de cifras después de la coma.

Sin embargo algo tienen en común. Cualquiera de ellos aparece por división de dos números enterosa, b con b≠0.

Veamos las siguientes situaciones:

Lo que tienen en común las tres situaciones es que dados dos números enteros a y b, se buscó elnúmero x, tal que b x a .Decimos que los cocientes son números decimales, cuando al dividir a por b, llegamos al restocero.Los decimales forman un conjunto, se denota con la letra ID.Si bien es cierto que los números enteros no tienen coma, también son decimales, porque se puedenobtener como cocientes de dos números enteros, siendo el segundo no nulo. Por otra parte nada nosimpide que los escribamos con coma. Así por ejemplo

6 6,0 6,00 6,000....

OTRA FORMA DE DEFINIR LOS NÚMEROS DECIMALES

Un número es un decimal, si y solo si, puede escribirse bajo la forma 10pd n donde n y p sonnúmeros enteros.

Si p es positivo, el decimal 10pd n es un entero. Clarifiquemos con un ejemplo:

200 es un entero pues 2200 2 10 , o –3 es un entero pues 03 3 10Si p es negativo, el decimal 10pd n es un decimal, por ejemplo:

105 735 1505 410 1,25200

2, 0 720 0,666…202

105=7 x 1515 es el cociente de 105 por 7.Se escribe 105:7=155=4 x 1,251,25 es el cociente de 5 por 4.Se escribe 5: 4= 1,25La división de 2 por 3 “no se termina”.El cociente de 2 por 3 no es un decimal.0,666 es un valor aproximado de ese cociente.



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0,25 es un decimal pues 2 21 10,25 25 10 25 25 0,2510010 ,

como lo es también 2,5 pues 1 11 12,5 25 10 25 25 2,51010Los números decimales pueden darse mediante escritura posicional, con el uso de una comadecimal. Usualmente se dice que esa escritura es una escritura decimal. Con esa escritura, losalgoritmos desarrollados en , con respecto a las operaciones enteras, se extienden naturalmente aID. Por otra parte, ambos tienen la misma estructura algebraica, a partir de la suma y la multiplicación;por lo tanto todo lo que se sabe de , se aplica naturalmente a ID. También cabe destacar la similitudentre IN y , por lo que lo aprendido en IN, se extiende a .

La característica fundamental de ser un sistema posicional es que, a cada cifra que forma parte delnumeral de un número hay que reconocerle dos valores: un valor absoluto (propio o intrínseco) y unvalor relativo que depende de su posición.

Entre las distintas variantes que podemos emplear para representar un número, recordemos dos deellas:

Escritura multiplicativa (mixta): 1 x 10 000 + 2 x 1 000 + 3 x 100 + 5 x 10 + 6 x 1

Escritura expandida: 1 x 104 + 2 x 103+ 3 x 102 + 5 x 101 + 6 x 100

Entre ambas no hay grandes diferencias, en la exponencial, se pone en evidencia lo siguiente:

Toda cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades del ordeninmediato superior, y cada unidad de un determinado orden es igual a 10 unidades del ordeninmediato inferior.

Toda cifra escrita, escrita inmediatamente a la derecha de otra, representa unidades del ordeninmediato inferior.

Se trata de continuar ese mismo convenio, para representar números decimales con escrituraposicional, es decir, dados mediante escritura condensada, en la cual, el uso de la coma, distingue laparte entera decimal, o sea la parte fraccionaria del número decimal.134,256

Parteentera Coma Parte

decimal

¿Cuáles son las unidades de los diversos órdenes decimales?

Algunos son:

DÉCIMOS Se escribe 0,1 10 110CENTÉSIMOS Se escribe 0,01 10 1100MILÉSIMOS Se escribe 0,001 10 11000

Ejemplo

CENTENAS DECENAS UNIDAD DÉCIMOS CENTÉSIMOS MILÉSIMOS1 3 4 , 2 5 6



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Escritura multiplicativa (mixta):

134,256 1 100 3 10 4 1 2 0,1 5 0,01 6 0,001Escritura expandida

2 1 0 1 2 3134,256 1 10 3 10 4 10 2 10 5 10 6 10Los números decimales también admiten representación fraccionaria a

bcon a, b enteros y 0b . Nos

explayaremos sobre esta forma de escritura cuando hablemos del conjunto de los racionales.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

AdiciónLa suma o adición en los , como ya lo anticipamos, prolonga la suma o adición en los IN. Por lotanto tiene las mismas propiedades que en naturales. Luego,

es asociativa. el cero es elemento neutro para la adición, es conmutativa.

Por otra parte siendo ℤ una parte de ID, es natural pensar que la suma cumpla las mismaspropiedades que en este conjunto numérico.

Propiedades de la adición


El orden de los sumandos noaltera la suma. a + b = b + a


Dados dos o más númerosdecimales la suma final no varíasi se reemplazan variossumandos por su suma yaefectuada.

a + b + c = (a + b) + c = a +( b + c)

Ley del elementoneutro Existe en el conjunto ID, el

elemento cero que sumado acualquier número entero, noaltera la suma.

a + 0= 0 + a = a

Ley del opuesto Todo elemento del conjunto ID,admite un opuesto, tal quesumado al número dado, da porresultado cero.

a + (-a)= (-a) + a = 0



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Al igual que ocurre con los números enteros, la sustracción enriquece la adición. Por lo que cualquierasean los decimales a y b,

a b a b

Recuerda entonces para sumar y/o restar los números decimales, debes colocar los números unodebajo del otro de manera que los diversos órdenes de unidades se correspondan, esto se consiguehaciendo que las comas de los distintos números queden en columna.

Por ejemplo:

1

3 2 , 5 3

+

9 , 8

4 2 , 3 3

Intuitivamente aceptamos que la sustracción de decimales siempre existe y su resultado es único, porlo que la sustracción en decimales es una operación.

MultiplicaciónDe igual forma la multiplicación en decimales positivos prolonga la multiplicación en IN y ℤ , porquecumple con las mismas propiedades.

Cuando uno quiere multiplicar los números decimales positivos acepta la siguiente regla práctica: semultiplican como si fueran enteros positivos, separando en el producto tantas cifras decimales comotengan los factores. Por ejemplo: 0,3 12 3,6

La multiplicación en ID es una ampliación de la multiplicación en por lo que operamos de la mismamanera y por ser además una ampliación de la multiplicación en ℤ cuando tenemos que multiplicardecimales de igual y distinto signo lo resolvemos de manera similar:

Cuando los números decimales a y b, son del mismo signo, el producto ab es positivo.

Cuando los números decimales a y b, son de distinto signo, el producto ab es negativo.

Ejemplo: 0,3 12 3,6 0,3 2,5 7,5

Las propiedades que tiene la multiplicación en ID son las mismas que tiene la multiplicación enenteros.

Propiedades de la multiplicación


El orden de los factores no altera elproducto. a . b = b . a


Dados dos o más númerosdecimales el producto final no varíasi se reemplazan varios factorespor su producto ya efectuado.

a . b . c = (a . b) . c = a .( b . c)


Existe en el conjunto ID, elelemento uno que multiplicado acualquier número entero, no alterael producto.

1 . 0= 1 . a = a



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Ley del elementoabsorbente

Existe en el conjunto Z, elelemento cero que multiplicado acualquier número entero, da porresultado cero.

a . 0= 0. a = 0

Propiedaddistributiva de lamultiplicaciónrespecto de la sumay la resta

El producto de un número decimalpor una suma algebraica, puedeser obtenido calculando la suma delos productos de cada término dela suma por el factor considerado.

d . (a+ b –c)=d.a +d.b - d.c

(a+b –c) . d =a.d +b.d – c.d

El trabajo con la potenciación y la radicación y sus propiedades se trabajaran con el conjunto de losracionales.

Un elemento importante a considerar en la construcción de los números decimales, es que estánasociados con el concepto de medida, así como los números naturales lo están con la noción decontar. Tanto en uno como en el otro se trata de determinar la cantidad de veces que un objeto dadoestá presente dentro de un conjunto de objetos similares. Pero hay una diferencia. Contar estárelacionado con el campo de los objetos discretos, mientras que medir lo está con el campo de losobjetos continuos.

En síntesis debe comprender que medir es la estrategia desarrollada para contar lo continuo, por lotanto contar y medir están íntimamente relacionados y que, en el hecho de medir, aparecenconceptos como “precisión”, “truncamiento”, “aproximación”, “encuadramiento” que son necesarios yaque la media absoluta, sin error no existe. Todo aparato de medición y el ojo humano provocan erroresinsalvables y acotables.

ORDEN – COMPARACIÓN – VALOR ABSOLUTO

Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.

Todo número decimal tiene su lugar en la recta numérica. (Más adelante te mostraremosun procedimiento para ubicarlos)

Si a es un número decimal positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a esnegativo su opuesto es positivo.

0 es el único decimal que es igual a su opuesto. Recuerda que se llama “valor absoluto” o “módulo” de un número a, y se expresa “| |” a

la distancia que existe de dicho número al cero. El valor absoluto de cero es 0: | | =

Para comparar números decimales aplicamos las reglas similares a las que usábamos con losnúmeros enteros:

(1) Si los dos son positivos comparamos la parte entera, el que tenga mayor parte entera será elmayor.

Ejemplo: 12,5 < 18,87 65,125 > 50, 235

(2) Si los dos son positivos e igual la parte entera, comparamos la parte decimal prestando atencióna las unidades de distinto orden.

Ejemplo: 18,5 y 18,87 como 18,5=18,50 tengo 18,50<18,87

18,5 y 18,87 como 5<8 tengo 18,50<18,87

(3) Cuando los números a comparar tienen diferente signo entonces

Si significa quea b b a ID ,



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por el contrario si significa quea b a b ID

Ejemplo: 2,35 2,37. , 2,37 2,35 0,07 0,07 En efecto y ID

3,6 2,1. , 2,1 3,6 5,7 5,7 En efecto y ID

APROXIMACIONESEn diversas ocasiones y por diferentes motivos, es frecuente utilizar en vez del valor exacto unaaproximación de la cantidad. Existen dos formas de aproximación: por redondeo o por truncamiento.

Truncar es cortar la expresión en una determinada cantidad de decimales. (Omitimos las cifrasubicadas a la derecha de la última que nos interesa)

Ejemplo: 4,5825Trunco a los centésimos 4,5825 4,58Trunco a los décimos 4,5825 4,5

Redondear es aproximar la expresión al valor más cercano, con el siguiente criterio: además de omitirlas cifras ubicadas a la derecha de la última que nos interesa, a ésta la aumentamos en uno si la cifrasiguiente es igual o mayor que cinco y la dejamos igual, si es igual o menor que cuatro.

Ejemplo:

Esto es: 4,5825Redondeo a los centésimos 4,5825 4,58 (2<5, luego se deja como estaba)

Redondeo a los décimos 4,5825 4,6 (8>5, luego se suma 1 a la cifra de las decenas)

Lo que oyes lo olvidas, lo que ves lo recuerdas, lo que haces lo aprendes.Proverbio chino



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EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Los números nos permiten expresar la medida de cantidades. Muchas veces,como mencionamos anteriormente, aparecen situaciones en las que connúmeros enteros no es posible expresar una cantidad o simplemente no es lomás apropiado.

Veamos algunos ejemplos:

De las 3000 calorías recomendadas paraun crecimiento sano en niños de 11 a 15

años,12 de ellas deben provenir de

hidratos de carbono,13 de lípidos y

16 de

proteínas.

Necesidades diarias devitaminas

ABCDE

0,5 mg1,5 mg1,5 a 2,0 mg70 mg0,03 mg

Todos los números que figuran en estos ejemplos son racionales.

Todo número (positivo o negativo) que puede ser expresado como cociente de dos números enteros ay b, siendo b≠0, y que satisfacen la ecuación b x a es un número racional.

Resulta de esta definición que el número x es racional si: significa ba

x x ab

Es decir, los números racionales admiten representación fraccionaria b/a con a, b enteros y b ≠ 0, talcomo vimos para los racionales decimales.: ℚ = ∈ ℚ, ∈ ℚ, ≠ 0Todo número racional también puede darse mediante escritura posicional, con el uso de una comadecimal. Usualmente se dice que esa escritura es una expresión o representación decimal.

El conjunto de los números racionales se simboliza con la letra Q (de Quotient palabra inglesa que enespañol significa cociente o razón).

CONVENCIONES DE NOTACIÓN

El conjunto Q contiene los números racionales positivos y los números racionales negativos.

Q+ es el conjunto de los racionales positivos y Q- el de los racionales negativos.

Q* es el conjunto de los números racionales sin el cero, es decir Q* = Q – {0}

Q +* es el conjunto de los números racionales estrictamente positivos es decir, de los númerospositivos sin el cero.

Q -* es el conjunto de los números racionales estrictamente negativos es decir, de los númerosnegativos sin el cero.

Entonces ten presente

a y b son números enteros y b 0.

Puesto que para todo entero a, 1a a , se puede escribir 1aa ; entonces el número entero a

es un número racional.



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25, 4 10 254 por lo tanto 25425,4 10 . Entonces como con todo número decimal puedo

proceder de la misma manera (multiplicándolo por una potencia de diez), los númerosdecimales son racionales.

Todo número natural, entero o decimal es racional pero existen número racionales que no son

de ninguna de estas categorías de números. Es el caso de 23 por ejemplo, ya que no podemos

escribirlo bajo la forma de un número decimal, en efecto el resto de la división no es cero.¿RECUERDAS? ID

Todo número racional admite distintas escrituras: la posicional y la fraccionaria.

La escritura ab

(que se lee “a sobre b”) se llama fracción de numerador a y denominador b”

ab

Numerador Numera, cuantifica¿Cuántos son? ¿1 de cinco, dos de cinco?

Denominador Denomina, da nombre.¿Qué son? ¿Tercios, medios, quintos?

Hay que tener cuidado en no identificar un número fraccionario con una fracción. En efecto, unnúmero fraccionario o racional es un elemento del conjunto Q. En cambio una fracción es unanotación, una escritura del tipo a/b, que tiene diferentes interpretaciones según el contexto.Sólo cuando a y b son números enteros, y b es no nulo, esa escritura representa un númerofraccionario.

Por ejemplo2

o4 2

son fracciones pero no son números racionales.

DOS ESCRITURAS DISTINTAS PARA UN MISMO NÚMERO RACIONAL

La escritura decimal de los números racionales expresados como fracciones:

Para obtener la escritura posicional de un número decimal hay que dividir el numerador de la fracciónpor el denominador hasta obtener resto cero; en el caso de no obtener resto cero, es un racional nodecimal. Por ejemplo:

5 2,52 Racional decimal

15 3,754 Racional decimal

14 4,6666.... luego se escribe 4,63 Racional no decimal

16 0,1777.... luego se escribe 0,1790 Racional no decimal

La escritura fraccionaria de un número decimal:Para expresar como fracción un número decimal (es decir aquellas con un número finito de cifrasdecimales) se coloca en el numerador el número sin la coma y en el denominador la unidad seguidade tantos ceros como cifras decimales tiene el número.

252,5 10

540,54 100 12512,5 10

50,005 1000



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Cómo escribir un número racional no decimal con su escritura posicional en escriturafraccionaria:

1243 124 1019ˆ1,24333... 1,243 900 900Numerador

El número dado sin la comamenos la parte no periódica.

Denominador

El número con tantos nuevescomo cifras tenga el período,seguidos de tantos ceros comocifras tenga la parte decimal noperiódica

Otro ejemplo:

32 3 29ˆ3,222... 3,2 9 9DENSIDADLos números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquierpar de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estápresente en los números naturales y en los números enteros. Por eso se dice que los númerosracionales son densos en la recta de los números reales.

O sea, el conjunto Q es denso en el conjunto IR de los números reales, porque entre dos númerosracionales existe otro racional.

Fácil es intercalar, por ejemplo, un número racional entre los números 4 77 9y

4 7 117 9 16 luego el racional 1116 está entre 4 77 9y

OTROS CONCEPTOS

Recordemos algunos conceptos relacionados con la escritura fraccionaria:

FRACCIÓN DECIMAL: es toda fracción cuyo denominador es una potencia de diez o una fracción

equivalente a ella. Corresponde a la escritura fraccionaria de un número decimal. Ejemplo: 1210 o

ya que 15 15 25 3754 4 25 100

.

NÚMERO MIXTO: toda fracción mayor que la unidad puede ser expresada como número mixto.

Ejemplo: 7 123 3

FRACCIÓN IRREDUCIBLE: el numerador y el denominador son coprimos.

FRACCIONES EQUIVALENTES: dos o más fracciones son equivalentes si representan al mismonúmero racional. Para obtener fracciones equivalentes se puede multiplicar (o dividir, si es posible)

numerador y denominador por el mismo número. Ejemplo: 27 9 9012 4 40

FRACCIÓN PROPIA: fracción menor que la unidad. (El numerador es menor que el denominador).

Ejemplo: 1 5;3 9



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FRACCIÓN IMPROPIA: fracción mayor que la unidad. (El numerador es mayor que el

denominador). Ejemplo: 7 12;3 5 FRACCIÓN APARENTE: fracción que al dividir el numerador por el denominador se obtiene un

número entero. (El numerador es múltiplo del denominador). Ejemplo: 16 3;4 3ORDEN EN Q. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Resaltaremos algunas ideas que debes tener claras y que seguramente ya conoces.

Todo número racional tiene su lugar en la recta numérica. Si a es un número racional positivo, su opuesto es negativo y, recíprocamente, si a es negativo

su opuesto es positivo. 0 es el único racional que es igual a su opuesto.

Comparación de números fraccionarios:Hay varios métodos. Recordemos los más usados.

Método ADividimos el numerador por eldenominador y comparamos lasescrituras decimales que resultan

: :7 3 7 3 pues 0,35 y 0,620 5 20 5a c a b c db d

Método BAplicamos la siguiente propiedad:

,a csi entonces a d b cb d7 3 pues 7 5 3 2020 5 35 < 60

La recta numérica.Para representar en la recta numérica debemos recordar qué indican el numerador y el denominador.Para representar racionales negativos recordamos lo que ya sabemos de los enteros: positivos aderecha del cero, negativos a izquierda.

Representa en la recta numérica: 5 2 1 1; ; ;3 6 2 3

Con los números racionales no se completa la recta numérica.

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

En Q están definidas dos operaciones internas: adición y multiplicación. Ello significa que, si se sumano se multiplican dos números racionales, el resultado siempre existe y es un único número racional.También está definida la sustracción, que se ganó, recordemos en los enteros cuando se definió elopuesto de cada elemento.

0 21 3-2 -1-3



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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Para sumar o restar números fraccionarios de igualdenominador, sumamos y restamos los numeradores ydejamos el mismo denominador.

Ejemplo:

2 5 1 6 23 3 3 3

Para sumar o restar números fraccionarios de distinto denominador, existen dosprocedimientos posibles:

MÉTODO A Buscamos la fracción equivalente de cada sumando

de manera que tengan igual denominador. sumamos y restamos los numeradores y dejamos el

mismo denominador.

1 3 26 4 32 9 812 12 123 112 4 MÉTODO B Colocamos como denominador el m.c.m. de los

números que figuran en el denominador. Dividimos el denominador común por cada

denominador y multiplicamos este cociente por cadanumerador.

Operamos con los términos que obtuvimos y luegosi es posible simplificamos.

Ejemplo:

1 3 2 2 9 8 3 16 4 3 12 12 4La adición de números racionales prolonga la adición en ID, porque cumple con las mismaspropiedades.

La adición de números racionales cumple con las siguientes propiedades: conmutativa, asociativa,existencia del elemento neutro (0) y existencia del elemento opuesto (inverso aditivo).

MULTIPLICACIÓN.

Para multiplicar números fraccionarios se simplificasiempre que sea posible cualquier numerador concualquier denominador.

Se multiplican los numeradores y los denominadoresentre sí.

2 9 13 5 432 9 1 33 5 4 102Recapitulemos las propiedades de la multiplicación: conmutativa, asociativa, existencia delelemento neutro (0); existencia del elemento absorbente y distributiva respecto de la adición ysustracción.

En el conjunto de los racionales, se agrega una propiedad: la del inverso multiplicativo.

PROPIEDAD DEL INVERSO MULTIPLICATIVO: Todo elemento del conjunto , admite uninverso multiplicativo ( 1a ), tal que multiplicado al número dado, da por resultado uno.

1 1 1a a aa

.

Ejemplos:

14 4 4 5 15 5 5 4 1 18 8 8 18

x



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Con esta nueva propiedad casi queda resuelto el problema de la división. ¿Por qué casi? Porque ladivisión en el conjunto de los racionales tendrá siempre un resultado posible con la única excepcióndel denominador nulo.

DIVISIÓN

El cociente entre dos números racionales es otro número racional quese obtiene multiplicando la primera fracción por el inverso multiplicativode la segunda.

34

6 8 6 13 39:25 13 25 8 100POTENCIACIÓN

Para elevar un número racional a un exponente positivo, lo escribimoscomo número fraccionario y aplicamos la propiedad distributiva de lapotenciación respecto de la división.

2 22 21 1 10,5 2 42 Para elevar un número racional distinto de cero, a un exponente

negativo, invierto el número fraccionario y la elevo al opuesto delexponente (es decir al exponente positivo).

2 2 222 3 3 93 2 42RADICACIÓN

Para calcular las raíces de un número fraccionario aplicamos lapropiedad distributiva de la radicación respecto de la división.

9 9 34 24Respecto a los signos aplicamos las reglas de los signos ya vistas para el conjunto de los númerosenteros.

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Y DE LA RADICACIÓN

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN Potencia de exponente negativo 0a

a1a n

n

Potencia de otra potencia (los exponentes se multiplican) mnmn aa

Producto de potencias de igual base (los exponentes se suman). mnmn aaa

Cociente de potencias de igual base (los exponentes se restan). mnm

nmn aaaaa :

Distributiva respecto de la multiplicación. nnn baba

Distributiva respecto de la división.

n

nn

nnn

ba

ba

baba

::

El que no se equivoca nunca es porque nunca hace nada. Mahoma



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PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN.

La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: n1

n aa

Raíz de raíz (los índices se multiplican) mnn m aa .

Distributiva respecto de la multiplicación. nnn baba

Distributiva respecto de la división.n

nn

nnn

ba

ba

baba

::

Simplificación de los índices (divido índice y exponente por el mismo número)0raa rn rmn m : :

Ejemplos: 246 34 2 xx22855 6

Eliminación del radical

Ejemplos: 332733272221655525 3 33 34 42 )(334

Amplificación de índices (multiplico índice y exponente por el mismo número)0rcon rn rpn p aa

paresn

imparesn

aa

aan n

n n



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TrabajoPráctico



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ACTIVIDADES DE CONJUNTOS NUMÉRICOS

1- Se busca un númeroDescubre el o los números que te indican las pistas.Inventa una tarjeta con no más de 4 pistas de manera que la respuestassea un único número.

2- Ubica aproximadamente los siguientes acontecimientos históricos sobre la línea del tiempo.

Primer Reino babilónico (1792 a.C.)Caída del imperio romano de Occidente (476)Nacimiento de Cristo.Caída de Constantinopla (1453)

Descubrimiento de América (1492)Creación del Virreinato del Río de la Plata

(1776) Invasión de los dorios a Grecia (1200 a.C.) Instalación de la República romana (509a.C.)

C Es mayor que 9.999 y menor

que 11.000. Es impar. La cifra de las centenas es 5.

Tiene dos cifras iguales.

La suma de sus cifras es 15.

E Tiene más de 98 centenas. Tiene cuatro cifras. Al agregarle 5 decenas, pasa

a tener 5 cifras. La cifra de las unidades es 0.

A Tiene una docena de decenas. Sus cifras forman una serie

ordenada. Tiene tres cifras.

D La cifra de las unidades

coincide con la de las decenas. Tiene exactamente 11

centenas. La cifra de las decenas supera

en dos a la de las centenas. Todas sus cifras son impares

B Está entre 10 000 y 20 000. Tiene exactamente 132

centenas. La cifra de las decenas es un

número mayor que 3 y menorque 7.

- 2000 - 1500 0 1000500- 500- 1000 20001500



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A partir de la línea de tiempo responde:

a) ¿Cuánto tiempo pasó desde la instalación de la República romana hasta la caída del ImperioRomano de Occidente?

b) ¿De los mencionados, cuál es el acontecimiento más antiguo?c) ¿Cuánto tiempo pasó desde el descubrimiento de América hasta la creación del Virreinato del Río

de la Plata?d) ¿Cuántos años han transcurrido desde la caída de Constantinopla?

3- A partir de la lectura del gráfico responde.

a) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima que se registraron?b) ¿Cuál ha sido la variación de temperatura entre las 17 y las 20 horas?, ¿y entre las 13 y las

15?, ¿y entre las 22 y las 24?c) ¿Entre qué horas la temperatura ha aumentado 3°?d) ¿Entre qué horas el cambio de temperatura fue de –17°?e) ¿A qué horas no ha cambiado la temperatura?f) ¿A qué horas se dio la mayor variación de temperatura?

4- Dados los siguientes números: -4 ; -7 ; -6 ; -2 ; 4 ; -9 ; -7; 1 ; 0.

a) Ordena en forma creciente.

b) Indica los números opuestos

c) ¿Qué números están en la recta numérica a la derecha de 1?

d) ¿Qué números están en la recta numérica a la izquierda de (-2)?

e) ¿Quién tiene mayor módulo?

5- Representa en la recta numérica los números enteros que cumplan con la condición pedida.Utiliza una recta distinta para cada caso.

a) Que sean mayores que –2 y menores o iguales que 3.b) Que sean menores que –5 y mayores o iguales que –10.c) Que tengan módulo 4d) Que tengan módulo menor que 3.



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6- Los números a y b representados en la recta son números enteros.

a) Ubica en las misma recta el cero y –m.b) Ordena de menor a mayor los números enteros a; m; v; p y f teniendo en cuenta que: a, v y p son positivos. v < m y v > a f es negativo y mayor que –a.

7- Completa el cuadro con los valores correspondientes.

NÚMERO OPUESTO MÓDULO SIGUIENTE ANTERIOR

-5

-8

7

-9

8- Completa la tabla e inventa los ejemplos que faltan.

a -a b c a a a b c b a c 0b 4 3b a c 1 c

-5 8 -4

-8 21

-2 7 -8

-3 -15 4

A partir de observar la tabla responde.a) ¿Qué columna te resultó más fácil llenar? ¿por qué?b) ¿Qué obtenemos en la última columna.c) ¿Qué propiedades se evidencian?

9- Completa con SIEMPRE – AVECES- o NUNCA según corresponda.

a) La sustracción de números naturales tiene solución en naturales. ………………………….

b) El producto de dos números naturales es un número decimal. ………………………….

c) La sustracción de dos números enteros es positiva. ………………………….

d) La adición de dos números enteros es un número entero. ………………………….

e) El cuadrado de un número entero es positivo. ………………………….

f) Si a es un número entero par, su mitad es mayor. ………………………….

a-a m



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g) La división de dos números enteros es otro número entero. ………………………….

h) La resta de dos números enteros es un número natural: ………………………….

10- Halla:a) El producto entre el opuesto de 8 y el opuesto de -4.b) La diferencia entre el opuesto de 5 y el valor absoluto de -8.c) El cociente entre el opuesto de 24 y el opuesto de 4.

11- Escribe o según corresponda teniendo en cuenta que m; n; p; q; r; u; a y t son númerosenteros . En caso de que sea igual escribe si es posible, el nombre completo de la propiedadque se aplicó.

a) (-4) + 6 +5 ....... 5 + 6 +(-4)

b) 2 + 6 + 3 – 2 ....... 6 + 3

c) 7 - 4 + 3 ........ 7 + 3 – 4

d) 36 : (6 – 4) ....... 6 – 9

e) m + n – [(-p) + q] ....... m + n + p – q

f) (r + u) : p ....... r : p +u : p

g) (-a) + p + (-a) ........ p

h) m – (-p) + p + t ...... m + t

12- Completa y escribe en cada caso la propiedad que aplicaste.a) .......32 mm

por la propiedad ……………………………………………………………………………b) ......: fff 85 por la propiedad ……………………………………………………………………………

c) 93 2 aa ..... por la propiedad ………………………………………………………………………13- Calcula las siguientes potencias y raíces

53=……….. (-5)2=……….. .................4 81 (-5)3=……….. (-3)5=……….. .................3 27 (-3)4=……….. 130=……….. .................3 27 -34= ……….. -30=……….. .................81

14- Aplica propiedades para que los cálculos resulten más simples. (Resuelve en tu hoja)

a) 12 + 5 + 105 + 3 = b) 3 . 5 . 6 . 10 = c) 20 + 8 + 5 + 12 =

d) 9 . 5 . 4 . 10 = e) 99 + 76 + 101= f) 5 . 31 . 4 . 100 =

15- Resuelve las siguientes situaciones

I. La era de los romanos empieza en el año 754 a.C. la de los musulmanes en el año 622 d.C.¿Cuántos años transcurrieron desde el comienzo de la era romana hasta el comienzo de la eramusulmana?

II. Entre las 7 de la mañana y el mediodía, la temperatura subió 12º C. Si a las 7 de la mañana latemperatura era de -5 ºC, ¿qué temperatura indicaba el termómetro al mediodía?

III. ¿Qué distancia hay entre el suelo del pozo de una mina que está situado a 518 metros deprofundidad y el tejado de una casa que está a una altura de 19 metros?



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IV. El ascensor de un edificio llega al sótano -3 después de bajar 7 pisos, ¿En qué planta estaba elascensor?

V. Un globo está en el aire. Desciende 90 metros, luego 70 metros y después sube 100 metros. Alfinal está a una altura de 800 metros. ¿Cuál era la altura inicial del globo?

VI. Hace dos años una empresa obtuvo unos beneficios por valor de 180.000 euros. El año pasadotuvo pérdidas de 75.000 euros. ¿Cuál es el balance de la empresa en los dos últimos años?

16- La recta numérica de la figura está dibujada sobre papel cuadriculado para poder leersubdivisiones de la unidad que, como ves, abarca diez lados de cuadraditos.

Respondé en tu carpeta las preguntas que siguen.En la recta:

a) ¿Qué fracción representa 1 cm?, ¿y 1 mm?

b) ¿A qué distancia de 0, en cm, está 12 ?, ¿y 24 ?

c) ¿Qué longitud en cm tiene 15 ? ¿y 420 ?

d) ¿A qué distancia de 0 está 34 ? ¿y 912 ?

17- Usa tu regla para averiguar qué número fraccionario corresponde a cada uno de los puntos M,N, P, Q y R. Escríbelos en tu carpeta, exprésalos con más de una fracción, usando fraccionesequivalentes.

18- Observa las siguientes rectas,

a) ¿Qué fracciones equivalentes encuentras? Escribe al menos tres pares de ellas.b) Expresa el dos como una fracción:

de denominador 5 ………………….. de denominador 6 ………………………..

c) Busca en las rectas una fracción equivalente a -3: ………………………..



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19- En una representación de las temperaturas sobre la recta numérica, si nos trasladamos deizquierda a derecha, ¿las temperaturas aumentan o disminuyen? Responde en tu carpeta yexplica por qué.

20- Observa los siguientes pares de números y escribí el signo que corresponde. (Recordá que “<”se lee“es menor que”, “>” se lee “es mayor que”.)3,5 ºC ……… –6 ºC –2,7 ºC ……… 0 ºC1,5 ºC ……… 0,5 ºC –0,5 ºC ……… -1.5

21- Decide si las siguientes desigualdades son falsas o verdaderas y escribe poniendo en elrecuadro F (falso) o V (verdadero) según corresponda.

–1,5 > 0,495 0,495 < 01,5 < –3,8 –3,8 > –0,150

-1,5 < –1,18 10,50 < 10,8

22- Ordenando racionales.a) Copia y completa con <, > o = según corresponda.

b) Escribí las siguientes expresiones completando cada afirmación con un número racional demodo que resulte verdadera.

c) ¿Cuántos números racionales podés elegir en cada caso? Responde caso por caso.

23- Escribe V o F cada afirmación. Justifica.a) 2 es un número racional. …………

b)43 es un número racional ………..

c) -3 es un número natural. ………..d) 5 es un número racional ………..e) Algunos números enteros son racionales ………..f) Todo número racional puede expresarse como fracción ………..g) 18,6 es un número racional …………h) 31ˆ, es un número decimal ………….

24- ¿Todos estos dibujos representan 14 ? Explica tu respuesta.



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25- Marca con una cruz cuáles de las siguientes fracciones son decimales

26- Marca con una cruz cuáles de las siguientes expresiones corresponden a números decimales54 ; 510 ; 23 ; 124 ; 446 ; 12,5 ; 0,3 ; 827- Expresar los siguientes números en escritura posicional6 .................100 14 .................1000 19 .................10 218 .................100 28- Escribir en forma de fracción

a) 59,73 = ……………………… b) 45,9= ………………………

c) 0,37 = ……………………… d) 0,0037= ………………………

29- Calculando con números racionales.

a) Fijate que a y b tienen los valores indicados en las primeras columnas. Para completar la últimafila elegí vos un valor.

b) Observa el cuadro y responde en tu carpeta:i. ¿Qué operación da siempre el mismo resultado que a – b?ii. ¿Cuál es el resultado de sumar 0 a un número racional?iii. ¿Cuál es el resultado de una resta en la que el minuendo es 0?iv. ¿Cuál es el resultado de una resta en la que el sustraendo es 0?



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30- Al repartir 6 pizzas en partes iguales entre 4 amigos uno decía que a cada uno le tocaba 68 ;

otro decía 34 y algunos decían que le tocaba 12 y 14 . ¿Quiénes tienen razón?

31- Con una botella de 2 y 14 , ¿Cuántas botellitas de 14 se pueden llenar?

32- El café se vende en paquetes de 14 , ¿cuántos paquetes hay que comprar para tener medio

kilo?

33- Calcular:

a) 3,6 + 4,7 = b) 43,6 + 39,7 + 23,86 =c) 9,3 + 5,7 + 3,2 = d) 0,7 + 0,56 =

34- Efectuar:

a) 4,7 - 3,2 = b) 9,36 - 4,59 c) 45,6 - 23,80=

35- ¿Cuál es la suma de cuatro números si el primero es 538,243 y cada uno de los siguientes esigual al anterior más 23,86?

36- De un depósito con agua se sacan 36,6 litros y después 23,86 litros; finalmente se sacan 9,6litros. Al final en el depósito quedan 239 litros. ¿Qué cantidad de agua había en el depósito?

37- Hallar las fracciones irreducibles de los siguientes decimales.

a) 0,64 b) 0,47 c) 4,5 d) 6,3 e) 5,8

38- Hallar las fracciones irreducibles de las siguientes expresiones.

a) 0,24 b) 0,25 c)0,46 d) 2,34 4,47839- Si solo tenés monedas de $1; de 50 centavos; de 25 centavos; de 10 centavos y de un

centavo, escribí con cuáles formarías la suma de $3,87. ¿Cómo podés pagar la mismacantidad si no tenés monedas de $1? Si hay más de una posibilidad, escribe al menos tresdiferentes.

40- ¿Qué número se forman con un entero, 25 décimos y 4 centésimos?

41- Buscá dos fracciones entre3 4 y5 5 . ¿Podrías haber encontrado más? ¿Cuántas más? ¿Por

qué?

42- Armá el número 4,035 con los valores 0,1; 0,01; 0,001. ¿Cuántos de cada uno necesitas?¿hay una sola manera de responder a la pregunta? Explica por qué.

43- Sin hacer la división escribí dos fracciones no equivalentes que puedan expresarse como unaexpresión decimal finita, y otras dos con una expresión decimal periódica.

44- Nicolás dice que el siguiente de 2,325 es 2,326. ¿Tiene razón? ¿Por qué?

45- Intercala seis números racionales entre los siguientes valores:



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a) 1,089 y 1,1 ........................................................................b) 2,21 y 2,211 ........................................................................c) 1,6 y 7 ........................................................................46- Indica entre que números enteros consecutivos se encuentran los siguientes números.

7 9 6....... ....... ....... ....... ....... .......3 2 5

12 22....... 3,4 ....... ....... ....... ....... .......5 4

47- Los valores que aparecen en el siguiente cuadro se refieren a un grupo de 300 personas quefueron encuestadas sobre temas diversos. Completa los datos que faltan.

Expresión coloquial Fraccióndel total porcentaje Cantidad de

personas

Una de cada cuatro personas votarán al candidato Astuto. 14 25% 75

……………………………………………………..… mujeres. 12

……………..…. de cada cuatro personas probaron labebida Deliciosa 75%

Una de cada ………………. No saben a quién votarán. 10%……………………………………………………….... usancelular. 60

Todos tienen celular.2 de cada 10 personas utilizan internet.

48- En cada ítem, pinta con el mismo color las expresiones que son equivalentes.A

B

49- Escribe la fracción que corresponde a cada letra de la recta numérica.cmda

0 1-1

20% de x

La quinta parte dex

El doble de x50% de x

La mitad de x



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MARCO TEÓRICO

Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.(Aristóteles)



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NOCIONES GEOMÉTRICAS

PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO

Punto, recta, plano y espacio son los objetos matemáticos que consideramos inicialmente. Setrata de términos no definibles, son ideas o conceptos primitivos.

La matemática no se preocupa por definirlos, nos indica simplemente cómo se usan y cuálesson sus propiedades y relaciones.

El punto

Ya se dijo que es imposible establecer una definición de punto en el sentido geométrico. Sinembargo, como estamos acostumbrados a asociar las cosas físicas con las ideas geométricas,vinculamos la idea de punto con la de la punta del alfiler, de una aguja o de un lápiz.

Convendremos en representar los puntos por la marca que deja la punta del lápiz o de la tiza,por una pequeña cruz o por un círculo pequeño, colocando junto a cada uno, una letra minúsculacursiva o imprenta y así no tendremos dificultades para nombrarlos, sea al hablar o al escribir.

Ejemplo:. a x b

punto a punto bEl espacio

El conjunto de todos los puntos geométricos es el espacio.El concepto de espacio es no definido. Se trata de otra abstracción lo mismo que el punto.Como existen tantos puntos como se quiera, el espacio resulta un conjunto infinito de puntos.

El plano

Los puntos del espacio están agrupados en ciertos conjuntos parciales de infinitos puntosllamados planos.

Si bien podemos afirmar que “Plano es un conjunto infinito de puntos”, no debemosinterpretar esto como una definición.

Podemos materializar un plano a través de una hoja de papel, la cara del pizarrón, el piso,dando la idea de que continúa en toda dirección y sentido. El plano geométrico es ilimitado, es decir notiene borde o frontera

Cuando necesitamos representar un plano, dibujamos una porción de él con un borde ofrontera irregular.

plano

Observamos que hemos designado al plano utilizando una letra griega.Las letras griegas que utilizaremos frecuentemente alfa épsilon beta omega gamma pi delta

Recordemos que existen infinitos planos incluidos en el espacio. A veces tendremos lanecesidad de representar algunos puntos de un plano.



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Gráficamente, la situación quedará expresada así:

Interpretamos que: b y c son dos puntos cualesquiera que pertenecen al plano .Abreviadamente, es conveniente emplear estas expresiones:

En símbolos:c “ c pertenece a “ o “ contiene a c “b “ b pertenece a “ “ o “ “ contiene a b “

Si indicamos a b estamos significando que nos referimos al mismo punto.

a b se lee “a coincide con b”

En cambio si indicamos que los puntos c y d, no coinciden; anotaremos c ≠d.

LA RECTA

A su vez, podemos agrupar los puntos de cada plano o del espacio, en otros conjuntosparciales que denominaremos RECTA.

Una materialización de una recta está dada por un rayo luminoso o el borde de una regla.Pero, una recta geométrica se extiende sin límite en ambos sentidos. No comienza ni termina.Si deslizamos la punta de un lápiz sobre el papel siguiendo el borde de una regla, podemos

dibujar trozos de recta.Convengamos en designar las rectas generalmente con letras mayúsculas imprenta.

Establecimos al comienzo que hay infinitos puntos.Ahora decimos que las rectas son conjuntos infinitos de puntos.

Conclusión: hay infinitas rectas

Si en algunas ocasiones necesitamos representar algún punto de una recta visualizaremos lasituación así:

a y b son puntos de la recta REn símbolos: “a R“ y “ b R”A la recta R dibujada también podemos anotar Rab (se lee recta R que contiene a los puntos a y b )

Tengamos presente que la expresión R S está indicando que se trata de la misma recta.

* c

* b

Q

recta Q

●a

●bR

R

recta R



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a, b y c están alineados.a, b y d no están alineados

● a

● b

R

● c

● d

Para R ≠ S significa que son distintas es decir, existe al menos un punto que pertenece a R yno a S.

Prestemos atención a las maneras que hemos convenido en utilizar para notar las figuras.En otros textos tal vez encontremos otra forma de hacerlo. Son convenciones por eso nos

pondremos de acuerdo.

Nombremos con:

Los puntos letras minúsculas imprentas o cursivas.Los planos letras griegas.Las rectas letras mayúsculas imprentas.

RELACIONES ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

A continuación consideraremos algunas relaciones importantes que vinculan los puntos, lasrectas y los planos.

Ubiquemos el borde de la regla de manera de poder trazar todas las rectas posibles entre dospuntos a y b distintos.

Solamente podemos dibujar una recta.Probemos con otros pares de puntos distintos.La conclusión es siempre la misma y muy importante:

También se enuncia:

Si a b y b R también diremos que R pasa por a y por b.Diremos que 3 o más puntos están alineados sí y sólo sí pertenecen a una misma recta.Ejemplo:

Dados dos puntos distintos, existe y es única la recta que los contiene.

Dos puntos distintos determinan una recta a la que pertenecen.

●a

●bR



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●a

● b

Existen otras líneas que no son rectas, a ellas las llamaremos curvas y se clasifican en:

SIMPLE CRUZADA

ABIERTA

CERRADA

Entre todas las curvas la recta es abierta simple.Es corriente decir que una recta está incluida en un plano.Con la palabra incluida admitimos que la recta es una parte del plano, es decir todo punto de la

recta pertenece al plano.Se puede anotar:

De acuerdo con el dibujo anterior: R y T son coplanares.Encontramos ya la manera “intuitiva” de distinguir una superficie plana de cualquier otra

superficie.Siempre, un plano incluye a toda recta determinada por cualquier par de puntos distintos que

pertenecen a él.En otras superficies no ocurre lo mismo.

R

Estas superficies no planas también son conjuntos de puntos.

Recordemos que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, podemos concluir:

.

Diremos que dos o más rectas son coplanares sí y sólo sí están incluidas en un mismo plano.

Llamaremos figura a todo conjunto de puntos.

Dos figuras son iguales si y sólo si tienen los mismos puntos.

R

T

Sea la recta R y el plano :



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(1) Dos rectas coplanares son secantes si y sólo si tienen un único punto común.En símbolos de acuerdo con el gráfico:

(2) (3) Dos rectas coplanares son paralelas si y sólo si no son secantes, es decir no tienenningún punto común (paralelas disjuntas) o tienen todos sus puntos comunes (paralelascoincidentes).

En símbolos de acuerdo con el gráfico:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS COPLANARES

Si A y B son rectas incluidas en un plano , pueden presentarse únicamente las situacionesindicadas a continuación:

Que se puede resumir así:(1) A y B tienen un único punto en común, entonces las llamamos secantes.(2) A y B no tienen ningún punto en común, entonces las llamamos paralelas disjuntas.(3) A y b tienen todos sus puntos comunes, entonces las llamamos paralelas coincidentes.

Concluyendo:

Para el trazado de paralelas:

Con una regla y una escuadra, como se observa en la figura, podemos dibujar rectas paralelas.

Aa

B

( 1 )

A B

A B

( 2 )

A // B

( 3 )

A B

A = B

AA`



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Dos planos son secantes si y sólo si tienen en común únicamente los puntos de una rectallamada recta de intersección.En símbolos (de acuerdo con el gráfico):

Dos planos son paralelos si y sólo si no son secantes, es decir no tienen ningún punto encomún (paralelos disjuntos) o tienen todos sus puntos comunes (paralelos coincidentes)En símbolos (de acuerdo con gráfico):

En símbolos de acuerdo con el gráfico:

POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS EN EL ESPACIO

Dado dos planos cualesquiera y puede ocurrir:

( 1 ) y tienen en común sólo los puntos de una recta, son planos secantes.

( 2 ) y no tienen puntos en común, son planos no secantes o paralelos disjuntos.

( 3 ) y tienen todos sus puntos comunes, son planos no secantes o paralelos coincidentes

Es decir:

POSICIONES DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

Dadas dos rectas del espacio, existe la posibilidad de que estén incluidas en un mismoplano o no.

Cuando están incluidas en un mismo plano pueden cortarse como la recta A y B de la figura, oser paralela como B y A. Pero si no son coplanares como C y D, por ejemplo, ni son secantes ni sonparalelas, a estas rectas del espacio no incluidas en un mismo plano las llamaremos rectas alabeadas.

R

( 1 ) ( 2 )

( 3)

AB

D

C



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Por consiguiente, las posiciones relativas de dos rectas cualesquiera del espacio son lassiguientes:

Paralelismo de recta y plano

Dada una recta A y un plano puede ocurrir:

1) Que la recta A y el plano se corten en un único punto. Decimos que A es secante conel plano.

2 ) Que la recta A esté incluida en . Diremos que A es paralela a .

3 ) Que la recta A y el plano no tengan ningún punto común. Diremos que la recta A esparalela al plano .

Subconjuntos:Recordando que un conjunto A es subconjunto o parte de otro B si y sólo si todos los

elementos de A pertenecen a B. Diremos:

Una recta es un subconjunto de un plano.

Un plano es un subconjunto del espacio.

Las figuras son subconjuntos del espacio.

Rectas paralelas.

Rectas secantes.

Rectas alabeadas.

A

A

A



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El conjunto A del gráfico es una figura plana, porque todos sus puntos pertenecen a unmismo PLANO. Las figuras planas son subconjuntos del plano. Para ello podemos tener encuenta tres situaciones:

- considerar el conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior (zonarayada) o al borde o frontera (línea continua), FIGURA CERRADA.

- considerar el conjunto formado únicamente por los puntos del borde, FRONTERA.

- considerar el conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interiorsolamente, FIGURA ABIERTA.

El conjunto B dibujado es una figura del espacio.

Todos sus puntos no pertenecen a un mismo plano.

Las figuras del espacio no son subconjuntos de un plano, son subconjuntos del espacio.

Sobre figuras podemos recordar que dos figuras son iguales si tienen los mismos puntos.Así la figura F1 y F2:

Son distintas pues no tienen los mismos puntos. F1 F2

En cambio diremos que F1 es congruente con F2 y anotemos F1 F2. Podemos expresarque una figura A es congruente con otra B si y sólo si existe un movimiento que a A le hacecorresponder B (intuitivamente al superponerlas coinciden).

Ejemplos de figuras congruentes:

Son los 4 lados de un cuadrado (que no son iguales), las 6 caras de un cubo (que no soniguales).

A

B

F1 F2



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● b

● c

● d

R

● a

●a

●b

●p

R

La recta como conjunto ordenado.Consideremos una recta R y los puntos a, b, c, y d del gráfico.

Es evidente que podemos relacionar dichos puntos por la relación “ “ (es anterior a) así:

a b, a c, a d, b c, b d, c d.

La recta es un conjunto de puntos totalmente ordenado por “ “.

De acuerdo con lo anterior:

Si x R e y R se cumple una y sólo una de estas afirmaciones:

x y ( x es anterior a y )

x y ( x es posterior a y )

x y ( x es coincidente con y )

Si los puntos de una recta están ordenados, sólo pueden sucederse en uno de los dossentidos: de izquierda a derecha, o de derecha a izquierda.

Relación entre

Dados los puntos p y q de la recta R, siendo “ p “ anterior o coincidente con “q” (p q) diremosque el punto “ a “ de R está entre p y q si y sólo si se cumple que “a” es posterior o coincidente con “p”(p a) y “a” es anterior o coincidente con “q” (a q).

En símbolos: Sean p, q, a puntos de la recta R: p a q p a a q.

Ejemplo.



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●p

●b

●a

R

●e

●f

B●b

●c

●a

A

●d

Otras consideraciones:

En la recta no existe ni primero ni último punto. Esto significa que dado un punto existeninfinitos otros que le preceden e infinitos que le siguen. Esto expresa que la recta es un CONJUNTOABIERTO.

Por otra parte dados dos puntos distintos, existen infinitos puntos entre ambos, es decir la rectaes un conjunto DENSO.

SegmentoDados los puntos a y b de una recta R tal que “a“ es anterior o coincidente con “ b “ (a b)

En símbolos: Sean los puntos a y b de R: . ab= /Seg ab x x R a x b

Gráficamente:a R, p R, b R.

Los puntos a y b son los extremos del segmento.

Los infinitos puntos que están entre “a” y “b”, distintos de “a” y “b”, son los puntos interiores delseg. ab.

Puede ocurrir que a = b. A este segmento especial lo llamaremos segmento nulo.

En símbolo es: . aa=Seg aa

Si un segmento es nulo es un conjunto unitario (formado por un solo punto).

Segmentos colineales

Con respecto al gráfico:

y son colineales pues, y .ab cd ab A cd A es colineal con pues, .ef ef ef B y no son colineales pues, y y A B.ab ef ab A ef B

Llamaremos segmento de extremos “a“ y “b“ al conjunto formado por los puntos deR que están entre “a“ y “b“.

Llamaremos segmentos colineales a los que están incluidos en una misma recta.



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Segmentos consecutivos

Con respecto al gráfico:

y son consecutivos pues, .ab bc ab bc b

Dados tres o más segmentos distintos tomados en un cierto orden, diremos que sonconsecutivos si y sólo si cada uno es consecutivo al anterior, excepto el primero, por su extremo libre.

, , y son consecutivosab bc cd de

Poligonal

Con respecto al gráfico

Dos segmentos son consecutivos si y sólo si tienen un extremo común yningún otro punto común..

a

b

c

a

b c

d

e

Se llama poligonal a la FIGURA UNIÓN de segmentos consecutivos no colineales..

no son consecutivos pues tienen unpunto común pero no es extremo de ambos.

m

p n

q

poligonal abcdab bc cd

a

b

c

d



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●p

●q

R

F es una figura convexa R es una figura convexa

F

Tipos de poligonales:

ABIERTA CERRADA

SIMPLE

CRUZADA

Dada una poligonal cerrada simple incluida en un plano quedan determinadas tres partes delplano :

a) El borde o frontera ( poligonal cerrada simple )b) El conjunto de los puntos interioresc) El conjunto de los puntos exteriores.

El conjunto de los puntos interiores es una figura abierta.

El conjunto formado por los puntos que pertenecen a la región interior o los de la frontera esuna figura cerrada.

Figura convexa

Ejemplos gráficos

Borde

Región interior

Región exterior

Una figura es convexa si y sólo si para TODO par de puntos distintos que pertenecena ella el segmento que ellos determinan está incluido en ella.



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A

p

q

●o

●b

●a

R

●b

●a

R

Ejemplos gráficos:

A es cóncava B es cóncava D es cóncava

Semirrecta

En símbolos:

o, a, b de R, a<o;o<b: S / S /Sean ob x x R o x

oa x x R x a

Gráficamente:

Una semirrecta es una figura convexa.

De acuerdo con el concepto de semirrecta y figura convexa:Podemos afirmar que un segmento es la intersección de dos semirrectas incluidas en una

misma recta de distintos sentidos tal que el origen de una pertenezca a la otra. Además, un segmentoes una figura convexa.

Gráficamente:

Sab Sba ab

Una figura es cóncava si y sólo si EXISTE al menos un par de puntos distintos quepertenecen a la figura y el segmento que ellos determinan NO está incluido en la figura.

Dado un punto “o”, que pertenece a una recta R y los puntos “a” y “b” de R, siendo“a” anterior a “o” (a o) y “b” posterior a “o” (o b) llamaremos, SEMIRRECTA DEORIGEN “o” QUE CONTIENE a “b” ( ) al conjunto formado por los puntos de Rposteriores o coincidentes con “o” y SEMIRRECTA DE ORIGEN “ o “ QUE CONTIENEA “a” ( )al conjunto formado por los puntos de R anteriores o coincidentes con “o“.

B

p q

D

p q



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S2●b

Semirrectas opuestas

Gráficamente :

Separación del plano

Sea un plano y R una recta incluida en el mismo. Dicha recta determina una partición de formada por R, S1 y S2. A S1 y S2, los llamaremos semiplanos abiertos de frontera R. Si la recta estáincluida en cada semiplano se llama semiplano cerrado y los anotaremos ;Spl R a (semiplano cerrado

de frontera R que contiene a “a“, siendo “a“ un punto de S y ;Spl R b (semiplano cerrado de fronteraR que contiene a “b“, siendo “ b “ un punto de S2. De ahora en más trabajaremos con semiplanoscerrados.

Gráficamente:

Los semiplanos cerrados son figuras convexas.

Separación del espacio

Dado un plano del espacio E, quedan determinadas 3 partes de dicho espacio sin puntoscomunes, ninguna vacía y la unión de ellas es E. Estas partes son: el plano y las regiones E1 y E2llamadas semiespacios abiertos de borde o frontera .

Llamamos semiespacios cerrados a la figura unión de un semiespacio abierto y el planofrontera.

De ahora en más trabajaremos con los semiespacios cerrados, y se pueden nombrar indicandoel plano frontera y un punto del semiespacio abierto.

Gráficamente:

Dos semirrectas son opuestas si y sólo si tienen igual origen, están incluidas en una mismarecta y son de distintos sentidos.

●o

●b

●a

R

●b

S1 ●a

RS2

E1 E2

Semiespacio (;b)● b● a

Semiespacio (;a)



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Ángulo

A) Ángulo convexo:

Ejemplo gráfico:

A las semirrectas Soq

y Sop

las llamaremos lados del ángulo y el origen común “o” es elvértice.

El ángulo determinado es una figura convexa ya que resulta de la intersección de semiplanosque son figuras convexas.

B) Ángulo cóncavo:

Gráficamente:

A las semirrectas Sob

y Soa

las llamaremos lados del ángulo y el origen común “o” es elvértice.

Es la figura INTERSECCIÓN de dos semiplanos incluidos en un mismo plano de fronterassecantes.

Es la figura UNIÓN de semiplanos incluidos en un mismo plano de fronteras secantes.

ab

o

pq

A B

ab

o

pq

A B



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Ángulo nulo

Gráficamente:

Ángulo llano

Cualquier punto de la frontera puede ser el vértice.

Sus lados Sob

y Soa

son semirrectas opuestas.

Ángulo pleno

Ángulos consecutivos

Gráficamente:

Llamaremos ángulo nulo a toda semirrecta. Un ángulo nulo es una figura convexa.

Llamaremos ángulo llano a todo semiplano. Un ángulo llano es una figura convexa.

Llamaremos ángulo pleno a todo plano. Este ángulo es una figura convexa.

Dos ángulos son consecutivos si sólo si tienen al menos un lado común y ninguno estáincluido en el otro.

a●o

● ˆ nuloaoa

ˆ (p) "ángulo llano aob que contiene a p.aob

a●o

●ˆ ángulo plenoaoa

a bo

*p

a

c

b

d

1) ˆ ˆ yabc dbc son consecutivos



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Ángulos adyacentes

Gráficamente:

Ángulos opuestos por el vértice

Gráficamente:

1)

2)

Dos ángulos son adyacentes si y sólo si son consecutivos y la unión de ellos es unsemiplano.

Dos ángulos son opuestos por el vértice si y sólo si los lados de uno son semirrectasopuestas de los lados del otro y ninguno está incluido en el otro.

a

cb

d

2) ˆ ˆ (cóncavo) y a (convexo)abc bc son consecutivos

3) ˆ ˆ (cóncavo) y a (convexo)abd bc son consecutivos

a

cb

a cb

d ˆ ˆ y dabd bc son adyacentes

a

b

c

d

o boa ˆ y doc ˆ son opuestos por el vértice.

ba

c

od ˆaod ( cóncavo ) y ˆcob ( cóncavo) son opuestos

por el vértice.



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Rectas perpendiculares

Gráficamente: 1 T 2 34

M

Trazado de perpendiculares

Para resolver el problema geométrico de trazar una o más perpendiculares a una recta dadautilizaremos LA ESCUADRA.

Las figuras que siguen nos muestran como trazar una perpendicular a una recta dada quecontenga a un punto determinado.

La perpendicularidad entre recta y plano

Una recta R es perpendicular a un plano en un punto “a” de si y sólo si, esperpendicular a las infinitas rectas incluidas en que pasan por “a”.

Gráficamente:

Dadas dos rectas coplanares, secantes, diremos que son perpendiculares si y sólo sideterminan 4 ángulos convexos congruentes que llamaremos RECTOS.

M

T

12

34

ˆ ˆ ˆ ˆ 1; 2; 3; 4T M ( convexos) son rectos.

A

B

y a AA B a

; ; A B=;A B aR A R B R

A

B

R

a



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La perpendicularidad entre planos

Un plano es perpendicular a otro plano , si sólo si, cada uno de ellos incluye una rectaperpendicular al otro.

Gráficamente:

Polígono convexo

1 2 3 4 5, , , , , abcdeSpl R a Spl R c Spl R e Spl R b Spl R d polígono

Los segmentos ; ; ; ; ;ab bc cd de ea son los lados del polígono.

Los extremos de un mismo lado son vértices consecutivos

Ejemplo: a y b, b y c, c y d, d y e, e y a.

Los vértices que no son extremos de un mismo lado no son consecutivos.

Ejemplo: a y c, a y d, b y d, b y e, c y e.

Dado tres o más puntos distintos que pertenecen a un mismo plano, tal que dos de ellosdeterminan una recta que deja a los restantes en un mismo semiplano abierto, la intersecciónde esos semiplanos cerrados es una figura llamada polígono convexo cuyos vértices son lospuntos considerados.

; ; A B=; ;A B aR A R B R



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Los segmentos que tienen por extremos vértices no consecutivos se llaman diagonales delpolígono.

Ejemplos: ; ; ; ;ac ad bd be ec

Los ángulos convexos ˆ ˆˆ ˆ ˆ; ; ; ;abc bcd cde dea eab , son los ángulos interiores del polígono y secumple la siguiente relación: ˆ

ˆˆ

polígono abcde abcpolígono abcde bcd

polígono abcde cdepolígono abcde deapolígono abcde eab

También podemos anotar: ˆ ˆˆ ˆ ˆ polígono abcdeabc bcd cde dea eab

La figura unión de los lados de un polígono es una POLIGONAL que llamaremos FRONTERAdel polígono.

Todos los puntos de un polígono convexo que no pertenecen a su frontera forman un conjuntollamado región interior de mismo ( I )

Podemos definir a algunos POLÍGONOS como la figura UNIÓN de una poligonal simplecerrada y la región interior que ésta determina.

De acuerdo con este último concepto observamos que existen polígonos que son figurascóncavas.

NOTA: Distingue el dibujo de una poligonal del de un polígono mediante el sombreada

Poligonal Polígono

a

b

cd

e ( )poligonal cerrada abcde I polígono abcde cóncavo

a

b

cd

e ( )poligonal cerrada abcde I polígono abcde convexo



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Clasificación de los polígonos convexos según el número de lados y ángulos

NÚMERO DE LADOS ODE ÁNGULOS NOMBRE GRÁFICO

3 Triángulo-trilátero

4 Cuadrángulo- cuadrilátero

5 Pentágono- pentalátero

6 Hexágono- hexalátero

7 Heptágono- heptalátero

8 Octógono- octalátero

9 Eneágono- enelátero

10 Decágono- decalátero

11 Undecágono- undecalátero

Clasificación de los triángulos

a ) SEGÚN SUS LADOS:

a 1) ISÓSCELES : es el que tiene al menos dos de sus lados congruentes.

a 2) ESCALENO: es el que tiene sus tres lados congruentes.

NOTA: A los ISÓSCELES que tienen sus tres lados congruentes los llamaremos EQUILÁTEROS.



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Gráficamente:

a1) a 2)

ISÓSCELES EQUILÁTERO ESCALENO

b ) SEGÚN SUS ÁNGULOS:

b1 ) ACUTÁNGULO : Es el que tiene sus tres ángulos interiores agudos.

b2 ) OBTUSÁNGULO : Es el que tiene un ángulo interior obtuso.

b3 ) RECTÁNGULO : Es el que tiene un ángulo interior recto.

b1 ) b2 ) b3 )

TIPOS DE CUADRILÁTEROS : ( tal que cada tipo herede las propiedades del tipo anterior)

RECTÁNGULO

TRAPECIO PARALELOGRAMO CUADRADO

ROMBO

SEMIRROMBOIDE ROMBOIDE

TRAPECIO: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.

PARALELOGRAMO: cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

SEMIRROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos un par de lados consecutivos congruentes.

ROMBOIDE: cuadrilátero que tiene al menos dos pares de lados consecutivos congruentes.

RECTÁNGULO: cuadrilátero que tiene sus cuatro ángulos congruentes.

ROMBO: cuadrilátero que tiene sus cuatro lados congruentes.

CUADRADO: cuadrilátero con sus cuatro lados y cuatro ángulos congruentes.



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PROPIEDADES DE LOS LADOS, ÁNGULOS Y DIAGONALES DE LOSCUADRILÁTEROS

ROMBOIDE PARALELOGRAMO RECTÁNGULO ROMBO CUADRADO

Dos pares delados opuestoscongruentes

X X X X

Ladosconsecutivoscongruentes

X X X

Un par deángulosopuestoscongruentes

X X X X X

Dos pares deángulosopuestoscongruentes

X X X X

Diagonales quese cortanmutuamente enpartescongruentes

X X X X

Diagonalescongruentes

X X

Diagonalesperpendiculares X X X

Una diagonal esbisectriz de unpar de ángulosopuestos

X X X

Cada diagonal esbisectriz de unpar de ángulosopuestos

X X



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EJEMPLOS GRÁFICOS DE ALGUNOS CUADRILÁTEROS

SEMIRROMBOIDE ROMBOIDE TRAPECIO

PARALELOGRAMO ROMBO NO CUADRADO RECTÁNGULO NO CUADRADO

ROMBO CUADRADO

Mediatriz de un segmento

Gráficamente:M mediatriz de ab

Bisectriz de un ángulo

Gráficamente:

Sop

bisectriz ˆaob

Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a la recta del segmento en el punto mediode éste.

Bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior del ángulo que lo parte en dos ánguloscongruentes.

a

bM

a

p

b

o



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Amplitudes de los ángulos en el sistema sexagesimal

TIPO AMPLITUD

NULO 0º

AGUDO Mayor que 0º y menor que 90º

RECTO 90º

OBTUSO Mayor que 90º y menor que 180º

LLANO 180º

CÓNCAVO Mayor que 180º y menor que 360º

PLENO 360º

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si y sólo si la suma de sus amplitudes es 90º.

En símbolos:Sean y , dos ángulos cualesquiera:

y son complementarios ampl. + ampl. = 90ºGráficamente:

ampl. = 60ºampl. = 30º

y son complementarios pues:60º + 30º = 90º

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si y sólo si la suma de sus amplitudes es 180ºEn símbolos:

Sean y ángulos cualesquiera:

y son suplementarios ampl. + ampl. = 180ºGráficamente:

ampl. = 60º

ampl. = 120º



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y son suplementarios pues: 60º + 120º = 180º

Propiedad de los ángulos opuestos por el vértice

Si dos ángulos son opuestos por el vértice entonces son congruentes (tienen igual amplitud).

En símbolos:Sean y ángulos cualesquiera:

y son opuestos por el vértice

Gráficamente:

c b* *

o

* d * a

doc ˆ ( cóncavo ) dob ˆ ( cóncavo )

Propiedad de los ángulos adyacentes

Si dos ángulos son adyacentes entonces son suplementarios.

En símbolos:

Sean y ángulos cualesquiera :

y son adyacentes ampl. + ampl. = 180º

Gráficamente:

y adyacentes , luego:

ampl. + ampl. = 180º



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Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo

La suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

En símbolos:Sean , , y , ángulos:

, , y y son ángulos interiores de un triángulo ampl. + ampl. + ampl. y = 180ºGráficamente:

cba ˆ , cab ˆ y acb ˆ ángulos interioresa

del cba ˆ , luego:

ampl. cba ˆ + ampl. cab ˆ + ampl. acb ˆ = 180º

c b

Sistema Métrico Legal Argentino

La medición es una necesidad básica ya desde el comienzo de los tiempos. La humanidad necesitamedir diferentes cosas para saber por ejemplo cuantos días va a tardar en desplazarse de un lugar aotro, cuantas semillas necesita para poder sembrar un terreno, etc.

Era común utilizar partes del cuerpo humano como unidades para medir: las longitudes de losantebrazos, pies, manos o pulgadas. Y así, las distintas tribus, pueblos o naciones tomaron comopatrones los tamaños del cuerpo humano de sus respectivos reyes. El problema era que, por ejemploel rey de un lugar no tenía la misma talla de pie que el rey vecino y para colmo, cuando el rey moría oera sucedido, cambiaba el tamaño de la unidad, pero no el nombre.

Eran variables de una ciudad a la vecina, lo que suponía con frecuencia conflictos entre mercaderes,ciudadanos y los funcionarios del fisco.

El objetivo del Sistema Métrico fue la unificación y racionalización de las unidades de medición, y desus múltiplos y submúltiplos. Fue el resultado de las muchas reformas aparecidas durante el períodode la Revolución Francesa, entre 1789 y 1799.

Ningún otro aspecto de la ciencia aplicada afectó tanto al curso de la actividad humana tan directa yuniversalmente.

En 1863 nuestro país adoptó por la ley Nº 52 el Sistema Métrico Decimal. La ley Nº 845 del año1877 lo declara de uso obligatorio a partir del 1 de enero de 1878 y prohibe el uso de otros sistemas.

A partir de 1960, el Sistema Métrico pasa a llamarse Sistema Internacional de Unidades, (conocidocomo S.I.). Argentina lo adopta con el nombre de Sistema Métrico Legal Argentino (SI.ME.L.A.)

Es el constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del SISTEMAINTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) y las unidades ajenas al S.I. que se incorporan para satisfacerrequerimientos de empleo en determinados campos de aplicación.



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El SIMELA fue establecido por la ley 19.511 de 1972, como único sistema de unidades de usoautorizado en Argentina.

Se parte de 7 unidades bases a saber:

Las unidades derivadas que veremos son:

MAGNITUD NOMBRE SÍMBOLOSuperficie metro cuadrado m2

Masa gramo g

Volumen metro cubico m3

Múltiplos y submúltiplos

Medidas de longitud

km Hm dam m dm cm mm

Medidas de peso

t q Mg kg hg dag g dg cg mg

Medidas de capacidad

Kl hl dal l dl cl ml



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Medidas de superficie

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Medidas de volumen

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Medidas agrarias

hm2 dam2 m2

Hectárea área centiárea

De equivalencia entre capacidad, volumen y masa

Capacidad Volumen Peso

1kl 1m3 1 t

1 l 1dm3 1 kg

1 ml 1cm3 1 g

Medidas de tiempo

1 día = 24 horas...1 hora = 60 minutos...1 minuto = 60 segundo

Otras unidades son:

la semana: 7 días el año común: 365 días la década: 10 años

la quincena: 15 días el año bisiesto: 366 días el siglo: 100 años

el mes : 30 días el lustro: 5 años el milenio: 1000 años



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FÓRMULAS DE ALGUNAS FORMAS DEL PLANO

FIGURA ÁREA (medida de lasuperficie) PERÍMETRO

Cuadrado 2A l 4P l l l l l

Triángulo 2b hA 1 2 3P l l l

Rombo 2D dA 4P l l l l l

Romboide 2D dA 1 2 1 22 2 2P l l l l

Rectángulo A b h 1 2 1 22 2 2P l l l l

Paralelogramo A b h 1 2 1 22 2 2P l l l l

Trapecio 2B b hA

1 2 3 4P l l l l

Trapezoide 1 2 3 4P l l l l

Polígono regular de n lados12 2n l aA P a

P l n

Circunferencia π . r2 π . diámetro

Para Tales... la cuestión primaria no era qué sabemos, sino cómo lo sabemos.(Aristóteles)



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SUPERFICIE LATERAL, SUPERFICIE TOTAL Y VOLUMEN DE LOS CUERPOS

CUERPOS SUPERFICIELATERAL (SL)

SUPERFICIE TOTAL(ST) VOLUMEN (V)

CUBO

2 4l 2 6l 3l

PRISMA

perímetro de la base h . 2SL Sup de las bases .Sup de la base h

PARALELEPÍPEDO

perímetro de la base h . 2SL Sup de las bases

.SL Sup de la base

oargl o alto ancho

PIRÁMIDE

2perímetro apotema .SL Sup de la base sup. 3de la base h

CILINDRO

2d h r h 22SL r 2r h

CONO

r g 2SL r 23r h

ESFERA

24 r 4 3



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TrabajoPráctico



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1) Mariela quiere colocarles puntillas a 15 mantelitos rectangulares. Cada mantelito mide 25 cm deancho y 50 cm de largo. ¿Cuánta puntilla debe comprar?

2) Pablo es el dueño de un terreno rectangular que mide 12 metros de frente y 15 metros de fondo.

a) Quiere alambrar el terreno con dos vueltas de alambre. ¿cuántos metros de alambre tiene quecomprar?

b) En la mitad del terreno quiere colocar césped. ¿cuántos m2 de césped necesita?

3) Un triángulo tiene la misma base y altura que un rectángulo de 15 m2. Calcula el área deltriángulo.

4) Una caja con forma de cubo contiene 200 gramos de caramelos. Si construyo otra cajaduplicando las medidas de la caja anterior, ¿cuántos gramos de caramelos iguales a los primerospuedo poner en la caja nueva?

5) ¿Se puede guardar una pelota esférica de 5 cm de radio adentro de una caja cúbica de 7 cm dearista? Explica tu respuesta.

6) Marta camina todas las mañanas 10 km. Si cada cuadra mide 100 m y las calles que cruzatienen un ancho de 2 dam. ¿es cierto que caminando 20 cuadras con sus cruces, ida y vuelta,consigue su objetivo? Si no es así, ¿cuánto le falta caminar?

7) Los chicos de 6° colocan sogas alrededor de un sector del patio de la escuela para dedicarlo ajugar a la rayuela. Si usaron 34 metros de soga y el sector que delimitaron es cuadrado. ¿cuáles la medida d elos lados de ese sector?

8) a) Nacho dibuja varios cuadrados. Completa la tabla.

b) Irene dibuja cuadrados cuyos lados son 6 cm más largos que los de Nacho. Completa la tabla

9) Matías dibuja un rectángulo y luego otro en el que cada lado mide el doble de las medidasoriginales. Completa las tablas



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10) Con una cuerda de 90 cm de largo Ariel puede formar el borde de diferentes rectángulos.Completa la tabla.

11) Indica el área de cada figura usando el cuadradito negro como unidad de medida y responde:a) ¿cuál de las figuras tiene mayor área.b) ¿cuál de las figuras tiene menor área?c) Nombra dos figuras que tengan igual área.d) ¿cuál de las figuras tiene menor perímetro?

A B C D

12) Para saber cuántos dal son 25 cl, Juan pensó lo siguiente:

13) Un auto consume 30 litros de nafta para hacer 330 kilómetros y otro auto consume 2000 mililitros denafta para hacer 25000 metros. ¿cuál de los dos consume menos? Escribe lo que haces pararesponder el problema.

14) A los números que aparecen en las siguientes frases se les borró la coma. Coloca una coma encada uno, para que las medidas sean reales:

a) El peso de una lapicera es de 1250 gramos.

b) La capacidad de una pileta de natación es de 25000 hl.

c) El peso de una manzana es de 1255 gramos.

Explica usando la idea de Juan:a) ¿cuántos dal hay en 120 l?b) ¿cuántos dal hay en 12,5 cl?c) ¿cuántos hl hay en 50 dl?



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15) Completa escribiendo la unidad de capacidad que corresponde para indicar la cantidad total:

16) Cada cuerpo está formado por cubitos de 1 cm de arista.

a) ¿cuántos cubitos de 1 cm de arista forman cada cuerpo??b) ¿cuál ocupa más espacio? ¿por qué?

17) Lean los ingredientes de la receta y respondan:

a) Si hay 250 gramos de harina de mandioca, ¿qué cantidad de harina es la que falta para loschipás?

b) ¿qué cantidad de queso provolone hay que comprar si en la heladera hay 400 gramos?

18) En un almacén hay 12 botellas de agua mineral de 1,5 litros cada una.

a) ¿cuántos litros faltan para legar a tener 1 hectolitro de agua mineral?b) ¿cuántos vasos de 30 cl de capacidad se pueden llenar con esas 12 botellas?c) ¿cuántas botellas de 1 litro de agua mineral y cuántas de ¾ l harían falta para tener la misma

capacidad?



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19) Esta caja se va a llenar con la arena que entra en de un cubo de 1cm3. ¿cuántas veces debevaciar el cubo dentro de esta caja? ¿se logra llenar la caja? ¿por qué?

20) El contenido de un bidón con 5 litros de detergente se fraccionó en cuartos de litro y cada cuartofue diluido con dos litros de agua. ¿cuántos litros de agua se necesitaron mara diluir el contenidodel todo el bidón?

21) Una pileta de natación tiene 5 m de ancho, 10,5 m de largo y 2 m de profundidad.a) ¿cuántos metros cúbicos de agua entran en una pileta?b) Si quieren poner una guarda cerámica alrededor del borde de la pileta, ¿cuántos metros de

guarda deben comprar?c) Para pintar la pileta es necesario calcular el área de las paredes y del piso, ¿cuál es el área

que debe pintarse?d) Si 1 m3 de agua equivale a 1000 litros, ¿cuántos litros de agua entran en esa pileta?

22) Combinando figuras: calcula el área de las figuras sombreadas:

ab c

d e



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23) Federico tiene que envasar 15 kg de mermelada de durazno y 12 kg de mermelada de frutilla. Seutiliza envases de vidrio de 450 gr, de ¼ de kg, de 12500 cg, de 1 kg y de ½ kg.

a) Escribe la cantidad de envases que necesita de cada tipo, para la mermelada de durazno,sabiendo que utiliza un envase de 12500 cg.

b) Escribe la cantidad de envases que necesita de cada tipo para la mermelada de frutilla,sabiendo que utiliza 8 envases de 1 kg.

24) Con la cuarta parde de la cantidad de jugo de una jarra se sirvieron hasta la mitad 3 vasos de 250ml de capacidad.

a) ¿Qué cantidad de jugo había en la jarra?b) ¿qué cantidad de jugo se utilizó para llenar los vasos?

25) Un bebé perdió 180 gr del peso que tenía al nacer, durante sus primeros 5 días. Al cumplir unmes pesaba 3,710 kg, 640 gr más de lo que pesaba en su quinto día de vida.

a) ¿cuánto pesó al nacer?b) Si durante su primera quincena de vida aumentó 50 gr con respecto al peso que tenía al

nacer, ¿cuánto llegó a pesar en esa quincena?

26) Lisandro tiene que tomar una medida de 7,5 ml de medicamento. ¿para cuántas dosis lealcanza un frasco de 15 dl?

27) De un rollo de alambre de 24 metros se cortan 20 trozos iguales. ¿cuántos centímetros midecada trozo?

NOCIONES DEL PLANO

1) Dibuja, si fuera posible, la (o las) figura que cumpla la condición enunciada. Si no fuera posibleexplica por qué.

a) polígono romboide y paralelogramo.b) Dos semirrectas con igual origen incluidas en la misma recta u opuestas, pero no ambas.c) Cuadrilátero convexo con diagonales congruentes y no rectángulo.d) Es triángulo equilátero y con sus tres lados distintos.a) Dos segmentos colineales y no consecutivos.b) Un triángulo rectángulo y equilátero.c) Paralelogramo no rectángulo.d) rombo no cuadrado.e) cuadrado no rectángulo.f) Cuadrilátero convexo regular o de diagonales que se cortan mutuamente en partes

congruentes, pero no ambas.

2) Escribe diferencias y similitudes entre los siguientes pares de formas del plano.

FORMA DEL PLANO SIMILITUDES DIFERENCIAS



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3) Responde :a) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiláteros?b) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiánguloc) ¿Qué clase de cuadriláteros son equiláteros y equiángulos?

4) Construyan un cuadrilátero convexo para cada una de las siguientes condiciones.a) Los cuatro lados congruentes.b) Cuyos lados opuestos no sean paralelos.c) Con un ángulo recto y un par de lados opuestos paralelos.

¿Es única la respuesta para cada uno de los casos?

5) Decide para cada una de las siguientes afirmaciones si es SIEMPRE, A VECES O NUNCA ,verdadera.

En caso de ser “ a veces” verdadera, dé un ejemplo con un dibujo en el que sea otro en el que no losea.

Un rombo es trapecio. ( ................... )

Un polígono es un figura convexa. ( ................... )

Un cuadrado es un semirromboide. ( ................... )

Un paralelogramo es rectángulo. ( ................... )

Un trapecio es rombo. ( ................... )

Un semirromboide es paralelogramo. ( ................... )



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Un polígono de 7 lados es cóncavo. ( ................... )

Un cuadrilátero que tiene sus diagonales congruentes es rombo. ( ................... )

Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos congruentes es romboide.

( ...................)

6) Completa:a) Si un paralelogramo es romboide entonces es ...................................

b) Si un rombo es rectángulo entonces es..............................................

c) Si un cuadrilátero tiene dos pares de ángulos opuestos congruentes entonces es……………….

7) Completa la frase en cada caso con a veces, siempre o nunca, según corresponda.a) Dos ángulos suplementarios………………..son adyacentes.

b) Dos ángulos adyacentes………………….son consecutivos.

c) Dos ángulos consecutivos………………..adyacentes.

d) Dos ángulos adyacentes de igual amplitud…………………..son llanos.

e) Dos ángulos opuestos por el vértice…………………..son complementarios.

f) Dos ángulos opuestos por el vértice suplementarios…………………..son rectos.



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Marco teóricoy

TrabajoPráctico



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ACTIVIDAD 1Correspondencias entre medidas de figurasEn esta actividad te mostramos las figuras A, B, C y D dibujadas sobre un papel cuadriculado concuadrados de 1 cm2, o sea de 1 cm de lado.

a) ¿Cuál es el área y cuál el perímetro de cada figura? Completa con los resultados la siguiente tabla.

FIGURA ÁREA en cm2 PERÍMETRO en cmABCDE

b) Imagina que las mismas figuras se hubieran hecho sobre un papel tramado con cuadrados de 2 cmde lado. Dibuja esas nuevas figuras. ¿Crees que el área y el perímetro resultan el doble de los quefiguran en el cuadro de la consigna a? Anota en tu carpeta qué te parece

c) Calcula las áreas en cm2 y los perímetros en cm de las figuras que dibujaste en la consigna b. Conlos resultados de los cálculos construí una tabla como la anterior y comprueba si tu predicción resultócierta.

d) Averigua ahora cómo varían el área y el perímetro de las figuras si se las dibuja en papel tramadocon cuadrados de 3 cm de lado, y luego, de 4 cm de lado. Haz los cálculos y anota los resultados enuna tabla.e) Reúnete con otros compañeros y distribuyan las figuras A, B, C y D del primer ejercicio. Cada unodeberá completar dos tablas como la siguiente para cada una de las figuras que le toque.

Medida del Lado delcuadrado de la

trama en cm

Área de la figura encm2

1234



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f) Toma los datos de cada tabla que completaste en el punto anterior y representa los puntoscorrespondientes en un gráfico cartesiano. Recuerda hacerlo sobre papel cuadriculados.

Observa los gráficos y responde las preguntas.1. ¿Puedes asegurar que los gráficos de algún grupo representan correspondencias directamenteproporcionales? ¿E inversamente proporcionales? ¿Y no proporcionales? Justifica las respuestas.

2. Escribe en tu carpeta cómo varían las áreas y los perímetros de las figuras cuando se duplica,triplica y cuadriplica la longitud del lado del cuadrado de la trama sobre la que se dibujan las figuras.

ACTIVIDAD 2Imágenes y dominio de una correspondenciaEn varias oportunidades has usado las palabras “correspondencia” y “corresponde”.Toda tabla que asocie valores de una cierta clase a valores de otra clase o de la misma, establece doscorrespondencias: una que se lee de izquierda a derecha y otra que se lee en sentido contrario.En la tabla de la actividad a, la correspondencia 1, de izquierda a derecha, asocia los perímetros a lasáreas, y la correspondencia 2, inversa, de derecha a izquierda, asocia las áreas a los perímetros.Ambas correspondencias también se pueden mostrar mediante pares ordenados de números y, a suvez, esos pares se pueden representar en gráficos cartesianos.

a) Elige una de esas correspondencias y expresa con palabras qué pares de elementos secorresponden.

b) Escríbelos como pares ordenados de la forma (x; y). Por ejemplo, en la figura a el par (x; y) sería(20; 24).

c) ¿Cuál es la imagen de 24 en la correspondencia 1?¿De qué valores es imagen 4 en la correspondencia 2?

d) Escribí todos los pares de la correspondencia 2 entre los perímetros y las áreas de las figuras yresponde las preguntas.

1. ¿Cuántas imágenes tiene 8 en esa correspondencia?2. ¿Cuántas imágenes tiene 20?3. Representa la correspondencia 2 en un gráfico cartesiano y observa cómo se ubican los

puntos que representan dos áreas correspondientes a un mismo perímetro.

Los datos reunidos en tablas como estas también pueden representarse mediante gráficoscartesianos. Seguramente ya tuviste oportunidad de observar que estos gráficos se construyende la siguiente manera.1. Se trazan dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto considerado 0 u origen. El ejevertical se denomina y o eje de ordenadas, y el horizontal es el x o eje de abcisas.2. Sobre ellos se marcan graduaciones con valores numéricos ordenados de manera queaumentan hacia la derecha en x y hacia arriba en y, partiendo del punto 0. Así se puedenencontrar puntos en el plano por la asociación de un par ordenado de puntos, como los pares quesurgen de las tablas anteriores.• Recuerda que los números de la primera columna en la tabla son las abscisas y se representansobre el eje x. Los de la segunda son las ordenadas y se representan sobre el eje y.

Cuando un valor de y corresponde a un valor de x, se dice que ese valor de y es una imagendel valor de x.Por ejemplo, en la correspondencia 1 (en símbolos C1), los valores 20 y 28 son imágenes de13; 20 es imagen de 24.



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e) Escribe el dominio de la correspondencia 2.

f) Elige dos de las tablas que construiste el punto a de la actividad 1, indica el dominio de cada una yescribe como pares ordenados los pares de valores que se corresponden.

Como viste, existen diferentes tipos de correspondencias. En la siguiente actividad vas a usar estosdos elementos: dominio e imagen para caracterizar un tipo especial de correspondencias: lasfunciones.

ACTIVIDAD 3¿Qué correspondencias son funciones?

a) Escribe el dominio y el conjunto de imágenes de cada una de las correspondencias de lastablas.

b) Observa las tablas en cada correspondencia y responde: ¿hay algún elemento de la columna “x”(conjunto de partida) con más de una imagen? Si es así, indica cuál es. ¿Hay algún elemento que esimagen de varios elementos del dominio? Si lo hubiera, indica cuál es.

c) Revisa las correspondencias 1 y 2 de la actividad anterior.1. ¿Hay alguna en la que se puede afirmar que “a cada elemento del dominio le corresponde una

única imagen”? Si es así, indica cuál es la correspondencia.2. Si alguna de esas correspondencias no cumple la afirmación, decí en qué falla.

d) Buscá en tu carpeta las representaciones en coordenadas cartesianas de las correspondencias dela actividad 1 y observa cómo se puede reconocer en un gráfico de correspondencias cada una de lassiguientes propiedades:

1. A cada elemento del dominio le corresponde una sola imagen.2. A algún elemento del conjunto de partida le corresponde más de una imagen.

e) Escribí tus observaciones

.

Se llama dominio de una correspondencia al conjunto de valores que toma la variable x.Por ejemplo: cada correspondencia de la consigna a tiene un dominio que se puede enunciarexplícitamente: el dominio de la correspondencia 1 es el conjunto formado por 4, 13, 24..

Una correspondencia es función cuando a cada elemento del dominio le corresponde una ysola una imagen



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FÓRMULAS, TABLAS Y GRÁFICOS FUNCIONALESACTIVIDAD 4El lenguaje de las funcionesEl objetivo de esta actividad es trabajar el significado de algunos términos matemáticos que estánrelacionados con el estudio de las funciones tales como: correspondencia, variables independientes ydependientes, dominio e imagen de una correspondencia y función.

a) observa las agrupaciones triangulares de puntos y agrega otra agrupación más que tenga 6 filas depuntos

b) 1. Observa el número de puntos que está en la fila de la base de cada una de las agrupaciones y,a partir de tus observaciones, completa la tabla con los datos de todos los triángulos.

.

2. Observa la tabla y responde:2. 1. Según la posición que los números ocupan en la tabla, ¿cuál es la variable independiente y cuáles la variable dependiente?

2. 2. En Matemática, ¿qué letras se usan para designar, en general, a esas variables?

2. 3. Pensá si la correspondencia que muestra tu tabla es una función y explicá por qué.

En general, para indicar una función numérica se utiliza la siguiente notación, f : A B, que se lee“función de A sobre B, con dominio A e imagen B” o bien y = f(x) que se lee “función de x con variableindependiente x y variable dependiente y”. En el lenguaje simbólico de las funciones es lo mismoescribir y que f(x).Las funciones más frecuentes en Matemática son aquellas en las que a cada número de un dominio lecorresponde otro número del conjunto imagen. Por ejemplo, la función …“siguiente de” …, tienedominio en el conjunto de los números naturales y a cada número natural le hace corresponder otronúmero del mismo conjunto que es su siguiente.

Tal como surge de la observación de la tabla anterior, los números de la columna de laizquierda así como los de la derecha toman distintos valores: por esta razón se denominanvariables



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c) Analiza la siguiente situación y anota todos los datos que necesiten para poder resolverlo.

Pensá en una familia de rectángulos que tengan la misma altura y ancho variable. Por ejemplo, laaltura constante es de 3 unidades y el ancho x variable. La fórmula del área de esos rectángulos esÁrea = 3 x.Si el dominio de x fueran todos los números reales (racionales e irracionales) comprendidos entre 1,2y 2,5.

1. ¿Es posible construir una tabla con todos los posibles valores x y los respectivos valores delárea; es decir 3 x?

2. ¿Por qué?

Actividad 5Función Afín

a) Observa estos tres gráficos que corresponden a diferentes funciones.

1. Perímetro de pentágonos 2. Alto de rectángulos de perímetro 20 dmregulares en función del lado. en función del ancho.

En general, para indicar una función numérica se utiliza la siguiente notación, f : A B, que selee “función de A sobre B, con dominio A e imagen B” o bien y = f(x) que se lee “función de xcon variable independiente x y variable dependiente y”. En el lenguaje simbólico de lasfunciones es lo mismo escribir y que f(x).Las funciones más frecuentes en Matemática son aquellas en las que a cada número de undominio le corresponde otro número del conjunto imagen. Por ejemplo, la función …“siguientede” …, tiene dominio en el conjunto de los números naturales y a cada número natural le hacecorresponder otro número del mismo conjunto que es su siguiente



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3. y = x + 3 es una función afín no proporcional

b) 1. Selecciona la fórmula que representa cada función y cópiala debajo del gráfico.

2. Indica cuál es el dominio y cuál es el conjunto imagen.3. Analiza cada caso y decide si se trata, o no, de una función de proporcionalidad directa. Justifica

tus decisiones.

Las funciones cuyos puntos [x,y] están alineados sobre una recta se denominan funciones AFINES.

c) Lee las siguientes características de las funciones afines y fíjate si se cumplen en los ejemplosmencionados anteriormente. En cada caso define cuál es el dominio de la función.

c1. En las ecuaciones correspondientes a las funciones afines, las variables x e y estánelevadas a la primera potencia.

c2. Si el dominio de una función afín es discontinuo (por ejemplo, los números enteros) lafunción no se representa por un trazo continuo, sino por puntos alineados.

Actividad 6Elementos de las funciones afines

En esta actividad estudiarás otras características de las funciones afines. Para realizarla te convienetrabajar sobre papel cuadriculado.a) Grafica en un par de ejes cartesianos la función afín = +

b) A partir del trazado de la recta, ha quedado determinado un triángulo rectángulo de vértices(1,4) (7,6) y (7,4).

Habrás podido observar que en esos tres ejemplos el exponente de las variables x e y no seescribe porque se trata de la primera potencia y por lo tanto las ecuaciones que correspondena esas funciones son ecuaciones de primer grado. Si definiste el dominio de la función en elconjunto de los números enteros, ese dominio es discontinuo y en ese caso la funciónquedará representada por puntos. En cambio, si en el dominio se incluyen todos los númerosreales, racionales e irracionales, la representación es un trazo recto continuo.

Por tratarse de una función afín es suficiente que determines el valor de y para dos valorescualesquiera de x, por ejemplo 1 y 7, y traces las respectivas coordenadas. Verás que los dospuntos que obtengas te permitirán trazar la recta que grafica la función.



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Observa tu gráfico y resuelve lo que se pide en cada consigna:

* Marca en el gráfico el ángulo que forma la recta con el eje x. Llámalo .* Fíjate cuánto mide cada uno de los catetos y anótalo en el gráfico.

c) Observa el siguiente gráfico. Podrás comprobar que entre dos puntos cualesquiera que pertenezcana la recta, se puede trazar un triángulo rectángulo.

Tal como surge del gráfico, la razón de los catetos de cada triángulo tiene siempre el mismo valor, eneste caso . Esa razón se llama pendiente de la recta (m).

En símbolos: =Δ

donde m es el número que indica la razón entre las dos diferencias y Δ .Observa que para un mismo valor de Δ la pendiente m depende directamente de . Si es unnúmero pequeño, la recta estará poco inclinada con relación al eje x, en cambio, si es mayor,también es mayor m y la recta tendrá mayor inclinación.

d) Calcula el valor que toma y en la ecuación = + cuando la variable independiente x vale 0.Es decir, calcula qué valor tiene la ordenada en el punto de abscisa 0.

.

La resta (diferencia) entre lasordenadas (6 - 4) se representa porel símbolo (Δ es la letra griegadelta mayúscula). La resta(diferencia) entre las abscisas(7 – 1) se representa por el símbolo

Si trabajaste bien, tu gráfico será como este:



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Ten en cuenta que a una función lineal le corresponde en símbolos la ecuación de una recta, porejemplo, = + . Cuando la variable independiente x vale 0, la ordenada tiene el valor del

término independiente, es decir, del término que no tiene x, en este ejemplo es , y el punto de

coordenadas (0, ) pertenece a la gráfica de la función. Para el punto (0,y) en el que la variableindependiente x tiene valor 0, se dice que y es la ordenada al origen.

Se llama ordenada al origen al valor que toma la función para x = 0.En la ecuación de la recta, la ordenada al origen es el término independiente.

Para recordar!!!!

Por ejemplo, en la ecuación de la recta = 2 + 3, la variable dependiente es , la variableindependiente es , el término independiente es 3 y la pendiente es 2.Ya el matemático griego Euclides (siglo IV a.C.) estableció que dos puntos de un plano determinanuna única recta a la que pertenecen. Cuando se conoce la ecuación de una recta, para graficarla no esnecesario construir una tabla de valores, sino que es suficiente con determinar dos puntos de ella, obien un punto y la pendiente, es decir, el ángulo que forma la recta con la dirección horizontal.Por ejemplo, si se conoce un punto como la ordenada al origen y la pendiente de la recta, esos doselementos son suficientes para graficarla.De este modo, para graficar la recta y = 3 x + 1, en la que la pendiente es 3, y la ordenada al origen es1, conviene marcar primero 1 unidad hacia arriba en el sentido positivo del porque b = 1 espositiva. Ese punto de coordenadas (0,1) pertenece a la recta. A partir de ese punto se marcan 3unidades hacia arriba y una hacia la derecha porque m = 3 es el cociente entre = 3 = 1.

e) Representa la recta = − – 2. Luego responde.

1. ¿En qué sentido sobre el eje y marcaste la ordenada al origen? ¿Por qué?2. ¿Cómo usaste el valor de la pendiente para determinar las coordenadas de otro punto de la

recta?



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Si una función lineal tiene pendiente positiva, la función es creciente, vale decir que si x2 toma un valormayor que x1, entonces y2 es mayor que y1.Si una función lineal tiene pendiente negativa, la función es decreciente, vale decir que si x2 toma unvalor mayor que x1, entonces y2 es menor que y1.

ACTIVIDAD 7Posiciones relativas de dos rectasEn la actividad anterior aprendiste a representar una función lineal a partir del conocimiento de suecuación. Ahora verás cómo identificar, mediante el análisis de las pendientes, pares de rectasparalelas y pares de rectas perpendiculares.a) Representa en un mismo gráfico las rectas = + = + , .¿Qué elementos de ambas ecuaciones indican que las dos rectas son paralelas?

b) Representa en un mismo gráfico las rectas = − – = − .¿Qué elementos de ambas ecuaciones indican que las dos rectas son perpendiculares?

c) Dadas las siguientes funciones lineales (todas ellas con dominio en los números racionales).I. 1 ( ) = − 2II. 2 ( ) = − − 3III. f3 ( ) = 6 + 2IV. 4 ( ) = 6

1. Indica la ordenada al origen y la pendiente de cada una de ellas.2. Observando las ecuaciones, ¿puedes anticipar qué diferencia habrá en la representación de las

funciones 1 2?3. ¿Y en las de las funciones 3 4?

d) Escribe las ecuaciones de dos rectas que sean perpendiculares y tengan distintas ordenadas alorigen.

e) Escribe las ecuaciones de dos rectas paralelas que sean decrecientes.

ACTIVIDAD 8Comportamiento de funcionesEn las siguientes tablas de funciones, elegí dos elementos distintos del dominio, teniendo en cuentaque el primero sea menor que el segundo. Compara los respectivos valores correspondientes.



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Habrás observado que en estas funciones, siempre que se toman dosvalores del dominio de modo que uno sea menor que el otro, entrelas imágenes se mantiene el mismo sentido de la desigualdad.Por ejemplo si a y b son elementos del dominio de la función g(x)y a es menor que b, entonces g(a) es menor que g(b).

Por ejemplo, la función:f: Z → Z / f(x) = 2x + 2 es función crecienteporque al crecer los elementos del dominio también crecen lasrespectivas imágenes.

Por lo tanto se puede afirmar:Una función es creciente cuando para todo par de elementos a y b del dominio se verifica que si a esmenor que b, entonces la imagen de a es menor que la imagen de b.En símbolos: a < b f(a) < f(b)Por el contrario, una función es decreciente cuando para todo par de elementos a y b del dominio severifica que si a es menor que b, entonces la imagen de a es mayor que la imagen de b.En símbolos: a < b → f(a) > f(b).

ACTIVIDAD 9Continuamos analizando funcionesa) Representa la recta correspondiente a la función que le asigna como imagen a cualquier númeroracional el número 5, es decir f: Q → Q; f (x) = 5.

1. ¿Qué valor tiene la pendiente de la recta?2. ¿Cuál es la ordenada al origen de esa recta?3. La gráfica, ¿corresponde a una función creciente? ¿Por qué?

Como acabas de comprobar:Si una función está definida por la ecuación de una recta: y = f(x) = a0 (siendo a0 una constante), severifica que para todo par a y b del dominio, si a < b es f(a) = f(b) = a0.La gráfica de esta función corresponde a una recta paralela al eje x, ubicada a0 unidades por encima opor debajo del eje x dependiendo de que el signo de a0 sea positivo o negativo.



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Por ejemplo, al representar la velocidadde una partícula en función del tiempo ( ),si se desplaza con una velocidad constantede 2 ( ), la gráfica que se obtiene esuna semirrecta paralela al eje x ubicada a 2 unidadesde distancia de ese eje.

Una función es constante si a todos los elementos del dominio les asigna la misma imagen a < b esf(a) = f(b). Una función constante no es creciente ni decreciente.

b) Escribe tres funciones lineales que no sean constantes y sus correspondientes ecuaciones derectas.

1. Señala en cada ecuación la pendiente y la ordenada al origen.2. Representa las tres rectas.3. Indica, en cada caso, cuál es el valor de y que corresponde al valor x = 0.

Se llaman ceros de una función f a los valores x del dominio que satisfacen a la ecuación f(x) = 0.

c) Grafica la función f(x) = 2 x + 1 indicando pendiente y ordenada al origen.1. Busca la intersección de la recta y = 2 x +1 con el eje x, reemplazando y por 0. Verifícalo en el

gráfico que hiciste.2. Los pares (2, 5); (-1, 3), (- 1 , 0) ¿son algunas de las posibles soluciones de la ecuación y = 2x

+ 1? ¿Por qué?

d) Escribe pares de valores que sean soluciones de cada una de las ecuaciones de las rectas queelegiste en la consigna b. ¿En qué punto cortan, cada una de esas rectas, el eje de las abscisas? ¿Yel eje de las ordenadas?

e) ¿Se pueden hallar los ceros de las funciones observando su gráfico sin usar la fórmula? Justifica turespuesta



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ACTIVIDADES PARA RESOLVER

1) Este gráfico muestra la temperatura que se registró en Buenos Aires el 21 de junio de 2008.

a) ¿qué información brinda el punto A?b) ¿cuál fue la temperatura mínima ese día? ¿a qué hora se produjo?c) ¿A qué hora se registró la temperatura mínima?d) ¿en qué horarios la temperatura se mantuvo constante?e) ¿Qué temperatura hacía a las 6 de la tarde?f) ¿En qué horas la temperatura fue de 14°??g) ¿En qué horas la temperatura superó los 12°?h) ¿Entre qué horas la temperatura fue bajando?

2) Este gráfico representa la distancia recorrida por Marta y Juana durante los distintos momentos deuna carrera.

a) ¿cuántos kilómetros tiene la carrera?b) ¿cuánto tarda cada competidora en llegar a la meta?c) ¿en algún momento Marta va delante de Juana?d) ¿cuál es la velocidad media de cada competidora?



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3) Determina en cuál de estos gráficos se puede observar una evolución positiva en la situación queanalizan.

4) El director de una escuela contrato a un detective para que estudiara el caso del alumno Papo. Secomenta que participó del susto que le dieron a Lalo al salir de su casa. Por eso lo observa desdehace varios días. Papo hace una vida bastante rutinaria: va todos los días al colegio, que queda a12 km de su casa. Permanece un tiempo allí y luego regresa. Por alguna circunstancia puede serque se detenga en el camino de ida o de vuelta, pero esto rara vez ocurre. Papo va a la escuelacaminando o en colectivo, o combina ambas posibilidades. El detective ha representado susobservaciones en un sistema de ejes cartesianos, que indica las horas del día en el eje horizontal yla distancia a la casa de Papo en el eje vertical. Estos son los gráficos correspondientes a los dosprimeros días.

Indica para cada día:a) ¿a qué hora sale Papo de su casa?b) ¿a qué hora llega a la escuela?c) ¿va en colectivo, caminando o combina ambas posibilidades?d) ¿a qué hora vuelve a su casa?e) ¿cuánto tiempo permanece en la escuela?f) ¿vuelve caminando o en colectivo?



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5) El empleado de una remisería comienza a trabajar a las 9 de la mañana y anota en un gráfico ladistancia a la que se encuentra en cada momento del día respecto de su casa. Éstos son losgráficos que presentó en el trabajo:

a) Describe lo que pasó en cada día.b) ¿qué sucede el segundo día a las 15.30 horas? ¿cómo pueden interpretar ese gráfico?

6) Una empresa que se dedica a la reparación de electrodomésticos cobra $ 15 por la visitadomiciliaria, más $ 10 por cada hora de trabajo adicional. Respondan a las siguientes consignas:

a) Plantea una ecuación o fórmula que permita calcular el dinero que debemos pagar (y), enfunción de las horas trabajadas (x).

b) Representa gráficamente la ecuación propuesta.

c) Si el técnico permanece 5 horas en el domicilio, ¿cuánto se deberá abonar?

d) Teniendo en cuenta el gráfico, ¿cuánto le cobraría a una persona por haberse acercado a lacasa sin haber reparado ningún electrodoméstico?

7) Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada porel agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre.Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuaciónde la función que determina la altura (h) del agua después de transcurridas t horas?

8) Si una empresa que transporta valijas establece sus tarifas de la siguiente manera: $ 8 por kmrecorrido y $ 12 por cada valija transportada, ¿cuánto costará trasladarse 100 km con una valija?,¿y 200 km?

Expresen la fórmula de la función que relaciona la distancia en kilómetros (km) y el valor del traslado.

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