Cours Analyse3

Analyse 3

AMAL Youssef

2014-2015

AMAL Youssef Analyse 3 2014-2015 1 / 84

Programme du cours

1 Topologie dans Rn

2 Fonction de Plusieurs Variables

3 Calcul Differentiel

4 Calcul d’Integrales Multiples

5 Calcul d’Integrales Curvilignes

References :

Mathematiques 3, par E. AZOULAY

Mathematiques, par Francine Delmer

Site web : www.bibmath.net, exo7.emath.fr

Note du Module : CC 1 (40%) + CC 2 (40%) + autres (20%)(Participation orale et ecrite aux TDs).


Plan

1 Chapitre 1 : Topologie dans RnNormeParties Ouvertes, Parties FermeesInterieur, Adherence d’un ensembleInterieur, Adherence d’un ensembleInterieur, Adherence d’un ensemblePartie Compacte de RnSuites de RnSuites de RnSuites de Rn

2 Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs VariablesIntroductionNotion de limiteContinuiteCoordonnees Polaires

3 Chapitre 3 : Calcul DifferentielDerivees PartiellesFonctions differentiablesRegle de la ChaıneProprietes GeometriquesRecherche d’Extremum

4 Chapitre 4 : Integrales MultiplesRappel : Integrale SimpleIntegrale Double sur un rectangleIntegrale Double sur une region quelconqueRegion comprise entre deux courbes en xRegion comprise entre deux courbes en yApplications : Volume, Aire de Surface 2D et 3DIntegrale double en coordonnees polairesIntegrale triple sur une boite rectangulaireIntegrale triple sur un solide borne q.c.q.Solide compris entre deux surfaces donneesApplications : Volume, Masse, Centre de masseChangement de variables dans une integrale multipleIntegrale CurviligneChamps de gradient et independance de cheminTheoreme de Green-RiemannIntegrale de Surface


Chapitre 1 : Topologie dans Rn Norme

Definition 1.1

Soit E un K-espace vectoriel, ou K ∈ R,C . Une application N : E → R estappelee norme, notee encore par ‖ . ‖, s.s.i. les trois proprietes sont verifiees :

N(x) = 0 =⇒ x = 0, pour x ∈ E.Soit α ∈ K, N(αx) = |α|N(x).∀(x, y) ∈ E2, N(x+ y) ≤ N(x) +N(y).

Un espace vectoriel muni d’une norme est appele espace vectoriel norme .

Exemple :

1 Soit N une norme definie sur l’e.v. E. Montrer que N(x) ≥ 0 pour toutx ∈ E.

2 Montrer que les applications suivantes N1, N2, N∞ definies sur l’espacevectoriel reel Rn par :

N1(x1, ..., xn) =∑n

i=1 |xi|, N2(x1, ..., xn) =√∑n

i=1 x2i ,

N∞(x1, ..., xn) = max|xi| | 1 ≤ i ≤ n sont des normes.


Chapitre 1 : Topologie dans Rn Norme

Definition 1.2

Soit E un K-espace vectoriel. Deux normes N1 et N2 sur E sont ditesequivalentes s.s.i. ∃c, C > 0 telle que∀x ∈ E, cN1(x) ≤ N2(x) ≤ CN1(x).

Exemple :

Les normes N1, N2 et N∞ definies sur l’espace vectoriel reel Rnsont equivalentes,(N∞ ≤ N2 ≤ N1 ≤ nN∞ a verifier ) .

Les normes N1, N2 et N∞ definies sur l’espace R[X] despolynomes a coefficients reels et a degre quelconque par :

N1(P ) =∑

i∈N |ai|, N2(P ) =√∑

i∈N a2i , N∞(x1, ..., xn) = sup

i∈N|ai|

avec P =∑n

i=0 aiXi et n ∈ N ,

ne sont pas equivalentes (Ind : considerer la famille de polynomes(Pn)n∈N∗ definies par : Pn =

∑n−1i=0 X

i.


Chapitre 1 : Topologie dans Rn Parties Ouvertes, Parties Fermees

Definition 1.3

Soit (E,N) un espace vectoriel norme, a ∈ E et r ∈]0,+∞[.

La boule ouverte de centre a et de rayon r est :B(a, r) = x ∈ E|N(x− a) < r.La boule fermee de centre a et de rayon r est :BF (a, r) = x ∈ E|N(x− a) ≤ r

Exemple :

1 Dans l’e.v. (R, |.|), on a : B(a, r) =]a− r, a+ r[ etBF (a, r) = [a− r, a+ r].2 Dans R2, on a : B1(O, 1) ⊂ B2(O, 1) ⊂ B∞(O, 1)



Definition 1.3

Soit (E,N) un espace vectoriel norme, a ∈ E et r ∈]0,+∞[.

La boule ouverte de centre a et de rayon r est :B(a, r) = x ∈ E|N(x− a) < r.La boule fermee de centre a et de rayon r est :BF (a, r) = x ∈ E|N(x− a) ≤ r

Exemple :

1 Dans l’e.v. (R, |.|), on a : B(a, r) =]a− r, a+ r[ etBF (a, r) = [a− r, a+ r].2 Dans R2, on a : B1(O, 1) ⊂ B2(O, 1) ⊂ B∞(O, 1)



Definition 1.4

Un ensemble A d’un e.v.n E est appele ouvert si, ∀a ∈ A, ∃r > 0 tqB(a, r) ⊂ A. L’ensemble des ouverts de E est note par O.

Exemple :1 Dans l’e.v.n E, ∅ et E sont des ouverts de E.2 Soit a, b deux reels tels que a < b. L’intervalle ]a, b[ est un ouvert

dans R.3 Dans l’e.v.n E, une boule ouverte est un ouvert.

Definition 1.5

Un ensemble A d’un e.v.n E est appele ferme si son complementaireAc est ouvert. L’ensemble des fermes de E est note par F .

Exemple :1 Dans l’e.v.n E, ∅ et E sont des fermes de E.2 Soit a, b deux reels tels que a < b. L’intervalle [a, b] est un ferme

dans R.3 Dans l’e.v.n E, une boule fermee est un ferme.



Theoreme 1.6

Deux normes equivalentes sur un e.v.n E definies memes partiesouvertes de E.

Theoreme 1.7

Toutes les normes definies sur un espace vectoriel de dimension finiesont equivalente.

Exemple :

1 les normes de l’e.v Rn sont equivalentes.

2 Les normes de l’e.v R[X] ne sont pas forcement equivalentes.

Remarque :Si A est un ouvert pour une norme N1 de Rn alors A est aussi ouvertpour tout autre norme N2 definie sur Rn.



Propriete 1.8

Soit (E,N) un espace vectoriel norme.

1 ∅ et E sont a la fois des ouverts et des fermes de E.

2 Si ∀i ∈ I, Ai ∈ O Alors⋃i∈I

Ai ∈ O.

3 Si ∀i ∈ 1, ..., n, Ai ∈ O Alorsn⋂i=1

Ai ∈ O.

4 Si ∀i ∈ I, Bi ∈ F Alors⋂i∈I

Bi ∈ F .

5 Si ∀i ∈ 1, ..., n, Bi ∈ F Alorsn⋃i=1

Bi ∈ F .

Exemple :Soit la famille des ouverts (An)n∈N∗ avec An =]− 1/n, 1/n[. Verifierque

⋂n∈N∗

An /∈ O.


Chapitre 1 : Topologie dans Rn Interieur, Adherence d’un ensemble

Definition 1.9

Soit (E, ‖ . ‖), un espace vectoriel norme, et a ∈ E. On dit que V estun voisinage de a s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V . L’ensembledes voisinages de a est note par V(a).

Exemple :

1 [0, 1] est un voisinage de 1/2.

2 BF (O, 1) ∈ V((−1/2, 0)), par contre BF (O, 1) /∈ V((0, 1)).

3 toute partie ouverte est voisinage de chacun de ses points

Definition 1.10

Soit (E, ‖ . ‖), un espace vectoriel norme, A un ensemble de E eta ∈ E. On dit que a est interieur a A ssi A est voisinage de a :∃r > 0 tel que B(a, r) ⊂ A. L’ensemble des points interieurs a A estappele l’interieur de A est note par A.

Exemple : ˚[0, 1[ =]0, 1[.AMAL Youssef Analyse 3 2014-2015 10 / 84


Propriete 1.11

Soit A, un sous-ensemble d’un espace vectoriel norme E.

1 A est un ouvert.

2 A est le plus grand ouvert inclus dans A.

3 A est ouvert si et seulement si A = A.

Definition 1.12

Soit (E, ‖ . ‖), un espace vectoriel norme, A un sous ensemble de E eta ∈ E. On dit que a est adherent a A ssi ∀r > 0 tel queB(a, r) ∩A 6= ∅. L’adherence de A, notee A, est l’ensemble desadherents de A.

Exemple :[0, 1[ = [0, 1].



Propriete 1.13

Soit A, un sous-ensemble d’un espace vectoriel norme E.

1 A est un ferme.

2 A est le plus petit ferme contenant A.

3 A est ferme si et seulement si A = A.

Exercice : Soit (E, ‖ . ‖), un espace vectoriel norme, et a ∈ E. Soitr > 0. Alors :

1 B(a, r) = BF (a, r).

2 ˚BF (a, r) = B(a, r).

Definition 1.14

Soit (E, ‖ . ‖), un espace vectoriel norme, A un sous ensemble de E.On appelle frontiere de A et on note Fr(A), l’ensemble A \ A.

Exemple : Fr([0, 1[) = 0, 1.AMAL Youssef Analyse 3 2014-2015 12 / 84

Chapitre 1 : Topologie dans Rn Partie Compacte de Rn

Definition 1.15

Une partie A de Rn est une partie bornee de Rn si : ∃r > 0, ∀x ∈ Aon a ‖ x ‖≤ r.

Exemple : Toute boule est bornee dans Rn.

Definition 1.16

On dit qu’une partie A de Rn est compacte de Rn si A est a la foisfermee et bornee.

Exemple : [0, 1]× [−2, 0] est un compacte de R2.


Chapitre 1 : Topologie dans Rn Suites de Rn

Definition 1.17

On appelle suite a valeurs dans Rn toute application de p0, p0 + 1, ... dansRn, une telle suite est dite definie a partir du rang p0. On la note (Up)p≥p0 . Levecteur Up = (U1,p, ..., Un,p) ∈ Rn est appele terme generale de la suite.

Definition 1.18

Une suite (Up)p∈N dans Rn a pour limite le vecteur l ∈ Rn si :∀ ε > 0 ∃N ∈ N tel que ‖ Up − l ‖< εet on ecrit lim

p→+∞Up = l.

Exercice :Soit N1 et N2 deux normes definies sur Rn et soit (Up)p une suite dans Rn etl ∈ Rn tels que lim

p→+∞N1(Up − l) = 0. Montrer qu’on a aussi :

limp→+∞

N2(Up − l) = 0.

Exemple :

1 La suite de terme generale Up = (1/p, 0) converge vers l =? dans R2.2 La suite de terme generale Up = (0, p) definie dans R2 ...? .



Propriete 1.19

Soient (Up)p, (Vp)p deux suites de Rn, (l, l′) ∈ Rn × Rn et α ∈ R.

1 Si limp→+∞

Up = l alors l est unique.

2 Si limp→+∞

Up = l alors pour toute suite extraite (Uφ(p))p de (Up)p ( φ est une

application strictement croissante de N dans N ) on a limp→+∞

Uφ(p) = l.

3 Si limp→+∞

Up = l et limp→+∞

Vp = l′ alors

limp→+∞

Up + Vp = limp→+∞

Up + limp→+∞

Vp = l + l′.

4 Si limp→+∞

Up = l alors limp→+∞

αUp = αl.

5 Si limp→+∞

Up = l alors limp→+∞

‖ Up ‖=‖ l ‖.6 Si lim

p→+∞Up = l avec Up = (U1,p, ..., Un,p) et l = (l1, ..., ln) alors lim

p→+∞Ui,p = li

∀i = 1, ..., n.

Exemple :Calculer les limites suivantes :

1 limn→+∞

(cos(1/n), arctan(n)).

2 limn→+∞

(log(n)/n, sin(n)/n, n2 exp(−n)

).



Proposition 1.20

Une partie A de Rn est fermee s.s.i. ∀(Up)p ⊂ A telle que limp→+∞

Up = l alors l ∈ A.

Exercice :Montrer que A = (x, y) ∈ R2| x2 + y2 > 1 n’est pas une partie fermee de R2.

Theoreme 1.21 (Bolzano-Weierstrass)

Une partie A de Rn est compacte s.s.i. pour toute suite (Up)p a valeurs dans A, onpeut en extraire une sous-suite (Uφ(p))p qui converge vers une limite l ∈ A.

Exercice :Soit K une partie compacte de R2 et soit X une partie fermee de R2 telles queK ∩X = ∅. Montrer que la distance entre K et X est non nulle :il existe δ > 0 tel que ‖ k − x ‖≥ δ pour tout (k, x) ∈ K ×X.


Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Introduction

Definition 2.1

Une fonction reelle, dite aussi fonction scalaire, de p variables reellesest une application d’une partie D de Rp a valeurs dans R, notee par :

f : D ⊂ Rp −→ R(x1, ..., xp) 7→ z = f(x1, ..., xp)

ou D est l’ensemble de definition de f , constitue de tout vecteur deRp dont l’image par f existe dans R.

Exemple :La fonction

f : R2 −→ R(x, y) 7→ f(x, y) =

√1− x2 − y2

est definie pour les valeurs de x et y telles que

x2 + y2 ≤ 1. Dans unrepere orthonorme, Df = BF (O, 1).



Definition 2.1

Une fonction reelle, dite aussi fonction scalaire, de p variables reellesest une application d’une partie D de Rp a valeurs dans R, notee par :

f : D ⊂ Rp −→ R(x1, ..., xp) 7→ z = f(x1, ..., xp)

ou D est l’ensemble de definition de f , constitue de tout vecteur deRp dont l’image par f existe dans R.

Exemple :La fonction

f : R2 −→ R(x, y) 7→ f(x, y) =

√1− x2 − y2

est definie pour les valeurs de x et y telles que x2 + y2 ≤ 1. Dans unrepere orthonorme, Df = BF (O, 1).



Representation graphique :Soit z = f(x, y) une fonction de deux variables. Soit Oxyz un repereorthonorme de R3. Quand le point m(x, y) decrit dans le plan xOy ledomaine de definition de la fonction f , le point M de coordonnees(x, y, z) = (x, y, f(x, y)) decrit une surface S. On dit que S a pourequation z = f(x, y).



Definition 2.2

Une fonction vectorielle de p variables reelles est une applicationd’une partie D ⊂ Rp a valeurs dans Rq, note par :

f : D ⊂ Rp −→ Rq(x1, ..., xp) 7→ (f1(x1, ..., xp), ..., fq(x1, ..., xp))

ou D est l’ensemble de definition de f , constitue de tout vecteur deRp dont l’image par f existe dans Rq. A remarquer queDf = ∩qi=1Dfi . Les fi sont appelees fonctions coordonnees de f .

Exemple :Determiner le domaine de definition de la fonction vectoriellesuivante :

f : R2 −→ R3

(x, y) 7→ f(x, y) = (√

1− x2 − y2, xy,1

x− y)



Definition 2.3

Soit f : D ⊂ Rp −→ Rq. Soit V0 = (x10, ..., x

p0) ∈ D . Pour i = 1, ..., p,

on appelle i-eme fonction partielle de f en V0 la fonction :

fV0,i : Di ⊂ R −→ Rqx 7→ f(x1

0, ..., xi−10 , x, xi+1

0 , ..., xp0)

Exemple :Donner les expressions de la 1-ere et de la 2-eme fonction partielle enV = (1/2, 0) de la fonction vectorielle f de l’exemple precedent.


Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Notion de limite

Definition 2.4

Soit f une fonction de D ⊂ Rn dans Rp et l ∈ Rp. Soit a ∈ D. On ditque lim

x→af(x) = l si ∀ε > 0 ∃α > 0 tels que ∀x ∈ D et 0 <‖ x− a ‖≤ α

impliquent ‖ f(x)− l ‖≤ ε.

Remarque :

1 La notion de limite ne depend pas des normes utilisees.

2 La limite si elle existe est unique.

Proposition 2.5

Soit f une fonction de D ⊂ Rn dans Rp et l ∈ Rp. Soit a ∈ D. Alorslimx→a

f(x) = l ssi ∀(xn)n ⊂ D \ a tel que limn→+∞

xn = a implique

limn→+∞

f(xn) = l



Exemple :On considere la fonction suivante :

f : R2 \ (0, 0) → R(x, y) 7→ xy

x2 + y2

Etudier la limite de f en (0, 0) ?

Propriete 2.6

Soient f et g deux fonctions sur D ⊂ Rp a valeurs dans Rq telles quelimx→a

f(x) = l1 et limx→a

g(x) = l2, alors

1 Pour tout (α, β) ∈ R2 on a limx→a

αf(x) + βg(x) = αl1 + βl2.

2 limx→a

< f(x), g(x) >=< l1, l2 >.

3 Dans le cas ou q = 1, si l1 6= 0 alors limx→a

f(x)/g(x) = l1/l2.

Exemple :

Calculer lim(x,y)→(0,0)

(1 + x2y2) sin(y)

y.



Proposition 2.7

Soient a ∈ R, b = (b1, ..., bn) ∈ Rn et f : D ⊂ Rn → R une fonctiontelle que lim

x→bf(x) = l. Soient g1, ..., gn : R→ R n fonctions reelles

telles que limt→a

gi(t) = bi pour tout i = 1, ..., n. Supposons de plus qu’il

existe α > 0 tel que pour tout t avec 0 < |t− a| < α on a(g1(t), ..., gn(t)) 6= (b1, ..., bn). Alors :limt→a

f(g1(t), ..., gn(t)) = l.

Exemple :Calculer lim

(x,y)→(0,0)(x+ y) ln(x+ y).



Theoreme 2.8

Theoreme des Gendarmes Soit a ∈ Rp et soient f , g et h troisfonctions definies sur D ⊂ Rp a valeurs dans R verifiant les deuxproprietes suivantes :

1 limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = l

2 Il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ D, 0 <‖ x− a ‖< α on af(x) ≤ h(x) ≤ g(x). Alorslimx→a

h(x) = l.

Exemple :

Calculer lim(x,y)→(0,0)

x2 sin(1

x2 + y2).


Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Continuite

Definition 2.9

Une fonction f : D ⊂ Rp → Rq est continue en a ∈ D ssilimx→a

f(x) = f(a).

On dit que f est continue sur D si elle est continue en tout point deD.

Definition 2.10

Une fonction f : D ⊂ Rp → Rq est continue en a ∈ D ssi pour toutesuite (xn)n ⊂ D telle que lim

n→+∞xn = a, on a lim

x→af(xn) = f(a).



Proposition 2.11

Soit f : D ⊂ Rp → Rq une fonction continue au point a = (a1, ..., ap)alors les p fonctions partielles fa,i de f sont continues en ai pour touti = 1, ..., p.

Exemple : Soit f(x, y) =xy

x2 + y2, ∀(x, y) 6= (0, 0) et f(0, 0) = 0.

1 Etudier la continuite des fonctions partielles fx et fy de lafonction f au point (0, 0).

2 Que peut dire de la continuite de la fonction f au point (0, 0).



Propriete 2.12

Soient f et g deux fonctions definies sur D ⊂ Rp a valeurs dans Rq etcontinues en a, alors :

1 Pour tout (α, β) ∈ R2, la fonction αf + βg est continue en a.

2 de meme < f, g > et ‖ f ‖ sont continues en a.

3 Dans le cas ou q = 1, si g 6= 0 au voisinage de a alors la fonctionf/g est continue en a.

4 la composee de fonctions continues est continue.

Exemples : les fonctions suivantes sont continues :

1 pi : Rp → R avec pi(x1, ..., xp) = xi.

2 f : Rp → R avec f(x1, ..., xp) = axi11 xi22 ...x

ipp , a ∈ R et

i1, ..., ip ∈ N.

3 les fonctions polynomes definis sur Rp.4 les applications lineaires definies sur Rp dans Rq.



Definition 2.13

Soit f : D ⊂ Rp → Rq. Soit a ∈ D \D. Si f a une limite l lorsque xtend vers a, on peut etendre le domaine de definition de f a E ∪ aen posant f(a) = l. Et on dit que f est prolongeable par continuite aupoint a.

Theoreme 2.14

Soit f une fonction continue sur D ⊂ Rp a valeurs dans F ⊂ Rq. Lesproprietes suivantes sont equivalentes :

1 f est continue en tout point de D,

2 pour tout ouvert U de F , f−1(U) = x ∈ D | f(x) ∈ U est unouvert de D.

3 pour tout ferme V de F , f−1(V ) est un ferme de D.

Exemple : Montrer que l’ensembleA = (x, y) ∈ R2 | y2 = x(1− 2x) est ferme de R2.



Theoreme 2.15

Soit f une fonction continue sur D ⊂ Rp a valeurs dans Rq. Soit Aun compact de Rp tel que A ⊂ D. Alors f(A) est un compact de Rq.

Corollaire 2.16

Soit A un compact de Rp. Soit f une fonction continue sur A ⊂ Rp avaleurs dans R. Alors f est bornee et atteint ses bornes sur A.

Exercice : Toutes les normes definies sur tout espace vectoriel Rn,avec n ≤ 1, sont equivalentes.


Chapitre 2 : Fonctions de Plusieurs Variables Coordonnees Polaires

Definition 2.17

Chaque point P (x, y) du plan R2 peut etre determinee par les coordonnees polaires qui sont

la coordonnee radiale r =‖−−→OP ‖ et la coordonne angulaire θ, suivant l’application suivante :

R∗+ × [0, 2π[→ R2 \ (0, 0)(r, θ) 7→ (x, y) = (r cos(θ)), r sin(θ))).

dont l’application reciproque est l’application suivante :

[0, 2π[×R∗+ → R2 \ (0, 0)(x, y) 7→ (r, θ),

ou r =√x2 + y2 et θ est defini comme suit :

θ =

arctan(y/x) si x > 0 et y ≥ 0,arctan(y/x) + 2π si x > 0 et y < 0,arctan(y/x) + π si x < 0,π/2 si x = 0 et y > 0,3π/2 si x = 0 et y < 0.

Exemples d’application : Calculer les limites suivantes : lim(x,y)→(0,0)

x3

x2 + y2,

lim(x,y)→(0,0)

x2 − y2

x2 + y2et lim

(x,y)→(0,0)

x2 + y2

x.


Chapitre 3 : Calcul Differentiel Derivees Partielles

Definition 3.1

Soit f : D ∈ ORn → R. On dit que f admet en a = (a1, ..., ai, .., ap)une i-eme derivee partielle si la i-eme application partielle associee a f

au point a est derivable en ai, on note cette derivee par∂f

∂xi(a), et on

ecrit :∂f

∂xi(a) = lim

h→0

fa,i(ai + h)− fa,i(ai)h

Exemple : Soit f : R2 → R telle que f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2si

(x, y) 6= (0, 0) et f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).

Calculer∂f

∂x(x, y) et

∂f

∂y(x, y) pour tout (x, y) ∈ R2.



Definition 3.2

Soit f : D ∈ ORn → R. On dit que f est de classe C1 sur D si f admet

en tout point x ∈ D, n derivees partielles∂f

∂x1, ...,

∂f

∂xncontinues sur

D. L’ensemble des fonctions de classe C1 sur D est note : C1(D,R).f est dite de Ck(D,R), avec k ∈ N∗, si f est de Ck−1(D,R) etadmettent des derivees partielles d’ordre k sur D, notees par :

∂kf

∂α1x1...∂αnxnavec α1, ..., αp ∈ N tels que

∑pi=1 αi = k, et qui sont

continues pour tout αi.

Exemple : Soit f : R2 → R telle que f(x, y) =xy

x2 + y2si

(x, y) 6= (0, 0) et f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).

1 Montrer que f admet des derivees partielles en (0, 0).

2 f est-elle continue en (0, 0).



Theoreme 3.3 (Schwarz)

Soit f ∈ C1(D,R), avec D ∈ ORn, admettant des derivees partiellessecondes sur D et i, j ∈ 1, ..., n.

1 Si∂2f

∂xi∂xjet

∂2f

∂xj∂xisont continues en a ∈ D alors :

∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a)

2 Si f ∈ C2(D,R) alors on a sur D :∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi

Exemple : Soit f : R2 → R telle que f(x, y) =xy(x2 − y2)

x2 + y2si

(x, y) 6= (0, 0) et f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).

1 Calculer∂2f

∂x∂y(0, 0) et

∂2f

∂y∂x(0, 0).

2 Que peut-on deduire ?


Chapitre 3 : Calcul Differentiel Fonctions differentiables

Definition 3.4

Soit f : D ∈ ORp → Rq. On dit que f est differentiable en un point a ∈ D s’il existe uneapplication lineaire l ∈ L(Rp,Rq) telle que lim

h→0p(f(a+ h)− f(a)− l(h)) / ‖ h ‖= 0

Remarque :limh→0p

(f(a+ h)− f(a)− l(h)) / ‖ h ‖= 0 ⇐⇒ ∃ε : h ∈ V(0p)→ Rq telle que

limh→0p

ε(h) = 0q et f(a+ h) = f(a) + l(h)+ ‖ h ‖ ε(h).

Theoreme 3.5

Soit f : D ∈ V(a)→ Rq. Si f est differentiable en a alors l’application lineaire lverifiant F : f(a+ h) = f(a) + l(h)+ ‖ h ‖ ε(h) avec lim

h→0pε(h) = 0q,

est unique.

Definition 3.6

Si f est differentiable en a, l’application lineaire unique l verifiant la relation (F) estappelee la differentielle de f en a et notee par dfa. Si f est differentiable en toutpoint de D. On dit qu’elle est differentiable sur D.

Exemple : Soit f : R2 → R avec f(x, y) = xy.Montrer que la fonctions f est differentiable sur R2 et donner sa differentielle.



Definition 3.4


h→0p(f(a+ h)− f(a)− l(h)) / ‖ h ‖= 0

Remarque :limh→0p


limh→0p


Theoreme 3.5


h→0pε(h) = 0q,

est unique.

Definition 3.6





Definition 3.4


h→0p(f(a+ h)− f(a)− l(h)) / ‖ h ‖= 0

Remarque :limh→0p


limh→0p


Theoreme 3.5


h→0pε(h) = 0q,

est unique.

Definition 3.6





Theoreme 3.7

Soient f et g deux fonctions differentiables en a ∈ D. Alors :

1 f est continue en a.

2 f + g est differentiable en a et d(f + g)a = dfa + dga.

3 αf est differentiable en a et d(αf)a = αdfa.

Theoreme 3.8

Soient a ∈ Rn et f : D ⊂ V(a)→ R differentiable en a. Alors f admet

n derivees partielles en a telles qu’on a : dfa(h) =∑n

i=1

∂f

∂xi(a).hi.

Remarque : La reciproque est fausse, par exemple : On considere la

fonction f definie par f(x, y) =x3 − y3

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0) et

f(x, y) = 0 si (x, y) = (0, 0).



Theoreme 3.9

Soient a ∈ Rn et f : D ⊂ V(a)→ R. Si f admet n derivees partiellescontinues en a alors f est differentiable en a et on a :

dfa(h) =∑n

i=1

∂f

∂xi(a).hi.

Exemple : Calculer la differentielle a l’origine de la fonction f definie par :f(x, y) =

√1 + x2 + y2.

Theoreme 3.10

Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a)→ Rq telle que f = (f1, ..., fq). Alors f estdifferentiable en a s.s.i. fi est differentiable en a pour tout i = 1, ..., q, Dans

ce cas on ecrit : dfa(h) = (d(f1)a(h), ..., d(fq)a(h)) =

∑p

i=1

∂f1

∂xi(a).hi

...∑pi=1

∂fq∂xi

(a).hi

.

Exemple : Soit f : R2 → R2 avec f(x, y) = (x+ y, xy).Montrer que la fonctions f est differentiable sur R2 et donner sa differentielle.



Definition 3.11

Soient a ∈ Rp et f : D ⊂ V(a)→ Rq telle que f = (f1, ..., fq). On appelle Matrice Jacobienne def en a, la matrice notee Jf (a) definie par :

Jf (a) =

∂f1

∂x1(a) . . .

∂f1

∂xp(a)

......

...∂fq∂x1

(a) . . .∂fq∂xp

(a)

On ecrit ainsi : dfa(h) = Jf (a).h pour tout h ∈ Rp.

Proposition 3.12

Soient a ∈ Rp, f : Df ⊂ V(a)→ Rn differentiable en a et g : Dg ⊂ V(f(a))→ Rq differentiable enf(a), alors la composee g f est differentiable en a et

d(g f)a = dgf(a) dfa.

En termes de Jacobiennes, on ecrit :

Jgf (a) = Jg(f(a)).Jf (a).

Exemple (changement de variables) : Soit f une fonction definie sur R2 dans R telle que

f(x, y) = f(y, x) et qu’elle admette des derivees partielles sur R2. Montrer que∂f

∂y(x, y) =

∂f

∂x(y, x).


Chapitre 3 : Calcul Differentiel Regle de la Chaıne

Theoreme 3.13

Soient x = x(u) et y = y(u) deux fonctions derivables au point u et soit z = f(x, y) unefonction differentiable au point (x, y), Alors z = f(x(u), y(u)) admet des deriveespartielles de premier ordre au point u et on ecrit :dz

du=∂z

∂x

dx

du+∂z

∂y

dy

du.

Theoreme 3.14

Soient x = x(u, v) et y = y(u, v) deux fonctions admettant des derivees partielles depremier ordre au point (u, v) et soit z = f(x, y) une fonction differentiable au point(x, y), Alors z(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)) admet des derivees partielles de premier ordreau point (u, v) et on ecrit :∂z

∂u=∂z

∂x

∂x

∂u+∂z

∂y

∂y

∂uet∂z

∂v=∂z

∂x

∂x

∂v+∂z

∂y

∂y

∂v

Exercice :

1 On considere z =√xy + y, x = cos(θ) et y = sin(θ).

Calculerdz

dθen θ = π/2.

2 On considere z = exp (xy), x = 2u+ v et y = u/v.

Calculer∂z

∂uet∂z

∂vau point (1,−1).


Chapitre 3 : Calcul Differentiel Proprietes Geometriques

Definition 3.15 (Gradient)

Pour une fonction a valeurs scalaires f : D ⊂ Rp → R dont les deriveespartielles existent, son gradient, note grad(f) ou ∇f , est defini par :

grad(f) : D ⊂ Rp → Rp

x 7→(∂f

∂x1(x), ...,

∂f

∂xp(x)

)



Definition 3.16 (Courbe de niveau)

Soit f une fonction de D ⊂ R2 a valeurs reelles. On appelle courbe deniveau de hauteur k l’ensemble : Lk(f) = (x, y)|f(x, y) = k.

Remarque : Soit (x, y) ∈ D. Si f(x, y) = k alors (x, y) ∈ Lk(f).

Exercice : Dessiner l’allure des courbes de niveau de la fonctionf(x, y) = 4x2 + y2 aux hauteurs k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.



Theoreme 3.17

Soit P0(x0, y0, z0) un point de la surface z = f(x, y). Si f est unefonction differentiable au point (x0, y0) alors la surface admet un plantangent au point P0 dont l’equation est la suivante :∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0)− (z − z0) = 0.



Proposition 3.18

Soit f une fonction de D ⊂ R2 a valeurs reelles. Soit (x, y) ∈ D tel que f(x, y) = k. Levecteur gradient ∇f(x, y) est normal a la courbe Lk(f) au point (x, y).

Proposition 3.19

Soit f : D ⊂ R2 → R une fonction de classe C1 sur D. L’equation du droite tangente ala courbe de niveau Lk(f) correspondant a f(x, y) = k, k ∈ R en un point P0(x0, y0) deLk(f), tel que le gradient de f en ce point soit non nul est donne par :∂f

∂x(x0, y0)(x− x0) +

∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) = 0.



Definition 3.20 (Derivee Directionnelle)

Soit f : D ⊂ Rp → R, a ∈ D et u ∈ Rp un vecteur unite. On dit que f a une derivee directionnelle,

notee par Duf(a), au point a suivant la direction u si l’expression : lims→0

f(a+ su)− f(a)

sexiste.

Proposition 3.21

Soit f : D ⊂ Rp → R differentiable en a ∈ D et u ∈ Rp. Alors Duf(a) = ∇f(a).u = dfa(u).

Remarques :

1 Si f est differentiable en a alors pour tout u ∈ Rp \ 0Rp , f admet une derivee en a suivant ladirection u.

2 L’existence de la derivee directionnelle de f en a suivant toutes les directions n’implique pas ladifferentiabilite de f en a.

Contre Exemple : Exercice



Definition 3.20 (Derivee Directionnelle)

Soit f : D ⊂ Rp → R, a ∈ D et u ∈ Rp un vecteur unite. On dit que f a une derivee directionnelle,

notee par Duf(a), au point a suivant la direction u si l’expression : lims→0

f(a+ su)− f(a)

sexiste.

Proposition 3.21

Soit f : D ⊂ Rp → R differentiable en a ∈ D et u ∈ Rp. Alors Duf(a) = ∇f(a).u = dfa(u).

Remarques :

1 Si f est differentiable en a alors pour tout u ∈ Rp \ 0Rp , f admet une derivee en a suivant ladirection u.

2 L’existence de la derivee directionnelle de f en a suivant toutes les directions n’implique pas ladifferentiabilite de f en a. Contre Exemple : Exercice


Chapitre 3 : Calcul Differentiel Recherche d’Extremum

Definition 3.22

Soit f , une fonction definie sur une partie D de Rn et a valeur dans R.

1 On dit que la fonction f admet un maximum relatif en un point x0 de D lorsqu’il existeun ouvert O ⊂ D telle que : f(x) ≤ f(x0), ∀x ∈ O \ x0.

2 On dit que la fonction f admet un minimum relatif en un point x0 de D lorsqu’il existeun ouvert O ⊂ D telle que : f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ O \ x0.

3 On dit que la fonction f admet un maximum absolu en un point x0 de D lorsque :∀x ∈ D, f(x) ≤ f(x0).

4 On dit que la fonction f admet un minimum absolu en un point x0 de D lorsque :∀x ∈ D, f(x) ≥ f(x0).

Exemple : On definit la fonction f sur R2 par : f(x, y) = x2 + 4xy + 4y2. Determiner leminimum absolu de f sur R2.



Definition 3.23

Soit n ∈ N∗, Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R. Soit a ∈ Ω. Onsuppose que f soit differentiable en a. On dit que a est un point critique de f si∇f(a) = 0.

Proposition 3.24

Soit n ∈ N∗, Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R. Soit a ∈ Ω. Onsuppose que f admet un point critique en a. Alors, si f est differentiable en a, ona ∇f(a) = 0.

Exemple : On considere la fonction f : R2 → R definie par la relation :f(x, y) = x2 + y4.

Definition 3.25

Soit n ∈ N∗, Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R, de classe C2.Soit a ∈ Ω. On appelle matrice hessienne de f en a la matrice a n lignes et n

colonnes dont le terme a la i-ieme ligne et j-ieme colonne est∂2f

∂xi∂xj(a). On note

Hf (a) cette matrice.

Remarque : La matrice hessienne est toujours symetrique.



Proposition 3.26

Soit n ∈ N∗, Ω un ouvert de Rn et f une application de Ω dans R, de classe C2. Soit a ∈ Ω.

1 (Condition necessaire) On suppose que f atteint un minimum local (respectivement,maximum local) en a. On a alors ∇f(a) = 0 et Hf (a) est semi-definie positive, c.a.d.< Hf (a)h, h >≥ 0 pour tout h ∈ Rn (respectivement, Hf (a) est semi-definie negative,c.a.d. < Hf (a)h, h >≤ 0 pour tout h ∈ Rn).

2 (Condition suffisante) On suppose que ∇f(a) = 0 et que Hf (a) est definie positive, c.a.d.< Hf (a)h, h > > 0 pour tout h ∈ Rn, h 6= 0 (respectivement, Hf (a) est definie negative,c.a.d. < Hf (a)h, h > < 0 pour tout h ∈ Rn, h 6= 0). Alors, f atteint un minimum localen a.

Theoreme 3.27

Soit f une fonction de classe C2 dans un voisinage de a. Hf (a) est alors une matricesymetrique reelle dont les valeurs propres, necessairement reelles, sont ordonnees commesuit : λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn. On alors :

1 Si λi > 0 pour tout i ∈ 1, ..., n, f admet un minimum relatif en a.2 Si λi < 0 pour tout i ∈ 1, ..., n, f admet un maximum relatif en a.3 Si λ1 < 0 et λn > 0, alors f n’admet pas d’extremum relatif en a (Dans R2, ce point est

appele point selle).4 S’il existe i ∈ 1, ..., n tel que λi = 0, on ne peut rien conclure.

Exemple : On considere la fonction f : R2 → R definie par la relation : f(x, y) = x2 + y4.




Chapitre 4 : Integrales Multiples Rappel : Integrale Simple

Definition 4.1

Pour toute fonction f definie sur l’intervalle [a, b], l’integrale simple de f sur [a, b] estdefinie par : ∫ b

a

f(x)dx = limsupn

i=1(∆xi)→0

n∑i=1

f(ci)∆xi (⇒ n→ +∞)

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du ci ∈ [xi−1, xi], pouri = 1, 2, ..., n. Dans ce cas, f est dite integrable sur [a, b].

Surface associee a l’integrale simple.Surface approchee sur un sous-intervalle

[xi−1, xi].


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale Double sur un rectangle

Definition 4.2

Pour toute fonction f(x, y) definie sur le rectangle R = (x, y)| a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, l’integrale double def sur R est definie par :∫ ∫

R

f(x, y) dA = limsupn

i=1(∆Ai)→0

n∑i=1

f(ui, vi)∆Ai (⇒ n→ +∞)

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi) ∈ Ri, pour i = 1, 2, ..., n. Dansce cas, f est dite integrable sur R. La somme

∑ni=1 f(ui, vi)∆Ai est appelee somme de Riemann.

Approximation du volume par des parallelepipedes.



Exemple 4.3

Calculer une valeur approchee au volume compris entre la surface z = x2 sin(πy6 ) et lerectangle R = (x, y)| 0 ≤ x ≤ 6 et 0 ≤ y ≤ 6. (la solution exacte du volume est864/π ' 275.02).

Partitionnement de la region R.

Nombre de carres : 4, 9, 36, 144.Volume Approximatif : 286.38, 280.00, 276.25, 275.33.



Exemple 4.3

Calculer une valeur approchee au volume compris entre la surface z = x2 sin(πy6 ) et lerectangle R = (x, y)| 0 ≤ x ≤ 6 et 0 ≤ y ≤ 6. (la solution exacte du volume est864/π ' 275.02).

Partitionnement de la region R.

Nombre de carres : 4, 9, 36, 144.Volume Approximatif : 286.38, 280.00, 276.25, 275.33.



Theoreme 4.4 (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction integrable sur le rectangle R = (x, y)| a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d. Alors l’integraledouble de f sur R peut etre exprimee comme suit :∫ ∫

R

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y) dydx =

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y) dxdy.

Tranchage du solide parallelement au plan yz et au plan xz : V =∫ baA(x)dx =

∫ dcA(y)dy ; avec

A(x) =∫ dcf(x, y) dy et A(y) =

∫ baf(x, y) dx.



Exemple 4.5

Soit R = (x, y)| 0 ≤ x ≤ 2 et 1 ≤ y ≤ 4. Calculer l’integrale∫ ∫R

6x2 + 4xy3 dA.

Exercice 4.6

Calculer la valeur exacte du volume compris entre la surface z = x2 sin(πy6 )et le rectangle R = (x, y)| 0 ≤ x ≤ 6 et 0 ≤ y ≤ 6.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale Double sur une region quelconque

Definition 4.7

Pour toute fonction f(x, y) definie sur une region bornee R ∈ R2, l’integrale double de f sur R est definie par :∫ ∫R

f(x, y) dA = limsupn

i=1(∆Ai)→0

n∑i=1

f(ui, vi)∆Ai

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi) ∈ Ri, pour i = 1, 2, ..., n. Dansce cas, f est dite integrable sur R.

Approximation du volume associe a un integrale double sur une region non rectangulaire.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Region comprise entre deux courbes en x

Theoreme 4.8

Soit f une fonction continue sur la region definie par R = (x, y)| a ≤ x ≤ b et g1(x) ≤ y ≤ g2(x), oug1(x) et g2(x) sont deux fonctions continues avec g1(x) ≤ g2(x) pour tout x ∈ [a, b]. Alors :∫ ∫

R

f(x, y) dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y) dydx.

Region comprise entre deux courbes. Volume par tranchage : A(x) =∫ g2(x)

g1(x)f(x, y) dy.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Region comprise entre deux courbes en x

Exemple 4.9

Soit R region delimitee par le graphes y = x, y = 0 et x = 4. Calculer l’integrale∫ ∫R

(4 exp(x2)− 5 sin(y)) dA.

La region R.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Region comprise entre deux courbes en y

Theoreme 4.10

Soit f une fonction continue sur la region definie par R = (x, y)| c ≤ y ≤ d et h1(y) ≤ x ≤ h2(y),ou h1(y) et h2(y) sont deux fonctions continues avec h1(y) ≤ h2(y) pour tout y ∈ [c, d]. Alors :∫ ∫

R

f(x, y) dA =

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y) dxdy.

Region comprise entre deux courbes.



Exemple 4.11

Calculer l’integrale∫ 1

0

∫ 1

yexp(x2) dxdy.

La region R.

Exercice 4.12

Soit R la region delimitee par les graphes : y =√x, x = 0 et y = 3. Calculer l’integrale :∫ ∫

R

2xy2 + 2y cos(x) dA.



Propriete 4.13

Soit f et g deux fonction integrable sur la region R ⊂ R2 et soit c une constante reelle. Alors :

1∫ ∫

Rcf(x, y) dA = c

∫ ∫Rf(x, y) dA

2∫ ∫

Rf(x, y) + g(x, y) dA =

∫ ∫Rf(x, y) dA+

∫ ∫Rg(x, y) dA

3 si R = R1 ∪R2 et R1 ∩R2 = ∅ alors∫ ∫Rf(x, y) dA =

∫ ∫R1

f(x, y) dA+∫ ∫

R2f(x, y) dA.

4 si f ≤ g sur R alors∫ ∫

Rf(x, y) dA ≤

∫ ∫Rg(x, y) dA.

5 |∫ ∫

Rf(x, y) dA| ≤

∫ ∫R|f(x, y)| dA.

R = R1 ∪R2.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Applications : Volume, Aire de Surface 2D et 3D

Volume

Exemple 4.14

Determiner le volume du tetraedre delimite par le plan d’equation 2x+ y + z = 2 et les trois plans durepere cartesien.

Tetraedre. La region R.



Aire de Surface 2D

Exemple 4.15

Determiner l’aire de la region delimitee par les graphes : x = y2, y − x = 3, y = −3 et y = 2.

La region R.



Aire de Surface 3D

Theoreme 4.16

Soit f une fonction de classe C1 definie sur une region R ∈ R2 dans le plan (xOy). Alors l’aire de la surfaceS de la partie de la surface z = f(x, y), dont la projection sur le plan (xOy) est la region R, est donne par :

S =

∫ ∫R

√(∂f

∂x(x, y))2 + (

∂f

∂x(x, y))2 + 1dA.

Aire de surface. Partie Ti du plan tangent correspondante a la regionRi.



Aire de Surface 3D

Exemple 4.17

Determiner l’aire de la surface de la partie de la surface z = y2 + 4x dont la projection sur le plan(xOy) est la region triangulaire R de sommets (0, 0), (0, 2) et (2, 2).

La region R.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale double en coordonnees polaires

Theoreme 4.18

Soit f(r, θ) une fonction continue sur la region R = (r, θ)| α ≤ θ ≤ β et g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ) ou0 ≤ g1(θ) ≤ g2(θ) pour toute θ ∈ [α, β]. Alors,∫ ∫

R

f(r, θ)dA =

∫ β

α

∫ g2(θ)

g1(θ)

f(r, θ)rdrdθ

Region polaire elementaire.



Exemple 4.19

Calculer l’integrale∫ ∫

Rsin(θ)dA ou R est la zone sombre dans la figure suivante :

La region R.



Theoreme 4.20

Soit f(r, θ) une fonction continue sur la region R = (r, θ)| h1(r) ≤ θ ≤ h2(r) et 0 ≤ a ≤ r ≤ b ouh1(r) ≤ h2(r) pour toute r ∈ [a, b]. Alors,∫ ∫

R

f(r, θ)dA =

∫ b

a

∫ h2(r)

h1(r)

f(r, θ)rdθdr

La region R.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale triple sur une boite rectangulaire

Definition 4.21

Pour toute fonction f(x, y, z) definie sur la boite rectangulaire Q = (x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d et r ≤ z ≤ s,l’integrale triple de f sur Q est definie par :∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV = limn

supi=1

(∆Vi)→0

n∑i=1

f(ui, vi, wi)∆Vi (⇒ n→ +∞)

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi, wi) ∈ Qi, pour i=1,2,...,n. Dans ce cas,f est dite integrable sur Q.

La region elementaire Qi.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale triple sur une boite rectangulaire

Theoreme 4.22 (Theoreme de Fubini)

Soit f une fonction integrable sur la boite rectangulaire Q = (x, y, z)| a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d et r ≤ z ≤ s. Alorsl’integrale triple de f sur R peut etre exprimee comme suit :∫ ∫ ∫

Q

f(x, y, z) dV =

∫ b

a

∫ d

c

∫ s

r

f(x, y, z) dzdydx =

∫ s

r

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y, z) dydxdz =

∫ d

c

∫ s

r

∫ b

a

f(x, y, z) dxdzdy.

Exemple 4.23

Calculer l’integrale triple suivante∫ ∫ ∫

Q 2xey sin(z) dV avec

Q = (x, y, z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 et 0 ≤ z ≤ π


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale triple sur un solide borne q.c.q.

Definition 4.24

Pour toute fonction f(x, y, z) definie sur un solide borne Q ∈ R3, l’integrale triple de f sur Q est definie par :∫ ∫ ∫Q

f(x, y, z) dV = limsupn

i=1(∆Vi)→0

n∑i=1

f(ui, vi, wi)∆Vi (⇒ n→ +∞)

a condition que la limite existe et qu’elle est independante du choix du (ui, vi, wi) ∈ Qi, pour i=1,2,...,n. Dans ce cas,f est dite integrable sur Q.

Partitionnement du solide Q dans 3D.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Solide compris entre deux surfaces donnees

Theoreme 4.25

Soit f une fonction continue sur le solide defini parQ = (x, y, z)|(x, y) ∈ Ret g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y), ou g1(x, y) et g2(x, y) sont deux fonctionscontinues avec g1(x, y) ≤ g2(x, y) pour tout (x, y) ∈ R. Alors :∫ ∫ ∫

R

f(x, y, z) dV =

∫ ∫R

∫ g2(x,y)

g1(x,y)

f(x, y, z) dzdA.

Solide compris entre deux surfaces donnees.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Applications : Volume, Masse, Centre de masse

Exemple 4.26

Calculer le volume du tetraedre Q delimite par les plans : x = 0, y = 0, z = 0 et 2x+y+ z = 4

Le tetraedre Q et sa projection R sur le plan (xOy).


Chapitre 4 : Integrales Multiples Applications : Volume, Masse, Centre de masse

Definition 4.27

Soit ρ(x, y, z) la masse volumique du solide Q au point (x, y, z). La masse du solide Q est donnee par :M =

∫ ∫ ∫Q ρ(x, y, z) dV

Le centre de masse G(xG, yG, zG) du solide Q est donne par :

xG =1

M

∫ ∫ ∫Q xρ(x, y, z) dV , yG =

1

M

∫ ∫ ∫Q yρ(x, y, z) dV et zG =

1

M

∫ ∫ ∫Q zρ(x, y, z) dV .

Exemple 4.28

Trouver le centre de masse du solide Q delimite par les graphes : le cone circulaire droit de surfacez =

√x2 + y2 et le plan z = 4. On suppose que la masse volumique ρ de Q est constante.

Le solide Q et sa base R sur le plan (xOy).


Chapitre 4 : Integrales Multiples Changement de variables dans une integrale multiple

Integrale double

Theoreme 4.29

Une transformation T du plan uOv vers le plan xOy est une fonction verifiant :T (u, v) = (x, y) ou x = g(u, v) et y = h(u, v) pour certaines fonctions g et h. On considere le changement devariables dans une integrale double definie par une transformation T de la region S dans le plan uOv vers laregion R dans le plan xOy : T (S) = R. T est supposee bijectif de S vers R au sens ou pour chaque point(x, y) dans R il existe un unique point (u, v) dans S tel que T (u, v) = (x, y). De plus h et g sont supposeesde classe C1. Si f est continue sur R et le Jacobien det(JT ) est non nul sur S alors :∫ ∫

Rf(x, y)dA =

∫ ∫Sf(g(u, v), h(u, v))|det(JT (u, v))|dudv

Transformation T de la region S vers la region R.



Integrale double

Exemple 4.30

Soit R une region comprise entre les droites d’equations : y = 2x+ 3, y = 2x+ 1, y = 5− x ety = 2− x. Calculer l’integrale

∫ ∫R(x2 + 2xy)dA.

Transformation T de la region S vers la region R.



Integrale triple

Exemple 4.31

Utiliser le theoreme du changement de variables pour etablir la formule de l’integrale tripledans les coordonnees spheriques.

Coordonnees spheriques.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale Curviligne

Definition 4.32

L’integrale curviligne de f(x, y, z) au longue d’une courbe C orientee dans l’espace xyz, notepar∫C f(x, y, z)dL, est definie par∫

Cf(x, y, z)dL = lim

supni=1(∆Li)→0

n∑i=1

f(x∗i , y∗i , z∗i )∆Li

a condition que la limite existe et qu’elle est la meme pour toute choix du point (x∗i , y∗i , z∗i ).

Interpretation geometrique de l’integrale curviligne.



Theoreme 4.33

Soit f(x, y) une fonction continue sur une region D contenant la courbe C et que C est decritparametriquement par (x(t), y(t)), pour t ∈ [a, b] ou x(t) et y(t) sont de classe C1. Alors :∫

Cf(x, y)dL =

∫ b

af(x(t), y(t))

√x′(t)2 + y′(t)2dt

De la meme maniere on peut definir l’integrale∫C f(x, y, z)dL.

Exemple 4.34

Trouver la masse du ressort de forme curviligne parametree par : x(t) = 2 cos(t), y(t) = t,z = 2 sin(t), pour t ∈ [0, 6π], avec une densite ρ(x, y, z) = 2y.

Exemple 4.35

Calculer l’integrale curviligne∫C 2x2ydL, ou C est la partie du parabole y = x2 de (−1, 1) au

(2, 4).



Theoreme 4.36

On suppose que f(x, y, z) est continue sur une region Q contenant une courbe orientee C.Alors si C est de classe C1 avec C = C1 ∪ ... ∪ Cn, ou C1,...,Cn sont de classe C1 et ou lepoint final du Ci est le meme point initial du Ci+1, pour i = 1, ..., n− 1, Alors :

1∫C f(x, y, z)dL =

∫−C f(x, y, z)dL.

2∫C f(x, y, z)dL =

∫C1f(x, y, z)dL+

∫C2f(x, y, z)dL+ ...+

∫Cnf(x, y, z)dL.

Exemple 4.37

Calculer l’integrale curviligne∫C 3x− ydL ou C est le segment entre (1, 2) et (3, 3) suivie par

la partie du cercle x2 + y2 = 18 definie entre le point (3, 3) et le point (3,−3) orientee au sensdes aiguilles du montre.

Le chemin C.



Theoreme 4.38

On suppose que f(x, y, z) soit continue sur une region D contenant la courbe C et que C est decritparametriquement par (x(t), y(t), z(t)), pour t ∈ [a, b] ou x(t), y(t) et z(t) sont de classe C1. Alors :

1∫C f(x, y, z)dx =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))x′(t)dt

2∫C f(x, y, z)dy =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))y′(t)dt

3∫C f(x, y, z)dz =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))z′(t)dt

Exemple 4.39

Calculer l’integrale curviligne∫C 4xdy + 2ydz ou C est compose du segment du (0, 1, 0) au (0, 1, 1)

suivie par le segment du (0, 1, 1) au (2, 1, 1) et suivie par le segment du (2, 1, 1) au (2, 4, 1).

Le chemin C.



Theoreme 4.38

On suppose que f(x, y, z) soit continue sur une region D contenant la courbe C et que C est decritparametriquement par (x(t), y(t), z(t)), pour t ∈ [a, b] ou x(t), y(t) et z(t) sont de classe C1. Alors :

1∫C f(x, y, z)dx =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))x′(t)dt

2∫C f(x, y, z)dy =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))y′(t)dt

3∫C f(x, y, z)dz =

∫ ba f(x(t), y(t), z(t))z′(t)dt

Exemple 4.39

Calculer l’integrale curviligne∫C 4xdy + 2ydz ou C est compose du segment du (0, 1, 0) au (0, 1, 1)

suivie par le segment du (0, 1, 1) au (2, 1, 1) et suivie par le segment du (2, 1, 1) au (2, 4, 1).

Le chemin C.



Definition 4.40

Un champ de vecteurs sur D ⊂ Rp est une application qui a tout point M de D associe un vecteur−→F (M)

de Rp. Soit −→i ,−→j ,−→k un repere orthonorme de R2, alors un champ de vecteurs

−→F (x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2

est donne par 2 fonctions P et Q sur D a valeurs reelles :

−→F (x, y) = P (x, y)

−→i +Q(x, y)

−→j

On dit que le champ de vecteurs−→F est de classe Cp sur D si P et Q sont de classe Cp.

Exemple 4.41

Dessiner le champs de vecteurs defini par F (x, y) = (y,−x).

Champ de vecteurs F (x, y) = (y,−x).



Definition 4.40

Un champ de vecteurs sur D ⊂ Rp est une application qui a tout point M de D associe un vecteur−→F (M)

de Rp. Soit −→i ,−→j ,−→k un repere orthonorme de R2, alors un champ de vecteurs

−→F (x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R2

est donne par 2 fonctions P et Q sur D a valeurs reelles :

−→F (x, y) = P (x, y)

−→i +Q(x, y)

−→j

On dit que le champ de vecteurs−→F est de classe Cp sur D si P et Q sont de classe Cp.

Exemple 4.41

Dessiner le champs de vecteurs defini par F (x, y) = (y,−x).

Champ de vecteurs F (x, y) = (y,−x).



Definition 4.42

Soit−→F : D → R2 un champ de vecteurs continu sur une partie D ⊂ R2 contenant une courbe

C decrite parametriquement par (x(t), y(t)). L’integrale∫C

−→F (x, y).

−→dr, ou dr = dx

−→i + dy

−→j ,

est appele l’integrale curviligne d’un champ de vecteurs−→F .

Exemple 4.43

Calculer le Travail resultant d’un champs de force−→F (x, y) = (y,−x) exerce sur un objet qui

se deplace sur la courbe y = x2 − 1 du point (1, 0) au point (−2, 3).

Champs de force−→F .


Chapitre 4 : Integrales Multiples Champs de gradient et independance de chemin

Definition 4.44

Un champ de vecteurs F est un champ gradient s’il existe f de D ⊂ R2 dansR. telle que F = ∇f .

Definition 4.45

Une region D ⊂ R2 est dite connexe si tout couple de points de D peut etrerelie par une courbe incluse dans D et de classe C1 par morceaux.

Theoreme 4.46

Soit F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un champ de vecteur continue sur une regionD ⊂ R2 ouvert et connexe. Alors les deux proprietes suivantes sontequivalentes :

1 F est un champ de gradient.2∫C Fdr ne depend que des extremites de C pour tout chemin C.

Exemple 4.47

Soit le champs de vecteurs F (x, y) = (2xy − 3, x2 + 4y3 + 5).Montrer que

∫C Fdr ne depend que des extremites de C, puis calculer

l’integrale pour tout chemin C de point initial (−1, 2) et de point final (2, 3).


Chapitre 4 : Integrales Multiples Champs de gradient et independance de chemin

Proposition 4.48

Si F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) est un champ de gradient alors :∂P

∂y=∂Q

∂xpour tout (x, y) ∈ D.

Definition 4.49

Une region D ⊂ R2 est dite simplement connexe si toute courbe fermee de Dest la frontiere d’une partie ouverte incluse dans D.

Theoreme 4.50

Soit F un champ de vecteurs sur D ⊂ R2. Si D est un ouvert simplement

connexe alors F est un champ de gradient si et seulement si∂P

∂y=∂Q

∂x.

Exemple 4.51

Soit F (x, y) = (e2x + x sin(y), x2 cos(y)). Est-ce que le champs de vecteur Fest un champs de gradient ?


Chapitre 4 : Integrales Multiples Theoreme de Green-Riemann

Theoreme 4.52

Soit C une courbe plane simplement fermee, de classe C1 par morceaux etorientee positivement telle que C = Fr(R) ou R est une region compactedans R2. Soit F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un champs de vecteur de classeC1(D) avec R ⊂ D alors,∮C F dr =

∫ ∫R

∂Q

∂x− ∂P

∂ydxdy

Exemple 4.53

Trouver l’aire de l’ellipse d’equation : x2/a2 + y2/b2 = 1

Exemple 4.54

Soit F un champs de vecteur defini parF (x, y) = (−y, x)/(x2 + y2).

1 Soit C1 un cercle de centre (0, 0) et de rayon a > 0, orientepositivement. Calculer

∮C1F.dr.

2 Montrer que∮C F.dr = 2π pour toute courbe C simplement fermee

contenant le point (0, 0) et orientee positivement.


Chapitre 4 : Integrales Multiples Integrale de Surface


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Cours Analyse3