Cours CNED physique TS - Sequence 01

1Squence 1 MA02

Squence 1

Les suites numriques

Dans cette squence, il sagit dune part dapprofondir la notion de suites numriques permettant la modlisation dun certain nombre de phnomnes discrets et dautre part, travers ltude des limites de suites, de prparer la prsentation des limites de fonctions.

Sommaire

1. Pr-requis 2. Le raisonnement par rcurrence 3. Notions de limites 4. Synthse

Cned - Acadmie en ligne

3Squence 1 MA02

1 Pr-requisGnralits sur les suites

1. Gnralits

a) Dfinition et notations

On appelle suite numrique toute fonction numrique dfinie sur ou sur lensemble des entiers suprieurs un certain entier naturel n0.

Dfinition

La suite est note respectivement ( )un n ou ( )un n n 0ou plus simplement ( ).un

Le terme de rang n est not un .

b) Vocabulaire

Soit ( )un une suite dfinie sur lensemble des entiers suprieurs un certain entier naturel n0.On dit que :

la suite ( )un est croissante si pour tout n n 0 ,u un n+ 1 ;

la suite ( )un est strictement croissante si pour tout n n 0 ,u un n+ >1 ;

la suite ( )un est dcroissante si pour tout n n 0 ,u un n+ 1 ;

la suite ( )un est strictement dcroissante si pour tout n n 0 ,u un n+

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Soit ( )un une suite dfinie pour n n 0. On dit que :

la suite ( )un est majore sil existe un rel M tel que pour tout n n u Mn 0 , ;

la suite ( )un est minore sil existe un rel m tel que pour tout n n u mn 0 , ;

la suite ( )un est borne si elle est la fois majore et minore.

Dfinition

c) Proprits

Proprit

Soit ( )un une suite dfinie pour n n 0.

Si ( )un est croissante alors pour

tout n p n 0 on a u un p .

Si ( )un est dcroissante alors pour

tout n p n 0 on a u un p .

Proprit

Soit ( )un une suite dfinie pour n n 0 par u f un n= ( ) o f est une fonction dfinie sur n0 ; + .

Si f est croissante sur n0 ; + alors ( )un est croissante.

Si f est dcroissante sur n0 ; + alors ( )un est dcroissante.

La rciproque de ces rsultats est fausse.

2. Suites arithmtiques

La suite un n n( ) 0 est dite arithmtique sil existe r tel que pour tout n n 0 , u u rn n+ = +1 .

Le rel r ainsi dfini est appel raison de la suite arithmtique ( ).un

Dfinition Relation de rcurrence

Proprit Expression de un en fonction de n

Si un n n( ) 0 est arithmtique de raison r alors pour tout n n 0 et pour tout p n 0 , on a u u n p rn p= + ( ) .

Proprit Variations

Une suite arithmtique de raison r est strictement croissante si r > 0, strictement dcroissante si r < 0 et constante si r = 0.


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3. Suites gomtriques

La suite un n n( ) 0 est dite gomtrique sil existe q tel que pour tout n n 0 , u u qn n+ = 1 .

Dfinition Relation de rcurrence

Proprit Expression de un en fonction de n

Si un n n( ) 0 est gomtrique de raison q 0 alors pour tout n n 0 et pour tout p n 0 , on a

u u qn pn p= .

Proprit Variations

La suite qnn n

( ) 0

est strictement croissante

si q > 1 , strictement dcroissante si 0 1<

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4. Un exemple : tude dune suite arithmtico-gomtrique

On souhaite tudier la suite ( )un dfinie pour tout entier naturel n par u un n+ = 1 6 0 5, et u0 1= .

1. laide de la calculatrice ou dun tableur :

a) tablir un tableau de valeurs de la suite ( )un ;

b) proposer une reprsentation graphique de ( )un ;

c) conjecturer les variations de ( )un , ainsi que son comportement pour de grandes valeurs de n.

2. Soit ( )vn la suite dfinie sur par v un n= 4.a) Dmontrer que la suite ( )vn est gomtrique. En prciser le terme initial et la

raison.

b) Exprimer vn puis un en fonction de n.

c) Conclure quant aux variations de la suite un( ).d) crire un algorithme permettant de dterminer la plus petite valeur de n pour

laquelle 4 4 < < +A u An o A est un rel quelconque.

1. a) Avant de travailler sur la calculatrice ou sur un tableur, il est ncessaire

de savoir travailler la main . Pour obtenir un tableau de valeur de la suite ( )un , on dtermine ses termes de proche en proche, laide de la relation de rcurrence u un n+ = 1 6 0 5, ainsi que du terme initial u0 1= .

On obtient donc u0 1= , u u1 06 0 5 6 0 5 1 5 5= = =, , , ,

u u2 16 0 5 6 0 5 5 5 3 25= = =, , , , , etc.

laide de la calculatrice TI82 Stats.fr (ou TI83, TI84), on procde de la faon suivante :

On se place en mode Suit (ou mode SEQ).

On dfinit la suite par le menu f(x) (ou Y=) ainsi que le montre lcran ci contre. Il faut faire attention en dfinissant les suites car sur les TI, il y a un dcalage des indices : on doit remplacer n +1 par n et donc n par n 1.

On configure le tableau de valeurs par le menu dftable (ou TBLSET) en choisissant une valeur de dpart gale 0 (premire valeur de lindice) et un pas de 1.

On obtient alors le tableau dans lequel on peut naviguer par le menu table.

Solution


7Squence 1 MA02

laide de la calculatrice CASIO Graph 35+, on procde de la faon suivante.

On se place en mode RECUR, on dfinit la suite (2e cran ci-dessous), le fonction SET (F5) permet de dfinir le terme initial et les termes dont on cherche des valeurs approches (3e cran), on revient lcran prcdent (EXIT) et la fonction TABLE (F6) nous donne le tableau de valeurs (4e cran).

laide du tableur dOpenOffice, on entre le terme initiale en B2 puis on obtient les termes successifs de la suite en entrant en B3 la formule = 6 0 5, B2 que lon re-copie vers le bas.

laide du tableur de GeoGebra, on procde comme ci dessus en entrant le terme initiale en B2 puis la formule = 6 0 5. B2 en B3.

Une fois que lon dispose du tableau de valeurs, on obtient rapidement une reprsentation graphique de la suite en slectionnant la plage A2 : B8 (par exemple) puis en choisissant crer une liste de points aprs avoir cliquer-droit. On obtient alors une suite de points dont labscisse reprsente n et lordonne estun .

b) Nous venons de voir comment on pouvait reprsenter la suite ( )un laide de GeoGebra, en plaant n en abscisse et un en ordonne comme on le fait pour reprsenter une fonction. Cette reprsentation peut aussi tre obtenue laide du tableur dOpenOffice ou de la calculatrice.

Nous allons voir une autre faon de reprsenter une suite ( )un dont le terme gnral vrifie la relation de rcurrence u f un n+ =1 ( ) o f est une fonction. La mthode est gnrale mais nous lappliquerons dans le cas particulier de notre exemple.

Pour tout n u un n = +N, , 1 6 0 5 ainsi u f un n+ =1 ( ) o f est la fonction affine dfinie par On trace la courbe f

reprsentant la fonction f ainsi que la droite dquation y x= .


8 Squence 1 MA02

Lide est alors de placer les termes successifs u u u0 1 2, , , ... de la suite sur laxe des abscisses.On commence par placer u0 sur laxe des abscisses.

On place alors le point P0 de fdont labscisse vaut u0.

Par construction, P0 a donc pour ordonne f u( )0 cest--dire u1.

Il reste ramener u1 sur laxe des abscisses. Pour ce faire, on dtermine le point de ayant pour ordonne u1. Par construction, ce point a donc pour coordonnes u u1 1;( ) et le rel u1 peut tre plac en abscisse.

partir de u1en abscisse, on recommence le procd en dterminant le point P1 dordonne f u( )1 cest--dire u2 puis en ramenant u2 sur laxe des abscisses laide de la droite .

On poursuit le procd de la mme faon obtenant ainsi les premiers termes de la suite ( )un sur laxe des abscisses.

On peut remarquer que, sous GeoGebra, on peut simplement obtenir en abscisse les rels successifs u u u0 1 2, , , ... dune suite dfinie par u f un n+ =1 ( ) connaissant u0 en crant un curseur n sur un intervalle allant de 0 20 (par exemple) puis en entrant dans la barre de saisie (itration[ ( ),u ,n],0)0f x et donc, sur notre exemple (itration[6-0.5x,1,n],0). On active alors la trace du point cr et il suffit de faire varier le curseur pour obtenir les termes successifs de la suite. Par cette mthode, on peut observer rapidement le comportement de la suite ; en revanche, on perd de vue laspect gomtrique de la construction.

laide de la calculatrice TI82 Stats.fr (ou TI83, TI84), les donnes ayant t entres comme indiqu prcdemment, puis dans le menu Format on choisit pour cette mthode de construction Esc (ou Web ).

Aprs avoir dtermin la fentre graphique (dans notre exemple, la fentre standard convient), on obtient les tracs ncessaires en appuyant sur graphe . Pour visualiser la construction, on se place en mode trace puis on utilise les flches.

laide de la calculatrice CASIO Graph 35+, les donnes ayant t entres comme indiqu prcdemment, on utilise la fonction WEB (F4).

2

2

4

6

0

0 4

P0

u0

u1

u1

y = x

f

6

2

2

4

6

0

0 4

P0

P1

u0

u1

u1u3u2

u4

y = x

f

6


9Squence 1 MA02

Aprs avoir dtermin la fentre graphique par SHIFT V-WIN (F3), on obtient les tracs ncessaires en appuyant sur EXE plusieurs fois.

c) laide des tableaux de valeurs et reprsentations graphiques obtenus, il semble que la suite ( )un ne soit pas monotone (elle semble tre alterne autour dune certaine valeur). De plus, lorsque n devient grand, les termes de la suite ( )unsemblent tendre vers une valeur limite voisine de 4 qui graphiquement, semble correspondre labscisse du point dintersection des deux courbes traces.

2. a) Soit n N. Par dfinition de vn( ), on a v un n+ += 1 1 4 or, par dfinition de un( ), on a u un n+ = 1 6 0 5, donc v u un n n+ = = 1 6 0 5 4 2 0 5( ), , .

Puis, de v un n= 4, on dduit u vn n= + 4.

On obtient donc v v v vn n n n+ = = = 1 2 0 5 2 0 5 2 0 5, , ,( +4) .

Finalement, pour tout n N, v vn n+ = 1 0 5, ce qui signifie que la suite ( )vnest gomtrique de raison 0 5, .

Le terme initial de ( )vn vaut v u0 0 4 1 4 3= = = .

b) La suite ( )vn est gomtrique de raison 0 5, et de terme initial v0 3= donc pour tout n vn

n = N, ( , )3 0 5 puis, de u vn n= + 4, on dduit que pour tout n un

n = , ( , ) .4 3 0 5c) La suite ( )vn est gomtrique de raison 0 5, (la raison est strictement

ngative) donc elle est alterne et nest pas monotone. En appliquant la fonction affine dcroissante +x x4 successivement tous les termes de la suite, on saperoit que les termes successifs de ( )un sont alternativement infrieurs et suprieurs 4. La suite ( )un nest donc pas monotone. Les termes successifs de ( )un sont alternativement infrieurs et suprieurs 4.

d) Selon la conjecture effectue prcdemment, il semble que lorsque n devient grand, les termes de la suite ( )un tendent vers une valeur limite voisine de 4 autrement dit, il semble que un puisse devenir aussi proche de 4 quon le souhaite, pourvu que n soit suffisamment grand.

Ainsi, imaginons que lon souhaite trouver la plus petite valeur de n pour laquelle 3 9 4 1, ,<

10 Squence 1 MA02

La dmarche que lon vient de suivre est une dmarche algorithmique. Nous navons pas crit lalgorithme proprement parl mais nous avons suivi un procd qui nous a conduit dterminer la valeur de n rpondant au problme. En effet, en partant de n = 0, nous avons observ la valeur de un , nous lavons compare 3,9 et 4,1 et nous avons poursuivi tant que la condition 3 9 4 1, ,<

11Squence 1 MA02

Il ne reste qu faire tourner ces programmes en vrifiant quils fonctionnent bien pour les rsultats que lon a obtenus laide du tableur, cest--dire quils renvoient respectivement n = 5 et n = 9 lorsque lon choisit A = 0 1, ou A = 0 01, . On peut ici choisir nimporte quelle valeur de A aussi petite soit elle et on peut constater quil faut choisir n de plus en plus grand pour que la condition soit ralise.

La suite ( )un propose dans cette exemple a un terme gnral vrifiant u au bn n+ = +1 . Cette suite nest ni arithmtique (car a 1) et ni gomtrique (car b 0 ). Son terme gnral a cependant une forme remarquable puisquil sobtient en multipliant le prcdent par un rel constant (aspect gomtrique) et en lui ajoutant un rel constant (aspect arithmtique). Pour cette raison, une telle suite est dite arithmtico-gomtrique.

La mthode utilise ici pour tudier la suite ( )un est gnrale. On commence par chercher lunique solution de lquation x = ax+b. Puis on dfinit une suite auxiliaire ( )vn par v un n= . On montre alors que ( )vn est gomtrique de raison a ce qui permet dexprimer vn puis un en fonction de n.

5. Exercices

Soit la suite ( )un dfinie par u0 1= et pour tout entier n, uu

unn

n+ = +1

2

2 3.

Calculer les termes u1 et u2 .

La suite ( )un est-elle arithmtique ? gomtrique ?

On admet que, pour tout n, un nest pas nul. On pose v un n= +1 2 .

a) Calculer les trois premiers termes de ( )vn .b) Dterminer la nature de vn( ).c) Exprimer vn en fonction de n. En dduire un en fonction de n.

1. On a : uu

u10

0

2

2 325

=+

= et uu

u21

1

2

2 3

225

2 325

14

=+

=

+ = .

2. On a : u u1 035

= et u u2 13

20 = donc ( )un nest pas arithmtique.

Puis uu

1

0

25

= et uu

2

1

58

= donc ( )un nest pas gomtrique.

3. a) On a : vu0 0

12

3= + = , vu1 1

12

6= + = et vu2 2

12

9= + = .

b) Soit n N. On a :v u uu

uu u

vnn n

n

n

n nn+

+= + = +

+

=+

= + = +11

12

12

2

2 3

2 4 24 3.

Ainsi, pour tout n v vn n = ++N, .1 3La suite (vn ) est donc arithmtique de terme initial vo = 3 et de raison 3.

Remarques

Exercice A

Solution


12 Squence 1 MA02

c) Pour tout n v v nrn = +N, 0 donc pour tout n v nn = +N, .3 3 De plus, pour tout n u

vn n =

N, 2

1 (en remarquant que pour tout n vn N, )1

donc pour tout n unn

=+

N, .22 3

On dfinit une suite ( )un par u

u u n nn n

0

1

1

12

2 1

=

= +

+ pour tout .

Calculer les premiers termes de la suite un( ). Que peut-on conjecturer concernant sa nature et son sens de variation ?

On pose v u nn n= +4 10.

a) Montrer que ( )vn est une suite gomtrique que lon caractrisera.

b) En dduire lexpression de vn en fonction de n puis celle de un en fonction de n.

c) On pose S u u u un k nk

n= = + + +

= 0 1

0... . Donner lexpression de Sn en

fonction de n.

On a : u0 1= , u u1 012

2 0 112

= + = , u u2 112

2 1 134

= + = ,

u u3 2

12

2 2 1278

= + = , u u4 312

2 3 110716

= + =

et, au vu de ces rsultats, ( )un semble croissante partir du rang 1, elle nest

ni arithmtique (car u u u u1 0 2 1 ), ni gomtrique (car uu

uu

1

0

2

1 ).

a) Soit n N.On a :v u n u n n u nn n n n+ += + + = + + = +1 1 4 1 10

12

2 1 4 612

2 5( )

or u v nn n= + 4 10 do v v n n vn n n+ = + + =112

4 10 2 512

( ) ainsi, pour

tout n , v vn n+ =112

et ( )vn est une suite gomtrique de raison q =12

et de terme initial v u0 0 4 0 10 11= + = .

b) Pour tout n v v qnn

n

= =

N, 0 1112

or u v nn n= + 4 10 donc pour

tout n u nn

n

=

+ N, .11 12

4 10

c) Pour tout n N, S u v k v kn kk

n

kk

n

kk

n

k

n

k

n= = + = +

= = = = =

0 0 0 0 04 10 4 10

or vkk

n

n

n

=

+

+

=

=

0

1

1

111

12

112

22 112

, kn n

k

n

= = +

0

12

( )

Exercice B

Solution


13Squence 1 MA02

et 10 10 10 10 10 10 1k

n

n

n= + = + + + = +...

termes

( ) ainsi, pour tout n N,

Sn n

nn

n=

+ + + =

+22 1

12

41

210 1 22 1

1( )

( )

+

+12

2 8 101

2n

n n .

La suite ( )un est une suite gomtrique. Son premier terme vaut 5, une valeur approche au centime de son onzime terme est 1008 enfin sa raison est un dcimal ngatif.

Que vaut la raison de la suite ( )un ?

La suite ( )un est une suite gomtrique de terme initial 5 donc, en notant q sa raison, le onzime terme vaut 5 10q .

On peut alors travailler par balayage laide de la calculatrice ou dun tableur.

Il apparat alors quune raison gale 1 7, convient.

On peut remarquer que a nest pas la seule possibilit puisque, par exemple, une raison de 1 699995, convient tout autant.

On propose deux contrats dembauche pour une dure dtermine dun an.

Contrat 1 : un salaire au mois de janvier de 1100 euros puis une augmentation de 37,5 euros par mois.

Contrat 2 : un salaire au mois de janvier de 1100 euros puis une augmentation de t % par mois.

Dterminer le pourcentage 0,01 prs afin que les deux contrats soient quivalents.

On remarque que les contrats seront considrs comme quivalents si la somme totale verse au terme des douze mois dembauche est la mme.

La suite des salaires obtenus selon le contrat 1 est une suite arithmtique de terme initial 1100 et de raison 37,5 ainsi, le salaire du mois de dcembre vaut dans ce cas 1100 11 37 5 1512 5+ =, , de sorte que la somme des douze premiers

salaires soit gale 12 +1100 1512,52

=15675 euros.

Exercice C

Solution

Exercice D

Solution


14 Squence 1 MA02

La suite des salaires obtenus selon le contrat 2 est une suite gomtrique de

terme initial 1100 et de raison 1100

+ t ainsi la somme des douze premiers

salaires est gale 11001 1

100

1 1100

1100001 1

12

+

+

= +

t

t ttt

100

12

euros.

Pour que les deux contrats soient quivalents, on cherche donc une valeur de t

approche au centime telle que +

=110000 1 1

10015675

12

tt

.

On travaille par balayage laide de la calculatrice (voir exercice C pour la dmarche) ou dun tableur en entrant les taux t dans la colonne A et le montant total dans la colonne B.

Il apparat ds lors quun taux daccroissement mensuel denviron 3,07 % pour le contrat 2 permet dobtenir deux contrats quivalents.


15Squence 1 MA02

2 Le raisonnement par rcurrenceObjectifs du chapitreOn prsente dans ce chapitre, un nouvel outil de dmonstration : le raisonnement par rcurrence. Ce type de dmonstration savre efficace pour rsoudre beaucoup dexercices sur les suites. On retrouve aussi ces raisonnements par rcurrence dans tous les domaines des mathmatiques (pour les spcialits maths de terminale S, par exemple, un certain nombre dexercices darithmtiques ncessitent ce type de dmonstration).

Lide

1. Deux exemples trs concrets

a) Imaginons que lon dispose dun certain nombre de dominos placs les uns la suite des autres. Pour les faire tomber, il faut que deux conditions soient runies : il faut faire tomber un domino et il faut que la chute dun domino entraine la chute du suivant. Lorsque ces deux conditions sont runies, on admet naturellement que tous les dominos placs derrire le premier domino renvers vont tomber.

b) Imaginons que lon dispose dune chelle. Si on sait monter sur un barreau de lchelle et si on sait passer dun barreau quelconque son suivant, on admet naturellement que lon peut atteindre nimporte quel barreau situ au del du premier barreau sur lequel on est mont.

Cest cette ide que nous allons formaliser.

2. Un exemple moins concretReprenons la suite ( )un propose dans lexemple chapitre 1. 4) savoir ( )undfinie pour tout entier naturel n par u un n+ = 1 6 0 5, et u0 1= . la fin de lexemple, nous avons montr que le plus petit entier n pour lequel 3 9 4 1, ,<

16 Squence 1 MA02

On peut bien sr calculer les termes suivants pour obtenir u513132

4 094= , ,

u625364

3 953= , ou encore u7515128

4 023= , et constater que la proposition

3 9 4 1, ,<

17Squence 1 MA02

Laxiome ci-dessus permet de conclure que la proposition est alors vraie pour tout n n 0.

Dmontrer une proprit donne

Soit ( )un la suite dfinie pour tout entier naturel n par u0 2= et pour tout n u un n = +0 2 31, .

Dmontrer que pour tout n unn = 0 3 2, .

On veut dmontrer par rcurrence que la proposition unn= 3 2 est vraie

pour tout n 0.

Au rang n = 0, la proposition scrit u003 2 3 1 2= = = or, par dfinition

de un( ), on a u0 2= ainsi la proposition est vraie au rang n = 0.On suppose que la proposition un

n= 3 2 est vraie pour un certain rang n k= autrement dit, on suppose que pour un entier k positif, uk

k= 3 2 .Comme u uk k+ = 1 2 3 , lhypothse de rcurrence permet dcrire que uk

k+ = 1 2 3 2 3( ) puis uk

k+ = 1 6 2 2 3 ou encore uk

k+

+= 113 2

et la proposition unn= 3 2 est vraie au rang n k= +1. La proposition est

donc hrditaire.

La proposition unn= 3 2 est vraie pour n = 0 et elle est hrditaire donc

pour tout n unn = 0 3 2, .

Conjecturer une proprit puis la dmontrer

Soit ( )un la suite dfinie pour tout entier naturel n par u0 1= et pour tout n u u nn n = +0 10 9 81, .

En calculant les premiers termes de la suite, conjecturer lexpression de un en fonction de n puis dmontrer le rsultat.

On a : u u u

u u0 1 0

2 1

1 10 9 0 8 10 1 0 8 2

10 9 1 8 1

= = = == =

, ,

00 2 9 8 3

10 9 2 8 10 3 18 8 43 2

== = =

,

, etc.u u

Il semble donc que pour tout n u nn = +0 1, .

La proposition est vraie au rang n = 0 (et elle a mme t vrifie aux rangs n n= =1 2, et n = 3 ).Supposons que pour k 0, on ait u kk = +1 et, sous cette hypothse, montrons que u kk + = ++1 1 1 savoir u kk + = +1 2.

Comme u u k k k k k kk k+ = = + = + = +1 10 9 8 10 1 9 8 10 10 9 8 2( ) , on a prouv lhrdit.

Finalement, pour tout n 0, on a u nn = +1.

Conclusion :

Exemple 1

Solution

Initialisation :

Hrdit :

Initialisation :

Exemple 2

Solution


18 Squence 1 MA02

Limportance de linitialisation

Pour n 0, on note n la proposition 10 1n + est un multiple de 9 .

1. Dmontrer que la proposition n est hrditaire.

2. La proposition n est-elle vraie pour tout n 0 ? partir dun certain rang ?

1. On suppose que pour k un entier naturel positif, 10 1k + est un multiple de 9 et, sous cette hypothse, on montre que 10 11k + + est un multiple de 9.

Dire que 10 1k + est un multiple de 9 signifie que 10 1 9k N+ = o N est un entier relatif ou encore 10 9 1k N= avec N Z. Sous cette hypothse, on a :

10 1 10 10 1 10 9 1 90 10 1 90 91k k N N N+ + = + = = + = ( )+1

donc 10 1 9 10 1 91k N N+ + = =( ) ' avec N N' = 10 1 donc 10 1k + est bien un multiple de 9 et la proposition est hrditaire.

2. Pour n = 0, la proposition scrit 10 10 + est un multiple de 9 autrement dit 2 est un multiple de 9 ce qui est videmment faux. La proposition n nest donc pas vraie pour tout n 0. Etant hrditaire, elle peut tre vraie partir dun certain rang ds quelle est vraie pour un certain rang ; encore faut-il le trouver

On teste pour n = 1, n = 2 ou n = 3 en sinterrogeant donc sur la divisibilit de 11, 101 ou 1001 par 9. Il apparat que la proposition n nest pas vraie pour n = 1, n = 2 ou n = 3 . Plutt que de poursuivre les vrifications successives, on remarque quun nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres dans son criture en base 10 est un multiple de 9 or la somme des chiffres dun nombre de la forme 10 1n + vaut 2 quel que soit lentier n. Par suite, lentier 10 1n + nest jamais un multiple de 9 et la proposition 10 1n + est un multiple de 9 est fausse pour tout n 0.

On retiendra donc de cet exemple quune proposition peut tre hrditaire tout en tant toujours fausse ; cest le cas dun ensemble de dominos disposs suffisamment proches les uns des autres qui ne tombent pas si on nen fait tomber aucun.

Limportance de lhrditOn considre la suite ( )un dfinie sur par u0 100= et pour

tout n u uu

n nn = +

+0

1001, E o E est la fonction partie entire.

1. tablir une conjecture concernant une expression simple de un en fonction de n.

2. Cette relation est-elle vraie pour tout n 0 ?

Concernant la fonction partie entire

La fonction partie entire est une fonction dfinie sur qui tout rel x associe le plus grand entier relatif infrieur ou gal x. On note E( )x la partie entire dun rel x.

Exemple 3

Solution

Exemple 4

Remarque


19Squence 1 MA02

Autrement dit, pour tout n ,on aura E( )x n= pour tout x tel que n x n < +1.On a par exemple : E(5,7) = 5, E 2 1( ) = , E(10) = 10 ou E(0,2) = 1.Sur TI, on obtient la partie entire dun rel x, en choisissant le menu MATH puis NUM et en slectionnant partEnt (ou int sur les calculatrices en anglais).

Attention ne pas confondre avec la fonction ent (ou iPart sur les calculatrices en anglais) qui permet dobtenir la troncature lentier dun rel.

Sur Casio, la partie entire dun rel x sobtient par le menu NUM (cliquer sur OPTN) en choisissant intg.

Sur tableur, la fonction permettant dobtenir la partie entire dun rel est la fonction ENT.

1. On a : u0 100= ,

u uu

1 00

100100

100100

100 1 1= +

= +

= + =E E E( ) 000 1 101+ = ,

u uu

2 11

100101

101100

101 1 01= +

= +

= +E E E( , ))= + =101 1 102,

puis, de la mme faon, on peut poursuivre pour obtenir u u4 5104 105= =, ou encore u6 106= .

Il semble donc que pour n u nn = +0 100, . Cette relation est-elle vraie pour tout n 0 ?

2. Si on envisage que la proposition puisse tre fausse, un contre-exemple suffirait le dmontrer. On peut donc poursuivre les vrifications en saidant ventuellement dun tableur jusqu ce que lon trouve un rang pour lequel la proposition nest pas vraie.

La proposition u nn = +100 tant vraie au rang n = 0 (ainsi quaux rangs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 comme on la vrifi), elle sera vraie pour tout n 0 si elle est hrditaire.

On peut donc envisager de dmontrer que pour k 0, entraine

u kk + = + +1 100 1. Supposons que pour = +k u k0, 100k

alors u uu

ku

k kk k

+ = +

= + +

1 100100

100E E .

On pourra en dduire que u kk + = + +1 100 1 si on a Euk100

1

=

ce qui signifie que 1100

2 >rn

rn

r n r n r1

01

2 22 .

Ainsi, on a : 12n

r r ; ds que n r> .

En posant N lentier qui suit r , on a donc dmontr que pour

tout n Nn

r r , .1

;2

Do le rsultat.

Exemple 7

Remarque

Solution


28 Squence 1 MA02

On peut adapter la dmarche ci-dessus pour montrer que :

lim lim lim

n n nn n n+ + += = =1 0 1 0 1 0

3, ,

ou plus gnralement

lim .n kn

k+

= 1 0 o N

b) Comme on peut le voir ci-contre, une illustration graphique ou laide dun tableur permet davoir une ide du comportement de la suite un( ). Pour dmontrer la convergence de ( )un vers 1, on montre que tout intervalle ouvert centr en 1 contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

j P2

2

1

0

0

P1

P0

1

2

P3

3

P4

4

P5

5 n

Un

i

Lintervalle 1 1 + r r; o r est un rel strictement positif est un intervalle ouvert contenant 1.

Puis : u r r rnn

r rnn

r

r

n + +rn

nr

nr

32

23

23

et +

< + > > 32

23

23

nr n

rn

r.

Le plus grand des deux nombres 2 3r

et +2 3r

tant clairement +2 3r

on note

N lentier qui suit +2 3r

pour obtenir que pour tout n N , u r rn +] ; [1 1

do la convergence de ( )un vers 1.

On peut noter au passage que pour montrer la convergence de ( )un vers 1, on a

prouv la convergence vers 0 de la suite de terme gnral un 1.

En utilisant la dfinition de la convergence dune suite, montrer que toute suite convergente est borne.

Remarque

Remarque

Exemple 8


29Squence 1 MA02

Soit ( )un une suite dfinie pour tout entier naturel, convergente vers un rel . Ainsi, pour un rel r quelconque, on sait trouver un entier N tel que pour

tout n N r u rn < < +, donc ( )un est borne partir du rang N.

En notant m le plus petit des nombres u u u rN0 1 1, ,..., , et M le plus grand des nombresu u u rN0 1 1, ,..., , + on obtient que pour tout n N , m u Mn ce qui signifie que ( )un est borne.

On peut ici raisonner en choisissant une valeur particulire pour r, par exemple r = 1.

Dmonstration

Raisonnons par labsurde. Pour

commencer, supposons quune suite

( )un converge et quelle admette

deux limites distinctes et .Ncessairement, lune est strictement infrieure lautre, par exemple < .On peut donc trouver un intervalle ouvert I contenant et un intervalle ouvert J contenant qui ne se chevauchent pas.

La suite ( )un tant convergente vers , tous les termes de la suite sont dans lintervalle I partir dun certain rang N et, ( )un tant convergente vers , tous les termes de la suite sont dans lintervalle J partir dun certain rang N . Donc, pour tout n la fois suprieur N et N , le terme un se trouve la fois dans lintervalle I et dans lintervalle J, ce qui est impossible. Lhypothse que nous avions mise au dpart est donc absurde et ( )un ne peut donc pas converger vers deux limites distinctes.

Solution

Remarque

Proprit 1 Limites de suites usuelles

lim lim lim limn n n nn n n+ + +

= = =1 0 1 0 1 02

, , ,+

= 1 03n

et plus

gnralement lim .n kn

k+

= 1 0 o N

Toute suite constante de terme gnral gal est convergente vers .

Proprit 2 Unicit de la limite

Si une suite converge alors sa limite est unique.


30 Squence 1 MA02

b) Oprations sur les limites

Dterminer la limite des suites de termes gnraux :

an n

nb

n

n nn n=

+ =

+

3 1 4

2

2

2

2

2, , c

n n

n nn =

+

+

3 1

2

2

3 et d

n nn=

1

.

Dans chaque cas, on amen transformer lexpression de la suite de faon utiliser les rgles opratoire-ci-dessus.

Pour n an n

n n nn> =

+ = + 0 3 1 3 1 12

2 2, or lim lim

n nn n+ += =1 0 1 0

2et

donc, par somme, lim .n n

a+

= 3

Pour n bn

n n

n nn n

nn nn

> =

+= +

+= = 0 4

2

2 22

21

22

2,

( )( )( )

or lim n n+

=1 0 donc,

par produit lim n n+

=2 0 puis, par somme lim .

n nb

+= 1

On remarque que lon peut proposer une autre transformation de bn pour obtenir le rsultat.

En effet, pour n > 0 , b n

n n

nn

n

n

n

n =

+=

+=

+

2

2

22 24

2

14

12

14

12

( )

n ( )2 or lim

n n+=4 0

2

donc lim n n+

=1 4 1

2 et lim

n n+=2 0 donc lim

n n++

=1 2 1 ce qui

conduit, par quotient, lim .n n

b+

= 1

Proprit 3 Opration sur les limites

Soient ( un ) et ( vn ) deux suites convergentes de limites respectives et .

On admet les rsultats suivants :

la suite de terme gnral u vn n+ est convergente et a pour limite + ' ;

la suite de terme gnral u vn n est convergente et a pour limite ' ;

l a suite de terme gnral k un o k est un rel est convergente et a pour limite k ;

si vn ne sannule pas partir dun certain rang et si ' 0 alors la suite

de terme gnral uv

n

n est convergente et a pour limite

'

.

Exemple 9

Solution


31Squence 1 MA02

Cette deuxime transformation est frquemment utilise lorsque le terme gnral de la suite est une expression rationnelle en n ainsi quon peut le constater dans lexemple suivant.

On observera que, dans ce cas, on transforme lexpression de dpart en factorisant numrateur et dnominateur par leur monme de plus haut degr en n.

Pour n cn n

n n

nn n

nn

nn> = +

+=

+

+= 0 3 1

2

31 1

12

12

3

22

32

,( )

( )

331 1

12

2

2

+

+

n n

n

.

Dune part lim lim n nn n+ +

= =1 0 1 02

et donc lim n n n+

+

=3 1 1 3

2

et lim n n+

=2 02

donc lim n n+

+

=1 2 1

2 ainsi par quotient lim .

n

n n

n

+

+

+=

31 1

12

32

2

Dautre part lim n n+

=1 0 et par produit, on obtient lim .n n

c+

= 0

Bien que le terme dn ne soit pas rationnelle en n, on peut adopter une dmarche analogue celle utilise prcdemment.

Pour n dn n n

n

n

n

n> = =

=

2

1 1

11

1 1

11

,( )

.

Dune part lim n n+

=1 0 donc lim

n n+

=1 1 1 puis par quotient

lim .n

n+

=1

11

1

Dautre part lim n n+

=1 0, et par produit, on obtient lim .n n

d+

= 0

c) Thormes de comparaison et dencadrement

Proprit 4 Compatibilit avec lordre

Soient ( un ) et ( vn ) deux suites convergentes de limites respectives et

.

Si, partir dun certain rang, on a u vn n< (ou bien u vn n ) alors .


32 Squence 1 MA02

Dmonstration

Supposons que > .

On peut donc trouver un intervalle ouvert I contenant et un intervalle ouvert J contenant qui ne se chevauchent pas.

La suite ( )un converge vers donc il existe un rang N1 partir duquel I contient

tous les termes de un( ).De mme, il existe un rang N2 partir duquel J contient tous les termes de vn( ).En notant N le plus grand des entiers N1 et N2, pour tout n N , I contient

les nombres un alors que J contient les nombres vn (voir illustration) et

donc u vn n> ce qui est incompatible avec lhypothse de la proprit.

Donc .

Consquence

Si ( )un n n 0est une suite croissante et convergente vers alors, pour

tout n n un 0 , .

Dmonstration

Soit n n 0.

Pour tout p n , on a u up n car la suite ( )un est croissante, or la convergence

de la suite vers se traduit par lim .p p

u+

= De plus, un ne dpendant pas de p,

on a lim .p n n

u u+

= Ainsi, par passage la limite en p dans lingalit ci-dessus,

on obtient un . Finalement, pour tout n n un 0 , .

De faon analogue, on a :

Si ( )un n n 0est une suite dcroissante et convergente vers alors, pour

tout n n un 0 , .

On admet le rsultat suivant appel thorme des gendarmes .

J contient les termes de (vn) pour n N

I contient les termes de (un) pour n N

'

Remarque

On considre trois suites ( )un , ( )vn et wn( ).Si ( )un et ( )wn sont convergentes vers un mme rel et si, partir dun

certain rang, u v wn n n alors ( )vn est elle aussi convergente vers .

Thor

me 1


33Squence 1 MA02

Dterminer la limite des suites de terme gnral : an

n

n= ( )1

2 et b

n nnn

= +

sin.

21

Pour tout n n N, ( )1 1 1 or, pour n > 0, n2 0> donc pour n > 0, 1 1

2 2na

nn .

Dune part, lim n n+

=1 0

2

et dautre part, lim n n+

=1 02

donc par le

thorme des gendarmes lim .n n

a+

= 0

Pour tout n N, 1 1sin n donc 1 2 2 1 2n n n nsin or n + >1 0

donc

+

+1 2

11 2

1n

nb

nnn

.

Dune part,

+=

+=

+

1 21

12

11

12

11

nn

nn

nn

n

n

( )

( ) or lim

n n+

= 1 2 2

et lim n n+

+

=1 1 1 donc par quotient lim .

n

nn+

+= 1 2

12

Dautre part, on montre de faon analogue que lim .n

nn++

= 1 21

2

Ainsi, par le thorme des gendarmes lim .n n

b+

= 2

On considre la suite un( ) dfinie pour tout n 1, par :u

n k n n n n nn k

n=

+=

++

++

++ +

+= 1 1

0

1

1

1

2

1

0... .

a) En remarquant que les n +1 termes constituant la somme un sont tous compris

entre 1

n n+et

1n

, dmontrer que pour tout n 1, nn n

un

nn++

+1 1 .

b) En dduire que la suite ( )un est convergente et prciser sa limite.

a) Pour n 1 et pour 0 k n, on a 0 k n puis n n k n n + + et,

par inversion 1 1 1

n n n k n+

+ donc chacun des n +1 termes de la

somme constituant un est suprieur 1

n n+ do u n

n nn +

+( )1

1

et infrieur 1n

do u nnn

+ ( )1 1 .

Finalement pour tout n 1, nn n

un

nn++

+1 1 .

Exemple 10

Solution

Exemple 11

Solution


34 Squence 1 MA02

b) Dune part n

n n

nn

nn

n

n

++

=+

+=

+

+

1 11

11

11

11

( )

( )or lim

n n+=1 0

donc lim n n+

+

=1 1 1 et lim

n n+=1 0

donc lim n n+

+

=1 1 1 puis par quotient

++

=+

nn n

lim 1

1.n

Dautre part n

n n+ = +1 1 1 donc lim .

n

nn++

=1 1

Par le thorme des gendarmes, on en dduit la convergence de ( )un vers 1.

2. Suites divergentes ayant pour limite + ou

a) Dfinitions et premires proprits

On dit quune suite (un) admet pour limite + si tout intervalle de la forme A ; + o A est un rel, contient tous les termes de la suite partir dun

certain rang. On note alors lim .n n

u+

= +

De faon analogue, on dit quune suite (un) admet pour limite si tout

intervalle de la forme ; A o A est un rel, contient tous les termes de

la suite partir dun certain rang. On note alors lim .n n

u+

=

Dans un cas comme dans lautre, on dit que la suite est divergente.

Dfinition 2

a) En utilisant la dfinition, dmontrer que : lim .n

n+

= +2

b) La suite un( ) dfinie pour tout n par u nnn =+

1012 1

2.

laide dun tableur, conjecturer lventuelle limite de la suite un( ).Montrer que lon peut trouver un rang au-del duquelun 100.

En utilisant la dfinition, dmontrer que lim .n n

u+

=

Exemple 12


35Squence 1 MA02

En gnral, on ne revient pas la dfinition de la notion de limites pour dterminer les limites des suites proposes mais on utilise les proprits sur les limites usuelles, les rgles opratoires sur les limites ainsi que les diffrents thormes qui seront vus dans la suite de cette partie.

a) Par dfinition, on est amen dterminer un rang N tel que pour tout n N n A , 2 o A est un rel quelconque (aussi grand quon le veut ce qui permet de se restreindre au cas o A 0).

Alors, n tant positif, n A n A2 et, en choisissant N lentier qui

suit A on obtient que si n N n A alors 2 ce qui signifie que

lim .n

n+

= +2

b) laide dun tableur ou de la calculatrice, il semble que la suite ( )un tende vers .

120

80

40

050

40

80

120

100 150

Pour n un

nn nn

+

+

N, ( )100 1012 1

100 101 100 2 12

2

nn n2 200 201 0 .

Le trinme x x2 200 201 a pour discriminant = =40804 2022 et donc pour racines 1 et 201.

De plus, x x2 200 201 est positif lextrieur de ses racines et n 0 donc

pour tout n un 201 100, .

Pour n u An

nA n A n

n An

n +

+

+

N, ( )1012 1

101 2 1

2 10

22

2 11 0+ A .

Remarque

Solution


36 Squence 1 MA02

Le trinme x Ax A2 2 101+ + a pour discriminant = +4 4 4042A A . Le trinme 4 4 4042A A + a lui mme un discriminant strictement ngatif (6448R, 0.Ainsi, x Ax A2 2 101+ a pour racines

+A A A2 101 et + +A A A2 101 .

En remarquant que + + +A A A A A A2 2101 101 et sachant

que x Ax A2 2 101+ est positif lextrieur de ses racines, on a

x Ax A2 2 101 0+ pour x A A A + +2 101 . On peut enfin remarquer

que ds que A 0 , + + A A A2 101 0 comme somme de deux nombres positifs.

Finalement, en notant N lentier qui suit + +A A A2 101 , on a pour

tout n N , u An donc lim .n nu

+=

b) Oprations sur les limites

On admet les proprits intuitives suivantes.

Proprit 5 Limites de suites usuelles

On a : lim lim lim limn n n n

n n n+ + +

= + = + = +, , ,2+

= +n3

et plus gnralement lim .n

kn k+

= + o N

Proprit 6 Somme

Soient (un) et (vn) deux suites dont les rles peuvent tre inverss.

La limite de la somme u vn n+

limn n

v+lim

n nu

++

+ +

+


37Squence 1 MA02

Une case colorie signifie quon est en prsence de formes indtermines , cest--dire que la proprit ne permet pas de conclure puisque le rsultat dpend de la situation dans laquelle on se trouve.

Pour illustrer la situation, considrons les exemples suivants.

Prenons u nn = 3 et v nn = .

Il est clair que lim n n

u+

= + et que limn n

v+

= or u v nn n+ = 2 de sorte

que lim .n n n

u v+

+( ) = +Prenons maintenant u nn = 2 et v nn = 3 .

Comme prcdemment limn n

u+

= + et limn n

v+

= mais u v nn n+ = et

on obtient lim .n n n

u v+

+( ) =

Enfin, prenons u nn = + 2 et v nn = +1. Encore une fois limn nu

+= +

et limn n

v+

= avec u vn n+ = 3 et cette fois-ci lim .n n n

u v+

+( ) = 3 On constate que la conclusion dpend du cas dans lequel on se trouve.

Comme prcdemment, une case colorie signifie quon est en prsence de formes indtermines , cest--dire que la proprit ne permet pas de conclure puisque le rsultat dpend de la situation dans laquelle on se trouve.

Pour illustrer la situation, considrons les exemples suivants.

Remarques d l fi d

Proprit 7 Produit

Soient ( )un et ( )vn deux suites dont les rles peuvent tre inverss.

La limite du produit u vn n

limn n

v+lim

n nu

++

+ +

+

0

(>0) +

(

38 Squence 1 MA02

Prenons un

n =12

et v nn = . On a limn nu

+= 0 et lim

n nv

+= +

or u v

nn n = 1 de sorte que lim .

n n nu v

+( ) = 0

Prenons maintenant un

n =12

et v nn =3. Comme prcdemment lim

n nu

+= 0

et limn n

v+

= + mais u v nn n = et on obtient lim .n n nu v

+( ) = +

Enfin, prenons un

n =12

et v nn =2 . Encore une fois lim

n nu

+= 0

et limn n

v+

= + mais u vn n = 1 et on obtient lim .n n nu v

+( ) = 1

On constate que la conclusion dpend du cas dans lequel on se trouve.

Lorsque lune des suites converge vers un rel et que lautre diverge en ayant pour limite + ou , on sait que le produit tend vers linfini mais il est ncessaire dargumenter en prcisant le signe de pour pouvoir conclure.

Par exemple, si limn n

u+

= 2 et limn n

v+

=

alors on en dduit

que limn n n

u v+

( ) = alors que si limn n

u+

= 2 et = +

vlim ,n

n on

en dduit que ( ) = ++

u vlim .n

n n

Proprit 8 Inversion

Soient ( )un une suite.

limn n

v+ lim n nv+

1

+ 0

0

( 0 )1

0+ +

0


39Squence 1 MA02

Lorsquune suite ( )vn ne sannulant pas partir dun certain rang, tend vers 0 et garde un signe constant au voisinage de linfini (cest--dire partir dun certain rang), son inverse tend vers linfini et la connaissance du signe de vn pour n au voisinage de + permet de conclure.

Par exemple, pour vnn

= 1 , on a limn n

v+

= 0 or, pour n > 0, vn > 0 donc on en

dduit que lim n nv+

= +1 (ce qui est aisment vrifiable car 1

vn

n= ).

Alors que pour vnn

=1

1, on a lim

n nv

+= 0 or, pour n > 1, vn < 0 donc on

en dduit que lim n nv+

= 1 (ce que lon peut obtenir en remarquant

que 1

1v

nn= ).

Pour prciser quune suite tend vers 0 en tant strictement positive pour n au

voisinage de +, on peut noter limn n

v+ +

= 0 ce qui signifie que limn n

v+

= 0

avec vn > 0 pour n suffisamment grand.

De faon analogue, pour prciser quune suite tend vers 0 en tant strictement

ngative pour n au voisinage de +, on peut noter limn n

v+

= 0 ce qui signifie

que limn n

v+

= 0 avec vn < 0 pour n suffisamment grand.

Remarques

Proprit 9 Quotient

Soient ( )un et ( )vn deux suites.

La limite du quotient uv

n

n

limn n

v+

limn n

u+

+ 0+ 0 ' ( ' 0 )

+ + + ou + + ou 0 0 0 0

( > 0 ) 0 0 + '

( < 0 ) 0 0 +'


40 Squence 1 MA02

Puisque uv

uv

n

nn

n= 1 , on notera que :

l es diffrentes formes indtermines observes ici dcoulent des cas dindtermination constates dans le cas des limites par produit et par inversion ;

comme prcdemment, on peut parfois conclure une limite infinie mais le choix entre + ou rsulte de ltude du signe des suites pour de grandes valeurs de n.

Dterminer la limite des suites de terme gnral :

a n n b n n cn n

nd n nn n n n= + + = =

= 3 5 8 3

1

2 32

2, , , et ee

n nnn

= +2 1

.

On a : lim n

n+

= +2 donc lim n

n+

= +3 2 puis lim n

n+

= + donc

lim n

n+

+( ) = +5 ainsi, par somme : lim .n n

a+

= +

Le raisonnement ci-dessus conduit une indtermination, il est donc ncessaire de transformer lexpression de bn .

Par exemple, pour n : b n n n nn = = ( )8 83 2 . Dune part lim

nn

+= +

et, dautre part lim

nn

+= +2 donc

limn

n+

( ) = +2 puis ( ) =

+nlim 8 .

n

2

Finalement, par produit : lim .

n nb

+=

On remarque que la transformation b n n nn

n = =

88

13 32

pour n > 0 permettait aussi de conclure.

On remarque que, dans ce cas, la transformation dcriture effectue sur bn est une factorisation par le monme de plus haut degr, dmarche que lon a dj rencontre prcdemment.

Dans cet exemple, on peut montrer que le numrateur tend vers + alors que le dnominateur tend vers ce qui est un cas dindtermination. On transforme alors cn en factorisant numrateur et dnominateur par le monme de plus

haut degr. Pour n >0, cn n

n

nn

nn

n

n

n =

=

=

3

1

31

11

31

11

2

2

2

22 2

( )

( ).

Dune part lim n n+

=1 0 donc lim

n n+

=3 1 3

et, dautre part lim

n n+=1 0

2

donc lim .n n+

= 1 1 1

2

Remarques

Exemple 13

Solution


41Squence 1 MA02

Par quotient, on a donc lim .n n

c+

= 3 La suite ( )cn est donc convergente.

Pour n d n nn = N, or limn n+ = + et limn n+ = + donc les oprations sur les limites ne permettent pas de conclure, nous sommes face un cas dindtermination et il est ncessaire de transformer lexpression de dn pour lever cette indtermination. On remarque que n tend plus vite vers + que n tend vers +. Ainsi, lide est dadopter la dmarche rencontre ci-dessus en factorisant dn par le terme dominant, cest--dire celui qui tend le plus vite vers +.

Alors, pour n d n n nnn

> = =

01

1, or limn

n+

= +

et lim n n+

= 1 1 1 donc par produit lim .

n nd

+=

On remarque que cest une transformation possible de dn car on pouvait

aussi crire que pour n d n n n nn = = ( )N, 1 or lim n n+ = + et lim

nn

+( ) = 1

donc par produit lim .

n nd

+=

Pour n > 0, en nn

nn

nn

n

n

n =+

=

+

=

+2 1

11

21

11

21

.

On montre que lim n n+

= 1 1 1 et que lim

n n++

=2 1 2

donc par

quotient, la suite ( )en est convergente et admet pour limite 12

.

Pour lever des indterminations lors du calcul de limites en +,on est frquem-ment amen factoriser lexpression de dpart par le terme dominant.

En particulier :

lorsque un est une expression polynomiale en n, cest--dire lorsque

u a n a n a n an pp

pp= + + + +

11

1 0...

o les coefficients ai sont des rels, on pensera lorsque cest ncessaire, factoriser un par le monme de plus haut degr savoir par a np

p ou par np ;

lorsque un est une expression rationnelle en n, cest--dire lorsque un est le quotient de deux expressions polynomiale en n, on pensera lorsque cest ncessaire factoriser le numrateur et le dnominateur par leur monme de plus haut degr.

Point mthode


42 Squence 1 MA02

c) Thormes de comparaison

Dmonstration

partir dun certain rang, u vn n or lim n nu

+= +

donc, tant donn un

rel A quelconque, on peut trouver un rang N au del duquel u An > et

u vn n . Par suite, pour tout n N v An >, . On en dduit que lim .n nv

+= +

Le deuxime point peut se dmontrer de faon analogue ou bien on peut se

ramener utiliser ce que lon vient de dmontrer. En effet, on remarque qu

partir dun certain rang v un n or lim n nv

+= donc lim

n nv

+( ) = +

et le point dmontr prcdemment permet daffirmer que lim n n

u+

( ) = +ou encore lim .

n nu

+=

Dterminer la limite des suites de terme gnral :

a nnn= + 2 1( ) et b n nn = 2

3cos .

Pour nn ( ) N, 1 1 1 donc n a nn2 21 1 + or limn n+ ( ) = +2 1

donc, par comparaison linfini, lim .n n

a+

= +

Pour n n N, cos2 2 2donc 2 23 3n b nn or lim n n+ ( ) = 2 3 donc, par comparaison linfini, lim .

n nb

+=

Proprit 10 Comparaison linfini

Les suites ( )un et ( )vn sont telles qu partir dun certain rang, u vn n .

Si lim n n

u+

= + alors lim .n n

v+

= +

Si lim n n

v+

= alors lim .n n

u+

=

Exemple 14

Solution


43Squence 1 MA02

3. Exemples de suites divergentes nayant pas de limite

Il y deux types de suites divergentes, celles qui ont pour limite ainsi quon a pu le voir dans le paragraphe 2 et celles qui nont pas de limite.

Montrer que la suite de terme gnral unn= ( )1 est une suite divergente,

nadmettant pas de limite.

Pour tout n un N, 1 1 donc ( )un est borne et ne peut donc avoir de limite infinie.

Supposons dsormais que la suite ( )un admette pour limite un certain rel

. Alors, il existe un rang N au del duquel < < +12

12

un autrement

dit, pour tout n N : <

44 Squence 1 MA02

4. Cas des suites gomtriques

Dmonstration de lingalit de Bernoulli

Soit x un rel positif, dmontrons par rcurrence que la proposition ( )1 1+ +x nxn est vraie pour tout n .

Initialisation : on a ( )1 10+ =x et 1 0 1+ =x donc la proposition est vraie au rang initial n = 0.

Hrdit : soit k tel que 1 1+( ) +x kxk . Comme x 0, on a 1 0+ x donc, en multipliant chaque membre de lingalit constituant lhypothse de

rcurrence, on a : ( ) ( )( )1 1 11+ + ++x kx xk or ( )( ) ( ) .1 1 1 1 2+ + = + + +kx x k x kx

Comme kx 2 0 , on a ( )( ) ( )1 1 1 1+ + + +kx x k x do 1 1 11+( ) + ++x k xk ( ) . La proposition est donc hrditaire.

Conclusion : pour tout rel x positif et pour tout entier naturel n, on a :

1 1+( ) +x nxn .

Proprit 11

Soit q un rel.

Si q > 1 alors la suite de terme gnral qn est divergente et on a lim .

n

nq+

= +

Si <

45Squence 1 MA02

Dmonstration des proprits concernant les limites de suites gomtriques

Soit q > 1.

En posant x q= 1, on a x > 0 et, par lingalit de Bernoulli :q x nxn

n= +( ) +1 1 . Comme x > 0, lim

nnx

++( ) = +1

puis, par comparaison, on en dduit que

lim .n

nq+

= +

Soit < q An . Lorsque n est pair, ( ) =q qn n donc, pour tout entier n pair suprieur N, on a q An > alors que lorsque n est impair, ( ) = q qn n donc, pour tout entier n impair suprieur N, on a >q An ou encore q An < . La suite de terme gnral qn nest donc ni majore, ni minore, elle ne peut donc pas tre convergente. Il apparat plus prcisment quelle na pas de limite.

Nous venons de dmontrer lingalit de Bernoulli que Jacques Bernoulli (Ble, 1654-1705) dmontra en 1689. Cependant, on peut noter que lon rencontre ce rsultat ds 1670 chez Isaac Barrow (Londres, 1630-1677).

Jacques Bernoulli est le premier dune ligne de mathmaticiens suisses.

Il sest intress diffrentes branches des mathmatiques dont, par exemple, celle des probabilits. Dans ce domaine on lui doit, par exemple, une dmonstration rigoureuse de la loi faible des grands nombres pour le jeu de pile ou face dont dcoulent les notions dpreuve de Bernoulli et de loi de Bernoulli abordes en premire.

Point historique


46 Squence 1 MA02

0

50

100

150

200

250

300

300

250

200

150

100

50

A = 200

y = A

y = A

0 2 4 6 8 10 12 1614 18 20 22

Dterminer les limites ventuelles des suites de terme gnral :

a b nnn

nn= = +( )1 5 2, et cn

k

n k

=

=

130.

On a lim n

n

+= +5 car 5 1> donc lim .

n na

+=

Pour tout n n 0 2, 2+ donc ( )2 2+ n n n or limn

n

+= +2 car 2 1> donc,

par comparaison lim .n n

b+

=

Le rel cn est la somme des n +1 premiers termes dune suite

gomtrique de raison 13

et de terme initial 1. Donc, pour tout n N,

cn

n

n=

=

+

+1

113

113

32

113

1

1or <

47Squence 1 MA02

5. Cas des suites monotones

Dmonstration

Dire que ( )un nest pas majore signifie que, pour tout rel A, on peut trouver

un rang N tel que u AN > or la suite ( )un est croissante donc pour tout

n N , u un N et, par suite, pour tout n N u An >, ce qui prouve que

lim .n n

u+

= +

Le deuxime point peut tre dmontr en utilisant un raisonnement analogue

ou bien en appliquant le rsultat prouv ci-dessus la suite de terme gnral

un .

On admet ce thorme.

Ce thorme permet de prouver la convergence dune suite mais nen donne pas la limite.

Soit ( )un la suite dfinie sur par : u0 10= et u un n+ = +1 6 pour tout n 0.

Dans les exemples 5 et 6 du chapitre 2 (Le raisonnement par rcurrence),

nous avons montr que ( )un est une suite dcroissante et que, pour

tout n un 0 3 10, . La suite ( )un est ainsi une suite dcroissante et minore par 3 donc ( )un est convergente daprs le thorme de la convergence

monotone.

Proprit 13

Si une suite ( )un est croissante et non majore alors lim .n nu

+= +

Si une suite ( )un est dcroissante et non minore alors lim .n nu

+=

Remarque

Exemple 17

Convergence monotone

Si une suite est croissante et majore alors elle est convergente.

Si une suite est dcroissante et minore alors elle est convergente.

Thor

me 2


48 Squence 1 MA02

Par ailleurs, on sait que pour tout n un 0 10, 3 donc en notant la limite de la suite ( )un , on peut en dduire par passage la limite que 3 10 .

ce stade de ltude, on dispose donc de la convergence de la suite ( )un ainsi que dun encadrement de la limite mais on na aucune information supplmentaire quant sa valeur.

Exercices dapprentissage

Dterminer la limite ventuelle des suites de terme gnral :

a n n

nn= +3 12

; b n n nn = + ( )( )1 3 2

2 ; c

nn nn

= + 1 3

1 2

2

( )( ) ;

dn n= + + + +117

1

7

1

72... ; en

n=

+12

3 ; fn

n n=

+

1

5 ;

gnn n n= + + +2 2 22 3 ; hn

n n= 3 7 .

Dterminer la limite de la suite ( )un dfinie par un n

nn= 1000 pour n 1.

a) Soit A un rel. Justifier lexistence dun rang N au del duquel u An .

b) Montrer que ( )un est croissante.

c) crire un algorithme donnant le plus petit rang N partir duquel tous les termes de la suite ( )un appartiennent lintervalle A ; + o A est un rel quelconque.

Dterminer la limite des suites dfinies par leur terme gnral :

a nnn= 2 12 ( ) ; b n nn = ( )sin 3 ; c nn

n=

34

sin ; dn n

nn= +

cos

3 2.

Pour n 2, on dfinit ( )un par un

nn n= +

+ 3

1( ).

Montrer que, pour tout n 2, nn

un

nn+

13

1.

En dduire la limite de un( ).

C

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9

Exercice 10


49Squence 1 MA02

tudier la convergence de la suite ( )un dfinie sur par

un n nn

=+

++

+ +11

12

12

... .

Indication :

On pourra montrer que ( )un est croissante et majore.

Exercice 10


51Squence 1 MA02

4 SynthseSynthse de la squence

Soit une proposition n dpendant dun entier naturel n.

Pour dmontrer que n est vraie pour tout entier n n 0 , il suffit de montrer que :

La proposition est vraie au rang n0 ;

pour un entier k quelconque k n k( )0 , vraie entrane k +1 vraie.

Le principe de rcurrence

A

Proprit Limites de suites convergentes usuelles

lim lim lim limn n n nn n n+ + +

= = =1 0 1 0 1 02

, , ,+

= 1 03n

et plus gnralement lim .n kn

k+

= 1 0 o N

Toute suite constante de terme gnral gal est convergente vers .

On dit quune suite ( )un admet pour limite un rel lorsque tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.

On note alors lim .n n

u+

=

Lorsquune suite ( )un admet une limite finie, on dit quelle est convergente (ou quelle converge).Dans le cas contraire, on dit quelle est divergente.

Dfinition


52 Squence 1 MA02

Proprit Unicit de la limite dune suite convergente

Si une suite converge alors sa limite est unique.

Proprit Opration sur les limites de suites convergentes

Soient ( un ) et ( vn ) deux suites convergentes de limites respectives et .

On admet les rsultats suivants :

la suite de terme gnral u vn n+ est convergente et a pour limite + ' ;

la suite de terme gnral u vn n est convergente et a pour limite ' ;

la suite de terme gnral k un o k est un rel est convergente et a pour limite k ;

si vn ne sannule pas partir dun certain rang et si ' 0 alors la suite

de terme gnral uv

n

n est convergente et a pour limite

'

.

Consquence

Si ( )un n n 0est une suite croissante et convergente vers alors, pour

tout n n un 0 , .

Thorme des gendarmes

On considre trois suites un( ), et wn( ).Si ( )un et ( )wn sont convergentes vers un mme rel et si, partir dun

certain rang, u v wn n n alors ( )vn est elle aussi convergente vers .Thor

me

Proprit Compatilit avec lordre

Soient (un) et (vn) sont deux suites convergentes de limites respectives et .

Si, partir dun certain rang, on a u vn n< (ou bien u vn n ) alors .


53Squence 1 MA02

Suites divergentes de limite infinie

On dit quune suite (un) admet pour limite + si tout intervalle de la forme A ; + o A est un rel, contient tous les termes de la suite partir dun

certain rang. On note alors lim .n n

u+

= +

De faon analogue, on dit quune suite (un) admet pour limite si tout intervalle de la forme ; A o A est un rel, contient tous les termes de la suite partir dun certain rang. On note alors lim .

n nu

+=

Dans un cas comme dans lautre, on dit que la suite est divergente.

Dfinition

Limite dune somme

La limite de la somme u vn n+

limn n

v+lim

n nu

++

+ + +

Limite dun produit

La limite du produit u vn n

limn n

v+lim

n nu

++

+ + +0

( > 0) + ( < 0) +

Proprit Limites de suites divergentes usuelles

On a : lim lim lim limn n n n

n n n+ + +

= + = + = +, , ,2+

= +n3

et plus gnralement lim .n

kn k+

= + o N

Limite dune som

Proprits


54 Squence 1 MA02

Inversion

limn n

v+ lim n nv+

1

+ 0

0

( 0 )1

0+ +

0

Limite dun quotient

La limite du quotient uv

n

n

limn n

v+lim

n nu

++ 0+ 0 ' ( ' 0 )

+ + + ou

+ + ou

0 0 0 0

( > 0)0 0

+ ' ( < 0) +

Proprit Comparaison en +

Les suites ( )un et ( )vn sont telles qu partir dun certain rang, u vn n .

Si lim n n

u+

= + alors lim .n n

v+

= +

Si lim n n

v+

= alors lim .n n

u+

=


55Squence 1 MA02

Proprit Cas de suites gomtriques

Soit q un rel.

Si q > 1 alors la suite de terme gnral qn est divergente et on alim .

n

nq+

= +

Si <

56 Squence 1 MA02

Soit ( )vn la suite dfinie par v un n=

1

3 pour n 0.

a) Montrer que ( )vn est une suite arithmtique dont on prcisera la raison et le premier terme.

b) Dterminer la limite de la suite ( )vn puis, aprs avoir exprimer un en fonction de vn , conclure quant la limite de un( ).

On dfinit la suite ( )un par son premier terme u0 2 et la relation de

rcurrence uuun

n

n+ =

++1

6

2.

Montrer quil existe deux valeurs de u0 tels que la suite ( )un soit constante. On notera a et b (avec a b> ) ces deux valeurs.

Soit f la fonction dfinie par f xxx

( )= ++

62

.

a) tudier la fonction f, tracer sa courbe reprsentative ainsi que la droite dquation y x= sur lintervalle [0 ; 5] et construire les quatre premiers termes de la suite ( )un en choisissant u0 0= .

b) Que peut-on conjecturer dans ce cas quant au comportement de la suite un( )?c) laide du logiciel Geogebra ou dun tableur, conjecturer le comportement de

la suite un( ) selon la valeur du terme initial u0 2 . Montrer que si u0 est diffrent b alors, pour tout n N, il en est de mme

pourun .

On choisit u b0 et, pour n N, on pose vu au bn

n

n=

.

Exprimer vn+1 en fonction de vn . En dduire lexpression de vn en fonction

de n, celle de un en fonction de n puis la limite de un quand n tend vers +.

Soit f la fonction dfinie sur par f x x x( ) , , .= 1 6 1 6 2 Etudier le sens de variation de f sur R.

On considre la suite ( )un dfinie par u0 0 1= , et u u un n n+ = 1 1 6 1, ( ) pour

tout n N. Dans le plan rapport un repre orthonormal, on dispose de la reprsentation graphique de la courbe dquation y f x= ( ).

Construire en abscisse les cinq premiers termes de la suite ( )un en laissant apparents les traits de construction.

Quelles conjectures peut-on formuler concernant les variations et lventuelle convergence de la suite ( )un ?

Exercice II

Exercice III


57Squence 1 MA02

00

0,1

0,2

0,3

0,4

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

a) Dmontrer que pour tout n N, on a 0 381

+u un n .

b) Que peut-on en dduire concernant la convergence de la suite ( )un ?

a) Montrer que pour tout n N, on a 38

1 658

381

=

+

u u un n n, puis

que 38

0 84381

+

u un n, .

b) Montrer par rcurrence que pour tout n N, on a 38

0 84 unn, .

c) Dterminer la limite de la suite un( ).

Rpondre par VRAI ou FAUX aux affirmations suivantes en justifiant les rponses.

Toute suite dcroissante est majore.

Toute suite dcroissante et minore par 0 a pour limite 0.

Toute suite croissante et majore est borne.

Toute suite qui admet pour limite + nest pas majore.

Si ( )un et ( )vn sont des suites convergentes telles que pour tout

n u vn n

58 Squence 1 MA02

La suite ( )un est gomtrique.

La suite ( )un est la suite des sommes des n premiers termes dune suite gomtrique.

La suite ( )un est arithmtique.

On se propose de calculer laire sous la courbe reprsentant la fonction carr sur lintervalle [0 ; 1], cest--dire laire du domaine limit par la reprsentation graphique de la fonction carre, laxe des abscisses ainsi que les droites dquations x = 0 et x = 1.

Pour cela, on partage lintervalle [0 ; 1]

en n intervalles de longueur 1n

(o n

est un entier suprieur 1) sur lesquels on construit n rectangles situs sous la courbe et n rectangles contenant . On note un laire totale des rectangles situs sous la courbe et vn laire totale des rectangles contenant le domaine . On obtient ainsi deux suites ( )un et ( )vn encadrant laire A cherche.

Ainsi, pour tout n 1, on a : u A vn n .

Illustrer la situation laide du logiciel Geogebra afin de conjecturer le rsultat.

Indications pour le faire

Reprsenter la fonction f dfinie sur [0 ; 1] par f x x( ) ,= 2 crer un curseur n prenant des valeurs entires puis dfinir les suites ( )un et ( )vn en tapant respectivement dans la barre de saisie u_n=sommeinfrieure [f,0,1,n] et v_n=sommesuprieure[f,0,1,n]. Il suffit alors de choisir diffrentes valeurs pour n pour observer le comportement des les suites ( )un et vn( ).

a) Vrifier que, pour n un

knk

n =

=1 13

2

1, et v

nkn

k

n=

=13

2

1.

b) Dmontrer par rcurrence que, pour tout n kn n n

k

n = + +

=1 1 2 16

2

1,

( )( )

et en dduire lexpression de un et de vn en fonction de n.

c) Calculer la limite de chacune de ces suites et en dduire laire A cherche en units daire.

Exercice VI

0

1

0 1/n

y = x2

2/n 3/n 4/n 5/n 6/n 1(n)2n

(n)1n


59Squence 1 MA02

On considre la suite ( )un dfinie pour tout entier naturel non nul par :

uk

nk n nn

nn

k

n=

+=

++

++ +

+= 1

11

22 1 11

2... .

Calculer u1, u2 et u3.

a) Soit n 1. Montrer que, pour tout entier k tel que 1 k n, on a 1

1 11

nk

nk n+

+ .

Indications

On pourra remarquer que pour tout entier k tel que 1 k n, on a k

nkn

k+

=+11

1.

b) En dduire que, pour tout n entier strictement positif, on a n

nun+

1

1.

c) tudier alors la convergence de la suite un( ). a) Pourquoi peut-on affirmer quil existe un entier p strictement positif tel que,

pour tout entier n p , on a un

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Cours CNED physique TS - Sequence 01