Corrigé Vision: manuel 2...3) La tangente de cet angle aigu. b. 1) 2,5 tan1 143,22 cm 2) 2,5 tan5 28,58 cm c. 1) 2arctan 5,72 2) 2arctan 0,09 d. 1) Les pixels sont indiscernables

Corrigé

Vision: manuel 2

Technico-sciences

3e année du 2e cycle

© 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 2 1

Réactivation 1

a. 1) Le sinus de cet angle aigu. 2) Le cosinus de cet angle aigu.3) La tangente de cet angle aigu.

b. 1) 2,5 � tan 1° � 143,22 cm 2) 2,5 � tan 5° � 28,58 cm

c. 1) 2 arc tan � 5,72° 2) 2 arc tan � 0,09°

d. 1) Les pixels sont indiscernables pour des distances supérieures à environ 24,06 m.2) � 111,7 km

Mise à jour

1. a) m ∠ A � 44,96° b) m ∠ A � 60,64° c) m ∠ A � 30,57° d) m ∠ A � 59,52°

2. a) m ∠ C � 34° m � 10,20 cm m � 6,88 cmb) m ∠ D � 57° m � 6,71 cm m � 3,66 cmc) m ∠ H � 30° m � 7,79 cm m � 4,5 cmd) m ∠ J � 20° m � 12,22 cm m � 4,45 cme) m ∠ N � 65° m � 5,10 cm m � 2,38 cmf ) m ∠ P � 45° m � 0,49 cm m � 0,35 cm

3.

Mise à jour (suite)

4. a) 1) cos B ou sin A. 2) sin B ou cos A. 3) tan A 4) tan Bb) 1) Vrai. 2) Vrai. 3) Faux. 4) Faux.

5.

Page 8

PRPQNOMOKLJLGIHIDFDEABBC

Page 7

1,52000

1,530

Page 4

5RÉVISION

Les vecteurs5

Longueur de la Longueur de la Longueur Mesure Mesurecathète adjacente cathète opposée de l’hypoténuse de l’angle A de l’angle Bà l’angle A à l’angle A (cm) (°) (°)(cm) (cm)

Triangle 43 34,29 55 38,57 51,43Triangle 5,20 3 6 30 60Triangle 1,5 1,5 2,12 45 45Triangle 28,98 23 37 38,43 51,57Triangle 25,66 21,53 33,5 40 50

Triangle 103 102 144,96 44,72 45,286

5

4

3

2

1

Pente (%) Inclinaison (°)2 1,155,24 3

6 3,438,75 5

10 5,7117,63 10

Vision 5 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel TS – Vol. 2 © 2011, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée2

6. a) 1) � 4,76 cm 2) � 3,1 cmb) 1) � 7,09 cm 2) � 8,89 cmc) 1) � 75,96° 2) � 79,11°

2

Mise à jour (suite) Page 9

7. Puisqu’il s’agit d’un triangle rectangle, il est possible de poser l’équation ci-dessous.

tan 75° � ⇒ distance franchie � 20 � tan 75°, soit � 74,64 m.

La campeuse a donc tort.

8. Hypoténuse du triangle ayant un angle de 63° : � 4,49 m.Hypoténuse du triangle ayant un angle de 54° : � 8,51 m.Aire du toit : (4,49 � 8,51) � 15 � 195 m2.Avec les pertes de matériau, il faut acheter 195 � 195 � 0,05, soit environ 204,75 m2 de bardeau d’asphalte.Il en coûte environ 204,75 � 50, soit environ 10 237,50 $ pour couvrir le toit de cette maison.

9. a) T � 13,35 m b) d � 23,12 mc) T � d tan 30° � h d) T � d tan 45° � h

� d(1) � h� d � h

distance franchie20


10. a) Apothème de la pyramide : 7 � cos 10° � 7,11 cm.Côté de la base : 2 � 7 � tan 10° � 2,47 cm.1) Aire totale de la pyramide : 2,472 � 4 � 2,47 � 7,11 � 2 � 41,22 cm2.2) Volume de la pyramide : 2,472 � 7 � 3 � 14,24 cm3.

b) Hauteur du cône : 2 � cos 8° � 1,98 m.Rayon de la base : 2 � sin 8° � 0,28 m.1) Aire totale du cône : π� 0,282 � 2 � π� 0,28 � 1,99 m2.2) Volume du cône : π� 0,282 � 1,98 � 3 � 0,16 m3.

11. a) � 4,12 cmb) 1) � 0,01° 2) � 0,05°c) Déviation horizontale : 5000 � tan 0,1° � 8,72 cm.

Déviation verticale : 5000 � tan 0,08° � 6,98 cm.Distance entre le point d’impact de la balle et le centre de la cible : � 11,18 cm.


12. a) Longueur de l’escalier : 2 � tan 25° � 4,29 m.Nombre minimal de marches : 2 � 0,1 � 20 marches.Profondeur d’une marche : 429 � 20 � 21,45 cm.Il y aura 20 marches d’une hauteur de 10 cm et d’une profondeur d’environ 21,45 cm.

b) Longueur de l’escalier : 2 � tan 30° � 3,46 m.Nombre maximal de marches : 25 marches.Profondeur d’une marche : 346 � 25 � 13,84 cm.Hauteur d’une marche : 200 � 25 � 8 cm.Il y aura 25 marches d’une hauteur de 8 cm et d’une profondeur d’environ 13,84 cm.

13. a) 1) Rayon de la surface éclairée : 5 � tan 25° � 2,33 m.Aire de la surface éclairée : π� 2,332 � 17,08 m2.La mesure de la surface éclairée est environ de 17,08 m2.

Page 11

�8,722 � 6,982

Page 10


2) Rayon de la surface éclairée : 10 � tan 25° � 4,66 m.Aire de la surface éclairée : π� 4,662 � 68,31 m2.La mesure de la surface éclairée est environ de 68,31 m2.

b) 1) Rayon de la surface éclairée : � 0,80 m.Distance entre la lampe de poche et le mur : 0,80 � tan 25° � 1,71 m.La lampe de poche est située à environ 1,71 m du mur.

2) Rayon de la surface éclairée : � 0,98 m.Distance entre la lampe de poche et le mur : 0,98 � tan 25° � 2,10 m.La lampe de poche est située à environ 2,10 m du mur.

c) Si r représente le rayon de la surface éclairée et d, la distance qui sépare la lampe de poche du mur, on a r � d tan25°. On en déduit que la mesure de la surface éclairée est de :A1 � πr 2 � π(d tan 25°)2

Si la distance double, on peut remplacer d par 2d dans la formule précédente et on obtient :A2 � π(2d tan 25°)2 � 4π(d tan 25°)2 � 4A1La mesure de la surface éclairée a donc quadruplé.

14. a) Périmètre � a � b � b cos x � a cos yb) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Aire �

15. a) m � � x

m � ( x)2 � x 2 � xLa longueur du segment AE correspond à l’expression x.

b) tan ∠ GAE � �

m ∠ GAE � arc tan , soit � 15,50°.

La mesure de l’angle GAE est environ de 15,50°.

Les caractéristiques d’un vecteur

ProblèmeVoici une représentation graphique de la situation :

Puisque m ∠ OMF � 45°, le triangle OMF est isocèle et m � 2 km.Puisque le triangle SOF est rectangle, on a :

• m � (m � m )2 � (m )2 � , soit � 22,09 km ;

• x � arc tan , soit � 5,19°.

Puisque la distance doit être franchie en 2 h, le sous-marin doit se déplacer à une vitesse de , soit environ de 11,05 km/h.En conclusion, le sous-marin doit se déplacer pendant 2 h à une vitesse d’environ 11,05 km/h en suivant un angle de plongéed’environ 5,19° mesuré dans le sens horaire par rapport à l’horizontale.

22,092

222

�222 � 22OFMOSM�SF

OM

F

M

S

20 km 2 km

45° Ox

2 km

Page 12

5.1section

1

��13

1

��13x

��13x

�14�14�13�AE

�13�(2x )2 � (3x )2AG

(b cos x � a cos y ) � a sin y2

�3 � π

�2 � π


Activité 1

a. Ces renseignements n’indiquent pas l’orientation du déplacement de chaque drone.

b. 1) Bien qu’on sache que les deux drones se déplacent dans une même direction, on ne connaît pas le sens du déplacementde chacun.

2) On doit aussi connaître le sens dans lequel chaque drone se déplace.

c. Oui, car les drones se déplacent l’un vers l’autre.Non. Les drones se déplacent à la même vitesse et dans le même sens. Le drone de gauche ne rattrapera donc jamaisle drone de droite.Oui, car le drone de gauche a une vitesse supérieure à celle du drone de droite et ils se déplacent dans le même sens.Le drone de gauche finira donc par rejoindre le drone de droite.

Activité 2

a. 1) Des vecteurs équipollents sont des vecteurs qui ont la même grandeur et la même orientation. Ce sont des vecteursidentiques.

2) Des vecteurs opposés sont des vecteurs qui ont la même grandeur, la même direction mais un sens opposé.3) Des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont la même direction.

b. Il y a huit vecteurs différents.

Activité 2 (suite)

c. 1) Le vecteur jaune et le vecteur gris.2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le vecteur jaune et le vecteur noir.3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le vecteur gris et le vecteur vert.

d. Pour chaque vecteur, on obtient le premier nombre du couple en soustrayant l’abscisse de l’origine de la flèche de l’abscissede la pointe de la flèche, et le second nombre du couple, en soustrayant l’ordonnée de l’origine de la flèche de l’ordonnée dela pointe de la flèche.

e. 1) (2, 4) 2) (2, 4) 3) (–2, –4) 4) (x2 � x1, y2 � y1)

f. 1) � 6,40 u 2) arc tan � 51,34º

Activité 3

a. 1) Le triangle ABC est un triangle rectangle.2) Le cadreur parcourt 11 � cos 31° � 9,43 m.3) Le cadreur se déplace à une vitesse de 11 � cos 31° � 5 � 1,89 m/s.

b.

c. 1) Le cadreur parcourt 9 � cos 37° � 7,19 m.2) Le cadreur se déplace à une vitesse de 9 � cos 37° � 7 � 1,03 m/s.

37°

E

D

9 m

F

I

Page 16

54�42 � 52

Page 15

Page 14

3

21

Page 13

4


Technomath

a. Leur origine est située aux mêmes endroits, soit A(3, 2).

b. Écran 2 : 1) � 3 2) 3 Écran 3 : 1) � –4 2) –4 Écran 4 : 1) � 1 2) 1

c. Si l’orientation d’un vecteur AB correspond à l’angle mesuré dans le sens antihoraire qu’il forme avec l’horizontale,la différence entre les abscisses des points B et A correspond à la distance entre les points A et B multipliée par le cosinusde l’orientation de ce vecteur.

d. Écran 2 : 1) � 2 2) 2 Écran 3 : 1) � 2 2) 2 Écran 4 : 1) � –4 2) –4

e. Si l’orientation d’un vecteur AB correspond à l’angle mesuré dans le sens antihoraire qu’il forme avec l’horizontale,la différence entre les ordonnées des points B et A correspond à la distance entre les points A et B multipliée par le sinus del’orientation de ce vecteur.

f.

Mise au point 5.1

1. a) Une grandeur vectorielle. b) Une grandeur scalaire. c) Une grandeur vectorielle.d) Une grandeur vectorielle. e) Une grandeur scalaire.

2. a) Le vecteur doit avoir une longueur de 6 cm. b) Le vecteur doit avoir une longueur de 3,5 cm.

c) Le vecteur doit avoir une longueur de 7 cm. d) Le vecteur doit avoir une longueur de 6 cm.

e) Le vecteur doit avoir une longueur de 9 cm.340°

� CD� � 9 km/h

D

C

vB

270°

�f � � 3000 Nv

2°

�w � � 280 N◊

165°

A

B � AB� � 14 kmvB

40°

� v � � 18 m/s√

Page 21

Page 17

5 cm145°

1

1

y

x


f ) Le vecteur doit avoir une longueur de 7 cm.

3. a) 1) ABBV et MNBV. 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : ABBV et EFBV.b) ABBV, CDBV et MNBV.c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : ABBV et CDBV ainsi que EFBV et KLBV.

Mise au point 5.1 (suite)

4. a) � (3,21, 3,83) b) � (–35, 60,62) c) � (8,16, –9,73)d) � (–786,65, –2161,29) e) (0, –0,5) f ) � (–0,82, –0,57)g) � (–8,19, –5,74) h) � (176,78, 176,78)

5. a) �v√� � ; orientation : 45°. b) �w◊� � 2 ; orientation : � 56,31°.

c) �u√� � 4 ; orientation : � 18,43°. d) �s√� � ; orientation : � 102,99°.

e) �tv� � ; orientation : � 240,95°. f ) �m◊� � ; orientation : � 284,04°.

g) �n√� � ; orientation : � 95,71°. h) �o√� � 4 ; orientation : 270°.

i ) �p√� � 6 ; orientation : 135°. j ) �e√� � 20 ; orientation : � 348,69°.

k) �c√� � 117 ; orientation : 180°. l ) �hv� � ; orientation : � 263,48°.

6. a) 1) 2)

b) La pente d’une droite correspond à l’opposé de l’inverse de la pente de l’autre droite. Le produit des deux pentesest donc –1.

c) Les deux vecteurs sont orthogonaux, car ils sont supportés par des droites dont le produit des pentes est –1,ce qui indique que ces droites sont perpendiculaires.

7. a) Représentation graphique de la situation b) Représentation graphique de la situation

Norme : � 10,63 � cos 85,06° � 0,92 ; Norme : � 18,6 � cos 85,06° � 1,6 ;orientation : 180° � arc tan � 233,75°. orientation : 180° � arc tan � 138,81°.7

81511

y

x

� CD � � 18,6vB

� AB � � 10,63vB

Norme de la projection : � 1,6

� 53,75°� –41,19°0

y

x

� CD � � 18,6vB

� AB � � 10,63vB

Norme de la projection : � 0,92

� 53,75°� –41,19°

0

–ab

ba

�49,64

�26�2

�4,04

�106,25�106

�178�10

�13�2

Page 22

30°

� NM � � 0,7 mm

N

M

vB

6



8. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

9. a) Soit (x, 3x ), où x � �, les composantes de ce vecteur. Orientation : arc tan � arc tan 3, soit � 71,57°.b) Norme : � � � x. Comme x est un nombre naturel, x est un multiple

de .c) La composante horizontale vaut le triple de l’opposé de la composante verticale.

10. a) 360° � arc tan � 323,13°

b) Orientation : arc tan � 45,81°.

x � 2,5 cos 45,81° � 1,74y � 2,5 sin 45,81° � 1,79fv � (1,74, 1,79)

c) Les coordonnées de l’objet sont (4,8, –1,4).


11. a) � 7,82 b) � 35,81 c) � 0,71 d) � 0,16

12. a) �ABBV� � , soit � 14,40. b) �ABBV� � , soit � 14,66.

x � –14,40 cos 59° � –7,41 x � 14,66 cos 64° � 6,43y � 14,40 sin 59° � 12,34 y � 14,66 sin 64° � 13,18ABBV � (–7,41, 12,34) ABBV � (6,43, 13,18)

13. a) � (1,61, –0,58) b) � (5,44, 4,1) c) � (–1,54, 2,3)


14. a) B(� 4,12, � 14,04°)D(� 4,12, � 104,04°)E(� 3,61, � 236,31°)F(� 3,61, � 326,31°)

b) H(� –3,46, –2)

15. a) Pour John, θ � arc sin , soit � 11,54°. fhv � 2000 � cos 11,54°, soit � 1959,57 N.

Pour Arthur, θ � arc sin , soit � 14,48°. fhv � 2200 � cos 14,48°, soit � 2130,12 N.Arthur exerce la plus grande force.

b) Il faut que 2300 � cosθ � 2130,12 N. On en déduit que θ � arc cos , soit � 22,15°.Si x représente la hauteur du point B, on a sin 22,15° � ⇒ x � 30 � 75,44 cm.La hauteur du point B devrait donc être d’environ 105,44 cm.

x � 30200

2130,122300

50200

40200

Page 25

10cos 47°

10cos 46°

Page 24

3,63,5

34

�10�10�10�10x 2�x 2 � 9x 2�x 2 � (3x )2

3xx

◊w

√p √u√q

√v√o

y

x

1

10

Page 23


c) Plus l’angle θ est proche de 0, plus la composante horizontale de la force exercée est grande. Puisque c’estcette composante qui engendre un déplacement, les concurrents se placent de manière à ce que θ soit proche de 0,c’est-à-dire de manière à ce que la corde se rapproche de l’horizontale.


16. a) 1) θ � arc cos � � � arc cos � � � arc cos � � � 60°

2) θ � arc cos � � � arc cos � � � arc cos � �, soit � 75,52°.

3) θ � arc cos � � � arc cos � � � arc cos 1 � 0°

4) θ � arc cos � � � arc cos � � � arc cos 0 � 90° ou 270°.

b) On a θ � arc cos . Si AB'BV est un vecteur unitaire, alors �AB'BV� � 1 et θ � arc cos .

17. a) m ∠ BAC � 75° � (90° � (180° � 111°)) � 54°�ACBV� � 4 cos 54°, soit � 2,35 km.Le déplacement perçu par Juliette a une norme d’environ 2,35 km et une orientation de 21°.

b) 1)

2) m ∠ BAD � 90° � (180° � 75°) � (90° � 54°) � 69°�ADBV� � 4 cos 69°, soit � 1,43 km.La longueur du déplacement du bateau perçu par Raoul est environ de 1,43 km.

Les opérations sur les vecteurs

ProblèmeTrois conjectures possibles :1re conjecture : Le résultat d’une somme de vecteurs est également un vecteur.2e conjecture : Lorsqu’on additionne deux vecteurs de même origine, il est possible de former un parallélogramme à l’aide

des deux vecteurs à additionner. Le résultat est alors un vecteur qui a la même origine que les deux autres etqui est superposé à une diagonale du parallélogramme.

3e conjecture : Lorsqu’on additionne plusieurs vecteurs, il est possible de mettre bout à bout les vecteurs à additionnerde manière à ce que l’origine d’un vecteur corresponde à l’extrémité d’un autre. Le vecteur qui correspond àla somme de ces vecteurs est celui qui relie l’origine du premier vecteur à l’extrémité du dernier vecteur.

Activité 1

a. 1) Puisque les déplacements sont successifs, ils ne peuvent pas commencer au même point.2) Le deuxième déplacement commence à l’endroit où le premier déplacement s’est terminé, ce qui correspond bien à

la définition de deux déplacements successifs.

Page 28

Page 27

5.2section

B

C

A

54°111°75°

4 kmD

1

�ABBv��AB'Bv��ABBv�

�0v��ABBv�

�AB'Bv��ABBv�

�ABBv��ABBv�


14

1�4



12

1�2



Page 26

8


b. 1) 62°2) En utilisant la loi des cosinus, on trouve �DFBV� � 5,74 dam.3) En utilisant la loi des sinus, on trouve la mesure de l’angle FDE, soit environ 37,99°. On en déduit que l’orientation

du vecteur DF est environ de 32,01°.

c. Cela revient à démontrer que DFBV � GHBV.

d.

Activité 2

a. � (849,07, 375,02)

b. 1) 0 � –249,4 � 1098,5 � 849,1 N2) La somme des composantes horizontales des vecteurs p, n et f est approximativement égale à la composante horizontale

du vecteur r.

c. 1) –1000 � 933,4 � 441,6 � 375 N2) La somme des composantes verticales des vecteurs p, n et f est approximativement égale à la composante verticale

du vecteur r.

d. Les composantes d’un vecteur résultant de l’addition de plusieurs vecteurs correspondent à la somme des composantesde chacun des vecteurs additionnés.

Activité 3

a. 1) i ) fv � fv � fv ii ) fv � fv � fv � fv � fv2) i ) 3fv ii ) 5fv3) i ) La norme est 9000 N et l’orientation est de 143°.

ii ) La norme est 15 000 N et l’orientation est de 143°.

Page 30

Page 29

27°

� 35,93°

� 3,43

3,2

3

4,4

249°

AFFIRMATION JUSTIFICATION

m ∠ GIH � 180° � 70° � (360° � 312°) � 62°m ∠ GHI � m ∠ DEF

∆ GHI ∆ DEF Par CAC.

�DFBV� � �GHBV� Les côtés homologues de deux triangles isométriques sont isométriques.

m ∠ IGH � arc sin , soit � 80,01°. Par la loi des sinus.

Orientation de GHBV � 80,01° – (360° – 312°), soit � 32,01°.

GHBV � DFBV Deux vecteurs qui ont la même norme et la même orientation sontéquipollents.

6,4 sin 62°�GHBV�


b. 1) L’orientation du vecteur obtenu est identique à l’orientation du vecteur de départ.2) La norme du vecteur obtenu correspond à la norme du vecteur de départ multipliée par le scalaire.

c. 1) � (–2395,91, 1805,45) 2) � (–7187,72, 5416,34) 3) � (–11 979,53, 9027,23)

d. Cette conjecture est vraie, car :• (3 � –2395,91, 3 � 1805,45) � (–7187,73, 5416,35), ce qui correspond pratiquement au résultat obtenu en c 2) ;• (5 � –2395,91, 5 � 1805,45) � (–11 979,55, 9027,25), ce qui correspond pratiquement au résultat obtenu en c 3).

Technomath

a. 1) (4, 2) 2) (–3, 3) 3) (1, 5)

b. 1) (5, –2) 2) (–3, 3) 3) (2, 1)

c. Les composantes d’un vecteur résultant de la somme de deux autres vecteurs correspondent à la somme des composantesde ces deux vecteurs.

d. ABBV � (6, –1), ACBV � (1, 7) et ADBV � (7, 6). Or, puisque (6 � 1, –1 � 7) � (7, 6), la conjecture est vérifiée.

e.

Mise au point 5.2

1. Dans chaque cas, le vecteur résultant est celui qui est tracé en gras.a) b) c)

d)

24°

iv

kv jv

116°

180°

225°

315°

hv

g√

108°

270° z√

wV135°

63°

v√u√

Page 35

Page 31

10

B

A

C

1

1 D

E


e) f) g)

h)


2. a) Norme : � 3,12 ; orientation : � 108,09°. b) Norme : � 5,07 ; orientation : 78°.c) Norme : � 22,82 ; orientation : � 294,53°. d) Norme : � 31,82 ; orientation : � 72,32°.

3. a) AFBV b) AGBV c) AHBV d) CBBV

e) DFBV f ) HGBV g) HFBV

4. a) ACBV b) BDBV c) ABBV d) AABV ou 0v. e) AEBV f ) ABBV


5. a) 1) b) 1) c) 1)

2) � (1,88, 3,53) 2) � (–38,63, –64,29) 2) � (0,14, –0,11)

6. a) v√ � u√ b) v√ � u√ c) v√ � –2,5u√

7. a) Les segments AC et BD sont des côtés opposés d’un parallélogramme et sont, par conséquent, parallèles etisométriques. Les vecteurs AC et BD ont donc la même norme, la même orientation et sont équipollents.C’est une application directe de la relation de Chasles.2

1

521

4112

0

y

x

322°

0

y

x

239°

0

y

x

62°

Page 37

Page 36

a√

99°

45° bv

r√

215°

125° q√

a√

99°

45° bv


Dans l’égalité ABBV � BDBV � ADBV, on a remplacé BDBV par ACBV qui lui est équipollent. Or, remplacer un terme parun terme équivalent conserve l’égalité.

b) ABBV � ACBV � ABBV � ACBV� ABBV � CABV� CABV � ABBV� CBBV

c) 1) 2) F

EG

EF � EGBV BV

F

EG

EF � EGVV

3

12


8. a) (4, 6) b) (2, 10) c) (2, –4) d) (1, 0) e) (20, 8)f ) (3, –12) g) (–12, –12) h) (36, 72) i ) (–9, 0)

9. a) � 4702,28 mb) � 275,07 m

10. a) 1) La vitesse limite est atteinte lorsque p√ � –fv. Puisque le signe « – » est associé au sens du vecteur,et non à sa norme, on a :

�p√� � �fv�m�g√� � 13,7�v√�

70 � 9,8 � 13,7�v√��v√� � 50,07 m/s

La vitesse limite est donc environ de 50,07 m/s, soit environ 180 km/h.2) m�g√� � 5,3�v√�

50 � 9,8 � 5,3�v√��v√� � 92,45 m/s

La vitesse limite est donc environ de 92,45 m/s, soit environ 333 km/h.b) 1) m�g√� � 13,7�v√�

m � 9,8 � 13,7 � 65m � 90,87 kg

La masse d’un parachutiste est environ de 90,87 kg.2) m�g√� � 5,3�v√�

m � 9,8 � 5,3 � 95m � 51,38 kg

La masse d’une parachutiste est environ de 51,38 kg.


11. a) 1) 180º2) �OABV� � 1,8 m3) Le barycentre est placé à 1,8 m du point A ou à 1,2 m du point B.

b) �OABV� � �ABBV�

10 cm � �ABBV��ABBV� � 10 010 cm ou 10,01 m.Ce levier doit avoir une longueur de 10,01 m.

11000 � 1

m2

m1 � m2

Page 39

Page 38


12. a) v√ � (6, 4), tv � (3, –12) et q√ � (–0,4, –1).b) 1) La pente de la droite qui supporte u√ est de . 2) La pente de la droite qui supporte v√ est de , soit .

3) La pente de la droite qui supporte s√ est de –4. 4) La pente de la droite qui supporte tv est de – , soit –4.5) La pente de la droite qui supporte p√ est de . 6) La pente de la droite qui supporte q√ est de – , soit .

c) 1) Deux vecteurs dont l’un correspond au produit de l’autre par un scalaire sont supportés par des droites de mêmepente, donc parallèles. Les deux vecteurs ont donc nécessairement la même direction.

2) Les composantes de w◊ sont (ka, kb). La pente de la droite qui supporte v√ est de . La pente de la droite quisupporte w◊ est de , soit . Les pentes sont les mêmes, ce qui confirme la conjecture.

13. a) vi√ � (–5, 0), vf√ � (0, –5) et vf√ � vi√ � (0 � –5, –5 � 0) � (5, –5).

fv � m � (0,1 � 5, 0,1 � –5) � (0,5, –0,5)

�fv� � , soit � 0,71 N.

Orientation de fv : 360° � arc tan � 315°.

b) vi√ � (15 � cos 134°, 15 � sin 134°), soit � (–10,42, 10,79).vf√ � (20 � cos 237°, 20 � sin 237°), soit � (–10,89, –16,77).vf√ � vi√ � (–10,89 � –10,42, –16,77 � 10,79) � (–0,47, –27,56)

Puisque fv � m , on a � (20 � –0,47 � 3600, 20 � –27,56 � 3600) � (–0,003, –0,15).

�fv� � � 0,15 N

Orientation de fv : � 180° � arc tan � 268,85°.



15. La quantité de mouvement transmise à l’engin par chaque photon est donnée par �p√� sinθ. La quantité de mouvement de l’engin doit être égale à la quantité de mouvement transmise par les photons. On a donc m�v√� � n�p√� sinθ, où nreprésente le nombre de photons qui percutent la voile.a) 1) m�v√� � n�p√� sinθ

(50)(1) � n(10–27 sin 90°)n � 5 � 1028

5 � 1028 photons doivent percuter la voile.2) m�v√� � n�p√� sinθ

(50)(1) � n(10–27 sin 45°)n � 7,07 � 1028

Environ 7,07 � 1028 photons doivent percuter la voile.3) m�v√� � n�p√� sinθ

(50)(1) � n(10–27 sin 15°)n � 1,93 � 1029

Environ 1,93 � 1029 photons doivent percuter la voile.

y

x

1

10

√–2u

–0,75(u � v )√ √

√0,5u

√3v

Page 40

0,150,003

�(–0,003)2 � (–0,15)2

vf√ � vi√t

0,50,5

�0,52 � (–0,5)2

vf√ � vi√t

ba

kbka

ba

52

–1–0,4

52

123

23

46

23


b) 1) n � 3600 � 1030 � 3,6 � 1033 photons.m�v√� � n�p√� sinθ50�v√� � (3,6 � 1033)(10–27 sin 50°)

�v√� � 5,51 � 104 m/sLa vitesse de l’engin spatial est environ de 5,51 � 104 m/s.

2) n � 7 � 24 � 3600 � 1030, soit � 6,05 � 1035 photons.m�v√� � n�p√� sinθ50�v√� � (6,05 � 1035)(10–27 sin 50°)


3) n � 365 � 24 � 3600 � 1030, soit � 3,15 � 1037 photons.m�v√� � n�p√� sinθ50�v√� � (3,15 � 1037)(10–27 sin 50°)


Le produit scalaire

Problème• La norme de la composante horizontale de fv est 90 000 � cos 16°, soit environ 86 513,55 N.• Puisque l’énergie déployée lors du freinage correspond au produit de la composante horizontale de fv par la distance d

nécessaire à l’immobilisation de l’avion, on a :20 000 000 � 86 513,55 � d

d � 231,18 m• Puisque cette distance est celle franchie par les roues arrière, il faut :

– y ajouter 10 m, car le train arrière touche le porte-avions à 10 m du début de la piste ;– y ajouter la distance qui sépare le train avant du train arrière, sans quoi l’avion basculerait au bord du porte-avions.

• La distance de freinage est de 231,18 m � 10 m � 6 m, soit environ 247,18 m.• Il faut y ajouter 10 % de 247,18 m, soit environ 24,72 m.La longueur minimale du porte-avions devrait être d’environ 271,90 m.

Activité 1

a. 1) � 3328,7 N 2) � 4212,79 N

b. 1) � 166 434,89 J 2) � 189 575,76 J

c. W � �fv� � �dv� � cosθ

d. 1) � 28,74 m 2) � 29,75 m 3) � 40,64 m 4) � 57,47 m

Mise au point 5.3

1. a) � 18,53 b) � 2,91 c) � 2,96 d) � –1,98 e) � 9,27f ) � –6,02 g) 0 h) 15 i ) –5,4

2. a) 3 b) 41 c) 1,7 d) 313 e) –4,5 f ) 100

Page 44

Page 42

Page 41

5.3section

14


3. a) 1) 43 2) � 5,39 et � 8,06. 3) � 7,94°b) 1) 5 2) � 1,41 et � 3,61. 3) � 11,31°c) 1) –13 2) � 5,83 et � 6,08. 3) � 111,5°d) 1) –28 2) � 8,94 et � 9,06. 3) � 110,22°e) 1) –70 2) � 7,62 et 10. 3) � 156,8°f ) 1) ab 2) b et a. 3) 45° ou 135°.


4. a) 1) � 5,54 2) � –7,88 3) � –7,46 4) 0 5) � –3,94 6) 0b) Le produit scalaire de deux vecteurs qui forment un angle obtus est négatif.c) et .d) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (6, –4) 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (2, 5)

3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (8, –30)

5. a) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : u√ � (2, 4) 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : v√ � (2, 7)b) 1) Plusieurs réponses possibles, selon les vecteurs nommés en a). Exemple :

�u√� � 4,47 et �v√� � 7,28.2) Plusieurs réponses possibles, selon les vecteurs nommés en a). Exemple :

u√ • v√ � 2 � 2 � 4 � 7 � 32c) Puisque u√ • v√ � 32 et u√ • v√ � �u√� � �v√� � cosθ, on a :

θ � arc cos , soit � arc cos � 10,47°.

La mesure de l’angle aigu formé par les droites d1 et d2 est environ de 10,47°.


6. a) u√ • v√ � (a, b) • (c, d )� ac � bd� ca � db� (c, d ) • (a, b)� v√ • u√

c) u√ • (v√ � w◊) � (a, b) • ((c, d ) � (e, f ))� (a, b) • (c � e, d � f )� a(c � e) � b(d � f )� ac � ae � bd � bf� ac � bd � ae � bf� (a, b) • (c, d ) � (a, b) • (e, f )� u√ • v√ � u√ • w◊

7. a) 1) 45 � 30 � cos 25° � 1223,52 J 2) 45 � 40 � cos (25° � 56°) � 281,58 J3) 45 � 35 � cos (25° � 18°) � 1151,88 J 4) 1223,52 � 281,58 � 1151,88 � 2656,98 J

b) Si les trois déplacements correspondent respectivement aux vecteurs d1V, d2V et d3V, la somme des travaux Wtotal peuts’exprimer comme suit :

Wtotal � W1 � W2 � W3

� fv • d1V � fv • d2V � fv • d3V

� fv • (d1V � d2V � d3V)� fv • ABBV

d) u√ • u√ � (a, b) • (a, b)� a2 � b2

� (��a2 � b2)2

� �u√�2

b) k1u√ • k2v√ � k1(a, b) • k2(c, d )� (k1a, k1b) • (k2c, k2d )� k1ak2c � k1bk2d� k1k2ac � k1k2bd� k1k2 (ac � bd )� k1k2((a, b) • (c, d ))� k1k2(u√ • v√)

Page 46

32(4,47)(7,28)

u√ • v√�u√� � �v√�

HE

Page 45

�2


8. a) Deux réponses possibles : Puisque l’orientation de u√ est environ de 68,2°, l’orientation du vecteur recherché peut êtred’environ 98,2° ou 38,2°.Pour le vecteur dont l’orientation est environ de 38,2°, les composantes sont environ (2 � cos 38,2°, 2 � sin 38,2°),soit environ (1,57, 1,24).Pour le vecteur dont l’orientation est environ de 98,2°, les composantes sont environ (2 � cos 98,2°, 2 � sin 98,2°),soit environ (–0,29, 1,98).

b) La norme de u√ est environ 5,39. On a donc : u√ • w◊ � �u√� � �w◊� � cosθ4 � 5,39 � 3 � cosθ

cosθ � 0,247θ � 75,68°

c) La norme de u√ est environ 5,39. On a donc : u√ • s√ � �u√� � �s√� � cosθ10 � 5,39 � �s√� � cos 45°

�s√� � 2,62d) Deux réponses possibles : Puisque l’orientation de u√ est environ de 68,2°, l’orientation du vecteur recherché peut être

d’environ 158,2° ou 338,2°.Pour le vecteur dont l’orientation est environ de 158,2°, les composantes sont � (1 � cos 158,2°, 1 � sin 158,2°),soit � (–0,93, 0,37).Pour le vecteur dont l’orientation est environ de 338,2°, les composantes sont � (1 � cos 338,2°, 1 � sin 338,2°),soit � (0,93, –0,37).


9. a) 1) W � 200 � 35 � 40 � 10 � 7400 J 2) La force est motrice.b) 1) W � –30 � 20 � 20 � 10 � –400 J 2) La force est résistante.c) 1) W � 150 � 13 � cos 48°, soit � 1304,8 J. 2) La force est motrice.d) 1) W � 3500 � 145 � cos 126°, soit � –298 301 J. 2) La force est résistante.e) 1) dv � (102,53, 102,53) et W � 125 � 102,53 � 10 � 102,53, soit � 13 841,62 J. 2) La force est motrice.f ) 1) fv � (3288,92, –1197,07) et W � 3288,92 � 3 � –1197,07 � 200, soit � –229 547,33 J.

2) La force est résistante.

10. Puisque u√ • v√ � ac � bd et u√ • v√ � �u√� � �v√� � cosθ, on a :ac � bd � �u√� � �v√� � cosθ

cosθ �

cosθ �

cosθ �

θ � arc cos

11. a) u√ • tv � 5 � 7 � cos 123° � –19,06b) u√ • (s√ � tv) � u√ • s√ � u√ • tv

� 5 � 2 � cos 105 � 5 � 7 � cos 123°� –21,65

c) (u√ � s√) • (v√ � tv) � u√ • v√ � u√ • tv � s√ • v√ � s√ • tv� 5 � 4 � cos 45° � 5 � 7 � cos 123° � 2 � 4 � cos 60° � 2 � 7 � cos 18°� 12,39

d) (u√ � tv) • (s√ � v√) � u√ • s√ � u√ • v√ � tv • s√ � tv • v√� 5 � 2 � cos 105° � 5 � 4 � cos 45° � 2 � 7 � cos 18° � 7 � 4 � cos 78°� 30,69

ac � bd

��(a2 � b2)(c2�� d2)

ac � bd

��(a2 � b2)(c2�� d2)

ac � bd(��a2 � b2)(��c2 � d2)

ac � bd�u√� � �v√�

Page 47

16



12. Pour chaque schéma, on calcule la valeur de l’expression donnée.Schéma : (50 � 0,05)2 � (50 � 0,05 � cos 67°)2, soit � 5,30.

Schéma : (50 � 0,05)2 � (50 � 0,05 � cos 180°)2 � 0.

Schéma : (50 � 0,05)2 � (50 � 0,05 � cos 90°)2 � 6,25.La force a la plus grande capacité d’engendrer une rotation dans le cas du schéma .Dans ce cas, le nombre qui correspond à (fv • dv)2 est le plus petit, soit 0, car fv et dv sont perpendiculaires.Le nombre qui correspond à ��fv� � �dv��2 � (fv • dv)2 est donc le plus grand possible.

13. a) On a fv � (134,82, 65,76) et p√ � (0, –800). On en déduit que :• fv � p√ � (134,82 � 65,76, –800) � (134,82, –734,24) ;• �fv � p√� � � 746,52 N ;• l’orientation de fv � p√ est environ de 360° � arc tan , soit environ 280,4°.

b) 1) p√ • dv � 800 � 50 � cos 64°, soit � 17 534,85 J.2) fv • dv � 150 � 50 � cos 180° � –7500 J3) L’angle compris entre (fv � p√) et dv mesure environ 280,4° � 270° � 64°, soit environ 74,4°.

On a donc (fv � p√) • dv � 746,52 � 50 � cos 74,4° � 10 037,7 J.c) p√ • dv � fv • dv � 17 534,85 J � 7500 J � 10 034,85 J, ce qui correspond pratiquement au résultat obtenu en b 3).


14. a) 1) 2)

b) 1) ac � bd2) ac � bd � 03) bd � –ac

� –c

� –

� –

Donc, la pente de la droite qui supporte u√ est opposée et inverse à la pente de la droite qui supporte v√.Puisque les deux vecteurs sont orthogonaux, on en déduit que les pentes de deux droites perpendiculairessont opposées et inverses.

15. a) 1)

2) On peut effectuer la même opération sur le membre de gauche et sur le membre de droite d’une égalité touten conservant cette égalité.

b) 1) ABBV • ABBV � CBBV • CBBV � 2 CABV • CBBV � CABV • CABV2) �ABBV�2 � llCBBVll2 � llCABVll2 � 2 � llCBBVll � llCABVllcos θθ

1d�c

ba

cd

ba

bda

dc

ba

Page 49

734,24134,82

�(134,82)2 � (–734,24)2

3

3

2

1

Page 48

AFFIRMATION JUSTIFICATION

ABBV � ACBV � CBBV Par la relation de Chasles.

ABBV � –CABV � CBBV Car l’opposé du vecteur CABV est ACBV.

ABBV � CBBV � CABV Car l’addition de vecteurs est commutative.


Chronique du passé

1. (A, X) � (X, Y) � (Y, B) � (A, X) � (X, M) � (M, B)(A, X) � (X, Y) � (Y, B) � (A, X) � (X, M) � (X, Y)(A, X) � (Y, B) � (A, X) � (X, M) � (A, M)On en déduit que (Y, B) � (X, M).Puisque la ligne droite constitue le trajet le plus court entre les points A et M, le trajet (A, X) � (X, M) est minimalsi les points A, X et M sont alignés. Or, ce trajet est de la même longueur que (A, X) � (Y, B), car (X, M) � (Y, B).

2.

3.

Le monde du travail

1. a) 1) v1√ � (14 � cos 72°, 14 � sin 72°), soit � (4,33, 13,31).2) v2√ � (20 � cos 141°, 20 � sin 141°), soit � (–15,54, 12,59).

b) 1) On a :• w1◊ � (�w1◊ � � cos 120°, �w1◊ � � sin 120°), soit � (–0,5�w1◊ �, 0,87�w1◊ �) ;

• w2◊ � (�w2◊ � � cos 39°, �w2◊ � � sin 39°), soit � (0,78�w2◊ �, 0,63�w2◊ �).Puisque m1w1◊ � m2w2◊ � (m1v1√ � m2v√2), on peut écrire l’équation suivante.

450(–0,5�w1◊ �, 0,87�w1◊ �) � 525(0,78�w2◊ �, 0,63�w2◊ �) � (450(4,33, 13,31) � 525(–15,54, 12,59))

(–225�w1◊ � � 408�w2◊ �, 389,71�w1◊ � � 330,39�w2◊ �) � (–4142,15, 8399,68)On en déduit le système d’équations suivant.–225�w1◊ � � 408�w2◊ � � –4142,15

398,7�w1◊ � � 330,39�w2◊ � � 8399,68

23

23

Page 53

B

C

A

u√

D

E

F

Figure 2

CB

MY Y

A

XX

M'

Figure 1

Page 51

5RUBRIQUES PARTICULIÈRES

18


En résolvant ce système, on obtient �w1◊ � � 20,55 m/s.La vitesse du véhicule immédiatement après la collision est environ de 20,55 m/s et son orientation est de 120°.

2) En substituant 20,55 m/s à �w1◊ � dans l’une des équations du système de la question précédente,on trouve �w2◊ � � 1,18 m/s.La vitesse du véhicule immédiatement après la collision est environ de 1,18 m/s et son orientation est de 39°.

Vue d’ensemble

1. a) v√ � (–13,26, –8,95) b) v√ � (–83,5, 217,52)c) v√ � (0,53, –0,38) d) v√ � (–0,65, –1,89)e) v√ � (46,76, 14,3) f ) v√ � (559,19, 829,04)

2. a) �v√� � ; orientation : � 58,39°. b) �w◊� � 2 ; orientation : � 251,57°.

c) �u√� � ; orientation : � 51,84°. d) �tv � � ; orientation : � 160,09°.

e) �m◊� � 3 ; orientation : 135°. f ) �n√� � ; orientation : � 326,31°.


Vue d’ensemble (suite)

4. a) 2,5 cos (52° � 23°) � 2,19 b) 13 cos (180° �158° � 11°) � 10,9c) 24 cos (180° � (124° � 10°)) � 16,67 d) 312 cos (180° � (216° � 83°)) � 212,78

5. a) , et . b) , et . c) et . d)


6. a) v√ � u√ b) v√ � u√ c) v√ � – u√

d) v√ � –10u√ e) v√ � 0,75u√ f ) v√ � u√1m � n

127

331184

54139

Page 56

FHAIDCHEA

Page 55

y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–6–8–10 –4 –2 2 4 6 8 100

√u

√v

2v√u√ � v√ –0,5u√

(u√ • v√)(u√ � v√)

u√ � v√

2u√ � 2v√

��136�2

�11 425,21�317

�10�233

Page 54

2

1


7. a) On a vr√ � vc√ � vl√.1) 2)

b) On a vc√ � vr√ � vl√.1) 2)


8. a) �u√ � v√� � 5,37 ; orientation : � 52,41°. b) �w◊ � z√� � 8,59 ; orientation : � 254,51°.

c) �g√ � hv� � 15,23 ; orientation : � 66,8°. d) � iiv � kv � jv� � 21,4 ; orientation : � 127,41°.

9. a) � –15,4 b) � 3,6 c) � 27,9 d) –109 e) –23,76 f ) –13 858

10. a) � 78,69° b) � 68,57° c) � 86,48° d) 45° e) � 28,91° f ) � 78,58°

11. a) ABBV b) ACBV c) ABBV d) 0v e) 0v f ) ADBV

12. a) (5, –2) ou (–5, 2). b) (2, 5) c) �– , �


13. a) Soit u√ � (a, b) et v√ � (ka, kb), on a :u√ • v√ � (a, b) • (ka, kb) � ka2 � kb2 � k(a2 � b2)De plus, u√ • v√ � �u√� � �v√� � cosθ où :• �u√� � ;• �v√� � � � � –k , puisque � k � –k, si k � 0.On peut donc poser l’égalité suivante.( )(–k ) cosθ � k(a2 � b2)–k ( )( ) cosθ � k(a2 � b2)

–k (a2 � b2) cosθ � k(a2 � b2)

cosθ � � –1

θ � arc cos –1 � 180°

k(a2 � b2)–k (a2 � b2)

�a2 � b2�a2 � b2

�a2 � b2�a2 � b2

�k 2�a2 � b2�k 2(a2 � b 2)�k 2a2 � k 2b 2�(ka)2 � (kb)2

�a2 � b2

Page 58

–103

43

Page 57

vc√

� 300,95°

� 5,83

vc√� 18,1°

� 3,14

vr√ � 166,04°

� 4,12

� 75,56°

� 4,13vr√

20


b) Soit u√ � (a, 2a) et v√ � (2a, a), on a :u√ • v√ � (a, 2a) • (2a, a) � 2a2 � 2a2 � 4a2

De plus, u√ • v√ � �u√� � �v√� � cosθ, où :• �u√� � � a • �v√� � � a On peut donc poser l’égalité suivante.

a a cosθ � 4a2

5a2 cosθ � 4a2

cosθ � �

θ � arc cos , soit � 37°.

14. a) L’orientation du vecteur recherché est de 315°. Ses composantes sont donc (6 cos 315°, 6 sin 315°),soit � (4,24, –4,24).

b) L’orientation du vecteur recherché est de 114° ou de 294°. Ses composantes sont donc (1 cos 114°, 1 sin 114°),soit � (–0,41, 0,91) ou (1 cos 294°, 1 sin 294°), soit � (0,41, –0,91).

c) On sait que u√ • CDBV � �u√� � �CDBV� � cosθ � 20. On a donc :20 � �u√� � 6,1 � cos 45° et �u√� � 4,64.L’orientation de u√ est de 69° ou 339°. Ses composantes sont donc � (4,64 cos 69°, 4,64 sin 69°), soit � (1,66, 4,33)ou � (4,64 cos 339°, 4,64 sin 339°), soit � (4,33, –1,66).

15. a) b)

c) d)


16. Les composantes qui correspondent à la somme des déplacements sont (–4 � –4 � –1 � –2 � –3 � 5, 5 � –2 � –2 � 7 � 1 � 1), soit (–9, 10).Les composantes du déplacement associé au retour au port sont donc (9, –10).La norme du déplacement est , soit � 13,45 km.L’orientation du déplacement est de 360° � arc tan , soit � 311,99°.10

9

�92 � (–10)2

Page 59

230° O

a√

vf

m � 2,5 kg

150°

O

a√vf

m � 4,2 kg

340°

O

a√

vf

34°

O

a√

vf

45

45

4a2

5a2

�5�5

�5�(2a)2 � a2

�5�a2 � (2a)2


17. a) Aire de chaque hémisphère : A � � � 10 053,1 cm2 � 1,005 m2.�f1v� � 101 � 1,005 � 101,54 kN ou 101 540 N.

�f2v� � 101 � 1,005 � 101,54 kN ou 101 540 N.b) Puisque 101 540 � 200 � 507,5, il faut au moins 508 personnes d’un côté de l’hémisphère et 508 personnes

de l’autre côté, soit un total d’au moins 1016 personnes pour séparer les deux hémisphères.


18. a) Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu.Par la relation de Chasles.Puisque PCBV � APBV et PBBV � DPBV, on peut substituer PCBV à APBV et PBBV à DPBV à l’étape .L’addition de vecteurs est commutative.Par la relation de Chasles.

b)

19. a) � 4,9 m/s2

b) � 49 m/s

c) 245 m


20. a) 1) Puisque ABBV • DABV � 4 � 1 � –1 � 4 � 0, on en déduit que m ∠ BAD � 90°.2) On a :

• ACBV � ABBV � BCBV � (4, –1) � (1, –3) � (5, –4), et �ACBV� � 6,4 ;

• DBBV � DABV � ABBV � (1, 4) � (4, –1) � (5, 3), et �DBBV� � 5,83.Puisque ACBV • DBBV = 5 � 5 � –4 � 3 = 13, on en déduit que :�ACBV� � �DBBV� � cosθ � 13

6,4 � 5,83 � cosθ � 13

θ � arc cos , soit � 69,61°.

Puisque l’angle COB correspond à l’angle formé par les deux vecteurs et que les angles COB et AOD sont opposéspar le sommet, on en déduit que m ∠ AOD � m ∠ COB � θ, soit environ 69,61°.

b) Puisque EGBV � EFBV � FGBV et FHBV � FGBV � GHBV, on a :EGBV � (a, b) � (a, –b) � (2a, 0)FHBV � (a, –b) � (–a, –b) � (0, –2b)EGBV • FHBV � (2a, 0) • (0, –2b) � 2a � 0 � 0 � –2b � 0Puisque le produit scalaire est nul, EGBV et FHBV sont orthogonaux. On en déduit que les diagonales du losange EFGHsont perpendiculaires.

136,4 � 5,83

Page 61

5

4

23

2

1

Page 60

4π402

24πr 2

2

22

DPBV � PBBV et APBV � PCBV Par l’énoncé.

DABV � DPBV � PABV Par la relation de Chasles.

DABV � DPBV � APBV Car PABV est l’opposé de APBV.

DABV � PBBV � PCBV Puisque DPBV � PBBV et APBV � PCBV, on peut substituer PBBV à DPBV et PCBV à APBV à l’étape .

DABV � PBBV � CPBV Car PCBV est l’opposé de CPBV.

DABV � CPBV � PBBV L’addition de vecteurs est commutative.

DABV � CBBV Par la relation de Chasles.7

6

5

34

3

2

1


21. a) �v0√ � � 11,18 m/sOrientation de �v0√ � : � 63,43°.

b) vv√ � (0, 10) � 2(0, –9,8) � (0, –9,6)Cela signifie que le projectile aura une vitesse de 9,6 m/s dirigée vers le bas.

c) vv√ � v√vi � g√t � 0v ⇒ v√vi � –g√tv√vi � –g√t

(0, 10) � –(0, –9,8)t10 � 9,8t

t � 1,02 sLa vitesse verticale sera nulle après environ 1,02 s.

d) vv√ � v√vi � g√t � (0, 10) � 5(0, –9,8) � (0, –39)vh√ � (5, 0)v√ � vh√ � vv√ � (5, 0) � (0, –39) � (5, –39)�v√� � 39,32 m/sOrientation de v√ : � 277,31°.

22. a) PABV � (PABV � ABBBVV ) � (PABV � ABBBVV � BCBBVV ) � 0vb) (a, b) � ((a, b) � (6, –8)) � ((a, b) � (6, –8) � (–10, 2)) � 0vc) (3a, 3b) � (2, –14) � 0v

Donc, 3a � –2 et a � – .

3b � 14 et b � .

d) Puisque PABV � �– , �, on a :

• PCBV � �– , � � (6, –8) � (–10, 2) � �– , – � ;

• �PCBV� � �– �2� �– �2

, soit � 4,85.

La distance qui sépare le centre de gravité du sommet C est environ de 4,85.

Banque de problèmes

1. �v√� � 10 km/h � 10 000 m � 3600 s � 2,78 m/sLes composantes de v√ sont environ (2,78 � cos 15°, 2, 78 � sin 15°), soit environ (2,68, 0,72).Les composantes de u√ sont (0,5 � cos 30°, 0,5 � sin 30°), soit environ (0,43, 0,25).Puisque u√ � 0,1v√ � w◊, on a :w◊ � u√ � 0,1v√w◊ � (0,43, 0,25) � 0,1(2,68, 0,72), soit � (0,16, 0,18).�w◊� � , soit � 0,24 m/s.

Orientation de w◊ : � arc tan , soit � 47,24°.

Le golfeur doit donner à sa balle une vitesse d’environ 0,24 m/s orientée à environ 47,24°.

2. Les renseignements fournis sur le dessin nous montrent que :• l’aire du quadrilatère AEFG est donnée par m � m ;• m � m � �ACBV� ;• m � m � cosθ � �ABBV� � cosθ.Calculer l’aire du rectangle AEFG revient donc à multiplier la norme de ACBV par la norme de ABBV et par le cosinus de l’anglecompris entre ABBV et ACBV. Or, cette chaîne d’opérations correspond à la définition du produit scalaire ABBV • ACBV.

ABAGACAE

AEAG

0,180,16

�(0,16)2 � (0,18)2

Page 62

43

143�

43

143

143

23

143

23

143

23


Banque de problèmes (suite)

3. Le produit scalaire de ces vecteurs est donné par (a, ka) • (ka, a). On a donc : (a, ka) • (ka, a) � ka2 � ka2 � 2ka2.Or, cette expression est aussi égale au produit des normes de ces vecteurs par le cosinus de l’angle θ formé parces vecteurs. On a donc :

cosθ � 2ka2

a2(1 � k2) cosθ � 2ka2

cosθ �

cosθ �

θ � arc cos

4. En suivant la première série de directives, on peut écrire :soit (c, d ), un vecteur unitaire orthogonal au vecteur (a, b) : (c, d ) • (a, b) � ac � bd.En suivant la deuxième série de directives, on peut écrire :ac � bd � 0

ac � –bdc �

En suivant la troisième série de directives, on peut écrire :c 2 � d 2 � 1

� �2� d 2 � 1

� d 2 � 1

d 2� � 1� � 1

d 2� � � 1

d 2 �

d �

d �

En suivant la quatrième série de directives, on peut écrire :si d � , on a : si d � – , on a :

c � c �

� �

� �

� �

Les deux vecteurs unitaires orthogonaux au vecteur (a, b) sont � , � et � , �.


5. On remarque que, dans chaque cas :• la norme du vecteur w correspond à la valeur de l’aire du parallélogramme ABCD ;• u√ est superposé à la base du parallélogramme. On en déduit que la mesure de la base vaut �u√� ;• v√ est superposé au côté du parallélogramme. On en déduit que la mesure du côté vaut �v√� ;

Page 64

a

��a2 � b2

–b

��a2 � b2

–a

��a2 � b2

b

��a2 � b2

b

��a2 � b2

–b

��a2 � b2

aba��b2 � a2

–aba��b2 � a2

–b � –a

��b2 � a2�

a

–b� a��b2 � a2�

a

–bda

–bda

a

��b2 � a2

a

��b2 � a2

a

��b2 � a2

a2

b2 � a2�a2

b2 � a2

b2 � a2

a2

b2

a2

b2d 2

a2

–bda

–bda

2k(1 � k2)

2k(1 � k2)

2ka2

a2(1 � k2)

�(ka)2 � a2�a2 � (ka)2

Page 63


• la hauteur h du parallélogramme correspond au côté opposé à l’angle θ dans un triangle rectangle où v√ est superposé à l’hypoténuse. On en déduit que h � �v√� � sinθ ;

• l’aire du parallélogramme est donnée par le produit des mesures de sa base par sa hauteur et correspond à �u√� � �v√� � sinθ.

On en conclut que l’expression algébrique qui permet de calculer �w◊� est la même que celle qui permet de calculer l’airedu parallélogramme.On a donc : �w◊� � �u√� � �v√� � sinθ

6. On sait que 35v√A � 35v√B � 150v√satellite � 220v√fusée.v√A � (4 � cos 47°, 4 � sin 47°), soit � (2,73, 2,93).v√B � (5 � cos 32°, 5 � sin 32°), soit � (4,24, –2,65).v√satellite � (7 � cos 24°, 7 � sin 24°), soit � (6,4, 2,85).On a donc :220v√fusée � 35(2,73, 2,93) � 35(4,24, –2,65) � 150(6,4, 2,85)220v√fusée � (1203,95, 437,3)

v√fusée � (1203,95, 437,3)

v√fusée � (5,47, 1,99)

�v√fusée� � , soit � 5,82 km/s.

Orientation de v√fusée : � arc tan , soit � 20°.


7. La norme de la traînée est 0,06 � 1,5 � 9 � , soit 414,72 N.

La norme de la portance est 0,4 � 1,5 � 9 � , soit 2764,8 N.On en déduit que :• traînée : (414,72 � cos 7°, 414,72 � sin 7°) � (411,63, 50,54) ;• portance : (2764,8 � cos 97°, 2764,8 � sin 97°) � (–336,94, 2744,19) ;• résultante aérodynamique : (411,63 � 336,94, 50,54 � 2744,19) � (74,69, 2794,73) ;• poids : (0, –2800).Les composantes du vecteur qui correspond à la somme du poids et de la résultante aérodynamique sont environ(74,69 � 0, 2794,73 � –2800), soit environ (74,69, –5,27).La norme de ce vecteur est donc , soit environ 74,88 N.

L’orientation de ce vecteur est donc de 360° � arc tan , soit environ de 355,96°.5,2774,69

�74,692 � (–5,27)2

322

2

322

2

Page 65

1,995,47

�5,472 � 1,992

1220


Réactivation 1

a. 1) Les participants doivent parcourir 6,02 � 13,19 � 12 � 31,21 km à vélo.2) Les participants doivent parcourir km, soit environ 5,48 km à la course à pied.

b. 1) Environ 4,98 km séparent le point de ravitaillement du départ.2) Environ 2,27 km séparent le point de ravitaillement de l’arrivée.

c. Il lui reste environ 39,29 min à vélo.

Réactivation 2

a. 1) 30° 2) 60° 3) 60° 4) 60°

b. 1) 100 m 2) 100 m 3) 100 m 4) 100 m

Mise à jour

1. a) 1) 8x � 182 ⇒ x � 40,5 cm2) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle

entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.b) 1) 132 � x (x � 4) ⇒ x � 11,15 cm

2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesurede sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.

c) 1) x 2 � 2,42 � 3,22 ⇒ x � 4 cm2) Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures

des cathètes.d) 1) 92 � 41x ⇒ x � 1,98 cm

2) Dans un triangle rectangle, la mesure de chaque côté de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre la mesurede sa projection sur l’hypoténuse et celle de l’hypoténuse entière.

e) 1) x � 2 � 5 � 10 cm2) Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30° est égale à la moitié de celle

de l’hypoténuse.f ) 1) 62 � x (x � 5) ⇒ x � 4 cm

2) Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelleentre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse.

2. a) m � cm b) m � 4,74 cm et m � 1,58 cm.c) m � 5 cm et m � 5 cm. d) m � 6 cm et m � 3 cm.�3BC�3ABBC�3AB

ACAB�21BC

Page 72

�3

Page 69

�30

Page 68

6RÉVISION

Les fonctions trigonométriques6



3.

4. Le périmètre est environ de 43,09 cm et l’aire est environ de 76,37 cm2.

5. a) � 315,67 cm2 b) � 74,95 cm2 c) � 167,14 cm2 d) � 65,12 cm2


6.


7. La mesure de la petite diagonale est environ de 0,94 m et la mesure de la grande diagonale est environ de 1,13 m.

8. Identifier les points K et L afin de déterminer l’altitude de chaque avion.

� �

m � 1,89 hm m � 2,695 hm

Donc, m � 2,86 hm. Donc, m � 2,805 hm.

Lorsque les avions volent parallèlement au sol, la distance verticale entre ceux-ci est environ de 0,0503 hm, soitenviron 5,03 m. Cette manœuvre de ravitaillement n’est donc pas sécuritaire.

FLCK

DLAK

3,855,5

m DL�3,85

34,75

m AK�3

A

B

C

D

E

FG

3 hm 3,85 hm

4,75 hm 5,5 hmK L

Page 75

i ) x � 8,66 cmy � 12,25 cmz � 7,07 cm

j ) x = 4 cmy = 16 cmz = 8��5 cm

e) x � 9,75 cmy � 16,31 cmz � 8,37 cm

f ) x � 5,2 cmy � 10,39 cmz � 20,78 cm

g) x = 1 cmy � 8,49 cmz � 2,83 cm

h) x � 5,42 cmy � 2,08 cmz = 5 cm

a) x � 2,54 cmy � 6,52 cmz � 16,78 cm

b) x � 3 cmy � 2,6 cmz � 5,2 cm

c) x � 6,24 cmy � 9,99 cmz � 12,8 cm

d) x = 5 cmy � 6,67 cmz � 5,33 cm

Page 74

Page 73

a b c m n h

5 3 4

20 10 50 40 10 20

2,5 1,875 3,125 2 1,125 1,5

18 24 30 10,8 19,2 14,4

�5�5

163

253

203

Mesures des segments



9. Déterminer la mesure associée à x à l’aide d’une figure comme celle ci-contre.x � (1,5 � x ) � (x � 0,1)2 ⇒ x � 0,84 m

Volume de la pelle : � 2 � 1,12 m3

Le volume maximal de terre que peut contenir cette pelle est environ de 1,12 m3.

10. a) La distance qui sépare le sentier du point A est environ de 2,82 km.La distance qui sépare le sentier du point B est environ de 1,73 km.La distance qui sépare le chalet du point A est environ de 7,21 km.

b) La distance entre l’entrée et le point B est de 2 km. Le chalet se trouve à environ 4,87 km du point A.Le sentier mesure environ 5,98 km et le sentier mesure 4 km.Donc, la longueur totale des trois sentiers pédestres est environ de 17,48 km.

11. a) � 46,95 m b) � 57,77 m c) � 10,82 m d) � 27,73 m

Le cercle trigonométrique

Problème

� ⇒ m ∠ AOB � 57,3°

Coordonnées du point B : (2 cos 57,3°, 2 sin 57,3°)Les coordonnées du détecteur situé au point B sont (� 1,08, � 1,68).

Activité 1

a. 1) 360° 2) 2πr unités.

b. 1) 2π fois. 2) � �°c. La mesure de l’arc est égale à la mesure du rayon.

d. 1) 2π rad 2) π rad 3) rad 4) rad

e. 1) La longueur de l’arc est la même que celle du rayon. 2) La longueur de l’arc est le double de celle du rayon.3) La longueur de l’arc est 4,5 fois celle du rayon. 4) La longueur de l’arc est 8,71 fois celle du rayon.

f. L � rθ

Activité 2

a. 1) (1, 0) 2) (0, 1) 3) (–1, 0) 4) (0, –1)

b. 1) Le triangle BOP5 est isocèle et rectangle. 2) rad

c. Soit m � m � x.Les coordonnées du point P5 sont donc (x, x ).Par la relation de Pythagore, on a x 2 � x 2 � 12.Donc, 2x 2 � 1

x 2 �

x � ±

Puisque le point P5 est situé dans le 1er quadrant, x � , donc les coordonnées du point P5 sont � , �.d. 1) � , � 2) � , � 3) � , �–��2

2��22

–��22

–��22

��22

–��22

��22

��22

��22

12�

12

BP5OB

π4

Page 79

nπ180

π2

180π

Page 78

m ∠ AOB360°

22π� 2

Page 77

6.1section

211�3

221

CA

B

1,5 m

xx � 0,1

D

(0,84 � 0,1) � 1,52

Page 76

28


e. 1) Le triangle BOP9 est rectangle et a un angle de 30°. 2) rad

f. 1) 2) x 2 � � �2� 12, où x représente la mesure de .

x 2 � 1 � � �2

x 2 � 1 �

x 2 �

x � ±

Puisque le point P9 est situé dans le 1er quadrant,

x � .

g. 1) � , � 2) � , � 3) � , �

Activité 2 (suite)

h. 1) Le triangle BOP13 est rectangle et a un angle de 30°. 2) rad

i. 1) 2) y 2 � � �2� 12, où y représente la mesure de .

y 2 � 1 � � �2

y 2 � 1 �

y 2 �

y � ±

Puisque le point P13 est situé dans le 1er quadrant,

y � .

j. 1) � , � 2) � , � 3) � , �k. 1) Le cosinus. 2) Le sinus.

Activité 3

a.

b. Domaine : [0, 60] s ; codomaine : [1, 3] m.

c. L’extrémité de l’agitateur est située au point le plus rapproché du sol à : 0 s, 10 s, 20 s, 30 s, 40 s, 50 s, 60 s, 70 s, 80 s,90 s, 100 s, 110 s, 120 s, 130 s, 140 s, 150 s, 160 s, 170 s, 180 s, 190 s, 200 s, 210 s, 220 s, 230 s et 240 s.

483624120

4

3

2

1

60

Distance(m)

Temps(s)

Distance qui séparel’extrémité de l’agitateur d’avec le sol

en fonction du temps

Page 81

–��32

12

–��32

–12

��32

–12

��32

34�

34

14

12

BP1312Dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°,

la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égaleà la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

π3

Page 80

–12

��32

–12

–��32

12

–��32

��32

34�

34

14

12

OB12Dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°,

la mesure du côté opposé à l’angle de 30° est égaleà la moitié de la mesure de l’hypoténuse.

π6


Technomath

a. 1) m ∠ AOB � 1 rad à l’écran 1 et m ∠ AOB � 1 rad à l’écran 2.2) m ∠ AOB � 57,3° à l’écran 1 et m ∠ AOB � 57,3° à l’écran 2.

b. Cette mesure est de 1 rad.

c. 1) m ∠ AOB � 68,75° à l’écran 3 et m ∠ AOB � 166,16° à l’écran 4.2) La longueur de l’arc AB est de 3,192 cm à l’écran 3 et de 5,568 cm à l’écran 4.

d. 1) 2) La longueur de l’arc intercepté est de 6,75 cm.

Mise au point 6.1

1. a) rad b) rad c) rad d) rad

e) rad f ) rad g) rad h) rad

2. a) 150° b) 300° c) 126° d) � �°e) � �° f ) � �° g) � �° h) � �°

3. a) 3 u b) u c) 2πu d) 0,5πu e) u f ) 4,5 u

4. a) Dans le 2e quadrant. b) Dans le 1er quadrant. c) Dans le 4e quadrant.d) Dans le 3e quadrant. e) Dans le 2e quadrant. f ) Dans le 1er quadrant.g) Dans le 4e quadrant. h) Dans le 2e quadrant.

5. a) b) c) – d) 1 e) 0 f )

6. a) � , � b) � , – � c) (� –0,99, � 0,14)

d) (–1, 0) e) (� –0,15, � –0,99) f ) (0, 1)


7. , , , , ,

Mise au point 6.1 (suite) Page 88

3F4E6D2C1B5A

Page 87

��22

��22

��32

12

�3��33

��22

��32

π2

18π4

90π

–540π

–3607

990π

360π

–13π18

–π9

2π9

π4

π18

13π18

π12

5π3

Page 86

Page 82

30

2,25 rad

A

B

O 3 cm

8. a) Oui. π rad b) Oui. rad c) Non.

d) Non. e) Oui. � 0,64 rad f ) Oui. � 2,21 rad

9. a) ± b) 0 c) ± d) ± e) ± f ) ± 2��23

��215

��356

12

��32

π3


10. a) rad b) rad c) � 1,45 rad d) � 2,06 rad

11. a) (a, –b) b) (–a, –b) c) (a, –b) d) (–a, –b) e) (–a, –b) f ) (a, –b)

12. a) 1) Maximum : 1 2) Minimum : –1 3) Période : 2πb) 1) Maximum : 1 2) Minimum : –1 3) Période : 2π


13.

14. La mesure totale de l’angle au centre engendré par la rotation de la roue est environ de 587,74 rad.Le périmètre de ce terrain est donc environ de 587,74 m.

15. Le rayon minimal d’un tore de Stanford est de 9,81� �2� 245,25 m.


16. a) Une éprouvette située sur le pourtour de la centrifugeuse parcourt une distance d’environ 1 570 796,33 cm.b) 1) La vitesse de rotation est de 5000π rad/min.

2) La vitesse de rotation est de 5000π rad/min.3) La vitesse de rotation est de 5000π rad/min.

c) La vitesse de rotation d’une éprouvette située à x cm du centre de cette centrifugeuse est directement proportionnelleà la mesure du rayon.

17. a) 1) L’angle de rotation engendré est de 48π rad. 2) L’angle de rotation engendré est de 56π rad.b) 1) La vitesse de la personne B est environ de 0,29 rad/s. 2) La vitesse de la personne B est environ de 2,33 m/s.

18. a) L’angle de 0,2π rad correspond à un angle de 36°. Par la loi des cosinus, la mesure de la façade de cet immeuble estenviron de 12,98 m.

b) L’angle de rotation que doit effectuer l’instrument de mesure est de 0,19 rad.


19. a) Le rayon moyen de l’orbite de la SSI est de 6371 � 347 � 6718 km.b) 1) La SSI se déplace à environ 0,0012 rad/s.

2) La SSI se déplace à environ 7730,85 m/s.3) La SSI se déplace à environ 27 831,06 km/h.

20. m � 639,16 kmm � 639,16 kmm � 218,13 kmm � 218,13 kmm CD� � 543,06 kmLa sonde spatiale a donc parcouru environ 2257,64 km.

21. La vitesse de rotation du tambour B est de 3,2 � � 4,8 rad/s.32

BDBCEBAB

Page 91

Page 90

30

π�6�π�

Page 89

3π4

2π3

L r θθ

3

5 1,5

10 5 2

20 8 2,5

4,9 4

21 2 10,5

4940

103

π5

3ππ5


Les fonctions trigonométriques

ProblèmeLa température sera à la baisse généralement de 4 °C de 16 h 15 à 16 h 18 min 20 s, de 16 h 21 min 40 s à 16 h 25 etde 16 h 28 min 20 s à 16 h 30, et elle sera à la hausse de 4 °C de 16 h 18 min 20 s à 16 h 21 min 40 s et de 16 h 25 à 16 h 28 min 20 s.

Activité 1

a. 1) 2π rad 2) π rad 3) rad 4) rad

b. 1) � , � 2) � , � 3) (0, 1) 4) � , �5) (–1, 0) 6) � , � 7) (0, –1) 8) (1, 0)

c. 1) f (x ) � sin x , où x est l’angle de rotation du balancier. 2) f (x ) � cos x , où x est l’angle de rotation du balancier.

d. Une translation horizontale de vers la gauche ou vers la droite, selon la courbe qui est considérée commela courbe initiale.

Activité 2

a. 1) La concentration maximale de monoxyde de carbone est de 18 ppm.2) La concentration minimale de monoxyde de carbone est de 12 ppm.3) La concentration moyenne de monoxyde de carbone est de 15 ppm.

b. La concentration de monoxyde de carbone passe de 12 ppm à 18 ppm en 10 jours.

c. La concentration de monoxyde de carbone est à la baisse de la 5e à la 15e journée, de la 25e à la 35e journée et de la 45e

à la 50e journée.

Activité 2 (suite)

d. 1) 3 2) 0,1π 3) 5 4) 15

e. 1) La valeur de l’expression et celle du paramètre a sont les mêmes, soit 3.2) La valeur de l’expression et celle du paramètre b sont les mêmes, soit 0,1π.3) Ce sont les coordonnées d’un point associé à un extremum de la fonction représentée par cette courbe.

f. Dans un cas, on utilise un cosinus, tandis que dans l’autre, on utilise un sinus. Les paramètres sont identiques,à l’exception du paramètre h.

g. Les valeurs des paramètres a, b et k sont identiques pour les deux fonctions, et la valeur du paramètre h est différente :elle est de 5 pour la fonction f, alors qu’elle est de 0 pour la fonction g.

Activité 3

a. 1) Les zéros de la fonction sinus coïncident avec des sommets de la fonction cosinus.2) Les zéros de la fonction sinus coïncident avec ceux de la fonction tangente.

b. 1) Aux zéros. 2) Aux sommets.

c. 1) La fonction tangente n’est pas définie pour les valeurs de x qui correspondent à des zéros de la fonction cosinus.2) La période de la fonction tangente est la moitié de celle de la fonction cosinus.

Page 96

Page 95

Page 94

π2

–12

–��32

��32

–12

��22

��22

12

��32

π4

π2

Page 93

Page 92

6.2section

32


d. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

e. Les zéros de la fonction cosinus.

Technomath

a. 1) Le paramètre h. 2) Le paramètre k.

b. 1) L’une des courbes a subi une translation horizontale par rapport à l’autre.2) L’une des courbes a subi une translation verticale par rapport à l’autre.

c. 1) (h, k ) � (2,5π, 1) à l’écran 5 et (h, k) � (0,5π, 1) à l’écran 7. Les deux points ont la même ordonnée, mais leur abscissediffère par 2π.

2) Les deux courbes sont identiques.

d. 1) 2) Par rapport à la courbe associée à , la courbe associée à est translatée de πunitésvers la gauche et de 4 unités vers le bas.

3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y � sin�x � � � 3

Mise au point 6.2

1.

a)

b)

c)

d)

2. a) 1) Domaine : � ; codomaine : [–6, 0].2) Minimum : –6 ; maximum : 0.3) Croissante : 0 � πn, � πn, où n � � ; décroissante : � πn, π� πn, où n � �.4) Période : π

b) 1) Domaine : � ; codomaine : [0, 8].2) Minimum : 0 ; maximum : 8.3) Croissante : [0,5 � 2n, 1,5 � 2n], où n � � ; décroissante : [1,5 � 2n, 2,5 � 2n], où n � �.4) Période : 2

c) 1) Domaine : � ; codomaine : [–8, –4].2) Minimum : –8 ; maximum : –4.3) Croissante : � n, � n, où n � � ; décroissante : � n, � n, où n � �.4) Période :

d) 1) Domaine : �/{–1 � 6n}, où n � � ; codomaine : �.2) Aucun extremum.3) Croissante sur son domaine.4) Période : 6

4π3

4π3

19π12

4π3

11π12

4π3

11π12

4π3

π4

π2

π2

Page 102

π2

Page 97

4

–4

–2π 2π

x 0 π

tanx 0 1 n. d. –1 0

0 1 n. d. –1 0sinxcosx

3π4

π2

π4

Règle Amplitude Période Maximum Minimum

f (x) � 2 sin�x � � � 4 2 2ππ 6 2

f (x) � 5 cosπ(x � 1) � 2 5 2 3 –7

f (x) � –1,5 sin 3�x � � � 4 1,5 5,5 2,5

f (x) � –4 cos (x � 2) � 2,5 4 10 6,5 –1,5π5

2ππ3

π6

π4


e) 1) Domaine : � ; codomaine : [–1, 7].2) Minimum : –1 ; maximum : 7.3) Croissante : [1 � 4n, 3 � 4n], où n � � ; décroissante : [–1 � 4n, 1 � 4n], où n � �.4) Période : 4

f ) 1) Domaine : �/{–1 � 2n}, où n � � ; codomaine : �.2) Aucun extremum.3) Croissante sur son domaine.4) Période : 2

3. a) b)

c) d)

e) f )


4. , , , , ,


5. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) y � 2 sin 2(x � 0,5π) � 1 b) y � 3 sinπ(x � 2,5) � 1 c) y � –3 sin 0,5π(x � 1) � 5d) y � –2,5 sin 0,5(x � 2π) � 1,5 e) y � tan 0,5(x � π) � 2 f ) y � –0,97 tan 0,2π(x � 1) � 3

Page 104

5F2E6D1C4B3A

Page 103

0 4–4

y

20

10

–10

–20

x–8 –2–6 82 60 4–4

y

8

4

–4

–8

x82 6–8 –2–6

0 π–π

y

3

2

1

–1

–2

2π 3π 4π–2π–3π–4π x

8

4

–4

–8

y

0 xπ4

–π4

π2

–π2

3π4

–3π4

0 π–π

y

8

4

–4

–8

2π–2π xπ2

–π2

3π2

–3π2

0 0,5 1 1,5

5

4

3

2

1

y

x–0,5–1–1,5

34


6. a) 1) (f � g)(x ) � 5 sin 2(x � 3) � 5 2) (f � h)(x ) � sin 2(x � 3) � 6 3) (g � h)(x ) � 4 sin 2(x � 3) � 1Période : � π Période : � π Période : � π

b) 1) (f � g)(x ) � 5 sin 2(x � 3) � 5 2) (f � h)(x ) � 3 sin 2(x � 3) � 10 3) (g � h)(x ) � 2 sin 2(x � 3) � 5Minimum : 5 � 5 � 0 Minimum : 10 � 3 � 7 Minimum : –5 � 2 � –7Maximum : 5 � 5 � 10 Maximum : 10 � 3 � 13 Maximum : –5 � 2 � –3

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : i (x ) � –2 sin 2(x � 3) � 8


7. a) 1) 2π 2) 0 b) 1) 1 2) 2,5 c) 1) π 2) 4d) 1) π 2) 4,5 e) 1) 5 2) � –2,59 f ) 1) 2 2) 4

8. a) 1) x � –1 et x � 5. 2) (2, 3) et (–4, 3).b) 1) x � –5, x � –3, x � –1, x � 1, x � 3 et x � 5. 2) (–6, –3), (–4, –3), (–2, –3), (0, –3), (2, –3), (4, –3) et (6, –3).

c) 1) x � , x � , x � et x � . 2) (–2π, 2), (–π, 2), (0, 2), (π, 2) et (2π, 2).

d) 1) x � , x � , x � , x � , x � , x � , x � et x � .

2) (–2π, –1), � , –1�, (–π, –1), � , –1�, (0, –1), � , –1�, (π, –1), � , –1� et (2π, –1).

9. a) Croissante sur 4π, � , � , � , � , 8π ;

décroissante sur , � , � , � , .b) Croissante sur [–6, –4] � [–2, 0] � [2, 4] � [6, 8] ;

décroissante sur [–2π, –6] � [–4, –2] � [0, 2] � [4, 6] � [8, 3π].

c) Croissante sur 0, � , � , � , � , 2π.10. a) 0 b) – c) d) π e) 0

f ) g) – h) i )

11. , ,


12. T � 120 sin 120πx

13. On entend la cloche sonner 12 fois par minute.

14. a) b) y � –1,85 sin (x � 3) � 4,5, où y représente l’heure de l’aube nautique (en h) et x, le temps écoulé(en mois) depuis le 21 décembre.

0

10

8

6

4

2

8642 10 12

Temps(h)

Temps écoulé depuis le 21 décembre

(mois)

Aube nautique d’une régionπ6

Page 106

3C2B1A

5π6

π2

π6

π4

π6

π4

7π4

7π4

5π4

5π4

3π4

3π4

π4

π4

31π4

29π4

27π4

25π4

23π4

21π4

19π4

17π4

31π4

29π4

27π4

25π4

23π4

21π4

19π4

17π4

3π2

π2

–π2

–3π2

7π4

5π4

3π4

π4

–π4

–3π4

–5π4

–7π4

3π2

π2

–π2

–3π2

Page 105

2π2

2π2

2π2




y � 45 sin �x � � � 45, où y représente le nombre de taches solaires observées et x, le temps (en années).

16. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :y � 24 sin (x � 8) � 24, où y représente la température (en °C) et x, le temps (en h).

b) La température maximale est de 48 °C et la température minimale est de 0 °C.c) La température minimale est atteinte à 2 h.d) 1) La température est de 3,22 °C. 2) La température est de 44,78 °C.

3) La température est de 40,97 °C. 4) La température est de 17,79 °C.


17. La règle de la fonction associée à la situation est y � –2πsin x, où y est l’angle d’oscillation et x, la latitude.La variation quotidienne de l’angle d’oscillation d’un pendule de Foucault situé dans la ville de Québec est environde –4,58 rad.

18. Plusieurs réponses possibles. Exemple :a)

La résolution d’équations et d’inéquations trigonométriques

ProblèmeÉquation à résoudre : 30 tan x � 90

tan x �

� xx � 1

Période : � 3

On arrête le procédé d’enrichissement à la fin des jours 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 et 28.

ππ�3

π3

π3

�3π3

π3�3

Page 109

6.3section

b) y � 3 sinπ(x � 2,5) � 5, où y représente la hauteurde la masse par rapport au dessus d’une table (en cm)et x, le temps (en s).

c) La hauteur de la masse au repos est de 5 cm.d) La hauteur de la masse au début de l’expérience est

de 2 cm.e) 1) La masse se trouve à une hauteur de 2 cm.

2) La masse se trouve à une hauteur de 8 cm.3) La masse se trouve à une hauteur de 5 cm.

43210

10

8

6

4

2

5

Hauteur de la masse par rapport au dessus

d’une table (cm)

Temps(s)

Hauteur d’une masse en fonction du temps

π180

Page 108

π12

114

2π11

Page 107

36


Activité 1

a. 1) La hauteur maximale de la matrice est de 3,5 mm.2) La hauteur minimale de la matrice est de –0,5 mm.

b. La hauteur de la matrice est de 0,5 mm à 0 s, 4 s, 12 s et 16 s.

c. La résolution de cette équation permet de déterminer à quels moments la matrice est à une hauteur de 2,5 mm.

d. et .

e. 1) Pour passer :• de l’étape à l’étape , on soustrait 1,5 des deux membres de l’équation et on divise ensuite chacun par 2 ;• de l’étape à l’étape , on isole l’argument du sinus ;• de l’étape à l’étape , on détermine les valeurs de θ pour lesquelles sinθ � 0,5, soit et ;• de l’étape à l’étape , on multiplie les deux membres de l’équation par 6 et on divise par π;• de l’étape à l’étape , on additionne 5 aux deux membres de l’équation.

2) Les valeurs trouvées représentent les moments lors des 12 premiers centièmes de seconde où la matrice atteint 2,5 mm.

f. 1) 12 centièmes de seconde.2) Ces expressions permettent de déterminer, lors des 12 centièmes de seconde suivants, les moments où la matrice sera

située à une hauteur de 2,5 mm.

g. 1) 2 sin (x � 5) � 1,5 � 2,52) ]6, 10[ centièmes de seconde et ]18, 20[ centièmes de seconde.

Mise au point 6.3

1. a) �– , – , – , – , , , , � b) Aucune solution.

c) �– , – , – , , � d) �–2π, , –π, , 0, , π, , 2π�e) � , , , , , , , , , , , � f ) � , , , , , , , , , �

2. a) x � � 1 � 2πn, où n � �. b) x � π� 2πn et � 2πn, où n � �.

c) x � � n et � n, où n � �. d) x � 8πn et 6π� 8πn, où n � �.

e) x � � n, où n � �. f ) x � � n, où n � �.

g) x � � 2n et � 2n, où n � �. h) x � � n, où n � �.

3. a) x � 2 � 12n et x � 8 � 12n, où n � �. b) Aucune solution.

c) x � 2,5 � 2n, où n � �. d) x � � 2n et � 2n, où n � �.

e) x � � πn et � πn, où n � �. f ) x � � 4n et � 4n, où n � �.

g) x � –0,68 � πn, où n � �. h) x � � 5 � πn, où n � �.

4. a) Positif : – , – � – , – � – , – � , � , � , � , 2π ;

négatif : –2π, – � – , – � – , – � – , � , � , � , .b) Positif : [–2π, 2π].c) Positif : {–2,5, –0,5, 1,5} ; négatif : [–4, 2].

d) Positif : –π, – � , � , � , ; négatif : – , � , � , � , 3π.283

263

163

143

43

23

83

283

263

163

143

43

23

83

376

296

256

176

136

56

16

76

116

196

236

316

356

376

296

256

176

136

56

16

76

116

196

236

316

356

3π4

83

–23

11π12

7π12

173

133

43

289

116

16

π2

–π3

π2

–3π8

43

–179

43

–199

5π3

3π2

556

496

436

376

316

256

196

136

76

16

458

438

378

358

298

278

218

198

138

118

58

38

11π6

5π6

–π6

–7π6

358

158

58

258

458

11π3

7π3

5π3

π3

π3

5π3

7π3

11π3

Page 114

π6

6554

5π6

π643

3221

5π6

π6

Page 110


e) Positif : , � , � , � , � , � , ;

négatif : –3π, � , � , � , � , � , � , 3π.f ) Positif : [–π, –3[ � , –2 � , –1 � , 0 � , 1 � , 2 � , 3 ;

négatif : –3, � –2, � –1, � 0, � 1, � 2, � ]3, π].


5. a) x � � πn et x � � πn, où n � �. b) x � � πn et x � � πn, où n � �.

c) Aucune solution. d) x � � πn et x � � πn, où n � �.e) x � 0 � πn, où n � �. f ) Aucune solution.g) Aucune solution. h) x � 1,56 � πn et x � 1,58 � πn, où n � �.

6. a) 0 � tan 2�x � � � 1

1 � tan 2�x � �2�x � � � et 2�x � � �

x � – x �

Période :

Positif : � , � ; négatif : � , � , où n � �.

b) 0 � –3 tan x �

� tan x

x � et x �

Période : � π

Positif : � πn, � πn ; négatif : � πn, � πn, où n � �.

c) 0 � 2 tan (x � 2)

0 � tan (x � 2)

0 � (x � 2) et π � (x � 2)x � 2 x � 8

Période : � 6

Positif : [2 � 6n, 5 � 6n[ ; négatif : ]–1 � 6n, 2 � 6n[, où n � �.

7. a) –π, � , � , � , � , π b) , � , � , c) , � , d) [0, 4]

e) –3π, � , � , � , 3π f ) , 0 � , π8. Récrire chaque règle sous la forme y � a sin b(x � h) � k de façon que les expressions sin b(x � h) soient identiques.

f (x ) � 2 sinπx � 4, g(x ) � –3 sinπx � 1 et h (x ) � sinπx � 2.a) (f � g)(x ) � –sinπx � 3 Il n’y a donc pas de solution.b) (f � h)(x ) � 3 sinπx � 6 Il n’y a donc pas de solution.c) (g � h)(x ) � –2 sinπx � 1 Les zéros sont : x � � 2n et x � � 2n, où n � �.11

676

π2

–π2

5π3

4π3

–π3

–2π3

–7π3

–8π3

13π8

11π8

5π8

3π8

13π16

5π16

–3π16

–11π16

–19π16

–27π16

23π24

19π24

11π24

7π24

–π24

–5π24

–13π24

–17π24

ππ�6

π6

π6

π6

π6

3π2

7π6

7π6

π2

π1

7π6

π6

��33

�3

πn2

11π24

πn2

π12

πn2

π12

πn2

–π24

π2

11π24

π24

5π4

π6

π4

π6

π6

π6

π6

5π6

π6

5π6

π6

5π6

Page 115

176

116

56

–16

–76

–136

176

116

56

–16

–76

–136

11π4

5π2

7π4

3π2

3π4

π2

–π4

–π2

–5π4

–3π2

–9π4

–5π2

11π4

5π2

7π4

3π2

3π4

π2

–π4

–π2

–5π4

–3π2

–9π4

–5π2

38


9. a)

0 π–π

y

2π–2π x

f (x ) � sin xf � g

g (x ) � cos x

π3

–π3

2π3

4π3

5π3

–2π3

–5π3

–4π3

2

1

–1

–2

b) 1) y � sin�x � �2) y � cos�x � �

c) 1) x � � 2nπet x � � 2nπ, où n � �.2) Ces valeurs sont associées au maximum de la fonction f � g.

d) 1) x � � 2nπet x � � 2nπ, où n � �.2) Ces valeurs sont associées au maximum de la fonction f.

e) 1) x � nπ, où n � �.2) Ces valeurs sont associées au maximum de la fonction g.

3π2

π2

5π4

π4

π4�2

π4�2


10. a) � 2nπ� x � � 2nπ, où n � �. b) � nπ x � nπ, où n � �.

c) x � 2 � 4n, où n � �. d) 0 � nπ x � nπ, où n � �.

e) � nπ� x � � nπ, où n � �. f ) � n x � n, où n � �.

11. a) {–3,5, –1,5, 0,5, 2,5} b) � , , , �c) {–1,75, –1,25, –0,75, –0,25, 0,25, 0,75, 1,25, 1,75} d) 0,91 et 1,58 .

e) �– , – , � f ) � , , , �


12. 1000 � 1000 tan x

1 � tan x

� xx � 15 s

Le parachute se déploie au bout de 15 s.

13. La règle de la fonction associée à la situation est y � 3 sin 180πx � 4, où y est la distance (en cm) et x, le temps (en s).a) Résoudre l’équation 3 sin 180πx � 4 � 2.

La pointe de la lame se trouve à 2 cm de la planche à environ 7 ms et à environ 1 centième de seconde.b) La pointe de la lame se trouve à une distance d’au moins 5 cm de la planche pendant environ 4 ms.

14. Les pieds de Léonie touchent le fond pendant 200 s.


15. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y � –35cos0,5πx � 50, où y est l’intensité du son (en dB) et x, le temps (en s).b) 1) Résoudre l’équation 68 � 35 sin 0,5π(x � 1) � 50.

Les moments où l’intensité du son est égale à 80 % de l’intensité maximale durant la première minute sont à :� 1,34 s, � 2,66 s, � 5,34 s, � 6,66 s, � 9,34 s, � 10,66 s, � 13,34 s, � 14,66 s, � 17,34 s, � 18,66 s,� 21,34 s, � 22,66 s, � 25,34 s, � 26,66 s, � 29,34 s, � 30,66 s, � 33,34 s, � 34,66 s, � 37,34 s,� 38,66 s, � 41,34 s, � 42,66 s, � 45,34 s, � 46,66 s, � 49,34 s, � 50,66 s, � 53,34 s, � 54,66 s,� 57,34 s et � 58,66 s.

2) Résoudre l’inéquation 70 � 35 sin 0,5π(x � 1) � 50.Lors de la première oscillation, l’intensité du son est supérieure à 70 dB pendant environ 1,23 s. Donc durantla première minute, l’intensité du son est supérieure à 70 dB pendant environ 18,38 s.

Page 118

π60

π4

π60

π60

Page 117

7π8

3π8

–π8

–5π8

7π12

π12

5π12

36

11π6

7π6

5π6

π6

π2

π4

π2

π12

7π8

π8

π4

π3

–π3

3π2

π2

Page 116


16. a) 1) La règle de la fonction qui correspond à la position verticale du pied droit est y � 12 sin 5π(x � 0,2) � 9, oùy représente la position verticale (en cm) et x, le temps (en s).

2) La règle de la fonction qui correspond à la position verticale du pied gauche est y � 12 sin (5πx ) � 9, oùy représente la position verticale (en cm) et x, le temps (en s).

b) 1) Le pied droit entre dans l’eau à environ 0,35 s, 0,75 s, 1,15 s, 1,55 s et 1,95 s.2) Le pied gauche est hors de l’eau entre environ 0,05 s et 0,15 s, 0,45 s et 0,55 s, 0,85 s et 0,95 s, 1,25 s et 1,35 s,

1,65 s et 1,75 s.3) Les deux pieds sont dans l’eau entre environ 0 s et 0,05 s, 0,15 s et 0,25 s, 0,35 s et 0,45 s, 0,55 s et 0,65 s,

0,75 s et 0,85 s, 0,95 s et 1,05 s, 1,15 s et 1,25 s, 1,35 s et 1,45 s, 1,55 s et 1,65 s, 1,75 s et 1,85 s, 1,95 s et 2 s.


17. a) 450 � 500 sin 0,25πx � 700– � sin 0,25πx

� 0,25πxx � 4,67 mois.

La population de bernaches passe au-dessous de la barre des 450 000 individus pour la première fois à 4,67 moisenviron.

b) La population de bernaches est supérieure ou égale à 1 million d’individus pendant environ 4,72 mois.c) Cette population de bernaches passe de 400 000 à 700 000 individus en 0,82 mois environ.

18. a) 1) 600 fois. b) 1) À 0,008 s, 0,041 s, 0,108 s, 0,141 s, …, 54,141 s.2) 1200 fois. 2) À 0,05 s, 0,1 s, 0,15 s, 0,2 s, …, 59,95 s.3) 1200 fois. 3) À 0,075 s, 0,175 s, 0,275 s, 0,375 s, …, 59,975 s.

c) 1) 300 fois. d) 1) À 0,35 s, 0,75 s, 1,15 s, 1,55 s, …, 59,95 s.2) 300 fois. 2) À 0,01 s, 0,28 s, 0,41 s, 0,68 s, …, 59,88 s.3) 150 fois. 3) À 0,05 s, 0,25 s, 0,45 s, 0,65 s, …, 59,85 s.

Les identités trigonométriques

Problèmetan x sin x � cos x

sin x � cos xsin2x � cos2x

±sin x � ±cos xIl y a 4 valeurs possibles qui satisfont cette équation, soit , , et .Karl a raison, il y a quatre valeurs de x qui vérifient cette équation.

Activité 1

a. 1) La mesure du segment AE correspond au cosinus de l’angle CAE.2) La mesure du segment CE correspond au sinus de l’angle CAE.

b. (m )2 � (m )2 � (m )2

(cosθ)2 � (sinθ)2 � 1

c. 1) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).2) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).3) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).4) Deux triangles qui ont deux angles homologues isométriques sont semblables (AA).

d. La mesure du segment CD correspond à la tangente de l’angle CAE.

ACCEAE

Page 121

7π4

5π4

3π4

π4

sin xcos x

Page 120

6.4section

33636

66363

7π6

12

Page 119

40


Activité 1 (suite)

e. 1) � 2) m � 3) Ce sont des inverses multiplicatifs.

f. 1) � 2) m � 3) Ce sont des inverses multiplicatifs.

g. (m )2 � (m )2 � (m )2

1 � (tanθ)2 � � �2ou 1 � tan2 θ � sec2 θ.

h. 1) � 2) m � 3) Ce sont des inverses multiplicatifs.

i. (m )2 � (m )2 � (m )2

1 � � �2� � �2

ou 1 � cot2 θ � cosec2 θ.

Mise au point 6.41. a) sin2 x b) –cos2 x c) cot2 x d) sin2 x

e) cot2 x f ) tan x g) 1 h) –1

2. a) 1) 1 2) 1 3) 1b) Le produit d’un rapport trigonométrique par son inverse est toujours égal à 1.

3. a) � , , , � b) {–2π, 0, 2π} c) �–2π, , –π, , 0, , π, , 2π�d) {–2π, –π, 0, π, 2π} e) {–2π, –π, 0, π, 2π} f ) � , , , �

4. a) b) c)

d) e) f )

5. a) cosec x b) cosec2 x c) sin2 x d) cos x e) cos2 x f ) 1


6. a) sin x sec x � tan x� tan x

tan x � tan x

c) 2 cos x sec2 x � 2 sec x� 2 sec x

� 2 sec x2 sec x � 2 sec x

e) � 1 � cot2 xcosec2 x � 1 � cot2 x

cot2 x � cot2 x

1sin2 x

2cos x

2 cos xcos2 x

sin xcos x

Page 125

11 � sin2 x

11 � cos2 x�1 � cos2 x

�1 � sin2 xsin x ��1 � sin2 x

1 � sin2 x��1 � cos2 x

cos x

3π2

π2

–π2

–3π2

3π2

π2

–π2

–3π2

5π4

π4

–3π4

–7π4

Page 124

1sinθ

1tanθ

ABBCAC

1sinθAB1

m AB�sin θθ

1

1cosθ

ADCDAC

1cosθAD1

cos θθm AD�

1

1tanθBC1

tan θθm BC�

1

Page 122

b) tan2 x cosec2 x � sec2 x� � sec2 x

� sec2 xsec2 x � sec2 x

1cos2 x

1sin2 x

sin2 xcos2 x

d) (1 � cos x )(1 � cos x ) � sin2 x1 – cos2 x � sin2 x

sin2 x � sin2 x

f ) cot x (cos x � tan x sin x ) � cosec xcot x cos x � cot x tan x sin x ) � cosec x

� sin x � cosec x

� � cosec x

� cosec xcosec x � cosec x

1sin x

sin2 xsin x

cos2 xsin x

cos2 xsin x


g) (cosec2 x � 1)(sec2 x � 1) � 1tan2 x cot2 x � 1

1 � 1

i ) sin2 x cot2 x � sin2 x � 1sin2 x (cot2 x � 1) � 1

sin2 x cosec2 x � 11 � 1

7. a) x � , où n � �. b) Aucune solution. c) x � , où n � �.

d) Aucune solution. e) Aucune solution. f ) x � � et x � � nπ, où n � �.

8. a) 1,25 b) 2 c)

9. a) sin2 x � 1 � cot2 x sin2 x1 � cos2 x � 1 � cot2 x sin2 x

1 � cos2 x � 1 � cot2 x sin2 x

1 � sin2 x � 1 � cot2 x sin2 x1 � cot2 x sin2 x � 1 � cot2 x sin2 x

c) � 2 cos2 x � 1

� 2 cos2 x � 1

� 2 cos2 x � 1

� � 2 cos2 x � 1

� 2 cos2 x � 1

� 2 cos2 x � 1cos2 x � sin2 x � 2 cos2 x � 1

cos2 x � (1 � cos2 x ) � 2 cos2 x � 12 cos2 x � 1 � 2 cos2 x � 1

e) (1 � sin2 x )(1 � cot2 x ) � cot2 xcos2 x cosec2 x � cot2 x

cos2 x � cot2 x

� cot2 xcot2 x � cot2 x

g) cos x � sin xcos x � sin x

cos x tan x � sin xcos x � sin x

sin x � sin x

sin xcos x

�tan2 x�sec2 x � 1

cos2 xsin2 x

1sin2 x

cos2 x � sin2 x1

cos2 x � sin2 xcos2 x � sin2 x

sin x cos xcos2 x � sin2 x

cos2 x � sin2 xsin x cos x

�cos2 x

sin x cos x�� sin2 x

�

�cos2 x

sin x cos x�� sin2 x

�

sin x�cos x

�cos x�sin x

sin x�cos x

�cos x�sin x

cot x � tan xcot x � tan x

cos2 xsin2 x

sin2 xsin2 x

2��33

π2

nπ2

π4

3πn4

πn3

42

h) � sin x � cosec x

� � cosec x


1sin x

sin2 xsin x

cos2 xsin x

cos2 xsin x

j ) cos2 x tan2 x � cos2 x � 1cos2 x (tan2 x � 1) � 1

cos2 x sec2 x � 11 � 1

d) tan x (sin x � cot x cos x) � sec x

�sin x � cos x� � sec x

� cos x � sec x

� sec x

� sec xsec x � sec x

1cos x

sin2 x � cos2 xcos x

sin2 xcos x

cos xsin x

sin xcos x

f ) sin2 x cot2x sec x � cos xsin2 � cos x

cos x � cos x

1cos x

cos2 xsin2 x

h) tan2 x � cos2 x � 1 � sin2 x tan2 xtan2 x � cos2 x � (cos2 x � sin2 x ) � sin2 x tan2 x

tan2 x � cos2 x � cos2 x � sin2 x � sin2 x tan2 xtan2 x � sin2 x � sin2 x tan2 x

� sin2 x � sin2 x tan2 x

sin2 x� � 1� � sin2 x tan2 x

sin2 x(sec2 x � 1) � sin2 x tan2 xsin2 x tan2 x � sin2 x tan2 x

1cos2 x

sin2 xcos2 x

b) sin x cot x � cos xsin x � cos x

cos x � cos xcos x � cos x

sin xsin x

cos xsin x


i ) sin2 x � � cos2 x � sec2 x

� 1 � sec2 xtan2 x � 1 � sec2 x

sec2 x � sec2 x


10. Factoriser l’expression cos4 x � 3 cos2 x � 2.(cos2 x � 1)(cos2 x � 2) � 0 Les solutions sont donc {–2π, –π, 0, π, 2π}.

11. a) sin � sin � ±

� ±

� ±

� ±

� ±

c) tan � tan � ±

� ±

� ±

� ± �

� ±

� ±

� ± 3 � 2

e) sin � sin � ± ��22

π4

3π12

�2�

6 � 4��22

�4 � 4��2 � 2

4 � 2�

2 � ��22 � ��2

2 � ��22 � ��2

�

2 ��

2��2

2 ��

2��2�

1 � –2

��2

1 � –2

��2�

1 � cos 4�5π

1 � cos 4�5π�4

�5π

25π8

��2 � ��22

2 � ��24

�

2 ��

2��2

2�

1 �2

��2

2�

1 � cos π�4

2�π

�42

π8

Page 126

sin2 xcos2 x

sin2 x1 � sin2 x j ) � tan2 x

� tan2 x

� tan2 x

� tan2 x

� tan2 x

� � tan2 x

� tan2 x

tan2 x � tan2 x

sin2 xcos2 x

sin xcos x

sin xcos x

sin x�cos xcos x�sin x

sin x 1�cos x

1�sin x

cos x

sin x secxcosec x cos x

sin x secxcosecx ��cos2 x

sin x secxcosecx ��1 � sin2 x

b) cos – � cos � ±

� ±

� ±

� ± ��2 � ��22

2 � ��24�

1 � –2

��2

2�

1 � cos –4

�5π

2�–

4�5π

25π8

d) tan – � tan � ±

� ±

� ±

� ± �

� ±

� ±

� ± 3 � 2�2�

6 � 4��22

�4 � 4��2 � 2

4 � 2�

2 � ��22 � ��2

2 � ��22 � ��2

�

2 ��

2��2

2 ��

2��2�

1 �2

��2

1 �2

��2�

1 � cos – 4

�15π

1 � cos – 4

�15π�–

4�15π

215π

8


f ) sin – � sin � ±

� ±

� ±

� ±

h) cos � cos � ±

� ±

� ±

� ±

12. a) � tan2 x

� tan2 x

� tan2 x

� sin2 x � tan2 x

� tan2 x

tan2 x � tan2 xc) tan2 x � sin2 x � sin2 x tan2 x

� sin2 x � sin2 x tan2 x

� � sin2 x tan2 x

� sin2 x tan2 x

� sin2 x tan2 x

� sin2 x tan2 x

sin2 x � sin2 x tan2 x

sin2 x tan2 x � sin2 x tan2 x

sin2 xcos2 x

sin2 x sin2 xcos2 x

sin2 x (1 � cos2 x )cos2 x

sin2 x � sin2 x cos2 xcos2 x

sin2 x cos2 xcos2 x

sin2 xcos2 x

sin2 xcos2 x

sin2 xcos2 x

1cos2 x

1�cos2 x

1�sin2 x

sec2 xcosec2 x

1 � tan2 xcosec2 x

��2 � ��32

2 � ��34

�1 �

2��3

2�

1 � cos π�6

2�π

�62

π12

��2 � ��22

2 � ��24

�1 �

2��2

2�

1 � cos –4�π

2�–

4�π

2π8

44

g) cos � cos � ±

� ±

� ±

� ± ��2 � ��32

2 � ��34

�1 � –

2��3

2�

1 � cos6

�7π

2�6

�7π

27π12

i ) tan � tan � ±

� ±

� ±

� ± �

� ±

� ± 7 � 4�3�

4 � 4��3 � 34 � 3

�2 � ��32 � ��3

2 � ��32 � ��3

�

2 ��

2��3

2 ��

2��3�

1 �2

��3

1 �2

��3�

1 � cos6�π

1 � cos6�π�6

�π

2π12

b) � 1 � cos x

� 1 � cos x

� 1 � cos x1 � cos x � 1 � cos x

(1 � cos x )(1 � cos x )1 � cos x

1 � cos2 x1 � cos x

sin2 x1 � cos x

d) � � 1

� � 1

� � � � 1

� � 1

sec2 x � tan2 x � 11 � 1

sin2 xcos2 x

1cos2 x

sin xcos x

sin xcos x

1cos x

1cos x

sin x�cos xcos x�sin x

1�cos xcos x

tan xcot x

sec xcos x


e) sec2 x � cosec2 x �

� �

� �

�

�

g) (cosec x � cot x )2 �

cosec2 x � 2 cosec x cot x � cot2 x �

� 2 � �

�

�

�

�

13. a) � , � b) �0, , π, , 2π� c) {–2π, 0, 2π}

d) Aucune solution. e) � , π, � f ) {� –2,19, � –0,96, � 0,96, � 2,19}


14. a) –sin x b) cos x c) sin x d) cos x e) sin xf ) –cos x g) –tan x h) cot x i ) –tan x j ) –sin x

15. � 1

� 1

� 11 � 1

16. a) sin x b) 0 c) –1 d) cos x e) tan x f ) cosec x

17. a) �

�

� �

�cot x

1 � cos xcot x

1 � cos x

cot x1 � cos x

cos xcos x � 1

1sin x

cot x1 � cos x

sin x�1

�cos x � 1

cos x�

cot x1 � cos x

cosec x1 � sec x

cos2 x � sin2 xsin2 x � cos2 x

cos2 x (1 � cos2 x )sin2 x (1 � sin2 x )

cos2 x � cos4 xsin2 x � sin4 x

Page 127

5π3

π3

5π4

π4

7π2

3π2

1 � cos x1 � cos x



(1 � cos x )2

(1 � cos x )(1 � cos x )


cos2 x � 2 cos x � 11 � cos2 x


1 � 2 cos x � cos2 xsin2 x


cos2 xsin2 x

cos xsin x

1sin x

1sin2 x



1cos2 x sin2 x

1cos2 x sin2 x

1cos2 x sin2 x

sin2 x � cos2 xcos2 x sin2 x

1cos2 x sin2 x

cos2 xcos2 x sin2 x

sin2 xcos2 x sin2 x

1cos2 x sin2 x

1sin2 x

1cos2 x

1cos2 x sin2 x f ) � sin2 x

� sin2 x

cos2 x � � � sin2 x

cos2 x � � sin2 x

sin2 x � sin2 x

sin2 xcos2 x

sin xcos x

sin xcos x

cos2 x �sin x�cos x

cos x�sin x

cos2 x tan xcot x

h) � sin2 x � cos2 x � cosec2 x

� 1 � cosec2 xcot2 x � 1 � cosec2 x

cosec2 x � cosec2 x

cos2 xsin2 x

cos2 x1 � cos2 x

b) cosec x � sin x � cos x cot x� sin x � cos x cot x

� cos x cot x

� cos x cot xcos x cot x � cos x cot x

cos2 xsin x

1 � sin2 xsin x

1sin x


c) cosec x(cosec x � cot x ) �

cosec2 x � cosec x cot x �

� �

�

�

�

e) � � 0

� � 0

� � 0

� � 0

� � 0

Chronique du passé

1. a) b) c)

2. cos � � a� � cos cos a � sin sin a

cos � � a� � 0 cos a � 1 sin a

cos � � a� � sin a

3. a) b) c)

4. cos 2x � cos2 x � sin2 xsin2 x � cos2 x � cos 2xsin2 x � (1 � sin2 x ) � cos 2x

2 sin2 x � 1 � cos 2xsin2 x �

Le monde du travail

1. a) 1) La vitesse de la station spatiale est environ de 0,07 rad/min.2) La vitesse du satellite de communication est environ de 0,07 rad/min.

b) 1) La distance parcourue par la station spatiale est de 27 084 km.2) La distance parcourue par la station spatiale est de 67 710 km.3) La distance parcourue par la station spatiale est environ de 4 254 344,77 km.

Page 131

1 � cos2x2

3237

1217

12

π2

π2

π2

π2

π2

2 � ��22

32

2 � ��32

Page 129


1 � cosec xcosec x � 1

–(1 � cosec x )cosec x � 1


1 � cosec x1 � cosec x


�cosec x

cosec x� 1

�

�1 �

cosec xcosec x�


1 �cosec x�

1

1�cosec x

� 1


1 � sin xsin x � 1

11 � cos x

11 � cos x

11 � cos x

1 � cos x(1 � cos x )(1 � cos x )

11 � cos x

1 � cos x1 � cos2 x

11 � cos x

cos xsin2 x

1sin2 x

11 � cos x

11 � cos x

46

d) (1 � sec x )(sec x � 1) �

sec2 x � 1 �

tan2 x �

�

�sin x sec x

cos x cosec xsin x sec x

cos x cosec x

sin x sec xcos x cosec x

sin2 xcos2 x




f ) �

�

�

�

�1 � cos x

sin x1 � cos x

sin x

1 � cos xsin x

sin x � cos x sin xsin2 x

1 � cos xsin x

cos x�sin x

� �cos x

cos xsin x�

cos x�sin2 x

1 � cos xsin x

cos x�sin x

� sin x

cos x�sin2 x

1 � cos xsin x

tan x � sin xtan x sin x


2. a) 1) La période de la fonction est de 90 min.2) La règle est y � 54 sin , où y représente la latitude (en °) et x, le temps (en min).

b) 1) La SSI se trouve à environ –46,77° de latitude. 2) La SSI se trouve à 0° de latitude.3) La SSI se trouve à environ –46,77° de latitude.

c) La latitude de la SSI est supérieure à 36° de 10,45 min environ à environ 34,55 min.

Vue d’ensemble

1.

2. a) Vraie. P(0, 1)b) Fausse. Le rayon du cercle trigonométrique est de 1.c) Vraie. Les coordonnées de ce point sont (0, –1).

d) Vraie. Les cordonnées de ces points sont � , �.e) Fausse. Ces points sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

3. a) � , � b) (� –0,65, � –0,76) c) (0, 1) d) (� –0,94, � 0,34)

e) (� –0,99, � –0,14) f ) (� 0,62, � –0,78) g) (� 0,0044, � –1) h) (� –0,99, � 0,16)

4. a) P� � � � , � et P� � � � , �.La distance qui sépare ces deux points est de 1 unité.

b) P�– � � (0, –1) et P� � � � , �.La distance qui sépare ces deux points est environ de 1,85 unité.

c) P� � � � , � et P(2) � (cos 2, sin 2), soit (� –0,41, � 0,91).

La distance qui sépare ces deux points est environ de 1,35 unité.

d) P� � � �cos , sin �, soit (� 0,17, � 0,98) et P(–3) � (cos –3, sin –3), soit (� –0,99, � –0,14).

La distance qui sépare ces deux points est environ de 1,62 unité.

5. a) b) –0,8 c) d) � –0,45


6. a) b) c) d) e)

f ) g) � –0,89 h) � 2,26 i ) � –0,89

7. a) tan2 x b) tan x c) 1 d) –sin2 xe) 1 f ) cosec2 x g) cot x h) cosec x sec x

8. a) b) c) sin x

d) e) f ) �1

sin x�1 � sin2 x1

sin2 x–sin2 x

1 � sin2 x

sin x ��1 � sin2 x1 � sin2 x�1 � sin2 x

–��102

–��62

–��155

��105

��153

��63

Page 133

�3–��2

2

4π9

4π9

4π9

12

��32

π6

��22

–��22

3π4

π2

��32

12

π3

��32

–12

2π3

��32

–12

��32

–12

Page 132

πx45

Mesure d’angle (rad)

– – –4,5

Mesure d’angle (°) 270 –60 435 –40 –1000 –257,83

–50ππ9

2π9

29ππ12

π3

3π2


9. a) 1) 4 2) 3) Minimum : –8 ; maximum : 0.

4) Croissante : 0 � , � , où n � � ; décroissante : � , � , où n � �.

5) Positif : � , où n � � ; négatif : �.

b) 1) 2 2) 2 3) Minimum : –3 ; maximum : 1.4) Croissante : [1 � 2n, 2 � 2n], où n � � ; décroissante : [0 � 2n, 1 � 2n], où n � �.5) Positif : � 2n, � 2n, où n � � ; négatif : � 2n, � 2n, où n � �.

c) 1) 3 2) π 3) Minimum : 5 ; maximum : 11.4) Croissante : � πn, � πn, où n � � ; décroissante : � πn, � πn, où n � �.5) Positif : �.

d) 1) 1 2) 9 3) Minimum : –0,5 ; maximum : 1,5.4) Croissante : [–1 � 9n, 3,5 � 9n], où n � � ; décroissante : [3,5 � 9n, 8 � 9n], où n � �.5) Positif : [0,5 � 9n, 6,5 � 9n], où n � � ; négatif : [–2,5 � 9n, 0,5 � 9n], où n � �.

10. a) b)

c) d) y

x

5

4,5

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–5π4

–3π4

–π2

–π4

π4

π2

3π4

5π4

0–π π

y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

0–5π4

–4π4

–3π4

–2π4

–π4

π4

2π4

3π4

4π4

5π4

y

x

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

y

x

5

4,5

4

3,5

3

2,5

2

1,5

1

0,5

–2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

7π12

π12

π12

–5π12

53

13

13

–13

4n3

23

4n3

43

4n3

23

4n3

23

4n3

43

48


e) f )


11. a) x � � et x � � , où n � �. b) x � � 2nπet x � π� 2nπ, où n � �.

c) x � � , où n � �. d) x � –1 � et x � � , où n � �.

e) x � � , où n � �. f ) x � � , où n � �.

g) x � � et x � � , où n � �. h) Aucun zéro.

12. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) y � –4 sinπ(x � 3) � 2 b) y � 2 sin 0,5π(x � 1) � 4 c) y � –3 sin 0,5(x � π) � 1d) y � –4 sin 0,1π(x � 7) � 3 e) y � 3 tan 0,25π(x � 1) � 1 f ) y � –tan 0,4(x � π) � 3


13. a) Oui. b) Non. c) Non.

14. a) 1) y � –3 sin 0,5π(x � 1) � 2 2) y � 3 cos 0,5πx � 2b) 1) x � 1,46 � 4n et x � 2,54 � 4n, où n � �. 2) ]� –0,54 � 4n, � 0,54 � 4n[, où n � �.

15. a) � 10πn, � 10πn, où n � �. b) � 2n, � 2n, où n � �.

c) � 1,5n, 1,25 � 1,5n, où n � �. d) � πn, � πn, où n � �.

e) � f ) � πn, � πn, où n � �.

g) ]� –0,11 � 2n, � 1,11 � 2n[, où n � �. h) [� 1,68 � 4πn, � 10,88 � 4πn], où n � �.

16. a) � cosec xcot x sec x � cosec x


c) � � 1cosec2 x � cot2 x � 1

1 � 1

1tan2 x

1sin2 x

cos xsin x cos x

sec xtan x

π6

–π2

5π6

π6

78

43

–13

–5π4

–15π4

Page 135

2πn5

π12

2πn5

13π60

2n3

–19

πn2

–25π84

12n5

–35

12n5

4n3

103

π2

2πn3

13π18

2πn3

5π18

Page 134

y

x

8

7

6

5

4

3

2

1

–1

–2

–2,5π–2π–1,5π –π –0,5π0 0,5π π 1,5π 2π 2,5π

y

x

5

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

–5

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

b) � 1 � cos2 xtan2 x cos2 x � 1 � cos2 x

cos2 x � 1 � cos2 xsin2 x � 1 � cos2 x

1 � cos2 x � 1 � cos2 x

sin2 xcos2 x

1 � sin2 xcot2 x

d) (1 � tan x )2 � (1 � tan x )2 � 2 sec2 x1 � 2 tan x � tan2 x � 1 � 2 tan x � tan2 x � 2 sec2 x

2 � 2 tan2 x � 2 sec2 x2(1 � tan2 x ) � 2 sec2 x

2 sec2 x � 2 sec2 x


e) tan x � cot x � sec x cosec x� � sec x cosec x

� sec x cosec xsec x cosec x � sec x cosec x

g) � sin x � cos x

� sin x � cos xsin x � cos x � sin x � cos x


17. a) x � � πn, où n � �. b) x � � 2πn et x � � 2πn, où n � �.

c) x � � n, où n � �. d) Aucune valeur possible de x.

18. a) x � � 2πn, où n � �. b) x � � n, où n � �. c) x � π� 2πn, où n � �.

d) x � � n, où n � �. e) x � � n, où n � �. f ) x � � πn, où n � �.

19. Longueur de l’arc de cercle : 3450 km ; circonférence du cercle : (2π� 1520) km, donc la mesure de l’arc de cercle est de rad.

20. a) La roue effectue 4 tours/s.b) La vitesse de rotation de la valve est environ de 9,55 m/s.


21. L’appareil est saturé à : [0, � 0,0083] s � [� 0,092, � 0,11] s � [� 0,19, � 0,21] s � [� 0,29, � 0,31] s �[� 0,39, � 0,41] s � [� 0,49, � 0,51] s � [� 0,59, � 0,61] s � [� 0,69, � 0,71] s � [� 0,79, � 0,81] s �[� 0,89, � 0,91] s � [� 0,99, 1] s.

22. Il s’agit de trouver les zéros de h � 250 cos � 125 pour t � [0, 30] s.t � 20 s et t � 10 s. Donc 20 s � 10 s = 10 s.L’avion prend 10 s pour remplir ses réservoirs d’eau.

23. La règle associée à cette situation est y � 7 sin x � 7, où y représente la tension (en V) et x, le temps (en s).a) Ce condensateur se décharge 2 millions de fois pendant son fonctionnement.b) La diode est allumée pendant 2,4 millions de secondes, soit pendant 666 h 40 min.c) Il s’écoule 3 s.

5π9

πt15

Page 137

345152

3π4

π2

π4

π2

π4

π2

π4

–π2

π2

π4

7π6

–π6

π2

Page 136

(sin x � cos x )(sin x � cos x )sin x � cos x

sin2 x � cos2 xsin x � cos x

sin2 x � cos2 xsin x cos x

cos xsin x

sin xcos x

50

h) (tan x + sec x)2 �

� � �2�

� �2�

�

�

�

�1 � sin x1 � sin x

1 � sin x1 � sin x


(sin x � 1)2

(1 � sin x )(1 � sin x )


(sin x � 1)2

1 � sin2 x


(sin x � 1)2

cos2 x


sin x � 1cos x


1cos x

sin xcos x


f ) (cos x � sin x )(sec x � cosec x ) � sec x cosec x � 2cos x sec x � cos x cosec x � sin x sec x � sin x cosec x � sec x cosec x � 2

cot x + tan x � 2 � sec x cosec x � 2� � 2 � sec x cosec x � 2

� 2 � sec x cosec x � 2sec x cosec x � 2 � sec x cosec x � 2

sin2 x � cos2 xsin x cos x

sin xcos x

cos xsin x



24. On cherche le zéro de y � cosx pour x � [0, 2], soit x � � 1,57. La longueur L de la lame est donc d’environ 1,57 mm.Résoudre tan x � cos x pour x � [0, 2].On trouve x � 0,67.y � tan 0,67y � 0,79La hauteur H de la lame est environ de 0,79 mm.

25. a) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple :y � 10 cosπ�x � �, où y représente la position horizontale et x, le temps (en s).

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :y � 10 sinπ�x � �, où y représente la position verticale et x, le temps (en s).

b) 1) (5 , 5) 2) (–5 , –5)c) L’abscisse et l’ordonnée du point P seront égales au point . Or, comme le rayon est ici égal à 10 m,

les coordonnées de sont � , �, soit (5 , 5 ).

Résoudre l’équation 5 � 10 cosπ�x � � ou 5 � 10 sinπ�x � �.La première valeur qui vérifie ces équations est s. La seconde valeur est � 1 s, donc s.

L’abscisse du point P est donc identique à son ordonnée à : s, s, s, s et s.


26. a) 1) P � 30 cos (x � 4) � 210 ou P � 30 sin (x � 2) � 210, où P représente la population de chevreuils et x, le temps écoulé (en années) depuis 2000.

2) P � 4 cos (x � 5) � 20 ou P � 4 sin (x � 3) � 20, où P représente la population de coyotes et x, le temps écoulé (en années) depuis 2000.

b) 1) En 2021, la population de chevreuils sera d’environ 231 bêtes.2) En 2027, la population de coyotes sera de 20 bêtes.

c) 1) Du 1er septembre 2010 au 30 avril 2013, du 1er septembre 2018 au 30 avril 2021 et du 1er septembre 2026au 30 avril 2029.

2) Puisque 24 est le nombre maximal de coyotes, la population de coyotes est toujours inférieure ou égale à 24 bêtes.


1. • Déterminer le temps que prend l’avion A pour effectuer un tour complet.� ⇒ x � 314,16 s ou x � 5,24 min.

• Déterminer la distance parcourue par l’avion A en un tour.4800 � 5,24 � 25 132,74 m

• Déterminer l’aire du disque délimité par la trajectoire de l’avion A.Le rayon de la zone est de 4000 m, soit 4 km.A � 16π

� 50,27 km2

• Déterminer l’aire du disque délimité par la trajectoire de l’avion B.50,27 � 32 � 82,27 km2

• Déterminer le rayon de la trajectoire de l’avion B.� 5,12 km

• Déterminer la circonférence du trajet de l’avion B.2 � π� 5,12 � 32,15 km

�82,27 π

2πx

0,021

Page 140

π4

π4

π4

π4

Page 139

4912

3712

2512

1312

112

1312

112

112

16�2

16�2

�2�210��2

210��2

2π4

π4

�3�3

16

16

π2

Page 138


• Déterminer la distance que parcourt l’avion B en 1 h.L’avion B effectue une rotation en 5,24 min environ. Sa vitesse est donc de 32,15 5,24 � 60 � 368,44 km/h.Il parcourt donc environ 368,44 km en 1 h.

2. Établir la règle associée à la force appliquée par chacun des pieds.Pied droit : f (x ) � 30 sin 8(x � 10π) � 60, où f représente la force appliquée par le pied droit (en N) et x, le temps (en s).Pied gauche : g (x ) � –30 sin 8(x � 10π) � 60, où f représente la force appliquée par le pied gauche (en N) et x,le temps (en s).Additionner les règles afin de déterminer la force totale appliquée par les pieds en fonction du temps.(f � g)(x ) � 30 sin 8(x � 10π) � 60 � –30 sin 8(x � 10π) � 60 � 120La force totale appliquée est constante et est égale à 120 N.


3. • Établir la règle qui permet de déterminer le taux d’inflation en fonction du temps pour chacun des pays.Si y représente le taux d’inflation (en %) et x, le temps (en années), on a :Pays A : y � –sin 0,5πx � 3Pays B : y � 2 sin 0,5πx � 2,5

• Déterminer les moments où la valeur du taux d’inflation sera la même pour les deux pays.–sin 0,5πx � 3 � 2 sin 0,5πx � 2,5

0,5 � 3 sin 0,5πx� sin 0,5πx

0,5πx � 0,17 et 0,5πx � 2,97.x � 0,11 et x � 1,89.La période de la fonction associée à la variation du taux d’inflation est de 4 ans pour chacun des pays. Les tauxd’inflation de ces deux pays sont donc identiques à environ 0,11 an, 1,89 an, 4,11 ans, 5,89 ans, 8,11 ans, 9,89 ans,12,11 ans, 13,89 ans.Donc, de 2015 à 2020, les taux d’inflation seront les mêmes en 2016, soit environ 8,11 ans après 2008, et en 2017, soitenviron 9,89 ans après 2008.

4. Démontrer que l’expression est équivalente à l’expression .

� sec x cosec x

� sec x cosec x

� sec x cosec x

(sec x cosec x ) � sec x cosec xsec x cosec x � sec x cosec x


5. Établir la règle de la fonction qui correspond à la situation.y � tan (x � 4) � 1, où y représente l’intensité du signal sonore (en dB) et x, le temps (en centièmes de seconde).

Déterminer les moments où l’intensité du signal est de 42 dB et de 56 dB.42 � tan (x � 4) � 1 ⇒ x � 7,94 centièmes de seconde.

56 � tan (x � 4) � 1 ⇒ x � 7,95 centièmes de seconde.L’intervalle de temps entre ces deux intensités est environ de 0,0002 s. Étant donné que le son se répète 750 fois au coursde la première minute, l’intensité du signal est d’au moins 42 dB pendant environ 0,12 s.

π8

π8

π8

Page 142

sec x � cosec xsec x � cosec x

sec x � cosec x(sec x�(sec x

�c

�osec x)�cosec x)

sec x � cosec x1

�sec x

�1

�cosec x

sec x � cosec xsin x � cos x

21

16

Page 141

52


6. Récrire l’équation à l’aide des identités trigonométriques.–sin2 x � cos2 x � 6 cos x � 4

–1(sin2 x � cos2 x ) � 6 cos x � 4� cos x

Les solutions de l’équation � cos x sont : x1 � � 2πn et x2 � � 2πn, où n � �.Les solutions de Gabriel ne font donc pas partie de l’ensemble-solution.

7. • Établir la règle associée à cette situation.La période de cette situation est de 365. Le jour 0 peut être considéré comme le 21 juin.La règle de cette situation est y � 12 cos x � 12, où y représente le temps d’ensoleillement (en h) et x,le temps (en jours).

• Déterminer le nombre d’heures d’ensoleillement le 31 octobre.Ce jour est le 132e après le 21 juin. y � 12 cos � 132 � 12Le 31 octobre, il y aura environ 4,26 h d’ensoleillement.

2π365

2π365

–π3

π3

12

12


8. • Établir la règle associée à cette situation.La période est de 40 min. Le paramètre b vaut donc . Le paramètre a vaut 2, car � 2.Le paramètre k vaut ainsi 100. De plus, la courbe passe par le point (0, 101). En substituant ces valeurs dans l’équation y � a sin b(x � h) � k, on obtient : 101 � 2 sin (0 � h) � 100.Résoudre cette dernière équation pour déterminer la valeur du paramètre h.Les deux valeurs obtenues sont h � et h � . Étant donné qu’au départ la pression doit être à la hausse,la valeur du paramètre h est .

La règle est donc : y � 2 sin �x � � � 100, où y représente la pression (en kPa) et x, le temps (en min).

• Déterminer la pression atmosphérique à 233 min.La pression est de 98,91 kPa à 233 min.Il est donc possible de déterminer la pression 233 min après le début de l’expérience.

9. • Établir la règle de la fonction associée à cette situation.Remplacer les valeurs connues dans la règle de la forme y � a sin b(x � h) � k afin de déterminer la valeurdu paramètre a.

y � a sin b(x � h) � k15 � 50 � a sin 0,5π(3,5 � 1) � 50. La valeur du paramètre a est donc –30.

• Résoudre l’inéquation –30 sin 0,5π(x � 1) � 50 � 60L’intensité lumineuse est donc supérieure ou égale à 60 % entre : [0, � 0,78] s � [� 3,22, � 4,78] s �[� 7,22, � 8,78] s � [� 11,22, � 12,78] s � [� 15,22, � 16,78] s � [� 19,22, � 20,78] s �[� 23,22, � 24,78] s � [� 27,22, � 28,78] s � [� 31,22, � 32,78] s � [� 35,22, � 36,78] s �[� 39,22, � 40,78] s � [� 43,22, � 44,78] s � [� 47,22, � 48,78] s � [� 51,22, � 52,78] s �[� 55,22, � 56,78] s � [� 59,22, 60] s.

10. Pour obtenir les renseignements nécessaires pour établir la règle de la réciproque, il est possible d’intervertirles coordonnées x et y. Le nouveau domaine correspond à une demi-période, donc la période est de 12.La valeur du paramètre b est donc . Le nouveau codomaine fournit des renseignements sur les valeurs des paramètres a et k. Ceux-ci valent respectivement 2 et 2,5. Enfin, le paramètre h vaut 5, car les extremums sont situésaux points (2, 0,5) et (8, 4,5). La règle de la fonction sinus dont la réciproque est représentée graphiquement est donc y � 2 sin (x � 5) � 2,5.π

6

π6

�2

103

π20

–103

–253

–103

π20

102 � 982

π20

Page 143


Les systèmes d’équations etd’inéquations et l’optimisation

7

Réactivation 1

a. (1,5, 2,25), (1,5, 9,375), (12, 4,125) et (12, 7,875).

b. y � x � et y � – x � .

c. � , �, soit (� 8,38, � 5,94).

Réactivation 2

a. 5 %

b. Non, car l’inclinaison doit être inférieure à 10 %.

c. 1) x � 14 2) 14 %

d. 16 %

Réactivation 3

a. 1)

2) Non, car les coordonnées de ce point ne vérifient pas l’inéquation associée à la région imprimée en bleu.

b. 1) y � –3x � 122) Oui, car les coordonnées de ce point vérifient l’inéquation associée à la région imprimée en rouge.

Réactivation 4

a. 1) 32,076 cm2 2) 82,8 cm2

b. 1) 53,46 cm3 2) 110,4 cm3

c. 2 � � 5 � � � 6 � 299,38 cm3

d. 299,38 � 2 � 110,4 � 78,58

� h � 78,58h � 0,95 cm

4,14 � 5 � 82

5 � 4,32 � 2,972

13

5 � 4,32 � 2,972

Page 149

0

10

8

6

4

2

12963 15

y

x

Impression d’un triangle bleu

Page 148

Page 147

1377232

24329

818

12

8156

1528

Page 146

7RÉVISION


Mise à jour

1. a) (–8, –13) b) (14, 33) c) (120, 0)

d) � , � e) � , � f ) � , �2. a) x � 2 b) x � 22 c) x � –10 d) x e) x � f ) x � –21

3. a) b) c)

d) e) f )

g) h)

4. a) 1) x : temps (en s)y : hauteur (en m) d’un ascenseur

2) y � 23 � 0,75x et y � 2 � 0,5x.3) Les deux ascenseurs se rencontrent à une hauteur de 10,4 m à 16,8 s.

b) 1) x : temps (en s)y : température d’un liquide (en °C)

2) y � 0,1x � 40 et y � 0,3x � 20.3) Les deux liquides sont à la même température (50 °C) à 100 s.

c) 1) x : temps (en s)y : distance parcourue (en m) par un mobile

2) y � 8x � 100 et y � 10x.3) Le second mobile rattrapera le premier en 50 s.

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

20

y

x

2

30

y

x

2

20

y

x

1

10

–59

–1823

94

–174

–34

7748

–7311

–3211

Page 154


5. a) 1) x : un nombre b) 1) x : un nombre c) 1) x : salaire de Jeanne (en $)y : salaire de Julie (en $)

� 5 � 30 –3x � � 3 3x � 2y � 85002) 2) 2)

d) 1) x : vitesse d’un avion e) 1) x : température ambiante f ) 1) x : nombre de tables à 4 placesy : vitesse d’une voiture (en °C) y : nombre de tables à 6 placesx � 8y 2x � 10 � 0 4x � 6y � 85

2) 2) 2)

6. a) y � x � 30 b) y –5x � 0,2 c) y � –x � 2 d) y � 100x � 150

7. a) � 32,08 cm2 b) � 83,14 cm2 c) � 46,92 cm2 d) � 30,41 cm2 e) � 78,54 cm2

f ) � 41,28 cm2 g) 77,14 cm2 h) � 141,18 cm2 i ) � 29,47 cm2

8. a) 211,47 cm3 b) � 853,27 cm3 c) 8,4 cm3 d) � 523,60 cm3 e) � 160,34 cm3

f ) 54,6 cm3 g) 87,5 cm3 h) � 170,09 cm3 i ) � 141,37 cm3

Page 156Mise à jour (suite)

23

0

20

16

12

8

4

2015105 25

y

x0

10

8

6

4

2

8642 10

y

x0

5

4

3

2

1

8642 10

y

x

0

10 000

8 000

6 000

4 000

2 000

8000600040002000 10 000

y

x

8

4

0

–4

–8

1,61,20,80,4 2

y

x

8

4

0

–4

–8

80604020 100

y

x

x4

x2

Page 155Mise à jour (suite)

56


9. a) Non. Puisque l’aire latérale du cylindre oblique est supérieure à celle du cylindre droit.b) Oui. Pour chacun de ces cylindres, le volume correspond au produit de l’aire de la base par la hauteur. Puisque

ces deux cylindres ont le même rayon, donc une base de même aire, et la même hauteur, ils ont le même volume.

10. a) Pour le volume : 440,5968h � 8812 Pour l’aire totale : 881,1936 � 78,12h � 3615b) � 20 � h � � 35

Page 157

11. a) 6x 2 � 66 � 12y b) c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :(4, 1), (5, 2) et (7, 3).

12. a) � πr 2h. En isolant r, on obtient r � 0,75h. b) � . En isolant r, on obtient r � 0,25h.

Les systèmes d’inéquations et les polygones de contraintes

ProblèmeLe sol doit être excavé dans la région commune aux régions-solutions des inéquations suivantes.x � 2y � 16x � y � 10x � 2yx � 1Donc, le sol devrait être excavé à l’intérieur du quadrilatère représenté ci-contre.

Activité 1

a. x : nombre d’hydroliennes à installer y : nombre d’éoliennes à installer

b. Graphique : x yGraphique : x � y � 24

c.

d. 1) et . 2) et . 3) 4)

e. Non, car le couple (8, 16) ne satisfait pas les deux inéquations à la fois. Ce couple appartient à l’ensemble-solution del’inéquation x � y � 24, mais pas à l’ensemble-solution de l’inéquation x y.1

2

244341

2

121

Page 159

0

2018161412108642

161284 20141062 18

y

xChemin Marguerite-Bourgeoys

Rue

Ulys

se-B

aron

Plan du quartier

Page 158

7.1section

πr 2h3

4πr 3

34πr 3

3

0

10

8

6

4

2

8642 10

y

x


A(9, 21) Oui NonB(15, 15) Non NonC(9, 6) Non OuiD(3, 18) Oui Oui

x y x � y 2412


Activité 2

a. x � 100, x � 2y, x � y � 300 et x � y � 600.

b. 1) Le nombre de feuillus à couper doit être un nombre positif.2) Le nombre de conifères à couper doit être un nombre positif.

c.

d. 1) Oui. 2) Non.

e. y � 4x, y � 0,25x, x � y � 400 et x � y � 1000.

f. y � 4x : Le nombre de conifères à couper doit être inférieur ou égal au quadruple du nombre de feuillus à couper.y � 0,25x : Le nombre de conifères à couper doit être supérieur ou égal au quart du nombre de feuillus à couper.x � y � 400 : Le nombre total d’arbres à couper doit être supérieur à 400.x � y � 1000 : Le nombre total d’arbres à couper doit être inférieur ou égal à 1000.

g. A(80, 320), B(200, 800), C(800, 200), D(320, 80)

h. Les coordonnées des points A et D ne font pas partie de l’ensemble-solution, car elles ne vérifient pas l’inéquationx � y � 400. Toutefois, les coordonnées des points B et C font partie de l’ensemble-solution, car elles vérifient chacunedes inéquations du système.

Technomath

a. 1) Le demi-plan situé au-dessus de la droite frontière doit être hachuré.2) Le demi-plan situé au-dessous de la droite frontière doit être hachuré.

b. 1) y � 1,5x � 15 2) y � –0,3x � 10

c. y � x et y � 30 � x.

d. 1) Le couple (11, –12) n’appartient pas à l’ensemble-solution du système, car il ne vérifie aucune des inéquations :y � x ⇒ –12 � 11 (faux) et y � 30 � x ⇒ –12 � 19 (faux).

2) Le couple (15, 26) appartient à l’ensemble-solution du système, car il vérifie les deux inéquations :y � x ⇒ 26 � 15 (vrai ) et y � 30 � x ⇒ 26 � 15 (vrai ).

e. 1) 2)

Page 161

0

1000

800

600

400

200

800600400200 1000Nombre de

feuillus à couper

Nombre de conifères à couper

Répartition de feuillus et de conifères d’une terre

Page 160

58

31

–31

–47 47

31

–31

–47 47


Mise au point 7.11. a) b)

c) d)

2. a) 1) y 3x � 1 et y � – x � 2. 2) y 3x � 1 et y � – x � 2.

3) y � 3x � 1 et y � – x � 2. 4) y � 3x � 1 et y � – x � 2.b) Non, car l’une des deux droites est tracée en pointillé.

3. a) A(0, 6), B(8, 10), C(20, 0), D(0, 4) b) A(0, 12), B(3, 15), C(7,5 15), D� , �, E(0, 8)

c) A(0, 8), B� , �, C(8, 0) d) A(0, 2), B(6, 1), C(9, 0), D(0, 0)


4. a) b) c)

d) e)

129630

15

12

9

6

3

15

y

x86420

10

8

6

4

2

10

y

x

86420

10

8

6

4

2

10

y

x129630

15

12

9

6

3

15

y

x86420

10

8

6

4

2

10

y

x

Page 165

7213

813

163

83

14

14

14

14

y

x

4

40

y

x

4

40

y

x

2

20

y

x

4

40

Page 164


5. a) Aucun point. b) Aucun point. c) Les points D et E. d) Le point C. e) Le point E.

6. a) b)

c) d)

7. a)

b) 1) 2)

8. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (5, 5), (7, 9) et (10, 15).b) Aucun couple ne satisfait à ces conditions.

HE

16012080400

200

160

120

80

40

200

y

x

(0, 135)

(22,5, 67,5)

(150, 0)(75, 15)

16012080400

200

160

120

80

40

200

y

x

(60, 120)

(40, 80)

(75, 45)

(105, 75)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(1, 6)

(0, 3)

(3, 0)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(0, 7)

(0, 3)

(3,5, 0)(3, 0)

60

1) x � –3y � 0y � –2x � 4y � – x � 4

y � x � 3

2) x � 0y � 0y � – x � 4

y x � 3

3) y � 0y 4y x � 3

4) y � – x � 4x � –3

12

32

32

12

32

12


9. a) x 0 b) y � 0 c) x � y 0 d) x � y e) y � x � 10y � 3x x � 0,25y x � y � –20 x � 3y y � x � 25

10. a) x : quantité de nickel (en g) c)y : quantité de chrome (en g)1) y � 202) x � y � 603) 5x � y

b) Oui, car on ne peut pas avoir une quantité de nickel ou de chrome inférieure à 0 g.

564228140

70

56

42

28

14

70

Quantité de chrome

(g)

Quantité de nickel

(g)

Quantité de nickel et de chromedans un alliage

Page 166


11. a)


12. a) , b) c) d)

13. a) 1) x : nombre de camionsy : nombre de wagons

2) x � 0y � 06x � 8y � 20004x � 12y � 1800x � y

3) 3)

4) (0, 0), (112,5, 112,5), (240, 70) et � , 0�.5) Seul le sommet � , 0� ne fait pas partie de

la région-solution, car ses coordonnées ne sont pas entières.

6) Plusieurs réponses possibles. Exemple :(80, 60), (160, 90) et (240, 30).


14. a) d1 : ; d2 : ; d3 : ; d4 : ; d5 :b) La contrainte .3

21345

Page 168

10003

4) (10, 10), (10, 32), (25, 20) et (35, 10).5) Tous les sommets font partie

de la région-solution.6) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

(30, 12), (30, 10) et (28, 11).

10003

403020100

50

40

30

20

10

50

Nombre de moteurs

Nombrede génératrices

Achat de génératriceset de moteurs

320240160800

300

240

180

120

60

400

Nombrede wagons

Nombre de camions

Moyens de transport pouracheminer des véhicules neufs

b) 1) x : nombre de génératricesy : nombre de moteurs

2) x � 10y � 102000x � 2500y � 100 000x � y � 45

ECBDA

Page 167

b) 1) Non.2) Oui.3) Oui.4) Non.

806040200

50

40

30

20

10

100

Nombre de billetsde 20 $


Quantité de billets dansun guichet automatique


c) 1) Parce qu’elle ne devrait pas compter les solutions associées aux couples (3, 7), (4, 6) et (5, 5), puisque ces solutionsne satisfont pas à la contrainte .

2) 21 solutions.

15. a) 1) x � 0 2)y � 03x � 2y � 484x � 6y � 72

b) Non, car le couple-solution du système formé des équations 3x � 2y � 48 et 4x � 6y � 72 n’est pas constituéde nombres entiers.


16. a)

b) Non. Le système d’inéquations ne comporte aucune solution.c) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

86420

10

8

6

4

2

10

Nombre de transbordeurs

Nombrede catamarans

Prévision de l’achat de deux types de navires

86420

10

8

6

4

2

10


Nombrede catamarans


L’ensemble des navires achetés doit permettrele transport d’au moins 880 personnes.

Le coût d’achat de l’ensemble des navires ne doitpas dépasser 24,75 M$.

24181260

15

12

9

6

3

30


Nombrede catamarans


Page 169

20151050

25

20

15

10

5

25

Nombre de présentoirsde format B

Nombre de présentoirsde format A

Agencement de présentoirs

1

62


17. a) – Le nombre de turbines solaires ne doit pas dépasser 6.– Le nombre total de turbines doit être au maximum 8.– Le nombre de turbines au gaz naturel doit être au maximum le double du nombre de turbines solaires.– La somme du nombre de turbines au gaz naturel et du quart du nombre de turbines solaires est au moins 2.

b) 1) 2) 3)

Objectif visé et solutions avantageuses

ProblèmeEn associant le pourcentage de kevlar à x et le pourcentage de résine époxy à y, nous avons les contraintes suivantes :x � 0, y � 0, x � 20, x � 40, y � 50, y � 70, x � y � 100, � 1,4 et � 2,7.La règle r � 0,34x � 0,035y permet de calculer la rigidité r du matériau (en GPa).Voici la représentation du polygone de contraintes et les propositions des techniciens.

La proposition engendre le matériau le plus rigide qui respecte les contraintes. En y rajoutant 10 % de résine époxy,on obtient un matériau qui respecte encore les contraintes et dont la rigidité est de 14,785 GPa.On peut donc créer un matériau composite encore plus rigide avec 37 % de kevlar et 63 % de résine époxy.

Activité 1

a. 1) C � 30x � 18y 2) Non, car l’équation ne traduit pas une contrainte à respecter.b. x � 10 x � y � 40

y � 0 x � y � 6018 000x � 26 000y � 1 400 000

y � (x � y )

c.

14

Page 171

4

Le tableau suivant indique la rigidité des matériaux composites proposés.

806040200

100

80

60

40

20

100

Résine époxy (%)

Kevlar(%)

Composition d’un matériau composite

yx

yx

Page 170

7.2section

417

1417

1117

35 63 14,105

27 70 11,63

39 52 15,08

37 53 14,4354

3

2

1

Proposition Pourcentagede kevlar

Pourcentagede résine

époxyRigidité (GPa)

À exclure, car les pourcentagesne respectent pas les contraintes.

Calcul de la consommation d’essence des taxis de ce parc

Point Consommation (L/jour)A(10, 35) 30 � 10 � 18 � 35 � 930

B(15, 40) 30 � 15 � 18 � 40 � 1170C(15, 20) 30 � 15 � 18 � 20 � 810D(25, 30) 30 � 25 � 18 � 30 � 1290E(30, 15) 30 � 30 � 18 � 15 � 1170F(39, 13) 30 � 39 � 18 � 13 � 1404G(45, 15) 30 � 45 � 18 � 15 � 1620


d. 1) Les couples C(15, 20), F(39, 13) et G(45, 15), car ils sont associés à des points qui n’appartiennent pas à la région-solution.

2) Le couple D(25, 30), car de tous les couples proposés qui satisfont aux contraintes, c’est celui qui engendre la plusgrande consommation d’essence.

3) Le couple A(10, 35), car de tous les couples proposés qui satisfont aux contraintes, c’est celui qui engendre la pluspetite consommation d’essence.

Technomath

a. y � 0,5x, y � 20 � 3x et y � 18 � 0,5x.

b. 5x � 3y

c. 1) (15, 8) 2) (5, 6)

d. 1) 2) i ) (12, 8) ii ) (2, 4)

Mise au point 7.2

1. a) b) c)


2. a) 1) x : temps (en min) consacré aux nouvelles du sporty : temps (en min) consacré aux nouvelles nationalesx � 0, y � 20, 19x � y, 4x y, y � 35 et x � y � 75.

2) L’objectif visé est de produire un bulletin d’informations au moindre coût.3) z � 25x � 15y, où z est le coût de production (en $) d’un bulletin d’informations.

b) 1) x : nombre d’avions de type A produitsy : nombre d’avions de type B produitsx � 0, y � 0, 200x � 125y � 5000, x � 5 � 2y et x � y � 30.

2) L’objectif visé est de minimiser le temps de production des avions.3) z � 3x � 5y, où z est le temps de production (en semaines) des avions.

Page 175

Page 174

Page 172

64

20

00 20

Couple z � 2x � 24y(1, 4) –94(3, 3) –66(3, 7) –162(4, 9) –208(4, 11) –256 (minimum)(5, 2) –38 (maximum)(7, 3) –58

Couple z � 5x � 2y(12, 24) 108 (minimum)(16, 16) 112(20, 28) 156(24, 36) 192(28, 20) 180(28, 32) 204 (maximum)(32, 12) 184

Couple z � –x � 4,2y � 6(20, 20) –98 (maximum)(20, 70) –308(30, 40) –192(50, 60) –296(60, 30) –180(70, 20) –148(80, 70) –368 (minimum)


3. a)

b) C � 1500y � 950x, où C représente le coût de construction (en $).c) 1) La suggestion , pour un coût de construction minimal de 216 400 $.

2) La suggestion , pour un coût de construction maximal de 256 000 $.


4. a) 1) z � 12c � 18s, où z représente les coûts de production (en $).2) r � 20c � 25s, où r représente les revenus (en $).3) p � 8c � 7s, où p représente les profits (en $).

b) 1) Le point D(100, 125), avec des coûts de production de 3450 $.2) Le point A(75, 250), avec des revenus de 7750 $.3) Le point C(150, 175), avec des profits de 2425 $.

5. a) P � 2,7x � 4,5y, où P représente la puissance dissipée (en W).b) Le point A, pour une puissance dissipée minimale de 37,8 W.


6. a) 1) Le point E. 2) Le point A.b) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x, y ) � 3x � 2y

2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x, y ) � 2x � 3y3) Plusieurs réponses possibles. Exemple : f (x, y ) � x � y

7. a) x � 75 000y � 25 000x � 2y5x � 3y � 1 300 0003x � 5y � 1 000 000

b) 1) La suggestion , car elle ne respecte pas une des contraintes.2) La suggestion pour des revenus maximaux de 142 500 $.


8. a) La production de 5 chaises et de 5 tabourets maximise le revenu hebdomadaire de l’artisan.b) La règle r � 100x � 60y permet de calculer le revenu r (en $) pour la production de x chaises et de y tabourets.

La règle t � 7x � 4y permet de calculer le temps t (en h) nécessaire à la production de x chaises et de y tabourets.La règle de la fonction à optimiser est donc h � , où h représente le revenu horaire (en $) de l’artisan.La production de 3 chaises et de 8 tabourets maximise le revenu horaire de l’artisan.

100x � 60y7x � 4y

Page 178

B

D

Page 177

Page 176

C

D

1209060300

150

120

90

60

30

150

Hauteurdu mât

(m)

Diamètredu rotor

(m)

Dimensions d’une éolienne


9. a) • Le côté est associé à « chaque millier de dollars investis en publicité permet d’augmenter les ventes d’au plus1200 unités ».

• Le côté est associé à « l’investissement en publicité est d’au plus 60 k$ ».• Le côté est associé à « chaque millier de dollars investis en publicité permet d’augmenter les ventes d’au moins

600 unités ».• Le côté est associé à « l’investissement en publicité est d’au moins 30 k$ ».

b) 1) Le point D. 2) Le point D pour un profit maximal de 248 000 $.c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le prix de vente pourrait être de 11 $.

4

32

1

66


10. a) Le point A. Les coefficients a et b dans la règle étant positifs, x1 étant inférieure à x2 et à x3 et y1 étant inférieure à y2et à y3, l’expression ax1 � by1 est nécessairement inférieure à ax2 � by2 et à ax3 � by3.

b) Non. Lorsqu’on compare la valeur de la fonction évaluée au point C avec celle évaluée au point B, on sait quele terme ax augmente (car l’abscisse du point C est supérieure à l’abscisse du point B) et que le terme by diminue(car l’ordonnée du point C est inférieure à l’ordonnée du point B). Ne connaissant pas l’ampleur de l’augmentationet de la diminution, on ne peut pas déduire lequel de ces points a des coordonnées qui engendrent la valeur maximalede la fonction.

11. a) 1) Le point B. 2) Le point F.b) 1) Le point H. 2) Le point B.

Optimisation à l’aide de la programmation linéaire

ProblèmeEn posant x, la quantité de plastique neuf (en g), et y, la quantité de plastique recyclé (en g), les contraintes de la situation sont :x � y � 40, x � y � 60, 0,04x � 0,07y � 2, 0,04x � 0,07y � 3, y � 0,15(x � y ) et y � 0,4(x � y ).La règle B � 0,9x � 0,5y permet de calculer le bilan carbone B de la sandale.De cette règle, on déduit que :• plus la masse de la sandale est petite, plus le bilan carbone sera faible. La solution optimale doit donc être située sur le côté

du polygone associé à la masse minimale de la sandale, soit sur la droite d’équation x � y � 40 ;• pour une masse donnée, plus la masse de plastique recyclé est élevée, plus le bilan carbone sera faible, car le plastique

recyclé a un plus petit bilan carbone que le plastique neuf. La solution optimale doit donc être située sur le côté du polygonede contraintes associé au pourcentage maximal de plastique recyclé, soit sur la droite d’équation y � 0,4(x � y ).

On en déduit donc que la solution optimale se trouve à l’intersection des droites d’équations x � y � 40 et y � 0,4(x � y ).Les coordonnées du point d’intersection de ces droites sont (24, 16). Il faut donc utiliser 24 g de plastique neuf et 16 g deplastique recyclé.

Activité 1

a. 1) Les matériaux dont la rigidité et la densité engendrent une vitesse de coupe de 75 m/min.2) Les matériaux dont la rigidité et la densité engendrent une vitesse de coupe de 50 m/min.3) Les matériaux dont la rigidité et la densité engendrent une vitesse de coupe de 25 m/min.4) Les matériaux dont la rigidité et la densité engendrent une vitesse de coupe de 3 m/min.

b. Ce sont les points qui représentent la rigidité et la densité de certains matériaux qui respectent l’ensemble des contrainteset dont la vitesse de coupe est de 25 m/min.

c. –0,1

d. La vitesse de coupe diminue.

e. 1) Non, car la droite d1 n’a aucun point commun avec le polygone de contraintes.2) Non, car la droite d4 n’a aucun point commun avec le polygone de contraintes.

Page 181

Page 180

7.3section

Page 179


f.

Activité 1 (suite)

g. 1) E(65, 2,5) 2) B(210, 10,5)

h.

i. B(210, 10,5)

j. Sur le côté CD.

k. 1) Lorsque les coordonnées d’un seul point engendrent la solution optimale, ce point est généralement un sommetdu polygone de contraintes.

2) Lorsque les coordonnées de plusieurs points engendrent la solution optimale, ces points sont généralement situéssur un côté du polygone de contraintes.

Technomath

a. (2, 4), (6, 7) et (8,2).

b. 1) z � x � 2y 2) –0,5 3) (6, 7) 4) (2, 4)

c. Plusieurs réponses possibles. Il faut que B � 0,4A. Par exemple, on peut saisir A � 5 et B � 2.

d. 1) (6, 7) 2) (2, 4)

Mise au point 7.3

1. a) 1) B(20, 40) 2) C(28, 12)b) 1) D(40, 30) 2) Tous les points situés sur le côté BC.c) 1) C(3, 3) 2) A(5, 9)d) 1) Tous les points situés sur le côté AB. 2) C(18, 10)

2. a) Le sommet B. b) Le sommet B.


3. a) Le point A. Le point E.b) 29 10

4. a) Le point (1, 3). b) Le point (6, 6).

5. a) (80, 30) b) (0,27, –4,34) c) (17, 3) d) (0,9, 0,8)


6. a) 1) 59 2) 15 b) 1) 4,02 2) 0,18c) 1) 43,5 2) 1,5 d) 1) 2,8 2) –21,8

Page 188

21

21

Page 187

Page 186

Page 183

Page 182

Sommet 100 � 0,3x � 3y VA(65, 3,25) 100 � 0,3 � 65 � 3 � 3,25 70,75B(210, 10,5) 100 � 0,3 � 210 � 3 � 10,5 5,5C(210, 4,2) 100 � 0,3 � 210 � 3 � 4,2 24,4D(125, 2,5) 100 � 0,3 � 125 � 3 � 2,5 55E(65, 2,5) 100 � 0,3 � 65 � 3 � 2,5 73

Temps de coupe (s) T � 10 � 0,02x � y y � 0,02x � T – 1010 10 � 10 � 0,02x � y d5 : y � 0,02x12 12 � 10 � 0,02x � y d6 : y � 0,02x � 2

14,5 14,5 � 10 � 0,02x � y d7 : y � 0,02x � 4,517 17 � 10 � 0,02x � y d8 : y � 0,02x � 7


7. a) x : nombre de billets de 10 $y : nombre de billets de 20 $

b) z � 5x � 10y, où z c) x � 0 d)y � 0x � y � 150x � y � 240y � 0,2(x � y )2y � x

e) 160 billets de 10 $ et 80 billets de 20 $ doivent être vendus. f ) 1600 $

8. a) (3, 6) b) (2, 5)

200150100500

250

200

150

100

50

250



Vente de billets de loterie

z

représente le montantdu lot à gagner (en $).

68


9. x : nombre de vis fabriquées dans chaque ateliery : nombre de boulons fabriqués dans chaque atelierSystème d’inéquations : x � 0

y � 03x � 4,5y � 10 8006x � 4y � 13 200

Fonction à optimiser : P � 2(0,2x � 0,15y), où P représente les profits (en $).Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), (0, 2400), (1080, 1680), (2200, 0)Cette entreprise doit produire 2160 vis et 3360 boulons pour réaliser un profit maximal de 936 $.

10. a) 1) f � 0 2) z � 52f � 81c � 1113, où z représente le nombre c � 0 de calories absorbées.1,18f � 2,6c � 69,1 � 751,18f � 2,6c � 69,1 � 1001,3c � 47,8 � 501,3c � 47,8 � 7512f � 14c � 50 � 16512f � 14c � 50 � 275

b) 1) Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont (� 10,38, � 7,17), (� 16,78, � 1,69),(� 7,61, � 1,69), (0, � 8,21) et (0, � 11,88). Le couple (� 7,61, � 1,69) minimise la fonction à optimiser.Cette personne doit donc consommer quotidiennement environ 7,61 portions de fruits et environ 1,69 portionde produits céréaliers.

2) Environ 1645,61 calories absorbées.


11. a) Les coordonnées des sommets du polygone des contraintes sont A(500, 500), E(� 666,67, � 333,33), B(1375, 1375),C(1875, 1125) et D(2000, 1000). Pour maximiser ses revenus, le fabricant doit produire 1875 paquets de 4 pileset 1125 paquets de 8 piles.

b) 1) Sur le côté BC associé à la droite d’équation 4x � 8y � 16 500.2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Produire 1375 paquets de 4 piles et 1375 paquets de 8 piles ou produire

1875 paquets de 4 piles et 1125 paquets de 8 piles.

Page 190

Page 189


12. a) 1) Système d’inéquations : x � 5, y � 8 2) i � 0,952x � 15, y � 25x � y � 35x � 0,4(x � y )

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes :

(5, 25), (5, 8), (10, 25), (14, 21), � , 8�14 mg du médicament A et 21 mg du médicament B.

b) 1) 5 comprimés du médicament A et 4 comprimés du médicament B. 2) i � 0,881 25


13. Il faut résoudre le système formé des équations cx � dy � m et px � qy � n.• En isolant y dans la première équation, on obtient y � – �

• Par la substitution, on obtient :

px � q�– � � � n

x�p � � � n �

x �

• On en déduit que :

y � – � � � � � �

• En substituant dans la règle de f (x, y ) les expressions trouvées pour x et y, on obtient la valeur optimale de f (x, y ).

f (x, y ) � a� � � b� � �

La valeur optimale de f (x, y ) est .

14. x : nombre de pièces de format Ay : nombre de pièces de format Ba) Système d’inéquations : x � 0

y � 0150x � 190y � 9800150x � 190y � 13 60013x � 22y � 1400

Fonction à optimiser : P � 47x � 65y, où P estle profit (en $).Dans le polygone de contraintes, c’est le couple(40, 40) qui maximise les profits.Le profit maximal est donc de 4480 $.

adn � aqm � bmp � bcndp � qc

adn � aqm � bmp � bcndp � qc

mp � cndp � qc

dn � qmdp � qc

mp � cndp � qc

d(mp � cn)d(dp � qc)

–cdn � cmq � dmp � cmqd(dp � qc)

md

dn � qmdp � qc

cd

dn � qmdp � qc

qmd

qcd

md

cxd

md

cxd

Page 191

163

b) Système d’inéquations : x � 0y � 0150x � 190y � 9800150x � 190y � 13 60047x � 65y � 3000

Fonction à optimiser : M � 13x � 22y, où Mreprésente les pertes de matières premières (en cm3).Dans le polygone de contraintes, c’est le couple (66, 0)qui minimise les pertes de matières premières.Cette entreprise doit donc utiliser 66 pièces de format Aet aucune pièce de format B.

15. a) Système d’inéquations : x � 8,5 x � 9 y � 4,5 � 0,25xx � 0 y � 0 y � 3,8 � 0,19x

Fonctions à optimiser : C1 � 0,32x � 7,2y et C2 � 0,95x � 5,0y, où C1 et C2 représentent respectivementla consommation de kérosène du premier et du deuxième avion.Les coordonnées des sommets du polygone de contraintes sont (8,5, 2,375), (9, 2,25), (9, 2,09) et (8,5, 2,185).La consommation minimale est de 17,928 L/km au sommet (9, 2,09) pour le premier avion et de 19 L/km à tousles points du côté formé par les sommets (9, 2,09) et (8,5, 2,185) pour le deuxième avion. Le premier avion consommemoins de kérosène dans ces conditions.

b) La consommation maximale de carburant est au sommet (8,5, 2,375). À ce sommet, le deuxième avion consomme19,95 L/km. La quantité maximale de kérosène économisée est donc de 19,95 � 17,928 � 2,022 L/km.


Les systèmes faisant intervenir divers modèles fonctionnels

ProblèmeVoici les règles qui permettent de calculer le pouvoir convergent de chacune des lentilles :

Cgauche �

Cdroite �

D’après la prescription, il faut résoudre l’équation suivante :Cdroite � Cgauche � 2,3

� � 2,3

� �

�

0,9R � 0,4R � 2,3R 2

2,3R 2 � 0,5R � 0R(2,3R � 0,5) � 0R � 0 m ou R � m, soit environ 0,2174 m ou 21,74 cm.

Le rayon de courbure des deux lentilles est environ de 21,74 cm. Le pouvoir convergent de la lentille droite est environde 4,15 dioptries et celui de la lentille gauche est environ de 1,85 dioptrie.

Activité 1a. 1) Résoudre l’équation 6000 � 40x 2 � 4080 � 640x. Les deux populations seront égales à 4 ans et à 12 ans.

2) 6640 caribous et 6640 wapitis à 4 ans ainsi que 11 760 caribous et 11 760 wapitis à 12 ans.

b. La solution correspond aux coordonnées du point d’intersection des deux courbes.

c. 1) Environ 3,7 semaines. 2) Environ 65 millions de sauterelles et de chenilles.

d. 1) Environ 3,73 semaines. 2) Environ 64,6 millions de sauterelles et de chenilles.

Activité 1 (suite)

e. 1) Les régions , , et . 2) Les régions , , et . 3) Les régions , , et .

f. La région .

g. Le point (4, 108) constitue un couple-solution, car les deux courbes frontières auxquelles appartient ce point font partiede la région-solution, tandis que les points (4, 225) et (25, 412,5) ne constituent pas des couples-solutions, car l’unedes courbes frontières auxquelles appartiennent ces points ne fait pas partie de la région-solution.

Technomatha. Il y a 3 points d’intersection entre les 2 courbes.

b. (� –3,07, � –4)

Page 195

E

GFEDEDBAFECB

Page 194

Page 193

0,52,3

0,4 � 2,3RR

0,9R

2,3RR

1,4 � 1R

1,9 � 1R

1,4 � 1R

1,9 � 1R

1,9 � 1R

1,4 � 1R

Page 192

7.4section

70

t (semaines) 3,7 3,71 3,72 3,73 3,74 3,75 3,76 3,77 3,78 3,79 3,8

s (millions d’individus) 63,6 63,92 64,24 64,56 64,88 65,21 65,54 65,86 66,19 66,53 66,85

c (millions d’individus) 64,6 64,61 64,62 64,64 64,65 64,67 64,68 64,69 64,71 64,72 64,73

Population de sauterelles et de chenilles en fonction du temps


c. (1,2, � –3,7)

d. 1) (� 1,16, � –3,74) 2) (� 3,5, � 7,17)

Mise au point 7.41. a) (0, 0) et (4, 16). b) (� 1,73, � 1,27)

c) (� –24,36, � 5,18) et (� –1,64, � –6,18). d) (� –8,45, � 3,09 � 10–5)

2. a) 1) 1 solution. 2) (� 3,3, 2,8)b) 1) 1 solution. 2) (� 1,9, � 3,1)c) 1) 2 solutions. 2) (� –2, � –2,1) et (� 3,2, � 1,1).d) 1) 2 solutions. 2) (� 2,4, � 2,2) et (� 3,7, � 3,7).

3. a) 1) 1 solution. b) 1) 2 solutions.

2) (� 0,4, � –0,4) 2) (� 2,5, 1) et (–2, –1).c) 1) 1 solution. d) 1) 2 solutions.

2) (� 0,3, � 1,7) 2) (� –3,2, –0,3) et (� –0,9, � –0,6).


4. a)

(� 1,8, � 0,59) et (� 4,6, � 1,53).

b)

(� 3,7, 1,6)

Page 198

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

Page 197

x 1,7 1,8 1,9 4,5 4,6 4,7y � x2 � 6x � 8 0,69 0,44 0,21 1,25 1,56 1,89

y = lnx � 0,53 � 0,59 � 0,64 � 1,50 � 1,53 � 1,55

x 3,5 3,6 3,7 3,8y � 0,4[x � 1] 1,6 1,6 1,6 1,6

y � 3x � 2,67 � 1,4 � 1,09 � 1,38 � 1,7 � 2,06


5. a) y � –x 2 b) y � c) y � x – 1 d) y � log (x � 2) � 4y � –2(0,8)x

y � 2x y � [x ] y � 1,5 � 1

6. a) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y � 2–x et y � log (–x � 3) � 1.2) Plusieurs réponses possibles. Exemple : y � 2–x et y � log (–x).

b) Oui, à condition que les deux courbes soient tangentes l’une à l’autre.

7. a) 1) Les régions et . 2) Les régions , et . 3) La région . 4) La région .b) 1) y � –x 2 � x � 3 2) y � –x 2 � x � 3 3) y � –x 2 � x � 3 4) y � –x 2 � x � 3

y � x 2 � x � 1,5 y � x 2 � x � 1,5 y � x 2 � x � 1,5 y xy x y � x y � x

8. Aucun de ces élèves n’a raison. En redéfinissant les paramètres d’affichage de la fenêtre graphique, on observequatre points d’intersection entre ces deux fonctions. Il y a donc quatre solutions.

9. a) (2, 0) b) (2,2, 0,4) c) (2,21, 4,45)

HAIGCFE

Page 199Mise au point 7.4 (suite)

�x � 3

1x

72


10. a) Les arbres A et B auront la même taille après environ 13,81 années.b) Les arbres A et C auront la même taille après environ 8,04 années.c) Les arbres B et C auront la même taille après environ 10,97 années.

11. a) La région .b) d � 20

m � 5 log d � 5 � 0m � 5 log d � 5 � –10

c) Ces étoiles sont situées à au plus 4 parsecs et leur magnitude absolue est d’au moins 10.

12. Il faut résoudre l’équation 50(0,5) � 100(0,5) .Ces échantillons auront la même masse dans environ 7,48 milliers d’années.


13. a) 1) Il faut résoudre graphiquement l’équation � 40(1,01)p � 150.Le prix d’équilibre est environ de 244 $.

2) La quantité d’équilibre est environ de 102 milliers de lecteurs numériques.b) 1) Le prix d’équilibre augmente d’environ 48 $.

2) La quantité d’équilibre diminue d’environ 17 milliers de lecteurs numériques.


14. a) y � – � 6y � ln –(x � 5) � 3y � 0,5x 2 � 2x � 1

b) A(� 2,1, � 4,1), B(� 4,5, � 2,2) et C(� –0,5, � 2).c) 1) (� 3,5, � 3,4) 2) f (x, y ) � 17,2

15. a) Ces solutions représentent les moments où les planètes A et B se trouvent à la même distance de leur étoile.b) Le système comporte une infinité de solutions, car les deux courbes se croisent de façon périodique, ce qui engendre

une infinité de points d’intersection.c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : (� 8,6, � 198,5) et (� 13,9, � 201,3).d) 1) Environ 5,3 ans. 2) Environ 14,7 ans.

10x � 3

Page 202

25 000p

Page 201

t5,7

t24

G

Page 200


Optimisation de figures équivalentes

ProblèmeLe graphique permet de déduire que, pour un périmètre donné :• l’aire maximale du rectangle correspond à l’ordonnée du sommet de la parabole ;• la hauteur du rectangle de plus grande aire correspond à l’abscisse du sommet ;• l’abscisse du sommet est située à mi-chemin entre les deux abscisses à l’origine de la parabole.

La démarche ci-dessous permet de trouver les abscisses à l’origine de la parabole d’équation A � –h2 � .

–h2 � � 0

h� � h� � 0

h � 0 ou h � .

L’abscisse du sommet est donc � � 0�, soit .

Le seul rectangle dont la hauteur est égale au quart de son périmètre est un carré.

Activité 1

a. Aire de l’aile rose : � 3 m2

Aire de l’aile orange : � 3 m2

b. Non. Par exemple, les côtés non parallèles du trapèze rose sont plus courts que les côtés non parallèles du trapèze orange.Puisque ces deux trapèzes ont des bases isométriques, leur périmètre est différent bien qu’ils aient la même aire.

c. Périmètre de l’aile orange : 3,9 � 0,5 � 3,3 � 1,5 � 9,2 mPérimètre de l’aile verte : 2,4 � 1,5 � 1,5 � 3,8 � 9,2 m

d. Non. Par exemple, le trapèze orange a le même périmètre que le triangle vert. Pourtant, l’aire du triangle vaut ,soit 3,6 m2, ce qui est plus élevé que l’aire du trapèze.

Activité 1 (suite)

e. A � 2 � 4 � 4 � 2 � 4 � 8 � 2 � 4 � 8 � 160 cm2 A � 6 � 6 � 4 � � 160 cm2

Les deux configurations ont la même aire totale, soit 160 cm2.

f. V � 4 � 4 � 8 � 128 cm3 V � � , soit � 118,52 cm3.

Non. Le prisme régulier a un volume de 128 cm3, tandis que la pyramide a un volume d’environ 118,52 cm3.

g. V � 6 � 2 � 8 � , soit � 118,52 cm3.

Les deux configurations ont le même volume, soit � 118,52 cm3.

h. A � 2 � 6 � 2 � 2 � 2 � 8 � 2 � 6 � 8 � , soit � 171,85 cm2.

Non. La pyramide régulière a une aire de 160 cm2, tandis que le prisme droit a une aire d’environ 171,85 cm2.

Activité 2

a. A � � 9 cm2 A � � 9 cm2 A � � 9 cm2

b. P � 2 182 � � �2� , soit � 37,77 cm. P � 9 � 2 � 92 � (2 )2, soit � 22,11 cm.

P � 6 � 6 � 6 � 18 cmLe triangle .C

C

�3��3B�3��32

�A

�36 �

2��3

� 6

2C�32��3 � 9

2B�3��3 � 182A

Page 206

464027

23

29

29

233

320027

320027

29

233

320027

623 � 623 � 8

321

623 � 823

223

2321

Page 205

2,4 � 32

(1,5 � 0,5) � 32

(1,5 � 0,5) � 32

Page 204

P4

P2

12

P2

P2

Ph2

Ph2

Page 203

7.5section


c. 1) Les dimensions de ce rectangle sont de 3 cm sur 12 cm.2) Les dimensions de ce rectangle sont de 2 cm sur 18 cm.

d. Le périmètre diminue.

e. Non, car, graphiquement, il n’y a aucun point d’intersection.

f. Les dimensions du rectangle sont de 6 cm sur 6 cm. Le rectangle est donc un carré.

g. Parmi tous les polygones qui ont la même aire et le même nombre de côtés, le polygone régulier est celui qui ale plus petit périmètre.

Activité 2 (suite)

h. 5 � 4 � 20 cm2

i. 1) Le périmètre diminue. 2) Cette suite de polygones tend vers un cercle.

j. A � πr 2

20 � πr 2

r � , soit � 2,52 cm.

P � 2πrP � 2π� 2,52, soit � 15,85 cm.

k. V � 3 � 8 � 9 � 216 cm3 V � 3 � 6 � 12 � 216 cm3 V � 4 � 6 � 9 � 216 cm3

V � 2 � 6 � 18 � 216 cm3 V � 6 � 6 � 6 � 216 cm3

l. A � 2 � 3 � 8 � 2 � 3 � 9 � 2 � 8 � 9 � 246 cm2

A � 2 � 3 � 6 � 2 � 3 � 12 � 2 � 6 � 12 � 252 cm2

A � 2 � 4 � 6 � 2 � 4 � 9 � 2 � 6 � 9 � 228 cm2

A � 2 � 2 � 6 � 2 � 2 � 18 � 2 � 6 � 18 � 312 cm2

A � 6 � 6 � 6 � 216 cm2

m.De tous les prismes droits à base rectangulaire qui ont le même volume, c’est le cube qui a la plus petite aire totale.

Activité 2 (suite)

n. 63 � 216 cm3

o. 1) L’aire totale diminue. 2) Cette suite de polyèdres tend vers une boule.

p. V �

216 �

r � 3 3 � , soit � 3,72 cm.

A � 4πr 2

A � 4π� 3,722 , soit � 174,10 cm2.

q. 6 � 62 � 216 cm2

r. 1) Le volume augmente. 2) Cette suite de polyèdres tend vers une boule.

s. A � 4πr 2

216 � 4πr 2

r � , soit � 4,15 cm.

V �

V � , soit 298,51 cm3.4π� 4,153

3

4πr 3

3

2164π�

2164π�

4πr 3

3

4πr 3

3

Page 208

E

D

C

B

A

ED

CBA

20π�

Page 207

74


Technomath

a. 1) � 5,38 cm 2) � 6,07 cm 3) Le carré, le disque et le triangle.

b. 1) � 13,83 cm2

2) Le cylindre circulaire droit et le prisme droit à base triangulaire ont le même volume. Le prisme droit à base pentagonaleet le prisme droit à base octogonale ont le même volume.

3) Le cylindre circulaire droit et le prisme droit à base triangulaire.

c. 1) 2)

Mise au point 7.5

1. , ,


2. a) , , , , , , , , b) , , , , , , , ,

3. , , , , ,


4. Le lot , puisque tous les lots sont des pentagones de même périmètre et que le lot est le seul qui a la formed’un pentagone régulier.

5. a) C’est l’emballage B qui nécessite le moins de pellicule plastique. Si x représente la mesure d’une arête d’un dé,l’emballage A nécessite 18x 2 unités carrées de pellicule plastique, tandis que l’emballage B nécessite 16x 2 unitéscarrées de pellicule plastique.

b) Il doit disposer les dés de façon à ce qu’ils forment un cube.

6. a) Une forme circulaire. b) km2


7. Il faut disposer les morceaux de façon à ce que le prisme formé se rapproche le plus possible d’un cube une fois compressé.Avant la compression Après la compression

L’aire de la plus petite feuille de polyéthylène est environ de 29 760 cm2.

120 cm

72 cm

80 cm80 cm

60 cm

60 cm

Page 217

4π

33

Page 216

BFDCEA

FDHBCIGAEEAGICBHDF

Page 215

JEDCFA

Page 214

30,9 cm3

30,9 cm3

30,9 cm310,5 cm2

10,5 cm2

10,5 cm2

Page 209


8. a) 1) Disposition 4 � 6, disposition 3 � 8, disposition 2 � 12 et disposition 1 � 24.2) Il n’y a pas de différence entre ces dispositions quant à l’espace inoccupé. L’espace inoccupé est le même

dans chaque cas, soit environ 3625,91 cm3.b) Disposition 4 � 6, disposition 3 � 8, disposition 2 � 12 et disposition 1 � 24.

9. a) 6r 2 3 b) c) c 3

d) Afin d’exprimer le rayon r du cylindre en fonction de c, il faut résoudre l’équation 2πr 2 � 2πrc � 6c 2.On trouve ensuite que le volume du cylindre correspond à l’expression (π� � 6).�π(π� 12)

c 3

2

6π�14πr 2

34π3�

76

Cylindre Cube Boule

Volume du chocolat 2,5 � 0,8 � 3,125 cm3 2,5 � 0,8 � 3,125 cm3 2,5 � 0,8 � 3,125 cm3

sans bonbonDimensions du chocolat Hauteur : � 3,98 cm Arête : � 1,46 cm Rayon : � 0,91 cmsans bonbon Rayon : 0,5 cm

Dimensions du chocolat Hauteur : � 4,18 cm Arête : � 1,66 cm Rayon : � 1,01 cmavec bonbon Rayon : 0,6 cm

Volume du chocolat � 4,73 cm3 � 4,59 cm3 � 4,28 cm3

avec bonbonVolume de la couche � 1,60 cm3 � 1,47 cm3 � 1,15 cm3

de bonbon


10. a) Le format C. Puisque les trois formats de contenants ont la même hauteur et la même capacité, l’aire de chaque baseest égale. De toutes les figures planes équivalentes, c’est le disque qui a le plus petit périmètre, qui est ici la basedu contenant de format C. L’aire latérale du format C sera plus petite que les aires des autres formats.

b) Le format C. Puisque de toutes les figures planes de même périmètre, c’est le disque qui a la plus grande aire, et queles trois formats de contenants ont la même hauteur, le format C aura un plus grand volume.

c) Le format C. Puisque de toutes les figures planes équivalentes, c’est le disque qui a le plus petit périmètre, et puisquel’aire latérale est la même pour tous les formats, le format C aura la plus grande hauteur, et donc, le plus grandvolume.

11. a) La confiserie peut fabriquer 400 000 petits chocolats.b)

1) On utilise environ 1,60 mL de bonbon. 2) On utilise environ 1,47 mL de bonbon.3) On utilise environ 1,15 mL de bonbon.

c) 1) 380 $ 2) 250 $


12. a) La réaction de l’ensemble , car, lorsqu’on compare les solides deux par deux avec ceux de la réaction del’ensemble et ceux de la réaction de l’ensemble , ceux de la réaction de l’ensemble ont toujours une aireplus grande.

b) La réaction de l’ensemble , car, lorsqu’on compare les solides deux par deux avec ceux de la réaction del’ensemble et ceux de la réaction de l’ensemble , ceux de la réaction de l’ensemble ont toujours une aireplus petite.

3213

2312

Page 219

Page 218


13. Les coûts d’étiquetage dépendent de l’aire de l’étiquette à produire, qui est égale à l’aire latérale de la pile.Les aires latérales des modèles de piles sont les suivantes.Volume des piles : 6 � 1,5 � 6 � 54 cm3

Pile Aire latérale : (6 � 1,5 � 7,5) � 6 � 90 cm2

Pile Aire de la base : 54 � 6 � 9 cm2

Mesure d’un côté rectiligne de la base : � �2π� 1,5b � 9 ⇒ b � 4,02 cm

Aire latérale : (1,5π� 2 � 4,82) � 6 � 86,14 cm2

Pile Mesure d’un côté de la base : c2 � 6 � 54 ⇒ c � 3 cmAire latérale : 4 � 3 � 6 � 72 cm2

Pile Rayon de la base : r π� 6 � 54 ⇒ r � 1,69 cmAire latérale : 2π� 1,69 � 6 � 63,81 cm2

C’est donc le format de pile qui coûte le moins cher à étiqueter.

Chronique du passé

1. a) x : nombre de fantassinsy : nombre d’artilleursSystème d’inéquations : x � 2000, y � 1000

y � xx � y � 3500x � y � 5000

Fonction à optimiser : T � x � y, où T est le temps (en h).Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (2500, 2500), (4000, 1000), (2500, 1000), (2000, 1500),(2000, 2000)2500 fantassins et 1000 artilleurs.

b) En 9 jours. c) 15 jours. d) 2500 fantassins et 2500 artilleurs.

2. a) x � 0, y � 0 et z � 0. b) 1) (0, 750, 375) 2) (0, 0, 750) 3) (375, 0, 375)

Le monde du travail

1. x : nombre de boîtes de type Ay : nombre de boîtes de type BSystème d’inéquations : x � 0

y � 00,05x � 0,08y � 363x � 2y � 1600

Fonction à optimiser : V � 50x � 70y, où V est la valeur totale des marchandises.Les coordonnées du point qui maximise la fonction à optimiser sont (400, 200).Il faudra mettre dans le camion 400 boîtes de type A et 200 boîtes de type B.

2. Après avoir percé le trou à l’origine, la perceuse devra percer les trois autres trous dans cet ordre : C, B et A.

Page 223

12125

6125

Page 221


D

D

C

1,52

B

A


Vue d’ensemble

1. a) b)

c) d)

2. a) A(–1, –6) et C(3, 4). b) A(–1, –6) et E(1, –16). c) A(–1, –6)

3. a) 1) x : nombre de chaisesy : nombre de tabourets en boisx � 150, y � 100, x � 2y et x � y � 1000.

2) z � 20x � 12y, où z représente le profit (en $).

4. a) b)

c) d)

806040200

100

80

60

40

20

100

y

x

(20, 80)

(72, 28)

� , 40 7

400 7

(20, 28)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(0, 10)

(1, 6)

� , 2011

8011

43210

5

4

3

2

1

5

y

x

(0,8, 3,6)

(0, 2)

(2, 0)

86420

10

8

6

4

2

10

y

x

(3,5, 1,75)(2,4, 1,2)(3, 0) (7, 0)

b) 1) x : nombre d’employés à temps partiely : nombre d’employés à temps pleinx � 0, y � 0, 14x � 30y � 400 et x � y � 14.

2) z � 12x � 14y, où z représente les dépenses (en $).

y

x

2

20

y

x

2

20

5

20

y

x

x

5

20

y

Page 224

78



5. a) 1) x � y � –2, y � –2x � 20, 4y � x � 4 et x � 2y � 10. 2) D� , � 3) C(6, 8) et D� , �.b) 1) 3x � y � 0, y � 18, y –x � 30, –2x � y � –24 et x � 6y � 38. 2) D(14, 4) 3) D(14, 4)

6.

7. a) 1) B(6, 9) 2) 24b) 1) D(8, 1) 2) 26c) 1) B(6, 9) 2) 18,45d) 1) C(8, 7) 2) 24,2


8. x : nombre de bouteilles de 5 mLy : nombre de bouteilles de 4 mLSystème d’inéquations : 5x � 4y � 400

x � 10y � 5y � 2x25x � 8y � 250

L’ensemble-solution de ce système est vide. Il est impossible de trouver un ensemble de bouteilles qui satisfaitsimultanément à toutes les contraintes.

9. a) x : nombre de transistors de type P b)y : nombre de transistors de type R

d) e) La machinedoit fabriquer5250 transistorsde type P et9375 transistorsde type R.

f ) 731,25 $

800040000

12 000

8 000

4 000

12 000

Nombre de transistors

de type R

Nombre de transistors

de type P

(2000, 11 000)

(2000, 4000)

(8750, 625)

(5250, 9375)

Fabrication de transistors

c) x � 2000x � 2y � 10 000x � 2y � 24 0000,0025x � 0,001y � 22,5

z � 0,05x � 0,05y, oùz représente les profits (en $).

Page 226

43

283

43

283

Page 225

Système y � –x � 15 x � 0 y � –x � 2d’inéquations y � 2x � 6 y � 0 y � x � 4traduisant –x � 3y � –60 y � 15 y � –3x � 8des contraintes x � 14

y � 2x � 4

Règle de la fonction à optimiser z � 0,5x � 2y z � y � 3x z � –10x � 14y

Objectif visé Maximiser Minimiser Maximiser

Couple-solution (7, 8) (14, 0) (5, –7)Valeur optimale 19,5 –42 48



10. x : nombre de billes de 1 cm de diamètrey : nombre de billes de 2 cm de diamètreSystème d’inéquations : x � 0

y � 07,8x � 31,2y � 351 0002y � xy � 5000

Fonction à optimiser : n � x � y, où n représente le nombre total de billes.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (15 000, 7500), (25 000, 5000), (10 000, 5000)Au maximum, 25 000 petites billes et 5000 grosses billes pourront être fabriquées.

11. x : volume de soluté (en mL)y : volume de solvant (en mL)Système d’inéquations : x � y � 350

y � 10xx � 6x � 30y � 0

Fonction à optimiser : c � 0,25x � 0,09y, où c représente le coût de fabrication (en $).Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (6, 344), (30, 320), (30, 300), (6, 60)Le coût minimal de la fabrication de ce supplément vitaminique est de 6,90 $ avec 6 mL de soluté et 60 mL de solvant.

12. x : nombre de cubes en métaly : nombre de cubes en boisSystème d’inéquations : x � 0, y � 0

50x � 30y � 26500,008x � 0,024y � 1

Fonction à optimiser : n � x � y, où n représente le nombre total de cubes.

Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (0, 0), �0, �, (35, 30), (53, 0)

On peut y placer 65 cubes, soit 35 cubes en métal et 30 cubes en bois.

13. a) Les coûts sont minimaux si le périmètre est minimal. Le terrain doit donc avoir la forme carrée et les coûts serontde 21 600 $.

b) Les coûts sont minimaux si l’aire est minimale, c’est-à-dire si elle tend vers 0 m2. Les coûts seront de 1800 $.c) Les coûts sont minimaux si le périmètre est minimal. Le terrain doit donc avoir la forme d’un disque et les coûts seront

d’environ 21 326,94 $.d) Les coûts sont minimaux si l’aire est minimale, c’est-à-dire si elle tend vers 0 m2. Les coûts seront de 1800 $.


14. a) Il s’agit de résoudre le système formé des équations P � 3(2)0,5t et P � 100(0,25)0,1t. En utilisant une méthodegraphique avec une table de valeurs ou un outil technologique, on trouve t � 7,23 h.Les deux populations sont donc égales au bout d’environ 7,23 h.

b) P � 3(2)0,5(7,23), soit environ 36,72 milliers de bactéries.Chaque culture compte à ce moment environ 36,72 milliers de bactéries.

15. a) Non, car il n’y a aucun point d’intersection entre les deux courbes.

b) h � et h � � r.

c) (� 0,43, � 5,06) et (� 1,28, � 0,58).

152πr

3πr 2

Page 228

1253

Page 227

80


d) 1) En estimant les coordonnées du point de tangence d’une courbe mauve avec la courbe verte lorsque V augmente,on trouve que le cylindre a un rayon d’environ 0,84 cm et une hauteur d’environ 2 cm.

2) Le cylindre a un volume maximal d’environ 4,43 cm3.


16. a) y � 0,5x 2 – 4x � 6y � 0,8x � 5 � 3y � 0,5ex � 2 � 2

17. a) Triangle : q � 0,61 Carré : q � 0,79 Pentagone : q � 0,86Hexagone : q � 0,91 Décagone : q � 0,97

b) C’est le dodécagone, car pour deux polygones réguliers ayant le même périmètre, c’est le polygone ayant le plusde côtés qui a la plus grande aire. Le quotient isopérimétrique sera donc plus grand puisque, pour un mêmedénominateur, le numérateur sera plus grand.

c) Puisque, pour un même périmètre, c’est le cercle qui a la plus grande aire, on en déduit que le cercle a le plus grand

quotient isopérimétrique. Or, pour le cercle, a � πr 2, p � 2πr et q � � � 1.


18. a) 2 � 4 � 5 � x 3 b) �

x � 3 , soit � 3,42 cm. h � 16 dmx � , soit � 16,49 dm.

c) 3πr 2 � d) � πr 2x

x � 9 cm x �

19. a) Soit x, la mesure de .

12� � � 20� � � 1560336,3x � 1560

x � 4,64 cmLe segment AB mesure environ 4,64 cm.

b) A � 1560 cm2

4πr 2 � 1560r � 11,14 cm

V � , soit � 5793,76 cm3

Le volume d’air est environ de 5793,76 cm3.c) C � 2πr

C � 2π� 11,14, soit � 70,01 cm.Non, puisque sa circonférence est environ de 70,01 cm.


20. � c 3

c � � � r

A � 6c 2

A � 6�� r�2

A � 6r 2� �234π

3

134π

3

134π

3

4πr 3

3

Page 231

4π(11,14)3

3

6x � 4,012

5x � 3,192

AB

4r3

4πr 3

3πr 2x

3

�162 � 42

�40

π42h3

4π43

3

Page 230

4π2r 2

4π2r 24π(πr 2)(2πr )2

b) 1) (� 7,3, � 3,6)2) (� 3,5, � –1,9)

c) 1) � 92) � 1,8

Page 229


21. x : nombre de génératrices industriellesy : nombre de génératrices commercialesSystème d’inéquations : x � 20

y � 20x � y � 202y � x � 40

Fonction à optimiser : p � 900x �1200y, où p représente les profits (en $).Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (20, 20), (20, 30), (40, 20), (80, 60)Le fabricant doit produire 80 génératrices industrielles et 60 génératrices commerciales.

22. x : nombre de participants recevant le médicamenty : nombre de participants recevant le placeboSystème d’inéquations : x � 0, x � 220

y � 10, y � 60x � y � 100x � y � 250x � 3y

Fonction à optimiser : n � x � y, où n représente le nombre total de participants.Coordonnées des sommets du polygone de contraintes : (190, 60), (220, 30), (90, 10), (75, 25), (180, 60), (220, 10)Tous les couples de nombres entiers associés aux coordonnées de points situés sur le segment reliant les pointsde coordonnées (90, 10) et (75, 25) minimisent la rémunération des participants. Par exemple, 80 participants recevrontle médicament et 20 participants recevront le placebo.


1. L’aire du carré de la figure est de c 2.

L’aire du disque de la figure est de .

Puisque le carré de la figure est équivalent au disque de la figure , le rayon du disque de la figure est de .Cette mesure correspond également à la demi-diagonale du carré de la figure .

Un côté de ce carré mesure donc c . L’aire du carré de la figure est de .

Le disque de la figure n’est donc pas équivalent au carré de la figure .

2. Aire, volume et coût de fabrication des piquetsL’aire totale d’un piquet B est environ de 114,99 cm2.Le volume d’un piquet B est environ de 50,22 cm3.Puisque le cylindre a la même hauteur et le même volume que le prisme et puisque le cône a la même hauteur et le mêmevolume que la pyramide, on en déduit que :• le disque est équivalent au pentagone ;• le rayon du disque mesure environ 1 cm ;• l’apothème du cône mesure environ 3,16 cm ;• l’aire totale d’un piquet A est environ de 107,32 cm2.Le coût de fabrication :• d’un piquet A est environ de 0,37 $ ;• d’un piquet B est environ de 0,39 $.

Optimisation de la situationLe profit engendré par la vente d’un piquet A est de 1,13 $ et celui engendré par la vente d’un piquet B est de 1,61$.Si x représente le nombre de piquets A et y, le nombre de piquets B, la règle de la fonction à optimiser estP � 1,13x � 1,61y, où P est le profit total (en $).

21

2c 2

π22π�

2

c

��π221

πc 2

41

1

Page 232

82


Voici le polygone de contraintes :

Puisque les coordonnées (7500, 7500) maximisent la fonction, l’entreprise doit produire chaque semaine 7500 piquetsde chaque modèle.


3. L’aire de la sphère est de 4πr 2. La base du cylindre a le même rayon que la sphère et sa hauteur est de 2r. Donc l’airelatérale du cylindre est de 2πr � 2r � 4πr 2. Puisque l’aire de la sphère et l’aire latérale du cylindre sont égales, laprojection décrite est une projection équivalente.

4. En observant la représentation graphique ci-contre et les règles dechacune des courbes, on remarque que les courbes ne se croisent paset qu’elles ont une asymptote commune d’équation y � 3. C’est doncdire que l’énergie dans chacune des piles se rapprochera de plus enplus de 3 V, sans jamais atteindre cette valeur.


5. L’aire de la spirale d’Archimède est de cm2.L’aire de la spirale de gauche en fonction de la mesure du côté c du carré est de :

c 2 � � � � � c 2 � � c 2� �Pour que les aires des deux spirales soient les mêmes, il faut que :

c 2� � �

c 2 �

Aire du carré �4π

378π� 12

4π378π� 12

π3

126π� 44

126π� 44

126πc 2

4π(7c )2

4π(6c )2

4π(5c )2

4π(4c )2

4

π3

Page 234

1612840

10

8

6

4

2

20

Énergie(V)

Temps(h)

Transfert d’énergie entre deux piles

en fonction du temps

Page 233

80006000400020000

10 000

8 000

6 000

4 000

2 000

10 000

Nombre de piquets B

Nombre de piquets A

Nombre de piquets produitspar une entreprise

(0, 0)

(5000, 10 000)

(7500, 7500)


6. Volume � π(75)(25)2, soit � 196 349,54 m3.

Aire � 2π(75)2 � 2π(75)(25) , soit � 53 848,43 m2.

Puisque, de tous les solides équivalents, c’est la sphère qui a la plus petite aire, on cherche à ce que la forme de l’ellipsoïdese rapproche plus de celle d’une sphère. On peut donc diminuer la valeur du paramètre a ou augmenter celledu paramètre b et déterminer ensuite la valeur de l’autre paramètre.Posons a � 70.π(70)b2 � 196 349,54 m3 ⇒ b � 45,87 m

L’aire du nouveau dirigeable est de 40 874,2 m2.Les valeurs des paramètres d’un nouveau dirigeable pourraient être :a � 70 m et b � 45,87 m.


7. Soit x le nombre d’ordinateurs de modèle« Performance » et y, le nombre d’ordinateursde modèle « Fonctionnel », les contraintes sont :x � 80y � 200x � y � 350Les revenus R (en $) peuvent être calculés à l’aidede la règle R � 1000x � 850y.Les profits P (en $) peuvent être calculés à l’aidede la règle P � (1000 � c1)x + (850 � c2)y.

Le sommet du polygone de contraintes dont les coordonnées maximisent les revenus est C(150, 200).Pour que les profits soient maximaux au point C par rapport au point B, nous devons avoir :150(1000 � c1) � 200(850 � c2 ) � 80(1000 � c1) � 270(850 � c2 )150(1000 � c1) � 80(1000 � c1) � 270(850 � c2 ) � 200(850 � c2 )70(1000 � c1) � 70(850 � c2 )1000 � c1 � 850 � c2c1 c2 � 150

8. Voici la traduction en contexte des contraintes :

Puisque le point dont les coordonnées sont (350, 40) engendre un maximum de la fonction donnée par N � 13x � 15y,on en déduit que l’objectif est de maximiser le nombre d’internautes qui visitent quotidiennement le site Web.

320240160800

400

320

240

160

80

400

Nombre d’ordinateursde modèle « Fonctionnel »

Nombre d’ordinateursde modèle « Performance »

Répartition de la fabrication de deux modèles d’ordinateurs

A(80, 200)

B(80, 270)

C(150, 200)

Page 235

43

arc sin�752 �

752252

�752 �

752252

43

84

x � 350 La page ne doit pas contenir plus de 350 mots.

y � 10 La page doit contenir au moins 10 éléments graphiques.

y � 0,05x ou y � x La page doit contenir au moins un élément graphique par tranche de 20 mots.

x � 10y � 750 ou Le temps de chargement de la page d’accueil ne doit pas dépasser 15 s.0,02x � 0,2y � 15

x � y � 160 La page doit contenir au moins 160 mots ou éléments graphiques.

120

Sommet Revenu ($)A(80, 200) 250 000

B(80, 270) 309 500

C(150, 200) 320 000


Les lieux géométriques etles transformations géométriques

8

Réactivation 1

a. 1) Un triangle rectangle. 2) Un trapèze isocèle.

b. 1) 120° 2) 60° 3) 30° 4) 90° 5) 90°

c. 1) Une translation. 2) Une réflexion. 3) Une rotation ou une homothétie.4) Une translation. 5) Une réflexion. 6) Une rotation ou une homothétie.

Réactivation 2

a. 1) Croquis : ABC Croquis : DEF2) Croquis : A'B'C' Croquis : D'E'F'3) Croquis : Le point P. Croquis : Le point Q.

b. Les droites tracées en pointillé passent par le centre d’homothétie, par un point de la figure initiale et par le point image dece point.

c. 1) i ) 2 ii ) 2 iii ) 2 2) Le rapport d’homothétie est 2.

d. 1) i ) ii ) iii ) 2) Le rapport d’homothétie est .

e. 1) Les dimensions de la figure image seront plus petites que les dimensions de la figure initiale.2) Les dimensions de la figure image seront les mêmes que les dimensions de la figure initiale.3) Les dimensions de la figure image seront plus grandes que les dimensions de la figure initiale.

Mise à jour

1. a) b) c) d)

2. a) b)

t

t

tt

Page 242

12

12

12

12

21

21

21

Page 239

Page 238

8RÉVISION


c) d)


3. a) b) c) d)

4. a) Réflexion. b) Homothétie. c) Réflexion. d) Rotation. e) Translation. f ) Homothétie.

5. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) Rotation. b) Réflexion. c) Translation.


6. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) Rotation de 280° dans le sens des aiguilles d’une montre.b) Rotation de 160° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.c) Rotation de 230° dans le sens antihoraire.d) Rotation de 340° dans le sens horaire.e) Rotation de 30°.f ) Rotation de –90°.

7. Non symétrique. Symétrique.Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Symétrique. Symétrique.Plusieurs réponses possibles. Exemple :

DC

BA

Page 244

sss

s

Page 243

86


Symétrique. Symétrique.Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Non symétrique. Symétrique.


8. a) � 2,5 b) � 0,83 c) � 4,99

d) � 2,5 e) Aire du ∆ ABC : � 2,21 Rapport : � 5,15

9. a) Le point C. b) Le point E. c) Le point H.d) Le point F. e) Le point I. f ) Le point A.

10.

Les lieux géométriques

ProblèmeL’empreinte lumineuse laissée par le réflecteur avant du vélo ressemblerait à celle illustrée ci-dessous.

Activité 1

a. Un cercle.

Page 247

Page 246

8.1section

58,612,21��6,78

�3 �

2� sin 60°

270

11,2�9,291,86

23,48 � 39,39

18,27,28

Page 245

HG

FE


Activité 1 (suite)

b. La médiatrice du segment AB.

Activité 1 (suite)

c. Un cercle dont la mesure du rayon correspond à la moitié de celle du cercle de centre O.

d. Une sphère de 4 cm de rayon.

Activité 2

a. Situation Situation Situation Situation Situation Situation

b. 1) À une droite. 2) À un point.

c. Plusieurs réponses possibles. Exemples :1) La conique définie à la situation est bornée, alors que celle définie à la situation est non bornée.2) Les coniques définies dans les deux situations sont non bornées. La conique définie à la situation est formée

d’une seule courbe, alors que celle définie à la situation est formée de deux courbes.

Mise au point 8.1

1. a) Deux droites parallèles situées de part et d’autre de cette droite. b) Un cercle.c) La médiatrice de ce segment. d) Un cercle concentrique ou un point qui est le centre de ce cercle.

2. a) La face latérale d’un cylindre circulaire droit. b) Une sphère.c) Deux plans parallèles situés de part et d’autre de ce plan.d) Un plan perpendiculaire au segment et qui passe par le milieu du segment.

3. a) b) Le lieu géométrique est un cercle dont la mesure du diamètre correspond à celledu segment AO.


4. a) b) Le lieu géométrique est formé de deux cercles tangents entre eux en O et tangentsau cercle de centre O. La mesure du diamètre de chacun de ces cercles est la moitiéde celle du diamètre du cercle de centre O.

BH

OA

C

P

Page 254

BM

O

A C

Page 253

63

32

654321

Page 251

Page 249

Page 248

88


5.

6. a) Il s’agit du cercle de centre P ci-dessous. b) Le lieu géométrique est un segment situé sur la médiatricedu segment BC.


7. a) b) La mesure de l’angle est la même de part et d’autre de cette droite.c) Une bissectrice.

8. La figure décrite est le cercle tracé en gras ci-contre. M

O

BA

A

B

C

D

E

Page 255

A

B

C

P

O

A

B

C

O

P

B

O

A

P


9. Le lieu géométrique est le cercle tracé en gras dans la figure ci-contre.


10. Le lieu géométrique est une droite parallèle à la droite d.

11. a) y � – � 11 b) (9, 8) c) y � 3x � 19

d) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : C(3, –10), D(6, –1), E(7, 2) et F(–5, –34).2) d(A, C) � 19,24 d(B, C) � 19,24 d(A, D) � 10 d(B, D) � 10

d(A, E) � 7,07 d(B, E) � 7,07 d(A, F) � 44,38 d(B, F) � 44,38On remarque que la distance entre un point de la droite d2 et le point A est égale à la distance entre ce même pointet le point B.

3) Une médiatrice.

12. Cette trace correspond à un cercle.

Le cercle et l’ellipse

ProblèmeLa figure géométrique engendrée par le déplacement de la danseuse sera une courbe qui ressemble à un cercle qu’on a déformé pour lui donner l’apparence d’un ovale.

Activité 1

a. 1) d(O, A) � 50 d(O, B) � 50 d(O, C) � 50 d(O, D) � 50d(O, E) � 50 d(O, F) � 50 d(O, G) � 50 d(O, H) � 50

Page 258

Danseuse

Totem TotemCorde

Page 257

8.2section

C

B

A P E

D

O

x3

B

Ad

M

Page 256

O

B

A

C

P

90


2) Tous ces points se trouvent à la même distance de l’origine.3) À un cercle.

b. Au rayon du cercle.

c. 1) d(O, P) �2) Comme la distance du point P à l’origine du plan cartésien correspond au rayon r du cercle, on a l’équation r � .

En élevant au carré chacun des membres de l’équation, on obtient l’équation r2 � x 2 � y 2.

d. x 2 � y 2 � 502 ou x 2 � y 2 � 2500.

e. d(O, P) �

f. (x � h)2 � (y � k)2 � r2

Activité 2

a. 1) 21,2 � 78,8 � 100 2) 58,4 � 41,6 � 100 3) 68 � 32 � 100

b. La somme des distances entre le point A et n’importe quel point situé sur le pourtour de l’arène et entre ce même pointet le point B est constante, et elle vaut 100 m.

c. 1) � � 1

2) Pour le point C, dont les coordonnées sont (7, 56,2) :

� � � � 0,9216 � 0,0784 � 1

Pour le point D, dont les coordonnées sont (69, 83,4) :

� � � � 0,0784 � 0,9216 � 1

Pour le point E, dont les coordonnées sont (85, 13) :

� � � � 0,36 � 0,64 � 1

Technomath

a. 1) (–10, 0), (10, 0), (0, –2) et (0, 2). 2) (–10, 0), (10, 0), (0, –5) et (0, 5). 3) (–10, 0), (10, 0), (0, –8) et (0, 8).

b. 1) 10 � 2 � 8 2) 10 � 5 � 5 3) 10 � 8 � 2

c. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Plus l’écart entre les valeurs des paramètres diminue, plus l’ellipse tend versun cercle.

d. 2 correspond à la longueur de l’axe horizontal et 2 correspond à la longueur de l’axe vertical.

e. 1) 2) 3)

Mise au point 8.2

1. a) 1) 11 2) (0, 0) b) 1) 45 2) (0, 0)c) 1) 7,5 2) (5, 0) d) 1) 12,4 2) (–12, –4)e) 1) 5 2) (0, 2) f ) 1) � 8,66 2) (–50, 45)

2. a) x 2 � y 2 � 81 b) x 2 � y 2 � 702,25 c) (x � 20)2 � (y � 10)2 � 169d) (x � 6)2 � (y � 7)2 � 25 e) x 2 � (y � 10)2 � 342,25 f ) (x � 2)2 � (y � 4)2 � 30,25

�75

Page 264

Page 260

10241600

9002500

(13 � 45)2

402(85 � 55)2

502

1474,561600

1962500

(83,4 � 45)2

402(69 � 55)2

502

125,441600

23042500

(56,2 � 45)2

402(7 � 55)2

502

(y � 45)2

402(x � 55)2

502

Page 259

�(x � h)2 � (y � k)2

�x 2 � y 2

�x 2 � y 2

15

–15

–25 25

15

–15

–25 25

5

–5

–8 8



3. a) 1) (0, 0) 2) (10, 0), (–10, 0), (0, 6) et (0, –6). 3) (8, 0) et (–8, 0).b) 1) (0, 0) 2) (29, 0), (–29, 0), (0, 21) et (0, –21). 3) (20, 0) et (–20, 0).c) 1) (–3, –4) 2) (2, –4), (–8, –4), (–3, –8) et (–3, 0). 3) (0, –4) et (–6, –4).d) 1) (0, 12) 2) (0, 29), (0, –5), (8, 12) et (–8, 12). 3) (0, 27) et (0, –3).e) 1) (10, –4) 2) (10, 22), (10, –30), (0, –4) et (20, –4). 3) (10, 20) et (10, –28).f) 1) (–5,5, 7,5) 2) (–16, 7,5), (5, 7,5), (–5,5, 22) et (–5,5, –7). 3) (–5,5, –2,5) et (–5,5, 17,5).

4. a) � � 1 b) � � 1 c) � � 1

d) � � 1 e) � � 1 f ) � � 1


5.

6. a) x 2 � y 2 � 81 b) x 2 � y 2 � 221 c) (x � 12)2 � (y � 8)2 � 289d) (x � 5)2 � (y � 4)2 � 56,25 e) (x � 8)2 � (y � 4)2 � 169 f ) (x � 5)2 � (y � 10)2 � 289

7. a) � � 1 b) � � 1 c) � � 1

d) � � 1 e) � � 1 f ) � � 1


8. a) (x � 20)2 � (y � 30)2 � 400 b) � � 1

9. a) Puisque les valeurs des paramètres a et b sont respectivement 63 et 65, on a :P � π(3(63 � 65) � )

� π(128,01)� 402,16 cm

Le périmètre est environ de 402,16 cm.

�(63 � 3 � 65)(3 � 63 � 65)

(y � 27,5)2

756,25(x � 20)2

400

Page 267

y 2

100x 2

36(y � 30)2

21 025(x � 10)2

11 025(y � 6)2

1(x � 3)2

6,25

(y � 5)2

42,25(x � 20)2

90,25y 2

625x 2

49y 2

144x 2

36

Page 266

(y � 25)2

100(x � 30)2

676(y � 8)2

110,25(x � 12)2

210,25(y � 4)2

36(x � 8)2

100

(y � 5)2

225(x � 3)2

64y 2

100x 2

169y 2

144x 2

81

Page 265

92

Équation de l’ellipse Coordonnées Coordonnées Coordonnées Longueur du Longueur du du centre des sommets des foyers plus grand axe plus petit axe

(53, 0)(–53, 0) (45, 0)

� � 1 (0, 0) (0, 28) (–45, 0) 106 56

(0, –28)(8, –2)

(17, –17) (8, –5)� � 1 (8, –17) (8, –32) (8, –29) 30 18

(–1, –17)

(–1, 2,5)(5,5, 8,5) (8, 2,5)

� � 1 (5,5, 2,5) (12, 2,5) (3, 2,5) 13 12

(5,5, –3,5)(14, 10)(–38, 10) (12, 10)

� � 1 (–12, 10) (–12, 20) (–36, 10) 52 20

(–12, 0)(–8,5, –10)(–1,5, –10) (–5, 2)

� � 1 (–5, –10) (–5, 2,5) (–5, –22) 25 7

(–5, –22,5)

(y � 10)2

156,25(x � 5)2

12,25

(y � 10)2

100(x � 12)2

676

(y � 2,5)2

36(x � 5,5)2

42,25

(y � 17)2

225(x � 8)2

81

y 2

784x 2

2809


b) A � π� 63 � 65� 12 864,82 cm2

L’aire est environ de 12 864,82 cm2.

10. a) L’équation du cercle est (x � 9)2 � (y � 11)2 � 49.b) 1) Les coordonnées de la colonne A sont (9, 18).

2) Il est possible de déduire que les coordonnées du point B sont(x, 15,11) puisque les colonnes sont toutes situées à égale distancel’une de l’autre. On a donc :

(x � 9)2 � (15,11 � 11)2 � 49(x � 9)2 � 32,1079

x1 � 14,67 et x2 � 3,33.D’après l’illustration, les coordonnées de la colonne B sont donc(� 14,67, 15,11).

3) Il est possible de déduire que les coordonnées du point C sont(11,16, y ) puisque les colonnes sont toutes situées à égale distancel’une de l’autre. On a donc :

(11,16 � 9)2 � (y � 11)2 � 49(y � 11)2 � 44,3344

y1 � 4,34 et x2 � 17,66.D’après l’illustration, les coordonnées de la colonne C sont donc(11,16, � 4,34).


11. a)

b) � � 1

c) On peut déterminer les coordonnées de chaque foyer à l’aide de la relation a2 � b2 � c2.Les coordonnées des foyers sont (� –14,51, 0) et (� 14,51, 0).

y 2

51,84x 2

262,44

y

x

20

10

–10

–20

–10–20 10 200

(16,2, 0)

(0, 7,2)

L’équation du cercle associé à cette situation estx 2 � y 2 � 81. La mesure du rayon de la piècede monnaie est de 9 mm.Le grand axe mesure 9 � 2 � 1,8 � 32,4 mm.Le petit axe mesure 9 � 2 � 1,25 � 14,4 mm.

Page 268

0

y

x

(9, 11)

A

C

B

4,32 m

2,16 mCentre

0

y

x

(9, 11)

A

C

B(x, 15,11)

8,22 m

4,11 m

Centre


12. a) b) a � 17,9 et b � 17,3 ⇒ c � 4,6Les coordonnées des foyers sont (� 4,6, 0) et (� –4,6, 0).

13. a) Le point C est le point milieu de , ses coordonnées sont donc � , �, soit (55, 60). On en déduit que h � 55, k � 60 et que r � 50. L’équation du cercle est donc (x � 55)2 � (y � 60)2 � 2500.

b) 1) Le coût du cadre en bois est environ de 9,42 $.2) Le coût de la surface réfléchissante est environ de 15,71 $.


14. a) Les coordonnées des foyers sont (–90, 0) et (90, 0).

Comme l’équation de la clôture elliptique est � � 1 et qu’on cherche les coordonnées d’un point dont les coordonnées sont (90, y ), on peut substituer 90 à x et isoler la variable y.

� � 1

�

y 2 � 875,27y � ±29,58

Les coordonnées des points qui correspondent aux quatre coins de la scène sont (90, � 29,58), (90, � –29,58),(–90, � 29,58) et (–90, � –29,58).

b) Puisqu’on cherche un point dont les coordonnées sont (x, 41), on peut substituer 41 à y dans l’équation de l’ellipseet isoler la variable x.

� � 1

�

x 2 � 5213,13x � ±72,2

Les coordonnées du spectateur sont donc (� –72,2, 41).En effectuant , on trouve que la distance entre ce point et l’origine du plan cartésien est environde 83,03 m.La distance qui sépare le spectateur du chanteur est environ de 83,03 m.

15. a) La piscine A a la forme d’un cercle et la piscine B, celle d’une ellipse.b) Piscine A

Puisque la corde tendue mesure 4 m, le rayon du cercle est de 4. L’équation qui correspond au pourtour decette piscine est (x � 7)2 � (y � 5)2 � 16.Piscine BIl est possible de déduire les paramètres a et b à partir du paramètre c, qui vaut 3, et de la longueur du grand axe quiest de 10 m.L’équation qui correspond au pourtour de cette piscine est � � 1 ou � � 1.

c) 1) La largeur maximale de la piscine A est de 8 m (diamètre du cercle).2) La largeur maximale de la piscine B est de 10 m (grand axe de l’ellipse).

(y � 5)2

25(x � 7)2

16(y � 5)2

16(x � 7)2

25

�(–72,2)2 � 412

14553136

x 2

11 236

412

562x 2

1062

7842809

y 2

3136

y 2

562902

1062

y 2

562x 2

1062

Page 269

12 � 1082

41 � 692AB

y

x

20

10

–10

–20

–10–20 10 200

(17,9, 0)

(0, 17,3)

94


L’hyperbole et la parabole

ProblèmeLe lieu géométrique engendré par le déplacement du point B est une demi-parabole.

Activité 1

a. 1) 11,25 2) 3,25 3) 8

b. 1) 2,25 2) 10,25 3) 8

c. La valeur absolue de la différence des distances entre tout point de la courbe et les points F1 et F2 est constante, et vaut 8.

d. 1) � � 1

2) Pour le point A, dont les coordonnées sont (13,8, 13,15) :

� � � � 2,1025 � 1,1025 � 1

Pour le point B, dont les coordonnées sont (3, 7,75) :

� � � � 1,5625 � 0,5625 � 1

e. 1) Les pentes des asymptotes sont de – et de .

2) Calculs : � et � – . Les pentes des asymptotes sont de – et de .

f. 1) 52) Puisque c correspond également à la distance qui sépare le centre de l’hyperbole d’un point du cercle vert, on a :

c � �

Activité 2

a. 1) 6 2) 3 3) 9,75 4) 15

b. 1) 6 2) 33) � 9,75 4) � 15

c. Pour chacun des points, la distance est la même.

d. La parabole est une courbe dont tous les points sont situés à égale distance d’une droite fixe, appelée « directrice »,et d’un point fixe, appelé « foyer ».

e. On peut passer :• de à , en substituant les coordonnées d’un point de la courbe à x et à y ;• de à , en effectuant les opérations ;• de à , en isolant c.

f. 1) Elles sont identiques. 2) Elles sont identiques.

Activité 2 (suite)

g. 1) (x, –c) 2) (x, c) 3) (c, y ) 4) (–c, y )

Page 273

433221

�(12 � 3)2 � (12 � 0)2�(6,75 � 3)2 � (9 � 0)2

Page 272

�a2 � b2�(h � a � h)2 � (k � b � k)2

ba

ba

ba

(k � b) � (k � b)(h � a) � (h � a)

ba

(k � b) � (k � b)(h � a) � (h � a)

34

34

5,06259

2516

(7,75 � 10)2

9(3 � 8)2

16

9,92259

33,6416

(13,15 � 10)2

9(13,8 � 8)2

16

(y � 10)2

32(x � 8)2

42

Page 271

A

C d

B

D

Page 270

8.3section


h. 1) d(P, d ) � d(P, F) 2) d(P, d ) � d(P, F)

� �(x � x )2 � (y � c)2 � (x � 0)2 � (y � c)2 (x � x )2 � (y � c)2 � (x � 0)2 � (y � c)2

0 � y 2 � 2cy � c2 � x 2 � y 2 � 2cy � c2 0 � y 2 � 2cy � c2 � x 2 � y 2 � 2cy � c2

x 2 � 4cy x 2 � –4cy3) d(P, d ) � d(P, F) 4) d(P, d ) � d(P, F)

� �(x � c)2 � (y � y )2 � (x � c)2 � (y � 0)2 (x � c)2 � (y � y )2 � (x � c)2 � (y � 0)2

x 2 � 2cx � c2 � 0 � x 2 � 2cx � c2 � y 2 x 2 � 2cx � c2 � 0 � x 2 � 2cx � c2 � y 2

y 2 � –4cx y 2 � 4cx

Activité 3

a. 1) 25 m 2) 5 m 3) 10 m 4) 25 m

b. 1) � 25 m 2) � 5 m3) � 10 m 4) � 25 m

c. On remarque que la distance qui sépare la boîte de réception d’un point est égale à la distance qui sépare ce même pointdu capteur.

d. 1) i ) 10 ii ) 202) Les valeurs de h et de k correspondent aux coordonnées du sommet de la parabole.

e. On peut passer :• de à , en substituant les coordonnées du sommet S(10, 20) à h et à k et les coordonnées d’un autre point,

soit D(30, 0), à x et à y ;• de à , en simplifiant chaque membre de l’équation ;• de à , en divisant chaque membre de l’équation par 80 pour isoler c.

f. La distance qui sépare la boîte de réception du capteur correspond à 2c.

Technomath

a. 1) � � 1 2) � � 1 3) � � 1

b. 1) (2, 0) et (–2, 0). 2) (2, 0) et (–2, 0). 3) (2, 0) et (–2, 0).

c. 1) 2) 3)

Mise au point 8.3

1. a) 1) (0, 0) 2) (12, 0) et (–12, 0). 3) (13, 0) et (–13, 0).b) 1) (0, 0) 2) (0, 36) et (0, –36). 3) (0, 45) et (0, –45).c) 1) (0, 0) 2) (16, 0) et (–16, 0). 3) (65, 0) et (–65, 0).d) 1) (8, –10) 2) (8, –2) et (8, –18). 3) (8, 0) et (8, –20).e) 1) (0, –12) 2) (0, 0) et (0, –24). 3) (0, 0,5) et (0, –24,5).f ) 1) (–20, 15) 2) (–60, 15) et (20, 15). 3) (–61, 15) et (21, 15).

Page 280

y 2

64x 2

4y 2

16x 2

4y 2

1x 2

4

Page 275

4332

21

�(15 � 30)2 � (20 � 0)2�(15 � 15)2 � (20 � 10)2

�(15 � 10)2 � (20 � 20)2�(15 � 30)2 � (20 � 40)2

Page 274

�(x � c)2 � (y � 0)2�(x � c)2 � (y � y )2�(x � c)2 � (y � 0)2�(x � c)2 � (y � y )2

�(x � 0)2 � (y � c)2�(x � x )2 � (y � c)2�(x � 0)2 � (y � c)2�(x � x )2 � (y � c)2

96

20

–20

–30 30

40

–40

–60 60

40

–40

–60 60


2. a) � � –1 b) � � 1 c) � � –1

d) � � 1 e) � � –1 f ) � � 1


3. a) 1) (0, 4) 2) y � –4 b) 1) (–0,1, 0) 2) x � 0,1c) 1) (–12, 6) 2) x � –2 d) 1) (–20, 8,75) 2) y � –8,75e) 1) (–9, 22) 2) x � 33 f ) 1) (–9,2, 0) 2) x � 3,4

4. a) x 2 � –24y b) (x � 5)2 � –28,8(y � 9) c) (y � 2)2 � –2(x � 4)d) (x � 10)2 � 80(y � 15) e) y 2 � 8x f ) (y � 0,5)2 � –0,4(x � 1,5)


5.

6. a) x 2 � –48y b) y 2 � 32xc) (x � 5)2 � 3(y � 3) d) (x � 11)2 � 40(y � 6) ou (x � 11)2 � –40(y � 6).e) (y � 3)2 � –24(x � 4) f ) (y � 7)2 � –32(x � 3)

7. a) � � –1 b) � � 1

c) � � 1 d) � � 1

e) Puisque l’équation de l’asymptote est y � – x, on a :

�

�

a � 144L’équation de l’hyperbole est donc � � –1.

f ) � � 1

8. Car – est un rapport irréductible équivalent à – . On peut donc avoir b � 8 et a � 15, ou b � 16 et a � 30, ou b � 24et a � 45, etc.

ba

815

(y � 8)2

25(x � 6)2

144

y 2

1764x 2

20 736

42a

724

ba

724

724

(y � 8)2

56,25(x � 5)2

16(y � 30)2

�233 282

583�

(x � 25)2

441

y 2

1225x 2

144y 2

576x 2

100

Page 282

Page 281

(y � 3)2

4�3

(x � 5)2

16(y � 5)2

100(x � 7)2

576(y � 35)2

3136(x � 25)2

1089

y 2

2304x 2

3025y 2

9x 2

16y 2

64x 2

225

Équation Coordonnées Coordonnées Équation Distance entrede la parabole du sommet du foyer de la directrice le foyer et la directrice

(y � 5)2 � 36(x � 3) (3, –5) (12, –5) x � –6 18(x � 2,5)2 � –0,4y (2,5, 0) (2,5, –0,1) y � 0,1 0,2

(x � 6)2 � 20(y � 3) (6, –3) (6, 2) y � –8 10(x � 5)2 � –26(y � 8) (5, –8) (5, –14,5) y � –1,5 13(y � 3)2 � –32(x � 15) (15, 3) (7, 3) x � 23 16(y � 6)2 � 10,8(x � 6) (6, –6) (8,7, –6) x � 3,3 5,4



9.

10. a) La planète peut être située au point (6, 10,5) ou au point (6, 5,5).b)

c) 2000 km


11. a) et b) c) d) Une parabole.

O

d

O

d

Page 284

0

16

14

12

10

8

6

4

2

y

x2 4 6 8 10 12 14 16

Positionpossible de la planète

Positionpossible de la planète

Page 283

98

Équation Coordonnées Coordonnées Coordonnées Équationde l’hyperbole du centre des sommets des foyers des asymptotes

(80, 0) (82, 0) y � – x� � 1 (0, 0) (–80, 0) (–82, 0) y � x

(77, 0) (85, 0) y � – x� � 1 (0, 0) (–77, 0) (–85, 0) y � x

(20, 42) (20, 67) y � – (x � 20) � 30� � –1 (20, –30) (20, –102) (20, –127) y � (x � 20) � 30

(–9, 26) (–9, 38,5) y � – (x � 9) � 12� � –1 (–9, 12) (–9, –2) (–9, –14,5) y � (x � 9) � 12

(–1,5, –6) (–0,5, –6) y � – (x � 3) � 6� � 1 (–3, –6) (–4,5, –6) (–5,5, –6) y � (x � 3) � 64

3

(y � 6)2

4(x � 3)2

2,25

43

2845

(y � 12)2

196(x � 9)2

506,25

2845

7265

(y � 30)2

5184(x � 20)2

4225

7265

3677

y 2

1296x 2

5929

3677

940

y 2

324x 2

6400

940


12. a) Puisque les coordonnées du sommet sont (50, 0) et que la trajectoire passe par le point (80, –11,25),l’équation de la parabole associée à la trajectoire du sous-marin est (x � 50)2 � –80y.

b) On cherche la valeur de y lorsque x � 0 :(0 � 50)2 � –80y

2500 � –80yy � –31,25

La profondeur maximale atteinte par le sous-marin est de 31,25 m.

13. a) 1) � � 1 2) y � 2(x � 6) � 9 et y � –2(x � 6) � 9.

b) Les coordonnées des foyers sont (6 � ��5, 9) et (6 � ��5, 9).


14. a) Les coordonnées du sommet de la parabole sont (0, 0) et le miroir passe par le point (20, 40). L’équation dela parabole associée au miroir parabolique concave est donc y 2 � 80x.

b) Les coordonnées d’un des sommets sont (0, –10) et les coordonnées d’un des foyers sont (–26, 0).

On en déduit que a � 10 et b � � 24. L’équation de l’hyperbole est donc � � 1.

15. a)

b) La distance minimale est de 32 m. Elle correspond à la distance entre les deux sommets de l’hyperbole.c) Non, car les coordonnées des foyers de l’hyperbole sont (–34, 0) et (34, 0). Les foyers sont donc situés à l’extérieur

du terrain.

16. a) Puisque le tablier du pont correspond à la directrice de la parabole, on déduit que c � 6. De plus, on sait que la courbepasse par le point (0, 19,5) et que k � 6. On a donc :(0 � h)2 � 4 � 6(19,5 � 6)

h2 � 324h � ±18

D’après le graphique, on déduit que l’équation de la parabole est (x � 18)2 � 24(y � 6).b) Les points A et B sont symétriques par rapport à la droite d’équation x � 6, on en déduit que la distance qui sépare

ces deux points est de 36 m.

y

x

40

20

–20

–40

–20–40 20 400

Pourtour du terrain

Trottoirs

y 2

576x 2

100�262 � 102

Page 285

(y � 9)2

4(x � 6)2

1


Les transformations géométriques dans le plan cartésien

ProblèmePlusieurs réponses possibles. Exemple :Deux transformations géométriques successives peuvent associer ces deux emplacements.Première transformation : une translation. Deuxième transformation : une réflexion.

Activité 1

a. 1) 34 2) –37 3) 34 4) –37

b. La différence des abscisses est toujours la même et la différence des ordonnées est toujours la même.

c. 1) (15, –25) 2) (–7, 9)

Activité 1 (suite)

d. 1) (–27, 9��7) 2) (9��7, 27)e. Une rotation de 90° dans le sens horaire permet d’associer des points dont les coordonnées sont (–27, 9��7) et (9��7, 27).f. 1) (39, –2��82) 2) (–2��82, –39)g. L’abscisse du point B' correspond à l’ordonnée du point B et l’ordonnée du point B' correspond à l’opposé de l’abscisse

du point B.

h. Le point de coordonnées (y, –x ) est associé au point de coordonnées (x, y ).

i. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Une rotation de 90° dans le sens horaire (–90°), une rotation de 90° dans le sens antihoraire (90°) ou une rotation de 180°dans le sens horaire ou antihoraire.

Activité 1 (suite)

j. 1) A(–8, 24) ; A'(8, 24) 2) B(–8, 12) ; B'(8, 12) 3) C(–13, –12) ; C'(13, –12) 4) D(–3, –12) ; D'(3, –12)

k. Pour chaque paire de points associés par cette transformation, on constate que leurs abscisses sont de signes contraires.

Page 289

Page 288

Page 287

0 2 4 6 8 10

2

4

y

x

6

8

10s

0 2 4 6 8 10

2

4

y

x

6

8

10

t

Page 286

8.4section

100


l. Le point de coordonnées (–x, y ) est associé au point de coordonnées (x, y ).

Activité 2

a. 1) 2) 3)

b. 1) Non. Les figures ne sont pas isométriques, car leurs côtés homologues ne sont pas isométriques.2) Oui. La figure image est semblable à la figure initiale puisque le rapport des mesures des côtés homologues est constant

dans chaque cas.3) Les côtés homologues ont la même inclinaison : ils sont parallèles.4) Une homothétie.5) L’intersection de ces trois droites, dans chacun des cas, correspond à l’origine du plan.

6) Dans chacun des cas, il s’agit du rapport d’homothétie, qui équivaut à la valeur par laquelle les coordonnées ont étémultipliées.

� � � 1,5

� � � 0,5

� � � 2

Technomath

a. 1) La figure de gauche, dont les coordonnées des sommets sont (–5, 0), (–3, –1) et (–4, –3), correspond à la figure initiale,puisqu’elle est située du même côté que l’origine de la flèche de translation.

2) (x, y ) � (x � 6, y � 2)

b. 1) Le centre de rotation est situé à l’origine du plan.2) La figure dont les coordonnées des sommets sont (–3, –5), (1, –4) et (–1, –2) correspond à la figure image. Puisque l’angle

de rotation est positif, la rotation s’effectue dans le sens antihoraire.3) (x, y ) � (–y, x )

Page 291

2(5 � ��65 � 4��5)5 � ��65 � 4��5

10 � 2��65 � 8��55 � ��65 � 4��5

périmètretriangle G'H'I'

périmètretriangle GHI

4(1 � 2��5)8(1 � 2��5)

4 � 8��58 � 16��5

périmètretriangle D'E'F'

périmètretriangle DEF

1,5(4 � 2��2)4 � 2��2

6 � 3��24 � 2��2

périmètretriangle A'B'C'

périmètretriangle ABC

y

x0

H'(–10, 2)

I'(4, 10)

G'(–4, –6)

G(2, 3)

H(5, –1)

I(–2, –5)

Triangle GHI

12

8

4

–4

–8

–8–12 –4 4 8

y

x0

E'(2, 2)D'(–2, 2)

F'(0, –2)

D(–4, 4) E(4, 4)

F(0, –4)

Triangle DEF

4

2

–2

–4

–4 –2 2 4

y

x

10

8

6

4

2

2 4 6 8 100

A'(3, 6)

B'(6, 3)C'(3, 3)

A(2, 4)

B(4, 2)C(2, 2)

Triangle ABC

y

x0

H'(–10, 2)

I'(4, 10)

G'(–4, –6)

G(2, 3)

H(5, –1)

I(–2, –5)

Triangle GHI

12

8

4

–4

–8

–8–12 –4 4 8

y

x0

E'(2, 2)D'(–2, 2)

F'(0, –2)

D(–4, 4) E(4, 4)

F(0, –4)

Triangle DEF

4

2

–2

–4

–4 –2 2 4

y

x

10

8

6

4

2

2 4 6 8 100

A'(3, 6)

B'(6, 3)C'(3, 3)

A(2, 4)

B(4, 2)C(2, 2)

Triangle ABC

Page 290


c. 1) L’axe de réflexion est situé sur l’axe des abscisses. 2) (x, y ) � (x, –y )

d. La règle qui permet d’obtenir les coordonnées des sommets d’un triangle image à partir des coordonnées des sommetsd’un triangle initial pour une SYMÉTRIE CENTRALE par rapport à l’origine du plan cartésien est (x, y ) � (–x, –y ).

Mise au point 8.4

1. a) b) c)

d) e) f )

g) h) i )

2. a) t(6, –10) : (x, y ) � (x � 6, y � 10) b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, 180°) : (x, y ) � (–x, –y )c) sy : (x, y ) � (–x, y ) d) sx : (x, y ) � (x, –y )e) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, 90°) : (x, y ) � (–y, x ) f ) h(O, 2,5) : (x, y ) � (2,5x, 2,5y )

g) h�O, – � : (x, y ) � �– , – �


3. a) A'(–15, –4) b) A'(–60, 16) c) A'(15, –4) d) A'(–12, –3) e) A'(30, –8)

4. a) 1) h(O, 3) : (x, y ) � (3x, 3y ) b) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, 90°) : (x, y ) � (–y, x )2) B'(15, 18) ; C'(18, 6) 2) B'(–7, 9) ; C'(6, 7)

c) 1) h(O, –2) : (x, y ) � (–2x, –2y ) d) 1) sx : (x, y ) � (x, –y ) e) 1) t(–4, 6) : (x, y ) � (x � 4, y � 6)2) B'(0, 6) ; C'(12, 10) 2) B'(5, –6) ; C'(2, 8) 2) B'(–6, –2) ; C'(–4, 2)

f ) 1) sy : (x, y ) � (–x, y ) g) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, 180°) : (x, y ) � (–x, –y )2) B'(–10, 0) ; C'(–2, 0) 2) B'(–7, 3) ; C'(4, 7)

h) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, –90°) : (x, y ) � (y, –x ) i ) 1) t(10, 4) : (x, y ) � (x � 10, y � 4)2) B'(–2, 1) ; C'(–4, 1) 2) B'(6, –4) ; C'(0, 6)

Page 296

y7

x7

17

Page 295

102

Point imagePoint d’aprèsinitial la rotation

r(O, –90°)

A(2, 5) A'(5, –2)

B(–2, 0) B'(0, 2)

C(15, 9) C'(9, –15)

Point imagePoint d’aprèsinitial la translation

t(–6, 3)

D(4, 8) D'(–2, 11)

E(–5, 12) E'(–11, 15)

F(0, 14) F'(–6, 17)

Point imagePoint d’aprèsinitial l’homothétie

h(O, –4)

G(3, 9) G'(–12, –36)

H(–8, 5) H'(32, –20)

I(–4, 0) I'(16, 0)

Point imagePoint d’aprèsinitial la réflexion

sy

J(–4, 7) J'(4, 7)

K(0, 13) K'(0, 13)

L(–30, 0) L'(30, 0)


h(O, 3)

M(7, –5) M'(21, –15)

N(0, 0) N'(0, 0)

O(–3, 2) O'(–9, 6)


r(O, 270°)

P(2, 5) P'(5, –2)

Q(–2, 0) Q'(0, 2)

R(15, 9) R'(9, –15)


h(O, 0,4)

S(–5, 10) S'(–2, 4)

T(20, 30) T'(8, 12)

U(15, 25) U'(6, 10)


r(O, 90°)

V(–6, –4) V'(4, –6)

W(3, 8) W'(–8, 3)

X(0, 0) X'(0, 0)

Point imagePoint d’aprèsinitial la translation

t(5, –8)

Y(–3, –5) Y'(2, –13)

Z(9, 0) Z'(14, –8)

A(–2, 8) A'(3, 0)



5. a) b)

c) d)

6. a) b)

c) d) y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40C'

A'B'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40C'

A'

B'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

C'

A'B'

D'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40C'

A'

B'

D'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

C'

A'

B'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40 C'

A'B'

D'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

C'

A'

B'

D'

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40 C'

A'

B'

Page 297



7. a) b)

c) d)

e) f )

8. a) et b)

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, 180°) ou h(O, –1).

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

C'

A'

A

C B

B'C''B''

A''

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160

C'

A'

B'

y

x

12

6

–6

–12

–6–12 6 120

C'

A'

B'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

C'

A' B'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80 C'A'

B'

D'

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160D'

A'

B'C'

y

x

20

16

12

8

4

20168 1240

C'

A'B'

Page 298

104



9. a)

b) Pour une même abscisse, les ordonnées correspondantes sont l’inverse l’une de l’autre.c)

d) sy : (x, y ) � (–x, y ).

10. Plusieurs réponses possibles. Exemple : À une rotation centrée à l’origine de 180° dans le sens horaire.

11. a) A'(–8, –5)b) A'(–2, 9)c) 1) Les résultats ne sont pas les mêmes.

2) L’ordre dans lequel une série de transformations géométriques sont effectuées a une incidence sur les coordonnéesd’un point image.

12. a) A'(1,5, 1,5) B'(7,5, 6) C'(13,5, 1,5) D'(7,5, 1,5)b) A'(1, –1) B'(4, –5) C'(1, –9) D'(1, –5)c) A'(1, –1) B'(5, –4) C'(9, –1) D'(5, –1)d) A'(7, 14) B'(11, 17) C'(15, 14) D'(11, 14)


13. a) 4 b) 8 c) d) –1,543

Page 300

y

x

2

10

f g

Page 299

x f(x)

–3

–2

–1

0 1

1 2

2 4

3 8

12

14

18

x g(x)

–3 8

–2 4

–1 2

0 1

1

2

3 18

14

12



14.

a)

b)

c)

d)

Page 301

106

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A(8, –4)

B

A'(–10, 5)

h(O, – )54

Homothétie centrée à l’origine de rapport – 5

4

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

A

A'(1, 1)t(3, –1)

Ajout de 3 unitésen abscisse et retraitde 1 unité en ordonnée

y

x

12

6

–6

–12

–6–12 6 120A A'(12, –3)

syRéflexion par rapport à l’axedes ordonnées

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

AA'(–2, 4)

r(O, 90°)Rotation centrée à l’originede 90° dans le sens antihoraire

Représentation graphiqueRègle de transformation Description


Les matrices

ProblèmeIl est possible de déterminer les coordonnées de chaque sommet à l’aidedes relations trigonométriques.Voici un exemple où le point O correspond à l’origine :

• m � m � �

• θ1 � arc tan , soit � 26,57°• θ2 � 180° � (120° � 26,57°) � 33,43°• Abscisse de G' � – cos 33,43° � –1,87• Ordonnée de G' � sin 33,43° � 1,23Par un raisonnement similaire, on trouve les coordonnéesdes sommets images :A'(� –9,43, � 0,33), B'(� –8,2, � 2,2), C'(� –8,83, � 5,29),D'(� –6,96, � 4,06), E'(� –4,87, � 6,43), F'(� –5,1, � 2,83),G'(� –1,87, � 1,23), H'(� –4,96, � 0,6), I'(� –4,83, � –1,63) etJ'(� –7,2, � 0,46).

Activité 1

a. 1) 7 lignes. 2) 2 colonnes.

b. 1) Au nombre de lignes. 2) Au nombre de colonnes.c. 1) Au « nom » de la matrice.

2) À la ligne sur laquelle se trouve cet élément.3) À la colonne dans laquelle se trouve cet élément.

d. 1) 4 2) –1 3) –4

e. 1) a46 2) am7 3) a5n 4) amn

Activité 2

a. Pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie chaque élément de la matrice par le scalaire.

b. b21 � 2 � –8 � –16b22 � 2 � 1 � 2b31 � 2 � 0 � 0b32 � 2 � –6 � –12

c. Pour additionner deux matrices, on additionne les éléments qui occupent la même position dans chacune des matrices.

d. e13 � –12 � 12 � 0e21 � –5 � –11 � –16e22 � 4 � 13 � 17e23 � –20 � 22 � 2

Activité 2 (suite)

e. Si les dimensions des deux matrices sont les mêmes.

Page 305

Page 304

Page 303

y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

1086420–2–4–6–8–10

C'

A'

D'

B'

E'

H'J'G'

I'

F'

A

BC

D

EFG

H

IJ

θ2 θ1

�5�5

12

�5�22 � 1OG'OG

Page 302

8.5section


f. On remarque que c11 � a11 � b11 � a12 � b21 � a13 � b31.De plus, c12 � a11 � b12 � a12 � b22 � a13 � b32, et ainsi de suite.

g. h21 � –1 � –3 � –2 � 6 � 7 � 8 � 47h22 � –1 � 4 � –2 � 0 � 7 � 1 � 3

h. 1) 2 � 3 2) 3 � 2 3) 2 � 2

i. 1) Si le nombre de colonnes de la première matrice est le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice.2) Elle aura le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième matrice.

Activité 3a. 1) Aux coordonnées du sommet W. 2) Aux coordonnées du sommet X.

3) Aux coordonnées du sommet Y. 4) Aux coordonnées du sommet Z.

b.

C � A � B � � � �

c. 1) 2) Une réflexion par rapport à l’axe des abscisses.3) sx : ( x, y ) � ( x, –y )

d.

E � A � D � � � �

e. 1) 2) Une homothétie dont le centre est l’origine du plan cartésienet dont le rapport est –2.

3) h(O, –2) : ( x, y ) � ( –2x, –2y )

Activité 3 (suite)

f.

G � A � F � � � �

–3 –2 –3 2 –2 1 –2 –2

–2 � 0 � 3 � –1 –2 � 1 � 3 � 0 2 � 0 � 3 � –1 2 � 1 � 3 � 0 1 � 0 � 2 � –1 1 � 1 � 2 � 0 –2 � 0 � 2 � –1 –2 � 1 � 2 � 0

cos 90° sin 90°–sin 90° cos 90°

–2 3 2 3 1 2 –2 2

Page 307

y

x

4

2

–2

–4

–6

–2–4 2 40

W X

YZ

Y'

W'

Z'

X'

4 –6 –4 –6 –2 –4 4 –4

–2 � –2 � 3 � 0 –2 � 0 � 3 � –2 2 � –2 � 3 � 0 2 � 0 � 3 � –2 1 � –2 � 2 � 0 1 � 0 � 2 � –2 –2 � –2 � 2 � 0 –2 � 0 � 2 � –2

–2 00 –2

–2 3 2 3 1 2 –2 2

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

W X

YZ

Y'

W'

Z'

X'

–2 –3 2 –3 1 –2 –2 –2

–2 � 1 � 3 � 0 –2 � 0 � 3 � –1 2 � 1 � 3 � 0 2 � 0 � 3 � –1 1 � 1 � 2 � 0 1 � 0 � 2 � –1 –2 � 1 � 2 � 0 –2 � 0 � 2 � –1

1 00 –1

–2 3 2 3 1 2 –2 2

Page 306

108


g. 1) 2) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Une rotation centrée à l’origine du plan cartésien de 90° dansle sens antihoraire.

3) r(O, 90°) : ( x, y ) � ( –y, x )

h.

J � H � I � � � �

i. 1) 2) Une translation de 4 unités vers la droite et de 5 unités versle bas.

3) t(4, –5) : ( x, y ) � ( x � 4, y � 5)

Technomath

a. 1) 2 � 3 2) 3 � 2

b. 1) 6 2) –4 3) 3 4) –2

c. A � B � B � A. La matrice résultante de A � B est une matrice de dimension 2 � 2 alors que la matrice résultantede B � A est une matrice de dimension 3 � 3.

d. 1) ( –13 18 0 ) 2) 3) 4) 5) 6) Impossible.

Mise au point 8.5

1. a) 1) 4 2) 5 3) 4 � 5 4) 20b) 1) 2 2) 3 3) 2 � 3 4) 6c) 1) 4 2) 2 3) 4 � 2 4) 8

2. a) 7 b) –14 c) 6 d) 20 e) 17 f ) 8

3. a) b) c) d) e) f )

4. a) b) c) ( 24 56 96 –72 ) d) e) f ) 5 10 15 20 25 30 35 40 45

–3 69 –12

6 12 –3 –9 21 27 24 –6

–4 –20 128 –24 0

10 1620 14

10 0 0 0 10 0 0 0 10

5 35 60 –15 55 45

11 5 –5 10 –1 15 2 19

8 10 1214 16 18

9 –8–5 0

3420

Page 313

–9 11 1–8 3 5

4769

–10 4 –8–14 12 –6

1 7 96 –9 11

Page 308

y

x

4

2

–2

–4

–2 2 4 60

W X

YZ

Y'

W'

Z'

X'

2 –2 6 –2 5 –3 2 –3

–2 � 1 � 3 � 0 � 1 � 4 –2 � 0 � 3 � 1 � 1 � –5 2 � 1 � 3 � 0 � 1 � 4 2 � 0 � 3 � 1 � 1 � –5 1 � 1 � 2 � 0 � 1 � 4 1 � 0 � 2 � 1 � 1 � –5 –2 � 1 � 2 � 0 � 1 � 4 –2 � 0 � 2 � 1 � 1 � –5

1 0 0 1 4 –5

–2 3 1 2 3 1 1 2 1 –2 2 1

y

x

4

2

–2

–4

–2–4 2 40

W X

YZY'

W' Z'

X'



5. a) b) ( 59 89 ) c) d) e) f ) ( 8 10 16 35 )

6. a) b) c) d) e) f )

7. a) Une réflexion par rapport à l’axe des abscisses.b) Une translation de 6 unités vers la droite et de 2 unités vers le bas.c) Une homothétie dont le centre est l’origine du plan cartésien et dont le rapport est 8.d) Une rotation centrée à l’origine du plan cartésien de 180° dans le sens antihoraire.e) Une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées.f ) Une translation de 5 unités vers la gauche et de 9 unités vers le bas.g) Une homothétie dont le centre est l’origine du plan cartésien et dont le rapport est –5.h) Une rotation centrée à l’origine du plan cartésien de 90° dans le sens antihoraire.

8. a) b) c) d) e)

f ) g) h) i )


9. a) 1) 2) B'(9, 18) et C'(18, 9). b) 1) 2) B'(–8, 12) et C'(–5, 9).

c) 1) 2) B'(8, –8) et C'(5, –4). d) 1) 2) B'(–3, –8) et C'(5, –4).

e) 1) Plusieurs réponses 2) B'(2, –3) et C'(4, –9). f ) 1) 2) B'(0, 2) et C'(–8, 4).possibles. Exemple :

10. a) 1) b) 1)

2) Une dilatation horizontale dont 2) Une réflexion par rapport à les abscisses sont multipliées par 2. la droite d’équation y � x.

y

x

10

8

6

4

2

42 6 8 100

A

B

C

D

C'

A'

D'

B'

y

x

10

8

6

4

2

42 6 8 10 120

A

B

C

D

C'

A'

D'

B'

cos 180° sin 180°–sin 180° cos 180°

cos –90° sin –90°–sin –90° cos –90°

1 0 0 1 5 –12

1 00 –1

cos 90° sin 90°–sin 90° cos 90°

3 00 3

Page 315

10 –216 5

–6 3734 –68

–14 4413 –24

82 82 22 86 –66 –94

82 82 22 86 –66 –94

0 –36 3

–4 78 –15

2 –61 10

7 45 9

1 00 –1

cos –90° sin –90°–sin –90° cos –90°

–1 00 1

0,25 00 0,25

cos 180° sin 180°–sin 180° cos 180°

1 0 0 1 2 –3

78 –60 88

32 19 –8 9 –13 –11 –16 –2

29 426 54

34 8214 30

Page 314

110


c) 1) d) 1)

2) Une contraction verticale dont 2) Une réflexion par rapport à les ordonnées sont multipliées par 0,5. la droite d’équation y � –x.


11. a) Au nombre d’appareils du modèle C en magasin avant la vente.b) Au nombre d’appareils du modèle D en magasin avant la vente.c) Au nombre d’appareils du modèle B en magasin après la vente.d) Au nombre d’appareils du modèle E en magasin après la vente.e) Au nombre d’appareils de chaque modèle qui a été vendu.

12. Le nombre de colonnes de la matrice de dimension 5 � 3, soit 3, ne correspond pas au nombre de lignes de la matricede dimension 2 � 4, soit 2.

13. a) b) c)

d) e) f ) y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80C'

B'A'

D'

A

B

C D

FE

F'

E'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

C'B'A'

D'AB

C D

F

EF'

E'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

C'

B'

A'

D'

A

B

C D

F

E

F'

E'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

C'

B'

A'

D' A

B

C D

FE

F'

E'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80C'B'

A'

D'

A

B

C D

F

E

F'

E'

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160

C'

B'

A'

D'

ABC D

F

EF'

E'

Page 316

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

B

C

D

C'A'

D'

B'

y

x

10

8

6

4

2

42 6 8 100

A

B

C

D

C'

A'

D'B'



14. a) En utilisant la matrice de rotation

r(O, 60°) � , il est possible de

déterminer les coordonnées de chaque point image.

c) En utilisant la matrice de rotation


déterminer les coordonnées de chaque point image.

15. a) b) c) d) e) f )

–1 00 1

cos 180° sin 180°–sin 180° cos 180°

1 0 0 1 –8 5

–2 00 –2

cos –90° sin –90°–sin –90° cos –90°

1 00 –1

y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–10–12 –8 –6 –4 –2 2 4 6 80

A

BC

D

A'(� –3,54, � 0,71)

B'(� –7,07, � –1,41)

C'(� –10,69, � 0,71)D'(� –7,07, � 2,83)

cos 135° sin 135°–sin 135° cos 135°

y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 100

A

BC

DA'(� –0,23, 3,6)

B'(� –3,2, � 6,46)

C'(� –2,06, � 10,43)

D'(� 0,9, � 7,56)

cos 60° sin 60°–sin 60° cos 60°

Page 317

112

d) En utilisant la matrice de rotation


déterminer les coordonnées de chaque point image.y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–4 –2 2 4 6 8 10 12 14 160

A

BC

D

A'(� 3,23, � –1,6)

B'(� 7,2, � –0,46)

C'(� 10,06, � –3,43)

D'(� 6,1, � –4,56)

cos 300° sin 300°–sin 300° cos 300°

b) En utilisant la matrice de rotation

r(O, –45°) � , il est possible de

déterminer les coordonnées de chaque point image.y

x

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–4 –2 2 4 6 8 10 12 14 160

A

BC

D

A'(� 3,54, � –0,71)

B'(� 7,07, � 1,41)

C'(� 10,61, � –0,71)

D'(� 7,07, � –2,83)

cos –45° sin –45°–sin –45° cos –45°



16.

a)

b)

c)

d)

Page 318

Matrice de transformation Description Représentation graphique

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

B

C

D B'

Réflexion par rapportà l’axe des abscisses

1 00 –1

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

BD

C

C'

A'

D'B'Retrait de 12 unités

en abscisse et ajoutde 8 unités en ordonnée

1 0 0 1 –12 8

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

B

C

D

C'

Homothétie centrée àl’origine de rapport –0,5

–0,5 0 0 –0,5

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

B

C

D

C'

A'

D' B'

Rotation centrée à l’originede 90° dans le sens horaire

cos –90° sin –90° –sin –90° cos –90°



17. a) A � B � b) 0,4A �

c) Pour réaliser le profit escompté sur chaque article, tous les éléments de la matrice résultante de (A � B) � 0,4Adevraient être supérieurs ou égaux à 0, or :

(A � B) � 0,4A � � �

Puisque deux éléments de la matrice résultante sont inférieurs à 0, le prix de vente actuel ne permet pas de réaliserle profit escompté sur chaque article.

18. a) b) c)

Chronique du passé

1. Dans la figure , on sait que m � 29,6 cm, m � 10,4 cm,m � m � m et m � m � 2a.On en déduit que m � 10,4 � 29,6 � 40 cm, m � m � 40 cmet 2a � 40 cm. On peut faire la représentation graphique ci-contre.On peut en déduire que le plus petit axe mesure 24 cm,car 202 � b2 � (20 � 4)2 ⇒ b � 12 cm.Donc, la longueur du plus grand axe est de 40 cm et celle du plus petit axe est de 24 cm.

2. Dans la figure , on sait que m � 32,8 cm, m � 8,8 cm,m � m � m et m � m � 2a.On en déduit que m � 32,8 � 8,8 � 24 cm, m � m � 24 cmet 2a � 24 cm. On peut faire la représentation graphique ci-contre.On peut en déduire que la distance entre les deux foyers de l’hyperbole est de 26 cm.

3. Comme la parabole est une courbe dont tous les points sontsitués à égale distance d’une droite fixe, appelée « directrice »,et d’un point fixe, appelé « foyer », il est possible de fairela représentation graphique ci-contre.

y

x

80

60

40

20

–20

–20–40–60–80 20 40 60 800

P

G K

F

87 cm

87 cm

60 cm

y

xA B

F1 F224 cm

1 cm 1 cm

0

PF1PF2CDPF1PF2CDPF1PF2

PCPD2

PF2PF1CDPF2PF1CDPF2PF1

PCPD1

Page 321


2 –5 –3 4 –5 0 1 –2 0 1 –1 –5 5 –2 –3

2 –3 5 4 0 5 1 0 2 1 –5 1 5 –3 2

8 20 12 16 20 0 4 8 0 4 4 20 20 8 12

3,20 4,80 –0,40–2,80 4,80 4,60

16,80 23,20 6,4010,80 33,20 30,40

20 28 68 38 35

16,80 23,20 6,4010,80 33,20 30,40

20 28 68 38 35

Page 319

114

y

xA B

P

F1 F2

20 cm 20 cm

4 cm 4 cm

0


La relation de Pythagore permet d’établir que d(A, P) � � 63 cm.La distance entre la directrice et le foyer estde 87 cm � 63 cm � 24 cm. La distance entre le foyeret le sommet de la parabole est donc de 24 cm � 2 � 12 cm.

Le monde du travail

1. a) L’équation associée à cette ellipse est � � 1, et on a :

� � 1

� 0,64

a2 � 36De plus, puisque b2 � a2 � c2, on a c � � 4,5.Les coordonnées des sommets sont donc (–6, 0), (0, 7,5), (6, 0) et (0, –7,5),et les coordonnées des foyers sont (0, –4,5) et (0, 4,5).

b) L’équation de l’ellipse est � � 1.

2. Il est possible de déterminer la mesure du rayon associée à l’orthèse B : 4,22 � 5,62 � r2 ⇒ r � 7Il est donc possible de déduire les renseignements suivants concernant la parabole.

3. Il est possible de représenter cette situation dans un plan cartésien et de déduire les renseignements ci-dessous.

L’équation associée à cette hyperbole est � � 1, et on a :

� � 1

� –0,5625

b2 � 400L’équation de l’hyperbole est donc � � 1.On cherche la valeur de x lorsque y � 4,5.

� � 1

x 2 � 4,2025x � ±2,05

La distance qui sépare les points A et B est de 4,1 cm. La prothèse estdonc adéquate puisque la distance entre les points A et B est inférieure à 4,2 cm.

4,52

400x 2

4

y 2

400x 2

4

(–15)2

b2

(–15)2

b22,52

22

y

x

10

5

–5

–10

–15

–20

–5–10–15 5 10 150

(2,6, –15)

(x, 4,5)

(2, 0)

y 2

b2x 2

a2

y

x

(3,5, 2)

(7, 0)2 cm

0

Comme l’équation associée à cette parabole est(x � h)2 � 4c(y � k), on a :(7 � 3,5)2 � 4c(0 – 2)

12,25 � –8cc � –1,53

Les coordonnées du foyer sont (3,5, � 0,47).

y 2

56,25x 2

36

�7,52 � 36

4,82

a2

(–4,5)2

7,524,82

a2

y

x

(0, –7,5)

(4,8, –4,5)

(0, 7,5)

0

y 2

b2x 2

a2

Page 323

y

x

80

60

40

20

–20

–20–40–60–80 20 40 60 800

P

G K

AF

87 cm87 cm

60 cm

�872 � 602


Vue d’ensemble

1. a) 1) sy : (x, y ) � (–x, y ) 2)

b) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 2)r(O, 90°) : (x, y ) � (–y, x )

c) 1) t(–9, –9) : (x, y) � (x � 9, y � 9) 2)

d) 1) sx : (x, y ) � (x, –y ) 2)

e) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : 2)r(O, 180°) : (x, y ) � (–x, –y )

f ) 1) h�O, – � : (x, y ) � �– x, – y� 2)

2. a) 1) Une ellipse.2) i ) (0, 0) ii ) (–13, 0), (0, 85), (13, 0) et (0, –85).

iii ) (0, 84) et (0, –84). iv) Ne s’applique pas.b) 1) Une parabole.

2) i ) Ne s’applique pas. ii ) (6, 3)iii ) (6, 0) iv) Ne s’applique pas.

c) 1) Une parabole.2) i ) Ne s’applique pas. ii ) (0, –12)

iii ) (1,5, –12) iv) Ne s’applique pas.d) 1) Une hyperbole.

2) i ) (0, 0) ii ) (–10,5, 0) et (10,5, 0).iii ) (14,5, 0) et (–14,5, 0). iv) y � x et y � – x.

e) 1) Une ellipse.2) i ) (–5, –9) ii ) (–44, –9), (–5, 6), (34, –9) et (–5, –24).

iii ) (–41, –9) et (31, –9). iv) Ne s’applique pas.f ) 1) Une hyperbole.

2) i ) (15, –20) ii ) (15, –29) et (15, –11).iii ) (15, –61) et (15, 21). iv) y � (x � 15) � 20 et y � – (x � 15) � 20.

3. a) � � 1 b) (x � 40)2 � (y � 20)2 � 3721 c) (x � 3)2 � –20(y � 3)

d) � � 1 e) � � 1 f ) � � –1

g) (x � 3)2 � 0,5(y � 6)


4. a) (x � 14)2 � 20(y � 18) b) � � 1 c) � � 1

d) (x � 7)2 � (y � 4)2 � 1225 e) � � 1 f ) (y � 3)2 � –2(x � 4)

g) � � –1 h) (x � 5)2 � (y � 4)2 � 169(y � 12)2

196(x � 5)2

2304

(y � 4)2

36(x � 6)2

64

(y � 30)2

2025(x � 10)2

2809(y � 8)2

441(x � 12)2

841

Page 325

(y � 15)2

2025(x � 25)2

784(y � 15)2

1241(x � 30)2

400(y � 15)2

506,25(x � 20)2

196

(y � 4)2

9(x � 3)2

64

940

940

2021

2021

–1

�3 0

0 –1�3

13

13

13

cos 180° sin 180°–sin 180° cos 180°

1 00 –1

1 0 0 1 –9 –9

cos 90° sin 90°–sin 90° cos 90°

–1 00 1

Page 324

116



5. a) 1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

b) 1) Oui. Voir les résultats en a) 1) et 2). 2) Non. Voir les résultats en a) 3) et 4).3) Non. Voir les résultats en a) 7) et 8). 4) Oui. Voir les résultats en a) 5) et 6), et en a) 9) et 10).

6. a) 1) Plusieurs réponses possibles. b) 1) h�O, � : (x, y ) � � x, y� c) 1) sx : (x, y ) � (x, –y )Exemple : r(O, –90°) : (x, y ) � (y, –x )

2) 2) 2)

d) 1) h(O, –3) : (x, y ) � (–3x, –3y ) e) 1) t(–3, –6) : (x, y ) � (x � 3, y � 6) f ) 1) Plusieurs réponses possibles. Exemple : r(O, 90°) : (x, y ) � (–y, x )

2) 2) 2)

7. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Une rotation centrée à l’origine de 180°.b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Une rotation centrée à l’origine de 360°.c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Une rotation centrée à l’origine de –270°.


8. a) b) c)

d) e) y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

BC

D E

F

C'A'

D'B'

E'F'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

BC

D E

F

C'

A'

D'

B'

E'

F'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

BC

D E

F

C'A'

D'B'

E'F'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

BC

D E

F

C'A'

D'B'

E'

F'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

BC

D E

FC'

A'

D'

B'

E'

F'

Page 327

cos 90° sin 90°–sin 90° cos 90°

1 0 0 1 –3 –6

–3 00 –3

1 00 –1

1�2 0

0 1�2

cos –90° sin –90°–sin –90° cos –90°

12

12

12

–8 –6 144 –12 4

–8 –6 144 –12 4

128 58 –135 –20 8 48 –56 –66 –5

128 58 –135 –20 8 48 –56 –66 –5

19 62 –88 20 –32 40 –63 26 –24

–101 7223 64

14 4671 128

14 4671 128

–6 13 –12–2 0 –1

6 –13 122 0 1

4 –1 –416 4 –7

4 –1 –416 4 –7

Page 326


9. a) b) c)

d) e) f )


10. a) 1) Une ellipse. 2) � � 1 b) 1) Une parabole. 2) (y � 10)2 � 24(x � 2)

c) 1) Un cercle. 2) (x � 15)2 � (y � 7)2 � 324 d) 1) Une hyperbole. 2) � � 1

11.

12. a) Une ellipse. Le schéma ci-contre représente une infinité de pliures.b) Le grand axe mesure 5 cm et le petit axe mesure 3 cm.

La distance entre les deux foyers est de 4 cm.

O A

(y � 15)2

225(x � 5)2

64

(y � 19)2

676(x � 7)2

576

Page 328

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

B CC'

A' D'

D

B'

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160A

C

B

B'

A'

C'

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160

A

BC C'

A'

B'

DD'

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160

A

BC

C'A'

B'

y

x

16

8

–8

–16

–8–16 8 160

AB

C

C'

A'

B'

y

x

8

4

–4

–8

–4–8 4 80

A

B

C

C'

A'

B'

118

Équation du Coordonnées du Coordonnées dulieu géométrique ou des sommets ou des foyers

(x � 15)2 � 7(y � 8) (–15, 8) (–15, 9,75)(20, 46) (20, 55)

� � –1 (20, –66) (20, –75)(35, –12)(–35, –12) (0, 0)

� � 1 (0, 25) (0, –24)(0, –49)(0, 0) (0,5, 0)

� � 1 (–60, 0) (–60,5, 0)y 2 � –0,2(x � 0,1) (–0,1, 0) (–0,15, 0)

y 2

30,25(x � 30)2

900

(y � 12)2

1369x 2

1225

(y � 10)2

3136(x � 20)2

1089



13. a) � � 1 b) (y � 8)2 � 8(x � 3) c) � � –1

d) (x � 18)2 � (y � 12)2 � 64 e) � � 1 f ) (x � 5)2 � –12(y � 3)

14. a) b)B � C � A �

15. À l’aide de la représentation graphique, il est possible de déduire que :• c � –5 ;• l’ordonnée du sommet est 25 ;• la courbe passe par le point (40, 20).On obtient donc (40 � h)2 � 4 � –5 � (20 � 25) ⇒ h � 30.L’équation associée au filet est donc (x � 30)2 � –20(y � 25).


16. Il s’agit d’une homothétie centrée à l’origine et de rapport 4. La matrice de transformation est donc .

17. Il est possible d’obtenir la représentation graphique ci-dessous.

a) 1) L’ellipse dont les coordonnées des foyers sont (–5,4, 0) et (5,4, 0) passe par le sommet dont les coordonnéessont (5,6, 0). La valeur du paramètre a est 5,6 et à l’aide de la relation a2 � b2 � c2, il est possible de déduire que

b2 � 2,2. L’équation de l’ellipse qui passe par le point C est donc � � 1.

2) L’ellipse dont les coordonnées des foyers sont (–5, 0) et (5, 0) passe par le sommet dont les coordonnéessont (5,6, 0). La valeur du paramètre a est 5,6 et à l’aide de la relation a2 � b2 � c2, il est possible de déduire que

b2 � 6,36. L’équation de l’ellipse qui passe par le point D est donc � � 1.

b) Il s’agit des sommets de chacune des deux ellipses déterminées en a). Les coordonnées du point C sont donc(0, � 1,48) et celles du point D, (0, � 2,52). La distance entre les points C et D est de 1,48 � 2,52 � 4 m.


18. a) 1) Excentricité � � � 0,8.

2) Les coordonnées du sommet S de l’ellipse sont (x, 0). Comme l’excentricité est de 0,8, on a :� 0,8

–4 – x � 0,8x � 5–1,8x � 9

x � –5Les coordonnées du sommet S de l’ellipse sont (–5, 0).

b) La valeur du rapport est 0,8. Elle correspond à l’excentricité de cette ellipse.c) Les coordonnées d’un des sommets sont (0, 25) et celles d’un des foyers sont (0, 7). Donc, l’excentricité de cette

ellipse est : � � 0,28725

distance de l’origine au foyerdistance de l’origine au sommet S

–4 � xx � 6,25

2,63,25

m FA�m AB�

Page 331

y 2

6,36x 2

31,36

y 2

2,2x 2

31,36

y

x

D

C

A(–5,4, 0) B(5,4, 0)

Centre (5, 0)Centre (–5, 0)(5,6, 0)

0

(–5,6, 0)

4 00 4

Page 330

66 50 40 44 64 36 30 54 74

23

18 19 22 9 15 4 26 16 22

(y � 5)2

144(x � 5)2

1225

(y � 16)2

256(x � 12)2

144(y � 4)2

9(x � 6)2

25

Page 329


19. a) 1) D’après la symétrie de la parabole, on peut déduire que les coordonnées du sommet sont (4, –2).L’équation de cette parabole est de la forme (x � h)2 � 4c(y � k). En substituant les données connues à certainesdes variables, on détermine la valeur du paramètre c :(2 � 4)2 � 4c(6 � 2)

c � 0,125L’équation de la parabole associée à la trajectoire de l’oiseau est (x � 4)2 � 0,5(y � 2).

2) La droite associée à la trajectoire du poisson passe par le foyer dont les coordonnées sont (4, –2 � 0,125),soit (4, –1,875).On en déduit que son équation est y � –0,4375x � 0,125.

b) On doit résoudre le système d’équations suivant.(x � 4)2 � 0,5(y � 2)y � –0,4375x � 0,125De ce système, on obtient :(x � 4)2 � 0,5(–0,4375x � 0,125 � 2)x 2 � 7,78125x � 15,0625 � 0 ⇒ x1 � 3,62 et x2 � 4,16.Donc, y1 � –0,4375 � 3,62 � 0,125 � –1,71 et y2 � –0,4375 � 4,16 � 0,125 � –1,95.Les coordonnées des points où l’oiseau pourrait capturer le poisson sont (� 3,62, � –1,71) et (� 4,16, � –1,95).


20. a) b)

c) d) y

x10

1

y

x0 1

1

y

x10

1

y

x0,50

0,5

Page 332

120


21. Le schéma suivant représente la situation.La courbe passe par les points (3,5, 0) et (2,5, 1,4), on a donc :

� � 1

�

On en déduit que b � 2.La hauteur maximale de ce passage est de 2 � 1,4 � 3,4.


22. a) 1)

B � � �

2) Aux coordonnées des sommets images de la figure ABCDE.3)

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Une translation suivie d’une rotation suivie d’une réflexion suivie d’une homothétie.c) Une composition de transformations peut être définie à l’aide d’une seule matrice de transformation.

23. a) L’équation associée à l’hyperbole est � � 1, car l’équation d’une des asymptotes est y = 5x et que les coordonnées d’un des sommets sont (5, 0).

b) Déterminer les valeurs de y lorsque x vaut 10,3 et 13,55.

� � 1

� 3,24

y � 45,02et

� � 1

� 6,34y � 62,97

La hauteur de la tour est de 45,02 � 62,97 � 107,99 m.

y 2

625

y 2

62513,552

25

y 2

625

y 2

62510,32

25

y 2

625x 2

25

0 2–2–4–6–8–10 4 6 8 10

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

y

x

A

C'

C

A'E

D'

DE'

B

B'

–3 2 –6 –1 –3 –7 0 –7 0 2

1,5 cos 90° –1,5 sin 90° –1,5 sin 90° 1,5 cos 90° 3 5

2 4 1 4 6 1 8 4 1 8 2 1 2 2 1

Page 333

2449

1,96b2

1,42

b22,52

3,52

y

x10

1

(2,5, –1,4)

(2,5, 1,4)

(3,5, 0)



1. L’équation d’une ellipse translatée est � � 1.

Selon le raisonnement de l’élève aux cheveux blonds, on substitue k à la variable h et –h à la variable k, ensuiteon intervertit les paramètres a et b :

� � 1

Les coordonnées du centre de l’ellipse initiale sont (h, k) et les coordonnées des sommets sont (–a � h, k), (h, –b � k),(a � h, k) et (h, b � k).Par une rotation de –90°, les coordonnées du centre de l’ellipse image sont (k, –h) et les coordonnées de ses sommets sont(k, a � h), (–b � k, –h), (k, –a � h) et (b � k, –h), ce qui correspond à l’équation de l’ellipse image suggérée par l’élèveaux cheveux blonds.Cet élève a donc raison.

2. Le lieu géométrique est une ellipse comme celle illustrée ci-contre.Le plus grand axe mesure 15 cm et le plus petit axe, 9 cm.


3. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Voici la représentation graphique de cette situation.

Le diamètre du plus grand disque qu’il est possible de tailler est de 10 cm, donc son rayon mesure 5 cm.L’équation associée au pourtour de ce disque est donc x 2 � y 2 � 25.L’hyperbole passe par les points (0, 4) et (0, –4), et les coordonnées des foyers sont (0, 5) et (0, –5).Par la relation a2 � b2 � c2, il est possible de déduire que a2 � 42 � 52 ⇒ a2 � 9. L’équation associée à cette

hyperbole est donc � � –1.

La parabole passe par le point (0, –4) et l’équation de sa directrice est y � –5. On en déduit que h � 0, k � –4 et c � 1.L’équation de la parabole est donc x 2 � 4(y � 4). Les coordonnées du foyer de cette parabole sont (0, –3).L’ellipse passe par les points (0, 4) et (0, –4), et les coordonnées de son foyer sont (0, –3). Par la relation b2 � a2 � c2,

il est possible de déduire que 42 � a2 � 32 ⇒ a2 � 7. L’équation de l’ellipse est donc � � 1.y 2

16x 2

7

y 2

16x 2

9

y

x

1

10

(5, 5)

Page 335

A

B

D

C

P d

y

x0

(y � h)2

a2(x � k)2

b2

(y � k)2

b2(x � h)2

a2

Page 334

122


4. L’aphélie et le périhélie sont illustrés ci-contre.La longueur du plus grand axe correspond à la somme de l’aphélie et du périhélie. La distance du foyer au centre de l’ellipse correspond à la moitié du plus grand axe diminuée du périhélie. L’excentricité correspond

à .

Le tableau ci-dessous présente les données nécessaires au calcul de l’excentricité de chaque planète.

Le planétologue a tort, puisque c’est Mercure qui a la plus grande excentricité.


5. Il est possible de représenter cette situation dans le plan cartésien suivant.L’équation du cercle qui supporte le demi-cercle de gauche est x 2 � (y � 5)2 � 52. On cherche la valeur de x lorsque y � 7,5.x 2 � (7,5 � 5)2 � 52

x 2 � 18,75x � ±��18,75.

Pour établir l’équation de l’hyperbole, il est possible de déduire que b � 0,5 et a � 0,5, car � 1.De plus, k � 5 et la courbe passe par le point (��18,75, 7,5).Il est possible d’établir l’équation de l’hyperbole en substituant les valeurs

obtenues dans l’équation � � –1.

� � –1

� 24

(��18,75 � h)2 � 6

��18,75 � h � ±��6h1 � ��18,75 � ��6 et h2 � ��18,75 � ��6 (à rejeter, car cela correspond à l’abscisse d’un point à l’intérieur du premier disque).L’équation de l’hyperbole est donc � � –1.

D’après la symétrie de la situation, on déduit que la longueur du diabolo correspond au double de l’abscisse du centre de l’hyperbole. On a : 2 � (��18,75 � ��6 ) � 13,38 cmCe diabolo convient donc à un jongleur débutant puisque sa longueur totale se situe entre 12 et 14 cm.

(y � 5)2

0,52

(x � (��18,75 � ��6 ))2

0,52

(��18,75 � h)2

0,25

(7,5 � 5)2

0,52(��18,75 � h)2

0,52

(y � k)2

b2(x � h)2

a2

ba

y

x

10

8

6

4

2

1084 62 12 140

(x, 7,5)

(x, 5,5)

Page 336

distance du foyer au centre de l’ellipselongueur du demi-grand axe

Périhélie Aphélie

Orbite d’une planète

Soleil

Aphélie Périhélie Longueur Longueur DistancePlanète (millions de (millions de du plus du demi- du foyer Excentricité

kilomètres) kilomètres) grand axe grand axe au centreMercure 70 46 116 58 12 � 0,21

Vénus 109 107 216 108 1 � 0,009

Terre 152 147 299 149,5 2,5 � 0,017

Mars 249 207 456 228 21 � 0,092

Jupiter 817 741 1558 779 38 � 0,049

Saturne 1504 1349 2853 1426,5 77,5 � 0,054

Uranus 3004 2749 5753 2876,5 127,5 � 0,044

Neptune 4540 4460 9000 4500 40 � 0,009


6. Voici un dessin tracé à l’aide de la démarche indiquée :Il est possible de tracer une hyperbole dont la distance entre les sommets est de 3 cm. La distance entre chaque foyer de l’hyperbole est de 5 cm.


7. En procédant par élimination et par déduction, il est possible de déduire que la transformation géométrique est une homothétie centrée à l’origine de rapport –0,5. Le tableau ci-contre fournit les coordonnées de chaque point initial et de chaque point image recherchés.

8. Voici une représentation de la construction décrite : Le lieu géométrique est une parabole comme il est montré ci-dessous.

9. • Analyse de la trajectoire orange.D’après la représentation graphique de la situation ci-contre,l’équation de la trajectoire est (x � 60)2 � –200(y � 33).On détermine les coordonnées du projectile à x � 130 et à x � 170.(130 � 60)2 � –200(y � 33)

4900 � –200(y � 33)y � 8,5 m

Le projectile ne peut pas atteindre le château avec cette catapulte.Il percutera la falaise, au-dessous du mur du château.

y

x

50

40

30

20

10

250200100 150500

Sommet : (60, 33)

(170, 10)(130, 10)

Niveau de l’eau

ChâteauCatapulte : (0, 15)

d3d2

d1

P

A

BP

d3 d2

d1

Page 337

A

E F

B C D

124

Point initial Point imageA(4, 16) A'(–2, –8)

B(6, 0) B'(–3, 0)C(8, 6) C'(–4, –3)

D(–12, 16) D'(6, –8)

E(–16, 12) E'(8, –6)


• Analyse de la trajectoire verte.D’après la représentation graphique de la situation ci-contre,l’équation de la trajectoire est (x � 75)2 � –281,25(y � 35).On détermine les coordonnées du projectile à x � 130 et à x � 170.(130 � 75)2 � –281,25(y � 35)

3025 � –281,25(y � 35)y � 24,24 m

et(170 � 75)2 � –281,25(y � 35)

9025 � –281,25(y � 35)y � 2,91 m

Le projectile peut atteindre le château avec cette catapulte.

• Analyse de la trajectoire rose.D’après la représentation graphique de la situation ci-contre,l’équation de la trajectoire est (x � 90)2 � –324(y � 40).On détermine les coordonnées du projectile à x � 130 et à x � 170.(130 � 90)2 � –324(y � 40)

1600 � –324(y � 40)y � 35,06 m

et(170 � 90)2 � –324(y � 40)

6400 � –324(y � 40)y � 20,25 m

Le projectile ne peut pas atteindre le château avec cette catapulte.Il tombera derrière le château sans le percuter.

Seule la trajectoire verte permet au projectile d’atteindre le château.

y

x

50

40

30

20

10

250200100 150500

Sommet : (90, 40)

(170, 10)(130, 10)

Niveau de l’eau


y

x

50

40

30

20

10

250200100 150500

Sommet : (75, 35)

(170, 10)(130, 10)

Niveau de l’eau


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Corrigé Vision: manuel 2...3) La tangente de cet angle aigu. b. 1) 2,5 tan1 143,22 cm 2) 2,5 tan5 28,58 cm c. 1) 2arctan 5,72 2) 2arctan 0,09 d. 1) Les pixels sont indiscernables