Cours 1 : les effets électro-optiques

Cours 1 : les effets électro-optiques

• Principe

• Anisotropie optique (rappels)‒ La permittivité diélectrique [휀𝑟]‒ L’ellipsoïde des indices

‒ L’imperméabilité diélectrique [𝜂]

• Effets d’orientation dans les cristaux liquides

• Les effets électro-optiques‒ Définitions et coefficients

‒ Symétries thermodynamiques

‒ Symétries cristallines

Effets

électro-

optiques

1


• Modulation électro-optique‒ Modulation de polarisation

‒ Modulation d’amplitude

‒ Modulation de phase

‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse

• Les composants EO massifs‒ Modulateur longitudinal / modulateur transverse

• Les composants EO intégrés‒ Modulateurs & obturateurs

‒ Coupleur directionnel

• Bande passante d’un modulateur EO‒ Limitation par la capacité du cristal

‒ Limitation par temps de transit de l’onde optique

Effets

électro-

optiques

2






• Les composants EO massifs‒ Configuration longitudinale / configuration transverse





Effets

électro-

optiques

3

Modulation électro-optique (1)

• Onde plane se propageant

selon z (axe optique du

cristal)

• Onde incidente polarisée

linéairement

sinp

cospp

y

x

y

x

z

4

Effets

électro-

optiques

Exemple d’une plaque de KDP d’épaisseur d

kztiexppAt,zAin 0

p

Modulation

EO


• L’application d’un champ 𝐸0 // z tourne les axes

principaux de 45° x’, y’

• Indices principaux :




cristal)

• Onde incidente polarisée

linéairement

y

x

z

5

Effets

électro-

optiques

x’y’ 𝐸0

sinp

cospp

y

x

zoo'yzoo'x Ernnn,Ernnn 633

633

2

1

2

1

kztiexppAt,zAin 0

p

Modulation

EO


• Onde en sortie du cristal :




cristal)

• Dans les nouveaux axes

propres (x’, y’)

y

x

z

6

Effets

électro-

optiques

x’y’ 𝐸0

)/sin(p

)/cos(pp

'y

'x

4

4

dniexp)/sin(

dniexp)/cos(

kztiexpAt,zA

'y

'x

out

0

00

24

24

kztiexppAt,zAin 0

p

Modulation

EO






cristal)



y

x

z

p

7

Effets

électro-

optiques

x’y’ 𝐸0

kztiexppAt,zAin 0

)/sin(p

)/cos(pp

'y

'x

4

4

2/iexp)4/sin(

2/iexp)4/cos(d

2

nn2kztiexpAt,zA

'y'x

0

0out

dErnd)nn( z'x'y 6330

00

22

Modulation

EO

Déphasage 𝜑 ?

Exemple : Cas où la polarisation incidente est selon y


Modulation de polarisation

y

x

z

p

8

Effets

électro-

optiques

x’y’ 𝐸0

21

21

/p

/pp

'y

'x

2

2

/iexp

/iexptiexpt,zAout

𝜃 =𝜋

2/4

x'y'

x'y'x'y'

x'y'

x'y'

x'y'

x'y'

x'y'

dErn)nn( z'x'y 6330

00

22

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

/2

3/4

/4

5/4

3/2

7/4

0

Modulation d’amplitude

amplitude émergente:

y

x

z

x’y’

p

a

4

4

sina

cosa

sina

cosaa

'y

'x

y

x

4

4

24

242

2

00

sin

cos

iexpsin

iexpcos

dnn

tiexpAaAA'y'x

outtrans

t,zAtrans

9

Effets

électro-

optiques

Effet d’un analyseur :

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude



y

x

z

x’y’

p

a

21

21

/a

/aa

'y

'x

1

1

2

22

2

2 0

0

iexp

iexpd

nntiexp

AaAA

'y'x

outtrans

10

Effets

électro-

optiques

Exemple : polariseur // y ; analyseur // x

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

t,zAtrans



y

x

z

x’y’

p

a

21

21

/a

/aa

'y

'x

22

2

2

2 0

0

sinid

nntiexp

AaAA

'y'x

outtrans

11

Effets

électro-

optiques


t,zAtrans

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude


intensité émergente:

y

x

z

x’y’

p

a

21

21

/a

/aa

'y

'x

22

0

sinIItrans

2

transtrans AI

12

Effets

électro-

optiques


Modulation d’amplitude pure

dErn z6330

0

2

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Modulation d’amplitude en fonction du

déphasage induit

0

/2

3/2

/43/4

5/47/4

x'y'

x'y'x'y'

x'y'

x'y'

x'y'

x'y'

x'y'

Polariseur

Analyseur

Onde transmise

13

Effets

électro-

optiques

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Le modulateur d’amplitude

électro-optique

Polarisation

d’entrée à 45°des lignes

neutres

dd

VrnsinI

dErnsinIdI z

trans 2

2

2

2 6330

0

20

6330

0

20

Tension demi-onde V cas du KDP :

V

VsinIsinIdItrans 22

20

20

6330

0

2 rnV

?V

m5,0

V.m1006,1r

51,1n

0

111

63

0

14

Effets

électro-

optiques

V

p

y’

a

dx’

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

kV,V

m,

V.m,r

,n

856

50

10061

511

0

11163

0

Non linéarité & biais

du modulateur d’amplitude électro-optique

V

VsinIdItrans 2

20

15

Effets

électro-

optiques

V

p

y’

a

dx’

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Non linéarité & biais

du modulateur d’amplitude électro-optique

V

VsinIdItrans 2

20

V

V

22

1I

V

V

24sinIdI 0

2

0trans

16

Effets

électro-

optiques

V

p

y’

a

dx’

/4

V

p

y’

a

d x’

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude






cristal)



y

x

z

p

17

Effets

électro-

optiques

x’y’ 𝐸0

kztiexppAt,zAin 0

)/sin(p

)/cos(pp

'y

'x

4

4

24

24

2

2

00

/iexp)/sin(

/iexp)/cos(d

nnikztiexpAt,zA

'y'x

out

dErnd)nn( z'x'y 6330

00

22

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Modulateur de

phase

Déphasage 𝜑 ∶

Modulateur de phase électro-optique

• Polarisation d’entrée le long d’une ligne neutre

V

V

2iexp.d

2

nn2kztiexpAA

'y'x

0

0trans

V

p

y’a

x’

18

Effets

électro-

optiques Exemple : p // y’ (𝜃 =3𝜋

4)

2/iexp

0d

2

nn2kztiexpAt,zA

'y'x

0

0out

Modulation de phase pure, sans changement de la

polarisation ni de l’amplitude

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Modulateur de

phase

Tension de modulation : 𝑉 = 𝑉𝑚 sin 𝜔𝑚𝑡Champ émergent modulé en phase :

avec 𝐽−𝑝 𝛿 = −𝐽𝑝(𝛿)

𝛿 = −𝜋

2

𝑉𝑚

𝑉𝜋: indice de modulation de la phase

Transfert d’énergie de la porteuse (𝜔) vers la bande

latérale (𝜔 + 𝑝𝜔𝑚) efficacité de transfert : 𝐽𝑝2(𝛿)


t)p(iexp)(JAtsintiexpAA m

p

pmtrans

19

Effets

électro-

optiques

Bandes

latérales

Efficacité

de

modulation

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Modulateur de

phase


20

Effets

électro-

optiques 𝐽02(𝛿)

𝐽12(𝛿)

𝐽22(𝛿)

𝐽32(𝛿)

𝐽42(𝛿)

1.8rad

0.34

Modulation

EO

Modulation de

polarisation

Modulation

d’amplitude

Modulateur de

phase

𝛿











Effets

électro-

optiques

21

Configuration Longitudinale

• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du

champ appliqué sont colinéaires.

Avantages :

- tension 𝑉𝜋 indépendante de l’épaisseur 𝑑 insensible aux variations thermiques

- tension 𝑉𝜋 indépendante des dimensions

des électrodes grande surface possible

- transmission élevée (T~ 98%)

- taux d’extinction élevé possible (>500:1)

Inconvénients : - nécessite des électrodes transparentes

- tension 𝑉𝜋 ~quelques kV (croît avec 𝜆0)

dd

VrndErn z 63

30

063

30

0

22

22

Effets

électro-

optiques

V

𝐸

Électrodes transparentes

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

𝑑

Configuration Longitudinale


champ appliqué sont colinéaires.

Applications :

- cellule de Pockels

pour laser Q-switch

intra-cavité

dd

VrndErn z 63

30

063

30

0

22

23

Effets

électro-

optiques

V

𝑑

𝐸

Électrodes transparentes

Ouverture

utile : 8mm

Capacité ~ 8pF

temps de montée ~ 2 ns

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Configuration Transverse

y

y’

x

x'

z

d

L

k0

V

24

Effets

électro-

optiques

d

LVrnL)nn( o

eo 2

22 633

00

Exemple du KDP avec un champ

appliqué selon z (axe optique du

cristal)

𝑉𝜋′ = 2

𝑑

𝐿𝑉𝜋


champ appliqué sont perpendiculaires.

V

L𝐸

𝑑

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse


25

Effets

électro-

optiques• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du


V

L𝐸

𝑑

Avantages :

- tension 𝑉𝜋 plus faible (rapport d/L)

modulation EO

Inconvénients :

- Déphasage de biais à tension nulle, lié à la biréfringence

naturelle

Dérive importante avec la température (peut être compensée

par l’emploi de plusieurs cristaux en série)

- Cristal long transmission optique moins bonne

- Faible ouverture il faut focaliser le faisceau laser

taux d’extinction moins élevé

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse


26

Effets

électro-

optiques• Le champ électrique appliqué et le vecteur de propagation du


V

L𝐸

𝑑

Applications :

modulateurs EO (amplitude, phase)

Cristal : LiNbO3

Ouverture : 1mm

Fréquence de modulation :

jusqu’à ~10GHz

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Modulateurs en KDP

en configuration transverse

d

LVrnL)nn( oeo 2

2263

3

00

27

Effets

électro-

optiques

y'

x 'x '

z'z' V

p aModulateur d’amplitude

2

20

sinIdItrans

y'

x '

z' V

p

Modulateur de phase

d

VrnLn oo 2

12 63

2

0

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Modulateur de phase en LiNbO3

28

Effets

électro-

optiques

y'

x '

z' Vp

• Effet Pockels dans le LiNbO3

• Configuration préférentielle : E0 // (z) et polarisation

incidente extraordinaire exploite r33 élevé

d

VrnLn ee 2

12 33

2

0

11210

0086

00632

06320

93000

69860

69860

V.m

.

.

.

.

..

..

r

V

V0

avec 𝑉𝜋 =𝜆0

𝑛𝑒3𝑟33

𝑑

𝐿

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Du modulateur de phase …

au modulateur d’amplitude

– On insère un modulateur EO dans un bras d’interféromètre de

Mach-Zehnder

– L’EO permet de moduler

le déphasage entre les deux

bras de l’interféromètre

𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠2 𝜑

2= 𝐼𝑖𝑛𝑐𝑜𝑠2 𝜑0

2−

𝜋

2

𝑉

𝑉𝜋

– Si 𝜑0 multiple de 2𝜋, on a un obturateur : 𝐼𝑜𝑢𝑡 𝑉 = 0 = 𝐼𝑖𝑛

𝐼𝑜𝑢𝑡 𝑉 = 𝑉𝜋 = 0

– Si 𝜑0 = 𝜋/2, on a un modulateur petit signaux :

𝐼𝑜𝑢𝑡 = 𝐼𝑖𝑛 1 + sin 𝜋𝑉

𝑉𝜋

M1

V

M21LS

2LS

Effets

électro-

optiques

29

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse











Effets

électro-

optiques

30

Modulateurs transverses

en guides d’onde

• Implantation d’un guide d’onde dans le LiNbO3 :

deux méthodes possibles

– Echange protonique (Li+ H+) : Δ𝑛𝑒 > 0, mais Δ𝑛𝑜 < 0 :

seule l’onde extraordinaire est guidée

31

Effets

électro-

optiques

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO


en guides d’onde





– Diffusion de titane (Ti) dans la maille cristalline de LiNbO3 :

Δ𝑛𝑒 > 0 et Δ𝑛𝑜 > 0 : les deux polarisations peuvent être

guidées

32

Effets

électro-

optiques

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO


en guides d’onde





– Diffusion de titane (Ti) dans la maille cristalline de LiNbO3 :

Δ𝑛𝑒 > 0 et Δ𝑛𝑜 > 0 : les deux polarisations peuvent être

guidées

• Exemples

33

z

x

3LiNbO

Champ électrique horizontal &

parallèle à z

z

x3LiNbO

Champ électrique vertical &

parallèle à z

Effets

électro-

optiques

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO

Modulateurs & obturateurs intégrés

• Le modulateur EO de Mach-Zehnder intégré

Fibre à

maintien de

polarisation

VCoupleur en Y

Effets

électro-

optiques

34

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO

Coupleur directionnel EO

• L’EO permet de contrôler la constante de

propagation dans un guide d’onde …

… et donc le couplage entre deux guides d’onde

𝐿0 : longueur de couplage

Lorsque V=0, 𝑃2 𝐿0 = 𝑃1 0 : transfert total d’énergie de 1 2

Lorsque 𝑉 ≠ 0, 𝑃2 𝐿0 = 𝑃1 0𝜋

2

2𝑠𝑖𝑛𝑐2 𝜋

21 +

Δ𝛽 𝐿0

𝜋

2

avec Δ𝛽 =2𝜋

𝜆0𝑛1 − 𝑛2 =

2𝜋

𝜆0𝑛3𝑟𝑒𝑓𝑓𝛼

𝑉

𝑑

Fibres

V

)(P 01 )L(P 01

)L(P 02

0L

d

Δ𝛽 𝐿0 = 𝜋 3 ⟹ 𝑃2 𝐿0 = 0

Effets

électro-

optiques

35

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO











Effets

électro-

optiques

36

Exercice : fréquence de modulation d’un

modulateur de phase en LiNbO3 (1)

• Modulateur transverse en LiNbO3

𝑛𝑜 = 2.3, 𝑛𝑒 = 2.2, 𝜆0 = 850nm

Dimensions : L=3cm, d=3mm

A haute fréquence : 휀𝑟 = 43

Impédance du générateur RF : R = 50Ω

– Capacité C du cristal EO ? Bande passante ?

• On insère le cristal EO dans un circuit résonant

(𝑅𝐿 = 50𝑘Ω) et on veut moduler à 𝑓𝑚 = 10GHz

– Déterminer l’inductance L0

– Bande passante ?

– Tension nécessaire pour induire

un déphasage de 𝜋 ?

– Puissance consommée ?

V EO

R

V EO

R

RL L0

Effets

électro-

optiques

37

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO

Exercice : fréquence de modulation d’un

modulateur de phase en LiNbO3 (2)

• Limitation par temps de transit de l’onde optique

– Déphasage cumulé sur le temps de transit 𝜏 =𝑛

𝑐𝐿 ?

– Fréquence de modulation conduisant à une atténuation du

déphasage cumulé d’un facteur 0.64? ( 2

𝜋= 0.64)

• Modulateur à onde progressive : l’onde RF se

propage avec une vitesse 𝑣𝑚 =𝑐

𝑛𝑚, où 𝑛𝑚=1.84

𝐸 𝑡′, 𝑦′ = 𝐸0 cos(𝜔𝑚[𝑡′−𝑦′/𝑣𝑚])

– Fréquence de modulation

conduisant à une atténuation du

déphasage cumulé de 0.64?

Vm

Zm

t

t +t

Effets

électro-

optiques

38

Réponse : 2.3GHz

Réponse : 13.9GHz

Modulation EO

Configurations

longitudinale

& transverse

Composants

EO intégrés

Bande

passante d’un

modulateur EO

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Cours 1 : les effets électro-optiques