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1 Influence de la rhéofluidification dans le problème de couche limite viscoplastique Objectif du travail Piau (2001) a établi la base théorique du problème de couche limite viscoplastique lorsque le niveau des contraintes est proche du plateau plastique (écoulement à très faibles vitesses). L’auteur considère le modèle d’écoulement de Bingham et montre ainsi l’influence d’un nombre adimensionnel primordial, qui est le nombre d’Oldroyd : rapport des forces plastiques et forces visqueux. Mais comme les fluides viscoplastiques réels sont souvent rhéofluidifiants, il est aussi intéressant d’examiner, dans le problème considéré, les effets de ce comportement rhéologique. Dans ce but, nous présenterons dans ce travail le comportement du fluide en écoulement par le modèle d’Herschel-Bulkley avec un paramètre en plus par rapport au modèle de Bingham qui est l’indice de rhéofluidification n. Avec ce modèle et la base théorique de Piau, nous traitons le problème et nous dégagerons à la fois l’influence du nombre d’Oldroyd et de l’indice n. Dans ce rapport, nous présenterons que l’étude théorique. La comparaison avec l’expérience fera l’objet du rapport qui suivra. 2 Etude théorique 2.1 Modèle de fluide adopté Nous considérons les équations rhéologiques données par le modèle d’Herschel-Bulkley, complété par le modèle d’élasticité linéaire de Hooke. Ainsi, en supposons que le mouvement est isothermique et que le fluide est isochore, le comportement mécanique peut être représenté, comme suit : [ 1] T 1 Σ - = p ( 1 ) Avec ( > - = 2 II 2 II T - si T - si 4 2 s s D T II ε D μ η [ 2] ( ( ν + = μ - + - = - η - 1 et 4 4 4 1 E D K D s D n II II II ( 2 ) Comme le fluide est supposé isochore ( 2 / 1 = ν ), on a de plus : 0 tr tr = = ) ( ) ( ε D Le critère de plasticité utilisé dans le modèle est celui de Von Mises. Σ est le champ du tenseur des contraintes de Cauchy et T étant le déviateur du tenseur de contrainte. D , ε et 1 sont respectivement le tenseur des taux de déformation, le tenseur de déformation linéaire et la matrice unitaire. Les deux scalaires ) ( tr ) 2 / 1 ( 2 T - = II T et ) ( tr ) 2 / 1 ( 2 D - = II D sont les deuxièmes invariants de T et D , respectivement et la fonction scalaire ( II D 4 - η étant la viscosité absolue. Cette dernière est définie avec trois paramètres rhéologiques : le seuil de contrainte s , la consistance du fluide K et l’indice de rhéofluidification n. Enfin, les trois scalaires E, ν et p sont respectivement le module d’élasticité de Young, le coefficient de Poisson et la pression.

Couche Limite HB

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l'influence de la rétrofluence

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  • 1

    Influence de la rhofluidification dans le problme de couche limite viscoplastique

    Objectif du travail

    Piau (2001) a tabli la base thorique du problme de couche limite viscoplastique lorsque le niveau des contraintes est proche du plateau plastique (coulement trs faibles vitesses). Lauteur considre le modle dcoulement de Bingham et montre ainsi linfluence dun nombre adimensionnel primordial, qui est le nombre dOldroyd : rapport des forces plastiques et forces visqueux. Mais comme les fluides viscoplastiques rels sont souvent rhofluidifiants, il est aussi intressant dexaminer, dans le problme considr, les effets de ce comportement rhologique. Dans ce but, nous prsenterons dans ce travail le comportement du fluide en coulement par le modle dHerschel-Bulkley avec un paramtre en plus par rapport au modle de Bingham qui est lindice de rhofluidification n. Avec ce modle et la base thorique de Piau, nous traitons le problme et nous dgagerons la fois linfluence du nombre dOldroyd et de lindice n. Dans ce rapport, nous prsenterons que ltude thorique. La comparaison avec lexprience fera lobjet du rapport qui suivra. 2 Etude thorique

    2.1 Modle de fluide adopt

    Nous considrons les quations rhologiques donnes par le modle dHerschel-Bulkley, complt par le modle dlasticit linaire de Hooke. Ainsi, en supposons que le mouvement est isothermique et que le fluide est isochore, le comportement mcanique peut tre reprsent, comme suit : [ 1] T1 += p ( 1 ) Avec ( )

    >=

    2II

    2II

    T-si

    T-si42

    s

    sDT II

    D

    o [ 2] ( ) ( )

    +=+

    = 1et444

    1 EDKD

    sDn

    IIII

    II ( 2 )

    Comme le fluide est suppos isochore ( 2/1= ), on a de plus : 0trtr == )()( D Le critre de plasticit utilis dans le modle est celui de Von Mises. est le champ du tenseur des contraintes de Cauchy et T tant le dviateur du tenseur de contrainte. D , et 1 sont respectivement le tenseur des taux de dformation, le tenseur de dformation linaire et la matrice unitaire. Les deux scalaires )(tr)2/1( 2T=IIT et )(tr)2/1( 2D=IID sont les deuximes invariants de T et D , respectivement et la fonction scalaire ( )IID4 tant la viscosit absolue. Cette dernire est dfinie avec trois paramtres rhologiques : le seuil de contrainte s , la consistance du fluide K et lindice de rhofluidification n. Enfin, les trois scalaires E, et p sont respectivement le module dlasticit de Young, le coefficient de Poisson et la pression.

  • 2

    2.2 Position du problme et quations simplifies du mouvement

    Nous nous proposons dtudier le mouvement dun fluide viscoplastique incompressible dans un domaine indfini, et dans lequel une plaque infiniment fine est maintenue fixe et le fluide scoulant autour delle dun mouvement permanent, le mouvement du fluide linfini est un courant uniforme de vitesse 0U parallle laxe Ox (figure 1). On obtient un problme quivalent si on considre que la plaque effectue une translation rectiligne et uniforme de vitesse 0U dans un fluide viscoplastique au repos linfini ; cest sous la premire forme que nous prsenterons notre tude. Nous supposons que le fluide ne glisse pas au contact avec les parois, mais au contraire il adhre. Le systme daxe utilis est reprsent sur la figure (1). Lorigine O est prie le bord dattaque de lobjet. Nous supposons que la largeur de la plaque b est assez importante pour pouvoir simplifier le problme et ltudier en formulation 2D des quations du mouvement. Nous supposons galement quaucune force extrieure nagit sur le fluide et que ce dernier obit au modle rhologique prsent prcdemment. Dautre part, la symtrie de la gomtrie par rapport au plan xz entrane aussi la symtrie de lcoulement par rapport ce plan. Ainsi, nous pouvons se limiter tudier le problme dans un demi-plan et de dduire lautre en respectant la symtrie. Compte tenu de la formulation mathmatique de la loi de comportement du fluide, nous pouvons considrer lexistence dans la partie centrale de la plaque de deux rgions (rgion interne et rgion externe) spares par une surface seuil. Cette dernire obit au critre de plasticit de Von Mises, cest--dire le long de la surface seuil on a sTII = .

    Figure 1 : Dfinitions et systme daxe utilis

    La rgion interne est situe au voisinage immdiat de la paroi. Ici, les contraintes lintrieur de lcoulement dpasse la valeur du seuil ( 2sTII > selon le critre adopt) et par consquent le fluide coule et les gradients de vitesse ne sont pas nuls. La rgion externe est situe loin de la paroi o le matriau est en dformation lastique. Les composantes du tenseur T existent dans cette rgion, mais elles respectent le critre

    O x

    y ()

    z

    V

    a

    u

    v

    w

  • 3

    2sTII . Le tenseur sphrique de (qui reprsente la pression) existe aussi, la fois dans cette rgion et dans la rgion interne. Aux faibles vitesses dcoulement, la surface seuil, qui spare les deux rgions, reprsente des zones assez minces de raccordement entre la vitesse linfini V est la vitesse nulle impose par la condition dadhrence la paroi. Elle peut tre dsigne donc comme la couche limite viscoplastique. Le premier point de distinction entre la couche limite visqueuse et la couche limite viscoplastique est que dans la premire le gradient de pression est obtenu avec la condition de lcoulement irrotationnel linfini. Dans la couche limite viscoplastique, lexpression du gradient de pression est obtenue avec la condition de dformation lastique du gel dans la rgion externe. La continuit fait que le long de la surface seuil le gradient de pression, aussi bien les vitesses et les composantes du tenseur T , sont identiques de part et dautre des deux rgions. Sur ces bases, nous prsenterons dans cette section la formulation simplifie des quations de mouvement dans la rgion interne aussi bien dans la rgion externe. Nous commencerons dabord par la premire rgion et nous terminerons par la deuxime.

    2.2.1 Les quations simplifies de Cauchy dans la rgion interne Lhypothse principale consiste supposer que les vitesses dcoulement sont trs faibles pour que lpaisseur de la couche limite soit trs petite devant la longueur de la plaque. Nous donnerons ensuite une condition simple permettant de sassurer de lhypothse. De cette faon, nous pouvons introduire le paramtre a/ = (o a est la demi-longueur de la plaque) et de supposer que celui-ci est trs petit devant 1. On se ramne alors un problme de lcoulement dun modle dHerschel-Bulkley dans un long domaine. Cest un problme qui a t dj trait par Piau en 1996, mais ici la pression doit tre normalise avec la valeur du seuil de contrainte au lieu de la contrainte inertielle. De plus, nous pouvons ngliger dans notre cas la gravit, cest dire linfluence du nombre de Froude. Sans trop rentrer dans les dtails de calculs, nous signalons que les quations de conservation de la quantit de mouvement scrivent avec les paramtres adimensionnels suivants :

    [ 3] ( )

    =

    a

    tVs

    pVV

    u

    a

    ya

    xTPVUYX ,,v,,,,,,,,

    ( 3 )

    suivant laxe (Ox), comme suit :

    [ 4] ( )

    ( )yxysxxxsyxyY

    YY

    X

    XY

    X

    YY

    n

    YX

    ttt

    UU

    UUU

    OdUUPOddTdURe

    ,,,

    ,

    ,

    2,

    2,

    ,,

    ,

    ,

    ,

    1,,

    termeslesi.e.,

    sgn2

    +

    =+

    ( 4 )

    et suivant laxe (Oy) :

    [ 5] ( )

    ( )yyysY

    yY

    XY

    t

    UUU

    OdPOddTdVRe

    ,

    ,

    ,,

    ,

    ,

    2

    termelei.e.,

    sgn2

    =+

    ( 5 )

    o ( )YU ,sgn est le signe de la drive partielle de U par rapport Y.

  • 4

    avec

    [ 6] ( ) nnn

    Va

    KaV

    Re

    ==

    KsOdet

    2 ( 6 )

    Dautre part, lquation de conservation de la masse scrit, comme suit : [ 7] 0bienou0

    ,,,,=+=+ YXyx VUvu ( 7 )

    Les conditions aux limites vrifier la paroi et le long de la surface seuil sont, respectivement :

    [ 8] 1,0,1;10pour0;0

    ,===

    >===

    XPVUY

    XVUY ( 8 )

    Les termes intervenants dans lquation [ 4 ] reprsentent successivement linertie, la pression, la variation de la contrainte tangentielle visqueuse yxyt , , la variation de la contrainte

    normale xxxst , et la variation de la contrainte tangentielle plastique yxyst , . Lindice s indique

    la contribution du terme plastique. Notons que tous les termes dordre )( 2 ont t ngligs dans les quations du mouvement. Notre tude vise les coulements trs faibles vitesses o le nombre de Reynolds Re tend vers 0. Il dans ce cas possible de ngliger tous les termes dinertie intervenants dans les quations du mouvement. Nous avons galement spcifi notre tude au cas o 1Od afin de pouvoir quilibrer en grande partie la pression avec la contrainte visqueuse xyt . Les variations des contraintes plastiques sont de lordre de , mais elles ne doivent pas tre ngliges, autrement linfluence du seuil de contrainte napparat dans les quations du mouvement. Dans ces conditions lquation [ 5 ] peut tre facilement intgre. En drivant ensuite le rsultat par rapport x, on obtient lexpression du gradient de pression interne, soit :

    [ 9] x

    xy

    xx g

    u

    usp

    ,y,,

    ,

    ,

    ,)sgn(u2 +

    = ( 9 )

    o g est une fonction inconnue de x. En remplaant dans lquation [ 4 ], il vient :

    [ 10] )sgn(u2 y,,

    2,

    2,

    ,,

    ,

    ,

    ,

    1,,

    +

    =

    yy

    x

    xy

    x

    yy

    n

    yxu

    u

    u

    usuuKg ( 10 )

    Les deux quations [ 8 ] et [ 9 ] associes lquation de conservation de la masse [ 7 ] constituent le modle simplifi de lcoulement dun fluide viscoplastique ayant un comportement dHerschel-Bulkley. Le modle peut tre valable dans la rgion interne, et notamment dans la partie centrale de la plaque. De plus, les vitesses dcoulement doivent tre trs faibles et le nombre Od doit tre voisin de 1. Cette dernire condition permet de dduire lordre de grandeur de lpaisseur de la couche limite, soit :

    [ 11]

    )1/(1

    sK

    +

    =

    nn

    a

    Va ( 11 )

  • 5

    La quantit ( ) ( )nVaKs // , qui sera dsigne ultrieurement comme tant le nombre dOldroyd (Od), doit avoir des valeurs assez grandes pour que a

  • 6

    avec

    [ 15] axaax

    yarct

    xa

    yarct

    +=

    = *

    *2*1 pouret pi ( 15 )

    Elle est trace sous forme graphique sur la figure 2. La surface seuil ( )(xy

    ) respecte donc bien la symtrie par rapport laxe )( (figure 1). En allant du centre de la plaque ( 0* =x ), o lpaisseur de la surface seuil est nulle, vers les deux extrmits, on peut remarquer que la surface seuil augmente progressivement pour attendre un maximum (denviron a0725.0 ) lorsque ax 838.0* m= . La surface seuil diminue ensuite. Elle atteint la valeur a0472.0 aux deux extrmits de la plaque ( 1* m=x ). A cet endroit la pression est denviron s193.1 et lendroit o lpaisseur de la surface seuil est maximale, elle est denviron s744.0 .

    0

    0.01

    0.02

    0.03

    0.04

    0.05

    0.06

    0.07

    0.08

    0 0.5 1 1.5 2

    y00

    /a

    x/a

    Figure 2 : Surface seuil pour un matriau lastoplastique ayant le critre de plasticit de Von Mises. Le comportement lastique du matriau est celui de Hooke

    Ces rsultats indiquent que lpaisseur maximale de la surface seuil est assez faible devant la longueur totale de la plaque (le rapport est denviron 1/28). Cela justifie en partie notre hypothse selon laquelle le paramtre est trs petit devant 1 dans ltude de la rgion interne. Il convient cependant de signaler que cette surface seuil est diffrente de la couche limite que nous verrons dans la suite, car ici on ne tient pas compte de la viscosit. En revanche, la pression externe donne par cette thorie purement lastoplastique constitue une bonne approximation du problme, notamment dans la partie centrale de la plaque. Dautre part, au voisinage immdiat du centre de la plaque, il apparat (voir Fig. 3) que le gradient de pression peut tre approch une valeur constante, soit :

  • 7

    [ 16] a

    xspa

    sp x pipi

    *

    ,

    2;

    2= ( 16 )

    Cest avec cette dernire expression que nous effectuerons dabord nos premiers calculs. Nous proposons la fin une solution optimale tenant compte de la variabilit, le long de la surface seuil, du gradient de pression et de sa valeur finie aux deux extrmits de la plaque. Notons enfin que lgalit entre lexpression du gradient de pression externe ainsi obtenue et lexpression obtenue prcdemment dans la rgion interne (Eq. [ 9 ] avec

    = yy ), constituent

    une condition supplmentaire de continuit vrifier imprativement, soit dune manire exacte, ou faut de mieux, dune manire approximative.

    0

    0.5

    1

    1.5

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    p/s

    x/a

    Figure 3 : Pression externe le long de la surface seuil ( ) et approximation de la pression externe dans la partie centrale de la plaque ( - - - - )

    2.3 Solutions semblables

    Nous chercherons ici des solutions semblables du profil de vitesse de la forme )(GVu = avec )(/ xy = o )(x est une fonction de x en relation avec lpaisseur de la couche limite

    y . En introduisant les variables adimensionnelles suivantes :

    [ 17] ( )

    =+++++++

    as

    gs

    pVV

    u

    a

    ya

    xgpuyx ,,,v,,,,,,v,,, ( 17 )

    Et en supposant que le signe de yu, est partout positif, lquation [ 10 ] devient :

    [ 18]

    OdddGOd

    n

    4/

    = ( 18 )

    Celle-ci est formellement identique lquation [ 10 ] condition que et soient des scalaires et que :

  • 8

    [ 19] ==+

    +++

    +

    +++ dx

    dgdxd nn 1

    2

    21

    et ( 19 )

    Od est le nombre dOldroyd dfini, comme suit :

    [ 20]

    n

    VaOd

    =

    Ks ( 20 )

    Dautre part, avec lhypothse de dpart lquation de conservation de la masse [ 7 ] donne lexpression de la vitesse +v , on a :

    [ 21] ( )

    ddFGGF

    dxd

    ==+

    + ov ( 21 )

    Celle-ci est ncessaire notamment pour vrifier les conditions aux limites du problme Le gradient de pression interne le long de la couche limite peut tre dduit partir de lquation [ 9 ], on trouve :

    [ 22] 1

    2

    2

    2

    ,

    12+

    +

    +

    +

    ++

    ++ +

    =+ nx dx

    ddxd

    p

    ( 22 )

    o + = y dsigne lpaisseur de la couche limite. Ainsi la rsolution de lquation [ 18 ] avec les conditions aux limites la paroi et le long de la couche limite permet de dduire le profil de vitesse. Lquation [ 19-a ] donne le profil de la couche limite. Les autres proprits physiques de lcoulement, telle que la force de tran, sont obtenues en assurant la continuit du gradient de pression le long de la surface seuil.

    2.3.1 Profils physiques de la couche limite Remarquons dabord que lquation diffrentielle de deuxime ordre [ 19-a ] peut se mettre sous la forme suivante :

    [ 23]

    =

    ++

    +n

    kndxd

    2

    2

    ( 23 )

    Cest dire sous forme dune quation diffrentielle de premier ordre. k est une fonction scalaire. Suivant les signes de et k , on obtient plusieurs formes du profil de la couche limite, mais seulement quelques-unes correspondent au problme considr. Nous n'allons pas les prsenter tous. Nous retenons que deux profils susceptibles dtre les plus physiques : le profil dpaisseur constate (CTBL) et le profil en forme de lentille (LSBL). Pour les autres, on peut consulter le travail de Piau (2001) relatif au modle de Bingham. Lallure gnrale des profils examins par lauteur et les conclusions qui viennent la fin restent identiques dans le cas prsent avec le modle dHerschel-Bulkley.

    (a) Couche limite dpaisseur constante (CTBL): Il se prsente avec 0= , 0=k et Constante=+ . Les lois qui peuvent tre dduites partir de ce profil sont simples et peuvent tre intressant pour donner un ordre de grandeur de lcoulement. Linconvnient majore du profil est quil ne tient pas compte des deux singularits aux fins de la plaque.

    (b) Couche limite en forme de lentille (LSBL):

  • 9

    On est dans ce cas lorsque 0

  • 10

    ( ) pip

    i

    ii

    n

    pi

    p

    i

    i

    n CipXC

    ix

    pX

    ==

    + +

    +=

    +

    =+ 0

    10

    1

    12)1()12(2

    et112

    )1(12112 pi

    pi

    o

    !)!(!

    iippC pi

    =

    Ces expressions donnent les profils de la couche limite. Ils sont reprsents graphiquement sur la figure 4 pour 1=m et 3=m . La forme de la couche limite est donc diffrente de la surface seuil obtenue prcdemment avec la thorie purement lastoplastique. La cause est que dans cette analyse le matriau est prie purement viscoplastique. On tient pas compte par consquent des effets lastiques du matriau, mais la viscosit est bien prise en compte. Remarquons galement que les profils de la couche limite respectent bien la symtrie par rapport laxe

    )( . On peut aussi constater la trs faible influence de lindice m sur les profils semblables de la couche limite. Notons enfin que la construction complte des profils exprimentaux de la couche limite, ncessite de connatre la valeur dun seul paramtre qui est lpaisseur de la couche limite au centre de la plaque ( m+ ), cest dans la section (2-3-3) que nous donnerons son expression.

    2.3.2 Profils de vitesse Posons : [ 28] OdBOdA == et2 ( 28 ) Lquation diffrentielle de deuxime ordre [ 18 ] devient :

    [ 29]

    ABddG n 2

    /

    +=

    ( 29 )

    Elle doit tre intgre avec les conditions aux limites suivantes :

    [ 30]

    ====

    ===

    FGG

    FG

    ,0,1;

    0;0/ ( 30 )

    Pour la CTBL ( Constante=+ ), il nest pas ncessaire de vrifier les conditions de la fonction )(F , car dans ce cas la composante de vitesse +v est partout nulle compte tenu de lquation [ 21 ]. Elle vrifie donc toutes les conditions aux limites du problme. (a) Couche limite dpaisseur constante (CTBL) : Il correspond 0=A . Avec cette valeur de A et les conditions aux limites [ 30 ], lquation [ 29 ] peut tre intgre facilement, on obtient :

    [ 31]

    m

    m

    mmBG

    /1

    1

    11

    avec11)(

    +=

    =

    +

    +

    ( 31 )

    On vrifie que :

    [ 32 ]

    =

    +=

    1

    0

    m

    ddG

    ( 32 )

    La fonction )(G qui donne le profil de vitesse +u est reprsente graphiquement sur la figure 5 pour trois valeurs de m (1, 2 et 3). On peut remarquer que les profils semblables de vitesse sont assez sensibles aux variations de lindice de rhofluidification. Pour une valeur de

  • 11

    donne, laugmentation de lindice m entrane des vitesses dcoulement plus leves et une concavit du profil de vitesse plus importante.

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    G() = ) = ) = ) = u+

    / / / / 00000000

    Figure 5 : Influence de lindice de rhofluidification sur le profil semblable de

    vitesse (CTBL et LSBL lorsque 0 ): 0 1=m ; 2=m ; 3=m

    (b) Couche limite en forme de lentille (LSBL): Avec la condition 0)(/ ==

    G , lquation [ 29 ] peut tre intgre, on obtient :

    [ 33] [ ]mm BAddG

    +=

    )()(

    ( 33 )

    On vrifie que :

    [ 34] )0(avec1 120

    =

    =

    +

    =

    mmm

    AddG

    ( 34 )

    Faisons maintenant le changement de variable

    = /)(p et posons ( )BAA =

    2/)( . On peut constater daprs lquation [ 33 ] que 10

    ( Od lorsque 0 et 0Od lorsque 1 ). Ainsi, avec les conditions 0)0( ==G et 1)( ==

    G , lquation [ 33 ] se met sous la forme suivante :

    [ 35]

    11

    00

    1),(et11)(

    ==

    =

    dmdGm

    m

    p mm

    p ( 35 )

    On vrifie daprs ces deux dernires quations que le profil semblable de vitesse lorsque 0 ( Od ) est celle de la CTBL (Eq. [ 31]). Donc, les profils prsents sur la figure

    (5) correspondent aussi au cas considre lorsque 0 .

  • 12

    Ici encore, les intgrales intervenant dans ces expressions possdent deux solutions analytiques : lorsque 2/1+= pm et 1+= pm o p est un entier. Dans le cas 1+= pm , la solution gnrale est la suivante :

    ( )ip

    i

    p

    i

    i

    pip

    pi

    p

    i

    i

    p

    pp

    p

    Cpi

    Cpi

    G

    ++

    =

    ++

    =

    ++

    =

    ++

    +

    =

    +

    +

    11

    0

    111

    01

    2

    2)1(

    et2

    )1(1)(

    Dans le cas 2/1+= pm , la solution gnrale est la suivante : Comme dans la couche limite visqueuse, la condition 0v =+ le long de la couche limite ne peut tre vrifie que dune manire approximative. Pour tourner cette difficult, nous retenons la solution de Piau (2001) qui consiste vrifier )1()( +==

    F au lieu de

    == )(F . Avec cette condition et la condition 0)0( ==F , il rsulte :

    [ 36]

    ddm

    m

    =

    1

    0 0

    1 ( 36 )

    Dans le cas 1+= pm , on a :

    ( )

    ++++

    =+

    +

    =

    + ipip

    i

    i

    p Cpipi1

    1

    01

    2

    3)2()1(

    Dans le cas 2/1+= pm , on a :

    Figure 6 : Profils des vitesses stables pour 3=m et + 0= ; o 2.0= ; 4.0= ; 5.0=

    A ce stade, il apparat que (ou ) est le seul paramtre inconnu. Lexpression qui permet de dterminer la valeur de connaissant les valeurs exprimentales du nombre dOldroyd (Od) et de lindice de rhofluidification n, sera tablie dans la section suivante en assurant la

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    G() = u+

    / 00

  • 13

    continuit du gradient de pression au centre de la plaque. On tablira galement lexpression de la force de trane ainsi que lexpression du gradient de vitesse la paroi. Mais essayons dexaminer avant la condition de stabilit des profils de vitesse indiqus par les expressions [ 35]. Il est tout fait naturel de penser quen sloignant de la plaque le gradient de vitesse diminue. Les profils physiques de vitesse doivent donc imprativement vrifier la condition suivante :

    01

    1212

    2

    =

    p

    pm

    pmp

    p

    md

    Gd

    soit )2/(1 p . Puisque 10 p , il faut dans tous les cas avoir 2/10 . La thorie ne peut donc pas tre valable pour 12/1 , cest--dire pour les faibles valeurs du nombre dOldroyd. Sur la figure 6 on reprsente les profils de vitesse

    stables pour 3=m . On peut remarquer que pour une valeur de donne, les vitesses dcoulement augmentent avec la diminution du paramtre , cest--dire avec laugmentation du nombre dOldroyd. Sur la figure 7 on reprsente lallure des

    profils de vitesse instables obtenus avec 9.0= .

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

    G() = ) = ) = ) = u+

    / / / / 00000000

    Figure 7 : Profils des vitesses instables pour 9.0= et 0 1=m ; 2=m ; 3=m

    2.3.3 Gradient de pression le long de la couche limite et relations dduites Nous examinerons dabord le cas de CTBL, ensuite le cas de la LSBL et nous donnerons la fin une solution optimale qui vrifie toutes les conditions du problme un pourcentage prs.

    (a) Couche dpaisseur constante (CTBL) Avec Constante=+ , lquation [ 22 ] devient :

  • 14

    [ 37] 1, ++

    + =+ nxip

    ( 37 )

    Lindice i indique quil sagit de la pression interne. On ne peut vrifier la continuit du gradient de pression le long de la couche limite que dune manire approximative, en se limitant uniquement la partie centrale de la plaque o le gradient de pression externe prend une valeur quasiment constante. On peut dans ce cas utiliser lexpression [ 16-a ] qui donne : [ 38]

    pi

    2,

    =++ xep ( 38 )

    Lindice e indique quil sagit l de la pression externe. La continuit fait que ++ ++ = x

    ex

    i pp,,

    , et donc : ( ) )1/(12/ ++ = npi . Compte tenu des quations [ 31-b ] et [ 28-b ], on dduit lexpression de lpaisseur de la couche limite, soit :

    [ 39]

    )1/(1)1/( )1(

    2avec

    +

    +++

    +

    ===

    mm

    BLmm

    BLm mCOdCy pi ( 39 )

    Ici, le gradient de vitesse est constant le long de la plaque. Il peut tre calcul partir de lquation suivante :

    [ 40]

    0,

    1

    =++

    =+

    ddG

    u y ( 40 )

    En remplaant les expressions [ 39 ] et [ 32 ] dans lquation [ 40 ], il vient :

    [ 41] ( ))1/(

    )1/(,

    12avec+

    ++

    +==+

    mm

    VGmm

    VGy mCOdCu pi ( 41 )

    La contrainte tangentielle la paroi est galement uniforme le long de la plaque. Son expression est :

    [ 42]

    +=

    =+

    n

    n ddG

    Ods

    0

    11

    ( 42 )

    En intgrant cette expression le long des deux faces latrales de la plaque, on obtient lexpression de la force de trane, soit :

    [ 43] ( ) ( ) )1/(1)1/(20

    12avec142+

    +

    +=+==

    m

    VDmm

    VD

    a

    mCOdCasdxTpi

    ( 43 )

    De 1=m jusqu 270.3=m le coefficient VDC augmente de 1.128 1.264, puis il diminue pour atteindre la valeur limite 1 lorsque m . VDC ne varie donc que de 1 1.264 pour tous les fluides rhofluidifiants. En dfinissant le coefficient de trane plastique, comme suit :

    [ 44] as

    TC sD 4= ( 44 )

    Il rsulte : [ 45]

    )1/(1 ++= mmVDsD OdCC ( 45 )

    Retenons galement que : BLm

    VGVD CCC )/2(/1 pi==

  • 15

    Le problme est ainsi dfini. Mais rappelons que cette solution ne tient pas compte des deux singularits aux fins de la plaque, elle est cependant simple et utile pour avoir un ordre de grandeur raisonnable des proprits de lcoulement.

    (b) Couche limite en forme de lentille (LSBL): En remplaant lquation [ 26 ] dans lquation [ 22 ], on peut se ramener crire le gradient de pression interne sous la forme suivante :

    [ 46] ( ) ( )[ ]

    +

    +

    =+

    421221, nX

    i mmP ( 46 )

    avec

    [ 47]

    +==

    pi

    n

    knP

    Pp

    P22

    o 00

    ( 47 )

    Le gradient de pression externe dans la partie centrale de la plaque scrit daprs lquation [ 16-a ] et la dfinition de la variable P , comme suit : [ 48]

    pi)(

    )(22,

    +=

    kmP mXe ( 48 )

    Pour que dans la partie centrale de la plaque les solutions semblables existent rellement, il faut que XeXi PP ,, )1( == . Daprs lquation [ 46 ] on a : [ 49]

    == 12)1(, mP Xi ( 49 )

    En assurant la continuit ( XeXi PP ,, )1( == ), il vient : [ 50]

    =

    + 12 pi

    km ( 50 )

    Dautre part, daprs la dfinition de la variable mx+ (Eq. [ 25-b ]) et puisque )(/1 1 mXx m =+ , il vient :

    [ 51] )(1

    22 12 mXk

    m m=

    +

    pi

    ( 51 )

    En rsolvant simultanment les deux quations [ 50 ] et [ 51 ], on obtient :

    [ 52]

    = 1)(

    222

    1 mmXk

    pi ( 52 )

    En remplaant cette relation dans lquation [ 47-b], il vient : [ 53]

    =

    1)(1

    10

    mXmP

    pi ( 53 )

    On vrifie galement quon a :

    [ 54]

    =+ 1)(

    22

    13

    3

    mmXm pi ( 54 )

    Cette dernire relation reprsente lpaisseur de la couche limite au centre de la plaque. Elle peut tre utilise pour calculer les valeurs exprimentales de connaissant la valeur de . Le gradient de vitesse la paroi peut tre galement calcul. Compte tenu des quations [ 54 ] et [ 34-a ], il vient :

  • 16

    [ 55]

    =

    =

    +

    =++ +

    112

    ),()(1 13

    21

    3

    0,

    m

    my

    mmXmddG

    upi

    ( 55 )

    La rpartition de la contrainte tangentielle le long de la plaque est :

    [ 56]

    +=+=

    +

    n

    mmm

    ny Od

    mmXmsuKs 111

    2),()(1)(

    /)1(/1

    3

    21

    3

    ,

    pi ( 56 )

    En intgrant cette expression le long des deux faces latrales de la plaque, on obtient lexpression de la force de trane :

    [ 57]

    +=

    +

    Odm

    mXmmX

    asTm

    m 11),(2

    )()(114/11

    3

    21

    3

    1

    pi ( 57 )

    o

    [ 58] 0)(avec1

    2)(1

    0

    2 >

    =

    mdmm m

    pi

    m ( 58 )

    Lensemble des expressions prcdentes relatives la LSBL sont maintenant fonctions que dune variable inconnue . Il faut donc une dernire relation qui lie au nombre Od et lindice n (paramtres exprimentaux) pour dfinir compltement le problme. Daprs lexpression de la variable m+ (

    mk/= ) et les quations [ 52 ], [ 34-b ] et [ 28-a], on dduit que :

    [ 59]

    121

    421

    4

    1),(1

    )(2

    21 +

    +

    =

    mmm

    mmXmOd pipi

    ( 59 )

    ),( m= (Eq. ) et )(11 mXX = . Connaissons les valeurs exprimentales de n et Od , il est donc possible de rsoudre numriquement cette dernire quation pour dterminer la valeur de , et de construire ainsi toute la solution. Daprs lquation [ 59 ], il est aussi possible dexprimer la relation [ 54 ], comme suit : [ 60]

    )1/( ++ =

    mmBLm OdC ( 60 )

    Avec

    [ 61]

    mm

    m

    BL mmC

    =

    =

    +1),(),(o

    2

    )1/(1pi ( 61 )

    Le gradient de vitesse au centre de la plaque peut tre dduit daprs lquation [ 55 ] en posant 1= . Daprs la relation [ 59 ], il est galement possible de lexprimer sous la forme la plus simple suivante :

    [ 62]

    )1/()1/(

    ,

    ),(2avec+

    ++

    ==+mm

    VGmm

    VGymCOdCu

    pi ( 62 )

    En combinant les deux quations [ 59 ] et [ 57 ], le coefficient de trane plastique sDC (Eq. [ 44 ]) peut tre reprsent, comme suit :

    [ 63]

    )1/(1)1/( ),(2)(avec1

    ++

    =+=m

    VDmm

    VDsD mmCOdCC pi ( 63 )

    o

  • 17

    [ 64] 12

    2)(

    )()(1

    ==m

    m

    mXm

    m

    ( 64 )

    Retenons que : BLm

    VGVD CmCmC )()/2()( /1 == pi Cette nouvelle prsentation est exactement analogue celle de la CTBL. Il suffit de poser

    1+= m et 1)( = m pour retrouver les expressions prcdentes. Puisque varie entre 0 et 1, il rsulte daprs lquation () que varie entre 0 et )1( +m . Donc, varie trs peu avec le coefficient (ou bien le nombre dOldroyd). La limite 1+= m correspond Od . Dans ca cas, lpaisseur de la couche limite ainsi que le gradient de vitesse au centre de la plaque ont des valeurs galent celles de la CTBL. Par contre, le coefficient VDC qui

    intervient dans la dfinition du coefficient de trane sDC est multipli par la quantit )(m . Ici, VDC diminue toujours avec m pour tous les fluides rhofluidifiants (de 2.257 1 lorsque m varie de 1 linfini). Daprs les deux quations [ 61 ] et [ 35-b ], le paramtre prend lexpression suivante :

    [ 65]

    11

    0 11),(

    =

    dmm

    m ( 65 )

    Dans le cas 1+= pm , on a :

    ipi

    p

    i

    i

    p

    Cpi

    m

    ++

    =

    ++

    =

    +

    11

    0

    1

    2)1(

    )1(),(

    Dans le cas 2/1+= pm , on a :

    Enfin, rappelons que cette solution suppose que lpaisseur de la couche limite est nulle aux deux extrmits de la plaque et quelle ne vrifie la condition XeXi PP ,, = que dans la partie centrale de la plaque. Nous proposons maintenant une solution optimale qui permet de dtourner en partie ces problmes.

    2.3.4 Optimisation du profil de la couche limite en forme de lentille (OLSBL) Jusqu ce stade, nous avons prsent deux solutions : la solution de la couche limite dpaisseur constante (CTBL) et la solution de la couche limite en forme de lentille (LSBL). Les deux sont efficaces et peuvent tre utilises, selon la prcision dsire, pour rsoudre des problmes pratiques, mais les deux donnent respectivement un encadrement suprieur et infrieur de la vraie solution. En effet, la premire (CTBL) ne tient pas compte ni des singularits aux fins de la plaque ni la rpartition non uniforme du gradient de pression le long de la couche limite. La deuxime (LSBL) amliore la premire en tenant compte des singularits, mais la continuit du gradient de pression nest vrifie quapproximativement ; uniquement dans la partie centrale de la plaque. Nous proposons ici une troisime solution plus raliste, car elle tient compte mieux des singularits et aussi de la continuit du gradient de pression. Compte tenu des conditions relles de lcoulement, nous considrons que lpaisseur de la couche limite nest pas nulle aux deux extrmits de la plaque ( ( ) 011 +++ == x ou bien ( ) 011 == +x ). De plus, nous supposons que le gradient de pression aux deux

  • 18

    extrmits de la plaque prend une valeur finie : 2/G fois plus grande que le gradient de pression au centre de la plaque (o G est un paramtre dajustement des courbes de pression). Daprs les deux quations [ 49 ] et la condition XeXi PP ,, = , on peut alors crire au centre de la plaque :

    21)(

    22

    +

    pi

    m

    k

    Aux deux extrmits de la plaque ( 0= ), on a daprs lquation [ 46 ] : ( ) Gmmk

    m nm

    +

    ++

    01

    0

    2 22)(2

    pi

    En combinant ces deux dernires quations, on obtient une relation simple qui lie 0 , soit :

    ( )2

    221 010

    Gmmmn

    +

    +

    qui donne :

    [ 66] )(12avec)1(4)2(

    )2(000

    )1/(1

    01

    0

    10 n

    nn

    m

    nmn

    mn

    GGmGm =

    +

    =+

    +

    +

    ( 66 )

    Dans la limite 0 ( Od ), lquation [ 66] se simplifie :

    )0(avec2)0( 0)1/(1

    00 ==

    ==

    +

    GGG

    m

    n

    ou bien )1/(

    00

    2)0(+

    ==

    mm

    G

    De cette manire, toutes les relations relatives la LSBL tablies prcdemment restent dans ce cas valables condition de prendre lexpression suivante de la fonction au lieu de lquation [ 58 ] :

    [ 67] 0avec1

    2),(1

    0

    20 >

    ==

    pi

    n

    mn d

    mm m ( 67 )

    Pour assurer la condition ( ) 011 == +x il faut galement changer les expressions prcdentes de 1X par :

    [ 68] 0avec1

    2),( 11

    0

    1011 >

    ==

    XdmmXXn

    mn

    pi

    m ( 68)

    Dans le cas 1+= pm , on a :

    Dans le cas 2/1+= pm , on a :

    ( ) ( )inpip

    i

    i

    ni

    np

    i

    p

    i

    i

    n CipC

    ipX 0

    11

    000

    001 112

    )1(1)12(2et112

    )1(1)12(2 +

    +=+

    +=

    ==

    pipi

    Enfin, il convient galement de changer lexpression de ([ 64 ]) par :

  • 19

    [ 69 ] ),(),(),(01

    00

    n

    nn

    mXm

    m

    ==

    ( 69 )

    Il reste maintenant dterminer les valeurs du seul paramtre inconnu G par ajustement des profils de pression. Lquation [ 46 ] peut tre intgre facilement et donne lexpression de la pression interne, soit avec la condition 0)1( ==+ nip :

    [ 70] ( ) ( ) ( )( )

    +

    +

    =+

    n

    n

    n

    n

    n

    i ammmX

    mp 1tan212121),(

    8

    012pi

    ( 70 )

    Ainsi, le procd de calcul utilis est le suivant : 1. Pour des valeurs de G et 0n on calcul daprs lquation [ 66] la valeur de 2. 1X est calcul daprs lquation [ 68] 3. Pour des valeurs de n comprises entre 0n et 1, on calcul daprs lquation [ 27] les valeurs de +x correspondantes.

    4. Les valeurs de )( nip + sont calcules daprs lquation [ 70] 5. Les valeurs de )( ++ xy sont calcules en utilisant lquation implicite [ 14 ]. 6. Les valeurs de ),( +++ yxpe sont calcules daprs lquation [ 12 ]. 7. On trace les courbes )( ++ xpe et )( ++ xpi . La valeur de G est ensuite modifie jusqu avoir un cart minimum entre ep+ et

    ip+ . On reprsente sur la figure 8 le rsultat de notre calcul pour 3=m . On peut remarquer un accord raisonnable entre la pression interne et la pression externe premire courbe et la dernire. Dans le tableau 1, on reprsente quelques valeurs numriques des paramtre intervenant dans les diffrentes solutions lorsque 0 ( Od ). Remarquons que lpaisseur de la couche limite aux deux extrmits de la plaque diminue avec laugmentation de lindice m. La figure 9 montre la variation du paramtre G avec lindice m lorsque

    Od . Le paramtre G augmente donc avec m. Les rsultats numriques ont t ajust par la mthode des moindres carres avec la loi suivante :

    37.00 4.16 mG

    Lcart maximum est de 2% lorsque m varie entre 1 et 5. Pour les trois solutions (CTBL, LSBL et OLSBL) on reprsente sur la figure 10 la variation du coefficient VDC , qui intervient dans lexpression de la force de trane, avec lindice m. Les valeurs de lOLSBL se trouvent entre celles de la CTBL, qui donne une borne infrieure, et celle de la LSBL, qui donne une borne suprieure. On peut voir aussi daprs la courbe que les valeurs de VDC des deux solutions (OLSBL et LSBL) se rapprochent assez bien partir dune certaine valeur de m. En plus, il apparat que VDC ne varie pas beaucoup avec m. Pour tous les fluides rhofluidifiants, VDC (OLSBL) ne varie que de 50% au maximum. Le tableau 2 donne un abaque des donnes numriques des principaux paramtres qui interviennent dans lOLSBL. Il montre la fois linfluence de lindice m et du paramtre (cest--dire Od). Pour une valeur de m donne, on peut remarquer que 0 augmente avec la diminution de Od. Par contre le paramtre G, le coefficient VDC ainsi que BLC diminuent avec Od. En dfinissant les deux paramtres suivants :

  • 20

    )1/(

    00

    *0

    )1/(

    0

    )1/(* 2et22

    +++

    =

    =

    mmmmmm

    GGGG

    Il apparat daprs la figure 11, quon a quelque soit m et Od une relation de type )( *0** = GG . Les valeurs numriques ont t ajustes par la mthode des moindres carres

    avec la loi suivante :

    ( )

  • 21

    Tableau 1 : Comparaison des valeurs numriques des coefficients intervenants

    dans les diffrentes solutions ( 0 cest--dire Od )

    OLSBL LSBL CTBL m 0G Ecart maximal dajustement

    des courbes de pression (%) X 0 VDC VDC VDC

    1 16.4 2.8 0.901 0.349 1.497 2.257 1.128 3/2 18.8 3.9 1.179 0.261 1.500 1.806 1.204 2 20.8 4.6 1.411 0.210 1.484 1.654 1.241

    5/2 22.9 5.5 1.614 0.175 1.463 1.572 1.257 3 24.4 5.7 1.794 0.153 1.439 1.516 1.263

    7/2 25.8 6.1 1.959 0.137 1.417 1.474 1.264 4 27.5 6.6 2.112 0.123 1.396 1.441 1.261

    9/2 28.7 6.9 2.255 0.113 1.377 1.413 1.256 5 29.9 7.17 2.389 0.105 1.360 1.389 1.250

    En annexe 1 on montre comment construire toute la solution connaissant les valeurs exprimentaux de Od et de m. Lannexe peut tre aussi considr comme un formulaire rcapitulatif de la solution du problme. En annexe 2 on reprsente des solutions analytiques pour quelques valeurs particulires de lindice m. On retrouve bien toute la solution de Piau (2001) relative au modle de Bingham lorsque 1=m .

    10

    100

    1 10

    G0

    m

    Figure 9 : Variation du paramtre G avec lindice m lorsque 0 : O point obtenus par ajustement, courbe de calage

  • 22

    1

    1.5

    2

    2.5

    1 2 3 4 5

    CVD

    m

    Figure 10 : Variation du coefficient VDC avec lindice m (lorsque 0 ) et comparaison entre les diffrentes solutions :

    CTBL, LSBL, O OLSBL

    0.001

    0.01

    0.1

    1

    0.001 0.01 0.1 1

    G*

    0000

    Figure 11 : Variation du paramtre *G avec *0

    O m=1, + m=3/2, m=2, , m=5/2, m=3, m=7/2, s m=4, l m=9/2, m=5 courbe de calage

  • 23

    Tableau 2 : Abaque des valeurs numriques des coefficients intervenants dans la OLSBL

    0 G Od VDC BLC 1=m

    0.349 0 16.4 1.497 1.128 0.366 0.034 15.6 2.37 104 1.473 1.122 0.39 0.083 14.6 3.38 103 1.440 1.112 0.42 0.147 13.6 846 1.398 1.097 0.45 0.206 12.7 333.5 1.357 1.082 0.48 0.263 11.9 158 1.317 1.067 0.51 0.324 11.3 77.1 1.274 1.048 0.54 0.378 10.7 41.6 1.233 1.029 0.57 0.427 10.1 24 1.194 1.010 0.60 0.483 9.7 13 1.149 0.986

    2/3=m 0.261 0 18.8 1.500 1.100 0.28 0.074 17.7 6.099 103 1.468 1.086 0.30 0.143 16.7 1.677 103 1.435 1.070 0.32 0.205 15.8 765.3 1.402 1.054 0.34 0.262 15 423.0 1.370 1.038 0.36 0.315 14.3 256.9 1.337 1.021 0.38 0.359 13.6 172.4 1.307 1.005 0.40 0.403 13 118.4 1.275 0.988 0.42 0.446 12.5 81.5 1.242 0.969 0.44 0.484 12 58.63 1.211 0.951

    2=m 0.210 0 20.8 1.484 1.067 0.215 0.039 20.6 1.45 104 1.469 1.058 0.22 0.082 20.3 5.98 103 1.457 1.052 0.24 0.179 18.9 1.48 103 1.417 1.030 0.26 0.261 17.7 673 1.378 1.007 0.28 0.335 16.7 371.3 1.337 0.984 0.30 0.391 15.7 243 1.301 0.963 0.32 0.445 14.9 161.9 1.262 0.940 0.33 0.474 14.6 130.7 1.240 0.926 0.34 0.494 14.2 112 1.223 0.916

    2/5=m 0.175 0 22.9 1.463 1.036 0.18 0.068 22.7 9.129 103 1.444 1.024 0.19 0.136 21.7 3.024 103 1.421 1.011 0.2.0 0.205 20.9 1.459 103 1.394 0.995 0.21 0.26 20.1 915.4 1.37 0.980 0.22 0.312 19.4 620 1.345 0.965 0.23 0.354 18.7 460 1.322 0.951 0.24 0.395 18.1 346.6 1.298 0.935 0.25 0.423 17.4 286.9 1.279 0.924 0.26 0.465 17.0 216.4 1.25 0.905 0.27 0.495 16.5 176.3 1.226 0.890

  • 24

    Tableau 2 : (Suite) 0 G Od VDC BLC

    3=m 0.153 0 24.4 1.439 1.008 0.156 0.085 24.5 7.22 103 1.418 0.994 0.16 0.122 24 4.19 103 1.407 0.987 0.17 0.208 22.9 1.72 103 1.377 0.969 0.18 0.28 21.9 988.7 1.348 0.95 0.19 0.341 21 649.4 1.319 0.932 0.2 0.396 20.2 457.2 1.289 0.913

    0.21 0.445 19.5 334.6 1.258 0.893 0.22 0.485 18.8 260.5 1.23 0.874

    2/7=m 0.137 0 25.8 1.417 0.983 0.14 0.121 25.9 4.839 103 1.388 0.964

    0.145 0.178 25.2 2.662 103 1.371 0.953 0.15 0.234 24.6 1.668 103 1.352 0.941

    0.155 0.28 24 1.194 103 1.334 0.929 0.16 0.319 23.4 925 1.318 0.919

    0.165 0.36 22.9 715.2 1.298 0.906 0.17 0.394 22.4 579 1.28 0.894

    0.175 0.423 21.9 484.7 1.263 0.883 0.18 0.449 21.4 416.6 1.247 0.873

    0.185 0.477 21 350.7 1.228 0.86 0.19 0.502 20.6 301.3 1.209 0.848

    4=m 0.123 0 27.5 1.396 0.961 0.13 0.187 26.8 2.806 103 1.351 0.932

    0.135 0.256 26.1 1.653 103 1.329 0.917 0.14 0.311 25.4 1.154 103 1.308 0.903

    0.145 0.354 24.7 883.6 1.289 0.891 0.15 0.398 24.1 682.3 1.267 0.876

    0.155 0.434 23.5 554 1.246 0.863 0.16 0.471 23 446.4 1.223 0.848

    0.165 0.502 22.5 371.8 1.201 0.833 2/9=m

    0.113 0 28.7 1.377 0.942 0.115 0.124 28.8 5.852 103 1.352 0.925 0.12 0.212 27.9 2.604 103 1.328 0.91

    0.125 0.29 27.1 1.53 103 1.303 0.893 0.13 0.358 26.4 1.01 103 1.275 0.875

    0.135 0.402 25.6 785.6 1.254 0.861 0.14 0.453 25 588.5 1.225 0.842

    0.145 0.495 24.4 466.4 1.198 0.824 5=m

    0.105 0 29.9 1.36 0.925 0.107 0.138 29.9 5.604 103 1.333 0.907 0.11 0.218 29.4 2.81 103 1.313 0.894

    0.115 0.298 28.4 1.659 103 1.287 0.877 0.12 0.377 27.6 1.047 103 1.255 0.856

    0.125 0.436 26.8 756.7 1.226 0.837 0.13 0.48 26 592.4 1.199 0.819

  • 25

    Annexe 1 : Construction de la solution connaissant les valeurs exprimentales de m et Od

    Pour construire toute la solution de lOLSBL connaissant les valeurs exprimentales de m (1/n) et Od, on doit dabord rsoudre numriquement une quation de type 0),,( 0 =nmOdF dans le but de dterminer la valeur du paramtre 0n . On a pour cela les expressions suivantes :

    121

    4201

    4

    1),(1

    ),(2

    21

    ++

    =

    mm

    n

    m

    mmXmOd pipi

    Avec :

    ==

    ==1

    0

    1011

    11

    01

    2),(;1),(n

    mn

    mm dmmXXdm

    pi

    et

    )1(4)2()2(

    01

    0

    10

    nmn

    mn

    GmGm

    +

    =+

    +

    o

    37.00

    /)1()1/(

    0

    * 4.16;22 mGG

    GG

    mmmm

    +=

    ++

    avec

    ( )

  • 26

    m. Pour une valeur de m quelconque, on doit rsoudre numriquement avec la valeur de 1X calcule comme indique prcdemment. Le profil de la LSBL correspond 00 =n .

    Profil de la couche limite : Pour lOLSBL et la LSBL, le profil de vitesse peut tre calcul partir de lquation suivante :

    dGp m

    mp

    =

    0

    11)(

    Pour une valeur de quelconque, il existe deux solutions analytiques : pour 1+= pm et 2/1+= pm o p est un entier. Pour une valeur de m quelconque, on doit rsoudre

    numriquement cette quation avec la valeur de calcule comme indique prcdemment. Dans la limite 0= la solution est celle de la CTBL, on a :

    m

    m

    mmBG

    /1

    1

    11

    avec11)(

    +=

    =

    +

    +

    Dautres proprits : Quelque soit la solution considre lexpression qui donne le coefficient de tran est la suivante :

    )1/(1)1/( ),(2)(avec1

    ++

    =+=

    m

    VDmm

    VDsD mmCOdCC

    pi

    Lpaisseur de la couche limite au centre de la plaque est : )1/(1

    )1/( ),(2

    avec

    +

    +++

    ===

    mm

    BLmm

    BLm mCOdCy pi

    Le gradient de vitesse au centre de la plaque prend lexpression suivante : )1/(

    )1/(,

    ),(2avec+

    ++

    ==+mm

    VGmm

    VGymCOdCu

    pi

    Lexpression de ),( m dans le cas de lOLSBL et de LSBL est la suivante : m

    mm

    = 1),(),(

    Dans le cas de lOLSBL, on a :

    =

    ==

    1

    0

    20

    01

    00 1

    2),(avec),(),(),(

    n

    mn

    n

    nn d

    mm

    mXm

    m

    pi

    Pour la LSBL ( 00 =n ) lexpression de se simplifie :

    122)(),( 0

    ==m

    mmm n

    1),( += mm lorsque 0= , cest lexpression qui prend dans de la CTBL. Pour cette

    dernire couche, on a de plus 1= . Rappelons enfin que :

    )(;1;;

    Guy pm

    ==== ++

    +

    +

    +

  • 27

    et que :

    ( )

    =+++ V

    u

    a

    ya

    xuyx ,,,,

    Annexe 2 : Solutions analytique pour quelques valeurs particulires de m

    Profil de la couche limite variable (LSBL et OLSBL) : a) Cas o 1+= pm Pour 1=m (modle de Bingham)

    [ 71] +=

    + xXn

    nnn 12

    1arctg)1( 1pi ( 71 )

    Pour 2=m

    [ 72] +=

    +

    + xX

    n

    nnnn 12

    1arctg

    23)1(

    23 1pi ( 72 )

    Pour 3=m

    [ 73] +=

    +

    ++ xX

    n

    nnnnn 16

    1arctg

    85)1(

    85

    125

    31 12 pi ( 73 )

    Pour 4=m

    +=

    +

    +++ xX

    n

    nnnnnn 12

    1arctg

    1635)1(

    1635

    2435

    67 123 pi

    Pour 5=m

    +=

    +

    ++++ xX

    n

    nnnnnnn 110

    1arctg

    12863)1(

    12863

    6421

    8021

    409

    51 1234 pi

    b) Cas o 2/1+= pm Pour 2/3=m

    [ 74] +=

    xXnn 1)1(3

    1116 1pi ( 74 )

    Pour 2/5=m

    [ 75] +=

    + xXnnn 1)1(5

    1)1(321110 1

    2 pi ( 75 )

    Pour 2/7=m

    [ 76] +=

    + xXnnnn 1)1(7

    1)1(53114 1

    32 pi ( 76 )

    Pour 2/9=m

    +=

    ++ xXnnnnn 1)1(9

    1)1(74)1(

    56)1(

    341118 1

    432 pi

    Les valeurs de 1X pour LSBL sont : 1)1(1 ==mX , pi/4)2/3(1 ==mX , 2/3)2(1 ==mX , )3/(16)2/5(1 pi==mX , 8/15)3(1 ==mX , )5/(32)2/7(1 pi==mX , 16/35)4(1 ==mX ,

    )37/(256)2/9(1 pi==mX et 128/315)5(1 ==mX . Les valeurs de sont : 2)1( = ,

  • 28

    pi/4)2/3(1 ==mX , 2)2( = , )3/(20)2/5( pi = , 4/9)3( = , )15/(112)2/7( pi = , 2/5)4( = , )35/(288)2/9( pi = et 64/175)5( = .

    Dans OLSBL, on a : a) Cas o 1+= pm Pour 1=m

    =

    +=0

    0

    0

    0001

    1arctg4et1arctg)1(2

    n

    n

    n

    nnnX

    pi

    pi

    Pour 2=m

    +

    +=

    0

    00001

    1arctg

    23)1(

    232

    n

    nnnnX pi

    et

    +=0

    000

    1arctg)1(4

    n

    nnn

    pi

    Pour 3=m

    +

    ++=

    0

    0000

    201

    1arctg

    85)1(

    85

    125

    316

    n

    nnnnnX pi

    et

    +

    +=

    0

    0000

    1arctg

    43)1(

    43

    216

    n

    nnnn

    pi

    Pour 4=m

    +

    +++=

    0

    0000

    20

    301

    1arctg

    1635)1(

    1635

    2435

    672

    n

    nnnnnnX

    pi

    et

    +

    ++=

    0

    0000

    20

    1arctg

    85)1(

    85

    125

    318

    n

    nnnnn

    pi

    Pour 5=m

    +

    ++++=

    0

    0000

    20

    30

    401

    1arctg

    12863)1(

    12863

    6421

    8021

    409

    5110

    n

    nnnnnnnX

    pi

    et

    +

    +++=

    0

    0000

    20

    30

    1arctg

    6435)1(

    6435

    9635

    247

    4110

    n

    nnnnnn

    pi

    b) Cas o 2/1+= pm Pour 2/3=m

    0001 16et)1(31116 nnnX =

    =

    pi

    pi

    Pour 2/5=m

    =

    += )1(

    311110et)1(

    51)1(

    321110 00

    20001 nnnnnX

    pi

    pi

  • 29

    Pour 2/7=m

    += 30

    20001 )1(7

    1)1(53114 nnnnX

    pi

    et

    += 2000 )1(5

    1)1(321114 nnn

    pi

    Pour 2/9=m

    ++= 40

    30

    20001 )1(9

    1)1(74)1(

    56)1(

    341118 nnnnnX

    pi

    et

    += 30

    20001 )1(7

    1)1(53)1(1118 nnnnX

    pi

    Profils de vitesse de la couche limite variable (LSBL et OLSBL) : a) Cas o 1+= pm Pour 1=m (modle de Bingham) [ 77] ( )

    =+

    =

    236

    et326

    1)( 2 pppG ( 77 )

    En intgrant )( pG par rapport p , on obtient lexpression de la fonction F . Avec les conditions )1()( +==

    F et 0)0( ==F , on dduit ensuite :

    [ 78] ( )31

    21

    ;1426

    et3112 +

    +=+=

    ( 78 ) on a aussi :

    [ 79]

    =

    23)1(6 ( 79 )

    Pour 2=m

    [ 80] ( )1015630

    1)( 2232 +

    = ppppG ( 80 )

    avec

    [ 81] 41

    21

    ;61510

    26521

    et61510

    302

    2

    2

    2

    ++

    =

    +

    = ( 81 ) et

    [ 82] 2

    2

    61510)1(30

    +

    = ( 82 )

    Pour 3=m

    [ 83] ( )35847020140

    1)( 223343 ++

    = pppppG ( 83 )

    avec

    [ 84] 51

    21

    ;207084355202814

    21

    et20708435

    14032

    32

    32

    3

    ++

    =

    +

    = ( 84 ) et

  • 30

    [ 85] 32

    3

    20708435)1(140

    +

    = ( 85 )

    Pour 4=m ( )12642054031570

    1601)( 22334454 ++

    = ppppppG

    avec

    12642054031570630

    234

    4

    ++

    =

    et

    61

    21;

    12642054031570421201357014

    21

    234

    234

    ++++

    =

    12642054031570)1(630

    234

    4

    ++

    =

    Pour 5=m ( )4621980346530801386252

    27721)( 2233445565 +++

    = pppppppG

    avec

    46219803465308013862522772

    2345

    5

    +++

    =

    et

    71

    21;

    462198034653080138625213249577061625242

    21

    2345

    2345

    ++++

    =

    4621980346530801386252)1(2772

    2345

    5

    +++

    =

    b) Cas o 2/1+= pm Pour 2/3=m

    +

    =

    p

    pppppppG

    1arctg

    163

    163

    81

    23)1(

    41)( 22334

    avec

    +

    =

    1arctg

    163

    163

    81

    23)1(

    4

    23

    4

    et

    +

    =

    1arctg

    163

    163

    81

    23)1(

    )1(423

    2/32/5

    Pour 2/5=m

  • 31

    +

    =

    p

    p

    ppppppp

    pG

    1

    arctg2565

    2565

    3845

    961

    169

    65

    31)1(

    21)(

    22334455

    6

    avec

    +

    =

    1arctg

    2565

    2565

    3845

    961

    169

    65

    31)1(

    2

    2345

    6

    et

    +

    =

    1arctg

    2565

    2565

    3845

    961

    169

    65

    31)1(

    )1(22345

    2/52/7

    Pour 2/7=m

    ++

    =

    p

    p

    pp

    ppppp

    pp

    pG

    1

    arctg204835

    204835

    307235

    7687

    1281

    4885

    24101

    27

    )1(

    81)(

    22

    3344556677

    8

    avec

    ++

    =

    1arctg

    204835

    204835

    307235

    7687

    1281

    4885

    24101

    27)1(

    8

    234567

    8

    et

    ++

    =

    1arctg

    204835

    204835

    307235

    7687

    1281

    4885

    24101

    27)1(

    )1(8234567

    2/72/9

    Pour 2/9=m

    ++

    =

    p

    p

    pppp

    ppppp

    pp

    pG

    1

    arctg65536

    63

    6553663

    3276821

    4096021

    204809

    25601

    25693

    6477

    160247

    109

    51

    )1(

    21)(

    223344

    5566778899

    10

    avec

    ++

    =

    1arctg65536

    63

    6553663

    3276821

    4096021

    204809

    25601

    25693

    6477

    160247

    109

    51

    )1(

    2

    23

    456789

    10

    et

  • 32

    ++

    =

    1arctg65536

    63

    6553663

    3276821

    4096021

    204809

    25601

    25693

    6477

    160247

    109

    51

    )1(

    )1(2

    23

    456789

    2/92/11