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Cours 5: Relativit´ e restreinte 1 Cours 5 : Relativit´ e restreinte

Cours 5 : Relativit e restreinte

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Page 1: Cours 5 : Relativit e restreinte

Cours 5: Relativite restreinte 1

Cours 5 : Relativite restreinte

Page 2: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 2

Plan

— Motivation pour la relativite restreinte RR (la relativite

dans l’espace-temps plat).

— Notation de la physique moderne.

— Theoreme de Zeeman et les transformations de Lorentz.

— L’intervalle ∆s et la structure casuale de l’espace-temps.

Page 3: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 3

Relativite Restreinte : principe(s)

fondamental(s)

Einstein a fonde a la relativite restreinte sur deux postulats :

1. Le principe du relativite : Les equations fondamentales

de la physique reste forme invariante par un changement de

referentiel inertiel (RI).

2. Le postulat de la lumiere : La vitesse de la lumiere dans

le vide est independante du mouvement de la source ou de

l’observateur.

Remarques :

a. Pas precisement, mais c’est plus facile de presenter comme ceci.

Page 4: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 4

— Le premier postulat est le plus general, en effet tres puissant.

Il s’agit d’un principe de symetrie dite « Lorentz

invariance », une generalisation du principe de relativite

conu par Galilee a tout la physique. Il est l’idee centrale de

la physique fondamentale moderne. Il implique les

contraintes sur la physique meme pas encore trouvees.

— On n’a que besoin d’un postulat. Nous allons voir tout de

suite que le second postulat mene aux transformations de

Lorentz, dont tous les resultats de la relativite restreinte

decoulent facilement. Par contre le premier postulat

implique le second.

Les equations de Maxwell (1)

∇× ~E = −1

c

∂ ~B

∂t, ∇ · ~E = 4πρ,

∇× ~B = +1

c

∂ ~E

∂t+

4π~j

c, ∇ · ~B = 0, (1)

Page 5: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 5

appliquees au vide (ρ = 0 et ~j = 0) impliquent une equation

d’onde. Pour le champ electrique ~E dans le vide on a

∂2 ~E

∂t2− c2

(∂2 ~E

∂x2+∂2 ~E

∂y2+∂2 ~E

∂z2

)= 0, c =

1√ε0µ0

, (2)

et similairement pour le champ magnetique ~B. Les champs

electrique et magnetique se propagent comme une onde avec

vitesse c, tres proche de la vitesse de la lumiere dans le vide.

Mais le c est une constante de la nature (ε0 est la

permittivite du vide et µ0 est la permeabilite du vide), ce

qui suggere le second postulat.

Page 6: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 6

Les transformations de Lorentz

— Nous montrerons que les transformations de Lorentz sont

coherents avec le second postulat de la relativite restreinte.

Page 7: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 7

Changement de referentiel inertiel (RI)

— Rappelez les changements du RI galileen dans le physique

non-relativiste s’ecrivent :

t = t,

x = x− ε8t,

y = y − ε9t,

z = z − ε10t, (3)

ou (ε8, ε9, ε10) sont les trois composantes de la vitesse de

referentiel R par rapport au referentiel R.

— Il s’agit de la transformation des coordonnees pour deux RI

en configuration standarde : Considerons deux observateurs

utilisant des reperes inertiels dont les axes sont paralleles.

Page 8: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 8

Les origines O et O coincident a l’instant t = t = 0.

Page 9: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 9

yy

zzo

x xo

u

Figure 1 – Configuration standarde : Le referentiel inertiel R se

deplace le long de l’axe des x avec vitesse uniforme, u = ε8, ε9 =

ε10 = 0.

Page 10: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 10

Changement du referentiel inertiel (RI)

— Dans la physique non-relativiste on a fait l’hypothese que le

temps ne change pas, t = t.

— En physique relativiste on ne fait plus cette hypothese.

— Par contre, nous cherchons la transformation de la

coordonnee temporelle tel que la quantite suivante demeure

identique lors d’un tel changement de RI :

(ct)2 − x2 − y2 − z2 = (ct)2 − x2 − y2 − z2. (4)

— La motivation est que dans ce cas une onde lumineuse se

propage identiquement dans les deux RI. Il s’agit d’une

implication du second postulat pour la configuration

standarde.

Considerons deux observateurs utilisant des reperes en

Page 11: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 11

configuration standarde. A l’instant t = t = 0 une source

ponctuelle coincidant avec O et O produit une onde.

Supposons une source produit une onde electromagnetique

comme la lumiere.

Pour l’observateur O l’equation de la surface d’onde s’ecrit :

c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0

C’est donc une sphere de rayon ct. Pour l’observateur O la

surface d’onde est egalement une sphere car la vitesse de

propagation est la meme dans toutes les directions.

L’equation de la surface d’onde s’ecrit :

c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0

Page 12: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 12

Notation

— Nous definissons les quatre variables suivantes :

x0 = c t x1 = x, x2 = y, x3 = z. (5)

— xµ designe l’une quelconque de ces quatre coordonnees. Par

la suite, les indices grecs prendront toujours des valeurs de 0

a 3. On peut utiliser une autre lettre grecque,

xα, xβ , . . . ou xν . Mais π n’est pas une bonne idee parce que

on pense toujours a la constant 3.14159 . . .. Et δ n’est pas

une bonne idee pour une autre raison.

— Si nous voulons designer seulement les coordonnees spatiales,

nous utilisons les indices latin i, j, k, . . . qui prendront

toujours des valeurs de 1 a 3. Donc, xi designe l’une

quelconque des coordonnees spatiales.

Page 13: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 13

— Le second postulat implique pour cette experience

(x0)2 − (xi)2 = (x0)2 − (xi)2. (6)

Page 14: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 14

Quadrivecteurs et notation de la

physique theorique moderne

Page 15: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 15

Quadrivecteurs

— Un evenement dans notre espace-temps 4D est trouver a un

point xµ (c’est-a-dire (x0, x1, x2, x3)). Ce point peut etre

considerees comme les composantes d’un vecteur de quatre

dimensions~X = (x0, x1, x2, x3) ∈ R4,

appele rayon-vecteur ou vecteur position, qui generalise le

vecteur position de l’espace euclidien a l’espace de

Minkowski.

— Nous demandons que les composantes d’un rayon-vecteur se

transforment selon une transformation de Lorentz (definie

ci-dessous).

— Definition 5.1 Nous appellerons « un quadrivecteur »chaque ensemble de quatre quantites aα (c’est-a-dire

Page 16: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 16

(a0, a1, a2, a3)) qui se transforment comme un rayon-vecteur

lors d’un changement de referentiel inertiel ou une rotation.

Autrement dit, les quadrivecteurs sont invariants de Lorentz

par construction.

— L’ensemble de quadrivecteurs constituent un espace vectoriel

R4 avec lois evidentes d’addition et de mulitplication par un

scalaire reel.

— On introduit la semi-norme

‖~x‖ :=

((x0)2 −

3∑i=1

(xi)2

) 12

,

= (gµνxµxν)

12 , (7)

Dans la deuxieme ligne nous avons utilise la convention

d’Einstein. Rappelez-vous : quand les memes deux indices

apparaissent dans le meme terme, nous devons faire la

sommation sur les quatre indices (il y a une somme implicite

Page 17: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 17

∑). Normalement, un des deux indices est un exposant (en

haute) et l’autre est un vrais indice (en bas).

— gαβ = ηαβ est le tenseur metrique de l’espace-temps de

Poincare-Minkowski,

(ηαβ) =

η00 η01 η02 η03

η10 η11 η12 η13

η20 η21 η22 η23

η30 η31 η32 η33

=

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

(8)

— Alors nous avons un espace vectoriel (semi-)norme M.

— Donc nous definissons un produit scalaire entre deux

quadrivecteurs ~A = aµ and ~B = bν de notre espace-temps :

~A · ~B = a0 b0 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3. (9)

— gαβ est le tenseur metrique, une propriete tres importante de

Page 18: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 18

l’espace vectoriel, est la quantite d’interet principal de la

relativite generale.

— En ecrivant le produit scalaire comme ~A · ~B = g( ~A, ~B) on

voit que la metrique g est aussi une forme, symetrique,

bilineaire et non-degeneree. Elle est symetrique dans les

deux arguments

g( ~A, ~B) = gαβ AαBβ = gαβ B

αAβ = g( ~B, ~A). (10)

Elle est lineaire dans les deux arguments. Pour le premier

argument, on a

g(a ~A+ b ~B, ~C) = gαβ (aAα) + bBα)Cβ ,

= agαβ Aα Cβ + bgαβ B

α Cβ ,

= ag( ~A, ~C) + bg( ~B, ~C). (11)

Linearite du second argument decoule de la symetrie et

Page 19: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 19

linearite du premier argument. Elle est non-degeneree car

g( ~A, ~B) = 0, pour tout ~B ∈M =⇒ ~A = ~0. (12)

— gαβ = ηαβ applique pour RR, ou il n’y a pas de masse (pas

de matiere ou energie) et l’espace-temps est plat.

— Nous verrons que quand il y aura des masse importante,

l’espace-temps deviendra courbe, et un autre gαβ

s’appliquera.

— Pour en revenir au second postulat, la condition necessaire

(x0)2 − (xi)2 = (x0)2 − (xi)2

pour les deux referentiels en configuration standarde

s’exprime

ηµν xµxν = ηµνx

µxν . (13)

Page 20: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 20

Theoreme de Zeeman

Nous prennons le theoreme suivant sans demonstration (Naber ,

2012).

— Chaque transformation T : R4 → R4 qui obeit a l’eq(13) sont

la composition T1 ◦ T2 ◦ T3 de trois transformations, ou

— T1 est une translation

xα = T1(xα) = xα + εα, ε ∈ R4. (14)

— T2 est une transformation conforme

xα = T2(xα) = axα, a ∈ R. (15)

— Definition 5.2 : T3 est une transformation de Lorentz.

Il s’agit d’une transformation lineaire

xα = T3(xα) = Λαβxβ , (16)

Page 21: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 21

ou Λαβ est la matrice qui s’accord avec les

deux conditions

ηαβΛαµΛβν = ηµν , (17)

et

Λ00 ≥ 1. transformation orthochrone (18)

— Exercice 5-1 : Demontrer que la transformation suivante,

ct = ct cosh(U)− x sinh(U) = ctγ − xγβ,x = x cosh(U)− ct sinh(U) = xγ − ctγβ,y = y,

z = z, (19)

obeit aux deux contraintes (i) seconde postulat, eq(13) et (ii)

une transformation de Lorentz, T3 : i.e. elle est lineaire

eq(16), la metrique demeure inchangee eq(17) et elle est

Page 22: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 22

orthochrone eq(18) :

— Le parametre U ∈ R1 a l’interpretation physique,

u = c tanh(U), (20)

ou −c < u < c est la vitesse le long de l’axe des x de R par

rapport a R.

— On voit souvent aussi la transformation avec le facteur de

Lorentz γ, ou

γ :=1√

1− β2, β :=

u

c. (21)

— Clairement la transformation suivante obeit aussi aux deux

Page 23: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 23

contraintes :

ct = ct cosh(V )− y sinh(V ),

x = x,

y = y cosh(V )− ct sinh(V ),

z = z, (22)

ou v = c tanh(V ) est la vitesse le long de l’axe des y de R

par rapport a R. Similarement on a

ct = ct cosh(W )− z sinh(W ),

x = x,

y = y,

z = z cosh(W )− ct sinh(W ), (23)

ou w = c tanh(W ) est la vitesse le long de l’axe des z de R

par rapport a R.

Page 24: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 24

— Exercice 5-2 : Demontrer que les rotations autour de l’axe

des xi obeissent aux deux contraintes.

Page 25: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 25

Les transformations de Lorentz

— Les trois transformations eqs(19, 22,23) s’appelent un

« boost » dans la direction x, y ou z respectivement.

— Definition 5.3 L’ensemble des trois boots et les rotations

constituent un groupe de six parametres reels et continus, il

s’agit du groupe de symetrie SO+(1, 3) qui s’appele le groupe

de transformations de Lorentz restreint (restreint = propre

+ orthochrone). « Propre » implique que le determinant

det(Λαβ) = 1 ; un nombre impair des renversements des axes

spatiaux comme x 7→ −x sont interdits.

— Si on compris les 4 translations on a le groupe de Poincare

qui a 10 parametres et la meme interpretation physique que

nous avons observe pour le premier groupe que nous avons

discute pendant cours 3. En effet, ce premier groupe est la

Page 26: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte : transformations de Lorentz 26

limite du groupe de Poincare lorsque les trois composantes

de vitesse s’approchent a zero

(u, v, w)→ (0, 0, 0). (24)

— On fait l’hypothese que les lois de la physique sont

invariantes par le groupe de Poincare. Mais normalement on

dit que les lois fondamentales de la physique sont invariantes

par les transformations de Lorentz. (Je devine que l’on

considere les translations comme symetries triviales.)

Page 27: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 27

L’intervalle ∆s et la structure casuale de

l’espace-temps

Page 28: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 28

L’invariance de l’intervalle ∆s

— Considerons le quadrivecteur ∆xµ, la difference entre

quadrivecteurs ∆xµ = (xµA − xµB).

— Revenons au postulat que les lois de la physique, et donc

l’espace-temps aussi, sont invariants par le groupe de

Poincare. Ca implique

4.1 Lemme L’invariance eq(4) se generalise a l’invariance

de

(∆s)2 = c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2,

= gµν∆xµ∆xν . (25)

Demonstration On considere (∆s)2 entre deux

evenements quelconques xµA et xµB . Par une translation

Page 29: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 29

(ε0, ε1, ε2, ε3) = xµB on a xµB = (0, 0, 0, 0) et donc

∆xµ = (xµA − xµB) = xµA. (26)

On obtient

(∆s)2 = gµν xµAx

νA. (27)

Il s’agit de la forme quadratique eq(4) qui est invariante par

les transformations de Lorentz. [Physiquement, il est

l’ensemble des evenements d’une pulse de lumiere emit en

l’origine dans tous les sens.]

On en deduit que (∆s)2 est invariant par les transformations

de Lorentz. �

— Remarque :

En passant a la limite xµA → xµB dans eq(25), l’invariance de

l’intervalle s’exprime ds2 = ds2, ou

gµν dxµ dxν = ds2. (28)

Page 30: Cours 5 : Relativit e restreinte

relativite restreinte 30

Autrement dit, pour des evenements tres proches l’intervalle

devient infinitesimal et on peut ecrire :

ds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2.

(Pour etre tres precise, on devrait ecrire :

(ds)2 = c2(dt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2,

mais personne ne le fait).

Page 31: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 31

Les intervalles du genre temps, espace et

nul

— Definition 5.4(i) Si l’intervalle entre deux evenements est

reel (ds2 > 0) on dit qu’ils sont separes du genre temps. Le

temps ecoule est assez long pour que la separation spatiale

puisse etre franchie par un objet materiel. Il peut exister une

relation de cause a effet entre les deux evenements.

— La trajectoire d’un objet ponctuel dans l’espace-temps est

appelee ligne d’univers. Deux points appartenant a une ligne

d’univers d’un objet materiel definissent necessairement un

intervalle de genre temps. Il est interdit pour une particule

massive d’avoir une vitesse superieur a celle de la lumiere c

dans un referentiel inertiel.

— Definition 5.4(ii) Lorsque l’intervalle est nul les

Page 32: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 32

evenements sont dits du genre lumiere ou egalement du

genre nul. Leur separation spatiale est telle qu’il faut se

deplacer a la vitesse de la lumiere pour aller d’un point a

l’autre dans l’intervalle de temps correspondant.

— Definition 5.4(iii) Lorsque l’intervalle est imaginaire

(ds2 < 0) la separation spatiale est trop grande pour qu’un

signal puisse la franchir durant l’intervalle de temps

correspondant. Il ne peut pas exister de relation causale

entre les deux evenements. Nous verrons que l’ordre des

evenements n’est pas necessairement le meme dans deux

referentiels differents. Cet intervalle est dit du genre espace.

— L’espace-temps utilise en relativite restreinte est appele

espace-temps de Minkowski du nom du mathematicien qui

l’a defini. On peut etudier les aspects essentiels de la

relativite restreinte en utilisant une seule coordonnee

spatiale. On trace des axes perpendiculaires correspondant a

Page 33: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 33

x et a ct. La ligne d’univers d’une particule au repos est une

droite parallele a l’axe ct. Pour un photon la ligne d’univers

est une droite faisant un angle de 45◦ ou de 135◦ avec l’axe

des x. Pour une particule se deplacant a vitesse constante la

ligne d’univers est une droite plus proche de l’axe ct que de

l’axe des x.

Page 34: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 34

O x

ct

particule au repos photon

photon

particule matérielle

Figure 2 – Lignes d’univers de quelque particules dans le plan ct–x

d’espace de Minkowski. Les photons ont forcement un angle de 45◦

ou de 135◦ avec l’axe des x. Les particules materielles ont une ligne

d’univers forcement plus proche de l’axe ct que de l’axe des x.

Page 35: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 35

— Si on fait coincider l’origine avec l’instant present et la

position « ici », les valeurs positives de ct representent le

futur et les valeurs negatives representent le passe. Les

regions pour les quelles |x| < |ct| representent le lieu des

intervalles du genre temps. Les droites faisant un angle de

45◦ ou de 135◦ avec l’axe des x sont les lieux des intervalles

du genre lumiere. Les intervalles du genre espace

correspondent aux regions ailleurs pour lesquelles |x| > |ct|.

Page 36: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 36

Figure 3 – Le cone de lumiere divise l’espace-temps en regions diffe-

rentes. Les evenement dans l’interieur du cone, ds2 > 0, ont un inter-

valle par rapport a l’origine du genre temps. Si la grandeur ds2 < 0,

l’intervalle par rapport a l’origine est du genre espace et cela signifie

que tous les evenements sont situes a l’exterieur du cone de lumiere.

Etant donne que les evenements ne peuvent plus etre relies entre eux

par une particule passant par l’origine, cette region est exclue de sa

ligne d’univers. Cette region est denommee l’ailleurs.

Page 37: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 37

Considerons deux evenements A et B reperes par (ctA, xA)

et (ctB , xB) dans R et par (ct′A, x′A) et (ct′B , x

′B) dans R′. La

transformation de Lorentz eq(19) permet d’ecrire :

c(t′B − t′A) = γ[c(tB − tA)− β(xB − xA)]

Posons :xB − xAc(tB − tA)

= α

Si |α| > 1 les evenements sont du genre espace et si |α| < 1

ils sont du genre temps. On peut ecrire :

c(t′B−t′A) = γc(tB−tA)−βγαc(tB−tA) = γc(tB−tA)(1−αβ)

Si α < 1 la paranthese est positive car β < 1. Les quantites

(t′B − t′A) et (tB − tA) sont de meme signe. On en deduit que

l’ordre des evenements est le meme dans les deux reperes.

C’est une condition necessaire pour qu’une relation causale

puisse exister.

Page 38: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 38

Pour des evenements du genre espace on a |α| > 1 et

l’expression (1− αβ) peut etre positive ou negative. Dans ce

dernier cas l’ordre des evenements peut etre different dans R

et dans R′. Il ne peut donc pas y avoir de relation causale

entre les deux evenements.

— Voir Exercice 1 de projet 1.

Page 39: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 39

Temps propre

— Considerons une horloge qui est fixe dans R, a l’origine par

example.

— Pendant le temps dt par rapport a R, l’horloge se deplace

d’une distance dl telle que :

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = (vdt)2.

Et donc l’intervalle est

ds2 = c2 dt2 − dl2 = (c2 − v2) dt2

— Par rapport a R, l’intervalle est simplement

ds2 = c2 dt2

— Et, comme nous avons dit, le principe a la base de RR,

Page 40: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 40

ds2 = ds2, implique donc

dt =dt

γ

ou γ est toujours le facteur de Lorentz dans l’eq(21).

— Parce que γ ≥ 1, nous remarquons que

dt ≤ dt

C’est-a-dire que les horloges en deplacement ont l’air de se

ralentissent. Il s’agit du phenomene de dilatation du temps.

— Le temps mesure par une horloge qui se deplace avec une

particule s’appelle temps propre. Nous le notons par τ , une

notation standard. La duree de temps propre, dτ , s’appelle

duree propre :

dτ =dt

γ. (29)

Page 41: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 41

Quadrivitesse

— La vitesse habituelle

vk =dxk

dt, k = 1, 2, 3, (30)

ou les coordonnees cartesiennes xk sont les fonctions de

classe C2 du temps

xk = φk(t), (31)

n’est pas invariante par Lorentz.

— Nous souhaitons etendre cette vitesse a un quadrivecteur qui

s’approche a la vitesse habituelle a la limite des faibles

vitesses. Considerons le quadruplet

vµ =dxµ

dt, µ = 0, 1, 2, 3. (32)

Page 42: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 42

Meme si dxµ est invariant de Lorentz (pourquoi ?), vµ n’est

pas invariant parce que dt ne l’est pas.

— Rappelez-vous que eq(29) dτ = dt/γ se generalise l’intervalle

de temps coordonnee au intervalle de temps propre qui est

bien invariant de Lorentz, ce qui suggere le quadrivecteur

vitesse ou la quadrivitesse definie par

uα :=dxα

dτ. HEL Eq. (5.10), ou (Schutz , 2009, §2.3) (33)

Utilisons (29), nous trouvons,

uα =dxα

dτ= γ

dxα

dt

= γ

(dx0

dt,dx1

dt,dx2

dt,dx3

dt

)= γ

(cdt

dt,dx

dt,dy

dt,dz

dt

)= (γc, γvx, γvy, γvz) = γ(c,v), (34)

Page 43: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 43

ou v = (vx, vy, vz) est la vitesse habituelle.

— Exercice 5-3 : Verifier que les composantes spatiales uk de la

quadrivitesse eq(34) s’approche a vitesse habituelle eq(30) a

la limite des faibles vitesses.

— Remarque : Nous attendons que la quadrivitesse jouera un

role dans la relativite restreinte analogue au role de la

vitesse habituelle dans la mecanique classique

non-relativiste. Par exemple, elle aura la meme relation avec

la quantite du mouvement.

— Remarque : La quadrivitesse d’un rayon lumineux n’est pas

definie.

— Remarque : La semi-norme de la quadrivitesse est constante

uαuβηαβ = γ2(c2 − ~v · ~v) = c2, (35)

ou nous avons utilise la definition du facteur de Lorentz,

eq(21).

Page 44: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 44

Quadri-impulsion

— Rappelez-vous l’impulsion d’une particule non-relativiste

(sans force magnetique) est la quantite du mouvement, le

vecteur

~p = m~v,

pk = m vk, k = 1, 2, 3, notation de actuelle (36)

ou m est la masse de la particule. Evidemment ~p n’est pas

invariante par Lorentz parce que ~v ne l’est pas.

— Nous souhaitons etendre ce vecteur impulsion a un

quadrivecteur pα qui s’approche a l’impulsion habituelle

pk → ~p a la limite des faibles vitesses.

— Nous definissons le quadrivecteur pα pour

Page 45: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 45

l’impulsion-energie ou quadri-impulsion ainsi,

pα := muα, (37)

ou m est la masse de la particule au repos et uα est la

quadrivitesse eq(34). Bien evidemment il a la limite correcte

a faible vitesse.

— Une condition necessaire que eq(37) joue le role attendu

d’une impulsion relativiste est qu’elle est conservee pour un

systeme invariante par une translation de l’espace. (Il est un

des exercices du premier projet.)

Page 46: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 46

Equation de mouvement

— Rappelez-vous la seconde loi du mouvement de Newton

s’exprime

~F =d~p

dt(38)

ou ~F est le vecteur force totale agissant sur la particule.

— Nous souhaitons etendre cette loi a un equation invariante

de Lorentz qui s’approche a eq(38) a la limite des faibles

vitesses.

— Il est naturel de poser

Fµ =dpµ

dτ(39)

ou Fµ est le quadri-vecteur de force totale agissant sur la

particule.

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 47

— Exercice 5-4 : Demontrer qu’il y a une restriction sur les

forces admissibles :

Fαuβgαβ = 0. (40)

Indice : utiliser l’eq(35). Un tel quadrivecteur force s’appele

force pure (Hobson et al., 2010, p.120).

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 48

Energie totale relativiste d’une particule

massive, E = γmc2

— Si les composantes spatiaux pj de la quadi-impulsion,

eq(36), sont la version relativiste de la quantite de

mouvement, quelle est l’interpretation physique de la

premiere composante, pt = mγc ?

— Nous allons motiver l’intepretation :

pt = mγc =E

c, (41)

ou E est l’energie totale relativiste d’une particule massive.

— En exercice 5-4 vous auriez du trouver

Fαuβgαβ =d

dτmc2 = 0. (42)

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 49

Or

0 = Fαuβgαβ = utdpt

dτ− δijui

dpj

dτ,

γcdpt

dτ= γ~v · d

dτγm~v,

cdpt

dτ= ~v · d

dτγm~v (43)

— L’equation ci-dessus est valable dans un referentiel inertial

arbitraire. En considerant un referentiel pour lequel

‖~v‖ → 0,

on passe a la limite non-relativiste pour laquelle

γ → 1, τ → t,d

dτγm~v → d

dtm~v = ~F

et donc le membre droit de l’eq(43) tend vers le taux de

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 50

travail mecanique

~v · ddτγm~v → ~v · ~F =

dE

dt

Nous avons vu en cours 2 que la puissance fournie a une

particule non-relativiste soumise a une force ~F est :

~v · ~F =dE

dt

ou E est l’energie de la particule. Alors la limite

non-relativiste de l’eq(43) nous fournis l’interpretation que

pt := γmc =E

c.

On en deduit la formule celebre d’Einstein (Einstein, 1905) :

E = γmc2,

ou E est l’energie totale relativiste d’une particule massive.

— Remarque : Cette energie ne comprit pas l’energie potentiel.

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 51

Elle compris la contribution de l’energie du au mouvement

(l’energie cinetique) mais aussi une contribution de l’energie

quand la particule est stationnaire

E = mc2.

Il s’agit de l’energie de la masse au repos (“rest mass

energy”).

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 52

Exercices

— Exercice 5-5 : Demontrer que la transformation d’un boost

eq(19) s’aproche a la transformation de changement de RI

galileen eq(3) dans la limite c→∞.

— Exercice 5-6 : Demontrer que l’energie totale relativiste, E

dans l’eq(48), tend vers

E ' mc2 +1

2mv2 + o(v3), (43)

lorsque |v|/c� 1.

Page 53: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 53

L’action et le lagrangien de

l’electromagnetiques

— Le champ electromagnetique est physiquement inseparable

des particules chargees qui en sont les sources et sur

lesquelles il agit.

— L’action pour un systeme de partucles chargees dans un

champ electromagnetique, s’ecrit de facon generale

J = Jchp + Jpar + Jint (44)

ou Jchp est l’action pour le champ electromagnetique que

nous discuterons dans cours 6, Jpar est l’action des particules

libres en l’absence de champ, et Jint est l’action pour

l’interaction entre le champs et la particule.

— Dans le cas d’une particule avec vitesse v = ‖~r‖ tres

Page 54: Cours 5 : Relativit e restreinte

Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 54

inferieur a celle de la lumiere

Jpar(φ) =

∫ t2

t1

m~r(t)2

2dt, (45)

ou φ : [a, b]→ R3 est la fonction vectorielle de classe C2 qui

decrit la position de la particule ~r = φ(t) dans un referentiel

inertiel en fonction du temps. Il s’agit de l’action que nous

avons trouve dans cours 1 pour une particule libre et

non-relativiste. Pour une particule libre et relativiste elle est

Jpar(φ) =

∫ t2

t1

−mc2√

1− ~r(t)2

c2dt. (46)

Pour un systeme de N particules relativistes l’action est la

somme des actions pour chaque particule k = 1, . . . , N :

Jpar(φ) =

∫ t2

t1

− kmc2

√1−

˙k~r(t)2

c2dt. (47)

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 55

ou φ : [a, b]→ R3N .

— Nous discuterons trois elements de la motivation pour cette

action.

— 1. On constate qu’elle est invariante par Lorentz parce

qu’elle est proportionnelle au temps propre pour la

trajectoire le long de ~r = φ(t) entre ~r1 = φ(t1) et ~r2 = φ(t2)

−mc2√

1− ~r(t)2

c2dt = −mc2 1

γ(v)dt = −mc2dτ. (48)

ou on a utilise l’eq(29) dτ = dt/γ. Il s’agit d’une condition

suffisante que les lois de la physique soient independantes du

choix de referentiel inertiel.

— 2. On constate qu’elle se ramene a l’action non-relativiste

l’eq(45) lorsque v � c.

— 3. On peut demontrer que les EEL correspondantes sont les

equations pour une droite.

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 56

L’action et le lagrangien de l’interaction

l’electromagnetiques, Jint

— Pour une particule non-relativiste subit un champs ou une

interaction entre les autre particules conservative, on a

inclus une energie potentielle dans le lagrangien. D’une facon

analogue on peut rendre compte des interactions

conservative pour une particule relativiste avec les potentiels

dans le lagrangien. Pour l’interaction gravitationnelle la

metrique des l’espace-temps devient une variable dynamique,

un cas nous abordons dans cours 7. Pour les interactions

nucleaires faibles et fortes, la mecanique quantique

intervients (que nous n’abordons pas). Pour les interactions

electromagnetiques, nous avons trouve le potentiel generalise

dans cours 4. Pour une particule chargee non-relativiste on a

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 57

pose le potentiel generalise

U = qA0 −q

c~A · ~v. (49)

— Afin de motiver qu’il est valable dans le cas relativiste, il

faut demontrer que l’action correspondante est invariant par

Lorentz. On constat que l’eq(49) a la forme du produit

scalaire entre quadrivecteurs uα = (c,~v) et Aβ := (A0, ~A) :

U =q

c

(A0γ(‖~v‖)c− γ(‖~v‖) ~A · ~v

) 1

γ(‖~v‖),

=q

cAαuβηαβ

1

γ(‖~v‖)(50)

Le lagrangien est donc la constante de Lorentz ( qcAαuβηαβ)

fois le facteur 1/γ. Parce que l’eq(29) dτ = dt/γ l’action

Jint(φ) =

∫ t2

t1

(qcAαuβηαβ

) 1

γ(‖~v‖)dt. (51)

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 58

est aussi (comme Jpar ) proportionnelle au intervalle de

temps propre et est alors invariant par Lorentz.

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Structure casual de l’espace-temps de Minkowski 59

References

Einstein, A. (1905), Does the inertia of a body depend upon its

energy-content ?, Annalen der Physik, 17, 639–641, translation by

W. Perrett and G. B. Jeffery, The Principle of Relativity (New

York : Dover, 1952).

Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite

Generale, de boeck, Bruxelles.

Naber, G. (2012), The Geometry of Minkowski Spacetime, Applied

Mathematical Sciences, vol. 92, Springer New York,

doi :10.1007/978-1-4419-7838-7 0.

Schutz, B. (2009), A first course in General Relativity, Cambridge

University Press, Cambridge UK.