4 Livre du professeur - CHAPITRE 2 Fonctions de référence

©H

ache

tte

Livr

e 20

11 –

Déc

lic 1

re S

a. 76543210–1–2–3–4–5 x

b. 43210–1–2–3–4–5–6–7–8 x

c. 76543210–1–2–3–4–5 x

d. 76543210–1–2–3–4–5 x

Rechercher un lieu géométriqueAM AN MN2 2 2= +

OM a a OM1 12 2 2 2 2+ + = + + +^ hOM a1 2 1 2 2+ + = +

OM a2+ = .Ainsi ;R a a2_ i, donc il appartient à la courbe de la fonc-tion racine carrée.

Déduire une courbe d’une autre1 La transformation qui permet de passer de ! à " semble être une translation.2 ;OM x y^ h ; ;OA 3 2^ h ; ;AM X Y^ h.

3 y x Y x Y x2 31 2 2 1 1+ += +-

+ = + = .

4 La transformation qui permet de passer de ! à " est la translation de vecteur OA.

Identifier la nature d’une courbe1 g 1 0=^ h , donc I ! " et g 0 1=^ h , donc J ! ".

2 y xy g x

y x

x x x1 2 1+

=

=

=

= - + -^ h* *

y x

x

y x

x1 21 1 4

1+ +=

- =

=

- =* *

y x 43+ = = . Donc ;A 4

343c m.

3 Non, car OA 169

169

89 12 != + = .

Distances minimales1 Il semble que la somme est minimale lorsque a 2= et que cette somme minimale vaut 3.2 AD BE CF x x x4 1 2+ + = - + - + -

f x= ^ h.3 Si x 1G , f x x7 3= -^ h ;si x1 2G G , f x x5= -^ h ;si x2 4G G , f x x1= +^ h ;et si x 4H , f x x3 7= -^ h .D’où :

x 3- 2 3+

f x^ h 3

4 La conjecture est démontrée : f admet un minimum en 2 valant 3.

1 c. 2 a. 3 a. 4 b. 5 c.

1 a. et c. 2 b. et c. 3 c. 4 c. 5 b. 6 a. et b.

1 b. 2 c. 3 a. 4 a. 5 b.

1 Vrai : si x est négatif, x x0G G et si x est positif, x x= .2 Vrai : la fonction racine carrée est croissante sur

;0 3+6 6.3 Faux : x 4

1= .

4 Vrai : x x0 0+H G- .5 Vrai :

2 3 4 5 6 7 8 9 x

6 Faux : 5 6- est négatif.

Applications directes

1 Les fonctions de référence déjà connues

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

a. x 3- 8 3+

f x^ h - 0 +

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Déc

lic 1

re S

a. 76543210–1–2–3–4–5 x

b. 43210–1–2–3–4–5–6–7–8 x

c. 76543210–1–2–3–4–5 x

d. 76543210–1–2–3–4–5 x

Rechercher un lieu géométriqueAM AN MN2 2 2= +

OM a a OM1 12 2 2 2 2+ + = + + +^ hOM a1 2 1 2 2+ + = +

OM a2+ = .Ainsi ;R a a2_ i, donc il appartient à la courbe de la fonc-tion racine carrée.

Déduire une courbe d’une autre1 La transformation qui permet de passer de ! à " semble être une translation.2 ;OM x y^ h ; ;OA 3 2^ h ; ;AM X Y^ h.

3 y x Y x Y x2 31 2 2 1 1+ += +-

+ = + = .

4 La transformation qui permet de passer de ! à " est la translation de vecteur OA.

Identifier la nature d’une courbe1 g 1 0=^ h , donc I ! " et g 0 1=^ h , donc J ! ".

2 y xy g x

y x

x x x1 2 1+

=

=

=

= - + -^ h* *

y x

x

y x

x1 21 1 4

1+ +=

- =

=

- =* *

y x 43+ = = . Donc ;A 4

343c m.

3 Non, car OA 169

169

89 12 != + = .

Distances minimales1 Il semble que la somme est minimale lorsque a 2= et que cette somme minimale vaut 3.2 AD BE CF x x x4 1 2+ + = - + - + -

f x= ^ h.3 Si x 1G , f x x7 3= -^ h ;si x1 2G G , f x x5= -^ h ;si x2 4G G , f x x1= +^ h ;et si x 4H , f x x3 7= -^ h .D’où :

x 3- 2 3+

f x^ h 3

4 La conjecture est démontrée : f admet un minimum en 2 valant 3.

1 c. 2 a. 3 a. 4 b. 5 c.

1 a. et c. 2 b. et c. 3 c. 4 c. 5 b. 6 a. et b.

1 b. 2 c. 3 a. 4 a. 5 b.

1 Vrai : si x est négatif, x x0G G et si x est positif, x x= .2 Vrai : la fonction racine carrée est croissante sur

;0 3+6 6.3 Faux : x 4

1= .

4 Vrai : x x0 0+H G- .5 Vrai :

2 3 4 5 6 7 8 9 x

6 Faux : 5 6- est négatif.

Applications directes

1 Les fonctions de référence déjà connues

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

1 Faux. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

1 Vrai. 2 Faux. 3 Vrai. 4 Vrai.

a. x 3- 8 3+

f x^ h - 0 +

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Déc

lic 1

re S

1

x

y

10

1

y = x – 1

y = x

Par lecture graphique, on conjecture qu’il n’y a qu’une solution qui vaut environ 2,6.2 Si 1x 1, alors 1x 1 0- et x ne peut pas être négatif.Donc si 1x 1, il n’y a pas de solution.3 Si x 1H , les deux membres de l’équation étant posi-tifs, on élève au carré, on obtient une équation équiva-lente El^ h : x x 1 2= -^ h

E x x x x x2 1 3 1 02 2+ += - + - + =l^ h .4 29 4 5 0= - =D , donc deux solutions à cette équation.

x 23 5

1 =- et x 2

3 52 =

+ .

Or 1x 11 , donc il ne peut pas être solution d’après 1 .

Finalement, seul x2 est solution : S 23 5

= +' 1.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .On a successivement 2a b 0H- - , puis 2a b 0H- - , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h et f est décroissante sur ; 03-@ @.2 x 3- 0

f x^ h0

3 x x x5 25 25+ +- = - = =- .S 25= -" ,.

1 On considère deux réels quelconques a et b tels que 1a b 0G .On a successivement 2a b 0H- - , puis

2a b 0H- - et enfi n 1a b- - - - , c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h. Donc f est croissante sur , 03-@ @.On sait que la fonction racine carrée est croissante sur l’intervalle ;0 3+6 6.Conclusion : f est croissante sur R.2

x

y

10

1

!!f

3 a. Si x est positif, l’ordonnée de M est x .b. ;M x x- -l^ h.

c. Le milieu I de MMl6 @ a pour coordonnées

;x x x x2 2- -c m, c’est le point 0 quelle que soit la

position de M sur la courbe de f .Conclusion : !f est symétrique par rapport au point 0.

1 x 0 1 3+

f x^ h 01

La fonction f est croissante puis décroissante, donc elle admet un maximum.Ce maximum vaut 1 et il est atteint pour x 1= .

2 Si x0 1G G , f x x x21

21

41+ += = =^ h .

Si x 1H , f x x x21 1

21 2+ += = =^ h .

Donc ;S 41 2= ' 1.

1 ff

a b

a ba b

a4 2 0

1 22 0

2+

= + =

= + =

+ =

=-

^^hh* )

ba

42

+=

=-) .

2 On a f x x2 4=- +^ h .On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b0 G .On a successivement 1a b0 G , puis 2a b2 2- - , puis 2a b2 4 2 4- + - + , c’est-à-dire 2f fa b^ ^h h.La fonction f est décroissante sur l’intervalle ;0 3+6 6.3 x 0 3+

f x^ h 4

4 On résout :x x x x2 4 0 2 4 2 4+ + +- + = = = = .

1 f

f

a b

a b

0 2

3 3 4

= =

= + =

^^hh* .

Les réels a et b étant strictement positifs, ce système est équivalent à :

a ba b

a b

b b

43 16

4

4 3 16

2

2

2

+=

+ =

=

+ =^ ^h hZ

[

\

]]

]]* .

La deuxième équation donne :b b b12 4 16 1++ = = .

On obtient a a4 22 += = , car a est positif.Finalement f x x2 1= +^ h .2 f x^ h est défi nie si, et seulement si,

x x1 0 1+H H+ - .Donc D ;1f 3= - +6 6.3 On considère deux réels quelconques a et b tels que

1a b1 G- .On a successivement 1a b0 1 1G + + , puis 1a b0 1 1G + + , puis 1 ,a b2 1 2 1+ + c’est-à-dire 1f fa b^ ^h h.