Cours d'analyse et probabilités - Résumé

Rsum danalyse et probabilits - MP

Essaidi Ali

6 avril 2015

K = R ou C

1 Espaces vectoriels norms :Proposition 1.1 Caractrisation squentielle des normes quivalentes : SoientE unK-espace vectoriel etN,N deux normessur E. N et N sont quivalentes si et seulement si x E,(xn) EN, xn

N x xn

Nx.

Dfinition 1.1 Soit E un K-espace vectoriel norm. On dit que : O E est un ouvert de E si x O, > 0,B(x, ) O. F E est un ferm de E si {F (complmentaire de F dans E) est un ouvert de E. V E est un voisinage de a E sil existe un ouvert O de E tel que a O V .

Proprit 1.1 et E sont la fois des ouverts et des ferms de E. Une union quelconque (resp. intersection finie) douverts de E est un ouvert de E. Une intersection quelconque (resp. union finie) de ferms de E est un ferm de E. Les boules ouvertes de E sont des ouverts de E. Les singletons, les parties finies, les boules fermes et les sphres de E sont des ferms de E.

Proposition 1.2 Caractrisation squentielle des ferms : Soient E un K-espace vectoriel norm et F E.F est un ferm de E si, et seulement si, toute suite convergente lments dans F converge dans F .

Dfinition 1.2 Soit A E. On appelle : Voisinage de a A dans A ou relatif A tout ensemble de la forme A V o V est un voisinage de a dans E. Ouvert dans A ou relatif A tout ensemble de la forme A O o O est un ouvert de E. Ferm dans A ou relatif A tout ensemble de la forme A F o F est un ferm de E.

Dfinition 1.3 Soit a E et A E. On dit que a est une valeur dadhrence de A si > 0, A B(a, ) 6= . Lensemble A des valeurs dadhrences de A

sappelle ladhrence de A. On dit que a est intrieur A si > 0,B(a, ) A. Lensemble A des points intrieurs A sappelle lintrieur de A. On appelle frontire de A lensemble A \ A. On la note Fr(A) ou A.

Proprit 1.2 Soit A,B E, a E et r > 0. Alors : A A, A B A B, A est un ferm de E, A est un ferm de E ssi A = A, A = A, A est le plus petit ferm de E

contenant A et A est lintersection de tous les ferms de E contenant A.

A A, A B A B, A = A, A est un ouvert de E, A est un ouvert de E ssi A = A, A est le plus grand ouvertcontenu dans A et A est la runion de tous les ouverts contenus dans A.

B(a, r) = Bf (a, r),

Bf (a, r) = B(a, r) et B(a, r) = Bf (a, r) = S(a, r).

{A = {A et{A = {A.

Proposition 1.3 Caractrisation squentielle de ladhrence : Soit a E et A E.a A si, et seulement si, a est limite dune suite dlments de A. Autrement dit, a A (an) AN, an a.

Dfinition 1.4 Soient A,B E. On dit que A est dense dans B (resp. E) si B A (resp. A = E).

Proposition 1.4 Caractrisation squentielle des parties denses : Soient A,B E.A est dense dans B si, et seulement si, b B, (an) AN, an b.

1

CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali

Proposition 1.5 Caracrtrisations squentielles de la limite :Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms, A E, f : A F , a A et l E.

limxa f(x) = l (xn) A

N, (xn a f(xn) l)

limxa f(x) = + (xn) A

N, (xn a f(xn) +)

Si A est non born : limx+

f(x) = l (xn) AN, (xn + f(xn) l)

Proposition 1.6 Caractrisations squentielles de la continuit : Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms, A E,f : A F et a A.

f est continue en a ssi (xn) AN, (xn a f(xn) f(a)). f continue sur A ssi limage rciproque de tout ouvert (resp. ferm) de F est un ouvert (resp. ferm) relativement A.

Proposition 1.7 Soient E,F1, . . . , Fn des K-espaces vectoeiels norms, A E, a A, F = F1 Fn muni de la normeproduit et f : A F . On pose f = (f1, . . . , fn).f est continue en a (resp. sur A) si et seulement si ses composantes f1, . . . , fn sont continues en a (resp. sur A).

Proposition 1.8 Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms, A,B E avec A B et f, g C (B,F ).Si f = g sur A et A dense dans B alors f = g sur B.

Proposition 1.9 Caractrisation squentielle de luniforme continuit : Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms, A E et f : A F . f est uniformment continue sur A ssi (xn), (yn) AN, xn yn 0 f(xn) f(yn) 0.

Proposition 1.10 Caractrisation des applications linaires continues : Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms etf L (E,F ). f continue sur E ssi f uniformment continue sur E ssi f Lipschitzienne sur E ssi f continue en 0 ssik > 0,x E, f(x) kx.

Proposition 1.11 Caractrisation des applications bilinaires continues : Soient E,F,G troisK-espaces vectoriels norms etB : E F G bilinaire. On considre E F muni de la norme produit.B est continue sur E F si et seulement si k R,x E,y F, B(x, y) kxy.

Proposition 1.12 Caractrisation des applications multilinaires continues : Soient E1, . . . , En, F des K-espaces vectorielsnorms et M : E1 En F une application multilinaire. On considre E1 En muni de la norme produit.M est continue sur E1 En si et seulement si k R,(x1, . . . , xn) E1 En, M(x1, . . . , xn) kx1 xn.

Dfinition 1.5 Soient E un K-espace vectoriel norm et A E.On dit que A est compact dans E si de toute suite lments dans A on peut extraire une suite convergente dans A.

Proposition 1.13 Soient E,F deux K-espace vectoriel norm et A E et B F . Si A est compact dans E alors A est ferm born dans E. Si A est compact dans E alors tout ferm dans A est compact dans E. Si A est compact dans E et B compact dans F alors AB est un compact dans E F muni de la norme produit. Si A est compact dans E alors toute suite (xn) de A converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur dadh-

rence. Si A est compact dans E et f : A F continue sur A alors f(A) est compact dans F . Si A est compact dans E et f : A F continue sur A alors il existe a, b A tel que f(a) = sup

xAf(x) et

f(b) = infxAf(x).

Si A est compact dans E et f : A R continue sur A alors il existe a, b A, f(a) = supxA

f(x) et f(b) = infxA

f(x).

Thorme de Heine : Si A est compact dans E et f : A R continue sur A alors f est uniformment continue sur A.

Dfinition 1.6 Soit E un K-espace vectoriel norm A E et (xn) une suite de E. On dit que (xn) est une suite de Cauchy si > 0,N N,m,n N, xn xm . A est complet dans si toute suite de Cauchy lments dans A converge dans A. E est un espace de Banach si E est complet.

Proprit 1.3 Si E est un K-espace vectoriel norm alors : Toute suite convergente de E est de Cauchy. Toute suite de Cauchy de E qui admet une valeur dadhrence l est convergente vers l.

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Thorme 1.1 Soient E,E1, . . . , En, F,G des K-espaces vectoriels norms. Si E est de dimension finie alors E est un Banach. Tout sous-espace vectoriel de E de dimension finie est ferm. Si E est de dimension finie alors toutes les normes sur E sont quivalentes. Si E est de dimension finie alors les compacts de E sont exactement les ferms borns de E. Thorme de Bolzano - Weierstrass : Si E est de dimension finie alors de toute suite borne de E on peut extraire une

suite convergente. Si E est de dimension finie alors une suite borne de E converge si et seulement si elle admet une unique valeur dadh-

rence. Si E est de dimension finie alors les applications linaires de E vers F sont continues sur E. Si E et F sont de dimensions finies alors les applications bilinaires de E F vers G sont continues sur E F . Si E1, . . . , En sont de dimensions finies alors les applications multilinaires de E1 En vers F sont continues surE1 En.

Dfinition 1.7 Soit E un K-espace vectoriel norm, A E et a, b A. On appelle chemin de a b dans A toute application continue : [0, 1] A telle que (0) = a et (1) = b. On dit que A est connexe par arcs si x, y A il existe un chemin de x y dans A.

Proposition 1.14 Soit E,F deux K-espaces vectoriels norm, A E, B F et f : A F continue sur A. Si A convexe alors A est connexe par arcs. Si A est connexe par arcs alors f(A) est connexe par arcs. Si A est connexe par arcs dans E et B connexe par arcs dans F alors AB est connexes par arcs dans E F muni de

la norme produit. a b il existe un chemin de a b dans A est une relation dquivalence sur A. Si a A, la classe dquivalence

de a sappelle la composante connexe par arcs de a et on la note C (a).

Proposition 1.15 Soient E un K-espace vectoriel norm, A E et f : A R continue sur A. Les connexes par arcs de R sont les intervalles. Si A est connexe par arcs alors f(A) est un intervalle. Thorme des valeurs intermdiares : Si A est connexe par arcs alors a, b A,m R entre f(a) et f(b) il existec A tel que f(c) = m.

2 Sries dans un espace vectoriel norm :Dfinition 2.1 Soient E un K-espace vectoriel norm et

un S(E). On dit que :

un converge absolument si la srie

un est convergente.un est semi-convergente si

un converge mais pas absolument.

Proposition 2.1 Soit E un K-espace vectoriel etun S(E).

Si la srieun converge alors un 0.

On suppose queE est de dimension finie. Siun converge absolument alors elle converge et on a

+n=0

un

+n=0

un.

Proposition 2.2 Soient A une K-algbre norme de dimension finie et u A.Si u < 1 alors la srie de Neumannun converge absolument, 1 u est inversible et (1 u)1 = +

n=0

un.

Proposition et dfinition 2.1 SiA uneK-algbre norme de dimension finie alors u A la srie unn! converge absolument.On note exp(u) =

+n=0

un

n!et exp : u A 7 exp(u) sappelle lapplication exponentielle sur A.

Proposition 2.3 Soient A une K-algbre de norme de dimension finie et u, v A. Si uv = vu alors exp(u + v) =exp(u) exp(v) = exp(v) exp(u). En particulier, exp(u) est inversible et (exp(u))1 = exp(u).

Dfinition 2.2 Un ensemble I est dit : Dnombrable sil existe une bijection entre N et I . Au plus dnombrable sil existe une bijection entre une partie de N et I .

Proposition 2.4 Un ensemble est au plus dnombrable si, et seulement si, il est fini ou dnombrable.



Un ensemble I est au plus dnombrable ssi il existe une application injective (resp. surjective) de I vers N (resp. N versI).

Les parties infinies de N, Z, Q et N N sont dnombrables. Lensemble R nest pas dnombrable. Si E1, . . . , En sont des ensembles dnombrables alors E1 En est dnombrable. Une union au plus dnombrable densembles dnombrables (resp. au plus dnombrables) est dnombrable (resp. au plus

dnombrables).

Dfinition 2.3 Soient I un ensemble au plus dnombrable. Une famille (xi)iI de rels positifs est dite sommable si M 0,J I finie,

iJ

xi M .

Dans ce cas, supJI;J fini

iJ

xi sappelle la somme de la famille (xi)iI et on le noteiI

xi.

Une famille (xi)iI de nombres rels ou complexes est dite sommable si la famille (|xi|)iI est sommable.Proposition 2.5 Critre de comparaison : Soient I un ensemble au plus dnombrable et (xi)iI , (yi)iI deux familles de relspositifs. Si (yi)iI est sommable et i I, xi yi alors (xi)iI est sommable et on a

iI

xi iI

yi.

Proposition et dfinition 2.2 Soient I un ensemble au plus dnombrable et (xi)iI une famille sommable dlments de K. Si K = R alors (x+i )iI et (x

i )iI sont sommables.

iI

x+i iI

xi sappelle la somme de (xi)iI et se noteiI

xi.

Si K = C alors (


Dfinition 2.4 Soientxn et

yn deux sries de nombres rels ou complexes.

La srie(

p+q=n

xpyq

)sappelle le produit de Cauchy de

xn et

yn.

Proposition 2.9 Soientxn et

yn deux sries de nombres rels ou complexes qui convergent absolument. Alors :

La famille (xnym)m,nN est sommable et on am,nN

(xmyn) =

+n=0

xn

+n=0

yn.

Leur produit de Cauchy converge absolument et on a+n=0

( p+q=n

xpyq

)=

+n=0

xn

+n=0

yn.

3 Fonctions vectorielles dune variable relle :Proposition 3.1 Soit I un intervalle de R, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie n N, B = (e1, . . . , en) unebase de E, a I et f : I E. On pose f = f1e1 + + fnen.f est drivable en a ssi f1, . . . , fn sont drivables en a. Dans ce cas, f (a) = f 1(a)e1 + + f n(a)en.Proposition 3.2 Soit I un intervalle de R, E,F,G trois K-espaces vectoriels norms de dimensions finies et f, g : I Edrivables sur I .

Si u L (E,F ) alors u f est drivable sur I et on a (u f) = u f . Si B : E F G est bilinaire alors B(f, g) : t 7 B(f(t), g(t)) est drivable sur I et on a t I, (B(f, g))(t) =B(f (t), g(t)) +B(f(t), g(t)).

Si E est euclidien alors u : t 7 f(t), g(t) est drivable sur I et on a t I, u(t) = f (t), g(t)+ f(t), g(t). Si E est euclidien alors v : t 7 f(t)2 est drivable sur I et on a t I, v(t) = 2f (t), f(t). Si E est euclidien orient de dimension 3 alors w : t 7 f(t) g(t) est drivable sur I et on a t I, w(t) =f (t) g(t) + f(t) g(t).

Proposition 3.3 Soit k N, I un intervalle de R, E,F,G trois K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, B :E F G une application bilinaire, f : I E et g : I F .Si f et g sont k-fois drivables (resp. de classe C k) sur I alors B(f, g) : t 7 B(f(t), g(t)) est drivable (resp. de classe C k)

sur I et on a la formule de Leibniz : t I, (B(f, g))(k)(t) =kp=0

CpkB(f(p)(t), g(kp)(t)).

Dfinition 3.1 Soit E unK-espace vectoriel norm de dimension finie n N,B = (e1, . . . , en) une base de E et f : [a, b]E continue par morceaux sur [a, b]. On pose f = f1e1 + + fnen.On appelle intgral de f sur [a, b] llment

( ba

f1

)e1 + +

( ba

fn

)en de E. On le note

[a,b]

f ou ba

f ou ba

f(t)dt.

Proposition 3.4 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie et f : [a, b] E continue par morceaux sur [a, b]. Somme de Riemann :

(b an

n1k=0

f

(a+ k

b an

))n1

converge et on a limn+

b an

n1k=0

f

(a+ k

b an

)=

ba

f .

Si u L (E,F ) alors u( b

a

f

)=

ba

(u f).

Ingalit triangulaire :

ba

f

ba

f.

Proposition 3.5 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie et f : I E continue sur I . F : x 7

xa

f est de classe C 1 sur I et on a x I, F (x) = f(x). En particulier, f possde une primitive sur I .

Lapplication F : x 7 xa

f est lunique primitive de f sur I qui sannule en a.

Si G est une primitive de f sur I alors x I,G(x) = G(a) + xa

f .

Proposition 3.6 Ingalit des accroissements finis : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension fini et f : [a, b] Ede classe C 1 sur [a, b].Si M 0 telle que t [a, b], f (t) M alors f(b) f(a) M(b a).



Proposition 3.7 Soit n N, E un K-espace vectoriel norm de dimension fini et f : [a, b] E. Formule de Taylor avec reste intgrale : Si f est de classe C (n+1) sur [a, b] alors

f(b) =

nk=0

f (k)(a)

k!(b a)k +

ba

(b t)nn!

f (n+1)(t)dt.

Ingalit de Taylor-Lagrange : Si f est de classe C (n+1) sur [a, b] alorsf(b)nk=0

f (k)(a)

k!(b a)k

supt[a,b] f (n+1)(t) (b a)n+1

(n+ 1)!.

Formule de Taylor-Young : Si f est de classe C n sur I alors f(x) =nk=0

f (k)(a)

k!(x a)k + o((x a)n).

4 Suites et sries de fonctions :Dfinition 4.1 SoientX un ensemble non vide,E unK-espace vectoriel norm de dimension finie et (fn) une suite de fonctionsde X vers E.

On dit que que (fn) converge simplement sur X si x X la suite (fn(x)) converge. Dans ce cas, f : x X 7lim

n+ fn(x) sappelle la limite de (fn) sur X et on note fns f sur X .

On dit que que (fn) converge uniformment sur X sil existe une application f : X E telle que > 0,N N,n N, x X, fn(x) f(x) . Dans ce cas, f est unique et on note fn u f sur X .

Proposition 4.1 SoientX un ensemble non vide,E unK-espace vectoriel norm de dimension finie, (fn) une suite de fonctionsde X vers E et f : X E. Si (fn) converge uniformment sur X vers f alors (fn) converge simplement sur X vers f .

Proposition 4.2 Soient a, b R avec a < b et E un K-espace vectoriel norm de dimension finie. Si f C ([a, b], E) alors f est limite uniforme sur [a, b] dune suite de fonctions en escaliers de [a, b] vers E. Thorme de Weierstrass : Si f C ([a, b],K) alors f est limite uniforme sur [a, b] dune suite de fonctions polynomiales.

Dfinition 4.2 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie etfn une srie de fonc-

tions de X vers E. On dit que que la srie de fonctionsfn converge :

Simplement sur X si la suite des sommes partielles defn converge simplement sur X .

Uniformment sur A si la suite des sommes partielles defn converge uniformment sur X .

Normalement sur X si la srie numrique fn,X converge.

Proposition 4.3 Soient X un ensemble non vide, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie etfn une srie de

fonctions de X vers E.fn converge uniformment sur X si, et seulemnt si,

fn converge simplement sur X et la suite des restes de

fn

converge uniformment vers 0 sur X . Si

fn converge uniformment sur X alors fn,X 0.

Si la srie de fonctionsfn converge normalement sur X alors elle converge uniformment sur X .

Si la srie de fonctionsfn converge normalement sur X alors x X , la srie

fn(x) converge absolument.

Thorme 4.1 Thorme dinterversion des limites : Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies,A E, a A et (fn) une suite de fonctions de A vers F .Si n N, fn admet une limite bn en a et (fn) converge uniformment sur A vers une fonction f alors la suite (bn) converge,f admet une limite en a et lim

xa f(x) = limn+ bn. Autrement dit, limxa limn+ fn(x) = limn+ limxa fn(x).

Corollaire 4.4 Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, A E et (fn) une suite de fonctions de Avers F . Si n N, fn est continue en a A (resp. sur A) et (fn) converge uniformment sur A vers une fonction f alors f estcontinue en a (resp. sur A).

Thorme 4.2 Thorme dinterversion limite-somme : Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies,A E, a A et fn une srie de fonctions de A vers F .Si n N, fn admet une limite bn en a et

fn converge uniformment sur A alors

+n=0

fn admet une limite en a, la srie

numriquebn converge et on a lim

xa

+n=0

fn(x) =

+n=0

bn =

+n=0

limxa fn(x).



Corollaire 4.5 Soient E,F deux K-espaces vectoriels norms de dimensions finies, A E et fn une srie de fonctions deA vers F . Si n N, fn est continue en a A (resp. sur A) et

fn converge uniformment sur A alors

+n=0

fn est continue

en a (resp. sur A).

Proposition 4.6 Si A est une K-algbre norme de dimension finie alors : Lapplication a 7 (1 a)1 est continue sur la boule unit ouverteB(0, 1). Lapplication a 7 exp(a) est continue sur A.

Proposition 4.7 Interversion limite-intgral : Soit I un intervalle non vide de R, x0 I , E un K-espace vectoriel norm dedimension finie et (fn) une suite de fonctions continues de I vers E.Si la suite de fonctions (fn) converge uniformment sur tout segment de I vers une fonction f . Alors la suite de fonctions

gn(x) =

xx0

fn converge uniformment vers la fonction g(x) = xx0

f sur tout segment de I . En particulier, si I est un segment

alorsI

f =

I

limn+ fn = limn+

I

fn.

Corollaire 4.8 Interversion somme-intgral : Soit I un intervalle non vide de R, x0 I , E un K-espace vectoriel norm dedimension finie et

fn une srie de fonctions continues de I vers E.

Si la srie de fonctionsfn converge uniformment sur tout segment de I alors la srie de fonctions

xx0

fn converge

uniformment vers xx0

+n=0

fn sur tout segment de I . En particulier, si I est un segment alorsI

+n=0

fn =

+n=0

I

fn.

Thorme 4.3 Interversion limite-drive : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel norm de dimensionfinie et (fn) une suite de fonctions de classe C1 de I vers E.Si (fn) converge simplement sur I vers une fonction f et (f n) converge uniformment sur I vers une fonction g alors f est declasse C1 sur I et f = g sur I (Autrement dit, ( lim

n+ fn) = lim

n+ fn) et (fn) converge uniformment sur tout segment de I

vers f .

Corollaire 4.9 Interversion somme-drive : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel norm de dimensionfinie et

fn une srie de fonctions de classe C1 de I vers E.

Sifn converge simplement sur I et

f n converge uniformment sur I alors

+n=0

fn est de classe C1 sur I ,

(+n=0

fn

)=

+n=0

f n etfn converge uniformment sur tout segment de I .

Proposition 4.10 Interversion limite-drive dordre suprieur : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectorielde dimension finie et (fn) une suite de fonctions de classe Ck (k N) de I vers E.Si p {0, . . . , k 1}, (f (p)n ) converge simplement sur I vers une fonction gp et (f (k)n ) converge uniformment sur I versune fonction gk alors la fonction f = g0 est de classe Ck sur I et on a p {0, . . . , k}, fp = gp. Autrement dit p {0, . . . , k}, ( lim

n+ fn)(p) = lim

n+ f(p)n .

Corollaire 4.11 Interversion somme-drive dordre suprieur) : Soit I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectorielde dimension finie et

fn une srie de fonctions de classe Ck (k N) de I vers E.

Si p {0, . . . , k 1} f (p)n converge simplement sur I et f (k)n converge uniformment sur tout segment de I alors +n=0

fn

est de classe Ck sur I et on a p {0, . . . , k},(+n=0

fn

)(p)=

+n=0

f (p).

Proposition 4.12 SiA une K-algbre norme de dimension finie et a A alors lapplication ea(t) = exp ta est de classe Csur R et on a t R, ea(t) = aea(t) = ea(t)a.

5 Sries entires :Thorme 5.1 (Lemme dAbel) Soit une srie entire

anz

n et > 0.Si la suite (ann) est borne alors z C tel que |z| < , la srie

anz

n est absolument convergente. En particulier, z Ctel que |z| < , la srie anzn est convergente.www.mathlaayoune.webs.com 7/21 [email protected]


Dfinition 5.1 Soit une srie entireanz

n. On appelle rayon de convergence de la srie entireanz

n llment R =sup{ 0/la suite (ann) soit borne} de R+ {+}.Proposition 5.1 Soient

anz

n une srie entire de rayon de convergence R et u C. Si |u| < R alors la srie numrique anun est absolument convergente. En particulier, convergente. Si |u| > R alors la srie numrique anun diverge grossirement.

Proposition 5.2 Sianz

n est une srie entire et R alors anzn etnanzn ont mme rayon de convergence.Proposition 5.3 (Rgle de DAlembert) Soit une srie entire

anz

n telle que n N, an 6= 0.Si limn+

an+1an = l R alors le rayon de convergence de anzn est R = 1l avec la convention 10 = + et 1+ = 0.

Proposition 5.4 Soientanz

n etbnz

n deux sries entires de rayons de convergences respectifs Ra et Rb. Si an = O(bn) ou an = o(bn) alors Rb Ra. Si an bn alors Rb = Ra.

Proposition 5.5 Soientanz

n etbnz

n deux sries entires de rayons de convergences respectifs Ra et Rb.

Si R est le rayon de convergence de

(an + bn)zn alors R min(Ra, Rb) et on a |z| < min(Ra, Rb),

+n=0

(an +

bn)zn =

+n=0

anzn +

+n=0

bnzn. Si, en plus, Ra 6= Rb alors R = min(Ra, Rb).

Si R est le rayon de convergence de(

p+q=n

apbq

)zn alors R min(Ra, Rb) et on a |z| < min(Ra, Rb),

+n=0

( p+q=n

apbq

)zn =

+n=0

anzn

+n=0

bnzn.

Proposition 5.6 Soitanz

n une srie entire de rayon de convergence R > 0 et de somme f . Alors : 0 < r < R la srie entire anzn converge normalement sur D(0, r). En particulier, 0 < r < R la srie entire

anzn converge uniformment sur D(0, r).

f est continue sur D(0, R). Si la srie

|an|Rn converge alors anzn converge normalement sur D(0, R). En particulier, f est continue surD(0, R).

Proposition 5.7 Soitanx

n une srie entire relle de rayon de convergence R > 0 et de somme f . ALors :

f est continue sur ]R,R[ et on a x ]R,R[, x0

f(t)dt =

+n=0

ann+ 1

xn+1.

f est de classe C1 sur ]R,R[ et on a x ]R,R[, f (x) =+n=1

nanxn1 =

+n=0

(n+ 1)an+1xn.

f est de classe C sur ]R,R[ et on a x ]R,R[,k N, f (k)(x) =+n=k

k!Cknanxnk =

+n=0

k!Ckn+k an+kxn.

n N, an = f(n)(0)n! .

Corollaire 5.8 Soientanx

n etbnx

n deux sries entires relles de sommes respectives f et g.Si > 0 tel que x ] , [, f(x) = g(x) alors n N, bn = an.Dfinition 5.2 Soient I un intervalle non vide de R et f : I C. On dit que f est dveloppable en srie entire :

Sur ]r, r[ avec r > 0 sil existe une srie entire anxn de rayon de convergenceR r telle que x ]r, r[, f(x) =+n=0

anxn.

En 0 sil existe r > 0 tel que f soit dveloppable en srie entire sur ] r, r[. En x0 I si lapplication x 7 f(x0 + x) est dveloppable en srie entire en 0.

Proposition 5.9 Soit I un intervalle non vide de R, r > 0 et f : I C dveloppable en srie entire sur ] r, r[. Alors : Pour tout n N, f admet un dveloppement limit dordre n en 0. Si, de plus, f(x) =

+k=0

akxk sur ] r, r[ alors

f(x) =

nk=0

akxk + o(xn).



f est C sur ] r, r[. x ] r, r[, f(x) =

+n=0

f (n)(0)

n!xn. En particulier, le dveloppement en sries entire de f sur ] r, r[ est unique.

Toutes les drives et primitives de f sont dveloppables en sries entires sur ] r, r[. On pose x ] r, r[, f(x) =

+n=0

anxn. Si f est paire (resp. impaire) sur ] r, r[ alors n N, a2n+1 = 0 (resp.

n N, a2n = 0).

Dfinition 5.3 Soient I un intervalle non vide de R tel que 0 I et f : I C de classe C au voisinage de 0.La srie entire

f(n)(0)n! x

n sappelle la srie de Taylor de f en 0.

Proposition 5.10 Lexponentiel est dveloppable en srie entire sur R et on a x R, ex =+n=0

xn

n!.

ch et sh sont dveloppables en sries entires sur R et on a x R, ch(x) =+n=0

x2n

(2n)!et sh(x) =

+n=0

x2n+1

(2n+ 1)!.

a > 0, f(x) = ax est dveloppable en srie entire sur R et on a x R, ax =+n=0

lnn a

n!xn.

cos et sin sont dveloppables en sries entires surR et on a x R, cos(x) =+n=0

(1)n(2n)!

x2n et sin(x) =+n=0

(1)n(2n+ 1)!

x2n+1.

R, f(x) = (1 + x) est dveloppable en srie entire sur ] 1, 1[ et on a x ] 1, 1[, (1 + x) = 1 ++n=1

( 1) ( n+ 1)n!

xn.

6 Calcul diffrentiel :Proposition et dfinition 6.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F et a U .On dit que f est diffrentiable en a si u L (E,F ) telle que a+ h U, f(a+ h) = f(a) + u(h) + o(h).Dans ce cas, lapplication u est unique, on lappelle la diffrentielle de f en a ou lapplication linaire tangente f en a et onla note df(a) ou dfa ou Df(a).

On dit que f est diffrentiable sur U si f est diffrentiable en tout poit de U . Dans ce cas, lapplicationU L (E,F )x 7 df(x)

sappelle la diffrentielle de f sur U et on la note df .

Proposition 6.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E et f : U F . Si f est constante sur U alors f est diffrentiable sur U et on a a U,df(a) = 0. Si f est la restriction dune application linaire alors f est diffrentiable surU et on a a U,h E,df(a)(h) = f(h).

Autrement dit, a U,df(a) = f .

Proposition 6.2 Soient E,F,G trois R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E F et f :U G.Si f est la restriction dune application bilinaire alors f est diffrentiable sur U et on a (a, b) U,(h, k) E F,df(a, b)(h, k) = f(a, k) + f(h, b).

Gnralement, soient E1, . . . , Em des R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E1 Enet f : U F .Si f est la restriction dune application multilinaire alors f est diffrentiable surU et on a (a1, . . . , an) U,(h1, . . . , hn) E1 En,df(a1, . . . , an)(h1, . . . , hn) = f(h1, a2, . . . , an) + f(a1, h2, a3, . . . , an) + f(a1, . . . , an1, hn).

Proposition 6.3 Soient E un R-espace vectoriel norm de dimensions finies, I un intervalle de R, f : I F et a I .f est diffrentiable en a si, et seulement si, f est drivable en a. Dans ce cas, t R,df(a)(t) = tf (a). En particulier,df(a)(1) = f (a).

Proposition 6.4 Soient E,F1, . . . , Fn des R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F1 Fn et a U . On pose f = (f1, . . . , fn).f est diffrentiable en a si, et seulement si, f1, . . . , fn sont diffrentiables en a. Dans ce cas, df(a) = (df1(a), . . . ,dfn(a)).



Dfinition 6.1 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F , a U eth E \ {0}.On dit que f admet une drive en a suivant le vecteur h si lim

t0f(a+ th) f(a)

texiste.

Dans ce cas, cette limite sappelle la drive de f en a suivant h et on la note Dhf(a).

Proposition 6.5 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F , a U eth E \ {0}. f est drivable en a suivant h si et seulement si est drivable en 0. Dans ce cas, Dhf(a) = (0).

Proposition 6.6 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F et a U .Si f est diffrentiable en a alors f est drivable en a suivant tout vecteur non nul de E et on a h E \ {0}, Dhf(a) =df(a)(h).

Dfinition 6.2 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles,BE = (e1, . . . , en) une base deE, U un ouvert de E, f : U F et a U .On appelle drives partielles de f en a les drives, si elles existent, de f en a suivant les vecteurs e1, . . . , en.Dans ce cas, si i {1, . . . , n}, la drive de f en a suivant ei sappelle la i-ime drive partielle de f en a. On la note :Deif(a) ou Dif(a) ou

fxi

(a).Si f est drivable suivant ei en tout x U alors lapplication x U 7 fxi (x) sappelle la i-ime application drive partiellede f sur U . On la note : Deif ou Dif ou

fxi

.

Proposition 6.7 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, BE = (e1, . . . , en) une basede E, U un ouvert de E, f : U F et a U .Si f est diffrentiable en a alors les drives partielles de f en a existent et on a h = h1e1 + + hnen E,df(a)(h) =Dhf(a) =

ni=1

hif

xi(a).

Dfinition 6.3 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, BE une base de E, BF unebase de F , U un ouvert de E, f : U F et a U .Si f est diffrentiable en a alors la matrice mat(df(a),BE ,BF ) sappelle la matrice Jacobienne de f en a par rapport auxbasesBE etBF . On la note Jf (a).

Proposition 6.8 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f, g : U F et a U .Si f et g sont diffrentiables en a. Alors :

f + g est diffrentiable en a et on a d(f + g)(a) = df(a) + dg(a). Matriciellement, Jf+g(a) = Jf (a) + Jg(a). R, f est diffrentiable en a et on a d(f)(a) = df(a). Matriciellement, Jf (a) = Jf (a).

Proposition 6.9 Soient E,F,G trois R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E, f : U F , a U , V un ouvert de F tel que f(U) V et g : V G.Si f est diffrentiable en a et g diffrentiable en f(a) alors g f est diffrentiable en a et on a d(g f)(a) = dg(f(a)) df(a).Matriciellement, Jgf (a) = Jg(f(a)) Jf (a).

Corollaire 6.10 Soient E,F,G trois R-espaces vectoriels norms de dimensions finies respectives m,n, p N, U un ouvertde E, f : U F , a U , V un ouvert de F tel que f(U) V et g : V G.Si f est diffrentiable en a et g diffrentiable en f(a) alors i {1, . . . , p},j {1, . . . ,m}, (g f)i

xj(a) =

nk=1

gixk

(f(a))fkxj

(a).

Corollaire 6.11 Soit I un intervalle de R, a I , E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies non nulles, U unouvert de E tel que f(I) U et g : U F .Si f est drivable en a et g diffrentiable en f(a) alors g f est drivable en a et on a (g f)(a) = dg(f(a))(f (a)).Si (e1, . . . , en) est une base de E et f = f1e1 + + fnen alors (g f)(a) = dg(f(a))(f (a)) =

nk=1

g

xk(f(a))f k(a).

Proposition et dfinition 6.2 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U R et a U .Si f est diffrentiable en a alors !b E,h E,df(a)(h) = b, h. b sappelle le gradient de f en a et on le note f(a) ougradf(a).Si f est diffrentiable sur U alors x U 7 f(x) sappelle lapplication gradient de f sur U . On la note f ou gradf .



Dfinition 6.4 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, A E et a A.Un vecteur v de E est dit tangent A en a sil existe une suite (xn) dans A \ {a} et une suite (n) de rels positifs telles quexn a et n(xn a) v.Lensemble des vecteurs tangents A en a se note TaA.Si TaA est un sous-espace vectoriel de E alors a+ TaA sappelle lespace affine tangent A en a ou varit affine tangente A en a.

Proposition 6.12 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, A E, a A et :] , [ A.Si (0) = a et drivable en a alors (0) est un vecteur tangent A en a.

Proposition 6.13 Soit U un ouvert de R2 et f : U R diffrentiable sur U .Si (x0, y0) U alors le plan dquation : (x x0)fx (x0, y0) + (y y0)fy (x0, y0) (z z0) = 0 est lespace affine tangent la surface S dquation z = f(x, y) au point (x0, y0, f(x0, y0)).

Proposition 6.14 Soit E un espace euclidien, U un ouvert de E, f : U R, A une ligne de niveau de f et a A.Si f est diffrentiable en a alors les vecteurs tangents A en a sont orthogonaux au gradient de f en a.

Proposition 6.15 Soit U un ouvert de R2, c R et f : U R diffrentiable sur U .Supposons quil existe (x0, y0) U tel que f(x0, y0) = c. Si f(x0, y0) 6= 0 alors lquation de la tangente la courbe Cdquation f(x, y) = 0 en (x0, y0) est (x x0)fx (x0, y0) + (y y0)fy (x0, y0) = 0.

Proposition 6.16 Soit U un ouvert de R3, c R et f : U R diffrentiable sur U .Supposons quil existe (x0, y0, z0) U tel que f(x0, y0, z0) = c. Si f(x0, y0, z0) 6= 0 alors lquation du plan tan-gent la surfance S dquation f(x, y, z) = 0 en (x0, y0, z0) est (x x0)fx (x0, y0, z0) + (y y0)fy (x0, y0, z0) + (z z0)

fz (x0, y0, z0) = 0.

Proposition et dfinition 6.3 Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles, U un ouvert de E etf : U F . Les assertions suivantes sont quivalentes :

f est diffrentiable sur U et sa diffrentielle est continue sur U . Les drives partielles de f existent et sont continues sur U .

Dans ce cas, On dit que f est continment diffrentiable sur U ou de classe C 1 sur U .

Proposition 6.17 Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies et U un ouvert de E.Lensemble C 1(U,F ) des applications de U vers F continment diffrentiables sur U est un R-espace vectoriel.

Proposition 6.18 Soient E,F,G des R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F , V unouvert de F tel que f(U) G et g : V G. Si f C 1(U,F ) et g C 1(V,G) alors g f C 1(U,G).

Proposition 6.19 Soient E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F , I un intervallede R et : I E telle que (I) U .Si C 1(I, E) et f C 1(U,F ) alors , I , si a = f() et b = f() alors f(b) f(a) =

df((t))((t))dt.

Corollaire 6.20 Caractrisation des applications constantes sur un ouvert connexe par arcs : Soit E,F deux R-espacesvectoriels norms de dimensions finies non nulles,U un ouvert connexe par arcs non vide deE et f C 1(U,F ) de composantesf1, . . . , fp dans une base de F .f est constante sur U x U,df(x) = 0 x U, Jf (x) = 0 x U, Jf (x) = 0 x U,i {1, . . . , p},j {1, . . . , n}, fixj (x) = 0.

Proposition 6.21 Soit k N {}, E,F deux R-espaces vectoriels de dimensions finies et U un ouvert de E.Lensemble C k(U,F ) des fonctions de U vers F de classe C k sur U est un R-espace vectoriel.

Proposition 6.22 Soit k N {}, E,F,G trois R-espaces vectoriels de dimensions finies, U un ouvert de E, f : U F ,V un ouvert de F tel que f(U) V et g : V G. Si f C k(U,F ) et g C k(V,G) alors (g f) C k(U,G).

Thorme 6.1 Thorme de Schwarz : Soient E,F deux R-espaces vectoriels norms de dimensions finies, U un ouvert de E

et f : U F . Si f C 2(U,F ) alors i, j {1, . . . , n}, 2f

xixj=

2f

xjxisur U .

Proposition 6.23 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, U un ouvert E, f : U R et a U tel que f soitdiffrentiable en a. Si f admet un extremum local en a alors df(a) = 0.



Dfinition 6.5 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, U un ouvert E, f : U R et a U .On dit que a est un point critique (ou stationnaire) de f si f est diffrentiable en a et df(a) = 0.

Thorme 6.2 Dveloppement de Taylor-Young dordre 2 : Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, U un

ouvert E et f : U R. Si f C 2(U) alors a U, f(a+ h) = f(a) + df(a)(h) + 12

ni,j=1

hihj2f

xixj(a) + o(h2).

Dfinition 6.6 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie, U un ouvert E, f C 2(U) et a.La matrice

(2f

xixj(a)

)1i,jn

sappelle la matrice Hessienne de f en a. On la noteHf (a).

Corollaire 6.24 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, U un ouvert E, f C 2(U) et a U unpoint critique de f .

Si les valeurs propres deHf (a) sont strictement positives alors f admet un minimum local stricte en a. Si les valeurs propres deHf (a) sont strictement ngatives alors f admet un maximum local stricte en a.

Dfinition 6.7 Soit E un R-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, U un ouvert E, f C 2(U) et a U .On dit que f admet un point col ou un point selle en a sil existe deux vecteurs h et k de E tels lapplication t 7 f(a + th)admet un maximum local stricte en 0 et lapplication t 7 f(a+ tk) admet un minimum local stricte en 0.

Corollaire 6.25 Soient U un ouvert non vide de R2, f C 2(U), (a, b) U un point critique de f etHf (a, b) =(r ss t

).

Si rt s2 > 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a. Si rt s2 > 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a. Si rt s2 < 0 alors f admet un point col en a.

7 Intgrales dpendant dun paramtre :Thorme 7.1 Thorme de la convergence domine : Soit I un intervalle non vide de R et (fn) une suite de fonctions de I valeurs relles ou complexes. Si :

n N, fn est continue par morceaux sur I . La suite (fn) convege simplement sur I vers une fonction f continue par morceaux sur I . Il existe une fonction valeurs positives et intgrable sur I telle que n N, |fn| (Condition de domination).

Alors, la fonction f est intgrable sur I et on aI

f =

I

limn+ fn = limn+

I

fn.

Thorme 7.2 Thorme dintgration terme terme : Si I un intervalle non vide et (fn) une suite de fonctions de I et valeurs relles ou complexes telle que :

n N, fn est continue par morceaux sur I . La srie

fn convege simplement sur I de somme continue par morceaux sur I .

n N, fn est intgrable sur I . La srie

I|fn| converge.

Alors,I

+n=0

fn est intgrable sur I ,I

+n=0

fn =

+n=0

I

fn etI

+n=0

fn

+n=0

I

|fn|.

Proposition 7.1 Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, A E, a A etf : A I K. Si :

x A, t 7 f(x, t) est continue par morceaux sur I . t I, lim

xa f(x, t) existe.

Lapplication t 7 limxa f(x, t) est continue par morceaux sur I .

: I R+ intgrable sur I telle que (x, t) A I, |f(x, t)| (t).Alors lapplication x 7

I

f(x, t)dt admet une limite en a et on a limxa

I

f(x, t)dt =

I

limxa f(x, t)dt.

Corollaire 7.2 Thorme de continuit sous le signe intgral : Soient I un intervalle non vide de R, E un K-espace vectorielnorm de dimension finie, A E et f : A I K. Si :

x A, t 7 f(x, t) est continue par morceaux sur I . t I, x 7 f(x, t) est continue sur A. : I R+ intgrable sur I telle que (x, t) A I, |f(x, t)| (t).



Alors lapplication x 7I

f(x, t)dt est dfinie et continue sur A.

Thorme 7.3 Thorme de drivation sous le signe intgral : Soient I, J deux intervalles non vides de R et f : I J Ktelle que la drive partielle fx existe sur I J . Si :

x I, t 7 f(x, t) est continue par morceaux et intgrable sur J . x I, t 7 fx (x, t) est continue par morceaux sur J . t J, x 7 fx (x, t) est continue sur I . : J R+ intgrables sur J telles que (x, t) I J,

fx (x, t) (t).Alors lapplication g : x 7

J

f(x, t)dt est de classe C 1 sur I et on a x I, g(x) =J

f

x(x, t)dt.

Corollaire 7.3 Soient k N, I, J deux intervalles non vides de R et f : I J 7 K telle que kfxk

existe sur I J . Si : r {0, . . . , k},x I, t 7 rfxr (x, t) est continue par morceaux sur J . t J, x 7 kf

xk(x, t) est continue sur I .

: J R+ intgrable sur J telle que (x, t) I J,kfxk (x, t) (t).

Alors lapplication g : x 7J

f(x, t)dt est de classe C k sur I et on a r {1, . . . , k},x I, g(r)(x) =J

rf

xr(x, t)dt.

Proposition et dfinition 7.1 x 7 +0

tx1etdt est dfinie sur ]0,+[. On lappelle la fonction Gamma et on lanote .

x > 0,(x+ 1) = x(x). En particulier, n N,(n+ 1) = n!. Formule dEuler-Gauss :

(12

)=pi (intgral de Gauss).

est continue sur ]0,+[. est de classe C1 sur ]0,+[ et on a x > 0,(x) =

+0

(ln t)tx1etdt.

est de classe C+ sur ]0,+[ et on a k N,x > 0,(k)(x) = +0

(ln t)ktx1etdt.

est convexe sur ]0,+[.

8 Fonctions holomorphes :Dfinition 8.1 Soit un ouvert non vide de C et f : C. On dit que :

f est C-drivable en a si limh0

f(a+ h) f(a)h

existe dans C. Dans ce cas, cette limite, note f (a), sappelle ladrive de f en a.

f est holomorphe sur si f est C-drivable sur et lapplication z 7 f (z) est continue sur . Dans ce cas, lapplica-tion z 7 f (z) sappelle la drive de f et on la note f .

f est analytique sur si pour tout z0 il existe r > 0 et une srie entireanz

n de rayon de convergence R rtels que z D(z0, r), f(z) =

+n=0

an(z z0)n.

Proposition 8.1 Conditions de Cauchy-Riemann (Cas drivable) : Soit un ouvert non vide de C, f : C, = {(a, b) R2/a+ ib }, f : (a, b) 7 f(a+ ib), u : (a, b) 7


f est holomorphe sur . f est de classe C 1 sur et vrifie lquation de Cauchy-Riemann fx + i

fy = 0.

u et v sont de classe C 1 sur et vrifient les quations de Cauchy-Riemann ux =vy et

uy = vx .

Dans ce cas, f = fx = ify = ux + i vx = vy iuy = ux iuy = vy + i vx .

Proposition 8.3 Soient un ouvert non vide de C et f, g H(). Alors : , C, f + g H() et on a (f + g) = f + g. fg H() et on a (fg) = f g + fg. LensembleH(U) des fonctions holomorphes sur est une C-algbre.

Proposition 8.4 Soient , deux ouverts non vides de C, f : C tel que f() et g : C.Si f H() et g H() alors g f H() et on a (g f) = f (g f).Proposition 8.5 Si

anz

n est une srie entire de rayon de convergence R > 0 et de somme f alors :

f est holomorphe sur D(0, R) et on a z D(0, R), f (z) =+n=1

nanzn1.

f est infiniment drivable surD(0, R) et on a k N,z D(0, R), f (k)(z) =+n=k

k!Cknanznk =

+n=0

k!Ckn+kan+kzn.

f est analytique sur D(0, R).

Proposition 8.6 Si un ouvert non vide de C alors lensemble O() des applications analytiques sur est une C-algbre.Proposition 8.7 Soit un ouvert non vide de C et f : C. Si f est analytique sur alors :

f est holomorphe sur si, et seulement si, f est analytique sur . Si f est holomorphe sur alors f est indfiniment drivable sur . Si z0 et R = sup{r > 0/D(0, r) } (0 R +) alors il existe une suite (an) CN telle que z D(z0, R), f(z) =

+n=0

an(z z0)n. On a, de plus, n N, an = f(n)(z0)

n!.

Dfinition 8.2 Soient un ouvert non vide de C et f : C. On dit que a est un zro isol de f si a est un zro de fet > 0 tel que z D(a, ) \ {a}, f(z) 6= 0.Thorme 8.1 Soient un ouvert non vide connexe par arcs et f H().

Principe des zros isols : Si f est non identiquement nulle sur alors les zros de f sont isols. Si a tel que n N, f (n)(a) = 0 alors f est nulle sur . Principe du prolongement analytique : Si f admet un prolongement en une fonction holomorphe sur alors ce prolon-

gement est unique.

9 Equations diffrentielles :Thorme 9.1 Thorme de Cauchy-Lipschitz : SoitE unK-espace vectoriel norm de dimension finie, U un ouvert deRE,f : U E et (t0, x0) U .Si f est de classe C 1 sur U alors le problme de CauchyPC :

{x(t) = f(t, x(t))x(t0) = x0

admet une solution ([t0 , t0 +], x)avec > 0.Si, en plus, (I, y) est une solution dePC alors t [t0 , t0 + ] I, x(t) = y(t).Dfinition 9.1 On appelle quation diffrentielle variables sparables toute quation de la forme E : x(t) = f(t)g(x(t)) of : I R et g : J R avec I, J deux intervalles ouverts de R.Proposition 9.1 Soient I, J deux intervalles ouverts de R, f C (I), g C 1(J) et (K,x) une solution de lquation E :x(t) = f(t)g(x(t)). Si t0 K, g(x(t0)) = 0 alors t K, g(x(t)) = 0.Dfinition 9.2 Soient I, J deux intervalles de R, f C (I) et g C 1(J).On appelle solution singulire de x(t) = f(t)g(x(t)) toute application constante x(t) = x0 sur I avec x0 une raine de g.

Dfinition 9.3 On appelle quation diffrentielle linaire dordre un toute quation de la forme E : x(t) = a(t)(x(t)) + b(t)avec a : I L (E) et b : I E deux applications continues sur un intervalle I de R et E un K-espace vectoriel norm dedimension finie. E0 : x(t) = a(t)(x(t)) sappelle lquation homogne associe E .



Dfinition 9.4 Soient I un intervalle de R, a C (I,L (E)) et b C (I, E).Une solution (J, x) de lquation diffrentielle x(t) = a(t)(x(t)) + b(t) est dite globale si J = I .

Proposition 9.2 SoitE unK-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle deR, a C (I,L (E)) et b C (I, E).Si (J, x) est une solution de x(t) = a(t)(x(t)) + b(t) alors lapplication x est de classe C 1 sur J .

Proposition 9.3 Principe de superposition : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle de R,a C (I,L (E)) et b1, b2 C (I, E).Si (J, x1) et (J, x2) sont deux solutions de x(t) = a(t)(x(t)) + b1(t) et x(t) = a(t)(x(t)) + b2(t) respectivement alors(J, x1 + x2) est une solution de x(t) = a(t)(x(t)) + b1(t) + b2(t).

Proposition 9.4 Forme intgrale dun problme de Cauchy : Soit E unK-espace vectoriel norm de dimension finie, x0 E,I un intervalle de R, t0 I , a C (I,L (E)) et b C (I, E).(J, x) est une solution du problme de Cauchy

{x(t) = a(t)(x(t)) + b(t)x(t0) = x0

si, et seulement si, t J, x(t) = x0 + tt0

(a(u)(x(u)) + b(u))du.

Thorme 9.2 Thorme de Caucy-Lipschitz : SoitE unK-espace vectoriel norm de dimension finie, x0 E, I un intervallede R, t0 I , a C (I,L (E)) et b C (I, E).Le problme de Cauchy

{x(t) = a(t)(x(t)) + b(t)x(t0) = x0

admet une et une seule solution globale.

Corollaire 9.5 Unicit locale des solutions : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle de R,a C (I,L (E)), b C (I, E) et (J, x), (K, y) deux solutions de lquation x(t) = a(t)(x(t)) + b(t).Si t0 J K,x(t0) = y(t0) alors t J K,x(t) = y(t).Proposition 9.6 SoitE unK-espace vectoriel norm de dimension finie, I un intervalle deR, a C (I,L (E)) et b C (I, E).

Lensemble S0 des solutions globales de lquation homogne x(t) = a(t)(x(t)) est un sous-espace vectoriel deC 1(I, E).

Soit t0 I . Lapplication : S0 Ex 7 x(t0) est un isomorphisme despaces vectoriels. En particulier, dimS0 =dimE.

Lensemble S des solutions globales de lquation E : x(t) = a(t)(x(t)) + b(t) est un sous-espace affine de C 1(I, E)de direction S0. Autrement dit, si x S alors S = x+ S0.

Dfinition 9.5 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, I un intervalle de R et a C (I,L (E)).On appelle systme fondamental de solutions de lquation E0 : x(t) = a(t)(x(t)) toute base (1, . . . , n) de lespace S0 dessolutions globales de E0.

Proposition 9.7 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, I un intervalle de R, a C (I,L (E)) et1, . . . , n des solutions globales de lquation E0 : x(t) = a(t)(x(t)). Les assertions suivantes sont quivalentes :

(1, . . . , n) de E0 est un systme fondamental de solutions de lquation E0. t I, (1(t), . . . , n(t)) est une base de E. t0 I, (1(t0), . . . , n(t0)) est une base de E.

Proposition 9.8 Mthode de la variation de la constante : Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie non nulle, Iun intervalle de R, a C (I,L (E)) et b C (I, E).Si (1, . . . , n) est un systme fondamental de solutions de lquation homogne x(t) = a(t)(x(t)) alors, il existe 1, . . . , n C 1(I,K) tel que x = 11 + + nn soit une solution particulire de x(t) = a(t)(x(t)) + b(t).De plus, les applications 1, . . . , n vrifient la relation b = 11 + + nn.Dfinition 9.6 On appelle systme diffrentiel linaires dordre un coefficients constants toute quation de la forme x(t) =a(x(t)) + b(t) avec a L (E), b C (I, E), I un intervalle de R et E un K-espace vectoriel norm de dimension finie.Proposition 9.9 Soit E un K-espace vectoriel norm de dimension finie, x0 E, t0 R et a L (E).

Lespace des solutions globales de lquation E0 : x(t) = a(x(t)) est S0 = {t R 7 exp(ta)(x)/x E}. x(t) = exp((t t0)a)(x0) est lunique solution globale de E0 vrifiant x(t0) = x0. x(t) = exp((t t0)a)

[x0 +

tt0

exp((t0 u)a)(b(u))du]

= exp((t t0)a)(x0) + tt0

exp((t u)a)(b(u))du estlunique solution globale de lquation E : x(t) = a(x(t)) + b(t) vrifiant x(t0) = x0.



Dfinition 9.7 On appelle quation diffrentielle linaire scalaire dordre n (n N) toute quation de la forme E : x(n)(t) +an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t) avec a0, . . . , an1, b C (I,K) et I un intervalle de R.E0 : x(n)(t) + an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = 0 sappelle lquation homogne associe E .Dfinition 9.8 Soit I un intervalle de R et a0, . . . , an1, b C (I,K). Une solution (J, x) de lquation E : x(n)(t) +an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t) est dite globale si J = I .Proposition 9.10 Soit I un intervalle de R et a0, . . . , an1, b C (I,K). Si (J, x) est une solution de lquation x(n)(t) +an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t) alors x est de classe C n sur J .Dfinition 9.9 Soit I un intervalle de R, a0, . . . , an1, b C (I,K), t0 I et x0, . . . , xn1 K.On appelle problme de Cauchy en (t0, x0, . . . , xn1) associ lquation diffrentielle E : x(n)(t)+an1(t)x(n1)(t)+ +a1(t)x

(t)+a0(t)x(t) = b(t) le problme qui consiste chercher une solution (J, x) de E telle que x(t0) = x0, . . . , x(n1)(t0) =

xn1. On le note

{x(n)(t) + an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t)x(t0) = x0, . . . , x

(n1)(t0) = xn1.

Thorme 9.3 Thorme de Cauchy-Lipschitz : Si I est un intervalle de R, a0, . . . , an1, b C (I,K), t0 I et x0, . . . , xn K alors le problme de Cauchy

{x(n)(t) + an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t)x(t0) = x0, . . . , x

(n1)(t0) = xn1admet une et une seule

solution globale.

Corollaire 9.11 Unicit locale des solutions : Soit I un intervalle de R, a0, . . . , an1, b C (I,K) et (x, J) et (y,K) deuxsolutions de lquation E : x(n)(t) + an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t).Si t0 J K,k {0, . . . , n 1}, x(k)(t0) = y(k)(t0) alors t J K,x(t) = y(t).Proposition 9.12 Soit I un intervalle de R, a0, . . . , an1, b C (I,K).

Lensemble S0 des solutions globales de x(n)(t)+an1(t)x(n1)(t)+ +a1(t)x(t)+a0(t)x(t) = 0 est un sous-espacevectoriel de C n(I,K).

Soit t0 I . Lapplication S0 Kn

x 7 (x(t0), . . . , x(n1)(t0)) est un isomorphisme despaces vectoriels. En particulier,dimS0 = n.

Lensemble S des solutions globales de x(n)(t) + an1(t)x(n1)(t) + + a1(t)x(t) + a0(t)x(t) = b(t) est un sous-espace affine de C n(I,K) de direction S0. Autrement dit, si x est une solution de E alors S = x+ S0.

Thorme 9.4 Thorme de Cauchy-Lipschitz : Si I est un intervalle de R, a, b, c C (I,K), t0 I et x0, x1 K alors leproblme de Cauchy

{x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = c(t)x(t0) = x0, x

(t0) = x1admet une et une seule solution globale.

Corollaire 9.13 Unicit locale des solutions : Soit I un intervalle de R, a, b, c C (I,K) et (x, J), (y,K) deux solutions delquation x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = c(t).Si t0 J K,x(t0) = y(t0) et x(t0) = y(t0) alors t J K,x(t) = y(t).Proposition 9.14 Soit I un intervalle de R et a, b, c C (I,K).

Lensemble S0 des solutions globales de x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = 0 est un sous-espace vectoriel de C 2(I,K). Soit t0 I . Lapplication S0 K

2

x 7 (x(t0), x(t0)) est un isomorphisme despaces vectoriels. En particulier, dimS0 =2.

Lensemble S des solutions globales de x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = c(t) est un sous espace affine de C 2(I,K) dedirection S0. Autrement dit, si x est une solution de E alors S = x+ S0.

Dfinition 9.10 Soit I un intervalle deR, a, b C (I,K). On appelle systme fondamental de solutions de lquation homognex(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = 0 toute base (,) de lespace S0 des solutions globales de E0.Proposition 9.15 Soit I un intervalle deR, a, b C (I,K) et , deux solutions globales de lquation E0 : x(t)+a(t)x(t)+b(t)x(t) = 0. Les assertions suivantes sont quivalentes :

(,) est un systme fondamental de solutions de E0. t0 I, (((t0), (t0)), ((t0), (t0))) forme une base de K2. t I, (((t), (t)), ((t), (t))) forme une base de K2.

Dfinition 9.11 Soit I un intervalle deR, a, b C (I,K) et, deux solutions de lquation E0 : x(t)+a(t)x(t)+b(t)x(t) =0. On appelle Wronskien de (,) lapplication : W (t) =

(t) (t)(t) (t).



Proposition 9.16 Soit I un intervalle deR, a, b C (I,K) et, deux solutions globales de E0 : x(t)+a(t)x(t)+b(t)x(t) =0 de Wronskien W . Les assertions suivantes sont quivalentes :

(,) est un systme fondamental de solution de E0. t0 I,W (t0) 6= 0. t I,W (t) 6= 0.

Proposition 9.17 Formule de Liouville : Soit I un intervalle de R, a, b C (I,K) et , deux solutions de E0 : x(t) +a(t)x(t) + b(t)x(t) = 0. Si W est le Wronskien de (,) alors t, t0 I,W (t) = W (t0)e

tt0a(u)du.

Mthode de Lagrange : Soit I un intervalle de R, a, b C (I,K), E0 : x(t) + a(t)x(t) + b(t)x(t) = 0 et on suppose connueune solution x de E0 qui ne sannule pas sur I . La mthode de Lagrange consiste chercher une solution y de E0 de la formey = zx avec z non constante. Une fois trouve le couple (x, y) forme un systme fondamental de solutions de E0.

Proposition 9.18 Mthode de la variation de la constante : Soit I un intervalle de R, a, b, c C (I,K) et E : x(t) +a(t)x(t) + b(t)x(t) = c(t). Si (,) est un systme fondamental de solutions de lquation homogne x(t) + a(t)x(t) +b(t)x(t) = 0 alors lquation diffrentielle E admet une solution de la forme x(t) = (t)(t)+(t)(t) avec , C 1(I,K)qui vrifient

{(t)(t) + (t)(t) = 0(t)(t) + (t)(t) = c(t) .

10 Probabilits :Dfinition 10.1 Soit un ensemble. Une partie T de P() est dite tribu si T , A T , A T et pour toute suite(An)nN dlments de T on a

nN

An T . Dans ce cas, tout lment de T est appel un vnement de T .

Dfinition 10.2 Soit un ensemble et T une tribu de . On appelle probabilit sur T toute application p : T [0, 1] telleque p() = 1 et pour toute suite (An) dvnements de T qui sont deux deux incompatibles (i.e m,n N,m 6= n Am An = ), la srie

p(An) converge et on a

+n=0

p(An) = p

(nN

An

).

Dans ce cas, le triplet (, T , p) est appel espace probabilis.Proprit 10.1 Soit (, T , p) un espace probabilis.

Si A1, . . . , An sont des vnements de T deux deux incompatibles alors p(A1 An) = p(A1) + + p(An). Si A est un vnement de T alors p(A) = 1 p(A). Si A et B deux vnements de T alors p(AB) = p(A) + p(B) p(AB), p(B \A) = p(B) p(AB) et si A B

alors p(B \A) = p(B) p(A) et p(A) p(B). Si A1, . . . , An sont des vnements de T alors p(A1 An) p(A1) + p(An). Soit une suite (An)nN dvnements de T . Si la srie

p(An) converge alors p

(nN

An

)

+n=0

p(An).

Une union au plus dnombrable densembles ngligeables est ngligeable.

Thorme 10.1 (Continuit monotone squentielle dune probabilit) Soient (, T , p) un espace probabilis et (An) unesuite dvnements de T .

Continuit croissante : Si la suite (An) est croissante alors la suite (p(An) converge et on a limn+ p(An) = p

(nN

An

).

Continuit dcroissante : Si la suite (An) est dcroissante alors la suite (p(An) converge et on a limn+ p(An) =

p

(nN

An

).

Dfinition 10.3 Soit (, T , p) un espace probabilis. Deux vnements A et B de T sont dits indpendants si p(A B) = p(A)p(B).

Une famille (Ai)iI dvnements de T est dite indpendante si J I finie, on a : pjJ

Aj

= jJ

p(Aj).

Dfinition 10.4 Soient (, T , p) un espace probabilis et B un vnement de T tel que p(B) 6= 0.On appelle probabilit sachant B, lapplication note p

Bet dfinie sur T par p

B(A) = p(AB)p(B) .

Pour tout vnement A de T , pB

(A) se lit "la probabilit de A sachant B". pB

(A) se note aussi p(A|B).



Dfinition 10.5 Soit (, T , p) un espace probabilis. On dit quune famille (Ai)iI dvnements de T forme un systmecomplet dvnements de T si i, j I tels que i 6= j on a Ai Aj = et

iI

Ai = .

Thorme 10.2 Soient (, T , p) un espace probabilis, A un vnement de T et (Bi)iI une famille finie ou dnombrable quiforme un systme complet dvnements de T telle que i I, p(Bi) 6= 0.

Probabilits totales : p(A) =iI

p(A Bi) =iI

p(A|Bi)p(Bi).

Formule de Bayes : Si p(A) 6= 0 alors i I, p(Bi|A) = p(A|Bi)p(Bi)p(A)

=p(A|Bi)p(Bi)

jIp(A|Bj)p(Bj)

.

Dfinition 10.6 On appelle variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) toute application X : R telle quea R, X1(], a]) T .

Proposition 10.1 Si X1, . . . , Xn sont des variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p) et f : Rn R uneapplication continue surRn alors lapplication 7 f(X1(), . . . , Xn()) est une variable alatoire relle sur (, T , p).On la note f(X1, . . . , Xn).

Proposition 10.2 Si X est une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) et f : R R monotone parmorceaux alors f X est une variable alatoire relle sur (, T , p). On la note f(X).

Proposition 10.3 Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).Si (Xn) converge simplement sur vers une application X alors X est une variable alatoire sur (, T , p).

Dfinition 10.7 Soit X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p).On appelle fonction de rpartition de X lapplication, note FX , de R vers R dfinie par t R, FX(t) = p(X t).

Proprit 10.2 SiX est une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) alors FX est croissante sur R, continue droite sur R, lim

tFX(t) = 0 et limt+FX(t) = 1.

Proprit 10.3 Soient X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p) et a, b R tels que a b. Alors : p(X > a) = 1 FX(a), p(X < a) = lim

taFX(t), p(X a) = 1 lim

taFX(t).

p(a < X b) = FX(b)FX(a), p(a X b) = FX(b) limta

FX(t), p(a X < b) = limtb

FX(t) limta

FX(t),

p(a < X < b) = limtb

FX(t) FX(a). p(X = a) = FX(a) lim

taFX(t).

Corollaire 10.4 Soit X une variable alatoire relle sur lespace probabilis (, T , p). FX est continue en a R (resp. surR) si, et seulement si, p(X = a) = 0 (resp. x R, p(X = x) = 0).

Dfinition 10.8 Soit (X1, . . . , Xn) une famille finie de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p).On appelle fonction de rpartition de la famille (X1, . . . , Xn) lapplication, note FX1,...,Xn , de Rn dans R, dfinie par(t1, . . . , tn) Rn, FX1,...,Xn(t1, . . . , tn) = p(X1 t1, . . . , Xn tn).

Dfinition 10.9 Soit (, T , p) un espace probabilis et I(R) lensemble des intervalles de R. On appelle : Loi dune variable alatoire relle X sur (, T , p) lapplication I I(R) 7 p(X I). Loi dune famille (X1, . . . , Xn) de variables alatoires relles (, T , p) lapplication (I1, . . . , In) (I(R))n 7p(X1 I1, . . . , Xn In).

Loi dune variable alatoire relle X sur (, T , p) sachant un vnement non ngligeable A de T lapplication I I(R) 7 p((X I)|A) = p((X I) A)

p(A). On la note (pA)X .

Dfinition 10.10 Une variable alatoire relle X sur lespace propbabilis (, T , p) est dite de loi discrte sil existe Ttel que p() = 1 et D = X() soit au plus dnombrable.

Proprit 10.4 Soit un espace propbabilis (, T , p). Si X est une variable alatoire de loi discrte sur (, T , p) et densemble D de valeurs possibles alors A D, p(X A) = p

(xA

(X = x)

)=xA

p(X = x).



Si X et Y sont deux variables alatoires de lois discrtes sur (, T , p) et densembles de valeurs possibles respectives Det D alors x D, p(X = x) =

yD

p(X = x, Y = y) et y D, p(Y = y) =xD

p(X = x, Y = y).

Dfinition 10.11 Une variable alatoire relle X sur lespace probabilis (, T , p) est dite de loi densit ou de loi continuesi sa fonction de rpartition FX est continue sur R et de classe C 1 sur R priv dun sous-ensemble F fini ou vide.

Dans ce cas, lapplication, note fX , dfinie sur R par t R, fX(t) ={F X(t) si t / F0 si t F sappelle la densit de X .

Proprit 10.5 Si X est une variable alatoire de loi densit sur lespace probabilis (, T , p) alors : fX est positive,continue sur R priv dun sous-ensemble fini ou vide,

+

fX(t)dt = 1 et pour tout intervalle I de R on a p(X I) =

FX(b) FX(a) = ba

fX(t)dt avec a = inf I et b = sup I .

Dfinition 10.12 Une famille (Xj)jJ de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p) est dite indpendanteou mutuellement indpendante si, pour toute famille (Ij)jJ dintervalles de R, la famille (Xj Ij)jJ des vmements de Test indpendante.

Proposition 10.5 (Indpendance hrite) Soit (Xi)1in une famille indpendante de variables alatoires relles sur lespaceprobabilis (, T , p).Si n0, n1, . . . , nk N tels que 0 = n0 < n1 < < nk1 < nk = n et i {1, . . . , k}, fi : Rnini1 R continue alorsla famille (f1(X1, . . . , Xn1), f2(Xn1+1, . . . , Xn2), . . . , fk(Xnk1+1, . . . , Xnk)) est indpendante.

Proposition 10.6 Soit (X,Y ) un couple de variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p). SiX et Y sont indpendantes, de lois discrtes et densembles de valeurs possibles respectivesD1 etD2 alors la variables

alatoire S = X + Y est de loi discrte, lensemble des valeurs possibles de S est D = {u + v/(u, v) D1 D2} ets D, p(S = s) =

uD1

p(X = u)p(Y = s u) =vD2

p(X = s v)p(Y = v).

Si X et Y sont indpendantes avec X de loi discrte, densemble de valeurs possibles D et Y de loi continue alors lavariable alatoire S = X + Y est de loi densit et t R, fS(t) =

uD

p(X = u)fY (t u). Si X et Y sont indpendantes de lois continues alors la variable alatoire S = X + Y est de loi densit et t R, fS(t) =

+

fX(u)fY (t u)du = +

fX(t u)fY (u)du.

Dfinition 10.13 Soit X une variable alatoire relle de loi discrte ou continue sur lespace propbabilis (, T , p). Si X est de loi discrte et densemble de valeurs possibles D alors on dit que X admet une esprance si la famille

(kp(X = k))kD est sommable. Dans ce cas,kD

kp(X = k) sappelle lesprance de X et on le note E(X).

Si X est de loi continue alors on dit que X admet une esprance si lapplication t 7 tf(t) est intgrable sur R. Dans cecas,

+

tfX(t)dt sappelle lesprance de X et on le note E(X).

Thorme 10.3 (Thorme de transfert) Soit X une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) et g :X() R telle que Y = g(X) soit une variable alatoire.

Si X est de loi discrte et densemble de valeurs possibles D alors Y admet une esprance si, et seulement si, la famille(g(k)p(X = k))kD est sommable. Dans ce cas, E(Y ) =

kD

g(k)p(X = k).

Si X est de loi continue alors Y admet une esprance si, et seulement si, lapplication t 7 g(t)fX(t) est intgrable surR. Dans ce cas, E(Y ) =

+

g(t)fX(t)dt.

Thorme 10.4 Thorme de transfert deux variables discrtes Soit X,Y deux variables alatoires de lois discrtes surlespace propbabilis (, T , p), D et D les ensembles des valeurs possibles respectives et g : (X,Y )() R.La variable alatoire Z = g(X,Y ) admet une esprence si, et seulement si, la famille (g(xi, yj)p(X = xi, Y = yj))(i,j)DD

est sommable. Dans ce cas, E(Z) =i,j

g(xi, yj)p(X = xi, Y = yj).

Proposition 10.7 Soient X et Y deux variables alatoires relles sur lespace probabilis (, T , p). Si Y admet une esprance et |X| Y alors X admet une esprance et on a E(X) E(Y ).



Si X et Y possdent une esprance alors , R, X + Y possde une esprance et on a E(X + Y ) =E(X) + E(Y ).

Si X possde une esprance et X est positive alors E(X) 0. Si X et Y possdent une esprance et Si X Y alors E(X) E(Y ). Si X et Y possdent une esprance alors E(|X + Y |) E(|X|) + E(|Y |). Si X et Y possdent une esprance et X,Y indpendants alors E(XY ) = E(X)E(Y ).

Dfinition 10.14 Soit X une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) et k N. Si Xk admet une esprance alors on dit que X admet un moment dordre k. Dans ce cas, E(Xk) sappelle le moment

dordre k de X . Si X admet un moment dordre 2 alors V (X) = E((X E(X))2) et (X) = V (X) sappellent respectivement la

variance lcart-type de X .

Proprit 10.6 Si X est une variable alatoire relle de loi discrte ou continue sur lespace propbabilis (, T , p) qui admetun moment dordre 2alors V (X) 0, V (X) = E(X2) E(X)2, V (X) = 0 p(X = 0) = 1 et R, V (X + ) =V (X).

Proposition 10.8 Si X et Y sont deux variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p) qui possdent des mo-ments dordre 2 alors :

Ingalit de Cauchy-Schwarz : XY possde une esprance et on a E(XY )2 E(X2)E(Y 2). X + Y possde un moment dordre 2 et on a V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2E((X E(X))(Y E(Y ))).

Dfinition 10.15 Soient X et Y deux variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p) qui possdent un momentdordre 2.

On appelle covariance du couple (X,Y ) la quantit C(X,Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))). On appelle corrlation linaire du couple (X,Y ) la quantit (X,Y ) =

C(X,Y )

(X)(Y ).

Proprit 10.7 SiX et Y deux variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p) qui possdent un moment dordre2 alors :

V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2C(X,Y ) et C(X,Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ). Si X et Y sont indpendants alors C(X,Y ) = 0, (X,Y ) = 0 et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). (X,Y ) = 1 > 0, R, Y = X + presque partout. (X,Y ) = 1 < 0, R, Y = X + presque partout.

Dfinition 10.16 Soit X une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) valeurs dans N.On appelle fonction gnratrice de X la fonction GX(t) = E(tX) =

+n=0

p(X = n)tn.

Proposition 10.9 Soit X une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) valeurs dans N. X admet une esprance si, et seulement si, GX est drivable en 1. Dans ce cas, E(X) = GX(1). X admet un moment dordre 2 si, et seulement si, GX admet une drive seconde en 1. Dans ce cas, E(X2) E(X) =GX(1).

Proposition 10.10 Soient X,Y sont deux variables alatoires relles indpendantes sur lespace propbabilis (, T , p) valeurs dans N alors GX+Y = GXGY .

Gnralement, si (X1, . . . , Xn) est une famille indpendante de variables alatoires relles sur lespace propbabilis(, T , p) valeurs dans N alors GX1++Xn = GX1 GXn .

Proposition 10.11 Soit X est une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p). Ingalit de Markov : Si X est positive et admet une esprance alors > 0, p(X ) E(X) . Ingalit de Bienaym-Tchebychev : Si X admet un moment dordre 2 alors > 0, p(|X E(X)| ) V (X)2 . Ingalit de Jensen : Si X admet une esprance, f : R R convexe et f(X) admet une esprance alors f(E(X)) E(f(X)).

Dfinition 10.17 Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p). On dit que (Xn)converge :

En probabilit vers une variable alatoire relle X si > 0, limn+ p(|X Xn| ) = 0. On note Xn Pn+ X .

En loi vers une variable alatoire relle X si en tout point t de continuit de FX on a limn+FXn(t) = FX(t). On note

XnL

n+ X .



Proposition 10.12 Si X est une variable alatoire relle sur lespace propbabilis (, T , p) et (fn) est une suite de fonctionsde R vers R qui converge simplement sur R vers une fonction f alors (fn(X)) converge en probabilit vers f(X).

Proposition 10.13 Soit X et (Xn) une suite de variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p) valeurs dansN. (Xn) converge en loi vers X si, et seulement si, k N, lim

n+ p(Xn = k) = P (X = k).

Corollaire 10.14 Soit (Xn)n1 une suite de variables alatoires telle que n 1, Xn B(n, pn).Si npn

n+ > 0 alors la suite (Xn)n1 converge en loi vers une variable alatoire X P().

Proposition 10.15 Soit (Xn) une suite de variables alatoires relles sur lespace propbabilis (, T , p).Si (Xn) converge en propbabilit vers une variable alatoire X alors (Xn) converge en loi vers X .

Thorme 10.5 Si (Xn)n1 est une suite de variables alatoires indpendantes et de mme loi, admettant un moment dordre2, = E(X1) et = (X1) alors :

Loi faible des grands nombres : La suite de variables alatoires

(1

n

nk=1

Xk

)n1

converge en probabilit vers la va-

riable constante .

Thorme de la limite centre : La suite de variables alatoires

(1

n

(nk=1

Xk n)

)

)n1

converge en loi vers la

variable alatoire suivant la loi Gaussienne standard.


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Cours d'analyse et probabilités - Résumé