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Correction Physique 11 Condensateur. Dipôle RC 11.1 Charge et décharge d’un condensateur 1. Le condensateur se charge en position (1) et se décharge en position (2). 2. Conventions : R C i q u R u AB = u C E E = u R + u AB 1 u R = Ri u AB = q C i = dq dt = C du AB dt E = RC du AB dt + u AB du AB dt + 1 RC u AB = E RC 3.On remplace la solution proposée dans l’équa. diff. : K(α)e αt + 1 RC K 1 e αt = E RC On regroupe les termes dépendants du temps : Kα K RC e αt = E RC K RC 2 Relation correcte t si ses deux membres sont nuls : Kα K RC =0 E RC K RC =0 α = 1 RC K = E En remplaçant ces constantes dans la solution : u AB (t)= E 1 e t RC 4.a. Par définition : τ = RC 4.c. Deux méthodes : • En traçant la tangente à l’origine ; • En lisant le temps pour . 0, 63E 3 ! " u AB (τ )= E 1 e τ τ = E 1 1 e 0, 63 · E Justification pour la méthode 2 : pour , t = τ 4.d. Pour , t =5τ u AB (5τ )= E 1 e 5τ τ = E 1 1 e 5 0, 99 · E i. e., le condensateur est pratiquement chargé pour t =5τ 5.a. Décharge du condensateur 4 0= u R + u AB 0= RC du AB dt + u AB du AB dt + 1 RC u AB =0 Équa. diff. : Sol. générale : u AB (t)= Ke αt On remplace dans l’équa. diff. : K(α)e αt + 1 RC Ke αt =0 α = 1 RC Condition initiale : à , t =0 u AB (0) = E = K u AB (t)= Ee t RC 5 5.b. • En traçant la tangente à l’origine ; • En lisant le temps pour . Deux méthodes : 0, 37E ! " 11.3 24 p. 143 : Équation différentielle en charge 1. E = Ri + u i = dq dt u = q C E = R dq dt + q C dq dt + q RC = E R 6 2. Valeur limite 0+ q lim RC = E R dq dt =0 q lim = CE A. N. : q lim = 125 · 10 9 × 9, 00 = 1, 13 · 10 6 C 3. q(t)= Ae t τ + B dq dt = A τ e t τ On remplace dans l’équa. diff. : A τ e t τ + A RC e t τ + B RC = E R A τ + A RC e t τ = E R B RC τ = RC et B = CE 7 Condition initiale q(0) = Ae 0 RC + CE = A + CE =0 A = CE q(t)= CE 1 e t RC q(t)= q lim 1 e t RC 4. i = dq dt = CE RC e t RC i(t)= E R e t RC u = q C u(t)= E 1 e t RC 8 11.5 17 p. 142 : Charge à courant constant i C q = Cu i = q t car q(t = 0) = 0 i = Cu t i = 125 · 10 9 × 2, 45 7, 26 · 10 3 = 42, 2 · 10 6 A = 42, 6 μA 11.7 23 p. 143 : Étude d’une courbe Corrigé intégralement dans votre livre, page 359. 9

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Correction Physique 11Condensateur. Dipôle RC

11.1 Charge et décharge d’un condensateur

1. Le condensateur se charge en position (1) et se décharge en position (2).

2. Conventions :

R

Ci

q

uR uAB = uC

E

E = uR + uAB

1

uR = Ri uAB =q

Ci =

dq

dt= C

duAB

dt

⇒ E = RCduAB

dt+ uAB

⇔ duAB

dt+

1RC

uAB =E

RC

3.On remplace la solution proposée dans l’équa. diff. :

−K(−α)e−αt +1

RCK

�1− e−αt

�=

E

RCOn regroupe les termes dépendants du temps :�

Kα− K

RC

�e−αt =

E

RC− K

RC

2

Relation correcte ∀t si ses deux membres sont nuls :

Kα− K

RC= 0

E

RC− K

RC= 0

α =1

RC

K = E

En remplaçant ces constantes dans la solution :

⇒ uAB(t) = E�1− e−

tRC

4.a. Par définition :τ = RC

4.c. Deux méthodes : • En traçant la tangente à l’origine ;• En lisant le temps pour .0, 63E

3

! "

uAB(τ) = E�1− e−

ττ�

= E

�1− 1

e

�� 0, 63 · E

Justification pour la méthode 2 : pour ,t = τ

4.d. Pour ,t = 5τ

uAB(5τ) = E�1− e−

5ττ

�= E

�1− 1

e5

�� 0, 99 · E

i. e., le condensateur est pratiquement chargé pour t = 5τ

5.a. Décharge du condensateur

4

0 = uR + uAB

0 = RCduAB

dt+ uAB

duAB

dt+

1RC

uAB = 0

Équa. diff. :

Sol. générale : uAB(t) = Ke−αt

On remplace dans l’équa. diff. :

K(−α)e−αt +1

RCKe−αt = 0

α =1

RC⇒

Condition initiale : à ,t = 0 uAB(0) = E = K

⇒ uAB(t) = Ee−t

RC

5

5.b. • En traçant la tangente à l’origine ;• En lisant le temps pour .

Deux méthodes :0, 37E

! "

11.3N° 24 p. 143 : Équation différentielle en charge

1. E = Ri + u i =dq

dtu =

q

C

⇒ E = Rdq

dt+

q

C

dq

dt+

q

RC=

E

R⇔

6

2. Valeur limite ⇔

0 +qlim

RC=

E

R⇒

dq

dt= 0

⇔ qlim = CE

A. N. : qlim = 125·10−9 × 9, 00 = 1, 13·10−6 C

3. q(t) = Ae−tτ + B ⇒ dq

dt= −A

τe−

On remplace dans l’équa. diff. :

−A

τe−

tτ +

A

RCe−

tτ +

B

RC=

E

R�−A

τ+

A

RC

�e−

tτ =

E

R− B

RC

⇒ τ = RC et B = CE

7

Condition initiale q(0) = Ae−0

RC + CE = A + CE = 0

⇒ A = −CE

⇒ q(t) = CE�1− e−

tRC

q(t) = qlim

�1− e−

tRC

�⇔

4. i =dq

dt=

CE

RCe−

tRC

i(t) =E

Re−

tRC

u =q

C

u(t) = E�1− e−

tRC

8

11.5 N° 17 p. 142 : Charge à courant constanti

C

q = Cu

i =q

∆tcar q(t = 0) = 0

i =Cu

∆t⇒

i =125·10−9 × 2, 45

7, 26·10−3= 42, 2·10−6 A = 42, 6 µA

11.7 N° 23 p. 143 : Étude d’une courbeCorrigé intégralement dans votre livre, page 359.

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