Cours AQ 7

Correction des systèmes asservis

Rappel

• On étudie un système à retour unitaire:

• C(p) est la commande

• H(p) est la transmittance du système

• Jusqu’à présent, on a considéré que C(p)=k

• k=cte commande proportionnelle

Rappel

• le gain k modifie la stabilité du système

• k modifie aussi l’allure de la réponse.

• Le choix de k assure au système un

comportement équivalent à un second

ordre de z=0,42 (marge de phase de 45°)

Z=0,42 D1=23% t1d=3/ωco %

tr=4,4/ωco tm=0,5 t1d

Accord avec le cahier des charges?

Evaluation

Z=0,42 D1=23% t1d=3/ωco %

tr=4,4/ωco tm=0,5 t1d

OUI

réglage

Non car:•Transitoire trop long

•Erreur statique trop importante

Utilisation d’un correcteur

Quelle commande C(p) faut il utiliser :

•Si le transitoire est trop long (Tr trop élevé)?

•Si l’erreur statique trop importante?

Démarche:

•On détermine la fonction supplémentaire à rajouter

dans la fonction de transfert

•On conçoit un circuit qui donne cette fonction de

transfert

•Il ne s’agit pas de « bidouiller »!

Amélioration du temps de réponse

• Réponse à un échelon: variation de l’erreur

e(t)-s(t) en fonction du temps

• Pour une commande proportionnelle, la

« puissance » appliquée est proportionnelle à

cette erreur

• On remarque que l’erreur est la même (-0,1) pour autour

de t=2 et autour de t=4

• Pourtant ce sont deux situations très différentes!

• Pour t=2 le signal s’éloigne de la valeur de consigne

• Pour t=4 le signal s’approche de la valeur de consigne

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10 12 -0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12

Erreur

Réponse

• Si le signal s’approche de la valeur de consigne, il faudrait « ralentir » pour ne pas dépasser

diminuer le gain

• Si le signal s’éloigne de la valeur de consigne il faut « réagir » pour corriger

augmenter le gain

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10 12 -0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12

Erreur

Réponse

• En t=2 et t=4 l’erreur est la même mais les dérivées sont opposées!

• La pente est négative quand le signal s’éloigne de la consigne (l’erreur augmente en valeur absolue)

• La pente est positive quand le signal s’approche (erreur diminue en valeur absolue) quand le signal s’approche de la consigne

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10 12-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12

Erreur

Réponse

Correction Dérivée

)()( tktc

dt

tdTtktc d

)()()(

Au lieu de la commande proportionnelle

On utilisera une commande Proportionnelle- Dérivée

Td est la constante de temps du dérivateur

Analyse:

dt

tdTtktc d

)()()(

•L’erreur peut être positive ou négative car la sortie

oscille autour de la consigne avant de se stabiliser

•La dérivée de l’erreur peut être positive ou négative

en fonction que le signal s’approche ou s’éloigne de

la consigne

•Le correcteur doit fonctionner quel que soit le cas de

figure

dt

tdTtktc d

)()()(

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10 12 -0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12

Erreur

Réponse

t Erreur dérivée commande Effet

1 > 0 ’ < 0 - Td |’ | C diminue OK

2 < 0 0 > ’ Td |’ | C augmente Ok

4 < 0 0 < ’ -|| Td ’ C diminue OK

dt

tdTtktc d

)()()(

Influence sur la réponse harmonique

d

d

d

jTkjH

pTkpH

ppTpkpc

1)(

1)(

)()()(

0=1/Td

SI 0 0 H(j ω)1

SI ω0 ∞ H(j ω) ∞

Déphasage:

+ π/4 à 0

+ π/2 au delà

Le correcteur introduit un déphasage positif

amélioration de la marge phase donc de la stabilité

Réalisation pratique du correcteur

Proportionnel - Dérivée

• Le schéma de base est le montage

sommateur inverseur

Problème: pour les hautes fréquences le gain du dérivateur tend

vers ∞: Les hautes fréquences seront fortement amplifiées

bruit

• Pour limiter le gain en HF, on place une

petite résistance en série avec la capacité

• C’est le montage à avance de phase

Fonction de transfert du correcteur PD:

gain

Fonction de transfert du correcteur PD:

Phase

Influence du paramètre temps dérivé en

boucle fermée

Comportement statique

L’action dérivée a peu d’influence dans le

comportement statique.

Comportement dynamique :

Lors d'une réponse indicielle, plus Td est

grand plus le système est rapide, plus le

dépassement est faible.

Amélioration de l’erreur statique

• Au-delà de t=10 l’erreur

ne change plus: la

puissance fournie au

système sera très faible

et ne permet pas de

corriger l’erreur

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Réponse

La courbe est plate donc la dérivée est nulle

Le correcteur PD ne sert à rien

Correction Proportionnelle

Intégrale• La surface entre les deux courbes

représente l’intégrale de l’erreur

• Celle-ci ne sera nulle que si les deux

courbes sont confondues (erreur nulle)

• On rajoute un terme proportionnel à

l’intégrale de l’erreur correction intégrale

Fonction de transfert du correcteur

Ti est la constante de temps de l’intégrateur

Plus Ti est faible plus la correction sera rapide mais…

Etude en fréquence

• La transmittance harmonique s’écrit:

SI 0 0 H(jw) ∞

SI w0 ∞ H(jw)0

Déphasage:

- π/2 quand ==>0

En basse fréquence la correction PI introduit in

déphasage de -90 ce qui réduit la marge

De phase, la stabilité donc le temps de réponse!

On compense en combinant avec une

correction PD qui rajoute +90° de déphasage

Réalisation pratique du correcteur

Proportionnel – Intégral

Le montage de base est l’inverseur

Problème: en BF la capa est un circuit ouvert:

le gain tend vers l’infini: l’ampli va buter sur

La valeur d’alimentation!

• On place toujours une résistance en

parallèle sur la capacité pour limiter le gain

Réseau retard de phase

Fonction de transfert PI

Gain

Fonction de transfert phase

Correcteurs PID et méthodes

de réglage

(Ziegler Nichols)

Correcteur PID

C(p) = Kr.(1 + 1/Ti.p + Td.p)

Structure parallèle

•

Structure série

Structure mixte

Influence des corrections P, I et D

• Quand Xp augmente...– La stabilité augmente ;

– La rapidité diminue ;

– La précision diminue.

• Quand Ti augmente...– La stabilité augmente ;

– La rapidité diminue ;

– La précision reste parfaite.

• Quand Td augmente...– La stabilité augmente ;

– La rapidité augmente ;

– La précision ne bouge pas.

Exemple de PID Parallèle

Régulateurs PID Industriels

Réglage d’un PID

Méthode de Ziegler-Nichols• Méthode empirique qui permet d’ajuster les

paramètres d’un régulateur P.I.D.

• S’utilise à partir de mesures sur sa réponse

indicielle.

• Critère de réglage: le rapport entre les deux

premiers dépassements (positifs) en BF est de

0,25.

Ziegler Nichols en BO

• En boucle ouverte:

– A utiliser sur les systèmes apériodiques

– Assimiler le système à un 1er ordre avec

retard ou un retard pur avec un intégrateur

– Consiste à mesurer:

• la pente de la tangente au point d’inflexion a,

• la valeur finale M

• et le retard r

Exemple

1-On applique un échelon

d’amplitude Eo

2-On mesure la valeur finale M

3- On trace la tangente au point

d’inflexion

4- on calcule a, pente de la

tangente au point d’inflexion

5- on mesure le retard r

6- Si T est la constante de temps

du premier ordre, on a : a = M / T

r

a

M

T

Réglage d’un correcteur P, PI ou PID

selon Ziegler Nichols en BO

• C(p) = Kr.(1 + 1/Ti.p + Td.p)

Comparaison des correcteurs de Ziegler Nichols

• Le correcteur proportionnel

laisse une erreur statique

•L e correcteur PI est sans

erreur statique mais est plus

long à stabiliser.

•Le correcteur PID rend le

système relativement stable et

sans erreur statique.

Mesure sur la réponse en BF

• S’applique dans le cas où il est impossible d’ouvrir la

boucle de régulation pour obtenir la réponse indicielle en

BO

• Ziegler Nichols en BF permet de régler un correcteur à

partir d’un essai en limite de pompage

Méthode pratique• Pour obtenir la limite de pompage, on place un

correcteur proportionnel (seul) dans la boucle fermée et

on augmente doucement le gain de ce correcteur

jusqu’`a obtenir des oscillations auto-entretenues

(phénomène de pompage).

• On note le gain Ko qui a amenené le système en limite

de stabilité et la période To des oscillations obtenues.

Les paramètres de régulation pour que la réponse du

système bouclé soit satisfaisante sont donnés dans un

tableau

Réglage d’un correcteur P, PI ou PID selon

Ziegler Nichols avec les

mesures en BF

Méthodes d’identification

Identification

• Un système linéaire a une fonction de transfert qui peut

se calculer en établissant les équations différentielles qui

relient entrée et sortie.

• Ces équations théoriques sont parfois difficiles à écrire

car on n’a pas forcément toute la connaissance du

système nécessaire : valeurs numériques, processus

mis en jeu, non linéarité...

• Souvent, un modèle dont le comportement ressemble à

celui du système à étudier est suffisant pour élaborer

une loi de commande adaptée.

Identification

• Identification = méthode pour obtenir un modèle

sous forme de fonction de transfert équivalente

en terme de réponse d’un système dont on ne

sait pas modéliser le comportement.

• Ces m´ethodes NE donnent donc PAS LA

fonction de transfert du système mais en

donnent UNE dont la réponse ressemble à celle

du système.

Identification en Boucle Ouverte

Méthode de Strejc

• Modèle:

• Les paramètres à identifier sont

donc :

– le gain statique K,

– le retard r,

– la constante de temps

– et l’ordre n.

•Le gain statique est mesuré

directement par la valeur finale

de la sortie. Celle-ci vaut K.E0

où E0 est l’amplitude de

l’´echelon d’entrée.

• On trace la tangente au point

d’inflexion et on relève T1 et

T2.

• on en déduit l’ordre n en

utilisant le tableau

•Entre deux lignes du tableau,

on choisit la valeur de n la plus

petite.

• Déterminer la constante de

temps à partir de T2 du

tableau.

•déterminer le retard r quand il

existe à partir de la différence

entre la valeur de T1 mesurée

et celle donnée par la colonne

T1 / T2 du tableau.

Exemple

Le gain statique : K = 5

on mesure : T1 = 0, 27 et T2 = 1, 76

T1/ T2 = 0, 15 ordre n = 2

T2/ Ƭ = 2, 72 Ƭ = 0, 65.

D’apr`es le tableau, T1 / Ƭ = 0, 28, ce

qui donnerait une valeur de T1 =0, 18.

Or on mesure T1 = 0, 27. On peut en

déduire un retard r = 0, 09

Autres méthode: broïda

• Modèle:

• Voir procédure dans le

polycope de cours