Cours de mathématiques de quatrième - Free

http://blitz10.free.fr

Cours de mathématiques de quatrième

Bertrand Carry

http://blitz10.free.fr/�


SOMMAIRE 1. Proportionnalité ...................................................................................................................... 1

1.1 Rappels ............................................................................................................................. 1 1.1.1 Premier exemple : .................................................................................................. 1 1.1.2 Deuxième exemple : ............................................................................................... 1

1.2 Pourcentage, exemples ..................................................................................................... 2 1.2.1 Appliquer un pourcentage : .................................................................................... 2 1.2.2 Trouver un pourcentage : ....................................................................................... 2

1.3 Distance, vitesse, temps ................................................................................................... 2 1.4 Echelle de carte, de plan ................................................................................................... 2 1.5 Représentation graphique ................................................................................................. 3

1.5.1 A partir d’un tableau de proportionnalité : ........................................................... 3 1.5.2 A partir de points alignés avec l’origine : ............................................................. 4

2. Droite des milieux .................................................................................................................. 5 2.1 Théorème 1 ....................................................................................................................... 5 2.2 Théorème 2 ....................................................................................................................... 6

3. Produit, quotient de nombres relatifs ..................................................................................... 7 3.1 Rappel : addition, soustraction ......................................................................................... 7 3.2.Produit .............................................................................................................................. 7 3.3.Quotient ............................................................................................................................ 7

4. Théorème de Pythagore .......................................................................................................... 9 5. Cercle inscrit dans un triangle .............................................................................................. 10

5.1 Distance d'un point à une droite ..................................................................................... 10 5.2 Tangente à un cercle ....................................................................................................... 11 5.3 Bissectrices ..................................................................................................................... 12

5.3.1 Bissectrice d’un angle : ........................................................................................ 12

5.3.2 Bissectrice d’un triangle : .................................................................................... 13 5.3.3 Propriété : ............................................................................................................ 13

6. Quotients .............................................................................................................................. 14 6.1 Quotients égaux .............................................................................................................. 14 6.2 Produits en croix (ou en diagonale) égaux ..................................................................... 14

6.2.1Propriété : ............................................................................................................. 14 6.2.2Propriété réciproque : ........................................................................................... 14 6.2.3Application à la proportionnalité : ....................................................................... 14

6.3 Somme et différence de quotients .................................................................................. 15 6.4 Produit de quotients ........................................................................................................ 16 6.5 Inverse d’un nombre non nul ......................................................................................... 16

7. Réciproque du théorème de Pythagore ................................................................................. 18 8. Pyramide ............................................................................................................................... 19

8.1 Vue en perspective cavalière .......................................................................................... 19 8.2 Patron ............................................................................................................................. 20 8.3 Volume ........................................................................................................................... 21

9. Exemples de puissances entières .......................................................................................... 22 9.1 Puissances de 3 ............................................................................................................... 22

9.1.1 Exposant entier naturel : ...................................................................................... 22



9.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : ......................................................... 22 9.2 Autres puissances ........................................................................................................... 23 9.3 Quelques calculs ............................................................................................................. 23

9.4.1 Exemples : ............................................................................................................ 24 9.4.2 Quelques calculs : ................................................................................................ 24

9.4.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal : ........................................................ 24 10. Calcul littéral ...................................................................................................................... 25

10.1 Développement ............................................................................................................. 25 10.1.1 Rappel : .............................................................................................................. 25 10.1.2 Conséquence : .................................................................................................... 25

10.2 Parenthèses ................................................................................................................... 25 10.2.1 Opposé d’une somme : ....................................................................................... 25 10.2.2 Soustraction : ..................................................................................................... 26

11. Théorème de Thalès ........................................................................................................... 27 12. Cône de révolution ............................................................................................................. 28

12.1 Le cône de révolution ................................................................................................... 28 12.2 Perspective cavalière .................................................................................................... 28 12.3 Patron ........................................................................................................................... 29 12.4 Volume ......................................................................................................................... 30

13. Cosinus d’un angle aigu ..................................................................................................... 31 13.1 Définition ..................................................................................................................... 31 13.2 Cas du triangle rectangle .............................................................................................. 32

14. Triangle rectangle et cercle ................................................................................................ 33 15. Equations ............................................................................................................................ 35

15.1 Techniques ................................................................................................................... 35 15.2 Exemple de résolution .................................................................................................. 35

16. Statistiques ......................................................................................................................... 37 16.1 Exemple 1 ..................................................................................................................... 37 16.2 Exemple 2 ..................................................................................................................... 37

17. Comparaisons de nombres ................................................................................................. 39 17.1 Nombres positifs ou négatifs ........................................................................................ 39 17.2 Symboles ...................................................................................................................... 39 17.3 Addition ........................................................................................................................ 40 17.4 Multiplication par un nombre strictement positif ......................................................... 40 17.5 Multiplication par un nombre strictement négatif ........................................................ 41 17.6 Troncatures de nombres positifs .................................................................................. 42 17.7 Arrondis de nombres positifs ....................................................................................... 43 17.8 Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs ............................. 44


Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième

Page 1

1. Proportionnalité

1.1 Rappels

1.1.1 Premier exemple : Considérons le tableau de nombres suivant :

Nombre x Nombre y

2 0,4

3 0,6

5,1 1,02

8,7 1,74

Chaque nombre y s’obtient en multipliant le nombre x correspondant par 0,2. Ce tableau est donc un tableau de

proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.

1.1.2 Deuxième exemple : Considérons le tableau de nombres suivant :

Nombre x 3 4,1 10,2 80 92

Nombre y 0,75 1,025 2,55 20 23

Chaque nombre y s’obtient en divisant le nombre x correspondant par 4. Ce tableau est donc un tableau de

proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.

÷ 4

× 0,2


Page 2

Remarque : Considérons le tableau de nombres suivant :

Nombre x 2 3 5 7

Nombre y 10 15 26 35

2 × 5 = 10 et 5 × 5 ≠ 26. Ce tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité. Les nombres x et y ne sont pas proportionnels.

1.2 Pourcentage, exemples

1.2.1 Appliquer un pourcentage :

35% de 2800 personnes correspond à 10035 × 2800 personnes, soit 980 personnes.

1.2.2 Trouver un pourcentage :

252 lapins parmi 649 correspond à (649252 × 100) % des lapins ou environ 39% des lapins.

1.3 Distance, vitesse, temps

Considérons un objet qui se déplace à vitesse constante v pendant un temps t. La distance parcourue est notée d. les unités choisies sont cohérentes.

d = v t Remarques :

Avec les notations ci-dessus, on peut écrire : v = td et t =

vd .

Considérons un objet qui se déplace sur une distance d pendant un temps t.

La vitesse moyenne correspondante de cet objet est le quotient td .

1.4 Echelle de carte, de plan

Sur une carte routière on lit : échelle 200000

1 .

Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à 200 000 cm (2 km) dans la réalité ou que 1 mm sur la carte correspond à 200 000 mm dans la réalité ou que 1 pouce sur la carte correspond à 200 000 pouces dans la réalité, etc.


Page 3

Sur la carte deux villes sont distantes de 8,5 cm. Dans la réalité elles sont donc distantes de 8,5 × 2 km, soit 17 km. Une échelle de carte, de plan, est souvent donnée sous la forme suivante :

et on simplifie, si possible, l'écriture de la fraction afin que le numérateur soit égal à 1.

1.5 Représentation graphique

1.5.1 A partir d’un tableau de proportionnalité : Considérons un tableau de proportionnalité :

Soit P un plan muni d’un repère (O, I, J). Considérons tous les points de coordonnées (x,y). On admet que tous ces points sont alignés et de plus qu’ils sont alignés avec l’origine O du repère. Nombre x Nombre y

2 6 3,5 10,5

8 24 12 36

Nombre x --- Nombre y ---

Points de coordonnées (x,y)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 2 4 6 8 10 12 14

x

y

distance sur le plandistance réelle correspondante dans la même unité


Page 4

1.5.2 A partir de points alignés avec l’origine : Dans un plan P muni d’un repère (O, I, J), considérons des points de coordonnées (x,y) alignés avec l’origine O du repère (la droite contenant ces points n’étant pas confondue avec la droite des ordonnées). Les nombres x et y sont alors proportionnels.

x

y

o

AB

C

Cours chapitre 2 : droite des milieux niveau quatrième

Page 5

2. Droite des milieux

P est un plan, une unité de longueur est choisie.

2.1 Théorème 1 Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments de droites [AB] et [AC].

Alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC) et on peut écrire : IJ = 21 BC.

A

B C

I J

ABC est un triangle I est le milieu de [AB] J est le milieu de [AC]

Cours chapitre 2 : droite des milieux niveau quatrième

Page 6

2.2 Théorème 2 Soit EFG un triangle, K est le milieu du segment de droite [EF]. Alors la droite parallèle à la droite (FG) et contenant K, coupe le segment de droite [EG] en son milieu.

E

F G

K

EFG est un triangle K est le milieu de [EF] d est parallèle à (FG)

d

Cours chapitre 3 : produit, quotient de nombres relatifs niveau quatrième

Page 7

3. Produit, quotient de nombres relatifs

3.1 Rappel : addition, soustraction En cinquième nous avons utilisé l’addition et la soustraction de nombres relatifs :

-62 + 47 = -15 ; -8 + (-17) = -25 ; 106 + (-49) = 57

-9 – 38 = -47 ; -20 – (-50) = 30 ; -62 – (-7) = -55 Remarques : Quels que soient les nombres a et b on peut écrire : a – b = a + (-b).

-b est l’opposé de b. Sur la calculatrice on distingue deux touches : - pour la soustraction

(-) pour l’opposé d’un nombre.

3.2.Produit Le produit de deux nombres positifs est positif. Le produit de deux nombres négatifs est positif. Le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif. Exemples : 3,2 × 8 = 25,6 -5 × (-2,2) = 11 -0,1 × 56,3 = -5,63 8,3 × (-6) = -49,8

3.3.Quotient Le quotient de deux nombres positifs est positif. Le quotient de deux nombres négatifs est positif. Le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif. Exemples :

23 = 1,5

217−− = 8,5

Cours chapitre 3 : produit, quotient de nombres relatifs niveau quatrième

Page 8

43−

= -0,75

52−

= -0,4

Remarques :

Quel que soit le nombre a non nul on peut écrire : a × a1 = 1

a1 est appelé inverse de a.

31 est l’inverse de 3

-81 est l’inverse de -8

43 est l’inverse de

34

-75 est l’inverse de

57−

Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre b non nul, on peut écrire :

ba = a ×

b1 .

65− = (-5) ×

61

Cours chapitre 4 : théorème de Pythagore niveau quatrième

Page 9

4. Théorème de Pythagore

P est un plan, une unité de longueur est choisie. Soit ABC un triangle rectangle en A :

AB2 + AC2 = BC2

A

B

C

BC2 est la longueur au carré de l’hypoténuse du triangle rectangle.

Cours chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle niveau quatrième

Page 10

5. Cercle inscrit dans un triangle


5.1 Distance d'un point à une droite Considérons une droite d et un point A. La droite contenant A et perpendiculaire à d coupe d en H. La distance AH est appelée distance du point A à la droite d. H est appelé projeté orthogonal de A sur d.

A

H

Premier cas : A∉d d

A

Deuxième cas : A∈d

d

H

Dans ce cas, AH =0


Page 11

5.2 Tangente à un cercle Soit C un cercle de centre O et A un point de ce cercle. La tangente au cercle C en A est la droite T perpendiculaire à la droite (OA) et contenant A. On dit aussi que le cercle C est tangent à la droite T en A.

O

T

A C


Page 12

5.3 Bissectrices

5.3.1 Bissectrice d’un angle : La bissectrice d’un angle est la droite (ou demi-droite) qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. C’est un axe de symétrie de l’angle.

Remarques : Tout point M de la bissectrice d’un angle AOB est équidistant des droites (OA) et

(OB). Considérons un angle AOB et un point K, distinct de O, équidistant des droites (OA)

et (OB). Alors la droite (OK) est la bissectrice de l’angle AOB.

d

La droite d est la bissectrice de l’angle AOB.


Page 13

5.3.2 Bissectrice d’un triangle : Une bissectrice d’un triangle est la bissectrice d’un des angles intérieurs du triangle.

5.3.3 Propriété : Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

E

F

G

I

De plus les droites (EF), (EG) et (GF) sont tangentes à ce cercle.

La droite d, bissectrice de l’angle FGE, est la bissectrice du triangle EGF issue de G.

Les bissectrices du triangle EFG sont concourantes en I qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Cours chapitre 6 : quotients niveau quatrième

Page 14

6. Quotients

6.1 Quotients égaux Soit a un nombre et b un nombre non nul. Quel que soit le nombre non nul k, on peut écrire :

ba =

bkak .

Exemples : 74− =

2112− ;

ππ

23 =

23

6.2 Produits en croix (ou en diagonale) égaux

6.2.1Propriété : Soit a, b, c et d quatre nombres vérifiant : c ≠ 0 et d ≠ 0.

Si ba =

dc , alors ad = bc.

6.2.2Propriété réciproque : Soit a, b, c et d quatre nombres vérifiant : c ≠ 0 et d ≠ 0.

Si ad = bc, alors ba =

dc .

6.2.3Application à la proportionnalité : Considérons un tableau de proportionnalité :

Liste 1 a c Liste 2 b d

Alors on peut écrire : ad = bc. Considérons un tableau de nombres non nuls :

Liste 1 a c Liste 2 b d

Si ad = bc, alors ce tableau est un tableau de proportionnalité.


Page 15

6.3 Somme et différence de quotients Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on désire

effectuer la somme ou la différence des quotients ba et

dc . Pour cela on choisit deux

quotients de même dénominateur, fx et

fy , égaux respectivement à

ba et

dc .

Dans ce cas, on peut écrire :

ba +

dc =

fx +

fy

ba +

dc =

fyx +

ba -

dc =

fx -

fy

ba -

dc =

fyx −

Exemples :

52− +

43 =

208− +

2015

= 20

158 +−

=207

31 -

75 =

217 -

2115

= 21

157 −

= 21

8−


Page 16

6.4 Produit de quotients Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on peut écrire :

ba ×

dc =

bdac .

Exemples :

53− ×

78 =

7583

××−

= 3524−

3914 ×

2215− =

137 ×

115−

= 1113

)5(7×−×

= 143

35−

6.5 Inverse d’un nombre non nul Quel que soit le nombre non nul b, l’inverse de b est le nombre qui multiplié par b égale 1.

L’inverse de b peut se noter b1 .

b × b1 = 1

Exemples :

L’inverse de 5 est 51 .

L’inverse de 34− est

43− .

Remarque :

Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre non nul b, on peut écrire : ba = a ×

b1 .


Page 17

6.6 Quotient de quotients Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b, c et d, on peut écrire :

dcba

= ba ×

cd

= bcad

Cas particuliers : Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b et c, on peut écrire :

cba

= bca

Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls c et d, on peut écrire :

dca =

cad

Exemples :

43

52

− =

52 ×

34−

= 3542

××−

=15

8−

1852

= 185

2×

= 95

1×

= 451

1137− =

3117×−

= 377−

Cours chapitre 7 : réciproque du théorème de Pythagore niveau quatrième

Page 18

7. Réciproque du théorème de Pythagore

P est un plan, une unité de longueur est choisie. Soit RST un triangle. Si RT2 = RS2 + ST2, alors RST est rectangle en S.

Cours chapitre 8 : pyramides niveau quatrième

Page 19

8. Pyramide E est l’espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l’unité d’aire correspondante et l’unité de volume correspondante.

8.1 Vue en perspective cavalière Voici deux vues en perspective cavalière d’une même pyramide SABCD. La base de cette pyramide est le quadrilatère ABCD. Le sommet principal est le point S. Les faces latérales sont les quatre triangles : SAB, SBC, SCD et SDA.

A

B

C

D

S

A

B

C

D

S


Page 20

Remarques : Une pyramide a pour base un polygone : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone,

etc. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet commun appelé sommet principal de la pyramide.

Une pyramide qui a pour base un triangle est appelée tétraèdre. Ses faces latérales sont aussi des triangles.

E

F

G

K

8.2 Patron Un patron d’une pyramide est formé à l’aide du polygone de base et des triangles correspondant aux faces latérales.

A

B

C

D

EFG peut être considéré comme une base (parmi les quatre possibles) de ce tétraèdre. Dans ce cas, le sommet principal de la pyramide est le point K.

Patron de la pyramide SABCD du paragraphe précédent.


Page 21

8.3 Volume

Pour calculer le volume d’une pyramide, on a besoin de connaître sa hauteur. Considérons la pyramide SABCD ci-dessous. La droite (SH) est perpendiculaire à deux droites sécantes incluses dans le plan (ABC). Elle est donc perpendiculaire au plan (ABC). H est élément de ce plan (ABC). SH est appelé hauteur de la pyramide.

A

B

C

D

S

H

Le volume de toute pyramide est égal à :

31 × aire de la base × hauteur

(ABC)

Cours chapitre 9 : exemples de puissances entières niveau quatrième

Page 22

9. Exemples de puissances entières

9.1 Puissances de 3

9.1.1 Exposant entier naturel : Considérons le nombre 3 :

3o = 1 31 = 3 32 = 3 × 3 = 9 33 = 3 × 3 × 3 = 27 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 etc.

Soit n un entier naturel. 3n se lit « 3 exposant n ». 3n est une puissance de 3. n est l’exposant.

9.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : Considérons encore le nombre 3 :

3-1 = 31

3-2 = 231

3-3 = 331

3-4 = 431

etc. Comme ci-dessus, soit p un entier relatif strictement négatif. 3p se lit « 3 exposant p ». 3p est une puissance de 3. p est l’exposant.


Page 23

9.2 Autres puissances 23 = 2 × 2 × 2 23 = 8 On lit « 2 exposant 3 égale 8 ». 8 est une puissance de deux.

4-2 = 142

4-2 = 161 On lit « 4 exposant -2 égale

161 ».

161 est une puissance de quatre.

(-5)3 = -5 × (-5) × (-5) (-5)3 = -125 (0,2)4 = 0,2 × 0,2 × 0,2 × 0,2 (0,2)4 = 0,001 6

9.3 Quelques calculs 23 × 25 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2 )

= 28

32

37 = 3333333

33××××××

×

= 531

= 3-5 (6 × 7)3 = (6 )7× × (6 )7× × (6 )7× = (6 )66×× × (7 77×× )

= 63 × 73


Page 24

9.4 Puissances entières de 10

9.4.1 Exemples : … 10-3 = 0,001 ; 10-2 = 0,01 ; 10-1 = 0,1 ; 100 = 1 ; 101 = 10 ; 102 = 100 ; 103 = 1000 …

9.4.2 Quelques calculs : (103)2 = (103)× (103) = 106 105×102 = 107

3101 = 10-3

9.4.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal : Tout nombre décimal strictement positif peut s’écrire sous forme scientifique, c’est-à-dire sous la forme a × 10n, où a est un nombre décimal dont la partie entière est supérieure ou égale à 1 et inférieure ou égale à 9 et n est un entier relatif. Tout nombre décimal a strictement négatif peut aussi s’écrire sous forme scientifique en prenant l’opposé de l’écriture scientifique du nombre décimal strictement positif –a. Exemples : 125, 3 = 1,253 × 102 0,214 = 2,14 × 10-1 4,08 = 4,08 × 100 -0,0024 = -2,4 × 10-3

Cours chapitre 10 : calcul littéral niveau quatrième

Page 25

10. Calcul littéral

10.1 Développement

10.1.1 Rappel : k, a et b désignent des nombres :

k(a + b) = ka + kb

10.1.2 Conséquence : a, b, c et d désignent des nombres :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : x désigne un nombre, développer l’expression suivante : (x + 3)( 2x + 5). (x + 3)( 2x + 5) = x × 2x + x × 5 + 3 × 2x + 3 × 5 = 2x2 + 5x + 6x + 15 = 2x2 + 11x + 15 t désigne un nombre, développer l’expression suivante : (5t - 8)( 3t + 2). (5t - 8)( 3t + 2) = 5t × 3t + 5t × 2 + (-8) × 3t + (-8) × 2 = 15t2 + 10t – 24t – 16 = 15t2 – 14t – 16

10.2 Parenthèses

10.2.1 Opposé d’une somme : a et b désignent des nombres : l’opposé de a +b est -a – b.

-(a + b) = -a – b Exemple : a désigne un nombre : -( 3a2 – 6a + 8) = - 3a2 + 6a – 8

Cours chapitre 10 : calcul littéral niveau quatrième

Page 26

10.2.2 Soustraction : m, x et y désignent des nombres :

m – (x + y) = m – x – y Exemple : n désigne un nombre : 3n – ( -5n2 +7n – 3) = 3n + 5n2 – 7n + 3

= 5n2 – 4n + 3

Cours chapitre 11 : théorème de Thalès niveau quatrième

Page 27

11. Théorème de Thalès

P est un plan, une unité de longueur est choisie. ABC est un triangle M ∈ [AB] et M ≠ A N ∈ [AC] et N ≠ A (MN) // (BC) D’après le théorème de Thalès on peut écrire :

AMAB = AN

AC et AMAB = MN

BC .

Cours chapitre 12 : cône de révolution niveau quatrième

Page 28

12. Cône de révolution E est l’espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l’unité d’aire correspondante et l’unité de volume correspondante.

12.1 Le cône de révolution Considérons une plaque rigide en forme de triangle ABC rectangle en A. On fait tourner ce triangle à une vitesse suffisamment élevée autour de l'axe (AC). L'œil humain perçoit alors un solide de l'espace appelé cône de révolution.

12.2 Perspective cavalière Voici une représentation en perspective cavalière d'un cône :

A B

C

Le disque de base est schématisé par une ellipse.


Page 29

12.3 Patron Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (base) et d'une partie de disque (enveloppe latérale).

Ces deux longueurs sont égales


Page 30

12.4 Volume Le volume V d'un cône de révolution s'obtient en utilisant la même formule que celle utilisée pour le volume d'une pyramide :

V = 13 × aire de base × hauteur

Si r est le rayon de base du cône, alors son volume V égale 13 π r2 SA.

A

S

La droite (SA) est perpendiculaire à deux droites sécantes incluses dans le plan contenant le disque de base du cône ; elle est donc perpendiculaire au plan contenant cette base . SA est appelé hauteur du cône.

Cours chapitre 13 : cosinus d’un angle aigu niveau quatrième

Page 31

13. Cosinus d’un angle aigu


13.1 Définition Considérons un angle aigu xOy.

Soit A et B deux points, distincts, de la demi-droite ]Ox). Les droites perpendiculaires à la droite (AB) en, respectivement, A et B, coupent la demi-droite [Oy) en, respectivement, M et N.

Les rapports OMOA et

ONOB sont égaux. Le nombre

OMOA est appelé cosinus de l’angle aigu

xOy et on note : cos xOy = OMOA .

x

y

Cours chapitre 13 : cosinus d’un angle aigu niveau quatrième

Page 32

13.2 Cas du triangle rectangle

EFG est un triangle rectangle en E.

cos EGF = FGEG

côté adjacent à l’angle EGF

hypoténuse

côté opposé à l’angle EGF

Cours chapitre 14 : triangle rectangle et cercle circonscrit niveau quatrième

Page 33

14. Triangle rectangle et cercle

P est un plan. Tout triangle ABM, inscrit dans un cercle (ou demi-cercle) de diamètre [AB], est rectangle en M.

A

B

M

Cours chapitre 14 : triangle rectangle et cercle circonscrit niveau quatrième

Page 34

Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse (côté opposé à l’angle droit).

E

F

G

I

Cours chapitre 15 : équations niveau quatrième

Page 35

15. Equations

15.1 Techniques Soit A et B deux nombres : Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A + C = B + C. On peut ajouter un même nombre à chaque membre d’une égalité. Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A – C = B – C. On peut soustraire un même nombre à chaque membre d’une égalité. Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A × C = B × C. On peut multiplier chaque membre d’une égalité par un même nombre.

Si A = B, alors quel que soit le nombre non nul C on a : CA =

CB .

On peut diviser chaque membre d’une égalité par un même nombre non nul.

15.2 Exemple de résolution Résolvons l’équation suivante, d’inconnue le nombre x :

3(x – 2) + 7 = x – 21 .

Si 3(x – 2) + 7 = x – 21

alors 3x – 6 + 7 = x – 21

alors 3x + 1 = x – 21

alors 2x + 1 = -21 (on a soustrait x à chaque membre de l’équation)

alors 2x = -21 – 1 (on a soustrait 1 à chaque membre de l’équation)

alors 2x = -23

alors x = 223−

(on a divisé chaque membre de l’équation par 2)

alors x = 43−

Cours chapitre 15 : équations niveau quatrième

Page 36

vérification :

si x = 43− alors 3(x – 2) + 7 = 3(

43− – 2) + 7

alors 3(x – 2) + 7 = 3(411− ) + 7

alors 3(x – 2) + 7 = 433− +

428

alors 3(x – 2) + 7 = 45−

si x = 43− alors x –

21 =

43− –

21

alors x – 21 =

45−

si x = 43− alors 3(x – 2) + 7 = x –

21 .

conclusion :

La solution de l’équation , 3(x – 2) + 7 = x – 21 , est :

43− .

Cours chapitre 16 : statistiques niveau quatrième

Page 37

16. Statistiques La nouveauté par rapport aux classes de sixième et de cinquième est le calcul de la moyenne arithmétique.

16.1 Exemple 1 Voici les notes d’un élève en mathématiques :

12/20, 16/20, 8/20, 14/20.

On peut calculer : 4

1481612 +++ . Ce nombre est appelé moyenne arithmétique des nombres 12,

16, 8 et 14.

41481612 +++ =

450

41481612 +++ = 12,5

La moyenne arithmétique des nombres 12, 16, 8 et 14 est 12,5. On peut dire que la note moyenne de l’élève, en mathématiques, est 12,5 sur 20.

16.2 Exemple 2 En fin de trimestre, un professeur de français annonce aux élèves que le devoir 1 aura un coefficient 2, le devoir 2 un coefficient 1, le devoir 3 un coefficient 2 et le devoir 4 un coefficient3. Voici les notes, sur 20, d’un élève : devoirs notes coefficients devoir 1 12 2 devoir 2 8 1 devoir 3 14 2 devoir 4 11 3 Cela signifie que le devoir 1 est compté deux fois, le devoir 2 une fois, le devoir 3 deux fois et le devoir 4 trois fois.

Cours chapitre 16 : statistiques niveau quatrième

Page 38

On peut dire que les notes 12, 8, 14, 11 sont pondérées par, respectivement, les coefficients, 2, 1, 2, 3. Pour calculer la moyenne arithmétique des notes de l’élève, on peut procéder comme dans l’exemple précédent :

8111111141481212 +++++++ =

893

8111111141481212 +++++++ = 11,625

La note moyenne de l’élève, en français, est environ 11,6 sur 20. Mais on peut mener le calcul plus rapidement :

321231121418212

+++×+×+×+× =

893

On peut aussi présenter le calcul dans un tableau : notes coefficients produits 12 2 24 8 1 8 14 2 28 11 3 33 total 8 93

A l’aide de ce tableau, on lit que la note moyenne de l’élève, en français, est 893 sur 20.

Cours chapitre 17 : comparaison de nombres niveau quatrième

Page 39

17. Comparaisons de nombres

17.1 Nombres positifs ou négatifs

Parmi les nombres étudiés au collège, certains sont dits positifs comme : 0 , 34 , π , - ( - 8 ) , etc.

D'autres sont dits négatifs comme : 0 , - 2 , - 21 , etc.

0 est le seul nombre positif et négatif. Un nombre positif non nul est dit strictement positif. Un nombre négatif non nul est dit strictement négatif.

17.2 Symboles Quatre symboles sont utilisés : < (on lit : est inférieur à) > (on lit : est supérieur à) ≤ (on lit : est inférieur ou égal à) ≥ (on lit : est supérieur ou égal à) a et b désignent des nombres :

si a b alors a - b est strictement positif si a ≤ b alors a - b est négatif si a ≥ b alors a - b est positif si a - b est strictement négatif alors a b si a - b est négatif alors a ≤ b si a - b est positif alors a ≥ b


Page 40

17.3 Addition Quels que soient les nombres a, b et c, on peut écrire :

si a b alors a + c > b +c si a ≤ b alors a + c ≤ b +c si a ≥ b alors a + c ≥ b +c

On dit que a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b.

Exemples :

x désigne un nombre : si x - 3 < 11 alors x - 3 + 3 < 11 + 3 (on additionne 3) alors x < 14

a désigne un nombre : si 2 a - 9 < a + 3 alors 2 a - 9 - a < a + 3 - a (on soustrait a ou on ajoute -a) alors a - 9 < 3

17.4 Multiplication par un nombre strictement positif Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement positif k, on peut écrire :

si a b alors k a > k b si a ≤ b alors k a ≤ k b si a ≥ b alors k a ≥ k b

On dit que k a et k b sont rangés dans le même ordre que a et b. (k > o)

Exemples : x désigne un nombre :

si 21 x < 5

alors 21 x × 2 < 5 × 2 (on multiplie par 2 et 2 > 0)


Page 41

alors x < 10

a désigne un nombre :

si 4 a < - 17

alors 4 a × 41 < - 17 ×

41 (on multiplie par

41 et

41 > 0 ou on divise par 4 et 4 > 0)

alors a < 417−

17.5 Multiplication par un nombre strictement négatif Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement négatif k, on peut écrire :

si a k b si a > b alors k a < k b si a ≤ b alors k a ≥ k b si a ≥ b alors k a ≤ k b

On dit que k a et k b sont rangés dans l’ordre inverse de celui de a et de b. (k < o)

Exemples : x désigne un nombre :

si -21 x < 5

alors -21 x × (-2) > 5 × (-2) (on multiplie par -2 et 2 < 0)

alors x > -10

a désigne un nombre :si -4 a < - 17

alors 4 a × (-41 ) > - 17 × (-

41 ) (on multiplie par -

41 et -

41 < 0 ou on divise par -4

et -4 < 0)

alors a > 4

17


Page 42

17.6 Troncatures de nombres positifs Considérons les nombres suivants : 12,3052 2,6432

76 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857

π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265 On peut considérer les troncatures à l’unité de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales. 12 est la troncature à l’unité de 12,3052 2 est la troncature à l’unité de 2,6432

0 est la troncature à l’unité de 76

3 est la troncature à l’unité de π On peut considérer les troncatures au dixième de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales et la première décimale. 12,3 est la troncature à l’unité de 12,3052 2,6 est la troncature à l’unité de 2,6432

0,8 est la troncature à l’unité de 76

3,1 est la troncature à l’unité de π On peut considérer les troncatures au centième de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales et les deux premières décimales. 12,30 est la troncature au centième de 12,3052 2,64 est la troncature au centième de 2,6432

0,85 est la troncature au centième de 76

3,14 est la troncature au centième de π etc.


Page 43

17.7 Arrondis de nombres positifs Considérons les nombres du paragraphe 17.6 : 12,3052 2,6432

76 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857

π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265 On peut considérer les arrondis à l’unité de chacun des nombres ci-dessus en observant la première décimale de l’écriture décimale de chacun des nombres. Si cette décimale est inférieure à 5, l’arrondi à l’unité du nombre est sa troncature à l’unité. Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l’arrondi à l’unité du nombre est sa troncature à l’unité augmentée de 1. 12 est l’arrondi à l’unité de 12,3052 3 est l’arrondi à l’unité de 2,6432

1 est l’arrondi à l’unité de 76 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857

3 est l’arrondi à l’unité de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265 On peut considérer les arrondis au dixième de chacun des nombres ci-dessus en observant la deuxième décimale de l’écriture décimale de chacun des nombres. Si cette décimale est inférieure à 5, l’arrondi au dixième du nombre est sa troncature au dixième. Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l’arrondi au dixième du nombre est sa troncature au dixième augmentée de 0,1. 12,3 est l’arrondi au dixième de 12,3052 2,6 est l’arrondi au dixième de 2,6432

0,9 est l’arrondi au dixième de 76 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857

3,1 est l’arrondi au dixième de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265


Page 44

On peut considérer les arrondis au centième de chacun des nombres ci-dessus en observant la troisième décimale de l’écriture décimale de chacun des nombres. Si cette décimale est inférieure à 5, l’arrondi au centième du nombre est sa troncature au centième. Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l’arrondi au centième du nombre est sa troncature au centième augmentée de 0,01. 12,31 est l’arrondi au centième de 12,3052 2,64 est l’arrondi au centième de 2,6432

0,86 est l’arrondi au centième de 76 dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857

3,14 est l’arrondi au centième de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265 etc.

17.8 Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs nombre Valeur approchée

calculatrice Troncature à l’unité

Troncature au dixième

Troncature au centième

12,3052 12 12,3 12,30 2,6432 2 2,6 2,64

76

0.857142857 0 0,8 0,85

π 3.14159265 3 3,1 3,14 nombre Valeur approchée

calculatrice Arrondi à l’unité Arrondi au

dixième Arrondi au centième

12,3052 12 12,3 12,31 2,6432 3 2,6 2,64

76

0.857142857 1 0,9 0,86

π 3.14159265 3 3,1 3,14

Documents

Cours de mathématiques de quatrième - Free