Cours de M2: Star products, deformation quantization and Toeplitz

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  • Cours de M2: Star products, deformation

    quantization and Toeplitz operators

    L. Boutet de Monvel

    (etat provisoire - ne pas diffuser)

    Dans ce cours nous decrivons la theorie des star-produits, les methodesquelle utilise, ainsi que les exemples les plus utiles. Les star produits ont eteinventes (cf. en particulier dans [6]) pour decrire comment une algebre commu-tative, par exemple lalgebre des fonctions differentiables sur une variete, ou unalgebre dobservables de la physique classique, se deforme en une algebre noncommutative. Ils servent a decrire comment la mecanique classique hamiltoni-enne est limite de la mecanique quantique (analyse semi-classique). Le calcul desoperateurs pseudo-differentiels a ete developpe a partir de 1965 par de nombreuxauteurs : il donne lieu a un calcul asymptotique algebrique essentiellementidentique a celui des star-produits (operateurs pseudo-differentiels, operateursde Toeplitz, analyse microlocale). Ce calcul fournit des solutions asymptotiques,par exemple des developpements asymptotiques aux hautes frequences de solu-tions dequations aux derivees partielles; il explique bien par exemple commentloptique geometrique est limite de loptique ondulatoire. Dans ce calcul le roledu petit parametre de deformation est joue par la taille dune petite longueurdonde (inverse dune haute frequence); la principale difference est quil ny aplus de petit parametre de deformation qui commute avec toutes les autresoperations, comme cest le cas pour des star-produits.

    A une star-algebre est toujours associe un crochet de Poisson, qui decritla limite de la loi des commutateurs (dans le cas dune deformation: {f, g} =ddt (f t g g t f)|t=0). Un des problemes classiques de cette theorie est declassifier, isomorphisme pres, les star-produits. Ce probleme a ete resolu parM. De Wilde M. et P. Lecomte [38] dans le cas de la deformation dun crochetde Poisson symplectique (par V. Guillemin et moi-meme [27] dans le cadreToeplitz indique ci-dessus), et par M. Kontsevich [91] dans le cas general.Dans le cas sympectique B.V. Fedosov [60] a donne une solution tres elegante,qui est celle que nous suivrons ici.

    Dans la deuxieme partie du cours, nous illustrerons cette theorie et la theoriedes operateurs de Toeplitz.

    1

  • Keywords: star-products, deformation quantization, symplectic geometry, con-tact manifolds, CR geometry, Toeplitz operators, residual trace.

    Mathematics Subject Classification (2000): 16S32, 16S80, 32A25, 32V05, 35S05,53C05, 53D10, 53D55, 58J40.

    Contents

    1 Introduction 6

    2 Star Algebras 82.1 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Star products and star algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Poisson bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.3.1 Reminder of differential calculus notations . . . . . . . . . 112.3.2 Poisson brackets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.3 Symplectic cones and contact manifolds . . . . . . . . . . 152.3.4 Commutators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.4 Functional calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3 Models and examples 193.1 Moyal star product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Star-product defined by a formal group law . . . . . . . . . . . . 213.3 Formal pseudo-differential operators . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Pseudo-differential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.5 Semi-classical operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    4 Homomorphisms, automorphisms 284.1 Morphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.4 Subprincipal Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.5 Automorphisms of symplectic deformation algebras . . . . . . . . 324.6 Automorphisms of symplectic algebras . . . . . . . . . . . . . . . 334.7 Automorphisms preserving a subprincipal symbol or an involution 354.8 Fourier integral operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.8.1 As functional operators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2

  • 5 Classification 375.1 Hochschild cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Non commutative cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Symplectic algebras are locally isomorphic . . . . . . . . . . . . . 405.4 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.5 Classification of symplectic algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 425.6 Classification of symplectic deformation algebras . . . . . . . . . 435.7 Algebras of pseudo-differential type . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    6 Fedosov Connections 486.1 Valuations and relative tangent algebra W . . . . . . . . . . . . . 486.2 Automorphisms and Derivations of W . . . . . . . . . . . . . . . 496.3 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.4 Vector Fields with Coefficients in W . . . . . . . . . . . . . . . . 516.5 Fedosov Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.6 Fedosov curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.7 Base-point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    7 Traces 567.1 Residual integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Trace for Moyal products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.3 Canonical trace on symplectic algebras. . . . . . . . . . . . . . . 577.4 Trace for deformation algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

    8 Vanishing of the Logarithmic Trace. 598.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.2 Adapted Fourier Integral Operators . . . . . . . . . . . . . . . . 608.3 Model Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618.4 Generalized Szego projectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628.5 Residual trace and logarithmic trace . . . . . . . . . . . . . . . . 638.6 Trace on a Toeplitz algebra A and on EndA(M) . . . . . . . . . 658.7 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    9 Asymptotic equivariant indexof Toeplitz operators. 699.1 Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    9.1.1 Microlocal model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699.1.2 Generalized Szego projectors . . . . . . . . . . . . . . . . 709.1.3 Holomorphic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    9.2 Equivariant trace and index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2.1 Equivariant Toeplitz algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 719.2.2 Equivariant trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729.2.3 Equivariant index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749.2.4 Asymptotic index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    9.3 K-theory and embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769.3.1 A short digression on Toeplitz algebras and modules . . . 76

    3

  • 9.3.2 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    10 Asymptotic equivariant index :Atiyah-Weinstein index formula. 8010.1 Equivariant trace and index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    10.1.1 Equivariant Toeplitz Operators. . . . . . . . . . . . . . . . 8110.1.2 G-trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8210.1.3 G index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    10.2 K-theory and embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.2.1 A short digression on Toeplitz algebras . . . . . . . . . . 8510.2.2 Asymptotic trace and index . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.2.3 E-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.2.4 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    10.3 Relative index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.3.1 Holomorphic setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.3.2 Collar isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.3.3 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9410.3.4 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    10.4 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9710.4.1 Contact isomorphisms and base symplectomorphisms . . . 9710.4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9810.4.3 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    11 Complex Star Algebras 10111.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10111.2 Star Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    11.2.1 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.2.2 Star Products on a Real or Complex Cone. . . . . . . . . 10411.2.3 Associated Poisson bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    11.3 Pseudo-differential Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10611.3.1 E-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10611.3.2 Differential Operators and D-algebras . . . . . . . . . . . 10811.3.3 Automorphisms and Symbols of Automorphisms . . . . . 10811.3.4 Non Commutative Cohomology Classes . . . . . . . . . . 10911.3.5 Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11011.3.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    11.4 E-Algebras on T X, dimX 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.4.1 General Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11411.4.2 The case dimX