Cours - Analyse cinématique des systèmes

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Lycée La Fayette - Clermont-Ferrand Page 1 / 32

CPGE - Sciences Industrielles de l'Ingénieur - Chapitre 6 MPSI

Analyse cinématique des

systèmesCours

v1.4

Lycée La Fayette 21 Bd Robert Schuman 63000 Clermont-Ferrand Académie de Clermont-Ferrand

Compétences visées:

B2-13 Déterminer le torseur cinématique d'un solide par rapport à un autre solide

B2-18 Proposer une modélisation des liaisons avec une dénition précise de leurs caractéristiques

géométriques

B2-19 Associer le paramétrage au modèle retenu

B2-20 Associer à chaque liaison son torseur cinématique

C2-13 Déterminer la loi entrée-sortie cinématique d'une chaine cinématique



CPGE MPSI - S2I Analyse cinématique des systèmes Cours

Table des matières

1 Préambule 4

2 Généralités 4

2.1 Solide indéformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Repère, référentiel, solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Positionnement d'un point ou d'un solide dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Rappels de cinématique du point 7

3.1 Repérage d'un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Vitesse d'un point dans un référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Accélération d'un point par rapport à un référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Dérivation vectorielle et vecteur taux de rotation 10

4.1 Formule de dérivation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Propriétés du vecteur taux de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Champ des vecteurs vitesse et accélération d'un solide 11

5.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5.2 Vitesse d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.3 Accélération d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6 Torseur cinématique 15

6.1 Dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

7 Mouvements particuliers 16

7.1 Mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7.2 Mouvement de rotation autour d'un axe xe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7.3 Contact ponctuel en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.4 Exemple d'une roue de vélo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8 Complément sur la modélisation et l'analyse des mécanismes 21

8.1 Torseur cinématique des liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

8.2 Liaison cinématique équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.3 Fermeture cinématique Lois entrée/sortie cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . 26




9 Annexe - Calcul vectoriel 26

9.1 Dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.2 Repérage des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

9.4 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9.5 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.6 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

9.7 Dérivation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31




1 Préambule

La cinématique est l'étude des mouvements de points ou de solides d'un système. Les causes àl'origine de ces mouvements ne sont pas étudiées en cinématique.

Le cours de dynamique (en deuxième année) traite de l'origine de ses mouvements en cherchant lesrelations entre eorts et mouvements.

Remarque

2 Généralités

2.1 Solide indéformable

On appelle système matériel un ensemble de points matériels. Un solide indéformable S est unsystème matériel, tel que la distance entre deux points A et B appartenant à ce système, reste constanteau cours du temps : ∀A ∈ S et ∀B ∈ S, ‖

−−→AB‖ = cste ∀t.

2.2 Repère, référentiel, solides

2.2.1 Notion de référentiel

An d'étudier le mouvement d'un point ou d'un système de solides, il est nécessaire de mettreen place un système de référence appelé référentiel . Il représente en quelque sorte la positiond'observation des phénomènes. Il est composé d'une description de l'espace (repère) et d'une descriptiondu temps.

2.2.2 Notion de repère et paramétrages courants

Un repère est déni par une origine et trois vecteurs orthonormés directs formant une base. Lespoints extrémités des vecteurs unitaires sont à des distances constantes de l'origine.

O−→ey

−→ez

−→exy

z

M

x

O−→ey

−→ez

−→ex

Hr

M

z

θ −→er

−→eθO

−→ey−→ez

−→ex

H

M

rϕ

θ

~eϕ

~eθ

~eθ

~er

Coordonnées cartésiennes Coordonnées cylindriques Coordonnées sphériques

M(x, y, z) M(r, θ, z) M(r, ϕ, θ)−−→OM = x.−→ex + y.−→ey + z.−→ez

−−→OM = r.−→er + z.−→ez

−−→OM = r.~er

Figure 1 Coordonnées d'un point M dans les 3 systèmes de coordonnées




2.2.3 Équivalence repère - solide

À chaque solide, on attache un repère. Le repère et le solide étant indéformables, on peut lesconfondre. Ainsi, l'étude des mouvements d'un solide Sk par rapport à un solide Si notée (Sk/Si) estidentique à :• l'étude des mouvements du solide Sk par rapport à un repère Ri lié au solide Si (Sk/Ri),• l'étude des mouvements du repère Rk lié au solide Sk par rapport au solide Si (Rk/Si),• l'étude des mouvements du repère Rk lié au solide Sk par rapport au repère Ri lié au solide Si

(Rk/Ri).

Exemple :Mouvement d'une balle rebondissante dans un train en mouvement. Diérentes observationssont possibles de la balle par un observateur dans le train ou hors du train.

Exemple : Micromoteur

Référentiel lié au bâti :

Corps : Fixe

Bielle : Quelconque

Vilebrequin : Rotation

Piston : Translation

Référentiel lié à la bielle :

Corps : Quelconque

Bielle : Fixe

Vilebrequin : Rotation

Piston : Rotation

Le référentiel choisi est généralement marqué par le symbole du bâti dans le graphe des liaisons ousur le schéma cinématique.

Remarque




2.3 Positionnement d'un point ou d'un solide dans l'espace

2.3.1 Paramétrage pour positionner un point

Pour positionner un point M dans l'espace (3 dimensions) par rapport à un repère Ri, il estnécessaire de paramétrer 3 mouvements. Une possibilité de mouvement est appelée degré de liberté.Il faut donc 3 degrés de liberté pour positionner un point dans l'espace. Soit 3 translations (coordonnéescartésiennes), soit 2 translations sur des axes diérents et 1 rotation autour d'un axe (coordonnéescylindriques), soit 1 translation sur un axe, et 2 rotations autour de 2 axes (coordonnés sphériques),tel que représenté sur la Figure 1.

2.3.2 Paramétrage pour positionner un solide dans l'espace

Pour positionner un solide Sk par rapport à un repère Ri (associé au solide Si), dans un espace àtrois dimensions, il est nécessaire de paramétrer la position du repère Rk par rapport au repère Ri. Ilest usuel de considérer :• les trois coordonnées du point origine du repère Rk dans le repère Ri dénissant 3 translations ;• les trois angles qui dénissent la position de la base du repère Rk par rapport à celle du repèreRi, dénissant 3 rotations. Les possibilités de variation de ces six paramètres correspondent auxpossibilités de mouvement du solide Sk par rapport au solide Si. Il existe donc au maximum sixdegrés de liberté (trois translations et trois rotations). Une liaison entre deux solides annule pdegrés de liberté avec 0 < p ≤ 6.

2.3.3 Angles d'Euler

Les angles d'Euler représentent une possibilité pour dénir l'orientation d'un solide dans l'espaceà l'aide de 3 paramètres angulaires.

mercredi 24 novembre 2010

−→y1

−→v

−→w

−→y2

ψθ

ϕ

ψ

θ

ϕ

ψθ

ϕ

−→z1−→z2

−→x2−→u−→x1

−→x1

−→y1

−→z1

−→u

−→v

ψ

ψ

−→v

−→z1

−→u

−→w

−→z2

θ

θ

−→u

−→w

−→z2

−→x2

−→y2

ϕ

ϕ

Figure 2 Orientation de deux repères à l'aide des angles d'Euler




Les 3 rotations s'eectuent autour de 3 vecteurs indépendants. En considérant un repère initialR1 (O1,

−→x1,−→y1 ,−→z1), le choix des vecteurs de rotation eectué d'après Euler est le suivant :

• la première rotation (notée ψ sur la gure ci-dessus), appelée précession, s'eectue autour dez1 telle que ψ = (−→x1,

−→u ) = (−→y1 ,−→v ). On obtient donc le repère R′1 (O1,

−→u ,−→v ,−→z1) ;• la seconde rotation (notée θ sur la gure ci-dessus), appelée nutation, s'eectue autour de utelle que θ = (−→v ,−→w ) = (−→z1 ,

−→z2). On obtient donc le repère R′′1 (O1,−→u ,−→w ,−→z2) ;

• la dernière rotation (notée ϕ sur la gure ci-dessus), appelée rotation propre, s'eectue autourde z2 telle que ϕ = (−→u ,−→x2) = (−→w ,−→y2). On obtient donc le repère R2 (O1,

−→x2,−→y2 ,−→z2).

2.3.4 Angles de roulis, de tangage et de lacet

Pour les systèmes du domaine des transports, on privilégie les angles de roulis, de tangage et de lacet.

3 Rappels de cinématique du point

3.1 Repérage d'un point

Soit un repère de référence R0 (O0,−→x0,−→y0 ,−→z0) et un point M de l'espace quelconque. On dénit la

position du point M par le vecteur position :

−−−→O0M = xM (t)−→x0 + yM (t)−→y0 + zM (t)−→z0

Dénition Repérage d'un point

Le vecteur position est une fonction vectorielle du temps (car toutes ses coordonnées peuventdépendre du temps). Ses coordonnées s'expriment en mètre [m].

3.2 TrajectoireTM∈p/c

TM∈p/b

TM∈p/v

TM∈v/cM

La trajectoire du point M dans le repère R0 est l'ensemble despositions de M dans le repère R0 lorsque le temps décrit un inter-valle donné. On considère dans un premier temps que le point Mest lié ou appartenant au piston. Dans ce cas :• la trajectoire de M par rapport au corps est une droite verti-cale ;• la trajectoire de M par rapport au vilebrequin est une ellipsecentrée sur l'axe de rotation de la bielle sur le vilebrequin ;• la trajectoire de M par rapport à la bielle est une portion decourbe.




On considère maintenant que le point M est lié ou appartenant au vilebrequin. Dans ce cas, latrajectoire de ce point M par rapport au corps est un cercle centré sur l'axe de rotation de l'hélice.

+ Support de cours : TD1 - Manège pieuvre - Q1 & Q2

3.3 Vitesse d'un point dans un référentiel

3.3.1 Vitesse moyenne

On considère la position à l'instant t du point M dans le référentiel R0 notée−−−→O0M (t). On note le

vecteur position à l'instant t+ ∆t :−−−→O0M (t+ ∆t).

La vitesse moyenne du point M dans son mouvement par rapport à R0 est :

[−−−−→VM/R0

]moy =

−−−→O0M (t+ ∆t)−

−−−→O0M (t)

∆t

Dénition Vitesse moyenne

Exemple : mesure de vitesse moyenne pour un vilebrequin de micromoteur (intervalle de temps entredeux clichés : 0,1 s).

Pour accéder expérimentalement à la vitesse moyenne de manière pré-cise, on peut utiliser une analyse d'images obtenues par une camérarapide (jusqu'à 60 000 images par seconde !) puis une technique de cor-rélation d'images pour obtenir le champ de déplacement (amplié par10 sur la gure ci-contre).

Remarque

3.3.2 Vitesse instantanée

L'inconvénient de la vitesse moyenne est la dénition de l'intervalle de temps ∆t qui ne permet pasune dénition unique de la vitesse. La vitesse instantanée permet de dénir la vitesse d'un point parrapport à un référentiel à l'instant t.




On appelle vecteur vitesse instantanée ou vitesse à l'instant t du point M dans son mouvement par

rapport au référentiel R0, le vecteur :−−−−→VM/R0

= lim∆t→0

−−−→O0M (t+ ∆t)−

−−−→O0M (t)

∆t

On note cette limite :−−−−→VM/R0

=

[d−−−→O0M (t)

dt

]R0

La dimension de la vitesse instantanée est une longueur sur un temps, son unité est le mètre parseconde [m.s−1].

Dénition Vitesse instantanée

La droite support du vecteur vitesse instantanée est tangente à la trajectoire du point M dans lerepère R0 à un instant t donné.

Remarque

L'écriture de la vitesse−−−−→VM/R0

implique de choisir un point xe de R0 pour dénir le vecteur position−−−→O0M .

Attention

Exemple:

−−−→O0M (t) = xM (t).−→x0 + yM (t).−→y0 + zM (t).−→z0

Alors :−−−−→VM/R0

=dxMdt

.−→x0 +dyMdt

.−→y0 +dzMdt

.−→z0

De même si −→x1 est un vecteur mobile et−−−→O1M (t) = x1(t).−→x1 alors :

−−−−→VM/R1

=dx1(t)

dt.−→x1 6=

−−−−→VM/R0

Ce n'est pas parce qu'on dérive par rapport à un repère R donné que l'on doit exprimer le résultatdans ce même repère ! ! !

Attention

3.4 Accélération d'un point par rapport à un référentiel

L'accélération instantanée du point M par rapport au repère R0 est dénie par :

−−−−→ΓM/R0

=

[d−−−−→VM/R0

dt

]R0

=

[d2−−−→O0M (t)

dt2

]R0

Son unité est le mètre par seconde carré [m.s−2].

Dénition Accélération instantanée




4 Dérivation vectorielle et vecteur taux de rotation

Comme nous avons pu le constater dans l'exemple précédent, pour calculer des vitesses et desaccélérations, on est amené à dériver des vecteurs par rapport à un référentiel donné. La méthode quiconsiste à exprimer les vecteurs à dériver dans le repère du référentiel puis à dériver leurs coordonnéesconduit très souvent à des calculs lourds et à des expressions gigantesques. Une autre méthode consisteà changer de base de dérivation.

Les démonstrations sont données pour information en annexe. Elles ne sont pas exigibles.

Remarque

4.1 Formule de dérivation vectorielle

Soit un vecteur −→u en mouvement par rapport à un repère R0 et un repère R1 en mouvementégalement par rapport à R0.

La formule de dérivation vectorielle, appelée parfois Formule de Bour est :[d−→udt

]R0

=

[d−→udt

]R1

+−−−−→ΩR1/R0

∧ −→u

où−−−−→ΩR1/R0

est le vecteur taux de rotation (ou vitesse angulaire) de R1 par rapport à R0.

Dénition Dérivation vectorielle - Formule de Bour

Si −→u est xe dans R1, la formule se simplie :

[d−→udt

]R0

=−−−−→ΩR1/R0

∧ −→u

Toujours essayer de choisir le référentiel de dérivation pour se ramener à cette formule simpliée.

Remarque

Dans le cas d'une rotation autour d'un axe (O,−→z ) de R1 par rapport à R0 d'un angle θ = (−→x0,−→x1) =

(−→y0 ,−→y1), le vecteur taux de rotation est parallèle à l'axe de rotation (dirigé dans l'exemple selon −→z ) et

a pour norme la vitesse angulaire θ, orienté dans le sens direct. Il s'exprime en rad.s−1 :−−−−→ΩR1/R0

= θ−→z .

4.2 Propriétés du vecteur taux de rotation

4.2.1 Antisymétrie

Soient un repère R0 et un repère R1 :−−−−→ΩR1/R0

= −−−−−→ΩR0/R1

Propriété Antisymétrie




4.2.2 Composition des vecteurs taux de rotation

Pour −→u quelconque, on en déduit la composition des vecteurs taux de rotation :

−−−−→ΩR2/R0

=−−−−→ΩR2/R1

+−−−−→ΩR1/R0

On peut généraliser cette relation pour n repères.

Dénition Composition des vecteurs taux de rotation

Démonstration :

Considérons 3 repères R0, R1 et R2 et un vecteur −→u quelconque. En appliquant la formule dedérivation composée précédente, on obtient :[

d−→udt

]R0

=

[d−→udt

]R1

+−−−−→ΩR1/R0

∧ −→u[d−→udt

]R1

=

[d−→udt

]R2

+−−−−→ΩR2/R1

∧ −→u

[d−→udt

]R2

=

[d−→udt

]R0

+−−−−→ΩR0/R2

∧ −→u

En additionnant les trois relations précédentes, on a :−→0 =

(−−−−→ΩR2/R1

+−−−−→ΩR1/R0

+−−−−→ΩR0/R2

)∧ −→u

5 Champ des vecteurs vitesse et accélération d'un solide

5.1 Dénitions

Considérons tous les points d'un solide S1 au cours de son déplacement par rapport à un repèreR0. À un instant donné, on peut alors déterminer les vecteurs vitesse et les vecteurs accélération detous ces points :• l'ensemble de ces vecteurs vitesse constitue le champ des vecteurs vitesse du solide en mouvement ;• l'ensemble de ces vecteurs accélération constitue le champ des vecteurs accélération du solide enmouvement.

Le vecteur vitesse d'un point M appartenant au solide S1 est noté−−−−−−→VM∈S1/R0

et son accélération

est notée−−−−−−→ΓM∈S1/R0

.

Le symbole ∈ permet de considérer n'importe quel point lié à S1, même si le point n'appartient pasphysiquement au solide à l'instant considéré ! Parfois, ∈ est remplacé par une virgule, pour allégerun peu la notation :

−−−−−−→VM∈S1/R0

⇐⇒−−−−−−→VM,S1/R0

.

Remarque Point lié




5.2 Vitesse d'un solide

5.2.1 Équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse

Soient A et B deux points du solide S. On a alors :−−−−−→VA∈S/R0

·−−→AB =

−−−−−→VB∈S/R0

·−−→AB

Dénition Équiprojectivité

On dit que le champ des vitesses est équiprojectif. Cette propriété permet de déterminer graphi-quement des vitesses sans faire de calcul ! (rarement utilisée).

•A

•B

−−−−−→VA∈S/R0

−−−−−→VB∈S/R0

//

//

Démonstration :

On utilise la dénition du solide indéformable :∀t,∥∥∥−−→AB∥∥∥ = cste

On a ainsi ∀t,∥∥∥−−→AB∥∥∥2

=−−→AB ·

−−→AB = cste

On dérive cette expression au carré :

2−−→AB ·

[d−−→AB

dt

]R0

= 0

On introduit le point O xe dans R0 :−−→AB ·[

d−−→AO

dt

]R0

+

[d−−→OB

dt

]R0

= 0

D'où :−−−−−→VA∈S/R0

·−−→AB =

−−−−−→VB∈S/R0

·−−→AB

5.2.2 Formule de changement de point

Soient A et B deux points du solide S. Connaissant la vitesse de A appartenant à S par rapport àR0, on souhaite déterminer la vitesse du point B appartenant à S par rapport à R0.

L'équiprojectivité démontrée sur un solide indéformable est équivalente à la relation de changementde point (ou formule de Varignon) :

−−−−−→VB∈S/R0

=−−−−−→VA∈S/R0

+−−→BA ∧

−−−→ΩS/R0

Dénition Formule de Varignon

Démonstration :

Soit O un point xe dans R0, et R1 lié à S :

−−−−−→VB∈S/R0

=

[d−−→OB

dt

]R0

=

[d−−→OA

dt

]R0︸︷︷︸

−−−−−−→VA∈S/R0

+

[d−−→AB

dt

]R0

=−−−−−→VA∈S/R0

+

[d−−→AB

dt

]R1

+−−−−→ΩR1/R0

∧−−→AB




Comme A et B appartiennent à S :

[d−−→AB

dt

]R1

=−→0

D'où :−−−−−→VB∈S/R0

=−−−−−→VA∈S/R0

+−−→BA ∧

−−−→ΩS/R0

5.2.3 Composition des vecteurs vitesse

Si on reprend l'exemple du micromoteur, on peut dénir3 mouvements diérents : MvtR2/R0

(mouvement de R2/R0),MvtR2/R1

et MvtR1/R0.

Nous avons déjà vu que par composition des vecteurs tauxde rotation, on avait :

−−−−→ΩR2/R0

=−−−−→ΩR2/R1

+−−−−→ΩR1/R0

Pour les vecteurs vitesses linéaires, on a également composition des vitesses :

−−−−−−−→VM∈R2/R0

=−−−−−−−→VM∈R2/R1

+−−−−−−−→VM∈R1/R0

avec :•−−−−−−−→VM∈R2/R0

la vitesse absolue du point M

•−−−−−−−→VM∈R2/R1

la vitesse relative du point M

•−−−−−−−→VM∈R1/R0

la vitesse d'entraînement du point M

Dénition Composition des vecteurs vitesse

Démonstration :

Soit O un point xe dans R0 et A un point xe dans R1 :

−−−−−−−→VM∈R2/R0

=

[d−−→OM

dt

]R0

=

[d−−→OA

dt

]R0︸︷︷︸

−−−−−−−→VA∈R1/R0

+

[d−−→AM

dt

]R0

=−−−−−−→VA∈R1/R0

+

[d−−→AM

dt

]R0︸︷︷︸

−−−−−−−−→VM∈R2/R1

+−−−−→ΩR1/R0

∧−−→AM

−−−−−−−→VM∈R2/R0

=−−−−−−−→VM∈R2/R1

+−−−−−−−→VM∈R2/R1

+−−→AM ∧

−−−−→ΩR2/R1︸︷︷︸

−−−−−−−−→VM∈R1/R0

5.2.4 Antisymétrie du vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est antisymétrique (/ à ses repères de référence) :−−−−−−−→VM∈R1/R0

= −−−−−−−−→VM∈R0/R1

Propriété Antisymétrie




Démonstration :

D'après la composition des vitesses :−−−−−−−→VM∈R1/R0

+−−−−−−−→VM∈R0/R1

=−−−−−−−→VM∈R1/R1

=−→0

+ Support de cours : TD1 - Manège pieuvre - Q3 & Q4

5.3 Accélération d'un solide

5.3.1 Formule de changement de point

Soient A et B deux points du solide S (associé à un repère RS). Connaissant l'accélération de Aappartenant à S par rapport à R0, on souhaite déterminer l'accélération du point B appartenant à Spar rapport à R0. Le résultat est le suivant :

−−−−−→ΓB∈S/R0

=−−−−−→ΓA∈S/R0

+−−→BA ∧

d−−−→ΩS/R0

dt

RR0

+−−−→ΩS/R0

∧(−−→BA ∧

−−−→ΩS/R0

)

le terme en double produit vectoriel implique que le champ d'accélération n'est pas équiprojectif.

Remarque

Cette formule n'est pas à connaître !

Remarque

5.3.2 Composition des accélérations

Pour l'accélération, on obtient :

−−−−−−−→ΓM∈R2/R0

=−−−−−−−→ΓM∈R2/R1

+−−−−−−−→ΓM∈R1/R0

+ 2−−−−→ΩR1/R0

∧−−−−−−→VA∈R2/R1

Avec :•−−−−−−−→ΓM∈R2/R0

est l'accélération absolue du point M ;

•−−−−−−−→ΓM∈R2/R1

est l'accélération relative du point M ;

•−−−−−−−→ΓM∈R1/R0

est l'accélération d'entraînement du point M ;

• 2−−−−→ΩR1/R0

∧−−−−−−→VA∈R2/R1

est l'accélération de Coriolis.

Cette formule n'est pas à connaître (non plus) !

Remarque

+ Support de cours : TD1 - Manège pieuvre - Q5




6 Torseur cinématique

6.1 Dénition

Un torseur est un outil mathématique, utilisé en mécanique, an de décrire les champs antisymé-triques (vitesse, moment d'eort . . . ).

Le torseur est composé de deux vecteurs : une résultante (en cinématique, le vecteur taux derotation) et un moment (en cinématique, le vecteur vitesse). Ce sont ses éléments de réduction. Sonexpression dépend de son point d'écriture.

VS/R0

=

M

−−−→ΩS/R0−−−−−−→VM∈S/R0

Dénition Torseur cinématique

L'intérêt d'un tel outil est qu'il contient toutes les informations pour décrire le mouvement d'unsolide par rapport à un autre. Il permet de synthétiser les propriétés obtenues pour les taux de rotationet les vitesses instantanées.

6.2 Propriétés

Ces propriétés sont tirées directement des propriétés du vecteur taux de rotation et du vecteurvitesse :• antisymétrie :

VS1/S2

= −

VS2/S1

• changement de point :

VS/R0

=

A

−−−→ΩS/R0−−−−−→VA∈S/R0

=

B

−−−→ΩS/R0−−−−−→

VB∈S/R0=−−−−−→VA∈S/R0

+−−→BA ∧

−−−→ΩS/R0

• composition :

VS2/S0

=VS2/S1

+VS1/S0

Pour faire la somme de deux torseurs, ils doivent être écrits au même point.

Attention

Les torseurs seront très utiles dans tous les domaines de la mécanique (actions mécaniques, dyna-mique, résistance des matériaux . . . ). Il y a donc uniquement à connaître la forme du torseur et sespropriétés pour pouvoir mener une étude complexe.

Remarque

+ Support de cours : TD1 - Manège pieuvre - Q6




7 Mouvements particuliers

7.1 Mouvement de translation

7.1.1 Dénition

Un solide S est animé d'un mouvement de translation dans unrepère R0 si deux vecteurs

−−→AB et

−−→AC distincts et non colinéaires ap-

partenant à S restent respectivement équipollents (supports parallèles,

même sens, même norme) aux vecteurs−−→AB(t0) et

−−→AC (t0) appartenant

au repère R0.

Il existe plusieurs types de translation :• rectiligne : la trajectoire des points du solide est une droite(translation du piston du moteur) ;• circulaire : la trajectoire des points du solide est un cercle (lampede bureau) ;

• curviligne : pour les autres cas (exemple d'un télésiège).

7.1.2 Propriété d'un mouvement de translation

Les vecteurs vitesses de tous les points du solide sont tous égaux et le vecteur taux de rotationest nul.

7.1.3 Torseur cinématique

∀t,VS/R0

=

M

−→0

−−−−−−→VM∈S/R0

Propriété Mouvement de translation




Ce type de torseur est un torseur couple. Les éléments de réduction de ce torseur sont les mêmesquel que soit le point où on les exprime.

Démonstration :

∀A ∈ S,∀B ∈ S,

[d−−→AB

dt

]R0

=−→0 car

−−→AB est constant.

[d−−→AO +

−−→OB

dt

]R0

=−−−−−→VB∈S/R0

−−−−−−→VA∈S/R0

⇒−−−−−→VB∈S/R0

=−−−−−→VA∈S/R0

D'après la formule de changement de point, comme−−→AB 6= −→0 on obtient

−−−→ΩS/R0

=−→0

Dans le cas des translations rectilignes, la liaison associée sera une liaison glissière.

Remarque

7.2 Mouvement de rotation autour d'un axe xe

7.2.1 Dénition

−→x0

−→y0

θ

O −→z0

−→u

−→v

•M

−−−−−−→VM∈S/R0

Un solide S est animé d'un mouvement de rotation autourd'un axe D0 dans un repère R0 si deux points distincts A et Bappartenant à S coïncident en permanence avec les deux pointsxes A0 et B0 appartenant à l'axe D0.

La trajectoire de l'ensemble des points du solide S, est uncercle dans un plan orthogonal à l'axe de rotation, centré sur cemême axe.

7.2.2 Propriété d'un mouvement de rotation autour d'un axe xe

Si la position angulaire du mouvement est paramétrée par l'angle θ alors le vecteur taux de rotationvaut θ.−→z0 avec −→z0 un vecteur directeur de l'axe de rotation.

Si on considère un point M tel que :−−→OM = z.−→z0 + RM .

−→u . Le vecteur vitesse vaut−−−−−−→VM∈S/R0

=

RM θ.−→v .

La vitesse est perpendiculaire à la direction (OM) et proportionnelle à RM .

Démonstration :−−−−−−→VM∈S/R0

=−−−−−→VO∈S/R0︸︷︷︸

=−→0 car O∈D0

+−−→MO ∧

−−−→ΩS/R0

= (−z−→z0 −RM−→u ) ∧ θ−→z0 = RM θ−→v




7.2.3 Torseur cinématique

∀t,VS/R0

=

M

−−−→ΩS/R0−−−−−−→VM∈S/R0

=

M

θ.−→z0

RM θ.−→v

Propriété Mouvement de rotation autour d'un axe xe

En particulier, sur l'axe de rotation, le torseur est un glisseur, c'est-à-dire que :

∀M ∈ D0,VS/R0

=

M

θ.−→z0−→

0

Lorsqu'un solide S1 est en liaison avec un autre solide S0 et que le seul degré de liberté conservé estune rotation, on dit que le solide S1 est en liaison pivot par rapport au solide S0.

Remarque

7.3 Contact ponctuel en un point

7.3.1 Dénition

Deux solides Si et Sk sont en contact ponctuel, lorsque le contact se fait sur un point unique.

7.3.2 Vitesse de glissement au contact

Soient deux solides Si et Sk en contact par les surfaces qui les limitent. Les deux surfaces Σi et Σk

sont tangentes en un point I et le contact est ponctuel. On appelle vitesse de glissement du solideSk par rapport au solide Si au point I :

−−−−−→VI∈Sk/Si =

−−−−−−→VI∈Sk/R0

−−−−−−→VI∈Si/R0

Dénition Vitesse de glissement au contact

I•−−−−−→VI∈Si/R0

−−−−−−→VI∈Sk/R0

−−−−−→VI∈Sk/Si

Sk

Si

La vitesse de glissement est la diérence des vecteurs vitessedes molécules des solides Si et Sk qui sont en contact au pointI, donc de deux vecteurs vitesse instantanée. Elle dépend doncdu temps. On peut établir les propriétés suivantes :

La vitesse de glissement est indépendante du repère de référence.En eet nous pouvons écrire la décomposition de la vitesse deglissement par rapport à n'importe repère :

−−−−−→VI∈Sk/Si =

−−−−−−→VI∈Sk/R0

−−−−−−→VI∈Si/R0

=−−−−−−→VI∈Sk/R?

−−−−−−→VI∈Si/R?

Propriété 1




La vitesse de glissement du solide Sk par rapport au solide Si, au point I, est contenue dans le plantangent commun aux deux solides Si et Sk au point I, ie :

−−−−−→VI∈Sk/Si ·

−→n = 0 avec −→n la normale auplan tangent (sinon il y aurait interpénétration entre les deux solides).

Propriété 2

Quand dans les hypothèses, on supposera qu'il y a roulement sans glissement au point de contact Ipour le mouvement de Sk par rapport à Si, il faudra écrire la relation suivante :

−−−−−→VI∈Sk/Si =

−→0

Dans le cas du roulement sans glissement, la vitesse de glissement est nulle.

Dénition Roulement sans glissement

7.3.3 Vecteur roulement Vecteur pivotement

Si

−→ΩT

−→ΩN

−−−−→ΩSk/Si

I×

plan tangent

Soient−→ΩT et

−→ΩN les projections de

−−−−→ΩSk/Si

, respec-tivement, sur le plan tangent commun aux deux solidesSi et Sk et sur la normale à ce plan.−→ΩN est appelé vecteur pivotement du solide Sk par

rapport au solide Si.−→ΩT est appelé vecteur roulement

du solide Sk par rapport au solide Si.

D'après la gure, nous pouvons écrire :

•−→ΩN =

(−−−−→ΩSk/Si

· ~n)−→n

•−→ΩT = −→n ∧

(−−−−→ΩSk/Si

∧ −→n)

7.4 Exemple d'une roue de vélo

O

A

I

r

a(t)

x(t)

cadre (C)

roue (R)

Sol (S)

x1

x0

y0y1

y0

x0

On considère un vélo qui avance.La roue R de rayon r roule sans glis-ser sur le sol S. La position du cadreC du vélo (point A) est repérée parla longueur x(t) et la rotation de laroue par l'angle α(t) = (−→x0,

−→x1).

L'écriture de la vitesse de glisse-ment au point I permet de détermi-ner une relation entre x et α.

Par dénition, la vitesse de glissement en I est :−−−−→VI∈R/S

Par composition des vitesses :−−−−→VI∈R/S =

−−−−→VI∈R/C +

−−−−→VI∈C/S

Le cadre est en translation par rapport au sol, donc−−−−→VI∈C/S =

−−−−−→VA∈C/S = x−→x0




La roue est en rotation par rapport au cadre de centre A, donc−−−−→VI∈R/C =

−−−−−→VA∈R/C +

−→IA ∧

−−−→ΩR/C

Le vecteur−→IA est toujours vertical au cours du mouvement

−→IA = r−→y0 .

Comme−−−→ΩR/C = α−→z0 et

−−−−−→VA∈R/C =

−→0 , il vient :

−−−−→VI∈R/C = rα−→x0.

Ainsi la vitesse de glissement s'écrit :−−−−→VI∈R/S = (x+ rα)−→x0

On constate bien que la vitesse est dans le plan tangent au contact.

Si on fait l'hypothèse qu'il y a roulement sans glissement, alors : x+ rα = 0

En supposant pour conditions initiales x = 0 quand α = 0, on a x = −rα. On peut alors tracerpar exemple la trajectoire d'un point de la roue dans ces conditions, on parle de cycloïde.

S'il n'y a pas roulement sans glissement, on a dérapage ou patinage et la trajectoire des points estmodiée.

Très souvent la vitesse de glissement est diérente de

[d−→OI

dt

]R0

car l'appartenance du point I à un

solide doit être traitée avec précaution. En eet dans notre exemple,

[d−→OI

dt

]R0

= x−→x0 6=−−−−→VI∈R/S car

le point I considéré dans ce calcul n'est pas le point de contact mais le point lié au cadre qui sedéplace avec lui !

Remarque Calcul de la vitesse de glissement

Pour calculer la vitesse de glissement, on ne doit jamais dériver le vecteur position, mais utiliser lacomposition des vitesses et la relation de changement de point.

Attention




8 Complément sur la modélisation et l'analyse des mécanismes

8.1 Torseur cinématique des liaisons

8.1.1 Degrés de liberté et torseur cinématique

Une liaison supprime des degrés de liberté de rotation ou de translation entre deux classes d'équi-valence S1 et S0.

Pour caractériser à tout instant le mouvement de S1 par rapport à S0, on introduit à partir desdegrés de liberté en rotation, le vecteur taux de rotation

−−−−→ΩS1/S0

et à partir des degrés de liberté en

translation, le vecteur vitesse linéaire d'un point particulier A de la liaison−−−−−−→VA∈S1/S0

.

Ces quantités permettent de dénir le torseur cinématique de la liaison par ses éléments de réduc-tion :

VS1/S0

=

A

−−−−→ΩS1/S0−−−−−−→VA∈S1/S0

En introduisant les composantes des vecteurs dans une base bien choisie (ici b0), le torseur cinéma-tique de la liaison est alors très proche du tableau des degrés de liberté de la liaison.

VS1/S0

=

A

ωxS1/S0

ωyS1/S0

ωzS1/S0

V xA,S1/S0

V yA,S1/S0

V zA,S1/S0

b0

⇐⇒

A

p10

q10

r10

u10

v10

w10

b0

Avec :

−−−−→ΩS1/S0

= ωxS1/S0.−→x0 + ωyS1/S0

.−→y0 + ωzS1/S0.−→z0

−−−−−−→VA∈S1/S0

= V xA,S1/S0

.−→x0 + V yA,S1/S0

.−→y0 + V zA,S1/S0

.−→z0

Il est indispensable dans ces conditions de bien préciser la base dans laquelle écrire les vecteurs sontécrits. Un choix intelligent de cette base permet de simplier les calculs.

Attention

Exemple : Torseur d'une liaison pivot glissant d'axe (O,−→x )

VS1/S0

=

∀P∈(O,−→x )

ωxS1/S0

0

0

V xP,S1/S0

0

0

(−→x ,−→y ,−→z )

8.1.2 Tableau des liaisons normalisées

On peut maintenant enrichir le tableau des liaisons vu au chapitre 4, en rajoutant la colonne relativeau torseur cinématique.




Nom +Caractéristique

Degrésde

liberté

Schémaspatial(3D)

Schéma(s)plan(s)(2D)

MobilitésV2/1

Encastrement 0 ddl

0

0

0

0

0

0

C

0

0

0

0

0

0

b

Glissière

Direction −→x

1 ddl1

2#»z

#»y#»x

M

1

#»x

M

2

#»z#»y

2

1

M#»y

#»z#»x

0

0

0

Tx

0

0

M

0

0

0

V xM,2/1

0

0

b

∀M

Pivot

Axe (A,−→x )

1 ddl 1

2

#»z

#»y#»x

A

1

#»x

A

2

#»z#»y

2

1 #»y

#»z#»x

A

Rx

0

0

0

0

0

A

ωx2/1

0

0

0

0

0

b

∀M ∈ (A,−→x )

Hélicoïdale

Axe (A,−→x )

1 ddl 1

2

#»z

#»y#»x

A

1

#»x

A

2

#»z#»y

2

1 #»y

#»z#»x

A

Rx

0

0

Tx

0

0

C

ωx2/1

0

0

p

2πωx2/1

0

0

b

∀M ∈ (A,−→x )

Pas à gauche :− p

2πωx2/1 et p

2πX21

Pivot glissant

Axe (A,−→x )

2 ddl 1

2

#»z

#»y#»x

A

1

#»x

A

2

#»z#»y

2

1 #»y

#»z#»x

A

Rx

0

0

Tx

0

0

A

ωx2/1

0

0

V xA,2/1

0

0

b

∀M ∈ (A,−→x )

Appui plan

Normale au plan −→z

3 ddl

2

1

#»y

#»z

#»x

M

2

1#»y

#»z

#»x

M 0

0

Rz

Tx

Ty

0

M

0

0

ωz2/1

V xM,2/1

V yM,2/10

b

∀M

Sphérique

Centre de la sphèreA

3 ddl1

2

A

#»y

#»z

#»x

1

2

A#»y

#»z

#»x

Rx

Ry

Rz

0

0

0

A

ωx2/1

ωy2/1ωz2/1

0

0

0

b

En A




Nom +Caractéristique

Degrésde

liberté

Schémaspatial(3D)

Schéma(s)plan(s)(2D)

MobilitésV2/1

Sphère cylindre


Direction −→x

4 ddl

1

2

#»z

#»x#»y

A 2

1

#»y

#»z

A

#»x

2

1

#»x

#»z

A#»y

Rx

Ry

Rz

Tx

0

0

A

ωx2/1

ωy2/1ωz2/1

V xA,2/1

0

0

b

En A

Sphère plan

Point de contact ANormale au plan −→z

5 ddl

2

1

#»y

#»z

#»x

A

1

2

#»y

#»z

#»x

A

Rx

Ry

Rz

Tx

Ty

0

A

ωx2/1

ωy2/1ωz2/1

V xA,2/1

V yA,2/10

b

∀M ∈ (A,−→z )

Sphérique à doigt


Normale au plan −→xDirection du doigt

−→z

2 ddl1

2

A

#»y

#»z

#»x

1

2

A#»y

#»z

#»x

Rx

0

Rz

0

0

0

A

ωx2/1

0

ωz2/1

0

0

0

b

En A

Linéaire rectiligne(ou cylindre plan)

Droite de contact(A,−→x )

Normale au plan −→z

4 ddl

2#»x

#»y

#»z 1

A

2

1

#»y

#»z #»x

A

2

#»x

#»z

#»y

1

A

Rx

0

Rz

Tx

Ty

0

A

ωx2/1

0

ωz2/1

V xA,2/1

V yA,2/10

b

∀M ∈plan (A,−→x ,−→z )

8.2 Liaison cinématique équivalente

8.2.1 Dénition

La réalisation technologique des liaisons impose la mise en place de liaisons géométriques composées.Une liaison équivalente est une liaison du tableau normalisé autorisant les mêmes mouvements ettransmettant les mêmes eorts que l'association de liaisons en série ou en parallèle.

Il n'est pas toujours possible de trouver une liaison équivalente !

Attention




8.2.2 Liaisons en série

S1 S2

S3

S4

Sn⇐⇒ S1 SnLeq

Le torseur cinématique, de la liaison équivalente aux n − 1 liaisons disposées en série, est obtenuen additionnant, au même point, les diérentes composantes de toutes les liaisons élémentaires :

VLeq

Sn/S1

=VSn/Sn−1

+VSn−1/Sn−2

+ · · ·+

VS3/S2

+VS2/S1

Exemple:

S0 S1 S2appui-plan

de normale −→ysphériquede centre A

−→x

−→y

×A

Le torseur cinématique de la liaison appui plan conserve sa forme quelque soit le point auquel on l'écrit.On va donc par commodité exprimer les 2 torseurs de liaisons en A :

VS2/S1

=

A

ωxS2/S1

ωyS2/S1

ωzS2/S1

0

0

0

b

VS1/S0

=

A

0

ωyS1/S0

0

V xA,S1/S0

0

V zA,S1/S0

b

Il sut d'ajouter les 2 torseurs et d'identier la liaison ainsi obtenue :

VS2/S0

=VS2/S1

+VS1/S0

=

A

ωxS2/S1

ωyS2/S1+ ωyS1/S0

ωzS2/S1

V xA,S1/S0

0

V zA,S1/S0

b

La liaison équivalente est une sphère-plan de normale −→y :VS2/S0

=

A

ωxS2/S0

ωyS2/S0

ωzS2/S0

V xA,S2/S0

0

V zA,S2/S0

b




8.2.3 Liaisons en parallèle

S0 S1

L1

L2

Li

Ln−1

Ln

⇐⇒ S0 S1Leq

Le torseur cinématique, de la liaison équivalente aux n liaisons disposées en parallèle, est égal autorseur cinématique de chacune des liaisons élémentaires ramenées au même point. Il s'agit de vérierla compatibilité entre les diérents torseurs en un même point (mouvements autorisés).

VLeq

1/0

=VL1

1/0

=VL2

1/0

= · · · =

VLn−1

1/0

=VLn

1/0

Exemple:

S0 S1

appui-plande normale −→z

pivot glissantd'axe (O,−→z )

×O

−→z

Le torseur cinématique de la liaison appui plan conserve sa forme quelque soit le point auquel on l'écrit.On va donc par commodité exprimer les 2 torseurs de liaisons en O :

V1S1/S0

=

O

0

0

ωzS1/S0

0

0

V zO,S1/S0

b

V2S1/S0

=

O

0

0

ωzS1/S0

V xO,S1/S0

V yO,S1/S0

0

b

Il sut d'égaliser les 2 torseurs et d'identier la liaison ainsi obtenue :

VS1/S0

=V1S1/S0

=V2S1/S0

⇒

O

0

0

ωzS1/S0

0

0

V zO,S1/S0

b

=

O

0

0

ωzS1/S0

V xO,S1/S0

V yO,S1/S0

0

b

D'après la ligne précédente, on trouve donc pour la liaison équivalente le torseur suivant :

VS1/S0

=

O

0

0

ωzS1/S0

0

0

0

b

⇒ liaison pivot d'axe (O,−→z )




8.3 Fermeture cinématique Lois entrée/sortie cinématique

Il s'agit de réaliser une fermeture sur les quantités cinématiques :• Vecteur taux de rotation ;• Vecteur vitesse d'un point.

Cela revient à faire une fermeture sur les torseurs cinématiques ramenées au même point.Vn/1

+V1/2

+ · · ·+

Vn−1/n

= 0

Les équations obtenues dans une fermeture de chaîne cinématique sont les dérivées des équationsobtenues dans les fermetures géométriques. Les deux approches sont donc équivalentes.

On choisira l'une ou l'autre des méthodes en fonction de l'énoncé et des quantités recherchées. Engénéral, il est plus rapide de faire une fermeture géométrique et de dériver des relations scalaires quede faire une fermeture cinématique.

9 Annexe - Calcul vectoriel

Les théories de la mécanique utilisent des grandeurs qui peuvent mathématiquement être représen-tées par des vecteurs (vitesse, position, accélération, force...). Ces vecteurs sont des éléments d'espacesvectoriels euclidiens sur R de dimension 3 noté (E). Les grandeurs vecteurs sont intrinsèques, elles sontindépendantes de la base dans laquelle elles sont représentées.

9.1 Dénitions

Soient deux points A et B. (A,B) est appelé un bipoint. Un bipoint est déni par son origine A,son sens (de A vers B), sa direction (droite (AB)) et sa norme (distance de A à B).

Un vecteur est l'ensemble des bipoints équipollents (parallèles, même sens, même norme) au bipoint(A,B).

A

#»

V

B (D)Norme

#»

V#»

V

Pour le vecteur, on dénit :• son support : la droite (D) = (AB)• le sens : de A vers B• sa norme : la distance de A vers B, notée

∥∥∥−→V ∥∥∥.

9.2 Repérage des vecteurs

9.2.1 Base

−→x

−→z

−→yL'association de trois vecteurs indépendants forme une base b de (E),

noté (−→x ,−→y ,−→z ). Tout vecteur−→V se décompose de manière unique sur cette

base : −→V = vx.

−→x + vy.−→y + vz.

−→z

On utilisera en Sciences de l'Ingénieur des bases orthonormées directes(−→x ,−→y ,−→z ), c'est-à-dire des vecteurs orthogonaux, de même norme égale à 1.La base est directe si elle vérie la règle de la main droite .




9.2.2 Repère

Un repère est une base vectorielle associée à un point appelé origine. En mécanique du solide, ona l'habitude d'associer un repère Ri (Oi,

−→xi ,−→yi ,−→zi ) à chaque solide Si.

En Sciences de l'Ingénieur, les notions de base et de repère sont appréciées de manière identique.

Remarque

9.2.3 Expression d'un vecteur dans diérents repères

Considérons un système de solides S1 et S2 liés par une articulation (pivot) de centre A et d'axeperpendiculaire au plan de la feuille. Considérons le point B appartenant au solide S2 à une distanceL de A. Le solide S1 est xe par rapport à la feuille. À l'instant t1 le système est en position 1,considérons le vecteur

−−→AB1 , puis à l'instant t2 le système est en position 2, considérons le vecteur

−−→AB2 .

Pour caractériser ces deux vecteurs nous pouvons les exprimer dans une base (un repère). Le choixde la base est arbitraire, soit R1 (A,−→x1,

−→y1 ,−→z1) base orthonormé dénie sur la gure en position 1 ou

R2 (A,−→x2,−→y2 ,−→z2) base orthonormé dénie sur la gure en position 2.

Position 1

S1S2

~z1

−→x 1

~y1

+B1

A

Position 2

S1

S2

~z1

−→x 1

~y1

+B1

A

α

−→x 2

~y2

+B2

Notons L la longueur du segment [AB]. Dans la position 1, on a−−→AB1 = L.−→x1 dans le repère R1.

Dans la position 2, on a−−→AB2 = L.−→x2 dans le repère R2. Mais aussi

−−→AB2 = L cosα.−→x1 + L sinα.−→y1

dans le repère R1.

9.3 Produit scalaire

9.3.1 Dénition

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre, noté −→u · −→v tel que :

−→u · −→v = ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × cos(−→u ,−→v )

Dénition Produit scalaire




En SII, on manipule essentiellement des vecteurs unitaires. Dans ce cas, en admettant que (−→u ,−→v ) = θ :

−→u · −→v = cos θ

9.3.2 Propriétés

• Commutativité : −→u · −→v = −→v · −→u ;• Distributivité : −→u · (−→v +−→w ) = −→u · −→v +−→u · −→w ;• Linéarité : λ.−→u · µ.−→v = λµ (−→u · −→v ) ;• Si −→u · −→v = 0 alors −→u = ~0 ou −→v = ~0 ou −→u ⊥ −→v ;• Si −→u −→v alors on a −→u · −→v = ε ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ avec ε = ±1 suivant l'orientation de −→u et −→v .

9.3.3 Expression analytique

−→u

−→p

−→V

Dans une base orthonormée (−→x ,−→y ,−→z ), on peut montrer quele produit scalaire entre −→u et −→v est déni par la relation entreles coordonnées :

−→u · −→v = uxvx + uyvy + uzvz

9.3.4 Interprétation géométrique

Soit −→p la projection vectorielle d'un vecteur−→V sur une droite de vecteur directeur −→u ( unitaire )

alors :−→p = (

−→V · −→u ).−→u

9.4 Changement de bases

9.4.1 Principe

Dans la pratique, la lecture de gure spatiale étant délicate, on se ramène toujours à des guresplanes. Dans la plupart des cas, le passage d'une base à une autre est réalisé par une rotation plane.

−→x1

−→y1

−→z1 = −→z2

−→x2

−→y2

θ

θ

Pour faciliter le calcul des projections, on utilise des gures géo-métrales appelées aussi gures de projection ou gures de calcul ougures de changement de bases.

Ces gures seront toujours réalisées avec des angles positifs prochede 20°, le vecteur commun aux deux bases étant perpendiculaire à lafeuille toujours dirigé vers le lecteur de la gure.

Attention

Vous devez être capables de retrouver les projections des diérents vecteurs sans hésitation :

−→x2 = cos θ.−→x1 + sin θ.−→y1−→y2 = cos θ.−→y1 − sin θ.−→x1

−→x1 = cos θ.−→x2 − sin θ.−→y2−→y1 = cos θ.−→y2 + sin θ.−→x2

Pour éviter toute erreur, il est utile de vérier ses formules de projection en θ = 0 et θ = 90°.




9.4.2 Astuce de calcul avec les gures planes

Quand on cherche à projeter un vecteur dans une autre base avec une gure plane, si on a biendessiné la gure avec un angle de 20° environ, on voit apparaitre un triangle rectangle de la formeci-dessous, avec un petit côté et un grand côté . Comme on raisonne sur des vecteurs unitaires,l'hypoténuse est de longueur égale à 1.

−→x1

−→y1

−→z1 = −→z2

−→x2

−→y2

θ

θθ

1

cos θ

sin θ

−→x2 = cos θ.−→x1 + sin θ.−→y1

θ1 cos θ

sin θ

−→y2 = − sin θ.−→x1 + cos θ.−→y1

Il sut alors de retenir que petit côté = sinus et grand côté = cosinus, et de raisonnersur la direction des vecteurs pour déduire le signe...

9.5 Produit vectoriel

9.5.1 Dénition

Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, noté −→u ∧ −→v tel que :

−→u ∧ −→v = ‖−→u ‖ × ‖−→v ‖ × sin(−→u ,−→v ).−→w

avec −→w tel que (−→u ,−→v ,−→w ) forme un trièdre direct.

Dénition Produit vectoriel

En SII, on manipule essentiellement des vecteurs unitaires. Dans ce cas, en admettant que (−→u ,−→v ) = θ :

−→u ∧ −→v = sin θ.−→w

9.5.2 Propriétés

• Distributivité : −→u ∧ (−→v +−→w ) = −→u ∧ −→v +−→u ∧ −→w ;• Linéarité : λ.−→u ∧ µ.−→v = λµ (−→u ∧ −→v ) ;• Anti-symétrie : −→u ∧ −→v = −−→v ∧ −→u .

9.5.3 Astuce de calcul

Lorsque les 2 termes du produit vectoriel sont 2 vecteurs d'une base orthonormée directe (exemple :−→x ∧−→y ), on peut facilement calculer le produit vectoriel en utilisant le moyen mnémotechnique suivant :




x y z x y z

⊕ ⊕ ⊕

9.5.4 Encore une astuce, en utilisant les gures planes

Lorsque les 2 termes ne font pas partie de la même base (exemple : −→x1 ∧ −→x0), on peut éviter deprojeter −→x1 dans la base b0 en utilisant la méthode suivante, dite méthode à 3 temps , expliquée surles 2 exemples suivants :

−→x1

−→y1

−→z1 = −→z2

−→x2

−→y2

θ

θ

−→y1 ∧ −→y2 =?

1. Pour aller de −→y1 vers −→y2 , on tourne autour de −→z1 ;

2. On tourne dans le sens positif ;3. L'angle entre les 2 est θ.

−→y1 ∧ −→y2 = + sin θ.−→z1

−→y2 ∧ −→x1 =?

1. Pour aller de −→y2 vers −→x1, on tourne autour de −→z1 ;

2. On tourne dans le sens négatif ;3. L'angle entre les 2 est π

2 + θ.

−→y2 ∧ −→x2 = − sin(π

2+ θ).−→z1 = −cos θ.−→z1

On ne peut utiliser cette méthode que s'il existe une gure plane sur laquelle apparaissent les 2termes du produit vectoriel. Dans le cas contraire, on n'échappera pas à des calculs de projection.

Attention

9.6 Produit mixte

Le produit mixte est la quantité notée (−→u ,−→v ,−→w ) et dénie par :

(−→u ,−→v ,−→w ) = (−→u ∧ −→v ) · −→w

Dénition Produit mixte




Le produit mixte se conserve par permutation circulaire :

(−→u ,−→v ,−→w ) = (−→v ,−→w ,−→u ) = (−→w ,−→u ,−→v )⇐⇒ (−→u ∧ −→v ) · −→w = (−→v ∧ −→w ) · −→u = (−→w ∧ −→u ) · −→v

Utiliser les propriétés du produit mixte permet parfois de simplier spectaculairement les calculs(de dynamique, notamment...).

9.7 Dérivation vectorielle

9.7.1 Dérivation directe

Soit un vecteur−→V repéré dans R (O,−→x ,−→y ,−→z ) par

−→V = x.−→x + y.−→y + z.−→z . La dérivée temporelle

de ce vecteur par rapport au repère R s'écrit :[d−→V

dt

]R

=dx

dt.−→x + x.

[d−→xdt

]R

+dy

dt.−→y + y.

[d−→ydt

]R

+dz

dt.−→z + z.

[d−→zdt

]R

Les vecteurs −→x , −→y et −→z étant xes (ie constants au cours du temps) dans le repère R, leurs dérivéessont nulles, donc : [

d−→V

dt

]R

=dx

dt.−→x +

dy

dt.−→y +

dz

dt.−→z

Pour simplier les écritures, en SII on note souventdu

dt= u, d'où :[

d−→V

dt

]R

= x.−→x + y.−→y + z.−→z

9.7.2 Dérivation composée

Très souvent en SII, les expressions vectorielles ne sont pas exprimées dans un unique repère(exemple :

−→V = a.−→y2 + b.−→z1 + c.−→x0). La dérivation vectorielle n'est plus aussi aisée.

Les étudiants sont souvent tentés de tout projeter dans R0 avant de dériver, ce qui est une bienmauvaise idée (souvent héritée de la mécanique du point vue en Physique).

En SII, on privilégiera donc l'utilisation de la formule de dérivation vectorielle (dite formule deBour ) :

[d−→udt

]R0

=

[d−→udt

]R1

+−−−−→ΩR1/R0

∧ −→u

Dénition Formule de Bour

s2i.pinault-bigeard.com D'après: A.CAIGNOT - J-M.CHATEAU - N.MALESYS - S.GERGADIER - D. VIOLEAU



9.7.3 Astuce de calcul avec les gures planes

Si on cherche à dériver un vecteur −→ui dans un repère Rj , et qu'il existe une même gure planesur laquelle −→ui et Rj apparaissent, alors on peut utiliser la méthode suivante : si on considère la gure

plane ci-dessous à gauche, et qu'on souhaite calculer

[d−→x2

dt

]R1

, il faut :

• faire faire une rotation de π2 au vecteur −→x2, ce qui nous donne

−→y2 ;• multiplier ce vecteur par la dérivée temporelle de l'angle déni sur la gure plane : θ.

On trouve alors :

[d−→x2

dt

]R1

= θ.−→y2

Par la même méthode, la gure ci-dessous à droite donne immédiatement :

[d−→y2

dt

]R1

= −θ.−→x2

−→x1

−→y1

−→z1 = −→z2

−→x2

−→y2

θ

θ

−→x1

−→y1

−→x2

−→y2

-−→x2

+π

2

+π

2θ

θ

On ne peut utiliser cette méthode que s'il existe une gure plane sur laquelle apparaissent le vecteurà dériver et le repère (ou base) dans lequel on souhaite dériver. Dans le cas contraire, on n'échapperapas là encore à des calculs de projection.

Attention

Documents

Cours - Analyse cinématique des systèmes