Cours de Mathématiques Supérieures Lycée Henri IVhx3.h4.free.fr/Cours_(edition3) typeset.pdf · Chapitre 1 Eléments de théorie des ensembles Les Mathématiques reposent

Cours de Mathematiques Superieures

Lycee Henri IV

3eedition

Serge Francinou

1994-2007

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Partie AStructures fondamentales

Chapitre 1

Elements de theorie des ensembles

Les Mathematiques reposent surl’etude d’objets correspondant a une superposition de concepts.Le mathematicien formule des assertions sur ces objets. Il s’agit de rechercher les assertions vraieset interessantes.

Toute theorie mathematique repose au depart sur des notions intuitives : c’est notamment le caspour la notion d’ensemble et la relation d’appartenance (∈). Outre ces objets intuitifs, on renoncea toute verite absolue i.e. on admet avant toute chose un certain nombre d’assertion a priori : cesont les axiomes. La donnee de ces axiomes constituent une theorie (on en verra quelques uns dansle chapitre II.). A l’aide de ces axiomes, et plus generalement de toute assertions vraies, et d’unraisonnement logique (dont les regles seront vues dans le chapitre I.), on peut tenter de demontrerqu’une assertion est vraie (ou fausse). Ces resultats sont appeles le plus souvent :

• theoreme ;• proposition (resultat plus faible qu’un theoreme) ;• corollaire (consequence assez immediate d’une proposition ou d’un theoreme ) ;• lemme (resultat intermediaire dans la demonstration d’un theoreme ou d’une proposition).Il existe des assertions dont on ne peut demontrer si elles sont vraies ou fausses : elles sont dites

indecidables. Si une proposition est a la fois vraie et fausse dans une theorie donnee, cette theorieest dite contradictoire. Ces theories presentent peu d’interet.

I. Elements de logique

On supposera dans toute la suite que l’on travaille dans une theorie non contradictoire.

1) Definitions, generalites :

Regle 1 A toute assertion A, on associe une assertion appelee non A : non A est vraie si A estfausse ; non A est fausse si A est vraie.

Regle 2 A deux assertions A et B, on associe une assertion (A ou B) qui est vraie si l’une desassertions A et B est vraie et fausse sinon.

Exemple : (A ou non A) est toujours vraie : c’est une tautologie.

Regle 3 A deux assertions A et B, on associe une assertion (A et B) qui est vraie si les deuxassertions A et B sont vraies et fausse sinon.

Regle 4 Soient A et B deux assertions. On note (A =⇒ B) pour (non A ou B) et on l’appelle Aimplique B.

6 CHAPITRE 1. ELEMENTS DE THEORIE DES ENSEMBLES

Remarque : A la place de A implique B (est vraie) on peut dire aussi• si A, alors B ;• A est une condition suffisante pour B ;• pour B, il suffit A ;• B est une condition necessaire pour A ;• pour A, il faut B.

∗ Exemple : Soient a et b deux entiers. Alors

( a = b =⇒ a2 = b2 ) est vraie.

ATTENTION ! Ce n’est pas parce que A =⇒ B est vrai que B est vrai .ex

Regle 5 Soient A et B deux assertions. On note A ⇐⇒ B (appelee A equivalente a B) l’assertion :

(A =⇒ B) et (B =⇒ A)

Si A ⇐⇒ B est vraie on dit que les propositions A et B sont equivalentes.

Remarque : Pour A et B equivalentes, on dit aussi :• A si, et seulement si, B ;• A est une condition necessaire et suffisante (CNS) pour B ;• pour A, il faut et il suffit B.

Remarque : • Si A et B sont equivalentes, alors A et B sont toutes les deux vraies ou toutes lesdeux fausses (et reciproquement).

• non (A et B) equivaut a (non A ou non B).non (A ou B) equivaut a (non A et non B).• non (A =⇒ B) equivaut a (A et non B).

2) Quelques principes de demonstration :

Soient A et B deux assertions.

i Preuve de A ou B :

Pour prouver que A ou B est vrai, on pourra supposer que A fausse et prouver B.∗ Exemple : Admettons que tout entier n ∈ Z s’ecrivent de maniere unique 2k + r avec k ∈ Z etr = 0 ou 1. Soient a et b dans Z. On suppose que ab est pair. Alors a est pair ou b est pair.Remarque : Ainsi pour prouver A =⇒ B, on suppose A et on montre B.

ii Principe du syllogysme :

Regle 6 Si A et A =⇒ B sont vraies, alors B est vraie.

∗ Exemple : Soient a et b des entiers. On a :

a2 = b2 =⇒ a = ±b

Si a2 = b2 est vraie, alors a = ±b.

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iii La contraposee :

Lorsqu’on veut prouver A =⇒ B, on peut supposer non B et etablir non A. Ainsi, on prouvela contraposee : non B =⇒ non A. On resume ainsi :Regle 7 Les assertions A =⇒ B et non B =⇒ non A sont equivalentes.

iv Raisonnement par l’absurde :

Le principe du raisonnement par l’absurde est basee sur la regle suivante : on desire prouver Q.On rajoutte non Q au systeme d’axiomes (i.e. on suppose Q faux) et on demonstre que l’on aboutita une theorie contradictoire.∗ Exemple :

√2 n’est pas rationnel. .

v Equivalences :

Pour prouver A ⇐⇒ B, on peut prouver A =⇒ B puis B =⇒ A : c’est un raisonnement pardouble implication.

Si A ⇐⇒ C et C ⇐⇒ B, alors A ⇐⇒ B. Donc pour prouver A ⇐⇒ B, on peut l’etablir parplusieurs equivalences successives : c’est un raisonnement par equivalence.

Exemple : 1. Soit λ ∈ C, λ =/ − i. Montrer l’equivalence : λ ∈ R ⇐⇒∣∣∣∣

1 + λi

1 − λi

∣∣∣∣= 1.

2. Soit f : R −→ R. f est constante si et seulement si f est derivable et f ′ = 0.Nous verrons plus loin un autre mode de preuve basee sur les proprietes de N : la demonstration

par recurrence.

3) Quantificateurs :

On notera A(x) une assertion dependant de l’objet x. Soit E un ensemble.Regle 8 L’assertion (∀x, A(x)) est vraie si et seulement pour tout objet x, l’assertion A(x) estvraie.

L’assertion (∀x ∈ E, A(x)) est vraie si et seulement si pour tout objet x appartenant a E, A(x)est vraie.

∀ est appele quantificateur universel.Regle 9 L’assertion (∃x, A(x)) est vrai si, et seulement si, il existe un objet x tel que l’assertionA(x) est vraie.

L’assertion (∃x ∈ E, A(x)) est vraie si, et seulement si, il existe un objet x appartenant a E telque A(x) est vraie.

∃ est appele quantificateur existentiel.∗ Exemple : Une fonction f : R −→ R est continue en 0 si :

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀x ∈ R) (|x| < η =⇒ |f(x) − f(0)| ε)

Regle 10 non (∀x, A(x)) est equivalente a (∃x,non A(x)).non (∃x, A(x)) est equivalente a (∀x,non A(x)).non (∀x ∈ E, A(x)) est equivalente a (∃x ∈ E,non A(x)).non (∃x ∈ E, A(x)) est equivalente a (∀x ∈ E,non A(x)).

∗ Exemple : f : R −→ R n’est pas continue en 0 des que

(∃ε > 0) (∀η > 0) (∃x ∈ R) (|x| < η et |f(x) − f(0)| > ε)

Voila qui acheve les regles de logique qui regissent tous les raisonnements qui vont suivre.


II. Premiers axiomes de la theorie des ensembles

1) Inclusion :

Definition 1 Soient E et F deux ensembles.On dit que F est inclus dans E, si pour tout x ∈ F , x ∈ E. On dit aussi que F est une partie

de E et on note F ⊂ E.

Proposition 1 Soient E, F , G trois ensembles.Si E ⊂ F et F ⊂ G, alors E ⊂ G.

Definition 2 Soient E et F deux ensembles.On dit que E et F sont egaux si E ⊂ F et F ⊂ E. On note E = F .

2) Quelques operations de construction d’ensembles :

On considerera comme notion intuitive le fait d’etre en nombre fini. On supposera egalementconnue la notion d’entiers naturels. Les axiomes presentes dans ce paragraphe font partie de latheorie de Zermelo-Fraenkel.

• Ensembles formes par des elements donnes :

Axiome 1 Soient a1,a2,...,an des objets en nombre fini. Il existe un unique ensemble E dont leselements sont exactement les a1, a2 ,..., an. On note

E = a1, a2, . . . , an

Exemple : Si a et b sont des objets mathematiques, a est un singleton et si a =/ b, a, b est unepaire.

• Partie d’un ensemble definie par une relation :

Axiome 2 Soit E un ensemble et A(x) une assertion dependant d’un objet x de E. Alors, il existeun unique ensemble F inclus dans E tel que

(∀x ∈ E) (x ∈ F ⇐⇒ A(x))

Cet ensemble est note

F = x ∈ E, A(x)

∗ Exemple : Soit E = N et A(x) = (2 divise x). Alors F est l’ensemble des nombres pairs.Remarque : Soit F et G deux parties d’un ensemble E. Pour montrer que F = G, on peut montrerl’equivalence

x ∈ F ⇐⇒ x ∈ G.

Un autre exemple fondamental : le complementaire.

Definition 3 Soit E un ensemble et F ⊂ E. Alors

SEF = x ∈ E, x /∈ F

est appele complementaire de F dans E.

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Proposition 2 Soient E un ensemble et F et G deux parties de E.1. On a SESEF = F .2. Si F ⊂ G, SEG ⊂SEF .3. Si SEF =SEG, F = G.

• L’ensemble vide :

Axiome 3 Il existe un unique ensemble note ∅ tel que

(∀x) (x /∈ ∅)

∅ est appele ensemble vide.

En particulier, on affirme l’existence d’un ensemble.

• Ensemble des parties d’un ensemble :

Axiome 4 Soit E un ensemble. Il existe un unique ensemble note P(E) tel que

(∀F ) (F ∈ P(E)) ⇐⇒ (F ⊂ E)

P(E) est appelee ensemble des parties de E, on peut ecrire

P(E) = F, F ⊂ E

C’est cet axiome et le precedent qui permettent de definir les entiers naturels : 0 = ∅, 1 = P(0) =∅, 2 = P(P(∅)) = ∅, ∅ ...

• Intersection et reunion de deux ensembles :

Axiome 5 Soient E et F deux ensembles.Il existe un unique ensemble note E ∪ F tel que

(∀x) (x ∈ E ∪ F ) ⇐⇒ (x ∈ E ou x ∈ F )

E ∪ F = x, x ∈ E ou x ∈ F est appelee union de E et F .

Definition 4 Soient E et F deux ensembles.On appelle intersection de E et F l’ensemble

E ∩ F = x ∈ E, x ∈ F = x, x ∈ E et x ∈ F

Remarque : Soient E, F et G trois ensembles. On a

E ∪ F = F ∪ E, E ∩ F = F ∩ E, E ∪ ∅ = E, E ∩ ∅ = ∅

E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F ) ∪ G, E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F ) ∩ G

E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ G) et E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F ) ∩ (E ∪ G)

Proposition 3 (Lois de Morgan) Soient F et G deux parties d’un ensemble E. On a1. SE(F ∪ G) =SEF ∩SEG2. SE(F ∩ G) =SEF ∪SEG

Definition 5 Soient E et F deux ensembles.On appelle difference de E et F l’ensemble

E\F = x ∈ E, x /∈ F


3) Limites dans la construction des ensembles :

On peut se demander si les operations que l’on s’est autorise pour la construction d’ensemblesne sont pas limitatives. L’experience prouve jusqu’a aujourd’hui que l’on a choisi le bon cadre. Onpourrait par exemple se demander s’il ne serait pas plus judicieux de considerer des ensembles dutype

x, A(x)En fait, si on prend cet axiome, on obtient une theorie contradictoire : Soit E = x, x /∈ x. AlorsE /∈ E et E ∈ E !Remarque : Une illustration : Imaginons un barbier qui decide de raser tous les hommes ne se rasentpas eux memes. Doit-il se raser lui-meme ?

III. Applications

1) Generalites :

La theorie des ensembles permet de definir a partir des axiomes precedents la notiond’application, mais afin de ne pas surcharger ce cours, nous l’introduirons de maniere intuitivepar la definition suivante :

Definition 6 Une application (ou fonction) f est la donnee de deux ensembles E et F et d’un”procede” qui associe a tout element x ∈ E un unique element y ∈ F note f(x) et appele image dex par f .

Dans ces conditions, f est appelee application de E dans F . E est l’ensemble de definition def , et F est l’ensemble d’arrivee de f .

f est notee f : E −→ F , ou f : x ∈ E −→ f(x) ∈ F , ou encore

E −→ Ff : x −→ f(x)

Definition 7 Soient f : E −→ F , y ∈ F et x ∈ E.On dit que x est un antecedant de y si y = f(x).

Remarque : Deux fonctions f et g sont donc egales si et seulement si elles ont meme ensemble dedefinition E, meme ensemble d’arrivee et si pour tout x ∈ E, f(x) = g(x).Convention : Etant donne un ensemble F , il existe une unique application de ∅ dans F appeleeapplication vide.

Definition 8 Soient E et F deux ensembles. On note F(E, F ) l’ensemble des applications de Edans F . Si E = F , on note F(E) au lieu de F(E, E).

En particulier, nous admettons qu’un tel ensemble existe.

Definition 9 Soit E un ensemble. On appelle application identique de E, l’application

E −→ EIE : x −→ x

Definition 10 Soient A ⊂ E et F des ensembles, f : E −→ F , g : A −→ F .On dit que g est la restriction de f a A des que

(∀x ∈ A) (g(x) = f(x))

On note alors g = f|A.On dit que f constitue un prolongement de g si f|A = g.

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2) Composition des applications :

Definition 11 Soient E, F et G trois ensembles, f : E −→ F , g : F −→ G.On appelle application composee de f et g la fonction

E −→ Gg f : x −→ g(f(x))

Proposition 4 Soient f : E −→ F , g : F −→ G, h : G −→ H. Alors1. (h g) f = h (g f)2. f IE = f et IF f = f .

Remarque : En general, f g =/ g f .

3) Injection, surjection et bijection :

Definition 12 Soit f : E −→ F .1. On dit que f est injective si

(∀(x, x′) ∈ E2) (f(x) = f(x′) =⇒ x = x′)

2. On dit que f est surjective si

(∀y ∈ F ) (∃x ∈ E) (y = f(x))

3. On dit que f est bijective si f est a la fois injective et surjective.

Remarque : f est injective si et seulement si

(∀(x, x′) ∈ E2) (x =/ x′ =⇒ f(x) =/ f(x′))

Exemple : • IE est bijective.• Soit F ⊂ E. Alors j : x ∈ F −→ x ∈ E est appelee l’injection canonique de F dans E• Soit E un ensemble et f : F ∈ P(E) −→SEF ∈ P(E) est une bijection.

∗ Exemple : exp : R −→ R∗+ est une application bijective.

sin : R −→ [−1, 1] est surjective mais non injective.sin : [−π

2 , π2 [−→ R est injective mais non surjective.

Proposition 5 Soient f : E −→ F et g : F −→ G.1. Si f est g sont injectives, alors g f est injective.2. Si f est g sont surjectives, alors g f est surjective.3. Si f est g sont bijectives, alors g f est bijective.

4) Application reciproque :

Definition 13 Soient f : E −→ F une application bijective.Alors l’application qui a tout y ∈ F associe l’unique x ∈ E tel que y = f(x) est appelee

application reciproque de f . Elle est notee f−1.

Proposition 6 Soit f : E −→ F .1. Si f est bijective, on a f−1 f = IE et f f−1 = IF .2. Si g f = IE et f g = IF , alors f est bijective et f−1 = g.

Exemple : Soit E un ensemble et f : F ∈ P(E) −→SEF ∈ P(E). Alors f−1 = f . On dit que fest une involution.


Proposition 7 Soient E, F et G trois ensembles et f : E −→ F et g : F −→ G deux bijections.1. I−1

E = IE.2. (g f)−1 = f−1 g−1.3. (f−1)−1 = f .

5) Image directe, image reciproque :

Definition 14 Soient f : E −→ F , A ⊂ E et B ⊂ F .L’image de A par f est

f(A) = y ∈ F, (∃x ∈ A)(y = f(x)) = f(x) ∈ F, x ∈ A

L’image de f est f(E).L’image reciproque de B par f est

f<−1>(B) = x ∈ E, f(x) ∈ B

Remarque : Si f est bijective, f<−1>(B) = f−1(B).Notation : On note parfois f−1(B) pour f<−1>(B).

Proposition 8 Soit f : E −→ F .1. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :

(i) f injective(ii) Pour tout y ∈ F , f<−1>(y) est soit vide , soit reduit a un seul element.

2. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f surjective(ii) f(E) = F

6) Resoudre une equation :

On se donne deux applications f et g et on se demande s’il existe des objets x dans l’ensemblede depart de f et de g verifiant f(x) = g(x). Cela s’appelle resoudre l’equation

(E) f(x) = g(x).

Tout d’abord, il convient de preciser le domaine de validite de (E).On peut ensuite raisonner• par equivalence.ou• par analyse synthese (ou double implication) : on prend x solution. On regarde ce que cela

donne pour x (c’est l’analyse). Ensuite, on verifie que les x trouve conviennent : c’est la synthese.Ensuite, on peut essayer d’isoler x dans un unique membre pour se ramener a une equation du

type F (x) = a. L’equation revient alors a trouver l’image reciproque du singleton a∗ Exemple : Trouver les x ∈ R tels que

√x2 − 2x = x − 3.

IV. Familles et produit cartesien

1) Generalites :

Definition 15 Soit I un ensemble.

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On appelle famille indixee sur I toute application x definie sur I. Si i ∈ I, on notera l’image dei xi au lieu de x(i) et (xi)i∈I au lieu de x. I constitue alors l’ensemble des indices. xi est l’elementd’indice i.

Si J ⊂ I, (xi)i∈J (i.e. la restriction de x a J) est une sous-famille de (xi)i∈I .

Remarque : Considerons deux familles x = (xi)i∈I et y = (yi)i∈I . Alors x = y si, et seulement si∀i ∈ I, xi = yi.Exemple : • Supposons que I = 1, 2, . . . , n. Les familles indicees par I sont appelees des n−uplets.On les note (xi)i∈I = (xi)1in = (x1, x2, . . . , xn).

• Si I = N ou plus generalement une partie de N, les familles sont appelees des suites.• Soit E un ensemble. Considerons x : a ∈ E −→ a ∈ E. Alors la famille x est notee x = (a)a∈E

et est la famille canoniquement associe a E.

2) Intersection et reunion d’une famille de parties :

Definition 16 Soit E un ensemble, (Ei)i∈I une famille de parties de E (i.e. les Ei sont des partiesde E). La reunion des Ei est constituee des elements de x ∈ E tel qu’il existe i ∈ I tel que x ∈ Ei

et l’intersection des Ei est constituee des elements x tel que pour tout i ∈ I, x ∈ Ei.⋃

i∈I

Ei = x, (∃i ∈ I)(x ∈ Ei) et⋂

i∈I

Ei = x, (∀i ∈ I)(x ∈ Ei)

Si I = 1, 2, . . . , n, on note la reunion des Ei⋃n

i=1 Ei et l’intersection⋂n

i=1 Ei.Exemple : Soit A ⊂ P(E). Alors (F )F∈A est une famille d’ensembles.

⋃

F∈A F est l’ensemble desx ∈ E tel qu’il existe F ∈ A avec x ∈ F .

⋂

F∈A F est l’ensemble des x ∈ E tel que pour tout F ∈ Aon a x ∈ F .

Proposition 9 Soit E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E, A ⊂ E. On suppose Inon vide.

1. A ∩⋃

i∈I Ai =⋃

i∈I(A ∩ Ai)2. A ∪

⋂

i∈I Ai =⋂

i∈I(A ∪ Ai)3. A\

⋃

i∈I Ai =⋂

i∈I(A\Ai)4. A\

⋂

i∈I Ai =⋃

i∈I(A\Ai)

Exemple : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Corollaire 1 Soit E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E.1. SE

⋃

i∈I Ai =⋂

i∈ISEAi

2. SE⋂

i∈I Ai =⋃

i∈ISEAi

Definition 17 Soit E un ensemble, F ⊂ E, (Ai)i∈I une famille de parties de E. On dit que (Ai)i∈I

est un recouvrement de F si

F ⊂⋃

i∈I

Ai

Exemple : (0, 1, . . . , n)n∈N constitue un recouvrement de N

Definition 18 Soit E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E.On dit que (Ai)i∈I est une partition de E si (Ai)i∈I est un recouvrement de E et si pour tout

i ∈ I, j ∈ I, i =/ j, on a Ai ∩ Aj = ∅.Exemple : Soit A ⊂ E. Alors (A,SEA) est une partition de E.


Proposition 10 (Formules d’associativite) Soient (Jk)k∈K un recouvrement de l’ensemble I,(Ai)i∈I une famille de parties de E. Alors

1. Alors⋃

i∈I Ai =⋃

k∈K

⋃

i∈JkAi

2. Alors⋂

i∈I Ai =⋂

k∈K

⋂

i∈JkAi

3) Produit cartesien :

Definition 19 Soit (Ei)i∈I une famille d’ensembles de reunion E.On appelle produit cartesien des Ei l’ensemble des familles (xi)i∈I indexees sur I a elements

dans E tel que

(∀i ∈ I)(xi ∈ Ei)

Il se note∏

i∈I Ei.

Notation : Si les Ei sont tous egaux a E, on note leur produit cartesien EI . Dans ce cas la,EI = F(I, E).

Si I = 1, 2, . . . , n,∏

i∈I Ei se note aussi∏n

i=1 Ei, ou encore E1 ×E2 × . . .×En. Si les Ei sonttous egaux a E, il se note En.Remarque : a priori rien ne nous assure que si les Ei sont tous non vides alors

∏

i∈I Ei =/ ∅.Generalement, ce fait la est admis et il porte le nom d’axiome du choix.Exemple : R

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Remarque : Representation garphique d’un produit E × FRemarque : (x × F )x∈E est une partition de E × F . (E × y)y∈F est une partition de E × F .

4) Graphe d’une fonction :

Definition 20 Soit f : E −→ F .On appelle graphe de f la partie de E × F definie par (x, y) ∈ E × F, y = f(x).

Exercice : Si f est bijective, comment obtient-on le graphe de f−1 a partir de celui de f ?

Definition 21 Soit A ⊂ E × F .On dit que A est un graphe fonctionnel s’il existe une fonction f : E −→ F tel que A soit le

graphe de f .

Proposition 11 Soit A ⊂ E×F . A est un graphe fonctionnel si, et seulement si, pour tout x ∈ E,il existe un unique y ∈ F tel que (x, y) ∈ A.

Remarque : En fait, dans les exposes de theorie des ensembles, on introduit la notion de fonctionpar l’intermediaire du graphe fonctionnel.

V. Relation d’equivalence

1) Relation binaire :

Definition 22 Soit E un ensemble. On appelle relation binaire sur E toute partie R de E × E.On dit que x ∈ E est en relation avec y ∈ E si (x, y) ∈ R et on note xRy.ex

Exemple : Sur R, on peut definir la relation binaire suivante :

xRy ⇐⇒ xy 0

C’est la relation avoir le meme signe.Remarque : Si F ⊂ E, R induit canoniquement une relation binaire R′ sur F donnee par R′ =R∩ (F × F ).

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2) Relation d’equivalence, premiers exemples :

Definition 23 Soit R une relation binaire sur E. On dit R est une relation d’equivalence si• R est reflexive i.e. si pour tout x ∈ E, xRx ;• R est symetrique i.e. si pour tout (x, y) ∈ E2, xRy entraıne yRx ;• R est transitive i.e. si pour tout (x, y, z) ∈ E3, xRy et yRz entraıne xRz.Au lieu de xRy, on note souvent x ≡ y mod R, ou encore x ≡ y [R], et meme parfois x ≡ y

lorsqu’il n’y a pas ambiguite.

Exemple :• Soit n > 0. La relation sur Z definie par

xRy ⇐⇒ n divise x − y

est une relation d’equivalence et est appelee congruence modulo n.• On definit dans R la relation

xRy ⇐⇒ ∃k ∈ Z, y = x + 2kπ.

C’est la congruence modulo 2π. De maniere generale, on definit sur R la congruence modulo α.• La relation avoir le meme signe vue precedemment n’est pas transitive (−1 ≡ 0 ≡ 1...).

3) Classes d’equivalences :

Soit E un ensemble muni d’une relation d’equivalence R.

Definition 24 Soit x ∈ E. On appelle classe d’equivalence de x l’ensemble

y ∈ E, x ≡ y

Elle est notee x ou x. Tout y ∈ x est appele representant de la classe x.On note E/R l’ensemble des classes d’equivalence :

E/R = x, x ∈ E ⊂ P(E)

C’est l’ensemble quotient de E par R.

Definition 25 Soit n ∈ N∗. L’ensemble Z quotiente par la congruence modulo n est note Z/nZ.

Notation : De meme, on note R/αZ l’ensemble quotient de R par la congruence modulo α. R/2πZ

correspond aux angles.Exemple : • L’ensemble des vecteurs du plan est l’ensemble quotient des bipoints par la relationetre equipollent.

• P 1(C).Remarque : • En algebre, le passage au quotient est un outil puissant de creation d’ensemblesinteressant.

• On a x ≡ y ⇐⇒ x = y.• On a x ∈ x.

Theoreme 1 E/R forme une partition de E.

Definition 26 L’application s : x ∈ E −→ x ∈ E/R est une surjection appelee surjection canon-ique.

Exercice : bijection canonique


VI. Relations d’ordre

1) Definitions et premiers exemples :

Definition 27 Soit E un ensemble. Une relation R sur E est une relation d’ordre si1. R est reflexive ;2. R est transitive ;3. R est antisymetrique i.e. pour tout (x, y) ∈ E2, xRy et yRx entraıne x = y.E est dit ordonne.

Notation : Nous noterons les relations d’ordre (plus grand que) ou (plus petit que).Si x y et x =/ y, on notera x < y et on dira x est strictement plus petit que y.Si x y et x =/ y, on notera x > y et on dira x est strictement plus grand que y.

Exemple : • Les ordres sur N, Z, Q et R sont des relations d’ordre.• On considere sur P(E) la relation suivante FRG si et seulement si F ⊂ G. R est une relation

d’ordre.• Soient E1 et E2 deux ensembles ordonnes. On peut alors definir des ordres sur E1 × E2 :

l’ordre produit et l’ordre lexicographique.

Definition 28 Soit (E, ) un ensemble ordonne. On dit que l’ordre est total si pour tout (x, y) ∈E2, on a x y ou y x et dans ces conditions, on dit que E est totalement ordonne.

Si l’ordre n’est pas total, on dit qu’il est partiel et que E est partiellement ordonne.

Exemple : • (Q,) est totalement ordonne.• (P(E),⊂) est en general partiellement ordonne.• La divisibilite sur N est un ordre partiel.• En general, si E1 et E2 sont deux ensembles totalement ordonnes, l’ordre lexicographique sur

E1 × E2 est total, alors que l’ordre produit total ne l’est pas.

Proposition 12 Soient E un ensemble et F un ensemble ordonne. Alors, la relation definie surF(E, F ) par

f g ⇐⇒ (∀x ∈ E)(f(x) g(x))

ou (f, g) ∈ F(E, F )2 est une relation d’ordre. En general, cet ordre est partiel.

2) Applications monotones :

Definition 29 Soient E et F deux ensembles ordonnes et f : E −→ F .1. On dit que f est croissante si

(∀(x, y) ∈ E2) (x y =⇒ f(x) f(y))

2. On dit que f est decroissante si

(∀(x, y) ∈ E2) (x y =⇒ f(x) f(y))

3. On dit que f est strictement croissante (resp. strictement decroissante) si f est croissante(resp. decroissante) et injective.

4. On dit que f est monotone si f est croissante ou decroissante.

17

Exemple : • Une suite (un)n0 est croissante des que

n m =⇒ un um

• La fonction(P(E),⊂) −→ (P(E),⊂)

f : F −→ SEF

est decroissante.

Proposition 13 Soient E, F et G trois ensembles ordonnes, f : E −→ F , g : F −→ G.1. IE est strictement croissante.2. Si f et g sont monotones de meme sens, alors g f est croissante.3. Si f et g sont monotones de sens contraire, alors g f est decroissante.4. Si f est bijective monotone et si l’ordre de E est total, f−1 est monotone de meme sens que

f .

3) Elements remarquables dans un ensemble ordonne :

a-Plus grand element, plus petit element :

Definition 30 Soient E un ensemble ordonne, a ∈ E.On dit que a est le plus grand element de E si pour tout x ∈ E, x a. On note a = max E.

On dit que a est le plus petit element de E si pour tout x ∈ E, x a. On note a = minE

Remarque : L’existence d’un plus grand element n’est pas assure : E = N, E = [0, 1[.De par l’antisymetrie de l’ordre, si E admet un plus grand element, il est unique.

Exemple : Si E = 1, 2, . . . , n, n est le plus grand element de E. Le plus grand element de(P(E),⊂) est E.

b-Majorant, minorant :

Definition 31 Soient E un ensemble ordonne, F ⊂ E et a ∈ E.a est un majorant (resp. minorant) de F si pour tout x ∈ F , x a (resp. x a).

Remarque : En general, les majorants ne sont pas uniques. Leur existence n’est pas assuree.

c-borne superieure, borne inferieure :

Definition 32 Soient E un ensemble, F ⊂ E. On note A l’ensemble des majorants de F et Bl’ensemble des minorants de F .

Si A possede un plus petit element α, α est appele la borne superieure de F et est note supF .Si B possede un plus grand element β, β est appele la borne inferieure de F et est note inf F .

Remarque : L’existence des bornes superieures ou inferieures n’est pas assuree de maniere generale.Si la borne existe, elle est unique.

Si F possede un plus grand element a, alors a = supF .Exemple : Si E = R, et F = [0, 1[, supF = 1 (on remarque, en particulier que supF /∈ F ).Exemple : Si E = R, F = x ∈ E, x2 2 admet une borne superieure : c’est

√2. Par contre, si

E = Q, F n’admet pas de borne superieure.

Proposition 14 Soient E totalement ordonne, F ⊂ E, a ∈ E. Alors a est la borne superieure deF si et seulement si

(i) Pour tout x ∈ F , x a ;(ii) Pour tout c < a, il existe x ∈ F tel que c < x.


d-Element maximal, element minimal :

Definition 33 Soient E un ensemble ordonne, a ∈ E.a est un element maximal (resp. minimal) de E si

(∀x ∈ E) (x a =⇒ x = a)

(resp. (∀x ∈ E) (x a =⇒ x = a)).

Exemple : Si E admet un plus grand element a, a est maximal.Supposons N

∗\1 muni de l’ordre de la divisibilite. Alors les elements minimaux sont lesnombres premiers.

e-Bornes dans le cas des familles :

On peut parler de plus grand element, borne superieure, de majorant... d’une famille (xi)i∈I

d’un ensemble ordonne E. Il s’agira en fait respectivement du plus grand elelment, de la bornesuperieure, du majorant... de la partie xi ∈ E, i ∈ INotation : Soit (xi)i∈I une famille d’un ensemble ordonne. On note supi∈I xi pour supxi, i ∈ I.Si I = 1, 2, . . . , n, on note meme sup1in xi ou encore sup(x1, x2, ..., xn). La meme remarqueest valable pour max, inf et min.

Si F ⊂ E, on note egalement supx∈F x pour supF .

4) Proprietes des bornes :

Les bornes sont evoquees dans ce paragraphe sous reserve d’existence.

Proposition 15 Soient E un ensemble ordonne, F ⊂ G. Alors

supF supG et inf G inf F

Si (xi)i∈I est une famille de E et J ⊂ I, on a

supi∈J

xi supi∈I

xi et infi∈I

xi supi∈J

xi

Proposition 16 Soient E un ensemble ordonne, (xi)i∈I , (yi)i∈I deux familles de E. On supposeque pour tout i ∈ I, xi yi. Alors

supi∈I

xi supi∈I

yi et infi∈I

xi infi∈I

yi

Proposition 17 (Formules d’associativite) Soient E un ensemble ordonne, (xi)i∈I une famillede E, (Jk)k∈K un recouvrement de I. Alors

supi∈I

xi = supk∈K

supi∈Jk

xi

et

infi∈I

xi = infk∈K

infi∈Jk

xi

19

Exemple : • On a avec I = 1, 2, 3

sup(x1, x2, x3) = sup(sup(x1, x2), x3) = sup(x1, sup(x2, x3))

• Comme (i × J)i∈I et (I × j)j∈J sont des recouvrements de I × J , on a

sup(i,j)∈I×J

x(i,j) = supi∈I

supj∈J

x(i,j) = supj∈J

supi∈I

x(i,j)

• Soit (Ak)k∈K une famille de partie de E. Alors

sup⋃

k∈K

Ak = supa∈

⋃

k∈K Ak

a = supk∈K

supa∈Ak

a = supk∈K

supAk

5) Etude d’un exemple :

Soient E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E. On munit P(E) de l’ordre ⊂.Un majorant des Ai est une partie contenant tous les Ai i.e. contenant

⋃

i∈I Ai.⋃

i∈I Ai estlui-meme un majorant des Ai : c’est donc le plus petit des majorants des Ai. Ainsi

Proposition 18

supi∈I

Ai =⋃

i∈I

Ai

Un minorant des Ai est une partie contenue dans tous les Ai i.e. contenue dans⋂

i∈I Ai.⋂

i∈I Ai

est lui-meme un minorant des Ai : c’est donc le plus grand des majorants des Ai. AinsiProposition 19

infi∈I

Ai =⋂

i∈I

Ai

6) Fonction majoree, fonction minoree :

Definition 34 Soient E et F deux ensembles, F ordonne, f : E −→ F .On dit que f(E) est majoree (resp. minoree) si f(E) est majoree (resp. minoree).On pose sup f = supx∈E f(x), inf f = infx∈E f(x), max f = maxx∈E f(x) et min f =

minx∈E f(x).

VII. Les nombres entiers naturels

1) Introduction :

Il n’est pas question pour nous de faire la construction de N, mais seulement d’en donner uneidee et surtout d’en deduire des proprietes fondamentales utilisees partout en Mathematiques.

Axiome 6 (Axiomes de Peano) Il existe un unique triplet (0, N, S), ou N est un ensemble, 0un element de N et S : n ∈ N −→ S(n) ∈ N une application telle que :

1. S est injective ;2. l’image de S est N

∗ = N\0 ;3. si A ⊂ N, 0 ∈ A et si

(∀n ∈ N)(n ∈ A =⇒ S(n) ∈ A)

alors, A = N (axiome de recurrence).Si n ∈ N, S(n) est son ”suivant”. N est appele ensemble des entiers naturels.


1 = S(0) est appele un. En numerotation decimale, on note 2 = S(1), 3 = S(2), 4 = S(3), 5 = S(4),6 = S(5), 7 = S(6), 8 = S(7) et 9 = S(8).

N = 0, 1, 2, 3, . . .

On definit des operations sur N (ce que nous appelerons loi de composition interne dans leprochain chapitre) :

• l’addition +• la multiplication ×Ces operations, i.e. des applications de N × N dans N verifient certaines proprietes dont la

commutativite et l’associativite. De plus, la multiplication est distribitive par rapport a l’addition.A partir de N, on construit Z (construction que nous ne verrons pas en detail) : l’idee est de

donner un oppose a n pour + i.e. creer −n tel que (−n) + n = 0

2) L’ordre naturel dans N :

On definit l’ordre dans N par

x y ⇐⇒ (∃d ∈ N, y = x + d)

C’est ordre est total et compatible avec + et × : si (x, y, z) ∈ N3

x y =⇒ x + z y + z

x y =⇒ xz yz

Theoreme 2 Toute partie non vide de N admet un plus petit element.

Corollaire 2 (Principe de descente infinie de Fermat-1638-) Toute suite decroissante de N

est stationnaire. Il n’existe pas de suite de N strictement decroissante.Toute suite decroissante d’entiers naturels est stationnaire.

Theoreme 3 Toute partie non vide et majoree de N admet un plus grand element.

Corollaire 3 Toute suite croissante majoree d’entiers naturels est stationnaire.

Corollaire 4 Toute partie minoree de Z admet un plus petit element.Toute partie majoree de Z admet un plus grand element.

3) Division euclidienne dans Z

Remarque : • La propriete d’Archimede s’enonce ainsi : Si (a, b) ∈ N2, b =/ 0, il existe n ∈ N tel que

nb > a.• Le resultat reste vrai si a ∈ Z, la demonstration reste la meme.

Theoreme 4 (Division euclidienne dans Z) Soit (a, b) ∈ Z × N∗. Alors il existe un unique

couple (q, r) ∈ N2 tel que

a = bq + r et 0 r < b

q est le quotient et r le reste.

Remarque : Si a ∈ N, q ∈ N.

Corollaire 5 Soit n ∈ N∗. L’ensemble quotient Z/nZ contient n elements qui sont 0, 1,..., n − 1.

21

4) Demonstration par recurrence :

Theoreme 5 (Principe de la demonstration par recurrence) Soit A ⊂ N et P (n) une pro-priete dependant de l’entier n ∈ A.

On note An = k ∈ A, k < n. Si

(∀n ∈ A) ((∀k ∈ An, P (k) ) =⇒ P (n) )

est vraie, alors pour tout n ∈ A, P (n) est vraie.

Remarque : Ainsi, si on veut demontrer par recurrence une propriete P (n), n ∈ A, on prend narbitraire dans A et en supposant les P (k) vraies pour k ∈ A et k < n, on tente de prouver P (n).

Pour n = a = minA, il n’y a aucun k < a dans A ; demontrer P (a) s’appelle amorcer larecurrence.

L’hypothese P (k) vraies pour k ∈ A et k < n s’appelle hypothese de recurrence (HR).Exemple : Un cas est tres frequent : si A = N, P (0) vraie et (∀n ∈ N

∗) (P (n − 1) =⇒ P (n)), alorsP (n) est vraie pour tout n ∈ N.Exercice : • Soient E un ensemble ordonne et (un)n∈N une suite de N. Montrer que cette suite estcroissante si et seulement si pour tout n 0 un un+1.

• Montrer que si n 1, 7 divise 32n+1 + 2n+2.

Corollaire 6 (Recurrence descendante) Soient A = 0, 1, 2, . . . , p, et une propriete P (n)dependant de n ∈ A. Si P (p) est vraie et si

(∀k ∈ 1, 2, . . . n) (P (k) =⇒ P (k − 1))

P (k) est vraie pour tout k ∈ A.

5) Suites definies par recurrence :

Theoreme 6 Soient E un ensemble, A ⊂ N. On note An = k ∈ A; k < n. Soient pour n ∈ N

EAn −→ Efn : (xk)k∈An −→ xn

Alors, il existe une unique suite (xn)n∈A telle que pour tout n ∈ A

xn = fn((xk)k∈An)

admis

Remarque : Il s’agit de construire une suite dont le terme xn est donne en fonction des xk aveck < n. Souvent les premiers termes sont donnes : cela revient a prendre les premieres fn constantes.

Un cas frequent se presente : x0 est donne et on pour tout n ∈ N, ϕn : E −→ E. Il existe uneunique suite (xn)n∈N telle que xn = ϕn(xn−1) pour n 1.Exemple : x1 = 1 et xn = nxn−1 : xn = n!.


Chapitre 2

Ensembles finis. Monoıdes

L’objet de ce chapitre est en partie de comparer la ”grosseur” d’ensembles, les uns par rapportaux autres. Intuitivement, on peut considerer que E et F ont meme taille si E et F sont en bijection.

Definition 35 Deux ensembles E et F sont dits equipotents s’il existe une bijection de E sur F .

De meme, intuitivement, il parait naturel de dire que E est plus petit que F s’il existe uneinjection de E dans F .

Si E est plus petit que F et F plus petit que E, il serait bon que E et F soient equipotents.C’est le cas :

Theoreme 7 (Theoreme de Cantor-Bernstein) Soient E et F deux ensembles. S’il existe uneinjection f : E −→ F et g : F −→ E, E et F sont equipotents. admis

Nous ne contenterons de comparer les ensembles de meme taille que les ensembles 1, 2, . . . , n.

I. Ensembles finis

Definition 36 Soit E un ensemble. On dit que E est fini si E est vide ou s’il existe n ∈ N∗ et une

bijection f : E −→ 1, 2, . . . , n = [[1, n]]. Si E n’est pas fini, on dit que E est infini.

Exemple : 1, 2, . . . , n est fini.

1) Cardinal d’un ensemble fini :

Theoreme 8 Soit (p, q) ∈ N∗2. Si E est bijection avec [[1, p]] et [[1, q]], alors p = q.

Definition 37 Avec les hypotheses du theoreme precedent, cet entier p s’appelle le cardinal de E.On le note CardE. Par convention, Card ∅ = 0

Exemple : Card1, 2, . . . , n = n

Remarque : Si E et F sont equipotents, E fini, alors F est fini et CardE = CardF .Si E est fini de cardinal n, on peut ecrire E = x1, . . . , xn avec xi =/ xj si i =/ j.

2) Partie d’un ensemble fini :

Proposition 20 Soient E un ensemble fini et A ⊂ E. Alors, A est fini et CardA CardE. Deplus, si CardA = CardE, A = E.

24 CHAPITRE 2. ENSEMBLES FINIS. MONOIDES

Theoreme 9 Soient E un ensemble, A et B deux parties finies de E. Alors A ∪ B est finie et

Card(A ∪ B) = CardA + CardB − Card(A ∩ B)

En particulier, si A et B sont disjoints Card(A ∪ B) = CardA + CardB.

Remarque : Extension a une reunion finie

3) Ensembles finis et applications :

Remarque : Si E et F sont en bijection (on dit que E et F sont equipotents), E et F sont tous lesdeux finis, ou tous les deux infinis. S’ils sont finis, ils ont meme cardinal.

Proposition 21 Soit f : E −→ F , E fini. Alors f(E) est fini et Card f(E) CardE. De plus, siCard f(E) = CardE, f est injective.

Application : Principe de Dirichlet

Theoreme 10 Soit f : E −→ F . On suppose E et F finis de meme cardinal. Les trois propositionssuivantes sont equivalentes :

(i) f est injective.(ii) f est surjective.(iii) f est bijective.

Corollaire 7 Soit E un ensemble fini, f : E −→ E. Alors

f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective.

Corollaire 8 N est infini.

Corollaire 9 Soit E un ensemble.Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) E infini ;(ii) Il existe f : N −→ E injective.(iii) Il existe dans E une suite (xn)n∈N d’elements 2 a 2 distincts.

4) Produit d’ensembles finis :

Proposition 22 Soient E et F deux ensembles finis. Alors E × F est fini et Card(E × F ) =CardE × CardF .

Remarque : Cardinal de En si E fini.

Proposition 23 Soient E et F deux ensembles finis. Alors F(E, F ) est fini et CardF(E, F ) =CardFCard E.

5) Ensembles finis totalement ordonnes :

Proposition 24 Un ensemble fini non vide totalement ordonne admet un plus petit et un plusgrand element.

Proposition 25 Soit E un ensemble fini totalement ordonne de cardinal n. Il existe une uniquefamille (x1, . . . , xn) de E telle que

E = x1, x2, . . . , xn et x1 < x2 < . . . < xn.

On ecrit E = x1 < x2 < . . . < xn.

25

II. Loi de composition interne

1) Definition :

Definition 38 Soit E un ensemble.On appelle loi de composition interne (l.c.i.) toute application

E × E −→ E∗ : (x, y) −→ x ∗ y

Si x et y sont dans E, x ∗ y est appele compose de x et y.

Notation : On note rarement les composes de maniere fonctionnelle. On utilise plutot les symbolesde composition ∗, ⊥, ...

Si on utilise le symbole de composition +, on dit que la loi est notee additivement.Si on utilise le symbole de composition × ou ., ou si on omet tout symbole, on dit que la loi est

notee multiplicativement.Remarque : A l’aide des parantheses, on peut considerer une sucession de composition : (x∗(y∗z))∗u.Notation : Soient E un ensemble muni d’une l.c.i ∗, A ⊂ E, B ⊂ E. On note

A ∗ B = x ∈ E, ∃a ∈ A,∃b ∈ B, x = a ∗ b

Si a ∈ E,

a ∗ B = x ∈ E, ∃b ∈ B, x = a ∗ b et B ∗ a = x ∈ E, ∃b ∈ B, x = b ∗ a

Exemple : • + et × sont des l.c.i pour N, Z.• Soit X un ensemble. Alors ∪ et ∩ sont des l.c.i de P(X).• Soit X un ensemble. Alors est une l.c.i sur F(X).

∗ Exemple : + et × sont des l.c.i pour Q, R et C.

2) Loi naturelle sur Z/nZ, sur R/2πZ :

On peut definir sur Z/nZ et R/2πZ une loi quotient + : x+ y = x + y. Cette loi est bien definie.dem

Multiplication sur Z/nZ. Cas de R/2πZ.

3) Associativite et commutativite :

Definition 39 Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i.On dit que ∗ est associative si pour tout (x, y, z) ∈ E3, on a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Exemple : Les l.c.i donnes en exemple en 1) sont associatives.Exemple : + est commutative sur Z/nZ.Remarque : La plupart des l.c.i que nous rencontrerons sont associatives.

Si ∗ est associative, on note x ∗ y ∗ z pour (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Definition 40 Soient (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i et (x, y) ∈ E2.On dit que x et y commutent si x ∗ y = y ∗ x. Si pour tout couple (u, v) de E2, u ∗ v = v ∗ u,

on dit que ∗ est commutative.


Exemple : • + et × sont des l.c.i commutatives pour N, Z.• Soit X un ensemble. Alors ∪ et ∩ sont des l.c.i commutatives de P(X).• + est commutative sur Z/nZ.

∗ Exemple : + et × sont des l.c.i associatives pour Q, R et C.Remarque : En general, n’est pas une loi commutative de F(X). ex

Notation : En general, nous noterons additivement les l.c.i commutatives. Les autres seront noteesmultiplicativement ou avec un autre symbole.

4) Element neutre :

Definition 41 Soient (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i, e ∈ E.On dit que e est element neutre de E si pour tout x ∈ E, e ∗ x = x ∗ e = x.

Remarque : En general, l’existence d’element neutre n’est pas assuree : par exemple pour (2N,×).Exemple : • 0 est element neutre pour (N,+), (Z,+).

• 1 est element neutre pour (N,×) et (Z,×).• X est element neutre pour (P(X),∩).• ∅ est element neutre pour (P(X),∪).• IX est element neutre pour (F(X), ).• 0 est element neutre dans Z/nZ.

Proposition 26 Si (E, ∗) est un ensemble muni d’une l.c.i admettant un element neutre e, alorse est l’unique element neutre de E.

Notation : Lorsqu’une loi est notee additivement (resp. multiplicativement), on notera 0 (resp. 1)son element neutre.

III. Monoıdes

1) Generalites :

Definition 42 Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i.On dit que E est un monoıde si ∗ est associative et admet un element neutre.

Exemple : (N,+), (Z,+), (P(X),∩), (P(X),∪) sont des monoıdes commutatifs. (F(X), ) est engeneral un monoıde non commutatif. Z/nZ est un monoıde.Exemple : 1. Soient M1 et M2 deux monoıdes. Montrer que

(x1, x2) ∗ (y1, y2) = (x1y1, x2y2)

ou (x1, y1) ∈ M21 et (x2, y2) ∈ M2

2 definit sur M1 × M2 une structure de monoıde.2. M I = F(I, M) est un monoıde (definition des lois).Sauf mention explicite du contraire, nous noterons les lois des monoıdes multiplicativement.

Son element neutre sera note 1.

2) Compose d’une famille d’elements :

Soit I un ensemble fini totalement ordonne non vide. Nous avons vu en I.5) que l’on pouvaitecrire I = i1 < i2 < . . . < in. Soient M un monoıde multiplicatif et (xi)i∈I une famille de M . Ondefinit la suite (Xk)k∈[[0,n]] par :

X0 = 1 et Xk = xik × Xk−1 pour tout k ∈ [[1, n]]

27

Definition 43 On appelle compose de la famille des xi l’element Xn. On le note∏

i∈I xi.

Convention : Si I = ∅,∏

i∈I xi = 1.Notation : Si la loi est notee additivement, on notera le compose des xi

∑

i∈I xi.Si I = [[1, n]], on note parfois

∏ni=1 xi ou

∑ni=1 xi.

Theoreme 11 Si les xi commutent deux a deux (i.e. si (i, j) ∈ I2, xixj = xjxi),∏

i∈I xi ne dependpas de l’ordre total de I.

Remarque : • Ce theoreme permet donc de definir le compose d’une famille (xi)i∈I (I fini) ou lesxi commutent deux a deux : on choisit un ordre total arbitraire sur I et le compose des xi sera lecompose relatif a cet ordre.

• Dans l’expression∏

i∈I xi, i est un ”indice muet”, il peut etre change par n’importe quel autresymbole.

3) Proprietes des composes :

Soit M un monoıde multiplicatif.

Proposition 27 (Formule de changement de variable) Soient (xi)i∈I une famille finie (i.e.I est fini) d’elements de M commutant deux a deux, ϕ : J −→ I une bijection. Alors :

∏

i∈I

xi =∏

j∈J

xϕ(j)

Exemple :∏n

i=1 xi =∏n−1

j=0 xj+1 ; ici ϕ : j ∈ [[0, n − 1]] −→ j + 1 ∈ [[1, n]] et on ecrit que l’on a faitle changement de variables i = j + 1.

Proposition 28 Soient m n deux entiers. Alors :

n∑

k=m

k =(m + n)(m − n + 1)

2

Theoreme 12 (Formule d’associativite) Soient (xi)i∈I une famille finie d’element de M com-mutant deux a deux, (Jk)k∈K une partition de I. Alors

∏

i∈I

xi =∏

k∈K

∏

j∈Jk

xj

Exemple : • Soit (xi,j)(i,j)∈I×J une famille finie d’elements de M commutant deux a deux. On a

∏

(i,j)∈I×J

xi,j =∏

i∈I

∏

j∈J

xi,j =∏

j∈J

∏

i∈I

xi,j

• Soient (xi)i∈I et (yi)i∈I deux familles finies de M . On suppose que pour tout i ∈ I et j ∈ J ,xixj = xjxi, yiyj = yjyi et xiyj = yjxi. Alors

(∏

i∈I

xi)(∏

i∈I

yi) =∏

i∈I

xiyi


4) Puissances entieres :

Soit M un monoıde multiplicatif.

Definition 44 Soient a ∈ M , n ∈ N. On definit

an =n∏

i=1

a = aa . . . a︸︷︷︸

n facteurs

En particulier, a0 = 1.

Proposition 29 Soient (a, b) ∈ M2, (n, p) ∈ N2. On a

1. anap = an+p ;2. (an)p = anp ;3. (ab)n = anbn si a et b commutent.

Remarque :∏

i∈I ani = a∑

i∈I ni et(∏

i∈I ai)n =∏

i∈I ani

5) Familles a support fini :

Il s’agit d’etendre la notation∏

i∈I xi pour I infini.

Definition 45 Soit (xi)i∈I une famille de M . On appelle support de cette famille l’ensemble S =i ∈ I, xi =/ 1. Si S est fini, on dit que (xi)i∈I est une famille a support fini.

Definition 46 Soient (xi)i∈I une famille d’elements de M commutant deux a deux a support fini.On appelle compose des xi l’element

∏

i∈S xi qui est note∏

i∈I xi.

Remarque : Les theoremes vus en 3) (changement de variables et associativite) s’etendent auxfamilles a support fini.

6) Numeration en base D, D 2 :

Nous allons decrire le systeme de numeration decimal. On note 2 = 1+1, 3 = 2+1,..., 9 = 8+1.Ce sont les chiffres arabes. On note D = 9 + 1 (”dix”).

Fixons N ∈ N. Alors il existe un unique r ∈ N et une unique suite (a0, a1, . . . , ar) de 0, 1, . . . , 9tels que :

N =r∑

k=0

akDk avec ar =/ 0.

On peut ecrire plus rapidement qu’il existe une unique suite a support fini (an)n∈N de 0, 1, . . . , 9telle que :

N =∑

k∈N

akDk

A chaque ak correspond un unique symbole αk parmi 0, 1, 2,...,9. On notera alors :

N = αrαr−1 . . . α1α0

C’est la numeration decimale de N . De maniere plus generale, on a :

29

Theoreme 13 Soit d ∈ N. Pour tout N ∈ N∗, il existe une unique suite (an)n∈N d’entiers a support

fini telle que an ∈ 0, 1, . . . d − 1 pour tout n ∈ N et

N =∑

n∈N

andn =+∞∑

n=0

andn

ce qui peut s’ecrire aussi de maniere unique N =∑r

k=0 akdk avec ar =/ 0.

Si pour chaque element de 0, 1, . . . d − 1, on s’est donne un symbole, a chaque ak correspondun unique symbole αk parmi 0, 1, 2,...,d − 1 et N = αrαr−1 . . . α1α0 est l’ecriture en base d del’entier N .

Si d = 2, on parle de numeration binaire qui sert aux ordinateurs. Si d = 16, c’est la numerationhexadecimale (utile en informatique). Il est alors necessaire d’ajouter 6 nouveaux symboles : 10 = A,11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E et 15 = F .

Cas des entiers negatifs.Exercice : conversion base 10 vers base D et reciproquement.

IV. Elements reguliers, elements inversibles

1) Elements inversibles :

Soit M un monoıde.

Definition 47 Soit a ∈ M .On dit que a est inversible a gauche (resp. a droite) s’il existe b ∈ M tel que ba = 1 (resp.

ab = 1). Si a est inversible a gauche et a droite, on dit que a est inversible.

Proposition 30 Soient a un element inversible de M , (b, c) ∈ M2 tel que ab = ca = 1.Alors b = c et b s’appelle l’inverse de a. On le note a−1.

Exercice : Si ab est inversible, montrer que a et b sont inversibles.Remarque : Si la loi est notee additivement, on parlera plus volontiers d’oppose que d’inverse, et ilsera note −a au lieu de a−1.Exemple : • Dans (Z,+), l’oppose de n est −n.

• Dans (N,×), seul 1 est inversible.• Soit a

b ∈ Q, a =/ 0. Alors ab est inversible, d’inverse b

a .• Oppose et inverse dans Z/nZ.

2) Proprietes des elements inversibles :

Proposition 31 Soient a et b dans M inversibles. Alors1. 1 est inversible ;2. ab est inversible et (ab)−1 = b−1a−1 ;3. a−1 est inversible et (a−1)−1 = a.

Proposition 32 Soient A ⊂ M et x inversible dans M . Si x commute avec A, x−1 commute aussiavec A.

Remarque : Si x et y commutent, il en va de meme de x−1 et y−1. Si les xi commutent deux a deux(∏

i∈I xi)−1 =∏

i∈I x−1i .


3) Puissances entieres d’un element inversible :

Definition 48 Soient a ∈ M inversible et n ∈ N. On note alors a−n = (a−1)n = (an)−1.

Remarque : La proposition vue en III.4) est vraie pour a et b inversibles et (n, p) ∈ Z2.

4) Elements reguliers :

Definition 49 Soit a ∈ M . On dit que a est regulier a gauche (resp. a droite) si

(∀(x, y) ∈ M2)(ax = ay =⇒ x = y)

et respectivement

(∀(x, y) ∈ M2)(xa = ya =⇒ x = y)

Si a est regulier a gauche et a droite, on dit que a est regulier.

Exemple : L’element neutre est toujours regulier. Dans (N,+), tous les elements sont reguliers.Dans (N,×), tous les elements sont reguliers sauf 0.

Proposition 33 Soit a ∈ M . Si a est inversible a gauche (resp. a droite), a est regulier a gauche(resp. a droite).

Corollaire 10 Si a est inversible, a est regulier.

Exercice : Soit a ∈ M . On suppose M fini. Montrer que les 4 propositions suivantes sontequivalentes :

(i) a regulier a droite ;(ii) a regulier a gauche ;(iii) a inversible a droite ;(iv) a inversible a gauche.En particulier, verifier que si a est regulier, a est inversible.

V. Sous Monoıdes, morphismes

1) Notion de sous-monoıde, exemples :

Definition 50 Soit M ′ ⊂ M . M ′ est un sous-monoıde de M si∗ 1 ∈ M ′ ;∗ pour tout (x, y) ∈ M ′2, xy ∈ M ′ (on dit M ′ est stable par la l.c.i).

Remarque : M ′ muni de la restriction de la l.c.i est un monoıde.Exemple : • 1 est un sous-monoıde de M .

• N est sous-monoıde de (Z,+) et de (Z,×).• 2N est un sous-monoıde de (N,+)• Soient X un ensemble et A ⊂ X. On a P(A) ⊂ P(X). P(A) est un sous-monoıde de (P(X),∪).• Soient M un monoıde et A ⊂ M . On note

C(A) = x ∈ M, (∀a ∈ A)(xa = ax)

le commutant de A. Alors C(A) est un sous-monoıde de M .• Soient M un monoıde et M× l’ensemble des elements de M inversibles. Alors M× est un

sous-monoıde de M .Remarque : Si xi ∈ M ′, sous-monoıde de M , alors

∏

i∈I xi ∈ M ′.

31

2) Morphismes de monoıdes :

Definition 51 Soient M et N deux monoıdes, f : M −→ N .f est un morphisme (de monoıdes) si1. f(1) = 1 ;2. pour tout (x, y) ∈ M2, f(xy) = f(x)f(y).

Remarque : Soient M ′ et N ′ des sous-monoıdes de M et N respectivement, f : M −→ N unmorphisme. Alors f|M ′ : M ′ −→ N est un morphisme. Si f(M) ⊂ N ′, alors x ∈ M −→ f(x) ∈ N ′

est un morphisme.Exemple : • f : x ∈ N −→ 2x ∈ N est un morphisme pour +.

• f : x ∈ R(+) −→ ex ∈ R∗(×) est un morphisme.

Remarque : • Soit (xi)i∈I une famille a support fini, les xi commutant deux a deux. Alorsf(

∏

i∈I xi) =∏

i∈I f(xi)• Soient f : M −→ N un morphisme, a ∈ M , n ∈ N. Alors f(an) = f(a)n. Si a est inversible,

f(a−1) = f(a)−1 cette formule reste vraie pour n ∈ Z.

Proposition 34 Soient f : M −→ N et g : N −→ P deux morphismes.1. IM est un morphisme de M dans M ;2. g f est un morphisme de M dans P .

Proposition 35 Soient M et N deux monoıdes et f : M −→ N un morphisme, M ′ (resp. N ′) unsous-monoıde de M (resp. N).

1. f(M ′) est un sous-monoıde de N note Im f

2. f−1(N ′) est un sous-monoıde de M .

3) Isomorphisme :

Proposition 36 Soit f : M −→ N un morphisme bijectif. Alors f−1 est un morphisme de N dansM .

Definition 52 Soit f : M −→ N un morphisme bijectif.On dit que f est un isomorphisme de M dans N et que M et N sont isomorphes. On note alors

M N .

Remarque : Si f : M −→ N et g : N −→ P sont des isomorphismes, g f est un isomorphisme. Sih est un isomorphisme, h−1 aussi.

Ainsi si M N et N P , M P (transitivite). Si M N alors N M (symetrie).Exercice : Soit X un ensemble. Montrer que les monoıdes (P(X),∪) et (P(X),∩) sont isomorphes.Remarque : Expliquer ce qu’est un isomorphisme...

VI. Analyse combinatoire

1) Principe des bergers :

Rappelons le resultat suivant demontre en I.

Proposition 37 (Principe des bergers) Soient E un ensemble fini, f : E −→ F .1. Si (Ei)i∈I une partition de E, CardE =

∑

i∈I CardEi (formule de la somme).2. On a CardE =

∑

y∈F Card f<−1>(y) (formule du quotient).

Proposition 38 Soit E un ensemble fini de cardinal n. Alors P(E) est fini et est de cardinal 2n.


2) Arrangements :

Proposition 39 Soient E un ensemble a p elements et F un ensemble a n elements. Le nombred’applications injectives de E dans F est 0 si p > n, et Ap

n = n.(n− 1). . . . (n− p+2).(n− p+1) =n!

(n−p)! si p n.

Remarque : Ainsi, si n p, Apn est le nombre de p-uplets d’un ensemble F , CardE = n, compose

d’elements deux a deux distincts. Ces p-uplets sont appeles arrangements.

Definition 53 Soit E un ensemble. On appelle permutation de E toute application de E danslui-meme.

Corollaire 11 Soit E un ensemble fini de cardinal n. Le nombre de permutations de E dans Eest n!.

3) Combinaisons :

Definition 54 Etant donne un ensemble a n elements, on appelle combinaison de p objets de Etoute partie de E a p elements.

Si p n, on note Cpn le nombre de combinaisons de E a p elements.

Proposition 40 Soit E un ensemble a n elements. Alors

Cpn =

Apn

p!=

n!p!(n − p)!

Remarque : Cpn ne depend pas de E.

Proposition 41 Soit p n.1. Cp

n = Cn−pn .

2. Si 0 < p < n, Cpn = Cp

n−1 + Cp−1n−1.

3. Si 1 p n, pCpn = nCp−1

n−1.4.

∑np=0 Cp

n = 2n.

Remarque : Triangle de Pascal, pCpn = nCp−1

n−1.Exercice : Soient E un ensemble fini a n elements, p ∈ N.

1. Montrer que le nombre d’applications u : E −→ [[0, p]] telle∑

x∈E u(x) p est Cnn+p = Cp

n+p.2. Montrer que le nombre d’applications u : E −→ [[0, p]] telle

∑

x∈E u(x) = p est Cn−1n+p−1 =

Cpn+p−1.

VII. Complements : ensembles denombrables

Definition 55 Soit E un ensemble. On dit que E est denombrable si E est fini ou s’il existe unebijection de N sur E. Dans le cas contraire on dit que E est indenombrable.

Exemple : N est denombrable. Toute partie de N est denombrable.Remarque : Tout ensemble infini contient un ensemble denombrable non fini.Exemple : Z est denombrable.

Lemme 1 Si A ⊂ N, A est denombrable.

Proposition 42 E est denombrable si et seulement si, il existe une surjection de N sur E.

Proposition 43 Soient E et F deux ensembles denombrables. Alors E × F est denombrable.

33

Remarque : Cette proposition s’etend a un produit cartesien de n ensembles.Remarque : L’application :

N × N −→ N

f : (k, l) −→ l + (k+l)(k+l+1)2

est bijectiveExemple : Q est denombrable. R est indenombrable. P(N) est indenombrable.

Corollaire 12 Soit I denombrable, et (Ei)i∈I une famille d’ensembles denombrables. Alors⋃

i∈I Ei

est denombrable.


Chapitre 3

Groupes

• Soit E = a, b, c, d de cardinal 4. Construire l’ensemble G1 des permutations e = IE , σ1 =(ab), σ2 = (cd) et τ = (ab)(cd). Faire la table de multiplication. Constater que G1 est un monoıdedont tous les elements sont inversibles.

• Soit G2 = (Z/2Z)2. Expliciter la loi usuelle sur G2. Meme travail que pour G1.• Dans le plan R

2, considerer l’ensemble G3 constitue de l’identite, de la symetrie par rapporta R(1, 0), R(0, 1) et la symetrie par rapport a (0, 0). Meme travail que precedemment.

• G1, G2 et G3 sont des ”groupes” dont la table de multiplication est semblable. Ils represententd’une certaine maniere le meme groupe dont les proprietes algebriques sont independantes de lanature des elements de G1, G2, G3. D’ou le besoin d’une definition generale du concept de groupe.Ce point de vue, tres moderne fut adopte en premier par Gauss. Historiquement, l’emergence dece concept va de concert avec le developpement de certains domaines :

1. La resolution des equations polynomiales passe par l’etude des groupes de permutations desracines de ces polynomes. Ils apparaissent dans les travaux de Lagrange et surtout ceux de Galois.

2. Nouvelles geometries (classees par Cayley qui utilise la premiere fois le terme de groupe).3. La theorie des nombres (Euler et Gauss etudierent les congruences et utilisent implicitement

des proprietes des groupes).

I. Groupes. Morphismes de groupes


Definition 56 On appelle groupe tout monoıde dont chaque element est inversible. Un groupe estdit commutatif (ou abelien) si la loi est commutative.

Un groupe G est dit d’ordre fini s’il est fini. Dans le cas contraire, on dit que G est d’ordreinfini.

Remarque : Si G est d’ordre fini, CardG est parfois appele ordre de G.Remarque : Dans un groupe, tout element est regulier.

Proposition 44 Soit M un monoıde fini dont tout element est regulier. Alors M est un groupe.

Exemple : • (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) sont des groupes abeliens.• (Q∗,×), (R∗,×), (C∗,×) sont des groupes abeliens.• Si G1 et G2 sont des groupes, G1 × G2 est un groupe. exemple de Z

2.• Si G est un groupe, F(X, G) est muni d’une structure de groupes.

Exemple : Groupe symetrique : soit E un ensemble. On note SE l’ensemble des permutations. Nousavons vu au chapitre 2 IV. 5) que confere a SE une structure de groupe. De plus, si E est fini,dem

36 CHAPITRE 3. GROUPES

SE est d’ordre fini egal a (CardE)!.On note Sn pour S[[1,n]]. C’est un groupe fini de cardinal n!.

Definition 57 SE est appele groupe symetrique de E et Sn groupe symetrique d’ordre n.

Exemple : La loi de composition externe + definie sur Z/nZ lui confere une structure de groupeabelien : 0 est element neutre, l’oppose de x est −x = n − x.

Proposition 45 Z/nZ est un groupe abelien de cardinal n.

Exemple : Structure de groupes sur R/2πZ.

2) Sous-groupes :

Definition 58 Soient G un groupe et H ⊂ G. H est un sous-groupe de G si1. 1 ∈ G ;2. pour tout (x, y) ∈ H2, xy ∈ H ;3. pour tout x ∈ H, x−1 ∈ H.

Remarque : Si H est un sous-groupe, la restriction de la loi de G a H confere la structure de groupea H.

Pour montrer qu’un ensemble est un groupe, on aura souvent avantage a le voir comme sous-groupe d’un groupe le contenant.Exemple : • 1 et G sont des sous-groupes de G.

• Pour tout n ∈ Z, nZ est un sous-groupe de Z.• H = σ ∈ Sn, σ(1) = 1 est un sous-groupe de Sn.

Remarque : Si les xi ∈ H, il en va de meme de∏

i∈I xi. Si x ∈ H, pour tout n ∈ Z, xn ∈ H.Exercice : Soit G un groupe. Montrer que

C(G) = h ∈ G,∀g ∈ G, gh = hg

est un sous-groupe de G. Ce sous-groupe est appele centre de G.∗ Exemple : I(P), ensemble des isometries d’un plan euclidien est un sous-groupe de SP . C’est enparticulier un groupe pour la loi

3) Morphismes de groupes :

Definition 59 Soit G et G′ deux groupes, f : G −→ G′. f est un morphisme de groupe si pourtout (x, y) ∈ G2, f(xy) = f(x)f(y).

Remarque : • f(1) = 1 et f(x−1) = f(x)−1.• f est un morphisme de groupes des que f est un morphisme de monoıdes. De plus, f(x−1) =

f(x)−1 et plus generalement, f(xn) = f(x)n (n ∈ Z).Si H ⊂ G est un sous-groupe, f|H est un morphisme de groupe de H dans G′. Enfin, si H ′ est

un sous-groupe de G′ contenant dans Im f , f ′ : G −→ H ′ est un morphisme de groupes.Exemple : • Soient n ∈ Z et G un groupe abelien. Alors f : x ∈ G −→ xn ∈ G est un morphismede G dans lui-meme.

• Soit G un groupe, h ∈ H. Alors

G −→ Gf : g −→ hgh−1

est un morphisme du groupe G : c’est un morphisme de conjugaison.• Soit O un point du plan euclidien. L’application θ ∈ R −→ RO,θ est un morphisme de R dans

I(P).

37

Proposition 46 Soient G, H, K trois groupes, f : G −→ H, g : H −→ K deux morphismes degroupes.

1. IG est un morphisme du groupe G.2. g f est un morphisme du groupe de G dans K.3. Si f est bijectif, f−1 est un morphisme du groupe H dans G.

Definition 60 Soit f : G −→ H un morphisme de groupe. f est un isomorphisme si f est bijectif.G et H sont alors dit isomorphes et on note G H.

Remarque : La relation ”etre isomorphes” est reflexive, symetrique, transitive.

Definition 61 Soit G un groupe.Un automorphisme de G est un isomorphisme de G sur G. On note AutG l’ensemble des

automorphismes de G.

Exercice : Montrer que le groupe H = σ ∈ Sn, σ(n) = n est isomorphe a Sn−1.

4) Image directe et image reciproque d’un morphisme :

Proposition 47 Soient G et H deux groupes et f : G −→ H un morphisme, G′ (resp. H ′) unsous-groupe de G (resp. H).

1. f(G′) est un sous-groupe de H.2. f−1(H ′) est un sous-groupe de G.

Definition 62 Soit f : G −→ H un morphisme de groupes. On appelle noyau de f la partieker f = x ∈ G, f(x) = 1.Remarque : Im f = f(G) est un sous-groupe de H et ker f est un sous-groupe de G

Proposition 48 Soit f : G −→ H un morphisme de groupes. Alors f est injective si, et seulementsi ker f = 1.

II. Sous-groupe engendre

1) Intersection de sous-groupes :

Proposition 49 Soient G un groupe et (Hk)k∈K une famille de sous-groupes de G. Alors⋂

k∈K Hk

est un sous-groupes de G.

2) Definition :

Definition 63 Soit A une partie d’un groupe G et H = H ⊂ G, H sous-groupe de G, H ⊃ A =/ ∅.On appelle

H0 =⋂

H∈HH

le sous-groupe engendre par A.

Remarque : Au sens de l’inclusion, H0 est le plus petit sous-groupe contenant A. Si A ⊂ H, ou Hest un sous-groupe de G, H0 ⊂ H.Exemple : Soit n ∈ Z. Alors nZ est le sous-groupe engendre de Z engendre par n. dem

Definition 64 Soit (xi)i∈I une famille d’un groupe G. On appelle sous-groupe engendre par les xi

le sous-groupe engendre par xi ∈ G, i ∈ I.


Remarque : Si la famille est reduite a un element a, le sous-groupe engendre est ak, k ∈ Z.Exemple : Le sous-groupe engendre par 2π dans R est 2πZ.

Definition 65 Soit A une partie du groupe G. On dit que A engendre G si le sous-groupe engendrepar A est G tout entier.

3) Determination du sous-groupe engendre :

Theoreme 14 Soit A une partie d’un groupe (G,×).Le sous-groupe engendre par A est l’ensemble des elements qui s’ecrivent comme produit

d’elements de A ou d’inverses d’elements de A.

Theoreme 15 Soient (G, +) un groupe abelien, (xi)i∈I une famille de G. Le sous-groupe engendrepar les xi est forme des elements du type

∑

i∈I nixi ou (ni)i∈I est une famille a support fini de Z.

Exercice : Ecrire ce theoreme dans le cas ou la loi est notee de maniere multiplicative.Remarque : Au lieu de supposer G abelien, on peut seulement supposer que les xi commutent deuxa deux.

III. Le groupe additif Z

1) Sous-groupes de Z :

Z est muni de deux operations + et ×. Pour +, Z est un groupe abelien. Les nZ (n ∈ Z) sontdes sous-groupes de Z. On a

nZ = n′Z ⇐⇒ n = ±n′

nZ est engendre par n. Y a t-il d’autres sous-groupes ? Le theoreme suivant donne la reponse :

Theoreme 16 Soit H un sous-groupe de (Z,+). Il existe un unique n ∈ N tel que H = nZ.

2) Factorisation des morphismes de Z dans un groupe G :

Theoreme 17 Soit f : Z −→ G un morphisme de groupes.• Si ker f = 0, f etablit un isomorphisme de Z sur Im f :

Im f Z.

• Si f n’est pas injective, il existe un unique n ∈ N∗ tel que ker f = nZ et l’application

f : k ∈ Z/nZ −→ f(k) ∈ Im f

est bien definie et est un isomorphisme de groupes :

Z/nZ Im f.

f est l’isomorphisme canoniquement associe a f .

Exemple : Soit θ ∈ R et f : k ∈ Z −→ kθ ∈ R/2πZ. A quelle condition Im f est-elle finie ?

39

3) Groupes monogenes :

Definition 66 On dit qu’un groupe G est monogene s’il existe a ∈ G tel que a engendre G i.e.

G = an ∈ G, n ∈ Z

Si G est de plus fini, on dit que G est cyclique.

Remarque : Si G est monogene, G est abelien. Tout groupe quotient d’un groupe monogene estmonogene. dem

Exemple : Tout sous-groupe de Z est monogene. Les Z/nZ (n > 0) sont cycliques (et engendre par1).

Theoreme 18 Soient G un groupe monogene engendre par a et

Z −→ Gf : k −→ ak

1. Si G est infini, alors f est un isomorphisme de Z sur G :

G Z

2. Si G est d’ordre fini n, l’isomorphisme canoniquement associe a f , f etablit un isomorphismede Z/nZ sur G :

G Z/nZ

Remarque : Il n’existe que deux types de groupes monogenes : ceux isomorphes a Z et ceux iso-morphes a un Z/nZ. Representation graphique.

IV. Congruence modulo un sous-groupe

1) Theoreme de Lagrange :

Soient G un groupe et H ⊂ G un sous-groupe. On definit alors la relation binaire RH sur Gpar

xRHy ⇐⇒ y ∈ xH(⇐⇒ x−1y ∈ H)

RH est appelee congruence a gauche modulo H.

Proposition 50 RH est une relation d’equivalence.

Lemme 2 Si x ∈ G, xH est la classe de x modulo RH .

Lemme 3 Les classes d’equivalence de RH sont en bijection.

Theoreme 19 (Theoreme de Lagrange) Soient G un groupe fini de cardinal n, H un sous-groupe de cardinal d. Alors d divise n.


2) Ordre d’un element dans un groupe :

Definition 67 Soient G un groupe et a ∈ G. L’ordre de a est le cardinal du sous-groupe engendrepar a.

Notons Ha ce sous-groupe, A = k > 0, ah = 1.• Supposons Ha infini. Alors Ha Z et a est dit d’ordre infini. On est dans le cas 1 du theoreme

precedent. Ainsi A = ∅ et

ak = 1 ⇐⇒ k = 0

ak = al ⇐⇒ k = l

• Supposons Ha fini d’ordre n. a est d’ordre fini n. Alors Ha Z/nZ : on est dans le cas 2 dutheoreme precedent. A =/ ∅ et n est le plus petit element de A. Ainsi

ak = 1 ⇐⇒ k ∈ nZ

ak = al ⇐⇒ k ≡ l mod n

Theoreme 20 Soit G un groupe de cardinal n.1. L’ordre de tout element de G divise n.2. Soit a ∈ G. Alors an = 1.

3) Relations compatibles avec une l.c.i :

Definition 68 Soient (M, ∗) un monoıde et R une relation d’equivalence. On dit que R est com-patible avec la loi de M si pour tout x, y et a dans M , on a

x ≡ y mod R =⇒ ∗ § ≡ ∗ † mod R et § ∗ ≡ † ∗ mod R

Exemple : Soit n > 0. Sur (Z,+), la relation ”de difference divisible par n”, ou congruence modulon est une relation d’equivalence compatible avec +.dem

Definition 69 Sur M/R, si ∗ est compatible avec M , on peut definir une loi en posant pourx, y ∈ M

x ∗ y = x + y.

Cette loi est appele loi quotient de M/R.

Remarque : Cette loi est associative. Element neutre.

V. Le groupe symetrique Sn

• Soit E un ensemble. Alors SE , l’ensemble des permutations de E est un groupe pour . Si Eest fini, SE est d’ordre (CardE)!.

Soit G un groupe, AutG, l’ensemble des automorphismes de G est un sous-groupe de SG.Si E = [[1, n]], on note SE , Sn.Si E = a1, a2, ..., an et σ une permutation de E tel que σ(ai) = bi, on note

σ =(

a1 a2 . . . an

b1 b2 . . . bn

)

Probleme : : calculer σ10000.

41

1) Orbite selon une permutation :

Soient E un ensemble fini, σ ∈ SE . Definissons la relation binaire sur SE :

x ∼ y ⇐⇒ (∃k ∈ Z) (y = σk(x))

Proposition 51 ∼ est une relation d’equivalence.

Si x ∈ E, nous noterons Ωx la classe d’equivalence de x appelee aussi orbite de x. On a :

Ωx = σk(x), k ∈ Z

On remarque que Ωx est stable par σ et plus generalement par σk (k ∈ Z).Probleme : A quelle condition sur k et l entiers a t-on

σk(x) = σl(x)

En composant par σ−l, le probleme se remene a trouver les k tel que σk(x) = x. Pour repondrea cette question nous allons introduire

Z −→ Ef : k −→ σk(x)

Alors f(Z) = Ωx. Notons H = f−1x.Definition-Proposition 1 H est un sous-groupe de Z, distinct de 0 et il existe un unique n > 0tel que H = nZ. n est appele ordre de x sous σ. C’est le plus petit entier strictement positif tel queσn(x) = x.

Remarque : Si E est infini, le cas H = 0 est possible.Remarque : On en deduit que σk(x) = x si et seulement si n divise k (i.e. k ∈ nZ) et σk(x) = σl(x)si et seulement si n divise k − l (i.e. k − l ∈ nZ).Alors si k0 est l’ordre de x sous σ, on a

Ωx = x, σ(x), σ2(x), . . . , σk0−1

et le cardinal de l’orbite de x est k0.Remarque : Representation graphique d’une orbite.

2) Cycles :

On reprend les notations du 2). Les differentes orbites de E sous σ forment une partition de E.Elles sont donc en nombre fini, de reunion E, et disjointes deux a deux.

On a x ∈ Ωx. Ωx = x si et seulement si σ(x) = x.

Definition 70 Soient a1,...,ak k elements distincts de E, k 2. La permutation qui associe− a ai (1 i < k) l’element ai+1,− a ak l’element a1,− a tout y /∈ a1, a2, . . . , ak, l’element y,

est appelee cycle et est notee [a1, a2, . . . ak]. L’ensemble a1, a2, . . . ak est le support du cycle et ksa longueur.

Remarque : Une permutation est un cycle si et seulement si elle possede une unique orbite nonreduite a un singleton.

Soit σ un cycle. Notons Ω l’unique orbite non reduite a un point et prenons x ∈ Ω. On a

Ω = x, σ(x), σ2(x), . . . , σk−1(x)

et k est l’ordre de x sous σ.


Definition 71 On appelle transposition de E tout cycle de E de longueur 2.

Une transposition τ est notee [a, b] : τ(a) = b, τ(b) = a et τ(x) = x si x =/ a et x =/ b.Probleme : Un cycle σ est un element du groupe SE . Quel est son ordre ?

Proposition 52 Soit [a1, a2, . . . , an] un cycle. Son ordre dans SE est n.

Exemple : Une transposition est d’ordre 2.

3) Decomposition en cycles a supports disjoints :

Remarque : Soient σ et σ′ deux cycles de E de supports respectifs A et B. Si A ∩ B = ∅, σ et σ′

commutent : σ σ′ = σ′ σ

Theoreme 21 (Decomposition en cycles a supports disjoints) Soient E un ensemble fini,σ ∈ SE. On note Ω1, Ω2,..., Ωk les orbites de E sous σ non reduite a un element. On definit pourtout i ∈ 1, 2, . . . , k, la permatation σi par

σi(x) =

x si x /∈ Ωi

σ(x) si x ∈ Ωi

Alors les σi sont des cycles a supports disjoints, commutant 2 a 2 et

σ = σ1 σ2 . . . σk

Ainsi, pour trouver cette decomposition, l’essentiel du travail est dans la determination desorbites.Exemple : Decomposer en cycles a supports disjoints la permutation

Corollaire 13 Toute permutation de E peut s’ecrire comme compose d’un nombre fini de trans-positions.

Remarque : Il n’y a pas en general unicite.ex

4) Signature :

Theoreme 22 Soit σ ∈ SE. Dans les decompositions de σ en produit de transpositions t1 t2 . . . tn, la parite de n ne depend que de σ.admis

Ce resultat sera etudie en TD.

Definition 72 Avec les notations de la proposition precedente, on appelle signature de σ le nombreε(σ) egal a 1 si n est pair et -1 si n est impair.

Si ε(σ) = 1, σ est une permuation paire, sinon c’est une permutation impaire.

Exemple : L’identite est paire. Une transposition est impaire. La signature de [a1, a2, . . . , an] est 1si n est impair, et −1 si n est pair.

Theoreme 23 Soit E un ensemble fini. La signature

SE −→ −1, 1ε : σ −→ ε(σ)

est un morphisme du groupe (SE , ) dans le groupe (−1, 1,×).

Si CardE 2, la signature est surjective. Le noyau de la signature ker ε est le sous-groupe deSE compose des permutations paires.

Definition 73 Ce sous-groupe est appele groupe alterne de E et est note AE. Si E = [[1, n]], il estnote An.

Remarque : CardAE = Card E!2 .

Chapitre 4

Anneaux

Dans notre etude des Mathematiques, nous rencontrerons beaucoup d’ensembles munis de deuxoperations. Nous en connaissons deja un exemple : Z est muni de deux operations + et ×. Nousverrons plus tard K[X] l’ensemble des polynomes a coefficients dans K. On remarque deja enpensant a Z que + et × ne sont pas independantes : il existe une relation liant ces operations, c’estla distribuvite :

a(x + y) = (x + y)a = ax + ay

Ces ensembles avec ”addition” et ”multiplication” verifient tous certaines proprietes comme lesidentites remarquables. Ils seront appeles ”anneaux”. C’est dans ce cadre general que nous al-lons continuer a voir les regles du calcul algebrique et acquerir des outils essentiels a l’etude del’Arithmetique de Z.

I. Notions elementaires sur les anneaux


Definition 74 Soit A un ensemble muni de deux operations + et ×. On dit que A est un anneausi

1. (A,+) est un groupe abelien ;2. (A,×) est un monoıde ;3. Pour tout (a, x, y) ∈ A3 on a

a(x + y) = ax + ay et (x + y)a = xa + ya (distributivite)

On dit que A est un anneau commutatif si × est une loi commutative.

Notation : On note 0 l’element neutre pour + et 1 l’element neutre pour ×.Exemple : • (Z,+,×) est un anneau commutatif.

• Soient X un ensemble et A un anneau. Alors F(X, A) peut etre muni d’une structure d’an-neau :

f + g : x ∈ X −→ f(x) + g(x) ∈ A et fg : x ∈ X −→ f(x)g(x)

si A est commutatif, il en va de meme de F(X, A). Preciser les elements neutre pour les deuxoperations.

• Z/nZ est un anneau commutatif.Exercice : Soient A et B deux anneaux. Montrer qu’il existe sur une A×B une structure canoniqued’anneau.

44 CHAPITRE 4. ANNEAUX

Proposition 53 Soit A un anneau.Pour tout x ∈ A, 0x = x0 = 0. On a −b = (−1)b = b(−1).

Remarque : •• Si (x, y, a, b) ∈ A, (x + y)(a + b) = xa + ya + xb + yb.

Notation : Soient x ∈ A et n ∈ Z. On note n.x en accord evec les notations du chapitre 3 l’element

x + x + . . . + x︸︷︷︸

n fois

si n 0 et (−n).(−x) sinon.Remarque : Soit a ∈ A. L’application x −→ ax est un endomorphisme du groupe (A,+).dem

Ainsi a(∑

i∈I xi) =∑

i∈I axi, a(n.x) = n.ax...Le cas 1 = 0 n’est pas exclu a priori, mais si tel est le cas, A = 0. Nous supposerons A =/ 0

dans la suite.

2) Sous-anneaux :

Comme nous avons defini les sous-groupes, nous allons definir les sous-anneaux :

Definition 75 Soient A un anneau, B ⊂ A. B est un sous-anneau de A des que1. B est un sous-groupe de (A,+) ;2. B est un sous-monoıde de (A,×).

Ainsi, pour prouver que B est un sous-anneau de A, il faudra verifier que1. 0 ∈ B ;2. Si (x, y) ∈ B2, x + y ∈ B ;3. Si x ∈ B, −x ∈ B ;4. 1 ∈ B ;5. Si (x, y) ∈ B2, xy ∈ B.On peut remarquer que 1. est inutile.dem

Remarque : Un sous-anneau B est stable pour∑

et∏

. De plus, B muni de la restriction des lois+ et × est un anneau.

En fait cette notion de sous-anneau s’averera pour nous peu utile.

3) Ideaux :

Definition 76 Soient A un anneau commutatif, I ⊂ A.I est un ideal si :1. I est un sous-groupe de (A,+) ;2. Pour tout a ∈ A et x ∈ X, on a ax ∈ I .

Ainsi, pour prouver que I est ideal de A, il faudra verifier que1. 0 ∈ B ;2. Si (x, y) ∈ B2, x + y ∈ B ;3. Si x ∈ B, −x ∈ B ;4. Si a ∈ A et x ∈ I , ax ∈ I.Les ideaux sont en Mathematiques et notamment en algebre a la base d’un grand nombre de

resultats. Nous en verrons l’illustration en Arithmetique (chapitre 5) et dans l’etude des polynomes.Exemple : • A et 0 sont des ideaux bilateres de A.

• Si n ∈ Z, nZ est un ideal de Z

45

Remarque : • Si I est un ideal a gauche, xk ∈ I, ak ∈ A, alors

∑

k

akxk ∈ I

• On remarque que si I est un ideal

1 ∈ I ⇐⇒ I = A

Proposition 54 Si I est un ideal de Z, il existe un unique n 0 tel que I = nZ.

4) Morphismes d’anneaux :

Ce sont les applications preservant la structure d’anneau :

Definition 77 Soient A et B deux anneaux, f : A −→ B.On dit que f est un morphisme d’anneaux si :1. f est un morphisme du groupe (A,+) dans le groupe (B,+) ;2. f est un morphisme du monoıde (A,×) dans le monoıde (A,×).

Ainsi, pour verifier que f est un morphisme, il faudra prouver1. f(0) = 0 ;2. f(x + y) = f(x) + f(y) ;3. f(1) = 1 ;4. f(xy) = f(x)f(y) ;En fait, 1. est inutile... Si A = B, on dit que f est un endomorphisme.

Remarque : Si f est un morphisme, f(∑

i xi) =∑

i f(xi), f(∏

i xi) =∏

i f(xi), f(n.x) = n.f(x),f(xn) = f(x)n...Remarque : f injective equivaut a ker f = 0.

Proposition 55 Soient A, B et C trois anneaux, f : A −→ B, g : B −→ C des morphismes.1. IA est un morphisme d’anneaux.2. g f est un morphisme de A dans C.3. Si f est une bijection, f−1 est un morphisme de B dans A.

Definition 78 Un morphisme bijectif d’anneaux est appele isomorphisme. Deux anneaux A et Bsont dits isomorphes s’ils existent un isomorphisme f : A −→ B. On note alors A B.

Remarque : IA est un isomorphisme de A, le composee de deux isomorphismes est un isomorphisme,l’inverse d’un isomorphisme est un isomorphisme. est transitif...

5) Image directe et image reciproque par un morphisme :

Proposition 56 Soit f : A −→ B un morphisme d’anneau.1. Si A′ est un sous-anneau de A, f(A′) est un sous-anneau de B.2. Supposons A et B commutatifs. Si I est un ideal de B, f−1(I) est un ideal de A.

Remarque : Si I est un ideal de B, f−1(I) est un ideal de A.

Corollaire 14 Soit f : A −→ B un morphisme d’anneau. Im f est un sous-anneau de B et ker fest un ideal bilatere de A.


6) Theoreme de factorisation :

Theoreme 24 Soit f : Z −→ A un morphisme d’anneaux.• Si ker f = 0, f etablit un isomorphisme d’anneaux de Z sur Im f :

Im f Z.

• Si f n’est pas injective, il existe un unique n ∈ N∗ tel que ker f = nZ et l’application

f : k ∈ Z/nZ −→ f(k) ∈ Im f

est bien definie et est un isomorphisme d’anneaux :

Z/nZ Im f.

f est l’isomorphisme canoniquement associe a f .

II. Calcul dans un anneau :

Soit A un anneau. Nous allons donner une liste d’identites remarquables bien connues.

Proposition 57 Soient (xi)i∈I et (yj)j∈J deux familles finies. Alors

(∑

i∈I

xi)(∑

j∈J

yj) =∑

(i,j)∈I×J

xiyj

Remarque : Ce resultat s’etend aux familles a support fini.

Proposition 58 Soient (a, b) ∈ A2 et n 1.On suppose ab = ba. Alors

bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2a + . . . + ban−2 + an−1) = (b − a)(n−1∑

k=0

akbn−1−k)

Exemple : b3 + a3 = b3 − (−a)3 = (b + a)(b2 − ab + a2)

Proposition 59 (Formule du binome de Newton) Soient (a, b) ∈ A2 et n 1.On suppose ab = ba. Alors

(a + b)n =n∑

k=0

Ckn.akbn−k

Remarque : Cette derniere identite peut s’ecrire

(a + b)n =n∑

1p,qnp+q=n

n!p!q!

.apbq

et plus generalement, on peut montrer que si les ai commutent deux a deux

(a1 + a2 + . . . + al)n =∑

1p1,p2,...plp1+p2+...+pl=n

n!p1!p2! . . . pl!

ap11 ap2

2 . . . apll

47

III. Ideal engendre :

Cet outil nous permettra sur Z d’etudier les proprietes d’objets comme le pgcd.Dans ce paragraphe A designera un anneau commutatif.

1) Intersection d’ideaux :

Proposition 60 Soit (Ik)k∈K une fammile d’ideaux de A. Alors⋂

k∈K Ik est un ideal de A.

2) Ideal engendre par une partie :

Definition 79 Soit M une partie de A, I l’ensemble des ideaux I de A tels que M ⊂ I ⊂ A. AlorsI est non vide et l’ideal

JM =⋂

I∈II

est appele ideal engendre par M .

Remarque : On a M ⊂ JM . De plus si I est un ideal contenant M , alors I contient JM . Ainsi, JM

est le plus petit ideal contenant M (au sens de l’inclusion !).Exemple : L’ideal engendre par 1 est A tout entier.

Definition 80 Soit (xk)k∈K une famille de A. L’ideal engendre par les xk est l’ideal engendre parxkk∈K .

3) Determination de l’ideal engendre :

Theoreme 25 Soit (xk)k∈K une famille de A. L’ideal engendre par les xk est la partie de A formeedes elements du type

∑

k∈K

akxk

ou (ak)k∈K est une famille de A a support fini (pour +).

Notation : C’est pour cela que l’on le note parfois∑

k∈K Axk.Exemple : • Si n ∈ Z, nZ est l’ideal de Z engendre par n. Les nZ sont les seuls ideaux de l’anneauZ.

• De maniere plus generale, pour tout x ∈ A, Ax est appele ideal principal de A.• L’ideal engendre par x1, x2,...,xn est

Ax1 + Ax2 + . . . + Axn

4) Congruence modulo un ideal :

Soit A un anneau commutatif, I un ideal de A.On peut considerer alors la congruence RI modulo le sous-groupe I de (A,+) :

x ≡ y (mod I) ⇐⇒ y − x ∈ I

. Nous savons que cette relation d’equivalence est compatible avec l’addition +. Mais comme I estun ideal on a


Proposition 61 La congruence RI est compatible avec × :

a ≡ b et x ≡ y =⇒ ax ≡ by,

pour tout a, b, x, y ∈ A.

Definition 81 RI est appelee congruence modulo l’ideal I.

Remarque : Si I est l’ideal engendre par a, I = aA pour montrer que a divise x, il s’agit de montrerque x ≡ 0 (mod I).Remarque : La congruence modulo n ∈ N

∗ est la congruence modulo l’ideal nZ de Z : elle est donccompatible avec la multiplication.Question : La congruence mudulo 2π dans R est-elle compatible avec la multiplication ?Remarque : Montrer qu’en fait on peut munir le groupe quotient A/I d’une structure d’anneauxen definissant une multiplication quotient.

IV. Anneaux integres et corps

1) Diviseurs de zero, anneaux integres :

Soient A un anneau, a ∈ A. On note A∗ = A\0. On a

a regulier a gauche ⇐⇒ (∀x ∈ A∗)(ax =/ 0)

a regulier a droite ⇐⇒ (∀x ∈ A∗)(xa =/ 0)

Ainsi, si a n’est pas regulier, il existe b ∈ A∗ tel que ab = 0 ou ba = 0.

Definition 82 a est un diviseur de zero.

0 n’est pas jamais regulier (0.1 = 0). Dire que tous les elements de A∗ sont reguliers, c’est direque A∗ est stable par multiplication :

x =/ 0 et y =/ 0 =⇒ xy =/ 0

C’est le cas de beaucoup d’anneaux connus : Z, Q, R, C

Definition 83 Un anneau sans diviseur de zero est un anneau dont tous les elements de A∗ sontreguliers. Un anneau integre est un anneau commutatif sans diviseurs de zeros.

∗ Exemple : Si p est premier, Z/pZ est integre. Z/4Z n’est pas integre : 22 = 0Question : A integre implique t-il A × A integre ?

2) Elements inversibles :

Tout element inversible est regulier, ce n’est pas un diviseur de zero.

Proposition 62 Soit A un anneau. On note A× l’ensemble des elements inversible de A.Alors, A× muni de × est un groupe.

Exemple : Z, Z/12Z...

49

3) Corps :

Definition 84 Un anneau K est un corps si tous les elements de K∗ sont inversibles.

Remarque : Si x ∈ K∗, K etant un corps, x n’est pas un diviseur de zero. En particulier :

xy = 0 =⇒ x = 0 ou y = 0.

Proposition 63 K∗ est un groupe pour la multiplication.

∗ Exemple : Q, R et C sont des corps. Si p est premier, Z/pZ est un corps.

Definition 85 Soient K et L deux corps. Un morphisme de corps de K dans L est un morphismede l’anneau K dans l’anneau L.

Remarque : Si f est un morphisme de corps, f(x−1) = f(x)−1. En particulier f est injective.

Proposition 64 Soit A un anneau fini sans diviseurs de zero. Alors A est un corps.

Definition 86 Soient K et L deux corps, M ⊂ K ⊂ L.M est un sous-corps de K si M est un sous-anneau de l’anneau K tel que si x ∈ M∗, x−1 ∈ M .L est un surcorps de K si les l.c.i de L prolonge celles de K.

Remarque : Si L est un surcorps de K, K est un sous-corps de L.Exemple : R est un surcorps de Q et un sous-corps de C.Question : K corps implique t-il K2 corps ?

4) Caracteristique d’un anneau :

Soient A un anneau et

Z −→ Af : k −→ k.1

Proposition 65 f est un morphisme d’anneaux.Notons A0 = Im f . Deux cas sont a distinguer :

• si f est injective, ker f = 0 et par le theoreme d’isomorphisme A0 Z/(0) Z. On dit queA est de caracteristique nulle.

• si ker f = nZ, n > 1, A0 = Z/nZ et on dit que A est de caracteristique n.Le cas ker f = Z est exclu car 1.1 = 1 =/ 0... On voit egalement que A0 est le sous-groupe additif

engendre par 1. En particulier, c’est le plus petit sous-anneau de A.

Proposition 66 Si B est un sous-anneau de A, B et A ont meme caracteristique.

Exemple : Caracteristique de Z, Q, Z/nZ...Exercice : Soit n la carcteristique de A. Que signifie k.1 = 0 ?Conclusion : Tout anneau contient soit Z, soit un Z/nZ.

5) Corps des fractions d’un anneau integre :

Z n’est pas un corps. Cependant, on s’autorise des operations d’inversions en introduisant lesrationnels par la notation a

b . La manipulation de ces objets ne va pas de soi : n’a t-on pas 23 = 4

6 ?Ce qui suit va lever le mystere de la notation rationnelle.

Soit A un anneau. On pensera a Z. Notons E = A × A∗. Sur E, definissons la relation binairesuivante :

(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ ad − bc = 0


Proposition 67 ∼ est une relation d’equivalence.

Notons K = E/ ∼, et ab la classe d’equivalence de (a, b).

Theoreme 26 Sur K, on peut definir des l.c.i de la maniere suivante :

a

b+

c

d=

ad + bc

bd

eta

b

c

d=

ac

bd

K muni de ces deux operations est un corps et

A −→ Kj : a −→ a

1

est un morphisme d’anneaux injectif.

Remarque : • Si ab = c

b alors a = c.• Comme A → K, on peut considerer que A ⊂ K.

Notation : Si a ∈ A, on note a pour a1 . L’inverse de a ∈ A∗ dans K est 1

a .

Definition 87 On appelle corps des rationnels le corps des fractions de l’anneau integre Z. Il estnote Q

Nous verrons plus tard un autre exemple K(X) le corps des fractions de l’ensemble des polynmessur K : le corps des fractions rationnelles a coefficients dans K.

V. Anneaux de matrices carrees de taille 2

1) Presentation de M2(A) :

Soit A un anneau commutatif, K un corps commutatif (on pensera a A = Z et K = Q).

Definition 88 On appelle matrice carree de taille 2 a coefficients dans A tout element M =(mij)(i,j)∈1,22 de A1,2×1,2. On note alors :

M =(

m11 m12

m21 m22

)

On note M2(A) l’ensemble de ces matrices.

Notons pour simplifier B = M2(A). Sur B, on definit les lois de composition interne suivante :

si M =(

a bc d

)

et M ′ =(

a′ b′

c′ d′

)

, on pose :

M + M ′ =(

a + a′ b + b′

c + c′ d + d′

)

et MM ′ =(

aa′ + bc′ ab′ + bd′

ca′ + dc′ cb′ + dd′

)

De plus, on definit une loi de composition externe a coefficients dans A en posant pour tout λ ∈ A :

λM =(

λa λbλc λd

)

Enfin, on pose I2 =(

1 00 1

)

et 0 =(

0 00 0

)

.

51

Theoreme 27 1. B = (M2(A),+,×) est un anneau.2. B est non commutatif, avec des diviseurs de zero.3. Pour tout (λ, µ) ∈ A2, et tout (M, N) ∈ B2, on a :

(λ + µ).M = λ.M + µ.M, λ.(M + N) = λ.M + µ.N, 1A.M = M

λ.(µ.M) = (λµ).M = µ(λM) et λ.(MN) = (λ.M)N = M(λN)

2) Groupe des inversibles de M2(K) :

Definition 89 Soit M =(

a bc d

)

∈ M2(A). On appelle determinant de M le scalaire :

detM = ad − bc ∈ A

Proposition 68 Soient (M, N) ∈ M2(A)2. Alors :

det(MN) = detM detN

Definition 90 On note GL2(A) le groupe des elements inversibles de M2(A).

Theoreme 28 Soit M ∈ M2(A). Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) M ∈ GL2(A) i.e. M est inversible ;(ii) det M ∈ A×.

Dans ces conditions, si M =(

a bc d

)

,

M−1 = (ad − bc)−1.

(d −b−c a

)

Exemple : Soit M ∈ M2(Z). M ∈ GL2(K) si, et seulement si, det M = ±1.

Corollaire 15 Soit M ∈ M2(K). M ∈ GL2(K) si, et seulement si, detM =/ 0.

3) Applications aux systemes lineaires :

Traduction matricielle d’un SL 2-2.Resolution dans le cas ou la matrice du systeme est inversible.


Chapitre 5

Arithmetique de Z

La notion d’anneaux et la conscience des structures de Z et Z/nZ est apparu tres tard (au siecledernier). Mais la theorie des nombres ne les a pas attendus pour offrir ses premiers resultats qui,en fait, justifie a posteriori l’introduction de ces notions plus abstraites.

Au IIIeme siecle apres JC, Diophante fonde d’une certaine maniere la theorie des nombres dansLes Arithmetiques. Il etudie en particulier les solutions des equations entieres ax + by = 1 ou xet y sont inconnues, les conditions necessaires et suffisantes pour qu’un entier soit somme de deuxcarres...Il connaissait par exemple l’identite de Lagrange

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad − bc)2

Il savait que si 4n + 1 est premier, il est somme de deux carres, que 4n + 3 n’est jamais somme dedeux carres... Ces travaux furent repris au XVIIeme siecle par Bachet de Meziriac qui demontra cequ’on appelle le theoreme de Bezout pour les entiers. Mais c’est surtout Pierre de Fermat qui seconsacra a une etude appronfondie des nombres. Contrairement a Diophante qui raisonner sur lesrationnels positifs, il travaille sur Z. Son interet se porte sur la divisibilite et les nombres premiers.Ses resultats les plus celebres, demontres souvent par les mathematiciens du XVIIIeme siecle sont

• le petit theoreme de Fermat : Si p est premier, ap − a est divisible par p.

• l’equation de Pell-Fermat : si A n’est pas un carre parfait x2 + Ay2 = 1 admet une infinite desolutions dans Z.

• les nombres de Fermat Fn = 22n+ 1 qu’il croyait tous premiers (Euler prouva que F5 ne l’est

pas).

• le grand theoreme de Fermat : ”pour n 3, xn + yn = zn n’a pas de solution non trivialedans Z”.

Euler reprendra et generalisera le petit theoreme de Fermat. Lagrange terminera la resolutionde l’equation de Pell-Fermat. Mais c’est Gauss qui en 1801 unifie de nombreux resultats dansDisquisitiones arithmeticae et contribue ainsi a creer une nouvelle discipline avec ses methodespropres. La fin du siecle dernier fut l’occasion d’une etude de la repartition des nombres premiers :Gauss conjectura que si πn designe le nombres de nombres premiers dans [[1, n]], πn ∼ n

ln n auvoisinage de +∞. Riemann et Tchebycheff essayerent en vain de demontrer la conjecture, maisleurs travaux permirent a de la Vallee Poussin et Hadamard d’y parvenir en 1896 (par l’utilisationnotamment de l’analyse complexe).

54 CHAPITRE 5. ARITHMETIQUE DE Z

I. PGCD et PPCM

1) Une approche elementaire :

Sur N, la divisibilite est un ordre partiel :

a|b ⇐⇒ (∃k ∈ N)(b = ak)

On a 0 = max N et si b =/ 0

a|b =⇒ a b

Qu’est que la borne inferieure de a, b ? A priori, cette borne n’existe pas forcement. d est la borneinferieure de a, b si et seulement si d est un minorant i.e. d divise a et b et d est le plus grand detous les minorants i.e.

c|a et c|b =⇒ c|d

Dans ces conditions, d est appele plus grand commun diviseur. Si a et b sont non nuls, les diviseurssont non nuls, et finalement, d est aussi le plus grand diviseur commun au sens de l’ordre naturelde Z.

Qu’est que la borne superieure de a, b ? A priori, cette borne n’existe pas forcement. m est laborne superieure de a, b si et seulement si m est un majorant i.e. m est multiple de a et b et mest le plus petit de tous les majorants i.e.

a|n et b|n =⇒ m|n

Dans ces conditions, m est appele plus petit commun multiple. C’est aussi le plus petit communmultiple au sens de l’ordre naturel.

De maniere generale, on definit le PGCD et le PPCM par

Definition 91 Soit (ai)i∈I une famille de N.Sous reserve d’existence, on appelle PGCD des ai la borne inferieure des ai (au sens de la

divisibilite). Elle est notee pgcdi∈I ai.Sous reserve d’existence, on appelle PPCM des ai la borne superieure des ai (au sens de la

divisibilite). Elle est notee ppcmi∈I ai.

Definition 92 Soit (ai)i∈I une famille de Z. On appelle PGDC des ai le PGCD des |ai|.On appelle PPCM des ai le PPCM des |ai|.

Remarque : En general, dans un anneau A, on peut definir la divisibilite comme dans Z. Comme ladivisibilite est ”presque” un ordre, on peut introduire de maniere analogue un PGCD et un PPCMdefini a un inversible pres... On en verra une illustration avec les polynomes de K[X].

2) Existence du PGCD et PPCM :

Theoreme 29 Soit (ai)i∈I une famille d’entiers.Alors le PGCD des ai existe et c’est le generateur positif d de l’ideal principal

dZ =∑

i∈I

aiZ

De meme le PPCM des ai existe et c’est le generateur positif m de l’ideal principal

mZ =⋂

i∈I

aiZ

55

Remarque : Ce qui assure l’existence ici du PGCD et du PPCM c’est le caractere principal del’anneau Z.Exemple : 4 est le PGCD de 8 et 12 puisque 4Z = 8Z + 12Z.

Proposition 69 (Identite de Bezout) Soient a1,...,an des entiers, d = pgcd(a1, . . . , an). Alors,il existe k1,...,kn dans Z tels que

d = k1a1 + k2a2 + . . . + knan

Remarque : Que devient cette proposition pour une famille infinie (ai)i∈I de Z ?

3) Consequences des proprietes des ordres :

Proposition 70 1. Soit (ai)i∈I une famille de Z, J ⊂ I. Alors

pgcdi∈I ai | pgcdi∈J ai

ppcmi∈J

ai | ppcmi∈I

ai

2. Soient (ai)i∈I et (bi)i∈I deux familles de Z telles que pour tout i, ai divise bi. Alors

pgcdi∈I ai | pgcdi∈I bi

ppcmi∈I

ai | ppcmi∈I

bi

3. Si (Jk)k∈K est un recouvrement de l’ensemble I et (ai)i∈I une famille de Z, on a

pgcdi∈I ai = pgcdk∈K(pgcdj∈Jkaj)

ppcmi∈I

ai = ppcmk∈K

(ppcmj∈Jk

aj)

4) Homogeneıte et relation liant PGCD et PPCM

Proposition 71 Soient I =/ ∅, (ai)i∈I une famille d’entiers, et λ ∈ N∗. Alors

pgcdi∈I(λai) = λ pgcdi∈I(ai)

ppcmi∈I

(λai) = λ ppcmi∈I

(ai)

Reecrire cette proposition dans le cas λ ∈ Z.Remarque : Si pour tout i, 0 δ divise ai, alors

pgcd(ai

δ) =

pgcd(ai)δ

ppcm(ai

δ) =

ppcm(ai)δ

Theoreme 30 Soient m et n deux entiers positifs. Alors

pgcd(m, n) ppcm(m, n) = mn

Remarque : Ainsi, le calcul du PPCM se reduit a celui du PGCD (utile pour le calcul pratique).


II. Nombres premiers entre eux

1) Le theoreme de Bezout :

Definition 93 Soit une famille d’entiers (ai)i∈I . Les ai sont dits premiers entre eux si

pgcdi∈I ai = 1

Remarque : • Les ai sont premiers entre eux si et seulement si 1 et −1 sont les uniques diviseurscommuns aux ai.

• Si pgcd(a, b) = 1, ppcm(a, b) = |ab|.• Soit d = pgcdi∈I(ai). Alors les ai/d sont premiers entre eux.

Theoreme 31 (Theoreme de Bezout) Soient a1,..., an des entiers.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) les ai sont premiers entre eux ;(ii) il existe n entiers k1, k2,..., kn tels que

1 = k1a1 + k2a2 + . . . + knan

Remarque : L’algorithme d’Euclide etablit si deux entiers sont premiers entre eux (voir IV.).Probleme : Quels sont les coefficients ki intervenant dans l’identite de Bezout ? (voir IV.)

2) Theoreme de Gauss :

Proposition 72 Si n est premier avec a et avec b, alors n est premier avec le produit ab.

Remarque : Si pour tout i, n est premier avec ai, n est aussi premier avec le produit a1a2 . . . an.Remarque : Soient a1,..., an des entiers. Si pour i =/ j, pgcd(ai, aj) = 1 alors

ppcmi∈I

ai = |a1a2 . . . an|

Theoreme 32 (Theoreme de Gauss) Si n divise ab et si n est premier avec a, alors n diviseb.

3) Forme reduite d’un rationnel :

Definition-Proposition 2 Soit q ∈ Q∗.

1. Il existe (n, p) ∈ Z∗2 tel que q = n

p et pgcd(n, p) = 1. Ce couple (n, p) constitue une formereduite de q. On dit aussi que q = n

p est ecrit sous sa forme reduite.

2. Si q = n′p′ , alors il existe λ ∈ Z

∗ tel que

n′ = λn et p′ = λp

Question : Que dire si np = n′

p′ sont deux formes reduites ?

4) Applications aux groupes :

Theoreme 33 Soient n > 0 et k ∈ Z. Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) k inversible dans Z/nZ ;(ii) k regulier dans Z/nZ ;(iii) k est premier avec n.

Proposition 73 Soient G un groupe cyclique d’ordre n engendre par a et k ∈ Z.Alors ak engendre aussi G si et seulement si k est premier avec n.

57

III. Nombres premiers

1) Generalites :

Definition 94 Un nombre premier est un element p de N\0, 1 qui n’admet comme diviseurspositifs que 1 et p.

Exemple : 2, 3, 5, 7,...Remarque : Dans N\0, 1, les nombres premiers sont les elements minimaux pour l’ordre induitpar la divisibilite.

Proposition 74 Soit p > 1.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) p est premier ;(ii) p ne peut s’ecrire comme un produit kl ou (k, l) ∈ N

2 et k < p, l < p.

2) Le lemme d’Euclide :

Proposition 75 Soit p un nombre premier et a ∈ Z. Si p|a, pgcd(p, a) = p et sinon, p est premieravec a.

Proposition 76 (Lemme d’Euclide) . Soit p un nombre premier divisant un produit ab. Alorsp divise a ou p divise b.

3) Decomposition en facteurs premiers :

Notation : P designera l’ensemble des nombres premiers.

Theoreme 34 (Theoreme fondamental de l’Arithmetique) Soit n ∈ N∗. Alors il existe une

unique famille (αp)p∈P de N, a support fini pour + telle que

n =∏

p∈Ppαp

C’est la decomposition de n en facteurs premiers.

Notation : αp est note souvent νp(n) et appele valuation p-adique de n.Remarque : Si n > 2, n est divisible par un nombre premier.

Corollaire 16 P est infini.

Corollaire 17 1. Dire que∏

p∈P pαp divise∏

p∈P pβp signifie que αp βp pour tout nombre pre-mier p.

2. Soient m =∏

p∈P pαp et n =∏

p∈P pβp deux entiers. Alors

pgcd(m, n) =∏

p∈Ppinf(αp,βp) et ppcm(m, n) =

∏

p∈Ppsup(αp,βp)

Exercice : Reecrire 2. pour une famille d’entiers quelconque.


4) Nombres premiers et anneau Z/pZ :

Proposition 77 Si G est un groupe d’ordre fini p premier, alors G est cyclique et tout elementdistincts de 1 l’engendre.

Proposition 78 Soit p 2. Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) Z/pZ est un corps ;(ii) Z/pZ est un anneau integre ;(iii) p est un nombre premier.

Corollaire 18 (Petit theoreme de Fermat) Soient p un nombre premier et a un entier nondivisible par p. Alors ap−1 ≡ 1 mod p.

Remarque : Modulo p (p premier), ap ≡ a.

Corollaire 19 La caracteristique d’un anneau integre ou d’un corps est soit nulle soit egale a unnombre premier.

5) Complements :

Theoreme 35 (Theoreme des nombres premiers) Notons πn le nombre de nombres premiersinferieurs ou egaux a n 0.

Alors πn ∼ nln n lorsque n tend vers +∞.

Theoreme 36 (Postulat de Bertrand) Soit n > 0. Il existe un nombre premier dans l’intervalle]n, 2n].

Ce resultat fut prouve en 1848 par Tchebycheff.

IV. Methodes algorithmiques en Arithmetique

1) Probleme du calcul du PGCD : l’algorithme d’Euclide

La formule donnee au III.3) n’est pas vraiment exploitable dans la pratique. Il existe unalgorithme bien plus efficace basee sur la division euclidienne. Il s’appuie sur la constation suivante :

Proposition 79 Soient a et b deux entiers positif, b =/ 0. Notons r le reste de la division euclidiennede a par b. Alors

pgcd(a, b) = pgcd(b, r)

Supposons a > b. Notons a0 = a et a1 = b et definissons par recurrence pour n 2 la suite an

de la maniere suivante : si an−1 = 0 alors an = 0 ; sinon an est le reste de la division euclidienne dean−2 par an−1.

Il est clair si an =/ 0, an < an−1. Si pour tout n, an =/ 0, la suite de N est strictementdecroissante : impossible !

Soit donc N le plus petit entier tel que aN = 0. Si n N , an = 0 et si n < N , an > 0. De plus

pgcd(a0, a1) = pgcd(a1, a2) = . . . = pgcd(aN−2, aN−1) = pgcd(aN−1, 0)

Or, pgcd(aN−1, 0) = aN−1. Ainsi aN−1 = pgcd(a0, a1) = pgcd(a, b)Remarque : Description de l’algorithme.

59

2) Sur la decomposition en facteurs premiers :

Il n’existe pas de procede pratique rapide et sur d’obtenir pour un entier n sa decomposition enfacteurs premiers. La methode qui consiste a calculer les valuations p-adique par division successiveest extremement lourde.

3) Sur l’identite de Bezout :

Soient a1 < a0 deux entiers positifs. D’apres le theoreme de Bezout, il existe k et l deux entierstels que d = pgcd(a0, a1) = ka0 + la1. Comment calculer k et l ?

Une premiere remarque s’impose : k et l ne sont pas uniques. dem

On peut les obtenir a l’aide des relations qui constituent l’algorithme d’Euclide. Reprenons lesnotations du 1) et supposons N = 5. L’algorithme s’ecrit :

a0 = q0a1 + a2

a1 = q1a2 + a3

a2 = q2a3 + a4

a3 = q3a4 + 0

Alors ex

a4 = a2 − q2a3

= a0 − q0a1 − q2(a1 − q1a2)= a0 − (q0 + q2)a1 + q2q1a2

= a0 − (q0 + q2)a1 + q2q1(a0 − q0a1)= (1 + q1q2)a0 − (q0 + q2 + q0q1q2)a1

D’ou k = (1 + q1q2) et l = q0 + q2 + q0q1q2.Application : Calcul des inverses dans Z/nZ. Equations diophantiennes (traiter 1274x+275y = 1).

4) Exponentiation rapide :

Calcul de l’inverse grace au petit theoreme de Fermat. Exponentiation rapide.


Chapitre 6

Le corps des nombres reels R

Au debut du XIXeme siecle, commence une reforme de l’Analyse initiee par les travaux deBolzano et Cauchy qui concentrent un effort de rigueur. Weierstrass va pousser cette logique plusloin et reduire la part de l’intuition dans les raisonnements mathematiques.

Weierstrass batit son Analyse sur le ”nombre”. Or encore en cette moitie de XIXeme siecle, unetheorie des nombres reels fait toujours defaut. Depuis Euclide, qui dans son livre V des elementsd’Euclide sur les proportions avait tente de donner un statut au grandeur incommensurable, aucunbesion de ce cote la ne s’etaient fait sentir. En 1863, Weierstrass publie donc sa theorie des nombresreels. En fait, ce travail n’est pas isole puisque des theories sur les nombres irrationnels sont exposeespar Cantor, Heine et surtout Dedekind qui des 1858, a l’aide des coupures donnent une bonne ideede ce que sont les reels.

I. Le corps ordonne Q

1) L’ordre sur Q :

Definition-Proposition 3 Soit q = ab . On dit que q est positif ou nul si ab 0 i.e. si a et b sont

des entiers de meme signe. On definit sur Q l’ordre naturel en posant :

q q′ ⇐⇒ q′ − q positif ou nul

Cet ordre est total et prolonge celui de Z.

Notation : on note q < q′ si q q′ et q =/ q′

2) Proprietes additives et multiplicatives :

Proposition 80 Soit (a, x, y) ∈ Q3

1. Si x y, x + a y + a.2. Si x et y sont positifs ou nuls, xy 0.

Definition 95 Un corps commutatif K totalement ordonne verifiant pour tout (a, x, y) ∈ K3 : 1.Si x y, x + a y + a.

2. Si x 0 et y 0, xy 0.est appele corps ordonne.

Notation : Q+, Q−, Q∗+...

62 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES REELS R

3) Les insuffisances de Q :

i Insuffisances algebriques :

Q n’est pas le bon domaine pour resoudre la plupart des equations algebriques : x2 = −1,x2 + x + 1 = 0... En geometrie, dans un triangle isocele rectangle dont les cotes a angle droit sontde longueur 1, l’hypothenuse a une longueur verifiant l2 = 12 + 12 = 2 ! l ne peut etre un rationnel.

Ces insuffisances algebriques et geometriques qui conduisent a introduire des corps ”plus gros”ne sont pas celles qui vont retenir notre attention. Nous allons plutot essayer de contourner cellesrelatives a l’ordre et celles relatives a la topologie.

ii Insuffisances relatives a l’ordre :

On pourrait s’attendre a ce qu’une partie majoree admette une borne superieure. Or ce n’estpas le cas : l’ensemble A = x ∈ Q, x 0 et x2 2 ne possede une borne superieure.dem

iii Insuffisances topologiques :

Nous verrons plus tard ce que sont des suites convergentes. Sans entrer dans les details, nouscomprenons assez bien intuitivement ce que veut dire que la suite (un)n∈N de Q converge vers l ∈ Q.

Considerons une suite (un)n∈N. Supposons que pour tout ε > 0, il existe N 0 tel que lestermes un pour n N sont tous distants d’au plus ε. On serait en droit d’esperer que la suite(un)n∈N converge. Malheureusement, ce n’est pas le cas. La suite

un =n∑

k=0

1k!

en fournit un contre-exemple.Cette insuffisance topologique est en fait equivalente a l’insuffisance relative a l’ordre. Elle sera

reglee lorsque nous aurons a notre disposition un surcorps ordonne de Q qui verifie l’axiome de laborne superieure i.e. ”toute partie non vide majoree admet une borne superieure”.

II. L’axiome de la borne superieure

1) Existence de R :

Theoreme 37 (existence de R) Il existe un corps ordonne R, surcorps de Q dont l’ordre pro-longe celui de Q et verifiant la propriete suivante (appelee axiome de la borne superieure) : toutepartie non vide et majoree de R admet une borne superieure.admis

Definition 96 Le corps R est appele corps des nombres reels.

Theoreme 38 (Unicite de R) Soit K un corps ordonne, surcorps de Q. On suppose que l’or-dre de K prolonge celui de Q et qu’il verifie l’axiome de la borne superieure. Alors, il existe unisomorphisme de corps strictement croissant de R sur K.admis

Remarque : L’axiome de la borne superieure est donc une propriete caracteristique de R

Rappel : Q ⊂ R. L’ordre de R est total et prolonge celui de Q. Pour tout (a, x, y) ∈ R3 : 1. Si x y,

x + a y + a.2. Si x 0 et y 0, xy 0.

63

2) Proprietes additives :

Les elements consideres dans la suite de ce paragraphe sont des reels.

Proposition 81 Si a x et b y, alors a + x b + y

Remarque : Si ai bi,∑

i ai ∑

i bi. De plus, s’il existe un i0 tel que ai0 < bi0 , alors∑

i ai <∑

i bi.Contraposee.

Si les ai 0 et∑n

i=1 ai = 0, les ai sont nuls.

3) Proprietes multiplicatives :

Remarque : x 0 =⇒ −x 0 et x 0 =⇒ −x 0.

Proposition 82 1. On a l’equivalence suivante :

xy 0 ⇐⇒ x et y ont meme signe

xy 0 ⇐⇒ x et y sont de signe contraire

2. Pour tout x ∈ R, x2 est positif ou nul.3. Soit x ∈ R

∗. Alors

x > 0 =⇒ 1x

> 0

x < 0 =⇒ 1x

< 0

Remarque : (R∗+,×) est un groupe. De meme (Q∗

+,×).

Proposition 83 1. Soient 0 a b et 0 x y. Alors ax by.

2. Si 0 < x y, 0 <1y

<1x

ATTENTION ! Pour manier des inegalites comme dans le 1., on veille a verifier que les reels enpresence sont tous bien positifs.

4) Valeur absolue :

Definition 97 Soit x ∈ R. On appelle valeur absolue de x le rationnel |x| = max(x,−x).

Remarque : Si x 0, |x| = x et si x 0, |x| = −x.

Proposition 84 On a1. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.2. |xy| = |x||y|.3. |x + y| |x| + |y|.

Remarque : |∑

i xi| ∑

i |xi|. Si x =/ 0, | 1x | = 1|x| et |xn| = |x|n (n ∈ Z).

Definition 98 Soit x, y ∈ R ; La distance de x a y est d(x, y) = |x − y| = |y − x|.Corollaire 20 Soit (x, y) ∈ R

2. Alors :

||x| − |y|| |x + y| |x| + |y|


5) Proprietes elementaires des bornes :

Proposition 85 Toute partie non vide minoree de R admet une borne inferieure.

Remarque : Si F non vide minoree, sup(−F ) = − inf F . Si F non vide majoree, inf(−F ) = supF .

Proposition 86 Soient F une partie majoree non vide de R, a ∈ R.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) a = supF ;(ii) a majore F et pour tout ε > 0 il existe x ∈ F tel que a − ε < x.

Proposition 87 Soient F une partie minoree non vide de R, a ∈ R.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) a = inf F ;(ii) a minore F et pour tout ε > 0 il existe x ∈ F tel que x < a + ε.

Remarque : DESSIN !

Proposition 88 Soit F une partie non vide majoree de R, a ∈ R.1. supx∈F (a + x) = a + supx∈F (x).2 Si a > 0, supx∈F (ax) = a supx∈F (x). Si a < 0, infx∈F (ax) = a supx∈F (x).

Exercice : Donner une version analogue avec F minoree.

6) Signe de ax2 + bx + c :

Rappel de la mise sous forme canonique et etude du signe, tableau de variations.

III. Axiome d’Archimede, partie entiere

1) L’axiome d’Archimede :

Theoreme 39 (Axiome d’Archimede) N n’est pas majoree dans R.

Corollaire 21 Pour tout ε > 0, il existe n ∈ N∗ tel que 1

n < ε.

2) Partie entiere :

Definition-Proposition 4 Soit x ∈ R. Il existe un unique couple (n, b) ∈ Z×R tel que x = n + bavec 0 b < 1. n est appele partie entiere de x et est note E(x).

Remarque : x − E(x) est la partie decimale de x.

Proposition 89 1. Si x ∈ R :

E(x) x E(x + 1) et x − 1 < E(x) x

2. x −→ E(x) est croissante sur R.3. x = E(x) ⇐⇒ x ∈ Z.4. Pour tout p ∈ Z, E(x + p) = E(x) + p.

• Graphe.Exercice : Calculer E(a

b ) ou a ∈ Z et b ∈ N∗.

65

3) Congruence modulo a :

Rappel : Soit a > 0. La congruence modulo a dans R est definie par

x ≡ y (mod a) ⇐⇒ ∃k ∈ Z, y = x + ka ⇐⇒ y − x ∈ aZ.

C’est la congruence modulo le sous-groupe aZ. La congruence est compatible avec +. L’ensemblequotient est un groupe pour l’addition quotient note R/aZ. Pour a = 2π, on retrouve les angles.

Proposition 90 Soit a > 0 un nombre reel et x ∈ R. Il existe un unique entier p ∈ Z tel quepa x < (p + 1)a.

Exercice : Soit a > 0 un nombre reel et x ∈ R. Il existe un unique entier p ∈ Z tel que pa < x (p + 1)a.

Corollaire 22 Soit a > 0, α ∈ R et θ ∈ R. Il existe un unique θ0 ∈ R verifiant :1. θ ≡ θ0 (mod a) ;2. α θ0 < α + a.

Remarque : On peut remplacer le point 2 par α < θ0 α + a.Exemple : Soit θ ∈ R. Il existe un unique θ0 verfiant

1. θ ≡ θ0 (mod 2π) ;2. 0 θ0 < 2π (resp. −π < θ0 π).

4) Parties denses de R

Definition 99 Soit A une partie de R.A est dense dans R si pour tout x ∈ R et tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que

x − ε a x + ε

Theoreme 40 Q est dense dans R. Son complementaire R\Q est aussi dense dans R.

Definition 100 On appelle nombre irrationnel tout nombre de R\Q.

Corollaire 23 Entre deux reels distincts, il existe un nombre rationnel et un nombre irrationnel.

Definition 101 Soit A ⊂ B ⊂ R. On dira que A est dense dans B si pour tout x ∈ B et toutε > 0, il existe a ∈ A tel que

x − ε a x + ε

IV. Intervalles de R

1) La droite numerique achevee R :

Definition-Proposition 5 Soient +∞ et −∞ deux elements distints n’appartenant pas a R.Posons R = R ∪ −∞,+∞. On definit sur R l’ordre suivant : x y des que x = −∞, ouy = +∞, ou (x, y) ∈ R

2 et x y. Cet ordre est total et prolonge celui de R.R est appele droite numerique achevee.

ATTENTION ! R n’est pas un corps !

Proposition 91 Toute partie de R possede une borne superieure et une borne inferieure.

Exemple : sup ∅ = −∞, sup R = +∞...Remarque : • Soit F ⊂ R, majoree non vide. Alors la borne superieure est la meme que l’onconsidere F comme partie de R ou de R.

• supF = +∞ signifie que pour tout A ∈ R il existe x ∈ F tel que x > A.


2) Intervalles :

Definition 102 Soit (a, b) ∈ R2. Si a b, on note

[a, b] = [b, a] = x ∈ R, a x b

]a, b] = [b, a[= x ∈ R, a < x b

[a, b[=]b, a] = x ∈ R, a x < b

]a, b[=]b, a[= x ∈ R, a < x < b

[a, b] est appele intervalle ferme d’extremites a et b.]a, b[ est appele intervalle ouvert d’extremites a et b.[a, b[ est appele intervalle semi-ouvert a gauche d’extremites a et b.]a, b] est appele intervalle semi-ouvert a droite d’extremites a et b.

Remarque : Si I est non vide d’extremites a et b (a b), sup I = b et inf I = a.Exercice : Soit a < b, I un intervalle d’extremites a et b. Montrer que sup|x−y|, (x, y) ∈ I2 = b−a.

Theoreme 41 Soit I une partie de R.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) I est un intervalle ;(ii) pour tout α, β dans I, [α, β] ⊂ I.

Proposition 92 Soit (Ik)k∈K une famille d’intervalles de R.1.

⋂

k∈K Ik est un intervalle.2. Si

⋂

k∈K Ik est non vide,⋃

k∈K Ik est un intervalle.

3) Racines n-ieme :

Theoreme 42 Soient a ∈ R+ et n ∈ N∗. Il existe un unique b ∈ R

+ tel que bn = a.

Definition 103 L’element b defini dans le theoreme precedent s’appelle la racine n-ieme de a etest note n

√a. Si n = 2, on parle plutot de racine carree, et si n = 3, de racine cubique.

Remarque :√

x2 = |x| si x ∈ R.Exercice : Resoudre dans R l’equation en x x2 = a (a ∈ R).

Proposition 93 Soient a et b des reels positifs ou nuls, (n, p) ∈ N∗2.

1. n√

ab = n√

a n√

b ;2. Si b =/ 0, n

√ab =

n√an√

b;

3. n√

p√

a = np√

a.

Remarque : n√ est un isomorphisme croissant du groupe multiplicatif R

∗+ sur lui-meme, l’isomor-

phisme reciproque etant x −→ xn.

Proposition 94 Soient p un nombre premier, n > 1. Alors n√

p ∈ R\Q.

67

4) Etude du trinome du second degre :

Dans R, les carres sont positifs et reciproquement, un reel positif est un carre.On en deduit l’inegalite

a2 + b2 2|a|.|b|

Si a > 0 et b > 0, a + b 2√

ab.Par exemple x + 1/x 2, pour x > 0.

V. Complement : une construction de R

1) Les sections commencantes de Q :

Lemme 4 Q est archimedien : si a > 0 et b > 0, il existe n ∈ N tel que bn > a. En particulier,pour tout q > 0, il existe n ∈ N tel que 1

n < q.

Definition 104 On appelle section commencante ouverte de Q toute partie non vide I de Q, I =/ Q

telle que pour tout x ∈ I

(∀y ∈ Q) (y x =⇒ y ∈ I)

et il existe z ∈ I avec z > x.

Exemple : I = y ∈ Q, y < x est une section commencante ouverte dite rationnelle. Nous lanoterons Ix. Toute les sections commencantes ouvertes ne sont pas rationnelles : I = Q− ∪ x ∈Q, x2 < 2 dem

Notons E l’ensembles des sections commencantes ouvertes (E est une partie de P(Q)).

Lemme 5 i : x ∈ Q −→ Ix ∈ E est une injection.

Ainsi, nous pouvons considerer Q comme une partie de E.

Definition 105 On definit sur E la relation binaire

I J ⇐⇒ I ⊂ J

est une relation d’ordre (car c’est la restriction de l’ordre de l’inclusion sur P(E)) .

Remarque : I I0 = 0 si et seulement si Q∗− ⊂ I.

Lemme 6 (E, ) est un ensemble totalement ordonne, et prolonge l’ordre de Q.

2) Operations de E :

Soient I et J deux elements de E. On definit leur somme par

I + J = x + y ∈ Q, (x, y) ∈ I × J

Alors I + J est une section commencante ouverte de Q.

Lemme 7 (E, +) est un groupe abelien et + prolonge l’addition de Q i.e. Ix + Iy = Ix+y pour tout(x, y) ∈ Q

2.


Supposons I 0 et J 0. On definit alors le produit de I et J par

IJ = xy ∈ Q, (x, y) ∈ I × J et x 0, y 0 ∪ Q∗−

Si I 0 et J < 0, on pose IJ = I(−J) ; si J 0 et I < 0, on pose IJ = (−I)J ; enfin si I < 0et J < 0, on pose IJ = (−I)(−J).Exercice : Exprimer I−1.

Lemme 8 (E, +,×) est un corps commutatif. De plus, × prolonge la multiplication de Q. Ainsi,E est un surcorps de Q.

3) Definition du corps des nombres reels :

Le corps E muni de l’ordre defini en 1) est un corps ordonne, i.e. il verifie

Lemme 9 Soit (a, x, y) ∈ E3

1. Si x y, x + a y + a.2. Si x et y sont positifs ou nuls, xy 0.

C’est ce corps ordonne qui va nous fournir le bon domaine pour faire de l’Analyse :

Definition 106 Le corps ordonne (E, +,×,) est appele corps des nombres reels et est note R.

Theoreme 43 R est un surcorps de Q. L’ordre de R prolonge celui de Q.

Chapitre 7

Le corps des nombres complexes C

I. Construction de C

1) Insuffisance algebrique de R :

Bien que R possede des proprietes fondamentales sur Q, il reste que certaines equationsalgebriques n’admettent pas de solutions : x2 + 1 = 0 en est un exemple. C’est dans la volontede resoudre ces equations algebriques que naıt le besoin d’introduire les nombres complexes. AuXVIIIeme siecle, D’Alembert est a l’origine de tentatives pour prouver qu’une equation polynomialede degre n admet exactement n racines, reelles ou ”impossibles”. Mais, c’est Gauss qui a la fin dece siecle utilise le terme de nombres complexes et en donne une bonne interpretation geometrique.

2) Definition et premiers resultats :

Theoreme 44 On munit R2 de deux operations + et × definies par

(a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′)

(a, b) × (a′, b′) = (aa′ − bb′, ab′ + a′b)

Alors R2 muni de ces deux operations est un corps commutatif.

Definition 107 R2 muni des operations decrites dans le theoreme precedent est appele corps des

nombres complexes et est note C.

Remarque : (1, 0) (resp. (0, 0)) est l’element neutre pour la multiplication (resp. l’addition) etl’inverse de (a, b) =/ 0 est ( a√

a2+b2, −b√

a2+b2).

Remarque : C∗ muni de × est un groupe commutatif.

Proposition 95 1. L’application j : x ∈ R −→ (x, 0) ∈ C est un isomorphisme de R sur unsous-corps de C.

2. Si on note i = (0, 1), alors pour tout (x, y) ∈ C, (x, y) = x + iy. De plus i2 = −1.

Remarque : Ainsi, R sera considere comme un sous-corps de C. Dans la suite nous noterons toutnombre complexe sous la forme x + iy au lieu de (x, y).

Definition 108 Si z = (x, y) = x + iy ∈ C, x est appele partie reelle de z et y partie imaginairede z.

Notation : Si z ∈ C, (z) (resp. (z)) designe la partie reelle (resp. imaginaire) de z

70 CHAPITRE 7. LE CORPS DES NOMBRES COMPLEXES C

3) Conjugaison :

Definition 109 Soit z = x + iy ∈ C. On appelle conjugue de z, le complexe z = x − iy.

Definition 110 On dit qu’un complexe est un imaginaire pur s’il est de la forme iy (y ∈ R). Onnote iR l’ensemble des imaginaires purs.

Proposition 96 Soit z ∈ C.1. On a (z) = z+z

2 et (z) = z−z2i .

2. z ∈ R ⇐⇒ z = z et z ∈ iR ⇐⇒ z = −z.

Proposition 97 z ∈ C −→ z ∈ C est un isomorphisme involutif de C sur lui-meme. En particulier,z + z′ = z + z′, zz′ = zz′, z

z′ = zz′

et z = z.

Remarque : La conjugaison et l’identite sont les seuls isomorphismes de C laissant R invariant.admis

4) Module d’un nombre complexe :

Definition 111 Soit z ∈ C. On appelle module de z le reel positif ou nul |z| =√

zz.

Remarque : |x + iy| =√

x2 + y2, (x ∈ R, y ∈ R). Si z ∈ C est dans R, le module de z n’est autreque la valeur absolue de z.Remarque : Interpretation geometrique de |z|, de |z′ − z|.

Proposition 98 1. |z| = z ;2. |(z)| |z| et |(z)| |z|.

Proposition 99 Soit (z, z′) ∈ C2. On a

1. |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ;2. |zz′| = |z||z′| ;3. |z + z′| |z| + |z′|.

Remarque : Si (z, z′) ∈ C2, ||z′| − |z|| |z′ + z| |z| + |z′|.

Corollaire 24 Si z ∈ C∗, z−1 = z

|z|2 .

Proposition 100 Soit (z, z′) ∈ C2. Alors :

|z + z′|2 = |z|2 + |z′|2 + 2(zz′)

5) Le cercle trigonometrique :

Definition 112 Le cercle trigonometrique U est l’ensemble des nombres complexes de module 1.

Remarque : Representation graphique.

Proposition 101 U est un sous-groupe multiplicatif de C∗.

6) Impossibilite d’ordonner C :

Probleme : Peut-on trouver un ordre sur C qui prolonge l’ordre de R et qui fasse de C un corpsordonne ?

La reponse est non : en effet, puisque le carre i2 < 0 !

71

II. Racine carree d’un nombre complexe :

1) Existence et calcul de la racine carree :

Definition 113 Soient K un corps et a ∈ K. On dit que x ∈ K est une racine carree de a dansK si x2 = a.

Proposition 102 Soit K un corps. Tout nombre de K admet au plus deux racines carrees.

Remarque : On peut ecrire les memes enonces en remplacant K par A anneau integre.Rappelons la situation dans R :• si a = 0, a n’admet qu’une seule racine carree 0• si a < 0, a n’admet pas de racine carree.• si a > 0, a admet exactement deux racines carrees

√a et −√

a.

Theoreme 45 Soit a ∈ C∗. Alors a possede exactement deux racines carrees qui sont opposees.

Plus precisement, si a = X+iY , (X, Y ) ∈ R2, z = x+iy est une racine carree de a si, et seulement

si :

x2 − y2 = X

x2 + y2 =√

X2 + Y 2

xy du signe de Y

Remarque : Si a = X + iY , le complexe x0 + iy0 est une racine carree si

x0 =

√

X +√

X2 + Y 2

2et y0 = ε

√

−X +√

X2 + Y 2

2

ou ε = 1 si Y 0, et ε = −1 sinon.

2) Equations du second degre. Discriminant :

Soit K un corps de caracteristique differente de 2.Il s’agit de resoudre une equation du type (E) ax2 + bx+ c = 0 ou a, b et c sont des constantes

de K et x l’inconnue.Faisons apparaıtre le debut d’un carre :

ax2 + bx + c = a(x2 + 2.b

2ax) + c = a(x2 + 2.

b

2ax +

b2

4a2) − b2

4a+ c

Definition 114 On appelle discriminant de (E) le nombre δ = b2 − 4ac.

L’equation (E) equivaut donc a

a(x +b

2a)2 =

b2 − 4ac

4a2

ou encore

(x +b

2a)2 =

δ

4a2

De deux choses l’une :• ou bien δ

4a2 est un carre (i.e. δ est un carre) et alors (E) admet deux solutions

x = −b ± d

2a

ou d designe une racine carree de δ.• ou bien δ

4a2 n’est pas un carre (i.e. δ n’est pas un carre) et alors (E) n’admet pas de solution.


3) Cas reel et cas complexe :

Examinons le cas K = R :

Theoreme 46 Soient (a, b, c) ∈ R3 et (E) l’equation ax2 + bx + c = 0 avec a =/ 0. Notons δ le

discriminant de (E). Alors :• si δ < 0, (E) n’admet aucune solution reelle ;• si δ = 0, (E) admet une unique solution reelle − b

2a ;• si δ > 0, (E) admet deux solutions reelles distinctes

−b +√

b2 − 4ac

2aet

−b −√

b2 − 4ac

2a

Enfin, traitons le cas K = C :

Theoreme 47 Soient (a, b, c) ∈ C3 et (E) l’equation ax2 + bx + c = 0 avec a =/ 0. Notons δ le

discriminant de (E) et d une racine carree de ce discriminant.Alors (E) admet deux solutions complexes distinctes ou confondues donnees par

−b + d

2aet

−b − d

2a

III. L’application exponentielle complexe

1) Presentation :

Si nous voulions correctement introduire la trigonometrie, nous ne pourrions eviter l’usage detheoremes d’Analyse. Comme il apparaıt plus efficace d’introduire C et la trigonometrie avant dese lancer dans l’Analyse, nous nous contenterons bien souvent dans ce paragraphe d’enonces sansdemonstration.

Le point de depart est l’etude d’une certaine fonction appelee exponentielle complexe definiepar

exp(z) = ez =+∞∑

n=0

zn

n!

Theoreme 48 exp est un morphisme surjectif du groupe (C,+) sur le groupe (C∗,×). De plus, siz ∈ C, exp z = exp z.admis

Theoreme 49 (Definition du nombre π) Il existe un unique reel positif π tel que ker exp =2iπZ i.e. pour tout z ∈ C,

exp z = 1 ⇐⇒ (∃n ∈ Z) (z = 2iπn)

admis

Remarque : A 10−3 pres, π vaut 3, 141.Remarque : Comme l’exponentielle est un morphisme et comme un nombre n’a au plus que deuxracines carrees dans C, eiπ = −1. Que vaut ei π

2 ? On a (ei π2 )2 = eiπ = −1. Donc ei π

2 = ±i. En fait

Theoreme 50

eiπ = −1 et ei π2 = i

73

2) Fonctions Cosinus et Sinus :

Dans la suite, U designera le cercle trigonometrique.

Proposition 103 L’application ρ : θ ∈ R −→ eiθ ∈ U est un morphisme surjectif de groupes. Sonnoyau est 2πZ.

Corollaire 25 Pour tout z ∈ C, |z| = 1, il existe un unique θ ∈ R/2πZ tel que eiθ = z.

Definition 115 Pour tout x ∈ R, on definit

cos(x) = (eix) et sin(x) = (eix)

Proposition 104 Soit x ∈ R.

cos2 x + sin2 x = 1

Remarque : cos x ∈ [−1, 1] et sin x ∈ [−1, 1].

Proposition 105 (Formule d’Euler) Soit x ∈ R.

cos x =eix + e−ix

2et sinx =

eix − e−ix

2i

Proposition 106 (Formule de Moivre) Soit x ∈ R. On a

einx = (cos x + i sinx)n = cos nx + i sinnx

Remarque :

cos nx =∑

02pn

(−1)pC2pn cosn−2p x sin2 px

et

sinnx =∑

02p+1n

(−1)pC2p+1n cosn−2p−1 x sin2p+1 x

Probleme : Exprimer sinn x (ou cosn x) en fonction des sin kx et cos kx s’appelle ”lineariser”.Exemple : cos3 x = 1/4 cos 3x + 3/4 cos x

3) Formules trigonometriques :

Proposition 107 Soit x ∈ R.

cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sinx

Proposition 108 Soit (x, y) ∈ R2.

1. cos(x + y) = cos x cos y − sinx sin y et cos(x − y) = cos x cos y + sinx sin y.2. sin(x + y) = sinx cos y + cos x sin y et sin(x − y) = sinx cos y − cos x sin y.

Corollaire 26 Soit x ∈ R.

cos 2x = 2 cos2 x − 1 = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x

sin 2x = 2 sinx cos x


Proposition 109 Soit (x, y) ∈ R2. On a

1. cos x cos y = 12(cos(x + y) + cos(x − y)).

2. sinx sin y = 12(cos(x − y) − cos(x + y)).

3. sinx cos y = 12(sin(x + y) + sin(x − y)).

Corollaire 27 Soit (u, v) ∈ R2. On a :

1. cos u + cos v = 2 cos u+v2 cos u−v

2 ;2. sinu + sin v = 2 sin u+v

2 cos u−v2 ;

3. cos u − cos v = −2 sin u+v2 sin u−v

2 ;4. sinu − sin v = 2 sin u−v

2 cos u+v2 .

4) Graphe des fonctions cos et sin :

Proposition 110 sin restreinte a [−π2 , π

2 ] est une bijection croissante de [−π2 , π

2 ] sur [−1, 1].cos restreinte a [0, π] est une bijection decroissante de [0, π] sur [0, 1].admis

On a cos 0 = 1 et sin 0 = 0, cos π2 = 0 et sin π

2 = 1, et cos π = −1 et sin π = 0.

Proposition 111 On a

cosπ

4= sin

π

4=

1√2

cosπ

3= sin

π

6=

12

cosπ

6= sin

π

3=

√3

2

admis

Ainsi, j = −12 + i

√3

2 .

Proposition 112 Soit x ∈ R.1. cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sinx (on dit que cos et sin sont 2π-periodique).2. cos(x + π) = − cos x et sin(x + π) = − sinx.3. cos(π − x) = − cos x et sin(π − x) = sinx.4. cos(x + π

2 ) = − sinx et sin(x + π2 ) = cos x.

5. cos(π2 − x) = cos x et sin(π

2 − x) = sinx.

Remarque : Graphe de sin et cos.

75

Proposition 113 Soit (x, y) ∈ R2. On a :

cos x = 0 ⇐⇒ x ≡ π

2(mod π)

sinx = 0 ⇐⇒ x ≡ 0 (mod π)

cos x = cos y ⇐⇒ (x ≡ y (mod 2π) ou x ≡ −y (mod 2π))

sinx = sin y ⇐⇒ (x ≡ y (mod 2π) ou x ≡ π − y (mod 2π))

5) Fonctions Arccosinus et Arcsinus :

Definition 116 La fonction Arccosinus est la bijection reciproque de cos|[0,π] : c’est une bijectiondecroissante de [−1, 1] sur [0, π].

Remarque : Graphe de arccosSoit x ∈ [−1,+1]. Alors

y = arccos x ⇐⇒ x = cos y et y ∈ [0, π]

Definition 117 La fonction Arcsinus est la bijection reciproque de sin|[−π2, π2] : c’est une bijection

croissante de [−1, 1] sur [−π2 , π

2 ].

Remarque : Graphe de arcsin

Soit x ∈ [−1,+1]. Alors

y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y et y ∈ [−π

2,π

2]

Proposition 114 Soit x ∈ [−1, 1].1. arccos x + arcsin x = π

2 ;2. arccos(−x) = π − arccos x ;3. arcsin(−x) = − arcsin x.

IV. Argument d’un nombre complexe :

1) Generalites :

Si z ∈ C∗, z/|z| est de module 1.

Corollaire 28 Si z ∈ U , il existe donc un unique θ ∈ [0, 2π[ (resp. ] − π, π]) tel que z = eiθ.Si z ∈ C

∗, il existe donc un unique θ ∈ [0, 2π[ (resp. ] − π, π]) tel que z = |z|eiθ.


Definition 118 Soit z ∈ C∗. On appelle argument de z l’antecedant arg(z) de z

|z| ∈ U par ρ. Parabus de language, on appellera egalement argument de z tout θ ∈ R tel que z

|z| = eiθ. De plus, siθ ∈] − π, π], θ sera appele argument principal de z.

Remarque : Si z =/ 0, z = |z|eiθ ou θ ≡ arg(z) : c’est l’ecriture trigonometrique de z. Reciproquementsi z = reiθ, r est le module de z et θ l’argument de z. z s’ecrit de maniere unique reiθ ou r > 0 etθ ∈ [0, 2π[.Remarque : Representation graphique.Remarque : Soit z ∈ C

∗.z ∈ R+ si et seulement si arg(z) ≡ 0 ;z ∈ R− si et seulement si arg(z) ≡ π ;z ∈ iR+ si et seulement si arg(z) ≡ π/2 ;z ∈ iR− si et seulement si arg(z) ≡ −π/2.

Proposition 115 Soit (z, z′) ∈ C∗2. On a modulo 2π

1. arg zz′ ≡ arg z + arg z′ ;2. arg z

z′ ≡ arg z − arg z′ ;3. arg z = − arg z.

Remarque : Interpretation ; definition de l’angle bac.

2) Suites geometriques :

Suites geometriques.Calcul de 1 + q + q2 + · · · + qn, qp + qp+1 + · · · + qn.

3) Racines n-ieme d’un nombre complexe :

Remarque : somme des termes d’une suites geometriques.

Definition 119 Soit K un corps, n 2. On dit que b ∈ K est une racine n-ieme de a ∈ K sibn = a.

Remarque : Si n = 2, on parle de racine carree, si n = 3, on parle de racine cubique...

Theoreme 51 Soit n 2. Considerons Un l’ensemble des racines n-ieme de l’unite :

Un = z ∈ C, zn = 1

Alors, Un est un sous-groupe de U , cyclique d’ordre n engendre par ωn = e2iπn :

Un =

1, e2iπn , e

2.2.iπn , . . . , e

2.(n−1).iπn

Remarque : Representation graphique.

Exemple : j = e2iπ3 est une racine troisieme de l’unite (dessin).

Remarque : Si z ∈ Un, z ∈ Un.

Proposition 116 Soit n 2. Pour que e2ikπ

n engendre Un, il faut et il suffit que pgcd(k, n) = 1.Dans ces conditions, on dit que e

2ikπn est une racine primitive de l’unite.

Corollaire 29 Soient z = reiθ ∈ C∗, r > 0 et θ ∈ R. Alors, si n 2, z0 = n

√rei θ

n est une racinen-ieme de z et z possede exactement n racines n-ieme qui sont les n

√rei( θ

n+ 2kπ

n ) pour 0 k < n.

77

Theoreme 52 Soit ω ∈ C une racine n-ieme de l’unite. Si ω =/ 1 :

n−1∑

k=0

ωk = 0

En particulier, la somme des racines n-ieme est nulle.

Exemple : 1 + j + j2 = 0.

4) Transformation de a cos x + b sin x :

Transformation de a cos +b sinx en ρ cos(x + ϕ) a l’aide de l’ecriture trigonometrique de a + ib.

V. Fonctions Tangente et Cotangente

1) Generalites :

Definition 120 Pour tout x ∈ R\(π/2 + πZ), on pose

tanx =sinx

cos x

Pour tout x ∈ R\πZ, on pose

cotan =cos x

sinx

Remarque : Valeurs de tan et cotan pour 0, π/6, π/4, π/3 et π/2.Remarque : Lorsque ”tout est bien defini”, on a cotanx = 1

tan x , tan(−x) = − tanx, cotan(−x) =− cotanx, tan(π/2 + x) = − cotan x, tan(π/2 − x) = cotanx, tan(π + x) = tanx.

Proposition 117 1. x ∈] − π/2, π/2[ −→ tanx ∈ R est une bijection croissante de ] − π/2, π/2[sur R.

2. x ∈]0, π[ −→ cotan x ∈ R est une bijection decroissante de ]0, π[ sur R.

Graphe de tan et cotan.

Proposition 118 Soit x et y dans R\(π/2 + πZ). Alors :

tanx = 0 ⇐⇒ x ≡ 0 (mod π)

tan y = tanx ⇐⇒ x ≡ y (mod π)


2) Formules :

Proposition 119 Soit x dans R\π2 Z. Alors :

1 + tan2 x =1

cos2 x

Proposition 120 Soit (x, y) ∈ R.1. Si tout est bien defini,

tan(x + y) =tanx + tan y

1 − tanx tan y

2. Posons t = tan x2 . Alors

sinx =2t

1 + t2, cos x =

1 − t2

1 + t2et tanx =

2t

1 − t2

Remarque :

tannx =

∑

02p+1n C2p+1n (−1)p tan2p+1 x

∑

02pn C2pn (−1)p tan2p x

3) Fonctions Arctangente et Arccotangente :

Definition 121 arctan est la bijection reciproque de x ∈] − π/2, π/2[ −→ tanx ∈ R. arctan estcroissante.

arccotan est la bijection reciproque de x ∈]0, π[ −→ cotanx ∈ R. arccotan est decroissante.

Graphe de arctan et arccotan.

Remarque : Soit (x, y) ∈ R2. Alors

arctanx = y ⇐⇒ x = tan y et y ∈] − π

2,π

2[

Proposition 121 Soit x ∈ R. On a1. arctanx + arccotan x = π

2 ;2. arctan(−x) = − arctanx ;3. arccotan(−x) = π − arccotan x.

79

VI. Droites et cercles dans un plan

1) Genaralies :

• Identification de P, R2 et C. Dualite vecteur-point. Notation A + −→u .

• Repere cartesien, repere orthonorme.• Identification d’un plan affine euclidien oriente P et C. Identification des points et des vecteurs.

Defintion des angles orientes. Relation de Chasles.• Expression du produit scalaire, du produit mixte, de la distance. Interpretation diverses. On

a

uv = u.v + i[u, v], u.v = ‖u‖‖v‖ cos θ et [u, v] = ‖u‖‖v‖ sin θ,

ou θ est l’angle oriente entre u et v.• Droites : definition (A + R−→u ), expression parametrique. Segment [A, B]. Angle oriente de

deux droites.Il est admis que les notions de distances, d’angles (orientes ou non) sont independantes du

repere orthonorme direct choisi.

Proposition 122 Soit A, B, M trois points distincts de P.1. On a AM + MB AB et il y a egalite si, et seulement si M ∈ [AB].2. On a AB |AM − MB| et il y a egalite si, et seulement si M ∈ (AB)\(AB).

2) Barycentres :

Definition d’un barycentre. Associativite du barycentre.Identite de caracterisation.

Proposition 123 Soit A =/ B.1. La droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B.2. Le segmet [AB] est l’ensemble des barycentres a coefficients positifs de A et B.

Corollaire 30 Les medianes d’un triangles sont concourantes.

3) Droites :

Equation cartesienne d’une droite.Equation normale d’une droite. x cos θ + y sin θ = p. Interpretation de θ, p.Intersection de deux droites. Systeme 2-2. Resolution avec des determinants.Distance d’un point a une droite. Expression a l’aide d’une equation cartesienne en RON.Mediatrice. Les mediatrices d’un triangles sont concourantes.

4) Cercles :

Definition d’un cercle, d’un disque ouvert ou ferme.Par trois points non alignes, passe un unique cercle appele cercle circonscrit au triangle (ABC).Equation cartesienne d’un cercle.Lieu des points M tels que −−→

MA.−−→MB = 0.

Proposition 124 Soit C = C(O, R) et D une droite, d = d(O,D).1. Si d > R, D ∩ C = ∅.2. Si d < R, D et C ont deux points d’intersections distincts.3. Si d = R, D ∩ C est un singleton M : D et C sont dits tangents en M .


Proposition 125 Soit C et C′ deux cercles non concentriques de centre O et O′ et de rayon R etR′ respectivement.

Si |R′ − R| < OO′ < R + R′, l’intersection de ces deux cercles est deux points : on dit que lescercles sont secants.

Si |R′−R| = OO′ ou OO′ = R+R′, l’intersection est reduite a un point et on dit que les cerclessont tangents.

Enfin, si OO′ < |R − R′| ou OO′ > R + R′, l’intersection est vide.

Proposition 126 Soit A, B, C trois points distincts non alignes.La position de M est uniquement determinee par (AM, BM, CM).

VII. Isometries d’un plan euclidien oriente

On appelle transformation d’un plan P toute permutation F du plan P. Elle s’identifie donclorsqu’on prend un repere a une permutation de C.

Definition d’une isometrie (conservation des distances).

1) Translations, homotheties :

• Definition des translations et des homotheties.• Expression en complexes.• Effet sur les distances et les angles orientes.• Homothetie fondamentale du triangle.

Exercice : Montrer que l’ensemble des homotheties de rapport non nuls et des translations formentun sous-groupe de SP .

Theoreme 53 (Theoreme de Thales) Soit D′ et D′ deux droites secantes en O. On considereA et B deux points distincts de D et A′ et B′ deux points distincts de D′, tous differents de O.

Les droites (AA′) et (BB′) sont paralleles si, et seulement siOB

OA=

OB′−−→OA′

. Dans ces conditions,

OB

OA=

OB′−−→OA′

=BB′

AA′

2) Rotations :

• Definition, representation complexe.• Effet sur les distances et les angles orientes.

3) Reflexions :

• Definition.• Expression vectorielle du projete de M sur D = Ω + R−→e , du symetrique.• Effet sur les distances, les angles.

4) Decomposition des isometries :

Lemme 10 Une isometrie qui fixe trois points non alignes est l’identite.

Theoreme 54 Toute isometrie de P s’ecrit comme produit d’au plus trois reflexions.

Corollaire 31 L’ensemble I des isometries de P est un groupe pour la loi .

81

5) Expression analytique des isometries :

Theoreme 55 Soit F une isometrie de P. Il existe alors a ∈ C de module 1 et b ∈ C tels que onait F de la forme

z −→ az + b ou z −→ az + b.

Dans le cas 1 : F est appele deplacements : il y a conservation des angles orientes.Dans le cas 2 : F est appele antideplacement : les angles orientes sont changes en leur oppose.

Remarque :

Proposition 127 Un deplacement de P est une translation ou une rotation.

Remarque : L’ensemble D des deplacements munis de la loi est un groupe.

6) Proprietes des isometrie :

Theoreme 56 (Conservation du barycentre) Soit G le barycentre des points (Mi, λλi) pouri ∈ [[1, n]], F une isometrie. Alors F (G) est le barycentre des points (F (Mi), λi).

Exemple : Si f laisse globalement invariant un polygone, l’isobarycentre de ce polygone est un pointfixe.

Proposition 128 Soit M =/ N dans P, f une isometrie.1. L’image de la droite (MN) par f est la droite (f(M)f(N))2. L’image de [MN ] par f est [f(M)f(N)].3. L’image de C(M, R) est C(f(M), R).

Remarque : Angle entre −−→MN et

−−−−−−−→f(M)f(N) pour f translation, f rotation.

Application : Soit S l’ensemble des sommets d’un polygone regulier a n cotes. On considere G (resp.G′) l’ensemble des deplacements (resp. isometries) F telles que F (S) ⊂ S.

1. Montrer que G est un groupe cyclique de cardinal n pour dont on precisera les elements.2. Montrer que G′ contient une reflexion S. En considerant F −→ F S, montrer que CardG′ =

2n.3. En supposant que le polygone est centre en 0, donner l’expression complexe des elements de

G′.

7) Cercles et angles :

Proposition 129 (Angle au centre) Soit A, B, M trois points distincts d’un cercle de centre O.On a

(−→OA,−→OB) ≡ 2(−−→MA,

−−→MB) (mod 2π).

Corollaire 32 (Conditions de cocyclicite) Soit A, B, C, D quatre points distincts. Ils sont co-cycliques ou alignes si, et seulement si

(−→CA,−→CB) ≡ (−→DA,

−→DB) (mod π).

VIII. Similitudes d’un plan euclidien oriente

Definition d’une similitude (multiplication des distances par un reel k > 0).


1) Expression analytique des similitudes :

Theoreme 57 Une similitude de P est de la forme

z −→ az + b ou z −→ az + b,

avec a non nul, b ∈ C.Le rapport de la similitude est |a|.Dans le premier cas, on dit que la similitude est directe. Dans le second, on dit qu’elle est

indirecte.

Remarque : Les similitudes sont bijectives. L’ensemble des similitudes est un groupe pour .L’ensemble des similitudes directes est un groupe pour .Theoreme 58 (Conservation du barycentre) Soit G le barycentre des points (Mi, λλi) pouri ∈ [[1, n]], F une similitue. Alors F (G) est le barycentre des points (F (Mi), λi).

Proposition 130 Soit M =/ N dans P, f une similitude de rapport k.1. L’image de la droite (MN) par f est la droite (f(M)f(N))2. L’image de [MN ] par f est [f(M)f(N)].3. L’image de C(M, R) est C(f(M), R).

2) Reduction des similitudes directes :

Proposition 131 Soit f : z −→ az + b avec a non nul une similitude directe.1. Si a = 1, f est une translation.2. Si a =/ 1, f possede un unique point fixe O appele centre de la similitude. Si α est l’argument

de a, appele angle de la similitude, f s’ecrit f = h r = r h, avec r la rotation de centre O etd’angle α et h l’homothetie de centre O et de rapport |a|.Remarque : si a ∈ R

∗, a =/ 1, il s’agit d’une homothetie. Si |a| = 1, il s’agit d’une rotation.

Proposition 132 Etant donnes deux segments [AB] et [A′B′] de longueurs non nulles, il existeune unique similitude directe f transformant A en A′ et B en B′. De plus son rapport est A′B′/AB

et si −→AB =/−−→A′B′, f n’est pas une translation et son angle est l’angle oriente entre −→

AB et−−→A′B′.

ConclusionCela termine notre presentation du corps des nombres complexes. Nous aurons l’occasion de voir

par la suite le role fondamental de C dans les Mathematiques. Ce sera notamment le cas en Algebrea travers le theoreme de D’Alembert et en Geometrie (le plan complexe permet de transformer desproblemes geometriques en problemes algebriques). Il faut egalement savoir que C sert egalementen Analyse dans le cadre de l’etude des fonctions holomorphes.

Partie BNombres reels. Suites

Chapitre 1

Suites

Dans ce chapitre, K designera R ou C. Si x ∈ K, |x| sera respectivement la valeur absolue de xou le module de x.

I. Suites convergentes

1) Limite d’une suite :

Soient l ∈ R et x ∈ R. On a :

|x − l| ε ⇐⇒ l − ε x l + ε

Definition 122 Soient (un)n∈N une suite de K, l ∈ K.On dit que (un)n∈N (ou plus simplement un) converge vers l si

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n n0) (|un − l| ε)

On dit aussi que un tend vers l lorsque n tend vers +∞. On note

limn→+∞

un = l

ou encore

un −−−−−−−−−→n→+∞

l

Si une suite ne converge pas, on dit qu’elle diverge.

Interpretation : etant donne une distance ε arbitrairement petite, positive, pour n assez grand,un est a une distance de l inferieure ou egale a ε.Remarque : Inversion des quantificateursRemarque : En fait, on peut definir la convergence d’une suite indexee sur une partie infinie de N,par exemple sur N

∗...Exemple : Les suites constantes convergent.

Definition 123 Soit E un ensemble et (un)n∈N une suite de E. On dit que cette suite est station-naire s’il existe n0 ∈ N tel que pour tout n n0, un = un0.

Remarque : Une suite stationnaire converge.

Proposition 133 La suite ( 1n)n∈N∗ converge vers 0.

86 CHAPITRE 1. SUITES

Exemple : limn→∞ 1/ p√

n = 0.Remarque : • Soit (un)n∈N une suite de R. Si un converge vers l ∈ R dans C (i.e. en etant considereecomme suite de C), elle converge egalement dans R.

• Dire que (un)n∈N converge vers l, c’est dire que (un − l)n0 converge vers 0, ou encore que(|un − l|)n∈N converge vers 0.

2) Proprietes des suites convergentes :

Theoreme 59 (Unicite de la limite) Soient (un)n∈N une suite de K, l et l′ deux elements deK. Si (un)n∈N converge vers l et vers l′, alors l = l′.

Remarque : Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites telle que pour n n0, un = vn. Alors (un)n∈N

converge si et seulement si (vn)n∈N converge. Dans le cas de la convergence, la limite de (un)n∈N

est la meme que celle de (vn)n∈N.

Proposition 134 Une suite convergente est bornee.

La suite (n)n∈N ne converge pas.

Proposition 135 Soit (un)n∈N une suite de K convergente vers l ∈ K. Alors, |un| converge vers|l|.Proposition 136 Soient (un)n∈N une suite de C, l ∈ K, (vn)n∈N une suite de R

∗+ telle que

limn→+∞ vn = 0.On suppose qu’il existe N ∈ N tel que pour n N , |un − l| vn. Alors limn→+∞ un = l.

Proposition 137 Soit (zn)n∈N une suite de nombre complexes. Pour tout n ∈ N, on ecrit zn =xn + iyn avec xn ∈ R et yn ∈ R.

Alors, les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) (zn)n∈N converge ;(ii) (xn)n∈N et (yn)n∈N convergent.Dans ces conditions, limn→+∞ zn = limn→+∞ xn + i limn→+∞ yn.

3) Convergence et ordre :

Nous allons considerer ici des suites reelles.

Proposition 138 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites reelles convergentes respectivement vers let m. On suppose que l < m. Alors il existe n0 ∈ N tel que pour n n0, un < vn.

Remarque : • Si limn→+∞ un = l =/ 0, il existe n0 ∈ N tel que pour tout n n0, un =/ 0.• Si l > 0, il existe n0 ∈ N tel pour tout n n0, un > l/2.

Corollaire 33 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites reelles convergentes respectivement vers l etm, telles que pour tout n ∈ N, un vn. Alors l m.

Theoreme 60 (Theoreme des gendarmes) Soient trois suites reelles (un)n∈N, (vn)n∈N,(wn)n∈N telles que pour tout n ∈ N :

un vn wn

On suppose de plus que limn→+∞ un = limn→+∞ wn = l. Alors vn converge vers l.

Exemple : un = sin nn+(−1)n converge vers 0

Proposition 139 Soit A une partie non vide de R, majoree. Alors, il existe une suite de A quiconverge vers supA.

87

4) Cas des suites monotones :

Donnons maintenant un theoreme fondamental sur les suites reelles :

Theoreme 61 Soit (un)n∈N une suite reelle croissante. Alors, les deux propositions suivantes sontequivalentes :

(i) (un)n∈N converge ;(ii) (un)n∈N est majoree.Dans ces conditions, un converge vers supn∈N un.

Exemple : ...

Theoreme 62 (Theoreme des suites adjacentes) Soient (an)n∈N et (bn)n∈N deux suitesreelles telles que pour tout n ∈ N, an bn, an an+1 et bn+1 bn. On suppose enfin quelimn→+∞ bn − an = 0. Alors (an)n∈N et (bn)n∈N converge vers la meme limite.

Corollaire 34 (Theoreme des segments emboites) Soit (In)n∈N une suite d’intervallesfermes de R telle que In+1 ⊂ In (n 0) et telle que la longueur de In converge vers 0. Alors

⋂

n∈N

In

est reduit a un element.

II. Suites tendant vers l’infini

1) Generalites :

Definition 124 Soit (un)n∈N une suite reelle. On dit que (un)n∈N (ou plus simplement un) tendvers +∞ si

(∀A ∈ R) (∃n0 ∈ N) (∀n n0) (un A)

On note

limn→+∞

un = +∞

ou encore

un −−−−−−−−−→n→+∞

+ ∞

On dit que (un)n∈N (ou plus simplement un) tend vers −∞ si

(∀A ∈ R) (∃n0 ∈ N) (∀n n0) (un A)

On note

limn→+∞

un = −∞

ou encore

un −−−−−−−−−→n→+∞

−∞

Exemple : un = n tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞.Exercice : Soit f : N −→ N une application injective. Alors limn→∞ f(n) = +∞.

Proposition 140 Si un tend vers +∞ (resp. vers −∞), (un)n∈N n’est pas bornee.


2) Comparaison :

Proposition 141 Si un tend vers +∞ et si un vn, vn converge aussi vers +∞.

Exemple : limn→+∞ n2 + sinn = +∞

Proposition 142 Soit A une partie de R non majoree. Il existe alors une suite de A qui tend vers+∞.

3) Cas des suites monotones :

Proposition 143 Soit (un)n∈N une suite croissante non majoree. Alors un tend vers +∞.

Conclusion : Si (un)n∈N est une suite croissante, un converge, ou bien un tend vers +∞ lorsquen tend vers +∞.

III. Operations sur les limites

1) Operations symboliques sur R :

Soit a ∈ R.• Si a =/ −∞, a + (+∞) = (+∞) + a = +∞ ;• Si a =/ + ∞, a + (−∞) = (−∞) + a = −∞ ;• Si a > 0, a × (+∞) = (+∞) × a = +∞ ;• Si a < 0, a × (+∞) = (+∞) × a = −∞ ;• Si a > 0, a × (−∞) = (−∞) × a = −∞ ;• Si a < 0, a × (−∞) = (−∞) × a = +∞.On ne definit pas +∞.0 ou (−∞) + (+∞) : ce sont ce qu’on appelle des formes indeterminees.

2) Somme et produit :

Proposition 144 Soient deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N de K.On suppose que limn→+∞ un = l et limn→+∞ vn = m (l et m etant dans R si K = R, et dans C

si K = C).Alors, si ceci a un sens

limn→+∞

un + vn = l + m

Lemme 11 Si limn→+∞ un = +∞, λ > 0 (resp. λ < 0), limn→+∞ λun = +∞ (resp. −∞).

Proposition 145 Soient deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N de K.On suppose que limn→+∞ un = l et limn→+∞ vn = m (l et m etant dans R si K = R, et dans C

si K = C).Alors, si ceci a un sens

limn→+∞

unvn = lm

89

3) Inverse et quotient :

Proposition 146 Soit (un)n∈N une suite de K∗ convergente vers l =/ 0. Alors

limn→+∞

1un

=1l

Si un est dans K∗ et limn→+∞ |un| = +∞, on a

limn→+∞

1un

= 0

Enfin, si un > 0 et limn→+∞ un = 0, on a

limn→+∞

1un

= +∞

Corollaire 35 Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de K, vn =/ 0 pour tout n. On suppose queun et vn convergent respectivement vers l et m =/ 0. Alors

limn→+∞

un

vn=

l

m

Exemple : limn→∞ p√

n = +∞.

IV. Relation de comparaison entre les suites

1) Suites negligeables :

Donner l’idee que l’on veut traduire ici.

Definition 125 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites reelles. On dit que vn est negligeable devantun au voisinage de l’infini s’il existe N ∈ N, (εn)nN une suite reelle tels que

∀n N vn = εnun et limn→+∞

εn = 0.

On ecrit alors vn = o(un) (au voisinage de l’infini).

Proposition 147 Si un ne s’annule pas pour n n0,

vn = o(un) ⇐⇒ limn→+∞

vn

un= 0.

Exemple : 1. n = o(n2) et si p < q, np = o(nq).2. 1/n2 = o(1/n) et si p < q, 1/nq = o(1/np).3. (hp) comparer lnn et n, np et an.

Proposition 148 On considere deux suites reelles (un)n∈N et (vn)n∈N.1. o(un) + o(un) = o(un) ;2. Si vn est bornee (par exemple si vn converge) vno(un) = o(un).3. Si vn = o(un) et wn = o(vn), alors wn = o(un).


2) Suites equivalentes :

Donner l’idee que l’on veut traduire ici.Definition 126 Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites reelles. On dit que vn est equivalente a un auvoisinage de l’infini s’il existe N ∈ N, (αn)nN une suite reelle tels que

∀n N vn = αnun et limn→+∞

αn = 1.

On ecrit alors un ∼ vn (au voisinage de l’infini).Proposition 149 Si un ne s’annule pas pour n n0,

un ∼ vn ⇐⇒ limn→+∞

vn

un= 1.

Proposition 150 ∼ est une relation dequivalence sur l’ensemble des suites reelles RN.

3) Equivalents et limites :

Proposition 151 Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de K.1. Si limn→∞ un = l et l =/ 0, alors un ∼n→∞ l.2. On suppose (un)n∈N reelle. Si un ∼n→∞ vn et limn→∞ un = l ∈ R, alors limn→∞ vn = l.3. Si un ∼n→∞ vn et limn→∞ un = l ∈ C, alors limn→∞ vn = l.

4) Proprietes des equivalents :

Proposition 152 Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de R.Les deux propositions suivantes sont sont equivalentes :(i) un ∼n→∞ vn ;(ii) un − vn = o(vn) au voisinage de l’infini.

Proposition 153 Si un = o(vn) et si vn ∼ wn, alors un = o(wn).Proposition 154 Si un ∼ vn, un et vn ont le meme signe strict a partir d’un certain rang.Proposition 155 (Theoreme des gendarmes) Soit (un)n∈N, (vn)n∈N, (wn)n∈N trois suitesstrictement positives. On suppose

1. un vn wn pour n assez grand ;2. un ∼ wn.Alors un ∼ vn ∼ wn.

Proposition 156 1. Soient (un)n∈N, (vn)n∈N, (u′n)n∈N et (v′n)n∈N quatre suites de R. On suppose

que un ∼n→∞ vn et un ∼n→∞ v′n. Alors

unvn ∼n→∞ u′nv′n

2. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de R∗. On suppose que un ∼n→∞ vn. Alors

1un

∼n→∞1vn

3. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de R. On suppose que un ∼n→∞ vn. Alors

|un| ∼n→∞ |vn|3. Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de R

∗, α ∈ R∗. On suppose que un ∼n→∞ vn. Alors

uαn ∼n→∞ vα

n

Remarque : Pour la somme, en general ca ne marche pas comme le prouve l’exemple : un = sin 1/n ∼1/n et vn = −1/n ∼ −1/n mais un + vn = sin 1/n − 1/n n’est pas equivalent a 0.

91

5) Suites de reference (premiere partie) :

Rappel : limn→+∞ nk avec k ∈ Z.

Proposition 157 Soit a0, a1,..., ap avec ap =/ 0. Alors

apnp + ap−1n

p−1 + · · · + a1n + a0 ∼ apnp.

Si q est le plus petit entier tel que aq =/ 0 :aq

nq+ · · · ap

np∼ aq

nq.

Application : Soient n0 ∈ N et pour n n0, des reels a0, a1,..., ap =/ 0, b0, b1,..., bq =/ 0 et

un =apn

p + ap−1np−1 + . . . + a1n + a0

bqnq + bq−1nq−1 + . . . + b1n + b0

suppose parfaitement defini. Alors si q > p, limn→+∞ un = 0, si q = p, limn→+∞ un = ap

bpet si

q < p,

limn→+∞

un =

+∞ si ap et bq sont de meme signe−∞ si ap et bq sont de signe contraire

Theoreme 63 Soient λ ∈ C, k ∈ Z, k =/ 0, et pour n 0, un = λnnk.1. Si |λ| < 1, un tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.2. Si λ ∈ R, λ > 1, un tend vers +∞.

On dit que l’exponentielle l’emporte sur les puissances...Remarque : nk = o(an) si a > 1.

Theoreme 64 Soit a > 0. Alors

limn→+∞

n√

a = 1

Exemple : Suites arithmetiques, suites geometriques.Remarque : Il reste a voir la comparaison avec le logarithme et la factorielle.

V. Suites de Cauchy

1) Introduction :

Definition 127 Soit (un)n∈N une suite de K. On dit que (un)n∈N est une suite de Cauchy si

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n n0) (∀n′ n0) (|un − un′ | ε)

Interpretation : pour n assez grand, les un sont a une distance inferieure ou egale a ε constantestrictement positive choisie arbitrairement.

Proposition 158 Une suite de Cauchy de K est bornee.

Proposition 159 Toute suite convergente de K est de Cauchy.

Exercice : Soit (uk)k0 une suite strictement croissante de N∗. On pose Sn =

∑nk=0

uk−uk−1

uk, n 0.

Montrer que Sn tend vers +∞ lorsque n tend vers l’infini.On pourrait s’attendre a ce qu’une suite de Cauchy converge. En fait, pour que cela marche, il

faut que l’espace metrique n’ait pas de trous.


2) R est complet :

Soit pour n 0, an =∑n

k=01k! . (an)n∈N est une suite de Q.

Imaginons un instant R non construit. Les notions de convergence et le critere de Cauchy ontencore un sens si on prend ε ∈ Q

∗+. Dans ces conditions, (an)n∈N est de Cauchy. Pourtant :

Proposition 160 (an)n∈N ne converge pas dans Q.

Cette carence de Q peut etre une autre motivation de la construction de R, car dans R, leschoses se passent mieux :

Theoreme 65 Toute suite reelle de Cauchy est convergente.

On dit que R est complet. Ce theoreme fournit un nouveau critere de convergence des suitesnumeriques appele critere de Cauchy. Son avantage est qu’il peut etre utilise lorsqu’on ne connaitpas la limite de la suite. Ainsi, (an)n∈N converge dans R vers un reel qui est note e (voir chapitresur C).

3) Cas de C :

Corollaire 36 Toute suite de C de Cauchy est convergente dans C.

On dit la aussi que C est complet.

VI. Suites extraites

1) Cas general :

Definition 128 Soit (un)n∈N une suite d’un ensemble E. On appelle suite extraite de (un)n∈N

toute suite du type (uϕ(n))n∈N ou ϕ : N −→ N est une fonction strictement croissante.

Remarque : On parle egalement de sous-suite. Une suite extraite est une suite.Exemple : (un+1)n∈N, (u2n)n∈N...Remarque : Une suite extraite d’une suite extraite est encore une suite extraite. Plus precisement :soient (un)n∈N une suite, ϕ : N −→ N une fonction strictement croissante. La suite extraite de(uϕ(n))n∈N relative a ψ (fonction strictement croissante de N dans N) est

(uϕψ(n))n∈N

Comme ϕψ est une fonction strictement croissante de N dans N, (uϕψ(n))n∈N est une suite extraitede (un)n∈N.

2) Suite extraite d’une suite convergente :

Lemme 12 Si ϕ : N −→ N est strictement croissante, pour tout n ∈ N, ϕ(n) n etlimn→+∞ ϕ(n) = +∞.

Proposition 161 Toute suite extraite d’une suite de K convergente vers l ∈ K converge vers l.

Remarque : Extension aux limites infiniesExemple : ((−1)n)n0 ne converge pas.Exercice : Si limn→+∞ u2n = l = limn→+∞ u2n+1, limn→+∞ un = l.

93

3) Valeur d’adherence d’une suite :

Definition 129 Soient (un)n∈N une suite de K, a ∈ K. a est une valeur d’adherence de (un)n∈N

si

(∀ε > 0) (∀N ∈ N) (∃n N) (|un − a| ε)

Exemple : 1 et −1 sont les seules valeurs d’adherence de un = (−1)n.

Proposition 162 Soient (un)n∈N une suite de K, a ∈ K. Les deux propositions suivantes sontequivalentes :

(i) a est une valeur d’adherence de (un)n∈N ;(ii) a est la limite d’une suite extraite de (un)n∈N.

Nous verrons plus tard le theoreme suivant :

Theoreme 66 On peut extraire de toute suite bornee une sous-suite convergente.


Chapitre 2

Topologie de R. Limites

I. Ouverts, fermes, voisinages

1) Ouverts de R :

Definition 130 Soit U ⊂ R. On dit que U est un ouvert de R si pour tout x ∈ U , il existe ε > 0tel que ]x − ε, x + ε[⊂ U .

Exemple : ∅ et R sont des ouverts.

Proposition 163 Les intervalles ouverts sont des ouverts de R. Les intervalles du type ]a,+∞[ et] −∞, a[ ou a ∈ R sont des ouverts.

Proposition 164 1. Soit (Ui)i∈I une famille d’ouverts de R. Alors⋃

i∈I

Ui

est un ouvert de R.2. Soit (U1, U2, . . . , Un) une famille finie d’ouverts de R. Alors

n⋂

i=1

Ui

est un ouvert de R.

L’ensemble des ouverts est stable par reunion et par intersection finie. On appelle topologie deR l’ensemble de ces ouverts.

2) Fermes de R :

Definition 131 Soit F ⊂ R. On dit que F est un ferme de R si son complementaire dans R estun ouvert de R.

Exemple : ∅ et R sont fermes. Ce n’est pas parce qu’une partie n’est pas ouverte qu’elle est fermee(et reciproquement) comme le prouve [0, 1[.

Proposition 165 Les intervalles fermes sont des fermes de R. Les intervalles du type [a,+∞[ et] −∞, a] ou a ∈ R sont des fermes.

96 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE R. LIMITES

Proposition 166 1. Soit (Fi)i∈I une famille de fermes de R. Alors⋂

i∈I

Fi

est un ferme de R.2. Soit (F1, F2, . . . , Fn) une famille finie de fermes de R. Alors

n⋃

i=1

Fi

est un ferme de R.

Corollaire 37 Les parties finies de R sont fermees.

3) Voisinage d’un point de R :

Definition 132 Soit x ∈ R. On dit qu’une partie W de R est un voisinage de x (dans R) s’il existeε > 0 tel que ]x − ε, x + ε[⊂ W .

Remarque : U est un ouvert si, et seulement si U est un voisinage de chacun de ses points.

Proposition 167 Soit x ∈ R.1. Si W est un voisinage de x, et si W ′ ⊃ W , W ′ est un voisinage de x.2. Si W1, W2,..., Wn sont des voisinages de x, il en va de meme de W1 ∩ W2 ∩ . . . ∩ Wn.

Exercice : Montrer que si W est un voisinage de x, il existe un voisinage V de x tel que pour touty ∈ V , W est un voisinage de y.

Proposition 168 Soient x et y deux reels distincts. Il existe alors W voisinage de x et W ′ voisi-nage de y tel que W ∩ W ′ = ∅Remarque : (un)n∈N converge vers l ∈ R si, et seulement si,

(∀W voisinage de l) (∃n0 ∈ N) (∀n n0) (un ∈ W )

4) Voisinage de l’infini :

Definition 133 On dit qu’une partie W de R est un voisinage de +∞ s’il existe A ∈ R tel que[A,+∞[⊂ W .

On dit qu’une partie W de R est un voisinage de −∞ s’il existe A ∈ R tel que ] −∞, A] ⊂ W .

Proposition 169 1. Si W est un voisinage de +∞, et si W ′ ⊃ W , W ′ est un voisinage de +∞.2. Si W1, W2,..., Wn sont des voisinages de +∞, il en va de meme de W1 ∩ W2 ∩ . . . ∩ Wn.

5) Systeme fondamental de voisinages :

Definition 134 Soit x ∈ R. On dit qu’une partie S est un systeme fondamental de voisinages de xsi la propriete suivante est verifiee : tout element de S est un voisinage de x et pour tout voisinageW de x, il existe V ∈ S tel que V ⊂ W .

Exemple : • Si x ∈ R, les ouverts contenant x forment un systeme fondamental de voisinages de x.• Si x ∈ R, les intervalles ]x − ε, x + ε[ (ε > 0) forment un systeme fondamental de voisinages

de x.• Si x ∈ R, les intervalles ]x − 1/n, x + 1/n[ (n 1) forment un systeme fondamental de

voisinages de x.• Les intervalles [n, +∞[ (n 1) forment un systeme fondamental de voisinages de +∞.

97

II. Adherence et interieur d’une partie

1) Interieur :

Definition 135 Soient A ⊂ R et x ∈ R. On dit que x est un point interieur de A s’il existe ε > 0tel que ]x − ε, x + ε[⊂ A. Autrement dit, x est un point interieur de A si A est un voisinage de x.

Definition 136 Soit A ⊂ R. On appelle interieur de A l’ensembleA des points interieurs de A.

Exemple :R= R,

∅= ∅,

[a, b]=]a, b[...

Proposition 170 Soient A et B deux parties de R.1.

A⊂ A ;

2. Si A ⊂ B,A⊂

B ;

3.A=

A.

Proposition 171 Soit A une partie de R. AlorsA est le plus grand ouvert (au sens de l’inclusion)

contenu dans A.En particulier,

A est un ouvert.

Corollaire 38 Soit A ⊂ R. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) A ouvert ;(ii)

A= A.

2) Adherence :

Definition 137 Soient A ⊂ R et x ∈ R. On dit que x est adherent a A si tout voisinage de xrencontre A.Exemple : Si A est majoree non vide dans R, supA est adherent a A.Remarque : Soit S un systeme fondamental de voisinages de x. Pour que x soit adherent a A, ilfaut, et il suffit que pour tout W ∈ S, W ∩A =/ ∅ En particulier, x est adherent a A si, et seulementsi pour tout ε > 0, il existe a ∈ A, |a − x| ε.Definition 138 On appelle adherence d’une partie A de R l’ensemble A des points de R adherentsa A.Exemple : Adherence de R, ∅, ]a, b[...Proposition 172 Soient A et B deux parties de R.

1. A ⊂ A ;2. Si A ⊂ B, A ⊂ B ;3. A = A.

3) Passage au complementaire :

Proposition 173 Si A est une partie de R,

SRA=SRA et SRA =SR

A

Proposition 174 Soit A une partie de R. Alors A est le plus petit ferme (au sens de l’inclusion)contenant dans A.

En particulier, A est un ferme.Corollaire 39 Soit A ⊂ R. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :

(i) A ferme ;(ii) A = A.


4) Caracterisation sequentielle de l’adherence, parties denses :

Proposition 175 Soit A ⊂ R et x ∈ R.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) x est adherent a A ;(ii) Il existe une suite (xn)n∈N de A telle que limn→+∞ xn = x.

Remarque : Demarche pour montrer qu’une partie est fermee. Exemple pour Z.

Proposition 176 Dire que A ⊂ R est dense dans R revient a dire que A = R.

Corollaire 40 Si A est une partie dense de R, pour tout x ∈ R, il existe une suite (xn)n∈N

d’elements de A telle que limn→+∞ xn = x.

5) Cas de l’infini :

Definition 139 Soit A ⊂ R. On dire que +∞ est adherent a A si pour tout voisinage W de +∞,W ∩ A =/ ∅.Proposition 177 Soit A ⊂ R, non vide. +∞ est adherent a A si et seulement si, A n’est pasmajoree.

ATTENTION ! Comme +∞ /∈ R, meme si +∞ est adherent a A, +∞ /∈ R.

III. Theoreme de Bolzano-Weierstrass :

1) Cas des suites reelles :

Rappel : Caracterisation des valeurs d’adherences avec ε.

Theoreme 67 (Theoreme de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornee de R, on peut ex-traire une sous-suite convergente.

Autrement dit, toute suite reelle bornee possede une valeur d’adherence.

Remarque : Histoire de Bolzano et Weierstrass.Remarque : limsup et liminf

2) Cas des suites complexes :

Theoreme 68 (Theoreme de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornee de C, on peut ex-traire une sous-suite convergente.

Autrement dit, toute suite complexe bornee possede une valeur d’adherence.

3) Parties compactes de R :

Definition 140 Soit K ⊂ R.On dit que K est une partie compacte de R si de toute suite de K, on peut extraire une sous-suite

convergente vers un point de K.

Exemple : Les parties finies sont compactes.

Theoreme 69 Soit K une partie de R. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) K est une partie compacte de R ;(ii) K est fermee et bornee.

99

Exemple : [a, b] est une partie compacte de R. Toute reunion finie de compacts est compacte. Enparticulier, si les ai et bi sont reels :

[a1, b1] ∪ [a2, b2] ∪ . . . ∪ [an, bn] est compacte.

IV. Limite d’une fonction numerique :

Dans ce paragraphe, A designera une partie de R, a et l deux elements de R avec a adherent aA.

1) Generalites :

Definition 141 Soient f : A −→ R.On dit que f tend vers l lorsque x tend vers a si, pour tout voisinage V de l, il existe un

voisinage W de a tel que f(W ∩ A) ⊂ V . On note limx→a f(x) = l.

Exemple : Si f : x ∈ R −→ x, limx→a f(x) = a et limx→+∞ f(x) = +∞.

Proposition 178 Si limx→a f(x) = l ∈ R, f est bornee au voisinage de a i.e. il existe un voisinageW de a tel que f|V ∩A est bornee.

Definition 142 Soient f : A −→ R et B ⊂ A tel que a soit adherent a B.On dit que f tend vers l lorsque x tend vers a en restant dans B si limx→a f|B(x) = l. On note

alors

limx→ax∈B

f(x) = l

2) Unicite, composition :

Theoreme 70 (Unicite de la limite) La limite d’une fonction, si elle existe est unique.

Remarque : Si a ∈ A, et limx→a f(x) = l, l = f(a).

Theoreme 71 Soient f : A −→ B (B ⊂ R), g : B −→ R, a adherent a A et b adherent a B.Si limx→a f(x) = b et limx→b g(x) = l, alors

limx→a

f(g(x)) = l

3) Utilisation des systemes fondamentaux de voisinages :

Proposition 179 Soient f : A −→ R, Sa (resp. Sl) un systeme fondamental de voisinages de a(resp. de l). Alors les deux propositions suivantes sont equivalentes :

(i) limx→a f(x) = l ;(ii) Pour tout voisinage V ∈ Sl, il existe W ∈ Sa tel que f(W ∩ A) ⊂ V .

Corollaire 41 Soit f : A → R.1. Supposons a ∈ R et l ∈ R. Alors limx→a f(x) = l si et seulement si

(∀ε > 0) (∃η > 0) (|x − a| η =⇒ |f(x) − l| ε)

2. Supposons a ∈ R. Alors limx→a f(x) = +∞ si et seulement si

(∀A 0) (∃η > 0) (|x − a| η =⇒ f(x) A)


3. Supposons a = +∞ et l ∈ R. Alors limx→+∞ f(x) = l si et seulement si

(∀ε > 0) (∃B 0) (x B =⇒ |f(x) − l| ε)

4. Supposons a = +∞. Alors limx→a f(x) = +∞ si et seulement si

(∀A 0) (∃B 0) (x B =⇒ f(x) A)

Remarque : • Pour etudier la converge d’une suite (un)n∈N, on peut considerer la suite comme unefonction numerique u definie sur N. Alors, +∞ ∈ N et (un)n∈N tend vers l si et seulement si uadmet comme limite l en +∞.

• Negations...Exemple : limx→0

n√

x = 0 (n 2).

4) Restriction du domaine de definition :

Proposition 180 Soit f : A −→ R.1. Si B ⊂ A, a ∈ B et limx→a f(x) = l, alors

limx→ax∈B

f(x) = B

2. Si V est un voisinage de a et si lim x→aV ∩A

f(x) = l, alors limx→a f(x) = l.

Remarque : Le point 2. signifie que les problemes de limites sont des problemes locaux et qu’onpeut se restreindre pour l’etude des limites a certains voisinages de a.

Theoreme 72 Soient f : A −→ R, A1, A2,..., An des parties de A telles que A =⋃

1in Ai et aadherent a Ai pour tout 1 i n.

Supposons que pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, lim x→ax∈Ai

f(x) = l. Alors limx→a f(x) = l.

5) Limite a gauche et limite a droite :

Definition 143 Soit f : A −→ R. On note A1 = A∩]−∞, a[ (resp. A2 = A∩]a,+∞[). On supposeque a est adherent a A1 (resp. a A2). On dit alors que f admet une limite a gauche en a si f|A1

(resp. f|A2) admet une limite lorsque x tend vers a. On note cette limite f(a−) (resp. f(a+)).

Exemple : 1R+ en 0

Corollaire 42 Reprenons les notations de la definition precedente. On suppose que a est adherenta A1 et a A2 et que f admet une limite a gauche et une limite a droite.

1. Si a /∈ A et f(a+) = f(a−), alors limx→a f(x) = f(a+) = f(a−).2. Si a ∈ A et f(a+) = f(a−) = f(a), alors limx→a f(x) = f(a).

6) Caracterisation sequentielle :

Theoreme 73 Soit f : A −→ R, a adherent a A.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) limx→a f(x) = l ;(ii) Pour toute suite (xn)n∈N de A tendant vers a, la suite (f(xn))n∈N tend vers l.

101

V. Operations sur les limites

Encore dans ce paragraphe, A designera une partie de R, a et l deux elements de R avec aadherent a A. On mettra en evidence deux types de preuve pour les enonces qui suivent : lespreuves generales et celles utilisant les suites.

1) Passage a la valeur absolue :

Proposition 181 Soit f : A −→ R. Si limx→a f(x) = l ∈ R, limx→a |f(x)| = |l|.

2) Operations algebriques :

Rappel : Operations symboliques de R.Soient f : A −→ R et g : A −→ R, l = limx→a f(x) ∈ R et l′ = limx→a g(x) ∈ R.

Proposition 182 Si cela a un sens :

limx→a

(f(x) + g(x)) = l + l′ et limx→a

f(x)g(x) = ll′

Proposition 183 Supposons que f ne s’annule pas. Alors1. si l ∈ R

∗, limx→a1

f(x) = 1l ;

2. si l = 0, f(x) > 0 pour tout x ∈ A, limx→a1

f(x) = +∞ ;3. si l = +∞, limx→a

1f(x) = 0.

Corollaire 43 Supposons que g ne s’annule pas et l′ =/ 0. Alors

limx→a

f(x)g(x)

=l

l′

3) Prolongement des inegalites :

Proposition 184 Soient f : A −→ R et g : A −→ R, l = limx→a f(x) ∈ R et l′ = limx→a g(x) ∈ R.Si l < l′, il existe un voisinage W de a tel que pour tout x ∈ W ∩ A, f(x) < g(x).

Remarque : Si limx→a f(x) = l =/ 0, il existe un voisinage W de a tel que f ne s’annule pas surW ∩ A.

Corollaire 44 Soient f : A −→ R et g : A −→ R, l = limx→a f(x) ∈ R et l′ = limx→a g(x) ∈ R.On suppose

(∀x ∈ A) (f(x) g(x))

Alors l l′.

Remarque : Il n’y a pas de theoreme de prolongement des inegalites strictes. ex

Remarque : Le resultat reste vrai si f(x) g(x) est seulement vraie sur un voisinage de a.

Theoreme 74 (Theoreme des gendarmes) Soient f : A −→ R, g : A −→ R et h : A −→ R.On suppose que limx→a f(x) = limx→a h(x) = l ∈ R et que pour tout x ∈ A :

f(x) g(x) h(x)

Alors limx→a g(x) = l.

Remarque : On peut se restreindre a un voisinage de a.

Proposition 185 Soient f : A −→ R et g : A −→ R avec f g. Si limx→a f(x) = +∞,limx→∞ g(x) = +∞.


VI. Limite des fonctions monotones

Theoreme 75 Soient I un intervalle, f : I −→ R croissante, a ∈ R

1. Soit a ∈ I, a n’etant pas la borne inferieure de I. Alors f(a−) existe dans R et vaut

f(a−) = supx<a

f(x) et on a f(a−) f(a).

2. Soit a ∈ I, a n’etant pas la borne superieure de I. Alors f(a+) existe dans R et vaut

f(a+) = infx>a

f(x) et on a f(a) f(a+).

3. Si a est la borne inferieure de f et si a /∈ I, lima f existe et vaut infx∈I f(x).4. Si a est la borne superieure de f et si a /∈ I, lima f existe et vaut supx∈I f(x).

DESSINRemarque : Cas des fonctions decroissante. , a ∈ R adherent a A.

Corollaire 45 Soit f : I −→ R monotone.En tout point a interieur de I, f admet des limites finies a gauche et a droite en a et f(a) ∈

[f(a−), f(a+)].

Chapitre 3

Introduction aux series

Dans ce chapitre, K designera R ou C. Si x ∈ K, |x| sera respectivement la valeur absolue de xou le module de x.

I. Convergence des series

1) Generalites :

Definition 144 Soit (un)n∈N une suite de K. On appelle serie de terme general uk (ou encore seriedes uk) la suite (Sn)n∈N ou

Sn =n∑

k=0

uk

Elle est notee∑+∞

n=0 uk.On dit que la serie de terme general uk converge si la suite (Sn)n∈N admet une limite S dans

K. S s’appelle alors la somme de la serie de terme general uk et on note

S =+∞∑

n=0

uk

Remarque : Une serie peut etre definie a partir d’un n0 > 0 quelconque : n0 = 3 et∑+∞

n=3 un...Remarque : Si on modifie un nombre fini de termes de

∑un, la nature (i.e. le fait qu’elle converge

ou qu’elle ne converge pas) reste inchangee. Par contre, evidemment, la somme de la serie (si laserie converge) change.Remarque : Si

∑un,

∑vn convergent, il en va de meme de

∑λun + µvn et

+∞∑

n=0

λun + µvn = λ+∞∑

n=0

un + µ+∞∑

n=0

vn

2) Condition necessaire de convergence :

Proposition 186 Soit∑

un une serie de K. Si∑

un converge,

limn→+∞

un = 0

Remarque : La reciproque est fausse :∑

1/n ne converge pas. dem

104 CHAPITRE 3. INTRODUCTION AUX SERIES

3) La serie geometrique :

Proposition 187 Soit z ∈ C. Alors∑

zn converge si et seulement si |z| < 1. Dans ces conditions,

+∞∑

n=0

zn =1

1 − z

II. Serie a termes positifs

1) Majoration des sommes partielles :

Nous allons traduire ici le theoreme de convergence des suites monotones en termes de series.

Proposition 188 Soit (un)n∈N une suite de reels positifs ou nuls. Les deux propositions suivantessont equivalentes :

(i)∑

un converge ;(ii) il existe M 0 tel que pour tout n 0

0 n∑

k=0

uk M

Notation : Si les uk sont positifs ou nuls, on notera∑+∞

n=0 un < +∞ si∑+∞

n=0 un converge et∑+∞

n=0 un = +∞ dans le cas contraire.Exemple :

∑+∞n=1 1/n = +∞,

∑+∞n=0 1/2n = 2...

2) Le theoreme de comparaison des series a termes positifs :

Theoreme 76 (theoreme de comparaison des series a termes positifs) Soient∑

un et∑

vn deux series a termes positifs tels que un vn pour tout n 0.1. Si

∑vn converge, alors

∑un converge aussi et

+∞∑

n=0

un +∞∑

n=0

vn

2. Si∑

un diverge, alors∑

vn diverge aussi.

Corollaire 46 1. Soit∑

un et∑

vn deux series a termes positifs. Si un ∼ vn,∑

un et∑

vn sontde meme nature.

2. Soit∑

un et∑

vn deux series a termes positifs. On suppose vn = o(un) et∑

un convergente.Alors

∑vn est convergente.

3) Series de reference :

On connait deja la serie geometrique.Theoreme 77 (Serie de Riemann) Soit α ∈ Z. Alors

∑ 1nα

converge.

si, et seulement si α > 1.Riemann (1826-1866) est l’auteur d’ouvrages fondamentaux sur les fonctions analytiques, la

theorie de l’integration, la geometrie differentielle. sa fonction ζ : s −→∑+∞

n=11ns donne de precieux

renseignements sur la repartition des nombres premiers.

105

III. Serie absolument convergente

Definition 145 Soit∑

un une serie de K. On dit que∑

un est absolument convergente si la serie∑

|un| converge.

Theoreme 78 Toute serie absolument convergente de K est convergente.

Corollaire 47 Soit∑

un et∑

vn deux series. On suppose un 0 pour tout n et vn = o(un). Si∑

un converge, la serie∑

vn est absolument convergente et donc convergente.

Remarque : La reciproque est fausse (considerer∑+∞

n=1(−1)n

n )Exemple : • Si |z| < 1,

∑zn est absolument convergente.

• si α 2,∑ (−1)n

nα converge.

IV. Representation d’un reel en base donnee

1) Rappels sur la representation des entiers :

Dans Z, nous disposons au depart de deux symboles 0 et 1 elements neutres des operationsinternes. Soit B 2, entier que nous appellerons base de numeration. Donnons nous B − 2 autressymboles µ2, µ3,..., µB et on pose

µk = k.1

Par exemple, si B est 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1, on se donne 2 = 1+1, 3 = 1+1+1,...,9 =1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.

Theoreme 79 Soit n 1. Il existe une unique suite de N a support fini telle que

n =+∞∑

k=0

akBk

et pour tout k ∈ N, 0 ak B − 1.

Notation : Si n =∑N

k=0 akBk ∈ N, on notera

n = aNaN−1 . . . a1a0

chaque ak etant represente par le symbole correspondant µl. C’est la representation en base B del’entier n. Si B = 10, on parle de representation decimale.

Si n < 0, et −n = aNaN−1 . . . a1a0, n = −aNaN−1 . . . a1a0 est la representation en base B del’entier n.

2) Representation des reels :

Soit B 2 la base de numeration et les symboles associes.Notons T l’ensemble des suites (an)n1 telles que 0 an B − 1 et

(∀p 1) (∃q > p) (aq =/ B − 1)

Theoreme 80 L’application f : (an)n1 ∈ T −→∑+∞

n=1anBn ∈ R est bien defini et realise une

bijection de T dans [0, 1[.

106 CHAPITRE 3. INTRODUCTION AUX SERIES

Definition 146 Avec les notations du theoreme precedent, si x ∈ [0, 1[ et (an)n1 = f−1(x),∑+∞

n=1anBn est le developpement de x en base B.

Notation : Soit x ∈ R∗. Notons E(x) = bNbN−1 . . . b1b0 la representation en base B de E(x). Soit

(an)n1 ∈ T telle que

x − E(x) =+∞∑

n=1

an

Bn

Alors bNbN−1 . . . b1b0, a1a2a3 . . . an . . . (chaque ak et chaque bk etant represente par le symbolecorrespondant µl) est la representation en base B du reel x. Si B = 10, on parle de representationdecimale.

Si x < 0, la representation en base B s’obtient en mettant − devant la representation en baseB de −x.Exemple : 2/3 = 0, 66666666.... si B = 10.

Proposition 189 Soit x = E(x) +∑+∞

n=1anBn avec (an)n1 ∈ T . Alors E(x) +

∑Nn=1

anBn est une

approximation de x a BN pres.

3) Indenombrabilite de R :

Rappel : Q est un ensemble denombrable.

Theoreme 81 R est indenombrable.

4) Caracterisation des rationnels :

Theoreme 82 Soit x ∈ [0, 1[, x =∑+∞

n=1anBn le developpement en base B de x. Alors x ∈ Q si et

seulement si (an)n1 est periodique a partir d’un certain rang i.e.

(∃N 0) (∃d 1) (∀n N) (an+d = an)

Chapitre 4

Systemes definies par recurrence

K designe dans ce chapitre R ou C.

Definition 147 Soient E un ensemble, f : E −→ E, a ∈ E.Alors la suite definie par u0 = a et un+1 = f(un) pour tout n 0 est appelee systeme dynamique

discret.

I. Suites a recurrence lineaire

1) Suites geometriques :

Soient λ ∈ K, u0 ∈ K et (un)n∈N la suite definie par recuurence par :

un+1 = λun pour tout n ∈ N

Definition 148 Une telle suite est appele suite geometrique de raison λ.

Alors, pour tout n ∈ N, un = λnu0.

2) Etude des suites complexes un+1 = aun + bun :

Theoreme 83 Soient a ∈ C et b ∈ C, b =/ 0. On note λ et µ les racines de l’equation x2−ax−b = 0et S l’ensemble des suites (un)n∈N de C telles que

un+2 = aun+1 + bun

1. Si λ =/ µ, (un)n∈N est dans S si, et seulement si, il existe (A, B) ∈ C2 tel que pour tout

n ∈ N :

un = Aλn + Bµn

2. Si λ = µ, (un)n∈N est dans S si, et seulement si, il existe (A, B) ∈ C2 tel que pour tout

n ∈ N :

un = (An + B)λn

Remarque : Soit (un)n∈N une suite de S telle que u0 = α et u1 = β. Alors, il existe A ∈ C et B ∈ C

tel que pour tout n ∈ N on ait

un = Aλn + Bµn (cas 1)

108 CHAPITRE 4. SYSTEMES DEFINIES PAR RECURRENCE

un = Aλn + Bnµn (cas 2)

On trouve A et B en fonction de α et β en resolvant

α = A + B et β = Aλ + Bµ (cas 1)

α = A et β = Aλ + Bµ (cas 2)

Exemple : cf exercice 1

3) Passage aux cas reel :

Soient a ∈ R et b ∈ R. On note λ et µ les racines complexes de l’equation x2 − ax − b = 0 et Sl’ensemble des suites (un)n∈N de R telles que

un+2 = aun+1 + bun

De part l’etude precedente, il existe A ∈ C et B ∈ C tels que un = Aλn + Bµn ou un =(An + B)λn. On trouve la encore A et B en considerant u0 et u1.

Si on recherche toutes les solutions, on prend les parties reelles (ou imaginaires) des suitescomplexes solutions.Exemple : un+2 = −un

II. Suites homographiques

1) La sphere de Riemann :

Definition 149 Soit ∞ un symbole ne representant pas un element de C.On appelle sphere de Riemann l’ensemble C = C ∪ ∞.

Remarque : Justification de la terminologie par la projection stereographique.

Definition 150 Soit f : C −→ C.On dit que f est homographique si l’une des deux conditions suivantes est realisees(i) Il existe (a, b) ∈ C

2, a =/ 0 tel que si z ∈ C

f(z) =

az + b si z ∈ C

∞ si z = ∞

(ii) Il existe (a, b, c, d) ∈ C4, ad − bc =/ 0, c =/ 0 tel que si z ∈ C

f(z) =

az+bcz+d si z ∈ C et z =/ − d

c

∞ si z = −dc

ac si z = ∞

Remarque : Si f est homographique, f est bijective.

2) Suites du type un+1 = aun + b :

Soient a ∈ C∗ et b ∈ C.

• Si a = 1, la suite est dite arithmetique et un = u0 + nb.• Si a =/ 1, on recherche le point fixe de f : z −→ az + b. C’est l = b

1−a . On pose un = vn + l eton tombe sur une suite geometrique : un = l + (u0 − l)an.Exemple : ...

109

3) Suites du type un+1 = (az + b)/(cz + d) :

Soient (a, b, c, d) ∈ C4, c =/ 0, ad − bc =/ 0. On considere

C −→ C

f : z −→ az+bcz+d

On desire etudier (un)n∈N une suite f -recurrente.Pour cela, on recherche les points fixes de f .• S’il y a deux points fixes distincts λ et µ, on demontre qu’il existe k ∈ C tel que pour tout

z ∈ C :

f(z) − λ

f(z) − µ= k

z − λ

z − µ

• S’il y a un point fixe double λ. On montre qu’il existe h ∈ C tel que

1f(z) − λ

=1

z − λ+ h

Exemple : Etudier xn+1 = 3 − 2/xn.

III. Suites reelles du type un+1 = f(un)

1) Point fixes et convergence des suites f-recurrentes :

Definition 151 Soit f : A −→ C.Une suite (un)n∈N de K est dite f -recurrente si pour tout n ∈ N, un+1 = f(un).

Remarque : Si f(A) ⊂ A, la donnee de u0 permet de definir parfaitement la suite f -recurrente(un)n∈N.

Definition 152 Soient f : A −→ K, l ∈ A.Si f(l) = l, l est appelee point fixe de f .

Proposition 190 Soient I ⊂ R un intervalle, l ∈ I, f : I −→ R continue, (un)n∈N une suite de If-recurrente.

Alors, si (un)n∈N converge vers l, l est un point fixe de f : f(l) = l.

2) Etude d’une suite definie par recurrence :

On se donne f : I −→ R continue, u0 ∈ I. On suppose un+1 = f(un) pour tout n ∈ N.L’etude de (un)n∈N consiste a savoir si1. un reste dans le domaine de definition de f ;2. un est-elle monotone ?3. un admet-elle une limite ? sinon, y a t-il des valeurs d’adherence.La premiere chose a faire est un schema rapide du comportement de un, ou d’untiliser sa machine

pour conjecturer le resultat et tenter d’organiser l’argumentation.Les limites eventuelles dans I sont les points de f .Deux types d’arguments sont a exploiter :1. Arguments de monotonie ;2. Inegalites des accroissements finis.


3) Points attractifs, points repulsifs :

Proposition 191 Soit f : I −→ I. On suppose f contractante i.e. k-lipschitzienne avec k < 1 etque f possede un point fixe l ∈ I.

Alors toute suite f-recurrente (un)n∈N est convergente vers le point fixe l. Plus precisement, sin ∈ N :

|un − l| kn|u0 − l| et |un − l| kn

1 − k|u1 − u0|

Exemple : I = R+, f : x ∈ I −→ 1/2 arctanx + 1. Appoximation a 10−4 pres pour n = 14,u7 = 1, 4898.

Theoreme 84 Soit f : I −→ R de classe C1, l un point fixe de f .1. On suppose |f ′(l)| < 1. Alors il existe α > 0 tel que si u0 ∈ I∩]l − α, l + α[, toute suite

f-recurrente va converger vers l avec une vitesse en O(kn) avec k ∈]|f ′(l)|, 1[. Le point l est ditattractif.

2. On suppose |f ′(l)| > 1. Alors les seules suites f-recurrentes convergentes vers f sont lessuites stationnaires a l. Le point l est dit repulsif.

Remarque : Lorsque |f ′(l)| = 1, on ne peut rien dire.

4) Cas des suites f-recurrentes avec f monotone :

Soient f : I −→ I monotone et (un)n∈N une suite f -recurrente.• Supposons f croissante. Alors la suite (un)n∈N est monotone : si u0 u1, (un)n∈N est crois-

sante. Si u1 u0, (un)n∈N est decroissante. Lorsque u0 est arbitraire, il est judicieux d’etudier lesigne de la fonction x −→ f(x) − x.

Autre idee force : si l1 < l2 sont deux points fixes de f et si u0 ∈]l1, l2[, les termes un vont resterdans ]l1, l2[.

Proposition 192 Lorsque f est croissante, les termes d’une suite f-recurrente garde la memeposition relative par rapport aux points fixes de f .

Exemple : f : x ∈ [0, 4] −→√

4 + x, u0 = 0. Montrer alors :

limn→+∞

un =1 +

√17

2

• Supposons f decroissante. On pose alors g = f f . g est croissante et on etudie les suitesg-recurrentes (u2n)n0 et (u2n+1)n0 et on est ramene au cas precedent.

Comme precedemment, si u0 est arbitraire, il est peut-etre necessaire d’etudier le signe deg(x) − x = f(f(x)) − x. Avant cela, on cherchera les points fixes l de f (car g(x) − x se factorisepar x− l !), et on veillera a voir si des arguments d’accroissements finis ne suffisent pas a conclure.

Exemple : 1. f : x ∈ R+ −→ 11 + x

, u0 = 1/2.

2. f : x ∈ [0, 1] −→ 1 − x2, u0 = 1/2. Montrer que :

limx→∞

u2n = 0 et limx→∞

u2n+1 = 1

111

IV. Methodes algorithmique de recherche des zeros d’une fonction

1) Rappels :

Nous avons deja eu l’occasion de voir deux exemples :• algorithme de dichotomie ;• methodes des iterations successives.

2) Methode de Lagrange :

Cette methode est encore connue sous le nom de methode de la secante.Soient f : I −→ R de classe D2, (a, b) ∈ I2, a < b. On suppose f(a) < 0 et f(b) > 0, f ′ > 0,

f ′′ > 0. On pose pour x ∈ I

g(x) = x − f(x)b − x

f(b) − f(x)=

xf(b) − bf(x)f(b) − f(x)

Considerons la suite g-recurrente (un)n∈N avec u0 = a. Alors cette suite est• parfaitement definie ;• croissante ;• convergente vers l, l’unique solution de l’equation f(x) = 0 sur [a, b].

Remarque : interpretation geometrique.

3) Methode de Newton :

Cette methode est encore connue sous le nom de methode de la tangente.Soient f : I −→ R de classe D2, (a, b) ∈ I2, a < b. On suppose f(a) < 0 et f(b) > 0, f ′ > 0,

f ′′ > 0. On pose pour x ∈ I

g(x) = x − f(x)f ′(x)

Considerons la suite g-recurrente (un)n∈N avec u0 = b. Alors cette suite est• parfaitement definie ;• decroissante ;• convergente vers l, l’unique solution de l’equation f(x) = 0 sur [a, b].

Remarque : interpretation geometrique.


Partie CFonctions de la variable reelle

Chapitre 1

Fonctions continues

Le concept de fonctions est assez tardif. C’est Euler qui le premier parle de ”fonctions” dansson ”Introduction a l’analyse infinitesimale”. Il ecrit qu’une fonction d’une quantite variable estune expression analytique composee d’une maniere quelconque de cette quantite variable et denombres et de quantites constantes. Le mot analytique n’est pas vraiment precise, mais il decritles operations possibles entre variables et constantes. C’est avec Euler et le developpement de latheorie des equations differentielles que la fonction deviendra la base de l’edifice mathematique.Hadamard parlera du deplacement du nombre a la fonction.

L’etude des fonctions se heurte a la mise au point de bases rigoureuses. L’obligation faite auxmathematiciens du XIXeme siecle d’enseigner (avec en France en 1794 la creation de l’Ecole Poly-technique et de l’Ecole Normale) est une des sources de l’effort de rigueur. En 1813, Gauss redige unMemoire sur la serie hypergeometrique. Mais surtout en 1821, Cauchy publie son Cours d’Analysequ’il donne a l’Ecole Polytechnique. Il s’interesse notamment aux problemes de convergences desseries et donne a cette occasion de nombreux criteres de convergence. Abel critique les preuvesabusives en declarant que ”les series divergentes sont des inventions du diable, et c’est une honteque l’on ose fonder sur elles la moindre demonstration”. Cauchy, mais surtout Bolzano donne ladefinition d’une fonction continue.

”La difference f(x − w) − f(x) peut etre rendue aussi petite que toute grandeur donnee si l’onpeut toujours prendre w aussi petit que l’on veut.”

Il montre ainsi que la continuite est une propriete locale.Avec Baire et ses ”Lecons sur les fonctions discontinues”, l’aspect de l’approximation l’emporte :

il se donne des fonctions discontinues et essaie de les approcher par des fonctions continues. Il utilisela tres recente theorie des ensembles et la topologie generale qui etaient encore tres contreversees,ce qui a contribue a les valider.

S’en est suivi une contreverse sur le concept de fonctions : peut-on considerer une fonction ftelle que, pour un x donne, il n’y ait pas de moyen pratique de calculer f(x) ? La reponse affirmativedevait se retrouver confirmee par de nouveaux concepts de fonctions : fonctions reccursives, fonctionsmultiformes, fonctions definies presque partout...

Dans ce chapitre, A designe une partie non vide de R.

I. Continuite des fonctions a variable reelle

1) Definition de la continuite :

Definition 153 Soient f : A −→ R, a ∈ A.

116 CHAPITRE 1. FONCTIONS CONTINUES

On dit que f est continue en a si

limx→a

f(x) = f(a)

Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue en a.Si f est continue en tout point de A, on dit que f est continue (sur A).On note C(A, R) l’ensemble des fonctions continues de A a valeurs dans R.

Proposition 193 Soient f : A −→ R, a ∈ A. Les propositions suivantes sont equivalentes :(i) f est continue en a ;(ii) lim x→a

x∈A\af(x) = f(a) ;

(iii) Pour tout voisinage V de f(a), il existe un voisinage W de a tel que f(W ∩ A) ⊂ V ;(iv) Pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout x ∈ A verifiant |x − a| ε, on ait

|f(x) − f(a)| ε (η est alors appele module de continuite de f en a por ε).

Remarque : (iv) s’ecrit

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀x ∈ A) (|x − a| η =⇒ |f(x) − f(a)| ε)

Ainsi, si f est discontinue en a, il existe ε > 0 tel que pour tout η > 0, il existe x ∈ A verifiant|x − a| η et |f(x) − f(a)| > ε :

(∃ε > 0) (∀η > 0) (∃x ∈ A) (|x − a| η et |f(x) − f(a)| > ε)

Exemple : • Les fonctions constantes sont continues.• x ∈ R −→ x est continue.• x ∈ R −→ |x| est continue.• Introduire 1A ou A est une partie de R. 1R+ est continue sur R

∗ et discontinue en 0.• 1Q est discontinue en tout point.

Proposition 194 Soient f : A −→ R, a ∈ R. Si f est continue en a, f est localement borne en ai.e. il existe un voisinage V de a tel que f|A∩V soit bornee.

Remarque : Si B ⊂ A et f est continue en tout point de B, on dit que f est continue sur B.


Proposition 195 Soient f : A −→ R, a ∈ R.1. Si a ∈ B ⊂ A et f continue en a, f|B est continue en a.2. Si V est un voisinage de a et si f|V ∩A est continue, alors f est continue en a.

Le point 2. traduit le caractere local de la continuite.

Proposition 196 Soient f : A −→ R, A1, A2,..., An des parties de A telles que A =⋃

1in Ai

et a adherent a Ai pour tout 1 i n. On suppose de plus que a ∈ A.Supposons que pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, lim x→a

x∈Ai

f(x) = f(a). Alors f est continue en a.

Definition 154 Soient f : A −→ R, a ∈ R.On dit que f est continue a gauche (resp. a droite) si f est continue sur ] − ∞, a] ∩ A (resp.

sur [a,+∞[∩A).

Exemple : x ∈ R −→ E(x) est continue a droite sur R. Elle est discontinue a gauche en tout pointde Z.

117

Corollaire 48 Si f est continue a gauche et continue a droite en un point, f est continue en cepoint.

Proposition 197 (Prolongement par continuite) Soient f : A −→ R continue, a ∈ A, a /∈ A,l ∈ R. On suppose que limx→a f(x) = l. Alors f admet un prolongement g continue sur A∪ a enposant g(x) = f(x) si x ∈ A et g(a) = l.

Exemple : La fonction x ∈ R∗ −→ x sin 1

x se prolonge par continuite sur R.

3) Operations algebriques :

Proposition 198 Soient f : A −→ R, g : A −→ R, a ∈ A, λ ∈ R. On suppose f et g continues ena.

Alors, f + g, λf , fg, |f | sont continues en a. De plus, si f ne s’annule pas, 1/f est continueen a.

Corollaire 49 C(A, R) est une sous-algebre de la R-algebre commutative F(A, R).De plus, si f ∈ C(A, R), |f | aussi. Enfin, si f ne s’annule pas et si f ∈ C(A, R), 1/f aussi.

Application : Fonctions polynomiales et fonctions rationnelles.

Definition 155 f : A −→ R est une fonction polynomiales s’il existe n ∈ N, a0, a1,..., an desreels tels que si x ∈ A,

f(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

Si an =/ 0, on dit que n est ”le” degre de f .

Si A est par exemple un intervalle d’interieur non vide, le degre est effectivement unique.Remarque : Limite en +∞ et −∞.

Theoreme 85 Les fonctions polynomiales sont continues.

Definition 156 Soient P et Q deux fonctions polynomiales definies sur A tels que Q ne s’annulepas sur A.

Alors f : x −→ P (x)/Q(x) est une fonction rationnelle.

Corollaire 50 Soit f : A −→ R une fonction rationnelle. Alors f est continue.

Remarque : Limite en +∞ et −∞.

4) Composition des fonctions continues :

Theoreme 86 Soient f : A −→ B (B ⊂ R ), g : B −→ R et a ∈ A.Si f est continue en a, g continue en f(a), alors g f est continue en a.En particulier, si f et g sont continues, g f aussi.

∗ Exemple : x −→ exp( x1+ln2(1+x2)

) est continue sur R.

5) Caracterisation sequentielle de la continuite :

Theoreme 87 Soit f : A −→ R, a ∈ A.Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) f est continue en a.(ii) Pour toute suite (xn)n∈N de A convergente vers a, limn→+∞ f(xn) = f(a).(iii) Pour toute suite (xn)n∈N de A\a convergente vers a, limn→+∞ f(xn) = f(a).


II. Proprietes fondamentales des fonctions continues

1) Extension du vocabulaire sur les fonctions :

Rappel : fonctions majorees, minorees, bornees.

Definition 157 Soient f : A −→ R et a ∈ A.1. On dit que f admet un maximum en a si pour tout x ∈ A, f(x) f(a).2. On dit que f admet un maximum strict en a si pour tout x ∈ A\a, f(x) < f(a).3. On dit que f admet un minimum en a si pour tout x ∈ A, f(x) f(a).4. On dit que f admet un minimum strict en a si pour tout x ∈ A\a, f(x) > f(a).5. On dit que f admet un extremum en a si f admet un maximum ou un minimum en a.6. On dit que f admet un extremum strict en a si f admet un maximum strict ou un minimum

strict.

Definition 158 Soient f : A −→ R et a ∈ A.On dit que f admet un maximum local en a s’il existe un voisinage V de a tel que f|V ∩A admette

un maximum en a.

On definit de maniere analogue un minimum local, un maximum local strict...

2) Image d’une partie compacte par une application continue :

Remarque : Si A est un compact de R, supA ∈ A et inf A ∈ A.

Theoreme 88 On suppose A compacte. Soit f : A −→ R.Alors f(A) est une partie compacte de R. En particulier f admet sur A un maximum et un

minimum : on dit que f est borne et atteint ses bornes.

Remarque : Les hypotheses faites sur A (ferme et borne) sont necessaires comme le prouve les deuxcontre-exemples : x ∈]0, 1] −→ 1/x ∈ R et x ∈ R −→ x ∈ R.

3) Continuite uniforme :

Definition 159 Soit f : A −→ R.On dit que f est uniformement continue si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout

(x, y) ∈ A2 verifiant |x − y| η, on ait |f(x) − f(y)| ε.η est appele module d’uniforme continuite de f associe a ε.

Remarque : C’est cette notion qui correspond en fait a l’idee naıve de continuite : pour x et yproches, f(x)etf(y) sont proches.

Proposition 199 Soit f : A −→ R.Si f est uniformement continue, f est continue.

Exemple : • x ∈]0, 1] −→ 1/x est continue mais pas uniformement continue.• x ∈ [0,+∞[ −→ x2 est continue mais pas uniformement continue.

Definition 160 Soit k > 0. Les fonctions f : A −→ R verifiant pour tout (x, y) ∈ A2

|f(x) − f(y)| k|x − y|

sont appelees fonctions k-lipschitziennes.

Definition 161 S’il existe k > 0 tel que f : A −→ R est k-lipschitzienne, alors f est dite lips-chitzienne.

119

Proposition 200 Les fonctions lipschitziennes sont uniformement continues.

C’est l’inegalite des accroissements finis qui nous fournira des exemples de fonctions lipschitzi-ennes.

Theoreme 89 Soit f : A −→ R continue.Alors, si A est compacte, f est uniformement continue.

4) Theoreme des valeurs intermediaires :

Theoreme 90 (Theoreme des valeurs intermediaires) Soient I un intervalle et f : I −→ R

une fonction continue.Alors f(I) est un intervalle.

Interpretation : il n’y a pas de ”trous” dans le graphe.

Corollaire 51 Soient a < b dans R, f : [a, b] −→ R continue.Alors f(I) = [min f,max f ].

Probleme : Est-ce qu’une fonction qui transforme un intervalle en un intervalle est une fonctioncontinue ?Exercice : Montrer qu’une fonction polynomiale de degre impair admet un zero reel.

III. Continuite des fonctions monotones

Dans ce paragraphe, I designera un intervalle d’interieur non vide.

1) Limite d’une fonction monotone :

Rappel : Soient f : A −→ R, a = supA ∈ R.1. Si f est croissante

limx→ax<a

f(x) = supx∈A

f(x) ∈ R

2. Si f est decroissante

limx→ax<a

f(x) = infx∈A

f(x) ∈ R

Remarque : Si f est croissante, ”f majoree” equivaut a ”limx→ax<a

f(x) ∈ R”.Si f est decroissante, ”f minoree” equivaut a ”limx→a

x<af(x) ∈ R”.

Remarque : Soit f : I −→ R monotone, par exemple croissante.

1. Supposons que a ∈ A. Alors f(a+) et f(a−) ont un sens, existent et f(a−) f(a) f(a+).

f continue ⇐⇒ f(a−) = f(a+)

2. Supposons que a = max I. Seul f(a−) a un sens. f continue si et seulement si f(a−) = f(a).3. Supposons que a = min I. Seul f(a+) a un sens. f continue si et seulement si f(a) = f(a+).

Corollaire 52 Soit f : I −→ R monotone.Alors f admet en tout point interieur de I une limite a gauche et une limite a droite finies.

Exercice : Soit f : I −→ R monotone.Montrer que l’ensemble des points de discontinuite de f est denombrable.


2) Algorithme de dichotomie :

Proposition 201 Soit f : I −→ R une fonction continue strictement monotone, I un intervalled’extremites a < b dans R.

Alors f(I) est un intervalle d’extremites limx→a+ f(x) et limx→b− f(x).

Application : Algorithme de dichotomie pour la resolution des equations f(x) = 0.

3) Critere de continuite pour les fonctions monotones :

Theoreme 91 Soit f : I −→ R monotone.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f est continue.(ii) f(I) est un intervalle.

Theoreme 92 Soit f : I −→ R strictement monotone et continue.Alors f etablit une bijection de I sur l’intervalle J = f(I) et sa reciproque est continue de J

sur I.

Ce theoreme est tres utile pour etablir la continuite de certaines fonctions.

IV. Exemples de fonctions continues

1) Continuite des racines n-ieme :

Theoreme 93 Soit n 1. La fonction

R+ −→ R+

f : x −→ n√

x

est continue.

Remarque : limx→+∞ n√

x = +∞.

2) Continuite de l’exponentielle :

Proposition 202 Pour tout z ∈ C, la serie

+∞∑

n=0

zn

n!

est absolument convergente.

Rappel : La somme de cette serie est appelee exponentielle de z et est notee exp z ou ez.

Corollaire 53 Pour tout z ∈ C,

limn→+∞

zn

n!= 0

Nous allons maintenant prouver le theoreme suivant :

Theoreme 94 Pour tout (z, z′) ∈ C2 :

ez+z′ = ezez′

121

Theoreme 95 La fonction

R −→ R∗+

exp : x −→ ex

est un isomorphisme de groupe de (R,+) sur (R∗+,×), continue strictement croissante. En partic-

ulier,

limx→−∞

ex = 0 et limx→+∞

ex = +∞

Remarque : ex+y = exey, e−x = 1/ex, e0 = 1 et on pose e = e1 (e = 2, 718...).Graphe de exp

Remarque : Si x 0, ex x + 1. en = (e1)n, e1/n = n√

e.

3) Definition du logarithme neperien :

exp est un homeomorphisme de R sur R∗+. Sa reciproque est une fonction continue de R

∗+ sur

R : c’est le logarithme.

Definition 162 On appelle logarithme (neperien) la fonction reciproque de exp. On la note

R∗+ −→ R

ln : x −→ lnx

Theoreme 96 ln est fonction strictement croissante, continue et

limx→0+

lnx = −∞ et limx→+∞

lnx = +∞

De plus, ln est un morphisme du groupe (R∗+,×) sur (R,+). En particulier, si a et b sont strictement

positif et n ∈ Z,

ln ab = ln a + ln b, ln(a

b

)

= ln a − ln b et ln an = n ln a

ln 1 = 0, ln e = 1

Graphe de ln


4) Fonctions exponentielles :

Definition 163 Soit a > 0 et z ∈ C. On appelle a exponentielle z le complexe

az = ez ln a

ATTENTION ! az non defini pour a ∈ C en general !

Proposition 203 L’application z ∈ C −→ az ∈ C∗ (a > 0) est un morphisme du groupe (C, +)

dans le groupe (C∗,×). De plus, si (z, z′) ∈ C2, x ∈ R, b > 0 on a

1. a0 = 1, a1 = a ;2. az+z′ = azaz′ ;3. (ax)z = axz ;4. (ab)z = azbz.

Remarque : Si x ∈ R, a > 0, ln ax = x ln a.Revenons au cas reel :On appelle fonctions exponentielles les fonctions du type x −→ ax.

Proposition 204 Soit a > 0.Si a > 1 (resp a < 1) ,x −→ ax est un homeomorphisme croissant (resp. decroissant) de R sur

R∗+. En particulier

limx→−∞

ax = 0 et limx→+∞

ax = ∞

(resp. limx→−∞

ax = +∞ et limx→+∞

ax = 0 )

Graphe de ax

Remarque : Si n ∈ N, an designe bien a × a × . . . × a (n fois). Si n ∈ Z−, an designe bien(a × a × . . . × a)−1 (−n fois). Enfin, si n ∈ N

∗, a1/n designe n√

a.

5) Fonctions puissances :

On appelle fonctions puissances les fonctions du type x −→ xα ou α ∈ R.

Proposition 205 Soit α ∈ R.1. x −→ xα est un endomorphisme de (R∗

+,×).2. Si α > 0, x −→ xα est un homeomorphisme croissant de R

∗+ sur lui meme.

3. Si α < 0, x −→ xα est un homeomorphisme decroissant de R∗+ sur lui meme.

123

Remarque : Limite en 0 et +∞.Graphe de x −→ xα

Remarque : Prolongement par continuite.

6) Fonctions trigonometriques :

Proposition 206 1. cos et sin sont continues sur R.2. tan est continue sur R\(π/2 + πZ).3. cotan est continue sur R\πZ.4. arccos et arcsin sont continues sur [−1, 1].5. arctan et arccotan sont continues sur R.

Remarque : On a

limx→π

2−

tanx = +∞ et limx→−π

2+

tanx = −∞

7) Theoreme de croissance comparee :

Theoreme 97 Soient a > 1, α > 0 et β > 0.1. On a

limx→+∞

ax

xα= +∞

2. On a

limx→+∞

(lnx)α

xβ= 0

3. On a

limx→0+

xβ| lnx|α = 0


Chapitre 2

Derivation des fonctions a variablereelle

Au cours du XVIIeme siecle, les mathematiciens acquierent une maıtrise de plus plus en plusgrande dans la manipulation des notions qui sont a la base du calcul infinitesimal. L’etude dumouvement, necessitant le calcul de la vitesse instantanee, la recherche de tangente aux courbescontiennent en germes les notions de taux de variations et de derivees. L’emergence de ces notionspermet egalement de resoudre les problemes de maximum et de minimum et d’aborder la rectifi-cation des courbes : avant 1650, personne ne croyaient que la longueur d’une courbe puisse etrerigoureusement egale a la longueur d’une droite. Mais peu apres, Roberval reussit a calculer lalongueur d’une arche de cycloıde. D’autres rectification suivirent.

Newton (1642-1727) -homme de science anglais- et Liebniz (1646-1716) -juriste, philosophe,homme politique allemand- sont a l’origine de l’effort de systematisation des methodes developpeesau debut du XVIIeme siecle et sont les veritables fondateurs du calcul differentiel et integral.

K designe R ou C, A une partie non vide de R, I un intervalle d’interieur non vide et n ∈ N∗.

I. Fonctions a valeurs dans Kn

1) Limite d’une fonction a valeurs complexes :

Definition 164 Soient f : A −→ C, l ∈ C, a ∈ R adherent a A. On dit que f(x) tend vers l lorquex tend vers a si :

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ A)(|x − a| η =⇒ |f(x) − l| ε)

i.e.

limx→a

|f(x) − l| = 0

On ecrit alors

limx→a

f(x) = l

Proposition 207 Soient g : A −→ R, h : A −→ R, f = g+ ih : A −→ C, α ∈ R, β ∈ R, l = α+ iβa ∈ R adherent a A.

Alors les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) limx→a f(x) = l ;(ii) limx→a g(x) = α et limx→a h(x) = β.

126 CHAPITRE 2. DERIVATION DES FONCTIONS A VARIABLE REELLE

Remarque : La limite, si elle existe, est unique

Proposition 208 Soit f : A −→ C, a ∈ R adherent a A et l ∈ C.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) limx→a f(x) = l ;(ii) Pour toute suite (xn)n∈N de A convergente vers a, on a

limn→+∞

f(xn) = l

Remarque : On en deduit la limite d’une somme, d’un produit et d’un quotient...Remarque : On peut se limiter a un voisinage... Theoreme de recollement.

2) Continuite des fonctions a valeurs complexes :

Definition 165 Soit f : A −→ C, a ∈ A.On dit que f est continue en a si limx→a f(x) = f(a) i.e.

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀x ∈ A) (|x − a| η =⇒ |f(x) − f(a)| ε

Dans le cas contraire, on dit que f est discontinue en a.Si f est continue en tout point de A, on dit que f est continue (sur A).

Proposition 209 Soient g : A −→ R et h : A −→ R, a ∈ A.f = g + ih est continue en a si seulement si g et h sont continues en a.

Corollaire 54 Soit λ ∈ C. Si f et g sont continues en a, alors f + g, fg, λf , |f | sont continuesen a. De plus, si f ne s’annule pas, 1/f est continue en a.

Remarque : Somme, produit et quotient de fonctions continues.

3) Proprietes des fonctions continues a valeurs complexes :

Rappel : On dit que A ⊂ C est borne s’il existe M 0 tel que pour tout z ∈ A, |z| M .

Proposition 210 Si A est compact et f : A −→ C continue, f(A) est un borne de C.

Definition 166 Soit f : A −→ C.On dit que f est uniformement continue si

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀(x, y) ∈ A2) (|x − y| η =⇒ |f(x) − f(y)| ε)

Theoreme 98 (Theoreme de Heine) Soit f : A −→ R continue.Si A est compact, f est uniformement continue.

Exemple : Fonctions k-lipschitziennes

4) Fonctions a valeurs dans Kn :

Rappel : F(A, Kn) est un K-espace vectoriel et meme une K-algebre.

Definition 167 Soient f =

f1

f2...

fn

: A −→ Kn, a adherent a A, l =

l1l2...ln

.

127

On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , p, on alimx→a fi(x) = li. Dans ces conditions

limx→a

f(x) =

limx→a f1(x)limx→a f2(x)

...limx→a fn(x)

Definition 168 Soient f =

f1

f2...

fn

: A −→ Kn, a ∈ A.

On dit que f est continue en a si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , p, fi est continue en a. Dans le cascontraire, on dit que f est discontinue en a.

Si f est continue en tout point de A, f est dite continue.

Proposition 211 Soient f : A −→ Kn, g : A −→ K

n, λ ∈ K et a ∈ A.Si f et g sont continues en a, f + g, λf , fg le sont aussi.

Corollaire 55 Soient f : A −→ Kn, g : A −→ K

n continues, λ ∈ K.Alors f + g, λf et fg sont continues.

II. Derivee d’une fonction en un point :

1) Definition et interpretation :

Definition 169 Soient f : I −→ Kn, x0 ∈ I.

On dit que f est derivable en x0 si le rapport f(x)−f(x0)x−x0

tend vers une limite l ∈ Kn lorsque x

tend vers x0, x restant dans I\x0.Cette limite est appelee derivee de f en x0 et est notee f ′(x0).On dit que f est derivable (sur I) si f est derivable en tout point de I. On note D(I, E)

l’ensemble des applications derivables de I dans E.

Remarque : • Interpretation geometrique : la derivee en x0 est la limite de la pente f(x)−f(x0)x−x0

dela droite passant par (x0, f(x0)) et (x, f(x)). Dessin

• Traduction avec des ε.Exemple : Les fonctions constantes sont derivables sur R, de derivee nulle. La fonction f : x ∈R −→ x est derivable sur R et f ′ = 1.

Proposition 212 Si f : I −→ Kn est derivable en x0, f est continue en x0.

La reciproque est bien sur fausse :• x ∈ R −→ |x| n’est pas derivable en 0.• Soit f : R −→ R definie par f(x) = x sin 1

x si x =/ 0. Alors f est continue mais pas derivableen 0.

• Il existe meme des fonctions continues nulle part derivable : le premier exemple fut exhiberpar Bolzano.Remarque : Soit f : I −→ R.

• Soit J ⊂ I est un intervalle d’extremites distinctes tel que x0 ∈ J . Alors si f est derivable enx0, alors f|J est derivable en x0 et (f|J)′(x0) = f ′(x0).


• Soit J ⊂ I est un intervalle d’extremites distinctes tel que x0 ∈ J . Alors si f|J est derivable en

x0, f est derivable en x0 et f ′(x0) = (f|J)′(x0).La derivation est comme la continuite un phenomene local.

Notation : Si f ∈ D(I, R) et si on note, pour tout x ∈ I, y = f(x), on peut ecrire pour tout x ∈ I

dy

dx= f ′(x)

Remarque : f =

f1

f2...

fn

est derivable en x0 si et seulement si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, fi est

derivable en x0 et

f ′(x0) =

f ′1(x0)

f ′2(x0)

...f ′

n(x0)

2) Linearite de la derivation :

Proposition 213 Soient f, g : I −→ Kn, x0 ∈ I, λ ∈ K .

1. Si f et g sont derivables en x0, f + g et λf sont derivables en x0 et

(f + g)′(x0) = f ′(x0) + g′(x0) et (λf)′(x0) = λf ′(x0)

2. Si u ∈ L(Kn, Kn) et f derivable en x0, u f est derivable en x0 et (u f)′(x0) = u(f ′(x0)).

Remarque : D(I, Kn) est un sous-espace de C(I, Kn) et f ∈ D(I, Kn) −→ f ′ ∈ F(I, Kn) est lineaire.

3) Derivation d’un produit :

Proposition 214 Soient f, g : I −→ K derivables en x0.Alors fg est derivable en x0 et

(fg)′(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0)

Corollaire 56 Soient fi : I −→ K (1 i n) derivables en x0.Alors f1f2 . . . fn est derivable en x0 et

(f1f2 . . . fn)′(x0) =n∑

i=1

f1(x0) . . . fi−1(x0)f ′i(x0)fi+1(x0) . . . fn(x0)

Exemple : • On a (fn)′(x0) = nf ′(x0)fn−1(x0).• Les fonctions polynomiales P : R −→ K sont derivables sur R. Plus precisement, si f : x −→

anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 =

∑nk=0 akx

k,

f ′(x) = annxn−1 + an−1(n − 1)xn−1 + . . . + a1 =n∑

k=1

kakxk−1

Proposition 215 Soient λ : I −→ K, f : I −→ Kn derivables en x0. Alors λf est derivable en x0

et

(λf)′(x0) = λ′(x0)f(x0) + λ(x0)f ′(x0)

129

4) Derivation d’un quotient :

Proposition 216 Soit g : I −→ K∗ derivable en x0. Alors 1

g est derivable en x0 et

(1g

)′(x0) = − g′(x0)

g(x0)2

Corollaire 57 Soient f : I −→ K et g : I −→ K∗ derivables en x0.

Alors fg est derivable en x0 et on a :

(f

g

)′(x0) =

f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)g(x0)2

Exemple : Soit f : I −→ K une fonction rationnelle. Alors f est derivable sur I. De plus

(1x

)′= − 1

x2et

(1xn

)′= − n

xn+1

5) Derivee a gauche et derivee a droite :

Definition 170 Soient f : I −→ Kn, x0 ∈ I.

1. On suppose que x0 n’est pas l’extremite inferieure de I.On dit que f est derivable a gauche en x0 si

limx→x0x<x0

f(x) − f(x0)x − x0

existe.

Cette limite est alors appele derivee a gauche de f en x0 et est note f ′g(x0).

2. On suppose que x0 n’est pas l’extremite superieure de I.On dit que f est derivable a droite en x0 si

limx→x0x>x0

f(x) − f(x0)x − x0

existe.

Cette limite est alors appele derivee a droite de f en x0 et est note f ′d(x0).

Exemple : x −→ |x|.Remarque : Interpretation geometrique, point anguleux.Remarque : Si f est derivable en x0 a droite (resp. a gauche), f est continue a droite (resp. agauche) en x0.Remarque : Si f ′

g(x0) = f ′d(x0), f est derivable en x0 et f ′(x0) = f ′

g(x0) = f ′d(x0)

III. Derivation d’une composee, d’une reciproque

Dans ce paragraphe, I et J designe deux intervalles de R d’interieur non vide.


1) Composee :

Theoreme 99 Soient f : I −→ J derivable en x0 ∈ I, g : J −→ Kn derivable en y0 = f(x0).

Alors g f est derivable en x0 et on a :

(g f)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0) = g′(y0)f ′(x0)

Notation : Si on note pour x ∈ I, y = f(x), z = g(y) = g f(x). Alors (g f)′(x) = g′(f(x))f(x)s’ecrit aussi

dz

dx=

dz

dy

dy

dx

ou encore(

dz

dx

)

x0

=(

dz

dy

)

y0

(dy

dx

)

x0

Remarque : Soient f ∈ I −→ J , g : I −→ Kn derivables. Alors g f est derivable et (g f)′ =

f ′(g′ f).

Corollaire 58 Soit f : I −→ Kn. Si ceci a un sens :

ddx

f(ax) = af ′(ax)

2) Fonction reciproque :

Theoreme 100 Soient f : I −→ J une bijection, x0 ∈ I, y0 = f(x0). On suppose f derivable enx0, f ′(x0) =/ 0, f−1 continue en y0.

Alors f−1 est derivable en y0 et on a

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)=

1f ′(f−1(y0))

3) Diffeomorphisme :

Definition 171 Un diffeomorphisme de I sur J est une bijection de I sur J telle que f est derivablesur I et f−1 est derivable sur J .

Remarque : Si f est un diffeomorphisme :

(f−1)′ =1

f ′ f−1

Notation : Si f est un diffeomorphisme de I sur J , y = f(x) ∈ J pour tout x ∈ I, alors on ecritparfois

dx

dy=

1dy

dx

Remarque : II est un diffeomrphisme de I.Si f : I −→ J , g : J −→ K sont des diffeomorphismes, g f est un diffeomorphisme de I sur K.Si f est un diffeomorphisme de I sur J , alors f−1 est un diffeomorphisme de J sur I.

Corollaire 59 Soit f : I −→ R strictement monotone, derivable et telle que pour tout x ∈ I,f ′(x) =/ 0.

Alors J = f(I) est un intervalle d’interieur non vide et f est un diffeomorphisme de I sur J .

131

IV. Derivation des fonctions usuelles

1) Racines n-ieme :

Proposition 217 Soit n ∈ N, n 2.x −→ xn est un diffeomorphisme de R

∗+ sur R

∗+. Le diffeomorphisme reciproque x ∈ R

∗+ −→

n√

x ∈ R∗+. On a

ddx

( n√

x) =1

n( n√

x)n−1

2) Exponentielle et logarithme neperien :

Theoreme 101 Soit a ∈ C.x ∈ R −→ eax ∈ C est derivable et

ddx

(eax) = aeax

Corollaire 60 x ∈ R −→ ex ∈ R∗+ est un diffeomorphisme et le diffeomorphisme recipoque est

x ∈ R∗+ −→ lnx ∈ R. On a

ddx

ex = ex etddx

lnx =1x

Application :

limx→0

ln(1 + x)x

= 1 et limx→0

ex − 1x

= 1

Exercice : Montrer que pour tout x ∈ R :

limn→+∞

(

1 +x

n

)n= ex

3) Fonctions trigonometriques :

Proposition 218 1. cos et sin sont derivables sur R et

ddx

cos x = − sinx etddx

sinx = cos x

2. tan est derivable sur R\(π2 + πZ) et

ddx

tanx = 1 + tan2 x =1

cos2 x

3. cotan est derivable sur R\πZ et

ddx

cotan x = −(1 + cotan2 x) = − 1sin2 x

Application :

limx→0

sinx

x= 1 et lim

x→0

tanx

x= 1

limx→0

1 − cos x

x2=

12


Proposition 219 Les fonctions suivantes sont des diffeomorphismes :1. x ∈]0, π[ −→ cos x ∈] − 1, 1[ ;2. x ∈] − π

2 , π2 [ −→ sinx ∈] − 1, 1[ ;

3. x ∈] − π2 , π

2 [ −→ tanx ∈ R ;4. x ∈]0, π[ −→ cotan x ∈ R.De plus, on a

ddx

(arccos x) = − 1√1 − x2

etddx

(arcsinx) =1√

1 − x2

ddx

(arctanx) =1

1 + x2et

ddx

(arccotanx) = − 11 + x2

4) Fonctions exponentielles et fonctions puissances :

Proposition 220 x ∈ R −→ ax ∈ R∗+ est un diffeomorphisme de R sur R

∗+. On a

ddx

ax = ln aax

Proposition 221 1. Soit α ∈ C∗. Alors x ∈ R

∗+ −→ xα ∈ C est derivable et

ddx

xα = αxα−1

2. Soit α ∈ R∗, x ∈ R

∗+ −→ xα ∈ R

∗+ est un diffeomorphisme.

Remarque : • Prolongement de la fonction x −→ xα en 0. Derivees en 0.• Si f : I −→ R

∗+ est derivable et α ∈ C

∗, fα est derivable et (fα)′ = αf ′fα−1.

V. Derivees successives

1) Fonctions n-fois derivables :

Definition 172 Soient f : I −→ Kp, n ∈ N

∗.On dit que f est n-fois derivable (sur I) ou de classe Dn s’il existe f0, f1,..., fn des fonctions

de I dans Kp telles que f0 = f et pour tout i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, fi est derivable et f ′i = fi+1.

On note Dn(I, Kp) l’ensemble des fonctions de classe Dn de I dans Kp.On dit que f est indefiniment derivable ou de classe D∞ si f est n-fois derivable pour tout

n ∈ N∗.

On note D∞(I, Kp) l’ensemble des fonctions de classe D∞ de I dans Kp.

Remarque : Si f est n-fois derivable, les fi sont uniques :

Definition 173 Avec les notations de la definition precedente, on ecrira f (i) pour fi et f (i) estappele derivee d’ordre i de f , i ∈ 0, 1, . . . , n.

Notation : On note f ′′ pour f (2) et Dnf ou dn

dxnf pour f (n).

Remarque : Si f est n-fois derivable sur I, et J ⊂ I, f|J est n-fois derivable et

(f|J)(n) = f(n)|J

133

Proposition 222 Soit f : I −→ Kp, n et m dans N

∗.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f est n + m-fois derivable.(ii) f est n-fois derivable et f (n) est m-fois derivable.Dans ces conditions, f (n+m) = (f (n))(m).

Remarque : Si f est n-fois derivable et f (n) derivable en x0, on notera f (n+1)(x0) pour (f (n))′(x0).

2) Fonctions de classe Cn :

Definition 174 Soient f : I −→ Kp, n ∈ N

∗.On dit que f est n-fois continuement derivable (sur I) ou de classe Cn si f est n-fois derivable

et si f (n) est continue sur I.On note Cn(I, Kp) l’ensemble des fonctions de I dans Kp de classe Cn.On dit que f est indefiniment continuement derivable ou de classe C∞ si pour tout n ∈ N

∗, fest de classe Dn.

On note C∞(I, Kp) l’ensemble des fonctions de I dans Kp de classe C∞.

Remarque :

F(I, Kp) ⊃ C0 ⊃ D1 ⊃ C1 ⊃ . . .Dn ⊃ Cn ⊃ Dn+1 ⊃ . . . ⊃ D∞ = C∞

Remarque : f de classe Cn+m si et seulement si f est de classe Dn et f (n) de classe Cm.

3) Operations algebriques et composition :

Proposition 223 Soit n ∈ N∗.

1. Soient f, g : I −→ Kp de classe Cn (resp. Dn). Alors f + g est de classe Cn (resp. Dn) et

(f + g)(n) = f (n) + g(n)

2. Soient f : I −→ Kp de classe Cn (resp. Dn) et λ ∈ K. Alors λf est de classe Cn (resp. Dn)

et

(λf)(n) = λf (n)

3. Soient f : I −→ K et g : I −→ Kp de classe Cn (resp. Dn). Alors fg est de classe Cn (resp.

Dn).4. Soient f : I −→ K

∗ et g : I −→ Kp de classe Cn (resp. Dn). Alors g

f est de classe Cn (resp.Dn).

5. Soient f : I −→ J , g : J −→ Kp de classe Cn (resp. Dn). Alors g f est de classe Cn (resp.

Dn).6. Si f est un diffeomorphisme de I sur J et f de classe Cn (resp. Dn), f−1 est de classe Cn

(resp. Dn).

Corollaire 61 Si f et g sont C∞ et si ceci a un sens, f + g, λf , fg, gf , g f et f−1 sont C∞.

Remarque : Si n ∈ N∗ ∪ ∞, Dn(I, K) et Cn(I, K) sont des sous-algebres de F(I, K).


4) La formule de Liebniz :

Il serait interessant d’avoir des formules explicites de (g f)(n), (f−1)(n). Malheureusement,elles sont d’une grande complexite : pour g f , c’est la formule de Faa di Bruno ; pour f−1 c’est laformule de reversion de Lagrange.

Nous allons nous contenter de donner (fg)(n) :

Theoreme 102 (Formule de Liebniz) Soient f : I −→ K et g : I −→ Kp et n ∈ N

∗. Alors

(fg)(n) =n∑

k=0

Cknf (k)g(n−k)

5) Exemples :

Theoreme 103 1. Les fonctions polynomiales sont de classe C∞ sur R.2. Soit F : I −→ K une fonction rationnelle. Alors F est C∞.3. x ∈ R −→ ex est C∞ sur R.4. x ∈ R

∗+ −→ lnx est C∞ sur R

∗+.

5. Soit α ∈ C. x ∈ R∗+ −→ xα est C∞ sur R

∗+.

6. Soit a > 0, x ∈ R −→ ax est C∞ sur R.

Remarque :

dn

dxn(xα) = α(α − 1) . . . (α − n + 1)xα−n

dn

dxnex = ex et

dn

dxnlnx =

(−1)n−1(n − 1)!xn

Derivation des polynomes

Chapitre 3

Variations des fonctions

K designe R ou C, A une partie non vide de R, I un intervalle d’interieur non vide et n ∈ N∗.

I. Formule des accroissements finis

1) Theoreme de Rolle :

Proposition 224 Soient f : I −→ R, x0 ∈I.

On suppose que f est derivable en x0 et que f admet en x0 un extremum local.Alors f ′(x0) = 0.

Theoreme 104 (Theoreme de Rolle) Soit a < b, f : [a, b] −→ R continue sur [a, b], derivablesur ]a, b[.

On suppose que f(a) = f(b).Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Remarque : On ne peut generaliser ce theoreme aux fonctions f : I −→ Kp avec p quelconque :

en effet, prenons f : x ∈ [0, 2π] −→ eix ∈ C. On a f(0) = f(2π) mais pour tout c ∈]0, 2π[,f ′(c) = ieic =/ 0.

2) Formule des accroissements finis :

Theoreme 105 (Formule des accroissements finis) Soient a < b, f : [a, b] −→ R continuesur [a, b], derivable sur ]a, b[.

Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que

f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a)

Corollaire 62 (Inegalite des accroissements finis) Soit f ∈ D(I, R), (a, b) ∈ I2.On suppose supx∈[a,b] |f ′(x)| < +∞. Alors

|f(b) − f(a)| supx∈[a,b]

|f ′(x)||b − a|

3) Des inegalites remarquables :

Theoreme 106 Pour tout x, y ∈ R, | sinx| |x|, | cos x− cos y| |x− y|, | sinx− sin y| |x− y|.

136 CHAPITRE 3. VARIATIONS DES FONCTIONS

II. Applications du theoreme des accroissements finis

1) Caracterisation des fonctions lipschitziennes :

Proposition 225 Soit f : I −→ R derivable, k ∈ R.1. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) Pour tout (a, b) ∈ I2, a =/ b, f(b)−f(a)

b−a k.(ii) Pour tout x ∈ I, f ′(x) k.2. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) Pour tout (a, b) ∈ I2, a =/ b, f(b)−f(a)

b−a k.(ii) Pour tout x ∈ I, f ′(x) k.3. On suppose k 0. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f est k-lipschitzienne.(ii) Pour tout x ∈ I, |f ′(x)| k

Exemple : Soit f :]a, b[−→ R derivable, |f ′| M . Alors f est uniformement continue.

2) Caracterisation de la monotonie :

Proposition 226 Soit I −→ R derivable.1. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f croissante.(ii) Pour tout x ∈ I, f ′(x) 0.2. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f decroissante.(i) Pour tout x ∈ I, f ′(x) 0.3. f est constante sur I si et seulement si f ′ = 0.4. Si f ′ 0 (resp. f ′ 0) et s’annule pas sur un sous-intervalle de I non reduit a un point, f

est strictement croissante (resp. strictement decroissante).

3) Primitives :

Definition 175 Soit f : I −→ Kp.

Une primitive de f est un element F de D(I, Kp) tel que F ′ = f .

Proposition 227 Si f : I −→ Kp est derivable et f ′ = 0, alors f est constante.

Corollaire 63 Soit f : I −→ Kp.

Une primitive de f si elle existe, est unique a une constante additive pres.

4) Theoreme de la limite de la derivee :

Theoreme 107 (Theoreme de la limite de la derivee) Soit f : I −→ R continue, derivablesur I\x0. Si limx→x0

x=/ x0

f ′(x) = l ∈ R, f est derivable en x0, f ′(x0) = l et f ′ est continue en x0.

Exemple : x −→ sin xx est de classe C1 sur R.

Remarque : Extension aux limites infinies. Tangentes verticales pour arcsin et arccos.

137

5) Regle de l’Hopital :

Lemme 13 (Formule des accroissements finis generalisee) Soit (a, b) ∈ R2 tel que a =/ b,

f : [a, b] −→ R, g : [a, b] −→ R continues sur [a, b] derivables sur ]a, b[.On suppose que pour tout x ∈]a, b[, on a g′(x) =/ 0.Alors g(b) =/ g(a) et il existe c ∈]a, b[ tel que

f(b) − f(a)g(b) − g(a)

=f ′(c)g′(c)

Proposition 228 (Regle de l’Hopital) Soit f, g : I −→ R, x0 ∈ I.On suppose que f et g sont continues sur I, derivable sur I\x0 et que pour tout x ∈ I\x0,

g′(x) =/ 0.Si limx→x0

f ′(x)g′(x) = l ∈ R, alors

limx→x0

x∈I\x0

f(x) − f(x0)g(x) − g(x0)

= l

Application :

III. Formule de Taylor-Lagrange

C’est une generalisation de la formule des accroissements finis. Elle ne marche que pour lesfonctions a valeurs reelles.

Theoreme 108 (Formule de Taylor-Lagrange) Soit (a, b) ∈ R2, a =/ b, n ∈ N, f : [a, b] −→ R

de classe Cn sur [a, b], de classe Dn+1 sur ]a, b[.Alors il existe c ∈]a, b[ tel que

f(b) = f(a) +b − a

1!f ′(a) +

(b − a)2

2!f ′′(a) + . . . +

(b − a)n

n!f (n)(a) +

(b − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(c)

ce qui s’ecrit encore

f(b) =n∑

k=0

(b − a)k

k!f (k)(a) +

(b − a)n+1

(n + 1)!f (n+1)(c)

Remarque : Pour n = 0 on retrouve la formule des accroissements finis. Ecriture entre a et a + h.

Corollaire 64 (Formule de Mac-Laurin) Soit f : I −→ R de classe Dn+1, 0 ∈I.

Alors pour tout x ∈I, x =/ 0, il existe c ∈]0, x[ tel que

f(x) = f(0) +x

1!f ′(0) +

x2

2!f ′′(0) + . . . +

xn

n!f (n)(0) +

xn+1

(n + 1)!f (n+1)(c)

IV. Fonctions convexes

1) Tangentes :

Definition 176 Soit (α, β) ∈ R2. L’ensemble des points (x, y) ∈ R

2 verifiant y = αx + β (resp.x = α) est appelee droite affine de R

2.

Definition 177 Soit f : I −→ R derivable en x0 ∈ I. On appelle tangente a la courbe de f en x0

la droite d’equation :

y = f(x0) + f ′(x0)(x − x0)


2) Parties convexes de Rn :

Definition 178 Soit (X, Y ) ∈ Rn2. On note :

[X, Y ] = (1 − λ)X + λY ∈ Rn, λ ∈ [0, 1]

Definition 179 Soit A ⊂ Rn.

On dit que A est convexe si pour tout λ ∈ [0, 1] et tout (X, Y ) ∈ A2 :

(1 − λ)X + λY ∈ A

ou encore si pour tout (X, Y ) ∈ A2 et tout λ et µ dans R+ avec λ + µ = 1, on a :

λX + µY ∈ A

Remarque : DessinExemple : • Un sous-espace de R

n est convexe.• Les parties convexes de R sont les intervalles.

Proposition 229 Soit A ⊂ Rn.

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) A convexe ;(ii) Pour tout λ1, λ2,..., λn dans R+ tel que λ1 +λ2 + . . .+λn = 1 et tout x1, x2,..., xn dans A

λ1x1 + λ2x2 + . . . λnxn ∈ A

3) Fonctions convexes :

Definition 180 Soit f : I −→ R.On dit que f est convexe si pour tout (x, y) ∈ I2 et tout λ ∈ [0, 1]

f((1 − λ)x + λy) (1 − λ)f(x) + λf(y)

Remarque : Interpretation graphique : le graphe est au dessous des secantes.Exemple : x −→ x + a, x −→ x2.

Proposition 230 Soit f : I −→ R convexe. Alors si x < y < z dans I :

f(y) − f(x)y − x

f(z) − f(x)z − x

f(z) − f(y)z − y

Proposition 231 Soient f : I −→ R convexe. Pour tout x0 ∈ I, on considere la fonction :

I\x0 −→ R

Φx0 : x −→ f(x)−f(x0)x−x0

est croissante. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f est convexe.(ii) Pour tout x0 ∈ I, Φx0 est croissante.

Remarque : Cela traduit la croissance des pentes des secantes dont on fixe une extremite.

Proposition 232 Soit f : I −→ R, A = (x, y) ∈ R2, x ∈ I, y f(x).

Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) f convexe ;(ii) Pour tout λ1,..., λn dans R+ tels que λ1 + . . . + λn = 1 et tout x1,... ; xn dans I, on a

f(λx1 + λ2x2 + . . . + λnxn) λ1f(x1) + λ2f(x2) + . . . + λnf(xn)

(iii) A convexe.

139

4) Caracterisations des fonctions convexes derivables :

Proposition 233 Soit f : I −→ R derivable.Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) f convexe ;(ii) f ′ est croissante ;(iii) Pour tout (a, b) ∈ I2, f(b) f(a) + (b − a)f ′(a).

Remarque : : Interpretation graphique ; le graphe est au dessus des tangentes.

Corollaire 65 Soit f : I −→ R D2.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f convexe ;(ii) f ′′ 0.

Application aux extrema pour une fonction C2.

5) Applications

Proposition 234 1. Pour x −1, ln(1 + x) x.2. Pour tout x ∈ R, 1 + x ex.3. Pour x ∈ [0, π/2],

2π

x sinx x.

Proposition 235 Soit (λi)1in une famille de [0, 1] avec∑n

i=1 λi = 1 et (xi)1in une famillede R+. Alors :

n∏

i=1

xλii

n∑

i=1

λixi

Corollaire 66 (Inegalite arithmetico-geometrique) Soient x1, x2,..., xn des reels positifs,n 1. Alors

x1 + x2 + . . . xn

n n

√x1x2 . . . xn

Remarque : Stricte convexite.

V. Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique

1) Generalites :

Definition 181 Soit x ∈ R.On appelle cosinus hyperbolique de x le reel

ch x =ex + e−x

2

On appelle sinus hyperbolique de x le reel

sh x =ex − e−x

2


Remarque : Soit x ∈ R.• ch x + sh x = ex ;• ch x − sh x = e−x ;

Proposition 236 Soit x ∈ R. On a :

ch2 x − sh2 x = 1

Remarque : • ch est paire ;• sh est impaire ;• ch 0 = 1, sh 0 = 0 ;• ch x =

∑+∞n=0

x2n

(2n)! et sh x =∑+∞

n=0x2n+1

(2n+1)! .

Proposition 237 1. ch est un C∞ de R sur ]1,+∞[. On a pour tout x ∈ R

(ch)′(x) = shx

Tableau de variations.2. sh est un C∞ de R sur R. On a pour tout x ∈ R

(sh)′(x) = chx

Tableau de variations.

Remarque : Graphe de ch et sh.

2) Formules de trigonometrie hyperbolique :

Proposition 238 Pour tout (x, y) ∈ R2 et (u, v) ∈ R

2, on a1.

ch(x + y) = chx ch y + shx sh y et sh(x + y) = shx ch y + chx sh y

ch(x − y) = chx ch y − sh x sh y et sh(x − y) = shx ch y − ch x sh y

2.

ch x ch y =12[ch(x + y) + ch(x − y)]

sh x sh y =12[ch(x + y) − ch(x − y)]

141

sh x ch y =12[sh(x + y) + sh(x − y)]

3.

ch u + ch v = 2 chu + v

2ch

u − v

2

ch u − ch v = 2 shu + v

2sh

u − v

2

sh u + sh v = 2 shu + v

2ch

u − v

2

Corollaire 67 Pour tout x ∈ R

ch 2x = ch2 x + sh2 x = 2 ch2 −1 = 1 + 2 sh2 x

sh 2x = 2 chx sh x

Remarque : On a pour tout x ∈ R et n ∈ N

ch nx =∑

02qn

C2qn chn−2q x sh2q x

sh nx =∑

02q+1n

C2q+1n chn−2q−1 x sh2q+1 x

3) Fonctions argument cosinus et argument sinus hyperboliques :

Definition 182 ch|R+est un homeomorphisme croissant de R+ sur [1,+∞[. La fonction Argch

est sa fonction reciproque : c’est un homeomorphisme croissante de [1,+∞[ sur R+.sh est un homeomorphisme croissant de R sur R. La fonction Argsh en est la fonction

reciproque ; c’est un hemeomorphisme croissant de R sur R.

Remarque : Soit x 1, y ∈ R, on a

y = Argchx ⇐⇒ x = ch y et y 0

Soit (x, y) ∈ R2, on a

y = Argshx ⇐⇒ x = sh y


Proposition 239 1. Argch|]1,+∞[ est C∞ de ]1,+∞[ sur R∗+ et

ddx

(Argchx) =1√

x2 − 1

2. Argsh est C∞ de R sur R et

ddx

(Argshx) =1√

1 + x2

Proposition 240 Pour tout x 1 :

Argchx = ln(x +√

x2 − 1)

Pour tout x ∈ R :

Argshx = ln(x +√

1 + x2)

VI. Fonctions tangente et cotangente hyperboliques

1) Generalites :

Definition 183 Pour tout x ∈ R, on appelle tangente hyperbolique de x le reel

thx =sh x

ch x

Pour tout x ∈ R∗, on appelle cotangente hyperbolique de x le reel

cothx =ch x

sh x

Remarque : th et coth sont impaires, th(0) = 0.

Proposition 241 1. th est C∞, croissant de R sur ] − 1, 1[ et si x ∈ R :

ddx

(thx) = 1 − th2 x =1

ch2 x

Tableau de variations2. coth est C∞, decroissant de R

∗ sur ]1,+∞[∪] −∞,−1[ et si x ∈ R∗ :

ddx

(cothx) = 1 − coth2 x = − 1sh2 x

Tableau de variations

Graphe de th et coth

143

2) Formules de trigonometrie hyperboliques :

On a pour tout (x, y) ∈ R2

th(x + y) =thx + th y

1 + thx th y

th 2x =2 thx

1 + th2 x

Si t = thx/2, on a

thx =2t

1 + t2, sh x =

2t

1 − t2et ch x =

1 + t2

1 − t2

3) Fonctions Argument tangente et argument cotangente hyperboliques :

Definition 184 1. th est une bijection de R sur ] − 1, 1[. Argth en est la reciproque : c’est unebijection de ] − 1, 1[ sur R.

2. coth est une bijection de R∗ sur ] −∞,−1[∪]1,∞[. Argcoth en est la reciproque : c’est une

bijection de ] −∞,−1[∪]1,+∞[.

Graphe de Argth et Argcoth.

Remarque : Pour tout x ∈] − 1, 1[ et tout y ∈ R :

y = Argthx ⇐⇒ x = th y

Pour tout x ∈] −∞,−1[∪]1,+∞[ et y ∈ R∗ on a

y = Argcothx ⇐⇒ x = coth y

Proposition 242 1. Argth est C∞ de ] − 1, 1[ sur R et si x ∈] − 1, 1[ :

ddx

(Argthx) =1

1 − x2

Tableau de variations2. Argcoth|]1,+∞[ et Argcoth|]−∞,−1[ sont C∞ et si x ∈ R, |x| > 1 :

ddx

(Argcothx) =1

1 − x2

Tableau de variations


Proposition 243 1. Pour tout x ∈] − 1, 1[, on a

Argthx =12

ln1 + x

1 − x

2. Pour tout x ∈] −∞,−1[∪]1,+∞[, on a

Argcothx =12

lnx + 1x − 1

Conclusion : Etude des fonctions

Chapitre 4

Developpements limites

Dans ce chapitre, I designe un intervalle d’interieur non vide.

I. Position du probleme

Placons nous par exemple au voisinage de +∞. On se donne une suite de fonctions connuesappelees ”echelle de comparaison”, par exemple :

1, xα (α =/ 0), (log x)β (β =/ 0), ecxγ(c =/ 0, γ > 0)

ainsi que leurs produits :

xα(log x)βeP (x) ou P (x) = c1xγ1 + c2x

γ2 + . . . + crxγr

L’idee est de comparer le comportement d’une fonction quelconque f avec des combinaisonslineaires de fonctions de l’echelle de comparaison. Par exemple :

log(1 + x)x

=log x

x+

1x2

− 12x3

+ε(x)x2

ou limx→+∞ ε(x) = 0.Dans la plupart des cas que nous etudierons, nous nous placerons au voisinage de 0 et prendrons

comme echelle de comparaison les fonctions polynomiales.Les developpements limites sont un puissant outil pour le calcul des limites et la linearisation

des problemes.

II. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

Dans tous ce paragraphe, A designera une partie de R, a ∈ R adherent a A\a : a est un pointd’accumulation de A.

1) Notations de Landau :

Definition 185 Soit f, g : A −→ R.1. On dit que f est dominee par g au voisinage de a s’il existe un voisinage V0 de a, ϕ :

V0 ∩ A −→ R bornee telles que pour tout x ∈ V0 ∩ A :

f(x) = ϕ(x)g(x)

146 CHAPITRE 4. DEVELOPPEMENTS LIMITES

On note alors (abusivement) f = O(g) au voisinage de a.2. On dit que f est negligeable devant g au voisinage de a s’il existe un voisinage V0 de a,

ε : V0 ∩ A −→ R telle que pour tout x ∈ V0 ∩ A :

f(x) = ε(x)g(x) et limx→a

ε(x) = 0

On ecrit alors

f(x) x→a g(x)

ou encore de maniere abusive f = o(g) au voisinage de a.

ATTENTION ! f = O(g) ou f = o(g) n’est pas une vraie egalite.Remarque : • Au voisinage de a, f = O(g) si et seulement s’il existe M 0, un voisinage V de atels que pour tout x ∈ V ∩ A, |f(x)| M |g(x)|.

• Au voisinage de a, f = o(g) si et seulement si pour tout ε > 0, il existe V voisinage de a telque pour tout x ∈ V ∩ A, |f(x)| ε|g(x)|.Remarque : Si A = N et a = +∞, on retrouve precisement la relation introduite pour les suites.Exemple : • Au voisinage de +∞ :

xα = o(ex) et lnx = o(xα) (α > 0)

• Au voisinage de 0,

| lnx|β = o(1xα

) (α > 0)

2) Proprietes des o et des O :

Proposition 244 Les fonctions considerees vont de A dans R. Au voisinage de a :1. si f = o(g), f = O(g) ;2. si f1 = o(g) et f2 = o(g), λ1f1 + λ2f2 = o(g) pour tout (λ1, λ2) ∈ R

2 ;3. si f = o(g) et g = o(h), on a f = o(h) ;4. f = o(1) si et seulement si limx→a f(x) = 0 ; f = O(1) si et seulement si f est bornee au

voisinage de a ;5. Si f1 = o(g1), f2 = o(g2), f1f2 = o(g1g2) ;

Exercice : Soient f = o(g) (au voisinage de a), α > 0. Montrer que

fα = o(gα)

3) Changements de variables, integration :

Proposition 245 Soient B ⊂ R, b ∈ R adherent a B\b, ϕ : B −→ A, f, g : A −→ R.On suppose limt→b ϕ(t) = a et f = o(g) au voisinage de a. Alors au voisinage de b

f ϕ = o(g ϕ)

Proposition 246 Soient f, g : I −→ R derivable. On suppose que f ′ = o(g′) au voisinage de a.On suppose que g′ ne s’annule pas sur I\a. Alors

f(x) − f(a) = o(g(x) − g(a))

147

4) Fonctions equivalentes :

Definition 186 Soit f : A −→ R, g : A −→ R.On dit que f(x) est equivalente a g(x) au voisinage de a s’il existe V0 voisinage de a, α :

V0 ∩ A −→ R tel que :

(∀x ∈ V0 ∩ A) (f(x) = α(x)g(x)) et limx→a

α(x) = 1

On ecrit alors f(x) ∼x→a g(x) ou f ∼a g.

Remarque : Si sur un voisinage V de a, g(x) =/ 0 :

f(x) ∼x→a g(x) ⇐⇒ limx→a

x∈V ∩A

f(x)g(x)

= 1

Remarque : Si A = N, a = +∞, on retrouve exactement l’equivalence des suites.Exemple : Au voisinage de 0 :

sinx ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, ex − 1 ∼ x

Proposition 247 ∼ est une relation d’equivalence sur F(A, R).

Proposition 248 Soient f, g : A −→ R.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) f(x) ∼x→a g(x).(ii) f − g = o(g).

5) Equivalents et limites :

Proposition 249 Soient f, g : A −→ R.1. Si limx→a f(x) = l, l finie et non nulle, on a

f(x) ∼x→a l

2. Si f(x) ∼x→a g(x) et limx→a f(x) = l ∈ R, on a :

limx→a

g(x) = l

Remarque : f(x) ∼x→a 0 si et seulement si f s’annule sur un voisinage de a.

Proposition 250 Soient f, g : A −→ R. On suppose f(x) ∼x→a g(x).Alors il existe un voisinage V de a tel que sur V ∩ A, f et g sont de meme signe strict.

6) Proprietes des equivalents :

Proposition 251 Soient f, g, F, G : A −→ R. On suppose qu’au voisinage de a :

F ∼ G, f ∼ g, f = o(F )

alors g = o(G).

Proposition 252 Soient f1, f2, g1, g2 : A −→ R. On suppose qu’au voisinage de a, f1 ∼ g1 etf2 ∼ g2. Alors :

f1f2 ∼ g1g2


Proposition 253 Soient f, g : A −→ B ⊂ R avec B = R, B = R+, B = R∗+ ou B = R

∗,u : B −→ R tel que u(1) = 1 et u(xy) = u(x)u(y) et u continue. Au voisinage de a f ∼ g,

u(f(x)) ∼x→a u(g(x))

Exemple : Au voisinage de a

f ∼ g =⇒ |f | ∼ |g|

f ∼ g =⇒ fα ∼ gα

f ∼ g =⇒ 1f∼ 1

g

Proposition 254 Soient B ⊂ R, b ∈ R adherent a B\b, ϕ : B −→ A, f, g : A −→ R.On suppose limt→b ϕ(t) = a et f ∼ g au voisinage de a. Alors au voisinage de b

f ϕ ∼ g ϕ

Remarque : On ne peut pas en general sommer les equivalents : en +∞ :

x + 2 ∼ x et − x ∼ −x + 1

mais 2 = x + 2 − x n’est pas equivalent a 1 = x − x + 1.

Proposition 255 Soient f1, f2, . . . , fn, g : A −→ R, (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Rn. On suppose que pour

tout i ∈ 1, 2, . . . , n, fi ∼ λig au voisinage de a. Alors au voisinage de a :

n∑

i=1

fi =

∼ (∑n

i=1 λi)g si∑n

i=1 λi =/ 0o(g) si

∑ni=1 λi = 0

ATTENTION ! Si f ∼ g, on n’a pas forcement ϕ f ∼ ϕ g : en +∞, x ∼ x + 1, mais ex n’est pasequivalent a ex+1.

III. Developpements limites

1) Generalites :

Definition 187 Soit I un intervalle de R d’interieur non vide, 0 adherent a I, n ∈ N, f : I −→ R.On dit que f(x) admet un developpement limite a l’ordre n (DLn) lorsque x tend vers 0 (dans

I) s’il existe a0, a1,..., an dans R tel que :

f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn + o(xn)

a0 + a1x + . . . + anxn est le developpement limite d’ordre n (DLn) de f en 0.

Remarque : f(x) admet un DLn lorsque x tend vers 0 dans I s’il existe a0, a1,..., an dans R, unvoisinage V de 0, ε : V ∩ I −→ R tel que :

f(x) = a0 + a1x + . . . + anxn + ε(x)xn et ε(x)xn

Proposition 256 Soit (n, p) ∈ N2, p n, f : I −→ R, 0 adherent a I.

Si f admet un DLn en 0∑n

k=0 akxk, f admet un DLp en 0 a savoir

∑pk=0 akx

k.

149

2) Unicite :

• f admet un DL0 en 0 si et seulement s’il existe a0 tel que f(x) = a0 + ε(x) ou lim0 ε = 0 i.e.si et seulement f admet une limite en 0.

De plus, si 0 ∈ I, f admet un DL0 si et seulement si f est continue en 0.• f admet un DL1 si et seulement s’il existe a0 et a1 tel que f(x) = a0 + a1x + xε(x) avec

lim0 ε = 0 soit encore

limx→0x=/ 0

f(x) − a0

x= a1

De plus, si 0 ∈ I, f admet un DL1 si et seulement si f est derivable en 0. Dans ces conditionsf ′(0) = a1.

Theoreme 109 Soient f : I −→ R, 0 adherent a I, n ∈ N.Si f admet un DLn

∑nk=0 akx

k alors a0, a1,..., an sont uniques.

3) Changement de variables :

Proposition 257 Soit A ⊂ R, a ∈ R adherent a A, 0 adherent a I, n ∈ N, f : I −→ R,ϕ : A −→ I. On suppose :

1. limx→a ϕ(x) = 0.2. f(y) admet un DLn en 0 :

∑nk=0 aky

k.Alors, lorsque x tend vers a,

f(ϕ(x)) =n∑

k=0

ak[ϕ(x)]k + o(ϕ(x)n)

Exemple :• Soit a adherent a I, f : I −→ R. Posons pour tout x ∈ I, ϕ(x) = x−a et pour tout y ∈ −a+I,

g(y) = f(a + y). Si g(y) admet un DLn en 0∑n

k=0 akyk on peut ecrire :

g(x − a) =n∑

k=0

ak(x − a)k + o((x − a)n)

soit

f(x) =n∑

k=0

ak(x − a)k + o((x − a)n)

On dit alors que f admet un developpement limite d’ordre n lorsque x tend vers a.• On suppose que +∞ est une borne de I. Soit f : I −→ R. Posons pour tout x ∈ I ∩ R

∗+,

ϕ(y) = 1y . Pour tout y ∈ z, 1/z ∈ I ∩ R

∗+, posons g(y) = f( 1

y ).Si g(y) admet un DLn en 0

∑nk=0 aky

k on peut ecrire

f(x) = g(1x

) =n∑

k=0

ak

xk+ o(

1xn

)

On dit alors que f admet un un developpement limite d’ordre n lorsque x tends vers +∞.Remarque : Soit I un intervalle de R centre en 0, f : I −→ R admettant un DLn en 0 :

∑nk=0 akx

k.Alors f(−x) admet un DLn en 0 a savoir

∑nk=0(−1)kakx

k.En particulier, si f est paire, ak = 0 pour k impair ; si f est impaire, ak = 0 pour k pair.


4) Integration des developpements limites :

Proposition 258 Soient f : I −→ R derivable, a ∈ I. On suppose que f ′ admet un DLn en a :

f ′(x) =n∑

k=0

ak(x − a)k + o((x − a)n)

et que limx→a f(x) = l.Alors f admet un DLn+1 en a a savoir :

l +n∑

k=0

ak

k + 1(x − a)k+1

5) Operations sur les developpements limites :

Proposition 259 Soient f, g : I −→ R, 0 adherent a I, (λ, µ) ∈ R2. On suppose que f et g

admettent des DLn respectifs P (x) et Q(x).1. Alors λf + µg admet un DLn a savoir (λP + µQ)(x).2. fg admet un DLn R(x) ou R est le reste de la division euclidienne de PQ par Xn+1.

Proposition 260 Soient f : I −→ R, g : I −→ R∗, 0 adherent a I. On suppose que f et g

admettent des DLn respectifs P (x) et Q(x) avec Q(0) =/ 0.Alors f(x)

g(x) admet un DLn R(x) ou R est le quotient de la division suivant les puissances crois-santes de P par Q a l’ordre n (on a P = QR + Xn+1S).

6) Composition des developpements limites :

Proposition 261 Soient J un intervalle d’extremites distinctes, 0 adherent a I et a J , f : I −→ Jet g : J −→ R.

On suppose que f(x) admet un DLn en 0 P (x) avec P (0) = 0 et que g(y) admet un DLn en 0Q(y).

Alors g f(x) admet un DLn en 0 R(x), R etant le reste de Q P par Xn+1.

IV. Developpements limites usuels

1) Formule de Taylor-Young :

Theoreme 110 (Formule de Taylor-Young) Soient f : I −→ R, a ∈ I. On suppose f de classeDn−1 et f (n−1) derivable en a.

Alors f admet un developpement limite d’ordre n en a a savoir :

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x − a) + . . . +

f (n)(a)n!

(x − a)n + o((x − a)n)

=n∑

k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k + o((x − a)n)

Remarque : Pour n = 0 ou 1, la reciproque est vraie : si f admet un DL1, f est derivable en a.Pour n 2, la reciproque est fausse (considerer x −→ x5/2 sin(1/x)).

151

2) Developpements limites de exp, cos, sin, ch et sh :

Proposition 262 Soit n ∈ N :1. ex admet un DLn en 0 :

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ . . . +

xn

n!+ o(xn)

2. cos x admet un DL2n+1 en 0 :

cos x = 1 − x2

2!+

x4

4!− . . . + (−1)n x2n

(2n)!+ o(x2n+1)

3. sinx admet un DL2n+2 en 0 :

sinx = x − x3

3!+

x5

5!− . . . + (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2)

4. ch x admet un DL2n+1 en 0 :

ch x = 1 +x2

2!+

x4

4!+ . . . +

x2n

(2n)!+ o(x2n+1)

5. sh x admet un DL2n+2 en 0 :

sh x = x +x3

3!+

x5

5!+ . . . +

x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2)

3) Developpement limite de (1 + x)α :

Theoreme 111 Soient α ∈ R, n ∈ N. Alors (1 + x)α admet un DLn en 0 :

(1 + x)α = 1 + αx +α(α − 1)

2!x2 +

α(α − 1)(α − 2)3!

x3 + . . . +α(α − 1)(α − 2)(α − n + 1)

n!xn + o(xn)

Application :•

11 + x

= 1 − x + x2 − x3 + . . . + (−1)nxn + o(xn)

•1

1 − x= 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn + o(xn)

• Par changement de variables

11 + x2

= 1 − x2 + x4 − x6 + . . . + (−1)nx2n + o(x2n+1)

• Par changement de variables

11 − x2

= 1 + x2 + x4 + x6 + . . . + x2n + o(x2n+1)


• Par integration

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− . . . + (−1)n xn+1

n + 1+ o(xn+1)

• Par integration

ln(1 − x) = x +x2

2+

x3

3+ . . . +

xn+1

n + 1+ o(xn+1)

• Par integration

arctanx = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ . . . + (−1)n x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2)

• Par integration

Argthx = x +x3

3+

x5

5+

x7

7+ . . . +

x2n+1

2n + 1+ o(x2n+2)

• On a :1√

1 + x= 1 − 1

2x +

(−1/2)(−1/2 − 1)2!

x2 + . . .

. . . +(−1/2)(−1/2 − 1) . . . (−1/2 − n + 1)

n!xn + o(xn)

•1√

1 − x= 1 +

12x − (−1/2)(−1/2 − 1)

2!x2 + . . .

. . . + (−1)n (−1/2)(−1/2 − 1) . . . (−1/2 − n + 1)n!

xn + o(xn)

• Par changement de variables :

1√1 + x2

= 1 − 12x2 +

(−1/2)(−1/2 − 1)2!

x4 + . . .

. . . +(−1/2)(−1/2 − 1) . . . (−1/2 − n + 1)

n!x2n + o(x2n+1)

• Par changement de variables :

1√1 − x2

= 1 +12x2 − (−1/2)(−1/2 − 1)

2!x4 + . . .

+(−1)n (−1/2)(−1/2 − 1) . . . (−1/2 − n + 1)n!

x2n + o(x2n+1)

• Par integration :

Argshx = x − x3

6+ o(x4)

• Par integration :

arcsinx = x +x3

6+ o(x4)

153

4) Developpement limite de tan et th :

Proposition 263 On a :

tanx = x +x3

3+

2x5

15+ o(x6)

thx = x − x3

3+

2x5

15+ o(x6)

5) Partie principale :

Proposition 264 Soient f : I −→ R, 0 adherent a I. On suppose que f admet un DLn a0 +a1x+. . .+anxn en 0 et que les ak sont non tous nuls. On note p le plus petit entier tel que ap =/ 0. Alorsen 0 :

f(x) ∼ apxp

Definition 188 Avec les notations de la proposition precedente, apxp est appele partie principale

de f .

Remarque : Ecrire f(x) ∼ apxp + ap+1x

p+1 n’est pas pertinent.Exemple : En 0 :

• ex ∼ 1, ex − 1 ∼ x, ex − 1 − x ∼ x2

2 et

ex − 1 − x − x2

2!− . . . − xn

n!∼ xn+1

(n + 1)!

• sinx ∼ x et sin x − x ∼ −x3

6 .• cos x ∼ 1 et

cos x − 1 ∼ −x2

2

• sh x ∼ x et sh x − x ∼ x3

6 .• ch x ∼ 1 et

ch x − 1 ∼ x2

2

• (1 + x)α ∼ 1 et

(1 + x)α − 1 ∼ αx

• ln(1 + x) ∼ x.• arctanx ∼ x.• Argthx ∼ x.• arcsin x ∼ x.• Argshx ∼ x.• tanx ∼ x, tanx − x ∼ x3

3 .• thx ∼ x.


V. Problemes lies a l’etude des fonctions

Soit f : A −→ R.* Domaine de definition : Si f est donnee sous forme analytique, par exemple

f(x) = Argch√

3 − x

on appelle domaine de definition Df la plus grande partie de R sur laquelle l’expression f(x) a unsens : f : Df −→ R.

* Regularite : On cherche les parties de Df sur lesquelles f est Ck ou Dk.

* Sens de variations : On l’etablit le plus souvent par l’intermediaire du signe de f ′.

* Limites, points remarquables : On cherchera notamment les limites de f(x) au bornes dudomaine Df , la valeur des extrema, les points anguleux...

On resume les deux derniers points dans le celebre ”tableau de variations”.‘

* Comportement a l’infini : Soit f :]a,+∞[−→ R. On dit que f admet comme direction asymp-totique la droite y = ax (resp. x = 0) si

limx→∞

f(x)x

= a ( resp. limx→∞

f(x)x

= +∞

Supposons que y = ax soit une direction asymptotique. Si au voisinage de +∞, f(x) = ax+ b+o(1), alors on dit que f admet la droite affine y = ax+b comme asymptote. Si limx→+∞ f(x)−ax =+∞, on dit que f admet une branche parabolique dans la direction y = ax.

Si f admet comme direction asymptotique la droite x = 0, on dit que f a une brancheparabolique dans la direction x = 0.

Enfin, si f :]a, b[−→ R et limb f = ±∞, on dit que f admet la droite x = b comme asymptote.

* Convexite : On l’etudie par l’intermediaire de f ′′.

* Position de la courbe par rapport a la tangente : Si f est convexe, la courbe est au dessusdes tangentes. On peut egalement passer par un developpement limite au point considere :

f(x) − f(a) − f ′(a)(x − a) = ap(x − a)p + o((x − a)p)

avec ap =/ 0...Exemple : Etudier

f(x) =x3

1 + x2e

1x

Chapitre 5

Suites de fonctions

Dans ce chapitre, I designe un intervalle d’interieur non vide, K designe R ou C.

I. Convergence simple, convergence uniforme

1) Limite simple :

Definition 189 Soient X un ensemble, fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dansK, f : X −→ K.

On dit que (fn)n∈N converge simplement vers f si pour tout x ∈ X, limn→+∞ fn(x) = f(x) i.e.

(∀x ∈ X)(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n n0)(|f(x) − fn(x)| ε)

f est alors unique et est appele limite simple de la suite (fn)n∈N. On ecrit :

limn→+∞

fn = f

Exemple : • fn : x ∈ [0, 1] −→ xn converge simplement vers f : x ∈ [0, 1] −→ δ1x.• Les triangles qui se deplacent...• fn : x ∈ R −→ 1

1+(x−n)2converge simplement vers 0.

Remarque : Si (fn)n∈N et (gn)n∈N convergent simplement vers f et g respectivement, on a

limn→+∞

(fn + gn) = f + g et limn→+∞

fngn = fg

Si les fn et f ne s’annulent pas, 1/fn converge simplement vers 1/f .

Definition 190 Soient X un ensemble, fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dansK.

On dit que∑+∞

n=0 fn converge simplement si pour tout x ∈ X,∑+∞

n=0 fn(x) converge.

2) Limite uniforme :

Definition 191 Soit f : X −→ K. Si f est bornee, on appelle norme infinie de f l’element

‖f‖∞ = supx∈X

|f(x)| ∈ R+

156 CHAPITRE 5. SUITES DE FONCTIONS

Remarque : Si f n’est pas bornee, on peut encore parler de sa norme infinie en posant ‖f‖∞ = +∞.Remarque : E = B(X, K) l’ensemble des fonctions f : X −→ K bornee. C’est un sous-espace deF(X, K). On a pour tout (f, g) ∈ E2 et tout λ ∈ K :

1. ‖f‖∞ = 0 ⇐⇒ f = 0 ;2. ‖λf‖∞ = |λ|‖f‖∞ ;3. ‖f + g‖∞ ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

On dit que ‖ ‖∞ est une norme.

Definition 192 Soient fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dans K, f : X −→ K.On dit que fn converge uniformement vers f si :

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n n0)(∀n n0)(∀x ∈ X)(|fn(x) − f(x)| ε)

autrement dit :

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n n0)(∀n n0)(‖fn − f‖∞ ε)

ou encore :

limn→+∞

‖fn − f‖∞ = 0

Remarque : Interpretation geometrique.

Proposition 265 Soient fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dans K, f : X −→ K.Si fn converge uniformement vers f , fn converge simplement vers f .

Proposition 266 Soient fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dans K.Si pour tout x ∈ X, |fn(x)−f(x)| αn avec limn→+∞ αn = 0, alors fn converge uniformement

vers f .

Exemple : x −→ exn

+x2converge uniformement vers ex2

sur [0, 1].Remarque : Dans les exemple du 1), les convergences sont simples, mais pas uniformes. Il n’y a pasequivalence entre ces deux notions.

3) Convergence d’une serie de fonctions :

Definition 193 Soient fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dans K.On dit que

∑+∞n=0 fn converge uniformement si la suite de fonctions (

∑np=0 fn)n∈N converge

uniformement.

Remarque :∑+∞

n=0 fn converge uniformement si∑+∞

n=0 fn converge simplement et si pour tout ε > 0,il existe N 0 tel que pour tout n N et tout x ∈ X

|+∞∑

p=n

fn(x)| ε

Proposition 267 Soient fn : X −→ K (n ∈ N) une suite de fonctions de X dans K.On suppose que pour tout x ∈ X, |fn(x)| αn avec

∑+∞n=0 αn convergente.

Alors la serie∑+∞

n=0 fn converge uniformement.

Exemple :∑+∞

n=0 xn

157


Soient λ ∈ R et pour tout n 0 la fonction :

R+ −→ R

fn : x −→ nλxe−nx

Si λ < 1, (fn)n∈N converge uniformement vers 0. Par contre si λ 1, (fn)n∈N converge simplementvers 0 de maniere non uniforme. Mais sur tout intervalle du type [a,+∞[ (a > 0), la convergenceest uniforme.

II. Continuite et derivabilite des limites uniformes

Considerons pour n 0 :

fn : x ∈ [0, 1] −→ xn

Chaque fn est continue, et la suite (fn)n∈N converge. Mais la limite des fn n’est pas continue.

Proposition 268 Soit fn : A −→ R, a ∈ A. On suppose que chaque fn est continue en a et quela suite (fn)n∈N converge uniformement vers f .

Alors f est continue en a.

Corollaire 68 La limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.

III. Exemples d’approximations uniformes :

1) Subdivisions :

Definition 194 Soit a < b.On appelle subdivision de l’intervalle [a, b] toute partie finie S de [a, b] du type

S = a = a0 < a1 < a2 . . . < an = b

On appelle pas de la subdivision S le reel positif

|S| = sup0in−1

(ai+1 − ai)

Remarque : a, b est une subdivision de [a, b].

Definition 195 Soient S et S′ deux subdivisions de [a, b]. On dit que S′ est plus fine que S siS ⊂ S′.

Remarque : On obtient donc des subdivisions plus fine que S en rajoutant des points. Si S′ est plusfine que S, |S′| |S|.

2) Fonctions en escalier :

Definition 196 Soit f : I −→ K.On dit que f est affine s’il existe α ∈ K et β ∈ K tel que pour tout x ∈ I :

f(x) = αx + β


Definition 197 Soit f : [a, b] −→ K.1. On dit que f est affine par morceaux s’il existe n ∈ N

∗, a = a0 < a1 < a2 < . . . < an = b telsque pour tout i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, f|]ai,ai+1[ est affine.

2. On dit que f est en escalier s’il existe n ∈ N∗, a = a0 < a1 < a2 < . . . < an = b tels que pour

tout i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, f|]ai,ai+1[ est constante.

Remarque : dessin !

Definition 198 Soient f : [a, b] −→ K et S une subdivision de [a, b].On dit que S = a = x0 < x1 < x2 . . . < xn = b est compatible avec f si pour tout i ∈

0, 1, . . . , n − 1, f est constante sur ]xi, xi+1[.

Remarque : Une fonction en escalier ne prend qu’un nombre fini de valeur, elle est particulierbornee.

Proposition 269 L’ensemble des fonctions en escalier de [a, b] dans K est un sous-algebre deF([a, b], R).

3) Approximations des fonctions continues :

Proposition 270 Soit f : [a, b] −→ K continue.1. Pour tout ε > 0, il existe g : [a, b] −→ K continue et affine par morceaux tel que :

‖f − g‖∞ ε

En particulier, f est limite uniforme de fonctions continues affines par morceaux.2. Pour tout ε > 0, il existe h : [a, b] −→ K en escalier tel que :

‖f − h‖∞ ε

En particulier, f est limite uniforme de fonctions en escalier.

4) Fonctions continues par morceaux :

Definition 199 Soit f : [a, b] −→ K.f est dite continue par morceaux s’il existe une subdivision S = a = x0 < x1 < x2 . . . < xn = b

telle que pour tout ∈ 1, 2, . . . , n, il existe ϕi : [xi−1, xi] −→ K continue verifiant ϕi|]xi−1,xi[ =f|]xi−1,xi[.

Remarque : Dessin !

Proposition 271 Soit f : [a, b] −→ K.f est continue par morceaux si f est continue sur [a, b] sauf en un nombre fini de points ou elle

presente des points de discontinuite de premiere espece.

Corollaire 69 L’ensemble des fonctions continues par morceaux de [a, b] dans K est un sous-algebre de F([a, b], R).

Exemple : Les fonctions en escalier sont continues par morceaux.Remarque : Les fonctions en escalier forment une R-algebre, ainsi que les fonctions continues parmorceaux.

Theoreme 112 Soit f : [a, b] −→ K continue par morceaux. Alors, pour tout ε > 0, il existeh : [a, b] −→ K en escalier tel que :

‖f − h‖∞ ε

En particulier, f est limite uniforme de fonctions en escalier.

159

5) Fonctions reglees :

Definition 200 Soit f : [a, b] −→ K.f est dite reglee si f est limite uniforme de fonctions en escalier.

Remarque : Les fonctions reglees sont bornees.Exemple : • Les fonctions continues sont reglees.

• Les fonctions affines par morceaux sont reglees.• Les fonctions en escalier sont reglees.• De maniere plus generale, les fonctions continues par morceaux sont reglees.

Proposition 272 1. R([a, b], K) est une sous-algebre de la K-algebre F([a, b], K).2.Soit fn : I −→ K une suite de fonctions reglees convergente uniformement vers une fonction

f .Alors f est reglee.

Exercice : Montrer que les fonctions monotones sont reglees.

Theoreme 113 Soit f : [a, b] −→ K. Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) Pour tout ε > 0, il existe h : [a, b] −→ K en escalier tel que

‖f − h‖∞ ε

(ii) f est limite uniforme de fonctions en escalier.(iii) En tout point de I, distincts de b, f admet une limite a droite et en tout point de I, distincts

de a, f admet une limite a gauche.

Exemple : f : R −→ R definie par f(x) = sin 1/x si x =/ 0 et f(0) = 0 n’est pas reglee.

6) Theoreme de Weierstrass :

Theoreme 114 (Theoreme de Weierstrass) Soit f : [a, b] −→ R continue.Pour tout ε > 0 il existe P ∈ R[X] tel que

‖f − P‖∞ ε

En particulier, f est limite uniforme de polynomes.

Remarque : Ce theoreme est fondamental en Analyse, il permet de ramener des problemes sur desfonctions continues a des problemes sur les fonctions polynomes (utile en analyse fonctionnelle).Les polynomes de Bernstein (voir TD) fournissent une suite de polunomes explicite convergentevers la fonction continue desiree.Remarque : Ce theoreme ne se generalise pas a f : I −→ R avec I = R par exemple (si (Pn)n∈N

converge uniformement vers f sur R, f est un polynome).


Chapitre 6

Integrale des fonctions reglees

Bernhard Riemann, ne a Hanovre en 1826, fut professeur a l’universite de Gottingen depuis1857 jusqu’a sa mort prematuree en 1866. Ses contributions a divers domaines des Mathematiques(geometrie des varietes, fonctions algebriques,...) demeurent fondamentales. On lui doit la formu-lation definitive de la definition de l’integrale qui porte son nom ; elle figure dans les preliminairesd’un memoire sur les series trigonmetriques (1854).

Dans ce chapitre, K designe R ou C, I et J des intervalles d’interieur non vide.

I. Integration des fonctions en escalier

1) Preliminaires :

Rappel : On dit que f : [a, b] −→ K est en escalier s’il existe n ∈ N∗, a = a0 < a1 < a2 < . . . <

an = b tels que pour tout i ∈ 0, 1, . . . , n − 1, f|]ai,ai+1[ est constante.Par definition des fonctions en escalier, il existe toujours des subdivisions compatibles avec une

fonction f en escalier. De plus, si S est compatible, toute subdivision plus fine que S est compatibleavec f .Remarque : L’ensemble des fonctions en escalier forme une sous-algebre de F([a, b], C).

Lemme 14 Soit f : [a, b] −→ K en escalier. Pour toute subdivision S = a = x0 < x1 < x2 . . . <xn = b compatible avec f , on note

I(S) =n∑

i=1

(xi − xi−1)fi

ou fi designe la valeur constante de f sur ]xi−1, xi[.Alors I(S) ne depend que de f et non du choix de la subdivision S compatible avec f .

2) Definition et premieres proprietes :

Ce lemme permet de poser sans ambiguıte :

Definition 201 Soient f : [a, b] −→ K une fonction en escalier.L’integrale de f sur [a, b] est l’element de K note

∫ b

af(x)dx,

∫

[a,b]f(x)dx ou encore

∫ b

af

162 CHAPITRE 6. INTEGRALE DES FONCTIONS REGLEES

defini par

∫ b

af(x)dx =

n∑

i=1

(xi − xi−1)fi

ou a = x0 < x1 < x2 . . . < xn = b est une subdivision de [a, b] compatible avec f , et fi la valeurconstante de f sur ]xi−1, xi[.

Notation : Dans l’ecriture∫ ba f(x)dx, la variable x est muette, elle peut etre remplace par n’importe

qu’elle autre lettre non deja employee.Exemple : • Si f = 1 sur [a, b],

∫ b

af(x)dx = b − a

• Si f est nulle sauf en un nombre fini de points,∫ ba f(x)dx = 0.

Notation : Soit f : [a, b] −→ C. Si α et β sont dans [a, b], α < β, alors f|[α,β] est en escalier et onnote :

∫ β

αf =

∫ b

af|[α,β]

Lemme 15 Soit f, g : [a, b] −→ C en escalier.1. Soit c ∈]a, b[. Alors f est en escalier sur [a, c] et sur [c, b] et on a

∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf

2. Soit (λ, µ) ∈ K2. Alors λf + µg est en escalier et on a :

∫ b

aλf + µg = λ

∫ b

af + µ

∫ b

ag

3. Si f : [a, b] −→ R est positive,∫ ba f 0. Si f, g : [a, b] −→ R et f g :

∫ b

af

∫ b

ag

4. La fonction |f | est en escalier et

|∫ b

af |

∫ b

a|f |

En particulier, si |f | k,

|∫ b

af | k(b − a)

Remarque : On ne change pas l’integrale de f en changeant f en un nombre fini de points.

163

II. Integrale des fonctions reglees :

On desire construire l’integrale de f : [a, b] −→ R bornee. La premiere idee est d’encadrer f pardes fonctions en escalier g et h :

h f g

avec la perspective que∫ b

ah

∫ b

af

∫ b

ag

dessin !En fait, on va utiliser trouver un cadre adapte en prenant f reglee, car elle va etre alors limite

uniforme de fonctions en escalier.Theoreme 115 Soit f : [a, b] −→ K reglee.

Il existe alors I ∈ K telle que pour toute suite fn : [a, b] −→ K de fonctions en escalierconvergente uniformement vers f :

limn→+∞

∫ b

afn = I

I etant independant de la suite (fn)n∈N choisie.Definition 202 Avec les notations du theoreme precedent, I est appele integrale de f et note :

∫ b

af(x)dx =

∫

[a,b]f(x)dx =

∫ b

af

Remarque : • Si f est en escalier, on retrouve l’integrale definie en I.• On a donc construit l’integrale pour les fonctions continues, continues par morceaux, mono-

tones...Remarque : Interpretation geometrique.

III. Proprietes de l’integrale

1) Integration sur des intervalles adjacents :

Soit f : [a, b] −→ K reglee. Alors si c ∈]a, b[, f|[a,c] et f|[c,b] sont reglees.Proposition 273 (Relation de Chasles) Soient f : [a, b] −→ K reglee et c ∈]a, b[. Alors :

∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf

2) Linearite :

Proposition 274 Soient f, g : [a, b] −→ K reglees, (λ, µ) ∈ K2. Alors :

∫ b

aλf + µg = λ

∫ b

af + µ

∫ b

ag

Remarque : R([a, b], K), l’ensemble des fonctions reglees de [a, b] dans K est un sous-espace deF([a, b], K) et

u : f ∈ R([a, b], K) −→∫ b

af(x)dx est lineaire.


3) Positivite :

Proposition 275 Soient f, g : [a, b] −→ R reglees.1. Si f 0,

∫ ba f 0.

2. Si f g,∫ ba f

∫ ba g.

Proposition 276 Soit f : [a, b] −→ K continue, f 0 et s’il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) > 0 (i.e.f =/ 0), alors

∫ b

af > 0

Remarque : Si f est continue positive et si∫ ba f = 0, f = 0.

4) Majoration :

Proposition 277 Soit f : [a, b] −→ K reglee. Alors |f | est reglees et :

|∫ b

af |

∫ b

a|f |

En particulier, si |f | k, on a :

|∫ b

af | k(b − a)

Exercice : Montrer que si f, g : [a, b] −→ R sont reglees, sup(f, g) et inf(f, g) sont reglees.

5) Inegalite de Cauchy-Schwarz :

Remarque : On n’a pas :∫ ba fg =

∫ ba f ×

∫ ba g.

Theoreme 116 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Soient f, g : [a, b] −→ R+ reglee. On a :

(∫ b

afg

)2

(∫ b

af2

) (∫ b

ag2

)

Si f et g sont continues, il y a egalite si, et seulement si f et g sont proportionnelles.

6) Integrale d’une limite uniforme :

Proposition 278 Soient fn : [a, b] −→ K une suite de fonctions reglees convergente uniformementvers f : [a, b] −→ K (reglee). Alors :

limn→+∞

∫ b

afn =

∫ b

af

165

IV. Integrale fonction de sa borne superieure

1) Interversion des bornes d’integration :

Convention :∫ aa f = 0 (f quelconque defini sur a).

Definition 203 Soient a < b, f : [a, b] −→ K reglee. On pose :

∫ a

bf = −

∫ b

af

Remarque :

∫ b

a

∑

i

λifi =∑

i

λi

∫ b

afi,

∣∣∣∣

∫ b

af

∣∣∣∣

∣∣∣∣

∫ b

a|f |

∣∣∣∣

Theoreme 117 (Formule de Chasles) Soient (a, b, c) ∈ R3, I = [a, c]∪[c, b], f : I −→ K reglee.

Alors :∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf

Exemple : Soient f : I −→ K reglee, (a0, a1, . . . an) ∈ In+1. On a :

∫ an

a0

f =n∑

k=1

∫ ak

ak−1

f

2) Primitive des fonctions continues :

Remarque : Soit f : [a, b] −→ K reglee, c ∈ [a, b]. Pour tout x ∈ I, on peut poser :

F (x) =∫ x

cf

Alors F est continue et meme ‖f‖∞-lipschitzienne.

Theoreme 118 Soit f : I −→ K reglee, c ∈ I, f continue en x0. Pour tout x ∈ I, on peut poser :

F (x) =∫ x

cf

et alors F est derivable en x0 et F ′(x0) = f(x0).

Corollaire 70 Soient f : I −→ K continue, a ∈ I. Pour tout x ∈ I, on peut poser :

F (x) =∫ x

af

Alors F est une primitive de f i.e. pour tout x ∈ I, F ′(x) = f(x). En particulier, F est C1.

Corollaire 71 Soient f : I −→ K continue, (a, b) ∈ I2, F une primitive quelconque de f . Alors

∫ b

af = F (b) − F (a) = [F (x)]ba


3) Tableau des primitives usuelles :

Remarque : • Soit ϕ : J −→ I, ψ : J −→ I derivable, f : I −→ K continue. Alors

G : x ∈ J −→ G(x) =∫ ψ(x)

ϕ(x)f(t)dt

est derivable sur J et :

G′(x) = ψ′(x)f(ψ(x)) − ϕ′(x)f(ϕ(x))

pour tout x ∈ J .• Si f est C1 sur [a, b],

∫ ba f ′ = f(b) − f(a). C’est faux si f est seulement derivable.

Corollaire 72 Soit f : I −→ K de classe calC1. Alors :

|f(x) − f(y)| supt∈[x,y]

|f ′(t)||x − y|

4) Invariance par translation :

Proposition 279 Soit f : R −→ R, T -periodique. On suppose f reglee sur tout segment de R.Alors pour tout a ∈ R :

∫ a+T

af =

∫ T

0f

Remarque : Cas f continue.

5) Formule de la moyenne :

Theoreme 119 (Formule de la moyenne) Soit f, g : [a, b] −→ R. On suppose f et g continueset que g 0 (resp. g 0).

Alors il existe c ∈ [a, b] tel que :

∫ b

a(fg) = f(c)

∫ b

ag

Exemple : Avec g = 1, si f : [a, b] −→ R, il existe c ∈ [a, b] tel que

∫ b

af = (b − a)f(c)

V. Changement de variables, integration par parties :


Theoreme 120 (Formule de changement de variables) Soient f : J −→ K continue, ϕ :I −→ J de classe C1 et (a, b) ∈ I2. Alors

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f =

∫ b

a(f ϕ)ϕ′

167

ce qui s’ecrit encore

∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(y)dy =

∫ b

af(ϕ(x))ϕ′(x)dx

On dit que l’on a fait y = ϕ(x).

Exemple : Calculer∫ ba cos3 x sinxdx.

2) Integration par parties :

Theoreme 121 (Integration par parties) Soient f : I −→ K continue, g : I −→ C de classeC1, (a, b) ∈ I2. Alors, si F est une primitive de f , on a :

∫ b

afg = [Fg]ba −

∫ b

aFg′

Exemple : Calculer∫ 21 lnxdx.

3) Formule de Taylor avec reste integral :

Theoreme 122 (Formule de Taylor avec reste integral) Soient f : I −→ K de classe Cn+1,(a, b) ∈ I2. Alors

f(b) = f(a) +f ′(a)

1!(b − a) + . . . +

f (n)(a)n!

(b − a)n +∫ b

a

(b − x)n

n!f (n+1)(x)dx

Remarque : Si k = R, on retrouve avec la formule de la moyenne le reste de Lagrange.

VI. Sommes de Riemann

Definition 204 Soient f : [a, b] −→ K, S = a = x0 < x1 < . . . < xn = b une subdivision de[a, b] et pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, un point ξi ∈ [xi−1, xi].

On definit alors la somme de Riemann :

Σ(f, S, ξ1, . . . , ξn) =n∑

i=1

(xi − xi−1)f(ξi)

Theoreme 123 Soit f : [a, b] −→ K continue.Pour tout ε > 0, il existe h > 0 tel que pour toute subdivision S = a = x0 < x1 < x2 . . . <

xn = b de pas au plus egal a h, et toute suite (ξ1, ξ2, . . . , ξn) de [a, b] verifiant ξi ∈ [xi−1, xi] pourtout i ∈ 1, 2, . . . , n, on a :

|∫ b

af − Σ(f, S, ξ1, . . . , ξn)| ε

Remarque : Encore valable si f est seulement reglee.


Corollaire 73 Soient f : [a, b] −→ K reglee et (Sp)p∈N une suite de subdivisions de [a, b] dont lepas tend vers 0.

Pour chaque subdivision, Sp = a = xp,0 < xp,1 < . . . < xp,np = b, on choisit un point ξp,i dans[xp,i−1, xp,i]. On considere les sommes de Riemann :

Σp =np∑

i=1

(xp,i − xp,i−1)f(ξp,i)

Alors

limp→+∞

Σp =∫ b

af(x)dx

En particulier, la suite (Rn)n∈N definie pour n ∈ N par :

Rn =b − a

n

n∑

k=1

f(a + kb − a

n)

converge vers∫ ba f .

Exemple : Considerons :

[0, 1] −→ R

f : x −→ 11+x

Alors Rn = 1n

∑nk=1 f(k/n) =

∑nk=1

1n+k converge vers

∫ 1

0

dx

1 + x= ln 2

VII. Valeur approchee d’une integrale

1) Methode des rectangles :

Soit f : [a, b] −→ R monotone. Par exemple supposons f croissante. Pour n > 0, on poseh = (b − a)/n. Si 1 k n :

hf (a + (k − 1)h) ∫ a+kh

a+(k−1)hf hf(a + kh)

D’ou :

h

n−1∑

k=0

f(a + kh) ∫ b

af h

n∑

k=1

f(a + kh)

Interpretation en termes d’aires de rectangles lorsque f est positive.L’erreur commise est au plus egale a :

(b − a)n

(f(b) − f(a))

Cette methode permet d’atteindre toute precision arbitraire, mais elle est peut efficace car en 1/n.Exemple :

∫ 10 ex2

dx a 0, 01 pres : il faut prendre n = 172 et donc calculer 172 valeur de la fonctiona integrer.

169

2) Methodes des trapezes :

Soit f : [a, b] −→ R de classe C2.

Lemme 16 Soit α < β dans [a, b] et ϕ : [α, β] −→ R affine telle que f(α) = ϕ(α) et f(β) = ϕ(β).Alors pour tout t ∈ [α, β] :

|f(t) − ϕ(t)| (t − α)(β − t)2

‖f ′′‖∞

.Pour n > 0 et 0 k n, on pose ak = a + k(b − a)/2n. Interpretation graphique de

In =b − a

2n

n−1∑

k=0

[f(ak) + f(ak+1)]

Alors :∣∣∣∣In −

∫ b

af

∣∣∣∣ (b − a)3

12n2‖f ′′‖

Exemple : Dans l’exemple du 1), n = 12 suffit.


Chapitre 7

Calcul des primitives

Dans ce chapitre, I designera un intervalle d’interieur non vide, K designera R ou C.

I. Generalites

1) L’integrale ”indefinie” :

Definition 205 Soit f : I −→ C continue. On note∫

f(x)dx une primitive arbitraire de f .

Notation : Si F est une primitive de f , on notera :∫

f(x)dx =∫ x

f(t)dt = F (x) + C, x ∈ I

Dans toute la suite C designera une constante arbitraire.Remarque : Pour le calcul de

∫

f(x)dx, on commencera par trouver les intervalles maximaux surlesquels f est continue. On fait le calcul dans chaque intervalle.Exemple : • I = R

∫

exdx = ex + C,

∫

ch xdx = shx + C,

∫

sh xdx = chx + C,

∫

cos xdx = sinx + C,

∫

sinxdx = − cos x + C

• I = R∗+ (resp. R

∗−)

∫dx

x= ln |x| + C

• I = R si α ∈ N ( I = R∗+ ou R

∗− si α ∈ Z

∗−, I = R+ si α ∈ R+, I = R

∗+ si α ∈ R

∗−) :

∫

xαdx =xα+1

α + 1+ C

• I =] − π/2 + kπ,+π/2 + kπ[∫

dx

cos2 x= tanx + C

172 CHAPITRE 7. CALCUL DES PRIMITIVES

• I =]kπ, (k + 1)π[

∫dx

sin2 x= − cotan x + C

• I = R

∫dx

ch2 x= thx + C

• I = R∗+ ou I = R

∗−

∫dx

sh2 x= cothx + C

• I = R

∫dx

1 + x2= arctanx + C

• I =] − 1, 1[

∫dx

1 − x2= Argthx + C =

12

ln |1 + x

1 − x| + C

I =] −∞,−1[ ou I =]1,+∞[

∫dx

1 − x2= Argcothx + C =

12

ln |1 + x

1 − x| + C

• I =] − 1, 1[

∫dx√

1 − x2= arcsin x + C = C ′ − arccos x

• I =]1,+∞[

∫dx√

x2 − 1= Argchx + C

I =] −∞,−1[

∫dx√

x2 − 1= −Argch(−x) + C

• I = R

∫dx√

1 + x2= Argshx + C

173

2) Linearite :

Proposition 280 Soient f, g : I −→ K continue, (λ, µ) ∈ K2. Alors

∫

(λf(x) + µg(x))dx = λ

∫

f(x)dx + µ

∫

g(x)dx + C

Remarque :∫

(∑

i λifi(x))dx =∑

i λi

∫

fi(x)dx.Exemple : • Integration des polynomes : si P =

∑

n∈NanXn ∈ C[X], alors

∫

P (x)dx =∑

n∈N

an

n + 1xn+1 + C

• Linearisation de cosn sinp : soit (n, p) ∈ N2. On a :

cosn x sinp x = (eix + e−ix

2)n(

eix − e−ix

2i)p =

∑

k∈Z

λkeikx

D’ou :∫

cosn x sinp xdx = λ0x +∑

k∈Z∗

λk

ikeikx + C

On peut ecrire aussi :

cosn x sinp x =∑

k∈Z

λk(cos kx + i sin kx) =∑

k∈N

(µk cos kx + νk sin kx)

D’ou :∫

cosn x sinp xdx = µ0x +∑

k∈N∗(µk

ksin kx − νk

kcos kx) + C

On peut proceder aussi directement avec les formules de trigonometrie :∫

cos4 xdx = 3/8x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + C

• Linearisation de chn shp : soit (n, p) ∈ N2. On a :

chn x shp x = (ex + e−x

2)n(

ex − e−x

2)p =

∑

k∈Z

λkekx

D’ou :∫

chn x shp xdx = λ0x +∑

k∈Z∗

λk

kekx + C

On peut ecrire aussi :

chn x shp x =∑

k∈Z

λk(ch kx + sh kx) =∑

k∈N

(µk ch kx + νk sh kx)

D’ou :∫

chn x shp xdx = µ0x +∑

k∈N∗(µk

ksh kx +

νk

kch kx) + C

On peut proceder aussi directement avec les formules de trigonometrie hyperbolique :∫

sh4 xdx = 3/8x − 1/4 sh 2x + 1/32 sh 4x + C



Proposition 281 Soient J un intervalle d’extremites distinctes, ϕ : I −→ J de classe C1, f :J −→ K continue. Alors

∫

f(y)dy =∫

f(ϕ(x)ϕ′(x)dx avec y = ϕ(x)

Application : On peut alleger la primitivation de cosn x sinp x lorsque n ou p est impair ; par exem-ple :

∫

cos2n+1 x sinp xdx =∫

(1 − sin2 x)n sinp x cos xdx=

y=sin x

∫

(1 − y2)nypdy = ...

Meme remarque pour chn x shp x.Exemple : Si F est une primitive de f et a =/ 0 :

∫

f(x + a)dx = F (x + a) + C et∫

f(ax)dx =F (ax)

a+ C


Proposition 282 Soit f, g : I −→ K continues, g C1, F une primitive de f . Alors :

∫

f(x)g(x)dx = F (x)g(x) −∫

F (x)g′(x)dx

Exemple : • I = R∗+ :

∫

lnxdx = x lnx − x + C

• Si α ∈ C∗, P ∈ C[X], on peut calculer

∫

P (x)eαxdx

par integrations successives pour abaisser le degre de P . De meme pour∫

ch xP (x)dx,∫

sh xP (x)dx,∫

cos xP (x)dx et∫

sinxP (x)dx. Par exemple :

∫

x2 sinxdx = −x2 cos x + 2x sinx + 2 cos x + C

∫

eαx cos βxdx =αeαx cos βx + βeαx sinβx

α2 + β2+ C

On peut aussi utiliser les formules d’Euler.

175

II. Integration des fractions rationnelles

1) Generalites :

Proposition 283 Soit n ∈ N∗, (a, b, c) ∈ R

3, a =/ 0 et b2 − 4ac < 0. Ecrivons ax2 + bx + c =k[1 + (αx + β)2].

Le changement de variables αx + β = tan t (t ∈] − π/2, π/2[) ramene le calcul de

∫dx

(ax2 + bx + c)n

a celui de∫

cos2n−2 tdt

Exemple :

∫dx

(x2 + x + 1)2= 4/(3

√3)(arctan(

2x + 1√3

) +12

2√3(2x + 1)

1 + (2x+1√3

)2) + C

Application : Integration des fractions rationnelles.Soit F ∈ R(X), I un intervalle ne contenant pas de pole de F . On desire trouver une primitive

de F . Pour cela, on decompose F en elements simples.• Pour les elements de premiere espece, on a pour tout α ∈ R :

∫dx

(x − α)n=

∫dy

ynavec y = x − α

ce qui est calculable.• Considerons un elements de deuxieme espece :

λx + µ

(ax2 + bx + c)n=

λ2a(2ax + b) + (µ − λb

2a)(ax2 + bx + c)n

=A(2ax + b) + B

(ax2 + bx + c)n

Donc∫

λx + µ

(ax2 + bx + c)ndx = B

∫dx

(ax2 + bx + c)n+ A

∫dy

yn

avec y = ax2 + bx + c ce qui est calculable.Exemple :

∫x

(x2 + x + 1)2dx =

∫

[1/22x + 1

x2 + x + 1− 1/2

(x2 + x + 1)2]dx

= −1/2 ln(x2 + x + 1) −∫

1/2(x2 + x + 1)2

dx


2) Fonctions rationelles en ex, en x et ((ax + b)/(cx + d))1/n :

Proposition 284 Soit F ∈ R(X).Le changement de variables y = ex ramene le calcul de

∫

F (ex)dx a celui de∫

G(y)dy ouG ∈ R(X).

Exemple :

∫dx

1 + ex= ln

ex

1 + ex+ C

Proposition 285 Soient n ∈ N∗, (a, b, c, d) ∈ R

4, ad − bc =/ 0, f une fonction rationnelle en x etn

√ax+bcx+d i.e. un rapport de combinaisons lineaires de termes de la forme

xp( n

√

ax + b

cx + d)q (p, q) ∈ N

2

Le changement de variable y = n

√ax+bcx+d ramene le calcul de

∫

f(x)dx a celui de∫

F (y)dy ou F ∈R(X).

Exemple :

∫ √

x + 1x

dx =12[ln |

1 +√

x+1x

1 −√

x+1x

| + 2x

√

x + 1x

] + C

III. Fonctions rationnelles en cos, sin, ch et sh

1) Fonctions rationnelles en cos et sin :

Proposition 286 Soit f une fonctions rationnelle en cos et sin i.e.

f(x) =

∑

(p,q)∈N2 apq cosp x sinq x∑

(p,q)∈N2 bpq cosp x sinq x

En effectuant le changement de variables y = tan x2 , on ramene le calcul de

∫


F (y)dy ou F ∈ R(X).

Exemple :

∫dx

cos x= ln |1 + tan x

2

1 − tan x2

| + C

Remarque : Regle de Bioche :• Si f(x)dx = G(cos x) sinxdx ou G ∈ R(X), on prendra avantageusement y = cos x comme

nouvelle variable : on constatera que cela est possible si f(x)dx est invariant par la transformationx −→ −x.

• Si f(x)dx = G(sinx) cos xdx ou G ∈ R(X), on prendra avantageusement y = sinx commenouvelle variable : on constatera que cela est possible si f(x)dx est invariant par la transformationx −→ π − x.

177

• Si f(x)dx = G(tanx)(1 + tan2 x)dx ou G ∈ R(X), on prendra avantageusement y = tanxcomme nouvelle variable : on constatera que cela est possible si f(x)dx est invariant par la trans-formation x −→ π + x.Exemple :

∫dx

cos x= ln |1 + tan x

2

1 − tan x2

| + C

∫sinx

2 sinx + cos xdx = −2/5 ln | cos x + 2 sinx| + x/5 + C

2) Fonctions rationnelles en ch et sh :

Proposition 287 Soit f une fonction rationnelle en ch et sh i.e.

f(x) =

∑

(p,q)∈N2 apq chp x shq x∑

(p,q)∈N2 bpq chp x shq x

En effectuant le changement de variables y = th x2 , on ramene le calcul de

∫


F (y)dy ou F ∈ R(X).

Exemple :

∫dx

sh x= ln | th x

2| + C

Remarque : f(x) est aussi de la forme G(ex) avec G ∈ R(X). On peut donc prendre aussi y = ex

comme nouvelle variable (refaire le calcul precedent).Remarque :

• Si f(x)dx = G(chx) shxdx ou G ∈ R(X), on prendra avantageusement y = chx commenouvelle variable : on constatera que cela est possible si G(cos x) sinxdx est invariant par la trans-formation x −→ −x.

• Si f(x)dx = G(shx) ch xdx ou G ∈ R(X), on prendra avantageusement y = shx commenouvelle variable : on constatera que cela est possible si G(shx) ch xdx est invariant par la trans-formation x −→ π − x.

• Si f(x)dx = G(thx)(1+th2 x)dx ou G ∈ R(X), on prendra avantageusement y = thx commenouvelle variable : on constatera que cela est possible si G(tanx)(1 + tan2 x)dx est invariant par latransformation x −→ π + x.Exemple :

∫dx

sh x= ln | th x

2| + C

∫sh x

2 sh x + chxdx = −1/3 ln |1 + 2 thx| + 1/2 ln |1 + thx| − 1/6 ln |1 − thx| + C


3) Fonctions rationnelles abeliennes :

Proposition 288 Soit (a, b, c) ∈ R3, ∆ = b2 − 4ac, r =

√ax2 + bx + c, a =/ 0, f une fonction

rationnelle en x et r :

f(x) =

∑

(p,q)∈N2 apqxprq

∑

(p,q)∈N2 bpqxprq

1. Si a > 0 et ∆ > 0, le changement de variables

2ax + b√∆

= ± ch t (t 0)

ramene la calcul de∫


g(t)dt ou g(t) est une fonction rationnelle en ch t et sh t.2. Si a < 0 et ∆ > 0 le changement de variables

2ax + b√∆

= cos t (0 t π)



g(t)dt ou g(t) est une fonction rationnelle en cos t et sin t.3. Si a > 0 et ∆ < 0, le changement de variables

2ax + b√−∆

= sh t (t ∈ R)



g(t)dt ou g(t) est une fonction rationnelle en ch t et sh t.

Exemple :∫ 2

1

√4 − x2

xdx = 2 ln(2 +

√3) −

√3.

Chapitre 8

Integrales sur un intervallequelconque

Nous avons juqu’a present parle d’integrale definie sur un intervalle compact. Il est naturel devouloir etendre cette notion a des fonctions definies sur des intervalles non fermes ou non bornes.

I et J designeront des intervalles d’interieur non vide, K designera R ou C. On notera a et b lesextremites de I dans R avec a < b. On ecrira I = (a, b). Il s’agit de donner un sens a

∫ ba f . Si a /∈ I

ou a = −∞, on dit qu’il y a improprete a gauche ; si b /∈ I ou b = +∞, on dit qu’il y a impropretea droite.

I. Fonctions positives integrables

1) Fonctions localement reglees :

Definition 206 Soit f : I −→ K.On dit que f est localement reglee si pour tout (a, b) ∈ I2, f|[a,b] est reglee.

Remarque : f : I −→ K est localement reglee si pour tout segment contenu dans I, la restrictionde f a ce segment est reglee.Exemple : • Si f : I −→ K est continue, elle est localement reglee. C’est le cas usuel que nousaurons a traiter.

• Si f : I −→ K est continue par morceaux sur tout segment contenu dans I, f est localementreglee.

2) Integrabilite des fonctions positives :

Definition 207 Soit f : I −→ R+ localement reglee.On dit que f est integrable (sur I) s’il existe M 0 tel que pour tout intervalle J ⊂ I compact :

∫

Jf M

On appelle alors integrale de f sur I le reel

∫ b

af =

∫

If = sup

J⊂I, J segment

∫

Jf

180 CHAPITRE 8. INTEGRALES SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE

Remarque : • Si I = [a, b] est un compact, on retrouve l’integrale definie au chapitre 6.• On prendra garde a ne pas confondre f Riemann-integrable et f integrable.• Si f est continue positive integrable sur I et si

∫

I f = 0, on a f = 0.Exemple : Si I est borne (a ∈ R, b ∈ R) et si f est bornee (localement reglee et positives), f estintegrable. Par exemple :

∫ 1

0sin2 1

xdx existe.

Proposition 289 (Relation de Chasles) Soient f : I −→ R+ continue par morceaux, c ∈ I.On note I1 = (a, c] = I∩] − ∞, c] et I2 = [c, b) = I ∩ [c,∞[. Alors, les deux conditions suivantessont equivalentes :

(i) f est integrable sur I.(ii) f|I1 est integrable sur I1 et f|I2 est integrable sur I2.Dans ces conditions,

∫

If =

∫

I1

f +∫

I2

f ce qui s’ecrit encore∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf

Remarque : Ainsi, lorsqu’on etudie l’integrabilite d’une fonction, on peut se ramener au cas ou iln’y a qu’une seule improprete.

3) Integrabilite et fonction x −→∫ x

af :

Theoreme 124 Soit f : [a, b[−→ R+ localement reglee (a ∈ R et b ∈ R∪∞). Les deux conditionssuivantes sont equivalentes :

(i) f est integrable sur [a, b[.(ii) La fonction :

x ∈ [a, b[ −→∫ x

af admet une limite lorsque x tend vers b

(iii) Il existe M 0 tel que pour tout x ∈ [a, b[,∫ xa M .

Dans ces conditions, on a :∫ b

af = lim

x→b

∫ x

af

Dans le cas ou la fonction n’est pas integrable :

limx→b

∫ x

af = +∞

Remarque : • Si f : (a, b) −→ R+ est localement reglee, c ∈ (a, b), f est integrable si les limites :

limx→a

∫ c

xf et lim

x→b

∫ x

cf existent.

Dans ces conditions,∫ b

af = lim

x→a

∫ c

xf + lim

x→b

∫ x

cf

181

• On suppose f continue. Soit F une primitive de f sur I. f est integrable sur I = (a, b) si etseulement si f admet une limite en a et en b. Dans ces conditions :

∫ b

af = lim

x→bF (x) − lim

x→aF (x)

• Si (bn)n∈N est une suite de [a, b[ convergente vers b et si :

limn→∞

∫ bn

af = l ∈ R

f est integrable et∫ ba f = l.

Exemple :∫ 10 (− lnx)dx existe mais pas

∫ 10

1xdx.

Remarque : Supposons f est integrable, b ∈ R (resp. ∞). Pour tout ε > 0, il existe η > 0 (resp.A a tel que pour tout x ∈ [A,+∞[ :

0 ∫ b

xf ε

Proposition 290 Soit f, g : I −→ R+ integrables, λ 0.Alors f + g et λf sont integrables et :

∫

I(f + g) =

∫

If +

∫

Ig et

∫

Iλf = λ

∫

If

4) Theoreme de comparaison :

Proposition 291 Soit f, g : I −→ R+ localement reglee, f g.Si g est integrable, f est aussi integrable et

∫

If

∫

Ig

Si f n’est pas integrable, g n’est pas integrable.

Corollaire 74 Soit f, g : [a, b[−→ R+ localement reglee. On suppose que f(x) ∼ g(x) lorsque xtend vers b.

Alors f est integrable si, et seulement si, g est integrable.

Corollaire 75 Soit f, g : [a, b[−→ R+ localement reglee. On suppose que f(x) = O(g(x)) lorsquex tend vers b.

Alors, si g est integrable, f est aussi integrable.

Remarque : Ces theoremes permettent d’etudier l’integrabilite en les comparant a des fonctions dereference.

Proposition 292 Soit α ∈ R.1. Soit c > 0. x ∈]c,+∞[ −→ dx

xα est integrable si et seulement si α > 1.

2. Soient a ∈ R, c =/ a. x ∈]c, a[ −→ dx|x−a|α est integrable si et seulement si α < 1.

Exemple : •∫ +∞−∞

dx1+x2 = π.

•∫ +∞1

ln xx3 dx est defini.

•∫ +∞1 lnx/xdx et

∫ +∞0 xe−xdx.


5) Comparaison series-integrales :

Theoreme 125 Soit α ∈ R.∑+∞

n=11

nα converge si, et seulement si α > 1.

Exemple : Donner lorsque n tend vers l’infini un equivalent de :

+∞∑

k=n

1k2

II. Fonctions integrables a valeurs complexes

1) Generalites :

Definition 208 Soit f : I −→ K localement reglee. On dit que f est integrable si |f | est integrable.

Remarque : • Si |f | g et g integrable, f est integrable.Exemple :

∫ +∞1

ln x. sin xx3 dx

• Ainsi, pour etudier l’integrabilite d’une fonction, on se ramene immediatement au cas ou lafonction est positive en passant a la valeur absolue ou au module. Et, on a alors a notre dispositionles theoremes de comparaison.

Proposition 293 L’ensemble des fonctions integrables de I dans K est un sous-espace vectorielde Cm(I, K).

Proposition 294 Soit f : I −→ R localement reglee, f = f+ − f− avec f+ = sup(f, 0) 0 etf− = sup(−f, 0) 0.

Alors f est integrable si, et seulement si, f+ et f− sont integrables.

Definition 209 Soit f : I −→ R integrable, f = f+ − f− avec f+ = sup(f, 0) 0 et f− =sup(−f, 0) 0.

On appelle integrale de f sur I le scalaire :

∫

If =

∫ b

af =

∫

If+ −

∫

If−

Proposition 295 Soit f : I −→ C localement reglee, f = f1 + if2 avec f+ = (f) et f− = (f).Alors f est integrable si, et seulement si, f1 et f2 sont integrables.

Definition 210 Soit f : I −→ C integrable, f = f1 + if2 avec f+ = (f) et f− = (f).On appelle integrale de f sur I le scalaire :

∫

If =

∫ b

af =

∫

If1 + i

∫

If2

2) Relation de Chasles :

Proposition 296 (Relation de Chasles) Soient f : I −→ K localement reglee, c ∈ I. On noteI1 = (a, c] = I∩] − ∞, c] et I2 = [c, b) = I ∩ [c,∞[. Alors, les deux conditions suivantes sontequivalentes :

(i) f est integrable sur I.(ii) f|I1 est integrable sur I1 et f|I2 est integrable sur I2.

183

Dans ces conditions,∫

If =

∫

I1

f +∫

I2

f ce qui s’ecrit encore∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf

Remarque : Ainsi, lorsqu’on etudie l’integrabilite d’une fonction, on peut se ramener au cas ou iln’y a qu’une seule improprete.

3) Integrabilite et fonction x −→∫ x

af :

Theoreme 126 Soit f : [a, b[−→ K localement reglee (a ∈ R et b ∈ R ∪ ∞). Si f est integrablesur [a, b[, la fonction :

x ∈ [a, b[ −→∫ x

af admet une limite lorsque x tend vers b

Dans ces conditions, on a :∫ b

af = lim

x→b

∫ x

af

Remarque : • ATTENTION ! Ici nous n’avons plus d’equivalence (voir plus loin pour un contre-exemple).

• ATTENTION ! Ce n’est pas parce que limn→+∞∫ bn

a f = l (limn→+∞ bn = b) que la limitelimx→b

∫ xa f existe.

• Si f : (a, b) −→ K est localement reglee, c ∈ (a, b), si f est integrable, les limites :

limx→a

∫ c

xf et lim

x→b

∫ x

cf existent.

Dans ces conditions,∫ b

af = lim

x→a

∫ c

xf + lim

x→b

∫ x

cf

• On suppose f continue. Soit F une primitive de f sur I. Si f est integrable sur I = (a, b), fadmet une limite en a et en b. Dans ces conditions :

∫ b

af = lim

x→bF (x) − lim

x→aF (x)

Proposition 297 Soit f : I −→ K integrable. Alors :∣∣∣∣

∫

If

∣∣∣∣

∫

I|f |

Proposition 298 Soit f, g : I −→ R+ integrables, λ 0.Alors f + g et λf sont integrables et :

∫

I(f + g) =

∫

If +

∫

Ig et

∫

Iλf = λ

∫

If

Remarque : L’integrale est un operateur lineaire.


4) Theoreme de changement de variables :

Theoreme 127 (Changement de variables) Soient f : [a, b[−→ K continue, ϕ : [α, β[−→ [a, b[monotone de classe C1. On suppose ϕ(α) = a et limx→β ϕ(x) = b.

Alors f est integrable si, et seulement si (f ϕ)ϕ′ est integrable et dans ces conditions :∫ b

af(x)dx =

∫ β

αf(ϕ(t))ϕ′(t)dt

Exemple :∫ +∞−∞

dxex+2e−x


L’idee est de se ramener a un intervalle compact, d’effectuer l’integration par parties sur cetteintegrale ”propre”, puis de faire tendre les bornes.Exemple :

∫ +∞0 xe−xdx = 1

III. Integrales de fonctions non integrables

1) Definition :

Soit f : [a, b[−→ K localement reglee (a ∈ R et b ∈ R ∪ ∞).Il peut arriver que x −→

∫ xa f admettent une limite en b sans que f soit integrable. On ne peut

plus definir∫ ba f comme en II. Cependant, on ecrira encore :

∫ →b

af = lim

x→b

∫ x

af

Definition 211 Soient f : I −→ K localemnt reglee, c ∈ I. On suppose que :

limy→a

∫ c

yf et lim

x→b

∫ x

cf existent.

Alors, on pose alors :∫ →b

→af = lim

y→a

∫ c

yf + lim

x→b

∫ x

cf

On dit que∫ →b→a f est une integrale impropre (ou semi-convergente).

Remarque : • Si f est integrable, on retrouve l’integrale deja definie.• On suppose f continue. Soit F une primitive de f sur I. Si f est integrable sur I = (a, b), f

admet une limite en a et en b. Dans ces conditions :∫ →b

→af = lim

x→bF (x) − lim

x→aF (x)

2) Moyens d’etude :

Pour traiter ce genre d’integrales, on peut utiliser deux outils fondamentaux :• Changement de variables : etudier

∫ +∞0 eix2

dx.• Integration par parties : etudier

∫ +∞0

sin tt dt.

Chapitre 9

Equations differentielles

Dans tout ce chapitre, K designe R ou C, I un intervalle de R d’interieur non vide.Qu’appelle t-on equation differentielle ? C’est une equation fonctionnelle, i.e. l’inconnu est une

fonction, qui fait intervenir les derivees de cette fonction. Par exemple :

(∀x ∈ I) (y′′2(x)y(x) = y(x) − x ln y(x)) note aussi y′′2y = y − x ln y

ou y : I −→ R est une fonction deux fois derivable. Un grand nombre d’entre elles, reliee a desphenomenes physiques, chimiques, economiques peuvent se mettre de la forme : y′ = f(x, y). Avecde bonnes hypotheses sur f , le theoreme de Cauchy-Lipschitz assure l’existence et l’unicite localed’une solution si l’on impose y(x0) = y0.

I. Equations differentielles lineaires d’ordre 1

1) Resolution de l’equation differentielle :

Definition 212 Une equation differentielle lineaire d’ordre 1 est une equation de la forme

(E) f ′ + ϕf = Ψ

ce qui peut s’ecrire avec y = f(x) :

(E)dy

dx+ ϕ(x)y = Ψ(x)

ou ϕ, Ψ : I −→ K etant des fonctions continues donnees et f : I −→ K une fonction inconnuederivable.

Cette equation est dite homogene (ou sans second membre) si Ψ = 0. L’equation homogene(E0) : f ′ + ϕ(x)f = 0 est appelee equation homogene associee a (E).

Theoreme 128 Soit (E) : y′ + ϕ(x)y = 0 (x ∈ I) une equation differentielle homogene d’ordre 1,ϕ continue. Fixons x0 ∈ I.

Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme :

y(x) = Ce−

∫ xx0

ϕ(t)dt (x ∈ I)

ou C est une constante arbitraire de K.

Remarque : Les solutions de (E) constituent un sous-espace de dimension 1 du K-espace vectorielD(I, K).Exemple : Soit (E) : y′ − 4

xy = 0, I = R∗+. Alors y(x) = Cx4 si x > 0.

186 CHAPITRE 9. EQUATIONS DIFFERENTIELLES

2) Methode de la variation de la constante :

Soient (E) : y′ + ϕ(x)y = Ψ et (E0) : y′ + ϕ(x)y = 0. Soit Y une solution non nulle de (E0).D’apres ce qui precede, Y ne s’annule pas sur I.

Toute fonction y : I −→ K derivable s’ecrit λY avec λ : I −→ K derivable. Alors y est solutionde (E) si et seulement si :

λ′Y = Ψ

c’est-a-dire :

λ(x) =∫

Ψ(x)Y −1(x)dx + C

Remarque : Probleme de Cauchy : Soit x0 ∈ I et y0 ∈ K. Il existe une unique solution y de (E)telle que y(x0) = y0.Exemple : Soit (E)y′ − 4

xy = x4 x > 0. Les solutions de (E) sont

y(x) = (x + C)x4 (x > 0)

ou C ∈ R.

3) Utilisation de solutions particulieres :

Proposition 299 Soit (E) y′ + ϕ(x)y = Ψ(x).Si z est une solution particuliere de l’equation (E), on obtient toutes les solutions de (E) en

ajoutant a z toutes les solutions de l’equation homogene associee (E0).

Proposition 300 (Principe de superposition des solutions particulieres) Soit (E) y′ +ϕ(x)y = Ψ(x).

Si Ψ =∑n

k=1 akΨk avec les Ψk continues et les ak ∈ K, et si yk est une solution particuliere dey′ + ϕ(x)y = Ψk(x), alors

∑nk=1 akyk est une solution particuliere de l’equation y′ + ϕ(x)y = Ψ(x).

Exemple : • Resoudre sur R : y′ + y = cos x − sinx.• Equations non resolue : x2y′ + y − 1 = 0.

II. Equations differentielles lineaires d’ordre 2

1) Generalites :

Definition 213 Une equation differentielle lineaire d’ordre 2 est une equation de la forme :

(E) f ′′ + ϕf ′ + Ψf = θ

ou, si on pose y = f(x) :

(E)d2y

dx2+ ϕ(x)

dy

dx+ Ψ(x)y = θ(x) (x ∈ I)

ou ϕ, Ψ, θ : I −→ K donnees sont continues et f : I −→ K de classe D2 est l’inconnue.Cette equation est dite homogene (ou sans second membre) si θ = 0.L’equation (E0) f ′′ + ϕ(x)f ′ + Ψ(x)f = 0 est appelee equation homogene associee a f ′′ +

ϕ(x)f ′ + Ψ(x)f = θ(x).

187

Theoreme 129 Soit (E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = θ(x), x0 ∈ I, (y0, y1) ∈ K2.

Alors, il existe une unique fonction y de cette equation telle que

y(x0) = y0 et y′(x0) = y1

admis

Corollaire 76 Soit (E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = 0.Les solutions de (E) constituent un sous-espace de dimension 2 du K-espace vectoriel D(I, K).

2) Methode de variations des constantes :

Definition 214 Soient (E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = 0, (y, z) deux solutions de (E).On appelle wronskien de (y, z) en x le determinant :

W (y, z)(x) = det(

y(x) z(x)y′(x) z′(x)

)

Proposition 301 Soient (E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = 0, (y, z) solutions de (E). Si (y, z) est unebase du K-espace vectoriel des solutions de (E) (on parle alors de solutions independantes) alors,pour tout x ∈ K, W (y, z)(x) =/ 0. Reciproquement, s’il existe x ∈ I tel que W (y, z)(x) =/ 0, y et zsont independantes.

Theoreme 130 (Methode de variations des constantes) Soient (E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y =θ(x), (y, z) deux solutions independantes de l’equation homogene associee.

Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme hy + kz ou h, z : I −→ K sont derivableset :

(y zy′ z′

) (h′

k′

)

=(

0θ

)

Exemple : Soit (E) y′′ + y = 1cos x , (I =] − π/2,+π/2[). Les solutions de (E) sont :

y(x) = (ln cos x + C) cos x + (x + D) sinx (x ∈ I)

ou C et D sont des constantes arbitraires de K.

3) Utilisation de solutions particulieres :

Proposition 302 Soit (E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = θ(x).Si z est une solution particuliere de l’equation complete (E), on obtient toutes les solutions de

l’equation complete en ajoutant a z toutes les solutions de l’equation homogene associee.

Proposition 303 (Principe de superposition des solutions particulieres) Soient(E) y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = θ(x) avec θ =

∑nk=1 λkθk (λk ∈ K, θk : I −→ K continues,

yk une solution particuliere de l’equation :

y′′ + ϕ(x)y′ + Ψ(x)y = θk(x)

Alors∑n

k=1 λkyk est une solution particuliere de (E).


III. Equations differentielles lineaires a coefficients constants d’or-dre 1 ou 2

1) Solutions des equations homogenes :

Definition 215 Une equation differentielle d’ordre 1 a coefficient constant est une equationdifferentielle du type :

(E) y′ + ay = Ψ(x) (x ∈ I)

ou a ∈ K, Ψ : I −→ K est continue.Une equation differentielle d’ordre 2 a coefficients constants est une equation differentielle du

type :

(E) y′′ + ay′ + by = θ(x) (x ∈ I)

ou a, b ∈ K, θ : I −→ K est continue.

Corollaire 77 Soit a ∈ K. Les solutions de l’equation differentielle d’ordre 1 homogene a coeffi-cient constant y′ + ay = 0 sont les fonctions de la forme

y(x) = Ce−ax (x ∈ I)

Theoreme 131 Soient (E) y′′ + ay′ + b = 0, P = X2 + aX + b. On suppose que P admet deuxracines distinctes ou confondues α et β (P (r) = 0 est appelee equation caracteristique de (E)).

1. Si α =/ β, les solutions de (E) sont de la forme

f(x) = Aeαx + Beβx (x ∈ I)

ou A et B sont des constantes arbitraires de K.2. Si α = β, les solutions de (E) sont de la forme

f(x) = (Ax + B)eαx (x ∈ I)

ou A et B sont des constantes arbitraires de K.

Exemple : Si (E) y′′ − 5y′ + 4y = 0, y(x) = Aex + Be4x.Si (E) y′′ + 6y′ + 9y = 0, y(x) = (Ax + B)e−3x.

Theoreme 132 Soient (a, b) ∈ R2, P = X2 + aX + b, a2 − 4b < 0. On note α ± iβ les racines de

P , (α, β) ∈ R2.

Les solutions reelles de y′′ + ay′ + by = 0 sont les fonctions de la forme :

f(x) = Aeαx cos βx + Beαx sinβx (x ∈ I)

ou A et B sont des constantes arbitraires de R.

Exemple : Soit (E)y′′ − 6y′ + 10y = 0, y(x) = Ae3x cos x + Be3x sinx.

189

2) Recherche de solutions particulieres :

Proposition 304 1. Soient Q ∈ K[X], (E) y′ + ay = Q(x), a ∈ K avec a =/ 0.Alors (E) possede une solution et une seule de la forme y(x) = R(x) avec R ∈ K[X]. De plus

deg R = deg Q.2. Soient Q ∈ K[X], (E) y′′ + ay′ + by = Q(x), a ∈ K, b ∈ K, b =/ 0.Alors (E) possede une solution et une seule de la forme y(x) = R(x) avec R ∈ K[X]. De plus,

deg R = deg Q.

Exemple : Soit (E) y′′ − 5y′ + 4y = x3. Alors les solutions de (E) sont :

y(x) =14x3 +

1516

x2 +6332

x +255128

+ Aex + Be4x

Remarque : Dans une equation differentielle du type y′ + ay = eλxΨ(x) ou y′′ + ay′ + by = eλxθ(x),on procedera au changement de fonctions inconnues en posant y(x) = z(x)eλx. On se ramene ainsia des equations differentielles du type z′ + αz = Ψ(x) et z′′ + αz′ + βz = θ(x) respectivement.

Par exemple, on sait donc resoudre y′′ + ay′ + by =∑n

i=1 Qi(x)eλix ; soit (E) y′′ − 5y′ + 4y =x2 ch x. Les solutions de (E) sont les

y(x) =12(−1

9x3 − 1

9x2 − 2

27x)ex +

12(x2

10+

14100

x +78

1000)e−x + Aex + Be4x

ou A et B sont des constantes arbitraires de K.


Partie DAlgebre lineaire

Chapitre 1

Espaces vectoriels

Au XVIIIeme siecle se developpe la resolution des systemes lineaires et la theorie desdeterminants. Les raisonnements suggerent rapidement le concept d’espace a n dimensions. Maisil fallait oser un langage geometrique, alors qu’une interpretation sensible dans le plan ou l’espacefaisait defaut pour n > 3.

De maniere independante, Cayley en Angleterre et Grassman en Allemagne franchissent le pasvers 1843-1845 et parlent d’espace a n dimensions. Le point de vue de Cayley est issu directementde la geometrie analytique : un vecteur d’un espace a n dimensions est un systeme de n reels oun complexes. L’addition de deux vecteurs et la multiplication par un scalaire est naturellementintroduite par la generalisation de la dimension 3. Pour parvenir vraiment a la notion d’espacevectoriel, il faut exhiber le concept de sous-espace et de dimension d’un sous-espace. C’est ceque fera Grassman (professeur de lycee autodidacte en marge des milieux de la recherche) quivoulut developper une analyse geometrique portant sur des calculs intrinseques independants duchoix des coordonnees. Grassman introduisit le produit exterieur de deux vecteurs, la definition del’independance lineaire, de la dimension d’un espace et il demontre la relation fondamentale

dimV + dimW = dim(V + W ) − dimV ∩ W

Ces travaux eurent peu d’impact au debut, mais ils furent repris par Henri Poincare et Elie Cartan(notamment son ”algebre exterieure” en geometrie differentielle).

C’est en 1888 que Peano donnera la definition axiomatique d’un espace vectoriel reel. Jusqu’en1930, le point de vue des matrices et des coordonnees predomine par rapport au point de vueintrinseque des espaces vectoriels.

I. Espaces vectoriels, sous-espaces :

1) Structure d’espace vectoriel :

Definition 216 Soit K et E deux ensembles. Une loi de composition externe sur E a operateursdans K est une application de K × E dans E

(λ, x) ∈ K × E −→ λ.x ∈ E

Definition 217 Soit K un corps commutatif.Un espace vectoriel sur K (ou encore K-espace vectoriel) est un ensemble E muni d’une loi de

composition interne notee additivement et d’une loi de composition externe notee multiplicativementtelles que :

194 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS

1. (E, +) est un groupe abelien.2. Pour tout x ∈ E, 1.x = x.3. Pour tout (λ, µ) ∈ K2 et tout x ∈ E

λ.(µ.x) = (λµ).x = µ.(λ.x)

4. Pour tout (λ, µ) ∈ K2 et tout x ∈ E, on a

(λ + µ).x = λ.x + µ.x

5. Pour tout λ ∈ K et tout (x, y) ∈ E2

λ.(x + y) = λ.x + λ.y

Dans toute la suite, K designera un corps commutatif.Exemple : • K est un K-ev.

• Si n ∈ N∗, Kn est un K-ev.

• F(X, K) est un K-ev.• C est un R-ev.

Exercice : Structure de R-espace vectoriel sur R+∗ × R.

2) Relation dans un espace vectoriel :

Remarque : Soient x dans E et λ ∈ K. On a 0.x = 0 et λ.0 = 0. L’application x ∈ E −→ λ.x estun morphisme de (E, +) dans lui-meme. L’application λ −→ λ.x est un morphisme de (K, +) dansE. On a

(∑

i∈I

λi).x =∑

i∈I

λi.x et λ(∑

i∈I

xi) =∑

i∈I

λ.xi

et

(∑

i∈I

λi).(∑

j∈J

xj) =∑

(i,j)∈I×J

λixj

Proposition 305 Soit E un K-espace vectoriel, (λ, x) ∈ K × E.Si λ.x = 0, alors x = 0 ou λ = 0.

Remarque : Si λ =/ 0 et λx = λy alors x = y.Si x =/ 0 et λ.x = µ.x alors λ = µ.Si x ∈ E, (−1).x = −x.

3) Sous-espace vectoriel :

Definition 218 Soit E un K-espace vectoriel, F ⊂ E.F est un sous-espace (vectoriel) si :1. F est un sous-groupe de (E, +).2. Pour tout λ ∈ K et tout x ∈ E, λ.x ∈ F .

195

Remarque : Ainsi, pour verifier que F est un sous-ev, il suffit de verifier :1. 0 ∈ F .2. Pour tout (x, y) ∈ F 2, x + y ∈ F .3. Pour tout x ∈ F , −x ∈ F .4. Pour tout λ ∈ K et tout x ∈ F , λ.x ∈ F .En fait, 3. est inutile (prendre λ = −1 dans 4.).

Remarque : Si F est un sous-ev, F muni de la restriction des lois a F est alors un K-espace vectoriel.Exemple : • 0 et E sont des sous-espaces de E.

• C(R, R) est un sous-ev du R espace F(R, R).• L’ensemble des f ∈ F(R, R) tel que f(1) = 0 est un sous-ev.

Remarque : Pour montrer qu’un ensemble F est un K-ev il sera souvent preferable de montrer queF est un sous-ev d’un certain espace E.

II. Aplications lineaires

1) Generalites :

Definition 219 Soient E et F deux K-ev, u : E −→ F .u est une application lineaire ou (morphisme d’espaces vectoriels) si1. u est un morphisme du groupe (E, +) dans le groupe (F, +).2. Pour tout λ ∈ K et tout x ∈ E, u(λx) = λu(x).On note L(E, F ) l’ensemble des applications lineaires de E dans F . On note L(E) pour L(E, E).

Si u ∈ L(E), u est appele endomorphisme de E.

Remarque : Pour verifier que u est lineaire, il suffit de verifier que1. Pour tout (x, y) ∈ E2, u(x + y) = u(x) + u(y).2. Pour tout λ ∈ K et tout x ∈ E, u(λx) = λu(x).

Remarque : u(∑

i∈I λixi) =∑

i∈I λiu(xi) si u est lineaire.Exemple : • u : (x, y) ∈ R

2 −→ x ∈ R est lineaire.• u : (x1, . . . , xn) ∈ Kn −→ x1 + . . . + xn ∈ K est lineaire.• Si λ ∈ K, u : x ∈ E −→ λx ∈ E est lineaire. u s’appelle une homothetie (de rapport λ).

2) Composition des applications lineaires :

Proposition 306 Soient u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F, G).1. IE est lineaire de E dans E.2. v u est lineaire de E dans G.3. Si u est bijective, u−1 est lineaire de F sur E.

Definition 220 Soient E et F deux K-ev.On appelle isomorphisme de E sur F toute application lineaire bijective de E sur F . Un auto-

morphisme de E est un isomorphisme de E sur lui-meme.On note Iso(E, F ) l’ensemble des isomorphismes de E sur F .On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E.E et F sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme de E sur F . On note alors E F .

Remarque : • IE ∈ GL(E) ;• Si u ∈ Iso(E, F ) et v ∈ Iso(F, G), v u ∈ Iso(E, G).• Si u ∈ Iso(E, F ), u−1 ∈ Iso(F, E).• Consequences pour .


Proposition 307 Soit E un K-espace vectoriel. GL(E) est un sous-groupe de SE, appele groupelineaire de E.

Exemple : Si λ =/ 0, l’homothetie de rapport λ est un automorphisme de E.

3) Image directe et image reciproque d’un sous-espace :

Proposition 308 Soit u ∈ L(E, F ).1. Si E′ est un sous-espace de E, u(E′) est un sous-espace de F .2. Si F ′ est un sous-espace de F , u−1(F ′) est un sous-espace de E.

Definition 221 Soit u : E −→ F lineaire.On appelle noyau de u la partie ker u = u−1(0).

Remarque : Si u ∈ L(E, F ), keru est un sous-espace de E et Im u un sous-espace de F .

Proposition 309 Soit u ∈ L(E). u est injective si, et seulement si keru = 0.

III. Sous-espace engendre

1) Definition du sous-espace vectoriel engendre :

Proposition 310 Soit E un K-ev, (Ei)i∈I une famille de sous-espace de E. Alors⋂

i∈I Ei est unsous-espace.

Definition 222 Soient E un K-ev, A ⊂ E. On note F l’ensemble des sous-espaces de E contenantA.

On appelle sous-espace engendre par A le sous-espace

Vect A =⋂

F∈FF

Remarque : Ainsi, au sens de l’inclusion, le sous-espace engendre par A est le plus petit sous-espacecontenant A.

Definition 223 Soient E un K-ev et (xi)i∈I une famille de E. Le sous-espace engendre par les xi

est le sous-espace engendre par les xi, i ∈ I. On le note Vecti∈I xi.

2) Determination du sous-espace engendre :

Proposition 311 Soient E un K-ev, (xi)i∈I une famille de E. Le sous-espace engendre par les xi

est l’ensemble des elements de E du type∑

i∈I

λixi

ou (λi)i∈I est une famille a support fini de K.

Remarque : Le sous-espace engendre par x1, x2,..., xn est l’ensemble

n∑

i=1

Kxi =

n∑

i=1

λixi ∈ E, (λ1, λ2, . . . , λn) ∈ Kn

197

3) Somme de sous-espaces :

Definition 224 Soient E un K-espace vectoriel, (Ei)i∈I une famille de sous-espaces de E.On appelle somme des Ei le sous-espace engendre par

⋃

i∈I Ei. On la note∑

i∈I Ei.

Remarque : Si I = 1, 2, . . . , n, on note encore E1 + E2 + . . . + En.

Proposition 312 Soient E un K-espace vectoriel, (Ei)i∈I une famille de sous-espace de E.La somme des Ei est constituee des sommes

∑

i∈I xi ou (xi)i∈I est une famille a support finide E telle que pour tout i ∈ I, xi ∈ Ei.

Remarque : Cas I fini.

4) Operations elementaires :

Definition 225 Soit E un K-espace vectoriel, (xi)i∈I et (yi)i∈I deux familles de E.On dit que (yi)i∈I se deduit de (xi)i∈I par une operation elementaire si l’une de ces trois

conditions est verifiee :1. Il existe σ ∈ SI tel que pour tout i ∈ I, yi = xσ(i).2. Il existe λ ∈ K∗ et i0 ∈ I tel que pour tout i ∈ I

yi =

xi si i =/ i0λxi0 si i = i0

3. Il existe i0 ∈ I, j0 =/ i0 dans I et λ ∈ K tels que pour tout i ∈ I :

yi =

xi si i =/ i0xi0 + λxj0 si i = i0

Proposition 313 Soit E un K-espace vectoriel, (xi)i∈I et (yi)i∈I deux familles de E.1. Si (yi)i∈I se deduit de (xi)i∈I par une operation elementaire, alors (xi)i∈I se deduit de (yi)i∈I

par une operation elementaire.2. Si (yi)i∈I se deduit de (xi)i∈I par une operation elementaire, les sous-espaces engendres

respectivement par (xi)i∈I et (yi)i∈I sont identiques.

IV. Somme directe

1) Generalites :

Definition 226 Soient E un K-espace vectoriel, (Ei)i∈I une famille de sous-espace de E.On dit que la somme des Ei est directe si pour toute famille (xi)i∈I de E a support fini verifiant

(∀i ∈ I)(xi ∈ Ei) et∑

i∈I

xi = 0

on a xi = 0 pour tout i ∈ I.On ecrit alors

⊕

i∈I Ei pour∑

i∈I Ei.

Exemple : • ”La somme E1 + . . . + En est directe” signifie ”pour tout (x1, . . . , xn) ∈ E1 × . . .×En

tel que x1 + . . . + xn = 0, on a x1 = . . . = xn = 0”. On ecrit alors E1 ⊕ . . . ⊕ En.• Soient E = R

2, E1 = (x, y) ∈ E, y = 0 et E2 = (x, y) ∈ E, x = 0. Alors E1 + E2 estdirecte.

Proposition 314 Soient E un K-espace vectoriel, (Ei)i∈I une famille de sous-espace de E.1. Si la somme

∑

i∈I Ei est directe, pour tout J ⊂ I, la somme∑

i∈J Ei est directe.2. Si pour toute partie finie J ⊂ I, la somme

∑

i∈J Ei est directe,∑

i∈I Ei est directe.


2) Proprietes des sommes directes :

Proposition 315 Soient E un K-espace vectoriel, (Ei)i∈I une famille de sous-espace de E.Les conditions suivantes sont equivalentes :(i) La somme

∑

i∈I Ei est directe.(ii) Tous les elements de

∑

i∈I Ei s’ecrivent de facon unique∑

i∈I xi ou (xi)i∈I est une famillea support fini telle que pour tout i ∈ I, xi ∈ Ei.

Remarque : Si E =∑

i∈I Ei, x s’ecrit de maniere unique x =∑

i∈I xi avec pour tout i ∈ I, xi ∈ Ei.

Proposition 316 (Associativite des sommes directes) Soient E un K-espace vectoriel,(Ei)i∈I une famille de sous-espace de E, (Jl)l∈L une partition de I.

Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i)

∑

i∈I Ei est directe.(ii) Pour tout l ∈ L, Fl =

∑

i∈JlEi est directe et

∑

l∈L Fl est directe.

Remarque : Dans ces conditions

⊕

i∈I

Ei =⊕

l∈L

⊕

i∈Jl

Ei

3) Supplementaire d’un espace vectoriel :

Proposition 317 Soient E un K-ev, F et G deux sous-espaces de E.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) F + G est directe.(ii) F ∩ G = 0.

ATTENTION ! Ce resultat ne s’etend pas aux sommes E1 + E2 + . . . + En.

Definition 227 Soit E un K-ev, F un sous-espace.Un (sous-espace) supplementaire de F dans E est un sous-espace G tel que E = F ⊕ G.

Remarque : Dans ces conditions, tout element x de E s’ecrit de facon unique x′ + x′′ avec x′ ∈ Fet x′′ ∈ G.Probleme : Existe t-il de maniere generale un supplementaire ?

Proposition 318 Soit u ∈ L(E, F ).On suppose que keru admet un supplementaire E′ dans E. Alors u′ = u|E′ etablit un isomor-

phisme de E′ sur Im u.

4) Projecteurs :

Definition 228 Soit E un K-ev, F et G deux sous-espaces tels que E = F ⊕ G.La projection sur F parallelement a G est l’application de E dans E qui a x = x′

∈F + x′′∈G

associe x′.Un projecteur est une projection.

Theoreme 133 Soient E un K-ev, p : E −→ E.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) p est un projecteur.(ii) p est lineaire et p p = p

199

V. Independance lineaire

1) Les familles libres :

Definition 229 Soient E un K-ev, (ei)i∈I une famille de E.On dit que les ei sont libres (ou lineairement independants) si la condition suivante est verifiee :

”Pour toute famille (λi)i∈I de K a support fini pour + telle que∑

i∈I λiei = 0, alors, on a pourtout i ∈ I, λi = 0.”

Dans le cas contraire, les ei sont dits lies (ou lineairement dependants). Dans ce cas la, il existeune famille (λi)i∈I une famille a support fini telle qu’il existe i0 ∈ I avec λi0 =/ 0 et

∑

i∈I λiei = 0.

Remarque : Si ϕ est une bijection de J sur I, si les (ei)i∈I sont libres, (eϕ(j))j∈J sont libres.

Proposition 319 Soient E un K-ev, (ei)i∈I une famille de E.1. Si (ei)i∈I est libre, pour tout J ⊂ I, (ei)i∈J est libre.2. Si pour toute partie finie J ⊂ I, (ei)i∈J est libre, alors (ei)i∈I est libre.

2) Proprietes des familles libres :

Proposition 320 Soient E un K-ev, (ei)i∈I une famille de E, i0 ∈ I.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) (ei)i∈I libre.(ii) (ei)i∈I\i0 libre et ei0 /∈

∑

i∈I\i0 Kei.

Exemple : La famille vide est libre.e est libre si seulement si e =/ 0.e1, e2 libre si et seulement si e1 =/ 0 et e2 /∈ Ke1 (dans le cas contraire, on dit que e1 et e2

sont lies.e1, e2, e3 libre si seulement si e1 =/ 0, e2 /∈ Ke1 et e3 /∈ Ke1 + Ke2.

Remarque : S’il existe i0 ∈ I tel que ei0 = 0, alors (ei)i∈I est liee.

Proposition 321 Soient E un K-ev, (ei)i∈I une famille de vecteurs non nuls de E, i0 ∈ I.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) (ei)i∈I libre.(ii)

∑

i∈I Kei est directe.

Proposition 322 Soient E un K-ev, (ei)i∈I une famille de E.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) (ei)i∈I est libre.(ii) Tout element de

∑

i∈I Kei s’ecrit de facon unique∑

i∈I λiei avec (λi)i∈I famille de K asupport fini pour +.

3) Bases d’un espace vectoriel :

Definition 230 Soit E un K-espace vectoriel.Une base de E est une famille libre de E qui engendre E.

Remarque : (ei)i∈I est une base de E si et seulement si tout element x de E s’ecrit de facon unique

∑

i∈I

λiei

λi0 est alors appelee composante d’indice i0 de x dans la base (ei)i∈I .


Remarque : Si ϕ est une bijection de J sur I et (ei)i∈I une base de E, (eϕ(j))j∈J est une base de E.Probleme : Dans un K-ev E existe t-il des bases ?Remarque : Symbole de Kronecker.

Definition-Proposition 6 Soient n ∈ N∗, E = Kn.

Alors la famille (ei)1in definie par ei = (δi,j)1jn (1 i n) est une base de Kn appeleebase canonique de Kn.

Proposition 323 Soit E un K-ev, (El)l∈L une famille de sous-espaces de E telles que

E =⊕

l∈L

El

Soit pour tout l ∈ L, (ei)i∈Jlune base de El. Alors (ei)i∈

⋃

l∈L Jlest une base de E.

4) Determination d’une application lineaire par l’image d’une base :

Theoreme 134 Soient E et F deux K-ev , (ei)i∈I une base de E, (εi)i∈I une famille d’elementsde F .

Il existe une unique application lineaire u ∈ L(E, F ) telle que pour tout i ∈ I, u(ei) = εi.De plus, les conditions suivantes sont equivalentes :(i) u injective.(ii) (εi)i∈I est libre.Enfin, les conditions suivantes sont equivalentes :(i) u surjective.(ii) (εi)i∈I engendre E.

Remarque : Si (ei)i∈I est une famille de E, u : E −→ F lineaire, u(Vecti∈I ei) = Vecti∈I u(ei).

Corollaire 78 Soit u ∈ L(E, F ), (ei)i∈I une base de E.u est un isomorphisme si et seulement si (u(ei))i∈I est une base de F .

VI. Algebre

1) Generalites :

Definition 231 Une K-algebre est un ensemble A muni de deux operations internes notee + et× et d’une multiplication externe a operateurs dans K tel que

1. (A,+,×) est un anneau.2. A est un K-espace vectoriel pour l’addition et la multiplication externe.3. Pour tout λ ∈ K et tout (a, b) ∈ A2,

(λa)b = a(λb) = λ(ab)

A est une K-algebre commutative si la multiplication interne est commutative.

Remarque : Si a ∈ A, b −→ ba et b −→ ab sont lineaires.Exemple : Soit A un anneau, K un sous-anneau de A tel que K est un corps et pour tout (a, λ) ∈A × K, λa = aλ. Alors K est commutatif et A est un K-ev et meme une K-algebre.dem

En particulier, si L est un surcorps commutatif du corps K, L est une K-algebre commutative.Exemple : C est une R-algebre et R est une Q-algebre.

201

2) Sous-algebres et ideaux d’une algebre :

Definition 232 Soit A une K-algebre.Une sous-algebre de A est une partie B de A telle que :1. B est un sous-anneau.2. B est un sous-espace de A.

Remarque : Pour prouver que B est une sous-algebre de A, il suffit de verifier :1. 0 ∈ B ;2. (x, y) ∈ B2 =⇒ x + y ∈ B ;3. 1 ∈ B ;4. (x, y) ∈ B2 =⇒ xy ∈ B ;5. (λ, x) ∈ K × B =⇒ λx ∈ B.

Remarque : Si B est une sous-algebre, B est muni d’une structure d’algebre.Exemple : Q(

√2) est une Q-algebre.

Definition 233 Un ideal d’une K-algebre A est un ideal de l’anneau (A,+,×).

Proposition 324 Soit A une K-algebre, I un ideal de A.Alors I est un sous-espace de A.

3) Morphismes d’algebres :

Definition 234 Soient A et B deux K-algebres.Un morphisme de A dans B est une application f de A dans B telle que f est un morphisme

d’anneau et f est lineaire.

Remarque : Il suffit donc de verifier :1. f(1) = 1 ;2. f(x + y) = f(x) + f(y) ;3. f(xy) = f(x)f(y) ;4. f(λx) = λf(x).

Remarque : Composee de morphismes d’algebres, identite, morphisme bijectif d’algebre.

Definition 235 Soient A et B deux K-algebres.Un isomorphisme de A sur B est un morphisme bijectif de A sur B.On dit que A et B sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de A sur B. On ecrit alors

A B.

Remarque : Identite, compose d’isomorphismes, isomorphisme reciproque.Remarque : A A, A B =⇒ B A et (A B et B C) =⇒ A C.

VII. Espaces et algebres d’applications :

1) Le K-espace vectoriel F(X, E) :

Proposition 325 Soient X un ensemble, E un K-espace vectoriel.Definissons sur F(X, E) une addition interne et une multiplication externe a operateur dans

K en posant pour tout λ ∈ K et tout (f, g) ∈ F(X, E)2 :

f + g : x ∈ E −→ f(x) + g(x) ∈ E

λf : x ∈ E −→ λf(x) ∈ E


Alors F(X, E) est un K-espace vectoriel.

Exemple : • Si I un ensemble non vide, KI est un K-espace vectoriel. En particulier Kn est unK-ev.

• C(I, Kn) est un sev de F(I, Kn) : c’est l’espace vectoriel des fonctions continues de I dans Kn.

• Cn(I, Kn), Dn(I, Kn).

2) Le K-espace vectoriel L(E, F ) :

Proposition 326 Soient E et F deux K-ev.Alors L(E, F ) est un sous-espace F(E, F ).

Exemple : Supposons E = E′ ⊕ E′′. Notons p′ la projection sur E′ parallelement a E′′ et p′′ laprojectionsur E′′ parallelemnt a E′.

Alors p′ + λp′′ ∈ L(E) et est appele affinite de rapport λ par rapport a E′ parallelement a E′′.Si λ = −1, c’est une symetrie par rapport a E′ parallelement a E′′.

3) La K-algebre L(E) :

Proposition 327 Soient E, F et G trois K-ev.1. Si u ∈ L(E, F ), l’application v ∈ L(F, G) −→ v u ∈ L(E, G) est lineaire.2. Si v ∈ L(F, G), l’application u ∈ L(E, F ) −→ v u ∈ L(E, G) est lineaire.

Proposition 328 Le K-ev L(E) muni de est une K-algebre.

4) La K-algebre F(X, K) :

Proposition 329 Soit X un ensemble. Definissons sur le K-ev F(X, K) une multiplication interneen posant pour tout (f, g) ∈ F(X, K)2

fg : x ∈ X −→ f(x)g(x) ∈ K

Alors F(X, K) une K-algebre commutative.

Exemple : • C(I, K) est la K-algebre des fonctions continues de I dans K.• Dn(I, K) (resp. Cn(I, K)) est la K-algebre des fonctions de classe Dn (resp. Cn) de I dans K.

VIII. Complements : Espaces vectoriels quotients

1) Espaces quotients :

Soit E un K-ev, F un sous-espace. Notons R la relation d’equivalence definie par

x ≡ y (mod R) ⇐⇒ y − x ∈ F

pour tout (x, y) ∈ E2 : c’est la congruence modulo le sous-groupe F .

Theoreme 135 E/F est un groupe qui peut etre muni d’une loi de composition externe definiepar

λx = λx (λ ∈ K et x ∈ E)

qui confere a E/F le structure d’espace vectoriel.

Definition 236 Avec le notations precedentes, E/F est appele espace vectoriel quotient de E parF .

203

2) Theoreme d’isomorphisme :

Soit u : E −→ F une application lineaire. La congruence associee a u est aussi la congruencemodulo keru :

x ≡ y (mod Ru) ⇐⇒ y − x ∈ ker u

Theoreme 136 La bijection canonique u associee a u est lineaire et etablit un isomorphisme deE/ ker u sur Im u :

E/ ker u −→ Im uu : x −→ u(x) = u(x)

En particulier

E/ ker u Im u

3) Algebres quotients :

Theoreme 137 Soit A une K-algebre, I un ideal bilatere de A.Alors A/I considere comme anneau quotient et espace vectoriel quotient est une K-algebre.

Definition 237 Soit A une K-algebre, I un ideal bilatere de A.La K-algebre A/I definie dans le theoreme precedent est appele algebre quotient de A par I.

Remarque : Si u : A −→ B est un morphisme d’algebres, l’application u, bijection canoniqueassociee a u est un isomorphisme de l’algebre A/ ker u sur Im u.

IX. Complements : Axiome du choix, applications :

1) L’axiome du choix :

Axiome 7 Soient I un ensemble non vide et pour chaque i ∈ I, un ensemble Ei non vide, les Ei

etant deux a deux disjoints.Alors il existe un ensemble S tel que pour tout i ∈ I, S ∩ Ei soit un singleton.

Godel a etabli en 1940 que cet axiome n’est pas en contradiction avec les autres axiomes de latheorie usuelle des ensembles.

Theoreme 138 Si I est un ensemble non vide et si pour tout i ∈ I, Ei est un ensemble non vide,alors le produit

∏

i∈I Ei est non vide. admis

Theoreme 139 (Theoreme de Zorn) Soit (M, ) un ensemble ordonne non vide (l’ordre n’estpas suppose total).

Une partie non vide C de M est appelee chaıne si la restriction de l’ordre a C est un ordretotal. On suppose que toute chaıne admet une borne superieure.

Alors M admet un element maximal i.e. il existe α ∈ M tel que si x ∈ M avec α x, α = x. admis


2) Applications a l’algebre lineaire :

Theoreme 140 Soit E un espace vectoriel sur K et F un sous-espace de E.Alors F admet un supplementaire.

Theoreme 141 Soit E un espace vectoriel sur K.Il existe une base de E

Theoreme 142 (Theoreme de Krull) Dans tout anneau A =/ 0, il existe des ideaux maxi-maux.

Chapitre 2

Espaces vectoriels de dimension finie

I. Resultats fondamentaux

1) Espaces de dimension finie :

Definition 238 Soit E un espace vectoriel sur K.On dit que E est de dimension finie s’il existe une famille finie d’elements de E qui engendre

E.Dans le cas contraire, on dit que E est de dimension infinie.

Notation : On ecrit alors parfois dimE < +∞.On parle souvent de systeme pour famille.

Exemple : Kn est un espace de dimension finie.

2) Theoreme de la base incomplete :

Rappel : Dans E, si I = ∅, (ei)i∈I est libre.

Theoreme 143 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, (ei)i∈I un systeme generateurde E, J ⊂ I, J finie, tel que (ei)i∈J soit libre.

Il existe une partie A de I tel que J ⊂ A ⊂ I et (ei)i∈A est une base de E.

Corollaire 79 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.Alors, il existe une base de E.

Remarque : Cette demonstration n’utilise pas l’axiome du choix.

Corollaire 80 (Theoreme de la base extraite) Soient E un K-espace vectoriel de dimensionfinie, S un systeme generateur.

On peut alors extraire de S une base de E.

Corollaire 81 (Theoreme de la base incomplete) Soit E un K-espace vectoriel de dimensionfinie. Tout systeme libre fini peut se completer en une base de E.

3) Dimension d’un espace vectoriel :

Theoreme 144 (Theoreme de la dimension) Soient E un K-espace vectoriel de dimensionfinie, S une partie finie generatrice et (ei)i∈I une famille libre.

Alors I est fini et Card I CardS.

206 CHAPITRE 2. ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

Corollaire 82 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.Deux bases quelconques de E sont finies et possede le meme nombre d’elements.

Definition 239 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.La dimension de E, notee dimE est le nombre d’elements d’une base de E.

Exemple : • dimKn = n et C vu comme R-espace vectoriel est de dimension 2. dim0 = 0.• R

3 s’identifie a l’espace physique.

Definition 240 Un espace vectoriel de dimension 1 est appele droite (vectorielle).Un espace vectoriel de dimension 2 est appele plan (vectoriel).

Proposition 330 Soient E et F deux K-espaces vectoriels.1. Si E est de dimension finie et si E F , F est aussi de dimension finie egale a dimE.2. Si E et F sont de dimension finie et dimE = dimF , E et F sont isomorphes.

Corollaire 83 Soit n 1.E est un K-espace vectoriel de dimension n si et seulement si E Kn.

Application : • Soient K un corps commutatif, p 1 .On se donne a1, a2,..., ap des elements de K, ap =/ 0. On note S l’ensemble des suites (un)n∈N

de K tellles que pour tout n ∈ N :

un+p = a1un+p−1 + a2un+p−2 + . . . + ap−1un+1 + apun

Proposition 331 S est un K-espace vectoriel de dimension finie egale a p.

• R en tant que Q-espace vectoriel est de dimension infinie.Remarque : Soit E K-espace vectoriel de dimension finie n.

Alors tout systeme libre de E est fini et contient au plus n elements. Tout systeme generateurde E contient au moins n elements.

Proposition 332 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, S un systeme a n elementsde E.

Alors les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) S est libre.(ii) S engendre E.(iii) S est une base de E.

4) Une autre caracterisation de la dimension finie :

Proposition 333 Soit E un K-espace vectoriel.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) E est de dimension finie.(ii) Toute famille libre de E est finie.

Exemple : F(R, R) est de dimension finie.

II. Dimension d’un sous-espace

1) Generalites :

Theoreme 145 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, F un sous-espace de E.Alors F est de dimension finie et dimF n. De plus si dimF = n, E = F .

207

Definition 241 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.Un hyperplan de E est un sous-espace de E de dimension n − 1.

Exemple : Une droite vectorielle qui est un sous-espace d’un plan vectoriel est un hyperplan.

Definition 242 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, (ei)i∈I une famille de E.On appelle rang des ei la dimension du sous-espace engendre par les ei.

Notation : Le rang des ei est note rg((ei)i∈I) = dim∑

i∈I Kei.Remarque : • Le rang des ei, r, verifie r dimE.

r = dimE si et seulement si les ei engendrent E.• Si I est fini, r Card I. r = Card I si et seulement si (ei)i∈I libre.• On ne change pas le rang d’un systeme en effectuant sur ce systeme une operation elementaire

(puisque que le sous-espace engendre ne change pas).

2) Dimension d’une somme :

Proposition 334 Soit E un K-espace vectoriel, E1, E2,..., En une famille de sous-espaces tel queE =

⊕ni=1 Ei.

Si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, Ei est de dimension finie, alors E est de dimension finie et

dimE =n∑

i=1

dimEi

Proposition 335 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace de E.Alors F possede (au moins) un supplementaire dans E.

Remarque : Cette demonstration n’utilise pas l’axiome du choix, c’est son interet.

Theoreme 146 Soit E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces de dimension finie de E.Alors F + G est de dimension finie et

dim(F + G) = dimF + dimG − dimF ∩ G

3) Rang d’une application lineaire :

Definition 243 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, u ∈ L(E, F ).Le rang de u est rg(u) = dim(Im u).

Remarque : rg u dimF .

Theoreme 147 (Theoreme du rang) Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie,u ∈ L(E, F ).

Alors,

dimE = dim keru + rg u

Remarque : rg u dimE.Soit (ei)i∈I un systeme de E. Alors (u(ei))i∈I est un systeme de F verifiant

rg((u(ei))i∈I) rg((ei)i∈I)

Lorsque u est injective, on a rg((u(ei))i∈I) = rg((ei)i∈I).


4) Bijectivite d’une application lineaire :

Theoreme 148 Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, de meme dimension,u ∈ L(E, F ).

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) u injective.(ii) u surjective.

Corollaire 84 Soient A une K-algebre de dimension finie, a ∈ A.Les quatre propositions suivantes sont equivalentes :(i) a inversible a gauche ;(ii) a inversible a droite ;(iii) a regulier a gauche ;(iv) a regulier a droite.

III. Dimension de certains espaces vectoriels

Rappel : Si Card I = n, KI est de dimension n. Kn est donc de dimension n et le systeme e1 =(1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0),..., en = (0, 0, . . . , 1) est une base de E appelee base canonique deKn.

1) Produit d’espaces vectoriels :

Si E et F sont deux K-espaces vectoriels, E × F est muni naturellement d’une structure deK-espace vectoriel en posant

(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) et λ(x, y) = (λx, λy)

ou λ ∈ K et ((x, y), (x′, y′)) ∈ (E × F )2.Proposition 336 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, n = dimE, m =dimF .

Alors E × F est de dimension finie egale a m + n.Remarque : Extension a E1 × . . . × En.

2) Dimension de L(E, F ) :

Proposition 337 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, (ei)i∈I une base deE, (εj)j∈J une base de F .

Pour tout (i, j) ∈ I × J , on note uij l’element de L(E, F ) defini en posant pour tout k ∈ I :

uij(ek) =

εj si i = k0 si i =/ k

Alors (uij)(i,j)∈I×J est une base du K-espace vectoriel L(E, F ) (c’est la base associee aux bases(ei)i∈I de E et (εj)j∈J de F ).

En particulier, L(E, F ) est de dimension finie et

dimL(E, F ) = dimE dimF

Corollaire 85 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.Alors L(E) est de dimension finie n2.

Remarque : Dans L(E) les elements reguliers a gauche, reguliers a droite, inversibles a gauche,inversibles a droite coıncident : ce sont les elements de GL(E).

209

3) Espace dual :

Definition 244 Soit E un K-espace vectoriel.Une forme lineaire sur E est une application lineaire de E dans K i.e. un element de L(E, K).L(E, K) s’appelle l’espace dual de E et se note E∗.

Exemple : u : (x, y, z) ∈ R3 −→ 3x − 2y + z ∈ R est une forme lineaire sur R

3.

Corollaire 86 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.Alors E∗ est un espace de dimension finie et dimE∗ = dimE.

Definition 245 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, (ei)1in une base de E.La base (pi)1in de E∗ definie par

pi(ek) =

1 si j = k0 si j =/ k

est la base duale de la base (ei)1in de E.

Remarque : Pour tout x =∑n

k=1 λkek ∈ E, et tout i ∈ 1, 2, . . . , n

pi(x) = pi(n∑

k=1

λkek) =n∑

i=1

λkpi(ek) = λipi(ei) = λi

pi n’est autre que la i-eme fonction composante associee a la base (ei)1in.Remarque : Si u ∈ E∗, u s’ecrit

∑nk=1 akpk et

u(x) =n∑

k=1

akλk

Proposition 338 Soit E un espace de dimension finie, u ∈ E∗. Si u est non nulle, Im u = K etkeru est un hyperplan.

Theoreme 149 Soit E un K-espace espace vectoriel de dimension finie et H un hyperplan de E.Alors, il existe une forme lineaire non nulle u ∈ E∗ telle que ker u = H. De plus, si v ∈ E∗ et

ker v = H, il existe λ ∈ K∗ tel que v = λu.

4) Espaces quotients :

Proposition 339 Soient E un K-espace vectoriel, F un sous-espace de E.Alors E/F est de dimension finie et

dimE/F = dimE − dimF


Chapitre 3

Matrices

Dans ce chapitre, sauf mention explicite du contraire, A designe un anneau commutatif distinctde 0 et K un corps commutatif.

I. Bases du calcul matriciel

1) Vocabulaire :

Definition 246 Soient m 1 et n 1.Une matrice a m lignes et n colonnes a coefficients dans A est une famille

(aij)(i,j)∈1,2,... ,m×1,2,... ,n ∈ A1,2,... ,m×1,2,... ,n.On note Mm,n(A) l’ensemble des matrices a m lignes et n colonnes a coefficients dans A :

Mm,n(A) = A1,2,... ,m×1,2,... ,n

Notation : • Si M = (aij)1im1jn

∈ Mm,n(A), on peut ecrire :

M =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

Exemple :(

1 2 32 −1 −1

)

∈ M2,3(Z)

• On note Mn(K) pour Mn,n(K).

Definition 247 Soient m et n dans N∗.

Un element de Mm,1(A) est appelee matrice colonne.Un element de M1,n(A) est appelee matrice ligne.

Remarque : Une matrice colonne est un element de An.

Definition 248 Soit n ∈ N.Un element de Mn(A) est appele une matrice carree.

212 CHAPITRE 3. MATRICES

Remarque : Si M = (aij)1im1jn

∈ Mm,n(A), la j-eme colonne de M est

a1j

a2j...

amj

et la i-eme ligne

est (ai1, ai2, . . . , ain).

2) Somme et multiplication par un scalaire :

Pour tout (M, N) ∈ Mm,n(A), M = (aij)1im1jn

, N = (bij)1im1jn

et λ ∈ A, on definit

• M + N = (cij)1im1jn

ou cij = aij + bij pour tout (i, j) ∈ 1, . . . , m × 1, . . . , n.• λM = (dij)1im

1jnou dij = λaij .

Proposition 340 Soient m et n dans N∗.

1. (Mm,n(A),+) est un groupe abelien dont l’element neutre est

0 =

0 0 . . . 00 0 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

2. Soient (M, N) ∈ Mm,n(A)2 et (λ, µ) ∈ A2. Alors (λ + µ)M = λM + µM , λ(M + N) =λM + λN et λ(µM) = (λµ)M = µ(λM).

Remarque : Ainsi, Mm,n est presque un espace vectoriel a ceci pres que A n’est pas un corps : onparle alors de A-module.

3) Le K-espace vectoriel Mm,n(K) :

Proposition 341 Mm,n(K) est un K-espace vectoriel de dimension finie egale a mn.

Remarque : Les Ekl = (aij)1im1jn

ou 1 k m et 1 l n definis par :

aij =

1 si i = k et j = l0 sinon

constituent une base de Mm,n(K).Si M = (bij)1im

1jn, M =

∑1km1ln

bklEkl.

4) Produit de matrices :

Definition 249 Soient m, n et p dans N∗, M = (aij)1im

1jn∈ Mm,n(A) et N = (bij)1in

1jp∈

Mn,p(A).On appelle produit des matrices M et N la matrice P = (cij)1im

1jp∈ Mm,p(A) definie par

cij =n∑

k=1

aikbkj

pour tout i ∈ 1, 2, . . . , m et tout j ∈ 1, 2, . . . , p.

213

Remarque : Faire un dessinExemple :

2 3−1 30 1

(−1 0 20 1 0

)

=

−2 3 41 3 −20 1 0

Remarque : • Le produit n’est pas toujours defini !• Le produit de matrices (carrees) n’est pas commutatif : si A = C et λ et µ sont dans C :

(1 λ0 1

) (1 0µ 1

)

=(

1 + λµ λµ 1

)

(1 0µ 1

) (1 λ0 1

)

=(

1 λµ 1 + λµ

)

5) Proprietes du produit :

Definition 250 Soit n ∈ N∗. On appelle matrice identite d’ordre n la matrice

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

= (δij)1i,jn

Proposition 342 Soit m, n, p et q dans N∗.

1. Soient (M1, M2) ∈ Mm,n(A)2 et (N1, N2) ∈ Mn,p(A)2. On a

(M1 + M2)N1 = M1N1 + M2N1 et M1(N1 + N2) = M1N1 + M1N2

2. Soient M ∈ Mm,n(A), N ∈ Mn,p(A) et P ∈ Mp,q(A). Alors

M(NP ) = (MN)P

3. Soient λ ∈ A, M ∈ Mm,n(A), N ∈ Mn,p(A). Alors

λ(MN) = (λM)N = M(λN)

4. Soit M ∈ Mm,n. Alors

ImM = M = MIn

6) La K-algebre Mn(K) :

On a defini sur Mn(K) une addition interne, une multiplication interne et une multiplicationexterne.

Theoreme 150 Mn(K) est un K-algebre de dimension finie n2.

Definition 251 Les elements inversibles de Mn(K) forment un groupe multiplicatif note GLn(K)appele groupe lineaire d’ordre n sur K.


Notation : Comme d’habitude l’inverse d’une matrice M , s’il existe, sera note M−1.Remarque : M ∈ Mn(K) est inversible si et seulement s’il existe M ′ ∈ Mn(K) tel que

MM ′ = In = M ′M

Remarque : GL1(K) K∗.

Proposition 343 Soient n ∈ N∗, M ∈ Mn(K).

Les cinq conditions suivantes sont equivalentes :(i) M ∈ GLn(K) ;(ii) M inversible a gauche ;(iii) M inversible a droite ;(iv) M reguliere a gauche ;(v) M reguliere a droite.

Exercice : Soient L un surcorps de K, M ∈ Mn(K).On suppose que M ∈ GLn(L). Montrer qu’en fait M est inversible dans Mn(K) i.e. M ∈

GLn(K).

7) Transposee d’une matrice :

Definition 252 Soient m et n dans N∗, M = (aij)1im

1jn∈ Mm,n(A).

La matrice transposee de M est

tA = (αij) 1in1jm

∈ Mn,m(A)

ou αij = aji pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n et j ∈ 1, 2, . . . , m.

t

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

=

a11 a21 . . . am1

a12 a22 . . . am2...

.... . .

...a1n a2n . . . amn

Proposition 344 Soient M et N dans Mm,n(K) et λ ∈ K. On a :1. t(M + N) =t M +t N ;2. t(λM) = λtM ;3. t(tM) = M .

Remarque : Cas ou on remplace K par A.

Proposition 345 Soient m, n et p dans N∗.

1. tIn = In.2. Si M ∈ Mm,n(A), N ∈ Mn,p(A)

t(MN) = (tN)(tM)

3. Si M ∈ GLn(K), tM est inversible et

(tM)−1 =t (M−1)

215

II. Matrices et applications lineaires :

1) Matrice d’une application lineaire :

Definition 253 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies n et p respective-ment, B = (e1, e2, . . . , en) une base de E et C = (f1, f2, . . . , fp) de F et u : E −→ F une applicationlineaire.

On appelle matrice de u dans les bases B et C la matrice MatB,C(u) = (aij)1ip1jn

∈ Mp,n(K)

telle que pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n

u(ej) =n∑

i=1

aijfi

Si E = F et B = C, on ecrit MatB(u) pour MatB,B(u) et on parle de la matrice de u dans B.

Exemple : • u = IE , B une base de E. Alors

MatB(IE) =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

= In

• Si u est une homothetie de rapport λ, B une base de E

MatB(λIE) =

λ 0 . . . 00 λ . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λ

= λIn

Remarque : Dans les deux precedents exemples, MatB(u) ne depend pas de B : ce fait est excep-tionnel, en general MatB,C(u) depend de B et C.

Theoreme 151 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies n et p respective-ment, B une base de E et C une base de F . Alors

L(E, F ) −→ Mn,p(K)ψ : u −→ MatB,C(u)

est un isomorphisme :

L(E, F ) Mn,p(K)

Proposition 346 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies n et p respective-ment, u ∈ L(E, F ), rg u = r.

Il existe une base B de E et C de F telles que la matrice de u dans ces bases soit

Jr =

1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 00 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0...

. . . . . ....

0 1 0 00 0 0 0...

. . ....

0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . 0

ou aij = 1 si i = j r et 0 sinon.


2) Matrice d’une composee :

Theoreme 152 Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, B =(e1, e2, . . . , en), C = (f1, f2, . . . , fp), D = (g1, g2, . . . , gq) des bases de E, F et G respectivement.

Alors u ∈ L(E, F ), v ∈ L(F, G), on a :

MatB,D(v u) = MatC,D(v)MatB,C(u)

Corollaire 87 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E. Alors si(u, v) ∈ L(E) :

MatB(v u) = MatB(v)MatB(u)

Remarque : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E, n = dimE. Alors

L(E) −→ Mn(K)ϕ : u −→ MatB(u)

est un isomorphisme de K-algebres :

L(E) Mn(K)

Si dimE = dimF , on a donc L(E) L(F ). Par consequent :

L(E) L(Kn)

3) Matrice d’un isomorphisme :

Proposition 347 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, de bases B et Crespectivement. On suppose dimE = dimF .

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) u est un isomorphisme ;(ii) MatB,C(u) est inversible.Dans ces conditions,

MatC,B(u−1) = (MatB,C(u))−1

Remarque : Soient E un K-espace vectoriel, B une base de E, n = dimE. Alors

GL(E) −→ GLn(K)ϕ′ : u −→ MatB(u)

est un isomorphisme de groupes :

GL(E) GLn(K)

4) Transforme d’un vecteur par une application lineaire :

Definition 254 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B = (e1, e2, . . . , en) une basede E, x ∈ E.

On suppose que x =∑n

i=1 λiei.La matrice colonne de de x dans B est

X =

λ1

λ2...

λn

∈ Mn,1(K) Kn

217

Proposition 348 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie egale a n et prespectivement, B une base de E, C une base de F et u ∈ L(E, F ).

Soient x ∈ E, y = u(x) ∈ F . On note X la matrice colonne de x dans B, Y la colonne de ydans C et M = MatB,C(u). Alors

Y = MX

Exemple : F = K et u ∈ E∗, C = (1). Soit B = (e1, e2, . . . , en) une base de E.Notons (a1, a2, . . . , an) la matrice de u dans les bases B et C. On a u(ei) = ai pour tout i ∈ [[1, n]].Si x =

∑ni=1 λiei, u(x) dans la base (1) est

(a1, a2, . . . , an)

λ1

λ2...

λn

= (n∑

i=1

aiλi) ∈ M1,1(K)

Quelles sont les coordonnees de x dans la base duale (p1, p2, . . . , pn) de (e1, e2, . . . , en) ? Ecrivonsu =

∑ni=1 bipi. Alors u(ei) = bipi(ei) = bi.

Remarque : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de meme dimension finie egale a n, B unebase de E, C une base de F et u ∈ L(E, F ) un isomorphisme, A = MatB,C(u).

Soit y ∈ F de matrice colonne dans C Y . Alors l’antecedant x de y par u a pour matrice colonnedans B

X = A−1Y

5) Applications lineaires canoniquement associee a une matrice :

Soient n et p dans N∗. Notons B = (e1, e2, . . . , en) et C = (f1, f2, . . . , fn) les bases canoniques

de Kn et Kp respectivement.

Definition 255 Soit A = (aij)1ip1jn

∈ Mp,n(K).

On appelle application lineaire canoniquement associee a A l’application :

Kn −→ Kp

uA : X −→ AX

On a alors A = (Bij)1iC1j(

uA).

Remarque : • Soit A ∈ Mm,n(K). On suppose que AX = 0 pour tout X ∈ Kn. Alors A = 0. SiAX = BX pour tout X ∈ Kn, A = B.

• uA+B = uA + uB, uλA = λuA et uB uA = uAB.Exemple : Soient σ ∈ Sn, P = (δσ−1(i)j))1i,jn. L’endomorphisme canoniquement associe a P estl’endomorphisme qui realise une permutation des vecteurs de la base canonique :

u(ej) = eσ(j) 1 j n

Proposition 349 Soit A ∈ Mn(K).Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) A ∈ GLn(K) ;(ii) Pour tout X ∈ Kn tel que AX = 0, on a X = 0.


III. Matrices carrees remarquables :

1) Matrices diagonales :

Definition 256 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K).M est une matrice diagonale si aij = 0 si i =/ j. Alors

M =

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . ann

On note Dn(K) l’ensemble des matrices diagonales de Mn(K).

Exemple : λIn ∈ Dn(K).

Proposition 350 Dn(K) est une sous-algebre de Mn(K) de dimension n.

2) Matrices triangulaires :

Definition 257 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K).M est dite triangulaire superieure (resp. inferieure) si pour tout (i, j) ∈ 1, 2, . . . , n2 tel que

i > j (resp. i < j) on ait aij = 0. M est donc de la forme :

M =

λ1 × . . . ×0 λ2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . λn

On note Tn(K) (resp. T ′n(K)) l’ensemble des matrices de Mn(K) triangulaires superieures (resp.

inferieures).

Exemple : Les matrices diagonales sont triangulaires.Remarque : M triangulaire superieure equivaut a tM triangulaire inferieure.

Theoreme 153 Soit n ∈ N∗.

1. Tn(K) (resp. T ′n(K)) est une sous-algebre de Mn(K) de dimension n(n+1)2 .

2. On a

λ1 × . . . ×0 λ2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . λn

µ1 × . . . ×0 µ2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . µn

=

λ1µ1 × . . . ×0 λ2µ2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . λnµn

3. Soit M ∈ Mn(K) triangulaire superieure, M =

λ1 × . . . ×0 λ2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . λn

.

M est inversible si et seulement si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, λi =/ 0. On a alors

λ1 × . . . ×0 λ2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . λn

−1

=

λ−11 × . . . ×0 λ−1

2 . . . ×...

.... . .

...0 0 . . . λ−1

n

219

3) Matrices symetriques :

Definition 258 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K).On dit que M est symetrique si pour tout (i, j) ∈ 1, 2, . . . , n2 aij = aji.

Remarque : Soit M ∈ Mn(K). M est symetrique (resp. antisymetrique) si, et seulement si tM = M(resp. tM = −M).

IV. Changement de base

1) Matrices de passage :

Definition 259 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B = (e1, e2, . . . , en) et C =(f1, f2, . . . , fn) deux bases de E.

Pour tout j ∈ 1, 2, . . . , n, on ecrit fj =∑n

i=1 aijei.La matrice P = (aij)1i,jn est appele matrice de passage de B a C.

Remarque : La matrice de passage de B a C est la matrice de l’identite dans les bases C et B.Proposition 351 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, B une base de E.

L’application qui a une base C de E associe la matrice de passage de B a C est une bijection del’ensemble des bases de E sur GLn(K).Proposition 352 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B et C de base de E, x ∈ E.

On note X (resp. X ′) la matrice colonne de x dans B (resp. C) et P la matrice de passage deB a C. Alors

X = PX ′

Proposition 353 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, B, C et D trois bases de E, Pla matrice de passage de B a C et Q la matrice de passage de C a D.

1. In est la matrice de passage de B a B.2. PQ est la matrice de passage de B a D.3. P−1 est la matrice de passage de C a B.

Proposition 354 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, B et B′ deux basesde E, C et C′ deux bases de F , P la matrice de passage de B a B′ et Q la matrice de passage de Ca C′.

Soient enfin u ∈ L(E, F ), M la matrice de u dans B et C et N la matrice de u dans B′ et C′.Alors

N = Q−1MP

2) Matrices equivalentes :

Definition 260 On dit que M ∈ Mp,n(K) et N ∈ Mp,n(K) sont equivalentes s’il existe P ∈GLn(K) et Q ∈ GLp(K) tel que

N = Q−1MP

Proposition 355 1. Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie, M ∈ Mp,n(K)et N ∈ Mp,n(K), B une base de E, C une base de F , u ∈ L(E, F ). On suppose que M = MatB,C(u).

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) M et N sont equivalentes ;(ii) Il existe B′ base de E et C′ base de F telles que N soit la matrice de u dans B′ et C′.2. L’equivalence des matrices est une relation d’equivalence sur Mp,n(K).


3) Matrices semblables :

Remarque : Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), B et C deux bases de E,P la matrice de passage de B a C, M = MatB(u) et N = MatC(u).

Alors N = P−1AP .

Definition 261 Soit (M, N) ∈ Mn(K)2.On dit que M et N sont semblables s’il existe P ∈ GLn(K) tel que

N = P−1MP

Proposition 356 1. Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, M ∈ Mn(K) et N ∈Mn(K), B une base de E, u ∈ L(E). On suppose que M est la matrice de u dans B.

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) M et N sont semblables.(ii) Il existe une base C telle que N soit la matrice de u dans C.2. La similitude des matrices est une relation d’equivalence sur Mn(K).

4) Trace :

Definition 262 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K).On appelle trace de M le scalaire

Tr M =n∑

i=1

aii

Exercice : Montrer que si (A, B) ∈ Mn(K), TrAB = TrBA. En deduire que deux matrices sem-blables ont meme trace.

Soient E un K-ev de dimension finie, u ∈ L(E), B et C deux bases de E. Alors la matrice de udans B a meme trace que la matrice de u dans C. On peut donc definir :

Definition 263 On appelle trace de u la trace de la matrice de u dans la base B. On la note Tr u.

Tr u ne depend pas de la base B choisie.

V. Rang d’une matrice

1) Definitions et premieres proprietes :

Definition 264 Soit M ∈ Mp,n(K).Le rang de M note rg M est le rang des colonnes de M dans le K-espace vectoriel Kp.

Remarque : • rg M n et on a rg M = n si et seulement si les colonnes de M sont libres dans Kp.• rg M p et on a rg M = p si et seulement si les colonnes de M engendrent Kp.• Si n = p, on a rg M = n si et seulement si M ∈ GLn(K).

Proposition 357 Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finies, B et C des basesde E et F respectivement, u ∈ L(E, F ), M = MatB,C(u).

Alors rg u = rg A.

221

Remarque : On ne change pas le rang de A en effectuant une operation elementaires sur les colonnes.

Exemple : M =

1 1 11 −1 51 2 −1

. Quel est le rang de M ?

rg M = rg

1 0 01 −2 41 1 −2

= rg

1 0 01 −2 01 1 0

= 2

Nous verrons une generalisation de ce procede au chapitre 4.

Theoreme 154 Soit (M, N) ∈ Mp,n(K)2.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) M et N sont equivalentes.(ii) rg M = rg N .

2) Rang de la transposee :

Remarque : Le rang d’une matrice est un invariant des classes d’equivalence pour l’equivalence desmatrices. C’est meme un invariant caracteristique.

Theoreme 155 Soit M ∈ Mp,n(K). Alors

rgt M = rg M

Remarque : Ainsi, rg M est aussi le rang des lignes dans Kn.

3) Sous-matrices :

Definition 265 Soient M = (aij)1ip1jn

∈ Mp,n(K), I ⊂ 1, 2, . . . , p, J ⊂ 1, 2, . . . , n.MIJ = (mij)i∈I,j∈J est appelee matrice extraite de M (ou sous-matrices de M).

Remarque : On obtient MIJ en rayant dans M toutes les lignes d’indices n’appartenant pas a I etles colonnes d’indices n’appartenant a J .

Theoreme 156 Soit M ∈ Mp,n(K) de rang r.1. Le rang d’une sous-matrice de M est inferieur ou egal a r.2. Il existe une sous-matrice de M qui appartient a GLr(K).

4) Sous-matrices principales :

Remarque : • Le rang de M est l’ordre maximum d’une sous-matrice inversible de M .• Soit L un surcorps de K, M ∈ Mp,n(K) ⊂ Mp,n(L).Alors le rang de M est alors le meme que l’on considere M comme element de Mp,n(K) ou

comme element de Mp,n(L).• Les colonnes de M sont independantes si et seulement si il existe une sous-matrice inversible

d’ordre n de M .

Definition 266 Soit M ∈ Mp,n(K)Une sous-matrice principale de M est une sous-matrice de M inversible d’ordre rg M .Si on a choisit une telle matrice principale AIJ , les lignes (resp. colonnes) d’indices dans I

(resp. dans J) sont dites principales.

Remarque : • Les lignes principales forment une base du s-ev de Kn engendre par toutes les lignes.• Les colonnes principales forment une base du s-ev de Kp engendre par toutes les colonnes.


VI. Introduction aux systemes lineaires

1) Generalites :

L’etude des systemes d’equations lineaires ”yi =∑n

j=1 aijxj” s’est developpee au cours duXVIIIeme siecle. Des 1678, Leibniz les avait abordes,et utilise une notation a indices dans dessystemes de trois equations a deux inconnues. En 1748, Mac Laurin donne des formules explicitespour les systemes de trois equations. Cramer en 1754 explicitera la methode de resolution simultaneed’equations lineaires a plusieurs inconnues sous forme de quotient de deux expressions qui sont despolynomes des coefficients.

Cette theorie est a l’origine de la notion de determinant (developpee par Vandermonde etLaplace) et de matrices.

La resolution des systemes lineaires est essentielle en Mathematiques. En effet, moulte problemesscientifiques passent par une telle resolution, que ce soit en algebre (recherche de vecteurs pro-pres...), en geometrie (intersection de varietes affines...), en physique, en theorie des equationsdifferentielles... La connaissance totale des solutions (en theorie) est un fait rare en mathematiques.Peu d’equations se resolvent de maniere si explicite. Aussi, pour approcher ces solutions, lemathematicien ”linearise” i.e. passe d’un probleme non lineaire a un probleme lineaire.

Soient E et F deux K-espaces vectoriels, u : E −→ F une application lineaire et b ∈ F .L’equation

(E) u(x) = b

ou x ∈ E est l’inconnu est appele equation lineaire. Si b = 0, on dit que l’equation est homogene.Si (E) admet des solutions, on dit que (E) est compatible et incompatible dans le cas contraire.

2) Expression matricielle :

Supposons E et F de dimension finie. Soient (e1, . . . , en) une base de E et (ε1, . . . , εp) une basede F . On note A la matrice de u dans les bases (e1, . . . , en) et (ε1, . . . , εp), B la matrice colonnede b dans (ε1, . . . , εp) et X la matrice colonne de x dans (e1, . . . , en).

Alors rechercher les x ∈ E solution de (E) revient a chercher les X ∈ Kn tels que

(E′) AX = B

Si on ecrit X =

x1

x2...

xn

, B =

b1

b2...

bn

et A = (aij)1ip1jn

, (E′) s’ecrit :

(Li)n∑

j=1

aijxj = bi (1 i p)

ou encore

(S)

(L1) a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

(L2) a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2...

(Lp) ap1x1 + ap2x2 + . . . + apnxn = bp

(S) est alors appele systeme lineaire a p equation et n inconnues.On appelle rang du systeme lineaire le rang de A.

223

3) Operations elementaires sur un systeme :

Definition 267 Soient S : (Li) ui(x1, . . . , xn) = bi (1 i p) un systeme lineaire de E, (ui

est une forme lineaire de Kn pour tout i ∈ 1, 2, . . . , p, (λ1, λ2, . . . , λp) ∈ Kp.On note (L) =

∑pi=1 λi(Li) l’equation lineaire

(p

∑

i=1

λiui)(x) =p

∑

i=1

λibi

(L) est une combinaison lineaire de S.

Remarque : Toute solution de (S) est une solution de (L). En particulier, si S′ est un systemelineaire dont toute equation est combinaison lineaire de S, alors toute solution de (S) est solutionde S′.

Definition 268 Soient S : (Li) ui(x1, . . . , xn) = bi (1 i p), S′ : (L′i) u′

i(x1, . . . , xn) =b′i (1 i p) deux systemes lineaires de E.

On dit que S′ se deduit de S par une operation elementaire si l’une des trois conditions suivantesest verifiee :

1. Il existe σ ∈ Sp tel que pour tout i ∈ 1, 2, . . . p, (L′i) = (Lσ(i)).

2. Il existe i0 ∈ 1, 2, . . . p et λ ∈ K∗ tels que pour tout i ∈ 1, 2, . . . p

(L′i) =

(Li) si i =/ i0λ(Li0) si i = i0

3. Il existe i0 ∈ 1, 2, . . . p, j0 ∈ 1, 2, . . . p, j0 =/ i0 et µ ∈ K tels que pour tout i ∈ 1, 2, . . . , pon a :

(L′i) =

(Li) si i =/ i0(Li0) + µ(Lj0) si i = i0

Proposition 358 Soit S et S′ deux systemes lineaires de E.On suppose que S′ se deduit de S par une operation elementaire. Alors :1. S se deduit de S′ par une operation elementaire.2. S et S′ ont exactement les memes solutions.

Remarque : Ainsi, on ne change pas les solutions d’un systeme en effectuant des operationselementaires.

4) Systemes homogenes :

Proposition 359 Soit S : AX = 0 (A ∈ Mp,n(K)) un systeme lineaire homogene de E, de rangr.

L’ensemble F des solutions de S est un sous-espace de Kn de dimension n − r

Remarque : Un systeme homogene avec plus d’inconnues que d’equations a des solutions non nulles.

5) Systemes avec second membre :

Definition 269 Soit S : AX = B un systeme lineaire.Le systeme homogene S0 : AX = 0 est appele systeme homogene associe a (S).


Proposition 360 Soient S : AX = B un systeme lineaire de E.On note S0 le systeme homogene associe a S et F l’ensemble des solutions de S0.Si S admet une solution Z ∈ E, l’ensemble des solutions de S n’est autre que Z + F .

Proposition 361 Soit S : AX = B un systeme lineaire, A ∈ Mp,n(K).1. Si rg A = p, alors S possede au moins une solution.2. Si rg A = n, alors S possede au plus une solution.

6) Systeme de Cramer :

Definition 270 Un systeme S : AX = B est dit de Cramer si A est une matrice inversible.

Theoreme 157 Soient A ∈ Mn(K) et S : AX = B.Les cinq conditions suivantes sont equivalentes :(i) A ∈ GLn(K) ;(ii) Le systeme S est de Cramer ;(iii) Pour tout B′ ∈ Kn, AX = B′ admet une solution unique ;(iv) Pour tout B′ ∈ Kn, AX = B′ admet au plus une solution ;(v) Pour tout B′ ∈ Kn, AX = B′ admet au moins une solution ;(vi) La seule solution de AX = 0 est 0.

Remarque : On a donc un critere pratique d’inversibilite.Exemple : Inversibilite des matrices de Vandermonde.

Corollaire 88 Un systeme de Cramer admet une solution et une seule.

VII. Pivot de Gauss

1) Rang d’une matrice :

On connait le rang d’une matrice colonne ou d’une matrice ligne. Soit M = Mat√,\(a). Si on

opere des operations elementaires sur les colonnes, on ne change pas le rang. Comme rg M = rgt M ,il en va de meme si on opere des operations elementaires sur les lignes.

• Si tous les coefficients de la premiere ligne et de la premiere colonne sont nuls, rg M est egalau rang de (aij) 2ip

2jn.

• Sinon, quitte a operer des operations elementaires sur les lignes ou sur les colonnes, on peutsupposer a11 =/ 0. Par des operations elementaires sur les lignes, on fait apparaitre des 0 sur lapremiere colonne (sauf a11) . Ensuite, on peut supposer les a1j , j 2 tous nuls (operation sur lescolonnes). On obtient une matrice (a′ij) 1ip

1jn. Alors le rang de M est

1 + rg(a′ij) 2ip2jn

Exemple : ...

2) Systemes lineaire :

Traiter des exemples.

225

VIII. Calcul de l’inverse d’une matrice

1) Interpretation geometrique :

Soit A ∈ Mn(K). on considere l’endomorphisme canoniquement associe a A, ou on considereA comme une matrice de passage.

Traiter un exemple.

2) Methode des polynomes :

Soit A ∈ Mn(K). On suppose que

Ak + ak−1Ak−1 + . . . + a1A + a0In = 0

Alors, A est inversible si et seulement si a0 =/ 0 et si tel est le cas :

A−1 =1a0

(Ak−1 + ak−1Ak−2 + . . . + a1In)

Traiter un exemple

3) Resolution d’un systeme lineaire :

Traiter un exemple. Programmation informatique.

4) Autres methodes :

• Methode de Cramer.• Reduction.


Chapitre 4

Determinants

Dans ce chapitre, sauf mention explicite du contraire, K designe un corps commutatif, K = R

ou C, n un entier naturel non nul, E1, E2,..., En, F des K-espaces vectoriels.

I. Applications multilineaires

1) Generalites :

Definition 271 Soit f : E1 × E2 × . . . × En −→ F .f est dite n-lineaire si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n et pour tout (a1, . . . , ai, . . . , an) ∈ E1 × . . . ×

Ei × . . . × En, l’application

x ∈ Ei −→ f(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an)

est lineaire.On note Ln(E1 × E2 × . . . × En, F ) l’ensemble des formes n-lineaires de E1 × E2 × . . . × En

dans F .

Remarque : • Si n = 1, L1(E1, F ) = L(E1, F ).• Si n = 2, on parle alors d’applications bilineaires : f : E1 × E2 −→ F est bilineaire si et

seulement si pour tout (x1, y1, x2, y2) ∈ E1 × E1 × E2 × E2 et tout λ ∈ K :

f(x1, y1 + y2) = f(x1, y1) + f(x1, y2), f(x1 + x2, y1) = f(x1, y1) + f(x2, y1)

f(x1, λy1) = λf(x1, y1) = f(λx1, y1)

Remarque : Soit f ∈ Ln(E1 × E2 × . . . × En, F ), (x1, x2, . . . , xn) ∈ E1 × E2 × . . . × En. Si un desxi est nul, f(x1, x2, . . . , xn) = 0.Exemple : • Soit E un K-ev, (λ, x) −→ λx ∈ E est bilineaire.

• Soient E et F deux K-ev (u, x) ∈ L(E, F ) × E −→ u(x) ∈ F est bilineaire.• Soient E, F et G trois K-ev, (u, v) ∈ L(E, F ) × L(F, G) −→ v u ∈ L(E, G) est bilineaire.• Soit A une K-algebre, (a1, a2, . . . an) ∈ An −→ a1a2 . . . an ∈ A est n-lineaire.

Remarque : Ln(E1 × E2 × . . . × En, F ) est un sous-espace de F(E1 × E2 × . . . × En, F ).

Proposition 362 Soient f ∈ Ln(E1 × E2 × . . . × En, F ), pour tout k ∈ 1, 2, . . . , n, (ei)i∈Ikune

famille de Ek, (λi)i∈Ikune famille a support fini de K. On a :

f(∑

i∈I1

λiei,∑

i∈I2

λiei, . . . ,∑

i∈In

λiei) =∑

i1∈I1,i2∈I2,... ,in∈In

λi1λi2 . . . λinf(ei1 , ei2 , . . . , ein)

228 CHAPITRE 4. DETERMINANTS

Exercice : Montrer que si E1, E2,..., En sont n K-espace vectoriel de dimension finie, Ln(E1×E2×. . . × En, K) est de dimension finie :

dimE1 × dimE2 × . . . × dimEn

2) Derivation des applications multilineaires :

Proposition 363 Soit f ∈ Ln(E1 × E2 × . . . × En, K), chaque Ei etant egal a Kpi pour tout i.

Soient ϕ : t ∈ I −→ ϕi(t) ∈ Ei derivable pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n.Alors Ψ : t ∈ I −→ f(ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) est derivable et si t ∈ I :

Ψ′(t) =n∑

k=1

f(ϕ1(t), . . . , ϕk−1(t), ϕ′k(t), ϕk+1(t), . . . , ϕn(t))

3) Applications multilineaires symetriques, antisymetriques :

Definition 272 Soit f ∈ Ln(En, F ).1. On dit que f est symetrique si pour tout σ ∈ Sn et tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ En :

f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = f(x1, x2, . . . , xn)

2. On dit que f est antisymetrique si pour tout σ ∈ Sn et tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ En :

f(xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)) = ε(σ)f(x1, x2, . . . , xn)

Theoreme 158 Soit f ∈ Ln(En, F ).1. Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) f symetrique ;(ii) Pour toute transposition τ ∈ Sn et tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ En :

f(xτ(1), xτ(2), . . . , xτ(n)) = f(x1, x2, . . . , xn)

2. Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) f antisymetrique ;(ii) Pour toute transposition τ ∈ Sn et tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ En :

f(xτ(1), xτ(2), . . . , xτ(n)) = −f(x1, x2, . . . , xn)

Remarque : L’ensemble des applications multilineaires symetriques (resp. antisymetrique) de En

dans F est un sous-espace de Ln(E1 × E2 × . . . × En, F ).

II. Applications multilineaires alternees

1) Generalites :

Definition 273 Soit f ∈ Ln(En, F ).f est dite alternee si pour tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ En tels qu’il existe i =/ j dans 1, 2, . . . , n

avec xi = xj :

f(x1, x2, . . . , xn) = 0

On note Lna(E, F ) l’ensemble des fonctions multilineaires alternees.

229

Proposition 364 Soit f ∈ Ln(En, F ). Si f est alternee, f est antisymetrique. Reciproquement,si f est antisymetrique et K de caracteristique differente de 2, f est alternee.

Remarque : Dans le cas ou la caracteristique de K est 2, si f est alternee, f est encore anti-symetrique, mais la reciproque est fausse.

Proposition 365 Lna(E, F ) est un sous-espace de f ∈ Ln(En, F ).

Proposition 366 Soient f ∈ Lna(E, F ), (x1, x2, . . . , xn) ∈ En, i0 ∈ I, (λi)i∈1,2,... ,i0,... ,n. Alors

f(x1, . . . , xi0−1, xi0 +∑

i=/ i0

λixi, xi0+1, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn)

Autrement dit, on ne change pas f(x1, x2, . . . , xn) si on ajoute a un xi0 une combinaison lineairedes autres xi.

Corollaire 89 Soient f ∈ Lna(E, F ), (x1, x2, . . . , xn) ∈ En. Si (x1, x2, . . . , xn) est liee,

f(x1, x2, . . . , xn) = 0.

2) Cas des formes n-lineaires alternees sur un espace de dimension n :

Remarque : Si dimE < n et si f ∈ Lna(E, K), f = 0.

Dans toute la suite du chapitre, E est suppose de dimension finie.

Theoreme 159 On suppose que dimE = n. Soit B = (e1, e2, . . . , en) une base de E.Alors Ln

a(E, K) est un K-espace vectoriel de dimension 1. Plus precisement si

∆B : (x1, x2, . . . , xn) ∈ En −→∑

σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)1 . . . xσ(n)n ∈ K

ou pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n,

x1i

x2i...

xni

est la colonne de xi dans la base B

alors ∆B est une base de Lna(E, K).

Remarque : On a ∆(e1,... ,en)(e1, . . . , en) = 1.

Corollaire 90 Soient (e1, e2, . . . , en) une base de E et λ ∈ K. Il existe un unique ∆ ∈ Lna(E, K)

tel que

∆(e1, e2, . . . , en) = λ

III. Determinant de n vecteurs, determinant d’un endomorphisme

1) Determinant d’une famille de vecteurs :

Definition 274 Soient B = (e1, e2, . . . , en) une base de E, (x1, x2, . . . , xn) ∈ En une famille devecteurs de E.


On appelle determinant des n vecteurs (x1, x2, . . . , xn) dans la base B le scalaire :

detB

(x1, x2, . . . , xn) = ∆B(x1, . . . , xn) =∑

σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)1 . . . xσ(n)n

ou pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n,

x1i

x2i...

xni

est la colonne de xi dans la base B

Remarque : detB : En −→ K est une forme n-lineaire alternee. C’est d’ailleurs l’unique formen-lineaire alternee telle que detB(e1, . . . , en) = 1.

Theoreme 160 Soient (e1, e2, . . . , en) et (f1, f2, . . . , fn) deux bases de E. Pour tout(x1, x2, . . . , xn) ∈ En :

detB

(x1, . . . , xn) = detC

(x1, . . . , xn) detB

(f1, . . . , fn)

Corollaire 91 Soient B une base de E et (x1, x2, . . . , xn) un systeme de vecteurs de E.Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) (x1, x2, . . . , xn) sont lineairement independants.(ii) detB(x1, x2, . . . , xn) =/ 0.

2) Determinant d’un endomorphisme :

Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, f et g deux formes n-lineaires alternees de Enon nulle. Alors :

f ′ : (x1, . . . , xn) ∈ En −→ f(u(x1), . . . , u(xn)) ∈ K

et

g′ : (x1, . . . , xn) ∈ En −→ g(u(x1), . . . , u(xn)) ∈ K

sont deux formes n-lineaires alternees de E. Mais alors, il existe α ∈ K et β ∈ K tels que

f ′ = αf et g′ = βg

Mais aussi, g = λf et par consequent g′ = λf ′. Donc g′ = λf ′ = λαf = αg et β = α. Il en resulteque α tel que f ′ = αf ne depend du choix de f ∈ Ln

a(E, K)\0.Definition 275 Soit u ∈ L(E), E de dimension n.

On appelle determinant de u, et on note det u le scalaire α ∈ K tel que pour toute f ∈ Lna(E, K)

non nulle et tout (x1, . . . , xn) ∈ En, on ait :

f(u(x1), . . . , u(xn)) = αf(x1, . . . , xn)

Exemple : Soit B une base de E. On a pour tout (x1, . . . , xn) ∈ En :

detB

(u(x1), . . . , u(xn)) = detu detB

(x1, . . . , xn)

231

Proposition 367 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, B = (e1, . . . , en) une base de Eet (x1, . . . , xn) ∈ En, w ∈ calL(E).

Si w(ei) = xi pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n,

detw = detB

(x1, . . . , xn)

Theoreme 161 Soit (u, v) ∈ L(E)2.1. On a det IE = 1.2. det v u = det v detu.3. det u =/ 0 si et seulement si u ∈ GL(E) et dans ces conditions, det u−1 = (detu)−1.

Exemple : • Si u est une homothetie de rapport λ, dimE = n :

detu = λn

• Soit σ ∈ Sn, u ∈ L(E), u(ei) = eσ(i) pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n. Alors detu = ε(σ).• Soit u ∈ L(E) un endomorphisme dont la matrice dans la base (e1, . . . , en) est A = (aij)1i,jn

avec A triangulaire superieure. Alors

det u = a11a22 . . . ann

De meme si A est triangulaire inferieure.

3) Le groupe special lineaire :

L’application

GL(E) −→ K∗

det : u −→ detu

est un morphisme du groupe GL(E) dans le groupe multiplicatif (K∗,×) ; son noyau est donc unsous-groupe de GL(E).

Definition 276 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie.On appelle groupe special lineaire de E, et on note SL(E), le sous-groupe de GL(E) forme des

u ∈ GL(E) tels que detu = 1.

Remarque : SL(E) est donc un sous-groupe distingue de GL(E) et comme det est clairement sur-jective :

GL(E)/ SL(E) K∗

IV. Determinant d’une matrice carree

1) Definition et premieres proprietes :

Pour tout M ∈ Mn(K), on notera uM l’endomorphisme de Kn canoniquement associee a M .Soient B0 = (e1, . . . , en) la base canonique de Kn, C1,..., Cn les colonnes de M . Alors

detuM = detB0

(uM (e1), . . . , uM (en)) = detB

(C1, . . . , Cn)

Si M = (aij)1i,jn, on a donc

det uM = detB0

(C1, . . . , Cn) =∑

σ∈Sn

ε(σ)aσ(1)1 . . . aσ(n)n


Definition 277 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K). On appelle determinant de la matrice carree Mle scalaire :

detM =∑

σ∈Sn

ε(σ)aσ(1)1 . . . aσ(n)n =∑

σ∈Sn

ε(σ)n∏

i=1

aσ(i)i

detM est aussi note |aij |1i,jn ou encore∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Exemple : • Soit (a, b, c, d) ∈ K4.

∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= ad − bc

• Soit (a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3) ∈ K9. On a :∣∣∣∣∣∣

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

∣∣∣∣∣∣

= a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3 − a3b2c1 − b1a2c3 − a1b3c2

Indiquer la regle de Sarrus.Remarque : Comme det M = detB0(C1, . . . , Cn), detM est une forme n-lineaire alternee descolonnes de M .

Proposition 368 Soit M ∈ Mn(K). On note C1, C2,..., Cn les colonnes de M .1. On ne change pas le determinant de M si on rajoute a une colonne une combinaison lineaire

des autres colonnes.2. Soit σ ∈ Sn. On a :

det(Cσ(1), Cσ(2), . . . , Cσ(n)) = ε(σ) det(C1, C2, . . . , Cn) = ε(σ) det M

3. Soient λ ∈ K et i0 ∈ 1, 2, . . . , n. On a :

det(C1, . . . , Ci0−1, λCi0 , Ci0+1, . . . , Cn) = λ detM

4. Si deux colonnes de M sont identiques, detM = 0.

Remarque : detλM = λn det M .Exemple : Soit σ ∈ Sn. Si M = (δσ−1(i)j)1i,j,n, detM = ε(σ)1K .

2) Determinant et endomorphismes :

Theoreme 162 Soit u ∈ L(E). Pour toute base B de E, on a detu = detMatB(u).

Proposition 369 Soit M ∈ Mn(K) une matrice triangulaire de coefficients diagonaux λ1, λ2,...,λn. Alors :

detM = λ1λ2 . . . λn

233

3) Multiplicativite du determinant :

Theoreme 163 Soit (M, N) ∈ Mn(K).1. det In = 1.2. det MN = det M det N .3. M est inversible si et seulement si detM =/ 0. Dans ces conditions,

detM−1 =1

detM

Corollaire 92 Deux matrices semblables ont meme determinant.

Definition 278 SLn(K) = M ∈ Mn(K), detM = 1 est un sous-groupe de GLn(K) appelegroupe special lineaire d’ordre n.

Remarque : Si E est de dimension n, SL(E) SLn(K).

4) Determinant de la transposee :

Theoreme 164 Soit M ∈ Mn(K). On a dett M = det M .

Remarque : Comme det M = det

L1

L2...

Ln

, detM est une forme n-lineaire alternee des lignes de

M .

Corollaire 93 Soit M ∈ Mn(K). On note L1, L2,..., Ln les lignes de M .1. On ne change pas le determinant de M si on rajoute a une ligne une combinaison lineaire

des autres lignes.2. Soit σ ∈ Sn. On a :

det

Lσ(1)

Lσ(2)...

Lσ(n)

= ε(σ) det

L1

L2...

Ln

= ε(σ) detM

3. Soient λ ∈ K et i0 ∈ 1, 2, . . . , n. On a :

det

L1...

Li0−1

λLi0

Li0+1...

Ln

= λ det M

4. Si M admet deux lignes identiques, detM = 0.

Application : Methode du pivot de Gauss pour le calcul des determinant.


Exemple : Calculer

∣∣∣∣∣∣

a b cb + c a + c a + bbc ca ab

∣∣∣∣∣∣

Calcul de

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + x 1 . . . 11 1 + x . . . 11 1 1...

......

1 1 1 + x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x ∈ R

On trouve ∆n(x) = xn + nxn−1.

5) Derivation d’un determinant :

Soit Ci : t ∈ I −→ Ci(t) ∈ Kn derivables. Alors, l’application

Ψ : t ∈ I −→ det(C1(t), C2(t), . . . , Cn(t)) ∈ K

est derivable et sa derivee est en t ∈ I :

Ψ′(t) =n∑

i=1

det(C1(t), . . . , Ci−1(t), C ′i(t), Ci+1(t), . . . , Cn(t))

V. Calcul des determinants

Rappel : Cas des matrices diagonales et triangulaires.

1) Matrices par blocs :

Presentation des matrices par blocs. Produit de matrices par blocs.

Proposition 370 Soient A ∈ Mp(K), B ∈ Mq(K), C ∈ Mp,q(K). Alors

det(

A C0 B

)

= detA det B

Remarque : Extension a une matrice trigonale par blocs.

2) Developpement d’un determinant suivant une rangee :

Definition 279 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K).Le mineur de aij dans M est le determinant de la matrice Mij ∈ Mn−1(K) obtenue en rayant

dans M la i-eme ligne et la j-eme colonne. Le cofacteur de aij dans M est (−1)i+j detMij.

235

Theoreme 165 (Developpement d’un determinant suivant une rangee) Soit M =(aij)1i,jn ∈ Mn(K) et Dij le cofacteur de aij pour tout (i, j) ∈ 1, 2, . . . , n2.

1. Fixons la colonne j, on a :

detM =n∑

k=1

akjDkj

2. Fixons la ligne i, on a :

detM =n∑

k=1

aikDik

Exemple : Matrice compagnon

3) Comatrice :

Definition 280 Soit M = (aij)1i,jn ∈ Mn(K) et Dij le cofacteur de aij pour tout (i, j) ∈1, 2, . . . , n2.

La comatrice de M est la matrice (Dij)1i,jn ∈ Mn(K). On la note Com M .

Theoreme 166 Soit M ∈ Mn(K). On a :

M t.Com M =t Com M.M = (detM).In

Corollaire 94 Soit M ∈ GLn(K). On a

M−1 =1

detM

t

Com M

Exemple : Si ad − bc =/ 0,(

a bc d

)

=1

ad − bc

(d −b−c a

)

4) Formules de Cramer :

Theoreme 167 (Formules de Cramer) Soit M = (C1, C2, . . . , Cn) ∈ GLn(K), B ∈ Kn, lesysteme de Cramer (S) : MX = B. Pour chaque i ∈ 1, 2, . . . , n, on note Mi la matrice

(C1, . . . , Ci−1, B, Ci+1, . . . , Cn). Alors si on note X =

x1

x2...

xn

la solution de (S), pour tout

i ∈ 1, 2, . . . , n, on a :

xi =1

detMdetMi

Remarque : Malgre leur elegance, les formules de Cramer se revelent d’un usage peu pratique desque n depasse 3 a cause du grand nombre d’operations necessitees par le calcul des determinants.Exemple : Condition d’inversibilite et inversion de

M =

1 a a2

1 b b2

1 c c2


Chapitre 5

Introduction a la reduction desendomorphismes

Dans ce chapitre, sauf mention explicite du contraire, K designe un corps commutatif, K = R

ou C, E un K-espace vectoriel.

I. Theoreme de decomposition des noyaux

Theoreme 168 (Theoreme de decomposition des noyaux) Soient u ∈ L(E), P et Q dansK[X] premiers entre eux. Alors

ker(PQ)(u) = kerP (u) ⊕ kerQ(u)

Exemple : • Si u2 = I, u =/ 0 et K de caracteristique distincte de 2, u est une symetrie.• Si u2 = u, on retrouve que u est un projecteur.

Corollaire 95 Soient u ∈ L(E), P1, P2,..., Pn dans K[X] deux a deux premiers entre eux. Si onnote P = P1P2 . . . Pn,

ker P (u) = kerP1(u) ⊕ kerP2(u) ⊕ . . . ⊕ kerPn(u)

II. Valeurs propres et vecteurs propres

1) Vocabulaire :

Definition 281 Soit u ∈ L(E).x ∈ E est un vecteur propre de u si x =/ 0 et s’il existe λ ∈ K tel que u(x) = λx.λ ∈ K est une valeur propre de u s’il existe x ∈ E, x =/ 0 tel que u(x) = λx. Sp(u), le spectre

de u est l’ensemble des valeurs propres de u.Si λ est une valeur propre de u, ker(u − λIE) = x ∈ E, u(x) = λx est appele sous-espace

propre de u associee a λ.

Remarque : • Tout sous-espace propre de u est non reduit a 0.• Soit λ ∈ K. λ est une valeur propre de u si et seulement si ker(u − λIE) n’est pas reduit a

0.

238 CHAPITRE 5. INTRODUCTION A LA REDUCTION DES ENDOMORPHISMES

2) Somme directe des sous-espaces propres :

Proposition 371 Soient u ∈ L(E), λ1, λ2,..., λn dans K deux a deux distinctes. Alors

kern∏

i=1

(u − λiIE) =n⊕

i=1

ker(u − λiIE)

Remarque :∑

λ∈K ker(u − λIE) est directe.

Corollaire 96 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n, u ∈ L(E). Alors u possede au plusn valeurs propres distinctes.

3) Endomorphismes diagonalisables :

Definition 282 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E).On dit que u est diagonalisable s’il existe une base B de E tel que la matrice de u dans cette

base soit diagonale i.e. de la forme

λ1 0 . . . 0

0 λ2...

.... . . 0

0 . . . 0 λn

autrement dit, u est diagonalisable s’il existe une base de vecteurs propres de E pour u.

Exemple : • Les homotheties sont diagonalisables.• Les affinites sont diagonalisables.dem

Theoreme 169 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E).Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) u est diagonalisable.(ii) Il existe λ1, λ2,..., λp deux a deux distincts dans K tels que

p∏

i=1

(u − λiIE) = 0

(iii) Il existe Q ∈ K[X] scinde sur K, a racines simples tel que Q(u) = 0.(iv) Il existe λ1, λ2,..., λp deux a deux distincts dans K tels que

E =p

⊕

i=1

ker(u − λiIE)

Remarque : u est diagonalisable si et seulement si E est somme directe de ses sous-espaces propres.Remarque : Soient u ∈ L(E) diagonalisable, F un sous-espace de E stable par u. Alors u : x ∈F −→ u(x) ∈ F est diagonalisable.dem

239

4) Matrices carrees diagonalisables :

Definition 283 Soit A ∈ Mn(K).On dit que A est diagonalisable si uA l’endomorphisme de Kn canoniquement associe a A est

diagonalisable. On appelle valeur propre de A (resp. vecteur propre de A) toute valeur propre (resp.tout vecteur propre) de uA. Enfin, on appelle sous-espace propre de A tout sous-espace propre deuA.

Notation : • On note Sp(A) = Sp(uA) le spectre de A.• Si P ∈ K[X], on notera kerP (A) pour kerP (uA) i.e.

ker P (A) = X ∈ Kn, P (A)X = 0

En particulier, ker(A − λIn) est le sous-espace propre associe a λ pour u (si λ ∈ Sp(A)).Remarque : • X ∈ Kn est un vecteur propre de A si et seulement si X =/ 0 et s’il existe λ ∈ K telque AX = λX.

• λ ∈ K est valeur propre de A si et seulement s’il existe X =/ 0 tel que AX = λX.

Proposition 372 Soit A ∈ Mn(K).Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) A est diagonalisable ;(ii) A est semblable a une matrice diagonale ;(iii) Il existe Q ∈ K[X] scinde sur K a racines simples tel que Q(A) = 0.

Proposition 373 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E, A = MatB(u).Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) u est diagonalisable.(ii) A est diagonalisable.

III. Polynome caracteristique

1) Polynome caracteristique d’une matrices carree :

Definition 284 Soit A ∈ Mn(K).Le polynome caracteristique de A, note χA, est det(XIn − A). Ainsi, si A = (aij)1i,jn,

χA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

X − a11 −a12 −a13 . . . −a1n

−a21 X − a22 −a23 . . . −a2n...

. . ....

−an−1 1 . . . X − an−1 n−1 −an−1 n

−an1 . . . . . . −an n−1 X − ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Remarque : • XIn − A est une matrice a coefficients dans K(X) ; on peut donc envisager sondeterminant.

• Si L est un surcorps de K, et λ ∈ L :

χA(λ) = det(λIn − A)

Proposition 374 Soit A ∈ Mn(K). χtA = χA.


Exemple : • Si A ∈ Mn(K) est triangulaire, ses elements diagonaux notes λ1, λ2,..., λn :

χA =n∏

i=1

(X − λi)

• Si A est triangulaire par blocs, les blocs successifs etant notes A1, A2,..., An :

χA =n∏

i=1

χAi

2) Proprietes du polynome caracteristique :

Corollaire 97 Soit A ∈ Mn(K), λ ∈ K.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) λ est valeur propre de A ;(ii) λ est racine de χA.

Theoreme 170 Soit A ∈ Mn(K), n > 0.χA est un polynome unitaire de degre n dont le coefficient constant est (−1)n detA et le coeffi-

cient de Xn−1 est −Tr A :

χA = Xn − Tr AXn−1 + . . . + (−1)n det A

Remarque : Si λ1,..., λn sont les racines distinctes ou confondues de χA dans un surcorps commutatifL de K ou χA est scinde, alors :

Tr A =n∑

i=1

λi et det A =n∏

i=1

λi

3) Polynome caracteristique d’un endomorphisme :

Proposition 375 Deux matrices carrees semblables ont le meme polynome caracteristique.

Definition 285 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E).Si B designe une base de E, A la matrice de u dans B, on appelle polynome caracteristique de

u, note χu, le polynome χA (χu est independant du choix de B d’apres la proposition precedente).

Remarque : Si dimE = n, χu est un polynome unitaire de degre n, de terme constant (−1)n det uet dont le coefficient de Xn−1 est −Tr u.

Theoreme 171 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), F un sous-espacede E stable par u. On note u|F : x ∈ F −→ u(x) ∈ F .

Alors χu|F divise χu.

4) Diagonalisabilite et polynome caracteristique :

Proposition 376 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), λ1,..., λp lesvaleurs propres deux a deux distinctes de u.

Pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, on note αi l’ordre de λi comme racine de χu et βi = dim ker(u −λiIE).

Alors, pour tout i ∈ 1, 2, . . . , p, βi αi.

241

Theoreme 172 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E), λ1,..., λp les valeurspropres deux a deux distinctes de u.

Pour tout i ∈ 1, 2, . . . , p, on note αi l’ordre de λi comme racine de χu et βi = dim ker(u −λiIE).

Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) u est diagonalisable.(ii) χu est scinde et pour tout i ∈ 1, 2, . . . p, αi = βi.

Corollaire 98 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E).Si χu est scinde sur K, a racines simples, u est diagonalisable.

Exemple : Exemples de matrices diagonalisables et de matrices non diagonalisables.

IV. Theoreme de Cayley-Hamilton

1) Valeurs propres et polynome annulateur :

Proposition 377 Soit Q ∈ K[X], λ ∈ K.1. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E). Si Q(u) = 0 et λ est une valeur

propre de u, Q(λ) = 0.2. Soit A ∈ Mn(K). Si Q(A) = 0 et λ est une valeur propre de A, Q(λ) = 0.

Remarque : On demande souvent de prouver ce lemme.

Proposition 378 Soit A ∈ Mn(K), n > 0.Alors, il existe Q ∈ K[X], Q =/ 0 tel que Q(A) = 0.

2) Polynome minimal :

Theoreme 173 Soit A ∈ Mn(K), n > 0.Il existe un unique polynome unitaire non nul de degre minimal, note µA, tel que si Q ∈ K[X]

avec Q(A) = 0, µA divise Q.

Definition 286 Avec les notations du theoreme precedent, µA est appele polynome minimal de A.

Exemple : Si A est diagonalisable, λ1,..., λp les valeurs propres de A deux a deux distinctes,

µA =p

∏

i=1

(X − λi)

et reciproquement.Remarque : On definit egalement le polynome minimal d’un endomorphisme.

3) Theoreme de Cayley-Hamilton :

Theoreme 174 (Theoreme de Cayley-Hamilton) Soit A ∈ Mn(K). Alors

χA(A) = 0

Corollaire 99 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E). Alors :

χu(u) = 0

Exemple : Si n = 2, A =(

a bc d

)

:

A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 = 0


4) Calcul d’un polynome de matrice :

• Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, u ∈ L(E) diagonalisable, (e1, . . . , en) unebase de vecteurs propres, u(ei) = λiei. Alors, si Q ∈ K[X] et x =

∑ni=1 xiei,

[Q(u)](x) =n∑

i=1

Q(λi)xiei

• Soit A ∈ Mn(K) diagonalisable, D = Diag(λ1, . . . , λn) et P ∈ GLn(K) tel que D = P−1APi.e. A = PDP−1. Alors pour tout k ∈ N, Ak = P−1DkP et pour tout Q =

∑

k∈NakX

k :

Q(A) =∑

k∈N

akAk = P (

∑

k∈N

akDk)P−1 = P−1Q(D)P

et Q(D) = Diag(Q(λ1), . . . , Q(λn)).• Supposons que l’on veuille calculer Q(A) (A ∈ Mn(K)) sachant que P (A) = 0 avec P ∈

K[X]\0 (par exemple si P = χA). Si R est le reste de la division euclidienne de Q par P :R(A) = P (A).

Si P =∏p

i=1(X − λi) avec les λi deux a deux distincts :dem

R =p

∑

k=1

Q(λk)

∏

i=/ k(X − λi)∏

i=/ k(λk − λi)

En caracteristique infinie, si P = (X − λ)p, R =∑p−1

k=0Q(k)(λ)

k! (X − λ)k.Exemple : ...

Partie EPolynomes

Chapitre 1

Polynomes a une indeterminee

Dans ce chapitre, K designe un corps commutatif et A un anneau commutatif.

I. Construction de K[X]

1) Le K-espace vectoriel K(N) :

Definition 287 Un polynome (a une ideterminee a coefficients dans K) est une suite (an)n∈N

d’elements de K a support fini pour + i.e. il existe n0 ∈ N tel que si n n0, an = 0.Si P =/ (0)n∈N, p = maxn ∈ N, an =/ 0 existe (dans N) et est appele degre de P note deg P .

Si P = (0)n∈N, par convention, on pose deg P = −∞.Si P =/ (0)n∈N, p = deg P , ap est appele coefficient dominant de P . On note CD(P ) = ap.Enfin, nous noterons provisoirement K(N) l’ensemble des polynomes a une indeterminee a co-

efficients dans K.

Proposition 379 1. K(N) est un sous-espace du K-espace vectoriel F(N, K) = KN.2. Soit (P, Q) ∈ (K(N))2. Alors deg(P + Q) max(deg P,deg Q). De plus si deg P > deg Q, on

a deg(P + Q) = deg P et CD(P + Q) = C(P ).3. Si λ ∈ K∗, P ∈ K(N), P =/ (0)n∈N, on a deg(λP ) = deg P et CD(λP ) = λCD(P ).

Remarque :

deg(n∑

i=1

λiPi) max1in

deg Pi

Proposition 380 On pose pour tout p ∈ N, Xp = (δnp)n∈N. Alors pour tout P = (an)n∈N ∈ K(N),on a

P =∑

p∈N

apXp

et (Xp)p∈N est une base du K-espace vectoriel K(N). En particulier, K(N) est de dimension infinie.

2) Multiplication des polynomes :

Definition-Proposition 7 Soit (P, Q) ∈ K(N)2, P = (an)n∈N, Q = (bn)n∈N. Considerons la suite(cn)n∈N de K definie pour tout n ∈ N par

cn =n∑

k=0

akbn−k =∑

p+q=n

apbq

246 CHAPITRE 1. POLYNOMES A UNE INDETERMINEE

Alors (cn)n∈N est un polynome appele produit de P par Q et note PQ.

Proposition 381 Soit (P, Q) ∈ (K(N))2. Alors1. PQ = QP ;2. Si P =/ 0 et Q =/ 0, PQ =/ 0 et

deg(PQ) = deg P + deg Q et CD(PQ) = CD(P )CD(Q)

3. X0P = PX0 = P .

Theoreme 175 K(N) muni des operations definies precedemment est une K-algebre integre (enparticulier commutative) de dimension infinie.

Remarque : deg∏

i∈I Pi et CD(∏

i∈I Pi).

3) Ecriture des polynomes :

On note toujours Xp = (δnp)n∈N pour tout p entier.

Proposition 382 1. λ ∈ K −→ λX0 est un isomorphisme du corps K sur un sous-anneau deK(N).

2. Pour tout p ∈ N, Xp = (X1)p.

Convention :• On identifie λ ∈ K et λX0 ∈ K(N) i.e. on plonge K dans K(N). Si λ ∈ K∗, deg λ = 0. Les

λ ∈ K ⊂ K(N) sont appeles polynomes constants.• On se donne un symbole X. On ecrira alors X au lieu de X1. Si p ∈ N, Xp = Xp

1 = Xp et siP = (an)n∈N,

P =∑

n∈N

anXn

On dit que ap est le coefficient de Xp dans P . On note K[X] au lieu de K(N).• Tout polynome de K[X] peut s’ecrire

P =p

∑

n=0

anXn

Si n = deg P , an = CD(P ).• Si P =

∑

n∈NanXn, Q =

∑

n∈NbnXn, λ ∈ K :

λP =∑

n∈N

λanxn, P + Q =∑

n∈N

(an + bn)Xn, et PQ =∑

n∈N

(∑

p+q=n

apbq)Xn

Proposition 383 Soit n ∈ N. Kn[X] = Vect(1, X, X2, . . . , Xn) = P ∈ K[X], deg P n est unsous-espace de K[X] de dimension n + 1.

247

4) Polynomes a coefficients dans un anneau :

On definit de la meme maniere qu’au 1) un polynome a une indeterminee a coefficients dans unanneau commutatif A comme etant une suite (an)n∈N de A a support fini.

On definit egalement de la meme maniere la somme et le produit de deux polynomes, le produitpar un scalaire d’un polynome.

En particulier, si on note Xp = (δnp)n∈N pour tout p entier, Xp = Xp1 = Xp (on pose X = X1)

et P = (an)n∈N s’ecrit :

P =∑

n∈N

anXn

On note A[X] l’ensemble des polynomes a une indeterminee a coefficients dans A. A[X] est unanneau commutatif, A se plonge dans A[X]. A[X] est integre si et seulement si A est integre.

En particulier, si A n’est pas integre, on n’a seulement que

deg PQ deg P + deg Q

II. Division euclidienne dans K[X]

1) Definition et algorithme de la division euclidienne :

Theoreme 176 Soit (A, B) ∈ K[X]2 tel que B =/ 0.Il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X]2 tel que

A = BQ + R et deg R < deg Q

Definition 288 Avec les notations du theoreme precedent, Q s’appelle le quotient de la divisioneuclidienne de A par B et R le reste de la division euclidienne de A par B.

Remarque : La demonstration fournit une methode pratique pour calculer Q et R :• On regarde le terme de plus haut degre aXn de A et bXp de B.• On inscrit a/bXn−p comme terme de Q.• On calcule A′ = A − a/bXn−pB.• On regarde le terme de plus haut degre a′Xn′

de A′ et bXp de B.• On inscrit a′/bXn′−p comme terme de Q.etc...

Exemple : Si A = 3X4 −2X3 +X2 −6X +1 et B = 2X3 +X2 +X +1, on obtient Q = 3/2X −7/4et R = 5/4X2 − 23/4X + 11/4 (K = Q).

2) Relation de divisibilite de K[X] :

Definition 289 Soit (A, B) ∈ K[X]. On dit que A divise B s’il existe P ∈ K[X] tel que PA = B.On ecrit alors A|B.

Remarque : Supposons A =/ 0, A|B si et seulement si le reste de la division euclidienne de B par A

est nul. Le quotient de cette division se note alors BA

Definition 290 Soit P ∈ K[X].On dit que P est unitaire si P = 0 ou si le coefficient directeur de P est 1.

Remarque : La somme d’un polynome P et d’un polynome Q tel que deg Q < deg P est unitaire.Le produit de deux polynomes unitaires est unitaire.


Proposition 384 1. La divisibilite sur K[X] est une relation reflexive et transitive.2. Soit (A, B) ∈ K[X]2. La condition ”A|B et B|A” equivaut a ”il existe λ ∈ K∗ tel que

B = λA”.3. La divisibilite restreinte a l’ensemble des polynomes unitaires est une relation d’ordre.

Remarque : 0 est le plus grand element de cette relation d’ordre.

3) Ideaux de K[X] :

Rappel : K[X] est une K-algebre commutative. Un ideal I (forcement bilatere) de K[X] est unideal de l’anneau K[X]. Nous savons qu’automatiquement, I est un sous-espace de K[X].Remarque : Si P ∈ K[X], PK[X] designe l’ideal engendre par P . Si Q ∈ K[X],

Q ∈ PK[X] ⇐⇒ P |Q

Soit (P, Q) ∈ K[X]2. On pose I = PK[X], J = QK[X]. Alors I = J si et seulement s’il existeλ ∈ K∗ tel que Q = λP .

Theoreme 177 Soit I un ideal de K[X].Il existe un unique polynome unitaire P ∈ K[X] tel que I = PK[X].

Remarque : Les ideaux de K[X] sont principaux. K[X] est un anneau principal.Comme pour Z, c’est la division euclidienne qui entraıne la principalite de K[X].

4) Congruences dans K[X] :

• K[X] etant une K-algebre, si I est un ideal de K[X] (et donc en particulier, un sous-espace),on peut considerer la congruence modulo I : si (A, B) ∈ K[X]2 :

A ≡ B (mod I) ⇐⇒ A − B ∈ I

Mais I est de la forme PK[X] ou P ∈ K[X] et :

A ≡ B (mod P )K[X] ⇐⇒ (∃Q ∈ K[X])(A − B = QP ) ⇐⇒ P |A − B

On note A ≡ B (mod P ) pour A ≡ B (mod P )K[X] : c’est la congruence modulo P : elle estcompatible avec +, ×, la multiplication par un scalaire. Ainsi si (A, B, C, D) ∈ K[X]4, λ ∈ K,n ∈ N et si modulo P , A ≡ C et B ≡ D, on a :

A + B ≡ C + D, AB ≡ CD, λA ≡ λB, An ≡ Bn et (A ≡ 0 ⇐⇒ P |A)

• On peut egalement considerer la K-algebre quotient K[X]/PK[X].Exercice : Soient P ∈ K[X], P =/ 0, deg P = n et I = PK[X].

Montrer que la K-algebre quotient K[X]/I admet pour base (1, X, . . . , ˙Xn−1) et dim K[X]/I =n.

III. PGCD et PPCM de polynomes

1) Introduction :

Considerons E l’ensemble des polynomes unitaires de K[X]. La divisibilite | est une relationd’ordre partiel sur E.

Soit (A, B) ∈ K[X]2.

249

Qu’est que la borne inferieure de A, B ? A priori, cette borne n’existe pas forcement. D estla borne inferieure de A, B si et seulement si D est un minorant i.e. D divise A et B et D est leplus grand de tous les minorants i.e.

C|A et C|B =⇒ C|D

Dans ces conditions, D est appele plus grand commun diviseur de A et B.Qu’est que la borne superieure de A, B ? A priori, cette borne n’existe pas forcement. M est

la borne superieure de A, B si et seulement si M est un majorant i.e. M est multiple de A et Bet M est le plus petit de tous les majorants i.e.

A|N et B|N =⇒ M |N

Dans ces conditions, M est appele plus petit commun multiple de A et B.De maniere generale, on definit le PGCD et le PPCM par

Definition 291 Soit (Pi)i∈I une famille de E.Sous reserve d’existence, on appelle PGCD des Pi la borne inferieure des Pi (au sens de la

divisibilite). Elle est notee pgcdi∈I Pi.Sous reserve d’existence, on appelle PPCM des Pi la borne superieure des Pi (au sens de la

divisibilite). Elle est notee ppcmi∈I Pi.

Definition 292 Soit (Pi)i∈I une famille de K[X]. On appelle PGDC des Pi le PGCD des P ′i ou

pour tout i ∈ I, P ′i ∈ E est l’unique polynome unitaire colineaire a Pi.

On appelle PPCM des Pi le PPCM des P ′i ou pour tout i ∈ I, P ′

i ∈ E est l’unique polynomeunitaire colineaire a Pi.

Remarque : Si Pi = anXn + an−1Xn−1 + . . . + a0 (an =/ 0), P ′

i = Xn + an−1

anXn−1 + . . . + a0

an

2) Existence du PGCD et PPCM :

Theoreme 178 Soit (Pi)i∈I une famille de K[X].Alors le PGCD des Pi existe et c’est le generateur unitaire D de l’ideal principal

DK[X] =∑

i∈I

PiK[X]

De meme le PPCM des Pi existe et c’est le generateur unitaire M de l’ideal principal

MK[X] =⋂

i∈I

PiK[X]

Remarque : Si (λi)i∈I est une famille de K∗,

pgcdi∈I λiPi = pgcdi∈I Pi et ppcmi∈I

λiPi = ppcmi∈I

Pi

Proposition 385 (Identite de Bezout) Soient P1, P2 ,..., Pn dans K[X], D =pgcd(P1, . . . , Pn). Alors, il existe K1,...,Kn dans K[X] tels que

D = K1P1 + K2P2 + . . . + KnPn


Remarque : • Soit (Pi)i∈I une famille de K[X], J ⊂ I. Alors

pgcdi∈I Pi | pgcdi∈J Pi

ppcmi∈J

Pi | ppcmi∈I

Pi

• Soient (Pi)i∈I et (Qi)i∈I deux familles de K[X] telles que pour tout i, Pi divise Qi. Alors

pgcdi∈I Pi | pgcdi∈I Qi

ppcmi∈I

Pi | ppcmi∈I

Qi

• Si (Jk)k∈K est un recouvrement de l’ensemble I et (Pi)i∈I une famille de K[X], on a

pgcdi∈I Pi = pgcdk∈K(pgcdj∈JkPj)

ppcmi∈I

Pi = ppcmk∈K

(ppcmj∈Jk

Pj)

3) Proprietes du PGCD et du PPCM :

Proposition 386 Soient I =/ ∅, (Pi)i∈I une famille de K[X], et A ∈ K[X] unitaire. Alors

pgcdi∈I(APi) = A pgcdi∈I(Pi)

ppcmi∈I

(APi) = A ppcmi∈I

(Pi)

Theoreme 179 Soient P et Q deux polynomes unitaires de K[X]. Alors

pgcd(P, Q) ppcm(P, Q) = PQ

Remarque : • Ainsi, si pgcd(P, Q) est connu, ppcm(P, Q) aussi.• Si pgcd(P, Q) = 1, P et Q unitaires, ppcm(P, Q) = PQ.• Si P et Q divise A et pgcd(P, Q) = 1, PQ divise A.

4) Algorithme d’Euclide :

On desire construire un algorithme de calcul du PGCD de deux polynomes P et Q de K[X].On va s’appuyer sur le resultat suivant :

Proposition 387 Soient P et Q dans K[X], Q =/ 0. Notons R le reste de la division euclidiennede P par Q. Alors

pgcd(P, Q) = pgcd(Q, R)

Supposons deg P deg Q. Notons P0 = P et P1 = Q et definissons par recurrence la suite Pn

de la maniere suivante : si Pn−1 = 0, alors Pn = 0 ; sinon Pn est le reste de la division euclidiennede Pn−2 par Pn−1.

Il est clair si Pn =/ 0, deg Pn < deg Pn−1. Si pour tout n, Pn =/ 0, la suite de N (deg Pn)n∈N∗ eststrictement decroissante : impossible !

Soit donc N le plus petit entier tel que PN = 0. Si n N , Pn = 0 et si n < N , Pn =/ 0. De plus

pgcd(P0, P1) = pgcd(P1, P2) = . . . = pgcd(PN−2, PN−1) = pgcd(PN−1, 0)

Or, a une constante multiplicative non nulle pres, pgcd(Pn−1, 0) est Pn−1.Remarque : Description de l’algorithme.

251

IV. Polynomes premiers entre eux

1) Theoreme de Bezout :

Definition 293 Soit (Pi)i∈I une famille de K[X]. Les Pi sont dits premiers entre eux si

pgcdi∈I Pi = 1

Remarque : • Les Pi sont premiers entre eux si et seulement si les polynomes constants non nulssont les uniques diviseurs communs aux Pi.

• Si pgcd(P, Q) = 1 et P et Q unitaires, ppcm(P, Q) = PQ.• Soit D = pgcdi∈I(Pi). Alors les Pi/D sont premiers entre eux.

Theoreme 180 (Theoreme de Bezout) Soient P1,..., Pn dans K[X].Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) les Pi sont premiers entre eux ;(ii) il existe n polynomes de K[X] K1, K2,..., Kn tels que

1 = K1P1 + K2P2 + . . . + KnPn

Remarque : L’algorithme d’Euclide etablit si deux polynomes sont premiers entre eux (voir III.).Probleme : Quels sont les polynomes Ki intervenant dans l’identite de Bezout ?Exemple : P1 = X2 + 1, P2 = X2 + X. Alors :

1 =12

[

(X + 2)(X2 + 1) + (X2 + X)(−X − 1)]

2) Theoreme de Gauss :

Proposition 388 Soit (P, A,B) ∈ K[X]3.Si P est premier avec A et avec B, alors P est premier avec le produit AB.

Remarque : Si pour tout i, P est premier avec Ai, P est aussi premier avec le produit A1A2 . . . An.Remarque : Soient A1,..., An des polynomes unitaires de K[X]. Si pour i =/ j, pgcd(Ai, Aj) = 1alors

ppcmi∈I

Ai = |A1A2 . . . An|

Theoreme 181 (Theoreme de Gauss) Soient (P, A,B) ∈ K[X]3.Si P divise AB et si P est premier avec A, alors P divise B.

Exercice : Soient P ∈ K[X]∗, Q ∈ K[X]. Les trois conditions suivantes sont equivalentes :(i) Q inversible dans K[X]/PK[X] ;(ii) Q regulier dans K[X]/PK[X] ;(iii) P et Q sont premiers entre eux.

V. Polynomes irreductibles

1) Generalites :

Definition 294 Soit P ∈ K[X].On dit que P est irreductible si P /∈ K et si les seuls diviseurs de P sont les elements de

K∗ ∪ K∗P .


Remarque : • Si P est irreductible et si λ ∈ K∗ alors λP est irreductible.• Si P est unitaire, alors P est irreductible si et seulement si P =/ 1 et les seuls diviseurs unitaires

de P sont 1 et P .

Proposition 389 Soit P ∈ K[X], P /∈ K.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) P n’est pas irreductible ;(ii) Il existe A et B dans K[X] tel que P = AB et deg A < deg P et deg B < deg P .

Corollaire 100 Tout polynome de K[X] de degre 1 est irreductible.

2) Lemme d’Euclide :

Proposition 390 (Lemme d’Euclide) Soit (P, A,B) ∈ K[X]3, P irreductible.Si P divise le produit AB, alors P divise A ou P divise B.

Exercice : Soit P ∈ K[X], P =/ 0. Montrer que les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) K[X]/PK[X] est integre ;(ii) K[X]/PK[X] est un corps ;(iii) P est irreductible.

Exemple : R[X]/(X − 1)R[X] R.

3) Decomposition en facteurs irreductibles :

On note P l’ensemble des polynomes irreductibles et unitaires de K[X].

Theoreme 182 Tout element A ∈ K[X], A =/ 0 s’ecrit de facon unique

A = λ∏

P∈PPαP

avec λ ∈ K∗ et (αP )P∈P une famille a support fini pour + d’elements de N.

Remarque : Ainsi, pour tout element A ∈ K[X], A =/ 0, il existe r 0, P1, P2,..., Pr des polynomesirreductibles unitaires deux a deux distincts, α1, α2,..., αr des entiers strictement positifs tels que

A = λPα11 Pα2

2 . . . Pαrr

De plus, r est unique, les Pi sont uniques (a la numerotation pres), ainsi que les αi.

Corollaire 101 1. Dire que∏

P∈P PαP divise∏

P∈P P βP signifie que αP βP pour tout P ∈ P.2. Soient A = λ

∏

P∈P PαP et B = µ∏

P∈P P βP deux polynomes non nuls. Alors

pgcd(A, B) =∏

P∈PP inf(αP ,βP ) et ppcm(A, B) =

∏

P∈PP sup(αP ,βP )

Exercice : Reecrire 2. pour une famille de polynomes quelconque.Exercice : Soit A ∈ K[X], A =/ 0. Montrer que A ne possede qu’un nombre fini de diviseursunitaires. Les denombrer.Remarque : Dire que P et Q sont premiers entre eux, c’est dire que P et Q n’ont pas de diviseurirreductible commun.

VI. Changement du corps de base

Soient K un corps commutatif, L un sur-corps commutatif de K.

253

1) Plongement de K[X] dans L[X] :

On a :

K[X] ⊂ L[X]

Soit A ∈ K[X]. Alors deg A est le meme que l’on considere A comme element de K[X] ou deL[X]. Meme remarque pour le coefficient directeur.

2) Comparaison des divisions euclidiennes :

• Soient A ∈ K[X, B ∈ K[X], B =/ 0. Alors le quotient et le reste de la division de A par Bsont identiques, que l’on effectue la division dans K[X] ou dans L[X].

• Soient A ∈ K[X], B ∈ K[X]. Si A|B dans K[X], A|B dans L[X]. Par unicite du quotient etdu reste, si A|B dans L[X], A|B dans K[X].

3) Comparaison des PGCD et des PPCM :

Theoreme 183 Soit A1, A2,..., An une famille d’elements de K[X]. On note DK le PGCD desAi dans K[X], DL le PGCD des Ai dans L[X], MK le PPCM des Ai dans K[X], ML le PPCMdes Ai dans L[X].

Alors DK = DL et MK = ML.

Remarque : Les Ai sont premiers entre eux dans K[X] si et seulement si les Ai sont premiers entreeux dans L[X].Remarque : P irreductible dans L[X] implique P irreductible dans K[X]. Nous verrons que l’inverseest faux.


Chapitre 2

Fonctions polynomiales

Dans ce chapitre, K designe un corps commutatif.

I. Valeurs prises par un polynome

1) Generalites :

Definition 295 Soient P =∑

n∈NanXn ∈ K[X], A une K-algebre, α ∈ K.

La valeur prise par P en α est

P (α) =∑

n∈N

anαn ∈ A

On dit qu’on fait X = α dans P ou encore que l’on substitue α a X dans P .

Exemple : :• Si P = λ ∈ K, P (α) = λ1A ∈ A.• A = L un surcorps commutatif de K alors

P (α) =∑

n∈N

anαn ∈ L

• Soit E un K-espace vectoriel. On peut prendre A = L(E). Si u ∈ L(E),

P (u) =∑

n∈N

anun

• On peut prendre A = Mp(K). Si M ∈ Mp(K), on definit :

P (M) =∑

n∈N

anMn ∈ Mp(K)

• Enfin, on peut prendre A = K[X]. Si Q ∈ K[X], on note

P Q = P (Q) =∑

n∈N

anQn ∈ K[X]

P Q est appele polynome compose de P et Q.

256 CHAPITRE 2. FONCTIONS POLYNOMIALES

Theoreme 184 Soient A une K-algebre, α ∈ A.1. La fonction

K[X] −→ Aϕ : P −→ P (α)

est un morphisme de K-algebres.2. Soit (P, Q) ∈ K[X]2. On a

P [Q(α)] = P Q(α)

Exemple : • On a

(∑

i∈I

Pi)(α) =∑

i∈I

Pi(α), (∏

i∈I

Pi)(α) =∏

i∈I

Pi(α), (Pn)(α) = P (α)n

• Si u ∈ L(E),

(∑

i∈I

Pi)(u) =∑

i∈I

Pi(u), (∏

i∈I

Pi)(u) =∏

i∈I

Pi(u), (Pn)(u) = P (u)n = P (u) . . . P (u)

(P Q)(u) = P (Q(u))

En particulier, (PQ)(u) = P (u) Q(u) = Q(u) P (u) = (QP )(u).• Si Q ∈ K[X],

(∑

i∈I

Pi) Q =∑

i∈I

Pi Q mais (Q ∑

i∈I

Pi) =/∑

i∈I

Q Pi

(∏

i∈I

Pi) Q =∏

i∈I

Pi Q

Pn Q = (P Q)n

• Si (Q, R) ∈ K[X]2, (P Q) R = P (Q R) et X P = P X = P . En particulier, (K[X], )est un monoıde d’element neutre X.Remarque : • Soit α ∈ K. On a (X − α) (X + α) = X et (X + α) (X − α) = X.

• P −→ P (X −α) est un morphisme bijectif de la K-algebre K[X] dans elle-meme, la bijectionreciproque etant P −→ P (X + α).

2) Racines d’un polynome :

Definition 296 Soit P ∈ K[X].Une racine de P dans K est un element α ∈ K tel que P (α) = 0.

Proposition 391 Soient P ∈ K[X], α ∈ K.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) P (α) = 0 ;(ii) X − α divise P .

257

Corollaire 102 Soit P ∈ K[X], deg P = 2 ou 3.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) P irreductible ;(ii) P n’admet pas de racines dans K.

Proposition 392 Soient P ∈ K[X], α1, α2,..., αn des racines distinctes deux a deux de P .Alors P est divisible par

∏ni=1(X − αi).

Remarque : • Si P =/ 0, deg P deg∏n

i=1(X − αi) = n.

Corollaire 103 Un polynome non nul de degre n possede au plus n racines differentes.Un polynome qui possede une infinite de racines est le polynome nul.

3) Fonctions polynomes :

Definition 297 Soit P ∈ K[X].On appelle fonction polynome associe a P l’application P ∈ F(K, K) definie par :

P : x ∈ K −→ P (x) ∈ K

Proposition 393 L’application

K[X] −→ F(K, K)ϕ : P −→ P

est un morphisme d’algebre dont• l’image est l’ensemble des fonctions polynomiales de K dans K qui est donc une sous-algebre

de F(K, K).• le noyau est 0 lorsque K est infini.

Remarque : Si K est infini, on peut identifier polynomes et fonctions polynomes : P P .Remarque : Si K = Z/pZ, P = Xp − X, on a P = 0.

4) Polynomes d’interpolation de Lagrange :

Probleme : Soient x1, x2,..., xn n elements de K deux a deux distincts. On se donne λ1, λ2,..., λn nelements de K. Existe t-il un polynome P ∈ K[X] tel que pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, P (xi) = λi.

Definition 298 On appelle polynomes interpolateurs de Lagrange associes a la suite(x1, x2, . . . , xn) les n polynomes :

Li =

∏1jn

j=/ i(X − xj)

∏1jn

j=/ i(xi − xj)

(1 i n)

Remarque : Li(xj) = δij pour tout i et j.

Theoreme 185 Il existe un unique polynome P0 repondant au probleme : ”pour tout i ∈1, 2, . . . , n, P (xi) = λi et deg P n − 1” ; c’est

P0 =n∑

i=1

λiLi =n∑

i=1

λi

∏1jn

j=/ i(X − xj)

∏1jn

j=/ i(xi − xj)

L’ensemble des solutions du probleme est alors l’ensemble des polynomes P = P0 + Q(X −x1)(X − x2) . . . (X − xn) ou Q decrit K[X].


II. Relations entre coefficients et racines d’un polynome

1) Ordre de multiplicite d’une racine :

Definition 299 Soient P ∈ K[X], P =/ 0, α ∈ K.n ∈ N, (X − α)n divise P est une partie non vide (elle contient 0), majoree (par deg P ) de

N, donc, elle possede un plus grand element ω.ω est l’ordre (de multiplicite) de α comme racine de P .

Exemple : • α racine d’ordre 0 de P signifie que α n’est pas racine de P .• α racine d’ordre 1 de P signifie que α est racine de P et (X − α)2 ne divise pas P : on dit

que α est racine simple de P .• α racine d’ordre 2 de P est une racine double.

Remarque : • L’ordre de α comme racine de P ne change pas si on remplace K par un surcorpscommutatif de K.

• L’ordre de α comme racine de P est aussi l’exposant de X − α dans la decomposition de Pen facteurs irreductibles.

Theoreme 186 Soient P ∈ K[X], P =/ 0, α ∈ K.Les trois propositions suivantes sont equivalentes :(i) α est racine d’ordre n de P .(ii) (X − α)n divise P et (X − α)n+1 ne divise pas P .(iii) Il existe Q ∈ K[X] tel que P = (X − α)nQ et Q(α) =/ 0.

2) Relations entre coefficients et racines :

Definition 300 Soit P ∈ K[X], P =/ 0.On dit que P est scinde (sur K) si tous les diviseurs irreductibles de P dans K[X] sont de degre

1, ou encore si tous les diviseurs irreductibles et unitaires de P dans K[X] sont de la forme X −αavec α ∈ K, ou encore P s’ecrit

P = λ(X − α1)(X − α2) . . . (X − αn)

ou λ ∈ K∗ les αi ∈ K.La decomposition de P en facteurs irreductibles etant unique, cette derniere ecriture de P est

unique a permutation pres de P des facteurs : α1, α2, . . . , αn sont uniques a l’ordre pres. On ditque α1, α2,..., αn sont les racines distinctes ou confondues de P .

Remarque : P scinde et Q|P implique Q scinde.Exemple : P = aX2 + bX + c, a =/ 0.

Alors P est scinde si et seulement si P possede une racine. Donc si la caracteristique est differentede 2, on a ”P scinde” si et seulement si ”b2 − 4ac est le carre d’un element de K”.

Theoreme 187 Soit P =∑n

k=0 akXk ∈ K[X], an =/ 0, (α1, α2, . . . , αn) ∈ Kn.

Posons pour tout k ∈ N,

σk =∑

Card I=kI⊂1,2,... ,n

∏

i∈I

αi

Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) P est scinde sur K et (α1, α2, . . . , αn) sont les racines distinctes ou confondues de P .

259

(ii) Pour tout k ∈ 1, 2, . . . , n,

σk = (−1)k an−k

an

Dans ces conditions,

σ0 = 1

σ1 = α1 + α2 + . . . + αn

σ2 = α1α2 + α1α3 + . . . + αn−1αn

σ3 = α1α2α3 + α1α2α4 + . . . + αn−2αn−1αn

...

σn = α1α2 . . . αn

σn+1 = 0

σn+2 = 0

...

Exemple : • Soit a =/ 0. ” α et β sont les racines distinctes ou confondues de aX2 + bX + c” signifie

α + β = − b

aet αβ =

c

a

• Soit a =/ 0. ”α, β et γ sont les racines distinctes ou confondues de aX3 + bX2 + cX + d”signifie

α + β + γ = − b

a, αβ + βγ + γα =

c

aet αβγ = −d

a

• En general

α1 + α2 + . . . + αn = −an−1

anet α1α2 . . . αn = (−1)n a0

an

3) Expressions symetriques des racines :

On reprend les notations du 2).On pourra constater que si ϕ est une expression symetrique des racines α1, α2,..., αn, ϕ s’exprime

uniquement a l’aide des σ1, σ2,..., σn donc a l’aide des a0, a1,..., an.Exemple : Soient α, β et γ les racines distinctes ou confondues de aX3 + bX2 + cX + d. Calculerα2 + β2 + γ2. On a

α2 + β2 + γ2 = (α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα) = σ21 − 2σ2 = (−b/a)2 − 2c/a = b2/a2 − 2c/a

On peut donc calculer cette expression sans connaıtre explicitement les racines α, β et γ.


III. Theoreme de D’Alembert

1) Corps algebriquement clos :

Definition 301 Soit K un corps commutatif. On dit que K est algebriquement clos si toutpolynome irreductible de K[X] est de degre 1, ou encore si tout polynome irreductible et unitairede K[X] est de la forme X − α (α ∈ K), on encore si tout polynome de K[X]\0 est scinde surK.

Proposition 394 Soit K un corps commutatif.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) K algebriquement clos.(ii) Tout polynome non constant de K[X] possede au moins une racine dans K.

Theoreme 188 Soit K un corps commutatif, P ∈ K[X].Il existe L surcorps commutatif de K sur lequel P est scinde.

Theoreme 189 Soit K un corps commutatif.Il existe un surcorps commutatif L de K qui est algebriquement clos.admis

2) Conjugaison des polynomes :

Definition 302 Soit P ∈ C[X], P =∑

n∈NanXn.

On appelle polynome conjugue de P note P l’element de C[X] :

P =∑

n∈N

anXn

Proposition 395 L’application P −→ P est un isomorphisme involutif de l’anneau C[X] surlui-meme. De plus, si P ∈ C[X], on a :

P ∈ R[X] ⇐⇒ P = P

Proposition 396 Soient P ∈ C[X], α ∈ C.1. P (α) = P (α).2. L’ordre de α comme racine de P est le meme que l’ordre de α comme racine de P .3. Si P ∈ R[X], α et α ont le meme ordre comme racine de P .

3) Le theoreme fondamental de l’algebre :

Theoreme 190 (Theoreme de d’Alembert) C est algebriquement clos.

Corollaire 104 Tout polynome irreductible de C[X] est du premier degre. Tout polynome nonconstant de C[X] admet une racine dans C.

Exemple : On a dans C (n 2) :

Xn − 1 =n−1∏

k=0

(X − e2ikπ

n ) et Xn−1 + Xn−2 + . . . + X + 1 =n−1∏

k=1

(X − e2ikπ

n )

X2 − 2 cos θX + 1 = (X − eiθ)(X − e−iθ)

261

4) Polynomes irreductibles de R[X] :

Theoreme 191 Les polynomes irreductibles de R[X] sont :1. les polynomes de degre 1 ;2. les polynomes de degre 2 a discriminant strictement negatif.

Exemple : Soit (a, b, c) ∈ R3, a =/ 0 et b2 − 4ac < 0. Soit

P = aX4 + bX2 + c

P ne possede aucune racine reelle. Donc P s’ecrit comme produit de deux polynomes Q et Rde degre 2 a discriminant strictement negatif. Plus precisement

P = a[(X2 +√

2√

c/a − b/aX +√

c/a)(X2 −√

2√

c/a − b/aX +√

c/a)]

Par exemple, X4 + X2 + 1 = (X2 + X + 1)(X2 − X + 1).Remarque : Soit P ∈ R[X], P =/ 0. On peut ecrire

P = λ∏

α∈R

(X − α)nα∏

(a,b)∈R2

a2−4b<0

(X2 + aX + b)pab = λ∏

α∈R

(X − α)nα∏

(a,b)∈R2

a2−4b<0

(X − βab)pab(X − βab)pab

avec βab l’unique racine de X2 + aX + b a partie imaginaire> 0.Si P = λ

∏

α∈C(X − α)nα , alors

P = λ∏

α∈R

(X − α)nα∏

α>0

(X − α)nα(X − α)nα

Exemple : Si P = X4 + X2 + 1,

P = (X − j)(X + j)(X − j2)(X + j2) = (X2 + X + 1)(X2 − X + 1)

IV. Derivation des polynomes :

1) Polynomes derives :

Definition 303 Soit P =∑

n∈NanXn ∈ K[X].

Le polynome derive P ′ de P est

P ′ =∑

n∈N∗nanXn−1 =

∑

n∈N

(n + 1)an+1Xn

Remarque : Soit P ∈ R[X]. La fonction associee au polynome P ′ est exactement la derivee au sensdes fonctions a variable reelle de la fonction associee a P .

Proposition 397 L’application D : P −→ P ′ est lineaire de K[X] dans K[X]. Si la caracteristiquede K est infinie, alors :

1. deg P ′ = deg P − 1 si P /∈ K ;2. ker D = K ;3. Im D = K[X].

Remarque : Si K est de caracteristique p : P = Xp verifie P ′ = 0.


Proposition 398 Soit (P, Q) ∈ K[X]2. Alors1. (PQ)′ = P ′Q + PQ′.2. (P Q)′ = Q′(P ′ Q).

Remarque :

(P1P2 . . . Pn)′ =n∑

i=1

P1 . . . Pi−1P′iPi+1 . . . Pn

2) Polynomes derives successifs :

Definition 304 Soit P ∈ K[X], n ∈ N. On sait que D ∈ L(K[X]), D : P −→ P ′.Le polynome derive n-ieme de P est P (n) = Dn(P ).

Remarque : Si P =∑

n∈NanXn, on a :

P (p)(X) =∑

np

n(n − 1) . . . (n − p + 1)anXn−p

Proposition 399 1. L’application P −→ P (n) est lineaire de K[X] dans K[X]. Si la car-acteristique de K est infinie, l’image de cette application est K[X] et son noyau est

P ∈ K[X], deg P < n

2. Pour tout (n, p) ∈ N2 et tout P ∈ K[X], on a :

[P (n)](p) = P (n+p)

3. Pour tout n ∈ N, (P, Q) ∈ K[X]2, on a :

(PQ)(n) =n∑

k=0

CknP (k)Q(n−k)

C’est la formule de Leibniz.

Remarque : Plus generalement :

(P1P2 . . . Pq)(n) =∑

k1+k2+...+kq=n

n!k1!k2! . . . kq!

P(k1)1 P

(k2)2 . . . P

(nq)q

3) Formule de Taylor :

Theoreme 192 (Formule de Taylor) On suppose K de caracteristique infinie. Soient P ∈K[X] et a ∈ K. Alors

P (X + a) = P (X + a) =∑

n∈N

P (n)(a)n!

Xn

263

Remarque : • Pour tout (a, b) ∈ K2 :

P (a + b) =∑

n∈N

P (n)(a)n!

bn

• On a

P (X + b) =∑

n∈N

P (n)(X)n!

bn

• En faisant X = X − a,

P =∑

n∈N

P (n)(a)n!

(X − a)n

• En faisant X = X − b,

P =∑

n∈N

P (n)(X − b)n!

bn

Theoreme 193 On suppose K de caracteristique infinie. Soient P ∈ K[X], P =/ 0, α ∈ K.L’ordre de α comme racine de P n’est autre que le plus petit entier ω tel que P (ω)(α) =/ 0

Remarque : P (α) = P ′(α) = . . . = P (ω−1)(α) = 0 et P (ω)(α) =/ 0 signifie que l’ordre de α est ω.Remarque : Si α est racine d’ordre n 1 de P , α est racine d’ordre n − 1 de P ′.

V. Polynomes a n variables

1) Construction de K[X1, X2, . . . , Xn] :

K est toujours un corps commutatif. On se donne X1, X2,..., Xn n symboles. On note I = Nn.

Definition 305 On appelle polynomes a n variables a coefficients dans K toute suite P = (as)s∈I

a support fini pour +. On note K[X1, X2, . . . , Xn] l’ensemble des polynomes a n variables a coef-ficients dans K.

Proposition 400 K[X1, X2, . . . , Xn] est un sous-espace de F(I, K) qui admet comme base (Ps)s∈I

ou Ps = (δrs)r∈I .

Definition 306 Soient P = (as)s∈I et Q = (bs)s∈I dans K[X1, X2, . . . , Xn]. On definit :

PQ =

∑

r∈I,r′∈Ir+r′=s

arbr′

s∈I

=∑

s∈I

∑

r∈I,r′∈Ir+r′=s

arbr′Ps

Theoreme 194 Muni des operations precedemment definies, K[X1, X2, . . . , Xn] est une K-algebre commutative.

Convention : K[X1, X2, . . . , Xn] admet comme element neutre P(0,0,... ,0) = 1. On note X1 =P(1,0,... ,0), X2 = P(0,1,... ,0),..., Xn = P(0,0,... ,1). On a alors

P(k1,k2,... ,kn) = Xk11 Xk2

2 . . . Xknn


Ainsi tout P ∈ K[X1, X2, . . . , Xn] s’ecrit de maniere unique

P =∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

a(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn

On a∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

a(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn +

∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

b(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn

=∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

(

a(k1,k2,... ,kn) + b(k1,k2,... ,kn)

)

Xk11 Xk2

2 . . . Xknn

et

λ∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

a(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn =

∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

λa(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn

et∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

a(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn

∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

b(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn =

∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn

∑

l1+l′1=k1,... ,ln+l′n=kn

a(l1,l2,... ,ln)b(l′1,l′2,... ,l′n)

Xk11 Xk2

2 . . . Xknn

2) Degre dans K[X1, X2, . . . , Xn] :

Soit P =∑

(k1,k2,... ,kn)∈Nn a(k1,k2,... ,kn)Xk11 Xk2

2 . . . Xknn ∈ K[X1, X2, . . . , Xn].

Definition 307 Si P =/ 0, on appelle degre de P note deg P le plus grand des entiers k1 + k2 +. . . + kn tels que a(k1,k2,... ,kn) =/ 0. Par convention, deg 0 = −∞.

Exemple : Dans K[X, Y ], P = X2Y 3 + 2Y 4 − X est de degre 5.

Proposition 401 On a deg(P + Q) max(deg P,deg Q) et deg PQ = deg P + deg Q.K[X1, X2, . . . , Xn] est integre.

3) Substitution dans un polynome :

Definition 308 Soient A une K-algebre, (x1, x2, . . . , xn) ∈ An, les xi commutant deux a deux,P ∈ K[X1, X2, . . . , Xn]. La valeur de P prise en (x1, x2, . . . , xn) est

P (x1, x2, . . . , xn) =∑

(k1,k2,... ,kn)∈I

a(k1,k2,... ,kn)xk11 xk2

2 . . . xknn

Proposition 402 Soient A une K-algebre, (x1, x2, . . . , xn) ∈ An, les xi commutant deux a deux.L’application

K[X1, X2, . . . , Xn] −→ Aϕ : P −→ P (x1, x2, . . . , xn)

est un morphisme de K-algebre.

Exemple : A = K, A = L, L surcorps de K...

Chapitre 3

Fractions rationnelles

Dans ce chapitre, K designe un corps commutatif.

I. Construction de K(X)

1) Definition du corps des fractions rationnelles :

On rappelle que K[X] est un anneau integre.

Definition 309 Le corps des fractions de l’anneau K[X] est le corps des fractions rationnelles aune indeterminee X sur K note K(X).

Remarque : Tout element de K(X) s’ecrit PQ avec (P, Q) ∈ K[X] × K[X]∗.

P

Q=

P ′

Q′ ⇐⇒ PQ′ = P ′Q

K(X) est un corps commutatif, surcorps de K : K ⊂ K[X] ⊂ K(X), les elements de K sont lesfractions rationnelles constantes. La caracteristique de K(X) est egale a celle de K.

P

Q+

P ′

Q′ =PQ′ + P ′Q

QQ′ etP

Q

P ′

Q′ =PP ′

QQ′

si P =/ 0 et Q =/ 0, (P

Q)−1 =

Q

P

Proposition 403 Soit F ∈ K(X), F =/ 0.1. Il existe (P, Q) ∈ K[X]2 tel que

F =P

Qet pgcd(P, Q) = 1

2. Si (A, B) ∈ K[X]2 verifie F = AB alors il existe R ∈ K[X] tel que

A = PR et B = QR

(P et Q etant definis comme en 1.).

Definition 310 Soit F = PQ ∈ K(X). Si pgcd(P, Q) = 1, P

Q est une forme reduite de F .

Remarque : Si P ′Q′ et P

Q sont deux formes reduites de F , il existe λ ∈ K∗ tel que P ′ = λP et B = λQ.

266 CHAPITRE 3. FRACTIONS RATIONNELLES

2) Degre d’une fraction rationnelle :

Remarque : Soit F ∈ K(X)∗. Ecrivons F = PQ = P ′

Q′ . Alors comme PQ′ = P ′Q, deg P − deg Q =deg P ′ − deg Q′.

Definition 311 Soit F ∈ K(X).Si F =/ 0, on ecrit F = P

Q avec (P, Q) ∈ K[X]2 et on appelle degre de F et on note deg Fl’element de Z tel que deg F = deg P − deg Q (independant du choix de (P, Q)).

On pose aussi deg 0 = −∞.

Exemple : Si F ∈ K[X], on retrouve le degre d’un polynome.

Proposition 404 Soit (F, G) ∈ K[X]2.1. On a deg(F + G) max(deg F, deg G) et il y a egalite si deg F =/ deg G.2. Si FG =/ 0, deg(FG) = deg F + deg G et deg(F/G) = deg F − deg G.

Remarque : deg(∑

i∈I Fi) maxi∈I deg Fi et deg(∏

i∈I Fi) =∑

i∈I deg Fi.

3) Partie entiere :

Definition-Proposition 8 Soit F ∈ K(X).Il existe un unique couple (Q, G) ∈ K(X)2 tel que F = Q + G avec Q ∈ K[X] et deg G < 0.Q est appele partie entiere de F et est notee E(F ).

Remarque : E(P/Q) est le quotient la division euclidienne de P par Q.Exemple : Si F = aXn+bXn−1+...

cXn+dXn−1+..., E(F ) = a

c .

Proposition 405 F −→ E(F ) est une application lineaire de K(X) dans K[X].

Remarque : E(F + G) = E(F ) + E(G).

II. Valeurs prises par une fraction rationnelle

1) Generalites :

Remarque : Soit L un surcorps commutatif de K et α ∈ L, F ∈ K(X). Soit (P, Q, P ′, Q′) ∈ K[X]4,Q(α)Q′(α) =/ 0 tel que F = P

Q = P ′Q′ . Alors

P (α)Q(α)

=P ′(α)Q′(α)

Definition 312 Soient L un surcorps commutatif de K, α ∈ L, F ∈ K(X). On dit que F estdefinie en α s’il existe (P, Q) ∈ K[X]2 tel que Q(α) =/ 0 et F = P

Q .

On dit alors que la valeur prise par F en α est F (α) = P (α)Q(α) (independante du choix (P, Q)

d’apres la remarque precedente).

Exemple : • Si F ∈ K[X], F est toujours definie en α et on retrouve la valeur prise en α par lepolynome F .

• On peut prendre L = K, mais aussi L = K(X) : Si (F, G) ∈ K(X)2 et s’il existe (P, Q) ∈K[X]2 tel que Q(G) =/ 0 et F = P

Q , on definit F (G) = P (G)Q(G) : c’est la fraction rationnelle composee

de F et G notee F G.Remarque : Si F = P

Q est une forme reduite, F est definie en α si et seulement si Q(α) =/ 0.dem

267

Definition 313 Soient L un surcorps commutatif de K, F ∈ K(X), α ∈ L.On dit que α est un pole de F si F n’est pas definie en α autrement dit si α est racine du

denominateur d’une forme reduite de F .On dit que α est pole d’ordre n de F si α est racine d’ordre n du denominateur d’une forme

reduite de F (independant du choix de la forme reduite).

2) Proprietes :

Proposition 406 Soit L un surcorps commutatif de K. Pour tout α ∈ L, notons

Aα = F ∈ K(X), α non pole de F

Soit α ∈ L.1. Aα est un sous-anneau de K(X) et F −→ F (α) est un morphisme de l’anneau Aα dans L.2. Soit (F, G) ∈ A2

α tel que G(α) =/ 0. Alors FG ∈ Aα et F

G(α) = F (α)G(α) .

3. Soient G ∈ Aα et F ∈ AG(α). Alors F G ∈ Aα et (F G)(α) = F (G(α)).

Remarque : • (∑

i∈I Fi)(α) =∑

i∈I Fi(α) ;• (

∏

i∈I Fi)(α) =∏

i∈I Fi(α) ;• Fn(α) = [F (α)]n.

Exemple : • (∑

i∈I Fi) G =∑

i∈I Fi G ;• (

∏

i∈I Fi) G =∏

i∈I Fi G ;• Fn G = (F G)n ;• F

G H = FHGH ;

• (F G) H = F (G H)• F X = X F = F .

Remarque : Si α ∈ K.Alors F (X +α) est toujours defini. F −→ F (X +α) est un isomorphisme du corps K(X) sur

lui-meme, l’isomorphisme reciproque etant F −→ F (X − α).

III. Derivation des fractions rationnelles

1) Derivee premiere :

Soit (A, B, P, Q) ∈ K[X]4, BQ =/ 0 tel que AQ = BP alors A′Q + AQ′ = B′P + BP ′.Il s’ensuit que si A

B = PQ , i.e. AP = BQ on a

(A′B − AB′)Q2 = (P ′Q − PQ′)B2

Donc

A′B − AB′

B2=

P ′Q − PQ′

Q2

ce qui autorise la definition :

Definition 314 Soit F ∈ K(X).Si F = A

B avec (A, B) ∈ K[X]2, B =/ 0. On appelle derivee de F la fraction rationnelle

F ′ =A′B − AB′

B2

Exemple : Si F ∈ K[X], on retrouve la derivee d’un polynome.Remarque : Si F est definie en α, F ′ aussi.


2) Proprietes :

Proposition 407 D : F −→ F ′ est lineaire de K(X) dans K(X). Si la caracteristique de K estinfinie, alors ker D = K.

Proposition 408 Soit (F, G) ∈ K(X)2.1. On a (FG)′ = F ′G + FG′.2. Si G =/ 0, (F

G)′ = F ′G−FG′G2 .

3. Si F est definie en G, (F G)′ = (F ′ G)G′.

IV. Decomposition en elements simples :

1) Preliminaires :

Lemme 17 Soient A ∈ K[X], S1, S2,..., Sn non nuls dans K[X] deux a deux premiers entre eux.Il existe alors A1, A2,..., An dans K[X] tels que :

A

S1S2 . . . Sn=

A1

S1+ . . . +

An

Sn

Lemme 18 Soient A ∈ K[X], S1, S2,..., Sn non nuls dans K[X] deux a deux premiers entre eux.Alors, il existe (E, R1, . . . , Rn) ∈ K[X]n+1 unique tel que :

A

S1S2 . . . Sn= E +

R1

S1+ . . . +

Rn

Sn

et pour tout 1 i n, deg Ri deg Si.

2) Methode des divisions successives :

Proposition 409 Soient n ∈ N, A ∈ K[X], P ∈ K[X], P =/ 0.AP n s’ecrit de facon unique

A

Pn= Q +

n∑

k=1

Rk

P k

avec Q et Rk polynomes pour tout k et deg Rk < deg P .

Remarque : La demonstration de l’existence fournit une methode pratique de calcul appelee”methode des divisions successives”.

On divise A par P : quotient A1, reste Rn ;On divise A1 par P : quotient A2, reste Rn−1 ;.......................................On divise An−1 par P : quotient An, reste R1.

Exemple :

X4 + X

(X2 + X + 1)3=

2X

(X2 + X + 1)3+

−2X − 1(X2 + X + 1)2

+1

1 + X + X2

269

3) Decompositions en elements simples :

Definition 315 On appelle elements simples de K(X) tout monome de K[X] et tout element deK(X) de la forme C

Sα avec C ∈ K[X] non nul, S ∈ K[X] irreductible et deg C < deg S.

Theoreme 195 (Theoreme de decomposition en elements simples) Soit F = AS

α11 ...Sαn

n∈

K(X) ou A ∈ K[X], α1,..., αn dans N∗, S1,..., Sn dans K[X] irreductibles et premiers entre eux

deux a deux.Il existe alors de maniere unique E, C1,1,...., C1,α1, C2,1,..., Cn,αn dans K[X] tels que :

F = E +n∑

i=1

αi∑

j=1

Ci,j

Sji

et pour tout 1 i n, 1 j αi, deg Cαi,j < deg Si.

Remarque : On note P l’ensemble des polynomes irreductibles unitaires. Soit F ∈ K(X). F s’ecritde maniere unique :

F = E +∑

k∈N∗P∈P

Ck,P

P k

avec E ∈ K[X], Ck,P ∈ K[X] et deg Ck,P < deg P .Remarque : E est la partie entiere de F .

4) Methodes de decomposition :

• A∏

P∈P P nP= Q +

∑

k∈N∗P∈P

Rk,P

P k . On peut ecrire :

A∏n

i=1 P kii

= Q +∑

1in1kki

Rk,i

P ki

En multipliant par P kii et en faisant X = α ou α est une racine de Pi dans un surcorps de K,

on trouve :

Rki,i(α) =A(α)

∏

j=/ i Pj(α)ki

Exemple :

X6

(X − 1)(X2 + 1)2= Q +

λ

X − 1+

αX + β

X2 + 1+

γX + δ

(X2 + 1)2(K = R)

On multiplie par X − 1 et on fait X = 1, d’ou λ = 1/4. On multiplie par (X2 + 1)2 et on faitX = i d’ou γ = 1/2 et δ = 1/2.

• Soit α un pole de F , α ∈ K :

F =A

(X − α)nQ=

A

Bavec Q(α) =/ 0

Ecrivons

F =λn

(X − α)n+

λn−1

(X − α)n−1+ . . . +

λ1

(X − α)+ R +

∑

k∈N∗P∈P

Rk,P

P k


On a λn = A(α)/Q(α). On veut Q(α). Mais B =∑

k∈N

B(k)(α)k! (X−α)k =

∑

knB(k)(α)

k! (X−α)k.D’ou

Q =∑

kn

B(k)(α)k!

(X − α)k−n

et

Q(α) =B(n)(α)

n!

Exemple : Decomposer 1X5−1

sur C. On trouve :

1X5 − 1

=4∑

k=0

e2ikπ

5

5(X − e2ikπ

5 )

• Dans la relation F = Q +∑

k∈N∗P∈P

Rk,P

P k , on peut faire X = α avec α non pole ce qui donne unerelation sur les coefficients a calculer.Exemple :

X6

(X − 1)(X2 + 1)2= lX + m +

1/4X − 1

+λX + µ

X2 + 1+

1/2X + 1/2(X2 + 1)2

)

On fait X = 0 et on obtient µ + β = −1/4.• Si F = Q +

∑

k∈N∗P∈P

Rk,P

P k , Q est la partie entiere de F . Pour la trouver, on effectue la divisioneuclidienne du numerateur par le denominateur.Exemple :

X6

(X − 1)(X2 + 1)2= X + 1 +

1/4X − 1

+λX − 5/4X2 + 1

+1/2X + 1/2(X2 + 1)2

On peut egalement multiplier par X et faire X = ∞ :

X6

(X − 1)(X2 + 1)2= X + 1 +

1/4X − 1

+−5/4X − 5/4

X2 + 1+

1/2X + 1/2(X2 + 1)2

• Si F = Q +∑

k∈N∗P∈P

Rk,P

P k , on a

F (−X) = Q(−X) +∑

k∈N∗P∈P

Rk,P (−X)P k(−X)

C’est la decomposition en elements simples de F (−X). S’il y a une relation entre F (X) et F (−X)(par exemple si F est paire ou impaire), on en deduit des relations simple sur les coefficients acalculer :

1X4 + X2 + 1

=1

(X2 + X + 1)(X2 − X + 1)=

aX + b

X2 + X + 1+

cX + d

X2 − X + 1

271

=−aX + b

X2 − X + 1+

−cX + d

X2 + X + 1

D’ ou a = −c et b = d. On fait ensuite X = j et on trouve a = b = 1/2.• Si F = A

P n avec P irreductible, on emploie la methode des divisions successives.

X4 + X

(X2 + X + 1)3=

2X

X2 + X + 1+

−2X − 1(X2 + X + 1)2

+1

(X2 + X + 1)3

V. Decomposition sur R ou C

1) Conjugaison des fractions rationnelles :

Remarque : Si F = AB = P

Q , alors AB

= PQ

.

Definition 316 Soit F ∈ C(X), F = AB avec (A, B) ∈ C[X]2. On appelle conjugue de F la fraction

rationnelle :

F =A

B

qui est independante du choix du couple (A, B).

Exemple : Si F ∈ C[X], on retrouve le conjugue d’un polynome.

Proposition 410 1. F −→ F est un isomorphisme involutif du corps C(X) sur lui-meme.2. Soit F ∈ C(X). F = F si et seulement si F ∈ R(X).

Proposition 411 Soit F ∈ C(X), α ∈ C.1. Si F est definie en α, F est definie en α et F (α) = F (α).2. Si n est l’ordre de α comme pole de F , n est l’ordre de α comme pole de F .3. Si F ∈ R(X), les ordres de α et α comme poles de F sont les memes.

2) Decomposition en elements simples sur C :

Corollaire 105 Toute fraction rationnelle F de C(X) s’ecrit de maniere unique :

F = Q +∑

α∈C

n∈N∗

λα,n

(X − α)n

avec Q ∈ C[X] et λα,n ∈ C.

Remarque : On a

F = Q +∑

α∈C

n∈N∗

λα,n

(X − α)n

C’est la decomposition en elements simples de F . S’il existe une relation simple entre F et F (F = Fou F = −F ...), on obtient des relations sur les coefficients a calculer (ex : F = 1/(X5 − 1)).


3) Decomposition en elements simples sur R :

Corollaire 106 Toute fraction rationnelle F de R(X) s’ecrit de maniere unique :

F = Q +∑

α∈R

n∈N∗

λα,n

(X − α)n+

∑

n∈N∗(a,b)∈R2, a2−4b<0

µa,b,nX + νa,b,n

(X2 + aX + b)n

avec Q ∈ R[X] et les λα,n, µa,b,n et νa,b,n dans R.

Definition 317 Avec les notations du corollaire precedent, λα,n

(X−α)n est appele element simple de

premiere espece et µa,b,nX+νa,b,n

(X2+aX+b)n element simple de deuxieme espece.

Remarque : Soit F ∈ R(X), F = F . On peut decomposer F sur R ou sur C.

F = Q +∑

α∈R

n∈N∗

λα,n

(X − α)n+

∑

n∈N∗(a,b)∈R2, a2−4b<0

µa,b,nX + νa,b,n

(X2 + aX + b)n= Q +

∑

α∈C

n∈N∗

δα,n

(X − α)n

On a δα,n = δα,n. Donc δα,n

(X−α)n + δα,n

(X−α)n est dans R(X). Il suffit donc de decomposer sur R la

fraction δα,n

(X−α)n + δα,n

(X−α)n pour passer de la decomposition complexe a la decomposition reelle.Pour passer de la decomposition reelle a la decomposition complexe, on decompose sur C tout

element de seconde espece :

µa,b,nX + νa,b,n

(X2 + aX + b)n

Exemple :

1X5 − 1

=1/5

X − 1+

1/5(2 cos(2π5 )X − 2)

X2 − 2 cos(2π5 )X + 1

+1/5(2 cos(4π

5 )X − 2)X2 − 2 cos(4π

5 )X + 1

VI. Division suivant les puissances croissantes

1) Description de l’algorithme :

Theoreme 196 Soient (A, B) ∈ K[X]2 tel que B(0) =/ 0 et n ∈ N ∪ −1.Il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X]2 tel que

A = BQ + Xn+1R et deg Q n

Definition 318 Avec les notations du theoreme precedent, Q (resp. Xn+1R )est le quotient (resp.le reste) de la division suivant les puissances croissantes de A par B a l’ordre n.

Remarque : Algorithme : on ecrit A = a + a′X + ..., B = b + b′X + .... On ecrit le quotient ab . On

calcule A − ab B = XA1.

On ecrit A1 = a1 + a′1X + .... On ecrit au quotient a1b X.

On calcule A1 − a1b B = X2A2.

On ecrit A2 = a2 + ....Exemple : A = 1 + X, B = 1 + X + X2, n = 3 : on obtient

(1 + X) = (1 + X + X2)(1 − X2 + X3) + X4(−X)

273

Donc Q = 1 − X2 + X3 et R = −X.Remarque : Si Q est le quotient de A par B a l’ordre n, et si p n, on peut ecrire :

Q = Q′ + Xp+1Q′′

Alors A = BQ′ + Xp+1BQ′′ + Xn+1R = BQ′ + Xp+1(Xn−pR + BQ′′) et Q′ est le quotient de Apar B a l’ordre p.

2) Application a la decomposition en elements simples :

Theoreme 197 Soit F ∈ K(X), α ∈ K. On suppose

F =A

(X − α)nBavec B(α) =/ 0

Si le quotient de la division suivant les puissance croissantes de A(X + α) par B(X + α) a l’ordren − 1 est a0 + a1X + . . . + an−1X

n−1, alors

a0

(X − α)n+

a1

(X − α)n−1+ . . . +

an−1

(X − α)

est la partie relative a α dans la decomposition en elements simples de F .

Exemple : K = R et F = 1(X−1)3(X2+1)

. Alors

F (X + 1) =1

X3(X2 + 2X + 2)

On a 1 = (2 + 2X + X2)(1/2 − 1/2X + 1/4X2) − 1/4X4. D’ou

F (X + 1) =1/2X3

− 1/2X2

+1/4X

− 1/4X

X2 + 2X + 2

D’ou

F =1/2

(X − 1)3− 1/2

(X − 1)2+

1/4X − 1

− 1/4(X − 1)X2 + 1


Partie FGeometrie

Chapitre 1

Courbes parametrees

Dans ce chapitre, I designe un intervalle d’interieur non vide, k ∈ N∗ ∪ ∞.

I. Introduction

• On considere un plan affine euclidien oriente P, rapporte a un ROND R = (O,−→i ,

−→j ). Ce

plan s’identifie a R2, chaque point M etant identifie au couple (x, y) de ses coordonnees dans le

repere. Il s’identifie aussi a C, le meme point M etant alors identifie au complexe x + iy.• Notons −→P l’ensemble des vecteurs de P.Si −→u = x

−→i + y

−→j , −→v = x′−→i + y′

−→j des vecteurs de −→P , le produit scalaire de −→u et −→v est

(−→u |−→v ) = xx′ + yy′ = (uv).

Pour cette expression, il est necessaire que R soit ON.• Sur l’ensemble des vecteurs −→v de P, on dispose d’une norme ‖−→v ‖ =

√

(−→v |−→v ), et d’unedistance : la distance de M a N est

d(M, N) = ‖−−→MN‖ =√

x2 + y2 = |n − m|,

lorsque −−→MN = x

−→i + y

−→j et m et n sont les affixes respectives de M et N . On a pour trois points

M , N et P et deux vecteurs −→u et −→v

d(M, P ) d(M, N) + d(N, P ), ‖−→u + −→v ‖ ‖−→u ‖ + ‖−→v ‖.

• L’angle oriente (−→u ,−→v ) entre deux vecteurs non nuls −→u et −→v s’identifiant aux complexes u

et v est l’argument dev

u.

(−→u |−→v ) = ‖−→u ‖.‖−→v ‖ cos(−→u ,−→v ).

L’angle oriente de (−−−→BAC) est l’argument deb − a

c − aou a, b, c sont les affixes respectives de A, B,

C.Derivation de t −→ −→u (t).−→v (t).• Le determinant de −→u = x

−→i + y

−→j et −→v = x′−→i + y′

−→j dans la base (−→i ,

−→j ) est la quantite

[−→u ,−→v ] = det(−→i ,

−→j )

(−→u ,−→v ) = xy′ − y′x.

277

278 CHAPITRE 1. COURBES PARAMETREES

Comme la base (−→i ;−→j ) est OND, on parle aussi du produit mixte. Discussion sur le signe duproduit mixte.

On a alors

−→u et −→v sont colineaires ⇐⇒ det(−→i ,

−→j )

(−→u ,−→v ) = 0.

Derivation de t −→ [−→u (t),−→v (t)].• Si M est un point et −→u un vecteur, M + −→u designe l’unique point N tel que −−→

MN = −→u .Lorsqu’on a choisi l’origine O, on identifie souvent M et le vecteur −−→

OM . Dans ces conditions,on peut faire des CL de points : si M et N sont deux points, λ, µ des reels, on notera λM + µNl’unique point P defini par

λM + µN = P = O + λ−−→OM + µ

−−→ON.

Coordonnees de P .Que represente

M + N

2? Demontrer que si λ+µ = 1, P ne depend pas de O : c’est le barycentre

de (M, λ), (N, µ).

II. Notion de courbes parametrees

1) Arcs parametres :

Definition 319 On dira qu’une fonction Φ : t ∈ I −→ M(t) = O + x(t)−→i + y(t)−→j ∈ P est declasse Ck si les fonctions t −→ x(t) et t −→ y(t) sont de classe Ck.

Le couple (I,Φ) est appele arc parametree (de classe Ck). On dit egalement que (I,Φ) est unecourbe parametree.

Le support de Φ est son image Γ = Φ(I).Pour 1 p k, e vecteur derive p-ieme de (I,Φ) en t est

−−−→dpM

dtp= x(k)(t)−→i + y(k)(t)−→j .

Remarque : Dans le langage de la cinematique, t est le temps, M(t) la position du mobile a l’instant

t, Γ la trajectoire,−−→dM

dtla vitesse,

−−−→d2M

dt2l’acceleration.

Exemple :1. La courbe representative de f : I −→ R correspond a l’arc x(t) = t et y(t) = f(t).2. Le cercle de centre (x0, y0) et de rayon R > 0 est parametre par x(t) = x0 + R cos t, y(t) =

y0 + R sin t.3. Cas d’une ellipse.

2) Representation polaire :

Definition 320 Pour θ reel, on considere le repere orthonorme (O,−→U (θ),−→V (θ) = (O,

−→U ,

−→V )

appele repere mobile.

Remarque : 1. Coordonnees cartesiennes2. −→V s’obtient par rotation d’angle +π/2 de −→

U . −→U s’identifie a eiθ et −→V a ieiθ et

−→dU

dθ= −→

V et−→dV

dθ= −−→

U .

279

Definition 321 Soit r : I −→ R de classe Ck. L’arc parametre t −→ M(t) = O + r(θ)−→U (θ) estl’arc donne par la representation polaire r = r(θ). Il est de classe Ck.

Remarque : 1. Passage en cartesiens, interet ?2. Tres souvent, θ = t et on ecrit θ −→ r(θ)

−−→U(θ).

Proposition 412 1. On a−−→dM

dt=

dr

dt

−→U + r

dθ

dt

−→V .

2. Lorsqu’on a un arc θ −→ M(θ) = O + r(θ)−→U (θ), on a−−→dM

dθ=

dr

dθ

−→U + r

−→V et

−−−→d2M

dθ2=

(d2r

dθ2− r

)

−→U + 2

dr

dθ

−→V .

3) Changement de parametre admissible :

Rappel : Condition suffiante pour que f : J −→ I soit un Ck diffeomorphisme.

Definition 322 Soit (I,Φ) un arc parametre Ck, ϕ : J −→ I un Ck-diffemorphisme.Alors l’arc (J,Φ ϕ) est un parametrage admissible de (I, Phi).

Remarque : • Deux parametrages admissibles ont le meme support.• (I,Φ) est un parametrage admissible de (J,Ψ) si Ψ = Φ ϕ.• Le caractere simple d’un arc ne change pas par changement de parametre admissible.

Exemple : Parametrage rationnel d’un cercle prive d’un point.

4) Points simples, points multiples :

Definition 323 Un point M(t0) d’un arc (I,Φ) est simple si t0 est l’unique reel t ∈ I tel queΦ(t) = M(t0). Dans le cas contraire, on parle de point multiple. La multiplicite est defini commele cardinal (au sens large) de t ∈ I, M(t) = M(t0).

Un arc dont tous les points sont simples est appele arc simple.

Remarque : Dans la pratique, pour reperer des points doubles, il suffit de resoudre

(S) x(t1) = x(t2), y(t1) = y(t2), t1 − t2 =/ 0.

En general les deux premieres equations peuvent se simplifier par t1 − t2. (S) etant symetrique,on peut introduire les quantites p = t1t2 et s = t1 + t2.Exemple : Point double de x(t) = t3

(t−1)(t+2) et y(t) = t2−2tt−1 (trouver t =

√2 et t = −

√2.

III. Etude locale d’un arc

1) Notion generale de tangente :

Definition 324 Soit (I,Φ) un arc de classe Ck, t0 ∈ I. On suppose M(t) distinct de M(t0) sur unvoisinage pointe de t0.

On dit que l’arc Φ admet en M(t0) une tangente D s’il existe une fonction λ defini sur unvoisinage pointe de t0 et −→τ un vecteur non nul tels que

limt→t0

λ(t)−−−−−−−→M(t0)M(t) = −→τ .

Le vecteur −→τ est unique a un facteur multiplicatif non nuls pres. La tangente en M(t0) est alorsM(t0) + R−→τ .


Dessin.

2) Tangente et vecteurs derives successifs :

Proposition 413 (Formule de Taylor-Young) Soit (I,Φ) un arc de classe Ck, t0 ∈ I. Il existeune fonction −→ε : I −→ −→P telle que

M(t0 + h) = M(t0) + h

−−→dM

dt(t0) +

h2

2!

−−−→d2M

dt2(t0) + · · · + hk

k!

−−−→dkM

dtk(t0) + hk−→ε (t),

ce qu’on peut noter

M(t0 + h) = M(t0) + h

−−→dM

dt(t0) +

h2

2!

−−−→d2M

dt2(t0) + · · · + hk

k!

−−−→dkM

dtk(t0) + o(hk).

Proposition 414 Lorsque qu’il existe un vecteur derive−−−→dkM

dtk(t0) non nul, si on note p le plus

petit des entiers k tels que−−−→dkM

dtk(t0) =/ 0, la tangente a l’arc en M(t0) est

TM(t0) = M(t0) + R

−−−→dpM

dtp(t0).

Definition 325 Lorsque p = 1, i.e.−−→dM

dt(t0) =/ 0, on dit que l’arc est regulier en t0. Dans le

cas contraire, le point est stationnaire. L’arc (I,Φ) est dit regulier si tous les points de l’arc sontreguliers.

Remarque : • Pour un point regulier, la tangente est dirige par le vecteur vitesse.• Pour un arc donne par θ −→ O + r(θ)−→U (θ), le seul point qui peut etre stationnaire est

l’origine.Remarque : Pente et angle des tangentes en un point regulier. Angle β en polaire.Remarque : Determination de l’equation de la tangente pour un point regulier :

• Cas de la courbe x −→ f(x) ;• Cartesien.• En polaire, dans le repere (O,

−→U ,

−→V ), on trouve

r(θ)X − r′(θ)Y − r(θ)2 = 0.

3) Determination de la tangente au point stationnaire :

Lorsqu’on est en presence de M(t0) point stationnaire x′(t0) = 0 = y′(t0), il y a trois possibilitespour determiner la tangente en M(t0) :

1. On recherche le premier vecteur derive successif non nul ;

2. On recherche l = limt→t0

y(t) − y(t0)x(t) − x(t0)

: cela donne la pente de la tangente.

3. On recherhce l = limt→t0

y′(t)x′(t)

: cela donne la pente de la tangente en vertu de la regle de

l’Hopital (x′(t) non nul sur un voisinage pointe de t0).

281

4) Classification des points d’un arc :

Soit (I,Φ) un arc parametre de classe Ck, t0 ∈ I.

Definition 326 1. Si l’arc tranverse toute droite passant par M0 sauf sa tangente en M0, on ditque M0 est un point ordinaire.

2. Si l’arc tranverse toute droite passant par M0, y compris sa tangente, on dit que M0 est unpoint d’inflexion.

3. Si l’arc ne tranverse aucune droite passant par M0 sauf sa tangente, on dit que M0 est unpoint de rebroussement de premiere espece.

4. Si l’arc ne tranverse aucune droite passant par M0, y compris sa tangente, on dit que M0 estun point de rebroussement de deuxieme espece.

On suppose dans toute la suite qu’il existe 1 i < k tel que−−→diM

dti(t0) =/ 0. On note p le plus

petit de ces entiers.On a alors

M(t0 + h) = M(t0) +hp

p!

−−−→dpM

dtp(t0) + o(hp) en 0.

On suppose de plus qu’il existe p < j k tel que−−−→dpM

dtp(t0) et

−−−→djM

dtj(t0) ne soient pas colineaires.

On note q le plus petit de ces entiers. Pour i ∈ [[p+1, q−1]], on peut ecrire1i!

−−→diM

dti(t0) = λi

−−−→dpM

dtp(t0)

et alors

M(t0 + h) = M(t0) +

hp

p!+

q−1∑

i=p+1

λihi

−−−→dpM

dtp(t0) +

hq

q!

−−−→dqM

dtq(t0) + o(hq).

On remarque que

(−−−→dpM

dtp(t0),

−−−→dqM

dtq(t0)

)

compose une base de −→P .

Definition 327 Les entiers p < q sont appeles les entiers caracteristiques de l’arc (I,Φ) en M(t0).

Remarque : : en general les entiers p et q existent.

On note −→e1 =1p!

−−−→dpM

dtp(t0) et −→e2 =

1q!

−−−→dqM

dtq(t0). (M(t0),−→e1 ,−→e2 ) est un repere. On ecrit

M(t) = M(t0) + X(t)−→e1 + Y (t)−→e2 .

Alors

X(t0 + h) ∼ hp et Y (t0 + h) ∼ hq.

Theoreme 198 On se retrouve dans l’un des quatre cas suivants :1. p impair, q pair : M0 est un point ordinaire.2. p impair, q impair : M0 est un point d’inflexion.3. p pair, q impair : e M0 est un point de rebroussement de premiere espece.4. p pair, q pair : M0 est un point de rebroussement de deuxieme espece.


Remarque : Les arcs en general sont de classe C∞. La plupart des points sont reguliers et memebireguliers : ce sont donc des points ordinaires.

Pour determiner les entiers caracteristiques p et q, on peut calculer les derivees successives oule plus souvent, on utilise des DL.Exemple : • Nature du point stationnaire de l’arc t −→ (3t − t3, 2t2 − t4).

• Nature du point de l’arc t −→ (ch t + kt3, sh t − t + t2/2) en 0.• Nature du point stationnaire de t −→ (et−1 − t, t3 − 3t).

5) Utilisation de la concavite :

Remarque : La quantite [−−→dM

dt(t0),

−−−→d2M

dt2(t0)] indique dans quel sens tourne la courbe.

Proposition 415 Si M(t0) est un point regulier, M(t0) est un point d’inflexion si et seulement siδ(t) s’annule et change de signe en t0.

Definition 328 En un point M(t0) biregulier, on appelle concavite de l’arc (I,Φ) en M(t0) ledemi-plan

M0 + R

−−→dM

dt(t0) + R

∗+

−−−→d2M

dt2(t0).

Remarque : Le demi-plan de concavite contient localement l’arc en t0.

IV. Comportement aux bornes du domaine

On considere un arc Φ : I −→ P avec I un intervalle et on suppose que ainR est une borne. Ons’interesse au comportement de la courbe lorsque t tend vers a

1) Point asymptote :

Si limx(t) = α et lim y(t) = β, on dira que M0 = (α, β) est un point asymptote de la courbe ena.

Si on prolonge l’arc par continuite, on peut etudier la tangente de la courbe en a.

2) Branches infinies :

On se donne un arc (I,Φ) de P et on note M(t) = (x(t), y(t)). Soit a une borne dans R de I.

Definition 329 On dit que l’arc presente une branche infinie en a si

limt→a

‖−−−−→OM(t)‖ = +∞.

Exemple : ca ne veut pas dire que x(t) ou y(t) tend vers l’un ou l’autre vers ±∞ (penser a laspirale) mais en general, c’est ce qui se passe.

Definition 330 On suppose qu’en a, l’arc admet une branche infinie. On dit que l’arc admet ena une direction asymptotique de pente l si

limt→a

y(t)x(t)

= l.

Remarque : si l est fini, on dit que y = lx est DA, si l = ±∞, on dit y = 0 est DA.

283

Definition 331 Soit C une courbe definie implicitement par g(x, y) = 0 avec g continue. On ditque Φ est asymptote a C si

limt→a

g(x(t), y(t)) = 0.

Definition 332 On dit que D est asymptote a l’arc en a lorsque

limt→a

d(M(t), D) = 0 ou encore limt→a

ax(t) + by(t) + c = 0.

Rappel : Soit D la droite d’equation ax + by + c = 0 avec (a, b) =/ (0, 0). La distance de M(x, y) aD est

d(M, D) =|ax + by + c|√

a2 + b2.

On voit dans ce cas la, que cela signifie que la distance de M(t) a D tend vers 0 en a.

3) Etude pratique :

On suppose ici que t −→ x(t) ou t −→ y(t) tend vers ±∞ en a.• Recherche de la direction asymptotique. On determine limt→a y(t)/x(t)=l.• Ensuite, si l n’est pas infini, on evalue la limite eventuelle β de y(t) − lx(t) en a. Si β est

reelle, il y a une asymptote y = lx + β. Si β = ±, on dit qu’il y a une branche parabolique (BP)dans la direction y = lx.

Si l = ±∞, on evalue = α limt→a x(t). Si α est reelle, alors x = α est une asymptote de lacourbe. Si α = ±∞, il y a une BP de pente infinie.Remarque : Avant le trace, on fait un DL de y(t) − lx(t) − β lorsque t tend vers a pour connaitrela position relative de l’arc par rapport a l’asymptote.Exemple : Etude des BI de Φ : t ∈ R

∗+ −→ (t/ ln t, t2/(t − 1)).

V. Courbes en coordonnees polaires

1) Courbes parametrees en polaires :

Definition 333 Si on se donne une fonction θ −→ r(θ), l’arc parametre θ −→ O + r(θ)−→U (θ) estl’arc correspondant a l’equation polaire r = r(θ).

Remarque : Interpreter r(θ + 2π) = r(θ), r(θ + π) = r(θ), r(−θ) = r(θ) et r(−θ) = −r(θ),r(θ + α) = r(θ).

2) Equations polaires de courbes usuelles :

• Droite : θ = α pour les droite passant par O.Sinon, r = a

cos(θ−α) .• Cercle de centre O : r = R

Cercle passant par O : r = a cos(θ − α).• Conique de foyer O : de directrice x = d, d’excentricite e > 0 est

r =ed

1 + e cos θou r =

ed

1 − e cos θ.


3) Etude d’une courbe parametree en polaire :

• Domaine de definition.• Reduction du domaine d’etude.• Signe de r(θ). Si r(θ) garde un signe constant dans [α, β], M(θ) reste dans un des deux secteurs

angulaires delimites par les droites θ = α et θ = β.En plus, on peut determiner les variations de r(θ). Lorsque r′(θ) = 0, il s’agit d’un point o ula

tangente est orthogonale a (OM(θ)).Tableau de signe de ρ avec tan β.

4) Tangente :

• Tangente en M(θ0) =/ O : Le point est regulier. Si β = (−→U ,

−−→dM

dt(θ0)), on a

tanβ =r

r′.

Si α = (−→i ,

−−→dM

dt(θ0)), α = β + θ.

• Tangente en O :

Theoreme 199 On suppose que M(θ0) = O. On suppose de plus que ρ(θ) ne s’annule pas pourθ =/ θ0 voisin de θ0. Alors la courbe admet une tangente en M(θ0) = O porte par la droite θ = θ0.

De plus, si ρ change de signe en θ0, M(θ0) = O est un point ordinaire. Sinon, lorsque ρ gardeun signe constant en θ0, M(θ0) = O est un point de rebroussement de premiere espece.

Exemple : Trace de r(θ) = sin(3θ) (trifolium)Exemple : Trace de la cardioıde : r = K(1 + cos θ).

5) Concavite :

En O = M(θ0), le signe de r(θ) au voisinage de θ0 donne l’allure de la courbe.Pour voir dans quel sens tourne la courbe, on evalue le signe

[−−→dM

dθ,

−−−→d2M

dθ2] = r2 + 2r′2 − rr′′ = r3(q + q′′)

en posant q = 1/r.

Corollaire 107 Si ρ(θ0) =/ 0, tout point de changement de signe de δ(θ) est un point d’inflexion.

Exemple : Ellipse

6) Branches infinies (hors programme) :

• Branches spirales : lorsque limθ→+∞ r(θ) = +∞.Exemple : spirale d’archimede r = aθ avec a > 0.

• Cercle ou point asymptote : lorsque limθ→+∞ r(θ) = b ∈ R.

Exemple : r =eθ

1 + eθ.

• Direction asymptotique : Dans le cas ou limθ→θ0 r(θ) = ±∞, il y a DA dans la direction de−→U (θ0).

285

• Asymptote ou BP : Si −→U (θ0) est DA, on evalue la limite de r(θ) sin(θ − θ0) (eventuellementon fait un DL pour la position par rapport a l’asymptote) : c’est la composante Y (θ) dans le reperede (−→U (θ0),

−→V (θ0)).

Exemple : r = 1 + tan θ/2

VI. Conclusion

1) Plan d’etude d’une corbe parametree par x = x(t) et y = y(t) :

1. Domaine de definition de x et y. Domaine de regularite.2. Reduction du domaine d’etude (periodicite, parite...).3. Variations de x et y par le signe de x′ et y′ le plus souvent. Tableau de variations.4. Etude des branches infinies : DA, puis BP ou asymptote, position relative par rapport a

l’asymptote.5. Etude des points stationnaires : on repere les reels t0 tels que x′(t0) = y′(t0) = 0. Type du

point en question.6. Trace. Si le trace suggere des points doubles, ou des symetries, on les justifie a posteriori.7. Complements eventuels : concavite...

2) Plan detude d’une courbe definie en polaire par r = r(θ) :

1. Domaine de definition de r(θ).2. Reduction du domaine d’etude (periodicite, antiperiode, parite...).3. Signe de r(θ), point d’annulation de r(θ). Dresser un tableau de signe.4. Etude de la courbe en M(θ0) = O eventuellement.5. Branche infinie : DA...6. Trace : points ou la tangente est orthogonale a (OM), tangente en l’origine eventuellement,

points d’intersection avec les axes. Veiller a l’application du principe du secteur angulaire. Si letrace suggere des points doubles, ou des symetries, on les justifie a posteriori.

7. Complements eventuels : concavite...


Chapitre 2

Espaces euclidiens

I. Produit scalaire

1) Generalites :

Definition 334 Soit E un R-espace vectotiel, ϕ : (x, y) ∈ E × E −→ (x|y) ∈ R. ϕ est un produitscalaire si :

1. ϕ est bilineaire ;2. ϕ est symetrique : pour tout (x, y) ∈ E2, (x|y) = (y|x).3. ϕ est definie positive : pour tout x ∈ E, (x|x) 0 et si x =/ 0, (x|x) > 0.Un espace euclidien est un R-espace vectoriel de dimension finie muni d’un produit scalaire.

Remarque : (|) est un produit scalaire si :1. Pour tout (x, y, y′) ∈ E3, (x|y + y′) = (x|y) + (x|y′).2. Pour tout (x, y) ∈ E2, λ ∈ R, (x|λy) = λ(x|y).3. Pour tout (x, y) ∈ E2, (x|y) = (y|x).4. Pour tout x ∈ E, x =/ 0, (x|x) > 0.

Remarque : On a :

∑

i∈I

λixi|∑

j∈J

µjyj

=∑

i∈I,j∈J

λiµj(xi|yj)

Remarque : Restriction d’un produit scalaire a un sous-espace vectoriel.

2) Exemples de produits scalaires :

• Produit scalaire canonique sur Rn : Si x =

x1

x2...

xn

∈ Rn et y =

y1

y2...

yn

∈ Rn, on definit le

produit scalaire cononique par :

(x|y) =n∑

i=1

xiyi = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn

Rn muni de ce produit scalaire canonique est dit muni de sa structure euclidienne canonique.

288 CHAPITRE 2. ESPACES EUCLIDIENS

• Soit E = C([a, b], R). La forme

(f, g) −→ (f |g) =∫ b

afg

definit un produit scalaire sur E.• Soit p : [a, b] −→ R

∗+ (p est appele poids) continue etE = C([a, b], R). La forme

(f, g) −→ (f |g) =∫ b

af(x)g(x)p(x)dx

definit un produit scalaire sur E.• Soit E = R[X]. La forme

(P, Q) −→ (P |Q) =∫ 1

−1P (x)Q(x)dx

definit un produit scalaire sur E.

3) Norme euclidienne :

Definition 335 Soit E un R-espace vectoriel.‖ ‖ : E −→ R+ est une norme si1. Pour tout x ∈ E, ‖x‖ = 0 si et seulement si x = 0.2. Pour tout x ∈ E et tout λ ∈ R, ‖λx‖ = |λ|‖x‖.3. Pour tout (x, y) ∈ E2, ‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖ (inegalite triangulaire).

Exemple : | | sur R ou C.Remarque : Les normes servent a estimer des distances. Nous en avons vu quelques exemples deja.Nous allons nous interesser a celles qui derive d’un produit scalaire.

Theoreme 200 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Soit E un R-espace muni d’un produitscalaire. Pour tout (x, y) ∈ E2 :

(x|y)2 (x|x)(y|y)

et il y a egalite si et seulement si x et y sont lies.

Application : • Soient (x1, . . . , xn) ∈ Rn et (y1, . . . , yn) ∈ R

n. On a :

(n∑

i=1

xiyi

)2

(

n∑

i=1

x2i

) (n∑

i=1

y2i

)

• Soient f, g : [a, b] −→ R continue. On a :

(∫ b

afg

)2

(∫ b

af2

) (∫ b

ag2

)

Definition 336 Soit E un R-espace muni d’un produit scalaire.On appelle norme euclidienne de E l’application ‖ ‖ : x ∈ E −→

√

(x|x) ∈ R+.

Remarque : Si (x, y) ∈ E2, |(x|y)| ‖x‖‖y‖.

289

Theoreme 201 Soit E un R-espace muni d’un produit scalaire. La norme euclidienne de E estune norme. En particulier :

1. Pour tout x ∈ E, ‖x‖ = 0 si et seulement si x = 0.2. Pour tout x ∈ E et tout λ ∈ K, ‖λx‖ = |λ|‖x‖.3. Pour tout (x, y) ∈ E2, ‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖ (inegalite de Minkowski).

Application : • Soient (x1, . . . , xn) ∈ Rn et (y1, . . . , yn) ∈ R

n. On a :√√√√(

n∑

i=1

(xi + yi)2

√√√√

n∑

i=1

x2i +

√√√√

n∑

i=1

y2i

• Soient f, g : [a, b] −→ R continue. On a :√

∫ b

a(f + g)2

√∫ b

af2 +

√∫ b

ag2

Proposition 416 Soient E un R espace muni d’un produit scalaire, (x, y) ∈ E. Alors :

(x|y) =12(‖x + y‖2 − ‖x‖2 − ‖y‖2)

(x|y) =12(‖x‖2 + ‖y‖2 − ‖x − y‖2)

(x|y) =14(‖x + y‖2 − ‖x − y‖2)

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)

La derniere relation est connue sous identite du parallelogramme.

Probleme : Soit E un R-espace vectoriel muni d’un norme ‖ ‖. A quelle condition cette normederive telle d’un produit scalaire ?

4) Angles non orientes :

Definition 337 Soient E un R-espace muni d’un produit scalaire, x et y deux vecteurs non nulsde E. L’angle non oriente de x et y est

x, y = arccos(

(x|y)‖x‖‖y‖

)

∈ [0, π]

ce qui est justifie d’apres l’inegalite de Cauchy-Schwarz.

Remarque : • Si θ est l’angle non oriente de x et y :

(x|y) = ‖x‖‖y‖ cos θ

• λx, µy = x, y si λµ > 0 et π − x, y si λµ < 0.Remarque : x et y sont colineaires de meme sens si et seulement si x, y = 0. x et y sont colineairesde sens contraire si et seulement si x, y = π.


5) Forme lineaire et produit scalaire :

Theoreme 202 Soit E un espace euclidien. Pour tout x ∈ E, on note x∗ l’element de E∗ definipar

x∗ : y ∈ E −→ (x|y) ∈ R

Alors, pour tout u ∈ E∗, il existe un unique x ∈ E tel que u = x∗ i.e. :

(∀y ∈ E) (u(y) = (x|y))

Exercice : Montrer que l’application x −→ x∗ est un isomorphisme du R-espace vectoriel E sur leR-espace vectoriel E∗.Exemple : Dans R

3 muni de sa s.e.c, le vecteur est associe la forme lineaire

l : (x, y, z) −→ 4x − 2y + 3z est (4,−2, 3)

II. Orthogonalite

1) Proprietes elementaires :

Definition 338 Soit E un R-espace muni d’un produit scalaire.x et y dans E sont dits orthogonaux si (x|y) = 0, et on note alors x⊥y. Deux parties A et B de

E sont dites orthogonales si pour tout (x, y) ∈ A×B, (x|y) = 0 et on note alors A⊥B. Si A ⊂ E,on appelle orthogonal de A la partie :

A⊥ = x ∈ E, ∀a ∈ A, (x|a) = 0

Exemple : 0 est orthogonal a tout vecteur. E⊥ = 0.Remarque : x et y (non nuls) sont orthogonaux si et seulement si x, y = π/2.

Proposition 417 (Theoreme de Pythagore) Soit E un espace muni d’un produit scalaire,(x, y) ∈ E2. x et y sont orthogonaux si et seulement si :

‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2

Remarque : Si les xi sont orthogonaux deux a deux

‖n∑

i=1

λixi‖2 =n∑

i=1

λ2i ‖xi‖2

Proposition 418 Soit E un espace muni d’un produit scalaire, A ⊂ E.1. Si A ⊂ B, alors B⊥ ⊂ A⊥.2. Soit (Ai)i∈I une famille de parties de E. On a :

(⋃

i∈I

Ai

)⊥

=⋂

i∈I

A⊥i

3. A ⊂ A⊥⊥.4. A⊥ est un sous-espace de E.5. Soit F = Vect A, alors A⊥ = F⊥.

291

Remarque : Soit (Fi)i∈I une famille de s.e.v. de E.

(∑

i∈I

Fi)⊥ =⋂

i∈I

F⊥i

(F + G)⊥ = F⊥ ∩ G⊥

Proposition 419 1. Soit (Ei)i∈I une famille de s.e.v de E orthogonaux deux a deux. Alors lasomme des Ei est directe.

2. Soit (ei)i∈I une famille de E d’elements deux a deux orthogonaux et tous non nuls. Alors(ei)i∈I est libre.

2) Orthogonal d’un sous-espace en dimension finie :

En general, si E est un R-espace muni d’un produit scalaire, F un sous-espace, on a : F ∩F⊥ =0.Theoreme 203 Soit E un espace euclidien, F un sous-espace de E. Alors :

1. F ⊕ F⊥ = E ;2. F⊥⊥ = F .

Remarque : En dimension finie :

(⋂

i∈I

Fi)⊥ =∑

i∈I

Fi⊥

Definition 339 Soient E un espace euclidien, F un sous-espace et λ ∈ R.1. L’affinite orthogonale par rapport a F de rapport λ est l’affinite par rapport a F , parallelement

a F⊥ de rapport λ :

x∈F + y∈F⊥ −→ x + λy

2. La symetrie orthogonale par rapport a F est la symetrie par rapport a F parallelement aF⊥ :

x∈F + y∈F⊥ −→ x − y

3. La projection orthogonale sur F est la projection sur F parallelement a F⊥ :

x∈F + y∈F⊥ −→ x

4. Une reflexion est une symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan de E.

3) Bases orthonormales :

Definition 340 Soient E un R-espace muni d’un produit scalaire,(ei)i∈I une famille de E. On ditque les ei constituent un systeme orthonormal si pour tout (i, j) ∈ I2, on a :

(ei|ej) = δij

Si de plus, E est un espace euclidien, (ei)i∈I une base de E, on dit que (ei)i∈I est une base or-thonormale de E.


Remarque : Une famille orthonormale est libre donc finie.

Proposition 420 Soit E un espace euclidien, (e1, . . . , en) une base orthonormale de E, x =∑n

i=1 xiei et y =∑n

i=1 yiei. On a

x =n∑

i=1

(x|ei)ei, (x|y) =∑

i∈I

xiyi et ‖x‖2 =∑

i∈I

x2i

Remarque : x −→ (x|ei) est la forme lineaire qui a x associe sa i-eme coordonnees dans cette base.Exemple : La base canonique de R

n est orthonormale pour le produit scalaire canonique. Inverse-ment, a toute base de E, on peut associer un produit scalaire qui rend cette base orthonormale.

Theoreme 204 Dans tout espace euclidien E, il existe des bases orthonormales.Plus precisement, si (e1, e2, . . . , ep) est un systeme orthonormal de E, il existe (ep+1, . . . , en)

dans E tels que (e1, e2, . . . , en) soit une base orthonormale de E.

Remarque : Soit E un espace euclidien, B = (e1, . . . , en) une base orthonormale de E, u ∈ L(E).On note A = MatB(u) = (aij)1i,jn. Alors pour tout 1 i, j n :

aij = (u(ej)|ei)

III. Projecteurs orthogonaux

1) Proprietes des projecteurs orthogonaux :

Rappel : definition d’un projecteur orthogonal.

Proposition 421 Soient E un espace euclidien, p ∈ L(E).Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) p est un projecteur orthogonal.(ii) p p = p et pour tout (x, y) ∈ E2, (p(x)|y) = (x|p(y)).

Corollaire 108 Soient E un espace euclidien, (B) une base orthonormale de E, p ∈ L(E), A =MatB(p).

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) p est un projecteur orthogonal.(ii) A2 = A et tA = A (A est symetrique).

2) Probleme de minimum et projection :

Soit E un R-espace muni d’un produit scalaire.

Proposition 422 L’orthogonal de F , sous-espace de dimension finie de E est un supplementairede F :

F ⊕ F⊥ = E

Si A ⊂ E, A =/ ∅ et x ∈ E, on pose

d(x, A) = infa∈A

‖x − a‖

Cet ”inf” est-il atteint ? et si oui, par quels elements ? En general, ce probleme est difficile (avec lanorme infinie par exemple). Si A = F est un s.e.v les choses se passent bien : l’inf est atteint en ununique point qui est le projete orthogonal de x sur F .

293

Theoreme 205 Soient F un sous-espace de E, (e1, e2, . . . , ep) une base orthonormale de F , x ∈ E.La distance entre x et F est atteinte en xF , le projete orthogonal de x sur F . On a :

xF =p

∑

i=1

(x|ei)ei

et∑n

i=1(x|ei)2 ‖x‖2.

3) Orthonormalisation au sens de Gram-Schmidt :

Theoreme 206 Soient E un R-espace muni d’un produit scalaire, (a1, . . . , an) un systeme librede E. Il existe un unique systeme (e1, . . . , en) de E tel que :

1. (e1, . . . , en) est un systeme orthonormal de E ;2. Pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, on a :

Vect(e1, e2, . . . , ei) = Vect(a1, a2, . . . , ai)

3. Pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, (ai|ei) > 0.Le systeme (e1, . . . , en) constitue l’orthonormalise de Gram-Schmidt de (a1, . . . , an).

Exemple : Orthonormalisation d’une base de R3.

Remarque : Si (a1, . . . , an) est une base de E, il existe une unique base (e1, . . . , en) orthonormaletelle que la matrice de passage de (a1, . . . , an) a (e1, . . . , en) soit triangulaire superieure avec tousles elements diagonaux strictement positifs.Exemple : approximation d’une fonction continue par des polynomes dans L2([a, b]) : soit (Qn)n∈N

l’orthonormalis de (Xn)n∈N dans E = C([a, b], R) muni de (f |g) =∫ ba fg. Alors,

‖f‖2 =+∞∑

n=0

(Qn|f)2.


Chapitre 3

Groupe orthogonal

Dans ce chapitre, E, F et G designerons des espaces euclidiens de dimension finie.

I. Isomorphisme orthogonal

1) Generalites :

Proposition 423 Soit u : E −→ E lineaire. Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) Pour tout (x, y) ∈ E2, (u(x)|u(y)) = (x|y).(ii) Pour tout x ∈ E, ‖u(x)‖ = ‖x‖.

Remarque : Dans ces conditions, u est injective et dim E = dimF .

Definition 341 Tout application lineaire bijective de E dans F conservant la norme (ou, ce quiest equivalent, le produit scalaire) est appele isomorphisme orthogonal. On note O(E) l’ensembledes isomorphismes orthogonaux de E.

Remarque : • IE ∈ O(E).• Si u ∈ O(E), les seules valeurs propres de u ne peuvent etre que 1 et −1.• Un isomorphisme orthogonal conserve les angles non orientes.

Proposition 424 Soient u, v ∈ O(E). Alors :1. IE ∈ O(E).2. v u ∈ O(E).3. u−1 ∈ O(E).

Remarque : O(E) est donc un sous-groupe de GL(E) appele groupe orthogonal de E. Si E = R,O(E) = ±IE.Exemple : Les symetries orthogonales, et en particulier les reflexions sont des isomorphismes or-thogonaux. Reciproquement, une symetrie qui est un endomorphisme orthogonal est une symetrieorthogonale.

2) Transformation des bases orthonormales :

Proposition 425 Soient u : E −→ E lineaire, (e1, e2, . . . , en) base orthonormale de E. Les deuxconditions suivantes sont equivalentes :

(i) u ∈ O(E).(ii) (u(e1), . . . , u(en)) est une base orthonormale de E.

Proposition 426 Soient u ∈ O(E), E′ un sous-espace stable par u. Alors E′⊥ est aussi stable paru.

296 CHAPITRE 3. GROUPE ORTHOGONAL

3) Exemple des reflexions et des retournements :

Les reflexions sont des isomorphismes orthogonaux. Voici un autre exemple :

Definition 342 Si dimE 2, on appelle retournement toute symetrie orthogonale par rapport aun sous-espace de dimension dimE − 2.

Proposition 427 Soit (x, y) ∈ E2 tel que ‖x‖ = ‖y‖, x =/ y. Il existe une unique reflexion u telque u(x) = y et u(y) = x.

II. Matrices orthogonales

1) Generalites :

Definition 343 Soit A ∈ Mn(R). On dit que A est orthogonale si les colonnes de A formentune base orthonormale de R

n (pour le produit scalaire canonique). On note O(n) l’ensemble desmatrices orthogonales de Mn(R).

Exemple : In ∈ O(n).

Theoreme 207 Soit A ∈ Mn(R). On a :

A ∈ O(n) ⇐⇒t AA = In ⇐⇒ AtA = In

O(n) est un sous-groupe de GLn(R) appele groupe orthogonal d’ordre n .

Remarque : • Si A est orthogonale, A−1 =t A.• Soit A ∈ Mn(R). On a :

A ∈ O(n) ⇐⇒t A ∈ O(n)

En particulier, dire que A est orthogonale revient a dire que les lignes de A forment une baseorthonormale de R

n.• Si A ∈ O(n), detA = ±1.

Proposition 428 Soient B une base orthonormale de E, B′ une autre base, P la matrice de passagede B a B′.

Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) P ∈ O(n).(ii) B′ est orthonormee.

2) Lien avec les isomorphismes orthogonaux :

Proposition 429 On suppose dimE = n et E rapporte a la base orthonormale B. Soit u : E −→ Elineaire et A la matrice de u dans la base B. Alors les deux propositions suivantes sont equivalentes :

(i) u ∈ O(E).(ii) A ∈ O(n).

Corollaire 109 Soient u ∈ L(E), B une base orthonormale de E, A la matrice de u dans B. Alorsu est un isomorphisme orthogonal si, et seulement si, A ∈ O(n).

Remarque : • En choisissant une BON de E, on etablit que O(E) est isomorphe a O(n) en tantque groupes (n = dimE).

• Si A ∈ O(n), Sp(A) ⊂ −1, 1.

297

III. Produit mixte

1) Orientation d’un espace vectoriel reel :

Definition 344 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie non reduit a 0. Deux bases Bet B′ de E sont dites de meme signe si le determinant de la matrice de passage de B a B′ eststrictement positif.

Remarque : Si deux bases ne sont pas de meme signe, on dit qu’elles sont de signes contraires.

Proposition 430 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie non reduit a 0. La relation”avoir le meme signe” est une relation d’equivalence sur l’ensemble des bases de E.

De plus, il y a exactement deux classes d’equivalences.

Remarque : Si dimE = 1, e =/ 0, la base (e) est de signe contraire avec la base (−e).Remarque : Soit C une base de E. Les bases B et B′ sont de meme signe si et seulement sidetC B.detC B′ > 0.

Definition 345 Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie non reduit a 0.Munir E d’une orientation, c’est choisir une base positive B et toute base de E de meme signe

que B sera dite egalement positive. Toute base de E de signe contraire a celui de B est dite negative.Dans ces conditions, E est dit oriente.

Exemple : Rn est muni d’une orientation canonique : celle pour laquelle la base canonique est

positive. Dans ces conditions, (C1, . . . , Cn) est une base positive de Rn si det(C1, . . . , Cn) > 0.

Proposition 431 Soient E un R-espace vectoriel oriente, D une droite de E oriente (on a choisiun vecteur e ”positif”), H un hyperplan supplementaire de D.

Alors, il existe une unique orientation de H telle que si (e2, . . . , en) est une base positive de H,(e, e2, . . . , en) est positive. C’est l’orientation de H induite par l’orientation de D.

Exemple : en dimension 2 ou 3. Si E est un espace euclidien oriente, D une droite de E, on a doncsur l’hyperplan une orientation induite par celle de D. Exemple en dimension 2 ou 3.

2) Construction du produit mixte :

remarque Soit C et C′ deux bases orthonormales de E, espace euclidien, P la matrice de passagede C a C′. On a det P = 1 si C et C′ sont de meme signe et det P = −1 si elles sont de signescontraires.

Definition 346 Soit E un espace euclidien oriente de dimension finie n, C une base orthonormalepositive.

On appelle produit mixte la fonction multilineaire alternee de E definie par

(x1, x2, . . . , xn) ∈ E −→ [x1, x2, . . . , xn] = detC

(x1, x2, . . . , xn)

Proposition 432 Avec les notations de la definition precedente, le produit mixte est independantde la base orthonormale positive. Si B = (x1, . . . , xn) est une base orthonormale positive (resp.negative), [x1, . . . xn] = 1 (resp. −1).

Exemple : Si Rn est muni de sa structure canonique d’espace euclidien oriente et (C1, . . . , Cn) ∈

(Rn)n :

[C1, . . . , Cn] = det(C1, . . . , Cn)


Remarque : (x1, x2, . . . , xn) −→ [x1, x2, . . . , xn] est une forme n-lineaire alternee. Par consequent :

[λx1, x2, . . . , xn] = λ[x1, x2, . . . , xn]

[x1 + y1, x2, . . . , xn] = [x1, x2, . . . , xn] + [y1, x2, . . . , xn]

[xσ(1), xσ(2), . . . , xσ(n)] = ε(σ)[x1, x2, . . . , xn]

[x1, x2, . . . , xn] = 0 ⇐⇒ (x1, x2, . . . , xn) lies

Si A est la matrice des vecteurs (y1, y2, . . . , yn) dans une base (x1, x2, . . . , xn), on a :

[y1, y2, . . . , yn] = detA[x1, x2, . . . , xn]

Si (x1, x2, . . . , xn) est une base orthonormale positive (resp. negative), [x1, x2, . . . , xn] = 1 (resp.−1). Si on change l’orientation de E, le produit mixte est change en son oppose.

3) Identite de Gram :

Theoreme 208 (Identite de Gram) Soit E un espace euclidien oriente de dimension finie n.Pour tout (x1, x2, . . . , xn) ∈ En et (y1, y2, . . . , yn) ∈ En, si on note P = ((xi|yj))1i,jn :

det P = [x1, x2, . . . , xn][y1, y2, . . . , yn]

Theoreme 209 Soient E un espace euclidien, (x1, x2, . . . , xp) ∈ Ep. Alors

det((xi|xj))1i,jp 0

et ce determinant est nul si et seulement si les xi sont lies.

Definition 347 Soient E un espace euclidien, (x1, x2, . . . , xp) ∈ Ep. On appelle Gram de(x1, x2, . . . , xp) le scalaire :

G(x1, x2, . . . , xp) =√

det(xi|xj)1i,jp

Si les xi sont lies, G(x1, x2, . . . , xp) = 0. Sinon, si F = Vect(x1, x2, . . . , xp), et si l’on oriente Fde maniere arbitraire, on a :

G(x1, x2, . . . , xp) = |[x1, x2, . . . , xp]|

Proposition 433 Soient E un espace euclidien, x et y non nuls. Alors :

G(x, y) = ‖x‖‖y‖ sin x, y

Exemple : Soit R2 muni de sa structure canonique d’espace euclidien oriente :

|[x, y]| = ‖x‖‖y‖ sin x, y

Remarque : • Si les xi sont deux a deux orthogonaux :

G(x1, x2, . . . , xp) = ‖x1‖‖x2‖ . . . ‖xp‖

• Si x1,x2, . . . , xp sont orthogonaux a tous les xp+1,. . . , xp+q, on a

G(x1, x2, . . . , xp, xp+1, . . . , xp+q) = G(x1, x2, . . . , xp)G(xp+1, . . . , xp+q)

Remarque : Interpretation geometrique du Gram.

299

4) Rotations et antirotations :

Proposition 434 Si u ∈ O(E), detu = ±1.

Definition 348 Une rotation de E (resp. antirotation) est un morphisme orthogonal de E dedeterminant 1 (resp. −1).

Remarque : Composition des rotations, antirotations, inverse, cas de l’identite.

Definition 349 SO(E), l’ensemble des rotations de E est appele groupe special orthogonal de E.

Exemple : Soient F un sous-espace de E, s la symetrie orthogonale par rapport a F . s est unerotation (resp. antirotation) si dimE − dimF est paire (resp. impaire). dem

En particulier, les reflexions sont des antirotations. Les retournements sont des rotations.−IE est une rotation si dimE paire, et une antirotation si dimE est impaire.

Proposition 435 On suppose que E est oriente, que u ∈ O(E). Si u est une rotation (resp.antirotation), u conserve le produit mixte (resp. le change en son oppose).

Remarque : Autrement dit, siε = detu, n = dimE, alors pour tout (x1, . . . , xn) ∈ En, on a :

[u(x1), u(x2), . . . , u(xn)] = ε[x1, . . . , xn]

5) Matrices orthogonales positives :

Definition 350 Soit A ∈ O(n). A est dite positive si detA = 1 et negative si det A = −1. SO(n),l’ensemble des matrices orthogonales positives de taille n, est un sous-groupe de O(n) appele groupespecial orthogonal d’ordre n.

Remarque : • Soient B une base orthonormale positive de E, B′ une autre base, P la matrice depassage de B a B′.

P ∈ SO(n) signifie que B′ est une base orthonormale positive.• Soit B une base orthonormale de E, u ∈ L(E), A la matrice de u dans la base B. Alors

A ∈ SO(n) ⇐⇒ u ∈ SO(E)

et meme :

SO(n) SO(E)

IV. Groupe orthogonal d’un plan euclidien

Soit P un plan euclidien, par exemple R2 muni de son produit scalaire canonique. Il s’agit de

decrire quels sont les isomorphismes orthogonaux de P .

1) Description de SO(2) :

Theoreme 210 On considere

R −→ SO(2)

ϕ : θ −→ A(θ) =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

ϕ est un morphisme du groupe (R,+) sur le groupe SO(2) dont le noyau est 2πZ.

Remarque : • SO(2) R/2πZ.• χA(θ) = X2 − 2 cos θX + 1 = (X − eiθ)(X − e−iθ).• A(0) = I2 et A(π) = −I2.


2) Rotation d’angle θ dans le plan euclidien oriente :

Dans tout ce sous-paragraphe, on supposera P oriente.

Definition 351 On suppose que P est muni d’une orientation. Soit (i, j) une base orthonormaledirecte de P , θ ∈ R. On appelle rotation d’angle θ l’element rθ de L(E) dont la matrice dans (i, j)est :

A(θ) =(


)

A priori, cette definition depend de la base orthonormale positive (i, j) choisie. En fait :

Proposition 436 Soit rθ construit dans la definition precedente. Pour toute base orthonormeepositive (i′, j′), la matrice de rθ dans (i′, j′) est :

A(θ) =(


)

De plus, rθ est un isomorphisme orthogonal positif : rθ ∈ SO(P ).

Il existe donc, pour un plan euclidien oriente, qu’une seule rotation d’angle θ.Remarque : Interpretation geometrique.Remarque : • rθ = rθ′ si et seulement si θ ≡ θ′ (mod 2π).

• On a :

rθ rθ′ = rθ′ rθ = rθ+θ′ et (rθ)−1 = r−θ

Theoreme 211 On suppose P oriente. Soit u ∈ SO(P ). Alors, il existe θ ∈ R tel que u soit larotation d’angle θ de P .

Remarque : Si on change l’orientation de P , u devient la rotation d’angle −θ.Exemple : La rotation d’angle 0 est l’identite et celle d’angle π, −IP (symetrie par rapport a 0).Description de rπ

2.

3) Symetries orthogonale par rapport a une droite :

Soit D une droite de P , notons sD la symetrie orthogonale par rapport a D. Descriptiongeometrique. sD est une reflexion, donc un isomorphisme orthogonal negatif i.e. une antirotation.

Theoreme 212 Toute antirotation de P est une reflexion.

Si u est un reflexion, u est la symetrie orthogonale par rapport a ker(u − IP ).Conclusion : Si u ∈ O(P ), u est soit une rotation (d’angle un certain θ si P est muni d’uneorientation), soit une symetrie orthogonale par rapport a une droite.

4) Identification d’un plan euclidien avec C :

Soit (e, ε) une BON de P . On peut identifier P a C en identifiant xe+yε avec x+iy ((x, y) ∈ R2).

La norme de P s’identifie au module.Supposons P identifie a C. Alors les elements de O(P ) sont les applications de la forme z ∈

C −→ az ou z ∈ C −→ az avec a ∈ C, |a| = 1. De facon plus precise :• Si E est oriente, (1, i) positive, la rotation d’angle θ est z −→ eiθz ;• La symetrie othogonale sθ par rapport a la droite Reiθ est z −→ e2iθz. Sa matrice dans la

base (1, i) est

301

(cos 2θ sin 2θsin 2θ − cos 2θ

)

Exercice : sθ rθ′ ? sθ sθ′ ? rθ′ sθ ?

Theoreme 213 Tout element de O(P ) est produit d’au plus deux reflexions.

Remarque : Construction graphique

5) Angles orientes :

Proposition 437 Soit P un plan euclidien, (x, y) ∈ P 2 unitaires.Il existe un unique u ∈ SO(P ) tel que u(x) = y.

Definition 352 Soit P un plan euclidien oriente, x et y deux vecteurs non nuls de P .Alors il existe θ ∈ R, unique modulo 2πZ, tel que

rθ

(x

‖x‖

)

=y

‖y‖L’angle oriente de x et y, note −→x, y est la classe de θ modulo 2πZ ou par abus de langage θ.

Remarque : • Soient λ et µ dans K∗. On a modulo 2π, −−−→λx, µy = −→x, y si λµ > 0 et −−−→λx, µy = −→x, y + πsi λµ < 0.

• Si on change l’orientation de P , l’angle oriente de x et y est change en son oppose.• Si on identifie P a C, −→x, y = arg y

x .

Proposition 438 Soit P un plan euclidien oriente, x, y et z trois vecteurs non nuls de P . Modulo2πZ :

1. −→x, x = 0 ;2. −→x, z = −→x, y + −→y, z ;3. −→x, y = −−→y, x.

6) Expression du produit scalaire et du produit mixte a l’aide des anglesorientes :

Proposition 439 Soient P un plan euclidien oriente, x et y deux vecteurs non nuls de P , θ = −→x, y.Alors :

(x|y) = ‖x‖‖y‖ cos θ et [x, y] = ‖x‖‖y‖ sin θ

Remarque : |−→x, y| = x, y.Remarque : A quelle condition a t-on colinearite de meme sens, de sens contraires, (x, y) orthogo-naux, (x, y) base positive, (x, y) base negative ?

Corollaire 110 Soient P un plan euclidien oriente, u ∈ O(P ), ε = detu, x et y non nuls dans P .Alors, modulo 2πZ :

−−−−−−→u(x), u(y) = ε−→x, y

V. Groupe orthogonal d’un espace euclidien de dimension 3 :

Dans ce paragraphe, E designe un espace euclidien de dimension 3. On veut, la encore, decrireO(E).


1) Expression du produit vectoriel :

Definition 353 Soient E un espace euclidien oriente de dimension 3, (x, y) ∈ E2.Alors, z ∈ E −→ [x, y, z] est une forme lineaire de E qui s’identifie a un vecteur x ∧ y appele

produit vectoriel de x et y. x ∧ y est l’unique vecteur t ∈ E tel que

(∀z ∈ E)( (t|z) = [x, y, z] )

Remarque : Si on change l’orientation de E, le produit vectoriel est change en son oppose.

Proposition 440 Soient E un espace euclidien oriente de dimension 3, (x, y) ∈ E2, (i, j, k) une

base orthonormale positive. On note

abc

(resp.

αβγ

) la colonne de x (resp. y) dans cette

base. Alors la colonne de x ∧ y dans (i, j, k) est

bγ − cβcα − aγaβ − bα

Exemple : Cas de R3 muni de sa structure euclidienne canonique et de son orientation canonique.

2) Proprietes du produit vectoriel :

Proposition 441 Soient E un espace euclidien oriente de dimension 3.1. Pour tout (x, y, y′) ∈ E3 et λ ∈ R :

x ∧ (y + y′) = x ∧ y + x ∧ y′, x ∧ (λy) = λx ∧ y et y ∧ x = −x ∧ y

2. Soit (x, y) ∈ E2. x ∧ y ∈ (Vect(x, y))⊥.3. Soit (x, y) ∈ E2. x ∧ y = 0 si et seulement si x et y sont colineaires.

Proposition 442 (Identite de Lagrange) Soient E un espace euclidien oriente de dimension3, (x, y, a, b) ∈ E4. Alors :

(a ∧ b|x ∧ y) = det(

(a|x) (b|x)(a|y) (b|y)

)

Application : On a donc ‖x∧y‖ = G(x, y). Supposons x et y libres. Comme [x, y, x∧y] = ‖x∧y‖2 > 0,(x, y, x ∧ y) est une base positive. Dessin !

Proposition 443 Soient E un espace euclidien oriente de dimension 3, (x, y) ∈ E2 libre. Alorsx ∧ y est l’unique vecteur de E orthogonal a x et y, de norme

G(x, y) =√

‖x‖2‖y‖2 − (x|y)2 = ‖x‖‖y‖ sin x, y

et tel que la base (x, y, x ∧ y) est positive.

Exemple : Si (i, j) est un systeme orthonormal de E, (i, j, i∧ j) est une base orthonormale positivede E.Exercice : Soient E un espace euclidien oriente de dimension 3, (a, b, c) ∈ E3. Montrer que

(a ∧ b) ∧ c = (a|c)b − (b|c)a

303

3) Rotation d’angle θ dans un espace euclidien oriente de dimension 3 :

Definition 354 Soient k un vecteur unitaire de E, θ ∈ R. On suppose E oriente.Considerons le plan euclidien P = k⊥. On oriente P de telle maniere que si (i, j) est une base

orthonormale positive de P , (i, j, k) est une base positive de E. On note rP,θ la rotation de P d’angleθ. Alors la rotation d’angle θ et d’axe oriente k est l’application defini par :

rθ,k : x + λk −→ rP,θ(x) + λk

Remarque : Interpretation geometrique.Remarque : • rθ+2lπ,k = rθ,k, r0,k = IE , rπ,k est la symetrie orthogonale par rapport a Rk, rθ,k rθ′,k = rθ+θ′,k, r−1

θ,k = r−θ,k.• Si on change l’orientation de l’axe (en prenant −k au lieu de k), ou l’orientation de E, l’angle

de la rotation devient −θ.

Theoreme 214 Avec les notations de la definition precedente, rθ,k ∈ SO(E).

Proposition 444 Avec les notations de la definition, si u = rθ,k, on a :

θ = ± arccosTr u − 1

2(mod 2π)

et pour x ∈ E, orthogonal a Rk, on a :

u(x) = cos θ.x + sin θ.k ∧ x

4) Description de O(E) :

Remarque : On suppose que E est un espace euclidien oriente de dimension 3, u ∈ O(E), ε = det u.Pour tout (x, y) ∈ E2, on a :

u(x ∧ y) = εu(x) ∧ u(y)

Theoreme 215 Soit u ∈ O(E). On suppose E oriente.1. Si u ∈ SO(E), il existe θ ∈ R et k ∈ E tel que u = rθ,k.2. Si u est une antirotation, alors −u ∈ SO(E) et il existe θ ∈ R et k ∈ E tel que u = −rθ,k.

Remarque : Interpretation geometrique des antirotations.

Theoreme 216 Tout element de O(E) est produit d’au plus trois reflexions.


Chapitre 4

Espaces affines

I. Generalites

1) Notion d’espaces affines :

Definition 355 Soit V un K-espace vectoriel.Un K-espace affine attache a V est un ensemble non vide E muni d’une loi de composition

externe note additivement a operateurs dans V :

(M, v) ∈ E × V −→ M + v ∈ E

verifiant les deux conditions suivantes :1. Pour tout M ∈ E et tout (u, v) ∈ V :

(M + u) + v = M + (u + v)

2. Pour tout (M, N) ∈ E, il existe un unique v ∈ V tel que N = M + v.Les elements de E sont appeles des points.Si (M, N) ∈ E2, l’unique v ∈ V tel que N = M + v s’appelle le vecteur joignant M a N et il se

note −−→MN .

Remarque : Dessin.Exemple : Soit V un K-ev. Alors V est canoniquement muni d’une structure de K-espace affineattache a V ; l’addition externe etant l’addition interne de V .Remarque : Soit Ω ∈ E. Alors v ∈ V −→ Ω + v est une bijection de V sur E (de reciproqueM −→ −−→ΩM).

Definition 356 Soit E un K-espace affine attache a V .On dit que E est de dimension finie si la dimension de V est finie. Dans ce cas, la dimension

de E, note dimE, est dimV . Si dimE = 0, E est un singleton. Si dimE = 1, E est une droiteaffine. Si dimE = 2, E est un plan affine.

Proposition 445 Soient E un K-espace affine attache a V , (A, B, C) ∈ E.1. A + 0 = A et −→AA = 0.2. −→AC = −→

AB + −→BC : c’est la relation de Chasles.

3. −→AB = −−→BA.

306 CHAPITRE 4. ESPACES AFFINES

2) Choix d’une origine :

Soit E un K-espace affine attache a V . Choisissons un point Ω ∈ E. Alors l’application

V −→ Eϕ : u −→ Ω + u

est une bijection de V sur E qui permet d’identifier V et E. Cette identification n’est pas canoniquecar elle depend du choix de Ω. On dit alors que l’on a choisi Ω comme origine de E.

L’interet de cette identification est que l’addition externe sur E s’identifie a l’addition internede V : si M s’identifie a u (i.e. u = −−→ΩM , M + x = (Ω + u) + x = Ω + (u + x) s’identifie a u + x.

Si (M1, . . . , Mn) est une famille de E, (λ1, . . . , λn) ∈ Kn une famille de K, on notera donc∑n

i=1 λiMi le point de E :

Ω +n∑

i=1

λi−−→ΩMi

Exemple : Contruction de A − B, A + B, A + B + C. On remarque que ces points dependent duchoix de l’origine.

3) Barycentre :

Dans toute la suite, I designe un ensemble fini.

Proposition 446 Soient E un K-espace affine attache a V rapporte a une origine Ω, (Ai)i∈I unefamille d’elements de E, (λi)i∈I une famille de K telle que

∑

i∈I λi = 1. Alors le point∑

i∈I λi−−→ΩAi

ne depend pas du choix de l’origine Ω.

Remarque : Si∑

i∈I λi = 1 et i0 ∈ I, on a∑

i∈I

λiAi = Ai0 +∑

i∈I\i0λi−−−→Ai0Ai

Definition 357 Soient E un K-espace affine attache a V rapporte a une origine Ω, (Ai)i∈I unefamille d’elements de E, (µi)i∈I une famille de K verifiant

∑

i∈I µi =/ 0. Alors :

∑

i∈I µiAi∑

i∈I µi= Ω +

∑

i∈I µi−−→ΩAi

∑

i∈I µi

s’appelle barycentre des Ai affectes des coefficients λi.

Exemple : • Si A1,..., An sont dans E,

A1 + A2 + . . . + An

n= Ω +

1n

∑

i∈I

−−→ΩAi

est appele isobarycentre des Ai.• Soit (A, B) ∈ E2. Alors A+B

2 est appele milieu de A et B.• Isobarycentre de trois points.

Remarque : • Si∑

i∈I µi =/ 0,

G =∑

i∈I µiAi∑

i∈I µi⇐⇒

∑

i∈I

µi−−→GAi = 0

307

• Si∑

i∈I µi =/ 0, (Jl)l∈L est une partition de I telle que∑

i∈Jlµi =/ 0, on a :

∑

i∈I µiAi∑

i∈I µi=

∑

l∈L

(∑

i∈Jlµi

) (∑

i∈JlµiAi

∑

i∈Jlµi

)

∑

l∈L

(∑

i∈Jlµi

)

C’est l’associativite du barycentre. On peut calculer un barycentre par iteration. Par exemple :

1n

∑

i∈I

Ai =

[

(n − 1)1

n − 1

(n−1∑

i=1

Ai

)

+ An

]

× 1n

4) Combinaison lineaire a somme de coefficients nulle :

Proposition 447 Soient E un K-espace affine attache a V rapporte a une origine Ω, (Ai)i∈I unefamille d’elements de E, (λi)i∈I une famille de K telle que

∑

i∈I λi = 0 et M =∑

i∈I λi−−→ΩAi.

Alors le vecteur −−→ΩM ne depend pas du choix de l’origine Ω.

Ainsi, lorsque nous aurons une combinaison lineaire de points a somme de coefficients nulle,nous ne la considererons pas comme un point, mais comme un vecteur de V .Exemple : B − A = −→

AB

II. Sous-espaces affines

1) Generalites :

Proposition 448 Soient E un K-espace affine attache a V , F ⊂ E. Pour tout A ∈ F on note :

FA = −−→AM ∈ V, M ∈ F

S’il existe A ∈ F tel que FA soit un sous-espace de V , alors pour tout B ∈ F , FA = FB.

Remarque : Dessin.

Definition 358 Soient E un K-espace affine attache a V , F ⊂ E.On dit que F est un sous-espace affine de E s’il existe A ∈ F tel que −−→AM ∈ V, M ∈ F soit

un sous-espace de V . Alors, −−→AM ∈ V, M ∈ F est un sous-espace de V independant du choix deA dans F d’apres la proposition precedente : on l’appelle direction de F et on le note −→

F .

Remarque : • Si Ω ∈ F sous-espace affine, u ∈ V , Ω + u ⇐⇒ u ∈ −→E .

• On parle parfois de varietes affines.• Si (A, B) ∈ F , −→AB ∈ −→

F . Si A ∈ F , v ∈ −→F , A + v ∈ F . Il en resulte que l’on peut considerer

F comme un K-espace affine attache a −→F . On peut en particulier, parler de dimension d’un sous-

espace affine.

Proposition 449 Soit E un K-espace affine, F un sous-espace affine, (Ai)i∈I une famille de pointsde F , (λi) ∈ I une famille de K a support fini pour +.

1. Si∑

i∈I λi = 1,∑

i∈I λiAi ∈ F .2. Si

∑

i∈I λi = 0,∑

i∈I λiAi ∈ −→F .

Remarque : Le barycentre de points de F est encore dans F .


2) Determination d’un sous-espace affine par un point et sa direction :

Proposition 450 Soient E un K-espace affine attache a V , a ∈ E, W un sous-espace de V .Il existe un unique sous-espace affine F de E telle que :1. A ∈ F ;2. −→F = W .

Exemple :• Les sous-espaces affines de direction 0 sont les singletons de E.• Le seul sous-espace affine de E de direction V est E : on notera donc dorenavant −→

E au lieude V et quand on parlera d’espace affine E il sera sous-entendu qu’il est attache a −→

E .• Soit W un sous-espace de V . Alors les sous-espaces affines de E de direction W sont les

ensembles A + W .Exemple : • Soient E le R-espace vectoriel D(R, R) et l’equation differentielle definie sur R :

y′ + a(x)y = b(x)

Alors, l’ensemble des solutions de E est un sous-espace affine de dimension 1, de direction :

y ∈ E, y′ + a(x)y = 0• Soient E le R-espace vectoriel D2(R, R) et l’equation differentielle definie sur R :

y′′ + a(x)y′ + b(x)y = c(x)

Alors, l’ensemble des solutions de E est un sous-espace affine de dimension 2, de direction :

y ∈ E, y′′ + a(x)y′ + b(x)y = 0Exemple : Soient E = Kn, u1,..., up p formes lineaires de E, (α1, . . . , αp) ∈ Kp. On considere lesysteme d’inconnue x :

(S) : ui(x) = αi (1 i p)

Les solutions de (S), s’il y en a, constituent un sous-espace affine de E dont la direction estl’ensemble des solutions de l’equation homogene associe :

(S0) : ui(x) = 0 (1 i p)

Definition 359 Soient E un K-espace affine, F et F ′ deux sous-espaces affines de E. On dit Fet F ′ sont paralleles si −→

F ⊂ −→F ′ ou

−→F ′ ⊂ −→

F . On dit que F et F ′ sont strictement paralleles si−→F =

−→F ′.

Remarque : • Si F ⊂ F ′, −→F ⊂ −→F ′.

• Si −→F ⊂ −→F ′ et F ∩ F ′ =/ ∅, alors F ⊂ F ′.

• Si F ⊂ F ′ et si dim F = dimF ′, F = F ′.

3) Intersection de deux sous-espaces affines :

Proposition 451 Soient E un K-espace affine, F et F ′ deux sous-espaces affines de E.1. Si −→F ∩ −→

F ′ = 0, F ∩ F ′ contient au plus un element.2. Si −→F +

−→F ′ = −→

E , alors F ∩ F ′ est non vide.3. Si −→F ⊕−→

F ′ = −→E , alors F ∩ F ′ est un singleton.

Exemple : Supposons E de dimension finie. Soient H un hyperplan affine (i.e. sous-espace affine dedimension n − 1), D une droite affine de E non parallele a H. Alors D ∩ H est un singleton.Proposition 452 Soient E un K-espace affine, (El)l∈L une famille de sous-espaces affines de E.

Alors, si⋂

l∈L El est non vide,⋂

l∈L El est un sous-espace affine de direction⋂

l∈L−→El .

309

4) Sous-espace affine engendree :

Definition 360 Soient E un K-espace affine, A une partie non vide de E.On appelle sous-espace affine engendree par A l’intersection des sous-espaces affines de E qui

contiennent A. C’est donc la plus petit sous-espace affine qui contient A.Si (Ai)i∈I est une famille non vide de points de E, le sous-espace affine engendree par les Ai

est le sous-espace affine engendree par Ai ∈ E, i ∈ I.

Theoreme 217 Soient E un K-espace affine, (Ai)i∈I une famille non vide de points de E.Le sous-espace affine engendree par les Ai est l’ensemble F des elements de E de la forme

∑

i∈I λiAi ou (λi)i∈I est une famille de K telle que∑

i∈I λi = 1 : c’est l’ensemble des barycentresdes Ai.

Sa direction −→F est l’ensemble des elements de E de la forme

∑

i∈I λiAi ou (λi)i∈I est unefamille de K a support fini telle que

∑

i∈I λi = 0.

Remarque : −→F est aussi Vecti∈I(−−−→Ai0Ai).

Exemple : • Le sous-espace affine engendre par A est A.• Soient A =/ B dans E. Le sous-espace affine engendre par A et B est par definition la droite

passant par A et B note (AB) :

(AB) = λA + µB, λ + µ = 1 = A + k−→AB, k ∈ K = A + K

−→AB

• Soient A, B et C trois points deux a deux distincts, (−→AB,−→AC) libres. Le sous-espace affine

engendree par A, B et C est par definition le plan passant par A, B et C et est note (ABC) :

(ABC) = λA + µB + νC, λ + µ + ν = 1 = A + k−→AB + l

−→AC, k ∈ K et l ∈ K

= A + K−→AB + K

−→AC

Remarque : On dit que les Ai engendrent affinement E, si la varite affine engendree par les Ai estE tout entier. Cas de la dimension finie.Exercice : Montrer que les medianes d’un triangle sont concourantes.

III. Bases affines et reperes affines

Dans ce paragraphe, E designera un K-espace affine de dimension finie.

1) Base affine :

Definition 361 (A0, A2, . . . , An) est une base affine de E si, et seulement si(−−−→A0A1,

−−−→A0A2, . . . ,

−−−→A0An) est une base de −→

E . Dans ces conditions, dimE = n.

Proposition 453 Soit (A0, A2, . . . , An) une base affine de E. Alors, tout point de E s’ecrit demaniere unique

∑ni=0 λiAi avec

∑ni=0 λi = 1 .

Definition 362 Avec les notations de la proposition precedente, si M =∑n

i=0 λiAi ∈ E(∑n

i=0 λi = 1), λi est la coordonnee barycentrique de M d’indice i dans la base affine(A0, A2, . . . , An).


2) Reperes affines :

Definition 363 On appelle repere de E tout couple R = (Ω,B) ou Ω est un point de E appeleorigine du repere et B une base de −→

E appele base du repere. Si B = (e1, e2, . . . , en), tout point Mde E s’ecrit de maniere unique :

M = Ω +n∑

i=1

xiei

Pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, xi est appele coordonnee d’indice i de M dans le repere R. La colonne

x1

x2...

xn

∈ Kn est appele colonne de M dans le repere R. On note :

M :R

x1

x2...

xn

ou encore M :

x1

x2...

xn

Exemple : Cas des K-espaces vectoriels.

Proposition 454 On suppose E rapporte a un repere R = (Ω,B).1. Soient M ∈ E et v ∈ −→

E , X la colonne de M dans R et U la colonne de v dans B. Alors, lacolonne de M + v dans R est X + U .

2. Soient M1,..., Mn des points de E, λ1,..., λn des elements de K tels que∑n

i=1 λi = 1 (resp.0). On note Xi la colonne de Mi dans R.

Alors la colonne de∑n

i=1 λiMi dans R (resp. B) est∑n

i=1 λiXi.

Remarque : Colonne de∑n

i=1 µiMi∑n

i=1 µi.

Proposition 455 Soient R = (Ω,B) et R′ = (Ω′,B′) deux reperes de E, P la matrice de passagede B a B′., A la colonne de Ω′ dans R.

Pour tout M ∈ E, on note X (resp. X ′) la colonne de M dans R (resp. R′). Alors :

X = PX ′ + A

Definition 364 Un R-espace affine E de dimension finie est dit oriente si −→E l’est. Un repere

R = (Ω,B) est dit positif (resp. negatif) si B est positif (resp. negatif).

IV. Ensembles convexes

Dans ce paragraphe, E designera un R-espace affine.

1) Generalites :

Definition 365 Soit (A, B) ∈ E2. On appelle segment de droites d’extremites A et B l’ensemble :

[AB] = λA + µB ∈ E, λ + µ = 1, λ 0, µ 0 = (1 − λ)A + λB ∈ E, λ ∈ [0, 1]

Definition 366 A ⊂ E est dit convexe si pour tout (A, B) ∈ E2, [AB] ⊂ E.

311

Exemple : • ∅ est convexe.• Les sous-espaces affines sont convexes.• Les parties convexes de R sont les intervalles.

Proposition 456 Soit A ⊂ E convexe. Pour toute famille de points de A (Mi)i∈I , et toute famille(λi)i∈I de R+ telle que

∑

i∈I λi = 1, on a :

∑

i∈I

λiMi ∈ A

Remarque : Si A est convexe, tout barycentre a coefficients positifs de points de A est encore dansA.

2) Enveloppe convexe :

Proposition 457 Soit (Al)l∈L une famille de convexes de E. Alors⋂

l∈L Al est convexe.

Definition 367 Soit B ⊂ E.On appelle enveloppe convexe de B l’intersection de toutes les parties convexes de E qui conti-

ennent B. D’apres la proposition precedente, c’est le plus petit convexe contenant B.Si (Mi)i∈I est une famille de points de E, l’enveloppe convexe des Mi est l’enveloppe convexe

de Mi ∈ E, i ∈ I.

Theoreme 218 Soient (Mi)i∈I une famille de points de E.L’enveloppe convexe des Mi est constituee de tous les barycentres a coefficients positifs des Mi,

ou encore des

∑

i∈I

λiMi

ou (λi)i∈I est une famille de R+ avec∑

i∈I λi = 1, ou encore :

Mi0 +∑

i∈I,i=/ i0

λi−−−−→Mi0Mi ∈ E, (λi 0 et

∑

i=/ i0

λi 1)

Exemple : • L’enveloppe convexe de M est M.• L’enveloppe convexe de M, N est [MN ].• L’enveloppe convexe de M, N, P est

M + λ−−→MN + µ

−−→MP, λ 0, µ 0 et λ + µ 1

Dessin.

V. Applications affines

E, F et G designent des K-espaces affines.


1) Generalites :

Proposition 458 Soit u : E −→ F . Pour tout Ω ∈ E, on note

uΩ : x ∈ −→E −→ u(Ω + x) − u(Ω) =

−−−−−−−−−→u(Ω)u(Ω + x) ∈ −→

F

S’il existe Ω ∈ E tel que uΩ soit lineaire, pour tout point Ω′ ∈ E, uΩ = uΩ′.

Definition 368 Soit u : E −→ F .On dit que u est (une application) affine s’il existe Ω ∈ E tel que

−→E −→ −→

FuΩ : x −→ u(Ω + x) − u(Ω)

soit lineaire. Cette application est alors independante de Ω ∈ E d’apres la proposition precedenteet est appele application lineaire associee a u (ou fleche) et on la note −→u . On a donc pour toutΩ ∈ E et tout x ∈ −→

E :

u(Ω + x) = u(Ω) + −→u (x)

On note A(E, F ) l’ensemble des applications affines de E dans F ; on note A(E) pour A(E, E).

Remarque : Restriction d’une application affine a un sous-espace affine de E.

Si u : E −→ F affine, M et N deux points, −→u (−−→MN) =−−−−−−−→u(M)u(N).

Proposition 459 (Conservation du barycentre) Soient u ∈ L(E, F ), (Mi)i∈I une famille depoints de E, (λi)i∈I une famille a support fini de K.

1. Si∑

i∈I λi = 1, u(∑

i∈I λiMi

)

=∑

i∈I λiu(Mi).2. Si

∑

i∈I λi = 0, −→u(∑

i∈I λiMi

)

=∑

i∈I λiu(Mi).

Exemple : Image d’un barycentre par une application lineaire.

Corollaire 111 Soient E et F des R-espaces affines, A un convexe de E, u : E −→ F affine.Alors u(A) est un convexe.

2) Determination d’une application affine a l’aide de la fleche et du trans-forme d’un point :

Proposition 460 Soient A ∈ E, B ∈ F et l : E −→ F lineaire.Alors, il existe une unique application affine u : E −→ F telle que u(A) = B et −→u = l.

Exemple : • Les applications constantes sont les applications affines de fleche nulle.• Si E et F sont des K-espaces vectoriels, les applications affines de E dans F sont les appli-

cations l + Cte ou l ∈ L(E, F ).

Proposition 461 On suppose E rapporte au repere R = (Ω,B), F au repere R′ = (Ω′,B′). Soientu : E −→ F affine, A la matrice de −→u dans les bases B et B′, B la colonne de u(Ω) dans R′.

Pour tout M ∈ E, on note X la colonne de M dans R et Y la colonne de u(M) dans R′. Alors

Y = AX + B

313

3) Image directe et image reciproque d’un sous-espace affine :

Proposition 462 Soit u : E −→ F affine.1. Si E′ designe un sous-espace affine de E, alors u(E′) est un sous-espace affine de F de

direction −→u (E′).2. Si F ′ est un sous-espace affine de F et si u−1(F ′) est non vide, u−1(F ′) est un sous-espace

affine de direction −→u −1(F ′).

Remarque : • Im u est un sous-espace affine de F de direction Im−→u . En particulier :

u surjective ⇐⇒ −→u surjective

• Si b ∈ F , u−1(b), s’il est non vide, est un sous-espace affine de E de direction ker−→u . Enparticulier :

u injective ⇐⇒ −→u injective

• Si E et F sont de dimension finie et dimE = dimF :

u injective ⇐⇒ u surjective

4) Composition des applications affines :

Proposition 463 Soient u : E −→ F et v : F −→ G affines.1. IE est affine et −→IE = I−→E .2. v u est affine et −−→v u = −→v −→u .3. Si u est bijective, alors u−1 est affine et

−→u−1 = −→u −1.

Definition 369 L’ensemble des bijections affines de E sur lui-meme est un sous-groupe des per-mutations de E qu’on appelle groupe affine de E et qu’on note GA(E).

Remarque : u −→ −→u est un morphisme surjectif du groupe GA(E) sur le groupe GL(E).Remarque : A bijection affine pres, il existe un unique K-espace affine de dimension n, a savoir Kn.

5) Le K-espace vectoriel A(E) :

Proposition 464 Soit V un K-espace vectoriel. A(E, V ) est un sous-espace de F(E, V ) et l’ap-plication u ∈ A(E, V ) −→ −→u ∈ L(−→E , V ) est lineaire.

Si E et V sont de dimension finie, alors A(E, V ) est finie et :

dimA(E, V ) = dimV (dimE + 1)

6) Points invariants d’une application affine :

On remarque que si u ∈ A(E) admet un point invariant Ω, u s’identifie a une applicationlineaire, a savoir −→u :

u(Ω + x) = Ω + −→u (x) pour x ∈ −→E

Proposition 465 Soit u ∈ A(E), E de dimension finie. On note Inv u = M ∈ E, u(M) = M.1. Si Inv f est non vide, Inv f est un sous-espace affine de E de direction ker(−→u − I).2. Alors, si 1 n’est pas valeur propre de −→u , il existe un unique point fixe pour u.


VI. Translations, Homotheties et affinites

E designe dans ce paragraphe un K-espace affine de dimension finie.

1) Le groupe des translations :

Definition 370 Soit x ∈ −→E .

La translation de vecteur x est l’application

E −→ Etx : M −→ M + x

Theoreme 219 Soit u : E −→ E.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) u est une translation.(ii) u ∈ A(E) et −→u = I−→E .

Remarque : T , l’ensemble des translations de E est le noyau du morphisme de groupe u ∈GA(E) −→ −→u ∈ GL(E). C’est donc un sous-groupe de GA(E).

Theoreme 220 Pour tout (x, y) ∈ E2, t0 = IE, tx+y = tx ty = ty tx, (tx)−1 = t−x et si x =/ y,tx =/ ty.

Remarque : (T , ) (−→E , +).

2) Homotheties :

Definition 371 Soient λ ∈ K et Ω ∈ E.L’homothetie (affine) de rapport λ et de centre Ω est l’application :

E −→ E

u : M −→ Ω + λ−−→ΩM = (1 − λ)Ω + λM

Theoreme 221 Soit λ ∈ K.1. Si Ω ∈ E et si u est l’homothetie de centre Ω de rapport λ, alors u est affine et −→u = λI−→E .2. Reciproquement, si u ∈ A(E) et si −→u = λI−→E avec λ =/ 1, alors u est une homothetie.

Remarque : H, l’ensemble des homotheties et des translations de E, est un sous-groupe de GA(E),appele groupe des homothetie-translations.

3) Affinites :

Lemme 19 Soient F un sous-espace de E, W un sous-espace de −→E tel que :

−→F ⊕ W = −→

E

Alors, pour tout M ∈ E, il existe un unique (P, x) ∈ F × W tel que

M = P + x

Dessin !

315

Definition 372 Soient λ ∈ K, λ =/ 1, F un sous-espace affine de E, W un sous-espace de −→E tel

que :−→F ⊕ W = −→

E

L’affinite par rapport a F parallelement a W et de rapport λ est l’application :

M = P∈F + x∈W −→ P + λx

Si λ = −1, c’est la symetrie par rapport F parallelement a W .Si λ = 0, c’est la projection sur F parallelement a W .

Remarque : Si F = Ω, on retrouve les homotheties.

Theoreme 222 Soient V et W deux sous-espaces de −→E tels que V ⊕ W = −→

E , l l’affinite de −→E

de rapport λ par rapport a V parallelement a W .1. Si F est un sous-espace affine telle −→

F = V et si u est l’affinite de rapport λ par rapport a Fparallelement a W , alors u est affine et −→u = l.

2. Soit u ∈ A(E) possedant un point invariant et telle que −→u = l. Alors u est une affinite.3. Soit u ∈ A(E) telle que −→u = l. Alors u s’ecrit de facon unique :

u = tx v

avec v affinite et x ∈ ker(−→u − I−→E )

Exemple : Les symetries glissees en dimension 2.

4) Theoreme de Thales :

Theoreme 223 (Theoreme de Thales) Soient H, H ′ et H ′′ trois hyperplans affines paralleles,D et D′ deux droites affines non paralleles a H, H ′ et H ′′, coupant H en A et B respectivement,H ′ en A′ et B′ respectivement, H ′′ en A′′ et B′′ respectivement.

Si on a −−−→AA”” = λ

−−→AA′, alors on a aussi

−−→BB′′ = λ

−−→BB′.

Exemple : Dimension 2.

Proposition 466 (Theoreme de Thales) Soient P un plan affine, (A, B, C, A′, B′, C ′) ∈ P6

tels que −→AC = k

−→AB et

−−→A′C ′ = k

−−→A′B′. On suppose que (AA′) est parallele a (BB′). Alors (AA′),

(BB′) et (CC ′) sont paralleles deux a deux.

Remarque : Introduire les mesures algebriques. Theoreme de la droite des milieux.

VII. Formes affines et equations cartesiennes

E designe ici un K-espace affine de dimension finie.

1) Equations cartesiennes d’un hyperplan :

Soit R = (Ω,B) un repere affine de E, B = (e1, e2, . . . en). Soit ϕ : E −→ K une forme affine deE i.e. une application affine de E dans K. Alors, si ϕ(Ω) = α0 et −→ϕ (ei) = αi pour tout i :

ϕ(M) = α0 +n∑

i=1

αixi ou M = Ω +n∑

i=1

xiei

Dans ces conditions, −→ϕ =∑n

i=1 αie∗i .


Proposition 467 Si ϕ est une forme affine de E non constante i.e. (α1, . . . αn) =/ 0), l’ensembledes points M tels que ϕ(M) = 0 est un hyperplan de direction

ker−→ϕ =

n∑

i=1

xiei ∈ −→E ,

n∑

i=1

αixi = 0

Definition 373 Soient H un hyperplan de E et ϕ une forme affine de E. Si H est l’ensemble despoints M ∈ E tels que ϕ(M) = 0, on dit ϕ est une equation cartesienne de H.

Proposition 468 Tout hyperplan de E admet une equation cartesienne, unique a un scalaire mul-tiplicatif non nul pres.

Proposition 469 Soient H et H ′ deux hyperplan d’equations cartesiennes respectives ϕ et ϕ′.Alors les trois propositions suivantes sont equivalentes :

(i) H et H ′ sont paralleles ;(ii)

−→ϕ′ ∈ K−→ϕ ;

(iii) ϕ′ ∈ Kϕ + K.

2) Representation cartesienne d’un sous-espace affine :

Proposition 470 Soit (Hi)1ip une famille d’hyperplans de E, d’equations cartesienne ϕ1,..., ϕp

respectivement. On suppose les −→ϕi sont libres dans −→E ∗.

Alors F =⋂p

i=1 Hi est un sous-espace affine de dimension n − p.

Definition 374 Soit F un sous-espace affine. On dit qu’une famille (ϕi)1ip de formes affinessur E constitue une representation cartesienne de F si

F = M ∈ E, ϕ1(M) = ϕ2(M) = . . . = ϕp(M) = 0

Elle est dite reguliere si les −→ϕi sont libres dans −→E ∗.

Proposition 471 Soit F un sous-espace affine.Alors F admet une repesentation cartesienne reguliere i.e il existe ϕ1,..., ϕp formes affines sur

E telles que

F = M ∈ E, ϕ1(M) = ϕ2(M) = . . . = ϕp(M) = 0

et les −→ϕi sont libres dans −→E ∗.

3) Demi-espaces :

Definition 375 Soient E un R-espace affine de dimension finie, H un hyperplan de E, M et Ndeux points de E.

On dit que M et N sont strictement du meme cote de H si ϕ(M)ϕ(N) > 0, ϕ etant uneequation cartesienne de H. Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont de part et d’autre de H.

Remarque : Cette definition est independante du choix de l’equation cartesienne de H choisie.

Proposition 472 Soient E un R-espace affine de dimension finie, H un hyperplan de E.La relation ”etre du meme cote de H” est une relation d’equivalence sur E\H ayant exactement

deux classes.

Definition 376 Avec les notations de la proposition precedente, les deux classes d’equivalencessont appelees demi-espaces ouverts limites par H. Un demi-espace ferme est la reunion d’un demi-espace ouvert et de H.

317

VIII. Droites et plans en dimension 2 ou 3

Soient P un plan affine, (Ω, i, j) un repere affine de P, E un espace affine de dimension 3 rapportea un repere (Ω, i, j, k).

1) Droites dans un plan affine :

a-Position relative de deux droites :

Proposition 473 Deux droites de P sont1. ou paralleles distinctes et disjointes2. ou paralleles confondues3. ou secantes (et leur intersection est un point).

Definition 377 Soit A ∈ P. L’ensemble des droites de P passant par A s’appelle faisceau dedroites de sommet A. Si D1 et D2 sont deux droites distinctes du faisceau, on dit que (D1, D2) estune base du faisceau.

i b-Equations cartesiennes d’une droite dans un plan affine :

Pour M ∈ E, on note (x, y) les coordonnees de M dans R.• Soit D une droite. D admet une equation cartesienne de la forme :

αx + βy + γ = 0

avec (α, β) =/ 0. Dans ces conditions, (β,−α) est un vecteur directeur de D.• Si A de coordonnees (x0, y0) est dans D et u = (α, β) un vecteur directeur de D,

∣∣∣∣

x − x0 αy − y0 β

∣∣∣∣= 0

• Supposons P rapporte a une base affine. Alors trois points de P sont alignes si et seulementsi le determinant des coordonnees barycentriques est nul.

• Soient M1, M2 et M3 trois points de P de coordonnees respectives (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3).Ces trois points sont alignes si et seulement si :

∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3

y1 y2 y3

1 1 1

∣∣∣∣∣∣

= 0

On obtient donc une equation cartesienne de la droite passant par A1 : (x1, y1) et A2 : (x2, y2)avec :

∣∣∣∣∣∣

x x1 x2

y y1 y2

1 1 1

∣∣∣∣∣∣

= 0 ou∣∣∣∣

x − x1 x2 − x1

y − y1 y2 − y1

∣∣∣∣= 0

• Soient les deux droites :

D1 : ϕ1(M) = α1x + β1y + γ1 = 0 et D2 : ϕ2(M) = α2x + β2y + γ2 = 0


D1 et D2 sont paralleles si et seulement si∣∣∣∣

α1 α2

β1 β2

∣∣∣∣

= 0. Si D1 et D2 sont secantes en A, les

coordonnees de A s’obtiennent par resolution du systeme de Cramer :

α1x + β1y + γ1 = 0 et α2x + β2y + γ2 = 0

• D est une droite du faisceau de sommet A si, et seulement si, il existe λ1 et λ2, (λ1, λ2) =/ 0tels que

λ1ϕ1(M) + λ2ϕ2(M) = 0

soit une equation de D.• Soient les trois droites

D1 : ϕ1(M) = α1x + β1y + γ1 = 0, D2 : ϕ2(M) = α2x + β2y + γ2 = 0

et D3 : ϕ3(M) = α3x + β3y + γ3 = 0

Proposition 474 Elles sont paralleles deux a deux ou concourantes si, et seulement si :∣∣∣∣∣∣

α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3

∣∣∣∣∣∣

= 0

2) Positions relatives des sous-espaces affines en dimension 3 :

Proposition 475 Dans E :1. Deux plans sont paralleles ou ont pour intersection une droite.2. Une droite non parallele a un plan coupe ce plan en un point unique.3. Soient D1 et D2 deux droites. Ou bien D1 et D2 sont paralleles, ou bien D1 et D2 sont

secantes en un point, ou nien D1 et D2 ne sont ni paralleles ni secantes.

Definition 378 Soit D une droite de E. L’ensemble des plans de E contenant D s’appelle le fais-ceau de plans d’axe D.

Si ϕ1(M) = 0 et ϕ2(M) = 0 sont les equations de deux plans distincts du faisceau d’axe D, lesplans du faisceau ont pour equations :

λ1ϕ1(M) + λ2ϕ2(M) = 0

ou (λ1, λ2) ∈ K2 non nul.

3) Equations cartesiennes d’un plan en dimension 3 :

Pour M ∈ E , on note (x, y, z) les coordonnees de M dans R, ou encore M : (x, y, z).• Soit P un plan de E . P admet une equation cartesienne de la forme :

αx + βy + γz + δ = 0

ou (α, β, γ) =/ 0. La direction de P est l’ensemble des Xi + Y j + Zk tel que

αX + βY + γZ = 0

319

• Soit A ∈ P , A : (x0, y0, z0), u1 = α1i + β1j + γ1k et u2 = α2i + β2j + γ2k une base de −→P .

Alors P admet pour equation :∣∣∣∣∣∣

x − x0 α1 α2

y − y0 β1 β2

z − z0 γ1 γ2

∣∣∣∣∣∣

= 0

• Supposons E rapporte a une base affine. Alors quatre points de E sont coplanaires si etseulement si le determinant des coordonnees barycentriques est nul.

• Soient quatre point Mi : (xi, yi, zi) (1 i 4) dans E . Ces quatre points sont coplanaires siet seulement si

∣∣∣∣∣∣∣∣

x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

z1 z2 z3 z4

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

• Soit Ai : (xi, yi, zi) (1 i 3) trois points affinement libres. L’equation du plan passant parces trois points est :

∣∣∣∣∣∣∣∣

x x1 x2 x3

y y1 y2 y3

z z1 z2 z3

1 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

Une representation parametrique de P est :

x = λ1x1 + λ2x2 + λ3x3

y = λ1y1 + λ2y2 + λ3y3

z = λ1z1 + λ2z2 + λ3z3

ou λ1 + λ2 + λ3 = 1

4) Representations de droites en dimension 3 :

• Soient deux plans P1 et P2 de E d’equations cartesiennes respectives :

P1 : ϕ1(M) = α1x + β1y + γ1z + δ1 = 0

P2 : ϕ2(M) = α2x + β2y + γ2z + δ2 = 0

P1 et P2 sont paralleles si (α1, β1, γ1) et (α2, β2, γ2) sont colineaires.Si P1 et P2 ne sont pas paralleles, leur intersection est une droite D et (ϕ1, ϕ2) un representation

cartesienne reguliere de D. Un vecteur directeur de D est :

β1γ2 − β2γ1

α2γ1 − α1γ2

α1β2 − α2β1

• Soit P3 : ϕ3(M) = α3x + β3y + γ3z + δ3 = 0 un troisieme plan. Soit

A =

α1 β1 γ1

α2 β2 γ2

α3 β3 γ3


Si rg A = 3 i.e. detA =/ 0 l’intersection P1∩P2∩P3 est un point dont les coordonnees s’obtiennenten resolvant le systeme de Cramer :

ϕ1(M) = ϕ2(M) = ϕ3(M) = 0

Si rg A = 2, il existe une droite parallele aux trois plans.Si rg A = 1, les plans sont deux a deux paralleles.• Soient u = αi + βj + γk, D = A + Ku ou A : (x0, y0, z0). Une representation parametrique de

D est :

x = x0 + λαy = y0 + λβz = z0 + λγ

ou λ ∈ K

Exercice : Soient quatre plans Pi (1 i 4) d’equations

aix + biy + ciz + d1 = 0

Montrer que∣∣∣∣∣∣∣∣

a1 b1 c1 d1

a2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

a4 b4 c4 d4

∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0

si, et seulement si, les plans sont concourants ou paralleles a une meme droite affine.

Chapitre 5

Isometries

Dans ce chapitre, E designe un espace affine euclidien, E un espace affine euclidien de dimension3 et P un plan affine euclidien.

I. Distance dans un espace euclidien

1) Definition d’un espace affine euclidien :

Definition 379 Deux sous-espace affines de E sont dites orthogonales si leurs directions sontorthogonales.

Un repere (Ω,B) est dit orthonormee si B est orthonormee.Si A et B sont dans E, la distance de A a B notee d(A, B) est ‖−→AB‖.Si A B, C sont dans E et A =/ B, A =/ C, l’angle non oriente BAC est −→AB,

−→AC.

Si E est un plan affine euclidien oriente, l’angle oriente −−−→BAC est

−−−−−→−→AB,

−→AC.

Remarque : On a d(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B, d(A, B) = d(B, A) et

d(A, C) d(A, B) + d(B, C) (inegalite triangulaire)

On dit que d est une distance. On a de maniere plus generale :

d(A0, An) n∑

k=1

d(Ak−1, Ak)

D’autre part :

|d(A, B) − d(B, C)| d(A, B)

Dans toute la suite, E et F designeront des espaces affines euclidiens de dimension finie.

Proposition 476 (Theoreme de Pythagore) Soient A, B et C dans E. Alors, −→AB et −→AC sontorthogonaux si et seulement si :

‖BC‖2 = ‖AB‖2 + ‖AC‖2

Definition 380 Soient F un sous-espace affine de E et λ ∈ R, λ =/ 1.L’affinite orthogonale par rapport a F de rapport λ est l’affinite de E, de rapport λ, par rapport

a F et parallelement a −→F ⊥.

Si λ = 0, on l’appelle projection orthogonale sur F et si λ = −1, on l’appelle symetrie orthog-onale par rapport a F .

Enfin, si λ = −1 et si F est un hyperplan affine, on l’appelle reflexion.

322 CHAPITRE 5. ISOMETRIES

2) Distance d’un point a un sous-espace affine :

Definition 381 Soient A et B deux parties non vides de E, M ∈ E.On appelle distance de M a A le reel positif :

d(M, A) = infN∈A

‖−−→NM‖

et distance de A a B :

d(A, B) = infN∈A,P∈B

‖−−→NP‖

Theoreme 224 Soient F un sous-espace affine de E, M ∈ E et P le projete orthogonal de M surF . Alors :

d(M, F ) = d(M, P ) et si N ∈ F, N =/ P , on a d(M, N) > d(M, P )

De plus, si (Ω, e1, e2, . . . , ep) designe un repere de F , on a :

d(M, F ) =G(−−→ΩM, e1, e2, . . . , ep)

G(e1, e2, . . . , ep)

Exemple : • Dans le cas ou F est un hyperplan H rapporte au repere (Ω, e1, e2, . . . , en−1) :

d(M, H) =|[−−→ΩM, e1, e2, . . . , en−1]|G(e1, e2, . . . , en−1)

• Si dimE = 2, D la droite Ω + Re,

d(M, D) =|[−−→ΩM, e]|

‖e‖• Si dimE = 3 et D la droite Ω + Re,

d(M, D) =‖−−→ΩM ∧ e‖

‖e‖• Si dimE = 3 et P le plan Ω + Re + Rε,

d(M, P ) =‖[−−→ΩM, e, ε]|‖e ∧ ε‖

3) Distances et hyperplans affines :

• Soient E rapporte a un repere (Ω, e1, e2, . . . , en), H un hyperplan affine d’equationcartesienne :

a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b

ou encore, si k =

a1

a2...

an

:

(−−→ΩM |k) = b

On dit que c’est une equation normale de H si ‖k‖ = 1 = a21 + . . . + a2

n.

323

Proposition 477 Soit M :

m1

m2...

mn

. Alors :

d(M, H) =|a1m1 + a2m2 + . . . + anmn − b|

√

a21 + a2

2 + . . . + a2n

=|a1m1 + a2m2 + . . . + anmn − b|

‖k‖

Si l’equation est normale : d(M, H) = |a1m1 + a2m2 + . . . + anmn − b|.• Lignes de niveau : (k|−−→ΩM) = λ.

Proposition 478 Soient Ω ∈ E et k ∈ −→E non nul. On note pour tout λ ∈ R :

Hλ = M ∈ E, (k|−−→ΩM) = λ

1. Pour tout λ ∈ R, Hλ est un hyperplan de direction k⊥.2. Pour tout hyperplan affine H de direction k⊥, il existe λ ∈ R tel que H = Hλ.

• Hyperplan mediateur :

Theoreme 225 Soient A et B deux points distincts de E. On considere :

H = M ∈ E, d(A, M) = d(B, M)

H est l’hyperplan affine passant par I = A+B2 et de direction −→

AB⊥ :

H =A + B

2+ −→

AB⊥

Definition 382 L’hyperplan H defini dans la proposition precedente est appele hyperplanmediateur de A et B, ou encore mediatrice si dimE = 2 et plan mediateur si dimE = 3.

4) Isometrie affines :

Definition 383 On suppose que dimE = dimF .Une isometrie (affine) de E sur F est une application affine u : E −→ F tel que −→u ∈ O(E, F ).On note I(E, F ) l’ensemble des isometries de E sur F et I(E) pour I(E, E).

Remarque : • Si u ∈ I(E), on a :

d(u(A), u(B)) = ‖−−−−−−→u(A)u(B)‖ = ‖−→u (−→AB)‖ = ‖−→AB‖ = d(A, B)

• I(E) est un sous-groupe de GA(E).Exemple : Les translations et les symetries orthogonales sont des isometries.

Definition 384 Une isometrie de E est un deplacement si −→u ∈ SO(E). Dans le cas contraire,on dit que u est un antideplacement.

On note I+(E) l’ensemble des deplacements de E et I−(E) l’ensemble des antideplacements deE.

Remarque : • Compositions des deplacements et des antideplacements.• I+(E) est un sous-groupe de I(E).• Conservation des angles.

Exemple : • Les translations sont des deplacements.• La symetrie orthoganale par rapport a F est un deplacement si dim E − dimF est paire et

un antideplacement si dim E − dimF est impaire.• Une reflexion affine est un antideplacement.


Theoreme 226 Soient A et B deux points de E. Il existe une unique reflexion affine u qui echangeA et B i.e. telle que u(A) = B et u(B) = A.

Exemple : Donner A, B, M . Calculer u(M).

II. Isometries d’un plan affine euclidien

Dans ce paragraphe, P designe un plan affine euclidien oriente.

1) Deplacements de P :

Definition 385 Soient Ω ∈ P, θ ∈ R et rθ la rotation d’angle θ de −→P .La rotation d’angle θ et de centre Ω est l’application :

rΩ,θ : M ∈ P −→ Ω + rθ(−−→ΩM)

Proposition 479 Les rotations de P sont des deplacements.

Theoreme 227 Soit u ∈ I(P)+.1. Si −→u = I−→E , u est une translation.2. Si −→u =/ I−→u , il existe Ω dans P et θ ∈ R tel que u soit la rotation d’angle θ, de centre Ω.

Remarque : I+(E) est le groupe des rotations-translations de P. Si on identifie P et C, ces trans-formations s’ecrivent :

z −→ eiθz + a

2) Antideplacements de P :

Nous savons que les reflexions affines sont des antideplacements. Il en existe d’autres :

Definition 386 Soient D une droite de E, x un vecteur de −→D non nul.On appelle symetrie glissee par rapport a D de vecteur x la composee de la symetrie orthogonale

par rapport a D et de la translation de vecteur x (cette composee commute).

Remarque : Une symetrie glissee n’a aucun point invariant. C’est un antideplacement.

Proposition 480 Soit u un antideplacement de P.1. Si u possede un point invariant, u est une reflexion affine.2. Si u n’a pas de point invariant, u est une symetrie glissee.

Remarque : Comment distinguer les cas ? Soient d ∈ ker(−→u − I) et M ∈ E, M ′ = u(M).

• Si−−−→MM ′ est orthogonal a d , u est la symetrie par rapport a la droite passant par le milieu

de M et M ′ dirige par d.• Si

−−−→MM ′ n’est pas orthogonal a d, u est la symetrie glissee par rapport a la droite passant par

le milieu de M et M ′ dirige par d et de vecteur x ou

−−−→MM ′ = x∈ker(−→u −I) + y∈ker(−→u −I)⊥

Conclusion : Classification des isometries selon les points invariants.

325

3) Composition et decomposition d’isometries :

• La composee de reflexions par rapport a des droites paralleles est une translation.Reciproquement, toute translation se decompose en un produit de deux reflexions par rapporta des droites paralleles.

• La composee de deux symetries par rapport a des droites secantes en Ω est une rotation decentre Ω. Reciproquement, une rotation de centre Ω se decompose en symetries par rapport a desdroites secantes en Ω.

Proposition 481 Les reflexions engendrent I(P).

Exercice : Construire la composee de deux rotations.Remarque : Si P est identifie a C, les antideplacements de E sont les applications du type z −→eiθz + a.

III. Isometries d’un espace affine euclidien de dimension 3

Dans ce paragraphe, E designe un espace affine euclidien oriente.

1) Deplacements de E :

Definition 387 Soient θ ∈ R et D une droite affine, k un vecteur unitaire de −→D .

La rotation d’angle θ et d’axe D oriente par k est l’application qui a M = P∈D +x∈D⊥ associe :

P + rθ,k(x)

Dessin !

Proposition 482 Si u est une rotation d’angle θ, d’axe oriente D, u est un deplacement.

Exemple : Les demi-tours sont les rotations d’angle π ; c’est aussi les symetries par rapport a unedroite.

Definition 388 Soient u une rotation d’angle θ d’axe oriente D, x ∈ −→D = ker(−→u − I).

Alors u = tx u est appele vissage d’axe oriente D, d’angle θ et de vecteur x.

Proposition 483 Soit u un deplacement de E.1. Si u possede un point fixe, il existe θ et un axe oriente D tel que u soit la rotation d’angle θ

et d’axe oriente D.2. Si u n’a pas de point fixe, il existe θ et un axe oriente D, x ∈ −→

D non nul tel que u est levissage d’axe oriente D, d’angle θ et de vecteur x.

Remarque : Soit u un deplacement, P = ker(−→u − I)⊥, M ∈ E , M ′ = u(M). Alors−−−→MM ′ = x + y

avec x ∈ ker(−→u − I) et y ∈ P . u est une rotation si et seulement si x = 0. Sinon, u est un vissaged’angle θ et de vecteur x.Remarque : • Si D1 est parallele a D2, sD2 sD1 est une translation. Reciproquement, toute trans-lation se decompose en produit de deux demi-tours de droites paralleles.

• Si D1 et D2 sont secantes en Ω, sD2 sD1 est une rotation d’axe la perpendiculaire communea D1 et D2 de centre Ω. Reciproquement, toute rotation se decompose en produit de demi-tours dedroites secantes.

• Si D1 et D2 ne sont pas coplanaires, sD2 sD1 est un vissage. Reciproquement, tout vissagese decompose en produit de deux demi-tours de droites non coplanaires.

Proposition 484 Les demi-tours de E engendrent I+(E).


2) Antideplacements de E :

Proposition 485 Soit u un antideplacement de E.1. Si u possede un point invariant, u s’ecrit de maniere unique v w ou v est une rotation

d’angle θ, d’axe oriente D et w une symetrie par rapport a un point de D.2. Si u ne possede pas de point invariant, u s’ecrit txv ou v est une reflexion et x ∈ ker(−→v −I)

(on parle aussi de symetrie glissee.

Remarque : Si l’angle de la rotation dans le cas vaut π, il s’agit d’une reflexion.Conclusion : Classification des isometries selon les points invariants.

IV. Cercles et spheres

1) Boules et spheres :

Definition 389 Un espace affine E est dit norme si −→E est muni d’une norme.

Definition 390 Soit (E, ‖ ‖) un espace norme, Ω ∈ E et R > 0.La sphere de centre Ω et de rayon R est S(Ω, R) = M ∈ E, ‖−−→ΩM‖ = R.La boule ouverte de centre Ω et de rayon R est B(Ω, R) = M ∈ E, ‖−−→ΩM‖ < R.La boule fermee de centre Ω et de rayon R est B(Ω, R) = M ∈ E, ‖−−→ΩM‖ R.Si dimE = 2, on parle respectivement de cercle de centre Ω et de rayon R, de disque ouvert de

centre Ω et de rayon R et de de disque ferme de centre Ω et de rayon R.

Exemple : Si dimE = 1 et si la norme est la valeur absolue, S(a, r) = a − r, a + r, B(a, r) =]a − r, a + r[ et B(a, r) = [a − r, a + r].

On va s’interesser au cas euclidien.

2) Equation cartesienne d’une sphere :

Theoreme 228 Soient E un espace affine euclidien, Ω ∈ E, k ∈ −→E et λ ∈ R. Notons

S = M ∈ E, ‖−−→ΩM‖2 + (k|−−→ΩM) + λ = 0

Alors, S est une sphere, ou un singleton, ou l’ensemble vide.

Donnons une interpretation analytique de ce theoreme : Si on rapporte E a un repere

(Ω, e1, . . . , en), si on note k :

a1

a2...

an

, l’equation :

‖−−→ΩM‖2 + (k|−−→ΩM) + λ = 0

devient

n∑

i=1

x2i +

n∑

i=1

aixi + λ = 0

CNS pour qu’on ait bien une sphere : λ > 14

∑ni=1 a2

i . Le rayon est alors√

λ − 14

∑ni=1 a2

i et le centre(−a1/2, . . . ,−an/2).

327

Proposition 486 1. Supposons le plan affine euclidien P rapporte a un repere (Ω, i, j). Alors,l’equation du cercle de centre de coordonees (a, b) de rayon R est :

x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0

ou c = a2 + b2 − R2. Le disque ouvert a pour equation :

x2 + y2 − 2ax − 2by + c < 0

2. Supposons l’espace affine euclidien E rapporte a un repere (Ω, i, j, k). Alors, l’equation de lasphere de centre de coordonees (a, b, c) de rayon R est :

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0

ou d = a2 + b2 + c2 − R2. Le disque ouvert a pour equation :

x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d < 0

3) Intersection de spheres et de sous-espaces affines :

Theoreme 229 Soit F un sous-espace affine de E, S une sphere de centre Ω et de rayon R, P leprojete orthogonal de Ω sur F , d = d(Ω, F ). Alors, l’intersection de F et S est :

1. ∅ si d > R (on dit que S et F sont disjoints) ;2. P si d = R (on dit que S et F sont tangents) ;3. la sphere de F de centre P et de rayon

√R2 − d2 si d < R (on dit que F et S sont tangents).

Exemple : Cas ou dimF = 1 ou 2.

Theoreme 230 Soient S = S(Ω, R) et S′ = S(Ω′, R′), Ω =/ Ω′. Alors S ∩ S′ est :1. une sphere d’un hyperplan affine de direction

−−→ΩΩ′⊥ centree sur la droite (Ω,Ω′) lorsque

|R′ − R| < ‖ΩΩ′‖ < R + R′

2. un point de (ΩΩ′) si ‖ΩΩ′‖ = R + R′ ou |R′ − R|.3. ∅ si ‖ΩΩ′‖ < |R′ − R| ou ‖ΩΩ′‖ > R + R′.

Dessin.

4) Etude de lieux geometriques :

a- Points M tels que (MA|MB) = 0 :

Soient A et B deux points de E, A =/ B. Alors l’ensemble des points M de E tels que(−−→MA|−−→MB) = 0 est la sphere centre le milieu de A et B et de rayon 1/2‖−→AB‖ ; on dit que cettesphere est de diametre [AB].

i b- Points M tels que d(A, M)/d(B, M) = λ :

Soient A et B deux points de E, A =/ B, λ > 0, λ =/ 1 . Alors l’ensemble des points M de Etels que d(A, M) = λd(B, M) est une sphere centree sur (AB).


ii c- Points M tels que l’angle oriente (MA, MB) = α (mod π) :

Soient P le plan affine auclidien oriente, α ∈]0, π[, A et B deux points distincts de P.• L’ensemble des points M de P\A, B tels que

−−−−−→(AMB) = α (mod π) est un cercle passant par

A et B prive des points A et B. Plus precisement, il existe un unique Ω ∈ P tel que ‖−→ΩA‖ = ‖−→ΩB‖et −−−→

AΩB = 2α (mod 2π). Le cercle en question est centre en Ω (de rayon ‖−→ΩA‖).• L’ensemble des points M de P\A, B tels que

−−−−−→(AMB) = α (mod 2π) est l’intersection du

cercle precedent avec l’un des demi-plan ouverts limites par la droite affine (AB).• On obtient la consequence suivante : Si A, B, M sont trois points distincts sur un cercle centre

en Ω,

−−−−→(AΩB) = 2

−−−−−→(AMB) (mod 2π)

V. Geometrie du triangle

P designe un plan affine, T = (A, B, C) trois points non alignes de P.

1) Proprietes affines :

a- Les medianes sont concourantes :

Soient :

I =B + C

2, J =

C + A

2, K =

A + B

2

les mileux de chaque cotes du triangle. On appelle mediane de T les droites (AI), (BJ) et (CK).

Proposition 487 Les medianes de T sont concourantes en G = A+B+C3 l’isobarycentre des points

A, B et C.

i b- Theoreme de Menelaus :

Soient M ∈ (BC), N ∈ (CA) et P ∈ (AB) trois points de P distincts des sommets A, B et Cde T . Alors

Proposition 488 (Theoreme de Menelaus) M , N et P sont alignes si et seulement si :

MB

MC.NC

NA.PA

PB= 1

ii c- Theoreme de Ceva :

Proposition 489 (Theoreme deCeva) (AM), (BN) et (CP ) sont paralleles ou concourantes siet seulement si :

MB

MC.NC

NA.PA

PB= −1

2) Proprietes metriques :

On suppose maintenant P affine euclidien oriente.

329

a- Angles dans un triangle :

Soient A = CAB, B = ABC et C = BCA. On dit que le triangle T est rectangle si l’un de cesangles vaut π

2 . On pose :

AB = ‖−→AB‖, BC = ‖−→BC‖ et CA = ‖−→CA‖

On dit que T est isocele si deux de ces longueurs sont egales et equilateral si AB = BC = CA.

Theoreme 231 On a A + B + C = π.

Proposition 490 On a :

BC2 = AC2 + AB2 − 2.AB.CA. cos A

Si T est rectangle en A (i.e. −→AC et −→AB sont orthogonaux) :

cos A =CA

AB, sin A =

BC

ABet tan A =

BC

CA

i b- Mediatrices :

On appelle mediatrices de T les droites mediatrices des couples de points (A, B), (B, C) et(C, A).

Theoreme 232 Les mediatrices de T sont concourantes et se coupent en un point Ω tel que ΩA =ΩB = ΩC.

Le cercle circonscrit a T est le cercle centre en Ω passant par A, B et C.

Proposition 491 Si R designe le rayon de cercle :

BC

sin A=

CA

sin B=

AB

sin A= 2R

ii c- Hauteurs et orthocentre :

Les hauteurs de T sont les droite hA = A + −→BC⊥, hB = B + −→

CA⊥ et hC = C + −→AB⊥.

Theoreme 233 Les hauteurs hA, hB et hC sont concourantes en un point H appele orthocentrede T .

Theoreme 234 On a :

−→ΩH = 3−→ΩG

et Ω, H et G sont alignes. Si T n’est pas equilateral, Ω est distinct de G, et la droite (ΩG) estappele droite d’Euler du triangle T .

iii d- Bissectrices :

Proposition 492 Soient i et j deux vecteurs unitaires de −→P et x ∈ −→P , x =/ 0. Les trois conditionssuivantes sont equivalentes :

(i) (−→i, x) +−−→(j, x) ≡ 0 (mod 2π) (resp. π (mod 2π)).

(ii) i, x = j, x (resp. π − j, x).(iii) x ∈ R(i + j) (resp. x ∈ R(i − j)).


Soient i =−→ABAB et j =

−→ACAC . La bissectrice interieure en A est DA = A + R(i + j) et la bissectrice

exterieure en A est ∆A = A + R(i − j). On definit de meme DB, ∆B, DC et ∆C .

Theoreme 235 Soient D = (AB) et D′ = (AC).L’ensemble des points de M de P tel que d(M, D) = d(M, D′) est la reunion des deux bissectrices

en A, DA et ∆A.

Theoreme 236 DA, DB, DC ont un point unique en commun.∆A, ∆B, DC ont un point unique en commun.∆A, DB, ∆C ont un point unique en commun.DA, ∆B, ∆C ont un point unique en commun.

Les points ainsi definis sont equidistants des droites (AB), (BC) et (CA). Ils sont les centresde cercles tangents a (AB), (BC) et (CA). Le premier cercle est le cercle inscrit dans T . Les troisautres sont les cercles exinscrits de T .

VI. Similitudes

1) Generalites :

Definition 391 Soit u ∈ A(E). On dit que u est une similitude s’il existe k > 0 tel que pour tout(A, B) ∈ E2 :

‖−−−−−−→u(A)u(B)‖ = k‖−→AB‖

k est alors appele rapport de la similitude.

Proposition 493 Soit u ∈ A(E). Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) u est une similitude ;(ii) Il existe k > 0 tel que −→u = kv ou v ∈ O(E).Dans ces conditions, k est le rapport de la similitude.

Exemple : Les isometries, les homotheties sont des similitudes.Remarque : Une similitude conserve les angles non orientes.

Corollaire 112 La composee de deux similitudes de rapport k et k′ est une similitude de rapportkk′. Une similitude de rapport est bijective, et sa reciproque est une similitude de rapport 1/k.Ainsi, l’ensemble des similitudes de E est un sous-groupe de GA(E).

Definition 392 Soit u une similitude.u est dit directe (resp. indirecte) si det−→u > 0 (resp. det−→u > 0).

Remarque : Composee de similitudes directes, indirectes...

2) Similitudes directes d’un plan euclidien oriente :

On suppose P oriente.Exemple : Les homotheties, les translations, les rotations sont des similitudes directes.Remarque : Les similitudes directes conserve les angles orientes. Une similitude indirecte les changeen leur oppose.

Theoreme 237 Soit u une similitude directe de rapport k. On suppose que u n’est pas une trans-lation.

Alors u admet un unique point fixe Ω appele centre de u. De plus, u s’ecrit de maniere uniqueu = h r ou h est une homothetie de centre Ω et de rapport k, r une rotation de centre Ω. L’anglede u est l’angle de r.

331

Proposition 494 Soit u et u′ deux similitudes directes d’angle α et α′. Si modulo 2π, α + α′ ≡ 0,u u′ est une similitude d’angle α + α′.

Remarque : Si P est identifie a C, une similitude directe est une application de la forme z ∈ C −→az + b ou (a, b) ∈ C

∗ ×C. Si a = 1, c’est une translation de vecteur b, sinon c’est similitude directede rapport |a| et d’angle arg a.

Les similtudes indirectes sont les applications du type z ∈ C −→ az + b ou (a, b) ∈ C∗ × C.

Theoreme 238 Soient A =/ B et A′ =/ B′ dans P.Il existe alors une unique similitude directe u telle que u(A) = A′ et u(B) = B′. Son rapport

est A′B′/AB et, lorsque u n’est pas une translation, son angle est l’angle oriente−−−−−−−→(−→AB,

−−→A′B′).


Chapitre 6

Arcs parametres

Dans ce chapitre, P un plan affine euclidien oriente rapporte a un repere orthonorme positif,P = −→P , I un intervalle de R de longueur non nulle, k 1 un entier.

I. Arcs parametres

1) Complements de calcul differentiel :

Rappel : Derivation d’une fonction f : I −→ E. Utilisation d’une base.

Proposition 495 Soit ϕ : P 2 −→ R une forme bilineaire, f, g : I −→ R derivables. Alors ψ : t ∈I −→ ϕ(f(t), g(t)) est derivable et si t ∈ I :

ψ′(t) = ϕ(f ′(t), g(t)) + ϕ(f(t), g′(t))

Corollaire 113 Soit f, g : I −→ P derivables. Alors ϕ : t ∈ I −→ (f(t)|g(t)) est derivable et sit ∈ I

ϕ′(t) = (f ′(t)|g(t)) + (f(t)|g′(t))

Remarque : Cas ou f et g sont Ck.

Corollaire 114 Soit f, g : I −→ P derivables, B une base. Alors :

ϕ : t ∈ I −→ detB

(f(t), g(t))

Alors ϕ est derivable et si t ∈ I :

ϕ′(t) = detB

(f ′(t), g(t)) + detB

(f(t), g′t))

Remarque : Cas ou f et g sont Ck.

2) Vocabulaire :

Definition 393 Un arc parametre de E (de classe Ck) est une application ϕ : t ∈ I −→ M(t) ∈ Ede classe Ck.

Γ = ϕ(I) est appele support de l’arc. On dit aussi que Γ est une courbe parametree definie parle parametrage t −→ ϕ(t) = M(t), t est appele le parametre.

On dit que ϕ est simple si ϕ est injective. Un point A ∈ Γ est dit de multiplicite n ∈ N ∪ +∞si Cardϕ<−1>(A) = n. Si n = 1, on parle de point simple, si n = 2, de point double...

334 CHAPITRE 6. ARCS PARAMETRES

Remarque : Par abus de langage, on confond l’arc ϕ et son support Γ. En cinematique du point,ϕ(t) = M(t) est appele point mobile et Γ est la trajectoire.

Dans la suite, ϕ : t ∈ I −→ M(t) designe un arc parametre de classe Ck.

3) Vecteurs derives :

Definition 394 On appelle vecteur derive de ϕ en t0 ∈ I (ou encore vecteur vitesse) le vecteur :

−→dM

dt(t0) = ϕ′(t0)

Si k 2, on appelle vecteur derive second de ϕ en t0 ∈ I (ou encore vecteur acceleration) levecteur :

−−→d2M

dt2(t0) = ϕ′′(t0)

Si−−→dMdt

(t0) =/ 0, le point M(t0) est dit regulier. Si−−→dMdt

(t0) = 0, le point M(t0) est dit stationnaire.

Si−−→dMdt

(t0) et−−→d2

Mdt2

(t0) sont libles, c’est-a-dire, si :

det(−→dM

dt,

−−→d2M

dt2)(t0) =/ 0

on dit que le point M(t0) est biregulier.L’arc est dit regulier (resp. biregulier) si tous les points de l’arcs le sont.

4) Changement de parametrages :

Soit T : u ∈ J −→ t(u) ∈ I. On rappelle que T est un Ck-diffeomorphisme si T est bijectif et Tet T−1 sont Ck. Pour cela, il suffit que :

− T soit Ck,− T ′ > 0 ou T ′ < 0,− T (J) = I.Alors ψ : u ∈ J −→ ϕ(t(u)) est un arc Ck de meme support Γ que ϕ. On dit que l’on effectue

le changement de parametrage t = t(u).

Proposition 496 Les changements de parametrages ne changent pas le caractere regulier oubiregulier des points d’un arc.

Si T ′ > 0, i.e. T croissant, on dit que ϕ et ψ definissent la meme orientation. Si T ′ < 0,l’orientation est dite oppose.

II. Etude locale des courbes planes :

1) Demi-tangentes :

On considere un arc ϕ : t ∈ I −→ M(t) ∈ P . Soit t0 ∈ I. On suppose qu’au voisinage de t0, sit =/ t0, M = M(t) =/ M(t0) = M0. On pose alors Dt = (M(t0)M(t)) = (M0M) et :

τ(t) =−−−−−→M0M(t)

‖−−−−−−→M0M(t)‖

335

On suppose que les limites :

τ1 = limt→t+0

τ(t) et τ2 = limt→t−0

τ(t) existent.

τ1 et τ2 sont unitaires.

Definition 395 Les demi-droites M0 + R+τ1 et M0 + R+τ2 sont apellees demi-tangentes a l’arcϕent0.

Si τ1 et τ2 sont colineaires, la droite T0 = M0 + Rτ1 est la tangente a l’arc ϕ en M0. La droiteN0 orthogonale a T0 passant par M0 est appele normale a l’arc ϕ en M0.

Remarque : dessinSi τ1 = −τ2, les deux demi-tangentes sont opposees et on oriente T0 par τ1.Si τ1 = τ2, les deux demi-tangentes sont confondues et on dit que M0 est un point de rebrousse-

ment.

2) Condition suffisante d’existence des tangentes :

Rappel : Formule de Taylor-Young pour les fonctions vectorielles.

Theoreme 239 On suppose qu’il existe p 1 tel que :

−→dM

dt(t0) = . . .

−−−−→dp−1M

dtp−1(t0) = 0 et

−−→dpM

dtp(t0) =/ 0

Alors, l’arc admet une tangente en M0 qui est la droite :

M0 + R

−−→dpM

dtp(t0)

De plus, M0 est un point de rebroussement si, et seulement si p est pair et la demi-tangente est

M0 + R+

−−−→dpM

dtp(t0).

Exemple : Si p = 1, i.e. si M0 est regulier, l’arc admet une tangente :

M0 + R

−→dM

dt(t0)

Ce n’est pas un point de rebroussement.

On oriente dans ces conditions la tangente par−−→dMdt

(t0)

3) Classification des points admettant une tangente :

On considere un arc ϕ : t ∈ I −→ M(t) ∈ P . Soit t0 ∈ I, M0 = M(t0). Soit ∆ une droitepassant par M0.

Definition 396 On dit que l’arc tranverse ∆ en t0 s’il existe α > 0 tel que l’un des deux plansouverts delimites par H contient tous les points de l’arc pour t ∈]t0, t0 + α[ et l’autre demi-plantous points correspondant a t ∈]t0 − α, t0[.


Theoreme 240 Supposons qu’il existe p 1 tels que−−−→dp

Mdtp

(t0) =/ 0. On choisit de plus p minimal.

On suppose ensuite qu’il existe q > p tel que−−→dq

Mdtq

(t0) et−−−→dp

Mdtp

(t0) soient libres. On choisit la encoreq minimal. Dans ces conditions, on a l’un des quatre cas suivants :

1. p impair, q pair : l’arc tranverse toute droite passant par M0 sauf sa tangente en M0. On ditque M0 est un point ordinaire.

2. p impair, q impair : l’arc tranverse toute droite passant par M0, y compris sa tangente. Ondit que M0 est un point d’inflexion.

3. p pair, q impair : l’arc ne tranverse aucune droite passant par M0 sauf sa tangente. On ditque M0 est un point de rebroussement de premiere espece.

4. p pair, q pair : l’arc ne tranverse aucune droite passant par M0, y compris sa tangente. Ondit que M0 est un point de rebroussement de deuxieme espece.

Remarque : Dans la pratique on fait des DL.

Definition 397 Dans le cas 1., si on note H = M0 + R

−−−→dpM

dtp(t0) + R

∗+

−−→dqM

dtq(t0), H est le demi-plan

delimite par la tangente en M0 et contenant la demi droite M0 +−−→dq

Mdtq

(t0). Ce demi plan est appeleconcavite de l’arc en M0. Il contient contient tous les points M(t) pour t voisin de t0.

Exemple : Pour un point biregulier, on se trouve dans le cas 1. et

H = M0 + R

−→dM

dt(t0) + R

∗+

−−→d2M

dt2(t0)

Le vecteur acceleration est dirige vers la concavite.

337

III. Etude des arcs parametres en coordonnees cartesiennes

On considere une fonction :

ϕ : t −→ M(t) =(

x(t)y(t)

)

∈ R2

1) Domaine d’etude :

On determine d’abord le domaine de definition D de ϕ en faisant notamment attention aux ln,√, tα, denominateurs...On cherche ensuite a reduire le domaine d’etude D :1. On cherche D1 tel que ϕ(D1) = Γ. Par exemple, si ϕ est T -periodique, on peut prendre

D1 = D ∩ [a, a + T ], a quelconque. Cas ou x et y sont paires.2. On cherche D2 telle que Γ soit la reunion de Γ′ = ϕ(D2) et d’images de Γ′ par des transfor-

mations simples. Si x paire et y impaire, on prend D2 = R+ ∩ D1, puis on fait une symetrie parrapport a O + Ri. Cas x impaire, y paire puis x et y impaires.

Il peut arriver que le trace suggere que l’arc possede une certaine symetrie. On s’attachera alorsa justifier cette symetrie.

2) Tableaux de variations :

On etudie la regularite de ϕ.On calcule x′ et y′ et on fait le tableau de variations de x et y. On mentionnera notamment les

points ou ϕ n’est pas definie, les points tels que x′(t) = 0 ou y′(t) = 0, le signe de x′ et y′ et lesvariations de x et y avec les limites eventuelles de x et y aux bornes du domaine d’etudes.

3) Points stationnaires :

On recherche les points stationnaires M0 i.e. les t0 ∈ D tels que x′(t0) = y′(t0) = 0.• On determinera la tangente en ces points stationnaires :

1. soit en trouvant le plus petit p tel que−−−→dp

Mdtp

(t0) =/ 0.

2. soit en considerant p(t) = y(t)−y(t0)x(t)−x(t0) : si p(t) tend vers l ∈ R en t0, l’arc admet en M0 une

tangente de pente l.3. soit en considerant m(t) = y′(t)

x′(t) (pente de la tangente en M(t)) : si m(t) tend vers l ∈ R ent0, l’arc admet en M0 une tangente de pente l.

• On peut ensuite s’interesser a la nature des points stationnaires : on procede comme indiqueren II.3).

4) Branches infinies :

Soit t0 ∈ R une borne d’un intervalle du domaine de definition.

Definition 398 On dit que l’arc ϕ presente une branche infinie lorsque t tend vers t+0 (BI en t+0 )si limt→t+0

‖−−→OM(t)‖ = +∞. On a une definition analogue avec t−0 .Soit a ∈ R. On suppose que ϕ presente une BI en t+0 . On dit que la droite y = ax est une

direction asymptotique de ϕ lorsque t tend vers t+0 (DA en t+0 si :

limt→t+0

y(t)x(t)

= a


x = 0 est une direction asymptotique de ϕ lorsque t tend vers t+0 si

limt→t+0

y(t)x(t)

= ±∞

5) Asymptotes :

On suppose que ϕ admet une BI en t+0 .

Definition 399 Soit ∆ : αx+βy +γ = 0 une droite de P . On dit que ∆ est asymptote a ϕ quandt tend vers t+0 si :

limt→t+0

αx(t) + βy(t) + γ = 0

Remarque : • Cela signifie que limt→t+0d(M(t),∆) = 0.

• Si ∆ est asymptote a ϕ, alors la direction de ∆ est direction asymptotique de ϕ, mais lareciproque est fausse.Remarque : Pour rechercher les asymptotes eventuelles, on on etudie par exemple y(t)/x(t) pourdeterminer une DA.

• Si y = ax est DA, on etudie limt→t+0y(t)−ax(t). Cette limite existe si et seulement si ϕ admet

une asymptote y = ax + b ou b designe cette limite.• Si x = 0 est DA, ϕ une asymptote si, et seulement si limt→t+0

x(t) existe. x = b est alorsasymptote (b designant la limite en question).

On peut egalement s’interesser a la position de l’arc par rapport a l’asymptote en etudiant lesigne de αx(t) + βy(t) + γ.

6) Branches paraboliques :

Definition 400 On suppose que ϕ admet une BI en t+0 et une DA : y = ax. On dit que ϕ admetune branche parabolique de direction y = ax quand t tend vers t+0 (BP) si :

limt→t+0

y(t) − ax(t) = ±∞

Definition 401 On suppose que ϕ admet une BI en t+0 et une DA : x = 0. On dit que ϕ admetune branche parabolique de direction x = 0 quand t tend vers t+0 (BP) si :

limt→t+0

x(t) = ±∞

Remarque : On peut chercher simultanement DA, asymptotes, BP en faisant des DL de x(t) et y(t)quand t tend vers t+0 .

7) Points asymptotes :

Definition 402 Si limt→t+0x(t) = α et limt→t+0

y(t) = β, on dit que (α, β) est un point asymptote.

339

8) Etude de la concavite, points d’inflexion :

On suppose ϕ au moins C2.

On considere δ(t) = [−−→dMdt

,−−−→d2

Mdt2

].

Proposition 497 Si M0 est un point d’inflexion, δ(t0) = 0. Reciproquement, si δ(t0) = 0 et δ(t)change en t0 de signe au voisinage de t0 et si M0 est regulier, alors M0 est un point d’inflexion.

Au lieu de δ(t) on peut utiliser m(t) = y′(t)/x′(t) si x′(t0) =/ 0, car δ(t) = m′(t)x′(t)2 ce quipeut bien simplifier les calculs.

Le signe de δ(t) donne le sens dans lequel tourne la courbe. Si δ(t) > 0, la courbe est parcouru”dans le sens trigonometrique” ; si δ(t) < 0, c’est le sens inverse.

Enfin, on peut egalement s’interesser aux points multiples.


Construire l’arc defini par x(t) = (t + 2)e1/t et y(t) = te1/t. Points d’inflexion ?

IV. Courbes en coordonnees polaires :

1) Coordonnees polaires :

Pour tout θ ∈ R, on pose :

−→U (θ) = −→

U =(

cos θsin θ

)

et −→V (θ) = −→

V =(

− sin θcos θ

)

On a −→V = r(−→U ) ou r est la rotation vectorielle d’angle +π/2. Si on identifie R

2 a C, on a : −→U = eiθ

et −→V (θ) = ieiθ.De plus :

d−→Udθ

= −→V et

d−→Vdθ

= −−→U

Definition 403 On dit que (ρ, θ) sont des coordonnees polaires de M = (x, y) si x = ρ cos θ ety = ρ sin θ.

Si M =/ O, M = (x, y), ρ1 =√

x2 + y2, θ1 une mesure de l’angle oriente entre i et −−→OM , les

coordonnees polaires de M sont les couples :

ρ = (−1)kρ1 et θ = θ1 + kπ (k ∈ Z)

On a ‖−−→OM‖ = |ρ|.


2) Expression de certaines transformations :

Soient M de coordonnees polaires (ρ, θ), u une tranformation du plan. On suppose u(M) = M ′.• si u est homothetie de centre O et de rapport k : ρ′ = kρ, θ′ = θ ;• si u est une similitude directe de centre O, de rapport k, d’angle α : ρ′ = kρ, θ′ = θ + α ;• si u est une symetrie par rapport a O : ρ′ = −ρ, θ′ = θ ou ρ′ = ρ, θ′ = θ + π,• si u est une symetrie par rapport a (Ox) : ρ′ = ρ, θ′ = −θ ;• si u est une symetrie par rapport a (Oy) : ρ′ = ρ, θ′ = π − θ ou ρ′ = −ρ, θ′ = −θ ;• si u est la symetrie par rapport a O + R

−→U (α), ρ′ = ρ, θ′ = 2α − θ ;

et (ρ′, θ′) sont des coordonnees polaires de M ′.

3) Equations polaires :

Soit G definie sur sur une partie de R2 a valeurs reelles.

Definition 404 On appelle equation polaire une equation ou les inconnues sont les points M ∈ Pde coordonnees (ρ, θ) verifiant G(ρ, θ) = 0.

Exemple : Elle pourra souvent se mettre de la forme ρ = f(θ).

Proposition 498 Une droite passant par O admet une equation polaire de la forme θ = θ0. Unedroite ne passant par O admet une equation du type Ax+By = 1 et une equation normale cos θ0x+sin θ0y = C (C =/ 0). Cette droite admet comme equation polaire :

ρ =1

A cos θ + B sin θou ρ =

C

cos(θ − θ0)

Proposition 499 Un cercle de centre O et de rayon r a comme equation polaire ρ = r. Uncercle passant par O possede une equation polaire de la forme ρ = a cos(θ − θ0) ou (a, θ) sont descoordonnees polaires de A tel que [OA] est un diametre du cercle.

Remarque : Cas des cercles centre sur (Ox) passant par O.

4) Courbe definie par une representation parametrique polaire :

Etant donne deux applications t −→ ρ(t), t −→ θ(t) de classe Ck, k 2. Elles definissent unerepresentation parametrique polaire de l’arc :

ϕ : t −→ ρ(t)−→U (θ(t))

En coordonnees cartesiennes, c’est l’arc :

x(t) = ρ(t) cos θ(t) et y(t) = ρ(t) sin θ(t)

Certains arcs n’admettent pas de representation parametrique polaire. Cependant :

Theoreme 241 Soit ϕ : I −→ R2 de classe Ck. Pour tout t ∈ I, on suppose ϕ(t) = M(t) =/ 0.

Alors, il existe t −→ ρ(t) et t −→ θ(t) de classe Ck tel que ϕ(t) = O + ρ(t)−→U (θ(t)) pour toutt ∈ I.

On suppose ϕ(t) = O + ρ(t)−→U (θ(t)). Alors :−→dM

dt=

dρ

dt

−→U + ρ

dθ

dt

−→V

−−→d2M

dt2=

(d2ρ

dt2− ρ

dθ

dt

2)−→U +

(

2dρ

dt

dθ

dt+ ρ

d2θ

dt2

)

−→V

341

5) Courbe definie par θ −→ ρ(θ) :

On s’interesse ici a : ϕ(θ) = M(θ) = O + ρ(θ)−→U (θ) ou θ −→ ρ(θ) est une application donneede classe Ck, k 2. Raccrocher a ce qui precede. On a :

−→dM

dθ= ρ′

−→U + ρ

−→V

−−→d2M

dθ2= (ρ′′ − ρ)−→U + 2ρ′

−→V

Soit θ0 ∈ I, M0 = M(θ0).

• On suppose M0 =/ O. Alors−−→dMdθ

=/ 0 et M0 est un point regulier. L’arc admet donc une

tangente et une normale. On note β =−−−−−−−−−−−−−→(

−→U (θ0),

−−→dMdθ

(θ0))

. On a :

cos β =ρ′

√

ρ2 + ρ′2et sin β =

ρ√

ρ2 + ρ′2

et si ρ′ =/ 0 :

tanβ =ρ

ρ′

La tangente ne passe jamais par O. L’angle oriente α entre i et−−→dMdθ

(θ0) est θ0 + β.• Tangente en l’origine : on suppose M0 = O. De plus, on suppose que ρ au voisinage de θ0

ne s’annule qu’en θ0. Alors l’arc admet en θ0 une tangente dirige par −→U (θ0). C’est un point de

rebroussement si, seulement si ρ garde un signe constant au voisinage de θ0. Preciser la demi-tangente.

6) Plan d’etude d’une courbe definie par θ −→ ρ(θ) :

On peut se ramener aux coordonnees cartesiennes, mais il vaut mieux eviter.• Reduction du domaine d’etude : on precise d’abord le domaine de definition.- si ρ admet une periode 2mπ, l’etude sur un intervalle de longueur 2mπ donne la totalite de Γ.- si ρ(θ + (2m + 1)π) = −ρ(θ), l’etude sur un intervalle de longueur (2m + 1)π donne la totalite

de Γ.- si T est une periode de ρ, on fait l’etude sur un intervalle de longueur T . On obtient Γ′. Pour

obtenir Γ, on prend la reunion des images de Γ′ avec par les rotations centres en O d’angle kT ouk ∈ Z.

- si ρ(θ + T ) = −ρ(θ), on fait l’etude sur un intervalle de longueur T . On obtient Γ′. Pourobtenir Γ, on prend la reunion des images de Γ′ avec par les rotations centres en O d’angle k(T +π)ou k ∈ Z.

- si ρ est paire, on fait l’etude sur R+, puis une symetrie par rapport a (Ox).- si ρ est impaire, on fait l’etude sur R+, puis une symetrie par rapport a O.• Tableau de ρ : Signe de ρ et valeurs ou ρ s’annule. Eventuellement, calcul de ρ′ et variations

de ρ, calcul de tanα.• Branches infinies : Supposons que limθ→θ+

0|ρ(θ)| = +∞. Dans ces conditions, l’arc admet une

DA dans la direction donne par −→U (θ0).


On se place alors dans le repere (O,−→U 0,

−→V 0),

−→U 0 = −→

U (θ0),−→V 0 = −→

V (θ0). Soit (X(θ), Y (θ))les coordonnees de M(θ) dans ce repere. Alors :

X(θ) = ρ(θ) cos(θ − θ0) et Y (θ) = ρ(θ) sin(θ − θ0)

La recherche de l’asymptote ou de la BP revient a l’etude de la limite de Y (θ) (qui en valeur absoluevaut d(M(θ), O + R

−→U 0)) en θ+

0 .• Autres types de branche : supposons que lim ρ(θ) = l ∈ R. Si l = 0, le point O est asymptote.

Si l ∈ R∗, le cercle d’equation polaire ρ = l est cercle asymptote. Si l est infinie, on a une branche

infinie spirale.• Trace : on utilise les renseignements precedents completes par quelques valeurs et quelques

tangentes.• Concavite (si demande) : on a :

δ(t) =

[−→dM

dθ,

−−→d2M

dθ2

]

= ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′

Si δ(t) > 0, O est dans la concavite au point M0. Les points d’inflexions s’obtiennent lorsqueρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′ s’annule en changeant de signe.

En posant u = 1/ρ, on a u + u′′ = ρ−3(ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′) d’ou par la-meme des calculs plussimples.

• Points multiples (si demande).

7) Etudes de quelques exemples :

Trace de courbes en polaires.

V. Etude metrique des courbes planes :

1) Longueur, abscisse curviligne :

Soit ϕ : I −→ P un arc de classe Ck, k 1.

Theoreme 242 Soit a < b dans I. Il existe un unique reel L 0 appele longueur de l’arc entreM(a) et M(b) tel que pour tout ε > 0, il existe h > 0 tel que pour tout subdivision S de [a, b],a = t0 < t1 < . . . < tn = b, de pas inferieur ou egal a h,

|L − LS | ε

ou LS =n∑

k=1

‖−−−−−−−−−−→M(tk−1)M(tk)‖

De plus,

L =∫ b

a

∥∥∥∥∥

−−−−→dM(t)

dt

∥∥∥∥∥

dt

Definition 405 Une abscisse curviligne de ϕ est une application t ∈ I −→ s(t) ∈ R derivable telleque :

ds

dt=

∥∥∥∥∥

−−−−→dM(t)

dt

∥∥∥∥∥

343

Remarque : Soit t0 ∈ I. Les abscisses curvilignes sont les applications de la forme :

s : t ∈ I −→∫ t

t0

∥∥∥∥∥

−−−−→dM(t)

du

∥∥∥∥∥

du + C

ou C est une constante arbitraire. Si s est une abscisse curviligne, la longueur entre M(a) et M(b)est s(b) − s(a).Remarque : En coordonnees catesiennes, x = x(t), y = y(t) :

ds

dt=

√

x′(t)2 + y′(t)2

En parametrage polaire, ρ = ρ(t), θ = θ(t) :

ds

dt=

√

ρ′(t)2 + ρ(t)2θ′(t)2

Si l’arc est donne par ρ = ρ(θ) :

ds

dθ=

√

ρ(t)2 + ρ′(t)2

2) Representation normale d’un arc :

Definition 406 Soit ψ : t ∈ J −→ g(t) ∈ P un arc. On dit que ψ est un parametrage normal sipour tout u ∈ J :

‖ψ′(u)‖ = 1

Remarque : u −→ s(u) = s est une abscisse curviligne.Notation : On notera ainsi s au lieu de s(u). On dit que l’arc est parametre par l’abscisse curviligne.

On s’interesse maintenant a l’existence de parametrages normaux pour un arc quelconque :

Theoreme 243 Soit ϕ : I −→ P un arc regulier de classe Ck, k 1, g : t −→ s une abscissecurviligne. Posons J = g(I).

Alors g est un changement de parametrage admissible de classe Ck. Le parametrage ψ induitsur J est alors un parametrage normal.

3) Vecteur tangent, repere de Frenet :

Dans ce qui suit ϕ : t −→ M(t) est un un arc regulier de classe Ck, k 1 et ψ : s ∈ J −→ M(s)le parametrage normal induit par ϕ.

Remarque :−→dMds

est de norme 1.

Definition 407 On appelle vecteur tangent (en s) le vecteur unitaire :

−→T =

−−→dM

ds

Il est porte par la tangente en M(s), il est unitaire et il oriente la tangente.


Remarque : On a :

−→T =

−→dMdt∥

∥∥∥

−→dMdt

∥∥∥∥

Definition 408 On appelle vecteur normal (en s) le vecteur −→N tel que (−→T ,

−→N ) soit une base

orthonormale directe.

Remarque : On obtient −→N par une rotation d’angle π/2.

Si on identifie P a C, on obtient −→N en multipliant −→

T par i.

Definition 409 Le repere orthonormal direct (M(s),−→T ,−→N ) est appele repere de Frenet (ou repere

mobile).

Remarque : Dessin !

4) Utilisation de l’angle α entre i et T :

Soit α l’angle oriente entre i et −→T . On a −→T = cos αi+sinαj. Donc en coordonnees cartesiennes :

cos α =dx

dset sin α =

dy

ds

En polaire, α = θ + β avec

cos β =ρ′

√

ρ2 + ρ′2et sin β =

ρ√

ρ2 + ρ′2

La fonction t −→ −→T (t) est de classe Ck−1. On peut alors definir α en fonction de t de maniere

Ck−1 :

Theoreme 244 (Theoreme de relevement) Il existe une application t −→ α(t) de classe Ck−1

tel que α(t) soit l’angle oriente entre i et −→T (s).

5) Courbure :

On suppose k 2. On a ψ′′(s) colineaire a −→N (s). Il existe un unique reel γ(s) tel que :

ψ′′(s) =−−−→d2M

ds2= γ(s)−→N (s)

Definition 410 Le reel γ(s) est appele courbure (algebrique) en s. La courbure geometrique est|γ(s)|.Remarque : Le point M(s) est biregulier si γ(s) =/ 0.

Definition 411 Si M(s) est biregulier, on appelle rayon de courbure algebrique en s le reel R(s) =1/γ(s). Sa valeur absolue est le rayon de courbure geometrique.

Proposition 500 (Formules de Frenet) On a :

d−→Tds

= γ−→N et

d−→Nds

= −γ−→T

345

Proposition 501 Si s −→ α(s) est la fonction angulaire−−−→(i,−→T ) :

γ =dα

ds

Exemple : Courbes de courbure nulle, de courbure constante non nulle.Remarque : Si l’arc est biregulier, on peut donc parametrer l’arc en fonction de α. Dans ces condi-tions :

d−→Tdα

= −→N et

d−→Ndα

= −−→T

6) Vitesse et acceleration dans le repere de Frenet :

On a :

−−→dM

dt=

ds

dt

−→T et

−−−→d2M

dt2=

d2s

dt2−→T + γ

(ds

dt

)2 −→N

Remarque : acceleration tangentielle, acceleration normale, expression en fonction de la vitesse.Remarque : Expression de la courbure : dans tous les cas, on a :

γ(t) =

[−→dMdt

,−−→d2

Mdt2

]

∥∥∥∥

−→dMdt

∥∥∥∥

3

En coordonnees cartesiennes :

γ =x′y′′ − y′x′′

(x′2 + y′2)3/2

En parametrage : ρ = ρ(θ) :

γ =ρ2 + 2ρ′2 − ρρ′′

(ρ2 + ρ′2)3/2)=

u3(u + u′′)(u2 + u′2)3/2

si u = 1/ρ. Dans ces formules, il n’est point besion de determiner un parametrage normal. Si α secalcule aisement, on peut utiliser la formule :

γ =dα

ds=

dα

dt

dt

ds=

dαdt

dsdt

Remarque : Si un changement de parametrage n’est pas positivement admissible, la courbure estchangee en son opposee.

VI. Formes differentielles

1) Presentation :

Definition 412 Soit U un ouvert de Rn. On appelle forme differentielle sur U toute application

ω : U −→ L(Rn, R) de classe C1.


Remarque : Dans ces conditions, il existe A1, . . . , An : U −→ R de classe C1 telle que

ω(x1, . . . , xn) =n∑

j=1

Aj(x1, . . . , xn)dxj .

Les Aj sont appeles les coeffcients de la forme ω.

Definition 413 Soit ω une forme differentielle sur U .On dit que ω est exacte s’il existe F : U −→ R de classe C1 telle que dF = ω : F est appele

primitive de ω.

Exemple : ω : (x1, . . . , xn) −→∑n

j=1 xjdxj admet la primitive F : (x1, . . . , xn) −→ 12

∑nj=1 x2

j .Remarque : Si ω est exacte et si U est connexe, alors les primitives de ω different d’une constante.

2) Formes differentielles fermees :

Definition 414 Soit ω une forme differentielle sur U de coefficients A1, . . . , AN . On dit que ω estfermee sur U si pour tout 1 i, j n,

∂Ai

∂xj=

∂Aj

∂xi.

Theoreme 245 (Theoreme de Poincare) Soit omega une forme differentielle sur U .Si ω est exacte, alors ω est fermee.Reciproquement, si U est etoile, ω fermee implique ω exacte.

Exemple : Montrer que

2x tan y

(1 + x2)2dx − 1 + tan2 y

1 + x2dy

est exacte et calculer un primitive ((x, y) −→ − tan y

1 + x2).

3) Integrales curvilignes :

Dans ce paragraphe, on appellera arc oriente de classe C1 par morceaux (ou plus simplementarc oriente) toute application ϕ : I −→ R

n avec I intervalle segment et ϕ C1 par morceaux.

Definition 415 Soit ϕ : I −→ Rn et Ψ : J −→ R

n. On dit que ϕ et Ψ sont equivalent s’il existeθ : I −→ J strictement croissante, bijective, C1 par morceaux ainsi que θ−1, et verifiant

ϕ = Ψ θ.

Remarque : La relation ”est equivalent a” est une relation dequivalence sur les arcs orientes de Rn.

Definition 416 On appelle courbe orientee toute classe d’equivalence d’un arc oriente.Un arc parametre ϕ : [a, b] −→ R

n appartenant a la courbe oriente (C) est appeleeparametrisation de C. ϕ(a) = A et ϕ(b) = B sont appelees origine et extremite de (C) respec-tivement.

Si A = B, on dit que (C) est un lacet.

347

Theoreme 246 Soit U un ouvert de Rn, ω une forme differentielle sur U ; ϕ : t ∈ [a, b] −→

(x1(t), . . . , xn(t)) ∈ U un arc oriente contenu dans U (a < b). On pose

Iϕ =∫ b

a

n∑

j=1

Aj(x1(t), . . . , xn(t))x′j(t)dt.

Pour tout arc Ψ equivalent a ϕ, on a Iϕ = IΨ.

Definition 417 Iϕ ne depend donc que de ω et la courbe orientee (C) definie par ϕ. Iϕ est appeleeintegrale curviligne de ω le long de C. On la note

∫

(C)ω =

∫

(C)A1dx1 + · · ·Andxn.

4) Integrale curviligne d’une forme differentielle exacte :

Theoreme 247 Soit U un ouvert de Rn, ω une forme differentielle sur U , (C) une courbe orientee

incluse dans U d’origine A et d’extremite B.On suppose ω exacte et admettant F comme primitive . Alors

∫

(C)ω = F (B) − F (A)

Corollaire 115 Soit ω une forme differentielle exacte sur U , (C) un lacet. Alors∫

(C)ω = 0.

Exemple : Montrer que ω : (x, y) −→ − yx2+y2 dx + x

x2+y2 dy est fermee mais non exacte sur R2\0.

5) Circulation d’un champs de vecteurs :

Soit −→F : (x1, . . . , xn) ∈ U −→ (F1(x1, . . . xn), . . . , Fn(x1, . . . , xn)) une fonction C1 (c’est un

champs de vecteurs de classe C1). La forme differentielle associee a −→F est

ωF (x1, . . . , xn) =n∑

j=1

Fj(x1, . . . , xn)dxj

.On peut ecrire abusivement omega = −→

F .−→dM avec −→dM = (dx1, . . . ,dxn).

Definition 418 La circulation du champs de vecteurs −→F le long de (C) contenu dans U est

∫

(C)ωF =

∫

(C)

−−−→F (M).−→dM.

6) Formule de Green-Riemann :

Theoreme 248 (Formule de Green-Riemann) Soit D un domaine quarrable de R2 limitee par

une courbe (C), U un ouvert de R2 contenant D, ω : (x, y) ∈ U −→ P (x, y)dx + Q(x, y)dy une

forme differentielle. Alors∫

(C)ω =

∫

(C)P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

∫∫

D

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dxdy.


Remarque : Avec P = −y et Q = 0 ou P = 0 et Q = x, on trouve

Corollaire 116 Soit D un domaine quarrable de R2 limitee par une courbe (C). A(D), l’aire de

D vaut

A(D) =∫∫

Ddxdy = −

∫

(C)ydx =

∫

(C)xdy =

12

∫

(C)xdy − ydx.

Exemple : Soit (C) une courbe orientee definie par une representation polaire ρ = ρ(θ), d’origineA et d’extremite B. L’aire du secteur D limite par (C), OA et OB vaut

A(D) =12

∫

(C)ρ2dθ.

Par exemple pour ρ =√

cos 2θ, l’aire de la lemniscate est

4.12

∫ π/4

0cos 2θdθ = 1.

Chapitre 7

Coniques

Dans ce chapitre, P un plan affine euclidien oriente rapporte a un repere orthonorme positif,P = −→P .

I. Definition geometrique des coniques

1) Foyer et directrice d’une conique :

Definition 419 Soient D une droite de P, F un point de P en dehors de D et e > 0.L’ensemble C des points M de P tels que MF = eMH ou H est le projete orthogonal de M

sur D (et donc MH la distance de M a D) est appele conique de foyer F , de directrice D etd’excentricite e.

On dit que C est une ellipse si 0 < e < 1, une parabole si e = 1, une hyperbole si e > 1.

Remarque : Remarquons que C ne rencontre ni D, ni F , donc C est l’ensemble des points M de Pen dehors de D et F tel que :

MF

MH= e

Les coniques de foyer F et de directrice D sont des lignes de niveau de M −→ MF/MH.

350 CHAPITRE 7. CONIQUES

Remarque : La droite orthogonale a D passant par F est un axe de symetrie de la conique. Elle estappelee axe focal de C.

Proposition 502 Soit u une similitude de P, C une conique de foyer F , de directrice D et d’ex-centricite e.

Alors u(C) est une conique de foyer u(F ) de directrice u(D) et d’excentricite e.

2) Equation polaire :

Definition 420 Soient C une conique de foyer F , de directrice D et d’excentricite e, d = d(F, D).p = ed est appele parametre de la conique C.

Proposition 503 Soient C une conique de foyer F , de directrice D et d’excentricite e, de parametrep. On rapporte P au repere orthonormal direct (F, i, j) tel que D ait pour equation x = d. Dansces conditions, C admet l’equation polaire :

ρ =p

1 + e cos θ

Remarque : ρ = pe cos θ−1 est une autre equation de C.

Sauf mention explicite du contraire, lorsque on considerera une conique F designera son foyer,D la directrice, e l’excentricite et p = ed le parametre.

II. II. Etude de l’ellipse

1) Equation reduite :

Proposition 504 Soit E une ellipse. Il existe un RON (O, i, j) tel que E admette dans ce reperel’equation :

x2

a2+

y2

b2= 1

avec 0 < b < a On a en outre

a =p

1 − e2et b =

p√1 − e2

Remarque : Cette equation est appele equation reduite de E .

Proposition 505 Soit (O, i, j) un RON. L’ensemble des points verifiant

x2

a2+

y2

b2= 1

avec 0 < b < a est une ellipse de foyer F , D la directrice, e l’excentricite et p le parametre avec :

F = (0, c) avec c =√

a2 − b2, D : x =a

e, e =

c

aet p =

b2

a

Remarque : • L’equation E est symetrique par rapport au axes Ox et Oy et par la symetrie decentre O.

• Notons F ′ = (−c, 0) et D′ la droite d’equation x = −a/e.E est aussi l’ellipse de foyer F ′, de directrice D′ et d’excentricite e.

351

Definition 421 On dit que O est le centre de l’ellipse, l’axe focal Ox est aussi appele grand axe etl’axe Oy petit axe. Les points A = (a, 0), A′ = (−a, 0), B = (0, b) et B′ = (0,−b) sont les sommets.On dit que AA′ = 2a est la longueur du grand axe et BB′ = 2b est la longueur du petit axe.

2) Parametrage :

L’ellipse E d’equation x2

a2 + y2

b2= 1 possede le parametrage :

x = a cos ty = b sin t

ou t parcourt ] − π, pi].C(O, a) est le cercle principal de E , C(O, b) est le cercle secondaire.E est l’image de C(O, a) (resp. C(O, b)) par l’affinite orthogonale par rapport a Ox (resp. Oy)

de rapport b/a (resp. a/b).

Proposition 506 1. L’image d’un cercle par une affinite orthogonale est un cercle ou une ellipse.2. Le projete orthogonal d’un cercle de l’espace sur un plan non perpendiculaire au plan du cercle

est une ellipse ou un cercle.

3) Propriete bifocale :

Theoreme 249 Avec les notations precedentes, E est l’ensemble des points verifiant :

MF + MF ′ = 2a

Reciproquement, si F et F ′ sont deux points distincts de P, l’ensemble des points verifiant MF +MF ′ = 2a est une ellipse.

Remarque : Soit Γ = C(O, R) avec R > 0. Notons p = a = b = R et e = 0. On constante alorsque Γ verifie l’equation polaire ρ = p/(1 − e cos θ), l’equation cartesienne x2/R2 + y2/R2 = 1 et leparametrage du 2). Pour le theoreme precedent, Γ le verifie a condition de prendre F = F ′. Cesproprietes expliquent que l’on considere le cercle Γ comme une ellipse d’excentricite nulle.

III. Etude de la parabole

P designe une parabole.

Proposition 507 Il existe une RON (O, i, j) tel que P admette dans ce repere l’equation reduite :

y2 = 2px

ou p = d est le parametre de la parabole.


Proposition 508 Soient (O, i, j) un RON, p > 0. Les points verifiant :

y2 = 2px

constituent une parabole de foyer F = (p/2, 0), de directrice D : x = −p/2.

Remarque : Si p < 0, on obtient une parabole de parametre |p|, de foyer F = (p/2, 0), D : x = −p/2.Le point O est eppele sommet de P : c’est seul point de P sur l’axe focal.

Remarque : x = y2/2 fournit un parametrage de P .

IV. Etude de l’hyperbole

1) Equation reduite :

Soit H une hyperbole.

Proposition 509 Il existe un RON (O, i, j) tel que H admette dans ce repere l’equation reduite :

x2

a2− y2

b2= 1

avec a > 0 et b > 0. On a de plus

a =p

e2 − 1et b =

p√e2 − 1

ou p = ed est le parametre de H.

Proposition 510 Soit (O, i, j) un RON. L’ensemble des points verifiant :

x2

a2− y2

b2= 1

est une hyperbole de foyer F = (c, 0) avec c =√

a2 + b2, d’excentricite e = c/a, de directriceD : x = a/e, de parametrage p = b2/a.

Remarque : • H est invariante par symetrie centrale de centre O, les reflexions d’axe Ox et Oy.• Si F ′ = (−c, 0) et D′ : x = −a/e, on constate que H est aussi l’hyperbole de foyer F ′ de

directrice D′ et d’excentricite e.On dit que O est le centre de H, l’axe focal Ox est appele axe transverse, Oy axe non transverse.

Les points A = (a, 0) et A′ = (−a, 0) sont les sommets.Les deux droites ∆ : x/a − y/b = 0 et ∆′ : x/a + y/b = 0 sont les asymptotes. Si elles sont

orthogonales (i.e a = b), H est dite equilatere.L’ensemble des points (x, y) de H tels que x > 0 (resp. x < 0) est appele branche.

353

2) Parametrage :

Les relations :

x = aε ch ty = b sh t

ou t ∈ R et ε ∈ −1, 1.

3) Propriete bifocale :

Theoreme 250 L’hyperbole H est l’ensemble des points M tels que :

|MF − MF ′| = 2a

Inversement, si F et F ′ sont deux points distincts, et si 0 < 2a < FF ′, l’ensemble des points Mtels que |MF − MF ′| = 2a definit une hyperbole.

V. Etude a partir d’une equation cartesienne

1) Reduction de l’equation d’une conique :

Soit (O, i, j) un RON et C l’ensemble d’equation :

αx2 + βy2 + 2γx + 2δy + ε = 0

ou (α, β, γ, δ, ε) ∈ R5 et (α, β) =/ 0.

Proposition 511 On suppose αβ =/ 0. Alors il existe Ω tel que C admette dans le repere (Ω, i, j)une equation de la forme :

αX2 + βY 2 = λ

De plus :1. Si αβ > 0, on constate que C est une ellipse ou un cercle de centre Ω lorsque αλ > 0, est

Ω si λ = 0, est ∅ si αλ < 0.2. Si αβ < 0, on constate que C est une hyperbole si λ =/ 0 et est la reunion de deux droites

secantes en Ω si λ = 0.

Proposition 512 On suppose α = 0 et β =/ 0. Il existe alors Ω tel que dans le repere (Ω, i, j), Cadmette une equation de la forme :

βY 2 + λX = 0 avec λ =/ 0


ou βY 2 + µ = 0

Dans le premier cas, C est une parabole. Dans le second, c’est la reunion de deux droites parallelesa OX si βµ 0, et c’est ∅ sinon.

Proposition 513 L’ensemble xy = k est pour k =/ 0 une hyperbole d’asymptote Ox et Oy

2) Tangente a une conique :

Remarque : On peut utiliser des parametrages.

Proposition 514 Soit C : αx2 + βy2 + 2γx + 2δy + ε = 0 et (x0, y0) un point de C. La tangenteen ce point a pour equation :

αx0x + βy0y + γ(x + x0) + δ(y + y0) + ε = 0

Exemple : Application aux equations reduites :

x0x

a2+

y0y

b2= 1, y0y = p(x + x0),

x0x

a2− y0y

b2= 1

Partie GFonctions a plusieurs variables

Chapitre 1

Espaces vectoriels normes

I. Generalites :

1) Normes sur un espace vectoriel reel :

Definition 422 Soit E un R-espace vectoriel. On appelle norme sur E toute application ‖ ‖verifiant :

1. Pour tout x ∈ E, ‖x‖ = 0 si et seulement si x = 0.2. Pour tout x ∈ E, λ ∈ R, ‖λx‖ = |λ|‖x‖.3. Pour tout x et y dans E, ‖x + y‖ ‖x‖ + ‖y‖.Un espace vectoriel norme (evn) est un R-espace vectoriel muni d’une norme.

Exemple : Les espaces euclidiens sont des evn.Remarque : On peut egalement supposer que le corps de base est C, | ‖ designe alors le module.

Sauf mention explicite du contraire, E et F designeront des evn.

Definition 423 Soient (xn)n∈N une suite de E, l ∈ E.On dit que (xn)n∈N converge vers l si pour tout ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que pour tout n ∈ N,

n n0, on a |xn − l| ε, ce qui s’ecrit :

(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N) (∀n n0) (|xn − l| ε)

Remarque : (xn)n∈N converge vers l si et seulement si (xn − l)n∈N converge vers 0.

Proposition 515 (Unicite de la limite) La limite d’une suite, si elle existe, est unique.

Notation : Si (xn)n∈N converge vers l, on note limn→+∞ xn = l.

2) Exemples d’espaces vectoriels normes :

• Soit E = Rn. On definit les normes suivantes sur E :

‖

x1

x2...

xn

‖1 =n∑

k=1

|xk|, ‖

x1

x2...

xn

‖2 =

√√√√

n∑

k=1

x2k et ‖

x1

x2...

xn

‖∞ = sup1kn

|xk|

pour tout

x1

x2...

xn

∈ E.

358 CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMES

• Soit E = C([a, b], R). On definit les normes suivantes sur E :

‖f‖1 =∫ b

a|f |, ‖f‖2 =

√∫ b

af2 et ‖f‖∞ = sup

x∈[a,b]|f(x)|

pour tout f ∈ E.• Soit E = R[X]. On definit les normes suivantes sur E :

‖P‖ =+∞∑

k=0

|ak|, N(P ) =

√∫ 1

0P 2 et ν(P ) =

√∫ 1

−1

P (t)2√1 − t2

dt

pour tout P =∑

k∈NakX

k ∈ E

Remarque : On notera B = B(0, 1). B est convexe. Dessin pour E = R2 et ‖ ‖1, ‖ ‖2 et ‖ ‖∞.

3) Identite du parallelogramme :

Est-ce que les normes que nous avons definies derivent d’un produit scalaire ? La reponse estnon. Nous allons caracteriser les normes euclidiennes par le theoreme suivant :

Theoreme 251 (Identite du parallelogramme) Les deux propositions suivantes sontequivalentes :

(i) ‖ ‖ est euclidienne.(ii) Pour tout (x, y) ∈ E2 :

‖x + y‖2 + ‖x − y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)

Exemple : ‖ ‖∞ n’est pas euclidienne sur R2.

4) Normes equivalentes :

Exemple : Sur E = C([0, 1], R), il existe des suites (xn)n∈N qui converge pour ‖ ‖1 et pas pour ‖ ‖2 !

Definition 424 Soit ‖ ‖ et N deux normes sur E.On dit que ‖ ‖ et N sont equivalentes s’il existe α > 0 et β > 0 tels que :

α‖x‖ N(x) β‖x‖

pour tout x ∈ E.

Remarque : ”Etre equivalente” est une relation d’equivalence sur l’ensemble des normes de E

Proposition 516 Si ‖ ‖ et N sont deux normes equivalentes de E, (xn)n∈N une suite de E, l ∈ E,(xn)n∈N converge vers l dans (E, ‖ ‖) si et seulement si (xn)n∈N converge vers l dans (E, N).

5) Cas de la dimension finie :

Theoreme 252 Soit E un espace vectoriel reel de dimension finie.Alors, les normes de E sont equivalentes.admis

Remarque : En dimension finie, pour prouver un resultat topologique, on pourra choisir la normela plus adaptee au probleme.

359

Theoreme 253 Soit E un R-espace vectoriel norme de dimension finie, (xn)n∈N une suite deE, (e1, . . . , ep) une base de E, l ∈ E. On ecrit pour tout n 0, xn = xn(1)e1 + . . . xn(p)ep etl = l(1)e1 + . . . l(p)ep.

Les deux propositions suivantes sont equivalentes :(i) (xn)n∈N converge vers l.(ii) Pour tout 1 k p, (xn(k))n0 converge vers l(k).

II. Ensembles bornes et voisinages

1) Proprietes des bornes :

Definition 425 Soient A ⊂ E, f : E −→ F .A est dit borne s’il existe R > 0 tel que A ⊂ B(0, R) i.e.

(∀x ∈ A) (‖x‖ R)

f est dite borne si Im f est borne.

Remarque : A est borne des qu’il existe a ∈ E et R > 0 tel que A ⊂ B(a, R).Exemple : • Les boules et les spheres sont bornees, les ensembles finis sont bornes.Remarque : En dimension finie, si ‖ ‖ et N sont deux normes, A est borne dans (E, ‖ ‖) si etseulement si A est borne dans (E, N).

Proposition 517 1. Soient A ⊂ B ⊂ E. Si B est borne, A aussi.2. Soient A1, A2,..., An des parties bornees de E. Alors A =

⋃nk=1 Ak est borne.

2) Voisinages d’un point de E :

Definition 426 Soient a ∈ E et V ⊂ E.On dit que V est un voisinage de a s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ V .On appelle voisinage pointe de A toute partie de E de la forme W\a ou W est un voisinage

de a.

Remarque : • En dimension finie, si V est un voisinage de a pour une certaine norme, V est unvoisinage de a pour toute norme de E.

• On peut remplacer la boule ouverte par une boule fermee dans la definition.

Proposition 518 Soit (a, b) ∈ E2, a =/ b.1. Si V ⊂ W et si V est un voisinage de a, W est un voisinage de a.2. Si V et W sont deux voisinages de a, V ∩ W est un voisinage de a.3. Il existe V voisinage de a et W voisinage de b tel que V ∩ W = ∅.

3) Systemes fondamentaux de voisinages :

Definition 427 Soit a ∈ E.Un systeme fondamental de voisinages de a est un ensemble S de voisinages de a tel que pour

tout voisinage V de a, il existe W ∈ S tel que W ⊂ V .

Exemple : • Les boules ouvertes (resp. fermees) centrees en a constituent un systeme fondamentalde voisinage de a.

• Les boules ouvertes (resp. fermees) centrees en a de rayon 1/n avec n ∈ N∗ constituent un

systeme fondamental de voisinage de a.


Remarque : Soit S un systeme fondamental de voisinages de l. limn→+∞ xn = l si et seulement si :

(∀W ∈ S)(∃n0 ∈ N)(∀n n0)(xn ∈ W )

III. Adherence et interieur

1) Point adherent a une partie :

Definition 428 Soient a ∈ E et A ⊂ E.On dit que a est adherent a A si tout voisinage de a rencontre A.

Remarque : • Soit S un systeme fondamental de voisinages de a. a est adherent a A si pour toutW ∈ S, W ∩ A =/ ∅.

• a est adherent a A si seulement si

(∀ε > 0) (∃x ∈ A) (‖x − a‖ ε)

Proposition 519 Soient a ∈ E, A ⊂ E.Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) a est adherent a A.(ii) Il existe une suite (xn)n∈N de points de A telle que limn→+∞ xn = a.

Definition 429 Soit A ⊂ E.On appelle adherence de A et, on note A l’ensemble des points de E adherent a A.On dit que A est dense dans E si A = E.

Exemple : Les fonctions polynomes sont denses dans (C([a, b], R), ‖ ‖∞) (theoreme de Stone-Weierstrass).

Proposition 520 Soient A ⊂ E et B ⊂ E.1. A ⊂ A.2. Si A ⊂ B, A ⊂ B.3. A = A.

2) Interieur d’une partie de A :

Definition 430 Soient a ∈ E, A ⊂ E.On dit a est un point interieur de A si A est un voisinage de a i.e. s’il existe r > 0 tel que

B(a, r) ⊂ A.On note

A l’ensemble des points interieur de A.

Proposition 521 Soit A ⊂ E. On a :

SEA=SEA et SEA =

SEA

Proposition 522 Soient A ⊂ B ⊂ E.1.

A⊂ A.

2.A⊂

B.

3.A=

A.

361

3) Ouverts et fermes de E :

Definition 431 A ⊂ E est dite fermee si A = A.

Remarque : A est ferme si, et seulement si, pour tout suite de A convergente vers l ∈ E, on a l ∈ A.

Proposition 523 1. A est le plus petit ferme contenant A.2. Toute reunion finie de fermes est une partie fermee.3. Une intersection (finie ou pas) de fermes est une partie fermee.

Definition 432 A ⊂ E est dite ouverte siA= A i.e pour tout a ∈ A, il existe r > 0 tel que

B(a, r) ⊂ A.

Proposition 524 Soit A ⊂ E. On a :

A ouvert ⇐⇒SEA ferme

A ferme ⇐⇒SEA ouvert

Proposition 525 1.A est le plus grand ouvert contenu dans A.

2. Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert.3. Une reunion (finie ou pas) d’ouverts est un ouvert.

Remarque : En dimension finie, toutes ces notions sont invariantes par changement de normes.Exemple : • E et ∅ sont a la fois ferme et ouvert.

• a est ferme et toute partie finie de E est ferme.• Les boules fermees (resp. ouvertes) sont fermees (resp. ouvertes). Les spheres sont fermees.

Proposition 526 On suppose E de dimension finie.Tout sous-espace affine de E (et donc tout sous-espace) est fermee.

IV. Limites

A designe une partie de E, a adherent a A.

1) Generalites :

Definition 433 Soient f : A −→ F , a adherent a A, l ∈ F .On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si pour tout voisinage W de l, il existe un

voisinage V de a tel que f(V ∩ A) ⊂ W . On ecrit alors l = limx→a f(x) = lima f .

Exemple : Cas f = Cte et f = IE .

Proposition 527 Avec les memes notations, si S (resp. S ′) designe un systeme fondamental devoisinages de a (resp. l), les deux conditions suivantes sont equivalentes :

(i) limx→a f(x) = l.(ii) Pour tout W ∈ S ′, il existe V ∈ S tel que f(V ∩ A) ⊂ W .

Exemple : limx→a f(x) = l si et seulement si

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀x ∈ A) (‖x − a‖ η =⇒ ‖f(x) − l‖ ε)

Remarque : Si f : A −→ R, on peut definir limx→a f(x) = ±∞...Remarque : Si a ∈ A et si f a une limite l en a, alors f(a) = l.


2) Proprietes des limites :

Proposition 528 Soient a ∈ A, l ∈ F et f : A −→ F . Les deux propositions suivantes sontequivalentes :

(i) limx→a f(x) = l.(ii) Pour toute suite (xn)n∈N de A convergente vers a, la suite (f(xn))n∈N converge vers l.En particulier, la limite, si elle existe, est unique.

Proposition 529 1. La limite d’une fonction en a, si elle existe, est unique.2. Si limx→a f(x) = l, l ∈ f(A).3. On suppose limx→a f(x) = b, g : B −→ G, G espace vectoriel norme, f(A) ⊂ B, b ∈ B et

limy→b g(y) = l. Alors :

limx→a

g f(x) = l

4. Si f et g admettent des limites en a, l et l′ respectivement , f + g, fg et f/g tendent versl + l′, ll′ et l/l′ si cela a un sens.

5. Si limx→a f(x) = l, limx→a ‖f(x)‖ = ‖l‖.Proposition 530 Soient f, g, h : A −→ R, a ∈ A.

1. Si f g, limx→a f(x) = l et limx→a g(x) = l′, on a l l′.2. Si f g h et limx→a f(x) = limx→a h(x) = l, alors limx→a g(x) = l (theoreme des

gendarmes).

Remarque : Ces theoremes se demontrent aussi bien a l’aide de suites ou a l’aide de voisinages.

3) Limites des composantes d’une application en dimension finie :

Proposition 531 Soient f : A −→ F , a ∈ A, l ∈ F , (e1, . . . , en) une base de F . On ecritf =

∑ni=1 fiei et l =

∑ni=1 liei. Les deux propositions suivantes sont equivalentes :

(i) limx→a f(x) = l.(ii) Pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, limx→a fi(x) = li.


Proposition 532 Soient f : A −→ F , l ∈ F , a ∈ A.1. Si B ⊂ A, a ∈ B et limx→a f(x) = l, alors limx→a

x∈Bf(x) = l.

2. Soit V un voisinage de a. Si lim x→ax∈V ∩A

f(x) = l, alors limx→a f(x) = l.

3. Soient (Ai)1in une famille de parties de A telles que A =⋃n

i=1 Ai et a ∈ Ai pour tout1 i n. On suppose que lim x→a

x∈Ai

fi(x) = l. Alors limx→a f(x) = l.

V. Fonctions continues

E et F designent deux espaces vectoriels normes, A ⊂ E.

1) Generalites :

Definition 434 Soit f : A −→ E, a ∈ A.On dit que f est continue en a si limx→a f(x) = f(a) i.e.

(∀ε > 0) (∃η > 0)(∀x ∈ A) (‖x − a‖ η =⇒ ‖f(x) − f(a)‖ ε)

363

ou encore limx→a

‖f(x) − f(a)‖ = 0

On dit que f est continue si f est continue en tout point de A. On note C(A, F ) l’ensemble desfonctions continues sur A a valeurs dans F .

Exemple : IE : E −→ E, les applications constantes sont continues. x −→ ‖x‖ est continue sur E.Si f est continue, x −→ ‖f(x)‖ est continue.Remarque : • La somme (et le produit ou le quotient si cela a un sens) de fonctions continues estcontinue. C(A, F ) est un sous-espace de F(A, F ) et C(A, K) est une sous-algebre de F(A, K).

• Si f est continue sur A et B ⊂ A, f|B est continue.• Si V est voisinage de a, fV ∩A est continue en a, f est continue en a.• La composee d’applications continues est continue.• Soit (ei)1in une base de F . Si f =

∑ni=1 fiei.

f continue ⇐⇒ (∀i ∈ 1, 2, . . . , n)(fi continue )

2) Continuite des applications lineaires :

Theoreme 254 Soient E un espace vectoriel norme de dimension finie, F un espace vectoriel,u : E −→ F lineaire.

Alors u est continue.

Exemple : Toute fonction polynomiale sur Rn est continue.

Corollaire 117 Soit B une base de Rn. L’application detB : (x1, . . . , xn) ∈ (Rn)n −→

detB(x1, x2, . . . , xn) ∈ R est continue.

Corollaire 118 Si E est un evn de dimension finie, toute application affine de E est continue.

3) Caracterisation globale de la continuite :

Theoreme 255 Soit f : A −→ F .Les trois conditions suivantes sont equivalentes :(i) f est continue.(ii) Pour tout ouvert V de F , il existe un ouvert U de E tel que f−1(V ) = U ∩ A.(iii) Pour tout ferme Φ de F , il existe un ferme T de E tel que f−1(Φ) = T ∩ A.

Exemple : • (x, y) ∈ R2, x3 + y3 + xy − 1 > 0 est un ouvert de R

2.• Les demi-espaces ouverts (resp. fermes) limites par un hyperplan sont ouverts (resp. fermes).

Exercice : Montrer que GLn(R) est un ouvert dense de M,n(R).

4) Homeomorphismes :

Definition 435 Soient A ⊂ E, B ⊂ F , f : A −→ B.f est un homeomorphisme de A sur B est une bijection de A sur B telle que f est continue et

f−1 est continue.On dit alors que A et B sont homeomorphes.

Exemple : Si E et F sont de dimension finie, u une bijection affine, u est un homeomorphisme.Remarque : IE est un homeomorphisme de E. Si f : A −→ B et g : B −→ C sont deshomeomorphismes, g f est un homeomorphisme de A sur C et f−1 est un homeomorphismede B sur A.Remarque : f est un homeomorphisme de A sur B si


1. f est bijective.2. f est continue.3. Pour tout ouvert U de E, il existe V ouvert de F tel que f(U) = V ∩ B.

5) Continuite uniforme :

Definition 436 Soit f : A −→ F .On dit que f est uniformement continue si pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que pour tout

(x, y) ∈ A2 verifiant ‖x − y‖ η, ‖f(x) − f(y)‖ ε :

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀(x, y) ∈ A2) (‖x − y‖ η =⇒ ‖f(x) − f(y)‖ ε)

Proposition 533 Si f est uniformement continue, f est continue.

Remarque : Cette notion est independante de la norme si E et F sont de dimension finie.

Definition 437 Soient f : A −→ F , k > 0.On dit que f est k-lipschitzienne si pour tout (x, y) ∈ A2 :

‖f(x) − f(y)‖ k‖x − y‖

Definition 438 On dit que f est lipschitzienne s’il existe k > 0 tel que f soit k-lipschitzienne.

Exemple : Les normes et les isometries sont 1-lipschitzienne.Remarque : Si E et F sont de dimension finie, le fait d’etre lipschitzienne ne depend pas des normeschoisie sur E et F .

Proposition 534 Une application lipschitzienne est uniformement continue.

Proposition 535 Soient u : E −→ F lineaire ou E est de dimension finie.Alors u est lipschitzienne.

6) Application separement continue :

Soit f : (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn −→ f(x1, x2, . . . , xn) ∈ F . On note pour tout

(a1, . . . , ai, . . . , an) ∈ Rn−1 :

fi,(a1,... ,ai,... ,an) : x −→ f(a1, . . . , ai−1, x, ai+1, . . . , an)

Si f est continue, fi,(a1,... ,ai,... ,an) est continue.Fixons (a1, . . . , an) ∈ R

n. Si pour tout i ∈ 1, 2, . . . , n, fi,(a1,... ,ai,... ,an) est continue en ai, ondit que f est separement continue en (a1, . . . , an).ATTENTION ! Si f est separement continue en (a1, . . . , an), f n’est pas forcement continue en(a1, . . . , an). En effet, considerer f : R

2 −→ R defini par

f(x, y) =xy

x2 + y2si (x, y) =/ 0

et f(0, 0) = 0.

365

VI. Parties compactes en dimension finie

1) Theoreme de Bolzano-Weierstrass :

Theoreme 256 (Theoreme de Bolzano-Weierstrass) Soient E un espace vectoriel norme dedimension finie, (xn)n∈N une suite bornee de E.

Alors, on peut extraire de cette suite une sous-suite convergente.

2) Compacts d’un evn de dimension finie :

Definition 439 Soit K ⊂ E, E espace vectoriel norme de dimension finie.Si K est ferme et borne, on dit que K est compact.

Remarque : Cette definition n’est valable que pour E de dimension finie.Exemple : La boule fermee unite de R

n est compacte.

Theoreme 257 Soient E un evn de dimension finie, K ⊂ E.Les deux propositions suivantes sont equivalentes.(i) K est compacte.(ii) De toute suite de K, on peut extraire une sous-suite convergente dans K.

3) Image d’un compact par une application continue :

Theoreme 258 On suppose E et F de dimension fine. Soient K un compact, f : K −→ Fcontinue.

Alors, f(K) est compact.

Remarque : Si f : K −→ R, f est bornee et atteint ses bornes.Exemple : Soit u : E −→ F lineaire (E et F evn de dimension finie). Alors u est bornee sur B(0, 1)et on definit la triple norme de u par :

‖|u‖| = supx∈B(0,1)

‖u(x)‖

On montre que ‖|u‖| = supx∈B(0,1) ‖u(x)‖ = supx∈S(0,1) ‖u(x)‖.De plus, ‖| ‖| est une norme sur L(E, F ).

Exercice : Prouver que ‖u(x)‖ ‖|u‖|‖x‖ et ‖|v u‖| ‖|v‖|‖|u‖|.

4) Theoreme de Heine :

Theoreme 259 (Theoreme de Heine) Soient f : K −→ F , K compact et f continue.Alors f est uniformement continue.

VII. Completude des espaces vectoriels normes de dimension finie

1) Suites de Cauchy :

Definition 440 Soient (xn)n∈N une suite de E (E evn de dimension quelconque).On dit (xn)n∈N est une suite de Cauchy si pour tout ε > 0, il existe n0 ∈ N tel que pour tout

n n0 et tout p ∈ N, on ait :

‖xn+p − xn‖ ε


Remarque : ”Etre de Cauchy” est une propriete independante de la norme en dimension finie.

Proposition 536 Soient E un evn de dimension quelconque, (xn)n∈N une suite de E.1. Si (xn)n∈N converge, (xn)n∈N est de Cauchy.2. Si (xn)n∈N est de Cauchy, (xn)n∈N est bornee.

Definition 441 Un espace vectoriel norme E est dit complet ou (espace de) Banach si toute suitede Cauchy de E converge dans E.

Exemple : R[X] muni de ‖ ‖∞ n’est pas un Banach.Exercice : Montrer que C([a, b], R) muni de ‖ ‖∞ est un Banach

2) Cas de la dimension finie :

Theoreme 260 Tout espace vectoriel norme de dimension finie est un Banach.

Exercice : Montrer que C([a, b], R) muni de ‖ ‖∞ est un Banach.Exercice : Soit (Pn)n∈N une suite de polynome de R[X] de degre inferieur ou egal a p, (x0, . . . , xp).On suppose que Pn(xi) converge vers λi pour tout 0 i p. Montrer que (Pn)n∈N convergeuniformement.

3) Theoreme du point fixe :

Theoreme 261 Soient E un espace de Banach, A ⊂ E ferme, f : A −→ A contractante (i.e.k-lipschitzienne avec k < 1).

Alors f admet un unique point fixe l (i.e. tel que f(l) = l).Plus precisement, si x0 ∈ A et si on definit la suite (xn)n∈N par xn+1 = f(xn) (n 0), l est la

limite de la suite (xn)n∈N.

Application : Theoreme de Cauchy-Lipschitz, theoreme des fonctions implicites.

4) Condition de Cauchy pour une fonction :

Theoreme 262 Soient E et F deux evn de dimension finie, f : A ⊂ F , a ∈ A.On suppose que pour tout ε > 0, il existe un voisinage de a tel que si (x, y) ∈ (V ∩ A)2,

‖f(x) − f(y)‖ ε (on dit que f verifie le critere de Cauchy fonctionnel).Alors, f(x) admet une limite dans F lorsque x tend vers a.

Exemple : Soit f : A −→ F uniformement continue. Alors f se prolonge en une fonction continuesur A

Chapitre 2

Differentielles

Soit n et p des entiers naturels non nuls, U un ouvert de Rn, R

n et Rp sont supposes munis

d’une norme quelconque

I. Differentielles d’une fonction en un point

1) Proprietes elementaires :

Definition 442 Soient f : U −→ Rp, a ∈ U . f est dite derivable en a (ou differentiable en a)

s’il existe r > 0 tel que B(a, r) ⊂ U , une application lineaire l : Rn −→ R

p et une fonctionε : B(0, r) −→ E tels que pour tout h ∈ B(0, r) :

f(a + h) = f(a) + l(h) + ‖h‖ε(h) et limh→0

ε(h) = 0

l est alors appelee differentielle de f en a et elle est notee dfa.

Remarque : • Cette definition ne depend pas de la norme.• La derivation est une propriete locale.• f est differentiable en a si, et seulement si, pour x voisin de a :

f(x) = f(a) + df(a)(x − a) + ‖x − a‖ε(x) avec limx→a

ε(x) = 0

Exemple : Soit U ⊂ Rn, f : U −→ R differentiable en a = (a1, . . . , an). Il existe une fonction ε

definie au voisinage de 0, (l1, l2, . . . , ln) ∈ Rn tels que pour (h1, . . . , hn) ∈ R

n voisin de 0 :

f(a1 + h1, . . . , an + hn) = f(a1, . . . , an) + l1h1 + l2h2 + . . . + lnhn +

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

h1

h2...

hn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

ε(h1, . . . , hn)

Proposition 537 Si f est differentiable en a, avec les notations de la definition precedente, l estunique.

Proposition 538 Soit f : U −→ Rn.

Si f est differentiable en a, f est continue en a.

368 CHAPITRE 2. DIFFERENTIELLES

2) Lien avec les fonctions derivables de la variable reelle, cas des fonctionsscalaires :

Proposition 539 Soient I un intervalle ouvert non vide, f : I −→ Rn, a ∈ I.

Alors f est differentiable en a si, et seulement si, f est derivable en a au sens usuel. Dans cesconditions :

dfa : h ∈ R −→ f ′(a)h ∈ Rn et f ′(a) = dfa(1)

Remarque : On suppose Rn muni de sa structure euclidienne canonique. Soit f : U −→ R suppose

differentiable en a. Alors df(a) ∈ Rn∗ s’identifie a un vecteur de R

n, note −−→gradf(a) appele vecteurgradient de f en a : au voisinage de 0,

f(a + h) = f(a) + (−−→gradf(a)|h) + ‖h‖ε(h)

avec lim0 ε = 0.Remarque : Si f = (f1, . . . , fp), f est differentiable en a si pour tout i ∈ 1, 2, . . . p, fi estdifferentiable en a.

3) Exemples de fonctions differentiables :

Definition 443 Soit f : U −→ Rp. f est dite differentiable ( si f est derivable en tout point de U .

Alors :

U −→ L(Rn, Rp)df = : a −→ df(a)

est appele differentielle de f . On note D(U, Rp) l’ensemble des applications differentiables sur U avaleurs dans R

p.

Remarque : Si V est un ouvert de Rn contenu dans U , et f differentiable sur U , alors f|V est

differentiable.Exemple : • Soit u : R

n −→ Rp lineaire. Alors u est differentiable sur R

n et, pour tout a ∈ Rn,

dua = u. du est donc constante.• Soit u : R

n −→ Rp affine . Alors u est differentiable sur R

n et, pour tout a ∈ Rn, dua = −→u .

du est donc constante.• f : x ∈ R

n −→ ‖x‖2 est differentiable et dfa : h −→ 2(x|h) (il s’agit ici de la normeeuclidienne).

• f : x ∈ Rn −→ ‖x‖ n’est pas differentiable en 0.

II. Derivees partielles

1) Derivee selon un vecteur :

Proposition 540 Soient f : U −→ Rp differentiable en a ∈ U , h ∈ R

n. Alors :

df(a)(h) = limt→0

f(a + th) − f(a)t

C’est la derivee de f en a selon le vecteur h.

Exercice : Soit f : R2 −→ R definie pour (x, y) ∈ R

2 par f(x, y) = x3

y2 si y =/ 0 et f(x, 0) = 0.Montrer que f n’est pas differentiable en 0 mais que f admet des derivees en 0 selon tout vecteurde R

2.

369

2) Derivees partielles :

Soient f : (x1, . . . , xn) ∈ U −→ f(x1, . . . , xn) ∈ Rp, (a1, . . . , an) ∈ U . On note pour tout

i ∈ 1, 2, . . . , n l’application partielle :

fi : xi −→ f(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , xn)

definie au voisinage de ai.

Definition 444 On dit que f admet une derivee partielle selon xi en (a1, . . . , an) ∈ U si fi estdifferentiable en ai et on note alors :

∂f

∂xi(a) = f ′

i(ai)

Proposition 541 Si f est differentiable en a, les derivees partielles en a existent et si i ∈1, 2, . . . n :

∂f

∂xi(a) = df(a)(ei)

ou (e1, . . . , en) designent la base canonique de Rn.

ATTENTION ! Ce n’est pas parce que les derivees partielles existent en a que f est differentiableen a.Remarque : • Supposons f differentiable en a. Alors :

df(a) =n∑

i=1

∂f

∂xi(a)e∗i

ou (e∗1, . . . , e∗n) designent la base duale de la base canonique (e1, . . . , en). En calcul differentiel, onnote plutot dxi pour e∗i pour i ∈ 1, 2, . . . , n. En particulier dxi(h1, . . . , hn) = hi. Ainsi :

df(a) =n∑

i=1

∂f

∂xi(a)dxi

• Supposons f : U −→ R differentiable en a. Alors, la matrice de df(a) dans la base duale est( ∂f

∂x1, . . . , ∂f

∂xn) et

df(a)(h) = (−−→gradf(a)|h) =n∑

i=1

∂f

∂xihi

pour h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn. Par consequent :

−−→grad(f(a)) =

∂f∂xi...

∂f∂xn

Remarque : Soit U ⊂ Rn, f : U −→ R differentiable en a = (a1, . . . , an). Il existe une fonction ε

definie au voisinage de 0, (l1, l2, . . . , ln) ∈ Rn tels que pour (h1, . . . , hn) ∈ R

n voisin de 0 :

f(a1 + h1, . . . , an + hn) = f

a1

a2...

an

+∂f

dx1(a)h1 +

∂f

dx2(a)h2 + . . . +

∂f

dxn(a)hn +

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

h1

h2...

hn

∥∥∥∥∥∥∥∥∥

ε

h1

h2...

hn


3) Matrice jacobienne :

Definition 445 Soient f : U −→ Rp differentiable en a, (f1, . . . , fp) les composantes de f .

On appelle matrice jacobienne de f en a la matrice de df(a) ∈ L(Rn, Rp) dans les bases canon-iques de R

n et Rp, a savoir :

Jac(f)a =

∂f1

∂x1(a) ∂f1

∂x2(a) . . . ∂f1

∂xn(a)

∂f2

∂x1(a) ∂f2

∂x2(a) . . . ∂f2

∂xn(a)

.... . .

...∂fp

∂x1(a) ∂fp

∂x2(a) . . .

∂fp

∂xn(a)

∈ Mp,n(R)

Si p = n, la jacobienne de f en a est une matrice carree, on appelle jacobien de f en a sondeterminant :

D(f1, . . . fn)D(x1, . . . , xn)

(a) = det

∂f1

∂x1(a) ∂f1

∂x2(a) . . . ∂f1

∂xn(a)

∂f2

∂x1(a) ∂f2

∂x2(a) . . . ∂f2

∂xn(a)

......

. . ....

∂fp

∂x1(a) ∂fp

∂x2(a) . . .

∂fp

∂xn(a)

III. Operations sur les differentielles

1) Linearite et multilinearite :

Proposition 542 Soient f, g : U −→ Rp differentiable en a, λ ∈ R.

Alors f + g et λf est differentiable en a et d(f + g)(a) = df(a) + dg(a) et d(λf)(a) = λdf(a).

Proposition 543 On note pour i ∈ 1, 2, . . . , n, on note Ei un espace du type Rni. Soient ϕ ∈

Ln(E1 × . . . × En, Rp), fi : U −→ Ei (1 i n) differentiable en a.Alors x ∈ U −→ ϕ(f1(x), . . . , fn(x)) ∈ R

p est differentiable et :

d[ϕ(f1, . . . , fn)](a) =n∑

i=1

ϕ(f1(a), . . . , fi−1(a), dfi(a), fi+1(a), . . . , fn(a))

Corollaire 119 1. Soient f, g : U −→ R differentiable en a. Alors fg est differentiable en a et :

d(fg)(a) = f(a)dg(a) + g(a)df(a)

2. Soient f, g : U −→ Rp differentiable en a. Alors (f |g) est differentiable en a et :

d(f |g)(a) = (f(a)|dg(a)) + (g(a)|df(a))

3. det : M ∈ Mn(R) −→ detM est differentiable.4. Toute fonction polynomiale sur R

n est differentiable.

Proposition 544 Soient f : U −→ Rp, g : U −→ R

∗ differentiables en a. Alors f/g estdifferentiable en a et

d(

f

g

)

(a) =g(a)df(a) − f(a)dg(a)

g(a)2

371

2) Differentielle d’une composee :

Theoreme 263 Soient V un ouvert de Rp, f : U −→ V differentiable en a, g : V −→ R

q

differentiable en b = f(a).Alors, g f est differentiable en a et

d(g f)(a) = dg(f(a)) df(a)

Exemple : • Soit u : Rp −→ R

q affine. Alors :

d(u f)(a) = −→u df(a)

• Cas n = p = 1 : on retrouve la formule connue de derivation des composees.• Soit f : U −→ R

∗+ differentiable en a. Alors si α > 0, fα est differentiable en a et

d(fα)(a) = αf(a)α−1df(a)

Proposition 545 Soient V un ouvert de Rp, f : U −→ V differentiable en a, g : V −→ R

q

differentiable en b = f(a). On note (f1, . . . , fp) les composantes de f et h = g f . Alors, pour touti ∈ 1, 2, . . . , n, on a :

∂h

∂xi(a) =

p∑

j=1

∂g

∂yj(b)

∂fj

∂xi(a)

ce qui traduit :

Jac(h)a = Jac(g)bJac(f)a

Remarque : Si on note z = h, y = f , on ecrit parfois abusivement :

∂z

∂xi=

p∑

j=1

∂z

∂yj

∂yj

∂xi(a)

Exemple : Soit f : U −→ R, xi : I −→ R telles pour tout t ∈ I, (x1(t), . . . , xn(t)) ∈ U . On notepour t ∈ I :

g(t) = f(x1(t), . . . , xn(t))

Dans ces conditions :

g′(t) =n∑

i=1

∂f

∂xi(x1(t), . . . , xn(t))x′

i(t) =n∑

i=1

∂f

∂xi

dxi

dt

3) Diffeomorphismes :

Theoreme 264 Soient V un ouvert de Rn, f : U −→ V une bijection, a ∈ U , b = f(a) ∈ V . On

suppose que f est differentiable en a, f−1 continue en b et df(a) un isomorphisme de Rn. Alors

f−1 est differentiable en b et :

d(f−1)(b) = [df(a)]−1


Remarque : Si on note y la fonction f de (x1, . . . , xn), on a donc

n∑

j=1

∂xk

∂yj

∂hyj

∂xi= δi,k

Definition 446 Soient V un ouvert de Rn, f : U −→ V .

On dit que f est diffeomorphisme de U sur V si f est bijective et f et f−1 differentiables.

Remarque : Composee d’isomorphismes.

Corollaire 120 f est un diffeomorphisme de U sur V si, et seulement si f est unhomeomorphisme, f est differentiable et pour tout a ∈ U , df(a) est un isomorphisme.

4) Fonctions de classe C1 :

Definition 447 Une fonction f : U −→ Rp est dite de classe C1 si f est differentiable sur U et

si a ∈ U −→ df(a) ∈ L(Rn, Rp) est continue. L’ensemble des fonctions C1 de U dans Rp est note

C1(U, Rp).

Theoreme 265 Soit f : U −→ Rp.

Les deux conditions suivantes sont equivalentes :(i) f est de classe C1.(ii) Toutes les derivees partielles ∂f

∂xi(1 i n) sont de classe C1.

Remarque : C1(U, Rp) est un sous-espace de C(U, Rp). C1(U, R) est une sous-algebre de C(U, R).

IV. Diffeomorphismes fondamentaux

1) Passage en coordonnees polaires :

On met sur R2 sa structure canonique d’espace euclidien oriente.

Definition 448 Soit (ρ, θ) ∈ R2.

x = ρ cos θi + ρ sin θj est appele le point de coordonnees polaires (ρ, θ).

Proposition 546 On considere :

R2 −→ R

2

f : (ρ, θ) −→(

ρ cos θρ sin θ

)

1. Alors f est differentiable et le jacobien de f en (ρ, θ) est ρ.2. f|R∗

+×]−π,π[ est un diffeomorphisme de R∗+×]−π, π[ sur R

2 prive du demi-axe y = 0 et x 0.

Remarque : z ∈ C\R− −→ arg z ∈] − π, π[ est donc continue et differentiable.

2) Passage en coordonnees cylindriques :

On munit R3 de sa structure d’espace euclidien oriente et on note (i, j, k) sa base canonique.

Definition 449 Soit (ρ, θ, z) ∈ R3.

x = ρ cos θi + ρ sin θj + zk est le point de coordonnees cylindriques (ρ, θ, z).

Remarque : Dessin !

373

Proposition 547 On considere

R3 −→ R

3

f : (ρ, θ, z) −→ ρ cos θi + ρ sin θj + zk

1. Alors f est differentiable et le jacobien de f en (ρ, θ, z) est ρ.2. f|R∗

+×]−π,π[×R est un diffeomorphisme de R∗+×] − π, π[×R sur R

3\(R−i + Rk)

3) Passage en coordonnees spheriques :

On munit R3 de sa structure d’espace euclidien oriente et on note (i, j, k) sa base canonique.

Definition 450 Soit (θ, ϕ, r) ∈ R3.

x = r cos θ cos ϕi + r cos θ sinϕj + r sinϕk est le point de coordonnees spheriques (θ, ϕ, r) : θest la longitude, ϕ est la latitude et r le rayon spherique.

Proposition 548 On considere :

R3 −→ R

3

f : (θ, ϕ, r) −→ r cos θ cos ϕi + r cos θ sinϕj + r sinϕk

1. f est differentiable et le jacobien de f en (θ, ϕ, r) est r2 cos ϕ.2. f|]−π,π[×]−π/2,+π/2[×R∗

+est un diffeomorphisme de ]−π, π[×]−π/2,+π/2[×R

∗+ sur R

3\R−i+Rk.

V. Formule des accroissements finis

Theoreme 266 (Formule des accroissements finis) Soient f : U −→ R, (a, b) ∈ U2 tel que[a, b] ⊂ U , a =/ b. On suppose f continue sur [a, b] et differentiable sur ]a, b[.

Alors, il existe c ∈]a, b[ tel que

f(b) − f(a) = df(c)(b − a)

Definition 451 Soit U ⊂ Rn. U est dit etoile s’il existe ω tel que pour tout x ∈ U , [ωx] ⊂ U .

Exemple : Les convexes sont etoiles.

Corollaire 121 Soient U un ouvert etoile, f : U −→ Rp differentiable. On suppose que df = 0.

Alors f est constante.

Theoreme 267 Soit f : U −→ R differentiable. On suppose que f admet un extremum local en a.Alors, df(a) = 0 i.e :

∂f

∂x1(a) =

∂f

∂x2(a) = . . . =

∂f

∂xn(a) = 0

ATTENTION ! La reciproque est fausse ((x, y) −→ x2 − y2)).Remarque : Un point tel que df(a) = 0 est appele point critique de f .Exercice : • Extrema locaux et globaux de (x, y) ∈ R

2 −→ x2 + (x + y − 1)2 + y2.• De tous les triangles inscrits dans dans le cercle unite d’un plan affine euclidien, trouver celui

de longueur maximale.


VI. Derivees partielles successives

1) Generalites :

Definition 452 Soit f : U −→ Rp, a ∈ U .

f admet une derivee partielle seconde en a par rapport a xi et xj successivement si :1. ∂f

∂xiexiste sur un voisinage de a.

2.∂ ∂f

∂xi∂xj

(a) existe .

Le reel∂f∂xi∂xj

(a) est alors note :

∂2f

∂xj∂xi(a)

et est appele derivee partielle seconde par rapport a xi et xj successivement.

Plus generalement, on se donne la definition par recurrence suivante :

Definition 453 On dit que f admet une derivee partielle d’ordre k en a par rapport a xi1 , . . . ,xik successivement si :

1. ∂f∂xi1

, ∂∂xi2

(∂f

∂xi1

)

, . . . , ∂∂xik−1

(∂

∂xik−2

(

. . .(

∂f∂xi1

)

. . .))

existent sur un voisinage de a.

2. ∂∂xik

(∂

∂xik−1

(

. . .(

∂f∂xi1

)

. . .))

(a) existe.

Ce reel est note :

∂kf

∂xik∂xik−1. . . ∂xi1

(a)

et est appele derivee partielle d’ordre k en a par rapport a xi1 , . . . , xik successivement.

Definition 454 L’application a −→ ∂kf∂xik

∂xik−1...∂xi1

(a) defini sur une partie de U est appelee rmfonction derivee partielle d’ordre k en a par rapport a xi1, . . . , xik successivement.

2) Fonctions de classe Ck :

Definition 455 Soient f : U −→ Rp, k ∈ N

∗.On dit que f est de classe Ck sur U si f admet des derivees partielles successives sur U jusqu’a

l’ordre k inclus par rapport a toutes les variables possibles et si ces derivees partielles sont continuessur U .

On dit que f est de classe C∞ si f est de classe Ck pour tout k ∈ N∗.

Proposition 549 Soit k ∈ N∗ ∪ ∞.

Ck(U, Rp), ensemble des fonctions Ck de U dans Rp est un sous-espace de C(U, Rp).

Ck(U, R) est une sous-algebre de C(U, R).Si f : U −→ R

p et g : U −→ R∗ sont de classe Ck, alors f/g est de classe Ck.

Proposition 550 Si f : U −→ V , V ouvert de Rm, g : V −→ R

p sont de classe Ck, alors g f estde classe Ck.

375

3) Theoreme de Schwarz :

Theoreme 268 Soit f : U −→ Rp de classe C2. Alors :

∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi

Corollaire 122 Soit f : U −→ Rp de classe Ck. Pour tout σ ∈ Sk, on a :

∂kf

∂xik∂xik−1. . . ∂xi1

=∂kf

∂xiσ(k)∂xiσ(k−1). . . ∂xiσ(1)

Notation : Regroupement des indices.

VII. Theoreme de la fonction implicite

1) Position du probleme en dimension 2 :

Soit U un ouvert de R2, f : (x, y) ∈ U −→ f(x, y) ∈ R suppose de classe C∞.

On s’interesse a C = (x, y) ∈ U, f(x, y) = 0. On a envie d’exprimer les points de C sous laforme (x, ϕ(x)), x ∈ I , I intervalle. C’est raremant possible globalement : f(x, y) = x2 + y2 − 1.Et meme localement, cela pose parfois probleme, par exemple en (1, 0).

Theoreme 269 (Theoreme de fonction implicite) Soit (a, b) ∈ U . On suppose que

∂f

∂y(a, b) =/ 0

Il existe I intervalle ouvert contenant a et J intervalle ouvert contenant b, ϕ : I −→ J tels queI × J ⊂ U et pour tout (x, y) ∈ I × J :

(x, y) ∈ C ⇐⇒ f(x, y) = 0 ⇐⇒ ϕ(x) = y

Si −−→gradf(a, b) =/ 0, ∂f∂y (a, b) =/ 0 ou ∂f

∂x (a, b) =/ 0. Nous venons de traiter le premier cas ; dans lesecond cas, localement on peut exprimer x en fonction de y :

(x, y) ∈ C ⇐⇒ f(x, y) = 0 ⇐⇒ x = ψ(x)

2) Derivation de la fonction implicite :

On se place dans les hypotheses du probleme : alors

(∀x ∈ I) (f(x, ϕ(x)) = 0

D’ou, localement :

ϕ′ = −∂f∂x∂f∂y

En particulier la tangente a la courbe est orthogonale au gradient. Tangentes au cercle, a uneellipse.


3) Cas de la dimension 3 :

Soit U un ouvert de R2, f : (x, y, z) ∈ U −→ f(x, y, z)R suppose de classe C∞.

On s’interesse a S = (x, y, z) ∈ U, f(x, y, z) = 0. On a envie d’exprimer les points de S sousla forme (x, y, ϕ(x, y)), (x, y) ∈ V , V ouvert.

Theoreme 270 (Theoreme de fonction implicite) Soit (a, b, c) ∈ U . On suppose que

∂f

∂z(a, b, c) =/ 0

Il existe V ouvert de R2 ouvert contenant (a, b) et J intervalle ouvert contenant c, ϕ : V −→ J tels

que V × J ⊂ U et pour tout (x, y, z) ∈ U × J :

(x, y, z) ∈ S ⇐⇒ f(x, y, z) = 0 ⇐⇒ ϕ(x, y) = z

On a alors localement :

∂ϕ

∂x= −

∂f∂x∂f∂z

et∂ϕ

∂y= −

∂f∂y

∂f∂z

Table des matieres

Partie A : Structures fondamentales 3

1 Elements de theorie des ensembles 5I. Elements de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1) Definitions, generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52) Quelques principes de demonstration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63) Quantificateurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II. Premiers axiomes de la theorie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81) Inclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82) Quelques operations de construction d’ensembles : . . . . . . . . . . . . . . . 83) Limites dans la construction des ensembles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102) Composition des applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113) Injection, surjection et bijection : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114) Application reciproque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115) Image directe, image reciproque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126) Resoudre une equation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

IV. Familles et produit cartesien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122) Intersection et reunion d’une famille de parties : . . . . . . . . . . . . . . . . 133) Produit cartesien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144) Graphe d’une fonction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

V. Relation d’equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141) Relation binaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142) Relation d’equivalence, premiers exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153) Classes d’equivalences : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

VI. Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161) Definitions et premiers exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162) Applications monotones : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163) Elements remarquables dans un ensemble ordonne : . . . . . . . . . . . . . . . 174) Proprietes des bornes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185) Etude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196) Fonction majoree, fonction minoree : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

VII. Les nombres entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191) Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192) L’ordre naturel dans N : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203) Division euclidienne dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

377

378 TABLE DES MATIERES

4) Demonstration par recurrence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215) Suites definies par recurrence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Ensembles finis. Monoıdes 23I. Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1) Cardinal d’un ensemble fini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232) Partie d’un ensemble fini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233) Ensembles finis et applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244) Produit d’ensembles finis : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245) Ensembles finis totalement ordonnes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II. Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251) Definition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252) Loi naturelle sur Z/nZ, sur R/2πZ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253) Associativite et commutativite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254) Element neutre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III. Monoıdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262) Compose d’une famille d’elements : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263) Proprietes des composes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274) Puissances entieres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285) Familles a support fini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286) Numeration en base D, D 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV. Elements reguliers, elements inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291) Elements inversibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292) Proprietes des elements inversibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293) Puissances entieres d’un element inversible : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304) Elements reguliers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

V. Sous Monoıdes, morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301) Notion de sous-monoıde, exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302) Morphismes de monoıdes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313) Isomorphisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

VI. Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311) Principe des bergers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312) Arrangements : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323) Combinaisons : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

VII. Complements : ensembles denombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Groupes 35I. Groupes. Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1) Definitions et premiers exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352) Sous-groupes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363) Morphismes de groupes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364) Image directe et image reciproque d’un morphisme : . . . . . . . . . . . . . . 37

II. Sous-groupe engendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371) Intersection de sous-groupes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372) Definition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373) Determination du sous-groupe engendre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

III. Le groupe additif Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

TABLE DES MATIERES 379

1) Sous-groupes de Z : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382) Factorisation des morphismes de Z dans un groupe G : . . . . . . . . . . . . . 383) Groupes monogenes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

IV. Congruence modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391) Theoreme de Lagrange : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392) Ordre d’un element dans un groupe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403) Relations compatibles avec une l.c.i : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

V. Le groupe symetrique Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401) Orbite selon une permutation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412) Cycles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413) Decomposition en cycles a supports disjoints : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424) Signature : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4 Anneaux 43I. Notions elementaires sur les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1) Definitions et premiers exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432) Sous-anneaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443) Ideaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444) Morphismes d’anneaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455) Image directe et image reciproque par un morphisme : . . . . . . . . . . . . . 456) Theoreme de factorisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

II. Calcul dans un anneau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III. Ideal engendre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1) Intersection d’ideaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472) Ideal engendre par une partie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473) Determination de l’ideal engendre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474) Congruence modulo un ideal : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

IV. Anneaux integres et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481) Diviseurs de zero, anneaux integres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482) Elements inversibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483) Corps : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494) Caracteristique d’un anneau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495) Corps des fractions d’un anneau integre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

V. Anneaux de matrices carrees de taille 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501) Presentation de M2(A) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502) Groupe des inversibles de M2(K) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513) Applications aux systemes lineaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Arithmetique de Z 53I. PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1) Une approche elementaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542) Existence du PGCD et PPCM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543) Consequences des proprietes des ordres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554) Homogeneıte et relation liant PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

II. Nombres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561) Le theoreme de Bezout : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562) Theoreme de Gauss : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563) Forme reduite d’un rationnel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56


4) Applications aux groupes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III. Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572) Le lemme d’Euclide : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573) Decomposition en facteurs premiers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574) Nombres premiers et anneau Z/pZ : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585) Complements : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

IV. Methodes algorithmiques en Arithmetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581) Probleme du calcul du PGCD : l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . 582) Sur la decomposition en facteurs premiers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593) Sur l’identite de Bezout : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594) Exponentiation rapide : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6 Le corps des nombres reels R 61I. Le corps ordonne Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1) L’ordre sur Q : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612) Proprietes additives et multiplicatives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613) Les insuffisances de Q : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II. L’axiome de la borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621) Existence de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622) Proprietes additives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633) Proprietes multiplicatives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634) Valeur absolue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635) Proprietes elementaires des bornes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646) Signe de ax2 + bx + c : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

III. Axiome d’Archimede, partie entiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641) L’axiome d’Archimede : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642) Partie entiere : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643) Congruence modulo a : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654) Parties denses de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

IV. Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651) La droite numerique achevee R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652) Intervalles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663) Racines n-ieme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664) Etude du trinome du second degre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

V. Complement : une construction de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671) Les sections commencantes de Q : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672) Operations de E : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673) Definition du corps des nombres reels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7 Le corps des nombres complexes C 69I. Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1) Insuffisance algebrique de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692) Definition et premiers resultats : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693) Conjugaison : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704) Module d’un nombre complexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705) Le cercle trigonometrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706) Impossibilite d’ordonner C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70


II. Racine carree d’un nombre complexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711) Existence et calcul de la racine carree : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712) Equations du second degre. Discriminant : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713) Cas reel et cas complexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

III. L’application exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721) Presentation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722) Fonctions Cosinus et Sinus : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733) Formules trigonometriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734) Graphe des fonctions cos et sin : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745) Fonctions Arccosinus et Arcsinus : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IV. Argument d’un nombre complexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752) Suites geometriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763) Racines n-ieme d’un nombre complexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764) Transformation de a cos x + b sinx : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

V. Fonctions Tangente et Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772) Formules : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783) Fonctions Arctangente et Arccotangente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

VI. Droites et cercles dans un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791) Genaralies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792) Barycentres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793) Droites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794) Cercles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

VII. Isometries d’un plan euclidien oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801) Translations, homotheties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802) Rotations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803) Reflexions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804) Decomposition des isometries : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805) Expression analytique des isometries : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816) Proprietes des isometrie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817) Cercles et angles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

VIII. Similitudes d’un plan euclidien oriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811) Expression analytique des similitudes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822) Reduction des similitudes directes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Partie B : Nombres reels. Suites 83

1 Suites 85I. Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1) Limite d’une suite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852) Proprietes des suites convergentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863) Convergence et ordre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864) Cas des suites monotones : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

II. Suites tendant vers l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 871) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872) Comparaison : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88


3) Cas des suites monotones : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88III. Operations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1) Operations symboliques sur R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882) Somme et produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883) Inverse et quotient : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

IV. Relation de comparaison entre les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891) Suites negligeables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892) Suites equivalentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903) Equivalents et limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904) Proprietes des equivalents : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905) Suites de reference (premiere partie) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

V. Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911) Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912) R est complet : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923) Cas de C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

VI. Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921) Cas general : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922) Suite extraite d’une suite convergente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923) Valeur d’adherence d’une suite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2 Topologie de R. Limites 95I. Ouverts, fermes, voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1) Ouverts de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952) Fermes de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953) Voisinage d’un point de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964) Voisinage de l’infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965) Systeme fondamental de voisinages : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

II. Adherence et interieur d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971) Interieur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972) Adherence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973) Passage au complementaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974) Caracterisation sequentielle de l’adherence, parties denses : . . . . . . . . . . 985) Cas de l’infini : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

III. Theoreme de Bolzano-Weierstrass : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981) Cas des suites reelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982) Cas des suites complexes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983) Parties compactes de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

IV. Limite d’une fonction numerique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992) Unicite, composition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993) Utilisation des systemes fondamentaux de voisinages : . . . . . . . . . . . . . 994) Restriction du domaine de definition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005) Limite a gauche et limite a droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006) Caracterisation sequentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

V. Operations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011) Passage a la valeur absolue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012) Operations algebriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013) Prolongement des inegalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101


VI. Limite des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3 Introduction aux series 103I. Convergence des series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032) Condition necessaire de convergence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033) La serie geometrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

II. Serie a termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041) Majoration des sommes partielles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042) Le theoreme de comparaison des series a termes positifs : . . . . . . . . . . . 1043) Series de reference : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

III. Serie absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IV. Representation d’un reel en base donnee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

1) Rappels sur la representation des entiers : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052) Representation des reels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053) Indenombrabilite de R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064) Caracterisation des rationnels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Systemes definies par recurrence 107I. Suites a recurrence lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1) Suites geometriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072) Etude des suites complexes un+1 = aun + bun : . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073) Passage aux cas reel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

II. Suites homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1081) La sphere de Riemann : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082) Suites du type un+1 = aun + b : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083) Suites du type un+1 = (az + b)/(cz + d) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

III. Suites reelles du type un+1 = f(un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091) Point fixes et convergence des suites f -recurrentes : . . . . . . . . . . . . . . . 1092) Etude d’une suite definie par recurrence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093) Points attractifs, points repulsifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104) Cas des suites f -recurrentes avec f monotone : . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

IV. Methodes algorithmique de recherche des zeros d’une fonction . . . . . . . . . . . . . 1111) Rappels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112) Methode de Lagrange : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113) Methode de Newton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Partie C : Fonctions de la variable reelle 113

1 Fonctions continues 115I. Continuite des fonctions a variable reelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1) Definition de la continuite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152) Restriction du domaine de definition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163) Operations algebriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174) Composition des fonctions continues : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175) Caracterisation sequentielle de la continuite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

II. Proprietes fondamentales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1181) Extension du vocabulaire sur les fonctions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


2) Image d’une partie compacte par une application continue : . . . . . . . . . . 1183) Continuite uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184) Theoreme des valeurs intermediaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

III. Continuite des fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191) Limite d’une fonction monotone : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192) Algorithme de dichotomie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203) Critere de continuite pour les fonctions monotones : . . . . . . . . . . . . . . 120

IV. Exemples de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1201) Continuite des racines n-ieme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202) Continuite de l’exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1203) Definition du logarithme neperien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214) Fonctions exponentielles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225) Fonctions puissances : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226) Fonctions trigonometriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237) Theoreme de croissance comparee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2 Derivation des fonctions a variable reelle 125I. Fonctions a valeurs dans K

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1251) Limite d’une fonction a valeurs complexes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252) Continuite des fonctions a valeurs complexes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263) Proprietes des fonctions continues a valeurs complexes : . . . . . . . . . . . . 1264) Fonctions a valeurs dans K

n : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126II. Derivee d’une fonction en un point : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

1) Definition et interpretation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272) Linearite de la derivation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283) Derivation d’un produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284) Derivation d’un quotient : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295) Derivee a gauche et derivee a droite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

III. Derivation d’une composee, d’une reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291) Composee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302) Fonction reciproque : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1303) Diffeomorphisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

IV. Derivation des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311) Racines n-ieme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312) Exponentielle et logarithme neperien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1313) Fonctions trigonometriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314) Fonctions exponentielles et fonctions puissances : . . . . . . . . . . . . . . . . 132

V. Derivees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1321) Fonctions n-fois derivables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1322) Fonctions de classe Cn : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333) Operations algebriques et composition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334) La formule de Liebniz : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345) Exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3 Variations des fonctions 135I. Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1) Theoreme de Rolle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352) Formule des accroissements finis : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135


3) Des inegalites remarquables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135II. Applications du theoreme des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

1) Caracterisation des fonctions lipschitziennes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362) Caracterisation de la monotonie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363) Primitives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1364) Theoreme de la limite de la derivee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365) Regle de l’Hopital : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

III. Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137IV. Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

1) Tangentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1372) Parties convexes de R

n : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1383) Fonctions convexes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384) Caracterisations des fonctions convexes derivables : . . . . . . . . . . . . . . . 1395) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

V. Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1392) Formules de trigonometrie hyperbolique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1403) Fonctions argument cosinus et argument sinus hyperboliques : . . . . . . . . . 141

VI. Fonctions tangente et cotangente hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1422) Formules de trigonometrie hyperboliques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433) Fonctions Argument tangente et argument cotangente hyperboliques : . . . . 143

4 Developpements limites 145I. Position du probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145II. Comparaison des fonctions au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

1) Notations de Landau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1452) Proprietes des o et des O : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463) Changements de variables, integration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1464) Fonctions equivalentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475) Equivalents et limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476) Proprietes des equivalents : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

III. Developpements limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1481) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1482) Unicite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493) Changement de variables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494) Integration des developpements limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505) Operations sur les developpements limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506) Composition des developpements limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

IV. Developpements limites usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501) Formule de Taylor-Young : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502) Developpements limites de exp, cos, sin, ch et sh : . . . . . . . . . . . . . . . 1513) Developpement limite de (1 + x)α : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1514) Developpement limite de tan et th : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1535) Partie principale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

V. Problemes lies a l’etude des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154


5 Suites de fonctions 155I. Convergence simple, convergence uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

1) Limite simple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1552) Limite uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553) Convergence d’une serie de fonctions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564) Etude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

II. Continuite et derivabilite des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157III. Exemples d’approximations uniformes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

1) Subdivisions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572) Fonctions en escalier : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573) Approximations des fonctions continues : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1584) Fonctions continues par morceaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585) Fonctions reglees : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596) Theoreme de Weierstrass : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6 Integrale des fonctions reglees 161I. Integration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

1) Preliminaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1612) Definition et premieres proprietes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

II. Integrale des fonctions reglees : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163III. Proprietes de l’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

1) Integration sur des intervalles adjacents : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1632) Linearite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633) Positivite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1644) Majoration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1645) Inegalite de Cauchy-Schwarz : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646) Integrale d’une limite uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

IV. Integrale fonction de sa borne superieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1651) Interversion des bornes d’integration : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1652) Primitive des fonctions continues : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1653) Tableau des primitives usuelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1664) Invariance par translation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1665) Formule de la moyenne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

V. Changement de variables, integration par parties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661) Changement de variables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1662) Integration par parties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673) Formule de Taylor avec reste integral : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

VI. Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167VII. Valeur approchee d’une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

1) Methode des rectangles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1682) Methodes des trapezes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7 Calcul des primitives 171I. Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

1) L’integrale ”indefinie” : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712) Linearite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1733) Changement de variables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1744) Integration par parties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174


II. Integration des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752) Fonctions rationelles en ex, en x et ((ax + b)/(cx + d))1/n : . . . . . . . . . . 176

III. Fonctions rationnelles en cos, sin, ch et sh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761) Fonctions rationnelles en cos et sin : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762) Fonctions rationnelles en ch et sh : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1773) Fonctions rationnelles abeliennes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

8 Integrales sur un intervalle quelconque 179I. Fonctions positives integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

1) Fonctions localement reglees : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1792) Integrabilite des fonctions positives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793) Integrabilite et fonction x −→

∫ xa f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4) Theoreme de comparaison : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815) Comparaison series-integrales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

II. Fonctions integrables a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1821) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1822) Relation de Chasles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823) Integrabilite et fonction x −→

∫ xa f : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4) Theoreme de changement de variables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845) Integration par parties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

III. Integrales de fonctions non integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1841) Definition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1842) Moyens d’etude : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

9 Equations differentielles 185I. Equations differentielles lineaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

1) Resolution de l’equation differentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852) Methode de la variation de la constante : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1863) Utilisation de solutions particulieres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

II. Equations differentielles lineaires d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1861) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1862) Methode de variations des constantes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1873) Utilisation de solutions particulieres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

III. Equations differentielles lineaires a coefficients constants d’ordre 1 ou 2 . . . . . . . . 1881) Solutions des equations homogenes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1882) Recherche de solutions particulieres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Partie D : Algebre lineaire 191

1 Espaces vectoriels 193I. Espaces vectoriels, sous-espaces : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

1) Structure d’espace vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1932) Relation dans un espace vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1943) Sous-espace vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

II. Aplications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1951) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952) Composition des applications lineaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195


3) Image directe et image reciproque d’un sous-espace : . . . . . . . . . . . . . . 196III. Sous-espace engendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

1) Definition du sous-espace vectoriel engendre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1962) Determination du sous-espace engendre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1963) Somme de sous-espaces : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1974) Operations elementaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

IV. Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1972) Proprietes des sommes directes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1983) Supplementaire d’un espace vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1984) Projecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

V. Independance lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1991) Les familles libres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992) Proprietes des familles libres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1993) Bases d’un espace vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1994) Determination d’une application lineaire par l’image d’une base : . . . . . . . 200

VI. Algebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2002) Sous-algebres et ideaux d’une algebre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2013) Morphismes d’algebres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

VII. Espaces et algebres d’applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011) Le K-espace vectoriel F(X, E) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2012) Le K-espace vectoriel L(E, F ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2023) La K-algebre L(E) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024) La K-algebre F(X, K) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

VIII. Complements : Espaces vectoriels quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2021) Espaces quotients : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022) Theoreme d’isomorphisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2033) Algebres quotients : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

IX. Complements : Axiome du choix, applications : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2031) L’axiome du choix : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2032) Applications a l’algebre lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

2 Espaces vectoriels de dimension finie 205I. Resultats fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

1) Espaces de dimension finie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2052) Theoreme de la base incomplete : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2053) Dimension d’un espace vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2054) Une autre caracterisation de la dimension finie : . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

II. Dimension d’un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2061) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2062) Dimension d’une somme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2073) Rang d’une application lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074) Bijectivite d’une application lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

III. Dimension de certains espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2081) Produit d’espaces vectoriels : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2082) Dimension de L(E, F ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2083) Espace dual : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209


4) Espaces quotients : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

3 Matrices 211I. Bases du calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

1) Vocabulaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2112) Somme et multiplication par un scalaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2123) Le K-espace vectoriel Mm,n(K) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2124) Produit de matrices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125) Proprietes du produit : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2136) La K-algebre Mn(K) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2137) Transposee d’une matrice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

II. Matrices et applications lineaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151) Matrice d’une application lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2152) Matrice d’une composee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2163) Matrice d’un isomorphisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164) Transforme d’un vecteur par une application lineaire : . . . . . . . . . . . . . 2165) Applications lineaires canoniquement associee a une matrice : . . . . . . . . . 217

III. Matrices carrees remarquables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2181) Matrices diagonales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2182) Matrices triangulaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2183) Matrices symetriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

IV. Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2191) Matrices de passage : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2192) Matrices equivalentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2193) Matrices semblables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2204) Trace : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

V. Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2201) Definitions et premieres proprietes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2202) Rang de la transposee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213) Sous-matrices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2214) Sous-matrices principales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

VI. Introduction aux systemes lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2221) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2222) Expression matricielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2223) Operations elementaires sur un systeme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234) Systemes homogenes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235) Systemes avec second membre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236) Systeme de Cramer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

VII. Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2241) Rang d’une matrice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2242) Systemes lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

VIII. Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2251) Interpretation geometrique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252) Methode des polynomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2253) Resolution d’un systeme lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254) Autres methodes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225


4 Determinants 227I. Applications multilineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2272) Derivation des applications multilineaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2283) Applications multilineaires symetriques, antisymetriques : . . . . . . . . . . . 228

II. Applications multilineaires alternees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2281) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2282) Cas des formes n-lineaires alternees sur un espace de dimension n : . . . . . . 229

III. Determinant de n vecteurs, determinant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . 2291) Determinant d’une famille de vecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292) Determinant d’un endomorphisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2303) Le groupe special lineaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

IV. Determinant d’une matrice carree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2311) Definition et premieres proprietes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2312) Determinant et endomorphismes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2323) Multiplicativite du determinant : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2334) Determinant de la transposee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2335) Derivation d’un determinant : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

V. Calcul des determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2341) Matrices par blocs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2342) Developpement d’un determinant suivant une rangee : . . . . . . . . . . . . . 2343) Comatrice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2354) Formules de Cramer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

5 Introduction a la reduction des endomorphismes 237I. Theoreme de decomposition des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237II. Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

1) Vocabulaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372) Somme directe des sous-espaces propres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2383) Endomorphismes diagonalisables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384) Matrices carrees diagonalisables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

III. Polynome caracteristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2391) Polynome caracteristique d’une matrices carree : . . . . . . . . . . . . . . . . 2392) Proprietes du polynome caracteristique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2403) Polynome caracteristique d’un endomorphisme : . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404) Diagonalisabilite et polynome caracteristique : . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

IV. Theoreme de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2411) Valeurs propres et polynome annulateur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412) Polynome minimal : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2413) Theoreme de Cayley-Hamilton : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414) Calcul d’un polynome de matrice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Partie E : Polynomes 243

1 Polynomes a une indeterminee 245I. Construction de K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

1) Le K-espace vectoriel K(N) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245


2) Multiplication des polynomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2453) Ecriture des polynomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2464) Polynomes a coefficients dans un anneau : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

II. Division euclidienne dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471) Definition et algorithme de la division euclidienne : . . . . . . . . . . . . . . . 2472) Relation de divisibilite de K[X] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2473) Ideaux de K[X] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2484) Congruences dans K[X] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

III. PGCD et PPCM de polynomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2481) Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2482) Existence du PGCD et PPCM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2493) Proprietes du PGCD et du PPCM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504) Algorithme d’Euclide : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

IV. Polynomes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511) Theoreme de Bezout : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512) Theoreme de Gauss : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

V. Polynomes irreductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2511) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2512) Lemme d’Euclide : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2523) Decomposition en facteurs irreductibles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

VI. Changement du corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2521) Plongement de K[X] dans L[X] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2532) Comparaison des divisions euclidiennes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2533) Comparaison des PGCD et des PPCM : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

2 Fonctions polynomiales 255I. Valeurs prises par un polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2552) Racines d’un polynome : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2563) Fonctions polynomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2574) Polynomes d’interpolation de Lagrange : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

II. Relations entre coefficients et racines d’un polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2581) Ordre de multiplicite d’une racine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2582) Relations entre coefficients et racines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2583) Expressions symetriques des racines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

III. Theoreme de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2601) Corps algebriquement clos : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2602) Conjugaison des polynomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2603) Le theoreme fondamental de l’algebre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2604) Polynomes irreductibles de R[X] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

IV. Derivation des polynomes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2611) Polynomes derives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2612) Polynomes derives successifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2623) Formule de Taylor : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

V. Polynomes a n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2631) Construction de K[X1, X2, . . . , Xn] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2632) Degre dans K[X1, X2, . . . , Xn] : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2643) Substitution dans un polynome : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264


3 Fractions rationnelles 265I. Construction de K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

1) Definition du corps des fractions rationnelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2652) Degre d’une fraction rationnelle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2663) Partie entiere : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

II. Valeurs prises par une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2661) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2662) Proprietes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

III. Derivation des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2671) Derivee premiere : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2672) Proprietes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

IV. Decomposition en elements simples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2681) Preliminaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2682) Methode des divisions successives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2683) Decompositions en elements simples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2694) Methodes de decomposition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

V. Decomposition sur R ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2711) Conjugaison des fractions rationnelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2712) Decomposition en elements simples sur C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2713) Decomposition en elements simples sur R : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

VI. Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2721) Description de l’algorithme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2722) Application a la decomposition en elements simples : . . . . . . . . . . . . . . 273

Partie F : Geometrie 275

1 Courbes parametrees 277I. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277II. Notion de courbes parametrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

1) Arcs parametres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2782) Representation polaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2783) Changement de parametre admissible : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2794) Points simples, points multiples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

III. Etude locale d’un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2791) Notion generale de tangente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2792) Tangente et vecteurs derives successifs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2803) Determination de la tangente au point stationnaire : . . . . . . . . . . . . . . 2804) Classification des points d’un arc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2815) Utilisation de la concavite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

IV. Comportement aux bornes du domaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2821) Point asymptote : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2822) Branches infinies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2823) Etude pratique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

V. Courbes en coordonnees polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2831) Courbes parametrees en polaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2832) Equations polaires de courbes usuelles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2833) Etude d’une courbe parametree en polaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284


4) Tangente : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2845) Concavite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2846) Branches infinies (hors programme) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

VI. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2851) Plan d’etude d’une corbe parametree par x = x(t) et y = y(t) : . . . . . . . . 2852) Plan detude d’une courbe definie en polaire par r = r(θ) : . . . . . . . . . . . 285

2 Espaces euclidiens 287I. Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2872) Exemples de produits scalaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873) Norme euclidienne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2884) Angles non orientes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2895) Forme lineaire et produit scalaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

II. Orthogonalite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2901) Proprietes elementaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2902) Orthogonal d’un sous-espace en dimension finie : . . . . . . . . . . . . . . . . 2913) Bases orthonormales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

III. Projecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2921) Proprietes des projecteurs orthogonaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922) Probleme de minimum et projection : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2923) Orthonormalisation au sens de Gram-Schmidt : . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

3 Groupe orthogonal 295I. Isomorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2952) Transformation des bases orthonormales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2953) Exemple des reflexions et des retournements : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

II. Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2961) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2962) Lien avec les isomorphismes orthogonaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

III. Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2971) Orientation d’un espace vectoriel reel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2972) Construction du produit mixte : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2973) Identite de Gram : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2984) Rotations et antirotations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2995) Matrices orthogonales positives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

IV. Groupe orthogonal d’un plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2991) Description de SO(2) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2992) Rotation d’angle θ dans le plan euclidien oriente : . . . . . . . . . . . . . . . . 3003) Symetries orthogonale par rapport a une droite : . . . . . . . . . . . . . . . . 3004) Identification d’un plan euclidien avec C : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005) Angles orientes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3016) Expression du produit scalaire et du produit mixte a l’aide des angles orientes :301

V. Groupe orthogonal d’un espace euclidien de dimension 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . 3011) Expression du produit vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3022) Proprietes du produit vectoriel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3023) Rotation d’angle θ dans un espace euclidien oriente de dimension 3 : . . . . . 303


4) Description de O(E) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

4 Espaces affines 305I. Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1) Notion d’espaces affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3052) Choix d’une origine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3063) Barycentre : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3064) Combinaison lineaire a somme de coefficients nulle : . . . . . . . . . . . . . . 307

II. Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3071) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3072) Determination d’un sous-espace affine par un point et sa direction : . . . . . . 3083) Intersection de deux sous-espaces affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3084) Sous-espace affine engendree : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

III. Bases affines et reperes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3091) Base affine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3092) Reperes affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

IV. Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3101) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3102) Enveloppe convexe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

V. Applications affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3122) Determination d’une application affine a l’aide de la fleche et du transforme

d’un point : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3123) Image directe et image reciproque d’un sous-espace affine : . . . . . . . . . . . 3134) Composition des applications affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3135) Le K-espace vectoriel A(E) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3136) Points invariants d’une application affine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

VI. Translations, Homotheties et affinites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3141) Le groupe des translations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3142) Homotheties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3143) Affinites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3144) Theoreme de Thales : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

VII. Formes affines et equations cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3151) Equations cartesiennes d’un hyperplan : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3152) Representation cartesienne d’un sous-espace affine : . . . . . . . . . . . . . . . 3163) Demi-espaces : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

VIII. Droites et plans en dimension 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171) Droites dans un plan affine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3172) Positions relatives des sous-espaces affines en dimension 3 : . . . . . . . . . . 3183) Equations cartesiennes d’un plan en dimension 3 : . . . . . . . . . . . . . . . 3184) Representations de droites en dimension 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

5 Isometries 321I. Distance dans un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

1) Definition d’un espace affine euclidien : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3212) Distance d’un point a un sous-espace affine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3223) Distances et hyperplans affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3224) Isometrie affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323


II. Isometries d’un plan affine euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3241) Deplacements de P : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3242) Antideplacements de P : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3243) Composition et decomposition d’isometries : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

III. Isometries d’un espace affine euclidien de dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3251) Deplacements de E : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3252) Antideplacements de E : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

IV. Cercles et spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3261) Boules et spheres : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3262) Equation cartesienne d’une sphere : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3263) Intersection de spheres et de sous-espaces affines : . . . . . . . . . . . . . . . . 3274) Etude de lieux geometriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

V. Geometrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3281) Proprietes affines : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3282) Proprietes metriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

VI. Similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3301) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3302) Similitudes directes d’un plan euclidien oriente : . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6 Arcs parametres 333I. Arcs parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

1) Complements de calcul differentiel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3332) Vocabulaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3333) Vecteurs derives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3344) Changement de parametrages : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

II. Etude locale des courbes planes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3341) Demi-tangentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3342) Condition suffisante d’existence des tangentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . 3353) Classification des points admettant une tangente : . . . . . . . . . . . . . . . 335

III. Etude des arcs parametres en coordonnees cartesiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 3371) Domaine d’etude : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3372) Tableaux de variations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3373) Points stationnaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3374) Branches infinies : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3375) Asymptotes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3386) Branches paraboliques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3387) Points asymptotes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3388) Etude de la concavite, points d’inflexion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399) Etude d’un exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

IV. Courbes en coordonnees polaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3391) Coordonnees polaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3392) Expression de certaines transformations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3403) Equations polaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3404) Courbe definie par une representation parametrique polaire : . . . . . . . . . 3405) Courbe definie par θ −→ ρ(θ) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416) Plan d’etude d’une courbe definie par θ −→ ρ(θ) : . . . . . . . . . . . . . . . 3417) Etudes de quelques exemples : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

V. Etude metrique des courbes planes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342


1) Longueur, abscisse curviligne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3422) Representation normale d’un arc : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3433) Vecteur tangent, repere de Frenet : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3434) Utilisation de l’angle α entre i et T : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3445) Courbure : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3446) Vitesse et acceleration dans le repere de Frenet : . . . . . . . . . . . . . . . . 345

VI. Formes differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3451) Presentation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3452) Formes differentielles fermees : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3463) Integrales curvilignes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3464) Integrale curviligne d’une forme differentielle exacte : . . . . . . . . . . . . . . 3475) Circulation d’un champs de vecteurs : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3476) Formule de Green-Riemann : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

7 Coniques 349I. Definition geometrique des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

1) Foyer et directrice d’une conique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3492) Equation polaire : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

II. II. Etude de l’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3501) Equation reduite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3502) Parametrage : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3513) Propriete bifocale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

III. Etude de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351IV. Etude de l’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

1) Equation reduite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3522) Parametrage : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3533) Propriete bifocale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

V. Etude a partir d’une equation cartesienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3531) Reduction de l’equation d’une conique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3532) Tangente a une conique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

Partie G : Fonctions a plusieurs variables 355

1 Espaces vectoriels normes 357I. Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

1) Normes sur un espace vectoriel reel : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3572) Exemples d’espaces vectoriels normes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3573) Identite du parallelogramme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3584) Normes equivalentes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3585) Cas de la dimension finie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

II. Ensembles bornes et voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3591) Proprietes des bornes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3592) Voisinages d’un point de E : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3593) Systemes fondamentaux de voisinages : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

III. Adherence et interieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3601) Point adherent a une partie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3602) Interieur d’une partie de A : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360


3) Ouverts et fermes de E : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361IV. Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3612) Proprietes des limites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3623) Limites des composantes d’une application en dimension finie : . . . . . . . . 3624) Restriction du domaine de definition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

V. Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3621) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3622) Continuite des applications lineaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3633) Caracterisation globale de la continuite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3634) Homeomorphismes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3635) Continuite uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3646) Application separement continue : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

VI. Parties compactes en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3651) Theoreme de Bolzano-Weierstrass : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3652) Compacts d’un evn de dimension finie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3653) Image d’un compact par une application continue : . . . . . . . . . . . . . . . 3654) Theoreme de Heine : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

VII. Completude des espaces vectoriels normes de dimension finie . . . . . . . . . . . . . 3651) Suites de Cauchy : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3652) Cas de la dimension finie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3663) Theoreme du point fixe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3664) Condition de Cauchy pour une fonction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

2 Differentielles 367I. Differentielles d’une fonction en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

1) Proprietes elementaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3672) Lien avec les fonctions derivables de la variable reelle, cas des fonctions scalaires :3683) Exemples de fonctions differentiables : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

II. Derivees partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3681) Derivee selon un vecteur : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3682) Derivees partielles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3693) Matrice jacobienne : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

III. Operations sur les differentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3701) Linearite et multilinearite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3702) Differentielle d’une composee : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713) Diffeomorphismes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3714) Fonctions de classe C1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

IV. Diffeomorphismes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3721) Passage en coordonnees polaires : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3722) Passage en coordonnees cylindriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3723) Passage en coordonnees spheriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

V. Formule des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373VI. Derivees partielles successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

1) Generalites : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3742) Fonctions de classe Ck : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3743) Theoreme de Schwarz : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

VII. Theoreme de la fonction implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375


1) Position du probleme en dimension 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3752) Derivation de la fonction implicite : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3753) Cas de la dimension 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

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Cours de Mathématiques Supérieures Lycée Henri IVhx3.h4.free.fr/Cours_(edition3) typeset.pdf · Chapitre 1 Eléments de théorie des ensembles Les Mathématiques reposent