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L2 anne acadmique 2008/2009

Corrig devoir de statistiques du vendredi 19 Dcembre 2008

Exercice1

Dterminons l'intervalle de conance 95% de la moyenne de la pluie an-

nuelle Ouagadougou.

Soit X la variable alatoire prenant pour valeur les pluies annuelles en mm de

1929 1977.

X =49

i=1Xi49 , X =

4226549 = 862, 55.Soit la moyenne des pluies annuelles.

S2 = 1n1n

i=1(Xi X)2 = 14849

i=1(Xi X)2.P ( [X X,X +X]) = 95% P (X X X) = 95%, c'est dire P ( X

S/49 X

S/49 X

S/49) = 0, 95 (1)

Posons k = XS/49 ; dsignons par la fonction de rpartition de la variablealatoire normale centre rduite N(0, 1).L'cart type n'est pas connu et 49 > 30 d'o X

S/49 N(0, 1).(1) devient : P (k N(0, 1) k) = 0, 95 (k) (k) = 0, 95 (k) (1 (k)) = 0, 95 (k) = 1,952 = 0, 975 k = 1, 96.

X = kS49. D'aprs les donnes nous avons la valeur de la variance sur

l'chantillon ou variance empirique S = 1nn

i=1(Xi X)2.S2 = nn1S

2

S2 = 17431, 1045. D'o S2 = 4948 17431, 1045 = 17794, 2525.D'o S ' 133 mm et X = 1,96133

49= 37, 24.

Une ralisation de l'intervalle de conance est

[862, 55 37, 24; 862, 55 + 37, 24] = [825, 31; 899, 79].

Exercice2

Soit le temps moyen. Soit X la variable alatoire prenant pour valeur les

temps de raction.

Cherchons n tel que [P ( [X X,X +X]) = 95% et X 0, 01] (2)(2) [P (X

S/n X

S/n X

S/n) = 0, 95 et X 0, 01.]Posons k = XS/n ; dsignons par la fonction de rpartition de la variablealatoire normale centre rduite N(0, 1). Il vient que :

1

[(k) = 1,952 = 0, 975 etSk

n 0, 01], et donc que

[k = 1, 96 et n (Sk0,01 )2].Application Numrique : n ( 0,051,960,01 )2, c'est--dire n 96, 04.On peut donc prendre n = 97 (c'est la plus petite valeur de n rpondant laquestion).

Exercice3

Soit X la variable alatoire prenant pour valeur le nombre de personnes

ayant vot pour le candidat (parmi les 200 personnes).

X est une variable alatoire binomiale de paramtre n = 200, p = 0, 46.[np = 2000, 46 = 92 > 50 et np(1p) = 2000, 460, 54 = 49, 98 > 10] ;d'o X peut tre approche par la loi normale N(np,

np(1 p)), c'est--dire

X N(92, 7).La probabilit qu'un groupe de 200 personnes lui ait donn la majorit est gale

P (X > 100).P (X > 100) = P (X927 >

100927 ) ' P (N(0, 1) > 1, 14)

P (X > 100) ' 1 (1, 14) o est la fonction de rpartition de la N(0, 1) etdonc

P (X > 100) ' 1 0, 8729 ' 0, 1271P (X > 100) ' 12, 7%.

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