Archive : R. Hicham

Dpartement de Physique. Facult des Sciences Ben M Sik. Universit Hassan-II

Mohammdia.

Chapitre I: Complments mathmatiques

Chapitre II: Centre de masse et

matrice d inertie

Chapitre III: Torseur cinmatique

Chapitre IV: Mouvement avec liaison

Chapitre V: Thormes gnraux

Plan gnral du cours

I-1: Division vectorielle

Il sagit de trouver toutes les solutions de lquation

vectorielle suivante:

BXA

et sont arbitraires.

A

B

0BA

Chapitre I: Complments mathmatiques1

IR ; BAAAX

2

I-2: Champ antisymtrique ou champ de moments

QPR)Q(m)P(m

a- Proprit dquiprojectivit )()(

QPQmQPPm

2

Un champ de vecteurs est dit antisymtrique, sil existe

un vecteur tel que pour tout couple de point

de lespace euclidien, on a la relation suivante:

m

R )P,Q(

b- Invariant scalaire

P) , (Q ; R)Q(mR)P(m I

I-3: Application antisymtrique

A tout champ de moments on associe une

application antisymtrique dfinie par:

QPR(Q)m(P)m)QP L(

Qui vrifie bien la relation:

. considr espacel' dans choisi )b,a( 0)aL(b)bL(a

3

R.Hicham

Le vecteur est appel le vecteur adjoint de

lapplication antisymtrique L.

R

Soit une base orthonorme de

lespace considr, il vient:

321 e,e,e

3 ou 2 ,1 ; i eR)e L( ii

ou encore:

3 ou 2 ,1 ; i )eL( Re ii

La solution de cette quation vectorielle est:

4

IR ; 3 ou 2, 1; i )eL( ee

)eL( eee R

iii

ii

2

ii

Remarque: 3 ou 2, 1; i ReR ii

Lexpression de la rsultante est donc:

muet indice un est i o ; )eL( e2

1 R ii

5

I-4: Torseur associ un champ antisymtrique

(ou champ de moments )

Les vecteurs et sont appels lments de

rduction du torseur au point Q.

R )(Qm

6

A tout champ antisymtrique , on associe

lensemble de vecteurs:

quon appelle torseur et que lon note par :

Tout torseur est dfini en un point arbitraire Q,et on crit alors:

m

m,R

)Q(m,R)Q(

Torseur nul

I-4-1: Quelques types de torseurs7

Il est dfini par :

et s il existe un point Q de lespace considr tel que :

Consquence

Daprs la relation du champ antisymtrique on dduit

que le moment est nul partout dans lespace considr.

OR

O)Q(m

Torseur couple

8

Il est dfini par :

et s il existe un point Q de lespace considr tel que :

Consquence

Daprs la relation du champ antisymtrique, on dduit

que le moment est uniforme dans lespace considr.

OR

O)Q(m

9Torseur glisseur

Il est dfini par :

et s il existe un point Q de lespace considr tel que :

Consquence

linvariant scalaire est nul partout dans lespace considr.

OR

0R)Q(m

I-4-2: Comoment de deux torseurs

mR mR ), ( 122121

I-5: Axe central dun torseur 10

On se propose de chercher tous les points P dont les

moments sont colinaires la rsultante.

R(P) m

Soit rsoudre:

connu.est (Q)m o ; RQPR(Q) m

(Q) m-RQPR

0 (Q) m-RR

11La condition dexistence de la solution est:

scalaire.invariant l'est I ;

R

I

2

Les vecteurs solutions sont, sous cette condition:

IR; (Q) mRRRQP

IR ; (Q)m-RR

R

1RQP

2

2

IR; (Q)mRR QPo QPRQP

2

00

R QP 0

Interprtation gomtrique

12

Posons:

P()

Q

(D)

P( )

Le lieu gomtrique des points P pour lesquels le

moment est colinaire la rsultante est la droite

(D) passant par lextrmit du vecteur

et parallle la rsultante .

0QP

R

Remarque: Laxe central est le lieu gomtrique des

points P tel que le module du moment est minimal.

La droite ( D ) est par dfinition laxe central du

torseur associ au champ de moments

m

13

Considrons deux points P et H tels que H est la

projection orthogonale de P sur laxe (D).

HPRR

HPR)) ( (Hm) ) ( (Pm

. HPd o ; Rd(P) m

2

2

2

Dmonstration:14

II-1: Notion de barycentre

Soit dans lespace euclidien une distribution de

points gomtriques affects chacun dun

coefficient .

iP

i

Il existe dans cet espace un et un seul point not G,

appel barycentre de cette distribution, tel que:

OGP N

1i

ii

N

1i

iiN

1i

i

AP1

AG

15

Chapitre II: Centre de masse et matrice d inertie

II-2 Centre de masse

Dans le cas particulier o les points sont

matriels, le barycentre est appel centre de

masse.

iP

mm

N

1i

i

Masse totale

du systme discret.

16

OGPm N

1i

ii

N

1i

iiN

1i

i

APm

m

1 AG

II-2 Centre de masse d un systme continu

OdmGP

D

dmAPdm

1 AG

D

D

D est le domaine gomtrique occup par le systme.

mdm

D

17

Masse totale

du systme continu.

Dans le cas d un solide homogne on a:

L

m

dL

dm Distribution linique

, et sont respectivement les masses linique,

surfacique et volumique.

18

S

m

dS

dm

Distribution volumique

Distribution surfacique

V

m

dV

dm

19Application

Dterminons les coordonnes cartsiennes du

centre de masse du huitime dune calotte sphrique

homogne de rayon R et de masse surfacique .

R

R

RO

x

z

y

20

Le centre de masse est donn par la relation:

dSOPS

1 OG

D

zdSS

1 z

ydSS

1 y

xdSS

1 x

D

G

D

G

D

G

Il est commode dutiliser ici les coordonnes

sphriques pour le calcul de ces intgrales.

21

d.dcosS

R z

d.sin.dsinS

R y

d.cos.dsinS

R x

2/

0

2/

0

3

G

2/

0

2/

0

3

G

2/

0

2/

0

3

G

avec:

2

R.d.dsinRdS S

2/

0

22/

0

2

D

2

Rxy x GGG

22II-3 Matrice d inertie

II-3-1 Matrice dinertie dun systme discret

Considrons dans lespace euclidien un systme

mcanique constitu de N points matriels

P(m).Cet espace est muni d un repre cartsien

R0(Ox,Oy,Oz) de base orthonorme directe

.

321 e,e,e

La matrice dinertie lmentaire dun point matriel P

est dfinie, dans ce repre, par :

23

)P(I )er)(er(rm)P(I jijiij

2

ij

)x ,x ,x(r 321

Rayon-vecteur du point

matriel P(m).

La matrice dinertie du systme ,dans le repre R0, est:

)er)(er(rm)(I

N

1

jiij

2

ij

ji si 1

ji si 0

ij Symbole de Kronecker

24

Les termes non diagonaux de cette matrice, I12 , I23

et I13 sont appels produits dinertie respectivement

dans les plans (Ox,Oy), (Oy,Oz) et (Ox,Oz).

II-3-2 Matrice dinertie dun systme continu

(solide indformable).

La matrice dinertie lmentaire dun point matriel P(dm)

appartenant ce solide, est dfinie, dans le repre R0, par :

Les termes diagonaux de cette matrice, I11 , I22 et

I33 sont appels moments dinertie par rapport aux

axes respectivement Ox, Oy et Oz.

25

dm)er)(er(r(S)I

D

jiij

2

ij

La matrice dinertie du solide S ,dans ce repre R0,

est:

D est le domaine gomtrique occup par le

solide (S).

(P)dI)er)(er(rdm(P)dI jijiij

2

ij

26II-3-3 Repre principal d inertie.

Il existe au moins un repre tri-orthogonal dans le

quel la matrice dinertie est diagonale. Un tel repre

est appel repre principal dinertie. On note ce repre

par:

)u,u,u,A(R 321p

sont les vecteurs propres, les composantes

diagonales de la matrice dinertie dans le repre Rp sont

appels moments principaux dinertie.

u,u,u 321

27

Application

Trouvons le repre principal dinertie du huitime de

la calotte sphrique.

Sa matrice dinertie dans le repre R0 est de la forme:

AB B

B AB

B B A

)R/S(I 0

dm)zy()R/(SI

D

220xx

28

8

R3m

dd )(cos)sin.(sinR)R/(SI

2

D

2240xx

4

mR

dd cos.sin.sin R)R/(SI

2

D

240xy

Cherchons maintenant les valeurs propres i de cette

matrice.

Lquation aux valeurs propres est donne par:

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

AB B

B AB

B B A

0]1)R/S(Idet[

0

29

0B2)BA(A)BA()BA(

22

3B ; 0B2)BA(A)BA2(

BA

22

1

D

BA ; B2A ; BA

221

30

Lquation aux vecteurs propres est donne par:

0V

1 0 0

0 1 0

0 0 1

AB B

B AB

B B A

ii

0

0

0

X

X

X

)A( B B

B )A( B

B B )A(

3i

2i

1i

i

i

i

31

0

0

0

X

X

X

2 1 1

1 2- 1

1 1 2

23

22

21

Pour la valeur propre 2 on a:

XXX 232221

Le vecteur propre unitaire associ cette valeur

propre est:

)1 , 1 , 1(3

1u 2

32