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MÉTHODES ET EXEMPLES EN MATHÉMATIQUES POUR LE BTS HÔTELLERIE Michel CHARRIER 11 avril 2008

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cours et exercices de mathématiques

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MÉTHODES ET EXEMPLES EN MATHÉMATIQUES POUR LE BTSHÔTELLERIE

Michel CHARRIER

11 avril 2008

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Chapitre 1

Séries chronologiques : exemples

d’ajustements

La méthode utilisée dans ce chapitre est celle des moindres carrés : on suppose donc que le modèle linéaire est acceptable(coefficient r tel que : |r| > 0, 87).

1.1 Exemple 1 : moyennes mobiles et méthode des rapports au Trend

1.1.1 Enoncé de BTS actualisé

Dans le cadre de l’élaboration des documents prévisionnels pour l’année n + 1, le service commercial d’une cafétéria vousdemande de déterminer après lissage et par la méthode dite "des rapports au trend", les chiffres d’affaires prévisionnelsdes 6 premiers mois de l’année. Les deux dernières années, connues, notées n−1 et n sont données dans le tableau (valeursen 105

e ).

mois J F M A M J J A S O N D

année n − 1 3,5 3,6 3,9 4 4 4,2 3,8 3,6 4,2 4,3 4,4 4,7

année n 4,6 4,6 4,7 4,8 4,8 4,9 4,5 4,2 4,9 5 5,2 5,4

1. Etudier la tendance générale de l’évolution par la méthode des moyennes mobiles (lissage) sur 5 mois.

2. Déterminer une équation de cette tendance générale (TREND) par la méthode des moindres carrés.

3. Pour tenir compte de l’influence saisonnière, calculer les coefficients saisonniers par la méthode des rapports autrend.

4. Pour chaque mois, calculer la moyenne des deux coefficients.

5. En retenant cette moyenne comme coefficient saisonnier (CS), établir la prévision des six premiers mois de l’annéen + 1.

3

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4 CHAPITRE 1. SÉRIES CHRONOLOGIQUES : EXEMPLES D’AJUSTEMENTS

1.1.2 Corrigé et commentaires

Lissage par les moyennes mobiles

On utilise cette méthode pour faire apparaître la tendance générale ou de longue durée (le Trend), en remplaçant la valeurobservée chaque mois par la moyenne obtenue sur 5 mois consécutifs : les 2 précédents, le mois en cours et les 2 suivants.Les mois sont notés ti, i variant de 1 à 24. Pour i = 1, i = 2, i = 23 et i = 24 on ne peut calculer de moyenne. On obtient :

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1.1. EXEMPLE 1 : MOYENNES MOBILES ET MÉTHODE DES RAPPORTS AU TREND 5

ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

yi - - 3,80 3,94 3,98 3,92 3,96 4,02 4,06 4,26 4,44 4,52

ti 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

yi 4,60 4,68 4,70 4,76 4,74 4,64 4,66 4,70 4,76 4,96 - -

Le lissage permet de diminuer l’influence des valeurs qui seraient exceptionnelles et de mettre en évidence la tendance delongue durée.

La tendance de longue durée ou Trend

Le tableau précédent permet par la méthode des moindres carrés de déterminer un ajustement théorique affine de la forme :y = at + b qui donne la tendance à long terme de l’évolution. On l’appelle : le Trend. On obtient sur une calculatrice :

y = 0, 059t + 3, 669

avec r = 0, 945, soit une bonne corrélation. Ce trend permet des prévisions théoriques mais ne tient pas compte del’influence saisonnière.

La série désaisonnalisée

En utilisant l’équation du trend, on obtient la série dite désaisonnalisée (sans influence des variations saisonnières) :

ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

yi 3,7 3,8 3,8 3,9 4 4 4,1 4,1 4,2 4,3 4,3 4,4

ti 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

yi 4,4 4,5 4,6 4,6 4,7 4,7 4,8 4,8 4,9 5 5 5,1

Coefficients saisonniers

Pour chaque mois on obtient un coefficient dit "saisonnier" en faisant le quotient du chiffre d’affaires réel par le chiffred’affaires théorique (obtenu avec le trend). On disposera ainsi, puisque l’étude est faite sur deux ans, pour chaque moisde l’année de deux coefficients. Le coefficient saisonnier définitif (CS) sera leur moyenne arithmétique. On obtient :

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6 CHAPITRE 1. SÉRIES CHRONOLOGIQUES : EXEMPLES D’AJUSTEMENTS

ti 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

coefficient 0,95 0,95 1 1,03 1 1,05 0,93 0,88 1 1 1,02 1,07

ti 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

coefficient 1,05 1,02 1,02 1,04 1,02 1,04 0,94 0,86 1 1 1,04 1,06

moyenne (CS) 1 0,99 1,01 1,04 1,01 1,05 0,93 0,87 1 1 1,03 1,07

Retenir que :

CS =valeur observée

valeur théorique

Méthode prévisionnelle

1. Pour les 6 premiers mois de l’année n + 1, on utilise les valeurs de t = 25 à t = 30. On commence par calculer avecle trend la prévision théorique désaisonnalisée. On dit encore : "corrigée des variations saisonnières" :

t = 25 y = 0, 059× 25 + 3, 669 = 5, 144

t = 26 y = 0, 059× 26 + 3, 669 = 5, 203

t = 27 y = 0, 059× 27 + 3, 669 = 5, 262

t = 28 y = 0, 059× 28 + 3, 669 = 5, 321

t = 29 y = 0, 059× 29 + 3, 669 = 5, 380

t = 30 y = 0, 059× 30 + 3, 669 = 5, 439

2. On affecte à chaque résultat le CS du mois, obtenu précédemment, pour obtenir la prévision qui tient compte del’influence saisonnière :

t = 25 y = 5, 144× 1 ≈ 5, 1

t = 26 y = 5, 203× 0, 99 ≈ 5, 2

t = 27 y = 5, 262× 1, 01 ≈ 5, 3

t = 28 y = 5, 321× 1, 04 ≈ 5, 5

t = 29 y = 5, 380× 1, 01 ≈ 5, 4

t = 30 y = 5, 439× 1, 05 ≈ 5, 7

Les résultats précédents sont les prévisions en 105e pour les 6 premiers mois de l’année n + 1.

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1.2. EXEMPLE 2 NON CORRIGÉ 7

1.2 Exemple 2 non corrigé

1.2.1 Enoncé

Vous êtes chargé(e) par la direction d’un parc hôtelier de tourisme et de loisirs de concevoir un document d’analyse et deprévision de l’évolution des entrées, par trimestre. Vous disposez de l’historique, par trimestre, du nombre d’entrées duparc (en milliers) depuis 4 années notées respectivement n − 3, n − 2, n − 1 et n dans le tableau suivant.

La méthode choisie sera celle d’un lissage par la méthode des moyennes mobiles (3 trimestres consécutifs) puis du calculdes coefficients saisonniers par la méthode des rapports au trend, le CS choisi étant la moyenne par trimestre des 4 valeursobtenues sur 4 ans. On notera t la variable "trimestre" et y la variable "nombre d’entrées".

Années 1er trimestre 2ème trimestre 3ème trimestre 4ème trimestre

n − 3 310 320 380 380

n − 2 370 400 440 450

n − 1 430 460 480 480

n 470 520 560 580

1.2.2 Présentation de l’étude prévisionnelle

Lissage par la méthode des moyennes mobiles (3 trimestres)

Compléter le tableau (valeurs arrondies à l’unité) :

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8 CHAPITRE 1. SÉRIES CHRONOLOGIQUES : EXEMPLES D’AJUSTEMENTS

ti 1 2 3 4

yi . . . . . .

ti 5 6 7 8

yi

ti 9 10 11 12

yi

ti 13 14 15 16

yi . . . . . .

Trend et série désaisonnalisée

Sur une calculatrice, déterminer une équation du trend de la forme y = at + b, vérifier l’acceptabilité du modèle et endéduire dans le tableau la série désaisonnalisée (valeurs arrondies à l’unité) :

y = . . . . . . . . . . . .

r = . . . . . . . . . . . .

ti 1 2 3 4

yi

ti 5 6 7 8

yi

ti 9 10 11 12

yi

ti 13 14 15 16

yi

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1.2. EXEMPLE 2 NON CORRIGÉ 9

Détermination des coefficients saisonniers trimestriels

En effectuant les rapportsvaleur observée

valeur théorique, déterminer les coefficients par trimestre et en déduire le CS de chaque trimestre

obtenu en faisant la moyenne arithmétique (valeurs arrondies à 2 décimales) :

ti 1 2 3 4

coefficient

ti 5 6 7 8

coefficient

ti 9 10 11 12

coefficient

ti 13 14 15 16

coefficient

CS moyen

Conclusion : étude prévisionnelle

En utilisant l’équation du trend, pour l’année n + 1 déterminer la prévision théorique (désaisonnalisée, valeurs arrondiesà l’unité) :

ti 17 18 19 20

yi = ati + b

En déduire la prévision tenant compte de l’influence saisonnière (appliquer le CS et arrondir à l’unité près) :

année n + 1 1er trimestre 2ème trimestre 3ème trimestre 4ème trimestre

CS

yi = ati + b

prévisions : yi = yi × CS

Remarque : On peut aussi illustrer graphiquement cette étude : nuages, trend et prévision.

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10 CHAPITRE 1. SÉRIES CHRONOLOGIQUES : EXEMPLES D’AJUSTEMENTS

1.3 Exemple 3 : étude du nombre de ventes trimestrielles et prévision

1.3.1 Enoncé

Vous êtes chargé(e) par la direction d’une entreprise de concevoir un document d’analyse et de prévision de l’évolutiondu nombre de ventes d’un produit du catalogue, par trimestre. Vous disposez de l’historique, par trimestre, du nombre deventes (en centaines) depuis 3 années notées respectivement n − 2, n − 1 et n dans le tableau suivant.

La méthode choisie sera celle d’un lissage par la méthode des moyennes mobiles (3 trimestres consécutifs) puis du calculdes coefficients saisonniers par la méthode des rapports au trend, le CS choisi étant la moyenne par trimestre des 3 valeursobtenues sur 3 ans. On notera t la variable "trimestre" et y la variable "nombre de ventes".

Années 1er trimestre 2ème trimestre 3ème trimestre 4ème trimestre

n − 2 185 207 151 172

n − 1 218 238 180 205

n 249 280 215 243

1.3.2 Présentation de l’étude prévisionnelle

Lissage par la méthode des moyennes mobiles (3 trimestres consécutifs)

Compléter le tableau (valeurs arrondies à l’unité) :

ti 1 2 3 4

yi . . . . . .

ti 5 6 7 8

yi

ti 9 10 11 12

yi . . . . . .

Trend

Sur une calculatrice, déterminer une équation du trend de la forme y = at + b (coefficients à 0, 1 près) et vérifier l’accep-tabilité du modèle.

y = . . . . . . . . . . . .

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1.3. EXEMPLE 3 : ÉTUDE DU NOMBRE DE VENTES TRIMESTRIELLES ET PRÉVISION 11

r = . . . . . . . . . . . .

Représentation graphique

Dans le repère ci-dessous, représenter en utilisant des couleurs différentes : la série réelle (observée), la série lissée et ladroite d’ajustement. On tracera des nuages liés.

t

y

1 4 8 12150

200

250

300

Série désaisonnalisée

Dans le tableau ci-dessous, à l’aide de l’équation trouvée, donner les valeurs arrondies à l’unité de la série désaisonnalisée.

ti 1 2 3 4

yi

ti 5 6 7 8

yi

ti 9 10 11 12

yi

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12 CHAPITRE 1. SÉRIES CHRONOLOGIQUES : EXEMPLES D’AJUSTEMENTS

Détermination des coefficients saisonniers trimestriels

En effectuant les rapportsvaleur observée

valeur théorique, déterminer les coefficients par trimestre et en déduire le CS de chaque trimestre

obtenu en faisant la moyenne arithmétique (valeurs arrondies à 2 décimales) :

ti 1 2 3 4

coefficient

ti 5 6 7 8

coefficient

ti 9 10 11 12

coefficient

CS moyen

Conclusion : étude prévisionnelle

En utilisant l’équation du trend, pour l’année n + 1 déterminer la prévision théorique (désaisonnalisée, valeurs arrondiesà l’unité) :

ti 13 14 15 16

yi = ati + b

En déduire la prévision tenant compte de l’influence saisonnière (appliquer le CS moyen et arrondir à l’unité près) :

année n + 1 1er trimestre 2ème trimestre 3ème trimestre 4ème trimestre

CS

yi = ati + b

prévisions : yi = yi × CS

Placer sur le graphique les 4 points obtenus par cette méthode prévisionnelle.

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Chapitre 2

Probabilités : notions simples

2.1 Le vocabulaire des événements

2.1.1 Généralités

Définition 1 Une expérience aléatoire E est due au hasard, on ne peut prédire ses résultats et elle est renouvelable.

Définition 2 L’univers fini de l’expérience aléatoire est l’ensemble de ses résultats ou issues. On le note Ω.

Définition 3 Un événement est une partie de l’univers. Il est noté avec une majuscule : A, B, C... Un événement estinclus dans l’univers : A ⊂ Ω

Définition 4 Un événement élémentaire ne contient qu’un seul élément. Ω est la réunion de tous ses événements élé-mentaires.

Définition 5 Ω est l’événement certain : il est toujours réalisé. On note ∅ (ensemble vide) l’événement impossible : iln’est jamais réalisé.

2.1.2 Intersection, réunion, contraire

Définition 6 L’intersection de deux événements A et B est l’événement noté : A∩B constitué des éléments communs àA et à B. On le note aussi "A et B".

Définition 7 La réunion de deux événements A ou B est l’événement noté : A∪B constitué des éléments de A ou de B.On le note aussi "A ou B".

Définition 8 Le contraire d’un événement A est le complémentaire de A dans Ω. Il est constitué des éléments de Ω quin’appartiennent pas à A. On le note A. On a : A ∩ A = ∅ et : A ∪ A = Ω

Définition 9 Deux événements A et B sont incompatibles s’ils ne peuvent être réalisés en même temps , s’ils ont uneintersection vide : A ∩ B = ∅. Par exemple A et A sont incompatibles.

2.2 Probabilités

2.2.1 Fréquence d’un événement

Soit A un événement lié à une expérience aléatoire E . On répète n fois cette expérience et on note nA le nombre de

réalisations de A lors de ces n répétitions de E . La fréquence de réalisation de A est : fn(A) =nA

nSi n devient de plus en plus grand, fn(A) tend à se stabiliser autour d’une valeur fixe p.Ce nombre p est la probabilité de l’événement A et se note : P (A)

13

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14 CHAPITRE 2. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES

2.2.2 Probabilité

Soit E une expérience aléatoire, d’univers Ω et A un événement. La probabilité de A est notée P (A) et cette applicationvérifie les propriétés :

0 6 P (A) 6 1P (Ω) = 1Si A ∩ B = ∅, alors : P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

2.2.3 Equiprobabilité

Définition 10 On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires de Ω ont la même probabilité.

Dans ce cas, la probabilité d’un événement élémentaire est :1

n, n est le nombre d’éléments de l’univers et on a :

P (A) =nombre d’éléments de A

nombre d’éléments de Ω

On note aussi :

P (A) =nombre de cas favorables

nombre de cas possibles

2.2.4 Calcul des probabilités

Théorème 1 Pour tout événement A :

P (A) = 1 − P (A)

Pour tout événement A et tout événement B :

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)

2.3 Variable aléatoire

2.3.1 Tableau à double entrée

On dispose de deux dés à 6 faces, un rouge et un bleu. On jette ces deux dés et on obtient un couple (i, j) où i est la facerouge et j la face bleue.L’univers Ω est constitué de 36 couples et il y a équiprobabilité. On désigne par X l’application de Ω dans R qui à toutcouple(i, j) associe la somme : k = i + j. Cette application est appelée VARIABLE ALEATOIRE définie sur Ω.L’ensemble des valeurs prises par X noté X(Ω) est appelé univers image, c’est l’intervalle des nombres entiers :J2; 12K(voir tableau ci-dessous). Ω étant fini, il en est de même de X(Ω).On dit que X est une variable aléatoire discrète.

dé rouge 1 2 3 4 5 6dé bleu

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

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2.3. VARIABLE ALÉATOIRE 15

2.3.2 Loi de probabilité

On se propose de calculer pour tout k ∈ J2; 12K la probabilité pour que X prenne la valeur k. On admettra que cetteprobabilté est égale à la probabilité de l’événement Ak inclus dans Ω constitué des couples (i, j) tels que i + j = k.On note aussi ”X = k” cet événement.

Exemple : P (X = 4) est la probabilité de l’événement : A4 = ”X = 4” = (1, 3); (2, 2); (3; 1)On a donc : P (X = 4) =

3

36=

1

12. On a, dit-on, réalisé un transfert de probabilité de Ω sur X(Ω).

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16 CHAPITRE 2. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES

L’application f qui à tout k associe P (X = k) est appelé Loi de probabilité de la variable aléatoire X .

On peut réaliser un tableau des valeurs de f :

k 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P (X = k)1

36

1

18

1

12

1

9

5

36

1

6

5

36

1

9

1

12

1

18

1

36

Remarques :Les événements "X = k" réalisent une partition de X(Ω)La somme de leurs probabilités est égale à 1

2.3.3 Espérance mathématique

Définition 11 Le nombre

E(X) =∑

k × P (X = k)

est appelé Espérance mathématique de la variable aléatoire X.

Dans l’exemple étudié :

E(X) =2

36+

3

18+

4

12+

5

9+

30

36+

7

6+

40

36+

9

9+

10

12+

11

18+

12

36=

252

36= 7

Remarques :L’espérance correspond à la moyenne pondérée en Statistiques descriptivesOn a :E(aX + b) = aE(X) + b

On peut imaginer le jeu suivant : une mise de 21 e par joueur et le joueur reçoit 3 fois la somme en e indiquée parla somme des dés. On définit une nouvelle variable aléatoire Y telle que : Y = 3X − 21 et on a : E(Y ) = E(3X − 21) =3E(X) − 21 = 3 × 7 − 21 = 0L’espérance de gain est donc nulle : on dit que le jeu est équitable.

2.3.4 Variance

La variance de la variable aléatoire X mesure la dispersion de ses valeurs autour de son espérance. On dit que la varianceest une mesure du risque.

Définition 12 Le nombre

V (X) = E [X − E(X)]2

est appelé Variance de la variable aléatoire X

Exercice : Calculer la variance dans l’exemple étudié.Remarques :

On admet que :

V (X) = E(X2) − [E(X)]2

c’est cette formule qui permet des calculs rapides de la variance.Propriété admise : V (aX + b) = a2V (X)

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2.3. VARIABLE ALÉATOIRE 17

2.3.5 Ecart-type

On note : σX ou encore σ(X) l’écart-type de la variable aléatoire X . Par définition, on a :

σ(X) =√

V (X)

L’écart-type est la racine carrée de la variance et mesure aussi la dispersion des valeurs prises par X autour de son espéranceet dans la même unité : dans le cas de la comparaison de deux séries de valeurs d’une même variable X , l’écart-type mesure"la prise de risque", quand les espérances sont voisines : moins de risque avec un écart-type petit.

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18 CHAPITRE 2. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES

2.4 Exercices

Exercice 1 (Bac SMS 2001)

Une enquête effectuée par le service commercial d’une chaîne de restauration, concernant les comportements alimentaires,porte sur un échantillon de 800 personnes.Trois groupes bien différenciés apparaissent :

• Type 1 : les personnes totalement végétariennes. On en compte 34.

• Type 2 : les personnes végétariennes qui consomment cependant du poisson. On en compte 132.

• Type 3 : les personnes non végétariennes. Elles constituent le reste de l’échantillon.

On compte 55 % de femmes dans l’échantillon et parmi celles-ci, 5 % sont totalement végétariennes. De plus, 7, 5 % deshommes de l’échantillon sont du type 2.

1. Compléter le tableau :

Type 1 Type 2 Type 3 Totaux

Femmes

Hommes

Totaux 800

2. On choisit au hasard une des 800 personnes de l’échantillon, chacune ayant la même probabilité d’être choisie. Tousles résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 0, 001 près.

a. Soit A l’événement : "la personne est non végétarienne". Calculer la probabilité P (A).

b. Soit B l’événement : "la personne est un homme". Calculer la probabilité P (B).

c. Définir par une phrase l’événement C = A ∩ B. et calculer sa probabilité.

d. Définir par un événement D exprimé avec A et B la phrase : "la personne est non végétarienne ou est unhomme". Calculer sa probabilité.

Exercice 2

On lance n dés (n > 1). On note A l’événement : "obtenir au moins un 6".

1. Décrire A.

2. Exprimer en fonction de n la probabilité P (A).

3. En déduire que : P (A) = 1 −(

5

6

)n

.

4. Compléter le tableau :

n 1 2 3 4 5 6 7 8

P (A)

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2.4. EXERCICES 19

5. En déduire le nombre de dés à lancer pour que : P (A) >3

4.

Indication : on admet le principe multiplicatif : la probabilité résultante est égale au produit des probabilités à chaqueétape. On pourra dans un premier temps examiner les cas n = 2 puis n = 3.

Exercice 3

Trois personnes déposent leur chapeau au vestiaire d’un restaurant. La personne du vestiaire, quelque peu distraite, décidede rendre au hasard les chapeaux aux clients. Quelle est la probabilité pour qu’un client au moins retrouve son chapeau ?

Indication : On notera P1, P2 et P3 les trois personnes et C1, C2 et C3 les trois chapeaux. On fera un arbre analysantdans l’ordre les trois personnes, chaque branche éventuelle représentant un chapeau.

Exercice 4

Pour se rendre à son travail, un restaurateur rencontre trois feux tricolores. On suppose que les feux fonctionnent demanière indépendante, que l’automobiliste s’arrête s’il voit le feu orange ou rouge et qu’il passe s’il voit le feu vert. Onsuppose de plus que chaque feu est vert durant un temps égal à rouge et orange (autrement dit, le restaurateur a autantde chances de passer que de s’arrêter).

1. Faire un arbre représentant toutes les situations possibles.

2. Quelle est la probabilité que le restaurateur ait :

a. les trois feux verts ?

b. deux des trois feux verts ?

Indication : on admet le principe multiplicatif : la probabilité résultante est égale au produit des probabilités à chaqueétape. On peut s’aider d’un arbre.

Exercice 5 (BAC STT 2002 polynésie)

Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyage leur a envoyé un questionnaire. Parmi les 200 réponses reçues :

• 55 % déclarent partir en vacances en famille.

• Parmi les clients qui ne partent pas en famille, 60 % préfèrent les voyages organisés et 20 % préfèrent les croisières.

1. Compléter le tableau :

Voyage organisé Club de vacances Croisière Totaux

En famille 26

Seul ou entre amis

Totaux 73 200

2. On choisit au hasard une des réponses ; calculer la probabilité des événements suivants :

• A : "le client part en famille"

• B : "le client préfère les croisières"

• C : "le client ne part pas en club de vacances"

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20 CHAPITRE 2. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES

3. Définir par une phrase chacun des événements A ∩ B et A ∪ B puis calculer leur probabilité.

4. On choisit au hasard une réponse parmi celles déclarant partir en famille. Quelle est la probabilité pour qu’elle soitla réponse d’un client préférant les clubs de vacances ?

Exercice 6 (BAC STT CG juin 2002)

Voici la répartition des salaires dans une entreprise. On dénombre cinq classes de salaires différents notées : A, B, C, D

et E.

20

40

60

80

effectifs

salaires (e )

1000

1400

1800

2200

2600

3000

A

B C D

E

1. Compléter le tableau donnant la distribution des effectifs en fonction du salaire :

Salaires en e [1000; 1400[ [1400; 1800[ [1800; 2200[ [2200; 2600[ [2600; 3000[

Effectifs

2. On rencontre au hasard un salarié de l’entreprise. On considère les événements suivants :

• A : "le salarié appartient à la classe A".

• A : "le salarié n’appartient pas à la classe A.

• B : "le salarié appartient à la classe B".

a. Déterminer : P (A) et P (B).

b. Définir chacun des événements par une phrase portant sur le salaire et calculer leur probabilité : A ∪ B et A.

3. On sait que le salarié rencontré a un salaire en e appartenant à [1800; 2600[. Déterminer la probabilité p pour quece salarié appartienne à la classe C.

Page 21: cours BTS hôtellerie

2.5. EXERCICES : VARIABLES ALÉATOIRES 21

Exercice 7 (BAC STT CGI Nlle Calédonie 2002)

Un restaurant sert 300 couverts par service, en proposant un menu à 16 e et un menu à 24 e . Le gérant offre à chacunde ses clients soit un café, soit un apéritif. 60 % des clients ont choisi un café, les autres un apéritif. La moitié des clientsont choisi un menu à 24 e avec un café. Parmi ceux qui choisissent le menu à 24 e , 75 % ont choisi un café.

1. Réaliser un tableau donnant tous les cas possibles et les nombres de clients correspondants.

2. On choisit au hasard un client parmi les 300. On considère les événements :

• A : "le client a choisi un menu à 16 e "

• B : "le client a choisi un apéritif"

a. Définir l’événement : A ∩ B.

b. Calculer : P (A), P (B) et P (A ∩ B).

3. Un client a choisi un café. Déterminer la probabilité que ce client ait choisi un menu à 24 e .

2.5 Exercices : variables aléatoires

2.5.1 Compléments

Deux événements A et B sont indépendants si leurs probabilités vérifient :

P (A ∩ B) = P (A) × P (B)

Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour toute valeur a prise par X et toute valeur b prise par Y , lesévénements (X = a) et (Y = b) sont indépendants. (La réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de l’autre)Exemple : Deux tirages successifs sans remise ne sont pas indépendants car les résultats du deuxième sont conditionnéspar ceux du premier.Deux tirages successifs avec remise sont indépendants.

Si X et Y sont indépendantes alors, on admet que :

E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

V (X + Y ) = V (X) + V (Y )

2.5.2 Péréquation

Exercice 8 (BTS)

Les copies d’un examen sont corrigées par deux examinateurs X et Y . On considère que les notes du premier sont unevariable aléatoire X telle que : E(X) = 8 et σX = 4 et que celles du second sont une variable aléatoire Y telle que :E(Y ) = 12 et σY = 2. Le jury voulant éviter les écarts de notations réalise une péréquation : les notes des candidatsseront une variable aléatoire Z telle que : E(Z) = 10 et σZ = 3. De plus les variables X et Y vérifieront : Z = aX + b etZ = αY + β.

1. Déterminer à l’aide des propriétés de E et V les coefficients a , b , α et β et écrire les péréquations obtenues.

2. Un candidat qui a obtenu 9 avec l’examinateur X et un autre 11 avec Y auront quelle note définitive ?

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22 CHAPITRE 2. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES

2.5.3 Fiabilité de deux fours

Exercice 9 (BTS)

Un restaurant utilise deux types de fours A et B. Les fabricants ont indiqué dans les tableaux suivants les lois de probabilitédes variables XA et XB donnant les nombres de jours de panne par an de chaque type de four. Dans ces tableaux xi estle nombre de jours de panne et P (X = xi) la probabilité correspondante.

Four A

xi 0 1 2 3 4 5

P (XA = xi) 0, 2 0, 3 0, 2 0, 15 0, 10 0, 05

Four B

xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P (XB = xi) 0, 25 0, 32 0, 16 0, 10 0, 08 0, 05 0, 02 0, 01 0, 01

1. Calculer dans les deux cas l’espérance et la variance. Quel est le type de four le plus fiable ?

2. Le coût par jour de panne est de 100 e . Calculer l’espérance de coût dû aux pannes de chaque type de four notéesE(CA) et E(CB).

3. En supposant les variables XA et XB indépendantes, calculer l’espérance et l’écart-type du coût dû aux pannes del’ensemble des deux fours.

2.5.4 Loi de probabilité

Exercice 10 (BTS)

Fonction de répartition

On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par :

F (x) = P (X 6 x)

On la représente graphiquement par une fonction dite "en escalier". Elle correspond au polygone des effectifs cumuléscroissants en statistiques descriptives.

Page 23: cours BTS hôtellerie

2.5. EXERCICES : VARIABLES ALÉATOIRES 23

Enoncé

Une étude statistique a montré que la variable aléatoire X donnant le nombre de ventes mensuelles k d’un article suivaitla loi de probabilité :

k 0 1 2 3 4 5

P (X = k)1

9

2

9

1

3

2

9

1

18a

1. Calculer la probabilité a.

2. Calculer l’espérance et l’écart-type.

3. Calculer la probabilité de vendre en un mois au moins deux articles.

4. Calculer la probabilité de vendre en un mois moins de trois articles.

5. Calculer la probabilité de vendre en un mois entre un et quatre articles.

6. Représenter la loi de probabilité (fonction de distribution) de la variable X .

7. Représenter la fonction de répartition de la variable X : voir ci-dessous.

x

F(x)

2

18

6

18

12

18

16

18

1

1 5

Page 24: cours BTS hôtellerie

24 CHAPITRE 2. PROBABILITÉS : NOTIONS SIMPLES

Page 25: cours BTS hôtellerie

Chapitre 3

Variables aléatoires discrètes

3.1 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète

3.1.1 Exemple

Un traiteur propose un choix de 10 menus différents : 2 menus à 15 e ; 5 menus à 18 e et 3 menus à 21 e . Une expériencealéatoire consiste pour un client à choisir au hasard un menu parmi les 10. Il y a équiprobabilité et chaque menu a une

probabilité de1

10d’être choisi. L’univers Ω de l’expérience est l’ensemble des 10 menus.

A chaque menu associons son prix, on définit ainsi une application de Ω dans l’ensemble 15; 18; 21 des prix. Cetteapplication notée X est une VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE.

On peut alors envisager divers événements :A : "le menu coûte 15 e ", A est un ensemble de 2 événements élémentaires : il est noté (X = 15).B : "Le menu coûte 25 e ", B est l’ensemple vide, on pourrait le noter (X = 25).C : "Le menu coûte strictement moins de 21 e ", C sera noté : (X < 21).D : "Le menu coûte plus de 18 e ", D sera noté : (X > 18).

3.1.2 Définition

X étant une variable aléatoire et k un réel, (X = k) est l’événement de l’univers Ω constitué des événements élémentairesassociés au nombre k par l’application X .La probabilité de cet événement est notée : P (X = k).

Exemple : (X = 21) est l’événement constitué des 3 menus à 21 e . De plus : P (X = 21) =3

10Exercice : Calculer : P (X = 15) ; P (X < 21) ; P (X = 25) et P (X > 18)

3.1.3 Loi de probabilité

L’ensemble des valeurs réelles prises par la variable aléatoire X est noté X(Ω) : c’est l’univers image. Dans l’exempledes prix des menus : X(Ω) = 15; 18; 21. On calcule les probabilités des 3 événements élémentaires de X(Ω) et on noteles résultats dans un tableau, on construit ainsi la loi de probabilité de la variable aléatoire X . On l’appelle aussi :Fonction de distribution.

On remarque que :∑

P (X = k) = 1

car les 3 événements (X = 15) ; (X = 18) et (X = 21) sont disjoints et que leur réunion est l’univers.Définition : La loi de probabilité de la variable X est donc la fonction f qui à tout réel k associe la probabilité del’événement (X = k) : f : k 7→ f(k) = P (X = k).

25

Page 26: cours BTS hôtellerie

26 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

k 15 18 21

P (X = k)1

5

1

2

3

10

3.1.4 Fonction de répartition de la variable X

On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par :

F (x) = P (X 6 x)

On la représente graphiquement par une fonction dite "en escalier". Elle correspond au polygone des effectifs cumuléscroissants en statistiques descriptives. (voir exercices)

3.2 Espérance mathématique, Variance et écart type

3.2.1 Espérance mathématique E(X)

L’espérance est la moyenne des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leur probabilité. On a donc :

E(X) =∑

k × P (X = k)

Dans l’exemple :

E(X) = 15 × 1

5+ 18 × 1

2+ 21 × 3

10=

183

10= 18, 3

E(X) correspond au prix moyen d’un menu quand l’expérience aléatoire du choix d’un menu au hasard est renouvelée untrès grand nombre de fois.

3.2.2 Propriétés de E(X)

Si E(X) = 0, on dit que la variable aléatoire X est centrée.Si une nouvelle variable aléatoire Y est définie par Y = aX + b, on admet que :

E(Y ) = aE(X) + b

.

3.2.3 Variance et écart type

Variance V (X)

On appelle variance de X le nombre V (X) défini par :

V (X) =∑

(k − E(X))2 × P (X = k)

Cette formule étant d’usage difficile, on lui préfère la suivante qui sera admise :

V (X) = E(X2) − (E(X))2

Page 27: cours BTS hôtellerie

3.2. ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE, VARIANCE ET ÉCART TYPE 27

Dans l’exemple :

V (X) = 152 × 1

5+ 182 × 1

2+ 212 × 3

10− (18, 3)2 = 339, 3− 334.89 = 4, 41

La variance mesure la dispersion des valeurs de X autour de l’espérance E(X). On dit que la variance mesure le risque.

Ecart type

On appelle écart type de X le nombre noté σX ou σ(X) égal à la racine carrée de la variance :

σX =√

V (X)

Dans l’exemple :

σX =√

4, 41 = 2, 1

Propriétés

Quand l’espérance de X est nulle et que l’écart type est égal à 1, on dit que la variable aléatoire X est centrée etréduite.

Si une nouvelle variable aléatoire Y est définie par Y = aX + b, on admet que :

V (Y ) = a2V (X)

Théorème

Si X est une variable aléatoire d’expérance mathématique E(X) = m et d’écart type non nul σ, alors la variable aléatoire

X∗ =X − m

σest centrée et réduite.

Preuve :

E(X∗) = E(X − m

σ) = E(

1

σX − m

σ) =

1

σE(X) − m

σ=

m

σ− m

σ= 0

V (X∗) = V (X − m

σ) = V (

1

σX − m

σ) =

1

σ2V (X) =

σ2

σ2= 1

La variable X∗ est donc centrée et réduite : ce résultat sera utile dans le cours sur la Loi Normale ou de Laplace-Gauss.

Utilité économique

Si on a à choisir entre plusieurs projets dont les résultats sont des variables aléatoires, on choisit l’espérance de gainmaximale ou l’espérance de coût minimale et la variance minimale car elle représente le risque.

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28 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

3.2.4 Représentation graphique de la fonction de répartition

x

F(x)

1

1

5

7

10

2 15 18 21

3.3 Exercices

Exercice 1

Dans un jeu de hasard, un joueur mise 1 e sur le numero 5. Le jeu consiste à lancer deux dés. Si le numéro 5 est obtenusur chaque dé, le joueur reçoit 4 e . S’il est obtenu sur un seul dé, le joueur reçoit 3 e . S’il n’est obtenu sur aucun dé, lejoueur perd sa mise.

1. Quelles sont les probabilités de ces 3 événements ?

2. On note X la variable aléatoire qui mesure le gain algébrique du joueur. Quelles sont les valeurs prises par X ? Quelleest son espérance ? Le jeu est-il équitable ? Quelle est la variance de X ?

Exercice 2

Dans une usine, à la fin d’une chaîne de fabrication, on effectue deux tests de qualité T1 et T2.

• 95 % des pièces fabriquées réussissent le test T1.

• Parmi les pièces ayant réussi T1, 99 % réussissent le test T2.

• Parmi les pièces ayant échoué à T1, 98 % réussissent le test T2.

Page 29: cours BTS hôtellerie

3.3. EXERCICES 29

On note T1 l’événement : "la pièce réussit le test T1" et T2 l’événement : "la pièce réussit le test T2". Les résultats sontdonnés à 10−4 près.

1. Faire un arbre probabilisé décrivant la situation.

2. Calculer la probabilité qu’une pièce réussisse le test T2.

3. Les pièces ayant réussi T1 et T2 sont commercialisées à 10 e . Celles qui n’ont réussi qu’à l’un des deux tests sontvendues à 8 e . Les autres sont rejetées. On note X la variable aléatoire qui mesure le prix de vente d’une pièce.

a. Donner sous forme d’un tableau la loi de probabilité de X .

b. Calculer l’espérance de X et interpréter le résultat.

c. Calculer la variance de X et son écart-type.

Remarque : on admet la formule des probabilités totales. Si A est un événement et A son contraire, si M est un autreévénement, alors :

P (M) = P (M ∩ A) + P (M ∩ A)

Exercice 3

Une enquête statistique portant sur la clientèle d’un restaurant a montré que la variable aléatoire X mesurant le nombrede desserts commandés par une table de 4 personnes vérifiait la loi de probabilité suivante :

k 0 1 2 3 4

P (X = k) 0, 10 0, 15 0, 20 0, 35 0, 20

1. Calculer l’espérance de la variable X et donner une interprétation du résultat.

2. Calculer la variance de X .

3. Représenter la fonction de répartition de la loi suivie par X .

Page 30: cours BTS hôtellerie

30 CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

Page 31: cours BTS hôtellerie

Chapitre 4

Analyse combinatoire et dénombrements

4.1 Notions d’analyse combinatoire

4.1.1 Principe multiplicatif

Définition

L’ensemble noté E×F est l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F . Dans la notion de couple, il y a la notiond’ordre : l’élément x de E est avant l’élément y de F .

Exemple

E = 1, 2, 3 et F = a. Alors E × F = (1, a); (2, a); (3, a). Attention : en général : E × F 6= F × E.

Propriété

Si E a n éléments, si F a p éléments, alors E × F a np éléments. Exemple : la combinaison d’un cadenas est constituéed’une lettre suivie d’un chiffre, il y a 26 × 10 = 260 combinaisons distinctes possibles.

Remarque

Si E = F , alors on note E2 = E × E. Si E a n éléments, E2 en a n2.

Généralisation

Si E1 , E2 , E3 . . . . . . Ep sont des ensembles connus, on appelle p−uplet tout élément noté (x1, x2, x3, . . . . . . xp) deE1 × E2 × E3 . . . . . . Ep, c’est à dire toute suite ordonnée de p éléments, chaque élément xi étant pris dans Ei. Dans cesconditions, si Ei à ni éléments, le nombre de p−uplets obtenus est : n1 × n2 × n3 . . . np.

Beaucoup d’applications pratiques sont fondées sur la reformulation de ce résultat : c’est le Principe Multiplicatif :

• p décisions successives avec exactement ni choix possibles à la ième étape produisent au total n1.n2.n3. . . . np résultatsdistincts.

• Une épreuve aléatoire constituée de p épreuves ayant respectivement n1, n2, n2, . . . ,np issues comporte au totaln1.n2.n3. . . . np issues.

4.1.2 Exemples

Exemple 1

Le code d’accès d’un coffre est constitué de 3 lettres suivies de 5 chiffres : il y a 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 =263 × 105 = 1 757 600 000 codes possibles !

31

Page 32: cours BTS hôtellerie

32 CHAPITRE 4. ANALYSE COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENTS

Exemple 2

Supposons qu’un serveur de restaurant dispose de 3 vestes, 6 pantalons et 7 chemises, il peut constituer 3 × 6 × 7 = 126tenues différentes.

4.2 Arrangements

4.2.1 Arrangements avec répétition

Définition

Soit un ensemble E = a1, a2, . . . , an, on se propose de tirer au hasard et avec remise un élément de E et de recommencerp fois. On obtient un p−uplet qui est donc une suite ordonnée de p éléments pris parmi n. C’est un arrangement avecrépétition de p éléments parmi n. On dit "avec répétition" car l’élément choisi est remis et donc peut être choisi ànouveau.

Remarque

Un arrangement avec répétition est aussi appelé : p-liste.

Propriété

Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments parmi n est np.

Exemple

Au loto sportif, si le nombre de paris porte sur 15 matchs, le choix par match est G, N ou P : il y a 315 = 14 348 907 grillespossibles, c’est le nombre d’arrangements de 15 éléments parmi 3. Une grille est une suite ordonnée de 15 éléments prisparmi 3.

Conclusion

Un arrangement avec répétition correspond à p tirages successifsavec remise d’un élément dans un ensemble à n éléments : il y a np

arrangements possibles au total et l’ordre intervient.

4.2.2 Arrangements sans répétition

Définition

Dans ce cas, l’ordre intervient encore mais le tirage de l’élément est sans remise et évidemment p 6 n. Au premiertirage, il y a n choix, au deuxième il y a (n− 1) choix, . . .. . .au pième tirage, il y a (n− p + 1) choix. Un arrangement sansrépétition de p éléments parmi n est une suite ordonnée de p éléments distincts.

Propriété

Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments parmi n est :

Apn = n(n − 1)(n − 2) . . . . . . (n − p + 1)

Exemple

Le nombre de quintés dans l’ordre dans une course de 21 chevaux est : 21 × 20 × 19 × 18 × 17 = 2 441 880.

Page 33: cours BTS hôtellerie

4.3. COMBINAISONS 33

4.2.3 Notation factorielle

On note :

n! = 1 × 2 × 3 × 4 . . . · · · × n

Par convention : 0! = 1 et 1! = 1.

On a donc si p 6 n :

Apn =

n!

(n − p)!

Exemple

Pour un jeu TV, il y a le choix entre 15 chansons : on demande d’en classer 5 en les numérotant de 1 à 5. Combien de

classements possibles ? réponse : A515 =

15!

10!= 15 × 14 × 13 × 12 × 11 = 360 360.

Conclusion

Un arrangement sans répétition correspond à p tirages successifssans remise d’un élément dans un ensemble à n éléments : il y aAp

n arrangements possibles au total et l’ordre intervient.

4.2.4 Permutation

Définition

On appelle permutation d’un ensemble à n éléments toute suite ordonnée de n éléments distincts. C’est donc unarrangement sans répétition de n éléments parmi n.

Propriété

Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est :

Ann = n!

Exemple

Pour un jeu TV, il y a le choix entre 15 chansons : on demande de les classer en les numérotant de 1 à 15. Combien declassements possibles ? réponse : 15! = nombre très grand de l’ordre de 1300 milliards.

4.3 Combinaisons

4.3.1 Définition

On appelle combinaison de p éléments d’un ensemble E à n éléments (n > p) toute partie de E à p éléments. Ici l’ordredes éléments n’intervient pas : cela correspond au tirage simultané de p éléments dans un ensemble à n éléments.

4.3.2 Propriéte admise

Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est :

(

n

p

)

=Cp

n =n!

p!(n − p)!

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34 CHAPITRE 4. ANALYSE COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENTS

Remarque

Dans un ensemble à n éléments, il y a

(

n

p

)

façons d’en choisir p, sans ordre.

Exemple

Au loto national il y a

(

49

6

)

grilles à 6 numéros soit :

(

49

6

)

=49!

6! × 43!= 13 983 816.

Conclusion

Une combinaison correspond à un tirage simultané de p éléments

dans un ensemble à n éléments : il y a

(

n

p

)

combinaisons possibles

au total et l’ordre n’intervient pas.

4.4 Synthèse

critères I éléments répétés éléments distinctsH

avec ordre utiliser les p-listes utiliser les arrangements

sans ordre hors programme utiliser les combinaisons

4.5 Exercices

Exercice 1

Dans une course de 100m, il y a huit partants numérotés de 1 à 8. Sur le podium, il y a trois médaillés (or-argent-bronze).Combiem de podiums possibles peut-on obtenir ?

Exercice 2

Combien peut-on attribuer de numéros de téléphones portables (numéros à 10 chiffres commençant par 06) ?

Quand on utilise plusieurs combinaisons, faut-il additionner ou multiplier ?

Cela dépend de la situation :

• Si les différentes étapes sont reliées par un "et", on multiplie.

• Si les différentes étapes sont reliées par un "ou", on additionne.

Exercice 3

On remplit une grille de loto (encore !). Calculer la probabilité d’avoir exactement 3 numéros gagnants. (Sans tenir comptedu complémentaire).

Exercice 4

Un restaurateur dispose de dix serveurs, cinq garçons et cinq filles, parmi lesquels il doit choisir les six serveurs qui seronten salle, les autres resteront au bar.

Page 35: cours BTS hôtellerie

4.5. EXERCICES 35

1. Calculer le nombre d’équipes de six serveurs que le restaurateur peut former.

2. Quelle est la probabilité d’avoir une équipe composée de trois filles et trois garçons ?

3. Parmi ces serveurs deux ne veulent absolument pas travailler ensemble en salle. Quelle est la probabilité de voir leurvoeu réalisé ?

Exercice 5

Une entreprise comprend 35 cadres dont 24 hommes. On en choisit 3 représentants pour former un comité de délégués àdes postes indifférenciés.

1. Combien de comités peut-on former ?

2. Même question si le comité doit comprendre 2 hommes et 1 femme.

3. Même question si le comité doit comprendre 3 personnes de même sexe.

4. Même question si le comité doit comprendre au moins 1 femme.

5. Les représentants doivent désormais occuper 3 postes différenciés : président, vice-président et secrétaire.

a. Combien de comités peut-on former ?

b. Même question si le président est un homme obligatoirement.

c. Même question si le président est une femme obligatoirement.

Page 36: cours BTS hôtellerie

36 CHAPITRE 4. ANALYSE COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENTS

Page 37: cours BTS hôtellerie

Chapitre 5

LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON

5.1 Epreuve et loi de Bernoulli

5.1.1 Epreuve de Bernoulli

On considère une population ou univers Ω dans laquelle on analyse un caractère donné C. La proportion des individusayant ce caractère est p (avec 0 6 p 6 1). On choisit au hasard un individu dans cette population et on note X la variablealéatoire qui associe à cet individu la valeur 1 si le caractère C est observé, 0 sinon. Ce tirage d’un individu au hasard dansΩ ainsi défini est une épreuve de Bernoulli de paramètre p encore appelée :"épreuve succès-echec". La probabilitéde succès est : p , celle de l’échec est : q = 1 − p.

5.1.2 Loi de Bernoulli

La loi de la variable X est la suivante :

k 0 1

P (X = k) 1 − p p

L’éspérance de X est :

E(X) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p

La variance de X est :

V (X) = 02× (1−p)+12×p−p2 = p−p2 = p(1−p)

5.1.3 Exemple

Une statistique de la clientèle d’un restaurant montre que la proportion des clients, le samedi soir, choisissant le menu

le plus cher est d’environ1

3. Une épreuve consiste à choisir au hasard un client entrant un samedi soir donné dans ce

restaurant : c’est une épreuve de Bernoulli de paramètre p =1

3et la variable aléatoire X qui associe 1 si le client pris au

hasard a choisi le menu le plus cher et 0 sinon, vérifie : E(X) =1

3V (X) =

1

3(1 − 1

3) =

2

9σ(X) =

√2

3.

5.2 Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale

5.2.1 Définition

On appelle schéma de Bernoulli une suite de n épreuves indépendantes de Bernoulli de même paramètre p. L’indé-pendance est fondamentale. Par exemple : une suite de n tirages d’une boule dans une urne avec remise après chaquetirage.

37

Page 38: cours BTS hôtellerie

38 CHAPITRE 5. LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON

5.2.2 Loi Binomiale

Soit une suite de n épreuves de Bernoulli avec pour chaque épreuve la même probabilité de succès p et d’échec q = 1−p.Soit X la variable aléatoire qui associe le nombre k de succès lors de cette suite de n épreuves. On a : 0 6 k 6 n.On admet que la probabilité d’obtenir k succès lors de ces n épreuves est donnée par :

P (X = k) =Ck

n pk(1 − p)n−k ou P (X = k) =

(

n

k

)

pk(1 − p)n−k

On dit que X suit une Loi Binomiale de paramètres n et p. On note : X suit B(n, p) ou encore : X B(n, p)

5.2.3 Exemple

a. Une urne contient 5 jetons dont 3 verts et 2 bleus. On tire avec remise successivement 10 jetons et on note X la variablealéatoire qui donne le nombre de jetons verts obtenus lors des 10 tirages indépendants. X suit la loi : B(10; 0, 6). Calculerla probabilité d’obtenir exactement 4 jetons verts en 10 tirages :

P (X = 4) =C4

10 0, 64 × 0, 46 ≈ 0, 11exercice : Déterminer la loi de probabilité de X

b. On reprend l’énoncé 1.3 et on considère un groupe de 4 clients entrant dans le restaurant. Les choix de menus de cesclients sont indépendants. Déterminer la loi de probabilité de la variable X qui mesure le nombre de clients ayant choisi

le menu le plus cher dans ce groupe. X suit la loi : B(

4;1

3

)

. On obtient :

k 0 1 2 3 4

P (X = k) 0, 1975 0, 3951 0, 2963 0, 0988 0, 0123

Par exemple : P (X = 3) =C3

4

(

1

3

)3

×(

2

3

)4−3

≈ 0, 0988

5.2.4 Espérance et Variance

Si la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on admet que :

E(X) = np

V (X) = np(1 − p) = npq

σX =√

npq

exercice : Vérifier ces relations sur l’exemple précédent.

5.2.5 Modèle binomial

La loi binomiale exige une succession d’une même épreuve aléatoire dont on connait la probabilité de succès p identiqueà chaque étape. C’est le cas des tirages successifs avec remise et la loi donne alors la probabilité du nombre de succèsobtenus. Chaque épreuve est indépendante des autres.Cependant dans la pratique, les tirages s’opèrent souvent sans remise : par exemple si on contrôle la production d’uneusine en prélevant des échantillons. Dans ce cas on admet que si les échantillons sont de taille faible par rapport à lapopulation totale, les tirages sont indépendants : c’est le cas si la population de départ a une taille 10 fois supérieure àcelle d’un échantillon. La loi binomiale peut alors s’appliquer.

Page 39: cours BTS hôtellerie

5.3. LOI DE POISSON OU LOI DES ÉVÉNEMENTS RARES 39

Remarque : La loi binomiale a un inconvénient : sa difficulté de calcul. Dans certains cas, on peut approcher cette loi pard’autres lois plus simples d’utilisation. C’est le cas de la Loi de Poisson.

5.3 Loi de Poisson ou loi des événements rares

5.3.1 Définition

Une variable aléatoire X qui donne le nombre de réalisations d’un événement donné dans un intervalle de temps oud’espace ( exemples : files d’attente, nombre de voitures à un péage en 1 heure, nombre de pannes d’un appareil en un an,défauts des pieces d’une production en un temps donné, nombre de réclamations à l’accueil d’un hôtel en un jour...) suitdans certaines conditions la Loi de Poisson de paramètre λ notée : P(λ) définie par :

pour tout k ∈ N

P (X = k) =λk

k!e−λ

E(x) = λ

V (X) = λ

σX =√

λ

On note :X suit la loiP(λ)

X P(λ)

Le processus de Poisson est une approximation de la Loi Binomiale dans les cas pratiques suivants :

❶ Dans les cas où les conditions de la loi binomiale sont réunies : répétitions indépendantes d’une même épreuvesuccès-échec et où la probabilité du cas favorable est faible. Futur indépendant du passé.

❷ Si n est grand et p voisin de 0. (Loi des événements rares)

❸ si n > 30 et p 6 0, 1 et np < 15 (conditions admises)

❹ Dans le cas d’une distribution statistique d’une variable X ayant ses valeurs faibles avec des fréquences élevées etvérifiant E(X) = V (X). voir énoncé corrigé.

5.4 BTS corrigé

5.4.1 Enoncé

Les gérants d’un hôtel décident d’offir une nuit d’hôtel ou son remboursement à tout client ayant émis une réclamation etrempli un questionnaire sur l’amélioration de la qualité. L’analyse de l’année 2003 écoulée a donné les résultats :

Xi 0 1 2 3 4

Ni 199 125 30 10 1

Dans ce tableau :Xi désigne le nombre de réclamations et de questionnaires remplis.Ni est le nombre de jours de l’année 2003 ayant connu Xi réclamations.L’hôtel a ouvert 365 jours en 2003. Le coût d’une nuit offerte est 30 e .

Page 40: cours BTS hôtellerie

40 CHAPITRE 5. LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON

a. Calculer combien de réclamations avec questionnaires remplis ont été émises en 2003. Déterminer quel aurait été lecoût du remboursement s’il avait été appliqué en 2003.

b. On désigne par X la variable représentant le nombre de réclamations avec questionnaires remplis par jour. Calculer lamoyenne E(X) et la variance V (X).

c. On suppose qu’en 2004 la variable X donnant le nombre de réclamations avec questionnaires remplis suit une loi deprobabilité dont les valeurs sont celles du tableau obtenu en 2003. Expliquer pourquoi la distribution de X peut êtreapprochée par une loi de Poisson. Indiquer la valeur du paramètre λ de cette loi.

d. Calculer la probabilité des événements suivants :

A "N’avoir en 2004 aucune réclamation par jour"

B "Avoir en 2004 au plus 2 réclamations par jour"

5.4.2 Corrigé

a.∑

XiNi = 0 × 199 + 1 × 125 + 2 × 30 + 3 × 10 + 4 × 1 = 219 soit un coût de : 219 × 30 = 39420 e .

b. E(X) =

XiNi

N=

219

365= 0, 60

et V (X) =02 × 199 + 12 × 125 + 22 × 30 + 32 × 10 + 42 × 1

365− (0, 6)2 = 0, 601 ≈ 0, 6

c. X suit une loi d’événements rares (les effectifs Ni élevés correspondent aux valeurs Xi faibles ).De plus E(X) = V (X). On peut approcher la loi de X par une loi de Poisson de paramètre λ = 0, 6.

d. A :P (X = 0) =0, 60

0!e−0,6 = e−0,6 ≈ 0, 5488

B :P (X 6 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) ≈ 0, 8781Ces derniers résultats s’obtiennent directement avec la loi ou avec la table de la loi de Poisson.

5.5 Exercices et BTS sur la Loi Binomiale et la Loi de Poisson

5.5.1 BTS 2000

Une étude a montré qu’en moyenne 100 consultations d’un site hôtelier sur Internet entraînent 2 réservations fermes etque la variable aléatoire X qui mesure le nombre mensuel de réservations suit une Loi de Poisson. La première année lenombre moyen mensuel de consultations est estimé à 250.

1) Quel est le paramètre de la Loi de Poisson suivie par la variable aléatoire X ?

2) En utilisant la table de la Loi de Poison, déterminer la probabilté pour un mois donné que le nombre de réservationsfermes soit :

a) de 8 réservations.

b) de 12 réservations.

c) compris entre 8 (inclus) et 12 (inclus) réservations.

5.5.2 Corrigé BTS 2000

1) Le paramètre λ de la Loi de Poisson suivie par X est λ = np soit λ = 250× 2

100= 5. On remarque que les conditions

d’application de la loi sont réunies : n = 250 > 30 ; p = 0, 02 6 0, 1 et np = 5 < 15.

2) En utilisant la table ou la formule : P (X = k) = e−5 × 5k

k !, on obtient :

a) P (X = 8) = e−5 × 58

8 !≈ 0, 0653

b) P (X = 12) = e−5 × 512

12 !≈ 0, 0034

Page 41: cours BTS hôtellerie

5.5. EXERCICES ET BTS SUR LA LOI BINOMIALE ET LA LOI DE POISSON 41

c) Les événements (X = 8) ... (X = 12) sont disjoints, d’où :P (8 6 X 6 12) = P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) ≈ 0, 0653 + 0, 0363 + 0, 0181 +0, 0082 + 0, 0034 ≈ 0, 1313

5.5.3 Arbre et Loi Binomiale

Un joueur de tennis effectue une mise en jeu. Pour cela il a droit à 2 tentatives : un premier service suivi, s’il n’a pas réussi,d’un deuxième service. La probabilité pour que le premier service soit réussi est de 0, 5. Si le joueur échoue au premierservice, la probabilité pour qu’il réussisse au deuxième service est de 0, 7. Quand le joueur échoue aux deux services, il ya double faute sinon, on dit que la mise en jeu est réussie.

1) Déteminer à l’aide d’un arbre la probabilité pour que, sur une mise enjeu, le joueur fasse une double faute.

2) En déduire que la probabilité pour que la mise en jeu soit réussie est égale à 0, 85.

3) Le joueur effectue une série de 10 mises en jeu successives et indépendantes. Soit X la variable aléatoire mesurant lenombre de mises en jeu réussies lors de cette série.

a) Justifier que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

b) Calculer la probabilité pour que le joueur réussisse 8 mises en jeu.

c) Calculer la probabilité pour que le joueur réussisse au moins 9 mises en jeu.

d) Calculer la probabilité pour que le joueur réussisse au maximum 8 mises en jeu.

5.5.4 Corrigé

1) Notons R l’événement "la mise en jeu est réussie" et DF l’événement "il y a double faute". On peut construire l’arbresuivant :

F0,5

F0,3

R0,7

R0,5

Le principe multiplicatif (ou les probabilités condition-nelles) montre que : P (DF ) = 0, 5 × 0, 3 = 0, 15

2) On en déduit que P (R) = 1− 0, 15 = 0, 85. On peut aussiécrire : P (R) = 0, 5 + 0, 5 × 0, 7 = 0, 5 + 0, 35 = 0, 85

3) a) Il s’agit d’une suite de 10 épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès égale à 0, 85. X suit une loibinomiale de paramètres n = 10 et p = 0, 85.

b) P (X = 8) =

(

10

8

)

× (0, 85)8 × (0, 15)2 =≈ 0, 276

c) P (X > 9) = P (X = 9)+ P (X = 10) =

(

10

9

)

× (0, 85)9 × (0, 15)1 +

(

10

10

)

× (0, 85)10 × (0, 15)0 =≈ 0, 347+ 0, 197 ≈0, 544

d) L’événement (X 6 8) est le contraire de l’événemént (X > 9). On a donc P (X 6 8) = 1−P (X > 9) ≈ 1− 0, 544 =0, 456.

5.5.5 Loi Binomiale et Loi de Poisson (non corrigé)

Une société vend des mini-bars à une chaîne d’hôtels comprenant chacun 150 chambres chacune équipée d’un mini-bar.Afin de contrôler la qualité de sa production, elle demande à 100 de ces hôtels de lui indiquer le nombre de mini-barstombés en panne dans l’année écoulée. On obtient le tableau suivant :

Page 42: cours BTS hôtellerie

42 CHAPITRE 5. LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON

xi nombre mini-bars en panne 0 1 2 3 4 5 6 7

ni nombre d’hôtels 16 30 27 16 7 3 1 0

On suppose dans la suite que les pannes sont indépendantes et que le comportement des mini-bars est homogène dans letemps.

1) Soit X la variable aléatoire mesurant le nombre de mini-bars qui tombent en panne par hôtel en un an. Calculer lamoyenne (ou espérance) E(X) et l’écart-type σX .

2) Montrer que X suit une Loi Binomiale dont on précisera les paramètres.

3) Déterminer la probabilité pour qu’au cours d’une année dans un hôtel, un mini-bar exactement tombe en panne.

4) Montrer que la Loi Binomiale suivie par X peut être approximée par une Loi de Poisson dont on donnera le paramètreλ.

5) A l’aide de cette loi, déterminer la probabilité pour qu’au cours d’une année dans un hôtel, un mini-bar exactementtombe en panne. Comparer avec le résultat précédent.

6) Déterminer la probabilité pour que strictement plus d’un mini-bar tombe en panne dans un hôtel au cours d’une année.

Page 43: cours BTS hôtellerie

Chapitre 6

LOI NORMALE

La Loi Binomiale et la Loi de Poisson sont des lois discrètes : la variable aléatoire étudiée X ne prend que des valeursisolées (entières) et en nombre fini. Dans le cas où X prend toute valeur d’un intervalle ou de R, on dit que X est uneVariable Aléatoire Continue s’il existe une fonction f définie sur R vérifiant les conditions suivantes :

f est positive

∫ +∞

−∞

f(x) dx = 1

Pour tout réel t, P (X 6 t) =

∫ t

−∞

f(x) dx

La probabilité pour tout t : P (X = t) est nulle car X prend une infinité de valeurs. On ne peut définir que les probabilitételles que : P (X 6 t) ou P (X > t) ou encore P (b 6 X 6 a) si b < a. (voir les exemples). Dans ce cas, on dit que f

est la densité de probabilité de la variable aléatoire X . Le calcul d’une probabilité est alors celui d’une aire, cellecomprise entre la courbe de la fonction f , l’axe des abscisses et des droites verticales bien choisies.

6.1 Loi Normale

6.1.1 Définition

X est une variable aléatoire d’espérance m (sa moyenne) et d’écart-type σ. Dans de nombreux cas, la fréquence d’apparitiondes valeurs de X se fait de façon symétrique par rapport à m et elle est plus grande pour les valeurs proches de m. Lacourbe représentative de f est une courbe "en cloche" dite de "Laplace-Gauss". On dit que X suit une Loi Normale deparamètres m et σ. On note : X N (m, σ).

La densité de probabilité est une fonction compliquée : pour mémoire :

f(x) =1

σ√

2πe−1

2

(

x − m

σ

)2

On démontre que f vérifie les conditions d’une densité de probabilité. Pour ne pas avoir à utiliser cette fonction dans

chaque cas, on introduit une nouvelle variable aléatoire T définie par : T =X − m

σ. Cette variable T est dite centrée

et réduite. T suit alors la loi normale N (0, 1) de paramètres m = 0 et σ = 1. Ce qui permet de n’avoir qu’une densité

43

Page 44: cours BTS hôtellerie

44 CHAPITRE 6. LOI NORMALE

de probabilité à utiliser définie par :

f(t) =1√2π

e−1

2t2

Cette fonction est représentée ci-dessous :

t

y

O t

0,4

P(T 6 t) = Π(t)

L’aire hachurée est calculée et tabulée et représente la probabilité : P (T 6 t). On la note Π(t). Les valeurs sont dans latable jointe. Par exemple : P (T 6 1) = Π(1) = 0, 8413

6.1.2 Propriétés de la Loi Normale centrée et réduite N (0, 1)

Les propriétés résultent de la symétrie de la courbe et des calculs d’aires (intégrales). Elles sont admises :

t

y

O t

P(T 6 t) = Π(t)

0,4

Page 45: cours BTS hôtellerie

6.1. LOI NORMALE 45

t

y

O−t

P(T 6 −t) = 1− Π(t)

0,4

t

y

O t−t

P(−t 6 T 6 t) = Π(t) − Π(−t) = 2Π(t) − 1

0,4

t

y

O ba

P(a 6 T 6 b) = Π(b) − Π(a)

0,4

On a aussi :

P (T > t) = 1 − P (T 6 t) = 1 − Π(t)

6.1.3 Conditions d’application de la Loi Normale

Cette loi intervient dans l’étude de phénomènes (variables) aléatoires continus soumis à de multiples causes indépendantesdont aucune n’est prépondérante et dont la répartition des valeurs s’étale autour de leur moyenne de façon sensiblementsymétrique.

Page 46: cours BTS hôtellerie

46 CHAPITRE 6. LOI NORMALE

La loi Normale est aussi une approximation de la Loi Binomiale B(n, p) lorsque n est grand et que p et q = 1 − p nesont pas voisins de 0. On précise les conditions d’approximation (selon les auteurs) :

• p pas trop petit : p > 0, 1 et n grand : n > 30 avec np(1 − p) > 3

• Selon d’autres auteurs : n > 30 et np > 15 et np(1 − p) > 5.

Dans ce cas, B(n, p) peut être remplacée par N (m, σ) avec : E(X) = m = np ; V (X) = np(1 − p) et σ =√

V (X) =√

np(1 − p)

6.2 Enoncés

6.2.1 Exemple direct

Un lycée a 600 élèves et leur taille X en cm suit une Loi Normale de moyenne m = 170 cm et d’écart-type σ = 10 cm.

1. Exprimer la variable centrée réduite en fonction de X . En déduire X en fonction de T .

2. Calculer P (X 6 m)

3. Calculer P (160 6 X 6 180) et en déduire le nombre d’élèves dont la taille est comprise entre 160 cm et 180 cm.

6.2.2 Corrigé

1. T =X − 170

10ce qui donne : X − 170 = 10 T soit : X = 10 T + 170

2. P (X 6 m) = P (X 6 170) soit en utilisant la variable T : P

(

T 6170 − 170

10

)

ou encore P (T 6 0). La table donne :

P (T 6 0) = Π(0) = 0, 50.Il y a 50 % des élèves dont la taille est inférieure à m = 170 cm.

3. De la même façon :

P (160 6 X 6 180) = P

(

160 − 170

106 T 6

180 − 170

10

)

= P (−1 6 T 6 1) = Π(1) − Π(−1) = 2 Π(1) − 1 =

2 × 0, 8413− 1 = 0, 682668, 26 % des élèves soit environ 410 élèves ont une taille entre 160 cm et 180 cm.

6.2.3 BTS 2003

Afin d’organiser une réception sur invitations dans un restaurant, le gérant dispose des statistiques d’autres établissementsayant déjà organisé ce type de manifestations. Ces données recensent le nombre de cartons d’invitation envoyés (valablespour 2 personnes), le nombre de cartons récupérés à l’entrée lors de l’arrivée des invités (nombre d’invitations honorées)et le nombre de convives présents. On obtient le tableau :

Invitations envoyées 1620Invitations honorées 502Convives présents 851

1. Calculer le pourcentage des cartons d’invitation honorés par les convives (arrondir à l’entier les plus proche).

2. Calculer le nombre moyen de convives présents par carton d’invitation honoré (arrondir à la première décimale).

On estime que les fréquences obtenues seront les probabilités d’une réception à venir. On envoie 500 cartons d’invitation. Lenombre d’invitation honorées est une variable aléatoire X qui suit une Loi Binomiale de paramètres n = 500 et p = 0, 31.

1. Montrer que la loi de la variable X peut être approximée par une Loi Normale. Quels sont les paramètres de cetteLoi Normale ?

2. a. Calculer la probabilité pour que le nombre d’invitations honorées soit compris entre 140 et 170.

b. Si le nombre d’invitations honorées est compris entre 140 et 170, préciser l’intervalle dans lequel est compris lenombre de convives attendus.

3. Calculer la probabilité que le nombre de convives attendus dépasse la capacité d’accueil maximale de 300 personnes.Que peut-on en conclure ?

Page 47: cours BTS hôtellerie

6.2. ENONCÉS 47

6.2.4 BTS 2005

Monsieur Clavel a compris que le restaurant n’atteint pas un niveau normal de fréquentation. Il fait réaliser une étudede notoriété en centre-ville auprès d’un échantillon de 50 personnes. Cette étude montre que le restaurant dispose d’unenotoriété assistée actuelle de 15%.

1. Prouver que sur les 50 personnes interrogées, le nombre de personnes connaissant le restaurant du Mas du PèreSoulas suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Donner la formule permettant de calculer la probabilité pour que 9 personnes sur les 50 connaissent le restaurant.

3. Montrer que l’on peut faire une approximation de cette loi par une loi normale et donner ses paramètres à 0,1 près.

4. Calculer la probabilité pour qu’au moins 8 personnes connaissent le restaurant sur les 50 interrogées.

Page 48: cours BTS hôtellerie

48 CHAPITRE 6. LOI NORMALE

Page 49: cours BTS hôtellerie

Chapitre 7

Statistiques inférentielles

7.1 Introduction

Pour étudier une population statistique, on dispose de deux méthodes :

la méthode exhaustive ( recensement) : toute la population est examinée ; avantage : précision parfaite, inconvé-nients : son coût, sa longueur, son impossibilité dans le cas des populations très nombreuses.

la méthode des sondages : une partie de la population est examinée. Cette technique comprend deux parties :

• l’échantillonnage qui permet de passer de la population totale à l’une des ses parties (échantillons) ;

• l’estimation qui permet d’induire, à partir des résultats d’un échantillon, des informations sur la population totale.

Les problèmes d’échantillonnage, trop théoriques ne sont pas abordés, les résultats utiles sont admis. Ce cours proposequelques éléments sur la théorie de l’estimation.

7.2 Conditions générales

On dispose d’une population P d’effectif total N . On suppose que pour la variable observée X , la moyenne est m etl’écart-type est σ : ces valeurs sont inconnues et l’objectif est de les retrouver à partir des échantillons prélevés dansP .

Les échantillons sont prélevés avec remise ou sont de taille n très inférieure à N , (n << N), ce qui est assimilé à un tirageavec remise.

Supposons que l’on prélève k échantillons avec remise ou l’équivalent, chacun de taille n. On note : E1, E2, ..... Ek ceséchantillons et respectivement : x1, x2, ...., xk les moyennes de ces échantillons puis : σ1, σ2, ....σk les écart-types.

L’ensemble : x1, x2, ...., xk est une série statistique appelée distribution des moyennes. La variable : X qui associe àtout échantillon i de taille n sa moyenne xi est une variable aléatoire.

49

Page 50: cours BTS hôtellerie

50 CHAPITRE 7. STATISTIQUES INFÉRENTIELLES

La théorie de l’échantillonnage montre que :

1. On a :

E(X) = m et σX =σ√n

2. Pour n > 30, la variable aléatoireX − m

σ√n

=

√n

σ(X − m) suit la loi

normale N (0, 1).

Page 51: cours BTS hôtellerie

7.3. ESTIMATION PONCTUELLE 51

7.3 Estimation ponctuelle

Connaissant la moyenne x et l’écart-type σ′ d’un échantillon de taille n, il s’agit d’estimer la moyenne m de la populationtotale P et son écart-type σ.

La méthode naïve consiste à choisir comme estimateur ponctuel de m, la moyenne x de l’échantillon : on note

m = x

On choisit comme estimateur ponctuel de l’écart-type σ le nombre :

σ =

n

n − 1σ′

La correction par

n

n − 1permet de ne pas sous-estimer la variance de la variable X étudiée. On remarquera que si la

taille n de l’échantillon est grande, la valeurn

n − 1est très voisine de 1. Dans certains cas, l’écart-type de la population

σ est connu.

Remarque : si on choisit un autre échantillon, les estimateurs ci-dessus ont de fortes chances d’être différents. Ils dépendentdirectement de l’échantillon prélevé et subissent les fluctuations d’échantillonnage. On cherche alors une méthode quipermet à l’aide des lois de probabilités de déterminer des intervalles dans lesquels, avec une certaine confiance, les valeursinconnues des paramètres ont des chances de se situer.

7.4 Estimation par intervalle de confiance

7.4.1 Hypothèses

Une population P de taille N ; une variable X de moyenne m inconnue et d’écart-type connu σ : on prélève un échantillonde taille n, de moyenne x et d’écart-type σ′. Si l’écart-type de X est inconnu, à notre niveau, on choisit comme écart-typel’estimateur σ.

population échantillon

taille N taille n

m : inconnue moyenne : x

σ : connu ou estimé écart-type σ′

7.4.2 Méthode

On prélève au hasard et avec remise, une succession d’échantillons tous de taille n dont on calcule les moyennes :x1,x2,....xk....

On note : X la variable aléatoire qui associe à tout échantillon Ei sa moyenne xi. X prend donc successivement les valeurs :x1,x2,....

Pour finir, on suppose que les conditions sont réunies pour faire l’approximation que la variable X suit la loi normale

N(

m,σ√n

)

. Autrement dit, T =X − m

σ√n

=

√n

σ(X − m) suit la loi normale N (0, 1). On aura alors, pour tout t > 0,

P (−t 6 T 6 t) = 2Π(t) − 1

Page 52: cours BTS hôtellerie

52 CHAPITRE 7. STATISTIQUES INFÉRENTIELLES

7.4.3 Intervalle de confiance à 95%

On veut obtenir un intervalle ayant 95% de chances de contenir la moyenne m de P :

1. On a : 2Π(t)− 1 = 0, 95 ⇐⇒ Π(t) = 0, 975. Avec la table de la Loi Normale, on observe que cette valeur est obtenuepour : t = 1, 96. On a donc :

P

(

−1, 96 6

√n

σ(X − m) 6 1, 96

)

= 0, 95

P

(

−1, 96σ√n6 (X − m) 6 1, 96

σ√n

)

= 0, 95

P

(

m − 1, 96σ√n6 X 6 m + 1, 96

σ√n

)

= 0, 95

Interprétation : avant de prélever un échantillon de taille n dans la population, il y a 95% de chances pour que

la moyenne de cet échantillon soit entre m − 1, 96σ√n

et m + 1, 96σ√n

.

2. Comme m est inconnue, on se sert des inégalités précédentes pour encadrer m :

P

(

−X − 1, 96σ√n6 −m 6 −X + 1, 96

σ√n

)

= 0, 95

P

(

X + 1, 96σ√n> m > X − 1, 96

σ√n

)

= 0, 95

P

(

X − 1, 96σ√n6 m 6 X + 1, 96

σ√n

)

= 0, 95

3. Interprétation :

avant de prélever un échantillon de taille n dans la population, il y a 95% de chances pour que la moyenne x

de cet échantillon vérifie :

x − 1, 96σ√n6 m 6 x + 1, 96

σ√n

En revanche après le prélévement, il n’y a plus de probabilité à envisager : il est vrai ou faux que la moyennem de la population se situe dans l’intervalle envisagé :

[

x − 1, 96σ√n

; x + 1, 96σ√n

]

Cet intervalle est appelé : intervalle de confiance de la moyenne de la population au niveau de confiance de95% (ou au risque ou seuil de 5%). On ne peut savoir avec certitude si la moyenne m est dans cet intervalle, onpeut seulement affirmer que dans 95 cas sur 100, le choix aléatoire d’un échantillon de taille n, conduit à un intervallequi contient m.

7.4.4 Cas général

On note X la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille n associe la moyenne de cet échantillon. On note x la moyenne

d’un échantillon et σ l’écart-type de la population. Si σ est inconnu, on choisit l’estimateur ponctuel : σ =

n

n − 1σ′, où

σ′ est l’écart-type de l’échantillon.

Page 53: cours BTS hôtellerie

7.5. EXEMPLE 53

Intervalles de confiance

1. Si l’échantillon est non exhaustif ou exhaustif avec n petit devant N , l’intervalle de confiance au seuil ε est :

[

x − tσ√n

; x +tσ√n

]

t étant défini par : P (−t 6 T 6 t) = 1 − ε, où T est la variable centrée réduite : T =X − m

σ√n

.

2. Les valeurs de t selon les niveaux de confiance sont :

Seuil ε 0,1 0,05 0,02 0,01

Niveau 90 % 95 % 98 % 99 %

t 1,645 1,96 2,33 2,58

7.5 Exemple

Enoncé

On considère le prix payé par client dans un restaurant. On donne ci-dessous les prix payés par un échantillon de 100clients et on suppose que la taille N de la population des clients est très grande (échantillon non exhaustif).

Prix en e 15 18 20 22 30

Nombre de clients 10 20 30 20 20

1. Déterminer la moyenne et l’écart-type de l’échantillon.

2. Donner une estimation de l’écart-type de la population.

3. Donner un intervalle de confiance du prix moyen payé par client au seuil de 5 %.

Solution

1. x =

nixi

n=

2150

100= 21, 5 e .

σn =

nix2i

n− x2 =

48410

100− 21, 52 ≈ 4, 67

2. Un estimateur de l’écart-type de la population totale est : σ = σn

n

n − 1= 4, 67 ×

100

100 − 1≈ 4, 70

3. L’intervalle de confiance au seuil de 5 % est défini par : P (−t 6 T 6 t) = 0, 95 où T est la variable centrée réduite

de la variable X sachant que X suit la Loi Normale : N(

m;σ√n

)

X =σ√n

T + m =4, 70√100

T + m soit encore : T =

√100

4, 70

(

X − m)

car on prend σ = 4, 70 comme estimateur de

Page 54: cours BTS hôtellerie

54 CHAPITRE 7. STATISTIQUES INFÉRENTIELLES

l’écart-type de la population.

Au seuil de 5 % on a : t = 1, 96. Donc P (−t 6 T 6 t) = 0, 95 s’écrit :

P

(

−1, 96 6

√100

4, 70

(

X − m)

6 1, 96

)

= 0, 95

après transformation :

P

(

X − 1, 964, 70√1006 m 6 X + 1, 96

4, 70√100

)

= 0, 95

En utilisant l’échantillon de moyenne x = 21, 50, on obtient un intervalle de confiance au seuil de 5 % :

[

21, 50− 1, 964, 70√100

; 21, 50 + 1, 964, 70√100

]

= [ 20, 58 ; 22, 42 ]

Page 55: cours BTS hôtellerie

Chapitre 8

Ajustement de données expérimentales à une

loi : test du Khi-deux

8.1 Introduction

Le présent chapitre est réalisé à partir de l’ouvrage : Itinéraires en Statistiques et Probabilités de H Carnec chezEllipses à mon avis le plus accessible au niveau BTS ou DUT.

Les théories de Statistique Inférentielle sont difficiles et hors programme, elles consistent à donner une réponse adaptéeaux situations d’échantillonnage : par exemple tester si une loi théorique de probabilité peut représenter au mieux unedistribution réelle des valeurs prises par une variable (caractère) dans un échantillon d’éléments prélevés au hasard dansune population statistique.Dans la pratique, les valeurs du caractère noté C sont regroupées dans des modalités (qui peuvent être des classes)naturelles ou réorganisées. Il existe divers tests d’ajustement (de conformité ou d’adéquation) à une loi, on montre icil’utilisation sous forme d’exemples du test du Khi-deux : on utilise la notation X 2. C’est à Karl Pearson que l’on doitle critère du Khi-deux déduit de la loi théorique du Khi-deux à n degrés de liberté 1 qui n’est pas étudiée ici.La Loi du Khi-deux est tabulée. Les tables font intervenir deux paramètres :

• le nombre de degrés de liberté noté ν ;

• le seuil de risque noté α le plus souvent α = 0, 05 soit 5%.

8.2 Principe d’un test de conformité

8.2.1 Position du problème

Une distribution statistique d’un caractère C est connue,observée : on note Ci les n valeurs du caractère et ei les n

effectifs observés associés :

Valeurs du caractère C1 C2 · · · Ci · · · Cn

Effectifs observés e1 e2 · · · ei · · · en

On veut comparer cette distribution à celle obtenue par une loi connue (équirépartie, binomiale, Poisson, Normale) quidonnerait les effectifs théoriques ti suivants :

1Loi suivie par la somme S des carrés de n variables aléatoires indépendantes de loi normale centrée réduite : E(S) = n et V (S) = 2n

55

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56 CHAPITRE 8. AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES À UNE LOI : TEST DU KHI-DEUX

Valeurs du caractère C1 C2 · · · Ci · · · Cn

Effectifs théoriques t1 t2 · · · ti · · · tn

8.2.2 Le test du X 2

❶ Pour mesurer l’écart entre la distribution observée et la distribution théorique, la méthode consiste à calculer pourchaque modalité ( ou classe) le nombre appelé écart quadratique relatif :

(ei − ti)2

ti

❷ On définit alors la somme S par :

S =∑

i

(ei − ti)2

ti

Cette somme sera faible si les écarts entre les valeurs théoriques et les valeurs observées sont petits : on note (H0)l’hypothèse « les observations suivent la loi théorique choisie» et (H1) l’hypothèse alternative. Pearson amontré que S suit une loi du X 2. La table permet de conclure et d’accepter ou non (H0) à un certain seuil de risqueα, en général 5%.

8.2.3 Les règles du test

❶ Le test du X 2 s’applique dans les conditions proposées à des effectifs.

❷ Les modalités ou classes doivent avoir un effectif théorique d’au moins 5 et si possible d’au moins 10 : dans le cascontraire, on réunit plusieurs modalités ou classes pour satisfaire cette condition.

❸ Lorsqu’il existe n modalités ou classes et que ces valeurs observées déterminent la loi théorique à l’aide de p relationsdistinctes (somme des effectifs, moyenne, écart-type ...) la loi du X 2 est à ν = (n − p) degrés de liberté.

ν (comme α) est indispensable pour la lecture de la table.

8.3 Exemple 1 : adéquation à une loi équirépartie

8.3.1 Enoncé

En lançant un dé 60 fois, un joueur obtient les résultats :

"face" 1 2 3 4 5 6Effectifs 15 7 7 11 6 14

Doit-on considérer, au seuil de risque de 5%, que le dé est truqué ?

8.3.2 Corrigé

La loi théorique conduit évidemment à la probabilité de1

6pour chaque face, donc à un effectif théorique de 10 par face.

Le tableau suivant résume les calculs à effectuer :

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8.4. EXEMPLE 2 : CONFORMITÉ À UNE LOI BINOMIALE 57

Ci résultats ei probabilités effectifs (ei − ti) (ei − ti)2 (ei − ti)

2

tithéoriques ti

1 15 1/6 10 5 25 2,52 7 1/6 10 -3 9 0,93 7 1/6 10 -3 9 0,94 11 1/6 10 1 1 0,15 6 1/6 10 -4 16 1,66 14 1/6 10 4 16 1,6

60 1 60 0 7,6

• Il y a 6 modalités (classes) et seule la relation∑

i

ei = 60 est utilisée. C’est donc une loi du X 2 à (6 − 1) = 5 degrés de

liberté.

• L’hypothèse nulle (H0) est : "le dé est normal" et l’hypothèse alternative (H1) est : "le dé est truqué".

• Au seuil de risque de 5%, la table donne : X 2lu

= 11, 07 alors que le X 2 observé : X 2obs

= 7, 6.

• Au seuil de risque de 5% on accepte (H0) : le dé est normal et les différences entre les résultats du dé observé et un déthéorique sont dûes aux fluctuations d’échantillonnage.

• Remarque : la valeur lue dans la table signifie que la probabilité : P (X 2 > 11, 07) = 0, 05

8.4 Exemple 2 : conformité à une Loi Binomiale

8.4.1 Enoncé

Une machine fabrique quotidiennement plusieurs dizaines de milliers de bouchons. On effectue un contrôle de qualité enprélevant successivement 100 échantillons de 100 bouchons. X est la variable aléatoire qui mesure le nombre de bouchonsdéfectueux observé dans chaque échantillon. Les résultats sont les suivants :

nbre de bouchons 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 et plusdéfectueux

nbre d’observations 3 6 11 23 19 17 10 6 5 0

Peut-on, au risque de 5% considérer que X suit une Loi Binomiale ?

8.4.2 Corrigé

❶ La moyenne des observations est m = 4. Le nombre de bouchons fabriqués est très grand, on peut assimiler l’échan-tillonnage à un tirage avec remise et supposer que X suit la loi : B(100; 0, 04).

❷ Pour respecter les règles d’utilisation du test, on regroupe les cas 0 et 1 d’une part et les cas 7,8 et 9 ou plus d’autrepart.

Page 58: cours BTS hôtellerie

58 CHAPITRE 8. AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES À UNE LOI : TEST DU KHI-DEUX

❸ Les effectifs théoriques sont calculés avec la Loi Binomiale : ti = 100×Ci

100(0, 04)i(0, 96)100−i. Ils sont arrondis à0,1 pour obtenir un effectif total de 100 :

Ci résultats ei effectifs (ei − ti) (ei − ti)2 (ei − ti)

2

tithéoriques ti

0 et 1 9 8,7 0,3 0,09 0,012 11 14,5 -3,5 12,25 0,843 23 19,7 3,3 10,89 0,554 19 19,9 -0,9 0,81 0,045 17 16 1 1 0,066 10 10,5 -0,5 0,25 0,02> 7 11 10,7 0,3 0,09 0,01

100 100 0 1,53

❹ L’hypothèse nulle (H0) est : "X suit la loi B(100; 0, 04)" et l’hypothèse alternative (H1) est : "la loi de X diffèresignificativement de la loi B(100; 0, 04)".

On a gardé 7 modalités (classes) et il y a deux relations distinctes :∑

i

ei = 100 et p = 0, 04 =m

100=

4

100. La loi

du X 2 utilisée est donc à ν = (7 − 2) = 5 degrés de liberté.

❺ Conclusion

Le X 2 observé : X 2obs

= 1, 53 est, au seuil de risque de 5%, inférieur au X 2 lu dans la table : X 2lu

= 11, 07 . On acceptel’hypothèse selon laquelle X suit la Loi Binomiale B(100; 0, 04).

8.5 Exemple 3 : conformité à une Loi de Poisson

8.5.1 Enoncé

Un barman note sur 200 jours de travail le nombre X de bouteilles de Champagne vendues :

nbre de bouteilles 0 1 2 3 4nbre de jours 76 72 34 12 6

Peut-on, au seuil de risque de 5%, considérer que X suit une Loi de Poisson et laquelle ?

8.5.2 Corrigé

❶ On calcule la moyenne E(X) = λ = 1 puis la variance V (X) = 1, 06 proche de 1. On peut donc penser que X suitla loi : P(λ = 1).

L’hypothèse nulle (H0) est donc : "au seuil de risque de 5%, la variable X suit la loi P(λ = 1)".

❷ La table de la Loi de Poisson de paramètre λ = 1 donne le tableau suivant :

Page 59: cours BTS hôtellerie

8.5. EXEMPLE 3 : CONFORMITÉ À UNE LOI DE POISSON 59

Ci 0 1 2 3 4 5 6

ei 76 72 34 12 6 0 0

pi 0,368 0,368 0,184 0,061 0,015 0,003 0,001

ti = 200pi 73,6 73,6 36,8 12,2 3 0,6 0,2

L’observation des règles du test conduit à regrouper les modalités 3,4,5 et 6 dans la modalité : "3 et plus".

❸ On résume les calculs dans le tableau :

Ci résultats ei effectifs (ei − ti) (ei − ti)2 (ei − ti)

2

tithéoriques ti

0 76 73,6 2,4 5,76 0,0781 72 73,6 -1,6 2,56 0,0352 34 36,8 -2,8 7,84 0,213

3 et plus 18 16 2 4 0,25

200 200 0 0,576

❹ Le nombre de degrés de liberté est ν = (4− 2) = 2 car il y a 4 modalités et 2 relations :∑

i

ei = 200 et le paramètre

λ = 1.

❺ Conclusion

Le X 2 observé : X 2obs = 0, 576 est, au seuil de risque de 5%, inférieur au X 2 lu dans la table : X 2

lu = 5, 99 . On acceptel’hypothèse selon laquelle X suit la Loi de Poisson P(λ = 1).

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60 CHAPITRE 8. AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES À UNE LOI : TEST DU KHI-DEUX

Page 61: cours BTS hôtellerie

Table des matières

1 Séries chronologiques : exemples d’ajustements 3

1.1 Exemple 1 : moyennes mobiles et méthode des rapports au Trend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Exemple 2 non corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Exemple 3 : étude du nombre de ventes trimestrielles et prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Probabilités : notions simples 13

2.1 Le vocabulaire des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Exercices : variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Variables aléatoires discrètes 23

3.1 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Espérance mathématique, Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Analyse combinatoire et dénombrements 29

4.1 Notions d’analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 LOI BINOMIALE ET LOI DE POISSON 33

5.1 Epreuve et loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2 Schéma de Bernoulli et Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Loi de Poisson ou loi des événements rares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.4 BTS corrigé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5 Exercices et BTS sur la Loi Binomiale et la Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 LOI NORMALE 39

6.1 Loi Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2 Enoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Statistiques inférentielles 43

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.2 Conditions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.3 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.4 Estimation par intervalle de confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

61

Page 62: cours BTS hôtellerie

62 TABLE DES MATIÈRES

8 Ajustement de données expérimentales à une loi : test du Khi-deux 498.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.2 Principe d’un test de conformité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498.3 Exemple 1 : adéquation à une loi équirépartie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.4 Exemple 2 : conformité à une Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.5 Exemple 3 : conformité à une Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52