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Construirelenombreaucycle2
Estimerdesgrandeurs
Plandel’intervention
• L’esprit,lesenjeuxdesprogrammesducycle2• Quelquesaspectsdelaconstructiondunombre,chezletout-petit,apportsdesneuro-sciences
• Lenombreàl’écolematernelle• Laconstructiondunombreetdesgrandeursaucycle2• Leconceptd’estimation
Lesmathématiquesaucycle2–l’espritdesprogrammesAuCycle2,onnecessed’articulerleconcretetl’abstrait.Observeretagirsurleréel,manipuler,expérimenter,toutescesactivitésmènentàlareprésentation,qu’ellesoitanalogique(dessins,images,schématisations),ousymboliqueabstraite(nombres,concepts).Lelienentrefamiliarisationpratiqueetélaborationconceptuelleesttoujoursàconstruireetreconstruire,danslesdeuxsens.
Lesenjeuxd’enseignementdesmathématiquesCycle2
Généralités Sixcompétencesmajeuresenmathématiques:chercher,modéliser,représenter,raisonner,calculer,communiquerLarésolutiondeproblèmeestaucentredel’activitémathématique,développantlescapacités àchercher,raisonneretcommuniquer.Lesproblèmesdoiventêtreancrésdansleréel,certainspeuventêtreproposéspourapprendreàchercher.Leurrésolutionpermetl’introductionprogressivedeformesconventionnelles.Lessituationsd’actionpermettentdedonnerdusensauxapprentissages.Importancedesstratégiesexplicites
Nombresetcalculs
Constructionetconnaissancedunombreetducalcul,enappui surlarésolutiondeproblèmes.Ceux-ciportentd’abordsurdesobjets,puissurdessituationsplusabstraites.Leconceptd’estimationestàtravailleraveclesélèves,pourpoursuivrelaconstructionduconceptdenombreamorcéàl’écolematernelle.Etudedesrelationsinternesauxnombres.Encalcul,privilégierlecalculmental,lecalculréfléchietlecalculenligneaucalculposé.Lesnombresinférieursà1000sontlefondementdelanumérationdécimale,ilsdoiventdoncêtreparticulièrementtravaillés(jusque10000auCE2).LadivisioneuclidienneàunchiffreestabordéeauCE2,maispaslatechniqueopératoire
Lesenjeuxd’enseignementdesmathématiquesCycle2
Grandeursetmesures
Comparaisond’objetspourl’appropriationdepropriétésetd’unlexiqueNotiond’unitéfondamentaleProblèmesliésàdessituationsvécuesquipermettentderéinvestirettransférerdescompétencessurlesnombresetlescalculsRôledel’estimationdesgrandeursetdesmesurespourdonnerdusensDuréesenlienavecsesituerdansletemps
Espaceetgéométrie
Apprendre àserepéreretàsedéplacerdansl’espace,àpartirdesituationsconcrètesenlienavecd’autresenseignementsetdeproblèmes.Localiserdesobjets,décrireouproduiredesdéplacements.Développementprogressif,enfonctiondesbesoins,dereprésentationssymboliquespourquel’espacesoitmisenrelationavecdesreprésentationsgéométriques.ConnaissancedesolidesàpartirdemanipulationsetdefabricationsReproductiondefigurespourameneràlagéométrieplane.SymétrieaxialeImportancedulangagemathématique:vocabulaireprécis
Quelquesaspectsdelaconstructiondunombrechezlestout-petitsExtraitd’unentretiendeMichelFAYOL,2012• Lesrechercheseffectuéescesvingtdernièresannéesmontrentquelesêtreshumainsviennentprobablementaumondeavecunecapacitédetraitementdesquantités.Cetraitementpourraits’effectuerdedeuxmanièresdifférentes:uneidentification despetitesquantités(1,2et3)ainsiqu’unepossibilitédedifférencierdegrandesquantités(8et16)enfonctiondeleurrapport(deunsurdeux).
• Pourautant,uncertainnombred’enfantsrencontrentdesdifficultésimportantesaucoursdesapprentissagesarithmétiques.L’hypothèseactuelleestquelesdifficultéssontsoulevéesnonpasparletraitementdesquantitésmaisparl’acquisitiondessystèmessymboliquesqui,seuls,permettentunemanipulationprécisedesquantitésquiouvrelavoieauxmathématiques.
Apportdesneuro-sciences –StanislasDehaene,VéroniqueIzard• Nouspossédonsdèslanaissancelafacultédepercevoirlesensdesnombresetd’avoiruneimpressionimmédiatedesquantités(caractèreinné)
• Enprésentantàdesbébésdemoinsde3moisunesuccessiond’imagesreprésentantunecertainequantitéd’objets(4canards,8canards),onenregistreunemodificationdel’activitécérébrale,attestantlaperceptionintuitivedesdifférencesdequantités
• Uneautreexpérience,surdesnourrissons:enfaisantentendreunerépétitiondesyllabespuisenmontrantuneimageillustrantunequantitéd’objetscorrespondantounonaunombredesyllabesénoncées,lesnouveauxnésfixentbeaucouppluslongtempslesimageslorsquelesquantitéscorrespondent
• L’intuitionnumériqueestuniverselle:onlaretrouvedanscertainessociétéshumainesdanslesquellesiln’yapasd’enseignementdesmathématiques,oudemotspourexprimerdesquantités
Apparitiondulangageetconstructiondunombre• Lenombrepermetd’exprimertoutequantitéavecprécision• Ilpermetaussidegarderenmémoireunequantité• Attentioncependant:larécitationdelasuitedesnombrenegarantitpas,chezungrandnombred’enfants,lamiseenrelationaveclavaleurcardinale.
• Desdifficultés,précoces,liéesàl’irrégularitédusystèmefrançais
Enmaternelle,danslesnouveauxprogrammesConstruirelenombrepourexprimerlesquantités
Unnouveaudomained’apprentissage:Construirelespremiersoutilspourstructurersapensée• Construirelenombrepourexprimerlesquantités
• D’abordl’estimation (plus,moins,pareil,beaucoup,pas)• Del’apparenceàlapriseencomptedesquantités• Comprendreleprinciped’abstraction• Nepasoublierdécompositionsetcompositions• Progressivité:lestroisannéespeuventêtreinsuffisantes
Aucycle2,nombreetcalculs.Unenjeupremier,lapoursuitedelaconstructiondunombre• Laconnaissancedesnombresetducalculestunobjectifmajeurducycle2.Ellesedéveloppeenappuisurlesquantitésetlesgrandeurs.
• Desrésolutionsde problèmes contextualisés :dénombrerdescollections,mesurerdesgrandeurs,repérerunrangdansuneliste,prévoirdesrésultatsd'actionsportantsurdescollectionsoudesgrandeurs(lescomparer,lesréunir,lesaugmenter,lesdiminuer,lespartagerenpartségalesouinégales,cherchercombiendefoisl'uneestcomprisedansl'autre,etc.).Cesactionsportentsurdesobjetstoutd'abordmatérielspuisévoquésàl'oralouàl'écrit ;letravailderechercheetdemodélisationsurcesproblèmespermetd'introduireprogressivementlesquatreopérations(addition,soustraction,multiplication,division).
• L'étudederelationsinternesauxnombres :comprendrequelesuccesseurd'unnombreentierc'est« cenombreplusun »,décomposer/recomposerlesnombresadditivement,multiplicativement,enutilisantlesunitésdenumération(dizaines,centaines,milliers),changerd'unitésdenumérationderéférence,comparer,ranger,itérerunesuite(+1,+10,+n),etc.
• L'étudedesdifférentesdésignationsoraleset/ouécrites :nomdunombre ;écritureusuelleenchiffres(numérationdécimaledeposition) ; double de,moitié de, somme de, produit de ; différence de, quotient et restede ;écrituresenligneadditives/soustractives,multiplicatives,mixtes,enunitésdenumération,etc.
• L'appropriationdestratégiesdecalcul adaptéesauxnombresetauxopérationsenjeu.Cesstratégiess'appuientsurlaconnaissancedefaitsnumériquesmémorisés(répertoiresadditifetmultiplicatif, connaissancedesunitésdenumérationetdeleursrelations,etc.)etsurcelledespropriétésdesopérationsetdelanumération.Lecalculmentalestessentieldanslaviequotidienneoùilestsouventnécessairedeparvenirrapidementàunordredegrandeurdurésultatd'uneopération,oudevérifierunprix,etc.
Ledomainegrandeursetmesuresestrenforcé• Lesélèvessontamenésàcomparerdesobjetsoudesphénomènesenutilisantdesnombres.Àtraversdesactivitésdecomparaison,ilsapprennentàdistinguerdifférentstypesdegrandeursetàutiliserlelexiqueapproprié :longueurs(etrepéragesurunedroite),masses,contenance(etvolumecontenu),durées(etrepéragedansletemps),prix.Lacomparaisondegrandeurspeutêtredirecte,d'objetàobjet(juxtaposerdeuxbaguettes),nécessiterlacomparaisonàunobjetintermédiaire(utiliseruntroisièmerécipientpourdéterminerlaquellededeuxbouteillesalaplusgrandecontenance)ouàplusieursobjetsdemêmegrandeur(mettreboutàboutplusieursbaguettesidentiquespourcomparerleslongueursdedeuxlignestracéesausol).Ellepeutégalementreposersurlacomparaisondemesuresdesgrandeurs.
• Estimerlesordresdegrandeurdequelqueslongueurs,massesetcontenancesenrelationaveclesunitésmétriques.
• Vérifieréventuellementavecuninstrument.• Ordresdegrandeurdesunitésusuellesenlesassociantàquelquesobjetsfamiliers.• Rapportstrèssimplesdelongueurs(doubleetmoitié).
• Exemplesdesituations:àvueouparmanipulation,proposeruneestimationdelamesured'unegrandeurattachéeàunobjet,avantconfrontationavecd'autresapproches.
Constat:toujourslamêmechose!- Calculerdemanièreexacteouapprochée- Parveniràunordredegrandeurdurésultat- ContrôlerlavraisemblancedurésultatMaisdunouveauaussi:- Lenombreesttraitéetmêmedéfinicommeunegrandeur- Lesactivitésdegrandeursetmesuressontmisesenavant
L’estimationdanslesnouveauxprogrammes
Lesopérations
• Travailler d’abord l’estimation et l’ordre de grandeur(analogie avec les grandeurs et mesures)
• Différer au maximum les techniques opératoires(contre productives, voire nocives), stopper lesalgorithmes pour établir le sens du nombre grâce auxrelations mentales (équilibre à redonner au calculmental et au calcul réfléchi)
Desexemplesd’activité
ActivitéàfaireauvidéoprojecteurouauTNI
ExempleissudelapropositionArithmétiqueetcompréhensionàl’écoleélémentaireACEdel’ESPEdeBretagne
Estimation jusqu’à 12Avec règle de réponse graduée
A
B
0 12
120
A
B
0 12
120
A
B
0 12
120
A
B
0 12
120
Quelquesprécisionsdevocabulaire: - Estimation :unprocessus- Approximation :unrésultat- Arrondir :unetechnique
Pourquoidemanderauxélèvesd’estimeretdedonneruneapproximation?Aumoins3raisons:- L’estimationetlecalculapprochépermettentd’anticiperlerésultatattenduoudevérifierunrésultatcalculé…Ondevraitapprendreauxélèvesàtoujoursestimerlerésultatrecherché- Danslaplupartdesproblèmes,l’estimationestsuffisante.Lecalculexactesttropcoûteuxetsourced’erreurs…Ondevraitapprendreauxélèveslerôleetl’importancedel’estimation
Lerôledel’estimationdanslesapprentissagesarithmétiques
L’estimationestindispensableàl’aisanceencalculmental:
L’aisance à manier les faits arithmétiques et les stratégies decalcul mental sont essentielles à l’estimation. Et inversement !
Une pratique continue en estimation de calcul est indispensable
L’estimation de calcul est une activité mentale qui nécessite doncune pratique régulière accompagnée du partage de stratégies.Dans les programmes : calculer mentalement pour obtenir unrésultat exact ou évaluer un ordre de grandeur