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Cours 5 : Conception et réglage des régulateurs
Olivier Sename
GIPSA-lab
Septembre 2017
Olivier Sename (GIPSA-lab) Asservissement Septembre 2017 1 / 17
1 Introduction
2 Correcteurs : réglage fréquentielAction dérivéeAction IntégralePID
3 Placement des pôles
O. Sename [GIPSA-lab] 2/17
Introduction
Introduction
Objectif : réaliser un correcteur K(s) introduit dans la boucle de régulation afin quel’asservissement possède les performances désirées du point de vue : Stabilité, Précision,Rapidité.
Nécessité de COMPROMIS.
O. Sename [GIPSA-lab] 3/17
Introduction
Compromis Rapidité - Précision
Soit K(s) = Kp et G(s) = K1+τs
; en BF :
HBF (s) =KKp
1 +KKp
1
1 + τ1+KKp
s
• Précision : ε0 = 11+KKp
• Rapidité : tr5% = 3τ1+KKp
Si on fixe ε0 = 5%⇒ 1 +KKp = 20 soit un temps de réponse 20 fois plus petit en BF.• risque de saturer les actionneurs• Constantes de temps négligées plus négligeables
O. Sename [GIPSA-lab] 4/17
Introduction
Compromis Stabilité - Précision
En général (sauf 1er ordre et 2eme ordre), plus on augmente le gain en BO, plus le système enBF est précis mais moins il est stable. Exemple :
HBO(s) =K
(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)
où T1 > 0, T2 > 0, T3 > 0 et K > 0 est variable. Précision (consigne échelon) : ε0(∞) = 11+K
Nichols Chart
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
6 dB 3 dB
1 dB 0.5 dB
0.25 dB 0 dB
-1 dB
-3 dB -6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
-100 dB
-120 dB
-140 dB
K=30K=10K=5
O. Sename [GIPSA-lab] 5/17
Introduction
Pourquoi un contrôleur de type ’simple gain’ ne suffit-il pas ?
Considérons un système du second ordre :
G(s) =K
1 + 2ξ sωn
+ s2
ω2n
et le régulateur K(s) = Kp. D’où
HBO(s) =KKp
1 + 2ξ sωn
+ s2
ω2n
Alors en Boucle Fermée:
HBF (s) =KKp
1 +KKp + 2ξ sωn
+ s2
ω2n
=KKp
KKp + 1×
1
1 + 2 ξ(KKp+1)
sωn
+ s2
ω2n(KKp+1)
• ε0 = 11+KKp
; Kp grand⇒ système plus précis
• ωn(BF ) = ωn(B0)√KKp + 1
• ξ(BF ) =ξ(BO)√KKp+1
; Kp grand⇒ système plus oscillant
Précision et rapidité ne dépendent que d’un seul paramètre. Insuffisant.
O. Sename [GIPSA-lab] 6/17
Introduction
Les différents types de correcteurs : Réglage fréquentiel
Précision
Pour gagner en précision, il faut augmenter le module en basse fréquence ou introduire desintégrateurs.En effet soit ωc est telle que | HBO(jωc) |= 1 . Supposont:
| HBO(jωc | >> 1 pour ω << ωc (1)
| HBO(jωc) | << 1 pour ω >> ωc (2)
Alors, comme HBF = HBO1+HBO
on a
| HBF (jωc) | ∼ 1 pour ω << ωc (3)
| HBF (jωc) | ∼| HBO | pour ω >> ωc (4)
Stabilité
Pour gagner en stabilité, il faut augmenter la marge de phase dans la zone de pulsation ωπ où laphase du système en BO passe par −180o.Deux grand type de correcteurs : correcteur dérivé (avance de phase) et correcteur intégral(retard de phase).
O. Sename [GIPSA-lab] 7/17
Correcteurs : réglage fréquentiel Action dérivée
Action Dérivée
On cherche à améliorer la stabilité sans toucher à la précision. On va pour cela augmenter laphase du système en BO à la fréquence proche de ωc. Exemple T1 > T2 > T3 > 0, K > 0:
G(s) =K
(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)
10-3 10-2 10-1 100 101 102-270
-180
-90
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
K=30K=10K=5
Marge de stabilité nulle.O. Sename [GIPSA-lab] 8/17
Correcteurs : réglage fréquentiel Action dérivée
Action Dérivée
Pour apporter une phase positive, on peut utiliser un correcteur dérivé K(s) = 1 + Ts:
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)10-3 10-2 10-1 100 101 102
-270
-180
-90
0
90
Phas
e (d
eg)
HBO
=G*C
CG (K=30)
L’avance de phase a lieu à partir de ω = 1T
. Pour un bon réglage, il faut donc choisir : T = T1 ouT = T2. Si l’avance se produit pour des pulsations plus hautes, elle est inutile et le correcteur est
inefficace (marges de stabilité non respectées).O. Sename [GIPSA-lab] 9/17
Correcteurs : réglage fréquentiel Action dérivée
Action Dérivée
Exemple
HBO(s) = K(s)G(s) =K(1 + Ts)
(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s)
T = T2 d’où simplification :
HBO(s) =K
(1 + T1s)(1 + T3s)
Et on se ramène à un système du 2nd ordre en BF donc pas de problèmes de stabilité.
Inconvénients
• physiquement impossible à réaliser• amplification du bruit, des signaux hautes fréquences (ex: e(t) = αt+ sin(ωt)).• En pratique correcteur à avance de phase :
K(s) =1 + aτs
1 + τs
avec a > 1
• pour éviter la saturation des actionneurs, au lieu de dériver l’erreur, on dérive la sortie.
O. Sename [GIPSA-lab] 10/17
Correcteurs : réglage fréquentiel Action Intégrale
Action Intégrale
• On cherche à augmenter la précision sans toucher à la stabilité du système : action enbasses fréquences.
• Il faut augmenter le gain statique de la boucle ouverte par l’introduction d’un intégrateur (gainstatique infini) pour annuler l’erreur statique en BF pour une entrée de type échelon.
• l’intégrateur déphase : il faut prendre garde à ne pas détériorer la stabilité.• En pratique, on utilise un correcteur Proportionnel Intégral
K(s) = Kp(1 +1
Tis) = Kp.
1 + Tis
Tis
• Ti doit être de l’ordre de grandeur de la plus grande constante de temps du système corrigé.
O. Sename [GIPSA-lab] 11/17
Correcteurs : réglage fréquentiel Action Intégrale
Action Intégrale K(s) = 1+TisTis
G(s) =K
(1 + T1s)(1 + T2s)(1 + T3s),⇒ (Ti = T1), HBO(s) =
K
p(1 + T2s)(1 + T3s)
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (
dB)
C(s)H(s)H
BO(s)
O. Sename [GIPSA-lab] 12/17
Correcteurs : réglage fréquentiel PID
Action Proportionnelle Intégrale Dérivée
• combinaison des 2 types de correcteur1 Action dérivée pour avancer la phase aux hautes fréquences (autour de ωπ) - Action stabilisatrice2 Action intégrale pour garantir la précision - Action aux basses fréquences
• Représentation mathématique du PID
K(s) = A
[1 +
1
T1s+ T2s
]= Kp
(1 + Tis)(1 + Tds)
Tis
avec les relations:1
kpTi
= AT1
2 Ti + Td = T13 TiTd = T1T2
O. Sename [GIPSA-lab] 13/17
Correcteurs : réglage fréquentiel PID
Action PID: exemple
K(s) = Kp(1 + Tis)(1 + Tds)
Tis; Ti = T1; Td = T2
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)10-3 10-2 10-1 100 101 102
-270
-180
-90
0
90
Pha
se (
deg)
HBO
CG (K=30)
O. Sename [GIPSA-lab] 14/17
Placement des pôles
Placement des pôles
O. Sename [GIPSA-lab] 15/17
K(s) =NK(s)
DK(s); G(s) =
NG(s)
DG(s)
Équation caractéristique (dénominateur de laFTBF) :
polesBF = {s ∈ C, s.t.NG(s).NK(s) +DG(s).DK(s) = 0}
Problème du placement de pôles
peut-on trouver un régulateur K(s) tel que les poles en BF soient égaux à un ensemblede poles désirés solutions de l’équation caractéristique désirée, formé à partir desspécifications choisies (modes dominants souhaités), c-a-d polesBF = polesdesires avec:
polesdesires = {s ∈ C, s.t.(1 + τdess)(· · · )(1 + 2ξdes
sωdes
+ s2
ω2des
) = 0}
Placement des pôles
Exemple : système du 1er ordre G(s) = K(1+τs)
Correcteur proportionnel : P
K(s) = Kp ⇒ HBO(s) =KKp
(1 + τs)⇒ HBF (s) =
KKp
1 +KKp
1
(1 + τ1+KKp
s)
Kp permet le réglage du gain statique ou du temps de réponse.Correcteur proportionnel intégral : PI
K(s) = Kp1 + Tis
Tis⇒ HBO(s) =
KKp(1 + Tis)
Tis(1 + τs)
pour simplifier Ti = τ d’où :
HBF (s) =1
1 + TiKKp
s
L’action intégrale (Ti = τ ) assure un gain statique unitaire ; Kp permet le réglage du temps deréponse.Sans simplification:
HBF (s) =(1 + Tis)
1 +Ti+KKpTi
KKps+ Ti
KKpτs2
? =(1 + Tis)
1 + 2ξdess
ωdes+ s2
ω2des
On en déduit alors Kp et Ti
O. Sename [GIPSA-lab] 16/17
Placement des pôles
Exemple : système du 2eme ordre G(s) = K(1+τ1s)(1+τ2s)
τ1 > τ2
Correcteur proportionnel intégral dérivé : PID
K(s) = Kp(1 + Tis)(1 + Tds)
Tis⇒ HBO(s) =
KKp(1 + Tis)(1 + Tds)
Tis(1 + τ1s)(1 + τ2s)
Avec simplification (pas toujours le meilleur choix ...):
On choisit Ti = τ1, Td = τ2 d’où :
HBF (s) =1
1 + TiKKp
s
Kp permet le réglage du temps de réponse.
Sans simplification:
HBF (s) =KKp(1 + Tis)(1 + Tds)
KKp(1 + Tis)(1 + Tds) + Tis(1 + τ1s)(1 + τ2s)
HBF (s) étant un système du troisième odre, il faut alors spécifier 3 poles désirés en bouclefermée !
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