Introduction au calcul tensoriel 4h

marc Franois

2 novembre 2007

Table desmatires

1 Rappels sur les vecteurs 31.1 Notions et oprations lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Rotations (transformations orthogonales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Objectivit et pertinence de la notation dEinstein 5

3 Tenseurs du second ordre 73.1 Quest-ce quun tenseur ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Produit tensoriel et base canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Produit simple ou contraction dindice pour les tenseurs du premier et second ordre . . 93.5 Tenseur associ un projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.6 Changement de base et transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.7 Double contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.8 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Bases des tenseurs du second ordre 124.1 criture de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Base des tenseurs symtriques du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Base hydrostatique et dviatorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Tenseurs dordre suprieur et en particulier du quatrime ordre 145.1 Tenseurs dordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Les symtries indicielles du tenseur dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.3 Base minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.4 criture de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.5 Dcomposition de Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.6 Dcomposition hydrostatique-dviatorique et loi dlasticit isotrope . . . . . . . . . . . 175.7 Autres formes de la loi dlasticit linaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.8 Dfinition positive du tenseur dlasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.9 Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.10 Une autre vision du critre dHencki-Huber-Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1

6 Drivation des tenseurs 226.1 Drive par rapport un scalaire, par exemple temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.2 Drive dune fonction scalaire par rapport un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Drives spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Introduction

Ce document nest pas un cours de mathmatiques, toutes les dmonstrations ne sont pas ex-haustives. Cest une introduction au calcul tensoriel qui a pour but de prsenter les outils les plusperformants pour travailler sur les problmes de mcanique. Les mthodes de calcul des classes pr-cdentes, en ligne par colonne, sont peu efficaces et lentes. Elles ne permettent dailleurs pas le calculsur des tenseurs dordre suprieur deux. Les concepts nouveaux, pour certains, seront les tenseursdordre suprieur deux, le produit tensoriel, les contractions, les projecteurs du quatrime ordre.

Les notions ne sont pas abordes dans lordre classique des mathmaticiens (voir pour cela dansWikipedia) mais dans une logique plus adapte nos travaux.

Dans tout le document nous nous limitons au cas des bases orthonormes. Seuls les calculs surles coques, en Mcanique, font appel dautres bases.

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1 Rappels sur les vecteurs

1.1 Notions et oprations lmentaires

On considre un espace vectoriel de dimension 3. Sa base orthonorme (directe) est note {~ei}.Pour un vecteur ~u quelconque, et en utilisant la convention dEinstein (lindice rpt est somm) :

~u = uj~ej (1)

Distinguons ce niveau lcriture intrinsque ~u et la notation indicielle ui qui dpend de la base choi-sie. Cela prend toute son importance au niveau du principe dobjectivit (trait aprs). On utilise leproduit scalaire canonique ; ij est lindice de Kronekker qui vaut 1 si i=j et 0 si non.

~ei.~ej = ij (2)

En utilisant (1, 2) il vient :

~u.~ei = uj~ej.~ei= ujij

ui = ~u.~ei (3)

Avec une dmonstration quivalente, on a :

~u.~v = uivi (4)

Rappelons que ~u.~v = uvcos(~u,~v), soit la contribution des deux vecteurs. En utilisant (1,3) onobtient le thorme de dcomposition orthogonale :

~u = (~u.~ei).~ei (5)

La norme euclidienne naturelle est dfinie comme suit ; sa valeur reprsente la longueur du vecteur.

~u =p~u.~u =puiui (6)

Le symbole de permutation circulaire (de Levi-Civita) ijk vaut 0 si un des indices est rpt (p. ex.122 = 0), 1 dans le cas dune permutation directe de (1,2,3) : 123 =231 =312 = 1 et 1 dans le casdune permutation indirecte : 321 = 213 = 132 = 1. On vrifie aisment ijkijk = 6. Le produitvectoriel se dfinit comme :

~ej~ek = ijk~ei (7)~u ~v = ijkujvk~ei (8)

On rappelle la relation ~u~v = uvsin(~u,~v). Combin avec le produit vectoriel, on dfini le pro-duit mixte dont on rappelle quelques proprits :

(~u,~v, ~w) = (~u ~v). ~w (9)= det([~u,~v, ~w]) (10)

Cette valeur correspond au volume du paralllpipde gnr par les trois vecteurs.

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1.2 Changement de base

Ces notions sont triviales mais on se trompe si souvent que je crois bon de les rappeler. Soient~ei lancienne base et ~Ei la nouvelle . Partant du thorme de dcomposition orthogonale (5), ondfinit la matrice de changement de base P :

~Ej = (~Ej.~ei)~ei~Ej

def= Pij~ei (11).~ei Pij = ~ei.~Ej

Pij = ~ei

~Ej (~ei.~Ej) (12)

La dfinition du produitmixte entrane det(P)= 1. En partant dans lautre sens onmontre la propritclassique suivante :

~ei = (~ei.~Ej)~Ej= Pij~Ej= PijPkj~ek

or, ~ei = ik~ek PijPTjk = ik

P1 = PT (13)

Il faut bien faire attention au sens des indices lorsquon travaille sur les composantes v (dans lan-cienne base) et V (dans la nouvelle) du vecteur ~v :

Vj = ~v.~Ej= ~v.Pij~ei

Vj = Pijvi = PTji vi (14)

Finalement, pour avoir les composantes Vj, dans la nouvelle base, il faut utiliser PT pour effectuer unproduit ligne colonne... linverse :

vj = P1ij Vi= PjiVi

en permutant i et j : vi = PijVj (15)

1.3 Rotations (transformations orthogonales)

Considrons loprateurR SO(3), o R est la matrice associe et le groupe des transformationsorthogonales ou groupe des rotations (le groupe des rotations et symtries, o det(R)=1 se nommeO(3)).

R SO(3)R.RT = I et det(R)= 1 (16)

4

Par dfinition la matrice est construite de manire suivante, toujours partir de la dcompositionorthogonale :

R(~ej) = (R(~ej).~ei)~eidef= Rij~ei

.~ei Rij = ~ei.R(~ej)

Rij = ~ei

R(~ej) (~ei.R(~ej)) (17)

Les composantes dun vecteur ~u sobtiennent comme suit, toujours depuis la dcomposition ortho-gonale :

~u = uj~ejR(~u) = ujR(~ej)R(~u) = ujRij~ei

R(~u).~ei = ujRijR(~u)i = Rijuj (18)

On remarque que, par rapport (15), le sens de calcul est diffrent.

Dmonstrations

Montrons la proprit (16) partir de la proprit de loprateurR : il conserve les angles, doncles produits scalaires.

Rij = ~ei.R(~ej)Rij = R1(R(~ej)).R1(~ei)Rij = ~ej.R1(~ei)Rij = R1ji

=R = RT=RT = R1

Montrons que le dterminant vaut 1 : la base ~ei est orthonorme, donc :

~e1.(~e2~e3) = 1R(~e1).(R(~e2)R(~e3)) = 1

Ri1~ei.(Rj2~ejRk3~ek) = 1= det(R) = 1

2 Objectivit et pertinence de la notation dEinstein

Le principe dobjectivit stipule quun phnomne physique ne peut pas dpendre de la base choi-sie (purement mathmatique, elle na pas de sens physique). Par exemple ~u est une grandeur objec-

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tive, mais ui (un seul terme...) ne lest pas.

La convention dEinstein est de sommer lindice rpt. Nous allons montrer quun terme ainsiconstitu est forcment objectif (cest le rel intrt, souventmconnu, de la convention...). Par exemplesur une sommation de composantes, comme dans le cas du produit scalaire, on montre que la pro-prit (13) entrane linvariance du rsultat par rapport la base. Considrons le calcul de ~u.~v danslancienne base :

~u.~v = uivi= PikUkPilVl= PTkiPilUkVl= klUkVl= UkVk

Le mme calcul, quelque soit la base, donne le mme rsultat ; cest un invariant et un phnomnephysique peut tre dcrit en fonction dun produit scalaire ; par exemple le travail dune force dW =F.dl = Fidli ne dpend (heureusement !) pas de la base choisie.

Pour une expression contenant la fois composantes et vecteurs de base, le rsultat est similaire :

~u = ui~ei= PikUkPil~El= PTkiPilUk~El= klUk~El= Uk~Ek

Il nest pas ncessaire daller plus loin, rpter un nombre pair de fois dans une expression est uneopration objective. Nous en reparlerons dans la partie sur les tenseurs. Pour se donner une ide, sup-posons que ~u est le vecteur (L,H,P) reprsentant les cotes dun bureau : u1 = 1m na pas de sens car ildpend de la base choisie : est-ce la longueur, la largeur, la hauteur ? Par contre ~u = 2m reprsentela trissectrice du bureau (sa plus grande longueur) et cest un invariant. Pour que ~u1 reprsente lalongueur du bureau il faut que ~e1 ait un sens physique prcis, par exemple associ un laxe du bureau.Cest ce que lon rencontrera avec lanisotropie.

Prcisons enfin que tout calcul issu dune criture intrinsque, ne dpendant daucune base, estpar essence objective. Par exemple, on pourra calculer ~n.C.~n, ou (~u (~n ~m)) :C sans tats dme.

Dmonstrations : le cas du produit vectoriel, produit mixte et du dterminant

Vrifions linvariance du produit vectoriel (vous tes vous dj pos la question ?) :

ijkujvk~ei = ijkPjqUqPkrVrPip~Ep= ijkPipPjqPkrUqVr~Ep

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Analysons le terme ijkPipPjqPkr. ce niveau je nai pas trouv plus astucieux que danalyser les caspossibles. Dans ce qui suit lindice rpt nest pas somm.

si p=q alors ijkPipPjpPkr = ijkPipPTpjPkr= ijkijPkr= 0 car ijk = 0,si i= j et ij = 0,si i 6= j

On a la mme chose en analysant les cas q=r et p=r. Donc il nous reste analyser les cas ou (p,q,r)sont diffrents. Commenons par le cas o ils forment une permutation directe, par exemple (1,2,3).Alors :

ijkPipPjqPkr = ijkPi1Pj2Pk3= det(P)= 1

Dans le cas dune permutation indirecte on trouve bien sr 1. Lensemble de ces rsultats montreque le terme recherch vaut 0 si deux indices sont gaux, 1 si (p,q,r) forment une permutation directeet 1 sils forment une permutation indirecte ; cest dire :

ijkPipPjqPkr =pqr (19)

Et donc, notre calcul devient :

ijkujvk~ei = pqrUqVr~Epqui est de structure totalement similaire. Nous avonsmontr linvariance duproduit vectoriel par rap-port au choix de la base. Cette proprit est vrai grce aux proprits particulires de (qui nest pasun tenseur mais un pseudo-tenseur... et dont (19) montre quil est isotrope). Compos dun produitscalaire et dun produit vectoriel, le produit mixte(et donc le dterminant) est lui aussi un invariant.Donc ces grandeurs sont intrinsques et utilisables dans un calcul scientifique. Par exemple ~f = q~v~best la force de Lorentz.

3 Tenseurs du second ordre

3.1 Quest-ce quun tenseur ?

Souvent pose par les tudiants, cette question na rien dvident pour les tenseurs du premierordre (vecteurs) et du second, qui sont souvent assimils leur matrice de composantes. La dfini-tion la plus simple est mon sens celle trouve dans Wikipedia :

Une application linaire f dun espace E vers un espace F est dcrite par une matrice M dont lescoefficients dpendent de la base de E et de celle de F. Le tenseur reprsente lensemble des reprsen-tations de f dans toutes les bases. Une matrice est un tenseur dit dordre 2 .

Donc un vecteur ~u lensemble des matrices ui, (1,3) ou (3,1), dans toutes les bases.Un tenseur du second ordre , est lensemble des matrices ij (3,3) ou (1,9) ou (9,1) dans toutes lesbases.

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On retient donc que le mot tenseur est associ une reprsentation intrinsque et que lordre nreprsente le nombre dindices ; on a donc en gnral 3n composantes dans un espace de dimension3.

Les tenseurs furent invents dans les annes 1900 par Voigt et Levi-Civita ; certains prmices setrouvent dans les travaux dHamilton (1846). Lanalyse tensorielle a t utilise par Einstein vers 1915,ce qui lui a permis de raliser la thorie de la relativit. Rappelons que, lorsque la base nest pas ortho-norme, les choses sont nettement plus compliques, il faut alors distinguer les tenseurs covariantset contravariants, et utiliser le tenseur mtrique.

3.2 Notations

Pas de rgle universelle, hlas. Je montre ci-dessous les reprsentations les plus rpandues. No-ter que les notations en gras sont quivalentes (ce sont des raisons techniques de typographie) auxnotations en relief. Rappelons que les scalaires se notent en italique (p. ex. x) et les matrices, en tant

TAB. 1 notations des tenseurs

ordre composantes .fr .us -1 ui ~u u u2 ij

4 Cijkl C C C

quensemble de scalaire, aussi (p. ex. P). La notation us a lavantage de mettre en criture droite tousles lments intrinsques...

3.3 Produit tensoriel et base canonique

On dfinit le produit tensoriel comme loprateur permettant de passer de tenseurs dordre n etm un tenseur dodre n+m. Un vecteur est un tenseur dordre 1 (il ne possde quun composante).Lespace des tenseurs du second ordre se nommeT 2.

: (~u,~v) ~u ~v (20)

La base canonique {~ei~ej} est dfinie depuis la base canonique des vecteurs ; elle possde 9 compo-santes. Un tenseur du second ordre, , possde donc 9 composantes sur cette base ; on reconnatdans ce qui suit le thorme de dcomposition orthogonale (5) appliqu aux tenseurs.

=ij~ei~ej (21)

Les composantes ij sont gnralement reprsentes sous forme dematrice 33. On utilisera essen-tiellement des tenseurs symtriques. Ils ne possdent que 6 composantes indpendantes dans la basecanonique. Leur matrice reprsentante est symtrique.

T 2sij =ji (22)

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Les composantes du produit tensoriel ~u ~v sobtiennent comme le rsultat du produit colonne-ligne( condition que les deux vecteurs soient exprims dans la mme base).

~u ~v = ui~ei vj~ej= uivj~ei~ej

[~u ~v]ij = uivj (23) u1v1 u1v2 u1v3u2v1 u2v2 u2v3u3v1 u3v2 u3v3

= u1u2

u3

.[ v1 v2 v3 ] (24)3.4 Produit simple ou contraction dindice pour les tenseurs du premier et second ordre

Loprateur . est une extension du produit scalaire des vecteurs. Dfini comme la contraction surlindice proche permet didentifier le produit ligne colonne au niveau du calcul matriciel, que ce soitpour un produit tenseur-vecteur :

.~n = ij~ei~ej.nk~ekdef= ijnk~ei(~ej.~ek)= ijnkjk~ei= ijnj~ei

[.~n]i = ijnj (25)

ou pour un produit tenseur-tenseur, dont les composantes correspond au produit ligne colonne entredeux matrices.

. = ij~ei~ej.kl~ek~eldef= ijkl~ei (~ej.~ek)~el= ijkljk~ei~el= ikkl~ei~el

[.]il = ikkl (26)

3.5 Tenseur associ un projecteur

On identifie aisment (il suffit de vrifier que le calcul indiciel est identique sur les deux expres-sions) la structure et les composantes du tenseur Pn associ la projectionP[~n] (sur ~n norm) :

P[~n](~u) = (~u.~n)~nsoit P[~n](~u)i = ninjuj

P[~n](~u) = (~n ~n).~uP[~n](~u)

def= Pn .~u= Pn = ~n ~n (27)

Cette dernire expression est particulirement utile, ne pas loublier. On forme aisment le projecteurPn sur le plan ~n orthogonal ~n, en utilisant (encore) le thorme de dcomposition orthogonale,

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avec {~n, ~m, ~p} choisis pour former une base orthonorme :

~u = (~u.~n)~n+ (~u. ~m) ~m+ (~u.~p)~p= P[~n](~u)+P[~n](~u)

P[~n](~u) = ~uP[~n](~u)Pn .(~u) = I .~uPn .(~u)

= Pn = I PnPn = I ~n ~n (28)

Les expressions (27, 28) montrent sans ambigut que lon peut parler des tenseurs de projection Pnet Pn . Les oprateurs de rotation sont aussi des tenseurs.

3.6 Changement de base et transformations orthogonales

Il suffit de repartir de lexpression (21), qui au passage est la dcomposition orthogonale de surla base ~ei~ej... pour obtenir la bonne formule :

= ij~ei~ej= ijPik~EkPjl~El= ijPikPjl(~Ek ~El)

En nommant la matrice reprsentant dans la nouvelle base ~Ei~Ej, et en utilisant la proprit (13),on a alors lexpression (classique) :

kl = PTkiijPjl (29)

Le calcul est similaires pour les rotations :

R() = ijR(~ei)R(~ej)= ijRki~ekRlj~el= RkiRljij~ek~el

et donc[R()]kl =RkiRljij (30)

Soit, matriciellement, avec la proprit (16) :

[R()]=R.[].RT (31)

3.7 Double contraction

Cette opration est note " :", on contracte les deux indices proches. Sur des tenseurs du secondordre, on obtient un scalaire. Concernant deux paires dindices, loprateur est intrinsque. Sur lestermes de la base :

~ei~ej : ~ek~el def= (~ej.~ek)(~ei.~el)= jkil (32)

10

Sur deux tenseurs du second ordre :

: = ij(~ei~ej) : kl(~ek~el)= ijkljkil= ijji (33)

Si les tenseurs sont symtriques : : =ijij (34)

SousMatlab, cette opration scrit simplement SUM(SUM(SIG.*EPS)), car loprateur .* reprsentela multiplication terme terme. Une criture quivalente est obtenue avec loprateur trace :

: = trace(.T) (35)

Bien que rpandue, cette faon de calculer implique 3x9=27multiplications et 3 additions, tandis quela forme (33) ou (33) nen impliquent que 9 multiplications et 9 additions.

Calculons les composantes dun tenseur : cest lopration inverse de (29). Depuis cette expres-sion, on procde exactement comme avec les vecteurs :

= ij~ei~ej : (~ek~el) = ij(~ei~ej) : (~ek~el)

kl = : (~ek~el) (36)

3.8 Invariants

Un invariant est une fonction scalaire dun tenseur qui ne dpend pas de la base considre. Cestdonc une grandeur objective. On peut lobtenir avec une ou des oprations de contraction, "." ou " :".Il doit dpendre du tenseur considr et peut dpendre aussi dun tenseur invariant par toute ro-tation (SO(3)-invariant). Il ny en a quun cest lidentit I . La dcomposition harmonique en valeurspropres et vecteurs propres, nous fait savoir quil ny en a que trois invariants indpendants. Contrai-rement ce qui est malheureusement souvent enseign, il existe non pas les invariants mais desfamilles dinvariants. Les plus utiliss sont :

Rivlin-Ericksen (relatifs la dcomposition ponyme)

J1 = : I = trace()J2 = 12 (.) : I = 12 trace(.)J3 = 13 (..) : I = 13 trace(..)

Les invariants Ii sont associs au thorme de Cayley-Hamilton, cest dire quils forment lescoefficients du polynme caractristiques :

det(I ) = 3+ I12 I2+ I3 (37).. I1.+ I2 I3I = 0 (38)

I1 = trace()I2 = 12

(trace()2 trace(.))

I3 = det()

11

Bien sr, les trois valeurs propres i,solutions du polynme caractristiques, sont aussi des inva-riants. Rappelons que la norme euclidienne naturelle, =p : est un invariant. Enfin, le tenseur peut sexprimer de manire intrinsque sous sa forme diagonale. On remarque quil y a trois va-riables i et trois pour le tridre des vecteurs propres ~ui (angles dEuler) qui forme une base ortho-norme si est symtrique (sil ne lest pas on retrouve 3+6=9 variables dans ).

=i(~ui ~ui) (39)

Cette quation prose un problme au niveau du nombre de contractions (3 i...), il faut faire un entorse la rgle de sommation ou considrer le projecteur Pi = ~ui ~ui. On trouve dans la littrature toutesles relations entre les diffrents invariants.

4 Bases des tenseurs du second ordre

Nous avons dj tudi la base canonique. Celle-ci nest pas forcment la plus adapte aux ten-seurs symtriques auxquels nous avons faire, mais encore moins aux tenseurs dordre suprieur,comme le tenseur dlasticit que nous tudierons aprs, cause de leur grand nombre de symtriesindicielles.

4.1 criture de Voigt

Voigt a eu le premier lide de profiter de la symtrie indicielle de et pourminimiser le nombrede variables indpendantes de 9 6 en adoptant la convention suivante :

=

112233233112

(40)

Bien que commode et encore trs utilise, nous verrons au chapitre suivant que cette notation poseproblme. Nanmoins, lordre des indices est retenu aussi pour les autres bases.

4.2 Base des tenseurs symtriques du second ordre

Nous construisons une base orthonorme des tenseurs du second ordre :

E1 = ~e1~e1E2 = ~e2~e2E3 = ~e3~e3E4 = 1p

2(~e2~e3+~e3~e2)

E5 = 1p2(~e3~e1+~e1~e3)

E6 = 1p2(~e1~e2+~e2~e1) (41)

12

On vrifie aisment que cette base est orthonorme et quelle respecte la symtrie indicielle. Commepour les vecteurs, les composantes sobtiennent par (double) contraction, cest dire par projectionsur ces tenseurs de base :

I = :EI (42)On peut donc tablir lquivalence avec la base canonique suivante :

1 = 112 = 223 = 334 =

p223

5 =p232

6 =p212 (43)

Cette base conserve toutes les oprations tensorielle. Par exemple, on calculera bien plus rapidementdans cette base que sous la forme canonique (3x3) les oprations suivantes :

=

2I (44)

: = II (45)On pourra vrifier, titre dexercice, ces relations. Lide gnrale est que les quations tensoriellesse convertissent en quation vectorielles dans cet espace 6 dimensions.

4.3 Base hydrostatique et dviatorique

On montre que les seuls lments isotrope (invariant par toute rotation, cest dire par SO(3) delespace des tenseurs du second ordre T 2 sont proportionnels lidentit I (pour cette raison onappelle souvent un tenseur du type aI sphrique. Prenons le reprsentant norm de cette famille :

Hdef= Ip

3(46)

La lettre H signifie hydrostatique, cest dire relatif une pression de fluide statique ; cest un termequivalent (pour les physiciens) sphrique (pour lesmatheux...). On peut complter la base par cinqlmentsDI orthogonaux, (base dIlliushin, exprime ci-dessous en base des tenseurs symtriques dusecond ordre EI). Ils sont donc notamment orthogonaux H , ne contiennent aucune pression ; onles nomme dviateurs.

H

1/p3

1/p3

1/p3

000

D1

2/p6

1/p61/p6

000

D2

01/p2

1/p2000

D3

000100

D4

000010

D5

000001

(47)

Remarquons que la projection dun tenseur suivant H nest autre que :

( :H)H = 13( : I ) : I

= 13trace()I (48)

Le dviateurD1 est celui de la traction suivant ~e1.

13

5 Tenseurs dordre suprieur et en particulier du quatrime ordre

5.1 Tenseurs dordre n

On gnralise la notion prcdente. Un tenseur dordre n est not Tijklm... et possde n indices,variant de 1 3 en trois dimensions. La base canonique est construite laide de loprateur ; pourles tenseurs du 4e ordre, la base est : {

~ei~ej~ek~el}

(49)

Elle possde 3n composantes (soit ici 81) composantes. Les oprations de contraction suivant la rgledEinstein sont toujours objectives. La contraction . ou : sentend toujours sur les indices proches. Parexemple, pour deux tenseurs du 4me ordre :

A :B = AijklBpqrs(~ei~ej~ek~el) : (~ep~eq~er~es)= AijklBpqrs(~ei~ej) (~er~es)(~ek.~eq)(~el.~ep)= AijklBpqrs(~ei~ej) (~er~es)kqlp

[A :B]ijrs = AijklBlkrs (50)

Montrons quun contraction sur deux indices est indpendante du repre :

Aijkk~ei~ej = Aijkl(~ei~ej)~ek.~el= AijklPip~EpPjq~Eq(Pkr~Er.Pls~Es)= AijklPip~EpPjq~Eq(PkrPlsrs)= AijklPip~EpPjq~Eq(PkrPTrl)= AijklPip~EpPjq~Eqkl= AijkkPip~EpPjq~Eq (51)

On obtient bien le mme tenseur du second ordre, exprim dans la nouvelle base ~Ei, lopration decontraction restant la mme. De la mme manire on gnralise les oprations de changement debase et de rotation par les formules suivantes :

Aijkl(~Ei ~Ej ~Ek ~El) = PipPjqPkrPlsApqrs(~ei~ej~ek~el) (52)R(A)ijkl = RpiRqjRrkRslApqrs (53)

5.2 Les symtries indicielles du tenseur dlasticit

On nomme C le tenseur dlasticit. Il fournit la loi dlasticit linaire, en gnral anisotrope,suivante :

=C : (54)Les symtries ij = ji et kl = lk entranent les deux petites symtries du tenseur dlasticit. Latroisime symtrie indicielle est appele grande symtrie .

Cijkl = Cjikl (55)Cijkl = Cijlk (=Cjilk) (56)Cijkl = Cklij (=Clkij =Cklji =Cjilk) (57)

14

Dmonstration de la grande symtrie

Pour dmontrer cette dernire, crivons le thorme de lnergie cintique, en quasi-staituqe ilvient :

dEc = wi+we0 = : d+we

we = : dLa contrainte drive de lnergie libre de Helmholtz :

=

(58)

La relation de comportement linaire peut se rcrire comme :

C =

= 2

2

Cijkl =2

ijkl

= 2

klij

= Cklij

5.3 Baseminimale

La base canonique comprend 81 termes. Les petites symtries de C font penser utiliser une baseissue de la base des tenseurs symtriques du second ordre ~Ei (quation 41). Formons la base ~Ei ~Ej.Elle possde 6x6=36 termes et respecte implicitement les petites symtries. crivons le tenseurC danscette base. Par rapport aux composantes en base canonique, nous avons (vrifier quelques termes titre dexercice) :

C

C1111 C1122 C1133p2C1123

p2C1131

p2C1112

C2211 C2222 C2233p2C2223

p2C2231

p2C2212

C3311 C3322 C3333p2C3323

p2C3331

p2C3312p

2C2311p2C2322

p2C2333 2C2323 2C2331 2C2312p

2C3111p2C3122

p2C3133 2C3123 2C3131 2C3112p

2C1211p2C1222

p2C1233 2C1223 2C1231 2C1212

(59)

La grande symtrie implique que cette matrice est symtrique ; nous avons alors 21 composantesindpendantes. laide de lexpression de (quation 43), la loi dlasticit semet alors sous la formematricielle suivante (toujours par rapport aux composantes en base canonique) :

I = C IJJ (60)

112233p223p231p212

=

C1111 C1122 C1133p2C1123

p2C1131

p2C1112

C2211 C2222 C2233p2C2223

p2C2231

p2C2212

C3311 C3322 C3333p2C3323

p2C3331

p2C3312p

2C2311p2C2322

p2C2333 2C2323 2C2331 2C2312p

2C3111p2C3122

p2C3133 2C3123 2C3131 2C3112p

2C1211p2C1222

p2C1233 2C1223 2C1231 2C1212

.

112233p223p231p212

(61)

15

On vrifie que lon retrouve bien le rsultat du calcul indiciel par exemple :

11 = C111111+ ...+C112323+C113232+ ...23 = C231111+ ...+C232323+C233232+ ...

La matrice reprsentant C est bien issue dune base de tenseurs. Le tenseur des souplesses, S est telque :

=S : (62)On lobtient par linverse de la matrice prcdente :

S =C1 (63)

5.4 criture de Voigt

On la trouve encore beaucoup. Il faut un jeu de coefficients 2 bien placs pour retrouver les qua-tions du calcul indiciel. On utilise :

I = CIJJ (64)

112233233112

=

C1111 C1122 C1133 C1123 C1131 C1112C2211 C2222 C2233 C2223 C2231 C2212C3311 C3322 C3333 C3323 C3331 C3312C2311 C2322 C2333 C2323 C2331 C2312C3111 C3122 C3133 C3123 C3131 C3112C1211 C1222 C1233 C1223 C1231 C1212

.

112233223231212

(65)

Lcriture est sduisante dautant que le terme 212 = 12, lancienne notation des distorsions. Maison ne peut calculer linverse, ni la norme, ni les projections en gnral.

5.5 Dcomposition de Kelvin

La matrice C IJ, symtrique, est diagonalisable. Sa forme diagonale se nomme dcomposition deKelvin. Les six valeurs propres I sont les modules de Kelvin, GPa. Les six tenseurs propres K I associssont les modes propres du systme. Quelque soit lanisotropie du matriau, il existe six dformationstelles que les contraintes leur sont proportionnelles. On peut donc noter la loi de Hooke sous sa formede Kelvin, analogue celle des tenseurs du second ordre (39) :

C =6

I=1IK IK I (66)

La thermodynamique impose que lnergie libre soit positive pour tout . Celle-ci scrit 2 = :C : . Cela entrane que C est strictement convexe, cest dire que les modules de Kelvin sont touspositifs :

I > 0 (67)Le nombre de constantes de C se dcompose en 6 pour les I, et, compte tenu des conditions de nor-malit et dorthogonalit des modes, 5+4+3+2+1=15 pour les modes propres.

16

Les K I, orthonorms, forment une base de T 2s. Tout tenseur peut se dcomposer dans cettebase :

=5

I=1IK

I (68)

Si lon forme lnergie lastique suivante (du type kx2/2 pour les ressorts...), lorthogonalit des K I

permet de monter quil existe une nergie par mode de Kelvin :

2W = :C : (69)= IK I :JK JK J : IK I= I(I)2 (70)

On a donc faire avec six modes propres, dnergie distincte et additive. Comme pour toute diago-nalisation, certaines valeurs propres peuvent tre confondues, cela revient avoir des espace propresde dimension > 1. Nous allons en avoir un exemple ci-aprs.

5.6 Dcomposition hydrostatique-dviatorique et loi dlasticit isotrope

Nous avons vu au chapitre (4.3) que seul le tenseur du second ordreH est isotrope. Nous pouvonsformer le projecteur Ph, sur cet espace hydrostatique (sphrique), de dimension 1 :

Ph =H H (71)Le complment de ce projecteur, le projecteur sur lespace des dviateurs Pd peut tre obtenu partirdes autres lmentsDI de la base (47), cest dire :

Pd =D1D1+D2D2+D3D3+D4D4+D5D5 (72)Ce projecteur est obtenu plus simplement en considrant le thorme de la dcomposition orthogo-nale (o I est le tenseur identit du 4e ordre) :

= Ph : +Pd : I : = Ph : +Pd : Pd = IPh (73)

Les composantes du tenseur I sont videmment des 1 sur la diagonale en base ~Ei~Ei . Partant de luneou lautre expression on trouve, lexpression des deux projecteurs dans cette base :

PH

1/3 1/3 1/3 0 0 01/3 1/3 1/3 0 0 01/3 1/3 1/3 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

(74)

PD

2/3 1/3 1/3 0 0 01/3 2/3 1/3 0 0 01/3 1/3 2/3 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

(75)

17

Dun point de vue numrique il est particulirement efficace de calculer les parties dviatoriques ethydrostatiques des tenseurs laide de ces projecteurs. Ce qui se rduit (ce nest pas crit mais vousavez compris), en base ~Ei ~E j , un produit matrice-vecteur 6x6.

h = Ph : (76)d = Pd : (77)

Le projecteur Ph est un oprateur isotrope (car issu de H). Loprateur I, en tant quidentit, est aussiobjectivement isotrope et donc loprateur Pd aussi (depuis 73). On admet que ce sont les deux seulsoprateurs isotropes possibles. En langage mathmatique on peutparler de projecteur vers les sousespaceT 2sd des dviateurs (5 dimensions) etT 2sh sphriques (1 dimension) et poser :

T 2s =T 2shT 2sd (78)

La loi dlasticit linaire isotrope dpend alors des deux constantes 3K et 2, multiplicateur de cesprojecteurs :

C= 3KPh+2Pd (79)Dans la base ~Ei ~E j , on a alors :

C =

3K+43

3K23

3K23 0 0 0

3K23

3K+43

3K23 0 0 0

3K23

3K23

3K+43 0 0 0

0 0 0 2 0 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 2

(80)

Dans la base (H ,DI) (quelques soient les tenseurs DI choisis pour complter cette base) on identifiela forme diagonale de la dcomposition de Kelvin :

C =

3K 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 2 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 2

(81)

Appliqu un tenseur des dformations, on obtient :

= 3Kh+2d (82)

On peut aussi sparer les parties hydrostatiques et dviatoriques de et reconnatre la forme de ladcomposition de Kelvin :

h = 3Kh (83)d = 2d (84)

La loi de Hooke sous forme dhomothtie dans les sous-espaces orthogonaux T 2sh et T 2sd est illus-tre par la figure (1) suivante : La premire quation, contracte avec H permet dobtenir le sens

18

H

D

HT2sh (dim.1)

T2sd (dim.5)

H=3H

D=2D

D2D3

D4

D1

D5

tenseurs de base

FIG. 1 Loi de Hooke lastique isotrope

physique de 3K :

h = ( :H)Hh :H = ( :H)H :H

= 1p3trace() (85)

dou trace() = 3K trace() (86)(87)

Si on se rappelle que trace()=3p o p est la pressionmoyenne et que trace()=V /V la variationrelative de volume, on obtient :

p =K VV

(88)

et K est le module de compressibilit hydrostatique, le mme que celui des fluides. Si lon applique larelation (84) une sollicitation de cisaillement pur, par exemple = (~e1 ~e2+ ~e2 ~e1)/1 on se rendcompte que 2 est le module de cisaillement (le 2 vient de lancienne criture = 12 = 12 avec= 212).

Suivant la dcomposition de Kelvin de lnergie (70), nous obtenons :

2W = 3Kh : h+2d : d (89)Le second terme est relatif au carr de la norme de d, utilise dans le critre de Von Mises. Celui-cipeut donc scrire en fonction de lnergie dviatoriqueWD (on dit aussi que le critre de Von Misesest un critre nergtique car il borne lnergie dviatorique) :

3

2dy < 0

3

2

22d : dy < 0

3WDy < 0

3WD

5.7 Autres formes de la loi dlasticit linaire isotrope

On retrouve aisment les coefficients de Lam :

= 3KPh : +2(IPh) : = (3K 2)Ph : +2I : = 3K 2

3trace()I +2

= 2+trace()I (91) = 3K 2

3(92)

On donne la table de conversion des constantes dlasticit : En fonction du module dYoung E et du

TAB. 2 Conversions des constantes dlasticit isotrope

E et et K et

E = E 3+2+9K3K+

= 2(+)3K22(3K+)

= E(1+)(12) 3K2

3

= E2(1+) K = E3(12)

3+23 K

coefficient de Poisson , la loi dlasticit scrit :

= 1+E

Etrace()I (93)

et les tenseurs de rigidit et de souplesses scrivent :

TAB. 3 Tenseur des souplesses

11 1 0 0 0 1122 1 0 0 0 2233 = 1E 1 0 0 0 33p223 0 0 0 1+ 0 0

p223p

231 0 0 0 0 1+ 0p231p

212 0 0 0 0 0 1+p212

On pourra samuser retrouver toutes ces relations.

5.8 Dfinition positive du tenseur dlasticit

Cette condition se rduit la positivit des modules de Kelvin, cest dire des valeurs propres deC. Soit, depuis (81) :

K > 0 (94) > 0 (95)

20

TAB. 4 Tenseur des rigidits

111

(1+)(12)

(1+)(12)

(1+)(12) 0 0 0 1122

(1+)(12)

1(1+)(12)

(1+)(12) 0 0 0 22

33 = E

(1+)(12)

(1+)(12)1

(1+)(12) 0 0 0 33p223 0 0 0

11+ 0 0

p223p

231 0 0 0 01

1+ 0p231p

212 0 0 0 0 01

1+p212

Compte tenu de la correspondance des constantes dlasticit table (2), on obtient une condition sur :

>23

(96)

Et, les conditions suivantes sur E et (on trouve souvent dans les livres une condition > 0 qui esttrop restrictive...). On pourra vrifier que si = 1 le matriau, soumis une traction ~e1 ~e1, sedforme de manire sphrique, avec = I ; cela correspond aussi = et K = E/9. La figure (2)montre ces cas en traction.

E > 0 (97)1< < 1

2(98)

isochore spheriquepas de dformation

latrale

!=0.5 !=-1!=0

FIG. 2 Rponse en traction pour quelques coefficients de Poisson particuliers

5.9 Fluides

La dcomposition hydrostatique-dviatorique prsente aussi lintrt dunifier les relations decomportement des solides et des fluides :

solides = 3Kh+2d fluides compressibles non visqueuxh = 3Kh et= 0 soitd = 0 (ils nopposent pas de ractionau cisaillement)

fluides visqueux incompressibles (Newtoniens) h = 0 et d = d fluides visqueux compressibles = 3Kh et d = d

21

5.10 Une autre vision du critre dHencki-Huber-Mises

Dun aspect souvent compliqu, le critre de VonMises limite simplement la norme du dviateur :

eq =p3J2(d)y mysterieux,non? (99)

=

3

2dy (100)

Le coefficient permet didentifier en sollicitation de traction. Les lieux o eq = 0 sont un cylindredansT 2s et une sphre dansT 2sd.

6 Drivation des tenseurs

6.1 Drive par rapport un scalaire, par exemple temporelle

La notation intrinsque est relative la drive de chaque terme par rapport au scalaire (ici letemps).

t=

11t

12t

13t

21t

22t

23t

31t

32t

33t

(101)6.2 Drive dune fonction scalaire par rapport un tenseur

On la trouve en posant lexpression de la diffrentielle de la fonction f () :

d f = f

: d (102)

= f11

d11+ f12

d12+ ...+ f33

d33 (103)

= f

f11

f12

f13

f21

f22

f23

f31

f32

f33

(104)Exercices

Calculer de diverses manires (en choisissant des bases astucieuses) les drives suivantes :

trace()

d

h

22

d

6.3 Drives spatiales

Rappels :

div(~u) = ui,i = u1x1

+ u2x2

+ u3x3

(105)

grad(~u) = ~u~x

(106)

= uixj

~ei~ej (107)

=

uixj~ei~ej

(108)

Sur un tenseur Aijk quelconque, on peut raliser toutes sortes de divergences, comme Aijk,k ou Aijk,j ouAijk,kj... ou encore toutes sortes de gradients, comme Aijk,l, Aijk,lm... Quelques quations frquemmentutilises, en notation intrinsque et indicielles : lquilibre,

div()+ ~f = d

2~u

dt2(109)

ij,j+ fi = ui,tt (110)

la loi de Hooke,

= C : (111)ij = Cijklkl (112)

les dformations

= 12(grad(~u)+grad(~u)T) (113)

kl =1

2(uk,l+ul,k) (114)

23