Université Ferhat Abbas – Sétif

Faculté de Technologie

Tronc Commun Sciences et Techniques

Contrôle du module : Pré-spécialité

Exercice 1 : (6points) (Questions de cours

1- Quelles sont les grandeurs caractéristiques d’une vibration harmonique

2- Pour un système forcé de coefficient d’amortissement donné, tracer approximativement la courbe

du rapport d’amplitudes « fonction de transmissibilité

système d’amortissement est efficace et où il est ine

3- Citer les types d’amortissements qui existent dans les systèmes mécaniques réels.

chaque type d’amortissement

4- Dans un pont suspendu, Quels sont les phénomènes

destruction ?

5- Une structure à un seul mode vibratoire possède une fréquence propre de 500 Hz. Que

fréquences excitatrices suivantes

6- Quelle sont les fréquences excitatrices

Exercice2: (7 points)

peut tourner librement autour de

soudée au disque « voir figure » à laquelle est attaché un ressort de raideur

admettant que la masse des ressorts

1- Ecrire l’équation différentielle de la poutre en fonction de

amplitudes.

2- En posant �� � �� � � , �forme, déduire �, et trouver la valeur du coefficient d’amortissement critique

Soit le système mécanique représenté par la figure

Dans le cas des faibles amplitudes et des faibles amortissements,

On demande :

1- Etablir l’équation différentielle en fonction de

2- Trouver la solution �� �.

3- Trouver la valeur de la pulsation

transmissibilité « le rapport d’amplitudes

Calculer ���� maximale en fonction du tau

� et la pulsation relative �.

���� �����

� , � �

, ������ � �

Soit le système mécanique de la figure

représente une poutre uniforme AB

de masse m. Au point A, l’appui de la poutre est

modélisé « représenté » par un ressort de raideur

l’autre coté de la poutre « point

disque homogène de rayon R et de masse

Exercice3: (07 points)

On donne : �� � � ����� �

Sciences et Techniques

du module : Vibrations et Ondes « Physique 3spécialité : Génie Civil « K »

Questions de cours)

Quelles sont les grandeurs caractéristiques d’une vibration harmonique ?

Pour un système forcé de coefficient d’amortissement donné, tracer approximativement la courbe

fonction de transmissibilité » sur laquelle il faut montrer les domaines o

système d’amortissement est efficace et où il est inefficace?

Citer les types d’amortissements qui existent dans les systèmes mécaniques réels.

la relation entre la force d’amortissement et la vitesse.

Quels sont les phénomènes vibratoires à mettre en considération pour éviter la

Une structure à un seul mode vibratoire possède une fréquence propre de 500 Hz. Que

fréquences excitatrices suivantes : 200Hz, 500Hz, 510Hz, 600Hz ?

excitatrices indésirables pour une construction mécanique « pont,

tourner librement autour de son axe au point C « �� ��

���� ». Une tige de longueur

laquelle est attaché un ressort de raideur ��

que la masse des ressorts �� , �� et de la tige est négligeable, on demande de

crire l’équation différentielle de la poutre en fonction de � dans le cas des vibrations à faibles

� � � et a � R , Récrire l’équation différentielle dans sa nouvelle

rouver la valeur du coefficient d’amortissement critique

Soit le système mécanique représenté par la figure 2.

Dans le cas des faibles amplitudes et des faibles amortissements,

Etablir l’équation différentielle en fonction de �.

la valeur de la pulsation relative � pour laquelle la

amplitudes ���� » est maximale.

en fonction du taux d’amortissement

�� , �!����� � �

� , �"���� � �

Bonne chanceBonne chanceBonne chanceBonne chance

Soit le système mécanique de la figure 1, qui

AB de longueur # et

, l’appui de la poutre est

» par un ressort de raideur �� ,

point B » repose sur un

et de masse � et qui

2ème

Année LMD 25 Janvier 2012

Temps alloué : 1h30

Physique 3 »

Pour un système forcé de coefficient d’amortissement donné, tracer approximativement la courbe

sur laquelle il faut montrer les domaines où le

Citer les types d’amortissements qui existent dans les systèmes mécaniques réels. En spécifiant pour

la relation entre la force d’amortissement et la vitesse.

vibratoires à mettre en considération pour éviter la

Une structure à un seul mode vibratoire possède une fréquence propre de 500 Hz. Que provoquent, les

mécanique « pont, maison… ».

». Une tige de longueur a est

� et un amortisseur α. En

, on demande de :

dans le cas des vibrations à faibles

Récrire l’équation différentielle dans sa nouvelle

rouver la valeur du coefficient d’amortissement critique $%.

Bonne chanceBonne chanceBonne chanceBonne chance

Université Ferhat Abbas – Sétif 2ème Année LMD

Faculté de Technologie 25 Janvier 2012 Tronc Commun Sciences et Techniques Temps alloué : 1h30

Correction et barème du Contrôle : Vibrations et Ondes « Physique 3 »

Solution : Exercice N°1 « Questions de cours » (6 points)

1- Soit une vibration : 𝑥 𝑡 = 𝐴. 𝑠𝑖𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑 , Les grandeurs caractéristiques sont :

L’amplitude 𝐴,

La période 𝑇 ( 𝜔 =2.𝜋

𝑇= 2. 𝜋. 𝑓 𝜔:𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓: 𝑓𝑟é𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒)

La phase 𝜑.

2- Tracé du rapport d’amplitude :

3- Types d’amortissements :

Visqueux : 𝐹𝑎 = 𝑚. 𝑥

Turbulent : 𝐹𝑎 = 𝑚. 𝑥 2

- Hystéritique : 𝐹𝑎 = 𝑚. 𝑥 𝑛

- Frottement sec : 𝐹𝑎 = 𝑚. 𝑥 𝑛

4- Phénomènes : de résonances et de battements.

5- Influence des fréquences :

- Fréquence 200 : aucune influence « l’amplitude augmente ».

- Fréquence 500 : résonance « destruction ».

- Fréquence 510 : battement « risque de destruction ».

- Fréquence 600 : aucune influence « l’amplitude diminue »

6- Fréquences excitatrices indésirables : sont les fréquences qui provoquent :

- la résonance « fréquences très proches ou égales aux fréquences propres de la structure »

- et le battement « fréquences proches aux fréquences propres de la structure ».

𝟏𝒑𝒕

𝟏𝒑𝒕

- Liquide

𝟏𝒑𝒕

𝟏𝒑𝒕

𝟏𝒑𝒕

𝟏𝒑𝒕

𝑥𝑚 = 𝑅. 𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑥𝑘1= 𝑅. 𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑦𝑘2

= 𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝜑 , 𝑦𝛼 = 𝑎. 𝑠𝑖𝑛𝜑 En admettant l’approximation 𝒔𝒊𝒏𝜽 ≈ 𝜽 et 𝒄𝒐𝒔𝜽 ≈ 𝟏 dans cas des petites oscillations les déformations deviennent :

𝒙𝒎 = 𝑹. 𝝋 𝑥 𝑚 = 𝑅. 𝜑 , 𝒙𝒌𝟏= 𝑹. 𝝋 , 𝒚𝒌𝟐

= 𝒂. 𝝋 , 𝒚𝜶 = 𝒂. 𝝋 𝒚𝜶 = 𝒂. 𝝋

𝑇 =1

2. 𝑚. 𝑅2.𝜑 2 +

1

4. 𝑀. 𝑅2 𝜑 2 𝑻 =

𝟏

𝟐 𝒎 +

𝟏

𝟐. 𝑴 . 𝑹𝟐. 𝝋 𝟐

𝑈 =1

2. 𝑘1. 𝑅2. 𝜑 2 +

1

2. 𝑘2. 𝑎2. 𝜑 2 𝑼 =

𝟏

𝟐. 𝒌𝟏. 𝑹𝟐 + 𝒌𝟐. 𝒂𝟐 . 𝝋𝟐

𝐷 =1

2. 𝛼 𝑦 𝛼

2 𝐷 =1

2𝛼. (𝑎. 𝜑 )2 𝑫 =

𝟏

𝟐𝜶. 𝒂𝟐. 𝝋 𝟐

Le Lagrangien : 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 𝑳 =𝟏

𝟐 𝒎 +

𝟏

𝟐. 𝑴 . 𝑹𝟐. 𝝋 𝟐 −

𝟏

𝟐. 𝒌𝟏. 𝑹𝟐 + 𝒌𝟐. 𝒂𝟐 . 𝝋𝟐

𝜕𝐿

𝜕𝜑 = 𝑚 +

1

2. 𝑀 . 𝑅2. 𝜑

𝑑

𝑑𝑡 𝜕𝐿

𝜕𝜑 = 𝑚 +

1

2. 𝑀 . 𝑅2. 𝜑 …………………………….(1)

𝜕𝐿

𝜕𝜑= − 𝑘1. 𝑅2 + 𝑘2. 𝑎2 . 𝜑 ……………………………………………………………………………….(2)

𝜕𝐷

𝜕𝜑 = 𝛼. 𝑎2. 𝜑 …………………………………………………………………………………………………….(3)

𝝋 +𝟐𝜶

𝟐𝒎+.𝑴 𝒂

𝑹 𝟐

. 𝝋 + 𝟐𝒌𝟏

𝟐𝒎+.𝑴 +

𝟐𝒌𝟐

𝟐𝒎+.𝑴 .

𝒂

𝑹 𝟐

. 𝝋 = 𝟎

2- En posant 𝑲𝟏 = 𝑲𝟐 = 𝑲 , 𝒎 = 𝑴 et a = R 𝝋 +𝟐𝜶

𝟑𝑴. 𝝋 +

𝟒𝒌

𝟑𝑴. 𝝋 = 𝟎

𝜹 =𝜶

𝟑𝑴 et 𝝎𝟎 =

𝟒𝒌

𝟑𝑴

Dans cas : 𝜶𝒄

𝟑𝑴=

𝟒𝒌

𝟑𝑴 𝜶𝒄 = 𝟏𝟐. 𝑲. 𝑴

𝑇 = 𝑇𝑚 or : 𝑇𝑚 =1

2. 𝑚. 𝑉𝑚

2 𝑻𝒎 =𝟏

𝟐. 𝒎. 𝒍𝟐. 𝜽 𝟐

𝑼 = −𝒎. 𝒈. 𝒍. 𝒄𝒐𝒔𝜽 +𝟏

𝟖. 𝒌. 𝒍𝟐𝜽𝟐

𝐷 =1

2. 𝛼 𝑥 𝛼

2 𝐷 =1

2𝛼. (

𝑙

4. 𝜃 )2 𝑫 =

𝟏

𝟑𝟐𝜶. 𝒍𝟐. 𝜽 𝟐

𝑳 =𝟏

𝟐. 𝒎. 𝒍𝟐. 𝜽 𝟐 + 𝒎.𝒈. 𝒍. 𝒄𝒐𝒔𝜽 −

𝟏

𝟖. 𝒌. 𝒍𝟐𝜽𝟐

𝜕𝐿

𝜕𝜃 = 𝑚. 𝑙2. 𝜃

𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝐿

𝜕𝜃 1 = 𝒎. 𝒍𝟐. 𝜽 ………….…..(1)

𝜕𝐿

𝜕𝜃= 𝑚. 𝑔. 𝑙. 𝑠𝑖𝑛𝜃 −

1

4. 𝑘. 𝑙2𝜃

𝜕𝐿

𝜕𝜃1= −(

𝟏

𝟒. 𝒌. 𝒍𝟐 + 𝒎. 𝒈. 𝒍)𝜽 ……....(2)

𝜕𝐷

𝜕𝜃 =

𝟏

𝟏𝟔𝜶. 𝒍𝟐. 𝜽 ……………………………………………………………..……………………..(3)

𝜽 +𝜶

𝟏𝟔𝒎. 𝜽 +

𝒌

𝟒𝒎+

𝒈

𝒍 𝜽 =

𝑭𝟎

𝒎.𝒍. 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

Sous la forme caractéristique :

𝜽 + 𝟐𝜹. 𝜽 + 𝝎𝟎𝟐𝜽 = 𝑩. 𝒔𝒊𝒏𝝎𝒕

avec 𝑩 =𝑭𝟎

𝒎.𝒍 𝜹 =

𝜶

𝟑𝟐𝒎 𝝎𝟎 =

𝒌

𝟒𝒎+

𝒈

𝒍

𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝑚 𝑙. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑙. 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑽𝒎 = 𝒍. 𝜽

𝑥𝑘 = 𝑂𝐵 . 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝒙𝒌 =𝒍

𝟐𝜽 𝑥𝛼 = 𝑂𝐴 . 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝒙𝜶 =

𝒍

𝟒𝜽 𝑥 𝛼 =

𝑙

4𝜃

𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟒 = 𝟏𝒑𝒕

𝟑𝒙𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟏𝒑𝒕

𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟐𝒙𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟑𝒙𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟑 = 𝟎, 𝟕𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒑𝒕

1- Solution de l’équation différentielle :

La solution générale (𝑺𝑮)= à la solution homogène (𝑺𝑯) « qui correspond à 𝜽 + 𝟐𝜹. 𝜽 + 𝝎𝟎𝟐𝜽 = 𝟎 »

plus la solution particulière (𝑺𝒑)

Solution homogène (𝑺𝑯) : 𝜽 + 𝟐𝜹. 𝜽 + 𝝎𝟎𝟐𝜽 = 𝟎 dans le cas des faibles amortissements

𝜽 𝒕 = 𝑨. 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒂. 𝒕 + 𝝋 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝝎𝒂 = 𝝎𝟎𝟐 − 𝜹𝟐

Solution particulière (𝑺𝒑) :

𝜃𝑝 𝑡 = 𝐴. sin 𝜔. 𝑡 + 𝜑 𝑜𝑢 𝜽𝒑 𝒕 = 𝑨. 𝒆𝒋 𝝎.𝒕+𝝋

𝜃 𝑝 𝑡 = 𝑗. 𝜔. 𝐴. 𝑒𝑗 𝜔 .𝑡+𝜑 => 𝜽 𝒑 𝒕 = 𝒋. 𝝎. 𝜽 𝒕

𝜃 𝑝 𝑡 = −𝜔2.𝐴. 𝑒𝑗 𝜔 .𝑡+𝜑 => 𝜽 𝒑 𝒕 = −𝝎𝟐. 𝜽 𝒕

𝑨. 𝒆𝒋𝝋 (𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐) + 𝒋. 𝟐. 𝜹. 𝝎 = 𝑩…………….. (4)

Le conjugué de (4) est:

𝑨. 𝒆−𝒋𝝋 (𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐) − 𝒋. 𝟐. 𝜹. 𝝎 = 𝑩……………. (5)

Amplitude : Pour trouver l’amplitude A, on multiplie l’équation: (4)x(5) :

𝑨𝟐 (𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐)𝟐 + (𝟐. 𝜹. 𝝎)𝟐 = 𝑩𝟐

Donc : 𝑨 =𝑩

(𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐)𝟐+(𝟐.𝜹.𝝎)𝟐

avec : 𝑩 =𝑭𝟎

𝒎.𝒍

(7) divisé par (6) : 𝒕𝒈𝝋 =−𝟐.𝜹.𝝎

𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐

Solution : 𝜽 𝒕 = 𝑨. 𝒆−𝜹𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒂. 𝒕 + 𝝋 +𝑩

(𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐)𝟐+ 𝟐.𝜹.𝝎 𝟐

. 𝐬𝐢𝐧 𝝎𝒕 + 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(−𝟐.𝜹.𝝎

𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐)

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜹 =𝜶

𝟑𝟐𝒎 , 𝝎𝟎 =

𝒌

𝟒𝒎+

𝒈

𝒍 , 𝜔𝑎 = 𝝎𝟎

𝟐 − 𝜹𝟐 , 𝑩 =𝑭𝟎

𝒎.𝒍

𝑲 𝝊 =𝟏

(𝟏−𝝊𝟐)𝟐+𝟒.𝝃𝟐𝝊𝟐

Donc 𝝏𝒇 𝝊

𝝏𝝂 = 0 donc (𝟏 − 𝝊𝟐)𝟐 + 𝟒.𝝃

𝟐𝝊𝟐

′

= 𝟎 𝟐 𝟏 − 𝝊𝟐 −𝟐𝝊 + 𝟖.𝝃𝟐

.𝝊 = 𝟎

𝟒𝝊 𝝊𝟐_(𝟏 − 𝟐. 𝝃𝟐) = 𝟎 admet comme solution : 𝝊𝒓𝒆𝒔= 𝟏−𝟐.𝝃𝟐𝝊=𝟎 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕é

𝝊𝒓𝒆𝒔 = 𝟏 − 𝟐. 𝝃𝟐

𝑲 𝝊𝒓𝒆𝒔 =𝟏

(𝟏−𝝊𝒓𝒆𝒔𝟐)𝟐+𝟒.𝝃𝟐𝝊𝒓𝒆𝒔

𝟐 𝑲 𝝊𝒓𝒆𝒔 =

𝟏

𝟐.𝝃 𝟏−𝟐.𝝃𝟐

𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟓𝒑𝒕

𝟎, 𝟐𝟓𝒕