Trigonométrie, angles orientés , repérage polaire

I. Rappels

1) DéfinitionsCercle trigonométrique :Le plan est muni d’un repère ( O, I, J) orthonormal.On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1, le sens direct (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Le radianSur un cercle trigonométrique C, la longueur de l’arc AM et la mesure en radians de l’angle au centre \d\fo1( s’expriment par le même nombre.Si \d\fo1( = rad et AM = l, alors l = .

2) Conversion degrés – radians

degrés 180 90 60 45 30

radians

3) Repérage sur le cercle trigonométrique

C le cercle trigonométrique.On représente Ë sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé vers le haut. On « enroule » Ë sur le cercle trigonométrique.

A un nombre x > 0, on associe, en tournant dans le sens direct sur le cercle trigo, le point N, tel que la longueur de l’arc IN soit égale à x.A un nombre x < 0, on associe de la même façon le point N, mais en tournant dans le sens indirect.

Soit N un point du cercle.Soit x une mesure de l’arc orienté d’origine I et d’extrémité N. Alors, cet arc orienté possède d’autres mesures :x + 2 ; x + 4 ; x-2 , etc …

Toutes ces mesures sont du type x + k2 où k Î.

Parmi toutes ces mesures, il en existe une seule dans l’intervalle ] - ; ]. C’est la mesure principale.

II)Angles orientés de vecteurs

Définition :Un couple de vecteurs non nuls définit un angle orienté que l’on note ( \s\up1(Å, \s\up1(Å).

Mesure d’un angle orienté

Si M et N sont 2 points du cercle trigonométrique.M repéré par x ; N repéré par y.Alors l’angle orienté ( \s\up2(Ä, \s\up2(Ä ) a pour mesure y – x.

Tout angle orienté comme tout arc orienté a une infinité de mesures. Si est l’une d’entre elles, les autres s’écrivent + 2k, où k Î.On note ( \s\up1(Å, \s\up1(Å) = + 2k où k ÎOu bien ( \s\up1(Å, \s\up1(Å) = [2 ] ( lire modulo 2 )

La seule mesure dans ] -  ; ] est la mesure principale.

Relation de Chasles

Quels que soient les vecteurs \s\up1(Å, \s\up1(Å et \s\up1(Å(\s\up1(Å, \s\up1(Å) +( \s\up1(Å, \s\up1(Å) = ( \s\up1(Å, \s\up1(Å)

Autres relations à connaître :

III)Repérage polaire

1) Définition :Soient O et I deux points distincts tels que OI = 1 etM un point du plan distinct de O.Tout couple (  ; ) avec > 0 tel que OM = et ( \s\

up2(Ä, \s\up2(Ä)= ( en rad ) est un couple de coordonnées polaires du point M dans le repère polaire ( O,

\s\up2(Ä).

On retiendra :

2)Passage des coordonnées polaire aux coordonnées rectangulaires

Soit (O,,) une repère orthonormé directSi un point M distinct de O a pour coordonnées (x ; y) dans ce repère et pour coordonnées polaires (

 ; ) dans le repère polaire ( O, \s\up2(Ä), alors :

= x = cos( ) y = sin(

)

IV) Principales formules

1) Rappels

2) Cosinus et sinus des angles associés

Soit x un réel

cos (-x) = cos (x) sin (-x) = - sin (x) Angles opposés

cos ( - x ) = - cos (x) sin ( - x ) = sin (x) Angles supplémentaires

cos ( + x ) = - cos (x) sin ( + x ) = - sin (x) Angles de différence

cos ( - x ) = sin (x) sin ( - x ) = cos (x) Angles complémentaires

cos ( + x ) = - sin (x) sin ( + x ) = cos (x)

3) Formules d’addition

4) Formules de duplication

5) Formules de linéarisation

V ) Equations trigonométriques

Ce sont des équations qui se ramènent à ou à

Exemple   : Résoudre

A : B :

V I) Relations métriques dans le triangle

1)Aire du triangle 

2)Formule du sinus

Si on connaît un coté et 2 angles, le triangle est résoluble.

3)Formule d’AL KASHI appelée parfois formule du cosinus

Résumé concocté par Camille Kerbaul , élève de 1° S et validé par Guy Marion