Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normalerau/retro stat inf/c2.pdf · Loi d’une v.a continue Lois à densité classiques (autre que la loi normale) loi normale Cours

Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)

loi normale

Cours 2: Variables aléatoires continues, loinormale

Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan

Module: Stat inférentielles

Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale


loi normale

1 Loi d’une v.a continueDéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue

2 Lois à densité classiques (autre que la loi normale)Loi uniformeLoi exponentielle

3 loi normaleLoi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2,Student, Fisher-Snedecor



loi normale

DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue






loi normale


Définition

DefinitionUne variable aléatoire est une application de l’univers Ω dans R

X : Ω −→ Rω 7−→ X (ω)

Une variable aléatoire est généralement désignée par unelettre majuscule X ,Y , etc. La variable aléatoire est ditecontinue si l’ensemble X (Ω) est un intervalle (ou une réuniond’intervalles) de R.Exemple : X :=taille d’un individu



loi normale


Définition

DefinitionUne variable aléatoire est une application de l’univers Ω dans R

X : Ω −→ Rω 7−→ X (ω)

Une variable aléatoire est généralement désignée par unelettre majuscule X ,Y , etc. La variable aléatoire est ditecontinue si l’ensemble X (Ω) est un intervalle (ou une réuniond’intervalles) de R.Exemple : X :=taille d’un individu



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Problemes que soulévent cette définition

La description d’une loi continue diffère de celles des loisdiscrètes puisque pour une variable aléatoire continue X , laprobabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle,P[X = x ] = 0 . Il y a en effet une infinité de valeurs dans R oudans un intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises,le poids de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’ilen est nul !Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1,8245756) = 0Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnéedes probabilités des événements élémentaires. Par contre, ilest possible de déduire les probabilités que X prenne sesvaleurs dans une partie de R à partir de la fonction derépartition definie par :

F (x) = P[X ≤ x ] = P[X < x ].Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale


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Quelques propriétés de la fonction de répartition

PropositionOn a les propriétés suivantes :

1 F est une continue,2 limx→−∞ F (x) = 0 et limx→+∞ F (x) = 1,3 F est une fonction croissante,4 Pour tous a,b ∈ R et a < b,

F (b)− F (a) = P[a < X ≤ b].



loi normale


Densité

DefinitionUne variable aléatoire possède une densité si sa fonction derépartition F est dérivable. La dérivée notée f est appeléedensité de probabilité de la variable aléatoire X.

PropositionDe ce fait,

P[a ≤ X ≤ b] =

∫ b

af (t)dt ,

et la probabilité de trouver X dans un intervalle [a,b] donné,apparaît comme l’aire d’une partie du graphique située entre lacourbe de la densité f et l’axe des abscisses.



loi normale




loi normale


Origine de ces points de vue : histogramme desfréquences d’une série regroupée par classe dontl’amplitude des classes devient "petites"...



loi normale


Origine de ces points de vue : histogramme desfréquences d’une série regroupée par classe dontl’amplitude des classes devient "petites"...



loi normale


Quelques propriétés de la densité

Proposition1 ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0.2 ∫ +∞

−∞f (x)dx = 1.

3

P[a < X ≤ b] = F (b)− F (a) =

∫ b

af (x)dx .



loi normale


Paramètres d’une loi continue

PropositionSoit X une variable aléatoire continue de Ω dans R de densitéf . On calcule espérance et variance à l’aide des formulessuivantes :

E(X ) =

∫R

t f (t) dt ,

et

var(X ) = E[(X − E(X ))2] =

∫R

(t − E(X ))2 f (t) dt

= E(X 2)− E(X )2 =

∫R

t2f (t) dt − (

∫R

t f (t) dt)2.

Comparer ces formules avec le cas discret...Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale


loi normale


Paramètres d’une loi continue

PropositionSoit X une variable aléatoire continue de Ω dans R de densitéf . On calcule espérance et variance à l’aide des formulessuivantes :

E(X ) =

∫R

t f (t) dt ,

et

var(X ) = E[(X − E(X ))2] =

∫R

(t − E(X ))2 f (t) dt

= E(X 2)− E(X )2 =

∫R

t2f (t) dt − (

∫R

t f (t) dt)2.

Comparer ces formules avec le cas discret...Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale


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Loi uniformeLoi exponentielle






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Loi uniforme

Cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalledonné.

DefinitionLa v.a. X suit une loi uniforme sur l’intervalle borné [a; b] si ellea une densité f constante sur cet intervalle et nulle en dehors.Elle est notée U([a; b]). Sa densité est alors,

f (x) =

1/(b − a) si x ∈ [a; b],0 sinon

Cette loi est l’équivalent continue de la loi discréte equirépartie.Son espérance est E[X ] = (b + a)/2 et sa variance estVar(X ) = (b − a)2/12.



loi normale


Loi uniforme

Cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalledonné.

DefinitionLa v.a. X suit une loi uniforme sur l’intervalle borné [a; b] si ellea une densité f constante sur cet intervalle et nulle en dehors.Elle est notée U([a; b]). Sa densité est alors,

f (x) =

1/(b − a) si x ∈ [a; b],0 sinon

Cette loi est l’équivalent continue de la loi discréte equirépartie.Son espérance est E[X ] = (b + a)/2 et sa variance estVar(X ) = (b − a)2/12.



loi normale


Proposition

Si X est une v.a de loi uniforme sur [a; b] alors pour toutintervalle I de R :

P(X ∈ I) =l([a; b] ∩ I)

l([a; b]),

où l(J) désigne la longueur de l’intervalle J (ex : l([a ;b])=b-a).



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Loi exponentielle

DefinitionSoit α un réel strictement positif. La v.a X suit une loiexponentielle de paramètre α, notée E(α), si elle admet pourdensité :

f (x) = αe−αx1[0;+∞[(x).

Son espérance est E(X ) = 1/α et sa variance estvar(X ) = 1/α2.



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Loi exponentielle

DefinitionSoit α un réel strictement positif. La v.a X suit une loiexponentielle de paramètre α, notée E(α), si elle admet pourdensité :

f (x) = αe−αx1[0;+∞[(x).

Son espérance est E(X ) = 1/α et sa variance estvar(X ) = 1/α2.



loi normale


Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliserdes temps d’attente ou des durées de vie.Par exemple, les temps d’attente à partir de maintenant duprochain tremblement de terre, de la prochaine panne d’unappareil, de la prochaine désintégration dans un réacteurnucléaire suivent des lois exponentielles.

Le paramètre α désigne alors l’inverse du temps d’attentemoyen.



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loi normale






loi normale

Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor






loi normale


Introduction

La loi normale est apparu naturellement (d’où son nom) commelimite de certains processus. Ce point sera developpé dans lechapitre "Théorème central limite"C’est la loi la plus connue des probabilités, parfois sous levocable loi de Laplace-Gauss et caractérisée par une célèbre"courbe en cloche".



loi normale


Introduction

La loi normale est apparu naturellement (d’où son nom) commelimite de certains processus. Ce point sera developpé dans lechapitre "Théorème central limite"C’est la loi la plus connue des probabilités, parfois sous levocable loi de Laplace-Gauss et caractérisée par une célèbre"courbe en cloche".



loi normale


Définition, loi normale centrée réduite

DefinitionLa loi normale centrée réduite est une la loi continue, d’unev.a. X à valeurs dans X (Ω) = R tout entier, définie à partir de ladensité

f (x) =1√2π

e−x2

2

Il n’existe par contre pas d’expression simple de sa fonction derépartition autre que la formule intégrale

∀a ∈ R, F (a) =

∫ a

−∞f (t)dt



loi normale


Définition, loi normale centrée réduite

DefinitionLa loi normale centrée réduite est une la loi continue, d’unev.a. X à valeurs dans X (Ω) = R tout entier, définie à partir de ladensité

f (x) =1√2π

e−x2

2

Il n’existe par contre pas d’expression simple de sa fonction derépartition autre que la formule intégrale

∀a ∈ R, F (a) =

∫ a

−∞f (t)dt



loi normale


Allure de la densité normale centrée réduite



loi normale


RemarqueDans les pratiques, les probabilités d’événements de v.a.suivant une loi normales sont répertoriées dans des tablesfacilement manipulables.



loi normale


Table de la loi normale centrée réduite

On lit par exemple P(X ≤ 0,64) = 0,7389.Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale


loi normale


Table de la loi normale centrée réduite

On lit par exemple P(X ≤ 0,64) = 0,7389.Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale


loi normale


Remarque

Il existe des tables "inverses" qui à un nombre r ∈ [0,1] associeur tel que P(X ≤ ur ) = r (cf TD)



loi normale


Paramètres de la loi normale centrée réduite

Un calcul intégral plus élaboré donne :

Proposition (Espérance et variance)

E[X ] = 0,V (X ) = 1.

Exo : Vérifier la valeur de l’espérance ! ! !



loi normale


Paramètres de la loi normale centrée réduite

Un calcul intégral plus élaboré donne :


E[X ] = 0,V (X ) = 1.

Exo : Vérifier la valeur de l’espérance ! ! !



loi normale


Loi normale générale

On dit que X suit une N (µ, σ), si la densité est :

f (x) =1

σ√

2πe

−(x−µ)2

2σ2

L’usage d’un changement de variable t = (x−µ)σ permet de se

ramener à un calcul d’intégrale à partir de la loi N (0,1), ce quinous permettra de consulter les tables existant pour la loistandard précédente. On a le théorème suivant :



loi normale




f (x) =1

σ√

2πe

−(x−µ)2

2σ2





loi normale




f (x) =1

σ√

2πe

−(x−µ)2

2σ2





loi normale



ThéorèmeSoit X une variable aléatoire de loi normale N (µ, σ) et Z lavariable aléatoire définie par

Z =X − µσ

,

alors Z suit une loi normale centrée réduite N (0,1).

Attention, certains auteurs utilisent la notation N (µ, σ2) et pasN (µ, σ).



loi normale



ThéorèmeSoit X une variable aléatoire de loi normale N (µ, σ) et Z lavariable aléatoire définie par

Z =X − µσ

,

alors Z suit une loi normale centrée réduite N (0,1).

Attention, certains auteurs utilisent la notation N (µ, σ2) et pasN (µ, σ).



loi normale


Paramètres

On a également :


E[X ] = µ,

V (X ) = σ2.



loi normale


Allure de la densité en fonction de µ et σ



loi normale


Manipulation de la loi normale

Considérons X une v. a. qui suit une loi N (6,2)(σ(X ) vaut donc ici 2 et E(X ) = 6)Et soit Z une v.a. de loi N (0,1), on a par exemple

P[X ≤ 7] = P[X − 6

2≤ 7− 6

2]

= P[Z ≤ 1

2]

= 0.6915.



loi normale




P[X ≤ 7] = P[X − 6

2≤ 7− 6

2]

= P[Z ≤ 1

2]

= 0.6915.



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P[X ≤ 7] = P[X − 6

2≤ 7− 6

2]

= P[Z ≤ 1

2]

= 0.6915.



loi normale




P[X ≤ 7] = P[X − 6

2≤ 7− 6

2]

= P[Z ≤ 1

2]

= 0.6915.



loi normale


Concentration autour de la moyenne

Dans l’intervalle [m − σ,m + σ] de longueur 2σ et centré autourde la moyenne, on peut calculer qu’il y a 68% des individus,lorsque qu’une v.a. suit une loi N (m, σ) :

P[m − σ ≤ X ≤ m + σ] = 0.68

On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loinormale N (m, σ) est approximativement situé entre m − 2σ etm + 2σ. Plus exactement,

P[m − 1.96σ ≤ X ≤ m + 1.96σ] = 0.95

et on a mème 99,7% des individus entre m − 3σ et m + 3σ :

P[m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ] = 0.997



loi normale




P[m − σ ≤ X ≤ m + σ] = 0.68


P[m − 1.96σ ≤ X ≤ m + 1.96σ] = 0.95


P[m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ] = 0.997



loi normale




P[m − σ ≤ X ≤ m + σ] = 0.68


P[m − 1.96σ ≤ X ≤ m + 1.96σ] = 0.95


P[m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ] = 0.997



loi normale



Autrement dit, lorsque l’on a une variable aléatoire qui suit uneloi normale N (m, σ), on est "pratiquement sûr" que la valeur sesituera entre m − 3σ et m + 3σ.



loi normale



Autrement dit, lorsque l’on a une variable aléatoire qui suit uneloi normale N (m, σ), on est "pratiquement sûr" que la valeur sesituera entre m − 3σ et m + 3σ.



loi normale


La loi normale comme limite en loi

Proposition

Soit Sn binomiale B(n; p) et U ∼ N (0; 1). On a :

Sn − np√

npqL−→

n→∞U,

qui peut également s’écrire

SnL−→

n→∞N (np;

√npq).

Dans la pratique, on considère que l’approximation est bonnelorsque n ≥ 30, n · p ≥ 5 et n · (1− p) > 5

p ne doit donc pas être trop proche de 0 ou de 1.



loi normale



Cette propriété est une conséquence du Théoréme centrallimite que l’on abordera au chapitre suivant.Ne pas confondre l’approximation de la loi de poisson parune binomiale et celle de la loi normale ! ! !



loi normale



Cette propriété est une conséquence du Théoréme centrallimite que l’on abordera au chapitre suivant.Ne pas confondre l’approximation de la loi de poisson parune binomiale et celle de la loi normale ! ! !



loi normale


Loi du Khi-deux

DefinitionSoient X1, ...,Xn des v.a indépendantes de même loi N (0,1).Posons

Z =∑

i=1...n

X 2i ,

par définition la v.a. Z suit une loi du khi-deux à n degré(s) deliberté (abréviation d.d.l.). On la note χ2(n).

Quelques Propriétés :- Z ≥ 0, cette loi n’est donc pas symétrique,- Z admet une densité,- E(Z ) = n et Var(Z ) = 2n



loi normale


Loi du Khi-deux

DefinitionSoient X1, ...,Xn des v.a indépendantes de même loi N (0,1).Posons

Z =∑

i=1...n

X 2i ,

par définition la v.a. Z suit une loi du khi-deux à n degré(s) deliberté (abréviation d.d.l.). On la note χ2(n).

Quelques Propriétés :- Z ≥ 0, cette loi n’est donc pas symétrique,- Z admet une densité,- E(Z ) = n et Var(Z ) = 2n



loi normale


Allure de la densité d’un χ2

FIGURE: Densité de la loi χ2(k).



loi normale


Loi de Student

Definition

Soient X ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X√Y/n

. Alors T

suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note T (n)ou Student(k)



loi normale


Allure de la densité de Student

FIGURE: Densité de la loi de Student(n).



loi normale


Loi de Fisher-Snedecor

DefinitionSoient X et Y deux variables aléatoires indépendantes tellesque X ∼ χ2(n) et Y ∼ χ2(m). Alors, on dit que la variable

Z =XnYm

suit une loi de Fisher-Snedecor(n,m). On la note F(n,m)



loi normale


Allure de la densité de Fisher-Snedecor

FIGURE: Densité de la loi de Fisher-Snedecor F(d1,d2).



loi normale


Ces trois derniéres lois seront utiles dans la théorie des tests.L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas àconnaître (sauf pour la loi normale). Des tables statistiques etdes logiciels permettent de les manipuler.



loi normale


Ces trois derniéres lois seront utiles dans la théorie des tests.L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas àconnaître (sauf pour la loi normale). Des tables statistiques etdes logiciels permettent de les manipuler.


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