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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis

AUTOMATIQUE

Support de cours

Joseph HaggègeMaı̂tre de Conférences à l’ENIT

2012


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ii

ENIT cours d’automatique J. HAGGÈGE - 2012


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Table des matières

1 Introduction à l’automatique 11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Modèles d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Notion de système asservi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Systèmes continus linéaires : repŕesentations et réponses 52.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Repŕesentation harmonique des systèmes linéaires continus . . . . . . . . . 62.3 Etude de processus élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Schémas fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Stabilit́e et pŕecision des syst̀emes continus linéaires 273.1 Condition de stabilité des systèmes continus linéaires . . . . . . . . . . . . 273.2 Critères de stabilit́e des syst̀emes continus linéaires . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Pŕecision des syst̀emes en boucle fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Correction des systèmes asservis linéaires continus 394.1 But de la correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Correction par avance de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Correction par retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Correction combinée par avance et retard de phase . . . . . . . . . . . . . 474.5 Synthèse des asservissements linéaires avec l’abaque de Black . . . . . . . . 474.6 Régulation PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Bibliographie 55

J. HAGGÈGE - 2012 cours d’automatique ENIT


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iv Table des matières



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Chapitre 1

Introduction à l’automatique

1.1 GénéralitésL’automatique constitue un ensemble de techniques et de méthodes permettant de déter-miner les décisions à appliquer à un syst̀eme pour obtenir des performances imposées. Lesdécisions consistent en des signaux de commande appliqués au système.Un syst̀eme (ou processus ) est un ensemble d’éléments interconnectés suivant une structuredéterminée, dont le but est d’obtenir un résultat donné.On représente un système au moyen d’un schéma-blocs ou schéma fonctionnel :

e s

entrée sortie

système

monovariable

e1

entrées sortiessystème

multivariable

e2

en

.

.

.

.

.

.

s1 s2

s p

Les méthodes utilisées en automatique peuvent s’appliquer à des systèmes très variés :

• processus industriels de production ;• systèmes mécaniques et électromécaniques ;• économie, chimie, biologie, . . .

1.2 Modèles d’un système

Pour étudier et commander un système, on a besoin d’un modèle de ce système. Un modèleest une représentation mathématique d’un système. Un modèle peut être obtenu à partir

des équations qui régissent les phénomènes physiques impliqués dans le processus : un tel



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2 Chapitre 1 - Introduction ̀a l’automatique

modèle est appelé modèle de connaissance . Il est souvent trop complexe pour pouvoir êtreutilisé dans la détermination de la commande (nombre de paramètres trop important,équations difficiles à résoudre, . . .)En automatique, on préfère utiliser un modèle de commande : c’est une représentationéquivalente du processus, c’est-à-dire que pour une entrée donnée, la sortie du modèle estproche de celle du système avec un certain degré d’approximation. Un tel modèle peutêtre obtenu à partir de mesures sur le système (identification). Les paramètres physiquesdu processus n’aparaissent donc pas directement dans le modèle de commande (d’où lenom de modèle « bôıte noire »).En fonction de l’étude à effectuer sur le processus, on peut donc choisir un modèle plus oumoins complexe. Il y a donc différents modèles qui peuvent représenter un système donné.Exemple : soit le circuit RLC suivant :

u

R L

C

uC

u Lu R

i

systèmeu i

Equations du système :u = uR + uL + uC

avec :

uR = R iuL = L

didt

uC = 1

C i dtLes paramètres du système sont la résistance R, l’inductance L et la capacité C .Un modèle simple de ce système est obtenu en considérant que les paramètres du systèmesont constants. Un tel modèle est utilisé si on s’intéresse à l’évolution du courant i enfonction de la tension u.Un modèle plus complexe peut être obtenu en tenant compte :

• de l’effet de la température sur la résistance : R = R(T ) ;• de phénomènes magnétiques dans l’inductance : L = L(i) ;• de phénomènes électrostatiques dans le condensateur : C = C (u).

Ce modèle peut être utilisé si on veut étudier l’influence de la température ou des phéno-mènes magnétiques et électrostatiques sur le courant.

1.3 Notion de système asservi

Pour obtenir une sortie s0 donnée du sytème, on peut calculer l’entrée e0 à appliquer etla maintenir constante :

systèmee0 s0

C’est une commande en boucle ouverte .



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1.3 - Notion de système asservi 3

Exemple : on veut maintenir le cap d’un bateau : N

E O

S

cap

Pour cela, on peut bloquer le gouvernail sur un angle donné et laisser avancer le bateau.Cependant, celui-ci est soumis à des perturbations extérieures qui ne sont en généralpas prévisibles : houle, vents, courants, . . . et qui vont faire dévier le bateau. Il est donc

nécessaire d’avoir une information sur la sortie réelle du système pour pouvoir la compareravec la sortie désirée afin de générer le signal de commande adéquat : il s’agit dans ce casd’une commande en boucle fermée ou par feedback . On obtient ainsi un système asservi ou asservissement .Schéma fonctionnel d’un asservissement :

+

−

organe de

commande

(ou régulateur)

Processus

commande

écart

(erreur)

entrée de

référence

(ou consigne)

comparateur

perturbations

sortie

asservie

capteur mesure

chaîne directe (ou chaîne d'action)

chaîne de retour (ou contre-réaction)

L’un des objectifs de l’automatique consiste en la conception d’organes de commande (ourégulateurs) permettant d’annuler l’erreur d’asservissement (ou du moins la mainteniraussi faible que possible).Remarque : lorsque la consigne est constante, on parle de régulation et lorsqu’elle doitsuivre une référence variable dans le temps, on parle d’asservissement ou de poursuite .

Les régulateurs peuvent être réalisés selon différentes technologies : électronique, élec-trique, mécanique, pneumatique, hydraulique, . . . Ils peuvent être continus (composantsanalogiques) ou numériques (commande par calculateur).L’organe de commande peut également réaliser une amplification de puissance , commepar exemple dans le cas de la direction assistée d’une automobile :

écartvolant

circuit

hydraulique

d'amplification

direction de

l'automobile

trajectoire

organe de commande



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4 Chapitre 1 - Introduction ̀a l’automatique



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Chapitre 2

Systèmes continus linéaires :représentations et réponses

2.1 Définitions

Un système continu linéaire est un système régi par une équation différentielle linéaire àcoefficients constants reliant la sortie y(t) du système à son entrée u(t) :

u(t) y(t)

entrée sortiesystème

ni=0

aiy(i) =

m j=0

b ju( j)

avec n > m, n étant l’ordre du système. Cette équation différentielle constitue une repré-sentation temporelle du système.

On peut également représenter un système continu linéaire par sa fonction de transfert enutilisant la transformée de Laplace . Celle-ci est définie, pour une fonction f (t) telle quef (t) = 0 pour t


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6 Chapitre 2 - Systèmes continus linéaires : représentations et ŕeponses

Ainsi, en prenant la transformée de Laplace de l’équation différentielle représentant lesystème, les conditions initiales étant supposées identiquement nulles, il vient :

ni=0

ai piY ( p) =

m j=0

b j p jU ( p)

On en déduit la fonction de transfert H ( p) du système comme étant, par définition,le rapport des transformées de Laplace de la sortie et de l’entrée du système avec desconditions initiales nulles :

H ( p) = Y ( p)

U ( p) =

m j=0

b j p j

n

i=0ai pi

Remarque : la transformée de Laplace de la sortie du système est telle que :

Y ( p) = H ( p)U ( p)

d’où, en prenant la transformée de Laplace inverse de cette expression, la sortie y(t) dusystème s’écrit comme un produit de convolution :

y(t) = h(t) ∗ u(t)

Si U ( p) = 1, alors Y ( p) = H ( p), or le signal dont la transformée de Laplace est égale à1 est l’impulsion de Dirac δ (t). Donc la fonction de transfert H ( p) est la transformée deLaplace de la sortie lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac (réponse impulsionnelle) :

H ( p) = L [h(t)]

2.2 Représentation harmonique des systèmes linéaires

continus

La fonction de transfert harmonique d’un système linéaire continu est obtenue en appli-quant au système une entrée sinusöıdale u(t) = U m sin ωt. En régime permanent, la sortie

est y(t) = Y m sin(ωt + ϕ) ; la fonction de transfert harmonique du syst̀eme est le nombrecomplexe H ( jω) tel que :

|H ( jω)| = Y mU m

et arg H ( jω) = ϕ

Remarques :

• la fonction de transfert H ( jω) est également appelée fonction de transfert isochrone tandis que H ( p) est la fonction de transfert isomorphe ;

• la fonction de transfert H ( jω) peut également être obtenue à partir de H ( p) enprenant p = jω.



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2.2 - Représentation harmonique des systèmes linéaires continus 7

Représentations de la fonction de transfert harmonique :

• Lieu de Nyquist : c’est l’ensemble des points d’affixe H ( jω) dans le plan complexelorsque ω varie de 0 à +∞. Le lieu de Nyquist est gradué en ω et orienté dans lesens des ω croissants.

Re

Im

ω=0

ω1

ω2

ω3ω4

O

M

OM H j

H j

= ( )

= ( )

ω

ϕ ω arg

ϕ

• Lieux de Bode : c’est la représentation de |H ( jω)|dB et ∠H ( jω )̊ en fonction de ω.

101 102 103100

101 102 103100

ω

ω

(échelle logarithmique)

H jdB

ω ( )

H jω ( )

• Lieu de Black : c’est la représentation de |H ( jω)|dB en fonction de ∠H ( jω)˚. Le lieude Black est gradué en ω et orienté dans le sens des ω croissants.

H jdB

ω ( )

H jω ( )

ω1

ω2

ω3

ω4

ω=0



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8 Chapitre 2 - Systèmes continus linéaires : représentations et ŕeponses

2.3 Etude de processus élémentaires

Système du 1er ordre :C’est un système défini par une équation différentielle d’ordre 1, de la forme :

τ dy

dt + y(t) = K u(t)

où τ est la constante de temps du système et K son gain statique . La fonction de trans-fert du système est obtenue en prenant la transformée de Laplace des deux membres del’équation différentielle, les conditions initiales étant supposées nulles :

τ pY ( p) + Y ( p) = K U ( p)

d’où :

H ( p) = Y ( p)U ( p)

= K 1 + τ p

Etude temporelle :La réponse à un échelon de position, ou réponse indicielle , est obtenue en résolvant l’équa-tion différentielle pour une entrée u(t) telle que :

u(t) = Γ(t) =

0 pour t


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2.3 - Etude de processus ́elémentaires 9

t

u(t)

0

k 1

L’équation différentielle à résoudre pour déterminer la réponse du système à cette entréeest :

τ dy

dt + y(t) = K kt = at (avec a = K k)

La solution de cette équation différentielle s’écrit comme la somme d’une solution parti-culière y1(t) et de la solution y2(t) de l’équation différentielle sans second membre :

y(t) = y1(t) + y2(t)

La solution y1(t) est de la forme :

y1(t) = αt + β

En portant cette solution dans l’équation différentielle, il vient :

τ α + αt + β = at

d’où, par identification : α = aβ = −τ α = −τ a

et ainsi :

y1(t) = a(t − τ )D’autre part :

y2(t) = γ e− t

τ

d’où :y(t) = a(t − τ ) + γ e− tτ

Comme y(0) = 0, il vient :

−aτ + γ = 0d’où :

γ = aτ

Finalement :

y(t) = a(t − τ ) + aτ e−t

τ



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10 Chapitre 2 - Systèmes continus linéaires : représentations et réponses

t 0

−aτ

u(t)

y(t)

asymptote y t a t 1 ( ) = -( )τ

erreur

de traînage

En régime permanent, c’est-à-dire pour t τ , e− tτ → 0, d’où :

y(t)

≈a(t

−τ ) = K k(t

−τ ) = K u(t

−τ )

Donc la sortie du système en régime permanent est proportionnelle au signal d’entrée,retardé de la constante de temps τ .L’erreur de trâınage en régime permanent est donnée par :

ε(t) = u(t) − y(t) ≈ kt − Kk(t − τ ) = k(1 − K )t + Kkτ

Deux cas se présentent selon la valeur du gain statique K du système :

• si K = 1, alors l’erreur de traı̂nage en régime permanent est constante, égale à kτ ;• si K = 1, alors l’erreur de trâınage en régime permanent est infinie.

Etude fréquentielle :Le lieu de Nyquist du système est obtenu en écrivant la fonction de transfert harmoniqueH ( jω) sous la forme :

H ( jω) = X (ω) + jY (ω)

avec : X (ω) = Re(H ( jω))Y (ω) = Im(H ( jω))

Dans le cas du système du premier ordre, on a :

H ( jω) = K 1 + jωτ

= K (1 − jωτ )1 + ω2τ 2

donc :

X (ω) = K

1 + ω2τ 2 > 0

Y (ω) = − Kωτ 1 + ω2τ 2

≤ 0En remarquant que :

Y (ω)

X (ω) =

−ωτ



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il vient :

X (ω) = K

1 + Y (ω)X (ω)2 =

KX (ω)2

X (ω)2 + Y (ω)2

On obtient ainsi l’équation du lieu de Nyquist :

X (ω)2 + Y (ω)2 − K X (ω) = 0

qui peut également s’écrire : X (ω) − K

2

2+ Y (ω)2 =

K 2

4

C’est l’équation d’un cercle de centre K 2 , 0 et de rayon K 2 . Comme X (ω) > 0 et Y (ω) ≤ 0,le lieu de Nyquist du système est la moitié de ce cercle, située en dessous de l’axe réel.

Re

Im

ω →∞

ω = 0

ω

τ

=1

K

2

− K

2

K

Le lieu de Bode est obtenu en exprimant le gain en décibels et la phase en degŕes dusystème :

|H ( jω)|dB = 20 log K √ 1 + ω2τ 2

= 20 log K − 10log 1 + ω2τ 2∠H ( jω )̊ = − arctan ωτ

Pour ω → 0, on a :

|H ( jω)|dB ≈ 20log K ∠H ( jω )̊

≈0̊

Ces approximations définissent le lieu de Bode asymptotique H 1( jω) du système pour lesfaibles pulsations. De même, on peut obtenir le lieu de Bode asymptotique aux hautespulsations H 2( jω) en écrivant, pour ω → +∞ :

|H ( jω)|dB ≈ 20log K τ − 20log ω

∠H ( jω )̊ ≈ −90̊Ainsi, aux basses pulsations, le système présente un gain pratiquement constant et n’in-troduit pas de déphasage tandis qu’aux hautes pulsations, le gain décroit avec une pente

de −20 dB/décade et le déphasage atteint la valeur maximale de 90̊ .J. HAGGÈGE - 2012 cours d’automatique ENIT


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Les lieux de Bode asymptotiques H 1( jω) et H 2( jω) prennent la même valeur en modulepour ω = 1

τ . Cette valeur de la pulsation, notée ωc, est appelée pulsation de cassure . Pour

cette pulsation, le gain du système est :

|H ( jωc)|dB = 20 log K − 10 log2 = |H (0)|dB − 3 dBC’est pour cela que la pulsation de cassure est également appelée pulsation de coupure à −3 dB car, à cette pulsation, le gain du système est diminué de 3 dB par rapport au gainstatique.

−90°

−45°

0°

20 log K − 2 0 d B

/ d é c a d e

ω ω =c

ω

(échellelogarithmique)

ω

20 log K − 3dB

H jdB

ω ( )

H jω ( )°

Le lieu de Black se déduit des lieux de Bode en éliminant la pulsation ω entre l’expressiondu module et celle du déphasage.

−90° −45° 0°

20 log K ω ω = c20 log K − 3dB

H jdB

ω ( )

H jω ( )°

ω →∞

ω = 0

Système intégrateur :C’est un système défini par l’équation différentielle suivante :

dy

dt = K u(t)

En prenant la transformée de Laplace des deux membres de cette équation différentielle,on obtient la fonction de transfert de l’int́egrateur :

H ( p) = Y ( p)

U ( p) =

K

p



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La fonction de transfert harmonique s’écrit :

H ( jω) = K

jω =

− j

K

ω

On en déduit le lieu de Nyquist de l’intégrateur :

Re

Im

ω →∞

ω = 0

Les lieux de Bode de l’int́egrateur sont tels que : |H ( jω)|dB = 20log K

ω = 20log K − 20log ω

∠H ( jω )̊ = −90̊

−90°

0°

− 2 0 d B / d é c a d e

ω Κ =

ω

(échelle

logarithmique)

ω

H jdB

ω ( )

H jω ( )°

On constate que les lieux de Bode de l’int́egrateur sont identiques aux lieux de Bodeasymptotiques du système du premier ordre aux hautes pulsations. Un système du premier

ordre se comporte donc comme un intégrateur pour les pulsations élevées.



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Le lieu de Black de l’intégrateur est le suivant :

−90° 0°

ω Κ =

H jdB

ω ( )

H jω ( )°

ω →∞

ω = 0

0 dB

Système à retard pur :Contrairement aux autres systèmes linéaires étudiés jusque là, un système à retard n’estpas défini par une équation différentielle mais par une équation fonctionnelle liant l’entrée

et la sortie de ce système :y(t) = u(t − T )

où T est le retard pur introduit par un tel syst̀eme. La sortie du syst̀eme est égale àl’entrée retardée de T :

t

u(t)

0

y(t)

T

La fonction de transfert du système à retard est :

H ( p) = Y ( p)

U ( p) = e−Tp

La fonction de transfert harmonique est :

H ( jω) = e− jωT = cos ωT − j sin ωT Le lieu de Nyquist du système à retard est le suivant :

Re

Im

ω = 0

1



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Les lieux de Bode sont définis par :

|H ( jω)|dB = 0∠H ( jω )̊ = −ωT

0°

ω

(échelle

logarithmique)

ω

H jdB

ω ( )

H jω ( )°

0 dB

Le lieu de Black est le suivant :

0°

H jdB

ω ( )

H jω ( )°

ω →∞ ω = 0 0 dB

Système du 2nd ordre :Un système du second ordre est défini par une équation différentielle pouvant s’écrire sousla forme standard suivante :

d2y

dt2 + 2ξω0

dy

dt + ω20y = K ω

20u(t)

dans laquelle ω0 désigne la pulsation naturelle du système, ξ son coefficient d’amortisse-ment et K son gain statique . La fonction de transfert de ce système, obtenue à partir del’équation différentielle, est la suivante :

H ( p) = Y ( p)

U ( p) =

Kω20 p2 + 2ξω0 p + ω20

On peut classer les systèmes du second ordre d’après leur coefficient d’amortissement ξ .En effet, l’équation caractéristique d’un tel système s’écrit :

λ2

+ 2ξω0λ + ω20 = 0



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Le discriminant réduit de cette équation est :

∆ = ω20(ξ 2

−1)

Ainsi, trois cas se présentent :

• ξ > 1, l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes :

λ1,2 = ω0(−ξ ±

ξ 2 − 1) = − 1τ 1,2

Dans ce cas, la solution de l’équation différentielle en régime libre, c’est-à-dire pouru(t) = 0, est de la forme :

y(t) = c1e− t

τ 1 + c2e− t

τ 2

Cette réponse est apériodique .• ξ = 1, l’équation caractéristique possède une racine double :

λ0 = −ξω0 = −ω0 = −1τ

La solution de l’équation différentielle en régime libre est alors de la forme :

y(t) = (αt + β )e−tτ

Cette réponse est critique .

• ξ


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• si ξ = 1, alors y(t) = K + (αt + β )e− tτ avec α et β tels que :

y(0) = 0ẏ(0) = 0 ⇔ β + K = 0α − βτ

= 0 ⇔ β = −K α = −K τ

d’où l’expression de la réponse indicielle :

y(t) = K

1 −

1 +

t

τ

e−

tτ

t

K

y(t)

ξ =1

• si ξ > 1, alors y(t) = K + c1e

− tτ 1 + c2e

− tτ 2 avec c1 et c2 tels que :

y(0) = 0ẏ(0) = 0

⇔

c1 + c2 = −K c1τ 1

+ c2τ 2

= 0 ⇔

c1 = − Kτ 1τ 1−τ 2c2 =

Kτ 2τ 1−τ 2

d’où l’expression de la réponse indicielle :

y(t) = K

1 − τ 1

τ 1 − τ 2 e− t

τ 1 + τ 2

τ 1 − τ 2 e− t

τ 2

t

K

y(t)

ξ ≥1

ξ = 1

ξ = 1

9,



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• si ξ


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dépassement est égale à K , valeur atteinte lorsque l’amortissement tend vers zéro (dansce cas, la réponse indicielle du système n’est plus amortie et devient une sinusöıde pure).

t

K

y(t)

t p

D1

En notant δ = D1/K le dépassement relatif, il vient :

ξ = − ln δ π2 + (ln δ )2

et :ω0 =

π

t p 1 − ξ 2Ainsi, la dynamique d’un système du second ordre dont le coefficient d’amortissement estinf́erieur à 1 peut être caractérisé, de manière équivalente, soit par le couple (ξ, ω0), soitpar le couple (D1, t p).

Etude fréquentielle :

La fonction de transfert harmonique d’un système du second ordre est :

H ( jω) = Kω20

(ω20 − ω2) + 2 jξ ω0ωLe module et l’argument de cette fonction de transfert sont, respectivement :

|H ( jω)| = Kω20

(ω20 − ω2)2 + 4ξ 2ω20ω2

et :

∠H ( jω) = − arctan 2ξω0ωω20 − ω2

Le module en dB de la fonction de transfert est :

|H ( jω)|dB = 20 log(Kω20) − 10log (ω20 − ω2)2 + 4ξ 2ω20ω2



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On en déduit les lieux de Bode asymptotiques H 1( jω) pour ω → 0 :

|H ( jω)|dB ≈ 20log K ∠H ( jω )̊ ≈ 0̊et H 2( jω) pour ω → +∞ : |H ( jω)|dB ≈ 20 log(Kω20) − 40log ω

∠H ( jω )̊ ≈ −180˚

Le module de la fonction de transfert aux hautes pulsations décrôıt ainsi avec une pentede −40 dB/décade et les modules de H 1( jω) et H 2( jω) prennent la même valeur pourω = ω0.

On définit le facteur de résonance Q du système comme étant la valeur maximale de songain rapportée au gain statique :

Q = |H ( jω)|max

H (0)

Le gain du système atteint son maximum lorsque le dénominateur du module de la fonc-tion de transfert harmonique est minimal. La détermination de ce maximum se fait doncen cherchant la pulsation ωr, appelée pulsation de résonance , pour laquelle la quantité(ω20 − ω2)2 + 4ξ 2ω20ω2 est minimale. En dérivant cette expression par rapport à ω, il vient :

ωr = ω0 1 − 2ξ 2Cette expression montre que la pulsation de résonance n’existe que si ξ <

√ 2/2 ≈ 0,7.

Dans ce cas, on a :

|H ( jω)|max = |H ( jωr)| = K 2ξ

1 − ξ 2Comme le gain statique est :

H (0) = K

il vient l’expression du facteur de résonance :

Q = 1

2ξ

1 − ξ 2

Lorsque le système est très peu amorti, c’est-à-dire lorsque ξ 1, alors la pulsation deŕesonance ωr se confond avec la pulsation naturelle ω0, et le facteur de résonance devient :

Q ≈ 12ξ

On en déduit l’allure des lieux de Bode, de Black et de Nyquist, selon la valeur du coeffi-

cient d’amortissement :



25/59


− 4 0 d B / d é c a d e

−180°

−90°

ω 0 logω

logω

H jω ( )dB

∠ ( )° H jω

ξ < 0 7,20log K

0°

0 dB

ξ ≥ 0 7,

ξ = 0 1 ,

ξ = 0 9 ,

H jω ( )dB

∠ ( )° H jω

20log K

0 dB

−180° −90° 0°

ξ = 0 1,

ξ = 0 9,



26/59


20log K

ℜ ( )( )e H jω

ℑ ( )( )m H jω

ξ = 0 9,

ξ = 0 3 ,

Lieux de Bode asymptotiques d’un système linéaire complexe :Un système linéaire complexe est un système dont la fonction de transfert H ( p) peut semettre sous la forme d’un produit de fonctions de transferts de systèmes élémentaires :

H ( p) = H 1( p)H 2( p) . . . H n( p)

où H 1( p), H 2( p), . . .H n( p) représentent des systèmes du 1er ordre, du 2nd ordre, intégrateur,

dérivateur, ou à retard pur.Le module et l’argument de la fonction de transfert harmonique du syst̀eme complexesont la somme, respectivement, des modules et des arguments des fonctions de transfertsdes systèmes élémentaires :

|H ( jω)|dB = |H 1( jω)|dB + |H 2( jω)|dB + . . . + |H n( jω)|dB∠H ( jω )̊ = ∠H 1( jω )̊ + ∠H 2( jω )̊ + . . . + ∠H n( jω )̊

Cette propriété permet d’obtenir aisément les lieux de Bode asymptotiques d’un systèmecomplexe : on décompose sa fonction de transfert en fonctions de tranfert élémentairesdont on additionne graphiquement les lieux de Bode asymptotiques.Exemple : soit à déterminer les lieux de Bode asymptotiques du système décrit par lafonction de transfert suivante :

H ( p) = Kω20(1 + τ 1 p)

p(1 + τ 2 p)( p2 + 2ξω0 p + ω20)

avec :1

τ 2<

1

τ 1< ω

0


27/59


On a :

H ( p) = 1

p H 1( p)

(1 + τ 1 p) H 2( p)

1

1 + τ 2 p H 3( p)

Kω20

p2

+ 2ξω0 p + ω20

H 4( p)

d’où les diagrammes de Bode asymptotiques :

ω τ =1 1

ω τ =1 2

ω ω = 0

ω = 1

logω

logω

H p 1 ( )

d B

H p

2 ( ) d B

H p 3 ( )

d B

H

p

4 (

) d B

∠ ( ) H p1

∠ ( ) H p4

∠ ( ) H p2

∠ ( ) H p3

−90°

−180°

−270°

0°

− 2 0

− 4 0

− 2 0

− 6 0



28/59


2.4 Schémas fonctionnels

Les schémas fonctionnels (ou schémas blocs ) permettent de représenter des systèmes com-plexes par des interconnexions de systèmes élémentaires. Le schéma fonctionnel d’un sys-tème de fonction de transfert H ( p), est le suivant :

H p( )U p( ) Y p H p U p( ) = ( ) ( )

De tels blocs peuvent être interconnectés de différentes manières :

• En série (ou en cascade) :

H p1 ( ) H p2 ( ) H p H p1 2( ) ( )⇔

U p( ) Y p( ) U p( ) Y p( )

• En parallèle : H p

1 ( )

H p2 ( )

⇔++ H p H p1 2( )+ ( )

U p( ) Y p( ) U p( ) Y p( )

• En contre-réaction :+−

H p( )

G p( )ε p( ) Y p( )Y pc ( )

Ce dernier cas représente le schéma fonctionnel d’un système asservi (ou système bouclé)dans lequel G( p) et H ( p) sont, respectivement, les fonctions de transfert de la châıne

d’action et de la châıne de retour, Y ( p) représente la grandeur à asservir, Y c( p) l’entréede consigne et ε( p) le signal d’erreur.Fonction de transfert d’un système asservi :

Y ( p) = G( p)ε( p)ε( p) = Y c( p) − H ( p)Y ( p) ⇒

Y ( p)

Y c( p) =

G( p)

1 + G( p)H ( p)

Cette expression est appelée formule de Black .On définit également la fonction de transfert de l’erreur :

ε( p)

Y c( p) =

1

1 + G( p)H ( p)



29/59

2.4 - Schémas fonctionnels 25

Les systèmes à retour unitaire constituent un cas particulier de système asservi :

+−

G p( ) Y p( )Y pc ( )

Si le retour n’est pas unitaire, on peut transformer le schéma fonctionnel pour faire appa-raı̂tre un système à retour unitaire :

+−

H p( )

G p( )+−

G p( ) H p( ) 1

H p( )⇔

Y p( )Y pc ( )

Y p( )Y pc ( )

Lorsque l’on s’intéresse à l’influence de perturbations affectant la sortie d’un système, onpeut représenter ce dernier par le schéma fonctionnel suivant :

U p( ) Y p( ) H p1 ( )

H p2 ( )

++

P p( )

entrée de

commande

entrée de

perturbation

sortie

U p( ) Y p( )++

P p( )

H p2 ( ) H p

H p

1

2

( )

( )⇔

Ces différentes transformations permettent de simplifier les schémas fonctionnels afin dedéterminer la fonction de transfert de systèmes complexes.

Exemple :

Y p( )+

+ H p2 ( ) ⇔+− −

H p4 ( )

H p1 ( )

H p3 ( )

H p5 ( )

Y pc ( ) Y p( )

+ H p2 ( )+− −

H p4 ( )

H p1 ( )

H p3 ( )

H p5 ( )

Y pc ( )

++

Y p( )+

+ H p1 ( ) ⇔+−

H p5 ( )

Y pc ( )

H p

H p

3

1

( )

( )

H p

H p H p

2

2 41

( )+ ( ) ( )

Y p( )+

+

H p5 ( )

Y pc ( )

H p

H p

3

1

( )

( )

−

H p H p

H p H p

1 2

2 41

( ) ( )+ ( ) ( )⇔



30/59


⇔

Y p( )+

+

H p5 ( )

Y pc ( )

H p

H p

3

1

( )

( )

H p H p

H p H p

1 2

2 41

( ) ( )+ ( ) ( )+

−

1 3

1

+( )

( )

H p

H p

H p H p

H p H p

H p H p H p

H p H p

1 2

2 4

1 2 5

2 4

1

11

( ) ( )+ ( ) ( )

+( ) ( ) ( )+ ( ) ( )

Y p( )Y pc ( )

⇔

⇔Y p( )Y pc ( ) H p H p H p

H p H p H p H p H p

2 1 3

2 4 1 2 51

( ) ( )+ ( )( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )

Y p( )Y pc ( ) H p H p

H p

1 3

1

( )+ ( )

( )

H p H p

H p H p H p H p H p

1 2

2 4 1 2 51

( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )⇔

Ce résultat peut être vérifié en écrivant les équations du système :

++ H p2 ( )+

− −

H p4 ( )

H p1 ( )

H p3 ( )

H p5 ( )

Y pc ( ) ε

1 p( ) ε

2 p( ) Y p( )

ε1( p) = Y

c( p) − H 5( p)Y ( p)ε2( p) = H 3( p)Y

c

( p) + H 1( p)ε1( p) − H 4( p)Y ( p)Y ( p) = H 2( p)ε2( p)

⇒ Y ( p) = H 2( p) {H 3( p)Y c( p) + H 1( p) [Y c( p) − H 5( p)Y ( p)]}⇒ [1 + H 2( p)H 4( p) + H 1( p)H 2( p)H 5( p)] Y ( p) = H 2( p) [H 1( p) + H 3( p)] Y c( p)⇒ Y ( p)

Y c( p) =

H 2( p) (H 1( p) + H 3( p))

1 + H 2( p)H 4( p) + H 1( p)H 2( p)H 5( p)



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Chapitre 3

Stabilité et précision des systèmescontinus linéaires

3.1 Condition de stabilité des systèmes continus li-

néaires

Définition : un système est stable si, lorsqu’on l’écarte d’une position d’équilibre, il tendà y revenir. Il est instable lorsqu’il tend à s’en éloigner davantage.On peut ainsi juger de la stabilité d’un système d’après le comportement de sa réponseimpulsionnelle h(t). En effet, si le système est stable, cette dernière doit tendre vers zérolorsque t

→ +

∞ (on parle dans ce cas de stabilité asymptotique ). Au contraire, si la

réponse impulsionnelle diverge vers ±∞, ou encore oscille indéfiniment entre deux valeursextr̂emes (phénomène de pompage ), alors le système est instable. Dans le cas particulieroù la réponse impulsionnelle tend vers une valeur finie mais non nulle, le système est ditmarginalement stable .Dans le cas des systèmes linéaires, il est possible de déduire une condition de stabilité por-tant sur certaines propriétés de la fonction de transfert puisque celle-ci est la transforméede Laplace de la réponse impulsionnelle.En effet, la fonction de transfert d’un système linéaire peut être décomposée en élémentssimples sous la forme suivante :

H ( p) = N ( p)

D( p) =i

αi p − pi

dans laquelle les pi sont les pôles (supposés tous simples) de la fonction de transfert,c’est-à-dire les zéros de l’équation (ou polynôme) caractéristique :

D( p) = 0

La réponse impulsionnelle étant la transformée de Laplace inverse de la fonction de trans-fert, il vient :

h(t) = i αie pit = i αie(σi+ jωi)tJ. HAGGÈGE - 2012 cours d’automatique ENIT


32/59

28 Chapitre 3 - Stabilité et précision des systèmes continus linéaires

où σi et ωi sont respectivement les parties réelle et imaginaire de pi.La réponse impulsionnelle étant une somme d’exponentielles, pour que limt→+∞ h(t) = 0,il faut et il suffit que chacun des termes de cette somme tende vers zéro, ce qui est le cassi, et seulement si :

∀i, Re( pi) < 0On en déduit ainsi la condition nécessaire et suffisante de stabilité recherchée :

Un système linéaire continu est asymptotiquement stable si, et seulement si,tout ses pôles sont à partie réelle strictement négative.

En d’autres termes, les racines du polynôme caractéristique doivent être situées dans ledemi-plan gauche du plan complexe.

3.2 Critères de stabilité des systèmes continus linéaires

L’étude de la stabilité d’un système continu linéaire d’ordre n revient à étudier les racinesd’un polynôme de degré n (polynôme caractéristique). Cependant, le calcul de ces racinesdevient difficile dès que n ≥ 3. Il est donc nécessaire d’introduire des critères de stabilité permettant de faire cette étude sans avoir à calculer explicitement ces racines. Parmi lescritères de stabilité, on utilise souvent le critère de Routh qui est un critère algébrique, etle critère de Nyquist basé sur la représentation harmonique des systèmes linéaires.

Critère de Routh : les racines d’un polynôme

D( p) = an pn + an−1 p

n−1 + an−2 pn−2 + . . . + a1 p + a0

sont toutes à partie réelle négative si, et seulement si, les deux conditions suivantes sontv́erifiées :

• tous les ai sont de même signe (et donc non nuls) ;• tous les termes de la première colonne du tableau de Routh sont de même signe.

Construction du tableau de Routh :

an an−2 an−4 . . .an−1 an−3 an−5 . . .

b1 = an−1an−2 − anan−3

an−1b2 =

an−1an−4 − anan−5an−1

b3 = an−1an−6 − anan−7

an−1. . .

c1 = b1an−3 − b2an−1

b1c2 =

b1an−5 − b3an−1b1

c3 = b1an−7 − b4an−1

b1. . .

... ...

... ...

Remarques :

• Le tableau de Routh possède n + 1 lignes.ENIT cours d’automatique J. HAGGÈGE - 2012


33/59

3.2 - Critères de stabilit́e des systèmes continus linéaires 29

• Le nombre de pôles à partie réelle positive est égal au nombre de changements designe dans la première colonne, d’autre part.

• Si une ligne du tableau est nulle, alors D( p) possède des racines imaginaires pures.

Exemple : D( p) = 3 p5 + 5 p4 + 7 p3 + p2 + 4 p + 2

3 7 45 1 2

6,4 2,8 0−1,1875 2

13,578 02

Il y a deux changements de signe dans la premìere colonne, donc le polynôme possèdedeux racines à partie réelle positive.

Application à l’étude de la stabilité des systèmes du 2nd et du 3ème ordre :

• 2nd ordre : D( p) = a2 p2 + a1 p + a0Tableau de Routh :

a2 a0a1a0

Pour qu’un système du 2nd ordre soit stable, il faut et il suffit que tous les coefficientsde son polynôme caractéristique soient de même signe.

• 3ème ordre : D( p) = a3 p3 + a2 p2 + a1 p + a0Tableau de Routh :

a3 a1a2 a0

a1a2 −

a0a3

a2 0

a0

On en déduit une condition nécessaire et suffisante de stabilité pour les systèmes du3ème ordre :

a3 > 0a2 > 0a1a2 > a0a3a0 > 0

Application à l’étude de la stabilité d’un système asservi :



34/59


On cherche une condition sur le gain K pour que le système en boucle fermée soit stable.La fonction de transfert en boucle fermée est :

F ( p) = Y ( p)

Y c( p) =

G( p)

1 + G( p)H ( p) =

5 p + 1

5 p3 + 16 p2 + 8 p + 1 + K

Le polynôme caractéristique est :

D( p) = 5 p3 + 16 p2 + 8 p + 1 + K

Le tableau de Routh est le suivant :

5 816 1 + K

128−5(1+K )16

01 + K

La condition nécessaire et suffisante de stabilité est donc : 128 − 5(1 + K ) > 01 + K > 0

⇔ −1 < K


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Application à l’étude de la stabilité d’un système en boucle fermée :

+

−

e sG(p)

H(p)

La fonction de transfert en boucle fermée est :

F ( p) = G( p)

1 + G( p)H ( p)

Pour que le système soit stable en boucle fermée, il faut que tous les pôles de la fonction de

transfert en boucle fermée soient situés dans le demi-plan gauche du plan complexe. Lespôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont les zéros de l’équation caractéristiquedu système en boucle fermée :

1 + G( p)H ( p) = 0

Les pôles de l’équation caractéristique du système en boucle fermée sont les même queceux de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p)H ( p).

Pour déterminer le nombre de zéros instables (c-à-d situés à droite de l’axe imaginaire)de l’équation caractéristique, on définit un contour d’exclusion (contour de Broomwich)qui entoure le demi-plan droit :

Re ( p)

Im ( p)

∞

On montre que l’argument de la fonction G( p)H ( p) ne dépend que des valeurs de pappartenant à l’axe imaginaire, c-à-d telles que p = jω , avec −∞ ≤ ω ≤ +∞. Ainsi, lelieu des points d’affixe 1 + G( p)H ( p) lorsque p parcourt l’axe imaginaire (lieu de Nyquistcomplet) entoure T = P − Z fois l’origine, avec P et Z respectivement le nombre de pôleset de zéros instables de 1 + G( p)H ( p), c-à-d situés à l’int́erieur du contour d’exclusion.Donc le nombre de zéros instables de 1 + G( p)H ( p) est Z = P − T .En pratique, on compte le nombre de tours du lieu des point d’affixe G( jω)H ( jω) autourdu point d’affixe (−1), appelé point critique . Ainsi, pour que le syst̀eme soit stable enboucle fermée, il faut que Z = 0, c-à-d P = T .



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On en déduit le critère de Nyquist :Pour que le système en boucle fermée dont l’équation caractéristique est : 1+G( p)H ( p) = 0soit stable, le lieu de Nyquist complet de G( p)H ( p) doit décrire autour du point (

−1) un

nombre de tours égal au nombre de pˆ oles instables de G( p)H ( p) dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Remarques :

• Le lieu de Nyquist complet est obtenu en complétant le lieu de Nyquist par symétriepar rapport à l’axe réel, car G(− jω)H (− jω) = G( jω)H ( jω) = G( jω)H ( jω).

• Si la fonction de transfert en boucle ouverte possède des pôles à partie réelle égale à0, c-à-d situés sur l’axe imaginaire, on modifie le contour d’exclusion pour les éviter :

Re ( p)

Im ( p)

∞ ε →

0

• Si le syst̀eme est stable en boucle ouverte (P = 0) alors pour qu’il soit stable enboucle fermée, il suffit que le lieu de Nyquist complet n’entoure pas le point critique(T = P = 0). Ceci se traduit par le critère de Nyquist simplifié ou critère du revers :Un système stable en boucle ouverte est stable en boucle fermée si et seulement si

le lieu de Nyquist de la fonction de transfert en boucle ouverte laisse à sa gauche le

point critique lorsque la pulsation ω varie de 0 à +∞.

Re ( p)

Im ( p)

−1

système stable en

boucle fermée

système instableen boucle fermée

ω = 0ω →+∞



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Exemple d’application : soit à étudier la stabilité du système asservi suivant :

+

−

K p a p b−( ) +( )

Y c

avec b > a > 0 et K > 0.La fonction de transfert de la châıne d’action est :

G( p) = K

( p − a)( p + b)

et le retour est unitaire, c’est-à-dire :

H ( p) = 1

Le système en boucle ouverte possède un pôle instable p = a, donc pour que le systèmesoit stable en boucle fermée, il faut que le lieu de Nyquist du syst̀eme de fonction detransfert G( p)H ( p) effectue un tour autour du point critique.

− K

ab

−1Re

Im

ω →−∞

ω →+∞

ω → −0

ω → +0

point critique

Pour cela, on doit avoir −K ab

< −1, d’où la condition de stabilité :

K > ab

Autre exemple : soit à étudier la stabilité du système asservi suivant :

+

−

Y c

1

1 p p +( )

Dans ce cas, la fonction de transfert en boucle ouverte est :

G( p)H ( p) = 1

p( p + 1)



38/59


Elle possède un pôle à l’origine du plan complexe, et donc situé sur l’axe imaginaire. Onchoisit alors un contour d’exclusion qui évite ce point :

Re ( p)

Im ( p)

∞ ε →

0

Ainsi, le nombre de pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte à l’intérieur

du contour d’exclusion est P = 0, donc pour que le système soit stable en boucle fermée,il faut et il suffit que le lieu de Nyquist complet du système en boucle ouverte n’entourepas le point critique.La fonction de transfert harmonique du système en boucle ouverte est :

G( jω)H ( jω) = 1

jω(1 + jω)

Lorsque ω → 0, le lieu de Nyquist complet de cette fonction de transfert possède uneasymptote verticale, d’équation Re( p) = −1. Pour pouvoir appliquer le critère de Nyquist,il faut déterminer comment le lieu de Nyquist complet se referme lorsque ω varie de 0− à0+. Pour cela, il suffit de remarquer que, pour ω

→0 :

G( jω)H ( jω) ≈ 1 jω

Ainsi, puisque ∠ jω varie de −90̊ à +90̊ lorsque ω varie de 0− à 0+, alors ∠1/jω variede +90̊ à −90̊ , ce qui signifie que les deux branches infinies du lieu de Nyquist completsont reliées par un demi-cercle de rayon infini, parcouru dans le sens des aiguilles d’unemontre.

Re ( p)

Im ( p)

−1

∞

ω →−∞

ω →+∞

ω → −0

ω → +0

Il s’ensuit que le lieu de Nyquist complet n’entoure pas le point critique (−1) donc lesystème est stable en boucle fermée.



39/59


Marges de stabilité : elles permettent, pour un système stable en boucle ouverte (etdonc pour lequel le critère du revers est applicable), de quantifier le degré de stabilité dusystème en boucle fermée en mesurant la distance qui sépare le lieu de Nyquist en boucleouverte du point critique.On définit deux marges de stabilité :

• la marge de phase : c’est le déphasage (en degrés) que l’on peut ajouter au systèmeen boucle ouverte et qui ferait passer son lieu de Nyquist à gauche du point critique ;

• la marge de gain : c’est le gain (en dB) que l’on peut ajouter au système en boucleouverte et qui rendrait instable le système en boucle fermée.

Pour évaluer les valeurs des marges de stabilité, on définit :

• la pulsation de coupure à 0 dB, notée ωc : c’est la première pulsation pour laquelle

le module de la fonction de transfert en boucle ouverte est égal à 0 dB ;• la pulsation d’inversion, notée ωπ : c’est la première pulsation pour laquelle l’argu-ment de la fonction de transfert en boucle ouverte vaut −180̊ .

En notant G( jω)H ( jω) la fonction de transfert harmonique du système en boucle ouverte,on peut écrire :

|G( jωπ)H ( jωπ)|dB + MGdB = 0 dBd’où :

MGdB = −|G( jωπ)H ( jωπ)|dBDe même :

∠G( jωc)H ( jωc) − Mϕ̊ = −180˚

d’où :Mϕ̊ = 180˚+ ∠G( jωc)H ( jωc)

On en déduit la représentation graphique des marges de stabilité sur le lieu de Nyquistdu système en boucle ouverte :

Re ( p)

Im ( p)

−1

1ω c

ω π

MGdB

M ϕ °



40/59


Ainsi, le critère du revers traduit le fait que pour assurer la stabilité du système en bouclefermée, il faut et il suffit que les marges de stabilité soit positives.Les marges de stabilité représentent des marges de sécurité par rapport à l’état instabledu système en boucle fermée :

• la marge de phase garantit la stabilité du système bouclé en présence de retardsparasites non pris en compte dans l’étude de la stabilité ;

• la marge de gain garantit la stabilité en présence de variations du gain de la boucle.Ainsi, la stabilité du système asservi est d’autant meilleure que les marges de stabilité sontgrandes. En pratique, lors de la conception d’un asservissement, on impose des marges destabilité minimales, telles que, par exemple :

M ϕ ≥ 45̊M G ≥ 10 dB

Représentation des marges de stabilité sur les lieux de Bode et de Black :GH

dB

∠ °GH

M ϕ > 0

MG > 0

−180°

0 dB

0°ω ω =

c

ω ω π

=

GH dB

∠ °GH

logω

logω

0 dB

0°

−180°M ϕ > 0

MG > 0

ω ω =c

ω ω π =

3.3 Précision des systèmes en boucle fermée

Soit le système asservi suivant :

+

−

G(p)

H(p)

e t ( ) s t ( )ε t ( )

Ce système est d’autant plus précis que l’erreur ε(t) est faible.La fonction de transfert de l’erreur est :

ε( p)

E ( p) =

1

1 + G( p)H ( p)



41/59

3.3 - Précision des systèmes en boucle fermée 37

On définit l’erreur statique :ε(∞) = lim

t→+∞ε(t)

D’après le théorème de la valeur finale :lim

t→+∞ε(t) = lim

p→0 pε( p)

d’où :

ε(∞) = lim p→0

pE ( p)

1 + G( p)H ( p)

Ainsi, l’erreur statique dépend :

• du système ;

• du signal d’entrée.

Pour caractériser l’erreur statique en fonction du système, on définit la classe de celui-cicomme étant le nombre n d’int́egrateurs dans la fonction de transfert en boucle ouverteG( p)H ( p) qui peut ainsi être mise sous la forme suivante :

G( p)H ( p) = K

pn · 1 + a1 p + a2 p

2 + . . .

1 + b1 p + b2 p2 + . . .

où K désigne le gain statique de la partie de la fonction de transfert en boucle ouverte necontenant pas les intégrateurs.On peut ainsi étudier l’erreur statique pour des entrées canoniques du type :

E ( p) = 1

pmAinsi, pour m = 1, il s’agit d’une entrée échelon de position, pour m = 2, un échelon devitesse (ou rampe), pour m = 3, un échelon d’accélération, . . .L’erreur statique s’écrit donc :

ε(∞) = lim p→0

p · 1 pm

1 + K

pn · 1 + a1 p + a2 p

2 + . . .

1 + b1 p + b2 p2 + . . .

= lim p→0

pn−m+1

pn + K

Quelques exemples d’erreurs statiques en fonction de la classe du système et du typed’entrée sont donnés par le tableau suivant :

EntŕeeSyst̀eme

classe 0 classe 1 classe 2

échelon de position ε(∞) = 11 + K

ε(∞) = 0 ε(∞) = 0

échelon de vitesse ε(∞) = ∞ ε(∞) = 1K

ε(∞) = 0

échelon d’accélération ε(∞

) =∞

ε(∞

) =∞

ε(∞

) = 1

K



42/59


Remarques :

• un système asservi dont l’erreur statique est nulle pour une entrée donnée est ditastatique pour cette entrée ;• pour que l’erreur statique soit nulle, il faut que la fonction de transfert en boucleouverte présente :– un intégrateur pour une entrée échelon de position ;– deux intégrateurs pour une entrée échelon de vitesse ;– . . .

• lorsque l’erreur est finie et non nulle, elle est d’autant plus faible que le gain enboucle ouverte est important. Or, une augmentation de ce gain entrâıne générale-ment une diminution des marges de stabilité du système asservi : c’est le dilemmestabilité/précision ;

• on peut également définir la précision dynamique du système asservi : c’est sa capa-cité à suivre une entrée de consigne variable au cours du temps tout en garantissantque l’erreur instantannée reste faible. La précision dynamique dépend de la rapidité(ou du temps de réponse) du système asservi. On peut montrer que celle-ci est d’au-tant plus grande que la pulsation de coupure (ou bande passante) du syst̀eme enboucle ouverte est élevée.



43/59

Chapitre 4

Correction des systèmes asservislinéaires continus

4.1 But de la correction

Soit le système asservi suivant :

+

−

G(p)

H(p)

e t ( ) s t ( )ε t ( )

Celui-ci doit satisfaire au moins deux conditions imposées par un cahier des charges :

• stabilité : marges de stabilité données ;• précision : erreur imposée.

La précision dépend du gain statique de la fonction de transfert en boucle ouverte G( p)H ( p),c’est-à-dire le gain aux basses pulsations, tandis que la stabilité dépend du gain et dela phase de la fonction de transfert en boucle ouverte aux pulsations pour lesquelles|G( jω)H ( jω)|dB = 0 dB et ∠G( jω)H ( jω )̊ = −180˚, c’est-à-dire aux hautes pulsations.

GH dB

∠ °GH

logω

logω

0 dB

0°

−180°M ϕ

MG

ω ω = c

ω ω π

=

gain

statique

bande passante

ω =( )0



44/59

40 Chapitre 4 - Correction des systèmes asservis linéaires continus

Considérons le système asservi à retour unitaire suivant, possédant un gain variable K enchaı̂ne d’action :

+

−

G(p)e t ( ) s t ( ) K

Une augmentation du gain K en vue d’améliorer la précision se traduit par une translationdu lieu de Bode du module de la fonction de transfert en boucle ouverte vers le haut, sansaffecter la phase, ce qui entrâıne une augmentation de la pulsation de coupure à 0 dB,diminuant ainsi la marge de gain et la marge de phase.

logω

logω

0 dB

0°

−180°M ϕ

MG

ω ω = c

ω ω π =

KG jω ( )dB

∠ ( )° KG jω

ω ω ω = ′ >c c

MG MG′ <

M M ′ 2 1

On en conclut qu’une augmentation de la précision entrâıne une dégradation de la sta-bilité du système asservi. Un simple gain ne suffit donc pas pour obtenir simultanémentla précision et les marges de stabilité imposées par le cahier des charges (dilemme stabi-lité/précision), d’où la nécessité d’introduire un correcteur ou régulateur dans la boucled’asservissement.

+

−

G(p)e t ( ) s t ( )

K C(p)

correcteur

Le correcteur a pour rôle d’introduire un gain variable en fonction de la pulsation ω,permettant de modifier localement les lieux de Bode du syst̀eme en boucle ouverte afind’assurer, par exemple, un gain élevé aux faibles pulsations et un gain plus faible aux

hautes pulsations afin de résoudre le dilemme stabilité/précision.



45/59

4.2 - Correction par avance de phase 41

La conception du correcteur est appelée synthèse du système asservi . Celle-ci s’effectuede la manìere suivante : on commence par déterminer la valeur du gain K qui assurela précision souhait́ee, puis on calcule le correcteur qui permet d’obtenir les marges destabilité imposées.Différents types de correcteurs peuvent être utilisés :

• correcteur à avance de phase ;• correcteur à retard de phase ;• correcteur à avance/retard de phase ;• régulateur Proportionnel Intégral (PI) ;• régulateur Proportionnel Intégral Dérivé (PID).

4.2 Correction par avance de phaseLe principe de la correction par avance de phase consiste en l’augmentation de la margede phase du système asservi, en ajoutant un déphasage positif au lieu de Bode de la phasede la fonction de transfert en boucle ouverte, autour de la pulsation de coupure à 0 dB.Un correcteur à avance de phase idéal permettrait d’augmenter la phase autour de lapulsation de coupure à 0 dB sans modifier le lieu de Bode du module de la fonction detransfert en boucle ouverte.

logω

logω

0 dB

0°

−180° M ϕ

ω ω = c

KG jω ( )dB

∠ ( )° KG jω

M M ′ >ϕ ϕ

Fonction de transfert en

boucle ouverte non corrigée


boucle ouverte corrigée

précision

En pratique, la fonction de transfert d’un correcteur à avance de phase souvent utilisé estla suivante :

C ( p) = 1 + aτ p

1 + τ p avec a > 1

où a et τ sont les paramètres du correcteur à déterminer.



46/59


Les lieux de Bode d’un tel correcteur sont les suivants :

logω

logω

0 dB

0°

C jω ( )dB

∠ ( )°C jω

+90°

20log a

10log a

0 dB/décade

0 dB/décade

+ 2 0 d B

/ d é c

a d e

ϕ m

20log a

ω τ

=1

a ω

τ =

1

ω ω = m

ϕ m

Ce correcteur peut ajouter un déphasage maximal ϕm tel que :

ϕm = arcsin a − 1a + 1

à la pulsation ωm telle que :

ωm = 1

τ √

a

Toutefois, ce correcteur ne fait pas qu’apporter une avance de phase, il procure égalementun gain de 20 log a dB à la fonction de transfert en boucle ouverte aux hautes pulsations,ce qui a un effet déstabilisant sur le système bouclé si la valeur de a est trop importante.Exemples de valeurs de ϕm en fonction de a :

a 1,5 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13ϕm (̊ ) 11,5 19,5 30 36,9 41,8 45,6 48,6 51 53,1 54,9 56,4 57,8 59

On remarque qu’au delà de a = 10, l’avance de phase apportée par le correcteur n’aug-mente plus significativement. Ainsi, le fait de choisir des valeurs importantes de a n’amé-liorera pas la marge de phase, mais au contraire, déstabilisera le système bouclé du faitde l’augmentation du gain en boucle ouverte aux hautes pulsations.Afin de bénéficier de l’avance de phase apportée par le correcteur pour améliorer la margede phase du système bouclé, il est nécessaire de faire cöıncider la pulsation ωm à laquellel’avance de phase est maximale avec la pulsation de coupure de la fonction de tranfert en

boucle ouverte, et ce en choisissant convenablement le paramètre τ .



47/59

4.2 - Correction par avance de phase 43

Cependant, comme le correcteur apporte également un gain aux hautes pulsations, lapulsation de coupure de la fonction de transfert en boucle ouverte corriǵee augmente. Ilest donc nécessaire de centrer la pulsation ωm sur la nouvelle pulsation de coupure ω

c

présentée par la fonction de transfert en boucle ouverte corrigée.

logω

logω

0 dB

0°

−180° M ϕ

ω ω = c

KG jω ( )dB

∠ ( )° KG jω

M M ′ >ϕ ϕ

KC j G jω ω ( ) ( )dB

∠ ( ) ( )° KC j G jω ω

ω ω ω = ′ >c c

ω ω m c= ′

Toutefois, un problème se pose : il n’est pas possible de prévoir, avant d’avoir effectuéla correction, la nouvelle pulsation de coupure puisque celle-ci dépend elle-même du cor-recteur à déterminer. Donc, pour calculer les paramètres a et τ du correcteur, on doitprocéder par essais successifs, en partant d’une estimation approximative de la nouvellepulsation de coupure.On peut estimer ωm = ω

c, sachant que pour ω = ωm, le correcteur ajoute un gain de

10 log a. Il suffit donc de chercher ωm tel que :

|KG( jωm)|dB + |C ( jωm)|dB 10loga

= 0 dB

c’est-à-dire :

|KG( jωm)|dB = −10 log aAinsi, la procédure de détermination des paramètres d’un correcteur à avance de phaseest la suivante :

1. Déterminer la marge de phase sur la fonction de transfert en boucle ouverte non

corrigée. En déduire le déphasage ϕm à ajouter pour obtenir une marge de phase



48/59


de l’ordre de 40 à 50̊ , sachant que la marge de phase corrigée sera mesurée à ωc =ωm > ωc.

2. Déterminer la valeur de a à partir de la relation :

ϕm = arcsin a − 1a + 1

⇔ a = 1 + sin ϕm1 − sin ϕm

3. Déterminer ωm tel que :|KG( jωm)|dB = −10log a

4. Mesurer la nouvelle marge de phase M ϕ. Si elle n’est pas comprise entre 40 et 50̊ ,recommencer à partir de l’étape 1 avec une nouvelle valeur de a.

5. Si 40̊

≤Mϕ

≤50˚, calculer τ à partir de la relation :

τ = 1

ωm√

a

6. Tracer avec précision le lieu de Bode de la fonction de transfert en boucle ouvertecorrigée K C ( jω)G( jω) et vérifier la marge de gain et la marge de phase obtenues.

4.3 Correction par retard de phase

Le principe de la correction par retard de phase consiste à augmenter la marge de phase

en abaissant la pulsation de coupure à 0 dB de la fonction de transfert en boucle ouvertepar une diminution du gain aux hautes pulsations.

logω

logω

0 dB

0°

−180° M ϕ

ω ω = c

KG jω ( )dB

∠ ( )° KG jω

M M ′ >ϕ ϕ


boucle ouverte non corrigée


boucle ouverte corrigée

précision

ω ω = ′c



49/59

4.3 - Correction par retard de phase 45

Un correcteur à retard de phase peut avoir la fonction de transfert suivante :

C ( p) = 1 + τ p

1 + bτ p

avec b > 1

où b et τ sont les paramètres du correcteur à déterminer.Les lieux de Bode de ce correcteur sont les suivants :

logω

logω

0 dB

0°

C jω ( )dB

∠ ( )°C jω

−90°

0 dB/décade

0 dB/décade

− 2 0 d

B / d é c a d

e

ω

τ

=1

ω

τ

=1

b

ω

τ

=1

b

A bm = −20log

Ce correcteur peut introduire une diminution de gain maximale Am = −20log b pourω 1τ

, cependant il apporte également une diminution de phase qui peut déstabiliser lesystème en boucle fermée en diminuant la marge de phase. Cette diminution de phase estimportante pour les pulsations telles que :

1

bτ ≤ ω ≤ 1

τ

Cet intervalle de pulsations doit donc être placé avant la nouvelle pulsation de coupureωc afin de ne pas affecter la marge de phase : on choisit ω

c 1τ , par exemple ω c = 10 × 1τ

d’où le choix de τ :

τ = 10

ωc



50/59


Pour ω = 10× 1τ

, on a les valeurs suivantes du gain et de la phase du correcteur en fonctiondu paramètre b :

b 1,5 2 3 4 5 10 12 15∠C ( jω )̊ −1, 9 −2, 8 −3, 8 −4, 3 −4, 6 −5, 1 −5, 2 −5, 3|C ( jω)|dB −3, 5 −6 −9, 5 −12 −13, 9 −20 −21, 5 −23, 5

Ce tableau montre que pour ces valeurs de b et pour ω = 10 × 1τ

, le déphasage maximalapporté par le correcteur est de l’ordre de −5̊ tandis que la diminution de gain estapproximativement de −20log b.Ainsi, pour imposer une marge de phase de 45̊ , on choisit la nouvelle pulsation de coupureωc telle que ∠G( jω

c)̊ = −180˚+ 45˚+ 5˚= −130̊ de manière à ce que, après correction,

la marge de phase soit Mϕ = 180˚− 130˚− 5̊ = 45̊ . On a alors :|G( jω c)|dB + |C ( jω c)|dB

−20log b

= 0 dB

On choisit donc b tel que :|G( jω c)|dB = 20 log b

Action du correcteur à retard de phase sur la fonction de transfert en boucle ouverte :

logω

logω

0 dB

0°

−180° M ϕ

ω ω = c

KG jω ( )dB

∠ ( )° KG jω

M M ′>ϕ ϕ

ω ω = ′c

diminution de la phase avant

la nouvelle pulsation de coupure

diminution de la

pulsation de coupure

diminution du gain

aux hautes pulsations

augmentation de la marge de phase

Procédure de détermination des paramètres d’un correcteur à retard de phase :

1. Relever sur les lieux de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte la pulsationωc telle que ∠G( jω

c)̊ = −130̊ et choisir τ tel que :

τ = 10

ωc



51/59

4.4 - Correction combinée par avance et retard de phase 47

2. Relever le gain |G( jω c)|dB et choisir b tel que |G( jω c)|dB = 20 log b, c’est-à-dire :

b = 10

|G(jωc)|dB

20

3. Tracer avec précision les lieux de Bode de la fonction de transfert corrigée KC ( p)G( p)et vérifier la marge de gain et la marge de phase obtenues.

4.4 Correction combinée par avance et retard de phase

Ce type de correction consiste en la mise en cascade d’un correcteur à avance de phase etd’un correcteur à retard de phase pour obtenir un correcteur dont la fonction de transfert

est :

C ( p) = 1 + aτ p

1 + τ p

1 + τ p

1 + bτ p

D’une part,le correcteur à avance de phase permet de stabiliser le système en bouclefermée tout en augmentant la pulsation de coupure ωc (et donc la bande passante), etd’autre part, le correcteur à retard de phase stabilise le système en diminuant la pulsationde coupure.

Ainsi, le correcteur à avance/retard de phase permet de stabiliser le système tout enconservant sa pulsation de coupure et donc sa rapidité (temps de réponse inversementproportionnel à la pulsation de coupure).

Détermination d’un correcteur à avance/retard de phase :

1. On stabilise le syst̀eme avec une faible marge de phase, de l’ordre de 10̊ à l’aided’un correcteur à avance de phase. On en déduit les paramètres a et τ .

2. On continue la synthèse avec un correcteur à retard de phase pour faire passer lamarge de phase de 10̊ à 45̊ . On en déduit les paramètres b et τ .

4.5 Synthèse des asservissements linéaires avec l’abaque

de BlackSoit le système asservi à retour unitaire :

+

−

G(p)e t ( ) s t ( )

dont la fonction de transfert en boucle fermée est :

F ( p) = G( p)

1 + G( p)



52/59


L’abaque de Black (ou Black-Nichols) est l’ensemble des courbes du plan de Black tellesque :

G

1+GdB = λ = cste : courbes isogain ou contours de gain ∠

G1+G̊

= ψ = cste : courbes isophase ou contours de phase

12 dB8 dB6 dB5 dB4 dB

3 dB2,3 dB

2 dB

1,4 dB

1 dB

0,7 dB

0,5 dB

0,25 dB

0 d B

− 0 , 5

d B

− 1

d B

− 1 , 4 d B

− 2 d B

− 3 d B

− 4 d B

− 5 d

B

− 6 d B

− 8 d B

−12 dB

1 ̊

2 ̊

3 ̊

4 ̊ 5 ̊

6 ̊ 7 ̊ 8 ̊ 9 ̊

10 ̊

2 0 ˚

3 0 ˚

4 0 ˚

5 0 ˚

6

0 ˚

7

0 ˚

8 0 ˚

9 0

˚

1 0 0

˚

1 1 0 ˚

1 2 0 ˚

1 3 0 ˚

1 4 0 ˚

1 5 0 ˚

1 6 0 ˚

1 7 0 ˚

1 8 0 ˚

1 9 0 ˚

2 0 0

˚

2 1 0 ˚

2 2 0 ˚

2 3 0 ˚

2 4 0 ˚

2 5 0

˚

2 6 0

˚

− 24

− 22

− 20

− 18

− 16

− 14

− 12

− 10

− 8

− 6

− 4

− 2

0

+ 2

+ 4+ 6

+ 8

+ 10

+ 12

+ 14

+ 16

+ 18

+ 20

+ 22

+ 24

+ 26

+ 28

+ 30

+ 32

+ 34

+ 36 0

− 1

0

− 2

0

− 3

0

− 4

0

− 5

0

− 6

0

− 7

0

− 8

0

− 9

0

− 1

0 0

− 1

1 0

− 1

2 0

− 1

3 0

− 1

4 0

− 1

5 0

− 1

6 0

− 1

7 0

− 1

8 0

− 1

9 0

− 2

0 0

− 2

1 0

− 2

2 0

− 2

3 0

− 2

4 0

− 2

5 0

− 2

6 0

DIAGRAMME AMPLITUDE-PHASE

(Abaque de Black)Abscisses : phase de G (degrés)

Ordonnées : 20 log |G|Contours d'amplitude de 20 log

Contours de déphasage de (degrés)G

1+G

G1+G

phase de G en degrés

m o d u l e d e G e n d é c i b e l s



53/59

4.5 - Synthèse des asservissements linéaires avec l’abaque de Black 49

Connaissant le module et l’argument de la fonction de transfert en boucle ouverte pourune pulsation ω donnée, l’abaque de Black permet d’obtenir graphiquement le moduleet l’argument de la fonction de transfert en boucle fermée. Ceux-ci sont lus sur l’abaquede Black à partir de l’intersection du lieu de Black de la fonction de transfert en boucleouverte avec une courbe isogain et une courbe isophase données.

12 dB8 dB

6 dB5 dB

4 dB

3 dB2,3 dB

2 dB

1,4 dB

1 dB

0,7 dB

0,5 dB

0,25 dB

0 d B

− 0 , 5

d B

− 1

d B

− 1 , 4

d B

− 2 d B

− 3 d B

− 4 d B

− 5 d

B

− 6 d B

− 8 d B

−12 dB

1 ̊

2 ̊

3 ̊

4 ̊ 5 ̊

6 ̊ 7 ̊ 8 ̊ 9 ̊

10 ̊

2 0 ˚

3 0 ˚

4 0 ˚

5 0 ˚

6 0 ˚

7 0 ˚

8 0 ˚

9 0 ˚

1 0 0 ˚

1 1 0 ˚

1 2 0 ˚

1 3 0 ˚

1 4 0 ˚

1 5 0 ˚

1 6 0 ˚

1 7 0 ˚

1 8 0 ˚

1 9 0 ˚

2 0 0

˚

2 1 0 ˚

2 2 0 ˚

2 3 0 ˚

2 4 0 ˚

2 5 0 ˚

2 6 0 ˚

− 24

− 22

− 20

− 18

− 16

− 14

− 12

− 10

− 8

− 6

− 4

− 2

0

+ 2

+ 4

+ 6

+ 8

+ 10

+ 12

+ 14

+ 16

+ 18

+ 20+ 22

+ 24

+ 26

+ 28

+ 30

+ 32

+ 34

+ 36 0

− 1

0

− 2

0

− 3

0

− 4

0

− 5

0

− 6

0

− 7

0

− 8

0

− 9

0

− 1

0 0

− 1

1 0

− 1

2 0

− 1

3 0

− 1

4 0

− 1

5 0

− 1

6 0

− 1

7 0

− 1

8 0

− 1

9 0

− 2

0 0

− 2

1 0

− 2

2 0

− 2

3 0

− 2

4 0

− 2

5 0

− 2

6 0

phase de G en degrés

m o d u l e d e G e n d é c i b e l s

lieu de Black

de la fonction de

transfert en

boucle ouverte

Les valeurs du module et de l’argument de la fonction de transfert en boucle ferméecorrespondent aux valeurs des courbes isogain et isophase par lesquelles passe le lieu deBlack de la fonction de transfert en boucle ouverte.

A l’aide de l’abaque de Black, on peut déterminer le facteur de résonance Q du systèmeen boucle fermée :

Q = |F ( jωR)|

|F (0)|

où ωR est la pulsation de résonance, c’est-à-dire la pulsation pour laquelle |F ( jω)| passepar un maximum.

La pulsation de résonance du système en boucle fermée se lit sur l’abaque de Black en

déterminant la pulsation pour laquelle le lieu de Black du système en boucle ouverte est



54/59


tangent à une courbe isogain. Le facteur de résonance est alors :

QdB =

|F ( jωR)

|dB

− |F (0)

|dB

Si |F (0)|dB = 0 (c’est le cas lorsque le système asservi ne présente pas d’erreur statique),alors la valeur de Q est donnée directement par la valeur du contour isogain à laquelle lelieu de black de la fonction de transfert en boucle ouverte est tangent.

−180° 0°

contour isogain Q F + ( )0dB

ω c

ω R

ω π

GdB

∠ °G

pulsation de

coupure à 0 dB

pulsation de résonance

en boucle fermée

lieu de Black du système

en boucle ouverte

pulsation d'inversion

Principe de la synthèse avec l’abaque de Black : le but est d’obtenir un facteur de résonanceen boucle fermée Q = 2,3 dB. Cette valeur est choisie parce qu’elle assure généralementune marge de gain de l’ordre de 8 dB et une marge de phase d’en

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