Cours Analyse Des Mecanismes

5/28/2018 Cours Analyse Des Mecanismes

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Analyse des M canismes

1. Liaisons quivalentes

1.1. Par la c inmat iq ue

Liaisons en parallles

Soit deux solides S1 et S2 lis par n liaisons L1, L2, Li, , Ln, chacune dfinie par son

torseur cinmatique : i i i2/1 2/1 P,2/1

P

V = V

. Le torseur cinmatique de la liaison quivalente

Leqest tel que Leq L1 L2 Li Ln

2/1 2/1 2/1 2/1 2/1V =V =V ... V ... V .

Le torseur cinmatique de la liaison quivalente des liaisons en parallles entre deux

solides est gal tous les torseurs cinmatiques des diffrentes liaisons.

Exemple 1 :

A

xA xA

L

2/1

A

V

V = 0 0

0 0

, BxB xB xB xB xB xB xB

L

2/1

xBB A A

V V 0 V

V = 0 0 0 0 0 -l 0 0

0 0 0 0 0 0 0 -l

On en dduit : A BL L2/1 2/1V =V donc :

xA xA xB xB

xBA A

V V

0 0 = 0 0

0 0 0 -l

et donc :

xA xB

xA xB

xB

V V

0=-l

. On

en dduitxA xB

0 et xA xBV V donc le torseur de la liaison quivalente est :

eq

xA

L

2/1

A

0 V

V = 0 0

0 0

. Ceci est le torseur cinmatique dune liaison glissire.

Exemple 2 :

Ln

L1

L2Leq

S1 S2 S1 S2

A

Bl x

y


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Avec :

LA : liaison ponctuelle de normale y

.

LB : liaison ponctuelle de normale2

2 2x x+ y

2 2

LC : liaison ponctuelle de normale3

2 2x x- y

2 2

A

xA xA

L

2/1 yA

zA zAO

V

V = 0

V

, BxB xB

L

2/1 yB xB

zB zBO

V

V = -V

V

, CxC xC

L

2/1 yC xC

zC zCO

V

V = V

V

. On en dduit :

x

eq

2/1 y

z zO

0

V = 0

V

: on reconnat le torseur dune liaison linaire annulaire daxe O,z

.

Liaisons en srie

Soient S1, S2, Spp solides lis chacun par p-1 liaisons L1, L2, Li, , Ln-1.

La composition des torseurs cinmatiques nous permet dcrire: Leq L1 L2 Ln2/1 2/1 2/1 2/1V =V +V ... V

p 1 p p-1 2 1

p 1 p p-1 2 1

S /S S /S S /S

P,S /S P,S /S P,S /S

...

V V ... V

Le torseur cinmatique de la liaison quivalente des liaisons en srie entre deux solides estgal la somme de tous les torseurs cinmatiques des diffrentes liaisons.

Exemple :

S1

L1 Lp-1

SpS2 Sp-1

Leq

S1 S2

x

3

x

2

x

1 2

LA

LB

LC

y

A

B C


3/10

xA xA xB xA xA xB xA xB xA

3/1 3/2 2/1 yB yB yB

zB zB zBA B B B B

V 0 V 0 V

V =V +V = 0 0 + 0 = 0 0 + 0 0

0 0 0 0 0 0 0

Cest le torseur cinmatique dune liaison linaire annulaire.

NB : Pour identifier le torseurs cinmatiques, il faut vrifier que les paramtres non nuls

sont indpendants.

xA xA xB xA xA xB xB A

3/1 3/2 2/1 yB yB yB

zB zB zBA B A A

V 0 V 0 -x

V =V +V = 0 0 + 0 = 0 0 + 0 + 0

0 0 0 0 0 0 0

xA xA xB xA xB xA

3/1 yB A zB yB A zB

zB A yB zB A yBA A A

V 0 V

V = 0 0 + -x -x

0 0 x x

Il y a 4 paramtres

indpendants (3 en rotation, 1 en translation), cest donc le torseur cinmatique dune

liaison linaire annulaire.

1.2. Par la statiq ue

Liaisons en parallles

Soit deux solides S1 et S2 lis par n liaisons L1, L2, Li, , Ln, chacune dfinie par son

torseur statique : i i i1 2 1 2 P,1 2P

F = R M

. Lapplication du Principe Fondamental de la

Statique S2 nous donne : L1 L2 Ln1 2 1 2 1 2 ext 2F +F ... F F 0 0 ou avec Leq :

Leq

1 2 ext 2F F 0 0

, on en dduit que Leq L1 L2 Ln1 2 1 2 1 2 1 2F =F +F ... F , soit :

eq 1 n

1 n

L L L

1 2 1 2 1 2

L L

P,1 2 P,1 2 P,1 2

R R ... R

M M ... M

.

Le torseur statique transmissible de la liaison quivalente des liaisons en parallle entredeux solides est gal la somme de tous les torseurs statiques transmissibles des diffrentes

Ln

L1

L2Leq

S1 S2 S1 S2

A

B1

2 3

x

y


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liaisons.

Exemple :

A BL L

1 2 1 2 1 2 A A B B A A B B B

A A B B A A B B BA B A A

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

F =F +F = Y M + Y M = Y M + Y M l Y

Z N Z N Z N Z N 0 Z

B

1 2 A B A B

A B A BA

0 LZF = Y Y M M

Z Z N N

: 5 paramtres indpendants, liaison glissire.

Liaisons en srie

Soient S1, S2, Snn solides lis chacun par n-1 liaisons L1, L2, Li, , Ln-1.

Lapplication du Principe Fondamental de la Statique au solide Si nous donne:i-1 i

i-1 i i+1 i

L L

S S S SF F 0 0 soiti-1 i

i-1 i i i+1

L L

S S S SF F 0 0 et on en dduit donc :

1 i-1 n-1

1 2 i-1 i n-1 n

L L L

S S S S S SF =F F .

Le torseur statique transmissible dans la liaison quivalent est donc gal tous les torseurs

statiques transmissibles de chacune des liaisons.

Exemple :

1 2 A A

A AA

0 0

F = Y M

Z N

,

B B A B B

2 3 B B B B B A

B B B B A BB A A

X 0 X 0 x X X 0

F = Y 0 Y 0 0 Y Y -Z x

Z 0 Z 0 0 Z Z x Y

A

B1

2 3

x

A

Bl x

y

S1

L1 Ln-1

SnS2 Sn-1Leq

S1 S2


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B

eq

1 3 A A B B A

A A B A BA A

0 0 X 0

F = Y M Y -Z x

Z N Z x Y

On en dduit :

B

A B

A B

A B A

A A B

0 X

Y Y

Z Z

M -Z x

N x Y

2 paramtres indpendants en effort : liaison linaire annulaire.

2. Chane de solides

2.1. Chane ouv erte

2.2. Chane ferme

1 2

3

4

5

L1

L2

L3L4

L5

1

2 3

4

5


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3. Degr de mobilit dun mcanisme

3.1. Dfi n i t io n

Soit un mcanisme compos de p solides en liaison. Soit Nc le nombre dinconnues

cinmatiques introduites par les p liaisons.

1 2

3

4

5

L1

L2

L3L4

L5

p

i

i 1

Nc nc

Soit rc le nombre dquations scalaires indpendantes entre les Nc inconnues cinmatiques.

On appelle degr de mobilit du mcanisme m=Nc-rc .

Exemple :

0

1

2

3

L01

L12

L23 L30

Figure 1

X

Y

AL

1/0

O

0 0

V = 0 0

0

A

x2 x2 z2

L

2/1 y2 y2 z2

z2 z2 x2 y2A O

0 -Lsin

V = 0 = Lcos

0 Lsin -Lcos


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B

x3 x3 B x3 x3

L

3/2 y3 y3 y3 y3 B z3

z3 z3 z3 z3 B y3B O O

0 0 x 0

V = 0 = 0 0 -x

0 0 0 x

Nc=8

C

x4

L

0/3

O

0 VV = 0 0

0 0

eq

0/0

O

0 0V = 0 0

0 0

, donc

x2 x4

y2 y4

z2 z4

z2 4

z2 B z3

x2 y2 B y3

0

0

0

-Lsin 0

Lcos x 0

Lsin -Lcos x 0

xV

Rc=6 Donc m=2.

Exemple 2 : Roue support

3.2. Interp rtat io n ph ys iq ue du degrde mob il it

Le degr de mobilit dun mcanisme se note met correspond au nombre mude paramtres

imposer pour obtenir une configuration gomtrique donne du systme augment du

nombre de mouvements mique pourraient avoir certaines pices du mcanisme.

Autrement dit, cest le nombre de paramtres cinmatiques bloquer pour que le mcanisme

soit immobile.

Exemple :

0

1

2

3

L01

L12

L23 L30

Figure 1

X

Y

Ici nous avons 1+3+3+1=8 inconnues cinmatiques.

La fermeture torsorielle 0/3 3/2 2/1 1/0V +V +V +V =0 nous donne 6 quations indpendantes.

La mobilit m=2.

Ici nous avons une mobilit utile correspondant la rotation de 1 qui engendre les allers-

retours de 3 et une mobilit interne qui est la rotation de 2 autour de son axe.


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4. Degr dhyperstatisme dun mcanisme

4.1. Dfi n i t io n

Soit un mcanisme compos de p solides en liaison. Soit Ns le nombre dinconnues

cinmatiques introduites par les p liaisons.

1 2

3

4

5

L1

L2

L3L4

L5

Soit rs le nombre dquations scalaires indpendantes entre les Ns inconnues statiques.

On appelle degr dhyperstatisme (ou dhyperstaticit) le nombre h=Ns-rs .

4.2. Interprtation physique du degr dhyperstatisme

Le degr dhyperstaticit h, correspond aussi au nombre de conditions gomtriques et/ou

dimensionnelles quil faut imposer au mcanisme pour que celui-ci fonctionne correctement.

Lorsque h = 0, on qualifie le systme disostatique.

Lorsque h > 0, on qualifie le systme dhyperstatique.

Remarque : Un systme en chane ouverte est toujours isostatique.

Mthode :

On suppose toutes les liaisons sans dfauts angulaires ou dimensionnels sauf une.

On suppose que cette dernire liaison comporte un maximum de dfauts angulaires et

dimensionnels.

Le degr dhyperstatisme correspond au nombre de dfauts annuler pour que le

mcanisme fonctionne correctement.

Exemple :

O

1

L1

L2

Figure 2

La pice 1 est guide par rapport la pice 0 par deux liaisons pivot glissant .Considrons les pices de gomtrie parfaite.

Pour que le mcanisme fonctionne correctement, il faut :

que les axes des deux alsages soient parallles ce qui fait 2 conditions gomtriques.

que lentraxe des deux cylindres de 1 soit le mme que lentraxe des deux alsages de0. Ce qui fait 1 condition dimensionnelle.


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Au total, il faut imposer 3 conditions pour que le systme fonctionne correctement. Le degr

dhyperstatisme h est donc gal 3.

4.3. Avantages et in co nvnient s des mcani sm esisostat iques

Un mcanisme isostatique prsente les avantages suivants :

Il est constitu de pices plus faciles raliser du point de vue des contraintes

dimensionnelles et gomtriques.

Il se prte beaucoup mieux aux calculs de mcanique car on a lassurance que les

surfaces de liaison sont bien en contact.

Il prsente les inconvnients suivants :

Il est souvent moins rigide quun mcanisme hyperstatique.

Il est parfois plus complexe en termes de nombre de pices.

Un systme hyperstatique est linverse constitu de pices plus difficiles raliser du fait des contraintes dimensionnelles et gomtriques. Les calculs de

mcanique sont plus complexes, il faut faire intervenir la dformation des pices. Ilest, en revanche, souvent plus rigide et comporte gnralement moins de pices pour

une mme fonction.

On peut rgler les problmes de montage dus lhyperstaticit:

en donnant des jeux suffisants dans les liaisons quand cela est possible,

en prvoyant des dispositifs de rglage,

en faisant de lappairage,

en combinant les trois propositions prcdentes.

5. Calcul pratique du degr dhyperstatisme dunmcanisme

1 2

3

4

5

L1

L2

L3L4

L5

Si les liaisons sont parfaites, nci+nsi=6, do: Nc+Ns=6p

Dautre part, on dmontre que m=6(p-1)-rs .

On en dduit donc : h=Ns-6(p-1)+m et h=m+6-Nc .

6. Chane complexe

6.1. Dfi n i t io nOn appelle chane complexe une chane compose de plusieurs chanes fermes.


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6.2. Nombre cy clom atique

On appelle nombre cyclomatique dune chane complexe le nombre de chanes continues

fermes indpendantes. On le note .

Soit une chaine complexe comportant p pices et L liaisons. Le nombre cyclomatique est

gal =L-p+1 .

6.3. Mobil itet hy perst atisme

Le degr dhyperstaticit est donn par h=Ns-rs et le degr de mobilit par m=Nc-rc .

Le degr de mobilit est aussi gal m=6(p-1)-rs .

On obtient donc h=Ns+m-6(p-1) et h=m+6-Nc .

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