Cours Analyse Cp 2

Cours d’Analyse: Fonctions de plusieurs variables1

Mohamed [email protected]@gmail.com

13 janvier 2013

1. Mention Mathématiques, CP-2. Année 2012/2013

Table des matières

1 Fonctions de plusieurs variables 41.1 Introduction : Présentation et motivation des concepts. . . . . . . . . . . . 41.2 Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles . .. . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Exemple Mathématiques et définition . . . . . . . . . . . . . . .. 51.2.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3 Représentation de fonctions : surfaces et Courbes de niveau . . . . 8

1.3 Fonctions de trois ou plusieurs variables à valeurs réelles . . . . . . . . . . 101.4 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 11

1.4.1 Composantes d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . .. . . . 111.4.2 Composantes d’une fonction vectorielle . . . . . . . . . . .. . . . 121.4.3 Dérivées d’une fonction à valeurs vectorielles . . . . .. . . . . . . 12

1.5 Dérivées partielles et gradient d’une fonction . . . . . . .. . . . . . . . . 141.5.1 Rappel : dérivation d’une fonction deR dansR . . . . . . . . . . . 141.5.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141.5.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. . . . . 161.5.4 Gradient d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Calculs de limites et continuités 182.1 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18

2.1.1 Exemples d’espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . .. . . 182.1.2 Normes surRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Limite d’une suite de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212.2.1 Limite d’une suite de points dans un espace métrique . .. . . . . . 212.2.2 Limite d’une suite dans un espace vectoriel normé . . . .. . . . . 222.2.3 Cas de l’espaceRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 232.3.1 Limite d’une application d’un espace métrique dans unautre . . . . 232.3.2 Limite d’une application d’un espace vectoriel normédans un autre 24

2.4 Applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 251

TABLE DES MATIÈRES 2

2.4.1 Applications continues d’un espace métrique dans un autre . . . . . 252.4.2 Prolongement par continuité d’un espace métrique dans un autre . . 26

3 Calcul différentiel 283.1 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 28

3.1.1 Dérivée suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2 Dérivées relatives à une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .293.1.3 Vision de la physique de la dérivée selon un vecteur . . .. . . . . 29

3.2 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 303.2.1 Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 303.2.2 Matrice jacobienne et Gradient d’une application . . .. . . . . . . 32

3.3 Dérivation des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 333.3.1 Différentiabilité des applications composées . . . . .. . . . . . . . 333.3.2 Règle pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.3 Exemples pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.4 Différentielle d’un produit et d’un quotient . . . . . . .. . . . . . 343.3.5 Le jacobien d’une applicationf : Rn −→ Rm . . . . . . . . . . . . 353.3.6 Divergence et Laplacien d’une application . . . . . . . . .. . . . . 37

3.4 Dérivées successives. Fonctions de calsseCk . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Linéarité locale et différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 38

3.5.1 Difféomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

3.6 Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 383.7 Applications sur le calcul différentiel : Théorème des fonctions Implicites

et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.1 Définition et existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.2 Courbes planes implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.7.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . .. . 403.7.4 Tangente à la courbe d’équationf(x, y) = 0 . . . . . . . . . . . . . 423.7.5 Normale à la courbe d’équationf(x, y) = 0 . . . . . . . . . . . . . 423.7.6 Normale principale à la courbe d’équationf(x, y) = 0 . . . . . . . 433.7.7 Généralisation en trois dimension . . . . . . . . . . . . . . . .. . 433.7.8 Plan tangent à la surface d’équationf(x, y, z) = 0 : . . . . . . . . . 443.7.9 Normale à la surface d’équationf(x, y, z) = 0 : . . . . . . . . . . . 44

3.8 Formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young . . . . . . . . .. . . . . . . 443.8.1 Puissances symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.8.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.9 Approximations linéaire et quadratique et analyse des erreurs. L’approxi-mation par le polynôme de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.9.1 Approximations linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

TABLE DES MATIÈRES 3

3.9.2 Approximations quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463.9.3 Approximation par le polynôme de Taylor . . . . . . . . . . . .. . 47

4 Optimisation : Extrema, points critiques et valeurs critiques 484.1 Extrema locaux et globaux de fonctions de deux variablesou plusieurs

variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.1.1 Extrema locaux et globaux d’une fonction . . . . . . . . . . .. . . 484.1.2 Étude sur les points critiques d’une application . . . .. . . . . . . 494.1.3 Maxima et minima des fonctions den variables . . . . . . . . . . . 52

4.2 Fonctions quadratiques : Recherche linéaire et méthodedu gradient . . . . 534.2.1 Forme linéaires et bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 534.2.2 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 544.2.3 Équivalence entre la résolution d’un système linéaire et la minimi-

sation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3 Application aux moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 56

4.3.1 Approximation par la droite des moindre carrés . . . . . .. . . . . 564.3.2 Interprétation géométrique : projection sur un sous-espace . . . . . 57

5 Calcul d’intégrales multiples 585.1 Théorème de la divergence, Théorème de Green . . . . . . . . . .. . . . . 585.2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.3 Intégrale double : changement en coordonnés polaire . . .. . . . . . . . . 595.4 Intégrale triple (changements en coordonnées sphériques, cylindriques) . . 59

5.4.1 Intégrale triple en coordonnées sphériques . . . . . . . .. . . . . . 595.4.2 Intégrale triple en coordonnées cylindriques . . . . . .. . . . . . . 59

Chapitre 1

Fonctions de plusieurs variables

Ce cours présente les concepts fondamentaux de l’Analyse des fonctions de plusieursvariables. Les premiers chapitres généralisent les notions de limite, dérivabilité et dévelo-pement limité, bien connus dans le cas des fonctions d’une variable. Nous ne rechercheronspas dans ce cours une formalisation mathématique théoriquede ces concepts, mais nousintéresserons au contraire à leurs nombreuses applications dans le domaine de la Physique.Nous ciblerons trois axes principaux de développement :

1. l’optimisation (recherche d’extremums, minimisaton d’une énergie, etc.) ;

2. les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordesvibrantes, des ondes, etc.) ;

3. l’intégration (calculs de moments d’inertie, de flux, etc.).

1.1 Introduction : Présentation et motivation des concepts.

Ce chapitre a pour vocation d’initier la lecteur débutant aux objets que nous manipule-rons dans les chapitres qui vont suivre. Les définitions et principes seront présentés ici d’unpoint de vue qualitatif ; ils seront revus, améliorés et rigoureusement introduits par la suite.Je ne prétends donc pas à un grand formalisme ni une grande rigueur. Je redonne égalementquelques notions sur la dérivation des fonctions d’une variable car il est nécessaire de bienmaîtriser ce concept si l’on souhaite comprendre la notion de dérivée partielle.Dans ce cours, on s’intéresse aux fonctions de plusieurs variables

(x1, . . . , xn) 7→ f(x1, . . . , xn).

Celles-ci interviennent naturellement pour decrire la dependance de grandeurs en fonctionde plusieurs parametres : par exemple la distribution de la temperature ou de la pressionatmospherique en fonction de la position dans l’espace et dutemps. Elles peuvent aussi

4

CHAPITRE 1. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES 5

être définies par des expressions similaires à celles que l’on rencontre pour les fonctionsd’une variable : par exemple

f(x, y, z) = sin |(xy2 + 1) +√z4 + 3x2|

est une fonction des trois variablesx, y etz. L’objectif principal de ce cours est de généra-liser aux fonctions de plusieurs variables les notions de dérivation et d’intégration qui ontété abordées dans le cadre des fonctions d’une variable.

1.2 Fonctions de deux variables réelles à valeurs réelles

1.2.1 Exemple Mathématiques et définition

Considérons un rectangleABCD. On appellex la longueurAB ety, la longueurBC.On supposex > 0 ety > 0.On appellep(x, y), le périmètre deABCD, A(x, y), l’aire de ce rectangle. On a alors :

p(x, y) = 2(x+ y) et A(x, y) = xy

Définition 1.2.1 SoientE etF deux ensembles.

1. Le produit cartésien de deux ensemblesE et F , notéE × F est l’ensemble descouples dont le premier élément appartient àE et le second àF :

E × F = (x, y) / x ∈ E et y ∈ F.

2. SiE = F , on écritE2 = E × E.

3. On peut aisément généraliser cette définition. SiE1, E2, . . . , En désignentn en-sembles. On noteE = E1 × E2 × . . . × En le produit cartésien desn-uplet définipar :

E = E1 × E2 × . . .× En = (x1, . . . , xn) / x1 ∈ E1 . . . xn ∈ En.

Problème courant en Optimisation :

on peut être amené à chercherx pour que le périmètre deABCD soit minimal sachantque son aire vaut 1. (problème d’Optimisation)A et p sont des fonctions de deux variables à valeurs réelles, etx et y sont les deux va-riables. Il est important de noter quex et y sont indépendantes, autrement dit, il n’existepas d’applicationf : R2 → R telle quef(x, y) = 0. On note :

p : R2 = R× R −→ R

(x, y) 7−→ p(x, y) = 2(x+ y)et

A : R2 = R× R −→ R

(x, y) 7−→ A(x, y) = xy

Ici, cet exemple prend tout son sens six > 0 ety > 0.


1.2.2 Exemple en Physique

Il est bien rare que le modèle mathématique choisi par le physicien ne dépende que d’unparamètre. En Thermodynamique, par exemple, lorsque l’on considère une énergie (énergieinterneU , cinétiqueEc, etc.), on est souvent amené à étudier l’influence des paramètresT(température),P (pression) etV (volume).

Exemple 1.2.1(loi de Boyle-Mariotte ou loi des gaz parfaits. (1670))

PV = nRT

n désigne la quantité de matière contenue dans le volumeV (le nombre de molécules setrouvant dans le volumeV d’un gaz parfait), tandis queR désigne la constante des gazparfaits. Si le volume du système physique varie en même temps que la température, notreétude est justifiée. En général, on recherche l’équation d’état d’un système. (Relation entreles paramètres d’état d’un système en équilibre macroscopique.)Elle s’écritf(P, V, T ) = 0, oùf est une fonction des trois variablesP , V etT . Dans notrecas, on a :

f(P, V, T ) = PV − nRT.

Exemple 1.2.2(Équation d’état de Van der Waals (Prix nobel de Physique, 1910).)Pourn moles de gaz, on a la relation

(P +

a

V 2

)(V − b) = nRT.

Cette relation traduit l’existence de forces d’interaction entre les molécules de gaz, à ladifférence de l’équation d’état des gaz parfaits. La fonction d’état s’écritP dans ce cas :

f(P, V, T ) =(P +

a

V 2

)(V − b)− nRT.

Voir que lorsquea = b = 0 on retrouve la loi des gaz parfaits de Boyle-Mariotte.

Définition 1.2.2 SoitD, une partie deR2, c’est à dire un ensemble de couples de réels(x, y).On appellefonction de deux variablesdéfinie surD, le procédé qui consiste à associer àchaque couple(x, y) deD un réel unique. On note généralement :f(x, y) = z.On peut se représenterz comme une “altitude” définie en chaque point du plan de base.

Représentation graphique d’une fonction à deux variables

pour représenter une fonctionf deR dansR, on représente les points de coordonnéesM(x, f(x)).


−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Trigonométrie

FIGURE 1.1 – La figure montre la représentation de la courbeC de la fonctionx 7→ sin(x)sur le domaine[−2π, 2π].

Pour représenter une fonction deR2 dansR, on représente les points de coordonnéesM(x, y, f(x, y)). Il arrive souvent que l’on noteX = (x, y) pour désigner un élément deR2. On écrira par exemple :

f : R2 −→ R

X = (x, y) 7−→ f(x, y) = xy

La représentation de la surface d’équationz = x2 + y2. On constate pour la constructiongraphique que l’intersection de la surface d’équationz = x2 + y2 et du plan d’équationz = k, pourk > 0 est un cercle de rayon

√k. En effet, dans le plan(xOy), le cercle de

centre(x0, y0) et de rayonR, décrit par l’ensemble des pointsM de coordonnées(x, y) apour équation :

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = R2.


−3 −2 −1 0 1 2 3−3

−2

−1

0

1

2

3

cos(t)

sin(

t)

FIGURE 1.2 – La figure montre la représentation du cercleC d’ équation(x− x0)2 + (y −

y0)2 = 32 sur le domaine[0, 2π].

Le cercleC appartient au plan d’équationz = k, et dans notre exemplek = 3.

1.2.3 Représentation de fonctions : surfaces et Courbes de niveau

Pour une fonction(x, y) 7−→ f(x, y) de2 variables, on dessine une surface au dessusde son domaine de définitionD.Pour chaque couple(x0, y0) deD, un seul point(x0, y0, z0) appartient à cette surface

(x, y, z) / (x, y) ∈ D z = f(x, y)

Exemple 1.2.3On considère la fonction suivanteϕ(x, y) =1

4πexp

(−x2

2− y2

4

),

−1−0.5

00.5

1 −1

0

10.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

y

Exact solution

x

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

Exact solution

0.036242

0.034034

0.029619

0.025205

0.02079

−1 −0.5 0 0.5 1−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

FIGURE 1.3 – La figure montre la représentation d’une surface gaussienne à gauche et leslignes de niveau de cette même gaussienne à droite sur le domaineΩ = [−1, 1]× [−1, 1].


Définition 1.2.3 Courbe de niveauLes courbes de niveau d’une fonction(x, y) 7−→ f(x, y) de2 variables sont les courbesd’équationsf(x, y) = k oùk ∈ I :

– Des courbes de niveau rapprochées indiquent une forte variation de la fonction danscette région.

– Des courbes de niveau éloignées indiquent que la fonction est relativement constantedans cette région.

Exemple 1.2.4On considère la fonction suivante, dite fonction de Franke,

ϕ(x, y) =3

4e−1/4((9x−2)2+(9y−2)2) +

3

4e−1/49(9x−2)2−1/10(9y−2)2

+1

2e−1/4((9x−7)2+(9y−3)2) − 1

5e−(9x−4)2−(9y−7)2

00.5

1

00.5

1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

Exact solution

y

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25Exact solution

−0.019286

0.11

609

0.22439

0.089015 0.03

4865

0.17024

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FIGURE 1.4 – La figure montre la représentation d’une surface dite deFranke à gaucheet les lignes de niveau de cette même fonction de Franke à droite sur le domaineΩ =[0, 1]× [0, 1].


−6 −4 −2 0 2 4 6−6

−4

−2

0

2

4

6

FIGURE 1.5 – La figure montre la représentation des lignes de niveau de la fonction(x, y) 7→ x2 + 2y2 + sin(2xy) sur le domaineΩ = [−6, 6]× [−6, 6].

1.3 Fonctions de trois ou plusieurs variables à valeurs réelles

Cette section est conscré aux fonctions de plusieurs variables, c’est-à-dire définies surune partie deRn, qu’on appellera son domaine de définition.

Définition 1.3.1 Une fonctionf den variables assigne à chaque vecteur(x1, x2, . . . , xn)de son domaine de définitionD ⊆ Rn une valeur réelle unique, notéef(x1, x2, . . . , xn) :

f : D −→ R

(x1, x2, . . . , xn) 7−→ f(x1, x2, . . . , xn)

– Sin = 1, on dit quef est une fonction à une seule variable réelle.– Sin = 2, on dit quef est une fonction à deux variables réelles– Sin = 3, on dit quef est une fonction à trois variables réelles

L’ensembleD est appelée le domaine de définition def et l’imageI def surD est l’en-semble des valeurs que peut prendref surD :

I = f(x1, x2, . . . , xn) / (x1, x2, . . . , xn) ∈ D.

Exemple 1.3.1SoitΩ un domaine deRn (n ≥ 1).

1. Pourn = 2, f(x, y) =xy

x2 + y2.

2. Pourn = 3, f(x, y, z) =

(x+

a

y2

)(y − b)− cz oùa, b et c sont des constantes.


1.4 Fonctions à valeurs vectorielles

SoitE un espace vectoriel euclidien de dimensionn, avecn ≥ 2. On note pare1, e2, . . . , enune base deE. Alors pour tout vecteurV deE, il existeλ1, . . . , λn unique tels que

V =

n∑

i=1

λiei.

Définition 1.4.1 On appellefonction vectorielledansE toute application d’une partie deR dansE.

Exemple 1.4.1 1. SoitV un vecteur non nul deE ; l’application R −→ E, t 7−→ t.Vest une fonction vectorielle, dont l’image est la droite vectorielle de vecteur directeurV .

2. Soit(i, j) une suite de deux vecteurs deE. L’applicationR −→ E, t 7−→ t.i + t2.jest une fonction vectorielle.

3. Si E = R2 et (e1, e2) la base canonique deR2 alors L’applicationR −→ R2,t 7−→ f1(t).e1 + f2(t).e2 est une fonction vectorielle oùf1 et f2 sont deux fonctionsd’une variable réelle à valeurs réelles.

1.4.1 Composantes d’une fonction vectorielle

1. Soit I une partie deR, et f : I −→ E une fonction vectorielle. Considéronsune baseB = (e1, . . . , en) de E. Pour toutt ∈ I, il existe un unique élément(f1(t), . . . , fn(t)) ∈ Rn tel que :

f(t) =n∑

i=1

fi(t).ei.

Les applicationsfi : I −→ R (1 ≤ i ≤ n) sont des fonctions numériques, appeléescomposantesdef dans la baseB.

2. Réciproquement, soitg1, . . . , gn des fonctions numériques définies surI, la baseBdeE étant toujours donnée. Il est clair qu’il existe une unique fonction vectorielleg : I −→ E dont les composantes dansB sont g1, . . . , gn. Cette fonctiong estévidemment :

g : t 7−→n∑

i=1

gi(t).ei.

En résumé :Une baseB de E étant fixée, la donnée d’une fonction vectorielledansE équivaut à celle de ses composantes dansB.


3. Soitf : I −→ Rn une fonction vectorielle. On écrit

f(t) =

f1(t)f2(t)

...fn(t)

.

Exemple 1.4.2SoitI un intervalle deR.

1. La fonctionf : I −→ R2, t 7−→

(3t

1+t3, 3t2

1+t3

)est vectorielle.

2. Laf : [0, 2π] −→ R3, θ 7−→ (cos(θ), sin(θ), 1) est vectorielle.

1.4.2 Composantes d’une fonction vectorielle

1. Addition : Soitf et g deux fonctions vectorielles dansE, définies sur la mêmepartie I deR. La fonction vectorielledansE :

I −→ E, t 7−→ f(t) + g(t),

s’appellesommedef etg, et se notef + g. L’apération(f, g) 7−→ f + g est appeléeaddition.

2. Produit par une fonction numérique : SoitI une partie deR, f : I −→ E unefonction vectorielle etλ : I −→ R une fonction numérique. Lafonction vectorielledansE :

I −→ E, t 7−→ λ(t).f(t),

s’appelleproduit def parλ, et se noteλ.f .

3. Produit scalaire : Soitf etg deux fonctions vectorielles danse, définies sur la mêmepartieI deR. La fonction numérique :

I −→ E, t 7−→ f(t) · g(t) = (f(t), g(t)),

s’appelleproduit scalaire def et g, et se notef · g.

Remarque 1.4.1En règle générale, nous n’aurons affaire qu’à des fonctionsvectoriellesdont le domaine de définition est unintervalle deR.

1.4.3 Dérivées d’une fonction à valeurs vectorielles

Définition 1.4.2 SoitI une partie deR, et f : I −→ E une fonction vectorielle. Consi-dérons une baseB = (e1, . . . , en) de E. Pour tout t ∈ I, il existe un unique élément(f1(t), . . . , fn(t)) ∈ Rn tel que :

f(t) =n∑

i=1

fi(t).ei.


On appelle dérivée de la fonction vectoriellef , notéef ′(t), la fonction vectorielle définieencore surI par :

f ′(t) =

n∑

i=1

f ′i(t).ei

Dans la suite de cette section, On désigne parE un espace euclidien de dimension3.

Mouvement ponctuel. Trajectoire

Définition 1.4.3 On appelle mouvement ponctuel dansE toute applicationF : I −→ E,deux fois dérivable, d’un intervalle (non réduit à un point)I deR dansE.L’intervalle I est appelé intervalle de variation du temps.L’ensemble imageI parF , notéF (I), est appelétrajectoire du mouvement.

Si F : t 7−→ F (t), I −→ E est un mouvement ponctuel, la variablet ∈ I s’appelle letemps; un réelt ∈ I particulier sera appeléuninstant. Le pointM = F (t) est appeléposition à l’instant t du mouvement considéré.

Repos. Mouvements rectilignes, plans et circulaires

SoitF : I −→ E, t 7−→ F (t) un mouvement ponctuel.– Le pointM = F (t) est ditau repossi l’applicationF estconstante.– le mouvementF est ditrectiligne si la trajectoire est contenue dans unedroite affine

deE.– Le mouvementF est ditplan si la trajectoire est contenue dans unplan affine deE.– Enfin, le mouvementF est ditcirculaire si la trajectoire est contenue dans uncercle

de rayon non nul deE.Pour toutt ∈ I, on notex(t), y(t) etz(t) les coordonnées deF (t) dans une base orthonor-mée deE.

Vecteur-Vitesse, Vecteur-accélération

Définition 1.4.4 SoitF : I −→ E un mouvement ponctuel deE. Pour toutt ∈ I, onappelle :

1. vecteur-vitesse (du point mobile) à l’instantt, le vecteur

dF

dt(t) = F ′(t)

noté en général par−−→V (t) ; les coordonnées de

−−→V (t) sont(x′(t), y′(t), z′(t)).


2. vecteur-accélération (du point mobile) à l’instantt, le vecteur

d2F

dt2(t) = F ′′(t)

noté en général par−−→Γ(t) ; les coordonnées de

−−→Γ(t) sont(x′′(t), y′′(t), z′′(t)).

Mouvement accéléré, retardé, uniforme

Définition 1.4.5 SoitF : I −→ E un mouvement ponctuel, et, pour toutt ∈ I,−→V (t) son

vecteur-vitesse.Pour toutt ∈ I, on appelle vitesse numérique (du point mobile) à l’instantt, le réel

v(t) = ‖−→V (t)‖.

1.5 Dérivées partielles et gradient d’une fonction

1.5.1 Rappel : dérivation d’une fonction deR dansR

Définition 1.5.1 On dit quef est dérivable enx0 de nombre dérivéL enx0 si, et seulementsi l’un ou l’autre des quotientsf(x)−f(x0)

x−x0ou f(x0+h)−f(x0)

hadmet une limite finie respecti-

vement quandx → x0 eth → 0. Dans ce cas, on noteraf ′(x0) cette limite et on a :

f ′(x0) = limx→x0x 6=x0

f(x)− f(x0)

x− x0

= limh→0h6=0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

f ′(x0) s’appelle le nombre dérivé def enx0.

1.5.2 Calcul de dérivées partielles

On suppose que la fonctionf est au moins dérivéble une seule fois par rapport auxdeux variablesx et y. La dérivation d’une fonction d’une variable peut être généralisée.Les dérivées partielles d’une fonction de deux variablesx et y se calculent de la façonsuivante :

1. par rapport à x : on considère quey est constant et on dérive la fonction commefonction d’une variablex. On écrit

limx→x0x 6=x0

f(x, y)− f(x0, y)

x− x0= lim

h1→0h1 6=0

f(x0 + h1, y)− f(x0, y)

h1=

∂f

∂x(x0, y)


2. par rapport à y : on considère quex est constant et on dérive la fonction commefonction d’une variabley. On écrit

limy→y0y 6=y0

f(x, y)− f(x, y0)

y − y0= lim

h2→0h2 6=0

f(x, y0 + h2)− f(x, y0)

h2

=∂f

∂y(x, y0)

La dérivée partielle def par rapport àx est encore une fonction de deux variables. On lanote ∂f

∂x. De même, la dérivée partielle d’une fonctionf par rapport ày se note∂f

∂y.

On peut généraliser cette notion de dérivée partielle de fonctions à deux variables pour desfonctions plussieurs variables :

Définition 1.5.2 SoitΩ ⊆ Rn et f : Ω −→ R une fonction àn variables réelles. On

suppose quef est dérivable au moins une fois par rapport à sa variablesxi pour i =1, . . . , n. la dérivée partielle def par rapport à la variablexi, notée∂f

∂xiest définie par

∂f

∂xi(x1, . . . , x

(0)i , . . . , xn) = lim

xi→x(0)i

xi 6=x(0)i

f(x1, . . . , xi, . . . , xn)− f(x1, . . . , x(0)i , . . . , xn)

x− x(0)i

pour tout1 ≤ i ≤ n.

Exemple 1.5.1 1. Soitf(x, y) = x + y2 + sin(2xy) une fonction à deux variablesréelles.

∂f

∂x(x, y) = 1 + 2y cos(2xy) et

∂f

∂y(x, y) = 2y + 2x cos(2xy)

2. SoitF (P, V, T ) =(P + a

V 2

)(V − b)− nRT la fonction décrivant l’équation d’état

de Van der Waals à trois variables : la pressionP , la températureT et le volumeV .Les dérivées partielles∂F

∂P, ∂F∂T

et ∂F∂V

sont

∂F

∂P(P, V, T ) = V − b

∂F

∂P(P, V, T ) = −nR

et∂F

∂V(P, V, T ) = P +

a

V 2− 2a

V 3(V − b) = P − a

V 2+

2ab

V 3

Remarque 1.5.1En Physique, on entend souvent parler de la différentielle d’une fonctionf . On la notedf . Nous donnerons ultérieurement un sens à cette notion. On a :


1. pour deux variablesx ety on écrit

df(x, y) =∂f

∂x(x, y)dx+

∂f

∂y(x, y)dy

2. pour trois variablesx, y et z on écrit

df(x, y, z) =∂f

∂x(x, y, z)dx+

∂f

∂y(x, y, z)dy +

∂f

∂z(x, y, z)dz

3. pourn variablesx1, . . . , xn on écrit

df(x1, . . . , xn) =∂f

∂x1

(x1, . . . , xn)dx1 + . . .+∂f

∂xn

(x1, . . . , xn)dxn

1.5.3 Dérivées partielles d’ordre supérieur

Soit f : R −→ R. Nous savons définir (à la condition q’elles existent...)f ′, f ′′, f ′′′,f (4),. . .,f (k),etc. Il s’agit des dérivées première, seconde, troisième et quatrième def .Exactement de la même façon, il est aisé de définir :

–∂2f

∂x2=

∂f

∂x

(∂f

∂x

): on dérive deux fois par rapport àx ;

–∂2f

∂y2=

∂f

∂y

(∂f

∂y

): on dérive deux fois par rapport ày ;

–∂2f

∂x∂y=

∂f

∂x

(∂f

∂y

)on dérive une fois par rapport ày, puis une fois par rapport àx ;

–∂2f

∂y∂x=

∂f

∂y

(∂f

∂x

)on dérive une fois par rapport àx, puis une fois par rapport ày ;

Exemple 1.5.2g est la fonction définie surR2 par : g(x, y) = x5ey.Si x est fixé,y 7→ g(x, y) est bien infiniment dérivable surR par rapport àx (fonctionusuelle classique) et siy est fixé,x 7→ g(x, y) est encore infiniment dérivable surR par

rapport àx. On a clairement :∂f

∂x(x, y) = 5x4ey,

∂f

∂y(x, y) = x5ey,

∂2f

∂x2(x, y) = 20x3ey,

∂2f

∂y2(x, y) = x5ey,

∂2f

∂x∂y(x, y) = 5x4ey et

∂2f

∂y∂x(x, y) = 5x4ey.

Remarque 1.5.2si f désigne une fonction d’une variable réellex supposée dérivable surson ensemble de définitionD, on fait la différence entre la fonctionf ′, appelée fonctiondérivée def , qui à un réelx ∈ D, associe le nombre dérivé def enx, et f ′(x), qui estun nombre réel (nombre dérivé def enx). Exactement de la même façon, sif désigne unefonction de deux variables dérivable par rapport à chacune de ses variablesx et y sur un

ensembleD ⊆ R2, on fera la différence entre∂f

∂x, fonction dérivée partielle def , qui, à


(x, y) ∈ D, associe le nombre∂f

∂x(x, y), appelé nombre dérivé def en(x, y) par rapport

à la première variable, et∂f

∂x(x, y), le nombre dérivé lui-même.

1.5.4 Gradient d’une fonction

Définition 1.5.3 SoitΩ ⊆ Rn et f : Ω −→ R une fonction àn variables réelles. Onsuppose quef est dérivable au moins une fois par rapport à sa variablesxi pour i =

1, . . . , n. Soit∂f

∂xila iième dérivée partielle def par rapport à la variablexi.

On appellegradient def , noté “grad(f) := ∇f ”, la fonction à valeurs vectorielles définiesurΩ par

∇f(x1, . . . , xi, . . . , xn) =

∂f

∂x1(x1, . . . , xi, . . . , xn)

...∂f

∂xi

(x1, . . . , xi, . . . , xn)

...∂f

∂xn

(x1, . . . , xi, . . . , xn)

1.6 Généralisation

Soientn etp, deux entiers naturels non nuls. On définit l’espaceRn par l’ensemble deséléments s’écrivant sous la forme(x1, x2, . . . , xn), avecx1 ∈ R, x2 ∈ R,. . ., xn ∈ R. Rp

se définit exactement de la même façon. Si l’on souhaite généraliser la notion de fonctionde plusieurs variables, on peut noter parf une fonction deU ⊂ Rn dansRp. U est unensemble contenu dansRn. Dans ce cas, il existep fonctions deU ⊂ Rn à valeurs dansRque nous noteronsf1, f2, . . . , fp et telles que pourX = (x1, x2, . . . , xn) ∈ U , on ait :

f(X) = f(x1, x2, . . . , xn) =

f1(x1, x2, . . . , xn)f2(x1, x2, . . . , xn)

...fp(x1, x2, . . . , xn)

.

Les différentes variables se notent traditionnellement dela façon suivante :– DansR : x.– DansR2 : (x, y).– DansR3 : (x, y, z).– DansR4 : (x1, x2, x3, x4).– DansRn, pourn ≥ 4 : (x1, . . . , xn).

Chapitre 2

Calculs de limites et continuités

2.1 Espaces vectoriels normés

Définition 2.1.1 SoitE un espace vectoriel surK (K = R ouC).Une norme sur E est une applicationN : E −→ [0,+∞[ vérifiant les conditions sui-vantes :

i) N (x) = 0 ⇔ x = 0E.

ii) N (λx) = |λ|N (x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E,

iii) N (x+ y) ≤ N (x) +N (y), ∀x, y ∈ E,

♣ Le couple(E,N ) est appelé unespace vectoriel normé, avec la notationN = ‖ · ‖E .

2.1.1 Exemples d’espaces vectoriels normés

1. C est un espace vectoriel surR muni de la norme

|z| =√x2 + y2, où z = x+ iy, x, y ∈ R

Le couple(C, | · |) est un espace vectoriel normé.

2. C([a, b],R) = f : [a, b] −→ R continue(a) ‖f‖ = supx∈[a,b] |f(x)| est une norme surC([a, b],R).(b) ‖f‖1 =

∫ b

a|f(x)|dx est aussi une norme surC([a, b],R).

(C([a, b],R), ‖ · ‖) et (C([a, b],R), ‖ · ‖1) sont deux espaces vectoriels normés.

3. SoitP = x 7→ P (x) =n∑

i=1

aixi fonctions polynômiales de degrén, ai ∈ R, on

définit l’application

‖P‖P =n∑

i=1

|ai|18

CHAPITRE 2. CALCULS DE LIMITES ET CONTINUITÉS 19

Le couple(P, ‖ · ‖P) est un espace vectoriel normé.

4. C0(R) = f : R −→ R fonction continue telle que limx→∞

f(x) = 0L’espace vectorielC0(R) est muni de lanorme de la convergence uniforme

‖f‖∞ = sup|x|∈R

|f(x)|.

5. L(E, F ) l’espace vectoriel des applications linéaires deE dansF , muni de l’appli-cation

‖f‖L(E,F ) = sup‖x‖E≤1

‖f(x)‖F

est un espace vectoriel normé, où(E, ‖·‖E) et(F, ‖·‖F ) sont deux espaces vectorielsnormés.

6. L(E,R) := LR(E) l’espace vectoriel des formes linéaires surE, muni de l’applica-tion

‖f‖LR(E) = sup‖x‖E≤1

|f(x)|

est un espace vectoriel normé, où(E, ‖ · ‖E) est un espace vectoriel normé.

2.1.2 Normes surRn

L’espace vectorielRn muni des applications suivantes :

‖x‖1 =n∑

i=1

|xi|, ‖x‖2 =(

n∑

i=1

x2i

)1/2

et ‖x‖∞ = sup1≤i≤n

|xi|

est un espace vectoriel normé

Exercice 2.1.1Montrer que‖ · ‖1, ‖ · ‖2 et‖ · ‖∞ sont des normes surRn.

Relations entre les normes‖ · ‖1, ‖ · ‖2 et ‖ · ‖∞Théorème 2.1.1On a

‖x‖∞ ≤ ‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ n‖x‖∞, ∀x ∈ Rn.

En général, sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.


2.1.3 Distances

Définition 2.1.2 SoitE un espace quelconque.On appelleespace métriquetout couple(E, d) oùd : E × E −→ [0,+∞[ est une appli-cation vérifiant les conditions suivantes :

i) d(x, y) = 0 ⇔ x = y.

ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ E,

iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ E,

d s’appelledistanceoùmétrique surE.

Remarque 2.1.1Soit(E, ‖ · ‖E) un espace vectoriel normé. L’application définie surE×E par

d(x, y) = ‖x− y‖Eest une distance surE.* Cette distance est invariante par translation, c’est-à-dire que

d(x+ a, y + a) = ‖x+ a− y − a‖E = ‖x− y‖E = d(x, y), ∀x, y, a ∈ E

Exemple 2.1.1SurRn oùn ≥ 1, les applications suivantes

1. Rn × Rn −→ [0,+∞[, (x, y) 7−→n∑

i=1

|xi − yi|,

2. Rn × Rn −→ [0,+∞[, (x, y) 7−→ sup1≤i≤n

|xi − yi|,

sont des distances.

Proposition 2.1.1 Soit(E, d) un espace métrique. Alors pour toutx, y et z dansE on a

|d(x, z)− d(x, y)| ≤ d(y, z).

Démonstration.Soitx, y et z dansE, on a

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

alors

d(x, z)− d(x, y) ≤ d(y, z)

d(x, y)− d(x, z) ≤ d(z, y) = d(y, z)

donc

d(x, z)− d(x, y) ≤ d(y, z)

−d(y, z) ≤ d(x, z)− d(x, y)


ce qui montre que

−d(y, z) ≤ d(x, z)− d(x, y) ≤ d(y, z) ⇔ |d(x, z)− d(x, y)| ≤ d(y, z)

2.2 Limite d’une suite de points

2.2.1 Limite d’une suite de points dans un espace métrique

Définition 2.2.1 Soit(E, d) un espace métrique. On dit qu’une suite de points(xn)n∈N deE tend vers un pointx deE, notéxn −→ x, si

limn→+∞

d(xn, x) = 0

autrement dit si,

∀ε > 0, ∃Nε ∈ N∗, tel que ∀n ≥ Nε ⇒ d(xn, x) < ε.

On écritlim

n→+∞xn = x

Exemple 2.2.1SiE = R muni de la distanced(x, y) = |x− y|, on retrouve bien la notionusuelle de limite

Proposition 2.2.1 Soit(E, d) un espace métrique et(xn)n∈N une suite de points deE. Sila limite de la suite(xn)n∈N existe alors elle est unique.

Démonstration.Supposons quexn → x etxn → x′ lorsquen → +∞ alors on a pour toutn,

0 ≤ d(x, x′) ≤ d(x, xn) + d(xn, x′)

A la limite, on obtientd(x, x′) ≤ 0 + 0 = 0, doncd(x, x′) = 0 etx = x′.

Définition 2.2.2 Soit(E, d) un espace métrique. Une suite(xn)n∈N de points deE est ditesuite de Cauchy si et seulement si

∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, tel que ∀n,m ≥ Nε ⇒ d(xn, xm) < ε.

Définition 2.2.3 Un espace métrique(E, d) muni de la distanced est ditcomplet si toutesuite de Cauchy converge.

Proposition 2.2.2 Soit (E, d) un espace métrique et(xn)n∈N une suite de points deEconvergeant versx dansE. Alors(xn)n∈N est une suite de Cauchy dansE.


Démonstration.soit (xn)n∈N une suite de points deE convergeant versx dansE. Soitε > 0, il existeNε ∈ N∗ tel que

∀n ≥ Nε ⇒ d(xn, x) < ε/2,

alors pourm ≥ n ≥ Nε on a

d(xm, xn) ≤ d(xm, x) + d(x, xn) ≤ ε/2 + ε/2 = ε,

ce qui prouve le résultat.

Remarque 2.2.1Une suite de Cauchy n’a pas toujours de limite.

2.2.2 Limite d’une suite dans un espace vectoriel normé

Définition 2.2.4 Soit(E, ‖ · ‖E) un espace vectoriel normé. On dit qu’une suite de points(xn)n∈N deE tend vers un pointx deE, notéxn −→ x, si

limn→+∞

‖xn − x‖E = 0

autrement dit si,

∀ε > 0, ∃Nε ∈ N∗, tel que ∀n ≥ Nε ⇒ ‖xn − x‖E < ε.

On écritlim

n→+∞xn = x dans E

Proposition 2.2.3 Soit(E, ‖ · ‖E) un espace vectoriel normé et(xn)n∈N une suite dansE.Si la limite de la suite(xn)n∈N existe alors elle est unique.

Démonstration.Supposons quexn → x etxn → x′ lorsquen → +∞ alors on a pour toutn,

0 ≤ ‖x′ − x‖E ≤ ‖xn − x‖E + ‖xn − x′‖EA la limite, on obtient‖x′ − x‖E ≤ 0 + 0 = 0, donc‖x′ − x‖E = 0 etx = x′.

Définition 2.2.5 Soit (E, ‖ · ‖E) un espace vectoriel normé. Une suite(xn)n∈N de pointsdeE est dite suite de Cauchy si et seulement si

∀ε > 0, ∃Nε ∈ N, tel que ∀n ≥ m ≥ Nε ⇒ ‖xn − xm‖E < ε.

Définition 2.2.6 Un espace vectoriel normé(E, ‖ · ‖E) est ditcomplet si toute suite deCauchy converge.


Proposition 2.2.4 Soit(E, ‖·‖E) un espace vectoriel normé et(xn)n∈N une suite de pointsdeE convergeant versx dansE. Alors(xn)n∈N est une suite de Cauchy dansE.

Démonstration.soit (xn)n∈N une suite de points deE convergeant versx dansE. Soitε > 0, il existeNε ∈ N∗ tel que

∀n ≥ Nε ⇒ ‖xn − x‖E < ε/2,

alors pourm ≥ n ≥ Nε on a

‖xm − xn‖E ≤ ‖xm − x‖E + ‖x− xn‖E ≤ ε/2 + ε/2 = ε,

ce qui prouve le résultat.

2.2.3 Cas de l’espaceRn

L’espaceRn est de dimension finie, alors toutes les normes sont équivalentes entreelles. La notion de la limite est la même pour toutes les normes.

Théorème 2.2.1Soit(xm)m∈N une suite dansRn etx un élément deRn. Posons

xm = (ξ(1)m , ξ(2)m , . . . , ξ(n)m ), x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn).

Pour quexm tende versx dansRn, il faut et il suffit que

ξ(1)m → ξ1, ξ(2)m → ξ2, . . . , ξ(n)m → ξn

Démonstration.

‖xn − x‖Rn → 0 ⇔ |ξ(1)m − ξ1|+ |ξ(2)m − ξ2|+ . . .+ |ξ(n)m − ξn| → 0

⇔ |ξ(1)m − ξ1| → 0, |ξ(2)m − ξ2| → 0, . . . , |ξ(n)m − ξn| → 0

puisqu’il s’agit de terme positifs.

Théorème 2.2.2 (Critère de Cauchy dansRn) : Pour qu’une suite de points deRn aitune limite, il faut et il suffit que ce soit une suite de Cauchy.

2.3 Limite d’une application

2.3.1 Limite d’une application d’un espace métrique dans unautre

Définition 2.3.1 Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques et soitf : E −→ F uneapplication,a ∈ E et ` ∈ F . On dit quef(x) tend vers , notéf(x) → `, quandx tendversa si, à tout nombreε > 0, on peut faire correspondre un nombreηε > 0 tel que

d(x, a) ≤ ηε ⇒ δ(f(x), `) ≤ ε.


On écrit alorslimx→a

f(x) = `.

Plus généralement,

Définition 2.3.2 Soit(E, d) et (F, δ) deux espaces métriques etA une partie deE, et soitf : E −→ F une application,a ∈ E et ` ∈ F . On dit quef(x) tend vers quandx tendversa en restant dansA si, à tout nombreε > 0, on peut faire correspondre un nombreηε > 0 tel que

(x ∈ A, et d(x, a) ≤ ηε) ⇒ δ(f(x), `) ≤ ε.

On écrit alorslimx→ax∈A

f(x) = `.

Proposition 2.3.1 Soit (E, d) et (F, δ) deux espaces métriques et soitf : E −→ F uneapplication,a ∈ E. Si la limite` ∈ F def(x) au sens de la définition précédente existe,alors ` = f(a).

Démonstration.Soit ε > 0, pour toutη > 0 on ad(a, a) = 0 ≤ η, doncδ(f(a), `) ≤ ε,commeε est arbitraire, on aδ(f(a), `) = 0, d’où f(a) = `.

2.3.2 Limite d’une application d’un espace vectoriel normédans unautre

Définition 2.3.3 Soit (E, ‖ · ‖E) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et soitf :E −→ F une application,a ∈ E et ` ∈ F . On dit quef(x) tend vers , notéf(x) → `,quandx tend versa si, à tout nombreε > 0, on peut faire correspondre un nombreηε > 0tel que

‖x− a‖E ≤ ηε ⇒ ‖f(x)− `‖F ≤ ε.

On écrit alorslimx→a

f(x) = `.

Proposition 2.3.2 Soit (E, ‖ · ‖E) et (F, ‖ · ‖F ) deux espaces vectoriels normés et soitf : E −→ F une application,a ∈ E. Si la limite` ∈ F def(x) au sens de la définitionprécédente existe, alors` = f(a).

Démonstration.Soitε > 0, pour toutη > 0 on a‖a−a‖E = 0 ≤ η, donc‖f(a)−`‖F ≤ ε,commeε est arbitraire, on a‖f(a)− `‖F = 0, d’où f(a) = `.


2.4 Applications continues

2.4.1 Applications continues d’un espace métrique dans un autre

Définition 2.4.1 Soient(E, d) et (F, δ) deux espaces métriques,

1. f une application deE dansF , x0 un point deE. On dit quef est continue enx0 si

limx→x0

f(x) = f(x0).

Autrement dit,f est continue enx0 si

∀ε > 0, ∃ηε > 0, tel que d(x, x0) ≤ ηε ⇒ δ(f(x), f(x0)) ≤ ε.

2. On dit quef est continue danse si elle continue en tout point deE.

Théorème 2.4.1Soient(E, d), (F, δ) et (G, %) trois espaces métriques,f : E → F etg : F → G des applications continues. Alorsg f : E → G est une application continue.

Démonstration.Soitx0 danse et soitε > 0. Posonsy0 = f(x0). il existe un nombreηε > 0tel que

d(y, y0) ≤ ηε ⇒ d(g(y), g(y0)) ≤ ε

Puis il existe un nombreα > 0 tel que

d(x, x0) ≤ αηε ⇒ d(f(x), f(x0)) ≤ ηε

Alors d(x, x0) ≤ αηε implique successivementd(f(x), y0) ≤ ηε, puis

d(x, x0) ≤ αηε ⇒ d(g(f(x)), g(f(x0))) ≤ ε.

Ceci prouve la continuité deg f enx0.

Exemple 2.4.1 1. SoientI un intervalle deR, et t 7−→ M(t) ∈ R3 une application.Dire que cette application est continue ent0 signifie que, pour toutε > 0, il existeηε > 0 tel que

t ∈ I et |t− t0| ≤ ηε ⇒ d(M(t),M(t0)) ≤ ε.

Supposons choisis une origine et une base de l’espace vectoriel R3. Le pointM(t)a alors des cordonnéest 7→ x(t), t 7→ y(t) et t 7→ z(t). Dire que l’applicationt 7−→ M(t) est continue ent0 revient à dire que les fonctionst 7→ x(t), t 7→ y(t) ett 7→ z(t) sont continues ent0.


2. SoientI un intervalle deR, et t 7−→ f(t) ∈ Rn une application. On a pour tout

t ∈ I,f(t) = (f1(t), f2(t), . . . , fn(t))

où f1, f2, . . . , fn sont des fonctions deI dansR. L’applicationf est continue ent0si et seulement sif1, f2, . . . , fn sont continues ent0.

3. SoientE une partie deR2 etf une application deE dansR (autrement dit, une fonc-tion réelle de deux variables réelles). Soit(x0, y0) dansE. La notion de continuitédef en (x0, y0) est la même pour toutes les distances connues surR2 ; elle signifieque∀ε > 0, ∃η > 0, tel que

(x, y) ∈ E et et sup(|x− x0|, |y− y0|) ≤ η ⇒ |f(x, y)− f(x0, y0)| ≤ ε.

Théorème 2.4.2Soient(E, d) un espace métrique eta un point deE. Alors la fonctionx 7−→ d(a, x) dans est continue.

Démonstration.Soientx0 dansE et ε > 0. Si x dansE est tel qued(x, x0) ≤ ε, on a,

|d(a, x)− d(a, x0)| ≤ d(x, x0) ≤ ε

donc il suffit de prendreηε = ε.

2.4.2 Prolongement par continuité d’un espace métrique dans un autre

Théorème 2.4.3Soitf une fonction de deux variables définie sur une partieE = Ω\X0

deRn, oùX0 = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) est un élément deΩ. Supposons quef soit continue surEet que l’on ait :

limX→X0

f(X) = ` ∈ R.

Alors la fonctionf définie par

f(X) =

f(X), si X ∈ E,

`, si X = X0.

est une fonction continue. C’est le prolongement par continuité de la fonctionf enX0.

Remarque 2.4.1 tous les résultats que nous venons d’obtenir peuvent être généralisés trèsfacilement aux fonctions deRn dansR, puis aux fonctions deRn dansRp.

Exemple 2.4.2Soitf une fonction définie surD = R2\(0, 0) par f(x, y) =x3 + y3

x+ y.

∀(x, y) ∈ D, |f(x, y)| ≤∣∣∣∣

x3

x+ y

∣∣∣∣ +∣∣∣∣

y3

x+ y

∣∣∣∣ ≤∣∣∣∣x3

x

∣∣∣∣+∣∣∣∣y3

y

∣∣∣∣ ≤ |x|2 + |y|2 → 0


lorsque(x, y) → (0, 0). Par conséquence, on a

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0

Alors la fonctionf définie par

f(x, y) =

x3 + y3

x+ y, si (x, y) 6= (0, 0),

0, si (x, y) = (0, 0).

est l’extension def en(0, 0).

Chapitre 3

Différentiabilité de fonctions deplusieurs variables

3.1 Dérivée directionnelle

3.1.1 Dérivée suivant un vecteur

Définition 3.1.1 soitE et F deuxR-espaces vectoriels,Ω un ouvert non vide deE, uneapplicationf : Ω −→ F et un vecteurv ∈ E\0E.

1. Sia ∈ Ω, on dit quef estdérivable ena suivant le vecteurv si et seulement si lafonctiont 7−→ f(a + t.v) (qui est définie au voisinage de 0 dansR puisqueΩ estouvert) est dérivable en 0.S’il en est ainsi, le vecteurd

dt[f(a+ t.v)]t=0 s’appelledérivée def suivant v ena

et nous le noteronsdfdv(a).

2. On dit quef estdérivable sur Ω suivantv si et seulement sidfdv(a) existe en tout

a ∈ Ω.

Exemple 3.1.1PourE = Rn etF = R

m, etv = ei le ieme-vecteur de la base canoniquedeRn. Dire que qu’une applicationf : Rn → Rm est dérivable ena dans la directioneiest équivalent de dire que

limt→0

f(a+ tei)− f(a)

t=

∂f

∂ei(a), i = 1, . . . , n

existe.

Remarque 3.1.1 1. Poura ∈ Ω ⊂ Rn et~v ∈ Rn\0 fixés,f est dérivable ena suivant~v si et seulement si(∀ρ ∈ R∗) f est dérivable ena suivantρ~v.s’il en est ainsi, on a :

(∀ρ ∈ R∗),

∂f

∂(ρ~v)(a) = ρ

∂f

∂~v(a).

28

CHAPITRE 3. CALCUL DIFFÉRENTIEL 29

L’existence de∂f∂~v(a) ne dépend donc que de la droite vectorielleD = R~v. On parle

dedérivabilité def (ena, respectivement surΩ) suivant la directionD.

2. Pour~v ∈ Rn\0 fixé, l’ensemble des fonctionf : Ω → Rm admettant ena ∈ Ω unedérivée suivant le vecteur~v est un sous-R-e.v. deF(Ω,Rm), sur lequel l’applicationf 7→ ∂f

∂~v(a) est linéaire.

3. L’opérateur ∂∂~v

se comporte comme la dérivation des fonctions d’une variable réelle :siF1, F2 etG sont troisR-e.v. et qu’on donne une application bilinéaireF1 × F2 →G, (x, y) 7→ x.y, pour toutes fonctionsf1 : Ω → F1 et f2 : Ω → F2 admettant ena ∈ Ω une dérivée suivant~v, la fonctionf1 · f2 : Ω → G, x 7→ f1(x) · f2(x) enadmet aussi une, et on a :

∂(f1 · f2)∂~v

(a) =∂f1∂~v

(a) · f2(a) + f2(a) ·∂f2∂~v

(a).

4. Si f1 : Ω → F1 et f2 : Ω → F2 sont données quelconques et qu’on posef =(f1, f2) : Ω → F1×F2, alors ∂f

∂~v(a) existe si et seulement si∂f1

∂~v(a) et ∂f2

∂~v(a) existent,

et alors on a :∂f

∂~v(a) =

(∂f1∂~v

(a),∂f2∂~v

(a)

).

5. Sif : Ω → C∗ (oùC est considéré commeR-e.v.) admet ena une dérivée suivant~v,alors 1

faussi et on a :

∂

∂~v

(1

f

)(a) = − 1

f 2(a)

∂f

∂~v(a)

3.1.2 Dérivées relatives à une base

SoitE = Rn, F = Rm, Ω ⊂ Rn et f : Ω → Rm. On considèreB = e1, e2, . . . , enune base deE.Nous dirons quef admet au pointa (resp. surΩ) une dérivée par rapport à la ieme

coordonnées dansB si et seulement si∂f∂ei

(a) existe (resp.∂f∂ei

existe surΩ).On dit quef est dérivable en a (resp. sur Ω) dans la baseB si et seulement si tousles vecteurs∂f

∂ei(a), 1 ≤ i ≤ n existent (resp. si et seulement si toutes les fonctions

∂f∂ei

, 1 ≤ i ≤ n, existent surΩ).

3.1.3 Vision de la physique de la dérivée selon un vecteur

La notion de la dérivée directionnelle est souvent utiliséeen physique, l’espace dedépart étant un espace euclidien affineR3, et l’espace d’arrivée étant la droiteR. Si levecteurv est un vecteur unitaire normal en un pointa à une surfaceS, alors la dérivéef ′(a) · v est appeléedérivée normaleà S au point a, et désignée par∂f

∂n(a) : c’est la


projection de∇f = gradf sur v. Mais on prendra garde qu’à chacun des deux vecteursunitaires normaux àS ena correspond une valeur de la dérivée normale def , et que cesdeux valeurs sont oppossées : pour définir sans ambiguïté la dérivée normale∂f

∂n(a), il faut

doncorienter la normale àS ena.

3.2 Différentiabilité

3.2.1 Applications différentiables

SoientE = Rn, F = Rm etΩ un ouvert deE.

Définition 3.2.1 On dit quef1 : Ω → Rm et f2 : Ω → Rm sont tangentes en un pointa ∈ Ω si la quantité

M (r) = sup‖x−a‖≤r

‖f1(x)− f2(x)‖,

qui est définie pourr > 0 assez petit (puisqueΩ est ouvert), satisfait à la condition

limr→0r>0

M (r)

r= 0.

*La condition limr→0r>0

M (r)

r= 0 implique que la fonctionf1 − f2 est continue au pointa et

prend la valeur0 au pointa

Définition 3.2.2 On dit quef : Ω → Rm estdifférentiable au pointa ∈ Ω ssi les condi-tions suivantes sont vérifiées :

i) f est continue au pointa ;

ii) il existe une application linéaireg : Rn → Rm telle que les applicationsx 7→f(x)− f(a) etx 7→ g(x− a) soient tangentes au pointa. cette condition s’exprimeainsi :

limx→a

‖f(x)− f(a)− g(x− a)‖‖x− a‖ = 0

L’application g que définit l’application différentiablef est un élément deL (Rn,Rm),qu’on noteraf ′(a), et qu’on appellera ladérivéede l’applicationf au pointa.Un définition équivalente est celle-ci :f estdifférentiable au pointa ∈ Ω s’il existe uneapplicationg ∈ L (Rn,Rm) telle que

limx→a

‖f(x)− f(a)− g(x− a)‖‖x− a‖ = 0.


Nous récrivons la définition avec la notationf ′(a) :

limx→a

‖f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)‖‖x− a‖ = 0

où bien‖f(x)− f(a)− f ′(a)(x− a)‖ = o(‖x− a‖).

En effet,f ′(a) = ∇f(a)

Proposition 3.2.1 Sif est différentiable au pointa, alors l’application linéaireg est uniqueet elle est continue.

Démonstration.S’il existait deux applications linéairesg1 et g2 vérifiant la définition pré-cédente, on verrait, par différence, que l’application linéaireM = g1 − g2 vérifierait :

limx→a

M (x− a)

‖x− a‖Rn

= limx→a

g1(x− a)− g2(x− a)

‖x− a‖Rn

= 0.

Or il est facile de voir qu’une application linéaireM , deRn dansRm, qui satisfait à

limx→a

M (x− a)

‖x− a‖Rn

= 0

est une application nulle : en effet,∀ε > 0, ∃h > 0, tel que‖x− a‖Rn on a

‖M (x− a)‖Rm ≤ ε‖x− a‖Rn

lorsque on fait tendreε vers 0, on obtientM (x− a) = 0 d’où g1 = g2.

Exemple 3.2.1SoitΩ un ouvert deR ; alors f : Ω → Rm est une fonction d’une variableréelle. La différentiabilité def au pointa équivant à l’existence d’un élémentc ∈ R

m telque

‖f(x)− f(a)− (x− a)c‖ = o(‖x− a‖);autrement dit, le quotient

f(x)− f(a)

x− a(pourx 6= a

doit avoir une limitec ∈ Rm lorsquex tend versa.

Si cette limitec est notéef ′(a), l’application linéaire

t 7→ tf ′(a)

deR dansRm est un élément deL (R,Rm).

Définition 3.2.3 On dit quef estdifférentiable dansΩ si f est différentiable en tout pointdeΩ.


3.2.2 Matrice jacobienne et Gradient d’une application

Soitf : Rn −→ Rm une application définie par

f(X) = (f1(X), f2(X), . . . , fm(X))

oùX = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Supposons que l’application est différentiable surR

n.– Pourm = 1. On appelleGradient def au pointX0, noté∇f(X0) =

−−→gradf(X0),

est le vecteur pointant dans la direction de croissance maximale de la fonctionf oùbien il est le vecteur définie par

∇f(X0) =

∂f∂x1

(X0)

∂f∂x2

(X0)...

∂f∂xn

(X0)

– Pourm > 1. On appelleGradient def au pointX0, noté∇f(X0) := Jf(X0), lamatrice jacobienne de taille(n×m) définie par

Jf (X0) =

(∂fi∂xj

(X0)

)

1≤i≤n1≤j≤m

=

∂f1∂x1

(X0)∂f1∂x2

(X0) . . . ∂f1∂xn

(X0)

∂f2∂x1

(X0)∂f2∂x2

(X0) . . . ∂f2∂xn

(X0)...

.... . .

...

∂fm∂x1

(X0)∂fm∂x2

(X0) . . . ∂fm∂xn

(X0)

la matrice jacobienne d’une application différentiablef : Rn −→ Rm est une matricecarrée sin = m.

Exemple 3.2.2 1. L’applicationf : R2 → R, (x, y) 7→ f(x, y) = xy est différentiableen tout point deR2 et sa différentielle est une application linéaireL : R2 → R,(u, v) 7→ L(u, v) = y0u = x0v = ∇f(x0, y0) · (u, v)T avecL = f ′(x0, y0). Legradient

∇f(x0, y0) = (y0, x0)T

2. L’applicationg : R2 → R2, (x, y) 7→ g(x, y) = (g1(x, y), g2(x, y)) = (x + y, xy)est différentiable en tout point(x0, y0) deR2, sa différentielle au point(x0, y0) étantune application linéaire,L : R2 → R

2, (u, v) 7→ (u + v, y0u + x0v). L est l’endo-morphisme deR2 → R2 associé à la matrice jacobienne

Jg(x0, y0) =

(∂g1∂x

(x0, y0)∂g1∂y

(x0, y0)∂g2∂x

(x0, y0)∂g2∂y

(x0, y0)

)=

(1 1y0 x0

)


Propriété 3.2.1 Soit f, g : Rn −→ Rm deux applications différentiables enX0, et soit

λ ∈ R, alors

1. ∇(f + g)(X0) = ∇f(X0) +∇g(X0),

2. ∇(f.g)(X0) = g(X0) · ∇f(X0) + f(X0) · ∇g(X0),

3. ∇(λf)(X0) = λ∇f(X0).

3.3 Dérivation des fonctions composées

Définition 3.3.1 SoientfRn −→ Rm et g : Rm −→ R

p deux applications. On appellecomposée, deg avecf , l’applicationh := g f : Rn −→ Rp.

3.3.1 Différentiabilité des applications composées

Théorème 3.3.1Si f est différentiable au pointa, et sig est différentiable au pointb =f(a), alorsh := g f est différentiable au pointa et sa différentielle est le composé desdifférentielles def et g, soith′(a) = g′(b) f ′(a)

3.3.2 Règle pratique

Utilisons les notations différentielles, et posons :

dfa = f ′(a).dx et dgb = g′(b).dy

on a alorsdha = [g′(b) f ′(a)] .dx = g′(b). [f ′(a).dx]

En d’autres termeson obtient la différentielle de h := g f en remplaçant, dans ladifférentielle de g, l’indéterminé dy par la différentielle de f .Cette règle de substitution permet de calculer de façon mécanique les différentielles desapplications composées. Nous allons en donner quelques exemples simples, mais impor-tant :

3.3.3 Exemples pratiques

Soitf une fonction numérique différentiable au pointa. En composantf avec chacunedes fonctionsgi (deR dansR) définies par :

g1(x) = xn; g2(x) = ex; g3(x) =1

x; g4(x) = log(x)

on obtient :


Proposition 3.3.1 Soitf une fonction numérique différentiable au pointa. Alors les fonc-tions composéesfn : x 7→ (f(x))n, oùn ∈ N, etef : x 7→ exp(f(x)), sont différentiablesena. Si on supposef(a) 6= 0, les fonctions qui suivent sont aussi différentiables ena :

1

f: x 7→ 1

f(x)et log |f | : x 7→ log |f(x)|.

Les différentielles de ces fonctions sont données par les formules

1. (∀n ∈ N) : d(fn) = nfn−1df , d(ef) = efdf .

2. d( 1f) = −df

f, d(log |f |) = df

f.

3.3.4 Différentielle d’un produit et d’un quotient

Désignons parf et g deux fonctions numériques définies sur un même voisinageV dea, et différentiables ena. La fonction numérique

h = fg : x 7→ f(x)g(x)

peut être considérée comme composée des applications

ϕ : V → R2, x 7→ (f(x), g(x))

etp : R2 → R, (u, v) 7→ uv.

Nous avons déjà établi quep est différentiable surR2, sa différentielle étant définie par

d(uv) = udv + vdu

d’autre part,ϕ est différentiable au pointa, sa différentielle étant l’application linéaire

E → R2, dx 7→ (f ′(a).dx, g′(a).dx)

Donc h = p ϕ est différentiable au pointa ; et sa différentielle s’obtient, à partir del’expression ded(uv), en remplaçantu parf , v parg, du pardfa etdv pardga.On obtient ainsi

d(fg)a = f(a)dga + g(a)dfa;

= f(a)g′(a).dx+ g(a)f ′(a).dx

Si les fonctionsf et g sont différentiables en tout point d’un ouvertU deE, leur produitest différentiable surU , et on peut écrire simplement

d(fg)a = f(a)dga + g(a)dfa.


En combinant ce résultat avec la propriété de dérivabilité dex 7→ 1f(x)

, si g ne s’annule pasalors

d

(f

g

)

a

=g(a)dfa − f(a)dga

(g(a))2

On en déduit de là que la fonctionx 7→ arctan(

f(x)g(x)

)est différentiable, et vérifie :

d

(arctan

f

g

)

a

=g(a)dfa − f(a)dga(f(a))2 + (g(a))2

.

3.3.5 Le jacobien d’une applicationf : Rn −→ Rm

Étant donnée une application différentiablef : Rn −→ Rm de matrice jacobienne

Jf(X0) =

(∂fi∂xj

(X0)

)

1≤i≤n1≤j≤m

=

∂f1∂x1

(X0)∂f1∂x2

(X0) . . . ∂f1∂xn

(X0)

∂f2∂x1

(X0)∂f2∂x2

(X0) . . . ∂f2∂xn

(X0)...

.... . .

...

∂fm∂x1

(X0)∂fm∂x2

(X0) . . . ∂fm∂xn

(X0)

en le pointX0.

Définition 3.3.2 1. La matriceJf(X0) est une matrice carrée sin = m.

2. Dans ce cas, on appellejacobien de f , notéjf(X0), le déterminant de la matricejacobienneJf(X0). On le note souvent par

jf(X0) =D(f1, f2, . . . , fn)

D(x1, x2, . . . , xn)(X0) = det(Jf (X0)).

On ne peut parler dujacobien que si la matrice jacobienne est une matrice carrée.On l’appelle aussidéterminant fonctionnel.

Exemple 3.3.1 1. Soitf : R2 −→ R2, (r, θ) 7→ (r cos(θ), r sin(θ)) : sa matrice jaco-bienne dans la base canonique est :

Jf(r, θ) =

(cos(θ) −r sin(θ)sin(θ) r cos(θ)

)

et son jacobien au point(r, θ) est

D(r cos(θ), r sin(θ))

D(r, θ)(r, θ) = r.


2. Soitf : R3 −→ R

3, (r, θ, ϕ) 7→ (r sin(ϕ) sin(θ), r sin(ϕ) cos(θ), r cos(ϕ)) : samatrice jacobienne dans la base canonique est :

Jf(r, θ, ϕ) =

sin(ϕ) sin(θ) r sin(ϕ) cos(θ) r cos(ϕ) sin(θ)sin(ϕ) cos(θ) −r sin(ϕ) sin(θ) r cos(ϕ) cos(θ)

cos(ϕ) 0 −r sin(ϕ)

et son jacobien au point(r, θ, ϕ) est

D(r sin(ϕ) sin(θ), r sin(ϕ) cos(θ), r cos(ϕ))

D(r, θ, ϕ)(r, θ, ϕ) = r2 sin(ϕ).

3. Soitf : R3 −→ R3,(x, y, z) 7→ ((x− y)2z2,−(x − y)2z2, x(x − y)z2) : sa matricejacobienne dans la base canonique est :

Jf (x, y, z) =

2(x− y)z2 −2(x− y)z2 2(x− y)2z−2(x− y)z2 2(x− y)z2 −2(x− y)2z(2x− y)z2 −xz2 2xz(x− y)

Théorème 3.3.2SoientU (resp.V ) un ouvert deRn (resp.Rp) et soit f : U → V ;g : V → R

m. On suppose quef est différentiable ena, et g différentiable enf(a). Alorsg f a pour matrice jacobienneJgf (a) :

Jgf (a) = Jg(f(a)).Jf(a)

oùJgf(a) ∈ Mm,n(R) ; Jg(f(a)) ∈ Mm,p(R) etJf (a) ∈ Mp,n(R).Ce théorème permet d’effectuer, pratiquement, des changements de variables.

Exemple 3.3.2Pourn = 2, p = 3 etm = 2. Notonsh = g f , et

(x1, x2) 7→ (f1(x1, x2), f2(x1, x2), f3(x1, x2)),

(u1, u2, u3) 7→ (g1(u1, u2, u3), g2(u1, u2, u3)).

Alors

∂h1

∂x1

∂h1

∂x2

∂h2

∂x1

∂h2

∂x2

=

∂g1∂u1

∂g1∂u2

∂g1∂u3

∂g2∂u1

∂g2∂u2

∂g2∂u3

∂g3∂u1

∂g3∂u2

∂g3∂u3

∂f1∂x1

∂f1∂x2

∂f2∂x1

∂f2∂x2

∂f3∂x1

∂f3∂x2

par exemple :

∂h1

∂x1(a) =

∂g1∂u1

(f(a))∂f1∂x1

(a) +∂g1∂u2

(f(a))∂f2∂x1

(a) +∂g1∂u3

(f(a))∂f3∂x1

(a)


3.3.6 Divergence et Laplacien d’une application

Soitf : Rn −→ R une application définie pour toutX = (x1, . . . , xn) ∈ Rn par

(x1, . . . , xn) 7−→ f(x1, . . . , xn)

On suppose quef est deux fois différentiable en tout point deRn.– On appelledivergencedef , noté “divf := ∇·f ”, l’application définie deRn −→ R

par

divf(X0) =∂f

∂x1

(X0) + . . .+∂f

∂xn

(X0)

pour toutX0 ∈ Rn.

– On appelleLaplacien def , noté∆f := div(∇f) := ∇2f , l’application définie deRn −→ R par

∆f(X0) := (div∇)f(X0) =∂2f

∂x21

(X0) + . . .+∂2f

∂x2n

(X0)

pour toutX0 ∈ Rn.

Propriété 3.3.1 Soit f, g : Rn −→ R deux applications différentiables enX0, et soitλ ∈ R, alors

1. div(f + g)(X0) = div(f)(X0) + div(g)(X0),

2. div(f.g)(X0) = g(X0)div(f)(X0) + f(X0)div(g)(X0),

3. div(λf)(X0) = λdiv(f)(X0).

3.4 Dérivées successives. Fonctions de calsseCk

Définition 3.4.1 Soit U ⊂ Rn, et f : U → R admet des dérivées partielles dans unvoisinageV dea.si l’applicationa 7→ ∂f

∂xi(a), définie surV , admet ena une dérivée partialle d’indicej, on

la note ∂2f∂xj∂xi

(a) ( et ∂2f∂x2

i

(a) si i = j) : c’est unedérivée partielle secondedef ena.On a donc

∂2f

∂xj∂xi(a) =

[∂f

∂xj

(∂f

∂xi

)](a).

Théorème 3.4.1(Théorème de Schwarz)Si f admet des dérivées partielles secondes∂2f

∂xj∂xiet ∂2f

∂xi∂xjdans un voisinage dea, et si

ces dérivées partielles sont continues ena, alors :

∂2f

∂xj∂xi(a) =

∂2f

∂xi∂xj(a)

Remarque 3.4.1


3.5 Linéarité locale et différentielle

3.5.1 Difféomorphismes

Définition 3.5.1 SoientU et V deux ouverts deRn. Une applicationφ : U → V est undifféomorphisme si

i) φ est bijective différentiable.

ii) φ−1 est bijective différentiable deV dansU .

*Pour touta ∈ U , Jφ(a) est inversible avec

Jφ−1(φ(a)) = [Jφ(a)]−1.

*Le jacobien ne s’annule pas etjφ−1 = 1jφ.

*On dit queφ est unC1-difféomorphisme siφ est une bijection de classeC1 ainsi queφ−1.Dans ce cas l’applicationa 7→ jφ(a) est continue surU .

3.5.2 Théorème d’inversion locale

Théorème 3.5.1SoitU un ouvert deRn, etf : U → Rnune application de classeC1 dansU telle que la matrice jacobienneJf (a) soit inversible. Alors il existe un voisinageW1

(resp.W2) dea (resp.f(a)) tel quef : W1 → W2 soit unC1-difféomorphisme.

3.6 Formule des accroissements finis

Définition 3.6.1 SoitU un ouvert deRn, et soitf : U → R une application différentiablesurU . Soienta et a + h deux éléments deU tel que le segment[a, a + h] ⊂ U . Alors ilexiste un réelθ ∈]0, 1[ tel que

f(a+ h)− f(a) =

n∑

i=1

hi.∂f

∂xi(a + θ.h)

oùh = (h1, . . . , hn)

Remarque 3.6.1Ce résultat ne s’étend pas au cas oùf est à valeurs dansRp (p > 1)

Théorème 3.6.1Soient[a, b] un intervalle fermé borné, etf : [a, b] −→ Rn une applica-

tion. Soitg : [a, b] −→ R une fonction continue.Sif et g sont différentiables dans]a, b[ et si‖f ′(x)‖ ≤ g′(x), ∀x ∈]a, b[, alors

‖f(b)− f(a)‖ ≤ g(b)− g(a).


Corollaire 3.6.1 Soitf : [a, b] −→ Rn une application ayant une dérivée bornée sur]a, b[,

c’est-à-dire, ici, s’il existeM > 0 tel que

∀z ∈]a, b[ , ‖f ′(z)‖ ≤ M,

alors(∀x, y ∈]a, b[) on a ‖f(y)− f(x)‖ ≤ K|y − x|.

Proposition 3.6.1 (Inégalité des accroissements finis)SiU est un ouvert convexe et sidf est bornée surU , c’est-à-dire, ici, s’il existeM > 0 telque

(∀z ∈ U) (∀i)∣∣∣∣∂f

∂xi(z)

∣∣∣∣ ≤ M,

alors(∃K > 0) (∀(a, b) ∈ U2) |f(b)− f(a)| ≤ K‖b− a‖.

3.7 Applications sur le calcul différentiel : Théorème desfonctions Implicites et applications

Introduction

Considérons l’équation

x5 − x2y + y3 − x2y4 = 0.

Les points deR2 dont les coordonnées vérifient cette équation forment une courbeΓ quipasse par le point(1, 1).

1. Est-ce queΓ possède une tangente en ce point ?

2. Si oui, comment la trouver ?

Dans ce chapitre, on aborde ce genre de problème.

3.7.1 Définition et existence

Définition 3.7.1 Soit(x, y) 7−→ f(x, y) une fonction réelle définie dans une partie deR2.

On appellefonction implicite définie par l’équationf(x, y) = 0 toute fonctiony = ϕ(x),définie dans un intervalleI deR, telle que

f(x, ϕ(x)) = 0 pour toutx dansI


Exemple 3.7.1 1. L’équationx2 + y2 = 1 définity comme une fonction implicite dex.On peut d’ailleurs écrire dans cet exemple une expression explicite dey :

y = ±√1− x2, x ∈ [−1, 1]

2. L’équationy5 − 4y4 + 4xy2 − x2 = 0 définit y comme une fonction implicite dex (pour toutx réel, on a une équation de degré impair eny, qui admet donc aumoins une solution).On ne sait pas exprimer cette fonction à l’aide de fonctionsélémentaires.

3.7.2 Courbes planes implicites

Soit f : Ω −→ R2 unee fonction de classeCk (k ≥ 1) sur un ouvertΩ du planR2.L’ensembleΓ des pointsM(x, y) ∈ Ω tels quef(x, y) = 0 est appelée lacourbe implicitedéfinie parf ≡ 0 :

Γ = M(x, y) ∈ Ω , f(x, y) = 0

Définition 3.7.2 Un pointM(x, y) de la courbeΓ est ditordinaire (ou régulier) s’il esttel que :

∇f(M) =

(∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)6= (0, 0).

1. La courbe est dite régulière si∇f(M) 6= 0 pour tout pointM .

2. Le pointM est dit singulier si∇f(M) = 0.

Notons que l’image réciproque d’une valeury deR est la solution de l’équationf(M) = y,en un pointM deR2.Par conséquent la courbeΓ, définie par l’équationf = 0, estΓ := f−1(0), l’image réci-proque de0.Plus généralement, une courbeΓk définie par l’équationf(x, y) = k est appelée unecourbe d’iso-valeurou (courbe de niveau, k étant le niveau def .

3.7.3 Théorème des fonctions implicites

Théorème 3.7.1(2D)Soitf : U −→ R une application de classeC1 oùU un ouvert deR2 et (a, b) ∈ U tel que

i) f(a, b) = 0

ii) ∂f∂y(a, b) 6= 0

Alors il existe des nombresα > 0 etβ > 0 possédant les propriétés suivantes :


1. Pour toutx ∈]a− α, a+ α[, l’équation eny :

f(x, y) = 0

admet une solution unique dans]b− β, b+ β[.

2. Siϕ(x) désigne cette solution, la fonctionϕ :]a − α, a + α[→]b − β, b + β[ estcontinûment dérivable.

3. On a

ϕ′(x) = −∂f∂x∂f∂y

(x, ϕ(x)), ∀x ∈]a− α, a+ α[ (3.1)

Autrement dit, sous la conditionii), on peut résoudre eny localement, l’équationf(x, y) =0.

Démonstration.L’égalitéf(x, ϕ(x)) = 0, valable pourx dans]a− α, a + α[. La relation(3.1) s’obtient tout simplement par dérivation de la relationf(x, ϕ(x)) = 0.

ϕ′(x)∂f

∂y(x, ϕ(x)) +

∂f

∂x(x, ϕ(x)) = 0.

Siα etβ ont été pris assez petits, on a∂f∂y(x, y) 6= 0 pour|x−a| < α et |y−b| < β puisque

∂f∂y(a, b) 6= 0. On obtient enfin La relation (3.1).

Exemple 3.7.2 1. On prend l’équationf(x, y) = x2 + y2− 1 = 0. On af(0, 1) = 0 et∂f∂y(0, 1) = 2. D’après le théorème, il existe une fonctionx 7→ ϕ(x) unique telle que

x2 + ϕ(x)2 = 1

pourvu que|x− 0| et |ϕ(x)− 1| soient assez petits. Et l’on a, pour|x| assez petit,

ϕ′(x) = − 2x

2ϕ(x)= − x

ϕ(x)

On vérifie cette expression deϕ′ par un calcul explicite. En effet, on a si|ϕ(x)−1| ≤1 entraineϕ(x) ≥ 0 : c’est-à-dire

ϕ(x) =√1− x2

d’oùϕ′(x) = − x√

1− x2= − x

ϕ(x)


2. On prend l’équationf(x, y) = y5 − 4y4 + 4xy2 − x2 = 0. On a f(1, 1) = 0 et∂f∂y(1, 1) = −3. D’après le théorème, il existe une fonctionx 7→ y = ϕ(x) unique

telle queϕ(x)5 − 4ϕ(x)4 + 4xϕ(x)2 − x2

pourvu que|x− 1| et |ϕ(x)− 1| soient assez petits. On a, pour|x− 1| assez petit,

ϕ′(x) = − 4ϕ(x)2 − 2x

5ϕ(x)4 − 16ϕ(x)3 + 8xϕ(x)

En particulier, commeϕ(1) = 1, on a

ϕ′(1) =2

3.

3.7.4 Tangente à la courbe d’équationf(x, y) = 0

L’équationf(x, y) = 0 définit, au moins dans le rectangle]a − α, a + α[×]b − β, b+β[, une courbeΓ ayant une tangente en chaque point ceci d’après la(ii) du théorème.D’après la(iii) du théorème, cette tangente est, au point de coordonnéesx0, y0, définie parl’équation

(y − y0)∂f

∂y(x0, y0) + (x− x0)

∂f

∂x(x0, y0) = 0.

On note~τ le vecteur directeur de cette tangente.

3.7.5 Normale à la courbe d’équationf(x, y) = 0

Soit f : U −→ R une application de classeC1 oùU un ouvert deR2 et (a, b) ∈ U telque

i) f(a, b) = 0

ii) ∂f∂y(a, b) 6= 0

On munitR2 du produit scalaire habituel. La normale àΓ au point de coordonnées(x0, y0)

est parallèle au vecteur de coordonnées(

∂f∂x(x0, y0),

∂f∂y(x0, y0)

). C’est-à-dire que la nor-

male àΓ au pointM(x0, y0) est colinéaire au gradient

∇f(x0, y0) =

(∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

)T

.

Remarque 3.7.1Une équationf(x, y) = 0 définit aussix comme fonction implicite dey,et l’on peut appliquer le théorème au voisinage de(x0, y0), en échangeant les rôles dexet y, pourvu que∂f

∂x(a, b) 6= 0. On trouve que l’équation de la tangente est encore valable

dans ce cas.


3.7.6 Normale principale à la courbe d’équationf(x, y) = 0

La normale~ν à la courbeΓ au point ordinaireM0(x0, f(x0)) est colinéaire au vecteurde coordonnées∂f

∂x(x0, y0) et ∂f

∂y(x0, y0), c’est-à-dire au vecteur gradient∇f(x0, y0). Le

vecteur

~ν(M0) =∇f(x0, y0)

‖∇f(x0, y0)‖est appelée lanormale principale à la courbe enM0 et vérifie

‖~ν(M0)‖ = 1

Notons que, comme attendu, le produit scalaire(~τ (M0), ~ν(M0)) = 0, pour tout point ordi-naireM0 deΓ.

3.7.7 Généralisation en trois dimension

Théorème 3.7.2(3D)Soitf : U −→ R une application de classeC1 oùU un ouvert deR3 et (a, b, c) ∈ U telque

i) f(a, b, c) = 0

ii) ∂f∂z(a, b, c) 6= 0

Alors il existe des nombresα > 0 etβ > 0 possédant les propriétés suivantes :

1. Pour toutx ∈]a− α, a+ α[ ety ∈]b− α, b+ α[, l’équation enz :

f(x, y, z) = 0

admet une solution unique dans]c− β, c+ β[.

2. Siϕ(x, y) désigne cette solution, la fonctionϕ :]a − α, a + α[×]b − α, b + α[→]c− β, c+ β[ est continûment dérivable.

3. On a

dϕ(x) = −∂f∂x∂f∂z

(x, , y, ϕ(x, y))dx−∂f∂y

∂f∂z

(x, , y, ϕ(x, y))dy, (3.2)

∀(x, y) ∈]a− α, a+ α[×]b− α, b+ α[.Pour tout(x, y) ∈]a− α, a+ α[×]b− α, b+ α[ on a

∂ϕ

∂x(x, y) = −

∂f∂x∂f∂z

(x, , y, ϕ(x, y)) et∂ϕ

∂y(x, y) = −

∂f∂y

∂f∂z

(x, , y, ϕ(x, y)) (3.3)

Autrement dit, sous la conditionii), on peut résoudre enz localement, l’équationf(x, y, z) =0. Et les relations (3.3) s’obtiennent tout simplement par dérivation de la relation

f(x, y, ϕ(x, y)) = 0.


3.7.8 Plan tangent à la surface d’équationf(x, y, z) = 0 :

D’après le théorème, l’équationf(x, y, z) = 0 définit, au moins dans le parallélépipède

]a− α, a+ α[×]b− α, b+ α[×]c− β, c+ β[

une surfaceΣ ayant un plan tangentH en chaque point, ce plan tangent, au pointM(x0, y0, z0)deΣ, admet l’équation

(z − z0)∂f

∂z(x0, y0, z0) + (y − y0)

∂f

∂y(x0, y0, z0) + (x− x0)

∂f

∂x(x0, y0, z0) = 0

3.7.9 Normale à la surface d’équationf(x, y, z) = 0 :

Soitf : U −→ R une application de classeC1 oùU un ouvert deR3 et (a, b, c) ∈ U telque

i) f(a, b, c) = 0

ii) ∂f∂z(a, b, c) 6= 0

On munitR3 du produit scalaire habituel. La normale àΓ au point de coordonnées(x0, y0, z0)

est parallèle au vecteur de coordonnées(

∂f∂x(x0, y0, z0),

∂f∂y(x0, y0, z0),

∂f∂z(x0, y0, z0)

). C’est-

à-dire que la normale àΓ au pointM(x0, y0, z0) est colinéaire au gradient

∇f(x0, y0, z0) =

(∂f

∂x(x0, y0, z0),

∂f

∂y(x0, y0, z0),

∂f

∂z(x0, y0, z0)

)T

.

3.8 Formules de Taylor-Lagrange et Taylor-Young

3.8.1 Puissances symboliques

1. Soitf : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction de classeCp dansΩ (p ≥ 2) et

a ∈ Ω. Pourh = (h1, h2, h3) ∈ R3, on définit le réel(h1

∂f∂x1

+ h2∂f∂x2

+ h3∂f∂x3

)[2](a)

par :

h21

∂2f

∂x21

(a)+h22

∂2f

∂x22

(a)+h23

∂2f

∂x23

(a)+2h1h2∂2f

∂x1∂x2(a)+2h2h3

∂2f

∂x2∂x3(a)+2h1h3

∂2f

∂x1∂x3(a).

On dit qu’il s’agit d’une puissancesymbolique deux, c’est-à-dire que l’écriture estobtenue de façon analogue à celle du développement d’un carré : le terme ∂2f

∂x2∂x3(a)

remplaçant∂f∂x2

∂f∂x3

.


2. Pour définir les puissances symbolique d’ordrek, on écrit le développement algé-brique :

(h1φ1 + h2φ2 + h3φ3)k =

∑

α1+α2+α3=k

Aα1,α2,α3hα11 hα2

2 hα33 φα1

1 φα22 φα3

3

(oùAα1,α2,α3 ∈ N). Alors, la puissance symboliquek :(h1

∂f

∂x1

+ h2∂f

∂x2

+ h3∂f

∂x3

)[k]

(a)

est, par définition, égale à :∑

α1+α2+α3=k

Aα1,α2,α3hα11 hα2

2 hα33

∂kf

∂xα11 ∂xα2

2 ∂xα33

(a)

3.8.2 Formule de Taylor-Lagrange

Théorème 3.8.1Soitf : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction de classeCp dansΩ(p ≥ 2) eta ∈ Ω. Soith = (h1, h2, h3) ∈ R3 tel quea+ h ∈ Ω. Supposons que le segmentgéométrique[a, a+ h] ⊂ Ω. Alors il existeθ ∈]0, 1[ tel que :

f(a+ h) = f(a) +

p−1∑

k=1

1

k!

(h1

∂f

∂x1

+ h2∂f

∂x2

+ h3∂f

∂x3

)[k]

(a)

+1

p!

(h1

∂f

∂x1+ h2

∂f

∂x2+ h3

∂f

∂x3

)[p]

(a+ θh).

3.8.3 Formule de Taylor-Young

Théorème 3.8.2Soitf : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction de classeCp dansΩ(p ≥ 2) eta ∈ Ω. Soith = (h1, h2, h3) ∈ R3 tel quea+ h ∈ Ω. Supposons que le segmentgéométrique[a, a+ h] ⊂ Ω. Alors on a le résultat local suivant

f(a+ h) = f(a) +

p−1∑

k=1

1

k!

(h1

∂f

∂x1

+ h2∂f

∂x2

+ h3∂f

∂x3

)[k]

(a) +O (‖h‖p) .

3.9 Approximations linéaire et quadratique et analyse deserreurs. L’approximation par le polynôme de Taylor

3.9.1 Approximations linéaire

Définition 3.9.1 Soit f : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction eta ∈ Ω. Soith = (h1, h2, h3) ∈ R3 tel quea+ h ∈ Ω.


On dit quef admet une approximation linéaire au voisinage dea s’il existe une applicationlinéaire uniqueL : R3 → R telle que

f(a+ h) = f(a) + L(h) + o(‖h‖2

).

Théorème 3.9.1Soitf : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction de classeC1 dansΩ et a ∈ Ω. Soit h = (h1, h2, h3) ∈ R

3 tel quea + h ∈ Ω. Alors f admet ena undéveloppement limité fourni par la formule de Taylor-Youngde type :

f(a+ h) = f(a) + L(h) + o(‖h‖2

)

oùL(h) =(h1

∂f∂x1

+ h2∂f∂x2

+ h3∂f∂x3

)[1](a) = h1

∂f∂x1

(a) + h2∂f∂x2

(a) + h3∂f∂x3

(a).

*On dit le termef(a)+h1∂f∂x1

(a)+h2∂f∂x2

(a)+h3∂f∂x3

(a) est l’approché linéaire def(a+h).

3.9.2 Approximations quadratique

Définition 3.9.2 Soit f : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction eta ∈ Ω. Soith = (h1, h2, h3) ∈ R3 tel quea+ h ∈ Ω.On dit quef admet une approximation linéaire au voisinage dea s’il existe une applicationlinéaire uniqueL : R3 → R et une forme quadratiqueQ : R3 → R telle que

f(a+ h) = f(a) + L(h) +Q(h) + o(‖h‖2

).

Théorème 3.9.2Soitf : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction de classeC2 dansΩ et a ∈ Ω. Soit h = (h1, h2, h3) ∈ R3 tel quea + h ∈ Ω. Alors f admet ena undéveloppement limité fourni par la formule de Taylor-Youngde type :

f(a+ h) = f(a) + L(h) +1

2q(h) + o

(‖h‖2

)

oùL(h) =(h1

∂f∂x1

+ h2∂f∂x2

+ h3∂f∂x3

)[1](a) = h1

∂f∂x1

(a) + h2∂f∂x2

(a) + h3∂f∂x3

(a).

et q(h) =(h1

∂f∂x1

+ h2∂f∂x2

+ h3∂f∂x3

)[2](a).

*On dit le termef(a)+h1∂f∂x1

(a)+h2∂f∂x2

(a)+h3∂f∂x3

(a)+ 12

(h1

∂f∂x1

+ h2∂f∂x2

+ h3∂f∂x3

)[2](a)

est l’approché quadratique def(a+ h).

Remarque 3.9.1 1. Soitq la forme quadratique figurant dans l’approche quadratiquedef(a+ h) :

q(h) =

(h1

∂f

∂x1+ h2

∂f

∂x2+ h3

∂f

∂x3

)[2]

(a),


La matriceHf (a) associée à la forme quadratiqueq relativement à la base cano-nique deR3 s’appelle la hessienne def ena et elle est définie par

ωij =∂2f

∂xi∂xj(a), 1 ≤ i, j ≤ 3.

2. Ce résultat peut être généraliser aux domaineRp oup ≥ 4.

Dans la pratique

Soit K un domaine deR2, de fait le triangle de sommetsA, B et C. On considèref : K → R une fonction. Pour une telle fonction, notéef(X). On fait varierX sur letriangleK. Le développement autour deA donne :

f(X)− f(A) =(−−→AX,∇f(A)

)+

1

2

(−−→AX,Hf(A)

−−→AX

)+O

(‖−−→AX‖3

)

où−−→AX est le déplacement autour deA dans le triangleK.

Pour−−→AX = h alorsX = A+ h on obtient les résultats ci-dessus.

3.9.3 Approximation par le polynôme de Taylor

Soit f : Ω → R (Ω est un ouvert deR3) une fonction de classeCp dansΩ (p ≥ 2)et a ∈ Ω. Soit h = (h1, h2, h3) ∈ R3 tel quea + h ∈ Ω. Supposons que le segmentgéométrique[a, a+ h] ⊂ Ω. Alors on a le résultat local suivant

f(a+ h) = f(a) +

p−1∑

k=1

1

k!

(h1

∂f

∂x1+ h2

∂f

∂x2+ h3

∂f

∂x3

)[k]

(a) +O (‖h‖p) .

Chapitre 4

Optimisation : Extrema, points critiqueset valeurs critiques

Nous nous intéresserons dans cette partie au problème de maximisation ou minimisa-tion des fonctions de plusieurs variables. Commençons par les fonctions de deux variables.

4.1 Extrema locaux et globaux de fonctions de deux va-riables ou plusieurs variables

4.1.1 Extrema locaux et globaux d’une fonction

Théorème 4.1.1Soit f une fonction numérique, définie sur un voisinageV du pointadansRn, et différentiables ena. Sif présente un extrémum ena, alors on a

(∗) ∂f

∂xi

(a) = 0, ∀1 ≤ i ≤ n.

Démonstration.Soit r le rayon d’une boule de centrea contenue dansV . Pour chaquevecteurX ∈ Rn\0Rn, la fonction numériqueφX : t 7→ f(a + tX) est définie surl’intervalle ]

− r

‖X‖ ,r

‖X‖

[

et présente un extremum au pointt = 0. Cette fonction est donc dérivable au pointt = 0,sa dérivée étant

d

dt[φX(t)]t=0 = f ′(a).X

Doncf ′(a).X = 0 pour toutX ∈ Rn\0Rn, d’où f ′(a) = 0.

48

CHAPITRE 4. OPTIMISATION : EXTREMA, POINTS CRITIQUES ET VALEURS CRITIQUES49

Remarque 4.1.1On n’obtient qu’une condition nécessaire, mais non suffisante, pour quef admette un extremum : par exemple la fonction

f : R2 → R, (x, y) 7→ xy

a une différentielle nulle au point(0, 0) mais ne présente pas d’extremum en ce point. Ceproblème sera discuté dans ce chapitre, cependant les points a vérifiant la condition(∗)présentent souvent un grand intérêt, même s’ils ne correspondent pas à des extrema def .

Définition 4.1.1 Les pointsa où l’application f vérifie f ′(a) = 0 où bien ∂f∂xi

(a) =0, ∀1 ≤ i ≤ n sont ditscritiques, ouextrémaux pour cette application.

Problèmes d’extremum lié

Considérons le problème suivant :U étant un ouvert deRn, on donne deux fonctionsnumériquesf, g, de classeC1 surU . Posant

A = x ∈ U / g(x) = 0

on cherche des conditions pour que la restrictionfA def àA présente un extremum en unpointa.

Proposition 4.1.1 Soientf et g deux fonctions numériques de classeC1 sur un voisinageU du point(a, b) dansR2 tel queg(a, b) = 0 ; et soitA l’ensemble des points(x, y) deUvérifiantg(x, y) = 0. Si la restriction def à A présente un extrémum au point(a, b), et sil’une au moins des dérivées partielles∂g

∂x(a, b), ∂g

∂y(a, b) est 6= 0, alors on a :

D(f, g)

D(x, y)(a, b) =

(∂f

∂x

∂g

∂y− ∂y

∂y

∂g

∂x

)

(a,b)

= 0

4.1.2 Étude sur les points critiques d’une application

Commençons par les fonctions de deux variables. Nous rappelons ici un théorème fon-damental, qui va servir dans ce chapitre

Théorème 4.1.2Une matrice symétriqueA est définie positive si et seulement sidet(Ak) >0 pour toutes les sous-matrices principalesAk de A.

Considérons une fonction de deux variables définie parf(x, y). Nous supposerons quefest de classeC3 (i.e. f et ses dérivées partielles d’ordre≤ 3 sont continues).

Définition 4.1.2 On dit que(x0, y0) est un point critique def sifx(x0, y0) = 0 etfy(x0, y0) =0 oùfx etfy dénotent les dérivées partielles def par rapport àx ety respectivement.


SoitX0 = (x0, y0) un point critique def . En utilisant le formule de Taylor on obtient :

f(x0+h, y0+k) = f(X0)+hfx(X0)+kfy(X0)+1

2

[h2fxx(X0) + 2hkfxy(X0) + k2fyy(X0)

]+R

où R = 16[h3fxxx(X) + 3h2kfxxy(X) + 3hk2fxyy(X) + k3fyyy(X)] avecX = (x0 +

θh, y0 + θk) (0 < θ < 1).Or fx(x0, y0) = 0 etfy(x0, y0) = 0 puisqueX0 est un point critique. Il en résulte que

f(x0 + h, y0 + k) = f(X0) +1

2

[ah2 + 2bhk + ck2

]+R

où on a poséa = fxx(X0), b = fxy(X0) et c = fyy(X0). Sih etk sont suffisamment petits,on montre alors que

|R| ≤ 1

2|ah2 + 2bhk + ck2|

Par conséquent,f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) a le même signe queah2 +2bhk+ ck2 pourh etk petits, ce qui entraîne que(x0, y0) est minimum local si

ah2 + 2bhk + ck2 > 0, pour tout(h, k),

est un maximum local si

ah2 + 2bhk + ck2 < 0, pour tout(h, k),

ou est un point selle siah2+2bhk+ck2 prend des valeurs positives et des valeurs négatives.En d’autres mots, on a minimum local si la forme quadratique

q(h, k) = ah2 + 2bhk + ck2

est définie positive,un maximum local si elle est définie négative ou un point selle si elleest indéfinie. La forme quadratique s’écrit

q(h, k) = (h, k)

(fxx(X0) fxy(X0)fyx(X0) fyy(X0)

)(hk

)

La matrice précédente

H(X0) =

(fxx(X0) fxy(X0)fyx(X0) fyy(X0)

)

définissant la forme quadratique est appelée la matrice hessienne def enX0. Soientλ1 etλ2 les valeurs propres deH(X0). On déduit du théorème 4.1.2 :

1. (x0, y0) est un minimum local siλ1 > 0 etλ2 > 0.

2. (x0, y0) est un maximum local siλ1 < 0 etλ2 < 0.


3. (x0, y0) est un point selle siλ1λ2 < 0.

Comme on l’a vu au théorème 4.1.2, la matrice hessienneH(X0) est définie positive si sesdéterminants principauxfxx(X0) et∆ = det(H(X0)) = fxx(X0)fyy(X0) − (fxy(X0)))

2

sont> 0.La matrice hessienne est définie négative si−H(X0) est définie positive, ce qui sera le cassi ses déterminants principaux−fxx(X0) et det(−H(X0)) = det(H(X0)) = ∆ sont> 0,c’est-à-direfxx(X0) < 0 et∆ > 0. Il résulte de ce qui précède queH(X0) est indéfinie si∆ < 0. Ainsi, on obtient :

1. Si∆ > 0 etfxx(X0) > 0, alorsX0 = (x0, y0) est un minimum local.

2. Si∆ > 0 etfxx(X0) < 0, alorsX0 = (x0, y0) est un maximum local.

3. Si∆ < 0, alorsX0 = (x0, y0) est un point selle.

Remarque 4.1.2Si∆ = 0, on peut rien conclure quant à la nature du point critique.

Exemple 4.1.1Considérons la fonction donnée par

f(x, y) =1

3x3 + xy2 − 4xy + 1.

Déterminons d’abord les points critiques.Ce sont les solutions du système suivant :

fx(x, y) =

∂F∂x(x, y) = 0

fy(x, y) =∂F∂y(x, y) = 0

On a fx(x, y) =

∂F∂x(x, y) = x2 + y2 − 4y

fy(x, y) =∂F∂y(x, y) = 2xy − 4x

On obtient les quatre points critiques :X1 = (0, 0), X2 = (0, 4), X3 = (2, 2) et X4 =(−2, 2). La matrice hessienne def est

H(x, y) =∂2F

∂x∂y(x, y) =

(2x 2y − 4

2y − 4 2x

).

En évaluant la matrice hessienne aux pointsX1, . . . , X4 on a

H(0, 0) =

(0 −4−4 0

), H(0, 4) =

(0 44 0

),

H(2, 2) =

(−4 00 −4

), H(−2, 2) =

(4 00 4

).

Les valeurs propres de ces matrices sont :


1. PourH(0, 0) sontλ1 = 4 etλ2 = −4.

2. PourH(0, 4) sontλ1 = 4 etλ2 = −4.

3. PourH(2, 2) sontλ1 = 4 etλ2 = 4.

4. PourH(−2, 2) sontλ1 = −4 etλ2 = −4.

Par conséquent,X1 etX2 sont des points selles,X3 est minimum local etX4 est un maxi-mum local.

4.1.3 Maxima et minima des fonctions den variables

Considérons une fonctions den variables définie parF (x) = F (x1, . . . , xn). Un pointa = (a1, . . . , an) est un point critique siFxi

(a) = 0 pour i = 1, . . . , n, où Fxi= ∂F

∂xi

désigne la dérivée partielle par rapport àxi.C’est-à-dire que Les points critiques de l’applicationF : (x1, . . . , xn) 7−→ F (x1, . . . , xn)sont les solutions de l’équation vectorielle suivante :

∇F (x1, . . . , xn) = 0

ce qui équivalent au système d’équations suivant

∂F∂x1

(x1, . . . , xn) = 0

∂F∂x2

(x1, . . . , xn) = 0

...∂F∂xn

(x1, . . . , xn) = 0

Utilisant, comme pour les fonctions de deux variables, la formule de Taylor on montrequ’un point critiqueX

1. est un minimum local si la matrice hessienneH(X) est définie positive,

2. est un maximum local siH(X) est définie négative

3. est un point selle siH(X) est indéfinie.

Ici, la matrice hessienne est la matrice symétriquen× n définie par

H(X) = (Fxixj(X)) =

(∂2F

∂xi∂xj(x1, . . . , xn)

),

où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , n.

Exemple 4.1.2On considère la fonction définie par

F (x, y, z) = x2 + xz − 3 cos(y) + z2.


Déterminons les points critiques. Les dérivées partiellessont

∂F∂x(x, y, z) = 2x+ z

∂F∂y(x, y, z) = 3 sin(y)

∂F∂z(x, y, z) = x+ 2z

Ainsi, les points critiques sont les solutions de

2x+ z = 03 sin(y) = 0x+ 2z = 0

Il en résulte que les points critiques sont les pointsXk = (0, kπ, 0), k ∈ Z. La matricehessienne au pointXk est

H(Xk) =

2 0 10 3(−1)k 01 0 2

.

– Sik est pair, les valeurs propres deH(Xk) sont3, 3 et 1. Ainsi,H(Xk) est définiepositive si k est pair.D’où il s’ensuit queXk est un minimum local sik pair.

– sik est impair, les valeurs propres sont3, −3 et1. Ainsi,H(Xk) est indéfinie sik estimpair. D’oùXk est un point selle sik est impair.

4.2 Fonctions quadratiques : Recherche linéaire et mé-thode du gradient

4.2.1 Forme linéaires et bilinéaires

Définition 4.2.1 Une forme linéaire sur un espace vectoriel réelE est une applicationlinéaire deE dansR.C’est-à-dire pour toutx, y ∈ E etα, β ∈ R on a

f(αx+ βy) = αf(x) + βf(y).

Si E est dimension finien, (e1, . . . , en) sa base canonique etL = (`(e1), . . . , `(en)) levecteur ligne des images de` dans la base(e1, . . . , en). Soitx = x1e1 + . . . + xnen unvecteur dansE etX = (x1, . . . , xn), alors

`(x) = (L,X)

En dimension finie, toute forme linéaire est représentée parun produit scalaire.


Définition 4.2.2 Une forme bilinéairea sur un espace vectoriel réelE est une applicationdeE × E dansR, linéaire par rapport à chacune de ses deux arguments.Soita la forme bilinéaire, on a donc :

a(u, αv1 + βv2) = αa(u, v1) + βa(u, v2) (4.1)

a(αu1 + βu2, v) = αa(u1, v) + βa(u2, v) (4.2)

4.2.2 Représentation matricielle

Toute forme bilinéaire sur un espaceE de dimension finien se représente, dans unebasee(e1, . . . , en) par une matrice carrée d’ordren. Les coefficientsAij de la matriceAreprésentant l’applicationa sont donnés par

Aij = a(ei, ej)

Soitu = u1e1 + . . .+ unen et v = v1e1 + . . .+ vnen on a

a(u, v) = (AU, V ) = (U,ATV )

oùU = (u1, . . . , un)T etV = (v1, . . . , vn)

T .Si (·, ·) représente le produit scaalaire usuel deR

n et AT est la matrice transposée deAdéfinie par

ATij = Aji, ∀i, j = 1, . . . , n

Définition 4.2.3 1. Une forme bilinéairea sur un espace vectoriel réelE est symé-trique si :

∀u, v ∈ E, a(u, v) = a(v, u).

2. Une forme bilinéairea sur un espace vectoriel réelE est définie positive si :

∀u ∈ E, a(u, u) ≥ 0 et a(u, u) = 0 ⇔ u = 0

Les formes bilinéaires symétriques sont représentées par des matrices symétriquesAij = Aji.Les formes bilinéaires symétriques définies positives sontreprésentées par des matricessymétriques définies positives, qui vérifient donc

(AU,U) ≥ 0, ∀U ∈ Rn et (AU,U) = 0 ⇒ U = 0

Théorème 4.2.1(Résultat important)

1. Les matrices symétriques réelles ont des valeurs propresréelles, sont diagonali-sables et admettent une base de vecteurs propres orthonormés.

2. Les matrices symétriques réelles définies positives ont des valeurs propres stricte-ment positives, et donc sont inversibles.


4.2.3 Équivalence entre la résolution d’un système linéaire et la mini-misation quadratique

On considèrea : Rn × Rn → R une forme bilinéaire etA la matrice associée àarelativement à la base(e1, . . . , en) :

Aij = a(ei, ej), i, j = 1, . . . , n

On définit la fonctionnelleJ : Rn → R donnée pour toutv ∈ Rn par

J(v) =1

2(Av, v)− (b, v)

où b ∈ Rn est un vecteur donné.

Théorème 4.2.2SiA est une matrice symétrique définie positive, il y a équivalence entreles trois problèmes suivants :

(1)

trouver X ∈ Rn tel que

AX = b

(2)

trouver X ∈ Rn tel que(AX, Y ) = (b, Y ), ∀Y ∈ Rn

(3)

trouver X ∈ Rn tel que

J(X) = 12(AX,X)− (b,X) soit minimale.

Démonstration.(1) ⇒ (2) est évident.(2) ⇒ (1) en prenant pourY les vecteurs de baseei deRn.(2) ⇒ (3) On calculeJ(X + λY ) pour toutλ réel et toutY ∈ Rn, on obtient

J(X + λY ) = J(X) + λ ((AX, Y )− (b, Y )) +1

2λ2(AY, Y )

en utilisant la symétrie de la matriceA.On en déduit, si(AX, Y )− (b, Y ) = 0 queJ(X + λY ) = J(X) + 1

2λ2(AY, Y )

d’où en utilisant le fait queA est définie positive :

J(X + λY ) > J(X)

si λ etY sont non nuls. Donc on a montré que siX vérifie (2), X minimiseJ .(3) ⇒ (2), carX minimiseJ , on a

λ ((AX, Y )− (b, Y )) +1

2λ2(AY, Y ) ≥ 0, ∀λ, ∀Y

le trinôme enλ ci-dessus doit être toujours positif. Ceci entraîne que sondiscriminant soittoujours négatif ou nul. Or ce discriminant est

4 = ((AX, Y )− (b, Y ))2

ceci implique (2).


4.3 Application aux moindres carrés

Considérons le problème générale d’un système linéaire sur-déterminé, c’est-à-diredans lequel il y a plus d’équations que d’inconnues. C’est enparticulier le cas dans lecalcul de la droite des moindre carré ou plus généralement depolynômes d’approximationau sens des moindres carrés. On ne peut pas obtenir exactement l’égalité

AX = b

oùA est une matrice rectangulaire den lignes etm colonnes avecn > m. On définit

J(X) = ‖AX − b‖2 = (AX − b, AX − b).

On essaie alors de minimiser l’écart entre les vecteursAX etB de

minX∈Rm

J(X)

en minimisant la norme euclidienne de leur différence, ou cequi revient au même lecarré de cette norme. On utilise les propriétés classiques du produit scalaire(AU, V ) =(U,ATV ) pour obtenir :

J(X) = (ATAX,X)− 2(AT b,X) + (b, b)

la matriceATA est une matrice carrée(m×m) symétrique définie positivedès lors que lamatrice rectangulaireA est de rangm. Le théorème (4.2.2) nous donne l’équivalence de ceproblème de moindre carrés avec la résolution du système linééaire

ATAX = AT b

On retrouve ainsi le système carré dem équations àm inconnues, dit “système des équa-tions normales”.

4.3.1 Approximation par la droite des moindre carrés

Par exemple, dans le cas de la droite des moindre carrés, il s’agit de trouver la fonctionaffinie

y = α + βx

qui représente “au mieux” une collection den valeursyi associées auxn abscissesxi. Ausens des moindres carrés , ceci revient à minimiser la somme

n∑

i=1

(yi − (α + βxi))2


donc à minimiser la norme euclidienne de la différence

J(a) = ‖Xa− Y ‖2

où l’on a notéY le vecteur desn valeursyi, X la matrice rectangulaire àn lignes et2colonnes

X =

1 x1

1 x2...

...1 xn−1

1 xn

et a =

(αβ

). En appliquant les résultats précédents, on obtient la solution en résolvant le

système(2× 2) suivantXTXx = XTY

4.3.2 Interprétation géométrique : projection sur un sous-espace

Reprenons le problème de l’approximation au sens des moindre carrés

J(X) = ‖AX − b‖2

On peut interpréter ce problème comme celui de la recherche du vecteur de la formeAXle plus proche au sens de la norme euclidienne d’un vecteurb donné dansRn.Les vecteurs de la formeAX sont une combinaison linéaire desm vecteurs colonnes de lamatriceA. Ces vecteurs colonnes sont indépendants carA est supposée de rangm.Ils engendrent donc un sous-espace vectorielF deR

n de dimensionm. Et le problèmes’interprète comme la recherche du vecteur du sous-espaceF le plus proche du vecteurb.On obtient doncX en écrivant queAX est la projection orthogonale deb dansF donc

(AX − b, V ) = 0, ∀V ∈ F

ceci carRn = F ⊕ F⊥ et queAX − b ∈ F⊥.ce qui est équivalent, puisque les colonnes deA engendrentF , à

(AX − b, Aj) = 0, ∀j = 1, . . . , n

oùAj est lejime vecteur colonne deA. On retrouve ainsi le résultat

ATAX = AT b.

Chapitre 5

Calcul d’intégrales multiples

5.1 Théorème de la divergence, Théorème de Green

Théorème 5.1.1(Théorème de la divergence)

1. SoitΩ ⊂ Rn(n ≥ 1) de frontière∂Ω. Soitf : Ω −→ R de classeC1 surΩ. Alors∫

Ω

∂f

∂xi

(X)dX =

∫

∂Ω

f(X)(−→n · −→e i)dσ(X)

où−→n désigne le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieurde la frontière∂Ω,−→e i est leiièmevecteur de la base canonique deRn etdσ est la mesure surfacique sur∂Ω.

2. SoitΩ ⊂ Rn(n ≥ 1) de frontière∂Ω. SoitF : Ω −→ Rn de classeC1 surΩ. Alors∫

Ω

divF (X)dX =

∫

∂Ω

F (X) · −→n dσ(X)

où−→n désigne le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieurde la frontière∂Ω.

Théorème 5.1.2(Théorème de Gauss-Green)SoitΩ ⊂ Rn(n ≥ 1) de frontière∂Ω. Soientf, g : Ω −→ R de classeC2 surΩ. Alors

∫

Ω

g(x)∆f(x)dx =

∫

∂Ω

g(x)∂f

∂n(x) dσ(x)−

∫

Ω

∇g(x) · ∇f(x)dx

oùn := −→n (x) désigne le vecteur normal unitaire dirigé vers l’extérieurde la frontière∂Ωenx et

∂f

∂n(x) = −→n (x) · ∇f(x)

58

CHAPITRE 5. CALCUL D’INTÉGRALES MULTIPLES 59

5.2 Théorème de Fubini

5.3 Intégrale double : changement en coordonnés polaire

5.4 Intégrale triple (changements en coordonnées sphé-riques, cylindriques)

5.4.1 Intégrale triple en coordonnées sphériques

5.4.2 Intégrale triple en coordonnées cylindriques

Bibliographie

[1] William F. Trench,Introduction to real analysisLibrary of Congress Cataloging-in-PublicationData, Free Edition 1.02, December 2009.

[2] Arnaudiès J. M., Boursin J. L. et G. Goeringer,Mathématiques, terminale D, Paris,1976.

[3] Arnaudiès J. M. et H. Fraysse,Algèbre, cours de mathématiques-1. Dunod, Paris,1987.

[4] Deschamps C. et A. Warusfel,Algèbre, Mathématiques1re année : Cours et exercicescorrigés, MPSI, PCSI, PTSI. Dunod, Paris, 1999.

60

Documents

Cours Analyse Cp 2