L

C

NOM : TPROE SUJET 1

CONTROLE FINAL SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESEXERCICE 1 : (3,5 points) BAC PRO EIE 2001Soit l'équation différentielle (E) : y" + y = 0où y est une fonction de la variable x, définie sur et y" sa fonction dérivée seconde.

1. En utilisant le formulaire, donner la solution générale de l'équation différentielle (E).2. Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) telle que :

y(0) = 0 et y 2=

12

EXERCICE 2 : (6 points) BAC PRO EIE 2005Un condensateur de capacité C, en Farad, préalablement chargé, est placé dans un circuit inductif, d'inductanceL, en Henry.

Les composants sont supposés parfaits (de résistances négligeables).

A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. Au cours de la décharge du condensateur, sa charge q(t), en Coulomb,vérifie à chaque instant t, en seconde, l'équation différentielle :

Lq"(t) +1C

q(t) = 0

1. On donne : L = 100 mH et C = 10 µF.Montrer que l'équation précédente peut s'écrire q''(t) + 106q(t) = 0

2. On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) y" + 106y = 0où y est une fonction de la variable x, définie sur et y" sa fonction dérivée seconde.

a. En utilisant le formulaire, donner la solution générale de l'équation différentielle (E).b. Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant les conditions

initiales :y(0) = 0 et y'(0) = 0,01

EXERCICE 3 : (6 points) BAC PRO MAVELEC – MRIM 2003Un circuit série comprend un condensateur de capacité C = 10-7 F, un dipôle résistif de résistance R = 5x103 Ω,un interrupteur et un générateur de tension continue égale à 12 V.Le condensateur est initialement chargé sous une tension égale à –6 V.A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. La tension v(t) aux bornes du condensateur varie en fonction du temps t.A chaque instant t, en seconde, avec t 0, la tension v(t), en volt, vérifie la relation :

RC v'(t) + v(t) = 12 (1) où v' est la dérivée de la fonction v.1. Montrer que l'équation différentielle s'écrit : v'(t) + 2000v(t) = 24000 (2)2. On considère l'équation différentielle "sans second membre" v'(t) + 2000v(t) = 0. Donner la solution

générale de cette équation différentielle "sans second membre".3. Vérifier que la fonction constante f(x) = 12 définie sur [0 ; +∞ [ est une solution particulière de

l'équation différentielle (2).4. a) Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation différentielle (2).

b) Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (2) qui vérifie la condition initialev(0) = -6.

EXERCICE 4 : (5,5 points)Résoudre les deux équations différentielles ci-dessous.

a. y" + 2y' – 3y = 0b. 0,1y" – 0,6y' + 0,9y = 0

L

C

NOM : TPROE SUJET 2

CONTROLE FINAL SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLESEXERCICE 1 : (3,5 points) BAC PRO EIE 2001Soit l'équation différentielle (E) : y" + y = 0où y est une fonction de la variable x, définie sur et y" sa fonction dérivée seconde.

1. En utilisant le formulaire, donner la solution générale de l'équation différentielle (E).2. Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) telle que :

y(0) = 0 et y

2=

12

EXERCICE 2 : (6 points) BAC PRO EIE 2005Un condensateur de capacité C, en Farad, préalablement chargé, est placé dans un circuit inductif, d'inductanceL, en Henry.

Les composants sont supposés parfaits (de résistances négligeables).

A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. Au cours de la décharge du condensateur, sa charge q(t), en Coulomb,vérifie à chaque instant t, en seconde, l'équation différentielle :

Lq"(t) +1C

q(t) = 0

1. On donne : L = 100 mH et C = 10 µF.Montrer que l'équation précédente peut s'écrire q''(t) + 106q(t) = 0

2. On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) y" + 106y = 0où y est une fonction de la variable x, définie sur et y" sa fonction dérivée seconde.

a. En utilisant le formulaire, donner la solution générale de l'équation différentielle (E).b. Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (E) vérifiant les conditionsinitiales :y(0) = 0 et y'(0) = 0,01

EXERCICE 3 : (6 points) BAC PRO MAVELEC – MRIM 2003Un circuit série comprend un condensateur de capacité C = 10-7 F, un dipôle résistif de résistance R = 5x103 Ω,un interrupteur et un générateur de tension continue égale à 12 V.Le condensateur est initialement chargé sous une tension égale à –6 V.A l'instant t = 0, on ferme l'interrupteur. La tension v(t) aux bornes du condensateur varie en fonction du temps t.A chaque instant t, en seconde, avec t 0, la tension v(t), en volt, vérifie la relation :

RC v'(t) + v(t) = 12 (1) où v' est la dérivée de la fonction v.1. Montrer que l'équation différentielle s'écrit : v'(t) + 2000v(t) = 24000 (2)2. On considère l'équation différentielle "sans second membre" v'(t) + 2000v(t) = 0. Donner la solution

générale de cette équation différentielle "sans second membre".3. Vérifier que la fonction constante f(x) = 12 définie sur [0 ; +∞ [ est une solution particulière de

l'équation différentielle (2).4. a) Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation différentielle (2).

b) Déterminer la solution particulière de l'équation différentielle (2) qui vérifie la condition initiale v(0) = -6.

EXERCICE 4 : (5,5 points)Résoudre les deux équations différentielles ci-dessous.

a. y" – 2y' – 3y = 0b. 0,2y" – 2y' + 5y = 0