Contexte historique et religieux des mathématiques en IndeContexte historique et religieux des mathématiques en Inde

33 grands mathématiciens de cette époquegrands mathématiciens de cette époque

Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiée par les religieux) se Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiée par les religieux) se manifestent brillamment dès le 5è siècle avec :manifestent brillamment dès le 5è siècle avec :

ARYABHATAARYABHATA - - Il a affirmé la rotation de la terre alors considéréeIl a affirmé la rotation de la terre alors considérée immobile au centre de immobile au centre de

l'univers (l'univers (Ptolémée/Aristote),Ptolémée/Aristote), - extraction des racines - extraction des racines carrées et cubiquescarrées et cubiques - résolution d- résolution d’équation’équations diophantiennes,s diophantiennes, - utilisation d’un système décimal positionnel où zéro apparaît - utilisation d’un système décimal positionnel où zéro apparaît

implicitement.implicitement.(?)(?) BRAHMAGUPTABRAHMAGUPTA - - l'invention du zéro liée à l'usage d'un système décimal positionnell'invention du zéro liée à l'usage d'un système décimal positionnel - règles des signes relatives à la multiplication.- règles des signes relatives à la multiplication. BHASKARA BHASKARA - a utilisé correctement le zéro,- a utilisé correctement le zéro, - a effectué des calculs avec l'infini et - a effectué des calculs avec l'infini et - a manié avec facilité les opérations sur les racines carrées.- a manié avec facilité les opérations sur les racines carrées.

Les mathématiques indiennes Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTAet BRAHMAGUPTA

II.II. Classification des mathématiques indiennesClassification des mathématiques indiennes

A.A. Les Mathématiques « pratiquesLes Mathématiques « pratiques » » - - Construction régulière (carré, disque, trapèze, triangle, Construction régulière (carré, disque, trapèze, triangle,

etc.); etc.); - - quadrature du cercle, approximations de nombres quadrature du cercle, approximations de nombres

irrationnels; irrationnels; - - triangles rectangles à côtés entierstriangles rectangles à côtés entiers propriété propriété

(Pythagore).(Pythagore). II.II. Les mathématiques « théoriques » Les mathématiques « théoriques »  - - Calcul élémentaire;Calcul élémentaire; - - Études et résolution d’équations;Études et résolution d’équations; - - Calculs trigonométriques. Calculs trigonométriques. 

Les mathématiques indiennesLes mathématiques indienneset BRAHMAGUPTAet BRAHMAGUPTA

III.III. Qui est BRAHMUGPTA?Qui est BRAHMUGPTA?

lL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à Multan (Pakistan) lL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à Multan (Pakistan) (?)(?) Il dirigeait un observatoire astronomique à Ujjain.Il dirigeait un observatoire astronomique à Ujjain. Il a écrit deux livres:Il a écrit deux livres: Son 1er livre « Brahma-sphuta-siddhanta»,Son 1er livre « Brahma-sphuta-siddhanta», écrit en 628, à l’âge de30 ans, contient 25 chapitres de écrit en 628, à l’âge de30 ans, contient 25 chapitres de

mathématiques. mathématiques. – Définition du zéro = résultat de la soustraction d'un nombre par lui-mêmeDéfinition du zéro = résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même.. – IIl explique la notion décimale de la position en utilisant les neuf chiffres et le zérol explique la notion décimale de la position en utilisant les neuf chiffres et le zéro– On trouve la règle des signes sur les biens (positifs), les dettes (négatifs) et le néant (zéro).On trouve la règle des signes sur les biens (positifs), les dettes (négatifs) et le néant (zéro). – Il donne une méthode de calcul «la gomutrika»Il donne une méthode de calcul «la gomutrika»– Il généralise la formule de Héron d’AlexandrieIl généralise la formule de Héron d’Alexandrie– Il nous lègue une identité qui porte son nom.Il nous lègue une identité qui porte son nom.– Il a utilisé la barre de fraction et effectué des réductions au même dénominateur pour des sommes Il a utilisé la barre de fraction et effectué des réductions au même dénominateur pour des sommes de fractions.de fractions.– Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue qu'il appelle « ya » Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue qu'il appelle « ya » (?)(?)– Il étudie équations diophantiennesIl étudie équations diophantiennes..– Il a aussi utilisé une technique qui s'apparente à un logarithme de base 2Il a aussi utilisé une technique qui s'apparente à un logarithme de base 2– Il a établit une règle d'interpolation que développera Newton plus tard.Il a établit une règle d'interpolation que développera Newton plus tard.

Son 2 ième livre Khandakhadyaka »Son 2 ième livre Khandakhadyaka » a été écrit à l’âge de 67 ans . a été écrit à l’âge de 67 ans .

–Il avait poursuit ainsi les travaux d’ARYABHATA (476-550) sur des cas Il avait poursuit ainsi les travaux d’ARYABHATA (476-550) sur des cas particuliers d’équations d’inconnues entières du type ax + by = c particuliers d’équations d’inconnues entières du type ax + by = c –Il explique que la terre fait le tour du soleil en 365 j, 6 et 36 sec. Il explique que la terre fait le tour du soleil en 365 j, 6 et 36 sec.   » »

Apports de BRAHMAGUPTAApports de BRAHMAGUPTA

1.1. Arithmétique des nombres négatifs et de zéroArithmétique des nombres négatifs et de zéro

BRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des calculs de pertes et de profits, des règles sur lesBRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des calculs de pertes et de profits, des règles sur lesnombres négatifsnombres négatifs. Ayant définit le . Ayant définit le zéro,comme le résultat de la soustraction d’un nombre par lui zéro,comme le résultat de la soustraction d’un nombre par luimême, il lui associe ces règles de calculs :même, il lui associe ces règles de calculs :

- Zéro soustrait de zéro est zéro;- Zéro soustrait de zéro est zéro; - Zéro soustrait d’une dette est une dette;- Zéro soustrait d’une dette est une dette; - Zéro soustrait d’un bien est un bien;- Zéro soustrait d’un bien est un bien; - Une dette soustraite de zéro est un bien;- Une dette soustraite de zéro est un bien; - Un bien soustrait de zéro est une dette.- Un bien soustrait de zéro est une dette. - Le produit de zéro multiplié par une dette ou un bien est zéro;- Le produit de zéro multiplié par une dette ou un bien est zéro; - Le produit ou le quotient de deux biens est un bien;- Le produit ou le quotient de deux biens est un bien; - Le produit de zéro multiplié par zéro est zéro;- Le produit de zéro multiplié par zéro est zéro; - Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien;- Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien; - Le produit ou le quotient d'une dette et d’un bien est une dette;- Le produit ou le quotient d'une dette et d’un bien est une dette; - Le produit ou le quotient d’un bien et d'une dette est une dette.- Le produit ou le quotient d’un bien et d'une dette est une dette.

((?)?) Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771 l’ouvrage de Brahmagupta en arabe, cesGrâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771 l’ouvrage de Brahmagupta en arabe, cesnouveaux concepts mathématiques auront une grande répercussion sur la science dans le mondenouveaux concepts mathématiques auront une grande répercussion sur la science dans le mondemusulman des VIIIe et IXe siècle et par la suite dans le monde occidental musulman des VIIIe et IXe siècle et par la suite dans le monde occidental

Évolution des nombres négatifsÉvolution des nombres négatifs

((780 – 850)780 – 850) (?)(?)Al Khawarizmi accepte les termes négatifs dans les équations mais s’attache à Al Khawarizmi accepte les termes négatifs dans les équations mais s’attache à s’en débarrasser au plus vite.s’en débarrasser au plus vite.

((1445 -1500)1445 -1500) Le français Le français Nicolas ChuquetNicolas Chuquet est un des premiers à isoler une valeur négative dans est un des premiers à isoler une valeur négative dans un membre d’une équation avant le mathématicien italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576).un membre d’une équation avant le mathématicien italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576).

15911591, François Viète (1540 - 1603) avait aussi écarté les solutions négatives des équations sont , François Viète (1540 - 1603) avait aussi écarté les solutions négatives des équations sont écartées.écartées.

16291629 Albert Girard avait admis l’existence de racines négatives ou imaginaires dans une Albert Girard avait admis l’existence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. équation.

16371637 René Descartes (1596 ; 1650) qualifie de "moindres que rien" de telles solutions (2). René Descartes (1596 ; 1650) qualifie de "moindres que rien" de telles solutions (2). ((1698 - 1746)1698 - 1746) Il a fallu attendre l’écossais Colin Maclaurin puis le suisse Leonhard Euler Il a fallu attendre l’écossais Colin Maclaurin puis le suisse Leonhard Euler ((1707 - 1783)1707 - 1783) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. ((1701- 1744)1701- 1744) Anders Celsius n’avait pris compte des négatifs en mettant au point son Anders Celsius n’avait pris compte des négatifs en mettant au point son

thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100 degrés.thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100 degrés. (1686 -1736)(1686 -1736) Daniel Gabriel Fahrenheit avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu d’une Daniel Gabriel Fahrenheit avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu d’une

graduation évitant les températures négatives.graduation évitant les températures négatives. En 1746En 1746 le français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime le français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime

la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération.la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération. En 1821En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son , Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son ""Cours d’analyse de l’EcoleCours d’analyse de l’Ecole royale royale

polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe ++ ou ou --. .

(1839-1873)(1839-1873) enfin, l’allemand Hermann Hankel donna aux nombres et en particulier aux enfin, l’allemand Hermann Hankel donna aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut d’objet formel obéissant à des règles préétablies.nombres relatifs le statut d’objet formel obéissant à des règles préétablies.

Apports de BRAHMAGUPTAApports de BRAHMAGUPTA

2.2. Sa méthode de calcul: GomutrikaSa méthode de calcul: Gomutrika

3.3. Aire d’un quadrilatère inscrit dans un cercleAire d’un quadrilatère inscrit dans un cercle

4. Identité de Brahmagupta

2.2. Méthode de calcul : la GomutrikaMéthode de calcul : la Gomutrika

Dans son premier ouvrage, Dans son premier ouvrage, Brahmagupta Brahmagupta avait présenté une méthode de calcul, avait présenté une méthode de calcul, qu’il avait nommée qu’il avait nommée ««  Gomutrika »Gomutrika » dont la traduction est la « trajectoire de l’urine dont la traduction est la « trajectoire de l’urine d’une vached’une vache ». Cette dernière est semblable à celle encore que nous utilisons de nos jours. ». Cette dernière est semblable à celle encore que nous utilisons de nos jours.

Dans le tableau ci-dessus nous comparons la méthode de BRAHMAGUPTA et celle qu’onDans le tableau ci-dessus nous comparons la méthode de BRAHMAGUPTA et celle qu’onutilise actuellement.utilise actuellement.

Effectuons donc la multiplication de ces deux nombres par les deux méthodes : 248 x 725.Effectuons donc la multiplication de ces deux nombres par les deux méthodes : 248 x 725.

Formule de Héron d’Alexandrie Formule de Héron d’Alexandrie Formule de BrahmaguptaFormule de Brahmagupta

Soient a, b et c les longueurs des côtés Soient a, b et c les longueurs des côtés du triangle et p son demi périmètre du triangle et p son demi périmètre tel que : tel que :

p = (a + b + c) /2; p = (a + b + c) /2;

alors l’aire du triangle est :alors l’aire du triangle est :

Si Si aa, , bb, , cc et et d d désignent les mesures des désignent les mesures des côtés et p= (a + b + c + d) /2 le demi côtés et p= (a + b + c + d) /2 le demi périmètre, on apérimètre, on a

OOn peut vérifier ceci pour le carré et pour n peut vérifier ceci pour le carré et pour le rectangle (2 cas particuliers) : le rectangle (2 cas particuliers) : 

Cas particuliers:Cas particuliers:

Le Le carrécarré : : b=c=d=a, p=2a et A=b=c=d=a, p=2a et A=

Le Le rectanglerectangle : a=b=L, c=d=l, p=L+l et A=  : a=b=L, c=d=l, p=L+l et A=

( )( )( )( )A p a p b p c p d= − − − −( )( )( )A p p a p b p c= − − −

4 2a a=2 2 .L l L l=

Aire d’un quadrilatère inscriptibleAire d’un quadrilatère inscriptible

4.4. L’identité de BrahmaguptaL’identité de Brahmagupta   En mathématiques, l'En mathématiques, l'identité de Brahmaguptaidentité de Brahmagupta dit que le produit de deux nombres, dit que le produit de deux nombres,

égaux chacun àégaux chacun à

une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés.une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés.

Précisément :Précisément :

Cette identité peut facilement être vérifiée en développant les termes à gauche et à droite :

Elle est très utilisée pour les entiers.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a c + b c + a d + b d = a c - 2 a c b d + b d + a d + 2 a d b c + b c

Apports de BRAHMAGUPTAApports de BRAHMAGUPTA

L’identité de BrahmaguptaL’identité de Brahmagupta

Par la suite Euler a élargi cette identité à Par la suite Euler a élargi cette identité à l’identité des quatre carrés l'l’identité des quatre carrés l'identité, identité, énonçant queénonçant que

le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même unele produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une

somme de quatre carrés somme de quatre carrés ..

Apports de BRAHMAGUPTAApports de BRAHMAGUPTA

5.5. Le parcours du zéroLe parcours du zéro

Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves achetait Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves achetait cinq esclaves qu'il revendait par la suite, il disait : il cinq esclaves qu'il revendait par la suite, il disait : il me reste cinq moins cinq esclaves. On était incapable me reste cinq moins cinq esclaves. On était incapable d'exprimer le nul, le rien, par un signe symbolique. d'exprimer le nul, le rien, par un signe symbolique. C’est le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était C’est le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était nommé «sifr» en arabe qui signifiait «vide».On nommé «sifr» en arabe qui signifiait «vide».On imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a fallu imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a fallu déployer pour circonscrire le concept de zéro. Essayez déployer pour circonscrire le concept de zéro. Essayez donc de figurer « quelque chose » là où il n'y a donc de figurer « quelque chose » là où il n'y a « rien » ! « rien » !

Selon les grecs, le nombre zéro est en quelque sorte Selon les grecs, le nombre zéro est en quelque sorte un nombre associé au vide, au néant. C'est seulement un nombre associé au vide, au néant. C'est seulement au cinquième siècle après JC.,au cinquième siècle après JC., que l'on voit que l'on voit apparaître, chez les indiens, le zéro à la fois comme apparaître, chez les indiens, le zéro à la fois comme chiffre et comme nombre.chiffre et comme nombre.

Le parcours du zéroLe parcours du zéro

5.1. Repère chronologique5.1. Repère chronologique La première étape nous mène à Babylone, il y a IIIe siècle La première étape nous mène à Babylone, il y a IIIe siècle av. J.-C. Apparition du premier zéro de l'histoire dans la av. J.-C. Apparition du premier zéro de l'histoire dans la numérotation positionnelle sexagésimale babylonienne. Il numérotation positionnelle sexagésimale babylonienne. Il n'est cependant pas conçu comme un nombre, il sert n'est cependant pas conçu comme un nombre, il sert simplement à exprimer l'absence d'unités d'un certain simplement à exprimer l'absence d'unités d'un certain ordre. ordre.

Le zéro maya était représenté comme ceci.Le zéro maya était représenté comme ceci.Il était considéré comme un signe permettant d'indiquer Il était considéré comme un signe permettant d'indiquer

l'absence d'unités d'un certain ordrel'absence d'unités d'un certain ordre Les Indiens redécouvrent ensuite vers le Les Indiens redécouvrent ensuite vers le Ve siècle de Ve siècle de notre èrenotre ère, la numérotation de position. Le zéro de , la numérotation de position. Le zéro de position, qui était matérialisé par une encoche à position, qui était matérialisé par une encoche à Babylone, est ici marqué d'un point. Il évoluera bientôt Babylone, est ici marqué d'un point. Il évoluera bientôt pour prendre la forme d'un rond.et était nommé "Sunya" pour prendre la forme d'un rond.et était nommé "Sunya" qui signifie "vide" en langue indienne (le sanskrit).Traduit qui signifie "vide" en langue indienne (le sanskrit).Traduit en arabe, Sunya, devient "Sifr" (vide). En 628, son en arabe, Sunya, devient "Sifr" (vide). En 628, son apparition en Inde, tout particulièrement dans l'oeuvre de apparition en Inde, tout particulièrement dans l'oeuvre de Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre, il est alors Brahmagupta, est un pas de géant en algèbre, il est alors définit comme le résultat d'un nombre entier soustrait à définit comme le résultat d'un nombre entier soustrait à lui-même, Brahmagupta énonça des règles pour opérer lui-même, Brahmagupta énonça des règles pour opérer sur trois sortes de nombres appelés "biens", "dettes" et sur trois sortes de nombres appelés "biens", "dettes" et "zéro"."zéro".  

Repère chronologiqueRepère chronologique

Il a fallu attendre Il a fallu attendre le huitième sièclele huitième siècle pour voir le zéro apparaître dans le monde pour voir le zéro apparaître dans le mondearabe. Il fut introduit par un astronome indien à la cour du arabe. Il fut introduit par un astronome indien à la cour du calif Al-Mansurcalif Al-Mansur, à, àBagdad en même temps que tout le système de numération indien.Bagdad en même temps que tout le système de numération indien.

Ce n'est qu’à partir du douzième siècle que le zéro commença à se répandre enCe n'est qu’à partir du douzième siècle que le zéro commença à se répandre enoccident, grâce notamment à la traduction du livre d'arithmétique publié en occident, grâce notamment à la traduction du livre d'arithmétique publié en

820820par le grand mathématicien par le grand mathématicien El-KhawarizmiEl-Khawarizmi. .

Mais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore en occident pour savoir si leMais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore en occident pour savoir si lezéro était seulement un chiffre ou pouvait être considéré comme un nombre. zéro était seulement un chiffre ou pouvait être considéré comme un nombre.

Puis Puis

finalement, son statut de nombre fut admis par tous. Et l'on ajouta le zéro à cefinalement, son statut de nombre fut admis par tous. Et l'on ajouta le zéro à ceque l'on appelle les entiers naturels. Avant d'être considéré comme un chiffre, ilque l'on appelle les entiers naturels. Avant d'être considéré comme un chiffre, ilavait en effet pour but de remplir les vides.avait en effet pour but de remplir les vides.

Apports de BRAHMAGUPTAApports de BRAHMAGUPTA

6.6. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNESÉQUATIONS DIOPHANTIENNES

Un des premiers mathématiciens à avoir considéré ce genre de question estUn des premiers mathématiciens à avoir considéré ce genre de question estDiophante d’Alexandrie (325–409). Diophante d’Alexandrie (325–409).

La traduction, par Bachet de Méziriac (1581–1638) de la partie de ses œuvresLa traduction, par Bachet de Méziriac (1581–1638) de la partie de ses œuvresqui était parvenue dans le monde occidental grâce aux mathématiciens arabesqui était parvenue dans le monde occidental grâce aux mathématiciens arabesa été la source d’inspiration de Fermat (1601–1665).a été la source d’inspiration de Fermat (1601–1665).

L’équation diophantienne y2-dx2=1; dont les inconnues x et y sont dans Z, oùL’équation diophantienne y2-dx2=1; dont les inconnues x et y sont dans Z, oùd est un entier positif qui n’est pas un carré, porte le nom de Pell–Fermat, maisd est un entier positif qui n’est pas un carré, porte le nom de Pell–Fermat, maisc'est une erreur due à Euler qui lui attribua faussement son étude. c'est une erreur due à Euler qui lui attribua faussement son étude.

Pourtant elles ont été étudiées par le mathématicien indien Brahmagupta (598–Pourtant elles ont été étudiées par le mathématicien indien Brahmagupta (598–670)670)

bien avant Pell (1611–1685) et Fermat. Ce mathématicien indien s’est attaqué bien avant Pell (1611–1685) et Fermat. Ce mathématicien indien s’est attaqué d’abordd’abord

aux équations du type N x2 + k = y2 et a donné une manière d’obtenir des aux équations du type N x2 + k = y2 et a donné une manière d’obtenir des solutions àsolutions à

partir d’un couple de solutions connu. Il a trouvé la plus petite solution en entierspartir d’un couple de solutions connu. Il a trouvé la plus petite solution en entierspositifs de l’équationpositifs de l’équation x2x2−−92 y2 = 1, qui est (x, y) = (1151, 120)92 y2 = 1, qui est (x, y) = (1151, 120)

Au XIIème siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour l’équationAu XIIème siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour l’équation x2x2−−61 y2 = 1 (qui sera plus tard considérée par Fermat) la solution 61 y2 = 1 (qui sera plus tard considérée par Fermat) la solution

(x, y) = (1 766 319 049, 226 153 980).(x, y) = (1 766 319 049, 226 153 980).

Plus tard Narayana (~1340– ~1400), qui est aussi d’origine Plus tard Narayana (~1340– ~1400), qui est aussi d’origine indienne, a obtenu pour x2indienne, a obtenu pour x2−−103 y2 = 1 la solution (x, y) = (227 103 y2 = 1 la solution (x, y) = (227 528, 22 419).528, 22 419).

Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens européens du XVIIè siècle, et c'est Fermat qui remit cette équation européens du XVIIè siècle, et c'est Fermat qui remit cette équation au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de solutions. solutions.

Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, qui utilisera pour Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, qui utilisera pour résoudre cette équation, la théorie des fractions continues pour résoudre cette équation, la théorie des fractions continues pour obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait! obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait!

ÉQUATIONS DIOPHANTIENNESÉQUATIONS DIOPHANTIENNES