Corrélations Maximales

8/14/2019 Corrlations Maximales

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Corrlations Maximales

Didier Lauwaert

2009

CORRELATIONS MAXIMALES 1

INTRODUCTION 1

FORMALISME 4

UTILISATION DU FORMALISME 6VARIABLES CACHEES LOCALES 6MECANIQUE QUANTIQUE 6

CONTRAINTES 8MESURES 8PARTICULES IDENTIQUES 9CARACTERE ALEATOIRE 9

RESPECT DES REGLES DE POLARISATION 10LOCALITE 10

CORRELATIONS 11

SOLUTIONS 11

UNE GENERALISATION 12

CONCLUSIONS 14

REFERENCES 15

Introduction

La mcanique quantique n'est pas avare de phnomnes tranges et difficiles interprter. Ainsi,

les tats intriqus dfient toute explication classique et semblent impliquer qu'il existe des effetsnon locaux bien que ces tats ne permettent aucunement de transmettre une information plus rapide

que la lumire.

C'est dans ce sens que nous prendrons le terme "local" ici. Si deux mesures spares par intervalle

relativiste de type spatial ne permettent en aucune faon de transmettre une information exploitable


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par l'exprimentateur, alors nous parlerons de localit. La description thorique des phnomnes

physiques en jeu peut, par ailleurs, trs bien impliquer des aspects non locaux. Une telle

circonstance est bien connue, mme en physique classique avec l'lectrodynamique en jauge de

Coulomb. Dans cette description, une charge lectrique statique met un champ lectrique

"instantan" dcrit par le potentiel coulombien, alors que l'lectrodynamique ne permet pas de

transfert plus rapide que la vitesse des signaux lectromagntiques, c'est--dire, la vitesse de lalumire.

Nous ne souhaitons pas discuter ici de la mcanique quantique et de son interprtation ou de son

caractre local ou non local. La question que nous nous posons ici est d'un tout autre ordre :

jusqu'o peuvent aller les corrlations entre des mesures spares par un intervalle de type espace

pour une thorie locale, c'est--dire sans que ces mesures permettent le transfert d'un signal

exploitable par l'exprimentateur ?

Plus prcisment. Nous nous plaons dans un schma de type EPR ([1]). Deux particules

parfaitement identiques (obtenues, par exemple, par scission d'une particule initiale, les lois de

conservation garantissant que certaines proprits sont alors identiques ou opposes) sontlargement spares. On effectue une mesure particulire sur chacune des particules et on compare

les rsultats ou plutt les concidences des mesures identiques (corrlations).

La mcanique quantique nous apprend que de telles particules sont dans un tat intriqu, toute

mesure sur l'une affecte l'autre. Au moins pour certaines interprtations de la mcanique quantique

impliquant une rduction complte de la fonction d'onde du systme aprs la mesure du systme

dans un tat dfini.

Bell a montr [2] que si les particules peuvent tre dcrites par un ensemble de variables locales

classiques dterministes (variables classiques mais caches, on n'observe que les rsultats des

mesures, pas les variables elles-mmes), alors les corrlations sont soumises des contraintes

matrialises par des ingalits.


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La mcanique quantique, par ailleurs, viole ces ingalits, ce qui se vrifie facilement ( l'aide du

formalisme de la thorie). Cela montre que la mcanique quantique est une thorie minemment

non classique (tout au moins si l'on respecte la localit).

Ces rsultats furent vrifis exprimentalement par diverses expriences et en particulier par

l'exprience d'Alain Aspect [3] qui fut le premier runir les conditions exprimentales permettantdes mesures sur un intervalle de type espace.

La question que nous nous posons est celle-ci : quelles sont les corrlations maximales auxquelles

les mesures doivent obir pour une thorie locale ? Ou plus prcisment, existe-t-il dans ce cas des

ingalits quivalentes celles de Bell ?

L'intuition semble dire que de telles corrlations maximales sont justement celles donnes par la

mcanique quantique. En effet, dans une exprience de type EPR, le caractre totalement alatoire

est capital. Si le rsultat n'tait pas strictement alatoire mais dpendait ne fut ce qu'un tant soit peu

de l'tat (rduit ou non) de la particule, alors la mesure sur une particule induirait une dtection

possible sur l'autre particule par de simples mesures statistiques. La thorie deviendrait non locale.La mcanique quantique semble raliser, en quelque sorte, "le lien maximal" entre deux particules

spares sans violation de la localit.

Toutefois, ce rsultat est propre la mcanique quantique. Cette intuition doit tre vrifie. Ce

quoi nous allons nous attacher.

Nous nous plaons donc dans le cadre d'une exprience de type EPR avec mesure de la polarisation

des deux particules selon des angles dtermins et avec des tats de polarisation initiaux totalement

indtermins (probabilit 1/2 d'observer, par exemple, une polarisation horizontale ou verticale). Ce

choix est dj trs gnral mais il se pourrait que des gnralisations ultrieures soient

envisageables. Par exemple, pour des systmes avec d'autres distributions de probabilit ou des

rgles diffrentes (des rgles de polarisation) reliant les mesures. Ce quoi nous invitons vu le

caractre trs contraint des conditions que nous allons choisir.

Une certaine gnralisation est dj envisage la fin.


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Formalisme

La premire difficult consiste trouver un moyen de formaliser mathmatiquement une "thorie

locale quelconque". Cela peut paratre trs ambitieux.

Heureusement, nous sommes aids en cela par deux choses :

- La seule chose qui nous intresse, c'est les rsultats des mesures.- La thorie n'a pas ncessairement besoin d'une description locale ni dterministe.

Nous pouvons donc utiliser n'importe quel ensemble de variables, pas ncessairement locales ou

dterministes ou classiques. Ces variables n'ont mme pas besoin d'tre des nombres (des vecteurs

dans un espace de Hilbert pourraient, par exemple, tre utiliss). L'algbre laquelle obissent les

variables peut tre absolument quelconque.

Nous devrons, bien entendu, poser certaines contraintes, au final, sur les rsultats des mesures. En

particulier, la localit.

Cette gnralisation extrme, a priori difficile, nous facilite donc, en ralit, la vie.

Nous allons procder comme suit.

Le systme sera dcrit par un ensemble de variables classiques dterministes . Comme signal ci-dessus, ces variables sont en nombre et de nature quelconque. L'espace auquel appartiennent ces

variables doit tre dot d'une mesure approprie d (pour effectuer des intgrations). Pour unensemble de systmes identiques, l'ensemble des variables n'est pas ncessairement fix.L'important, dans la prparation des systmes, est que ces systmes obissent un ensemble de

rgles. Par exemple, les probabilits de mesurer certaines proprits sont dtermines. Dans

l'ensemble des diffrents rsultats possibles rpondant ces conditions, les variables peuventprendre diffrentes valeurs non dtermines par l'exprimentateur. Ces diffrents rsultats obissent

donc une distribution statistique inconnue ( ) .

Notons que nous n'imposons pas de localisation particulire aux variables . Elles peuvent treutilises par une ou l'autre particule ou les deux. Cela dpend des fonctions de mesure ci-dessous.


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La description peut donc tre non locale mme si la thorie, au final, est physiquement locale selon

le critre dj discut.

Pour tre tout fait gnral, nous supposerons galement une variable alatoire dont la densit

de probabilit est uniforme dans [ ]1,0 . Il n'est pas ncessaire de compliquer outrance car l'on peut,

par l'ajout de variables classiques et des fonctions mathmatiques appropries, construire partir de , un ensemble de variables alatoires obissant des densits de probabilits indpendantes ouconjointes aussi complexe que l'on souhaite.

Enfin, la thorie est dcrite par les fonctions de mesure. Ainsi, la mesure d'une proprit i sera

donne par la fonction :

( ),ii mm =

Il peut y avoir autant de fonctions que ncessaires avec toute structure souhaite et la prsence de la

variable alatoire implique que le rsultat d'une mesure sur deux systmes avec les mmes valeurs

des variables ne signifie pas ncessairement que l'on obtiendra deux fois les mmes valeurs.

Ce n'est pas tout. Effectuer une mesure sur le systme peut entraner une modification des variables

du systme. Ces modifications, tant donn la structure choisie pour les variables, pourraient

entraner des effets non locaux.

Lorsque l'on effectue la mesure i , l'ensemble des variables subira une modification donne parun ensemble de fonctions dtermines :

( )ii mM ,,= (il ne s'agit pas d'une galit au sens mathmatique mais plutt au sens procdural :

( )ii

mM ,, , ue substitution des anciennes valeurs par les nouvelles).

Notons que ces deux ensembles de fonction pourraient tre lis, le rsultat de la modification

dpendant du rsultat de mesure. C'est important de le signaler tant donn la prsence de la

variable alatoire et explique l'occurrence du troisime argument. Enfin, la variable alatoire ne

prend pas ncessairement la mme valeur lors de la mesure et lors de la modification des variables.


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Utilisation du Formalisme

Pour illustrer ce formalisme et son caractre gnral, il est intressant de montrer son usage pour

deux formulations thoriques bien connues. Le premier est celui des variables caches locales

dterministes utilis, par exemple, dans le thorme de Bell. Le deuxime est le formalisme de la

mcanique quantique.

Nous nous limiterons la situation d'une mesure de polarisation de deux particules intriques et

nous utiliserons le formalisme quantique habituel avec rduction de la fonction d'onde selon la

rgle de Born.

Variables caches locales

Dans une thorie variables caches locales, on a deux ensembles de variables 1 et 2 attaches

chacune des particules. Il n'y a pas de variable alatoire.

La situation initiale sera dcrite par un ensemble de variables donn par une certaine distribution

( )1 et ( )2 avec la condition des variables identiques ou tout au moins des mesures variablesdonnes, par exemple ( ) ( )21 mm = (ou une autre convention, en particulier si les particules ontdes proprits opposes cause des lois de conservation, par simplicit, nous conserverons la

convention des proprits identiques, les modifications dans le cas de proprits opposes n'tant

pas trs difficiles).

La mesure sur la particule 1 sera donne par une fonction ( )1im et une fonction identique ( )2im pour la mesure de la mme proprit sur l'autre particule.

Les valeurs des variables ne sont pas modifies par la mesure.

Mcanique Quantique

En mcanique quantique, l'tat d'une particule sera donn par un vecteur de l'espace de Hilbert

deux dimensions 2H , tout au moins si on se limite la description de la polarisation. L'espace de

Hilbert du systme est le produit des espaces pour chaque particule 22 HH .


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Soit un tat gnrique, alors on aura simplement =P . Si le systme est prpar d'une

manire ou d'une autre dans cet tat, la distribution sera 1= pour l'tat considr. L'tat initial

peut tre tout mlange statistique d'tats purs ou superposs.

Si l'on note par + et - les tats de polarisation, disons, horizontales et verticales, alors les deux tats

correspondants (pour une particule) seront + et . Un tat polaris selon l'angle sera .

Des tats superposs sont possibles ++ ( un facteur de normalisation prs que nous

omettons).

L'tat de deux particules dans l'tat de polarisation horizontale sera ++, o l'on a not

successivement la polarisation de chaque particule.

Si le systme est prpar dans un tat superpos des polarisations (polarisation quelconque) avec

des particules intriques, l'tat initial (la valeur des variables) sera

+++ ,,

Nous avons besoin d'une variable alatoire . Etant donn la distribution choisie pour les variableset les rgles de probabilits, on aura pour une mesure d'angle , les amplitudes :

+ et .

On choisit d'effectuer la mesure sur la particule 1.

Si la particule est dans l'tat de polarisation horizontale, les lois de la mcanique quantique nous

disent que la mesure selon l'angle sera (en supposant l'angle mesur par rapport l'horizontale etle rsultat tant la dtection dans cet tat de polarisation) :

1 si 2cos<

0 si 2cos>

C'est la fonction de mesure pour la valeur de la variable + .


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Pour l'autre tat de polarisation on aura le mme rsultat mais avec des sinus et pour une somme

des deux tats (l'tat intriqu) la somme des deux probabilits divis par deux. Et donc :

1 si 2/1

La fonction de mesure est donc trs simple pour l'tat initial.

Si le rsultat de la mesure est 1, l'tat (complet) devient , . Sinon l'tat de polarisation

orthogonal.

C'est notre fonction de modification des variables du systme.

Contraintes

Revenons notre thorie gnrale locale.

Vu le type d'exprience effectu et vu ce que l'on sait de la thorie (elle est locale) et des propritslocales du systme (polarisation, etc.), on peut poser un certain nombre de contraintes sur les

rsultats des mesures.

Etant donn la prsence des fonctions de modification des variables, l'ordre des mesures est

important. Mme si en relativit restreinte et pour une thorie locale cela ne devrait pas avoir

d'importance (si le rsultat dpendait de l'ordre, selon l'instant o on effectuerait la mesure sur 1 on

pourrait dtecter un changement dans la mesure sur 2, ce que la contrainte de localit interdit).

Nous choisissons donc d'effectuer d'abord la mesure sur 1 puis sur 2, au moins pour dcrire les

contraintes. Vu que les mesures sont effectues sur un intervalle spatial, il existe toujours un repre

o cet ordre temporel est respect.

Mesures

Nous effectuerons d'abord la mesure de la polarisation sur la premire particule.

(1) ( ) ,m


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C'est la fonction de mesure sur la particule 1 selon l'angle . Le rsultat sera -1 ou +1 donnantl'absence ou la prsence de dtection.

Les variables sont altres :

(2) ( ) mM ,,=

Eventuellement, nous utiliserons dans les expressions ultrieures une autre variable alatoire

(disons ) pour signaler qu'elle a une valeur diffrente de celle dans (1) (la variable alatoire

prend une valeur alatoire diffrente chaque utilisation).

Enfin, on effectue la mesure sur la particule 2.

(3) ( ) ,m

selon l'angle .

Ca c'est le principe de mesure pour la situation exprimentale. Dans les contraintes, nous seronsamens envisager d'autres types de mesure.

Particules identiques

Les particules tant identiques et le systme totalement symtrique, nous devons admettre que :

(4) ( ) ( ) ,, )2()1( particulexparticulex mm =

C'est--dire le mme rsultat pour les mmes variables (y compris la mme valeur de la variable

alatoire).

Cela simplifie fortement les expressions et nous en tiendrons compte directement dans la suite.

Caractre alatoire

La mesure sur une particule doit tre totalement alatoire. C'est--dire que si l'on effectue une srie

de mesures sur un ensemble de particules "identiques" (au sens donn au dbut) de polarisation

quelconque, on doit avoir des probabilits 1/2 de mesure le rsultat selon un angle quelconque.


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(5) ( )( )

+

=2

,1

2

1

mdd

(la forme un peu particulire rsulte du choix -1 ou +1 des rsultats des mesures)

Respect des rgles de polarisation

Supposons que l'on mesure 1 pour la premire mesure. Dans ce cas, la mesure de la polarisationselon l'angle doit avoir la probabilit :

(6) ( ) ( )( )

+

=

2

,1cos2

mdd

o et sont lis par (2). La relation est la mme que l'on effectue la mesure sur l'une ou l'autreparticule puisque les fonctions sont identiques (4). Le respect des rgles de polarisation et le

caractre intriqu des particules implique donc que ces rgles applicables des mesures successives

sur une particule sont applicables nos deux particules.

Et si le rsultat tait -1 pour la premire particule, on aura :

(7) ( ) ( ) ( ) +=

2,1sin 2 mdd

Localit

Le processus de mesure sur la premire particule ne doit pas tre mesurable sur la deuxime.

Supposons que l'on choisisse de mesure la polarisation + ou - sur la premire particule (ou plus

gnralement deux angles quelconques et ). Alors les probabilits (6) et (7) d'observer unrsultat +1 (c'est--dire la demi-somme des deux) ne doivent pas en tre affectes. Cela donne des

relations identiques (6) et (7) mais avec le rsultat de mesure et le lien entre et donn par

(1) et (2) mais avec m .

Or, il se fait que la demi-somme de (6) et (7) donne 1/2 ! Elle est dj indpendante de l'angle

initial. Moralit, le respect du caractre alatoire de la mesure et des rgles de polarisation

garantit lui seul la localit.


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Par contre, les relations spares doivent tre conserves car elles sont mesurables sparment,

aprs coup, lors de la comparaison des rsultats.

Corrlations

Enfin, on calcule la corrlation entre les rsultats mesurs sur chaque particule. Ce rsultat est

donn par :(8) ( ) ( ) ( ) ( ) = ,,, mmddC

On peut alors rassembler tous ces rsultats pour essayer d'obtenir une expression, comme les

ingalits de Bell, sur les corrlations d'une telle thorie.

Solutions

Rcapitulons les quations en les dveloppant :

(1') mesure particule 1 ( ) 1,2 =m

(2') modification rsultante ( )( ) ,,, mM=

(3') mesure particule 2 ( ) ,m

(5) probabilit sur particule 1 ( )( )

+

=2

,1

2

1

mdd

probabilit particule 2 si la premire donne +1

(6') ( ) ( )( )( )( )

+

=2

,,,,1cos2

mMmdddd

probabilit particule 2 si la premire donne -1

(7') ( ) ( )( )( )( )

+=

2

,,,,1sin 2

mMmdddd

(8') Corrlation ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ,,,,, mMmmdddC On peut galement ajouter ces deux conditions videntes :

(9') normalisation densit :( ) 1= d


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(10') cas particulier ( ) 1, =C

Il est flagrant qu'il y a une fore similitude entre l'quation (8') et les quations (6') et (7'). L'quation

(8') est la diffrence entre les quations (6') et (7') (en tenant compte du signe de ( ) ,m et entenant compte du fait que (5) implique une probabilit 1/2 pour chaque occurrence). Et donc :

(11) ( ) ( ) ( ) = 22 sincos,C

Plutt qu'une ingalit, nous avons obtenu une relation exacte pour la fonction de corrlation. C'est

beaucoup mieux et cela rsulte directement du choix des contraintes qui s'avrent trs fortes (ce qui

a dj t constat avec la contrainte de localit). Des corrlations plus faibles ne permettraient pas

que les rgles de polarisation s'appliquent sur les deux particules spares en prsence de la localit.

Ce serait une violation de l'intrication.

La relation (11) est exactement la relation donne par la mcanique quantique, ce qui peut s'crire

aussi :

(11') ( ) ( ) 1cos2, 2 = C et qui peut servir, par exemple, montrer la violation des ingalits de Bell.

Une gnralisation

Les rsultats prcdents se gnralisent aisment au cas o l'tat initial est diffrent d'un tat

totalement alatoire ou au cas o les rgles sont diffrentes de celles de la polarisation. Plus

gnralement, on pourra crire pour les probabilits (6) et (7) la forme plus gnrale :

(6'') ( )f

(7'') ( )g

O est l'angle de mesure ou tout paramtre (ou ensemble de paramtres) de mesure.

Cette gnralisation est importante tudier car il ne s'agit pas de mesurer s'il est possible d'obtenir

des corrlations plus fortes que celles dues la polarisation, a c'est vident, mais de comparer les

corrlations, pour une situation donne, entre la mcanique quantique et la thorie locale gnrale.


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Les probabilits dictent :

(12) 1=+ gf

Et la corrlation, comme on l'a vu plus haut, est automatiquement :

(13) ( ) ( ) ( ) gfC =

Que donne la mcanique quantique ? Etant donn la rduction de l'tat dans l'tat de base mesur

(mesure +1) ou dans un tat orthogonal (mesure -1), on trouve facilement que la corrlation est

donne par :

(14) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2

2/2/

2

+++

=

fggfC

o 2/ indique l'angle correspondant l'tat orthogonal. S'il s'agit autre chose qu'un angle, pourtout tat de toute nature, on peut crire, par exemple, pour l'tat orthogonal, cela ne modifie pasles raisonnements qui suivent.

(13) et (14) seront identiques si la condition suivante est respecte (et cela se doit puisque la thoriegnrale impose ici les corrlations obtenues et la mcanique quantique peut s'exprimer avec cette

thorie, on pourrait toutefois, ventuellement, trouver des contraintes sur f et que la mcanique

quantique imposerait, tout comme les thories variables caches locales sont incompatibles avec

les contraintes choisies initialement, voir le commentaire plus bas dans la conclusion).

(15) ( ) ( )2/ += gf (et une autre relation semblable)

Ou, en utilisant (12) :

(15') ( ) ( )2/1 +=

ff

Cette relation exprime que la probabilit d'observer le systme dans l'tat de base est la mme

que la probabilit de ne pas observer le systme dans l'tat orthogonal 2/+ , ce qui est vrai


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(c'est une des relations de compltudes de la mcanique quantique, elle peut tre vrifie, par

exemple dans [4]).

Le rsultat reste donc valable dans ce cas plus gnral.

ConclusionsEn conclusion. Les corrlations (maximales) pour toute thorie locale respectant :

Le caractre strictement alatoire des mesures (au sens ventuellement statistique dans

une formulation variables caches).

Le fait que les particules soient identiques (intrication).

Les rgles de la polarisation lors de mesures successives ou toutes rgles de probabilit de

mesure pour un systme quelconque (gnralisation).

Donne automatiquement les corrlations de la mcanique quantique.

C'est intressant car c'est une contrainte forte que toute thorie doit respecter (notre but n'tant pas,

ici, de construire une thorie variables caches mme non locales). Ce rsultat vient en

complment des diffrents thormes d'impossibilits tirs de la mcanique quantique.

Cela valide aussi l'intuition initiale sur le caractre maximal des corrlations quantiques.

Le thorme de Bell montre que si l'on ajoute une contrainte supplmentaire (localit dans la

description, variables caches locales), alors la thorie ainsi fonde ne peut respecter toutes les

contraintes puisque ses corrlations sont plus faibles.

Le fait que la thorie soit aussi contrainte est en soit un rsultat intressant et qui donne rflchir.

En particulier si l'on met cela en parallle avec le fait qu'une description locale variables caches

ne peut pas marcher. Il est aussi curieux de constater cette discordance entre la description non

locale et la thorie locale (cette discordance n'est qu'apparente car elle dpend de l'interprtation de

la mcanique quantique, par exemple une analyse relationnelle des tats relatifs permet une

description locale, mais il reste curieux que l'interprtation, bien que non falsifiable, soit galement

aussi difficile).


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Rfrences

[1] Einstein A., Podolsky B., Rosen N.Physical Review 47 777 1935.

[2] Bell, J.S.Physics 1 195-200 1964.[3] Aspect, A., Grangier, P., Roger, G., Dalibard J.Physical Review Letters 47 460 198149 91,

1804 1982.

[4] Leonard I. Schiff, Quantum Mechanics, International Student Edition, McGraw-HillKogakusha, LTD.

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