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Cours 5 : Conception et réglage des régulateurs Olivier Sename GIPSA-lab Septembre 2017 Olivier Sename (GIPSA-lab) Asservissement Septembre 2017 1 / 17

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Cours 5 : Conception et réglage des régulateurs

Olivier Sename

GIPSA-lab

Septembre 2017

Olivier Sename (GIPSA-lab) Asservissement Septembre 2017 1 / 17

1 Introduction

2 Correcteurs : réglage fréquentielAction dérivéeAction IntégralePID

3 Placement des pôles

O. Sename [GIPSA-lab] 2/17

Introduction

Introduction

Objectif : réaliser un correcteur K(s) introduit dans la boucle de régulation afin quel’asservissement possède les performances désirées du point de vue : Stabilité, Précision,Rapidité.

Nécessité de COMPROMIS.

O. Sename [GIPSA-lab] 3/17

Introduction

Compromis Rapidité - Précision

Soit K(s) = Kp et G(s) = K1+τs

; en BF :

HBF (s) =KKp

1 +KKp

1

1 + τ1+KKp

s

• Précision : ε0 = 11+KKp

• Rapidité : tr5% = 3τ1+KKp

Si on fixe ε0 = 5%⇒ 1 +KKp = 20 soit un temps de réponse 20 fois plus petit en BF.• risque de saturer les actionneurs• Constantes de temps négligées plus négligeables

O. Sename [GIPSA-lab] 4/17

Introduction

Compromis Stabilité - Précision

En général (sauf 1er ordre et 2eme ordre), plus on augmente le gain en BO, plus le système enBF est précis mais moins il est stable. Exemple :

HBO(s) =K

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)

où T1 > 0, T2 > 0, T3 > 0 et K > 0 est variable. Précision (consigne échelon) : ε0(∞) = 11+K

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Ope

n-Lo

op G

ain

(dB

)

-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

6 dB 3 dB

1 dB 0.5 dB

0.25 dB 0 dB

-1 dB

-3 dB -6 dB

-12 dB

-20 dB

-40 dB

-60 dB

-80 dB

-100 dB

-120 dB

-140 dB

K=30K=10K=5

O. Sename [GIPSA-lab] 5/17

Introduction

Pourquoi un contrôleur de type ’simple gain’ ne suffit-il pas ?

Considérons un système du second ordre :

G(s) =K

1 + 2ξ sωn

+ s2

ω2n

et le régulateur K(s) = Kp. D’où

HBO(s) =KKp

1 + 2ξ sωn

+ s2

ω2n

Alors en Boucle Fermée:

HBF (s) =KKp

1 +KKp + 2ξ sωn

+ s2

ω2n

=KKp

KKp + 1×

1

1 + 2 ξ(KKp+1)

sωn

+ s2

ω2n(KKp+1)

• ε0 = 11+KKp

; Kp grand⇒ système plus précis

• ωn(BF ) = ωn(B0)√KKp + 1

• ξ(BF ) =ξ(BO)√KKp+1

; Kp grand⇒ système plus oscillant

Précision et rapidité ne dépendent que d’un seul paramètre. Insuffisant.

O. Sename [GIPSA-lab] 6/17

Introduction

Les différents types de correcteurs : Réglage fréquentiel

Précision

Pour gagner en précision, il faut augmenter le module en basse fréquence ou introduire desintégrateurs.En effet soit ωc est telle que | HBO(jωc) |= 1 . Supposont:

| HBO(jωc | >> 1 pour ω << ωc (1)

| HBO(jωc) | << 1 pour ω >> ωc (2)

Alors, comme HBF = HBO1+HBO

on a

| HBF (jωc) | ∼ 1 pour ω << ωc (3)

| HBF (jωc) | ∼| HBO | pour ω >> ωc (4)

Stabilité

Pour gagner en stabilité, il faut augmenter la marge de phase dans la zone de pulsation ωπ où laphase du système en BO passe par −180o.Deux grand type de correcteurs : correcteur dérivé (avance de phase) et correcteur intégral(retard de phase).

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Correcteurs : réglage fréquentiel Action dérivée

Action Dérivée

On cherche à améliorer la stabilité sans toucher à la précision. On va pour cela augmenter laphase du système en BO à la fréquence proche de ωc. Exemple T1 > T2 > T3 > 0, K > 0:

G(s) =K

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitu

de (

dB)

K=30K=10K=5

Marge de stabilité nulle.O. Sename [GIPSA-lab] 8/17

Correcteurs : réglage fréquentiel Action dérivée

Action Dérivée

Pour apporter une phase positive, on peut utiliser un correcteur dérivé K(s) = 1 + Ts:

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)10-3 10-2 10-1 100 101 102

-270

-180

-90

0

90

Phas

e (d

eg)

HBO

=G*C

CG (K=30)

L’avance de phase a lieu à partir de ω = 1T

. Pour un bon réglage, il faut donc choisir : T = T1 ouT = T2. Si l’avance se produit pour des pulsations plus hautes, elle est inutile et le correcteur est

inefficace (marges de stabilité non respectées).O. Sename [GIPSA-lab] 9/17

Correcteurs : réglage fréquentiel Action dérivée

Action Dérivée

Exemple

HBO(s) = K(s)G(s) =K(1 + Ts)

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)

T = T2 d’où simplification :

HBO(s) =K

(1 + T1s)(1 + T3s)

Et on se ramène à un système du 2nd ordre en BF donc pas de problèmes de stabilité.

Inconvénients

• physiquement impossible à réaliser• amplification du bruit, des signaux hautes fréquences (ex: e(t) = αt+ sin(ωt)).• En pratique correcteur à avance de phase :

K(s) =1 + aτs

1 + τs

avec a > 1

• pour éviter la saturation des actionneurs, au lieu de dériver l’erreur, on dérive la sortie.

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Correcteurs : réglage fréquentiel Action Intégrale

Action Intégrale

• On cherche à augmenter la précision sans toucher à la stabilité du système : action enbasses fréquences.

• Il faut augmenter le gain statique de la boucle ouverte par l’introduction d’un intégrateur (gainstatique infini) pour annuler l’erreur statique en BF pour une entrée de type échelon.

• l’intégrateur déphase : il faut prendre garde à ne pas détériorer la stabilité.• En pratique, on utilise un correcteur Proportionnel Intégral

K(s) = Kp(1 +1

Tis) = Kp.

1 + Tis

Tis

• Ti doit être de l’ordre de grandeur de la plus grande constante de temps du système corrigé.

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Correcteurs : réglage fréquentiel Action Intégrale

Action Intégrale K(s) = 1+TisTis

G(s) =K

(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s),⇒ (Ti = T1), HBO(s) =

K

p(1 + T2s)(1 + T3s)

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-200

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

C(s)H(s)H

BO(s)

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Correcteurs : réglage fréquentiel PID

Action Proportionnelle Intégrale Dérivée

• combinaison des 2 types de correcteur1 Action dérivée pour avancer la phase aux hautes fréquences (autour de ωπ) - Action stabilisatrice2 Action intégrale pour garantir la précision - Action aux basses fréquences

• Représentation mathématique du PID

K(s) = A

[1 +

1

T1s+ T2s

]= Kp

(1 + Tis)(1 + Tds)

Tis

avec les relations:1

kpTi

= AT1

2 Ti + Td = T13 TiTd = T1T2

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Correcteurs : réglage fréquentiel PID

Action PID: exemple

K(s) = Kp(1 + Tis)(1 + Tds)

Tis; Ti = T1; Td = T2

-150

-100

-50

0

50

100

Mag

nitu

de (

dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)10-3 10-2 10-1 100 101 102

-270

-180

-90

0

90

Pha

se (

deg)

HBO

CG (K=30)

O. Sename [GIPSA-lab] 14/17

Placement des pôles

Placement des pôles

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K(s) =NK(s)

DK(s); G(s) =

NG(s)

DG(s)

Équation caractéristique (dénominateur de laFTBF) :

polesBF = {s ∈ C, s.t.NG(s).NK(s) +DG(s).DK(s) = 0}

Problème du placement de pôles

peut-on trouver un régulateur K(s) tel que les poles en BF soient égaux à un ensemblede poles désirés solutions de l’équation caractéristique désirée, formé à partir desspécifications choisies (modes dominants souhaités), c-a-d polesBF = polesdesires avec:

polesdesires = {s ∈ C, s.t.(1 + τdess)(· · · )(1 + 2ξdes

sωdes

+ s2

ω2des

) = 0}

Placement des pôles

Exemple : système du 1er ordre G(s) = K(1+τs)

Correcteur proportionnel : P

K(s) = Kp ⇒ HBO(s) =KKp

(1 + τs)⇒ HBF (s) =

KKp

1 +KKp

1

(1 + τ1+KKp

s)

Kp permet le réglage du gain statique ou du temps de réponse.Correcteur proportionnel intégral : PI

K(s) = Kp1 + Tis

Tis⇒ HBO(s) =

KKp(1 + Tis)

Tis(1 + τs)

pour simplifier Ti = τ d’où :

HBF (s) =1

1 + TiKKp

s

L’action intégrale (Ti = τ ) assure un gain statique unitaire ; Kp permet le réglage du temps deréponse.Sans simplification:

HBF (s) =(1 + Tis)

1 +Ti+KKpTi

KKps+ Ti

KKpτs2

? =(1 + Tis)

1 + 2ξdess

ωdes+ s2

ω2des

On en déduit alors Kp et Ti

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Placement des pôles

Exemple : système du 2eme ordre G(s) = K(1+τ1s)(1+τ2s)

τ1 > τ2

Correcteur proportionnel intégral dérivé : PID

K(s) = Kp(1 + Tis)(1 + Tds)

Tis⇒ HBO(s) =

KKp(1 + Tis)(1 + Tds)

Tis(1 + τ1s)(1 + τ2s)

Avec simplification (pas toujours le meilleur choix ...):

On choisit Ti = τ1, Td = τ2 d’où :

HBF (s) =1

1 + TiKKp

s

Kp permet le réglage du temps de réponse.

Sans simplification:

HBF (s) =KKp(1 + Tis)(1 + Tds)

KKp(1 + Tis)(1 + Tds) + Tis(1 + τ1s)(1 + τ2s)

HBF (s) étant un système du troisième odre, il faut alors spécifier 3 poles désirés en bouclefermée !

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