Séance 5

Convectionnaturelle

∂u

∂x+

∂v

∂y= 0

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= gβ(T − T0) + ν

∂2v

∂x2

u∂T

∂x+ v

∂T

∂y=

ν

c

�∂v

∂x

�2

+ α∂2T

∂x2

15Convection naturelle entre deux plaques planesOn considère la convection naturelle entre deux plaques planes verticales de longueur infinie etséparées par une distance 2δ. Elles sont maintenues à une température constante Th et Tc respec-tivement avec Th > Tc. Le gradient de pression vertical est purement hydrostatique.

1. Réaliser un schéma du problème.Esquisser le profil de température et de vitesse avant d’effectuer un quelconque calcul.

2. En négligeant la dissipation visqueuse, obtenir le profil de température.3. Déterminer le profil de vitesse et la position des maxima.

Les résultats seront sous forme adimensionnelle en y faisant apparaître le nombre de Grashof.4. Finalement, est-il pertinent de négliger la dissipation visqueuse ?

Définir le critère à satisfaire.Et concrètement, peut-on négliger la dissipation visqueuse pour l’air avec δ = 0.05 m et deuxplaques respectivement à une température de 0 oC et de 100 oC ?

16Solution de similitude pour la convection naturelleIl existe une solution de similitude pour le cas particulier de la convection naturelle le long d’uneplaque verticale plane dont le bas est situé en y = 0. La plaque est chauffée à une température Tw

supposée constante. Loin de la plaque, le fluide est au repos u = v = 0 et est à une températureTe < Tw. En supposant que l’écoulement n’existe que dans une couche limite proche de la plaque,on peut utiliser les équations de Prandtl en y ajoutant le terme lié à la poussée d’Archimède. Onnéglige la dissipation visqueuse dans ce problème.

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On peut obtenir solution de similitude pour ce problème en définissant :

η(x, y) =x

δ(y)=

x

y

�Gr(y)

4

�1/4

θ(η(x, y)) =T (x, y)− Te

Tw − Te

f(η(x, y)) = −ψ(x, y)4ν

�Gr(y)

4

�−1/4

1. Réaliser un schéma du problème.2. Donner l’expression de l’épaisseur de la couche limite δ(y) : en particulier quel est l’exposant

de y ?3. Trouver les deux équations différentielles ordinaires que doivent satisfaire θ et f ?

Le seul paramètre qui doit y apparaître est le nombre de Prandtl.4. Donner les cinq conditions aux limites en termes de f et de θ.5. Ecrire un programme MATLAB permettant d’obtenir les profils de vitesse axiale f �(η) et de

température θ(η) sous forme adimensionnelles. Une solution possible est l’utilisation astucieusede la méthode du tir avec ode45 :-)

6. Dessiner le graphe des profils de vitesse et de température pour Pr = 0.01, 0.1, 1, 10 et 100.7. Calculer le nombre de Nusselt local Nu(y).

Tracer les courbes pour les cinq nombres de Prandtl.

Mini-projet MATLABIl vous est proposé de réaliser un petit programme MATLAB pour obtenir

les courbes du dernier exercice : en effet, il n’est pas possible de trouver

une solution analytique pour les deux équations différentielles ordinaires non-

linéaires que vous allez obtenir.

Votre programme doit résoudre les équations pour les cinq valeurs de Prandtl

et produire trois figures contenant respectivement la vitesse axiale, la tem-

pérature et le flux de chaleurs sous forme adimensionnelle : soit f �, θ et Nu.

La remise du mini-projet n’est pas obligatoire, mais est fortement conseillée!

Le programme devra être soumis via le web, selon les instructions qui vous

seront fournies en temps utile avant le vendredi 8 avril à 23h59.

Pour les étudiants ayant remis le programme, celui-ci pourra avoir un impact

positif sur la note finale sur base de la formule ci-dessous.

EVALUATION = mean(PartieVL,PartieGW)

PartieVL = max(QuestionVL*0.9+ProjetMatlab*0.1,QuestionVL)

PartieGW = QuestionGW

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