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1 Thierry Dias – décembre 2007 IUFM Lyon – Université Lyon 1 1 construire le nombre apprentissage et… difficultés Thierry Dias – décembre 2007 IUFM Lyon – Université Lyon 1 2 9 5 7 2 6 8 5 4 are you ready for an experiment ?

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Thierry Dias – décembre 2007

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construire le nombreapprentissage et… difficultés

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9 5 7 2 6 8 5 4

are you ready for an experiment ?

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Plan général

1. Le concept de nombre

2. Diverses conceptions de l’apprentissage

3. Repères didactiques

4. Quelques obstacles

5. Évaluer les difficultés

6. Les situations d’apprentissage

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le concept de nombre :

une relation triangulaire

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quantitéphysique*

symbolenumérique

motnombre

3

trois

le concept de nombre

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reconnaître unecollection et la

nommer

donner un sensau codagenumérique

savoir nommerles nombres qu'onlit et qu'on écrit

numération de position

codage et décodage

image mentale et cardinalité

3

trois

construire le concept de nombre

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numération de position

codage et décodage

image mentale et cardinalité

difficultés dans la construction du concept de nombre

système des bases

langue

comptage et dénombrement

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«tout sujet apprenant le nombre doit se poser naturellement les mêmes questions que ses inventeurs pour le comprendre»

histoire et épistémologie

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Le bâton d’Ishango20 000 à 25 000

source : http://dma.ens.fr.culturemaths

Un bâton qui parle ou que l'on fait parler ?

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représenter une quantité :

plusieurs "mêmes"

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représenter et simuler une quantité

vers l'abstraction des choses du réel

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représenter, et coder une quantité

écrire, garder en mémoire, communiquer

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faire évoluer le type de représentation

vers une formalisation adéquate

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vers la numération décimale

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Diverses conceptions de l'apprentissage

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Piaget, Szeminska, 1941

sujet

milieu(d'apprentissage)

équilibre

élément nouveau

assimilation

accommodation

organisation

équilibration

Stades de développement=

Stades d’apprentissages

exemple

pas d'exemple

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élément nouveau

organisation

équilibration

équilibrex existe si x > 0

assimilationest un nombre

i=1−

i

accommodationi² = -1

Avec ce nouveau nombre, il s’agit là, bel et bien, de la construction d’un nouveau monde de nombres aux vertus "extraordinaires".Celui des nombres imaginaires lorsqu'il sont seuls (5i), et celui des nombres complexes, lorsqu'ils sont associés aux réels (4 + 5i)

Ces nombres constituent un outil pratique pour résoudre des problèmes en électricité, en fait, partout où il y a du mouvement, des ondes.

Thierry Dias – décembre 2007

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Piaget, Szeminska, 1941

Trois opérations logiques élémentaires sont des pré-requis à la construction du nombre :

- la conservation et extension d'une collection

- la sériation des longueurs

- l'inclusion des classes

conception non numérique mais plutôt logico-pratique

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Piaget, Szeminska, 1941

Ceci permettant de définir les stades de développement connus :

1. le stade sensori-moteur (0 à 2 ans)

2. la période pré-opératoire(2 à 6 ou 7 ans)

3. le stade des opérations concrètes(6 ou 7 ans à 11 ou 12 ans)

4. le stade des opérations formelles (ou hypthético-déductif)

le bébé apprend à connaître le monde par les objets qu'il utilise

l'enfant peut se représenter certains actes sans les accomplir ; c'est la période du jeu symbolique

Thierry Dias – décembre 2007

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Piaget, Szeminska, 1941

Cette notion de stades d’apprentissages induit une conception « linéaire » de la construction de connaissances sur le nombre relative à l’âge des élèves.

Le nombre est ainsi au service de la construction du réel (en le quantifiant, en le mesurant) donc dépendant de l'accumulation d'expériences du sujet.

point de vue très empiriste

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On admet que la plupart des connaissances (savoirs et savoirs-faire) ne sont ni reçues du milieu par un organisme passif, ni-pré-programmées à la naissance de telle façon que le sujet se les appropriait nécessairement.

Ces connaissances sont construites par le sujet dans le cours de son activité.

L’apport de la psychologie cognitive : le constructivisme

Thierry Dias – décembre 2007

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La connaissance de la "comptine" numérique comme préalable.

L’importance de l’activité de comptage / dénombrement.

Cinq principes régissent le comptage.

Une autre approche : Gelman et Gallistel(années 80)

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Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

1. Principe de correspondance terme à terme: à chaque unité on doit faire correspondre un mot-nombre;

Coordonner le geste à la récitation : un mot par geste, pas plus, pas moins

un

deux

trois

quatre

cinq

Thierry Dias – décembre 2007

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2. Principe de suite stable: les mots nombres doivent toujours être récités dans le même ordre;

Mémoriser une suite de mots et la restituer de la même manière dans des contextes qui peuvent varier.

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

1

1

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3. Principe cardinal: le dernier mot nombre prononcé réfère à l’ensemble;

Accepter de conceptualiser contre une connaissance… donc de force, par répétition ou imitation

La question du combien…

1 2 3 45

5

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

= ?

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4. Principe d’indifférence de l’ordre: les unités peuvent être comptées dans n’importe quel ordre;

L'ordre des objets à dénombrer n'a pas d'importance alors que les mots qui servent dans cette situation sont en ordre !

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

En revanche, l'organisation spatiale des objets dénombrés revêt une importance qui peut s'avérer fondamentale.

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5. Principe d ’abstraction: toutes sortes d ’éléments peuvent être rassemblés et comptés ensemble.

2

2

Les cinq principes qui régissent le comptage (selon Gelman)

Thierry Dias – décembre 2007

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La place du calcul dans la construction du nombre

Deux thèses modernes concernant le calcul :

Brissiaud: le calcul* comme accélérateur d’apprentissage du comptage, donc la nécessité de développer des compétences dès le plus jeune âge.

Gelmanet bien d’autres… : le comptage doit précéder les activités de calcul (en référence aux cinq principes).

* attention, le calcul dont parle Brissiaud n’est pas l’algorithme de l’addition par sur-comptage, mais plutôt la perception d’une quantité par la somme de ses parties (voir les constellations, les livres à compter…)

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Les apports de la recherche récente (neurosciences)

unité de Neuroimagerie cognitive - http://www.unicog.org

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Des capacités numériques sont repérables chez le nourrisson dès l'âge de 6 mois: discrimination perceptive, addition et soustraction de petites quantités.

Des capacités que le petit d'homme partage avec ses semblables : singes, dauphins, oiseaux… pas de quoi pavoiser !

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Les régions cérébrales concernéespar le calcul et la manipulation des quantités ne sont pas toujours les mêmes (le diagnostique de la dyscalculie s'en trouve compliqué).

Rôle prépondérant du langagecomme désignation dans la construction du principe de cardinalité, mais indépendance du système de construction de la numérosité.

Thierry Dias – décembre 2007

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quelques conclusions de la recherche :

1. Il existe des régions cérébrales associées à l'intuition numérique

2. L'intuition des nombres est présente chez l'animal et le très jeune enfant, nous l'héritons de milliers d'années d'évolution.

3. Seule l'espèce humaine, par le langage et le symbolisme arrive à dépasser l'approximation pour aller vers le calcul exact.

4. Des lésions précoces peuvent perturber l'intuition du nombre.

Stanislas DEHAENE, novembre 2007

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quelques applications pour l'éducation :

1. Avant leur entrée à l'école, les jeunes enfants possèdent déjà des intuitions mathématiques profondes qui doivent être utilisées comme socle des apprentissages : utilisation des bouliers et des doigts.

2. Le sens du nombre précède et guide le calcul exact, mais les deux doivent être entraînés.

3. L'utilisation des jeux est recommandable en tant que situation d'apprentissage.

Stanislas DEHAENE, novembre 2007

et ne pas oublier que :

l'apprentissage n'est pas un modèle générique mais spécifique

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Quelques obstacles

numériqueslogiques

psychologiques

vous avez dit dyscalculie ??

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règles du langage (spécificité du français)

numération et compréhension des bases

problèmes de chiffres : transcodage

difficultés de la numération de position

la question du zéro

quelques obstacles…

dimension numérique

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yiersan shi shi yishi er shi san er shi er shi yi er shi er er shi san

one two three ten eleven twelve thirteen twenty twenty-one twenty-two twenty-three

un, une deux trois dix onze douze treize vingt vingt et un vingt-deux vingt-trois

1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23

Chinois AnglaisFrançais

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http://www.oppa-montessori.net

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dimension logique

Moteur des démarches = mobilité de pensée• le parcours de tous les possibles• le respect des cheminements inter-individuels• l’acceptation de toute pensée• la proposition de problèmes impossibles

Contenus des structures logiques :• la combinatoire• la logique des classes• la logique des relations• la logique des transformations

quelques obstacles…

logique = science qui étudie les raisonnements et les valeurs de vérités des propositions.

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dimension psychologiquequelques obstacles…

• Images positives ou négatives: du savoir, de ceux qui sont porteurs du savoir, des lieux où le savoir s’acquiert, liées aux attentes sociales (familles, …) : => images de soi valorisantes ou dévalorisantes• Pourquoi un rapport négatif aux maths: absence de sens des apprentissages, accent sur l’arithmétique et la formalisation, activités concrètes artificielles et non significatives, mémoire plus sollicitée que la construction de sens :

=> impression de ne rien comprendre=> construction d’une image de soi négative

• Vision des mathématiques biaisée: place des maths dans la société, conception élitiste d’un monde abstrait et non accessible à tous :

=> développement de croyances (bosse des maths)

=> développement de stéréotypes (les hommes sont meilleurs en maths que les femmes)

Réussir ou échouer en maths, c’est être situédans un certain rapport aux maths

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la question de la dyscalculie

La dyscalculie n’est pas un concept uniformedans la communauté scientifique, clinique ou scolaire.

Dans la continuité des troubles acquis du calculobservés chez l’adulte cérébro-lésé, les termes dyscalculieou acalculieseraient plutôt réservés chez l’enfant à l’incapacité d’effectuer des opérations formelles (calcul), d’utiliser et d’intégrer les symboles numériques sans trouble de raisonnement associé.

On doit reconnaître toutefois que ces troubles spécifiques isolés sont très rares et d’autres troubles y sont presque toujours associés.

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la question de la dyscalculieDSM-IV :

trouble du calcul

1. retard significatif dans les tests standardisés de mathématiques par rapport à l’âge développemental;

2. interférence avec la réussite scolaire;

3. ne s’explique pas par un déficit sensoriel

Le problème peut donc coexister avec d’autres affections.

diagnostic and statistical manual of mental disorders

Classification statistique internationale des maladies et des problèmes de santé connexesCIM 10 :trouble spécifique de l’acquisition de l'arithmétique

Altération spécifique des performances en arithmétique, non imputable exclusivement à un retard mental global ou à une scolarisation inadéquate. L'altération concerne la maîtrise des éléments de base du calcul : addition, soustraction, multiplication et division.

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Malgré une avancée certaine des études lors des dernières années, les perturbations des mécanismes cognitifs à la base de la dyscalculie, comme pour la dyslexie, sont encore objets d’études et leur inclusion dans les définitions du trouble paraît prématurée.

Dans la définition de la dyscalculie, comme dans celle des autres troubles des apprentissages, une pédagogie inadaptée vaut critère d’exclusion. Or, l’apprentissage des mathématiques serait plus lié au type de pédagogie, notamment à la façon dont les conceptssont présentés, que les autres apprentissages. Selon un certain nombre de cliniciens et chercheurs, le facteur étiologique prédominant dans le retard en mathématiques serait un enseignement insuffisant.

Dyslexie, dysorthographie, dyscalculie Bilan des données scientifiquesRapport INSERM 2007

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Trouble spécifique du calculLes troubles spécifiques du calcul et/ou de l’arithmétique ont fait l’objet demoins d’études que la dyslexie (Shalev et coll., 2000). En général, le termede dyscalculie développementale se réfère à un trouble des compétencesmathématiques présent chez des enfants avec une intelligence normale(Temple, 1997). La CIM-10 définit des critères diagnostiques du Troublespécifique de l’acquisition de l’arithmétique (tableau 6.IV).

Tableau 6.IV : Critères diagnostiques du Trouble spécifique de l’acquisition de l’arithmétique selon la CIM-10

• La note obtenue à un test standardisé de calcul se situe à au moins deux écarts-types en dessous du niveau escompté, compte tenu de l’âge chronologique et de l’intelligence générale de l’enfant• Les notes obtenues à des épreuves d’exactitude et de compréhension de la lecture, ainsi que d’orthographe se situent dans les limites de la normale (± deux écarts-types par rapport à la moyenne)• L’absence d’antécédents de difficultés significatives en lecture ou en orthographe

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Quelques stratégies pour lutter contre les symptôme s de la dyscalculie (une étude américaine de 2006)

Outils d'apprentissage pour l'élève�Permettre l'utilisation des doigts�Permettre la multiplication des écrits de recherche�Permettre l'utilisation de l'ordinateur pour l'entraînement et l'étude�Suggérer l'utilisation de papiers spéciaux : millimétré, quadrillé…

Démarche et méthode de travail�Traduire en dessin les mots d'un énoncé problématique�Favoriser la manipulation pour expérimenter�Utiliser des procédés mnémotechniques

Stratégies d'enseignement�Utiliser les schémas et les graphiques pour l'explication�Favoriser les aides possibles par des pairs�Diversifier les techniques de communication écrite (couleurs…)�Utiliser le rythme et la musique pour enseigner certaines notions mathématiques

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- Entendre l’élève (ne pas s’arrêter à la réponse, faire expliciter le cheminement (entretien d’explicitation sur « comment » plutôt que sur « pourquoi », afin de voir si l’élève évoque une règle ou une « connaissance en acte ». - Essayer de comprendre (faire des hypothèses sur les origines de son cheminement, le référer à un cadre interprétatif théorique - Aider l’élève à prendre conscience de son processus (ne pas le centrer uniquement sur la réponse, le faire expliciter à d’autres) - Aider à prendre conscience de l’existence d’autres processus possibles (explicitations mutuelles, formulations orales ou écrites) - Provoquer des conflits socio-cognitifs (pointer les idées opposées, les mettre en débat, inciter à la recherche d’une vérité, indépendante de l’adulte) - Provoquer des conflits cognitifs (situation problème, validation indépendante du maître)

Quelques stratégies pédagogique pour lutter contre les symptômes de la difficulté en mathématique…

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Repères didactiques

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Une solution au dilemme :

Le nombre outilet la problématisation…

apprendre en...

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apprendre en résolvant des problèmes

Les connaissances1 du sujet se construisent à travers des actions finalisées2 c'est à dire permettant de résoudre un problème, de répondre à une question dans une situation qui a du sens pour le sujet dès le départ ou dont le sens apparaît très vite au cours de la résolution.

2 : véritables activités de recherche et pas seulement de manipulation

1 : savoir, savoir-faire, conceptions et représentations

Thierry Dias – décembre 2007

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Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 5 ?

L’escalier ci-dessous est construit avec 15 pavés et il a cinq marches.

Quel nombre de marches aurai-je à monter si l’escalier était construit avec 120 pavés ?

1

2

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apprendre en remettant en cause des connaissances antérieures:

Les connaissances ne s'entassent pas, ne s'accumulent pas. Elles ne se construisent pas de façon linéaire et continue. Leur élaboration est soumise à des ruptures.

"On placera les élèves dans des situations qui permettent de provoquer un conflit."

Thierry Dias – décembre 2007

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La monnaie de la pièce...Trois jeunes gens prennent leur petit déjeuner dans un bar. Ils doivent payer 30 euros et donnent chacun une pièce de 10 euros. La patronne, charmante, décide de leur faire une réduction de 5 euros.Le serveur prend donc 5 pièces de 1 euro, mais, ne pouvant les partager en trois il décide subrepticement de glisser 2 euros dans sa poche et donne généreusement une pièce de 1 euro à chacun des trois jeunes gens.

Finalement chacun a payé (10 - 1) euros, donc 9 euros. En ajoutant les 2 euros du serveur, on obtient ((9 x 3) + 2) euros soit 29 euros.MAIS nous avions 30 euros. Où est donc passé le dernier euro?

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Thierry Dias – décembre 2007

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apprendre en dépassant ses erreurs

Identifier ses erreurs et les analyser pour pouvoir les corriger se fait grâce à la médiation de l’autre.

L'erreur est « normale »; c'est une forme de connaissance. Elle est constitutive de l’apprentissage.

Thierry Dias – décembre 2007

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apprendre en faisant fonctionner, en répétant

Apprendre ne se fait pas en une seule fois (ou très rarement). Apprendre c'est aussi recommencer, revenir en arrière, donc répéter, mais en comprenant ce que l'on fait et pourquoi on le fait.

"La répétition mécanique d'actes dépourvus d'intentionnalité ou de sens ne saurait être génératrice d'acquisition d'un savoir-faire réellement maîtrisé (et cela en particulier pour les enfants en difficulté)."

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Thierry Dias – décembre 2007

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apprendre en communiquant avec d'autres

Apprendre ne se fait pas tout seul, mais dans un contexte d'interactions sociales.

D'où l'importance du travail en groupe dans les classes. "Les seules actions que les enfants imitent sont celles qu'ils peuvent déjà faire parfaitement bien." J.Bruner

Le contexte de ce dispositif de travail renforce le rôle essentiel de médiation de l'adulte.

Thierry Dias – décembre 2007

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apprendre en utilisant

Dans la programmation des apprentissages

visant la construction du nombre, la fonction outil

est à privilégier sur la fonction objet.

La formalisation du signe et la mise en évidence du concept n’a de sens qu ’après sa mise en œuvre répétée dans des contextes différents.

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ENIGME 1 : L'anniversaire d'OlgaOlga veut organiser un repas dans son jardin à l'occasion de sonanniversaire. Elle aimerait inviter sa famille et des amis. Elle a donc loué 6 tables de jardin qui ont toutes la même forme et la même taille : Elle peut assembler les tables seulement en respectant la règle suivante : un petit côté doit toujours toucher un autre petit côté, un grand côté doit toujours toucher un autre grand côté.

En utilisant toutes les tables, quel est le plus grand nombre d'invités qu'Olga peut avoir ? Quel est le plus petit nombre d'invités possible.

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De combien de façon différentes pouvez-vous arranger les tables ?Combien de personnes peuvent s'asseoir dans chaque arrangement trouvé ?Quels sont le plus petit et le plus grand nombre d'invités possible ?Entre le minimum et le maximum, si l'on compte consécutivement, y a-t-il des nombres d'invités impossibles ?Y a-t-il plus d'un arrangement possible pour un nombre d'invités donnés ?Si la famille aime les arrangements symétriques, peut on arranger les tables de façon symétrique pour chaque solution trouvée ?

ENIGME 1 : L'anniversaire d'Olga

de l'énigme à la construction d'une situation d'apprentissage

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Évaluer les difficultés

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QUOI ?• connaissance de la comptine

- jusqu'où?- stabilité?- erreurs? (omissions, régularités récurrentes,...)

• recours spontané au dénombrement• maîtrise du dénombrement

- synchronisation entre geste et récitation de la comptine- organisation- réponse par le dernier mot énoncé

• constitution d'une collection de cardinal donné • lecture des nombres • successeur d'un nombre (si on ajoute un élément à une collection dénombrée, le nombre d'éléments est le nombre suivant dans la comptine).

repérer les compétences et les difficultés de chacu n.

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COMMENT ?

• observations au cours de différentes activités

• entretiens individuels

• observations en contexte collectif

repérer les compétences et les difficultés de chacu n

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Que faire des données observées :

Organiser la re-médiation

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Évaluation préalable

Situations

d’apprentissages

Activités conjointesde structuration

Activités conjointescomplémentaires de

re-médiation

détour

Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001

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Les principes du détourLes principes du détour

• Faire un détour prend du temps.

Évaluation préalable

Situations d’apprentissages

activités de re-médiation

détour

Thierry Dias, Montpellier, novembre 2001

• Le détour est un autre chemin.

• Le détour est accompagné.

• Le détour ramène sur le chemin principal.

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Connaissance de la comptine orale

Comptine stable jusqu'à : ………………………………………………………………………..Erreurs repérées : ………………………………………………………………………………..

Connaissance de la comptine écrite

Erreurs repérées : ………………………………………………………………………………..

repérer les compétences et les difficultés de chacu n

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repérer les compétences et les difficultés de chacu n

Recours au dénombrement

Dans la situation problème proposée (aller chercher des crayons pour un nombre d'élève donné) repérer si :

→L'élève a recours au dénombrement

→L'élève apporte en un voyage un lot de crayons approximatif

→L'élève apporte en un voyage tous les crayons

→L'élève tente d'organiser les collections

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repérer les compétences et les difficultés de chacu n

Maîtrise du dénombrement

1. "Combien de ?" (collection d'objets réels dont le cardinal est choisit dans le domaine de connaissance de l'élève).

→L'élève à recours au dénombrement

→synchronisation des gestes et de la récitation de

la comptine

→organisation du dénombrement

→maîtrise du principe de cardinalité

→L'élève a recours à une estimation

→L'élève ne réagit pas

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Maîtrise du dénombrement

2. "Combien de ?"

(collection d'objets représentés, stylo ou crayon disponible)

→L'élève à recours au dénombrement

>synchronisation des gestes et de la récitation de la comptine

>organisation du dénombrement (par ajout de dessin)

>maîtrise du principe de cardinalité

→L'élève a recours à une estimation

→L'élève ne réagit pas

repérer les compétences et les difficultés de chacu n

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Maîtrise du dénombrement

3. +n ; -n

Lors de l'ajout puis du retrait de n éléments à la collection :

→L'élève à recours au recomptage complet de la

collection

→L'élève utilise un procédé de sur-comptage

→L'élève effectue une opération mentale

repérer les compétences et les difficultés de chacu n

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Constitution d'une collection de cardinal donné

On demande à l'élève de prélever ("donne moi") n objets réels pris dans une collection plus grande.

→L'élève s'arrête au terme du dénombrement des n objets

en déclarant qu'il a terminé

→L'élève dénombre tous les objets jusqu'à épuisement des

objets (ou de ses compétences)

→L'élève s'aperçoit qu'il a oublié ce qu'on lui avait

demandé

→L'élève donne un tas sans dénombrer

repérer les compétences et les difficultés de chacu n

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Maîtrise de l'aspect ordinal

On utilise un jeu de cartes-nombres et une piste incomplète.

→L'élève sait replacer les cartes dans l'ordre croissant

→L'élève sait placer les cartes dans l'ordre décroissant

→L'élève sait compléter la bande numérique à trous

1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun

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Comparaison de collections

À faire avec des objets réels puis avec des objets représentés.

1. Comparaison de collections très différentes

→L'élève donne une réponse immédiate

→L'élève dénombre chaque collection

→L'élève utilise la correspondance terme à terme

2. Comparaison de collections peu différentes

→L'élève donne une réponse immédiate

→L'élève dénombre chaque collection

→L'élève utilise la correspondance terme à terme

1.1 repérer les compétences et les difficultés de chacun

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Les situations d'apprentissage

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Le coloredo

Il s’agit d ’utiliser un jeu du commerce constitué de plaques en plastiques, de jetons de 4 couleurs pouvant s ’encastrer sur les plaques et de modèles de dessin se glissant sous les plaques.

Les nombres pour mémoriserLes nombres pour mémoriser

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75Les nombres pour mémoriserLes nombres pour mémoriser

Le coloredo

Phase 1 : action-manipulation

-> constituer une expérience sensible

consigne : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires.

Chaque binôme reçoit une plaque, un dessin. Il faut regarder le dessin avant d ’agir. Comme les jetons ne sont pas à la disposition immédiate des joueurs, il faut se déplacer.

A ce stade, la question du combien ne doit surtout pas être évoquée par le professeur, il s'agira seulement de faire décrire les démarches des élèves au moment de la mise en commun.

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Phase 2 : où l'on commence à donner de l'importance à la formulation

consigne : aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.

Comme un seul voyage est toléré, la commande doit être vérifiée au retour par la mise en place des jetons.

Lors de la mise en commun de cette phase, c'est la question de la mémorisation qui devient essentielle : quelles démarches, procédures…

Le coloredo

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Phase 3 : remplir un bon de commande puis aller chez le magasinier afin de ramener les jetons nécessaires en un seul voyage.

BON de commande

….. Jetons rouges

….. Jetons bleus

….. Jetons jaunes

….. Jetons verts

signature :

Le coloredo

A ce stade du jeu, la question de la validation prend tout son intérêt. C'est bien le recours aux nombres qui permettra d'expliquer les erreurs, mais aussi de faire un certain nombre d'anticipations.

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Le coloredo

Cette situation représente une situation fondamentale d’utilisation des nombres. En effet, l’élève qui s’y engage se trouve dans l ’obligation d’utiliser les nombres et de prendre conscience du rôle de ces nombres, de ce à quoi ils servent.

La règle lui est tout à fait compréhensible : apporter le nombre nécessaire et suffisant d ’objets en une seule fois. Ainsi, l ’élève peut se lancer dans l ’action quelles que soient ses connaissances sur le nombre.

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Cette situation d'apprentissage permet à l ’élève de :- contrôler son action et recevoir le contrôle des autres,- débattre avec eux de la qualité de son résultat;- de recommencer de lui-même autant de fois qu’il le souhaite;-de décider seul ce qu ’il choisit d ’entreprendre.

Cette situation permet enfin au maître d ’organiser de très nombreux problèmes de difficultés progressives, elle est a-didactique car elle valide les propositions des élèves sans recours à la parole de l’enseignant.

Le coloredo

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La bande numérique

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

12345678910

10 20 301 11 21 312 12 22 323 13 23 334 14 24 345 15 25 356 16 26 367 17 27 378 18 28 389 19 29 39

Désignation et sens des nombresDésignation et sens des nombres

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Les jeux de loto

Le support proposé dans un jeu de loto est très riche dans les possibilités qu ’il offre concernant le travail sur la numération ordinale.

De nombreuses variables didactiques peuvent s ’envisager :

- nombre de cases par carton,

- choix du corpus de nombre utilisé,

- dispositif social de jeu,

- règle du jeu variable (exemple : on joue avec un seul carton et une liste de nombres)

Désignation et sens des nombresDésignation et sens des nombres

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Les livres à compter

Fabriquer un album à compter : les étapes du projet

1. Analyse de quelques livres avec les élèves 2. Construction d'une grille

-corpus des nombres, -désignations utilisées pour les nombres-présence d'une histoire, -questions associées, -rangement des nombres.

3. Organisation des présentations•Prise de décision et choix du dispositif •Le partage des tâches et la régulation du projet •La réalisation matérielle et la pluri-disciplinarité •L'assemblage et le contrôle de la validité mathématique

4. La présentation et la décontextualisation

Désignation et sens des nombresDésignation et sens des nombres

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Chansons et comptines numériques

Ne pas négliger l’usage des comptines ou chansons, anciennes ou récentes, dans lesquels on trouve des nombres. Elles sont dites pour le plaisir des mots ou des rimes, pour le plaisir de dire dans l ’ordre.

On peut faire un choix qui privilégie des variétés dans l ’ordre proposé des nombres.

Désignation et sens des nombresDésignation et sens des nombres

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Les calendriers

CALENDRIERS PERPETUELS : ces calendriers mettent l'accent sur la suite des nombres, l'écriture du nombre suivant ou du précédent ainsi que l'algorithme des écritures."Tiens, hier c'était le 23, et aujourd'hui on est le 24, le 2 est encore là..."

ETIQUETTES: il s'agit ici de reconstruire la date avec 4 sortes d'étiquettes (nom des jours, nombres de 1 à 31, nom des mois et numéro de l'année) soit en partant de la date de la veille encore affichée, soit en ne partant de rien. Dans le premier cas on travaille l'idée de nombre suivant ou précédent; dans le deuxième cas c'est la mémoire des informations de la veille qui est sollicitée.

EPHEMERIDES: c'est l'aspect quantitatif qui est privilégié ici, surtout si les feuilles enlevées sont collées, soit sur une bande chronologique de plus en plus grande (pendant que le paquet de feuilles s'amenuise), soit sur un tableau qui permet d'observer l'organisation des écritures chiffrées des nombres.

Désignation et sens des nombresDésignation et sens des nombres

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Le Le sudokusudoku

Une grille de Sudoku se compose de neuf carrés de 3x3 cases. Au sudoku, ces carrés sont appelés "régions". Le but du jeu est de compléter la grille afin que chaque ligne, chaque colonne et chaque région contienne tous les chiffres de 1 à 9 une fois et une seule. Aucune culture mathématique n’est nécessaire, juste un peu de logique et de patience !

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26

51

37

20

46

18

39

33

Les jeux de mémoireLes jeux de mémoire

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Des Des sudokusudoku

un lien incontournable : http://www.gap.ien.05.ac-aix-marseille.fr/rre/article.php3?id_article=1262

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Des jeux pour apprendre à chercherDes jeux pour apprendre à chercher

Pourquoi des situations de recherche

- Une énigme, un obstacle

→ une situation qui fait sens

- Parler, argumenter

→ vers la construction d’un concept

- Échanger

→ apprendre à plusieurs voix

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L’ESCALIER DES DIFFERENCES

Des jeux pour apprendre à chercherDes jeux pour apprendre à chercher

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LES CINQ TETRAMINOSLES CINQ TETRAMINOS

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TRIANGLE MAGIQUETRIANGLE MAGIQUE

Placer les six nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans les cases pour que la somme des trois nombres soit égale à 10 sur chacun des côtés du triangle.

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Bibliographie autour de la construction du nombre

- Comptes pour petits et grands (Baruk, Magnard, guide pratique)- L'enfant et le nombre (M. Fayol - Delachaux et Niestlé - 1990) - Partager, c'est compter (O.Frydman - La Recherche - n°215 - 1989) - Le développement du concept de nombre chez le jeune enfant (M-P Chichignoud- Revue Grand N n° 36, IREM de Grenoble) - Comment les enfants apprennent à calculer (R. Brissiaud - Retz) - Calcul ou comptage ? Calcul et comptage (R.Charnay - Revue Grand N n°50)

- Apprentissages numériques en grande section (ERMEL - Hatier 1990) - Apprentissage numérique au CP (ERMEL - Hatier 1991) - Compte sur moi (Magnard 2001, CP et CE1)- Activités de partage en maternelle (Revue Grand N n°33) - "Jeux numériques et élaboration de règles à l'école maternelle" et "Jeu du loup et de l'escargot" (Revue Grand N n°46) - Deux oiseaux dans chaque nid (GS - Revue Grand N n° 48) - Du rite de l'appel... à des activités mathématiques en grande section d'école maternelle (Revue Grand N n°51) - Livres à compter (Revue Grand N n° 52) - La préparation des ateliers "jeux de société" en grande section (revue Grand n°55)