Contact Hertzien

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    14-Dec-2014

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<p>SommaireI.Problme de Hertz, approche analytique..................................................................................2 1.Hypothses de Hertz ...........................................................................................................3 2.Rsultats...............................................................................................................................3 II.Approche numrique, rsolution du contact Hertzien avec Abaqus.......................................4 1.Gomtrie et cas de charge..................................................................................................4 2.Proprits du contact (module Interaction)..........................................................................5 1)Dfinition du contact.......................................................................................................5 2)Comportement tangentiel ...............................................................................................8 3)Comportement normal ..................................................................................................10 3.Chargement et maillage......................................................................................................12 III.Bilan de ltude, application sur un cas industriel...............................................................14</p> <p>Lorsque lon veut modliser un contact en analyse lments finis, il faut distinguer deux principales familles de problmes. Le contact dit de Hertz, et le contact conforme. Le contact de Hertz, dont il est question dans ce rapport, sera lobjet de ltude suivante, avec pour objectif de vrifier la pertinence des rsultats du logiciel Abaqus. Le contact conforme est tudi au cours du stage de Master Recherche consacr au comportement mcanique des rotules, en se basant sur les rsultats de ce rapport. On distingue le contact hertzien du contact conforme par ltendue de la surface de contact. En contact hertzien, on considre le contact comme initialement ponctuel, le contact conforme correspondant une surface de contact initiale de dimension comparable aux pices.</p> <p>I. Problme de Hertz, approche analytiqueHertz sest intress au contact entre des lentilles en analysant les franges optiques induites par la surface de contact. Ses principaux rsultats se fondent sur des rsultats exprimentaux, mais restent une rfrence dans le domaine de ltude analytique du contact. Il considre que les contraintes de contact comportent une concentration qui peut tre dfinie comme indpendante des contraintes dans le reste des solides. En clair, la zone de contact est suffisamment petite pour ne pas tenir compte des autres conditions limites. Les surfaces de contact sont supposes rgulires (sans accident gomtrique), en contact initialement ponctuel, de dimensions faibles par rapport au reste du solide. Le schma suivant donne le paramtrage retenu pour lexpression des rsultats de ltude de Hertz. Paramtrage : P : chargement : enfoncement relatif i : dplacement de chacun des solide a : rayon de la section de contact plane zi : cote dun point quelconque de la surface de contact Hertz observe une forme elliptique de frange dinterfrence et en dduit une distribution elliptique des iso-valeurs de contraintes. Ces considrations sont principalement dordre gomtrique : seule la relation entre la dformation et la pression est issue de la thorie lastique.</p> <p>Figure 1. Paramtrage du contact entre surfaces non conformes</p> <p>2</p> <p>1. Hypothses de HertzDans les hypothses de travail de Hertz, on trouve des lments qui permettent de distinguer un contact hertzien dun contact conforme. La diffrence la plus simple mettre en vidence sera la comparaison des rayons de courbure des surfaces de contact. En effet, la premire hypothse de Hertz consiste dire que ces rayons de courbure sont trs diffrents. Dans le cas de nos lentilles, les rayons peuvent avoir la mme valeur mais lun sera positif tandis que lautre sera ngatif. Enonc des hypothses de Hertz : Les surfaces sont continues et non conformes (rayons de courbure trs diffrents), Les dformations sont petites, Chaque solide peut tre considr comme un milieu semi infini, Pas de frottement. Ces hypothses sont trs restrictives puisque les frottements sont ngligs ainsi que les influences des conditions limites hors surface de contact (milieu semi infini). Elles ne seront pas discutes dans les lignes qui suivent, mais les modles tablis sous Abaqus devront concorder.</p> <p>2. RsultatsLes diffrents rsultats regroups dans le tableau suivant rsument les travaux de Hertz sur le contact. R : rayon quivalent E : module de Young quivalent K(e), E(e) : intgrales elliptiques compltes du premier et second ordre</p> <p>Tableau 1. Rsultats de Hertz</p> <p>3</p> <p>Dans cette formulation, le problme rside dans le calcul des intgrales elliptiques, dans des cas ou la gomtrie et la surface de contact sont trop complexes. Une intgrale elliptique possde un domaine dintgration formul par une fonction elliptique, mathmatiquement complexe. Lintrt des lments finis est alors vident, ils doivent permettre une rsolution rapide et fiable du problme de contact.</p> <p>Figure 2. Exemples de rpartion de pression de contact : sphre-plan, cone-plan (contact non-conforme) et plan-plan (contact conforme)</p> <p>II. Approche numrique, rsolution du contact Hertzien avec Abaqus1. Gomtrie et cas de chargeAvant de commencer la dfinition du modle Abaqus, il convient de se poser les bonnes questions quand aux types de problmes rencontrs en contact Hertzien. Du point de vue de la gomtrie dabord, peut-on faire un modle axisymtrique, ou doit-on faire un modle 3D ? De mme, le systme comporte-t-il des non-linarits (gomtrique, matriaux, loi de frottement)? Des rponses ces questions dcouleront les paramtres du modle que lon entrera au fur et mesure de sa construction. Pour les besoins de ltude, on cre un modle 3D de deux huitimes de sphre en contact ponctuel, tout en conservant lesprit quun modle axisymtrique serait plus fiable et plus rapide. Ces diffrentes tapes sont dtailles par la suite avec le souci de clarifier linfluence des options disponibles sous le logiciel. A la suite du dessin des diffrentes pices intervenant dans le contact, on dfinit les proprits matriaux en affectant les sections des pices (on peut notamment dfinir des matriaux non isotropes). Viens ensuite la cration de lassemblage. Pour cela, il faut dfinir</p> <p>4</p> <p>quelle surface viendra se coller lautre, et quel jeu peut exister entre les surfaces (paramtre clearance lors de ltablissement du contact).</p> <p>Figure 3. Assemblage des deux huitimes de sphres</p> <p>Ces premires tapes donnent une base au modle lment fini que lon veut crer. La prochaine tape que propose le logiciel tient la cration des proprits du contact. Il est noter que le passage entre modules est tout fait libre dans le logiciel, le respect de la chronologie propose permet de passer en revue toutes les options utilisables sans entraner deffet destructeur (le partitionnement des surfaces aprs la cration du maillage dtruit le maillage par exemple)</p> <p>2. Proprits du contact (module Interaction)Ce module est le plus important dans la dfinition du contact. Cest ici que lon dfinit le comportement des surfaces dans le modle. On y dfinit les lois mcaniques et thermiques que doit suivre le logiciel pour simuler un comportement rel. Dans le cadre du contact Hertzien, on ne rencontre pas de phnomnes thermiques significatifs et cette dimension du problme demanderait une tude part entire. Du point de vue mcanique, on distingue deux types de lois de comportement : le comportement tangentiel et le comportement normal. Avant de dfinir ces lois, il faut dfinir le contact en lui mme grce au module Interaction.</p> <p>1) Dfinition du contactDans la simulation du contact, pour piloter le comportement de lassemblage des pices, le logiciel ne considre quune seule surface, appele surface matre, laquelle on associe un ensemble de nuds qui forme la surface esclave. Le choix de ces surfaces doit suivre des critres relativement simples mettre en pratique. Si lun des solides est rigide, la surface matre correspond la pice rigide, si les deux pices sont dformables, on prends la surface matre sur la pice la plus rigide (gomtriquement et du point de vue matriau), ou celle dont le maillage est le plus grossier.</p> <p>5</p> <p>Ce choix se justifie par le fait que les nuds de la surface esclave ne peuvent pas pntrer dans la surface matre, mais linverse est possible.</p> <p>Figure 4. Rgles de pntration des noeuds esclaves/matres</p> <p>Les critres cits ci-dessus doivent limiter linterpntration des surfaces. Dans le cas ou les pices ont un maillage et un matriau identiques, le choix des surfaces nest pas trivial. Une tude rapide sous Abaqus (figure 5) montre que lon prfrera affecter la surface matre sur la pice comportant un condition cinmatique nulle et donc la surface esclave sur la pice que lon aura charg. Mais les rsultats de simulation ne prsentent pas de grandes diffrences et le bilan est donc trs relatif.16000 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 2 3 4 5 6Rayon de la surface de contact</p> <p>Pression de contact (10^5 Pa)</p> <p>Master encastre slave charge Master charge slave encastre Hertz</p> <p>Figure 5. Pression de contact : influence du choix de la surface matre</p> <p>6</p> <p>Le logiciel demande quel type de formulation lon choisit pour ce glissement afin dindiquer si le modle comporte de grands dplacements des nuds de la surface esclave par rapport a la surface matre. Dans le cadre des hypothses de Hertz, et dans de nombreux cas en gnral, on cartera loption Finite Sliding au profit du Small Sliding. Loption Finite Sliding indique que les pices peuvent se mouvoir selon une grande amplitude (sans prciser sa valeur) en rotation comme en translation. Enfin, on peut choisir dajuster les nuds de la surface esclave. Cette option permet de corriger la position de ces nuds par rapport la surface matre. En effet, malgr les critres de slection de la surface matre, certain nuds pntreront dans la surface esclave (overclosed nodes) et lon peut choisir ou non de repositionner la surface esclave.</p> <p>Figure 6. Module intraction : dfinition du contact</p> <p>Dans le cas dun contact non conforme (modle ci-contre), si lon choisit de corriger avec trop de libert (en terme dunit de surface matre) la gomtrie sera compltement fausse ( adjust nodes within 10 units of the master surface ). Ici, on choisira plutt un ajustement en cas de pntration (Adjust only overclosed nodes). Le contact est maintenant ralis, il reste dfinir les lois de comportement du contact, et ce grce au module Interaction Property. Dans ce module, outre les lois de comportement Figure 7. Distorsion de la thermique, on dfinit les lois de comportement normal et tangentiel. surface esclave vers lasurface matre</p> <p>7</p> <p>2) Comportement tangentielIl traduit les phnomnes de frottement rencontrs dans le contact. On peut ici choisir de ne pas les modliser avec loption Frictionless. Loption Penality donne un comportement linaire en saisissant un simple coefficient de frottement, et il est possible de limiter la valeur des efforts de frottement en entrant un maximum shear stress (le comportement nest alors linaire que sur une plage de valeurs). Dun point de vue pratique, il faut prendre en compte la diffrence entre coefficient de frottement k et coefficient dadhrence s. Ceci est possible dans le logiciel en slectionnant loption Static Kinetic Exponential Decay. Il est alors demand dentrer ces coefficients ainsi quun paramtre pilotant la dcroissance de la courbe exponentielle. Le schma ci-dessous donne la loi de cette courbe ainsi que son allure.Figure 8. Tangential behavior : options disponibles</p> <p>Figure 9. Static Kinetic Exponential Decay, courbe et formule</p> <p>Le logiciel peut galement rechercher une valeur exacte des efforts de frottement grce la mthode des multiplicateurs de Lagrange. Cette mthode ne requiert aucun paramtre supplmentaire, mais comporte des inconvnients. En effet, avec cette mthode, le logiciel augmente le nombre de degrs de libert et/ou le nombre ditrations ncessaire la rsolution. Le temps de calcul est donc allong, et le manuel indique mme que la rsolution peut tre impossible si des zones de la surface prsentent un accident de forme o le lien entre pression de contact et efforts de frottement sera trop important. On peut choisir dempcher tout mouvement relatif des pices en considrant les efforts de frottements comme infini grce</p> <p>8</p> <p>au paramtre Rough (rugueux). Cette option utilise galement la mthode des multiplicateurs de Lagrange. Enfin, pour les cas plus complexes ou ces lois ne suffisent pas, le logiciel permet dentrer manuellement la loi de comportement de frottement travers la routine Fric. Cette routine est dtaille dans le manuel utilisateur au paragraphe 24-2-8. Sur le graphique suivant, on peut voir les pressions de contact du modle de Hertz en modlisation 3D, avec les diffrentes lois de frottement utilisable dans notre cas, et une tude de linfluence du coefficient de frottement. Lhypothse de Hertz est alors justifie par le peu dcart de niveau de pression au centre du contact, mais on observe une diffrence nette au bord de la surface de contact. Cette diffrence sera plus apprciable ds lors que lon sintresse aux phnomnes de fretting, destructeur en priphrie du contact.16000 14000 Pression de contact (10^5 Pa) 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0 1 2 3 4 5 6 Rayon de la surface de contact (mm) f=0,5 f=0 rough Lagrange multiplier Hertz</p> <p>Figure 10. Pression de contact, comparatif des lois de comportement tangentiel</p> <p>9</p> <p>3) Comportement normalIci aussi le logiciel offre de nombreuses possibilits de simulation. La version simple de la loi de comportement normal consiste dire que le contact est parfait. Il sagit de loption Hard Contact, dans laquelle on nglige les effets de duret de surface. Lorsquil existe un jeu entre les surfaces la pression de contact est nulle, et lorsque les surfaces sont colles les contraintes sont gouvernes par le matriau (rapport pression surface).</p> <p>Figure 12. Formulation 'Hard Contact' Figure 11. Normal behavior : options disponibles</p> <p>Une version plus labores consiste modliser lcrasement des asprits en surface, et donc de lier la pression de contact au jeu entre les surfaces. Cette loi, de forme exponentielle, demande deux paramtres C0 et P0 correspondant aux points dintersections de la courbe avec les axes (c et p sur le schma).</p> <p>10</p> <p>Figures 13.</p> <p>Contact 'softened', courbe et formule de la pression de contact en fonction du jeu</p> <p>Une loi linaire existe aussi pour simuler cet crasement. Grce loption Linear, et en entrant les points dintersection avec les axes, on dfinit une droite liant le jeu et la pression de contact. On peut aussi tablir une courbe exprimentale partir de points rfrences dans un tableau en slectionnant loption Tabular. Ces lois, prenant en compte la position relative des surfaces, admettent une interfrence entre les surfaces (overclosure), il co...</p>

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