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ECd EPFL - Travaux pratiques de physique Constante Diélectrique Résumé En général, un champ électrique est créé par un différence de tension électrique entre deux points. Si le champ électrique traverse un matériau dit diélectrique, le champ est modifié selon la constante diélectrique du matériau. Dans cette expérience, la notion de capacité sera utilisée pour mesurer la constante diélectrique d’un matériau donné.

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Constante Diélectrique

Résumé

En général, un champ électrique est créé par un différence de tensionélectrique entre deux points. Si le champ électrique traverse un matériaudit diélectrique, le champ est modifié selon la constante diélectrique ε dumatériau. Dans cette expérience, la notion de capacité sera utilisée pourmesurer la constante diélectrique d’un matériau donné.

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TABLE DES MATIÈRES 1

Table des matières1 Théorie 2

1.1 Champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Relation entre la charge et le champ électrique . . . . . . . . . 51.5 La capacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Le condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Capacité en présence d’un diélectrique . . . . . . . . . . . . . 8

2 Mesure absolue de capacité 92.1 Méthode de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Plan de travail 103.1 Détermination de ε0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Détermination de la constante diélectrique du PVC . . . . . . 11

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1 Théorie 2

1 Théorie1.1 Champ électrique

La présence d’une charge électrique modifie l’espace qui l’entoure. Ellecrée un champ électrique. Ce champ peut être mis en évidence par un corpsd’épreuve e, constitué d’une charge suffisamment faible. En tout point del’espace où un champ électrique E agit, le corps d’épreuve sera soumis à uneforce1 :

F = eE (1.1)

Fig. 1.1: 1

Si on déplace la charge e sur un élément de chemin ds dans le champ E,le travail effectué par la force sera :

dA = F · ds = e (E · ds) (1.2)

Pour un chemin P1P2 sur une courbe C1, le travail vaudra :

A = e∫ P2

P1E(r) · ds (1.3)

Les champs électrostatiques jouissent d’une propriété particulière : le travailne dépend que des extrémités P1 et P2 et non du chemin C1 ou C2. Si doncon calcule le travail effectué par la force F sur le chemin fermé P1P2P1, onobtient 0, ce qui s’exprime par

e∮

E(r) · ds = 0 (1.4)

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1.2 Tension 3

Fig. 1.2: .

1.2 TensionPar définition, la tension est le quotient du travail A défini plus haut par

la charge e du corps d’épreuve :

V = A

e(1.5)

Nous aurons donc :VP2P1 =

∫ P2

P1E · ds (1.6)

1.3 PotentielNous avons vu que le travail sur une courbe fermée était nul ; on en déduit

que la tension U est nulle également, c’est-à-dire que l’on aura :

U0 = UP2P1 (C1) + UP1P2 (C2) =∫C1+C2

E · ds = 0 (1.7)

1Note : dans cette notice, les vecteurs seront notés en gras. Par exemple, une force seranotée F au lieu de ~F

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1.3 Potentiel 4

Pour décrire le champ, il suffit donc d’introduire la tension entre un point Pmobile et un point G fixe pris comme référence. Ceci s’écrit par définition :

VPG =∫ PG

E · ds = −U(P ) (1.8)

U est le potentiel en P , G étant pris comme référence, c’est-à-dire U(G) = 0.

On aura ainsi pour différence de potentiel entre deux points P1 et P2 :

U (P2)− U (P1) =∫ P2

P1E · ds = −VCB (1.9)

Le champ électrique et le potentiel sont reliés par l’équation :

E = −grad U(x, y, z) (1.10)

Le signe moins signifie que le champ électrique est dirigé dans la directiondes potentiels décroissants.

Si l’on se déplace dans un champ électrique suivant la direction de la plusforte variation de ce champ, on obtient une ligne de force du champ. Ceslignes partent des charges + (par exemple sur la surface du conducteur L1)pour se terminer aux charges− (par exemple conducteur L2). L’intérieur d’unconducteur est toujours exempt de charges électrostatiques, et l’on voit sanspeine que le potentiel à sa surface doit être constant (surface équipotentielle)et que par conséquent, les lignes de forces sont normales à cette surface.

Fig. 1.3:

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1.4 Relation entre la charge et le champ électrique 5

1.4 Relation entre la charge et le champ électriqueAfin de trouver la loi reliant le champ électrique à la charge qui le produit,

il est nécessaire d’introduire la notion de flux du champ E à travers unesurface S (fig. 1.4).

Fig. 1.4:

Par définition :

dΦ = E · dσ · cosα element de fluxdσ élément de surfacedΦ = E · dσ

Par conséquent, le flux à travers toute la surface S sera :

Φ =∫S

E · dσ (1.11)

Considérons maintenant une charge étendue Q et cherchons la relationentre Q et le flux à travers une surface fermée qui l’entoure. Pour interpréterles faits d’expérience, on montre que le flux du champ électrique à traversune surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale située àl’intérieur de cette surface.

Exprimée mathématiquement, cette condition devient (Loi de Gauss) :

ε0

∫E⊥dσ = Qenfermée (1.12)

On voit ainsi apparaître la constante ε0 comme facteur de proportionnalité.ε0 est appelée constante d’influence ou constante diélectrique ou encore per-mittivité du vide et est liée au système d’unités international (MKSA).

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1.5 La capacité 6

Les dimensions de Q, E et S sont définies au moyen des grandeurs A, V,m et s. La dimension de ε0 peut donc être déterminée à partir de la relation1.12.

[ε0] = A sV m = Farad/mètre

La valeur numérique de ε0 doit être déterminée par l’expérience.

1.5 La capacitéIl est possible, théoriquement ou expérimentalement, de déterminer la

répartition du champ électrique pour tout arrangement de conducteurs entrelesquels existe une tension.

Considérons un système tel celui de la fig. 1.3. Les conducteurs L1 et L2possèdent les potentiels constants U1 et U2. Nous avons vu que :

U2 − U1 = −∫ 2

1E · ds (1.13)

Mais de même que pour le flux, il est naturel que E soit proportionnel àQ, ce qui s’exprime par :

E = RQ (1.14)

R est un facteur vectoriel de proportionnalité ne dépendant que de la confi-guration géométrique du système. D’où :

U2 − U1 = −Q∫ 2

1R · ds (1.15)

L’intégrale ne dépend que de la géométrie. On posera :

C = 1∫ 21 R · ds

= capacité (1.16)

D’où :−(U2 − U1) = V = Q

C(1.17)

Dans le système international (MKSA) l’unité de capacité vaut :

1 C = 1 CoulombVolt = 1 A s

V = 1 Farad = 1 F

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1.6 Le condensateur plan 7

Remarque : Pratiquement, on ne rencontre pas de capacité de 1 Farad.On utilisera par conséquent les grandeurs :

1 µF = 10−6 F = 1 microfarad1 nF = 10−9 F = 1 nanofarad1 pF = 10−12 F = 1 picofarad

1.6 Le condensateur planSi aux conducteurs L1 et L2 on donne la forme de plans parallèles dont la

distance de séparation d est beaucoup plus petite que les dimensions linéaires,on obtient un condensateur plan pour lequel les relations électrostatiquesdeviennent particulièrement simples. En faisant abstraction des extrémités

Fig. 1.5:

des armatures (effets de bords), le champ E est homogène et perpendiculaireaux surfaces S des plaques et a pour valeur :

E = E⊥ = V

d(1.18)

En effet ∫ d0

E · ds = E⊥

∫ d0

ds = V (1.19)

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1.7 Capacité en présence d’un diélectrique 8

Comme d’autre part le flux total provenant d’une plaque est

Φ = SE⊥ = Q

ε0(1.20)

S est la surface d’une plaque et qu’enfin

Q = CV (1.21)

Il en résulteC = ε0

S

d(1.22)

On obtient ainsi un moyen de mesurer ε0 à partir de la mesure de C, S, et d.

1.7 Capacité en présence d’un diélectriqueUn diélectrique (ou isolant) ne contient que des charges liées. Lorsqu’il

est plongé dans un champ électrique ces charges se déplacent les unes parrapport aux autres (les charges positives subissant une force dirigée dansun sens et les charges négatives dans l’autre sens). Il se forme localementdes dipôles qui sont orientés dans le champ électrique. On parle de polarisa-tion induite. Certaines substances possèdent déjà des dipôles permanents. Enl’absence de champ extérieur, ceux-ci sont distribués de façon aléatoire. Dansun champ électrique, les dipôles s’orientent et l’on parle lors de polarisationd’orientation.

Dans les deux cas, le champ produit par les dipôles s’additionne vectoriel-lement au champ extérieur. Si le champ extérieur est E0 et le champ produitpar les dipôles E′, on aura pour le champ résultant :

E = E0 + E′ (1.23)

Pour tenir compte du champ résultant on introduit une grandeur ε que l’onappelle la constante diélectrique et qui caractérise le diélectrique.

Si l’on reprend le cas du condensateur plan, on montre que, en présenced’un diélectrique, la relation 1.22 devient :

C = ε0εS

d(1.24)

Il est à noter que ε est toujours supérieur à 1.

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2 Mesure absolue de capacité 9

2 Mesure absolue de capacité2.1 Méthode de Maxwell

Considérons le fait que :

1 F = 1 C/V = 1 As/V = 1 s/Ω

On doit donc pouvoir déterminer C par une mesure de temps et de résistance.La mesure s’effectue dans un dispositif semblable au pont de Wheatstone.

Fig. 2.1:

V : source de tensionRc = 2 kΩ résistance de protectionR2 = 100 ΩR3 = 1 MΩν = 100 Hz relais au mercure

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3 Plan de travail 10

Si ν est la fréquence de commutation, C se déchargera et se chargera ν foispar seconde.

Dans le condensateur circulera ν fois par seconde une impulsion de charge :Q = CV ′ (2.1)

où V ′ est la tension aux bornes du condensateur. (Il est clair que le tempsde charge respectivement de décharge doit être beaucoup plus petit que lapériode T ) :

T = 1ν

(2.2)

Par conséquent, il s’écoulera un courant moyenJ = νQ = νCV ′ (2.3)

Par analogie avec la loi d’Ohm on peut écrire :

J = 1RV ′ (2.4)

On voit que la branche qui contient le condensateur présente une résistanceéquivalente

R4 = 1νC

(2.5)

La condition d’équilibre du pont c’est-à-dire pour laquelle aucun courant netraverse le galvanomètre est :

R1R3 = R2R4 (2.6)En substituant dans l’équation 2.6 on trouve :

C = 1ν

R2

R1R3(2.7)

3 Plan de travail3.1 Détermination de ε0

1. Déterminer C∗ (voir remarque ci-dessous) pour 10 valeurs de l’écarte-ment d entre les armatures entre 1 et 10 mm. Choisir les valeurs de dtelles que les grandeurs 1/d soient équidistantes.

2. A partir des grandeurs géométriques du dispositif, tracer la courbeC∗ = f(1/d) et en tirer la valeur de ε0 ainsi que ∆C (régression li-néaire).

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3.2 Détermination de la constante diélectrique du PVC 11

3.2 Détermination de la constante diélectrique du PVC1. A l’aide des plaques de matière plastique (PVC) , mesurer la capacitéC∗ pour différentes distances d.

2. Tracer le graphe comme en 3.1 et en déduire la constante diélectriqueε du PVC.

Remarque : Il faut se rendre compte que le relais et les conducteurs dela branche qui contient le condensateur (fig. 2.1) représentent une capacitéparasite ∆C en parallèle avec la capacité C à déterminer. On mesure doncC∗.

On veillera donc à ne pas déplacer les fils tout au long des mesures afinde ne pas modifier ∆C, ce qui rendrait la régression linéaire inapplicable.

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