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Couche Limite HB

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l'influence de la rétrofluence

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  • 1

    Influence de la rhofluidification dans le problme de couche limite viscoplastique

    Objectif du travail

    Piau (2001) a tabli la base thorique du problme de couche limite viscoplastique lorsque le niveau des contraintes est proche du plateau plastique (coulement trs faibles vitesses). Lauteur considre le modle dcoulement de Bingham et montre ainsi linfluence dun nombre adimensionnel primordial, qui est le nombre dOldroyd : rapport des forces plastiques et forces visqueux. Mais comme les fluides viscoplastiques rels sont souvent rhofluidifiants, il est aussi intressant dexaminer, dans le problme considr, les effets de ce comportement rhologique. Dans ce but, nous prsenterons dans ce travail le comportement du fluide en coulement par le modle dHerschel-Bulkley avec un paramtre en plus par rapport au modle de Bingham qui est lindice de rhofluidification n. Avec ce modle et la base thorique de Piau, nous traitons le problme et nous dgagerons la fois linfluence du nombre dOldroyd et de lindice n. Dans ce rapport, nous prsenterons que ltude thorique. La comparaison avec lexprience fera lobjet du rapport qui suivra. 2 Etude thorique

    2.1 Modle de fluide adopt

    Nous considrons les quations rhologiques donnes par le modle dHerschel-Bulkley, complt par le modle dlasticit linaire de Hooke. Ainsi, en supposons que le mouvement est isothermique et que le fluide est isochore, le comportement mcanique peut tre reprsent, comme suit : [ 1] T1 += p ( 1 ) Avec ( )

    >=

    2II

    2II

    T-si

    T-si42

    s

    sDT II

    D

    o [ 2] ( ) ( )

    +=+

    = 1et444

    1 EDKD

    sDn

    IIII

    II ( 2 )

    Comme le fluide est suppos isochore ( 2/1= ), on a de plus : 0trtr == )()( D Le critre de plasticit utilis dans le modle est celui de Von Mises. est le champ du tenseur des contraintes de Cauchy et T tant le dviateur du tenseur de contrainte. D , et 1 sont respectivement le tenseur des taux de dformation, le tenseur de dformation linaire et la matrice unitaire. Les deux scalaires )(tr)2/1( 2T=IIT et )(tr)2/1( 2D=IID sont les deuximes invariants de T et D , respectivement et la fonction scalaire ( )IID4 tant la viscosit absolue. Cette dernire est dfinie avec trois paramtres rhologiques : le seuil de contrainte s , la consistance du fluide K et lindice de rhofluidification n. Enfin, les trois scalaires E, et p sont respectivement le module dlasticit de Young, le coefficient de Poisson et la pression.

  • 2

    2.2 Position du problme et quations simplifies du mouvement

    Nous nous proposons dtudier le mouvement dun fluide viscoplastique incompressible dans un domaine indfini, et dans lequel une plaque infiniment fine est maintenue fixe et le fluide scoulant autour delle dun mouvement permanent, le mouvement du fluide linfini est un courant uniforme de vitesse 0U parallle laxe Ox (figure 1). On obtient un problme quivalent si on considre que la plaque effectue une translation rectiligne et uniforme de vitesse 0U dans un fluide viscoplastique au repos linfini ; cest sous la premire forme que nous prsenterons notre tude. Nous supposons que le fluide ne glisse pas au contact avec les parois, mais au contraire il adhre. Le systme daxe utilis est reprsent sur la figure (1). Lorigine O est prie le bord dattaque de lobjet. Nous supposons que la largeur de la plaque b est assez importante pour pouvoir simplifier le problme et ltudier en formulation 2D des quations du mouvement. Nous supposons galement quaucune force extrieure nagit sur le fluide et que ce dernier obit au modle rhologique prsent prcdemment. Dautre part, la symtrie de la gomtrie par rapport au plan xz entrane aussi la symtrie de lcoulement par rapport ce plan. Ainsi, nous pouvons se limiter tudier le problme dans un demi-plan et de dduire lautre en respectant la symtrie. Compte tenu de la formulation mathmatique de la loi de comportement du fluide, nous pouvons considrer lexistence dans la partie centrale de la plaque de deux rgions (rgion interne et rgion externe) spares par une surface seuil. Cette dernire obit au critre de plasticit de Von Mises, cest--dire le long de la surface seuil on a sTII = .

    Figure 1 : Dfinitions et systme daxe utilis

    La rgion interne est situe au voisinage immdiat de la paroi. Ici, les contraintes lintrieur de lcoulement dpasse la valeur du seuil ( 2sTII > selon le critre adopt) et par consquent le fluide coule et les gradients de vitesse ne sont pas nuls. La rgion externe est situe loin de la paroi o le matriau est en dformation lastique. Les composantes du tenseur T existent dans cette rgion, mais elles respectent le critre

    O x

    y ()

    z

    V

    a

    u

    v

    w

  • 3

    2sTII . Le tenseur sphrique de (qui reprsente la pression) existe aussi, la fois dans cette rgion et dans la rgion interne. Aux faibles vitesses dcoulement, la surface seuil, qui spare les deux rgions, reprsente des zones assez minces de raccordement entre la vitesse linfini V est la vitesse nulle impose par la condition dadhrence la paroi. Elle peut tre dsigne donc comme la couche limite viscoplastique. Le premier point de distinction entre la couche limite visqueuse et la couche limite viscoplastique est que dans la premire le gradient de pression est obtenu avec la condition de lcoulement irrotationnel linfini. Dans la couche limite viscoplastique, lexpression du gradient de pression est obtenue avec la condition de dformation lastique du gel dans la rgion externe. La continuit fait que le long de la surface seuil le gradient de pression, aussi bien les vitesses et les composantes du tenseur T , sont identiques de part et dautre des deux rgions. Sur ces bases, nous prsenterons dans cette section la formulation simplifie des quations de mouvement dans la rgion interne aussi bien dans la rgion externe. Nous commencerons dabord par la premire rgion et nous terminerons par la deuxime.

    2.2.1 Les quations simplifies de Cauchy dans la rgion interne Lhypothse principale consiste supposer que les vitesses dcoulement sont trs faibles pour que lpaisseur de la couche limite soit trs petite devant la longueur de la plaque. Nous donnerons ensuite une condition simple permettant de sassurer de lhypothse. De cette faon, nous pouvons introduire le paramtre a/ = (o a est la demi-longueur de la plaque) et de supposer que celui-ci est trs petit devant 1. On se ramne alors un problme de lcoulement dun modle dHerschel-Bulkley dans un long domaine. Cest un problme qui a t dj trait par Piau en 1996, mais ici la pression doit tre normalise avec la valeur du seuil de contrainte au lieu de la contrainte inertielle. De plus, nous pouvons ngliger dans notre cas la gravit, cest dire linfluence du nombre de Froude. Sans trop rentrer dans les dtails de calculs, nous signalons que les quations de conservation de la quantit de mouvement scrivent avec les paramtres adimensionnels suivants :

    [ 3] ( )

    =

    a

    tVs

    pVV

    u

    a

    ya

    xTPVUYX ,,v,,,,,,,,

    ( 3 )

    suivant laxe (Ox), comme suit :

    [ 4] ( )

    ( )yxysxxxsyxyY

    YY

    X

    XY

    X

    YY

    n

    YX

    ttt

    UU

    UUU

    OdUUPOddTdURe

    ,,,

    ,

    ,

    2,

    2,

    ,,

    ,

    ,

    ,

    1,,

    termeslesi.e.,

    sgn2

    +

    =+

    ( 4 )

    et suivant laxe (Oy) :

    [ 5] ( )

    ( )yyysY

    yY

    XY

    t

    UUU

    OdPOddTdVRe

    ,

    ,

    ,,

    ,

    ,

    2

    termelei.e.,

    sgn2

    =+

    ( 5 )

    o ( )YU ,sgn est le signe de la drive partielle de U par rapport Y.

  • 4

    avec

    [ 6] ( ) nnn

    Va

    KaV

    Re

    ==

    KsOdet

    2 ( 6 )

    Dautre part, lquation de conservation de la masse scrit, comme suit : [ 7] 0bienou0

    ,,,,=+=+ YXyx VUvu ( 7 )

    Les conditions aux limites vrifier la paroi et le long de la surface seuil sont, respectivement :

    [ 8] 1,0,1;10pour0;0

    ,===

    >===

    XPVUY

    XVUY ( 8 )

    Les termes intervenants dans lquation [ 4 ] reprsentent successivement linertie, la pression, la variation de la contrainte tangentielle visqueuse yxyt , , la variation de la contrainte

    normale xxxst , et la variation de la contrainte tangentielle plastique yxyst , . Lindice s indique

    la contribution du terme plastique. Notons que tous les termes dordre )( 2 ont t ngligs dans les quations du mouvement. Notre tude vise les coulements trs faibles vitesses o le nombre de Reynolds Re tend vers 0. Il dans ce cas possible de ngliger tous les termes dinertie intervenants dans les quations du mouvement. Nous avons galement spcifi notre tude au cas o 1Od afin de pouvoir quilibrer en grande partie la pression avec la contrainte visqueuse xyt . Les variations des contraintes plastiques sont de lordre de , mais elles ne doivent pas tre ngliges, autrement linfluence du seuil de contrainte napparat dans les quations du mouvement. Dans ces conditions lquation [ 5 ] peut tre facilement intgre. En drivant ensuite le rsultat par rapport x, on obtient lexpression du gradient de pression interne, soit :

    [ 9] x

    xy

    xx g

    u

    usp

    ,y,,

    ,

    ,

    ,)sgn(u2 +

    = ( 9 )

    o g est une fonction inconnue de x. En remplaant dans lquation [ 4 ], il vient :

    [ 10] )sgn(u2 y,,

    2,

    2,

    ,,

    ,

    ,

    ,

    1,,

    +

    =

    yy

    x

    xy

    x

    yy

    n

    yxu

    u

    u

    usuuKg ( 10 )

    Les deux quations [ 8 ] et [ 9 ] associes lquation de conservation de la masse [ 7 ] constituent le modle simplifi de lcoulement dun fluide viscoplastique ayant un comportement dHerschel-Bulk