Cours de Mathématiques - MPSI Blorenzi.marc.pagesperso-orange.fr/Docs/Poly/PolyMaths.pdf · Cours de Mathématiques ClassedeMPSIB Auteur: MarcLorenzi Misàjourle11décembre2014 Lycée

Cours de MathématiquesClasse de MPSI B

Auteur : Marc LorenziMis à jour le 11 décembre 2014

Lycée Camille Guérin

Année 2013-2014

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Table des matières

1 Un peu de logique 21I Propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.1 Le langage des mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2 Équivalence de deux propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

II Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.1 Le connecteur « ET » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23II.2 Le connecteur « OU » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24II.3 Le connecteur « NON » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.4 Le connecteur « IMPLIQUE » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25II.5 Équivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

III Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.1 Quantificateurs universel et existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.2 Négation d’une phrase quantifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.3 Échange de quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Ensembles 31I Notion d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

I.1 Ensembles, éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.2 Les difficultés du concept d’ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32I.3 Égalité d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.4 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.5 Ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33I.6 Parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

II Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.1 Réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34II.2 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.3 Différence, Complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.4 Couples, produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.5 Notion de famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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4 TABLE DES MATIÈRES

III Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Récurrence 39I L’ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40II Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.1 Le théorème de démonstration par récurrence . . . . . . . . . . . . . 40II.2 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II.3 La formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III Extensions du principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.1 Récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42III.2 Récurrence à 2 rangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

IV Suites définies par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43V Annexe : suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Applications et relations 47I Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48I.2 Restrictions, prolongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48I.3 Injections, surjections, bijections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49I.4 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49I.5 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50I.6 Images directes, Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51I.7 Fonctions indicatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

II Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.1 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II.2 Ensembles ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52II.3 Majorants, Minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.1 Notion de relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.2 Exemples simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.3 Congruences sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.4 Congruences sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.5 Classes d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54III.6 Une réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Nombres complexes 59I Le corps des complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

I.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60I.2 Affixe, image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.3 Conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.4 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II Nombres complexes et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

TABLE DES MATIÈRES 5

II.1 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.2 Arguments d’un complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.3 Forme trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.4 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65II.5 Application à la linéarisation de sinus et cosinus . . . . . . . . . . . 66II.6 Opération inverse : délinéarisation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

III Résolution d’équations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III.1 Racine carrée d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III.2 Méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III.3 Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67III.4 Racines nièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III.5 Racines nièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

IV Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.1 Somme, produit par un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.2 Module, Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69IV.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6 Le corps des nombres réels 75I Le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

I.1 Corps ordonnés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76I.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

II Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.1 Notion de borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77II.2 Le Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.3 La droite réelle achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79II.4 Propriété d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80II.5 Partie entière, Approximations décimales . . . . . . . . . . . . . . . 81II.6 Densité des rationnels et des irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . 81

III Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82III.1 Notion d’intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82III.2 Parties convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7 Fonctions 85I Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

I.1 Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86I.2 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87I.3 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87I.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87I.5 Parité, périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

II Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II.1 Notion de dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89II.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89


II.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90II.4 Réciproque d’une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

III Logarithmes et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90III.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90III.2 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91III.3 Logarithmes et exponentielles en base quelconque . . . . . . . . . . . 92III.4 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

IV Puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93IV.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93IV.2 Représentations graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.3 variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.4 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94IV.5 Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . 95

V Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95V.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95V.2 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96V.3 Fonction Arc tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

VI Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.1 Fonctions cosinus et sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 99VI.2 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VI.3 Fonction tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100VI.4 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8 Primitives et Équations différentielles 105I Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

I.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106I.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106I.3 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107I.4 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

II Notion d’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108II.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108II.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109II.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

III Équations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109III.1 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109III.2 Équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110III.3 Une équation fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110III.4 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

IV Résolution approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111V Équations du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

V.1 Équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112V.2 Le cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112V.3 Équation avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113


V.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

9 Suites réelles 117I Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

I.1 Limite réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118I.2 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119I.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120I.4 Limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121I.5 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122II.1 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122II.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123II.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

III Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124III.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IV Récurrences linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125IV.1 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125IV.2 Récurrences linéaires à deux termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

10 Limites - Continuité 131I Étude locale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

I.1 Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132I.2 Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132I.3 Reformulations de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133I.4 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135I.5 Limites de fonctions, limites de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . 136I.6 limites et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136I.7 Limites dans une direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137I.8 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

II Propriétés des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138II.1 Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . 138II.2 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139II.3 Image d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139II.4 Image d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140II.5 Fonctions continues strictement monotones . . . . . . . . . . . . . . 140II.6 Fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

III Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


11 Dérivation 145I Notion de dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146I.2 Dérivées à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146I.3 Classes de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147I.4 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

II Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150II.1 Extrema locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150II.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150II.3 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150II.4 Fonctions monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151II.5 Passage à la limite dans une dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152II.6 Passage à la limite pour les fonctions de classe Ck . . . . . . . . . . . 152

III Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153III.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153III.2 Rolle et accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153III.3 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

12 Analyse asymptotique 157I Comparaison des fonctions au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . 158

I.1 Négligeabilité, domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158I.2 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158I.3 Équivalents classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159I.4 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

II Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160II.1 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160II.2 Notion de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161II.3 Utilité des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162II.4 Développements classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162II.5 Somme de DLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163II.6 Produit de DLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.7 Inverse d’un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164II.8 Composition de DLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165II.9 Primitivation de DLs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

III Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166III.1 Notion de DA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166III.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167III.3 La formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170


13 Groupes, anneaux, corps 173I Lois de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174I.2 Propriétés fondamentales des lois de composition . . . . . . . . . . . 174

II Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176II.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176II.2 Puissances d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177II.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178II.4 Morphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179II.5 Noyau et image d’un morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

III Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180III.2 Sommes et produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181III.3 Puissances et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181III.4 Sous-Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181III.5 Éléments inversibles d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182III.6 Morphismes d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182III.7 Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

14 Arithmétique 187I Divisibilité dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

I.1 Diviseurs, multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188I.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

II PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189II.1 Somme de deux sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189II.2 PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190II.3 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190II.4 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191II.5 Algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191II.6 Complexité de l’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191II.7 Coefficients de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192II.8 Propriétés utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192II.9 PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193II.10 Résolution d’une équation diophantienne simple . . . . . . . . . . . . 194II.11 PGCD d’un nombre fini d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

III Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195III.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195III.3 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . 196III.4 Valuation p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197III.5 Application au pgcd et au ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

IV Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197IV.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


IV.2 Opérations sur les congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197IV.3 Le petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

15 Polynômes 203I L’algèbre des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

I.1 Notion de polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204I.2 Degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204I.3 Produit de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204I.4 Écriture définitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205I.5 composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

II L’anneau des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206II.1 Multiples, diviseurs, d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206II.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

III Fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207III.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207III.2 Polynômes et fonctions polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207III.3 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208III.4 Racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

IV Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209IV.1 Dérivée d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209IV.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

V Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210V.1 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210V.2 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211V.3 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

VI Pgcd,Ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212VI.1 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212VI.2 Théorème de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213VI.3 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213VI.4 Propriétés utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213VI.5 Ppcm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214VI.6 Calculs pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

VII Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215VII.1 Qu’est-ce que l’interpolation ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215VII.2 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

VIII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

16 Fractions rationnelles 219I Le corps des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

I.1 Notion de fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220I.2 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220I.3 Racines, pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220I.4 Fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221


II Éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221II.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221II.2 Exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221II.3 Partie entière d’une F.R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221II.4 Parties polaires d’une fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221II.5 Décomposition en éléments simples sur les complexes . . . . . . . . . 222II.6 Pôles simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222II.7 Pôles multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223II.8 Fractions réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

III Primitives des fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224III.1 Primitives d’un élément simple de première espèce . . . . . . . . . . 224III.2 Primitives d’un élément simple de deuxième espèce d’ordre 1 . . . . 224III.3 Primitives d’un élément simple de deuxième espèce d’ordre au moins 2224

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

17 Calcul des primitives 227I Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228II Primitives se ramenant à des primitives de F.R. . . . . . . . . . . . . . . . . 229

II.1 Fractions en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229II.2 Fractions d’exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229II.3 Intégrales abéliennes (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229II.4 Intégrales abéliennes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

III Autres primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230III.1 Primitives de fonctions faisant intervenir un logarithme ou un arc

tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230III.2 Exponentielle-polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

18 Espaces vectoriels 235I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

I.1 Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236I.2 Propriétés immédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236I.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236I.4 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

II Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238II.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238II.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238II.3 Endomorphismes du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239II.4 Vocabulaire, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239II.5 Opérations sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . 240

III Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241III.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241III.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241III.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241


III.4 Image directe et réciproque par une application linéaire . . . . . . . 242III.5 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 242

IV Opérations sur les s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242IV.1 Intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242IV.2 s.e.v engendré par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243IV.3 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

V Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244V.1 Somme de deux s.e.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244V.2 Sommes directes - s.e.v supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . 244V.3 Somme directe de n sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 245V.4 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245V.5 Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

VI Familles remarquables de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246VI.1 Famille libre, famille génératrice, base . . . . . . . . . . . . . . . . . 246VI.2 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247VI.3 Propriétés faciles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247VI.4 Familles remarquables et applications linéaires . . . . . . . . . . . . 248VI.5 Familles libres maximales, génératrices minimales . . . . . . . . . . . 249VI.6 bases et sev supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

19 Dimension finie 253I Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

I.1 Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254I.2 Cardinal des familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254I.3 Le théorème de la base incomplète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255I.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

II Sev d’un espace de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256II.1 Dimension d’un sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256II.2 Sev supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

III Dimensions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256III.1 Image d’un sev par une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 256III.2 Espaces isomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257III.3 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257III.4 Produit d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257III.5 Dimension des espaces d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . 258

IV Notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258IV.1 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258IV.2 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259IV.3 Le théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259IV.4 Quelques conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259IV.5 Calcul pratique d’un rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

V Dual d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261V.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261


V.2 Formes coordonnées, base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261V.3 Hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262V.4 Noyau d’une forme linéaire non nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262V.5 Équations d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262V.6 Intersections d’hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

20 Matrices 269I Notion de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

I.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270I.2 Structure d’espace vectoriel sur les ensembles de matrices . . . . . . 270

II Vecteurs, applications linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270II.1 Matrice d’un vecteur, d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . 271II.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

III Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272III.1 Analyse du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272III.2 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272III.3 Associativité du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273III.4 L’algèbre des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273III.5 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274III.6 Image d’un vecteur par une application linéaire . . . . . . . . . . . . 274III.7 matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274III.8 Blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

IV Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276IV.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276IV.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276IV.3 Matrices symétriques, antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

V Changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277V.1 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277V.2 Changement de base pour un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277V.3 Changement de bases pour une application linéaire . . . . . . . . . . 277

VI Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278VI.1 Trace d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278VI.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278VI.3 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

VII Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279VII.1 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279VII.2 Matrice canonique d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 279VII.3 Équivalence des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280VII.4 Rang et transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280VII.5 Rang et matrices extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

VIII Similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283


21 Groupes Symétriques 289I Compléments sur les groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

I.1 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290I.2 Sous-groupes d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290I.3 Ordre d’un élément, ordre d’un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . 291I.4 Le théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

II Notion de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292II.1 Permutations d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292II.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

III Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293III.1 Notion d’orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293III.2 Étude des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293III.3 Cycles, Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

IV Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295IV.1 Décomposition en produit de transpositions . . . . . . . . . . . . . . 295IV.2 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295IV.3 Groupe alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

22 Déterminants 301I Applications multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302I.2 Structure des ensembles d’applications n-linéaires . . . . . . . . . . . 302I.3 Formes n-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

II Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303II.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303II.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304II.3 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305II.4 Déterminant d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 305II.5 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306II.6 exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306II.7 Déterminants, bases, matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . 306

III Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307III.1 Déterminant d’une matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 307III.2 Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs . . . . . . . . . . . 307III.3 Opérations sur les lignes et les colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . 307III.4 Développement suivant une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . . 308III.5 Un exemple plus compliqué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

IV Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311IV.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311IV.2 Calcul pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312IV.3 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312IV.4 Propriétés de morphisme du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . 312IV.5 Orientation d’un espace vectoriel réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313


V Inversion des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314V.1 Définitions, Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314V.2 Produit d’une matrice et de sa transcomatrice . . . . . . . . . . . . . 314V.3 Application au calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

23 Systèmes linéaires 319I Sous-espaces affines d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

I.1 Espaces affines - Points et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320I.2 Translations - sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320I.3 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321I.4 Intersection de sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321I.5 Barycentres-Parties convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321I.6 hyperplans affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

II Introduction aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322II.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323II.2 Interprétations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323II.3 Structure des solutions - Systèmes homogènes . . . . . . . . . . . . . 324II.4 Structure des solutions - Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

III Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324III.2 Formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

IV Opérations sur les lignes et les colonnes des matrices . . . . . . . . . . . . . 326IV.1 Matrices élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326IV.2 Multiplication d’une colonne par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . 326IV.3 Échange de colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327IV.4 Ajout à une colonne d’un multiple d’une autre colonne . . . . . . . . 327IV.5 Application aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

V Algorithme du Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327V.1 Première étape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328V.2 Étape générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328V.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

VI Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329VI.1 Calcul du déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . 329VI.2 Inversion d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329VI.3 Évaluation de la complexité de la méthode du pivot . . . . . . . . . 330

VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

24 Espaces préhilbertiens réels 335I Produits scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

I.1 Notion de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336I.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336I.3 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337I.4 Distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337


I.5 Relations utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338II Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

II.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338II.2 Sous-ensembles orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339II.3 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340II.4 Algorithme de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340II.5 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341II.6 Calculs en bases orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

III Projecteurs orthogonaux - Symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 342III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342III.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342III.3 Distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . 343

IV Hyperplans affines d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343IV.1 Vecteur normal à un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343IV.2 Distance d’un point à un hyperplan affine . . . . . . . . . . . . . . . 344

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

25 Endomorphismes orthogonaux 347I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

I.1 Notion d’endomorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348I.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348I.3 Endomorphismes orthogonaux et bases orthonormées . . . . . . . . . 349I.4 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350I.5 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

II Le groupe orthogonal du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351II.1 Recherche des matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352II.2 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant -1 . . . . . 352II.3 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1 . . . . . . 352II.4 Angle orienté de deux vecteurs non nuls . . . . . . . . . . . . . . . . 353II.5 Générateurs du groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

III Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354III.1 Notion de produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354III.2 Propriétés essentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354III.3 Calculs en base orthonormée directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355III.4 Annexe : double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

IV Le groupe orthogonal de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356IV.1 Sous espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356IV.2 Cas 1 : Les invariants forment tout l’espace . . . . . . . . . . . . . . 357IV.3 Cas 2 : Les invariants forment un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 357IV.4 Cas 3 : Les invariants forment une droite . . . . . . . . . . . . . . . . 357IV.5 Cas 4 : Le seul invariant est 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358IV.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358IV.7 Générateurs de O(E) et de SO(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359IV.8 Compléments sur les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360


V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

26 Intégration 363I Intégration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

I.1 Subdivisions d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364I.2 Notion de fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364I.3 Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365I.4 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

II Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366II.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

III Construction de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367III.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367III.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . 368

IV Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369IV.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369IV.2 Croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369IV.3 Formule de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370IV.4 Nullité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370IV.5 Inégalité de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

V Approximations de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371V.1 Sommes de Riemann - Méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . 371V.2 Méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

VI Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373VI.1 Notion de primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373VI.2 Existence et unicité des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373VI.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373VI.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374VI.5 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

VII Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375VII.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375VII.2 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375VII.3 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

VIII Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

27 Étude des Fonctions 381I Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382II Réduction de l’ensemble d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382III Régularité de la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382IV Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382V Points remarquables réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

V.1 Point réel où la fonction n’est pas définie . . . . . . . . . . . . . . . . 383V.2 Points où la fonction est définie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

VI Étude à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383


VI.1 Limite à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383VI.2 Direction asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384VI.3 Asymptote, branche parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384VI.4 Position courbe/asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

VII Concavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384VIII Tracé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385IX Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

28 Séries 387I Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

I.1 Notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388I.2 linéarité de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388I.3 Restes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389I.4 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389I.5 Lien entre suites et séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

II Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390II.1 Une CNS très évidente de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 390II.2 Une CS évidente de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390II.3 Une CS un peu moins évidente de convergence . . . . . . . . . . . . 390

III Comparaison entre séries et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391III.1 Séries vs intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391III.2 Un exemple complet : la série harmonique . . . . . . . . . . . . . . . 392

IV Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393IV.1 Séries absolument convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393IV.2 Convergence absolue et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

V Appendice - Représentations p-adiques des réels . . . . . . . . . . . . . . . . 395V.1 Représentation en base p des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . 395V.2 Représentations d’un réel en base p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396V.3 Unicité du développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

29 Dénombrements 401I Notion d’ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

I.1 Cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402I.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403I.3 Dénombrements et ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403

II Opérations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404II.1 Union disjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404II.2 Différence, union . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404II.3 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

III Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405III.1 Dénombrements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405III.2 Dénombrements d’injections, de bijections . . . . . . . . . . . . . . . 405

IV Parties d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406


IV.1 Nombre total de parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406IV.2 Nombre de parties de cardinal donné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

30 Probabilités 411I Expérience aléatoire et univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

I.1 Notion d’univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412I.2 Notion d’événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413I.3 Systèmes complets d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

II Espaces probabilisés finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414II.1 Notion de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415II.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416II.3 Propriétés des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416II.4 Tirages avec remise dans une urne : la loi binomiale . . . . . . . . . 417II.5 Tirages sans remise dans une urne : la loi hypergéométrique . . . . . 417

III Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419III.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419III.2 Probabilités composées, probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . 419III.3 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420III.4 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

31 Variables aléatoires 427I Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

I.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428I.2 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428I.3 Image d’une variable aléatoire par une fonction . . . . . . . . . . . . 429

II Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429II.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429II.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430II.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430II.4 Un exemple : tirages avec remise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

III Couples de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431III.1 Loi conjointe, lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431III.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431III.3 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432III.4 Généralisation à n variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

IV Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433IV.1 C’est quoi ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433IV.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433IV.3 Fonctions de variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . 433IV.4 Retour à la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

V Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435V.1 Notion d’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435


V.2 Espérance des variables aléatoires usuelles . . . . . . . . . . . . . . . 435V.3 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436V.4 Linéarité de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436V.5 Formule de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437V.6 Inégalité de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437V.7 Espérance d’un produit de variables aléatoires indépendantes . . . . 438

VI Variance, écart-type, covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438VI.1 Variance, écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438VI.2 Variance des variables aléatoires usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 439VI.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441VI.4 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442VI.5 Quelques propriétés de la covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443VI.6 Variance d’une somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 444

VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Index 449

Chapitre 1Un peu de logique

21

22 CHAPITRE 1. UN PEU DE LOGIQUE

I Propositions

I.1 Le langage des mathématiques

Faire des mathématiques, c’est écrire des propositions vraies. Mais qu’est ce qu’uneproposition ? Et qu’est ce que la vérité ? Ceci n’est pas un cours de logique, et nous nouscontenterons de quelques idées très vagues sur la question. Une proposition est une assem-blage de symboles, formé à partir de règles strictes. Par exemple, « 1 + 1 = 2 » est uneproposition. Un autre exemple de proposition est « tous les nombres entiers sont pairs »,ou encore « tout corps fini est commutatif ». Où sont les symboles dans ces propositions ?Eh bien ils sont cachés dans les mots que le mathématicien a définis. Par exemple, « nest pair » veut dire « ∃p ∈ N, n = 2 × p ». Et les symboles N et × sont eux mêmes desrésumés pour des assemblages d’autres symboles encore plus primitifs. En réalité, le seulsymbole primitif de la théorie dans laquelle nous faisons des mathématiques (la théorie desensembles) est le symbole d’appartenance ∈.

Étant donnée une proposition, celle-ci est vraie ou fausse, mais jamais les deux à la fois(nous ne chercherons pas à définir les mots VRAI et FAUX). La véracité ou la fausseté d’uneproposition est ce que l’on appelle parfois sa valeur de vérité. L’activité principale d’unmathématicien consiste à écrire, en utilisant un certain nombre de règles, des propositionsvraies. Nous conviendrons que, dorénavant, toutes les propositions que nous écrivons sontvraies. Ceci ressemble à une évidence, mais elle ne l’est pas complètement. En effet, nouspourrons dorénavant écrire 1 + 1 = 2, au lieu de « la proposition « 1 + 1 = 2 »est vraie ».

Le terme générique « proposition » convient pour toutes les phrases mathématiquesvraies. On utilise parfois d’autres mots, pour insister sur l’objectif de la proposition. Citonsentre-autres :

— Théorème : une proposition d’une grande importance, parfois l’aboutissement d’an-nées de recherches.

— Lemme : une proposition de moindre importance, souvent nécessaire à la démons-tration d’un théorème. Cela ne signifie pas forcément qu’un lemme est simple àdémontrer, ni qu’un lemme n’est pas important. Tout est relatif.

— Corollaire : une proposition qui est une conséquence (souvent) immédiate d’uneproposition qui vient juste d’être établie.

— Axiome : une proposition arbitrairement décidée comme vraie dans la théorie ma-thématique dans laquelle on se place. Seuls les grands mathématiciens ont le droitde changer les axiomes des mathématiques.

I.2 Équivalence de deux propositions

Deux propositions peuvent avoir l’air très différentes, et être pourtant simultanémentvraies ou simultanément fausses. C’est ce qui fait toute la difficulté des mathématiques !

Définition 1.1 : On dit que deux propositions P et Q sont équivalentes, et on noteP ⇔ Q, lorsque P et Q sont simultanément vraies ou simultanément fausses.

II. CONNECTEURS LOGIQUES 23

Remarque 1.1 : Comment montrer une équivalence ? Nous verrons que pour des pro-positions très simples, ce que l’on appelle une table de vérité suffit. Mais bien entendu,cela ne va pas durer. Une démonstration d’équivalence peut être très difficile. Nous allonsen gros passer le reste de l’année à démontrer des équivalences.

Remarque 1.2 : Étant données deux propositions P et Q, P ⇔ Q est en fait unenouvelle proposition, soit vraie, soit fausse. Le symbole ⇔ fait partie de la famille desconnecteurs, dont nous allons maintenant étudier quelques exemples.

II Connecteurs logiques

Le discours mathématique a tendance à relier, à connecter des propositions entre-elles,ceci afin de fabriquer de nouvelles propositions. La question est de savoir quand ces nou-velles propositions sont vraies.

II.1 Le connecteur « ET »

Définition 1.2 : Étant données deux propositions P et Q, le connecteur ∧ (ET) permetde fabriquer la nouvelle proposition P ∧Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactementlorsque les deux propositions P et Q sont vraies.

Remarque 1.3 : Voici la table de vérité du « ET ».

0 1

0 0 0

1 0 1

FAUX et VRAI sont représentés par 0 et 1. Par exemple, à l’intersection de la ligne étiquetéepar 0 et de la colonne étiquetée par 1, on trouve 0, ce qui veut dire que P ∧Q est FAUXlorsque P est FAUX et Q est VRAI.

Proposition 1.1 : Soient P,Q,R des propositions. On a— P ∧ P ⇔ P (idempotence)— P ∧Q⇔ Q ∧ P (commutativité)— (P ∧Q) ∧R⇔ P ∧ (Q ∧R) (associativité)

Démonstration : Ceci se prouve en faisant des tables de vérité. Montrons par exemple


l’associativité.

P Q R P ∧Q Q ∧R (P ∧Q) ∧R P ∧ (Q ∧R)

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1

On constate que les deux dernières colonnes de ce tableau sont identiques, ce qui veut direque les propositions correspondantes sont équivalentes.

Remarque 1.4 : En tant que mathématicien, le reste de votre vie va être consacréà démontrer des propositions. La rédaction d’une démonstration est un acte parfaitementcodifié. Pour chaque type de proposition, il existe un ou plusieurs types de démonstrations.Il s’agit pour vous de parfaitement connaître la façon dont on démontre chaque type deproposition, puisque votre vie d’étudiant en mathématiques consistera à être noté sur vosdémonstrations.

Comment montrer un « ET » ? Eh bien, on montre d’abord l’une des deux propositions,PUIS on montre l’autre. Histoire d’être bien clair, pour montrer un « ET », il faut fairedeux démonstrations distinctes.

II.2 Le connecteur « OU »

Définition 1.3 : Étant données deux propositions P et Q, le connecteur ∨ (OU) permetde fabriquer la nouvelle proposition P ∨Q. Cette nouvelle proposition est vraie exactementlorsque l’une au moins des deux propositions P et Q est vraie.

Remarque 1.5 : Voici la table de vérité du « OU ».

0 1

0 0 1

1 1 1

Remarque 1.6 : Comment montrer un « OU » ? Ce n’est pas si évident que cela. Il vafalloir attendre de connaître l’implication.

Voici quelques propriétés du connecteur « OU » :

Proposition 1.2 : Soient P,Q,R des propositions. On a— P ∨ P ⇔ P— P ∨Q⇔ Q ∨ P

II. CONNECTEURS LOGIQUES 25

— (P ∨Q) ∨R⇔ P ∨ (Q ∨R)

Démonstration : Ceci se prouve en faisant des tables de vérité.

Proposition 1.3 : Soient P,Q,R des propositions. On a— P ∨ (Q ∧R)⇔ (P ∨Q) ∧ (P ∨R) (distributivité du OU par rapport au ET)— P ∧ (Q ∨R)⇔ (P ∧Q) ∨ (P ∧R) (distributivité du ET par rapport au OU)

II.3 Le connecteur « NON »

Définition 1.4 : Étant donnée une proposition P , le connecteur ¬ (NON) permetde fabriquer la nouvelle proposition ¬P . Cette nouvelle proposition est vraie exactementlorsque la proposition P est fausse.

Remarque 1.7 : Voici la table de vérité du « NON ».

P ¬P0 1

1 0

Proposition 1.4 : Soient P,Q des propositions. On a— ¬¬P ⇔ P— ¬(P ∧ ¬P ) (non contradiction)— P ∨ ¬P (tiers exclu)— ¬(P ∧Q)⇔ (¬P ) ∨ (¬Q)— ¬(P ∨Q)⇔ (¬P ) ∧ (¬Q) (lois de Morgan)

II.4 Le connecteur « IMPLIQUE »

Définition 1.5 : Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle propo-sition P ⇒ Q. Cette proposition est fausse exactement dans le cas où P est vraie et Q estfausse.

Remarque 1.8 : Voici la table de vérité de « IMPLIQUE ».

0 1

0 1 1

1 0 1

Proposition 1.5 : Soient P,Q,R des propositions. On a— ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ R))⇒ (P ⇒ R) (transitivité de l’implication)— (P ⇒ Q)⇔ (¬P ∨Q)— (P ∨Q)⇔ (¬P ⇒ Q)— ¬(P ⇒ Q)⇔ (P ∧ ¬Q)


Exemple : L’exemple qui suit est destiné à nous faire comprendre la nature du connecteurimplique. Donnons nous un entier naturel n. Je vais partir du principe que tout le mondesera d’accord lorsque j’affirme que si n est multiple de 4, alors n est pair. Prenons quelquesvaleurs de n pour voir . . . . Commençons par n = 8. Alors n est multiple de 4 et n estégalement pair. Donc, si l’on veut que la table de vérité du connecteur IMPLIQUE nedépende que des valeurs de vérité des propositions, et pas de la nature de ces propositions,on doit avoir que VRAI implique VRAI. Maintenant, attention ! Prenons n = 2. Alors, nn’est pas multiple de 4, et pourtant il est pair. Donc, FAUX implique VRAI. Pour finir,prenons n = 3. Cette fois ci, FAUX implique FAUX. Un seul cas n’a pas été envisagé :a-t-on aussi VRAI implique FAUX? Si c’était le cas, toutes les implications seraient vraies.Donc, si l’on veut que le connecteur IMPLIQUE ne soit pas un connecteur trivial, on doitposer que VRAI implique FAUX est FAUX.

Remarque 1.9 : Comment montrer que P ⇒ Q ? La proposition P est soit vraie soitfausse. Si P est fausse, alors P ⇒ Q sera vraie, ceci quelle que soit Q. On n’a donc pasà s’occuper de ce cas, et on peut donc supposer que P est vraie. Puis, il s’agit de vérifierque Q est vraie. Pour résumer :

Pour montrer P ⇒ Q :— On suppose P .— On montre Q.

S’il y a une seule chose à retenir dans ce chapitre, c’est celle-ci. Nous en ferons un usagequotidien.

Remarque 1.10 : On a vu qu’il existe un lien entre « OU » et « IMPLIQUE ». Ainsi :Pour montrer P ∨Q, on suppose que P est fausse, et on montre que Q est vraie.

Proposition 1.6 : Soient P et Q deux propositions. On aP ⇒ Q⇔ ¬Q⇒ ¬PIl s’agit du principe de contraposition. Pour montrer une implication, on suppose que

le membre de droite est faux, et on montre que celui de gauche l’est aussi.

Proposition 1.7 : Soit P une proposition. Soit F une proposition fausse. On a(¬P ⇒ F )⇒ PIl s’agit du principe de démonstration par l’absurde. Pour montrer que P est vraie, on

suppose que P est fausse et on arrive à une contradiction. Il ne faut pas abuser de ce genre dedémonstrations, car elles sont souvent difficiles à lire (pour ne pas dire incompréhensibles),et paraissent artificielles. Moralité, on ne fait une démonstration par l’absurde que si onne voit pas comment faire autrement. Et une fois qu’on a fait la démo par l’absurde, oncherche à faire autrement.

II.5 Équivalence logique

Nous revenons ici à l’étude du connecteur d’équivalence. Rappelons la

Définition 1.6 : Étant données deux propositions P et Q, on crée une nouvelle propo-sition P ⇔ Q. Cette proposition est vraie exactement dans le cas où P et Q ont la mêmevaleur de vérité.

III. QUANTIFICATEURS 27

Remarque 1.11 : Voici la table de vérité de « EQUIVAUT ».

0 1

0 1 0

1 0 1

Proposition 1.8 :— (P ⇔ Q)⇔ ((P ⇒ Q) ∧ (Q⇒ P ))— (P ⇔ Q) ∧ (Q⇔ R)⇒ (P ⇔ R) (transitivité de l’équivalence)

Remarque 1.12 : Nous savons donc comment montrer que deux propositions sontéquivalentes : on montre deux implications.

III Quantificateurs

III.1 Quantificateurs universel et existentiel

Soit P (x) une proposition « dépendant » d’une variable x (on dit aussi un prédicat),cette variable appartenant à un certain ensemble E.

Définition 1.7 : Le symbole ∀ est appelé quantificateur universel. Il permet de formerla proposition ∀x ∈ E,P (x). Cette proposition est vraie si et seulement si la propositionP (x) est vraie pour tous les éléments x de l’ensemble E.

Définition 1.8 : Le symbole ∃ est appelé quantificateur existentiel. Il permet de formerla proposition ∃x ∈ E,P (x). Cette proposition est vraie si et seulement si la propositionP (x) est vraie pour au moins un élément x de l’ensemble E.

Remarque 1.13 : Lorsque la proposition P (x) est vraie pour exactement un élément xde l’ensemble E, on note

∃!x ∈ E,P (x)

III.2 Négation d’une phrase quantifiée

Proposition 1.9 : Soit P (x) un prédicat, la variable x appartenant à un ensemble E.On a

— ¬(∃x ∈ E,P (x))⇔ (∀x ∈ E,¬P (x))— ¬(∀x ∈ E,P (x))⇔ (∃x ∈ E,¬P (x))

Démonstration : Supposons ¬(∃x ∈ E,P (x)). Soit x ∈ E. D’après l’hypothèse, onn’a pas P (x). Donc on a ¬P (x). Inversement, supposons ∀x ∈ E,¬P (x). Tous les x ∈ Evérifient ¬P (x), ce qui veut dire qu’aucun x ∈ E ne vérifie P (x).

Exercice : Prouver la deuxième équivalence en prenant la négation de la premièreéquivalence.


III.3 Échange de quantificateurs

Il arrivera fréquemment que l’on ait à écrire des propositions comportant une succes-sion de quantificateurs. Soit P (x, y) une proposition dépendant de deux variables x ∈ Eet y ∈ F . Considérons les propositions A = ∀x ∈ E,∀y ∈ F, P (x, y) et B = ∀y ∈F,∀x ∈ E,P (x, y). Ces deux propositions sont équivalentes, et sont aussi équivalentes àC = ∀(x, y) ∈ E×F, P (x, y). (voir plus loin pour le produit cartésien). Lorsque E = F , oncommet l’abus d’écrire ∀x, y ∈ E,P (x, y). Il en va de même si l’on met des quantificateursexistentiels à la place des quantificateurs universels.

Considérons maintenant les deux propositions— A = ∀x ∈ E,∃y ∈ F, P (x, y)— B = ∃y ∈ F,∀x ∈ E,P (x, y)

Proposition 1.10 : On a B ⇒ A. La réciproque est fausse en général.

Démonstration : Supposons B. Il existe donc un élément y0 de F tel que que ∀x ∈E,P (x, y0). Soit maintenant x ∈ E. On a P (x, y0) donc ∃y ∈ F, P (x, y) (prendre y = y0).On a montré A. Pour voir que la réciproqiue est fausse, prenons E = F = N et P (x, y) =« y = x+ 1 ». On a bien A (tout entier naturel possède un successeur), mais B est fausse(aucun entier n’est le successeur de TOUS les entiers).

IV. EXERCICES 29

IV Exercices

1. Les expressions logiques ci-dessous sont-elles toujours vraies ? Toujours fausses ?Parfois vraies et parfois fausses ?

(a) A⇒ (B ⇒ C)⇔ (A ∧B)⇒ C

(b) ((A⇒ B)⇒ C)⇔ (A⇒ (B ⇒ C))

(c) (A⇒ (B ⇒ A))⇒ A

(d) (A ∧ (A⇒ B))⇒ ((B ⇒ A) ∨B)

(e) A⇒ B ⇔ B ⇒ (B ⇒ A)

(f) ((A⇒ C) ∧ (B ⇒ C))⇒ (A⇒ B)

(g) ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ C))⇒ (A⇒ C)

2. Quelle signification pourrait-on donner donner à l’écriture sans parenthèses « A⇒B ⇒ C » ?

3. Les assertions sans « prime » ci-dessous sont-elles équivalentes aux assertions « prime »correspondantes ? En cas de réponse négative, l’une implique-t’elle l’autre ?

(a) P = A⇒ (B ∨ C) et P ′ = (A⇒ B) ∨ (A⇒ C)

(b) Q = A⇒ (B ∧ C) et Q′ = (A⇒ B) ∧ (A⇒ C)

(c) R = (B ∨ C)⇒ A et R′ = (B ⇒ A) ∨ (C ⇒ A)

(d) S = (B ∧ C)⇒ A et S′ = (B ⇒ A) ∧ (C ⇒ A)

4. Même question avec

(a) P = ∀x(P (x) ∨Q(x)) et P ′ = (∀xP (x)) ∨ (∀x,Q(x))

(b) P = ∃x(P (x) ∨Q(x)) et P ′ = (∃x, P (x)) ∨ (∃x,Q(x))

5. Reprendre l’exercice précédent en remplaçant ∨ par ∧.6. f est une application de R dans R. Écrire la négation de la proposition suivante :

∀x ∈ R, ∀x′ ∈ R, f(x) = f(x′)⇒ x = x′

Que signifie cette proposition ?

7. Soit A une partie de R. Écrire la négation des propositions suivantes :

(a) ∃M ∈ R, ∀x ∈ A, x ≤M .

(b) ∀x ∈ A, ∃M ∈ R, x ≤M .

(c) ∃x ∈ A, ∀M ∈ R, x ≤M .

(d) ∀M ∈ R,∃x ∈ A, x ≤M .

Que signifient ces propositions ?


8. Soit f : R→ R une application vérifiant

∃a ∈ R, ∀α > 0, ∀ε > 0, ∀x ∈ R, |x− a| ≤ α⇒ |f(x)− f(a)| ≤ ε

Écrire la négation de la propriété ci-dessus. Que dire d’une fonction f vérifiant cettepropriété ?

9. Soit P la proposition « Tout entier naturel peut s’écrire comme la somme des carrésde deux entiers naturels ».

(a) Écrire P en langage symbolique (quantificateurs, variables, connecteurs).

(b) Écrire la négation de P, toujours en langage symbolique.

(c) P est-elle vraie ou fausse ?

10. Soit f : R→ R une application. Que signifient les propositions ci-dessous ?

(a) ∃a ∈ R,∀b ∈ R, f(b) = a.

(b) ∃b ∈ R, ∀a ∈ R, f(b) = a.

(c) ∀b ∈ R, ∃a ∈ R, f(b) = a.

(d) ∀a ∈ R,∃b ∈ R, f(b) = a.

Dans chacun des cas, donner également un exemple d’une fonction f vérifiant laproposition.

Chapitre 2Ensembles

31

32 CHAPITRE 2. ENSEMBLES

I Notion d’ensemble

I.1 Ensembles, éléments

Un ensemble est, naïvement, une collection d’objets unis par une propriété commune.Un objet appartient à l’ensemble lorsqu’il possède cette propriété. Nous considérons lanotion d’ensemble comme une notion « première », que nous ne chercherons pas à définir.

Étant donnés un ensemble E et un objet x, on écrira x ∈ E lorsque x est élément deE (ou appartient à E), et x 6∈ E dans le cas contraire.

On peut décrire un ensemble de plusieurs façons, les plus courantes étant les suivantes :— En listant ses éléments : A = 1, 2, 3 ou B = 0, 2, 4, . . ..— En donnant une propriété caractérisant ses éléments : B est l’ensemble des nombres

pairs, ce que l’on peut écrire B = n ∈ N,∃p ∈ N, n = 2p.— En regardant ses éléments comme les images des éléments d’un autre ensemble par

une fonction : B = F (x), x ∈ N où F (x) = 2x.Nous reviendrons sur ces descriptions dans la suite du chapitre.

I.2 Les difficultés du concept d’ensemble

Le concept naïf d’ensemble mène assez facilement à des contradictions. Ces contra-dictions, mises en évidence vers la fin du XIXe siècle, ont conduit les mathématiciens àconcevoir la Théorie des ensembles. Donnons un exemple de telle contradiction :

Étant donné un ensemble X, la question de se demander si X ∈ X a un sens. Parexemple, si X = 1, 2, 3, alors X 6∈ X. En effet, X a trois éléments qui sont 1, 2 et 3. Etaucun de ces éléments n’est égal à 1, 2, 3 ! En fait, il est extrêmement difficile de trouverun ensemble qui appartienne à lui-même (bon, j’avoue : l’un des axiomes de la théorie desensembles “classique” dit que c’est impossible).

Considérons l’ensemble de tous les ensembles qui n’appartiennent pas à eux-mêmes :

E = X,X 6∈ X

On a donc, pour tout ensemble X :

X ∈ E ⇔ X 6∈ X

Posons-nous la question suivante : E appartient-il à E ? Remplaçant X par E dans la pro-priété ci-dessus, on trouve E ∈ E ⇔ E 6∈ E , ce qui est clairement contradictoire. Conclusion :E n’est pas un ensemble.

Il est bon de savoir qu’un tel souci ne peut arriver à condition de prendre des précau-tions :

Axiome I.1 Soit E un ensemble. Soit P une propriété. Il existe alors un ensemble A telque, pour tout objet x, x ∈ A ⇔ x ∈ E et P(x). Cet ensemble A est noté A = x ∈E,P(x).

Exercice : Prouver que l’ensemble de tous les ensembles n’existe pas.

I. NOTION D’ENSEMBLE 33

I.3 Égalité d’ensembles

Axiome I.2 Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments.

Remarque 2.1 : Ainsi, soient A et B deux ensembles. Pour montrer que A = B, onprouve les deux propriétés :

— ∀x ∈ A, x ∈ B.— ∀x ∈ B, x ∈ A.

I.4 Inclusion

Définition 2.1 : Soient A et B deux ensembles. On dit que A est inclus dans B, et onnote A ⊂ B, lorsque

∀x ∈ A, x ∈ B

Proposition 2.1 : On a, pour tous ensembles A, B et C :— A ⊂ A (réflexivité)— A ⊂ B et B ⊂ A⇒ A = B (antisymétrie)— A ⊂ B et B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (transitivité)

Remarque 2.2 : On dit que la relation d’inclusion est une relation d’ordre. Nousreviendrons sur la notion de relation d’ordre dans un chapitre ultérieur.

Démonstration : La réflexivité est évidente. L’antisymétrie résulte de l’axiome surl’égalité de deux ensembles. Supposons maintenant A ⊂ B et B ⊂ C. Soit x ∈ A. On ax ∈ B puisque A ⊂ B. Donc x ∈ C puisque B ⊂ C. Ainsi, A ⊂ C.

I.5 Ensemble vide

Axiome I.3 Il existe un ensemble qui n’a pas d’élément. On l’appelle l’ensemble vide, eton le note ∅ ou parfois .

Remarque 2.3 : (Réservé aux spécialistes). Il existe un unique ensemble vide. Soienten effet ∅1 et ∅2 deux ensembles vides. Alors, pour tout x ∈ ∅1, on a x ∈ ∅2. Donc, ∅1 ⊂ ∅2.De même, ∅2 ⊂ ∅1. D’où ∅1 = ∅2.

I.6 Parties d’un ensemble

Axiome I.4 Soit E un ensemble. Il existe un ensemble, noté P(E), tel que pour tout objetX,

X ∈ P(E)⇔ X ⊂ E

L’ensemble P(E) est l’ensemble des parties de E.

Exemple :


— Soit E = 1, 2. Alors, P(E) = ∅, 1, 2, 1, 2.— Soit E = a, b, c. Alors, P(E) = ∅, a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c.

Exemple :— P(∅) = ∅. Attention, cet ensemble possède un élément (cet élément étant d’ailleurs

égal à l’ensemble vide).— P(P(∅)) = ∅, ∅.— P(P(P(∅))) = ∅, ∅, ∅, ∅, ∅.

Exercice : Calculer P(P(P(P(∅)))).

II Opérations sur les ensembles

II.1 Réunion

Définition 2.2 : Soient A et B deux ensembles. On appelle réunion de A et B l’ensemble

A ∪B = x, x ∈ A ou x ∈ B

Remarque 2.4 : L’un des axiomes de la théorie des ensembles affirme que A ∪ B estbien un ensemble.

Définition 2.3 : Plus, généralement, étant donnée une famille d’ensembles (Ai)i∈I)(c’est à dire des ensembles Ai indexés par un indice i “variant” lui-même dans un ensembleI), on appelle réunion des Ai l’ensemble

∪i∈IAi = x,∃i ∈ I, x ∈ Ai

Exemple : On a ∪n≥1[0, 1 − 1/n] = [0, 1[. Soit x un élément de la réunion. Il existen ≥ 1 tel que 0 ≤ x ≤ 1 − 1

n < 1. Donc x ∈ [0, 1[. Inversement, soit x ∈ [0, 1[. Soit n unentier non nul vérifiant n ≥ 1

1−x . Alors, x ≥ 1− 1n et donc x ∈ [0, 1− 1

n ]. Le réel x est doncun élément de la réunion.

Proposition 2.2 : On a les propriétés suivantes (toutes les lettres représentent desensembles) :

1. A ∪B = B ∪A (commutativité)2. (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (associativité)3. A ∪ ∅ = A (∅ est élément neutre pour la réunion)4. A ∪A = A (idempotence)5. A ∪B = A⇔ B ⊂ A.6. A ⊂ B et C ⊂ D ⇒ A ∪ C ⊂ B ∪D.

Démonstration : Montrons la commutativité. Soit x un objet. On a x ∈ A ∪ B si etseulement si x ∈ A OU x ∈ B. Mais OU est commutatif. Ceci équivaut donc à x ∈ B OUx ∈ A, c’est à dire à x ∈ B ∪A. Les autres propriétés sont laissées en exercice.

II. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 35

II.2 Intersection

Définition 2.4 : Soient A et B deux ensembles. On appelle intersection de A et Bl’ensemble

A ∩B = x, x ∈ A et x ∈ B

Remarque 2.5 : Pas besoin d’axiome pour affirmer que A∩B est un ensemble, puisqueA ∩B = x ∈ A, x ∈ B.

Définition 2.5 : Plus, généralement, étant donnée une famille d’ensembles (Ai)i∈I),on appelle réunion des Ai l’ensemble

∩i∈IAi = x,∀i ∈ I, x ∈ Ai

Exercice : On a ∩n≥1[0, 1 + 1/n[= [0, 1].

Proposition 2.3 : On a les propriétés suivantes (toutes les lettres représentent desensembles) :

— A ∩B = B ∩A.— (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).— A ∩ ∅ = ∅.— A ∩A = A.— A ∩B = A⇔ A ⊂ B.— A ⊂ B et C ⊂ D ⇒ A ∩ C ⊂ B ∩D.

Démonstration : Exercice.

Proposition 2.4 : On a les propriétés suivantes :— A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) (distributivité de ∩ par rapport à ∪)— A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) (distributivité de ∪ par rapport à ∩)

Démonstration : Soit x un objet. On a x ∈ A ∩ (B ∪ C) si et seulement si (x ∈A)∧ ((x ∈ B)∨ (x ∈ C)). On termine en utilisant la distributivité de ∧ par rapport à ∨.

II.3 Différence, Complémentaire

Définition 2.6 : Soient A et B deux ensembles. On appelle différence de A et Bl’ensemble

A \B = x ∈ A, x 6∈ B

Lorsque B ⊂ A, on dit aussi complémentaire de B (dans A), et on note aussi CAB ouencore B.

Proposition 2.5 : On a les propriétés (lois de Morgan) :— A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C).— A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C).


Démonstration : Soit x un objet. On a x ∈ A \ (B ∪ C) si et seulement si (x ∈A)∧¬(x ∈ B ∨ x ∈ C). On termine en utilisant les lois de Morgan du chapitre de logique.

II.4 Couples, produit cartésien

La notion de couple est capitale : de façon, vague, un couple (a, b) est composé de deuxobjets a et b. Ce qui est important, c’est que deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux siet seulement si a = c et b = d. Il y a plusieurs façons de définir le concept de couple.Peu importe comment on définit les couples, ce qui importe c’est à quelle condition deuxcouples sont égaux. Nous allons ci-dessous donner une construction possible. Puis nousl’oublierons.

Définition 2.7 : Soient a et b deux objets. On appelle couple de première composantea et de seconde composante b l’ensemble

(a, b) = a, a, b

Proposition 2.6 : Deux couples (a, b) et (c, d) sont égaux si et seulement si a = c etb = d.

Démonstration : Dans un sens, c’est évident. Supposons maintenant que (a, b) = (c, d).Commençons par le cas où c 6= d : alors, vu que a 6= c, d on a donc forcément a = c,et donc a = c. Maintenant, c, d = a, b. Et comme d 6= a = c, on a forcément d = b.Considérons maintenant le cas où c = d : on a donc (c, d) = c. D’où a, b = c, donca = b = c = d.

Remarque 2.6 : Il faut maintenant s’empresser d’oublier la définition des couples pourne retenir que leur propriété caractéristique !

Définition 2.8 : Soient A et B deux ensembles. On appelle produit cartésien de A etB l’ensemble

A×B = (a, b), a ∈ A, b ∈ B

II.5 Notion de famille

Cette section fait appel de façon informelle au concept d’application.Soit E un ensemble. Le paragraphe précédent nous permet de parler d’un couple dd’élé-

ments de E. On peut définir de la même façon la notion de triplet, quadruplet,. . .mais ily a une autre possibilité. Étant donné un entier naturel n ≥ 1, on peut définir un n-upletd’éléments de E comme une application φ : 1, 2, . . . , n → E. L’application φ est alorsnotée φ = (x1, x2, . . . , xn) où xi = φ(i).

De là à généraliser la généralisation, il n’y a qu’un pas (franchissons-le) :

Définition 2.9 : Soient E et I deux ensembles. On appelle famille d’éléments de Eindexée par i toute application φ : I → E.

II. OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES 37

Notation : Une telle famille est alors notée φ = (xi)i∈I . L’objet xi = φ(i) est le ièmeélément de la famille. On fait comme pour les couples : on oublie la définition de familleaussitôt énoncé la proposition qui suit :

Proposition 2.7 : Deux familles (xi)i∈I et (yi)i∈I d’éléments d’un ensemble E sontégales si et seulement si

∀i ∈ I, xi = yi

Démonstration : Deux applications sont égales si et seulement si elles ont mêmeensemble de départ, même ensemble d’arrivée, et même image en tout point de l’ensemblede départ.


III Exercices

1. Soient A,B,C trois parties d’un ensemble E. Démontrer que A ∩ B = A ∩ Csi et seulement si A ∩ B = A ∩ C, où X désigne pour toute partie X de E lecomplémentaire de X dans E.

2. Soient A,B,C trois parties d’un même ensemble E. Montrer

(a) A \B = B \A.(b) A \ (B ∩ C) = (A \B) ∪ (A \ C)

(c) A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C)

3. On pose 0 = ∅, et on définit, pourt tout entier naturel n, n+ 1 = n∪n. Que vaut4 ?

4. Soient A et B deux ensembles. Comparer (inclusion, égalité éventuelle) les en-sembles :

(a) P(A ∩B) et P(A) ∩ P(B)

(b) P(A ∪B) et P(A) ∪ P(B)

5. Soient A, B, C trois ensembles. Montrer :A ∪B ⊂ A ∪ CA ∩B ⊂ A ∩ C ⇒ B ⊂ C

6. Soit E un ensemble, et A et B deux parties de E. Pour X ⊂ E, on pose f(X) =(A ∩X) ∪ (B ∩X) où X = E \X. Trouver tous les X ⊂ E tels que f(X) = ∅.

7. Trouver tous les ensembles A et B tels que A∪B = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, A∩5, 6, 7 =∅, B ∩ 1, 2 = ∅ et A ∩B = 3, 4.

8. Déterminer ∩n≥1]1− 1n , 2 + 2

n ].

9. Soient A = (x, y) ∈ R2, ∃a ∈ R, x = a(a+1) et y = a2 +(a+1)2 et B = (x, y) ∈R2, y = 2x+ 1. A-t-on A = B ?

10. Soient A = (x, y) ∈ R2,∃(a, b) ∈ R2, x = ab et y = a2 + b2 et B = (x, y) ∈R2, y − 2x ≥ 0 et y + 2x ≥ 0. A-t-on A = B ?

11. Soient A = (x, y) ∈ R2,√

(x+ 1)2 + y2 =√x2 + y2 + 1 et B = R× 0. A-t-on

A = B ?

Chapitre 3Récurrence

39

40 CHAPITRE 3. RÉCURRENCE

I L’ensemble des entiers naturels

On admet les principales propriétés des entiers naturels : l’ensemble N = 0, 1, 2, . . .est un ensemble infini, muni d’une addition et d’une multiplication possédant les propriétésbien connues de tous. Cet ensemble est muni de deux relations d’ordre :

— L’ordre naturel : a ≤ b lorsqu’il existe un entier naturel c tel que b = a + c. Cetordre est total. On note alors b− a l’unique entier c ainsi défini.

— La divisibilité : a divise b (on note a|b) lorsqu’il existe un entier naturel c tel queb = ac. Cet ordre est partiel. Si a 6= 0, l’entier c ainsi défini est unique, et on le notec = b

a .

II Raisonnement par récurrence

II.1 Le théorème de démonstration par récurrence

Axiome II.1 Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.

Proposition 3.1 : Toute partie non vide ET majorée de N possède un plus grandélément.

Démonstration : Soit A une partie de N non vide et majorée. Considérons l’ensembleB des majorants de A. L’ensemble B est une partie non vide de N, et possède donc unplus petit élément M . Montrons que M est le plus grand élément de A. Tout d’abord, lecas où M = 0 : dans ce cas, A = 0 et possède donc un plus grand élément. Supposonsmaintenant M ≥ 1. M − 1 ne majore pas A, puisque M est le plus petit majorant de A.Donc, il existe a ∈ A tel que M − 1 < a ≤M . D’où a = M et donc M ∈ A.

Proposition 3.2 : Soit A une partie de N. On suppose :— 0 ∈ A.— ∀n ∈ N, n ∈ A⇒ n+ 1 ∈ A.

Alors, A = N.

Démonstration : Supposons que A 6= N, et considérons B = N \A. L’ensemble B estune partie non vide de N, et admet donc un plus petit élément n0. On a n0 6= 0, puisquen0 ∈ A. Considérons alors m = n0 − 1. Cet entier n’est pas dans B. Donc il est dans A,donc n0 = m+ 1 ∈ A. Contradiction.

Proposition 3.3 : Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier n. On suppose— P (0)— ∀n ∈ N, P (n)⇒ P (n+ 1)

Alors ∀n ∈ N, P (n).

Démonstration : On considère A = n ∈ N, P (n) et on applique la propositionprécédente.

II. RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE 41

Remarque 3.1 : On peut bien sûr « commencer la récurrence »à un rang différent de0. Il faut alors adapter la conclusion du théorème.

II.2 Exemples fondamentaux

Proposition 3.4 : Soit n ∈ N. On a∑n

k=0 k = n(n+1)2 et

∑nk=0 k

2 = n(n+1)(2n+1)6

Démonstration : Par récurrence sur n.

Exercice : Montrer que pour tout entier n ≥ 2, 10 divise 22n − 6.Montrer qu’il existe 4 réels a, b, c, d tels que, pour tout entier naturel n,

∑nk=0 k

3 =an4 + bn3 + cn2 + dn.

Proposition 3.5 : Soit n ∈ N. Soit x ∈ C.— Si x = 1,

∑nk=0 x

k = n+ 1.— Si x 6= 1,

∑nk=0 x

k = xn+1−1x−1 .

Démonstration : Par récurrence sur n.

Proposition 3.6 : Soient a, b ∈ C. Soit n ∈ N. On a an+1−bn+1 = (a−b)∑n

k=0 akbn−k.

Remarque 3.2 : Lorsque b = 1 on retrouve la proposition précédente. Plusieurs dé-monstrations sont possibles, la plus directe étant de développer le membre de droite :S = (a − b)

∑nk=0 a

kbn−k =∑n

k=0 ak+1bn−k −

∑nk=0 a

kbn+1−k. Explicitons : S = a1bn +a2bn−1 + . . .+ anb1 + an+1b0 − a0bn+1 − a1bn − a2bn−1 − . . .− anb1. On voit que tous lestermes s’éliminent deux à deux, sauf an+1 et −bn+1.

II.3 La formule du binôme

Définition 3.1 : Soit n ∈ N∗. On appelle factorielle de n l’entier n! =∏nk=1 k. On

convient également de poser 0! = 1.

Définition 3.2 : Soient n, k ∈ N. Lorsque k ≤ n, on pose(nk

)= n!

k!(n−k)! . On convientégalement de poser

(nk

)= 0 lorsque k > n.Les nombres

(nk

)sont appelés coefficients bino-

miaux.Les coefficients binomiaux possèdent un très grand nombre de propriétés remarquables.

Nous en reparlerons en fin d’année. Pour l’instant, nous nous limitons à un petit nombrede formules importantes.

Proposition 3.7 : On a— ∀n ∈ N,

(n0

)=(nn

)= 1

— ∀n, k ∈ N, k ≤ n,(nk

)=(n

n−k).

— ∀n, k ∈ N,(nk

)+(nk+1

)=(n+1k+1

).


Démonstration : Il suffit d’appliquer la définition des coefficients binomiaux. Pour letroisième point, il convient de distinguer les deux cas k < n et k = n.

Remarque 3.3 : La dernière formule est ce que l’on appelle une formule de récurrence.Elle permet de calculer les coefficients binomiaux pour n+ 1 lorsqu’on les connaît pour n.Ceci peut être résumé dans un tableau appelé le triangle de Pascal, qui contient à la lignen et à la colonne k le coefficient

(nk

).

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 0

2 1 2 1 0 0 0 0 0

3 1 3 3 1 0 0 0 0

4 1 4 6 4 1 0 0 0

5 1 5 10 10 5 1 0 0

6 1 6 15 20 15 6 1 0

7 1 7 21 35 35 21 7 1

Voici maintenant l’une des formules les plus importantes de l’année. Il s’agit de laformule du binôme.

Proposition 3.8 : Soient a, b ∈ C. Soit n ∈ N. On a (a+ b)n =∑n

k=0

(nk

)akbn−k.

Démonstration : On fait une récurrence sur n. Pour n = 0, c’est évident. Supposonsque la formule soit vraie pour un certain entier n. On a alors X = (a+ b)n+1 = (a+ b)(a+b)n = (a + b)

∑nk=0

(nk

)akbn−k =

∑nk=0

(nk

)ak+1bn−k +

∑nk=0

(nk

)akbn−k+1. On pose dans

la première somme k′ = k + 1. Il vient X =∑n+1

k=1

(nk−1

)akbn+1−k +

∑nk=0

(nk

)akbn+1−k =

an+1 + bn+1 +∑n

k=1

((nk−1

)+(nk

))akbn+1−k. Il ne reste qu’à appliquer la formule sur les

coefficients binomiaux vue un peu plus haut.

Exercice : Soit n ∈ N. Appliquer judicieusement la formule du binôme pour montrerque

∑nk=0

(nk

)= 2n. Que vaut

∑nk=0(−1)k

(nk

)?

III Extensions du principe de récurrence

III.1 Récurrence forte

Proposition 3.9 : Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier n. On suppose— P (0)— ∀n ∈ N, [∀k ≤ n, P (k)]⇒ P (n+ 1)


Démonstration : On pose Q(n) = ∀k ≤ n, P (k) et on montre par récurrence simplesur n que Q(n) est vraie pour tous les entiers naturels n. P (n) est donc a fortiori vraie.

IV. SUITES DÉFINIES PAR RÉCURRENCE 43

Exemple : Montrons que tout entier naturel supérieur ou égal à 2 possède un diviseurpremier. C’est vrai pour n = 2. Soit maintenant n ≥ 2 et supposons que tous les entiersentre 2 et n ont un diviseur premier. Si n+1 est premier, il a clairement un diviseur premier :lui-même. Sinon, n + 1 = ab où a et b sont deux entiers entre 2 et n. Par l’hypothèse derécurrence, a possède un diviseur premier. Ce nombre premier divise également n+ 1.

III.2 Récurrence à 2 rangs

Proposition 3.10 : Soit P(n) une propriété dépendant de l’entier n. On suppose— P (0)— P (1)— ∀n ∈ N, P (n) et P (n+ 1)⇒ P (n+ 2)


Démonstration : On le montre par récurrence forte sur n.

Exemple : Soit (Fn)n≥0 la suite d’entiers définie par F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 +Fn.Soient φ et φ les racines de l’équation x=x+ 1. On a alors pour tout entier n, Fn = φn−φn

φ−φ .

On peut bien sûr avoir également des récurences à 3, 4, . . . termes.

IV Suites définies par récurrence

Nous admettrons le résultat suivant. Il est démontré dans l’annexe ci-dessous.

Proposition 3.11 : Soit f : E → E une application. Soit a ∈ E. Il existe une uniquesuite (un)n≥0 à valeurs dans E, telle que

u0 = a∀n ∈ N, un+1 = f(un)

Remarque 3.4 : L’unicité est simple à montrer. C’est l’existence qui est difficile. Onpourra trouver la preuve en annexe.

Remarque 3.5 : En utilisant les corollaires du principe de récurrence, on peut égalementdéfinir des suites récurrentes à deux trois,. . .voire n termes. Nous l’avons déjà fait dans l’undes exemples ci-dessus.

Exemple :— u0 = 0, u1 = 1, un+2 = un+1 + un. Calculer un en fonction de n.— u0 = 1, un+1 = u0 + u1 + . . .+ un. Même question.


V Annexe : suites récurrentes

Rappelons le théorème sur les suites récurrentes. La démonstration de l’existence estnon triviale et nécessite quelques lemmes.

Théorème 3.12 : Soit E un ensemble non vide. Soit a ∈ E. Soit f : E → E. Il existeune unique suite u : N→ E telle que u0 = a et pour tout entier n, un+1 = f(un).

Démonstration : On pose pour tout entier n, En = s ∈ EN, s0 = a,∀k < n, sk+1 =f(sk).

Lemme V.1 E0 ⊃ E1 ⊃ E2 ⊃ . . ..

Démonstration : C’est évident.

Lemme V.2 Soient n ∈ N, s, s′ ∈ En. On a ∀k ≤ n, sk = s′k.

Démonstration : C’est une récurrence triviale sur k.

Lemme V.3 ∀n ∈ N, En 6= ∅.

Démonstration : Récurrence sur n. La suite (a, a, a, . . .) est dans E0 qui est doncnon vide. Soit n ∈ N. Supposons que En est non vide. Soit s ∈ En. La suite s′ =(s0, s1, . . . , sn, f(sn), a, a, . . .) est bien dans En+1 qui est ainsi non vide.

Lemme V.4 Soit n ∈ N. Soit s ∈ En, soit s′ ∈ En+1. On a alors ∀k ≤ n, sk = s′k.

Démonstration : Soient s ∈ E0, s′ ∈ E1. On a s0 = a = s′0. La propriété est doncvraie pour n = 0. Soit n ∈ N. Supposons la propriété vraie pour n. Soient s ∈ En+1,s′ ∈ En+2. Alors, s ∈ En, s′ ∈ En+1, donc par l’hypothèse de récurrence ∀k ≤ n, sk = s′k.Puis sn+1 = f(sn) = f(s′n) = s′n+1.

Pour tout entier n, choisissons sn ∈ En. Soit u : N → E définie par un = snn. On au0 = s0

0 = a. Et pour tout entier n, un+1 = sn+1n+1 = f(sn+1

n ) = f(snn) = f(un). La suite urépond bien à la question.

L’unicité est quant à elle facile. Si deux suites u et v répondent à la question, on au0 = a = v0. Et si un = vn pour un entier n, alors un+1 = f(un) = f(vn) = vn+1. On adonc u = v.

VI. EXERCICES 45

VI Exercices

1. Montrer : ∀n ∈ N, 41 divise 5× 72(n+1) + 23n.

2. Soit P (n) la propriété « l’entier 9 divise 10n + 1 ». Montrer que pour tout entiern, P (n) ⇒ P (n + 1). Montrer que P (n) n’est pas vraie en général. Montrer plusprécisément que P (n) n’est jamais vraie.

3. Calculer∑n

k=0k

(k+1)! et∑n

k=0 k.k!.

4. Calculer pour n ≥ 2 les produits∏nk=2(1− 1

k ) et∏nk=2(1− 1

k2)

5. Déterminer les entiers naturels n vérifiant

1

1.2.3+

1

2.3.4+ . . .+

1

n(n+ 1)(n+ 2)=

n(n+ 3)

4(n+ 1)(n+ 2)

6. Calculer, pour tout entier n ≥ 0, la somme des n premiers entiers impairs.

7. Soit (un)n≥0 la suite définie par u0 = 2, u1 = 1 et ∀n ≥ 0, un+2 = un+1 + 2un.Déterminer, pour tout entier n, un en fonction de n.

8. Calculer, pour tout entier naturel n,∑n

k=0 k4.

9. Calculer, pour tout n ≥ 1,∑

0≤2k≤n(n2k

)et∑

0≤2k+1≤n(

n2k+1

). On pourra considérer

les quantités (1 + 1)n et (1− 1)n.

10. Calculer∑n

k=0 k(nk

)et∑n

k=0(−1)kk(nk

). On pourra considérer la fonction f : R→ R

définie par f(x) = (1 + x)n.

11. Calculer∑n

k=0(nk)k+1 .

12. Soit (un)n≥0 une suite décroissante d’entiers naturels. Montrer que (un) est station-naire (c’est à dire constante à partir d’un certain rang).

13. Soit n un entier naturel. Montrer que∑n

k=0

(nk

)2=(

2nn

). On pourra développer de

deux façons différentes la quantité (1 + x)2n et regarder le terme de degré n dansl’égalité obtenue.

14. Soit n ≥ 1. Déterminer une expression simple des sommes

(a)∑n

k=0

(nk

).

(b)∑n

k=0 k(nk

).

(c)∑n

k=0 k(k − 1)(nk

).

(d)∑n

k=0 k2(nk

).

15. Montrer que ∀(n, p) ∈ N2 tels que p ≤ n,(n+1p+1

)=∑n

k=p

(kp

).

16. Soient deux entiers naturels p ≤ n.(a) Montrer que pour tout k compris entre 0 et p, on a

(nk

)(n−kp−k)

=(np

)(pk

).

(b) En déduire∑p

k=0

(nk

)(n−kp−k).


Chapitre 4Applications et relations

47

48 CHAPITRE 4. APPLICATIONS ET RELATIONS

I Applications

I.1 Définitions

Définition 4.1 : Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E vers Ftout triplet f = (E,F,G) où G est une partie de E × F , vérifiant de plus :

∀x ∈ E ∃!y ∈ F (x, y) ∈ G

E et F sont respectivement l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée de f , et G est legraphe de f .

Définition 4.2 : Soit f = (E,F,G) une application. Pour tout x ∈ E, l’unique y ∈ Ftel que (x, y) ∈ G est appelé l’image de x par f et est noté f(x). On note de façon concisef : E → F

x 7→ f(x).

Notation : On note F(E,F ) ou encore FE l’ensemble des applications de E dans F .

Remarque 4.1 : Une suite à valeurs dans E est une application u : N → E. Tout lemonde sait que l’image de l’entier n par la suite u est notée un et pas u(n). Usuellement, onse donne la suite (un)n∈N, et pas la suite u : N→ E. C’est juste une question de notationet de vocabulaire. Plus généralement :

Définition 4.3 : Soient I et E deux ensembles. On appelle famille d’éléments de Eindexée par I toute application F : I → E ; i 7→ xi. On note F = (xi)i∈I .

I.2 Restrictions, prolongements

La donnée d’une application entraîne la donnée de ses ensembles de départ et d’arrivée.Il arrive que l’on veuille modifier ceux-ci, en les élargissant ou en les restreignant.

Définition 4.4 : Soit f : E → F . Soit E′ ⊂ E. On appelle restriction de f à E′

l’application f |E′ : E′ → F définie par

∀x ∈ E′ f |E′(x) = f(x)

Définition 4.5 : Soit f : E → F . Soit E′ ⊃ E. On appelle UN prolongement de f àE′ toute application g : E′ → F telle que g|E = f .

On peut également s’occuper de l’ensemble d’arrivée, et parler de co-restriction ou deco-prolongement.

I. APPLICATIONS 49

I.3 Injections, surjections, bijections

Définition 4.6 : Soit f : E → F . Soit y ∈ F . On appelle UN antécédent de y par ftout élément x de E tel que f(x) = y. Un élément de F peut avoir zéro, un ou plusieurs(voire une infinité) d’antécédents. On ne note pas de façon particulière un antécédent.

Évidemment, il serait plus simple que tout élément de F ait un et un seul antécédentpar f . Ceci suggère trois définitions :

Définition 4.7 : Soit f : E → F . On dit que f est :— injective lorsque tout élément de F a au plus un antécédent par f .— surjective lorsque tout élément de F a au moins un antécédent par f .— bijective lorsque tout élément de F a exactement un antécédent par f .Ainsi, une application est bijective lorsqu’elle est à la fois injective et surjective.

Proposition 4.1 : Soit f : E → F . f est injective si et seulement si

∀x, x′ ∈ E f(x) = f(x′)⇒ x = x′

Démonstration : Supposons que f a la propriété ci-dessus. Soit y ∈ F . Supposons quey a deux antécédents x et x′ par f . On a alors y = f(x) = f(x′) d’où x = x′. y a donc auplus un antécédent, et f est injective. Supposons inversement que f est injective. Soient xet x′ deux éléments de E tels que f(x) = f(x′). Soit y la valeur commune des images. y aau plus un antécédent par f , or x et x′ sont des antécédents de y. Donc x = x′.

Remarque 4.2 : L’injectivité peut aussi être formulée en

x 6= x′ ⇒ f(x) 6= f(x′)

mais il vaut mieux si possible utiliser la caractérisation ci-dessus avec les égalités.

I.4 Composition

Définition 4.8 : Soient f : E → F et g : F → G. On appelle composée de f et gl’application g f : E → G définie par

∀x ∈ E g f(x) = g(f(x))

Proposition 4.2 : La composition des applications est associative.

Démonstration : Soient f : E → F , g : F → G et h : G → H trois applications. Lesapplications (h g) f et h (g f) ont mêmes ensembles de départ et d’arrivée, à savoirE et H. Soit x ∈ E. On a (h (g f))(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)) = (h g)(f(x)) =((h g) f)(x).

Proposition 4.3 : Soit idE : E → E; x 7→ x l’application « identité de E. On a pourtoute application f : E → F , f idE = f et idF f = f .


Remarque 4.3 : La composition des applications n’est pas commutative. Par exemple,soient les deux applications de R vers R f : x 7→ x2 et g : x 7→ x+ 1. On a (g f)(1) = 2alors que (f g)(1) = 4. Les applications f g et g f sont donc différentes.

Proposition 4.4 : La composée de deux injections (resp : surjections, bijections) estune injection (resp : surjection, bijection).

Démonstration : Démonstration laissée en exercice.

I.5 Application réciproque

Proposition 4.5 : Soit f : E → F où E est un ensemble non vide.— L’application f est injective si et seulement si il existe une application g : F → E

telle que g f = idE (inversibilité à gauche)— L’application f est surjective si et seulement si il existe une application h : F → E

telle que f h = idF (inversibilité à droite)

Démonstration : Supposons f injective. Soit x0 ∈ E. Soit g : F → E définie commesuit : pour tout y ∈ F , si y a un antécédent x par f (forcément unique), g(y) = x. Sinon,g(y) = x0. On a bien g f = idE . Inversement, supposons l’existence d’un tel g. Soientx, x′ ∈ E tels que f(x) = f(x′). En composant par g, on obtient x = x′.

Supposons f surjective. Soit h : F → E définie comme suit : pour tout y ∈ F , h(y) =un antécédent de y par f (il en existe au moins un puisque f est surjective). On a bienf h = idF . Supposons inversement l’existence d’un tel h. Soit y ∈ F . On a f(h(y)) = y,donc y a un antécédent par f : h(y). f est bien surjective.

Proposition 4.6 : Soit f : E → F . L’application f est bijective si et seulement si elleest inversible à gauche et à droite. De plus, une bijection a un unique inverse à gauche etun unique inverse à droite, et ceux ci sont égaux.

Démonstration : L’équivalence entre bijectivité et existence des inverse est immédiated’après la proposition précédente. Supposons maintenant que la bijection f a deux inversesà gauche g et g′. On a idE = gf = g′ f . En composant à droite par un inverse à droite h,on obtient g = g′ = h. D’où l’unicité de l’inverse à gauche, et son égalité avec tout inverseà droite (et donc l’unicité de l’inverse à droite).

Définition 4.9 : Soit f : E → F une bijection. L’unique application g vérifiant g f =idE et f g = idF est appelée la réciproque de f , et est notée f−1.

Proposition 4.7 : Soit f : E → F une bijection. La réciproque de f est bijective, et(f−1

)−1= f .

Soient f : E → F et g : F → G deux bijections. L’application g f est bijective, et

(g f)−1 = f−1 g−1

Démonstration : En composant f−1 par f des deux côtés, on obtient l’identité. Doncf est bien la réciproque de f−1. De même, en composant g f par f−1 g−1, on obtientbien l’identité.

II. RELATIONS D’ORDRE 51

I.6 Images directes, Images réciproques

Définition 4.10 : Soit f : E → F .Pour tout ènsemble A ⊂ E, on note f(A) = f(x), x ∈ A. Cet ensemble est appelé

l’image directe de A par f .Pour tout ènsemble B ⊂ F , on note f−1(B) = x ∈ E, f(x) ∈ B. Cet ensemble est

appelé l’image réciproque de B par f .

Remarque 4.4 : Prendre bien garde au fait que les notations sont ambigues. En parti-culier, f−1 ne désigne PAS la réciproque de f , qui peut d’ailleurs très bien ne pas exister.

Exemple : On a sinR = [−1, 1], sin−10 = 2πZ, expR+ = [1,+∞[

I.7 Fonctions indicatrices

Définition 4.11 : Soit E un ensemble. Soit A ⊂ E. On appelle fonction indicatrice (ouparfois fonction caractéristique) de A l’application 1A : E → 0, 1 définie par 1A(x) = 1si x ∈ A et 1A(x) = 0 si x ∈ E \A.

Exemple : Prenons par exemple E = R. La fonction 1R est la fonction constante égaleà 1. La fonction 1∅ est la fonction nulle. La fonction1[0,1] est la fonction qui vaut 1 sur lesegment [0, 1] et qui est nulle partout aileurs.

Proposition 4.8 : Soit E un ensemble. On a, pour toutes parties A et B de E :• 1A∩B = 1A1B.• 1A∪B = 1A + 1B − 1A1B.• 1A∆B = 1A + 1B − 21A1B.• 1E\B = 1− 1B.• 1A\B = 1A(1− 1B).

Démonstration : Montrons par exemple la formule pour la réunion. Soit x ∈ E. Si xn’est ni dans A, ni dans B, les deux membres de l’égalité sont nuls. Si x est dans A maispas dans B, les deux membres de l’égalité valent 1. On fait de même dans les deux casrestants.

II Relations d’ordre

II.1 Relations binaires

Définition 4.12 : Soit E un ensemble. On appelle relation (binaire) sur E tout coupleR = (E,G) où G ⊂ E × E. L’ensemble G est appelé le graphe de la relation R.

Étant donnés deux éléments x et y de E ont peut avoir ou pas (x, y) ∈ G. Lorsque c’estle cas, on dit que x et y sont en relation par la relation R, et on note xRy.


II.2 Ensembles ordonnés

Définition 4.13 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relationd’ordre sur E lorsque :

— R est réflexive : ∀x ∈ E, xRx— R est antisymétrique : ∀x, y ∈ E, xRy et yRx⇒ x = y— R est transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz ⇒ xRzUn couple (E,R) où R est une relation d’ordre sur E est appelé un ensemble ordonné.

Exemple : R et ses sous ensembles sont ordonnés par l’ordre naturel. L’ensemble C, enrevanche, n’a pas d’ordre naturel. Il peut bien sûr être ordonné, par exemple par l’ordrelexicographique, mais cet ordre n’est pas compatible avec la multiplication.

Si E et F sont deux ensembles, et que F est ordonné, l’ensemble FE est ordonné enposant f ≤ g ⇔ ∀x ∈ E, f(x) ≤ g(x).

L’ensemble P(E) est ordonné par l’inclusion.

Remarque 4.5 : La notion de relation d’ordre que l’on vient de définir est celle d’ordrelarge. Il existe, pour chaque ordre large ≤, un ordre strict associé, défini par

x < y ⇔ x ≤ y et x 6= y

Un ordre strict n’est pas un ordre au sens de notre définition !

Définition 4.14 : Soit (E,≤) un ensemble ordonné. On dit que l’ordre est total lorsque

∀x, y ∈ E x ≤ y ou y ≤ x

Sinon, on dit que l’ordre est partiel.

Exemple : L’ordre naturel sur R est total. L’ordre défini ci-dessus sur RR est partiel.Dès que l’ensemble E a au moins deux éléments, la relation d’inclusion sur P(E) est unordre partiel.

II.3 Majorants, Minorants

Définition 4.15 : Soit (E,≤) un ensemble ordonné. Soit A ⊂ E. Soit x ∈ E. On ditque x est un majorant de A lorsque

∀a ∈ A a ≤ x

De même, on dit que x est un minorant de A lorsque

∀a ∈ A x ≤ a

Exemple : Dans R muni de l’ordre naturel, le réel 7 majore l’ensemble [0, 1]. Ce n’estbien sûr pas le seul, il y a aussi, π, 53, et . . . 1, qui a l’air « mieux » que les autres.

III. RELATIONS D’ÉQUIVALENCE 53

Définition 4.16 : Une partie A de l’ensemble ordonné E admet un plus grand élémentlorsqu’il existe x ∈ A majorant de A.

On définit de même la notion de plus petit élément.

Proposition 4.9 : Le plus petit (resp : plus grand) élément de l’ensemble A, s’il existe,est unique. On le note minA (resp : maxA).

Démonstration : Si x et y sont deux plus petits éléments de A, on a x ≤ y et y ≤ x,d’où x = y par antisymétrie.

Exemple : Dans R muni de l’ordre naturel, le plus grand élément de [0, 1]. est 1. Enrevanche, [0, 1[ n’a pas de plus grand élément.

Remarque 4.6 : Si l’on reprend l’exemple ci-dessus, on a dit que 1 était un majorantde [0, 1] mieux que les autres. Si l’on se demande pourquoi, on s’aperçoit qu’il y a deuxraisons. La première, c’est que 1 ∈ [0, 1]. Cela nous donne la notion de plus grand élément.La seconde raison, c’est que 1 est le plus petit des majorants de [0, 1]. Pour cet ensemblecela n’est pas très intéressant. En revanche, on s’aperçoit que, bien que [0, 1[ n’ait pas deplus grand élément, il possède un plus petit majorant. Cela nous conduira à la notion deborne supérieure, que nous aborderons dans le chapitre sur les nombres réels.

III Relations d’équivalence

III.1 Notion de relation d’équivalence

Définition 4.17 : Soit R une relation sur un ensemble E. On dit que R est une relationd’équivalence sur E lorsque :

— R est réflexive : ∀x ∈ E, xRx— R est symétrique : ∀x, y ∈ E, xRy ⇒ yRx— R est transitive : ∀x, y, z ∈ E, xRy et yRz ⇒ xRz

III.2 Exemples simples

• L’égalité est une relation d’équivalence sur tout ensemble.• Pour tout ensemble E, la relation triviale T définie par ∀x, y ∈ E, xT y est une

relation d’équivalence.• Soit f : E → F une application. La relation R sur E définie par ∀x, y ∈ E, xRy ⇔f(x) = f(y) est une relation d’équivalence. L’identité et la relation triviale sur Een sont deux cas particuliers.

III.3 Congruences sur Z

Prenons E = Z, l’ensemble des entiers relatifs. Soit n ∈ Z.


Définition 4.18 : Étant donnés a, b ∈ Z, on dit que a est congru à b modulo n, et onnote a ≡ b[n] lorsque

∃k ∈ Z, b = a+ kn

Remarque 4.7 : Pour n = 0, on obtient la relation d’égalité. Pour n = 1, on obtientla relation triviale. Par ailleurs, la relation obtenue pour l’entier −n est la même que celleobtenue pour l’entier n. Nous supposerons donc dorénavant que n ∈ N.

Remarque 4.8 : Notons nZ = kn, k ∈ Z l’ensemble des multiples de n. On a alorsa ≡ b[n]⇔ b− a ∈ nZ.

Proposition 4.10 : Soit n ∈ N. La relation de congruence modulo n est une relationd’équivalence sur Z.

Démonstration : L’ensemble nZ vérifie les propriétés suivantes : il continent le nombre0, il est stable par passage à l’opposé, et il est stable pour l’addition. Nous résumeronsplus tard ces trois propriétés en disant que nZ est un sous-groupe de Z. Montrons parexemple la transitivité. Soient a, b, c ∈ Z. Supposons que a ≡ b[n] et b ≡ c[n]. On a alorsc− a = (c− b) + (b− a). Mais c− b et b− a sont dans nZ, qui est stable pour l’addition.Donc c− a ∈ nZ et donc a ≡ c[n].

III.4 Congruences sur R

Prenons E = R, l’ensemble des nombres réels. Soit α ∈ R.

Définition 4.19 : Étant donnés a, b ∈ R, on dit que a est congru à b modulo α, et onnote a ≡ b[α] lorsque

∃k ∈ Z, b = a+ kα

Remarque 4.9 : Mêmes remarques que sur Z. Nous utiliserons en particulier cettenotion avec α = π ou α = 2π, en relation avec la trigonométrie est les nombres complexes.

Remarque 4.10 : Notons αZ = kα, k ∈ Z l’ensemble des multiples de α. On a alorsa ≡ b[α]⇔ b− a ∈ αZ.

Proposition 4.11 : Soit α ∈ R. La relation de congruence modulo α est une relationd’équivalence sur R.

Démonstration : Même démonstration que sur Z.

III.5 Classes d’équivalences

Définition 4.20 : Soit E un ensemble. Soit R une relation d’équivalence sur E. Soitx ∈ E. On appelle classe de x modulo R et on note x l’ensemble

x = y ∈ E, xRy

III. RELATIONS D’ÉQUIVALENCE 55

Notation : On note E/R l’ensemble des classes modulo R.

Proposition 4.12 : Avec les notations ci-dessus :• Les classes sont non vides : ∀C ∈ E/R, C 6= ∅.• Les classes sont disjointes : ∀C, C′ ∈ E/R, C 6= C′ ⇒ C ∩ C′ = ∅.• Les classes recouvrent E : ∪C∈E/RC = E.

On dit que les classes modulo R forment une partition de E.

Démonstration : La réflexivité de R montre que ∀x ∈ E, x ∈ x. Cela prouve les points1 et 3. Soient maintenant deux classes C = x et C′ = x′. Supposons que C ∩ C′ 6= ∅. Ilexiste donc z ∈ C ∪ C′. Montrons que C ⊂ C′, la démonstration de l’autre inclusion étantidentique. Soit y ∈ C. On a xRy et xRz. Donc, par symétrie et transitivité, zRy. Mais ona aussi x′Rz donc, toujours par transitivité, x′Ry, et y ∈ C′.

Proposition 4.13 : Soit n ∈ N∗. La relation sur Z de congruence modulo n possèdeexactement n classes, qui sont (par exemple) 0, 1, . . . , n− 1.

Remarque 4.11 : Au lieu de Z/ ≡, on note Z/nZ l’ensemble des classes modulo n.

Démonstration : Nous admettons provisoirement le résultat suivant, qui sera prouvédans le chapitre sur les entiers relatifs : Étant donné a ∈ Z, il existe un unique q ∈ Z etun unique r ∈ 0, . . . , n− 1 tels que a = qn+ r. Il s’agit de ce que l’on appelle la divisioneuclidienne de a par n. Cette égalité montre que ∀a ∈ Z, ∃r ∈ 0, . . . , n− 1, a ≡ r[n], oiuencore a ∈ r. Ainsi, Z/nZ ⊂ 0, 1, . . . , n− 1. L’autre inclusion est évidente. Il y a doncau plus n classes dans Z/nZ. Attention, il reste maintenant à montrer que ces classes sontbien distinctes ! Soient donc 0 ≤ i < j < n. On a 0 < j − i < n, donc j − i 6∈ nZ. Ainsi,i 6= j.

Remarque 4.12 :• Pour n = 0 on a une infinité de classes, toutes constituées d’un singleton.• Soit α ∈ R, α > 0. La relation sur R de congruence modulo α comporte une infinité

de classes. On peut par exemple prendre les classes des x ∈ [0, α[, ou des x ∈]− α2 ,

α2 ].

• Les relations de congruence sur Z possèdent bien d’autres propriétés, que nousverrons en temps utile. En particulier, elles sont compatibles avec l’addition et lamultiplication (on peut multiplier et ajouter des congruences, comme s’il s’agissaitd’égalités).

III.6 Une réciproque

Proposition 4.14 : Soit E un ensemble. Soit P une partition de E. Il existe une etune seule relation d’équivalence R sur E telle que E/R = P.

Démonstration : Soit R une telle relation. Soient x, y ∈ E. Supposons que xRy.Alors, ∃C ∈ P, x, y ∈ C, puisque x et y sont par définition dans la même classe modulo R.Inversement, supposons ∃C ∈ P, x, y ∈ C. x et y sont donc dans la même classe modulo R,


et ainsi xRy. En conclusion, si R est une relation d’équivalence sur E telle que E/R = P,alors

∀x, y ∈ E, xRy ⇔ ∃C ∈ P, x, y ∈ C

Nous venons donc de montrer qu’il existe au plus une telle relation. Inversement, on vérifiesans peine que la relation définie ci-dessus est bien une relation d’équivalence, et que sesclasses sont justement les éléments de la partition P.

IV. EXERCICES 57

IV Exercices

1. Les applications ci-dessous sont-elles injectives ? Surjectives ? Bijectives ? On justi-fiera à chaque fois la réponse.

(a) ρ : R→ R définie par ρ(x) = x2 − x− 1.(b) ψ : C → C définie par ψ(z) = z2 − z − 1. On admettra que toute équation du

second degré admet au moins une solution complexe.(c) ϕ : N5 → N∗\1 définie par ϕ(a, b, c, d, e) = 2a3b5c7d11e. On admettra que tout

entier naturel supérieur ou égal à 2 s’écrit de façon unique comme un produitde nombres premiers.

(d) ζ : R2 → R2 définie par ζ(x, y) = (x+ y, xy).

2. Trouver toutes les injections f : N→ N telles que ∀n ∈ N, f(n) ≤ n.3. Soit E un ensemble. Soient A et B deux parties de E. Soit f : P(E)→ P(A)×P(B)

définie par f(X) = (X ∩A,X ∩B)

(a) Montrer que f est injective si et seulement si A ∪B = E.(b) Montrer que f est surjective si et seulement si A ∩B = ∅.

4. Soit f : E → E une application telle que f f f = f . Montrer que f est injectivesi et seulement si f est surjective.

5. Soit E un ensemble. On suppose donnée une application ϕ : E → P (E). On poseA = x ∈ E, x 6∈ ϕ(x) et on suppose qu’il existe un élément a de E tel queϕ(a) = A. A-t-on a ∈ A ? Que vient-on de démontrer ?

6. Soit f : E → F .(a) Soient A et B deux parties de E. Montrer que si A ⊂ B alors f(A) ⊂ f(B).(b) Soient A′ et B′ deux parties de F . Montrer que si A′ ⊂ B′ alors f−1(A′) ⊂

f−1(B′).7. Soit f : E → F .

(a) Soient A,B ⊂ E. Comparer f(A ∩ B) et f(A) ∩ f(B). Comparer de mêmef(A ∪B) et f(A) ∪ f(B).

(b) Soient A′, B′ ⊂ F . Comparer f−1(A′ ∩ B′) et f−1(A′) ∩ f−1(B′). Comparer demême f−1(A′ ∪B′) et f−1(A′) ∪ f−1(B′).

8. Soit f : E → F . Montrer :(a) ∀A ⊂ E, f−1(f(A)) ⊃ A.(b) f est injective ⇔ ∀A ⊂ E, f−1(f(A)) = A.

9. Créer (et résoudre !) un exercice similaire au précédent, mais faisant intervenir f f−1 au lieu de f−1 f .

10. Soit f : [0, 1] → [0, 1] définie par f(x) = 2x si 0 ≤ x < 12 et f(x) = 2(1 − x) si

12 ≤ x ≤ 1.


(a) Tracer les graphes de f , de f f et de f f f .(b) On pose f0 = id puis, pour tout entier naturel n, fn+1 = fn f . Calculer, pour

tout entier naturel n, fn([37 ,

47 ]).

11. Soit f : E → F . Démontrer que f est surjective si et seulement si pour tout ensembleG, pour toutes applications g : F → G et h : F → G, on a g f = h f ⇒ g = h.

12. Créer (et résoudre) un exercice similaire pour les injections.

13. Soient f et g deux applications telles que g f soit bijective. Que dire de f et g ?Réciproque ?

14. Soit (E,≤) un ensemble ordonné. Étant donnés x, y ∈ E, on dit que y est successeurde x lorsque x < y et pour tout z ∈ E, x < z ⇒ y ≤ z.(a) Montrer que si le successeur d’un élément existe, alors il est unique.

(b) Donner un exemple d’ensemble ordonné dans lequel aucun élément n’admet desuccesseur.

(c) Dessiner les entiers de 0 à 12 et relier chaque entier à son successeur (lorsqu’ilexiste) pour l’ordre usuel des entiers.

(d) Dessiner les entiers de 0 à 12 et relier chaque entier à son successeur, lorsqu’ilexiste, pour l’ordre « divise » défini par x|y si et seulement si il existe k ∈ N telque y = kx.

15. Soit (E,≤) un ensemble ordonné. On dit qu’un élément x de E est minimal lorsque∀y ∈ E, y ≤ x⇒ y = x.

(a) Si l’ensemble E est totalement ordonné, que dire de ses éléments minimaux ?

(b) On prend E = N∗ \ 1, muni de la relation « divise »(voir exercice précédent).Quels sont les éléments minimaux de E ?

(c) Montrer qu’un ensemble ordonné fini non vide possède au moins un élémentminimal.

16. On définit sur R la relation R par xRy si et seulement si sinx = sin y.

(a) Montrer que R est une relation d’équivalence.

(b) Quelle est la classe de 0 ? La classe de π2 ?

(c) Plus généralement, décrire la classe de x pour tout réel x.

17. On définit sur Z la relation R par xRy si et seulement si x2 ≡ y2[10].

(a) Montrer que R est une relation d’équivalence.

(b) Combien R possède-t-elle de classes ?

Chapitre 5Nombres complexes

59

60 CHAPITRE 5. NOMBRES COMPLEXES

I Le corps des complexes

Nous verrons dans un chapitre ultérieur la notion de corps. Sans entrer pour l’instantdans les détails, un corps est un ensemble K dans lequel existent deux opérations : uneaddition (+) et une multiplication (×). Ces opérations vérifient un certain nombre depropriétés, comme la commutativité, l’associativité, l’existence d’éléments neutres, etc.Nous allons passer ces propriétés en revue dans le cas des nombres complexes.

I.1 Construction des nombres complexes

Théorème 5.1 : Il existe un corps C vérifiant les propriétés suivantes :— R ⊂ C— Il existe dans C un élément i tel que i2 = −1— Tout élément z ∈ C s’écrit de façon unique z = x+ iy avec x et y réels.

Un tel corps est « unique ».

Démonstration : Nous ne détaillons pas ici la question de l’unicité. On se contente dedonner les étapes de la preuve de l’existence. On pose C = R2. Puis on définit les opérations+ et × sur C par (x, y)+(x′, y′) = (x+x′, y+y′) et (x, y)× (x′, y′) = (xx′−yy′, xy′+x′y).On montre que (C,+,×) possède toutes les propriétés de corps. En particulier, le neutrepour l’addition est (0, 0) et le neutre pour la multiplication est (1, 0). L’inverse de l’élément(x, y) est ( x

x2+y2, −yx2+y2

) à condition que (x, y) 6= (0, 0). On pose ensuite R′ = (x, 0), x ∈ Ret on constate que R′ est un corps isomorphe à R. On identifie alors le couple (x, 0) avecle réel x pour tout réel x. Avec cet abus, on a bien R ⊂ C. Puis on pose i = (0, 1). Il estalors facile de vérifier que tout élément z = (x, y) de C s’écrit aussi x + iy et que c’est laseule façon de l’écrire ainsi. Enfin, une simple vérification prouve que i2 = (−1, 0) = −1.

Les opérations sur C sont donc :

(x+ iy) + (x′ + iy′) = (x+ x′) + i(y + y′)

(x+ iy)× (x′ + iy′) = (xx′ − yy′) + i(xy′ + x′y)

On vérifie également que (x+ iy) x−iyx2+y2

= 1.

Définition 5.1 : Soit z ∈ C. Soit (x, y) l’unique couple de réels tel que z = x + iy. xest appelé la partie réelle de z, et y est la partie imaginaire de z. On note x = <z, y = =z.

Le nombres de la forme iy, avec y réel sont dits imaginaires purs. On note iR l’ensembledes imaginaires purs.

Remarque 5.1 : Sauf mention contraire, lorsqu’on écrira « z = x+iy » dans ce qui suit,on supposera que x et y sont réels. Dans une rédaction complète, il faudrait le préciser àchaque fois.

I. LE CORPS DES COMPLEXES 61

I.2 Affixe, image

Dans notre construction de C un nombre complexe EST un point du plan. Mais il fautgarder à l’esprit qu’il existe d’autres constructions, fort différentes, du corps des complexes.Nous distinguerons donc l’ensemble C des nombres complexes et l’ensemble P des pointsdu plan, ou encore l’ensemble P des vecteurs du plan, même si les éléments de ces troisensembles peuvent tous être modélisés par des couples de nombres réels.

Considérons les deux applications ϕ : P → C et ψ : C → P définies comme suit : siA = (x, y) est un point du plan, ϕ(A) = x + iy. Et si z = x + iy ∈ C, ψ(z) = (x, y) ∈ P.On a bien évidemment ∀A ∈ P, ψ(ϕ(A)) = A et ∀z ∈ C, ϕ(ψ(z)) = z. Les fonctions ϕ etψ sont des bijections, et chacune est la réciproque de l’autre.

Définition 5.2 : Pour tout point A ∈ P, le nombre complexe z = ϕ(A) est appelél’affixe de A. On notera parfois A(z) pour indiquer que A est le point d’affixe z.

Pour tout z ∈ C, le point A = ψ(z) est appelé l’image de z.

Remarque 5.2 : On peut dans tout ce qui précède remplacer l’ensemble P des pointsdu plan par l’ensemble P des vecteurs du plan, et parler ainsi du vecteur −→u d’affixe z oudu vecteur −→u image du nombre complexe z.

I.3 Conjugué

Définition 5.3 : Soit z = x+ iy un complexe. Le conjugué de z est z = x− iy.

Remarque 5.3 : Géométriquement, le conjugué de z est le symétrique de z par rapportà l’axe Ox. Pour être précis, le point dont l’affixe est le conjugué de z est le symétrique parrapport à la droite Ox du point d’affixe z. Nous commettrons parfois l’abus de confondreles nombres complexes et leur image dans le plan P.

Proposition 5.2 : Soit z un complexe. On a :— <z = z+z

2 et =z = z−z2i .

— ¯z = z.— z ∈ R⇔ z = z.— z ∈ iR⇔ z = −z.

Démonstration : Il suffit de poser z = x+ iy avec x, y ∈ R.

Proposition 5.3 : .— Le conjugué d’une somme est la somme des conjugués.— Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués.— Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués.

Démonstration : Il suffit de poser z = x+ iy, z′ = x′ + iy′ avec x, x′, y, y′ ∈ R.

Exercice : Déterminons tous les nombres complexes z tels que z+iz−i ∈ iR. Soit z ∈ C,

z 6= i. z est solution du problème si et seulement si z+iz−i = − z+i

z−i = − z−iz+i . On réduit au


même dénominateur : (z+i)(z+i) = −(z−i)(z−i) qui se simplifie en zz = 1. Les solutionsdu problème sont les nombres complexes de module 1, i excepté.

Remarque 5.4 : Soit φ : C → C un endomorphisme du corps C laissant les réelsinvariants. Soit z = x + iy ∈ C. On a alors φ(z) = φ(x) + φ(i)φ(y) = x + φ(i)y. Maisi2 = −1, donc φ(i)2 = φ(−1) = −1. On en déduit que φ(i) = ±i. Si φ(i) = i, alors, pourtout complexe z, φ(z) = z : φ est l’identité de C. Si, au contraire, φ(i) = −i, alors, pourtout complexe z, φ(z) = z : φ est la conjugaison. En résumé, la conjugaison est l’uniqueendomorphisme non trivial de C laissant les réels invariants. C’est donc une applicationextrêmement précieuse : si vous la perdez, vous n’en aurez pas d’autre.

I.4 Module

Proposition 5.4 : Soit z un complexe. Alors zz est un réel positif.

Démonstration : Soit z = x+ iy. Alors zz = x2 + y2 ∈ R+.

Définition 5.4 : On appelle module du complexe z le réel positif |z| =√zz.

Proposition 5.5 : Pour tout complexe z, on a— |z| = 0 ⇐⇒ z = 0— |z| = |z|— <z ≤ |<z| ≤ |z|— =z ≤ |=z| ≤ |z|

Démonstration : On a |z|2 = zz donc |z| = 0 si et seulement si z = 0 ou z = 0, c’està dir si et seulement si z = 0. On a |z|2 = z z = zz = |z|2.

On pose z = x+ iy où x, y ∈ R. On a |z|2 = x2 + y2 ≥ x2. Donc, en passant à la racinecarrée, |x| ≤ |z|. Même preuve pour la partie imaginaire.

Proposition 5.6 : Pour tout complexe z non nul, on a— 1

z = z|z|2 .

— |z| = 1 ⇐⇒ 1z = z.

Démonstration : On a 1z = z

zz = z|z|2 . Et aussi, |z| = 1 si et seulement si zz = 1 ou

encore z = 1z .

Proposition 5.7 : Pour tous complexes z1 et z2, on a— |z1z2| = |z1||z2|.— Si z2 6= 0, | z1z2 | =

|z1||z2| .

— |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| (inégalité triangulaire)— ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| (inégalité triangulaire 2)

Démonstration : On a |z1z2|2 = (z1z2)z1z2 = z1z1z2z2 = |z1|2|z2|2. L’inégalité trian-gulaire est évidente si z2 = 0. Sinon, on pose u = z1

z2. Il suffit de prouver que |1+u| ≤ 1+|u|.

II. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 63

Or, |1 + u|2 − (1 + |u|)2 = 2(|u| − <u). La dernière inégalité se prouve à l’aide de la pré-cédente : z1 = z1 − z2 + z2, donc |z1| ≤ |z1 − z2| + |z2|. Ainsi, |z1| − |z2| ≤ |z1 − z2|. Onobtient de même que |z2| − |z2| ≤ |z1 − z2|. D’où le résultat.

Remarque 5.5 : Il y a égalité dans l’inégalité triangulaire si et seulement si z2 = 0 ouz1 = λz2, avec λ ∈ R+.

II Nombres complexes et trigonométrie

II.1 Nombres complexes de module 1

Proposition 5.8 : L’ensemble U des nombres complexes de module 1 est un sous-groupede (C∗,×).

Démonstration : Ici, petite incursion dans la théorie des groupes, avant d’en avoir parléen cours. Pas d’inquiétude . . . Un élément de U est non nul car de module 1. Donc U ⊂ C∗.Le produit de deux complexes de module 1, l’inverse d’un complexe de module 1, sontencore de module 1. Nous verrons que cela prouve exactement que U est un sous-groupede C∗.

Définition 5.5 : On suppose connues les propriétés élémentaires des fonctions trigo-nométriques. Pour tout réel θ, on pose eiθ = cos θ + i sin θ.

Proposition 5.9 : On a U = eiθ, θ ∈ R.

Démonstration : On a |eiθ| = 1 d’où l’inclusion réciproque. Inversement, soit z =x+ iy ∈ U . On a x2 + y2 = 1. Il existe donc un réel θ tel que z = eiθ d’où l’inclusion.

Proposition 5.10 : (Formules d’Euler)Pour θ ∈ R, on a

cos θ =eiθ + e−iθ

2et sin θ =

eiθ − e−iθ

2i

Démonstration : C’est immédiat. On utilise la parité du cosinus et l’imparité du sinus.

Proposition 5.11 : On a, pour θ et φ réels :— ei(θ+φ) = eiθeiφ.— e−iθ = 1/eiθ

— ei(θ−φ) = eiθ/eiφ.— eiθ = 1 ⇐⇒ θ ≡ 0[2π].— eiθ = eiφ ⇐⇒ θ ≡ φ[2π].


Démonstration : La première égalité se vérifie par un petit calcul. La deuxième résultede la première. La troisième résulte des deux premières. Soit maintenant un réel θ. On aeiθ = 1 si et seulement si cos θ = 1 et sin θ = 0, c’est à dire si et seulement si θ est multiplede 2π. La dernière propriété est alors immédiate : eiθ = eiφ ⇔ ei(θ−φ) = 1⇔ θ−φ ≡ 0[2π].

Remarque 5.6 : On vient de prouver que l’application θ 7→ eiθ est un morphismesurjectif du groupe (R,+) vers le groupe (U ,×) dont le noyau est 2πZ.

Proposition 5.12 : (Formule de Moivre)Pour θ ∈ R et n ∈ Z, on a

(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ

Démonstration : C’est immédiat en utilisant le fait que l’application θ 7→ eiθ est unmorphisme.

Exercice : Soit x un réel et n un entier. On se propose de calculer Sn =∑n

k=0 cos kx etTn =

∑nk=0 sin kx. Pour cela, on forme Sn + iTn =

∑nk=0 e

ikx. On reconnaît la somme destermes d’une suite géométrique de raison eix. Si x ≡ 0[2π], alors eix = 1, donc Sn + iTn =n + 1, d’où Sn = n + 1 et Tn = 0. Si, au contraire, x 6≡ 0[2π], alors eix 6= 1, doncSn + iTn = ei(n+1)x−1

eix−1. On factorise au numérateur et au dénominateur de cette fraction la

quantité eix/2. Il vient alors Sn + iTn = ei(n+1/2)x−e−ix/2eix/2−e−ix/2 = ei(n+1/2)x−e−ix/2

2i sin(x/2) . Il vient alorsfacilement

Sn =1

2+

sin(n+ 12)x

2 sin x2

et Tn =cos x

2 − cos(n + 12)x

2 sin x2

II.2 Arguments d’un complexe non nul

Soit z un complexe non nul. Le complexe z|z| est alors de module 1, donc il existe θ ∈ R

tel que z|z| = eiθ. Ainsi,

z = reiθ où r = |z|

Définition 5.6 : Soit s un complexe non nul. On appelle argument de z tout réel θ telque z = |z|eiθ.

Proposition 5.13 : Soit z un complexe non nul. Soit θ0 un argument de z. L’ensembledes arguments de z est

θ0 + 2kπ, k ∈ Z

Si z est un complexe et θ est un argument de z, on note arg z ≡ θ[2π]. Souvent, onécrit abusivement arg z = θ.

Remarque 5.7 :

II. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 65

— Si z est sous la forme z = aeiθ avec a et θ réels, il convient de discuter sur le signede a pour connaître son module et un de ses arguments.

— Si l’on astreint l’argument à demeurer dans un intervalle d’amplitude 2π, tel que[0, 2π[ ou ]− π, π], on a alors unicité de l’argument.

Exemple : Trouvons le module et un argument de z =√

3+i. On a |z|2 = (√

3)2 +1 = 4,donc |z| = 2. Maintenant, z

|z| =√

32 + 1

2 i. Un argument de z est donc un réel θ tel que

cos θ =√

32 et sin θ = 1

2 . Par exemple, θ = π3 .

II.3 Forme trigonométrique

Soit z ∈ C. On dit que z est mis sous forme trigonométrique lorsqu’on a écrit z = reiθ

avec r ∈ R+ et θ ∈ R. La forme trigonométrique est particulièrement adaptée aux calculsde produits, quotients, puissances, et pas du tout adaptée aux calculs de sommes.

Proposition 5.14 : Si z1 = r1eiθ1 et z2 = r2e

iθ2 , alors :

z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)

z1

z2=r1

r2ei(θ1−θ2)

Corollaire 5.15 : Soient z1 et z2 deux complexes non nuls. On a :

arg(z1z2) ≡ arg z1 + arg z2[2π]

arg(z1

z2) ≡ arg z1 − arg z2[2π]

Corollaire 5.16 : Soient z un complexe non nul et n un entier relatif. On a :

arg zn ≡ n arg z[2π]

II.4 Exponentielle complexe

On suppose connues les propriétés de la fonction exponentielle sur R.

Définition 5.7 : Soit z = x+iy un complexe. On appelle exponentielle de z le complexe

ez = exeiy

Proposition 5.17 : Soit z un complexe. On a ez = ez, |ez| = e<z et arg ez ≡ =z[2π].

Proposition 5.18 : Soient z, z′ ∈ C. On a :— ez+z

′= ezez

′ .— 1

ez = e−z.


Proposition 5.19 : Soit z ∈ C. On a ez = 1⇔ z ∈ 2iπZ.

Démonstration : Posons z = x + iy. Supposons ez = 1. On a exeiy = 1. En passantau module, on obtient ex = 1 d’où x = 0 puisque x est réel. On reporte, on en déduiteiy = 1, donc y ∈ 2πZ, comme vu plus haut. On a donc bien z ∈ 2iπZ. La réciproque estimmédiate.

Corollaire 5.20 : Soient z, z′ ∈ C. On a ez = ez′ ⇔ z′ − z ∈ 2iπZ.

Démonstration : C’est évident, puisque ez = ez′ si et seulement si ez−z′ = 1.

Proposition 5.21 : Tout nombre complexe non nul a est de la forme ez0 , avec z0 ∈ C.Ses antécédents sont alors les z0 + 2ikπ, avec k ∈ Z.

Démonstration : On écrit a = |a|eiθ où θ est un argument de a. Soit z0 = ln |a|+ iθ.Alors ez0 = a. De plus, ez = a ⇐⇒ ez = ez0 ⇐⇒ ez−z0 = 1 c’est à dire z − z0 ∈ 2iπZ.

II.5 Application à la linéarisation de sinus et cosinus

Soient m un entier naturel et θ un réel. On écrit cosm θ =(eiθ+e−iθ

2

)met on développe

par la formule du binôme de Newton :

cosm θ =1

2m

m∑k=0

(m

k

)eikθe−i(m−k)θ =

1

2m

m∑k=0

(m

k

)ei(2k−m)θ

On sait par ailleurs que cette quantité est réelle. Elle est donc égale à sa partie réelle. Ainsi,

cosm θ =1

2m

m∑k=0

(m

k

)cos(2k −m)θ

La même opération peut bien entendu être réalisée avec un sinus. Il faut alors distinguersuivant la parité de m.

II.6 Opération inverse : délinéarisation ?

On écrit cette fois-ci la formule de Moivre :

cosmθ + i sinmθ = (cos θ + i sin θ)m =m∑k=0

(m

k

)ik cosk θ sinm−k θ

Si l’on veut par exemple cosmθ, il suffit de prendre la partie réelle :

cosmθ =∑

0≤2p≤m

(m

2p

)(−1)p cos2p θ sinm−2p θ

De même :

sinmθ =∑

0≤2p+1≤m

(m

2p+ 1

)(−1)p cos2p+1 θ sinm−2p−1 θ

III. RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES 67

III Résolution d’équations algébriques

III.1 Racine carrée d’un nombre complexe

Définition 5.8 : On appelle racine carrée du complexe a tout complexe z tel que z2 = a.

Proposition 5.22 : Tout nombre complexe non nul possède exectement deux racinescarrées.

Exemple : Les racines carrées de i sont ±√

22 (1 + i).

Démonstration : Soit a = reiθ, r > 0. Soit z = ρeiφ, ρ > 0. Alors, z2 = a si etseulement si ρ2 = r et 2φ ≡ θ[2pi], c’est-à-dire ρ =

√r et φ ≡ θ

2 [π]. On trouve donc deuxracines carrées de a qui sont ±

√rei

θ2 .

III.2 Méthode algébrique

Soit a = x + iy, où y 6= 0. Soit z = X + iY . Alors z2 = a si et seulement si z2 = a et|z|2 = |a|, c’est-à-dire X2 − Y 2 = x, X2 + Y 2 =

√x2 + y2, et XY du signe de y. Les deux

premières relations donnent facilement X et Y au signe près, et la dernière relie les signesde X et Y .

Exercice : Calculons les racines carrées de 1 + i par la méthode algébrique. Soit z =X + iY . On a z2 = 1 + i si et seulement si X2 − Y 2 = 1, X2 + Y 2 =

√2 et X et Y de

même signe. On en tire X2 = 12(√

2 + 1) et Y 2 = 12(√

2− 1). Avec les conditions de signe,on en déduit

z = ±

(√1

2(√

2 + 1) + i

√1

2(√

2− 1)

)

III.3 Équation du second degré

Proposition 5.23 : Soient a, b, c trois complexes avec a 6= 0. On considère l’équation

(E) az2 + bz + c = 0

et son discriminant ∆ = b2−4ac. Si ∆ = 0, l’équation (E) a pour unique racine racine z =−b2a . Sinon, en appelant δ une racine carrée de ∆, l’équation (E) a deux racines distinctesqui sont −b±δ2a .

Démonstration : On écrit az2 + bz + c = a(z + b2a)2 − ∆

4a . Ainsi, z est solution de Esi et seulement si (z + b

2a)2 =(δ2a

)2, ou encore z + b2a = ± δ

2a .

Exemple : Résolvons l’équation z2 − (1 + 2i)z + i− 1 = 0. Son discriminant est ∆ = 1.Nous avons de la chance, le discriminant aurait pu être non réel. Une racine carrée de ∆est δ = 1. Les solutions de l’équation sont donc 1

2((1+2i)+1) = 1+ i et 12((1+2i)−1) = i.


Proposition 5.24 : Avec les mêmes notations que dans la proposition précédente, leproduit des racines de (E) est c

a et la somme des racines est −ba .

Proposition 5.25 : Soient z, z′, s, p 4 nombres complexes. On a z + z′ = s et zz′ = psi et seulement si z et z′ sont les racines de l’équation X2 − sX + p = 0.

Démonstration : Soient α et β les racines de cette équation. On a α+β = s et αβ = pd’où l’un des deux sens de l’équivalence. Inversement, supposons z + z′ = s et zz′ = p.z et z′ sont évidemment les racines de l’équation (X − z)(X − z′) = 0. Mais justement,(X − z)(X − z′) = X2 − sX + p.

III.4 Racines nièmes de l’unité

Définition 5.9 : Soit z un complexe et n un entier non nul. On appelle racine nièmede z tout complexe Z tel que Zn = z.

Les racines nièmes de 1 sont appelées les racines nièmes de l’unité.

Proposition 5.26 : L’ensemble, noté Un, des racines nièmes de l’unité est un sous-groupe du groupe (U ,×) des nombres complexes de module 1.

Démonstration : Si zn = 1, alors |z|n = |1| = 1 donc |z| = 1. Ainsi, Un ⊂ U . Le restede la preuve est facile : stabilité par produit car (zz′)n = znz′n et stabilité par inverse car(

1z

)n= 1

zn .

Proposition 5.27 : Il y a exactement n racines nièmes de l’unité. Ce sont les complexes

ξk = e2ikπn , k ∈ [|0, n− 1|]

Démonstration : Soit z = eiθ ∈ U . Alors z ∈ Un si et seulement si zn = einθ = 1 c’està dire nθ ∈ 2πZ ou encore θ = 2kπ

n où k ∈ Z. Ainsi, Un = ζk, k ∈ Z. Soit maintenantk ∈ Z. On effectue la division euclidienne de k par n : k = nq + r où 0 ≤ r < n. On aalors ζk = (ζn)qζr = ζr. Donc, Un = ζk, 0 ≤ k < n. Enfin, si 0 ≤ i < j < n, alors0 < i − j < n donc 0 < (2π(i − j))/n < 2π donc ζi 6= ζj . L’ensemble Un contient bienexactement n éléments.

Remarque 5.8 : On a ξk = ξk en posant ξ = ξ1. On en déduit par exemple que lasomme des racines nièmes de l’unité est

1 + ξ + ξ2 + · · ·+ ξn−1 =ξn − 1

ξ − 1= 0

puisque ξn = 1.

Exemple : On a U1 = 1, U2 = −1, 1, U4 = −1, 1,−i, i. On a U3 = 1, j, j2 oùj = e2iπ/3. Le nombre j apparaît dans un grand nombre de calculs. Il faut absolument sesouvenir que 1

j = j = j2, 1 + j + j2 = 0.

IV. INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 69

Plus généralement, si l’on dessine Un dans le plan (en identifiant le complexe x+ iy etle point (x, y)), on obtient le polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité, dontl’un des sommets est le point (1, 0).

Exercice : Dessiner U6.

III.5 Racines nièmes d’un nombre complexe

Proposition 5.28 : Soit z un complexe non nul. Si u est une racine nième de z, alorsl’ensemble des racines nièmes de z est

uξ, ξ ∈ Un

Démonstration : On a wn = z si et seulement si wn = un, c’est à dire wu ∈ Un.

Corollaire 5.29 : Soit z un complexe non nul de module r et d’argument θ. Les racinesnièmes de z sont les complexes

Zk = k√rei(

θn

+ 2kπn

), k ∈ [|0, n− 1|]

Démonstration : C’est clair, puisque k√reiθ/n est clairement une racine nième de z.

Exercice : Calculer les racines cubiques de 2.

IV Interprétations géométriques

IV.1 Somme, produit par un réel

Ces opérations sur les complexes correspondent dans le plan euclidien aux opérationsd’espace vectoriel sur les vecteurs. Ces opérations fournissent d’importantes transforma-tions du plan (affine ou vectoriel ou complexe).

Définition 5.10 : Soit u(z0) ∈ R2. L’application τ : R2 → R2 définie par M(z) 7→M(z + z0) est appelée la translation de vecteur u.

Définition 5.11 : Soit Ω(z0) ∈ R2. Soit λ ∈ R. L’application τ : R2 → R2 définie parM(z) 7→M(z0 + λ(z − z0)) est appelée l’homothétie de centre Ω et de rapport λ.

IV.2 Module, Argument

Module et argument représentent respectivement des distances et des angles dans leplan euclidien. Ainsi, soient A(a) et B(b) deux points du plan, on a d(A,B) = |b − a|. SiA(a), B(b) et C(c) sont trois points distincts, l’angle orienté entre les vecteurs

−−→AB et

−→AC

est donné par arg c−ab−a .


IV.3 Produit

C’est l’opération la plus intéressante. Commençons par le produit d’un nombre com-plexe par un complexe de module 1 : Soit z ∈ C et θ ∈ R. On a alors :

— |zeiθ| = |z|— arg(zeiθ) ≡ arg z + θ mod 2π

Définition 5.12 : Soient Ω(z0) un point du plan et θ un réel. L’application M(z) 7→M(z0 + (z − z0)eiθ) est appelée la rotation de centre Ω et d’angle θ.

Plus, généralement, la multiplication par un nombre complexe non nul est la composéed’es deux opérations suivantes :

— Produit par un nombre complexe de module 1 (rotation)— Produit par un réel non nul (homothétie)

Définition 5.13 : Soient Ω(z0) un point du plan, λ un réel non nul, et θ un réel.L’application M(z) 7→M(z0 + λ(z− z0)eiθ) est appelée la similitude (directe) de centre Ω,de rapport λ et d’angle θ.

Plus généralement, on appelle similitude (directe) du plan toute application M(z) 7→M(az + b), où a, b ∈ C, a 6= 0.

Proposition 5.30 : Les similitudes directes sont— Les translations.— Les similitudes « à centre ».

Démonstration : Soient a, b ∈ C, a 6= 0. Soit f : z 7→ az+b la similitude correspondante(nous confondons les points et leurs affixes pour alléger la lecture). Il y a deux cas àconsidérer. Si a = 1, l’application f est une translation. Supposons maintenant a 6= 1. Soitω ∈ C. On a f(ω) = ω si et seulement si ω = b

1−a . L’application f a donc un uniquepoint fixe. Mais alors, pour tout z ∈ C, f(z)− ω = f(z)− f(ω) = a(z − ω). f est donc lasimilitude de centre ω, de rapport |a| et d’angle arg a.

Proposition 5.31 : Les similitudes conservent les angles.

Démonstration : On pose f(z) = az+ b, avec a 6= 0. Alors f(w)−f(u)f(v)−f(u) = aw+b−(au+b)

av+b−(au+b) =w−uv−u . Les arguments de ces quantités sont donc égaux, et f conserve les angles.

On peut en fait prouver le résultat plus général suivant :

Proposition 5.32 : Soit f : R2 → R2 une application injective (i.e. deux pointsdistincts ont des images distinctes). Alors, f conserve les angles si et seulement si f estune similitude directe.

Démonstration : Seul le sens direct est à prouver. Supposons donc que f est uneinjection qui conserve les angles. Posons g(z) = f(z)−f(0)

f(1)−f(0) . L’application g est encore uneinjection, et conserve toujours les angles. De plus, g(0) = 0 et g(1) = 1.

Soit z ∈ C \ R. On considère l’angle formé par 1, 0 et z. Cet angle étant conservé parg, on a donc arg g(z)−0

1−0 = arg z−01−0 . Donc, g(z) = λz, avec λ ∈ R∗+. De même, l’angle 0,1,z

est conservé, donc arg g(z)−10−1 = arg z−1

0−1 . Il existe donc µ ∈ R∗+ tel que 1− g(z) = µ(1− z).

IV. INTERPRÉTATIONS GÉOMÉTRIQUES 71

D’où 1 − λz = µ(1 − z) et 1 − µ = (λ − µ)z. Mais comme on a supposé z non réel, on anécessairement λ = µ = 1, d’où g(z) = z.

Si z est réel, on recommence avec 0,i et z (on sait maintenant que g(i) = i). Finalement,on a g(z) = z pour tout complexe z. Donc, f(z) = az+b, où a = f(1)−f(0) 6= 0 et b = f(0).L’application f est donc une similitude directe.


V Exercices

1. Déterminer z ∈ C, z+1z−1 ∈ iR.

2. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan d’affixes 1, z2 et z3

soient alignés.

3. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan d’affixes 1, z et z4

soient alignés.

4. Trouver tous les z ∈ C tels que le triangle de sommets d’affixes 1, z et z2 soitéquilatéral.

5. Déterminer les nombres complexes z tels que z, z − 1 et 1z aient le même module.

6. Déterminer module et argument de (1+i√

31−i )10

7. Soient n un entier naturel non nul et ω une racine nième de 1. Calculer :

(a)∑n−1

k=0 ωk

(b)∑n−1

k=0(−1)kωk

(c)∑n−1

k=0(k + 1)ωk

8. Calculer∑

0≤3k≤n(n3k

). Considérer pour cela (1 + 1)n, (1 + j)n et (1 + j2)n où 1, j

et j2 sont les racines cubiques de 1.

9. Soient α ∈ R et n ∈ N. Calculer(a)

∑nk=0 sin2 kα.

(b)∑n

k=0cos(kα)coskα

et∑n

k=0sin(kα)coskα

10. Soient α, β ∈ R et n ∈ N. Calculer∑n

k=0

(nk

)cos(α+ kβ) et

∑nk=0

(nk

)sin(α+ kβ)

11. Déterminer les primitives de sin5 x, de cos4 x.

12. Soit z ∈ C de module 1 et d’argument θ. Déterminer module et argument de 1 + z,de 1 − z, de 1 + z + z2. Les arguments donnés devront appartenir à l’intervalle]− π, π].

13. Trouver les racines carrées de 10− 4i√

6.

14. Résoudre :

(a) z2 + (5− 2i)z + 5− 5i = 0.

(b) z8 = 1−i√3−i .

(c) z4 − 30z2 + 289 = 0.

15. Soit a ∈ C. Montrer que l’équation z ∈ C, (1+iz1−iz )n = a a toutes ses racines réelles si

et seulement si |a| = 1. Calculer dans ce cas les racines de l’équation.

16. Trouver une CNS sur les nombres complexes α et β pour que les racines de l’équationz2 − 2αz + β = 0 aient le même module.

17. Trouver tous les nombres complexes z vérifiant(z+iz−i

)3+(z+iz−i

)2+ z+i

z−i + 1 = 0

V. EXERCICES 73

18. Soient a, b ∈ C tels que ab 6= 1 et c = a−b1−ab . Montrer que |c| = 1 si et seulement si

|a| = 1 ou |b| = 1.

19. Résoudre l’équation z2 + 8i = |z|2 − 2, d’inconnue z ∈ C.20. Résoudre l’équation iz2 − 2z + z − i = 0, d’inconnue z ∈ C.21. Résoudre le système d’inconnues u, v ∈ C :

(1 + i)u+ v = 3 + 7iu+ v = 2 + i

22. Soit θ ∈ R. Exprimer tan 5θ en fonction de tan θ.

23. Déterminer l’ensemble des z ∈ C tels que arg z−iz+i ≡ −

π4 [π].

24. Déterminer l’ensemble des z ∈ C tels que |z| = 2|z − i|.25. Déterminer l’ensemble des z ∈ C tels que z2

z+i ∈ iR.26. Trouver les racines de l’équation z3 + (1 − 2i)z2 + (1 − i)z − 2i = 0, sachant que

l’une des racines est un imaginaire pur.

27. Trouver les racines de l’équation z4 + 4iz2 + 12(1 + i)z − 45 = 0, sachant que l’unedes racines est un imaginaire pur et que l’une des racines est un réel.

28. Soit n ∈ N∗. Soit p ∈ Z. Soit ω une racine nième de 1. Calculer∑n−1

k=0 ωkp.

29. Soient x et θ deux réels. Soit n ∈ N. Calculer∑n

k=0 xk cos kθ et

∑nk=0 x

k sin kθ.


Chapitre 6Le corps des nombres réels

75

76 CHAPITRE 6. LE CORPS DES NOMBRES RÉELS

I Le corps des réels

I.1 Corps ordonnés

Définition 6.1 : Soit K un corps. On suppose que K est partitionné en trois partiesdisjointes : K = P ∪N ∪ 0. On dit que K est un corps ordonné lorsque

• P est stable pour l’addition et la multiplication.• Pour tout élément x de K, on a x ∈ P si et seulement si −x ∈ N .

Exemple : Q, R, a + b√

2, a, b ∈ Q sont des corps ordonnés lorsqu’on prend pour Pl’ensemble des éléments strictement positifs du corps et pour N l’ensemble des élémentsstrictement négatifs.

On suppose jusqu’à la fin de cette section que K est un corps ordonné.

Proposition 6.1 : Soient x, y ∈ K. On a• x, y ∈ P ⇒ xy ∈ P• x, y ∈ N ⇒ xy ∈ P• x ∈ P, y ∈ N ⇒ xy ∈ N

Démonstration : Par exemple, si x ∈ P et y ∈ N , on a −(xy) = x(−y) ∈ P doncxy ∈ N .

Proposition 6.2 : On a• ∀x ∈ K, x2 ∈ P• 1 ∈ P,−1 ∈ N• ∀x ∈ K, x ∈ P ⇔ 1

x ∈ P

Démonstration : Si x ∈ P, on a x2 = xx ∈ P. De même si x ∈ N . Pour le secondpoint, 1 = 12 ∈ P. Pour le dernier point, on a x 1

x = 1 ∈ P donc x et 1x sont tous les deux

dans P ou tous les deux dans N .

Proposition 6.3 : On a ∀x, y ∈ N , x+ y ∈ N

Démonstration : Car x+ y = −((−x) + (−y)).

Définition 6.2 : Pour x, y ∈ K, on pose x < y ⇔ y − x ∈ P et x ≤ y ⇔ x < y oux = y. On définit de même x > y et x ≥ y.

Remarque 6.1 : Pour tout élément x de K, on a donc x > 0 si et seulement si x ∈ P, etx < 0 si et seulement si x ∈ N . Les propositions ci-dessus nous indiquent donc que la règledes signes est vraie dans K, que tout carré est positif, que l’inverse d’un élément positif estpositif, etc.

Proposition 6.4 : La relation ≤ est un ordre total sur K.

Démonstration : La réflexivité est évidente. Si x < y alors y− x ∈ P donc x− y 6∈ P.Ainsi, si x ≤ y et y ≤ x, on a x = y d’où l’antisymétrie. Si x < y et y < z alors

II. BORNE SUPÉRIEURE 77

z − x = (z − y) + (y − x) ∈ P donc x < z d’où la transitivité. Soient enfin x, y ∈ K. y − xest soit dans N auquel cas y < x, soit dans P auquel cas x < y soit nul auquel cas x = y.L’ordre est total.

Proposition 6.5 : Pour tous éléments x, y, z de K, on a• x < y ⇔ x+ z < y + z• x < y, z > 0⇔ xz < yz• x < y, z < 0⇔ xz < yz

Démonstration : Supposons x < y. Alors (y+z)−(x+z) = y−x ∈ P donc x+z < y+z.La réciproque et les autres points se démontrent de façon identique.

Remarque 6.2 : On ne peut pas munir C d’une structure de corps ordonné. En effet−1 = i2, or −1 < 0 et tout carré est positif.

I.2 Valeur absolue

Définition 6.3 : Pour tout x ∈ K, on a appelle valeur absolue de x, et on note |x|,l’élément de K |x| = max(−x, x).

Remarque 6.3 : On bien sûr |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x ≤ 0.

Proposition 6.6 : La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes :• ∀x ∈ K, |x| ≥ 0.• ∀x ∈ K, |x| = 0⇔ x = 0.• ∀x, y ∈ K, |xy| = |x||y|.• ∀x, y ∈ K, |x+ y| ≤ |x|+ |y|.• ∀x, y ∈ K, ||x| − |y|| ≤ |x− y|.

Démonstration : Seules les inégalités sont non triviales. On a |x + y| = max(−x −y, x+ y) ≤ max(|x| − y, |x|+ y = |x|+max(−y, y) = |x|+ |y|.

II Borne supérieure

II.1 Notion de borne supérieure

Définition 6.4 : Soit (E,≤) un ensemble ordonné. Soit A ⊂ E. On appelle bornesupérieure de A le plus petit élément, lorsqu’il existe, de l’ensemble des majorants de A.

On définit de même la notion de borne inférieure.En d’autres termes, la borne supérieure M de l’ensemble A est caractérisée par• ∀x ∈ A, x ≤M .• ∀y < M,∃x ∈ A, y < x.


Notation : On note supA la borne supérieure de A, lorsqu’elle existe. De même onnote inf A sa borne inférieure.

Proposition 6.7 : Si A possède un plus grand élément, alors A possède une bornesupérieure, et supA = maxA. La réciproque est fausse.

Démonstration : Soit a = maxA. Soit A+ l’ensemble des majorants de A. Soit y ∈ E.Supposons a ≤ y. Alors, pour tout x ∈ A, x ≤ a ≤ y, donc x ≤ y. Ainsi, y ∈ A+.Inversement, soit y ∈ A+. Comme a ∈ A, on a a ≤ y. Ainsi, y ∈ A+ si et seulement sia ≤ y. Donc, A+ a un plus petit élément : a.

Exemple :• On se place sur R muni de l’ordre usuel. On a sup[0, 1] = 1, sup[0, 1[= 1. R+ n’a

pas de borne supérieure.• On se place dans RR muni de l’ordre usuel. Soientt f, g ∈ RR, et A = f, g.

L’ensemble A n’a pas, en général, de plus grand élément (prendre par exemplef(x) = sinx et g(x) = cosx). En revanche, A a une borne supérieure. C’est lafonction h définie par h(x) = max(f(x), g(x)) pour tout réel x. Cette fonction estnotée sup(f, g).

Remarque 6.4 : Soit A une partie de l’ensemble R. Supposons que A possède une bornesupérieure. Alors :

• A est évidemment majorée puisque, par définition de la borne sup, l’ensemble desmajorants de A possède un plus petit élément (et donc, possède un élément !).• A est non vide. En effet, tout réel majore l’ensemble vide, et R n’a pas de plus petit

élément.Ainsi, si A possède une borne supérieure, alors A est non vide et majorée. Ce qui est toutà fait remarquable dans le cas des réels, c’est que la réciproque est vraie.

Exemple : On se place dans Q. Soit A = x ∈ Q∗+, x2 ≤ 2. Montrer que A est non videet majoré, mais que A ne possède pas de borne supérieure. L’ensemble A est clairementnon vide puisque 1 ∈ A. De même, pour tout x ∈ A, on a x2 ≤ 2 ≤ 22 donc x ≤ 2et A est majoré. Supposons que A possède une borne supérieure α. Nous allons montrerque α2 = 2, ce qui est impossible car il n’existe pas de rationnel dont le carré vaut 2.Tout d’abord, supposons α2 < 2. Soit h un rationnel tel que 0 < h < 2−α2

2α+1 . On a alors(α + h)2 = α2 + h(2α + h) < α2 + h(2α + 1) < 2. Mais alors, on a que α + h ∈ A, ce quin’est pas possible puisque α majore A. Donc, α2 ≥ 2. Supposons maintenant que α2 > 2.Soit h un rationnel 0 < h < α2−2

2α . On a alors (α − h)2 = α2 − 2αh + h2 > α2 − 2αh >α2 − (α2 − 2) = 2. Mais on aurait alors pour tout x ∈ A, x2 ≤ 2 ≤ α− h, donc x ≤ α− h.Ceci n’est pas possible : α− h ne majore pas A puisque α est le plus petit majorant de A.

Remarque 6.5 : Dans tout ce qui suit, on ne parlera que de borne sup. Il existeévidemment des propriétés identiques pour la borne inférieure, que l’on obtient par exempleen passant à l’opposé.


II.2 Le Théorème fondamental

Théorème 6.8 : Il existe un corps K totalement ordonné contenant Q, et tel que toutepartie non vide et majorée de K possède une borne supérieure. Un tel corps est unique àisomorphisme près.

On choisit un tel corps, et on l’appelle R. Lequel ? Cela n’a pas d’importance, puisquetous ces corps sont isomorphes.

Remarque 6.6 : Reprenons l’exemple du paragraphe précédent, mais dans R au lieude Q. Soit donc A = x ∈ R+, x

2 ≤ 2. A est non vide et majorée, donc A possède uneborne supérieure α. La même démonstration que ci-dessus nous prouve que α2 = 2. Nousavons donc prouvé l’existence d’un réel α > 0 tel que α2 = 2. Si l’on remplace 2 par unréel t > 0 quelconque une démonstration identique nous dira que tout réel positif possèdeune racine carrée positive.

Exercice : Montrer l’unicité de la racine positive d’un réel positif.

II.3 La droite réelle achevée

Pour simplifier certaines discussions dans le cours, on rajoute ici à R deux éléments,notés +∞ et −∞, pour fabriquer ce que l’on appelle la droite réelle achevée, notée R.Onva voir que toute partie de R posséde une borne supérieure. En contrepartie, les opérationsne sont plus que partiellement définies.

Définition 6.5 : On appelle droite numérique achevée l’ensemble R = R ∪ −∞,+∞où −∞ et +∞ sont deux objets sans signification.

On étend ensuite les opérations et l’ordre sur R à R.

Définition 6.6 : On étend l’ordre de R à R en posant, pour tout réel x, −∞ < x < +∞.

Définition 6.7 : On étend partiellement l’addition de R à R par le tableau suivant :

+ −∞ y ∈ R +∞−∞ −∞ −∞ N.D.

x ∈ R −∞ x+ y +∞+∞ N.D. +∞ +∞

Définition 6.8 : On étend partiellement la multiplication de R à R par le tableausuivant :

× −∞ y ∈ R∗− 0 y ∈ R∗+ +∞−∞ +∞ +∞ N.D. −∞ −∞

x ∈ R∗− +∞ xy 0 xy −∞0 N.D. 0 0 0 N.D.

x ∈ R∗+ −∞ xyy 0 xy +∞+∞ −∞ −∞ N.D. +∞ +∞


Remarque 6.7 : On peut également convenir que l’inverse des infinis est 0. En revanchel’inverse de 0 pose problème d’un point de vue algébrique à cause d’une ambiguité de signe.

Proposition 6.9 : Toute partie de R possède une borne supérieure.

Démonstration : Soit A ⊂ R. Si A = ∅, alors supA = −∞. Sinon, on considèredifférents cas :

Si +∞ ∈ A, alors A possède un plus grand élément, qui est aussi sa borne supérieure :+∞.

Si A = −∞, alors supA = −∞.Sinon A \ −∞ est une partie non vide de R. Si cette partie est majorée dans R elle

possède une borne supérieure réelle. Sinon, supA = +∞.

Les cas intéressants pour nous sont ceux où A est une partie non vide de R : Si Aest majorée, alors A possède une borne supérieure réelle. Si A n’est pas majorée, alorssupA = +∞.

Remarque 6.8 : Soit A une partie non vide de R. Soit a ∈ A. Alors, les majorants deA sont plus grands que a, les minorants de A sont plus petits que a, et donc

inf A ≤ supA

II.4 Propriété d’Archimède

Proposition 6.10 : Soient a et b deux réels positifs, avec b 6= 0. Il existe alors un entiernaturel n tel que nb > a.

Démonstration : On suppose le contraire. L’ensemble E = nb, n ∈ N est alors unepartie de R, non vide, et majorée par a. Elle possède une borne supérieure M . Mais alors,M − b n’est pas un majorant de E. On peut donc trouver un entier n tel que nb > M − b.D’où (n+ 1)B > M ce qui contredit le fait que M majore E.

Corollaire 6.11 : Soient a et b deux réels, b > 0. Il existe un unique entier relatif ntel que

nb ≤ a < (n+ 1)b

Démonstration : On suppose d’abord a ≥ 0. Soit E l’ensemble des entiers naturels ntels que nb > a. C’est une partie de N, non vide d’après la proposition précédente. Donc Ea un plus petit élément m. L’entier n = m−1 répond à la question. Supposons maintenanta < 0. Alors, −a > 0 et il existe donc un entier n tel que nb ≤ −a < (n + 1)b. Si a 6= nb,l’entier −n−1 répond à la question. Sinon, l’entier −n répond à la question. Pour l’unicité,on suppose que deux entiers m et n conviennent. On a nb ≤ a < (m+ 1)b d’où n < m+ 1et donc n ≤ m. De même m ≤ n et donc m = n.

Une application importante de ce théorème est obtenue avec b = 1.


II.5 Partie entière, Approximations décimales

Définition 6.9 : Soit a ∈ R. On appelle partie entière de a l’unique entier relatif n telque n ≤ a < n+ 1. On note E(a) ou bac la partie entière de a.

Remarque 6.9 : La partie entière de a est caractérisée par bac ∈ Z et bac ≤ a < bac+1.

Remarque 6.10 : On peut de la même façon définir le plafond de a, le plus petit entiersupérieur ou égal à a. Il est caractérisé par dae ∈ Z et dae < a ≤ dae+ 1.

Proposition 6.12 : Soit a un nombre réel. Il existe un unique entier relatif p tel que

p

10n≤ a < p

10n+

1

10n

Démonstration : On a b10nac ≤ 10na < b10nac+ 1. En posant p = E(10na), on a lerésultat.

Définition 6.10 : Soit a un nombre réel et n ∈ N. On appelle valeur approchée de a à10−n près par défaut tout réel x tel que x ≤ a ≤ x+ 10−n.

On définit de même une valeur approchée de a à 10−n près par excès comme tout réelx tel que x− 10−n ≤ a ≤ x.

Si on réinterprète le le résultat de la proposition précédente en termes de valeurs ap-prochées, on obtient donc

Proposition 6.13 : Le rationnel b10nac10n est une valeur approchée de a à 10−n près par

défaut. Le rationnel b10nac10n + 1

10n est une valeur approchée de a à 10−n près par excès.

Exemple :3.14 est une valeur approchée de π à 10−2 près par défaut.1.415 est une valeur approchée de

√2 à 10−3 près par excès.

II.6 Densité des rationnels et des irrationnels

Proposition 6.14 : Soient x et y deux réels distincts. Entre x et y, il y a au moins unrationnel et un irrationnel.

Remarque 6.11 : Il y en a donc une infinité.

Démonstration : Supposons par exemple x < y. Soit ε > 0. D’après la propriétéd’Archimède, il existe un entier q tel que q > 1

ε , ou encore 0 < 1q < ε.

Prenons alors ε = y − x. Toujours d’après Archimède, il existe un entier p tel que(p − 1)1

q ≤ x < p1q . La première inégalité s’écrit aussi p1

q ≤ x + 1q < x + ε < y. Donc

x < pq < y et il y a bien un rationnel entre x et y.Pour l’irrationnel, il n’y a qu’à utiliser 1

q√

2à la place de 1

q .

Remarque 6.12 : Cette propriété peut s’écrire de bien des manières. Par exemple :


• Pour tout réel x, pour tout ε > 0, il existe q ∈ Q tel que |x− q| ≤ ε.• Tout réel est la limite d’une suite de rationnels.

Et encore bien d’autres façons . . .

III Intervalles

III.1 Notion d’intervalle

On distingue diverses familles d’intervalles de R :• Les intervalles bornés, qui peuvent être de 4 sortes : [a, b], [a, b[, ]a, b], ou ]a, b[, où a

et b sont deux réels. L’ensemble vide est donc a priori un intervalle. Les singletonsaussi. Un cas important est celui des intervalles de la forme [a, b], appelés aussisegments.• Les intervalles non bornés, qui peuvent être de 5 types : ]−∞, b], ]−∞, b[, ]a,+∞[,

[a,+∞[ et ]−∞,+∞[= R.Parmi les intervalles, certains sont ouverts, d’autres sont fermés. Précisément, ∅ et R

sont à la fois ouverts et fermés. À part ces deux cas bizarres, sont ouverts les intervalles dutype ]a, b[, ]−∞, b[, ]a,+∞[. Sont fermés les intervalles du type [a, b], ]−∞, b], [a,+∞[.

III.2 Parties convexes

Définition 6.11 : Soit A une partie de R. On dit que A est convexe lorsque pour touséléments x et y de A, avec x ≤ y, le segment [x, y] est inclus dans A.

Proposition 6.15 : Soit A une partie de R. Alors A est convexe si et seulement si Aest un intervalle.

Démonstration : Il est évident que tout intervalle est convexe (10 cas). Inversement,soit A une partie convexe de R. Si A est vide, c’est bien un intervalle. Supposons donc Anon vide. Prenons par exemple le cas où A est minorée et pas majorée. Alors A possèdeune borne inférieure, que l’on va noter a. On va prouver que A = |a,+∞[, ouvert ou ferméen a.

Montrons que ]a,+∞[⊂ A : soit z > a. z n’est donc pas un minorant de A, et il existex ∈ A tel que x < z. z n’est pas non plus majorant de A, vu que A n’est pas majorée.Donc, il existe y ∈ A tel que z < y. Mais A est convexe, donc [x, y] ⊂ A et on a bien z ∈ A.

Montrons que A ⊂ [a,+∞[ : a minore A, donc pour tout z de A, on a a ≤ z. D’où lerésultat.

IV. EXERCICES 83

IV Exercices

1. Soient a et b deux réels positifs tels que a ≥ b. Simplifier√a+ 2

√a− b

√b +√

a− 2√a− b

√b.

2. Montrer :

(a) ∀a, b ≥ 0,√a+ b ≤

√a+√b

(b) ∀a, b ∈ R,√|a− b| ≥ |

√|a| −

√|b||

3. Soient A et B deux parties non vides et bornées de R telles que B ⊂ A. Comparerles quantités supA, supB, inf A, inf B.

4. Soient A et B deux parties non vides et majorées de R. Soit A + B = x + y, x ∈A, y ∈ B. Prouver que A + B admet une borne supérieure, et que sup(A + B) =supA+ supB.

5. Soit A une partie de R non vide et bornée. Soit B = |x− y|, x ∈ A, y ∈ A.(a) Montrer que B est non vide et bornée.(b) Montrer que supB = supA− inf A.(c) Montrer que B admet un plus petit élément, et que minB = 0.

6. Soit E = p2n , p ∈ Z, n ∈ N. Montrer que E est dense dans R.7. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a

√n+ 1 −

√n < 1

2√n<

√n−√n− 1. En déduire la partie entière de 1

2

(∑10000k=1

1√k

)8. Montrer que

(a) ∀x, y ∈ R, |x|+ |y| ≤ |x+ y|+ |x− y|.(b) ∀x, y ∈ R, 1 + |xy − 1| ≤ (1 + |x− 1|)(1 + |y − 1|).

9. Soit A = 1n + (−1)n, n ∈ N∗. Calculer, s’ils existent, inf A et supA.

10. Soit x ∈ R. Calculer bxc+ b−xc.

11. Soient x un nombre réel et n un entier naturel non nul. Démontrer que⌊bnxcn

⌋= bxc.

12. Soient x et y deux réels. Comparer bx− yc et bxc − byc.13. Pour x réel on appelle arrondi de x le réel α(x) = bx + 1

2c. On pose égalementδ(x) = |x− α(x)|.(a) Tracer le graphe de la fonction α.(b) Prouver que la fonction δ est 1-périodique. Tracer son graphe.(c) Tracer le graphe de la fonction x 7→ δ(x) + 1

2δ(2x) + 14δ(4x).

(d) Si vous avez un ordinateur sous la main, tracez le graphe de la fonction ϕn :

x 7→∑n

k=0δ(2kx)

2kpour des valeurs de n de plus en plus grandes.

14. Déterminer les applications f : R → R vérifiant |f(x) − f(y)| = |x − y| pour tousréels x et y.


15. Soit f : R+ → R définie par f(x) = x1+x . Soit g : R→ R définie par g(x) = f(|x|).

(a) Montrer que f est croissante.

(b) Soient x, y ∈ R tels que |x+ y| ≤ |x|. Vérifier que g(x+ y) ≤ g(x).

(c) Soient x, y ∈ R tels que |x+ y| ≤ |y|. Vérifier que g(x+ y) ≤ g(y).

(d) Soient x, y ∈ R tels que |x + y| > |x| et |x + y| > |y|. Montrer que g(x + y) ≤g(x) + g(y).

(e) Montrer que pour tous réels x et y, g(x+ y) ≤ g(x) + g(y).

16. Soit f : [0, 1]→ [0, 1] croissante. Soit A = x ∈ [0, 1], x ≤ f(x).(a) Montrer que A admet une borne supérieure a.

(b) Montrer que f(a) majore A.

(c) En déduire que f(a) ∈ A.(d) Prouver que f(a) = a.

17. Soient A et B deux parties non vides de R telles que ∀a ∈ A,∀b ∈ B, a ≤ b. Montrerque supA et inf B existent, et supA ≤ inf B.

18. Soient a1, a2, . . . , an n nombres réels tels que∑n

k=1 ak =∑n

k=1 a2k = n. Calculer∑n

k=1(ak − 1)2 et en déduire que pour tout k entre 1 et n on a ak = 1.

19. Soient a1, a2, . . . , an n nombres réels et b1, b2, . . . , bn n nombres réels strictementpositifs. Montrer que min(a1b1 ,

a2b2, . . . , anbn ) ≤ a1+a2+...+an

b1+b2+...+bn.

20. Soit n ∈ N∗. Soit x ∈ R. Montrer que∑n−1

k=0bx+ knc = bnxc.

21. Soit A une partie non vide de R. On suppose que A ⊂ [a, b] où 0 < a < b. SoitB = xy , x ∈ A, y ∈ A. Prouver l’existence de inf B et supB et calculer ces deuxréels.

Chapitre 7Fonctions

85

86 CHAPITRE 7. FONCTIONS

I Fonctions à valeurs réelles

Dans cette section, l’ensemble X désigne un ensemble quelconque. On s’intéresse auxpropriétés algébriques de l’ensemble RX des fonctions de X vers R. Deux cas sont parti-culièrement intéressants : celui où X est un intervalle de R (c’est ce qui se passe dans lecours d’Analyse) et celui où X = N (ou une partie de N) dans le cours sur les suites àvaleurs réelles.

I.1 Fonctions à valeurs réelles

On dispose sur RX des opérations suivantes :• L’addition, définie par (f + g)(x) = f(x) + g(x).• La multiplication, définie par (fg)(x) = f(x)g(x).• Le produit par un nombre réel, défini par (λf)(x) = λf(x).

Proposition 7.1 : L’ensemble RX , muni des opérations ci-dessus est un espace vectorielet un anneau commutatif (on dit aussi une algèbre).

Démonstration : Aucune difficulté. L’élément neutre pour l’addition est la fonctionnulle. L’élément neutre pour la multiplication est la fonction constante égale à 1.

Remarque 7.1 : Une fonction est inversible pour la multiplication si et seulement sielle ne s’annule pas. Or, pour un ensemble X ayant au moins deux éléments, il existe desfonctions X → R différentes de la fonction nulle, et qui pourtant s’annulent. L’anneau RXn’est donc pas un corps.

Définition 7.1 : Pour f, g ∈ RX , on dit que f ≤ g lorsque

∀x ∈ X, f(x) ≤ g(x)

Proposition 7.2 : Cette relation est une relation d’ordre partiel.

Démonstration : Laissé en exercice. Pour l’ordre partiel, prendre par exemple la fonc-tion x 7→ x et x 7→ −x. Aucune de ces fonctions n’est plus petite que l’autre.

Définition 7.2 : Pour f, g ∈ RX , on appelle sup(f, g) la fonction définie par

sup(f, g)(x) = max(f(x), g(x))

On définit de même inf(f, g).

Remarque 7.2 : On a sup(f, g) = f+g2 + |f−g2 | et inf(f, g) = f+g

2 − |f−g

2 |.

Exemple : On pose f+ = sup(f, 0) et f− = − inf(f, 0). Alors, f+ et f− sont positives,et on a f = f+ − f− et |f | = f+ + f−.

I. FONCTIONS À VALEURS RÉELLES 87

I.2 Fonctions bornées

Définition 7.3 : Soit f : X → R. On dit que f est• majorée lorsqu’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ X, f(x) ≤M .• minorée lorsqu’il existe m ∈ R tel que ∀x ∈ X, f(x) ≥ m.• bornée lorsqu’elle est majorée et minorée, ce qui peut s’écrire :

∃M ∈ R, ∀x ∈ X, |f(x)| ≤M

Proposition 7.3 : L’ensemble des fonctions bornées sur X est une algèbre.

Démonstration : Laissé en exercice.

I.3 Fonctions monotones

Dans cette section, on suppose que X est une partie de R.

Définition 7.4 : Soit f : X → R. On dit que• f est croissante lorsque ∀x, y ∈ X,x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y).• f est strictement croissante lorsque ∀x, y ∈ X,x < y ⇒ f(x) < f(y).On définit de même (strictement) décroissante. Enfin, f est (strictement) monotone

lorsqu’elle est croissante OU décroissante (strictement).

Remarque 7.3 : La somme de deux fonctions croissantes est croissante. On ne peut enrevanche rien dire de la différence de deux fonctions croissantes.

Proposition 7.4 : La composée de deux fonctions monotones est monotone. Le sensde monotonie obéit à la règle des signes.

Démonstration : Laissé en exercice.

Exemple : La fonction x 7→ exp(

2x+13x−4

)est monotone sur tout intervalle ne contenant

pas 43 .

I.4 Extrema

Définition 7.5 : Soit f : I → R. Soit a ∈ I. On dit que f admet un maximum (global)en a lorsque ∀x ∈ I, f(x) ≤ a. On définit de même la notion de minimum.

Définition 7.6 : Soit f : I → R. Soit a ∈ I. On dit que f admet un maximum localen a lorsque il existe un réel δ > 0 tel que ∀x ∈ I, |x − a| ≤ δ ⇒ f(x) ≤ a. On définit demême la notion de minimum local.

Remarque 7.4 : Si une fonction admet un extremum global en un point, c’est aussi bienentendu un extremum local. La réciproque est fausse, bien entendu aussi. Nous verrons plustard des conditions d’existence d’extrema locaux ou globaux, liées à la nature de l’intervalleI (segment) et à la régularité de f (continuité, dérivabilité).


I.5 Parité, périodicité

Définition 7.7 : Soit f : X → R, où X est une partie de R symétrique par rapport à0.

• On dit que f est paire lorsque

∀x ∈ X, f(−x) = f(x)

• On dit que f est impaire lorsque

∀x ∈ X, f(−x) = −f(x)

Proposition 7.5 : Les ensembles P(X,R) et I(X,R) des fonctions paires et des fonc-tions impaires sont des espaces vectoriels. De plus, toute fonction X → R s’écrit de façonunique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Démonstration : La structure d’espace vectoriel est évidente. Soit f : X → R. Sup-posons que f = g + h où g est paire et h est impaire. On a pour tout x ∈ X les deuxégalités f(x) = g(x) + h(x) et f(−x) = g(x) − h(x). On en déduit g(x) = f(x)+f(−x)

2 eth(x) = f(x)−f(−x)

2 , d’où l’unicité. Inversement, on vérifient que ces deux fonctions sont bienrespectivement paire et impaire, et que leur somme est f , d’où l’existence.

Exemple : On a ex = coshx+ sinhx où coshx = ex+e−x

2 et sinhx = ex−e−x2 . Ces deux

fonctions sont les fonctions cosinus et sinus hyperboliques. Nous les étudierons dans unchapitre ultérieur.

Définition 7.8 : Soit f : X → R. Soit T ∈ R. On dit que T est une période de florsque

• ∀x ∈ X,x+ T ∈ X.• ∀x ∈ X, f(x+ T ) = f(x).

La fonction f est dite périodique si elle admet au moins une période non nulle.

Proposition 7.6 : Soit f : X → R. L’ensemble T (f) est un groupe pour la loi +.

Démonstration : Il est clair que 0 est une période de f . Donc T (f) 6= ∅. Soit T unepériode de f . On a pour tout x ∈ X f(x − T ) = f(x − T + T ) = f(x). Donc −T estune période de f . Enfin, si T1 et T2 sont deux périodes de f , on a pour tout x ∈ Xf(x+ T1 + T2) = f(x+ T1) = f(x) donc T1 + T2 est une période de f . Ainsi, T (f) est unsous-groupe de R.

Remarque 7.5 : On peut montrer que si G est un sous-groupe de R, alors on est dansun (et un seul) des trois cas ci-dessous :

• G = 0.• G possède un plus petit élément strictement positif : dans ce cas, il existe un réelα > 0 tel que G = αZ.• G ne possède pas de plus petit élément strictement positif : G est alors dense dansR.

II. DÉRIVATION 89

Ceci signifie qu’il existe deux types de fonctions périodiques :• Les fonctions dont le groupe des périodes est dense dans R. Ce sont des fonctions

très compliquées.• Les fonctions dont le groupe des périodes est de la forme T0Z avec T0 > 0. On

peut montrer que c’est par exemple le cas lorsque la fonction est continue en aumoins 1 point. C’est le cas simple, la fonction possède alors une plus petite périodestrictement positive que l’on appelle SA période.

Proposition 7.7 : Soit T un réel. L’ensemble des fonctions T -périodiques sur l’ensembleX est une algèbre.

Démonstration : exercice

II Dérivation

II.1 Notion de dérivée

Nous faisons pour l’instant une présentation rapide. Nous reviendrons plus en détailsur la notion de dérivée dans un chapitre ultérieur. Soit f : I → R, où I est un intervalle.Soit a ∈ I. On dit que f est dérivable en a lorsque la quantité f(x)−f(a)

x−a a une limite ena lorsque x tend vers a. Cette limite, notée f ′(a) peut alors être interprétée comme lapente de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a. On obtient ainsi une équationcartésienne de cette tangente :

(T ) y − f(a) = f ′(a)(x− a)

On généralise sans difficulté la notion de dérivée à des fonctions f : I → C, en prenantla même définition. On montre alors qu’une telle fonction est dérivable si et seulement sisa partie réelle et sa partie imaginaire le sont.

II.2 Opérations sur les dérivées

Nous admettons dans ce paragraphe un certain nombre de théorèmes sur les fonctionsdérivables.

Proposition 7.8 : Soit I un intervalle de R. Soient f, g : I → R ou C deux fonctionsdérivables. Soit λ ∈ R.

— La fonction λf est dérivable sur I et (λf)′ = λf ′.— La fonction f + g est dérivable sur I et (f + g)′ = f ′ + g′.— La fonction fg est dérivable sur I et (fg)′ = f ′g + fg′.— Si g ne s’annule pas, 1

g est dérivable sur I et (1g )′ = − g′

g2.

Proposition 7.9 : Soient I et J deux intervalles de R. Soient f : I → J et g : J → Rou C deux fonctions dérivables. Alors, g f est dérivable sur I et (g f)′ = f ′ × g′ f .

Un cas important pour les fonctions à valeurs complexes, non couvert par le théorèmeprécédent, est le suivant :


Proposition 7.10 : Soit f : I → C dérivable. Soit g = exp f . Alors, g est dérivablesur I et ∀x ∈ I, g′(x) = f ′(x) exp(f(x)).

II.3 Monotonie

Proposition 7.11 : Soit I un intervalle de R. Soit f : I → R une fonction dérivable.La fonction f est

— croissante sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 sur I.— constante sur I si et seulement si f ′ = 0 sur I.— décroissante sur I si et seulement si f ′ ≤ 0 sur I.

Proposition 7.12 : Soit I un intervalle de R. Soit f : I → R une fonction dérivable.La fonction f est strictement croissante sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 sur I, et l’ensembledes points où f ′ s’annule ne contient aucun intervalle non réduit à un point.

Remarque 7.6 : C’est par exemple le cas lorsque f ′ s’annule en un nombre fini depoints, mais pas seulement.

II.4 Réciproque d’une fonction dérivable

Proposition 7.13 : Soient I et J deux intervalles de R. Soit f : I → J une bijectiondérivable telle que f ′ ne s’annule pas. Alors, f−1 : J → I est dérivable, et (f−1)′ = 1

f ′f−1 .

Remarque 7.7 : Tentons une interprétation géoétrique de la formule ci-dessus. Legraphe de f−1 est obtenue à partir du graphe de f par une symétrie par rapport à la droited’équation y = x. Soit a ∈ I, soit b = f(a) ∈ J . La formule nous dit que (f−1)′(b) = 1

f ′(a) .Par ailleurs, f ′(a) = tanα où α est l’angle entre l’axe Ox et la tangente au graphe de f aupoint (a, b). De même, (f−1)′(b) = tanβ où β est l’angle entre l’axe Ox et la tangente augraphe de f−1 au point (a, b). La formule nous dit que tanβ = 1

tanα = tan(π2 − α). C’està dire que β = π

2 − α. Logique, la symétrie par rapport à la droite y = x change un angleθ en l’angle π

2 − θ.

III Logarithmes et exponentielles

III.1 Logarithme népérien

Définition 7.9 : La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive surR∗+ de x 7→ 1

x qui s’annule en 1. Elle est donc définie sur R∗+ par

lnx =

∫ x

1

dt

t

III. LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 91

Proposition 7.14 : La fonction logarithme vérifie :

∀x, y ∈ R∗+, ln(xy) = lnx+ ln y

Démonstration : Pour y > 0 fixé, la fonction f : x 7→ ln(xy) est dérivable sur R∗+ etsa dérivée vaut f ′(x) = 1

x . La fonction x 7→ f(x)− lnx est donc constante. Or celle-ci vautln y en x = 1.

Remarque 7.8 : On en déduit pour x, y > 0 et n ∈ Z :— ln x

y = lnx− ln y— lnxn = n lnx

Proposition 7.15 : La fonction logarithme est une bijection strictement croissante de]0,+∞[ sur R, vérifiant

limx→+∞

lnx = +∞ et limx→0

lnx = −∞

Démonstration : Sa dérivée est strictement positive, d’où la croissance stricte. Delà, ln 2 > ln 1 = 0. Donc, ln(2n) = n ln 2 → +∞ lorsque n → +∞. Donc, la fonctionlogarithme n’est pas majorée, et tend vers +∞ en +∞. On en déduit que lnx = − ln 1

x →−∞ lorsque x→ 0.

Remarque 7.9 : Le logarithme népérien est un isomorphisme du groupe (R∗+,×) sur legroupe (R,+).

III.2 Exponentielle

Définition 7.10 : La fonction exponentielle, notée exp est la fonction réciproque dela fonction logarithme népérien. C’est une bijection strictement croissante de R sur R∗+vérifiant

limx→+∞

expx = +∞ et limx→−∞

expx = 0

Elle est de classe C∞ sur R et égale à sa dérivée.

Remarque 7.10 : En tant que réciproque d’un isomorphisme, l’exponentielle est unisomorphisme du groupe R sur le groupe R∗+.

Démonstration : On a exp = ln−1. D’où la monotonie stricte, la continuité, les limites.De plus, ln est C∞ et ln′ > 0 sur R∗+ donc exp ∈ C∞(R). Enfin, pour tout x réel, exp′(x) =

1ln′(expx)

= expx.

Proposition 7.16 : On a pour x, y ∈ R et n ∈ Z :— exp 0 = 1— exp(x+ y) = expx exp y— exp(x− y) = expx

exp y


— exp(nx) = (expx)n

Démonstration : L’exponentielle est un morphisme de groupes.

Définition 7.11 : On note e = exp 1 l’unique réel tel que ln e = 1.

III.3 Logarithmes et exponentielles en base quelconque

Définition 7.12 : Soit a > 0, a 6= 1. On appelle logarithme de base a l’applicationloga : R∗+ → R définie par

loga x =lnx

ln a

Exemple :— Pour a = 10, on a le logarithme décimal, noté simplement log.— Pour a = e, on retrouve le logarithme népérien.— Pour a = 2, on a le logarithme binaire, encore noté lg.

Les propriétés du logarithme de base a sont tout à fait similaires à celles du logarithmenépérien. Ces fonctions ne diffèrent que d’une constante multiplicative 1

ln a .

Définition 7.13 : Soi a > 0, a 6= 1. La fonction logarithme de base a est une bijectionde R∗+ sur R. Sa réciproque est donc une bijection de R sur R∗+. On l’appelle exponentiellede base a, et on la note (provisoirement) expa.

Les propriétés de l’exponentielle de base a sont identiques à celles de l’exponentielle.

Proposition 7.17 : Soit a > 0, a 6= 1. On a pour tout réel x

expa x = exp(x ln a)

Démonstration : On a loga(exp(x ln a)) = ln(exp(x ln a))ln a = x.

Donc expa(x) = exp(x ln a).

Remarque 7.11 : On a pour tout entier naturel n (récurrence) expa n = an. Par passageà l’inverse, c’est encore vrai pour tout entier relatif n. On étend la notation à tout réel xen posant

ax = exp(x ln a)

Ainsi, ex = expx. Dorénavant, nous n’utiliserons plus la notation « exp », sauf lors-qu’elle s’avère plus pratique.

III.4 Représentations graphiques

.

IV. PUISSANCES 93

(a) Exponentielles (b) Logarithmes

Figure 7.1 – Exponentielles et logarithmes

IV Puissances

IV.1 Définition

Définition 7.14 : On appelle fonction puissance toute fonction φa : R∗+ → R, x 7→ xa

avec a ∈ R.

Remarque 7.12 : Il convient ici de faire une remarque sur l’ensemble de définition desfonctions puissance. Pour a réel quelconque, cet ensemble de définition est R∗+, puisque,par définition, xa = ea lnx. Maintenant, si a est un entier naturel, xa = x×x . . .×x n fois.et la fonction x 7→ xa est définie sur R. Si a est un entier négatif, cette même fonction estdéfinie sur R∗. Nous verrons un peu plus bas que si a est l’inverse d’un entier impair, lafonction est encore définie sur R. Bref, pour un a quelconque, les fonctions puissances sontdéfinies sur R∗+, mais leur ensemble de définition peut être plus gros pour certaines valeursde a.

Proposition 7.18 : Pour a, b réels et x, y > 0 on a :

xaya = (xy)a xaxb = xa+b (xa)b = xab

1a = 1 x0 = 1 lnxa = a lnx

Démonstration : (xy)a = exp(a ln(xy)) = exp(a(lnx + ln y)) qui se développe enexp(a lnx) exp(a ln y) = xaya. Même démonstration pour toutes les égalités.


Figure 7.2 – Puissances

IV.2 Représentations graphiques

IV.3 variations

On a ddxx

a = axa−1. On en déduit les variations de φa, les limites en 0 et à l’infini, etla courbe représentative.

Remarque 7.13 : Si a > 0, la fonction x 7→ xa tend vers 0 lorsque x → 0. Elle estdonc prolongeable par continuité en 0 en posant 0a = 0. Attention, cependant : on n’aévidemment pas 0a = exp(a ln 0) ! Quand ce prolongement est-il dérivable en 0 ? Formonsdes taux d’accroissement : xa−0

x−0 = xa−1 a une liite en 0 si et seulement si a ≥ 1. Poura = 1, la dérivée en 0 vaut 1. Pour a > 1, cette dérivée est nulle.

Remarque 7.14 : On rappelle que pour tout réel x, on a x0 = 1. L’élévation à lapuissance 0 ne pose AUCUN problème. Ce qui est problématique, c’est le calcul de limitesde puissances dont l’exposant TEND vers 0 (et pas dont l’exposant VAUT zéro).

IV.4 Racines

Soit n un entier naturel non nul. La fonction R+ → R+ définie par x 7→ xn est unebijection de R+ sur R+. Sa réciproque est appelée fonction racine nème. On note n

√x

l’image du réel x ≥ 0 par cette application. Si n est un entier naturel impair la fonctionx 7→ xn est une bijection R→ R ce qui permet de définir une fonction racine nème sur R.

— Pour n > 0 et x > 0, on a ( n√x)n

= x, donc n√x = x

1n . Ainsi, pour x > 0,

d

dxn√x =

d

dxx

1n =

1

nx

1n−1 =

1

nn√xn−1

— Lorsue n est impair et x < 0 la formule de dérivation ci-dessus reste encore valable.

V. FONCTIONS CIRCULAIRES 95

IV.5 Comparaison des logarithmes, puissances et exponentielles

Proposition 7.19 : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on a :

limx→+∞

(lnx)b

xa= 0 et lim

x→0xa(lnx)b = 0

Démonstration : On montre d’abord que lnxx → 0 lorsque x tend vers l’infini. Pour

t ≥ 1, on a√t ≤ t, donc, pour x ≥ 1 :

0 ≤ lnx =

∫ x

1

dt

t≤∫ x

1

dt√t

= 2√x− 2 ≤ 2

√x

Ainsi, 0 ≤ lnxx ≤

2√x. Dans le cas général, on a

(lnx)b

xa=

(b

a

)b( ln(xa/b)

xa/b

)b

En remplaçant x par 1x on a le résultat lorsque x tend vers 0.

Proposition 7.20 : Si a et b sont deux réels strictement positifs, on a

limx→+∞

exp(ax)

xb= +∞ et lim

x→−∞|x|b exp(ax) = 0

Remarque 7.15 : Si a, b < 0, un passage à l’inverse donne les limites demandées. Si aet b sont de signes contraires, il n’y a aucune indétermination.

V Fonctions circulaires

V.1 Fonctions cosinus, sinus et tangente

Nous rappelons ici les principaux résultats sur les fonctions trigonométriques : Lesfonctions sin et cos sont de classe C∞ sur R, et de période 2π. La fonction sinus est impairesa dérivée est cos. La fonction cosinus est paire, sa dérivée est sin. Nous n’énumérerons pasles différentes symétries de ces fonctions : sin(π−x) = sinx, sin(π+x) = − sinx, etc. Ellesse retrouvent facilement à l’aide du cercle trigonométriques.Les formules suivantes sont àconnaître


sin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin bsin(a− b) = sin a cos b− cos a sin bcos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin bcos(a− b) = cos a cos b+ sin a sin bsin 2x = 2 sinx cosxcos 2x = cos2 x− sin2 x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 xsin a cos b = 1

2(sin(a+ b) + sin(a− b))cos a cos b = 1

2(cos(a+ b) + cos(a− b))sin a sin b = −1

2(cos(a+ b)− cos(a− b))sin p− sin q = 2 sin p−q

2 cos p+q2

cos p− cos q = −2 sin p−q2 sin p+q

2

La fonction tangente est quant à elle définie par tanx = sinxcosx . Elle est impaire, π-périodique.

Son ensemble de définition est D = R \ π2 + kπ, k ∈ Z. Elle est de classe C∞ sur sonensemble de définition. On a ∀x ∈ D, tan′ x = 1 + tan2 x = 1

cos2 x. On a

tan(a+ b) = tan a+tan b1−tan a tan b

tan(a− b) = tan a−tan b1+tan a tan b

tan 2x = 2 tanx1−tan2 x

tan(π2 + x) = − 1tanx

tan(π2 − x) = 1tanx

Exercice : Pour quelles valeurs de a, b, x ces formules sont-elles vraies ?

Proposition 7.21 : Soit x ∈ R \ π + 2kπ, k ∈ Z, Soit t = tan x2 . On a

cosx = 1−t21+t2

sinx = 2t1+t2

tanx = 2t1−t2

V.2 Fonctions Arc sinus et Arc cosinus

Proposition 7.22 : La fonction f : x 7→ sinx est une bijection continue et strictementcroissante de [−π

2 ,π2 ] sur [−1, 1]

Définition 7.15 : La réciproque de f est appelée le fonction Arc sinus. On la notearcsin.

Remarque 7.16 : arcsin n’est PAS la réciproque de sin, mais de l’application que nousavons appelée f . Pour x ∈ [−1, 1], arcsinx est l’unique élément de [−π

2 ,π2 ] dont le sinus

vaut x. Par exemple, arcsin 0 = 0 puisque sin 0 = 0. Autre exemple, arcsin 1 = π2 puisque

sin π2 = 1.

V. FONCTIONS CIRCULAIRES 97

(a) Sinus et cosinus (b) Tangente

Figure 7.3 – Sinus, cosinus, tangente

Proposition 7.23 : La fonction arcsin est une bijection continue strictement croissanteet continue de [−1, 1] sur [−π

2 ,π2 ]. Elle est impaire, puisque réciproque d’une fonction im-

paire.

Remarque 7.17 : On a pour tout x ∈ [−1, 1], sin(arcsinx) = x. En revanche, la relationarcsin(sinx) = x n’est valable que pour x ∈ [−π

2 ,π2 ]. À titre d’exercice, tracer le graphe de

la fonction f : R → Rx 7→ arcsin(sinx)

.

Proposition 7.24 : La fonction g : x 7→ cosx est une bijection continue et strictementdécroissante de [0, π] sur [−1, 1]

Définition 7.16 : La réciproque de g est appelée le fonction Arc cosinus. On la notearccos.

Remarque 7.18 : arccos n’est PAS la réciproque de cos, mais de l’application que nousavons appelée g. Pour x ∈ [−1, 1], arccosx est l’unique élément de [0, π] dont le cosinusvaut x. Par exemple, arccos 0 = π

2 puisque cos π2 = 0. Autre exemple, arccos 1 = 0 puisquecos 0 = 1.

Proposition 7.25 : La fonction arccos est une bijection continue strictement décrois-sante de [−1, 1] sur [0, π]. Elle n’est ni paire, ni impaire.

Remarque 7.19 : On a pour tout x ∈ [−1, 1], cos(arccosx) = x. En revanche, la relationarccos(cosx) = x n’est valable que pour x ∈ [0, π]. À titre d’exercice, tracer le graphe dela fonction f : R → R

x 7→ arccos(cosx).

Exercice :

1. Simplifier cos(arcsinx) où x ∈ [−1, 1].

2. Faire de même avec sin(arccosx).


3. Montrer la relation arcsinx + arccosx = π2 pour x ∈ [−1, 1]. On pose pour cela

y = π2 − arcsinx et on prouve que y ∈ [0, π] et cos y = x.

Proposition 7.26 : Les fonctions Arc sinus et Arc cosinus sont de classe C∞ sur ]−1, 1[et

∀x ∈]− 1, 1[, arcsin′ x =1√

1− x2

∀x ∈]− 1, 1[, arccos′ x = − 1√1− x2

Remarque 7.20 : Ces fonctions ne sont pas dérivables en ±1, puisque les dérivéesde leurs réciproques au point correspondant sont nulles. On a en ces points une tangenteverticale.

Représentations graphiques

(a) Arc sinus (b) Arc cosinus

Figure 7.4 – Fonctions circulaires inverses

V.3 Fonction Arc tangente

Proposition 7.27 : La fonction h : x 7→ tanx est une bijection continue strictementcroissante de ]− π

2 ,π2 [ sur R

Définition 7.17 : La réciproque de h est appelée le fonction Arc tangente. On la notearctan.

Remarque 7.21 : arctan n’est PAS la réciproque de tan, mais de l’application que nousavons appelée h. Pour x ∈ R, arctanx est l’unique élément de ] − π

2 ,π2 [ dont la tangente

VI. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 99

vaut x. Par exemple, arctan 0 = 0 puisque tan 0 = 0. Autre exemple, arctan 1 = π4 puisque

tan π4 = 1.

Proposition 7.28 : La fonction arctan est une bijection continue strictement croissantede R sur ]− π

2 ,π2 [. Elle est impaire, puisque réciproque d’une fonction impaire.

Remarque 7.22 : On a pour tout x ∈ R, tan(arctanx) = x. En revanche, la relationarctan(tanx) = x n’est valable que pour x ∈] − π

2 ,π2 [. À titre d’exercice, tracer le graphe

de la fonction f : R → Rx 7→ arctan(tanx)

.

Proposition 7.29 : La fonction Arc tangente est de classe C∞ sur R, et :

∀x ∈ R, arctan′ x =1

x2 + 1

Remarque 7.23 : Pour x ∈ R∗, posons f(x) = arctanx + arctan 1x . La fonction f

est dérivable sur les intervalles R∗+ et R∗−, et sa dérivée y est nulle (le vérifier). Elle y estdonc constante. De plus, f(1) = π

2 et f(−1) = −π2 . On en déduit que ∀x > 0, arctanx +

arctan 1x = π

2 et ∀x < 0, arctanx+ arctan 1x = −π

2 .

Représentation graphique

Figure 7.5 – Arc tangente

VI Fonctions hyperboliques

VI.1 Fonctions cosinus et sinus hyperbolique

Définition 7.18 : On définit les fonctions sinus et cosinus hyperbolique pour tout x réelpar :

sinhx =ex − e−x

2et coshx =

ex + e−x

2


Proposition 7.30 : La fonction sinh est impaire, la fonction cosh est paire. Ces deuxfonctions sont de classe C∞ sur R et on a pour tout x ∈ R :

sinh′ x = coshx et cosh′ x = sinhx

VI.2 Trigonométrie hyperbolique

Proposition 7.31 : Les formules ci-dessous sont vraies pour tous réels x, a, b :

ex = sinhx+ coshxcosh2 x− sinh2 x = 1sinh(a+ b) = sinh a cosh b+ cosh a sinh bsinh(a− b) = sinh a cosh b− cosh a sinh bcosh(a+ b) = cosh a cosh b+ sinh a sinh bcosh(a− b) = cosh a cosh b− sinh a sinh bsinh 2x = 2 sinhx coshxcosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x = 2 cosh2 x− 1 = 1 + 2 sinh2 x

Remarque 7.24 : La formule cosh2 t − sinh2 t = 1 permet de paramétrer l’hyperbolex2

a2− y2

b2= 1 par x = ±a cosh t, y = b sinh t.

VI.3 Fonction tangente hyperbolique

Définition 7.19 : La fonction tangente hyperbolique, notée tanh, est définie sur R par

tanhx =sinhx

coshx=e2x − 1

e2x + 1=ex − e−x

ex + e−x

Proposition 7.32 : La fonction tanh est impaire, de classe C∞ sur R, et :

∀x ∈ R, tanh′ x =1

cosh2 x= 1− tanh2 x

Représentation graphique

VI.4 Fonctions hyperboliques réciproques

Définition 7.20 : La fonction « sinus hyperbolique » est continue et strictement crois-sante sur R. elle définit une bijection de R sur R dont la réciproque est appelée Argumentsinus hyperbolique et notée argsh .

La fonction argsh est ainsi une bijection continue, strictement croissante, et impaire,de R sur R.

VI. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 101

(a) Sinus et cosinus hyperboliques (b) Tangente hyperbolique

Figure 7.6 – Fonctions hyperboliques

Définition 7.21 : La fonction cosinus hyperbolique est continue et strictement crois-sante sur R+. elle définit une bijection de R+ sur [1,+∞[ dont la réciproque est appeléeArgument cosinus hyperbolique et notée argch .

La fonction argch est ainsi une bijection continue, strictement croissante, de [1,+∞[sur R+.

Proposition 7.33 :— La fonction argsh est dérivable sur R, et

∀x ∈ R, argsh ′x =1√

1 + x2

— La fonction argch est dérivable sur [1,+∞[, et

∀x > 1, argch ′x =1√

x2 − 1

Démonstration : Faisons-le pour argsh . On a pour tout réel x,argsh ′x = 1

sinh′(argshx)= 1

cosh(argshx) = 1√1+sinh2(argshx)

= 1√1+x2

.

Définition 7.22 : La fonction tangente hyperbolique est continue et strictement crois-sante sur R. elle définit une bijection de R sur ] − 1, 1[ dont la réciproque est appeléeArgument tangente hyperbolique et notée argth .

La fonction argth est ainsi une bijection continue, strictement croissante, de ] − 1, 1[sur R.

Proposition 7.34 : La fonction argth est dérivable sur R, et

∀x ∈ R, argth ′x =1

1− x2


(a) Arguments sinus et cosinus hyper-boliques (b) Argument tangente hyperbolique

Figure 7.7 – Fonctions hyperboliques inverses

Représentations graphiques

Expression à l’aide logarithmes

Proposition 7.35 : On a :— ∀x ∈ R, argshx = ln(x+

√x2 + 1).

— ∀x ∈ [1,+∞[, argchx = ln(x+√x2 − 1).

— ∀x ∈]− 1, 1[, argthx = 12 ln

(1+x1−x

).

Démonstration : Faisons-le pour l’argument sinus hyperbolique. Soient x, t ∈ R. Ona sinh t = x si et seulement si et − e−t = 2x ou encore T 2 − 2xT − 1 = 0, où l’on a poséT = et. T > 0, et l’unique racine strictement positive de l’équation en T est x+

√x2 + 1.

On en tire t = argshx = ln(x+√x2 + 1).

VII. EXERCICES 103

VII Exercices

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f . Cette fonction est-elle paire ?Impaire ?(a) f(x) =

√1− 2x+ 3 arcsin 3x−1

2

(b) f(x) = x2x13 + 2 sinx

(c) f(x) = 2x + 2−x

(d) f(x) = ln x+3x−3

(e) f(x) = 1xex

(f) f(x) = x−2cos(2x)

(g) f(x) = 2x2+3x−√x2−4

(h) f(x) =√

x2−x −

√sinx

2. Calculer la dérivée de la fonction f(a) f(x) = ln tan x

2

(b) f(x) = ln(x+√x2 + 1)

(c) f(x) = arcsin 2x2

x4+1

(d) f(x) = ex arctan ex − ln√

1 + e2x

(e) f(x) = sinxcos2 x

+ ln 1+sinxcosx

3. Soient m,n ∈ R, α, β ∈ R∗+. On pose f(x) = −m√−x2 + 2αx+ β + (mα +

n) arcsin x−α√α2+β

. Quel est l’ensemble de définition de f ? Où la fonction f est-elle

dérivable ? Calculer la dérivée de f .4. Résoudre :

x, y > 0,

2 logx y + 2 logy x = −5

xy = e

5. Résoudre : x ∈ R, ln |x+ 1| − ln |2x+ 1| ≤ ln 2.

6. Trouver la limite lorsque x→ +∞, de (xx)x

xxx.

7. Résoudre : x ∈ R∗+, x√x = (

√x)x.

8. Calculer

Arccos(cos2π

3), Arccos(cos

−2π

3), Arcsin(sin

13π

2), Arctan(tan

3π

4)

9. Calculer tan(Arcsinx), sin(Arccosx), cos(Arctanx). On précisera à chaque fois lesvaleurs du réel x pour lesquelles les expressions ont un sens.

10. Simplifier :(a) ch(lnx)+sh(lnx)

x où x 6= 0.


(b) sh2 x cos2 y + ch2 x sin2 y où x ∈ R.11. Résoudre : x ∈ R, chx = 3.

12. Montrer que le réel Arctan(ex) − Arctan(th x2 ) ne dépend pas de x. Calculer sa

valeur.

13. Pour quelles valeurs des réels x et y les expressions xln(ln x)ln x et logx(logx x

xy) ont-ellesun sens ? Simplifier les expressions en question.

14. Soient a et b deux réels et n un entier naturel. Calculer∑n

k=0 ch(a+ kb).

15. Déterminer les limites en +∞ des fonctions suivantes :

(a) abx

baxoù 1 < a < b.

(b) aax

xxaoù a > 1.

16. Pour chacune des expressions ci-dessous : dire pour quelles valeurs du réel x l’ex-pression a un sens, et simplifier l’expression.

(a) Argsh x2−12x

(b) Argch(2x2 − 1)

(c) Argth√

chx−1chx+1

17. Résoudre :

x, y ∈ R,

Argshx = 2 Argsh y3 lnx = 2 ln y

18. Tracer le graphe de la fonction x 7→ Arccos cosx+ Arcsin sinx.

Chapitre 8Primitives et Équations différentielles

105

106 CHAPITRE 8. PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

I Calculs de primitives

I.1 Notion de primitive

Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C.

Définition 8.1 : Soit f : I → K une fonction définie sur un intervalle I. Soit F : I → K.On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I, et F ′ = f .

Exemple : Soit α ∈ C\−1. Une primitive de x 7→ xα sur R∗+ (ou plus selon les valeursde α) est x 7→ xα+1

α+1 . Une primitive sur R∗+ de x 7→ 1x est x 7→ lnx.

Nous admettons le théorème suivant. Il sera démontré dans le chapitre d’intégration.

Proposition 8.1 : Soit f : I → K une fonction continue. La fonction f admet desprimitives sur I. Si F0 est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sontles fonctions F = F0 + c où c ∈ K.

Notation : Soit f : I → K continue. Soit F : I → K une primitive de f sur I. Pourtous a, b ∈ I, on note

∫ ba f(x) dx = F (b)− F (a), ou plus simplement

∫ ba f .

Remarque 8.1 : Nous verrons plus tard que ceci est plus qu’une notation, mais il faudrad’abord avoir étudié la notion d’intégrale.

I.2 Primitives usuelles

Le tableau ci-dessous résume les primitives à connaître. On trouve dans la premièrecolonne la fonction à primitiver. Dans la deuxième colonne sont indiqués le ou les inter-valles (les plus grands possibles) où la fonction possède des primitives. La dernière colonnecontient l’expression d’une primitive de la fonction, valable sur tous les intervalles citésdans la colonne précédente. Pour avoir toutes les primitives, il convient bien entendu derajouter des constantes.

I. CALCULS DE PRIMITIVES 107

Fonction f Intervalle(s) I Primitive∫f(x)dx sur I

eαx(α ∈ C∗) R 1αe

αx

coshαx(α ∈ R∗) R 1α sinhαx

sinhαx R 1α coshαx

cosαx R 1α sinαx

sinαx R − 1α cosαx

xα(α ∈ C \ −1) R∗+(au moins) xα+1

α+11x R∗+ ou R∗− ln |x|ln |x| R∗+ ou R∗− x ln |x| − x

1cosh2 x

= 1− tanh2 x R tanhx1

sinh2 x= coth2 x− 1 R∗+ ou R∗− − cothx

1cos2 x

= 1 + tan2 x ]− π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z tanx

1sin2 x

= 1 + cot2 x ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z − cotx

tanx ]− π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z − ln | cosx|

cotx ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z ln | sinx|tanhx R ln(coshx)cothx R∗+ ou R∗− ln | sinhx|

1coshx R 2 arctan ex

1sinhx R∗+ ou R∗− ln

∣∣tanh x2

∣∣1

cosx ]− π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z ln

∣∣tan(x2 + π

4

)∣∣1

sinx ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z ln∣∣tan x

2

∣∣1

x2+a2(a ∈ R∗) R 1

a arctan xa

1a2−x2 (a ∈ R∗) R \ −|a|, |a| 1

2a ln∣∣∣x+ax−a

∣∣∣1√

a2−x2 (a ∈ R∗) ]− |a|, |a|[ arcsin x|a|

1√x2+h

(h ∈ R∗) tout intervalle où x2 + h 6= 0 ln∣∣∣x+

√x2 + h

∣∣∣I.3 Intégration par parties

Définition 8.2 : Soit f : I → K. On dit que f est de classe C1 sur I lorsque f estdérivable sur I et que sa dérivée, f ′, est elle-même une fonction continue sur I. On noteC1(I) l’ensemble des fonctions de classe C1 sur I.

Proposition 8.2 : Soient f, g ∈ C1(I). Soient a, b ∈ I. On a∫ b

af ′g = f(b)g(b)− f(a)g(a)−

∫ b

afg′

ce que l’on note plus simplement ∫ b

af ′g = fg|ba −

∫ b

afg′


Démonstration : La fonction fg est une primitive sur I de la fonction (fg)′, continuesur I. On a donc

∫ ba (fg)′ = fg|ba. Mais

∫ ba (fg)′ =

∫ ba (f ′g + fg′) =

∫ ba f′g +

∫ ba fg

′.

Exemple : Pour tout n ∈ N, notons In(x) =∫ x

0 tne−t dt. Soit n ≥ 1. On intègre

par parties en posant f(t) = tn et g′(t) = e−t. Il vient In(x) = −tne−t|x0 + nIn−1(x) =−e−x + nIn−1(x).

Exercice : Calculer In(x) sous forme d’une somme puis trouver la limite de In(x)lorsque x tend vers +∞.

I.4 Changement de variable

Proposition 8.3 : Soit ϕ : I → R une fonction de classe C1. Soit f une fonctioncontinue sur ϕ(I) à valeurs réelles ou complexes. Soient a, b ∈ I. On a∫ ϕ(b)

ϕ(a)f(x) dx =

∫ b

af(ϕ(t))ϕ′(t) dt

Démonstration : Soit F une primitive de f sur l’intervalle (voir cours sur les fonctionscontinues) ϕ(I). Une telle primitive existe car f est continue. On a

∫ ba f(ϕ(t))ϕ′(t) dt =∫ b

a F′(ϕ(t))ϕ′(t) dt =

∫ ba (F ϕ)′(t) dt = F ϕ|ba. Mais cette dernière quantité est aussi

F |ϕ(b)ϕ(a) =

∫ ϕ(b)ϕ(a) f(x) dx.

II Notion d’équation différentielle

II.1 C’est quoi ?

Une équation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction, définie surun intervalle I de R, à valeurs dans R ou C, et régulière (dérivable un certain nombrede fois). L’équation différentielle nous donne l’existence d’une relation entre la fonctioninconnue, la variable (x), et les dérivées de la fonction jusqu’à un certain ordre (ce que l’onappelle l’ordre de l’équation différentielle).

Une équation différentielle est donc quelque chose du genre :

(E)F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0

Résoudre (E), c’est trouver tous les intervalles I et toutes les fonctions φ : I → R ouC, n fois dérivables sur I, telles que

∀x ∈ I, F (x, φ(x), φ′(x), φ′′(x), . . . , φ(n)(x)) = 0

On ne sait pas en général résoudre les équations différentielles. Dans certains cas, il existedes théorèmes permettant d’affirmer l’existence de solutions, voire leur unicité lorsquel’on impose des conditions initiales . Nous nous intéresserons dans les sections suivantesuniquement à des équations d’un type très particulier, dites linéaires .

III. ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE 109

II.2 Exemple

Considérons l’équation (E) y′ = y. Soit f : R → R dérivable. Écrivons f(x) = exg(x).La fonction g est elle aussi dérivable. f est solution de E sur R si et seulement si pourtout réel x on a f ′(x) = exg(x) + exg′(x) = exg(x), c’est à dire si et seulement si g′ = 0c’est à dire g est constante. Les solutions de E sur R sont donc les multiples de la fonctionexponentielle.

II.3 Exemple

Considérons l’équation (E) y′ = 2√y. Cherchons les solutions de E sur R. Soit f déri-

vable sur R. Si f est solution de E , alors f ≥ 0 (à cause de la racine), et f ′ ≥ 0 (à causede la racine) donc f est croissante. Si f s’annule en un réel a, alors, puisque f est positiveet croissante, f est nulle sur ] −∞, a]. Et si f est non nulle en un réel a, alors f > 0 sur[a,+∞[ (croissance). Soit E = x ∈ R, f(x) = 0. Les remarques précédentes montrent qules seules possibilités pour E sont (1)∅, les intervalles (2)] −∞, a[ ou (3)] −∞, a] avec aréel, et (4)R.

Le cas 2 est à exclure, car si f(x) = 0 pour tout x < a, alors, par continuité de f ,f(a) = 0. Le cas 4 est évident : la fonction nulle est solution de E . Regardons les cas 1 et3 : sur I = R ou ]a,+∞, f ne s’annule pas, et f ′ = 2

√f , ou encore (

√f)′ = 1. Il existe

donc un réel b tel que pour tout x ∈ I, f(x) = (x− b)2. Mais cette fonction n’est croissanteet non nulle que sur ]b,+∞[. On voit donc que le cas 1 est aussi à exclure, et que b ≤ a.Mieux, f est nulle à gauche de a, et dérivable en a, donc f ′(a) = 0. Mais f ′d(a) = 2(a− b),donc b = a. Finalement, f(x) = 0 si x ≤ a et f(x) = (x − a)2 si x ≥ a. Inversement, onvérifie que ces fonctions sont bien solutions de E .

III Équations linéaires du premier ordre

III.1 Équation homogène

Proposition 8.4 : Soit a : I → R ou C une fonction continue. Les solutions sur I del’équation différentielle (H) y′ + a(x)y = 0 sont les fonctions φ : x 7→ k exp(−A(x)) où Aest une primitive sur I de a et k ∈ R ou C.

Démonstration : Soit φ0 : x 7→ exp(−A(x)). La fonction φ0 est dérivable sur I, et on apour tout x ∈ I, φ′0(x) = −A′(x)φ0(x) = −a(x)φ0(x). La fonction φ0 est solution de (H).Soit maintenant une fonction φ dérivable sur I. On écrit φ = gφ0, où g est dérivable sur I.Alors φ est solution de (H) si et seulement si φ′+aφ = 0, c’est à dire g′φ0 +gφ′0 +aφ0 = 0.Mais φ0 étant solution de (H), ceci équivaut à g′φ0 = 0, ou encore g′ = 0 puisque φ0 nes’annule pas. En d’autres termes, g est constante.

Corollaire 8.5 : L’ensemble SH des solutions de (H) sur I est une droite vectorielle,engendrée par φ0.


Exercice : Résoudre l’équadif (x + 1)y′ − xy + 1 = 0 sur ] −∞,−1[, ] − 1,+∞[, puissur R.

III.2 Équation avec second membre

Proposition 8.6 : Soient a, b : I → R ou C deux fonctions continues. Les solutions sur Ide l’équation différentielle (E) y′+a(x)y = b(x) sont les fonctions φ : x 7→ k exp(−A(x))+φ1(x) où A est une primitive sur I de a,k ∈ R ou C et φ1 est une primitive sur I dex 7→ b(x) expA(x)

Démonstration : Supposons trouvée une solution φ1 de (E). Alors, pour toute fonctionφ, φ est solution de (E) si et seulement si φ−φ1 est solution de (H). Il suffit donc de trouverUNE solution de (E) pour avoir TOUTES les solutions de (H)

Cherchons une solution de (E) de la forme φ1(x) = g(x)φ0(x). Un calcul analogue àcelui fait pour l’équation homogène conduit à g′(x)φ0(x) = b(x). Il suffit donc de prendrepour g une primitive de x 7→ b(x) expA(x).

Corollaire 8.7 : L’ensemble SE des solutions de (E) sur I est une droite affine dontla direction est la droite vectorielle SH

Exercice : Résoudre l’équadif (x− 1)y′ + (x− 2)y = x(x− 1)2 sur ]−∞, 1[, ]1,+∞[,puis sur R.

III.3 Une équation fonctionnelle

Proposition 8.8 : Les applications f : R→ C dérivables vérifant

∀t, u ∈ R, f(t+ u) = f(t)f(u)

sont les applications x 7→ keλx où k, λ ∈ C.

Démonstration : Soit f une telle application. On a alors f ′(t + u) = f ′(t)f(u). Enparticulier, on a f ′(t) = f(0)f(t), ou encore f ′ = λf en posant λ = f(0). On en déduitque f(x) = keλx avec k ∈ C. Inversement, une telle application convient.

Proposition 8.9 : Les applications f : R∗+ → R dérivables vérifant

∀t, u ∈ R∗+, f(tu) = f(t) + f(u)

sont les applications x 7→ k lnx où k, λ ∈ C.

Démonstration : Soit f une telle application. Posons g(x) = f(ex). On a alors g(x) +g(y) = f(ex) + f(ey) = f(exey) = f(ex+y) = g(x + y). On en déduit que g(x) = kx aveck ∈ C et donc f(x) = k lnx Inversement, une telle application convient.

IV. RÉSOLUTION APPROCHÉE 111

III.4 Le problème de Cauchy

On reprend les notations du paragraphe précédent.On s’intéresse ici à la résolution de l’équation (E) avec conditions initiales.

Proposition 8.10 : Soit x0 ∈ I et y0 ∈ R ou C. Il existe une unique solution φ del’équation (E) telle que φ(x0) = y0.

Démonstration : C’est immédiat : on a l’expression générale de φ.

IV Résolution approchée

On donne ici sans justification une méthode permettant d’obtenir une valeur approchéed’une solution φ de l’équation différentielle (E)y′ = F (x, y), avec condition initiale : laméthode d’Euler.

On se fixe un réel δ > 0 supposé « petit ». On pose xn = x0 + nδ, et yn = φ(xn) pourtout entier n tel que xn ∈ I.

On part de φ(x0) = y0. Le réel δ étant supposé « petit », on a

φ(x0 + h)− φ(x0)

δ≈ φ′(x0) = F (x0, φ(x0)

ou encore φ(x0 + δ) ≈ φ(x0) + δF (x0, y0). Finalement :

y1 ≈ y0 + δF (x0, y0)

L’erreur commise est liée à l’identification entre le taux d’accroissement avec la dérivée !Rien n’empêche de poursuivre avec l’approximation obtenue et d’itérer le procédé. On

a doncyn+1 ≈ yn + δF (xn, yn)

Prenons par exemple l’équation y′ = y avec x0 = 0 et y0 = 1, c’est à dire F (x, y) = y.La solution φ est l’équation est bien sûr φ(x) = ex. La relation de récurrence devientyn+1 = yn + δyn = (1 + δ)yn, c’est à dire que yn = (1 + δ)n. Particularisons encore, enposant h = 1/N . On a alors

xN = 1, yN =

(1 +

1

N

)NLa « vraie »valeur de yN est bien sûr e1 = e. On peut montrer (on le fera ! !) que(

1 + 1N

)N tend vers e lorsque N tend vers l’infini : si l’on diminue la taille du pas de laméthode, on obtient a priori une meilleure approcimation des solutions.

V Équations du second ordre

On ne s’intéresse qu’à des équations à coefficients constants.


V.1 Équation homogène

Soient a, b, c trois nombres complexes, a 6= 0.On considère dans ce paragraphe l’équation différentielle

(H)ay′′ + by′ + cy = 0

Nous noterons C l’équation caractéristique de (H) :

(C)aX2 + bX + c = 0

et ∆ = b2 − 4ac le discriminant de cette équation.

Proposition 8.11 :— Si ∆ 6= 0, les solutions de (H) sont les fonctions x 7→ λ1 expα1x + λ2 expα2x où

λ1 et λ2 sont des nombres complexes, et α1 et α2 sont les racines de (C).— Si ∆ = 0, les solutions de (H) sont les fonctions x 7→ (λ1x + λ2) expαx où λ1 et

λ2 sont des nombres complexes, et α est l’unique racine de (C).

Démonstration : Soit µ ∈ C. f : x 7→ eµx. f est solution de H si et seulement si µ estune racine de l’équation caractéristique. Soit maintenant φ : R→ C deux fois dérivable surR.on pose φ(x) = g(x)eαx où α est une racine de (C). La fonction φ est solution de H si etseulement si aφ′′+ bφ′+ cφ = 0, ou encore ag′′+ (2aα+ b)g′+ (aα2 + bα+ c)g = 0. Mais αest racine de C, donc g convient si et seulement si ah′+ (2aα+ b)h = 0 où h = g′. Ceci estune équation linéaire d’ordre 1 en h. Il s’agit maintenant de distinguer deux cas. Premièrepossibilité, 2aα+b 6= 0, c’est à dire que le discriminant de l’équation caractéristique est nonnul. On obtient h(x) = k exp(λx) où k ∈ C et λ = −2aα+b

a . De là, g(x) = K exp(λx) +K ′

avec K,K ′ ∈ C et φ(x) = K exp((λ+α)x) +K ′ exp(αx). Mais λ+α = β, où β est l’autreracine de l’équation caractéristique. Ainsi, les solutions de H sont les fonctions de la formeφ(x) = K exp(αx) +K ′ exp(βx). Deuxième cas, 2aα+ b = 0. On obtient g(x) = Kx+K ′,d’où φ(x) = (Kx+K ′) exp(αx).

Corollaire 8.12 : L’ensemble SH des solutions de (H) est un plan vectoriel, engendrépar

— Si ∆ 6= 0 : x 7→ eα1x et x 7→ eα2x.— Si ∆ = 0 : x 7→ eαx et x 7→ xeαx.

Exercice : Résoudre les équations différentielles y′′+y = 0, y′′−y = 0 et y′′−2y′+y = 0.

V.2 Le cas réel

On suppose ici que a, b, c ∈ R et on cherche les solutions réelles de l’équation H.Il y a maintenant trois cas, selon que le discriminant de l’équation caractéristique est> 0, nul ou < 0. Les deux premiers cas donnent les mêmes solutions que dans le cascomplexes (prendre évidemment K et K ′ réels). Traitons le cas où ∆ < 0. Les racines del’équation caractéristique sont λ ± iω où λ ∈ R, ω ∈ R∗. Soit φ(x) = K exp((λ + iω)x) +K ′ exp((λ − iω)x). Cette fonction est à valeurs réelles si et seulement si, pour tout réel

V. ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE 113

x, φ(x) = φ(x), c’est à dire K exp((λ + iω)x) + K ′ exp((λ − iω)x) = K exp((λ − iω)x) +K ′ exp((λ + iω)x) ou encore K exp(iωx) + K ′ exp(−iωx) = K exp(−iωx) + K ′ exp(iωx).La famille (x 7→ exp(−iωx), x 7→ exp(iωx)) est libre dans le C-espace vectoriel CR, donc,une telle fonction convient si et seulement si K ′ = K. Les solutions réelles de H sont lesfonctions φ(x) = eλx((p+ iq)eiωx + (p− iq)e−iωx) = eλx(2p cosωx− 2q sinωx), ou encoreφ(x) = eλx(A cosωx+B sinωx) avec A,B ∈ R.

V.3 Équation avec second membre

On s’intéresse ici à l’équation

(E)ay′′ + by′ + cy = g(x)

où g est une fonction continue

Proposition 8.13 : On suppose connue une solution φ0 de (E). Alors une fonction φest solution de (E) si et seulement si φ− φ0 est solution de (H).

Corollaire 8.14 : L’ensemble SE des solutions de (E), s’il est non vide, est un planaffine dont la direction est SH.

Il reste évidemment à trouver UNE solution de E . Nous allons nous concentrer sur uncas particulier : on considère un second membre de la forme

g(x) = Aeαx

où A et α sont deux nombres complexes, A 6= 0.

Proposition 8.15 : Il existe une solution de (E) de la forme Q(x)eαx, où Q est unpolynôme. Plus précisément :

— Si α n’est pas racine de l’équation caractéristique, alors degQ = 0.— Si α est racine de l’équation caractéristique, et que l’équation caractéristique a deux

racines distinctes, alors degQ = 1.— Si α est racine de l’équation caractéristique, et que l’équation caractéristique a une

racine double, alors degQ = 2.

Démonstration : Soit φ(x) = Q(x)eαx. La fonction φ est solution de (E) si et seulementsi

aQ′′ + (2aα+ b)Q′ + (aα2 + bα+ c)Q = A

Si α n’est pas racine de l’équation caractéristique, le degré du premier membre est celuide Q. Ainsi, si une solution existe, on doit avoir doQ = 0. Si α est racine de l’équationcaractéristique, l’équation devient aQ′′ + (2aα+ b)Q′ = A. Encore deux cas. Si l’équationcaractéristique a deux racines distinctes, alors 1aα+ b 6= 0 et on doit donc avoir doQ = 1.Sinon, l’équation devient aQ′′ = A, et Q est alors évident : on prend une primitive d’uneprimitive de A

aX2. Regardons quelques exemples.

Remarque 8.2 : Soient (E1) et (E2) les équations différentielles

(E1)ay′′ + by′ + cy = g1(x)


(E2)ay′′ + by′ + cy = g2(x)

Si f1 est solution de (E1) et f2 est solution de (E2), alors f1 + f2 est solution de :

(E)ay′′ + by′ + cy = g1(x) + g2(x)

On peut donc résoudre toute une classe d’équations différentielles, puisque, par exemple,un sinus ou un cosinus sont des combinaisons d’exponentielles.

Exercice : Résoudre les équations différentielles y′′ + y = ex et y′′ − y = ex.

Exercice : Résoudre l’ équation différentielle y′′ + y = cosx.

V.4 Problème de Cauchy

Proposition 8.16 : Soit l’équation différentielle

(E)ay′′ + by′ + cy = g(x)

où g est continue sur l’intervalle I. On suppose que l’équation (E) a une solution. Soitx0 ∈ I. Soient y0, y1 ∈ C. Il existe une unique solution φ de (E) telle que φ(x0) = y0 etφ′(x0) = y1.

Démonstration : On a φ(x) = λ1φ1(x) + λ2φ2(x) + ψ(x) où (φ1, φ2) est une base del’espace des solutions de (H) (tout dépend du discriminant de l’équation caractéristique), etψ est une solution particulière de (E). L’écriture des conditions initiales fournit le système

λ1φ1(x0) + λ2φ2(x0) + ψ(x0) = y0

λ1φ′1(x0) + λ2φ

′2(x0) + ψ′(x0) = y1

Ce système de deux équations à deux inconnues a pour déterminantD = (φ1φ′2−φ2φ

′1)(x0).

On trouve, si ∆ 6= 0, D = (α2 − α1)e(α1+α2)x 6= 0, et si ∆ = 0, D = e2αx 6= 0. Ce systèmea donc une unique solution.

VI. EXERCICES 115

VI Exercices

1. Calculer les primitives des fonctions f ci-dessous.

(a) f(x) = 1−xx2+x+1

(b) f(x) = sin3 xcos5 x

(c) f(x) = 1cosx

√1−sinx

. Poser t = sinx.

(d) f(x) = 1

1+√

1+xx

. Poser t =√

1+xx

(e) f(x) = 1−√x

1− 3√x . Poser t = 6√x.

(f) f(x) = arctan√

1+x3+x

(g) f(x) = x2√1−x2 arcsinx. Poser t = arcsinx, puis intégrer par parties.

(h) f(x) = sinxcosx+sinx et g(x) = cosx

cosx+sinx . On pourra intégrer f + g et f − g.(i) f(x) = (x3 − x− 1)ex

(j) f(x) = ex sinx

(k) f(x) = ln lnxx

(l) f(x) = x2 arctan(3x)

(m) f(x) = sin lnx

(n) f(x) = arcsin2 x

(o) f(x) = 1√2+3x−2x2

2. Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles où la fonction enfacteur de y′ ne s’annule pas. Résoudre ensuites ces mêmes équations sur l’intervalle« le plus grand possible ».

(a) y′ + 2y = x2 − 2x+ 3.

(b) xy′ lnx− y = − 1x(lnx+ 1).

(c) (1 + x)y′ + y = 1 + ln(1 + x).

(d) y′ + y = 11+ex .

(e) y′ sinx− y cosx+ 1 = 0.

(f) 2xy′ + y = xn (n entier naturel).

(g) (x− 1)y′ + (x− 2)y = x(x− 1)2.

(h) (x+ 1)y′ − xy + 1 = 0.

3. Déterminer les fonctions f : R→ R continues vérifiant

∀x ∈ R f(x) = cosx− x−∫ x

0(x− t)f(t) dt


4. Trouver toutes les fonctions f dérivables sur R vérifiant

∀x ∈ R f ′(x) = f(1− x)

On montrera auparavant que de telles fonctions sont nécessairement deux fois déri-vables.

5. Résoudre sur R les équations linéaires d’ordre 2 ci-dessous.

(a) y′′ + 3y′ + 2y = ex.

(b) y′′ + 3y′ + 2y = e−x.

(c) y′′ − y = coshx.

(d) y′′ + y = x sinx.

6. Soit l’équation différentielle y′′ cosx + y′ sinx − y cos3 x = 0. Montrer qu’il existeune fonction φ telle que, en posant y = z φ, on puisse ramener la résolution decette équation différentielle à celle d’une équation différentielle “en z” à coefficientsconstants. Résoudre sur les intervalles où cosx ne s’annule pas.

7. Soit l’équation différentielle

x2y′′ + xy′ − (x2 + x+ 1)y = 0

Poser y = z e−x

x et résoudre sur R∗+ et sur R∗−. Donner ensuite les solutions sur R.8. Soit l’équation différentielle

(1 + x2)2y′′ + 2x(1 + x2)y′ + y = 0

(a) S’inspirer de l’exercice 5 pour se ramener à une équation différentielle à coeffi-cients constants.

(b) Résoudre sur R.

9. Soit l’équation différentielle (E) ax2y′′ + bxy′ + cy = 0 où a, b, c sont trois réels,a 6= 0.

(a) En posant z(t) = y(et), montrer que y est solution de (E) sur R∗+ si et seulementsi z est solution d’une équation du second ordre à coefficients constants que l’ondéterminera.

(b) Résoudre l’équation x2y′′ − xy′ + y = 0 sur R∗+, sur R∗−, puis sur R.

Chapitre 9Suites réelles

117

118 CHAPITRE 9. SUITES RÉELLES

Une suite à valeurs dans l’ensemble E est une application u : N→ E. Dans ce chapitrenous ne considérerons quasiment que des suites à valeurs dans R ou C. L’image de l’entier npar la suite u et est appelée le nième terme de la suite. La suite u est aussi notée (un)n∈N.On considère parfois des suites « démarrant au rang n0 » c’est à dire des applicationsu : [n0,+∞[→ E.

I Limite d’une suite

I.1 Limite réelle

Définition 9.1 : Soit u une suite réelle. Soit ` ∈ R. On dit que la suite u tend vers `lorsque

∀ε > 0, ∃N ∈ N,∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ |un − `| ≤ ε

Exemple : La suite de terme général un = 3n−1n2+5

tend vers 0. Soit pour cela ε > 0. Alors,|un| ≤ ε dès que 3

n ≤ ε, puisque 3n− 1 ≤ 3n et n2 + 5 ≥ n2. Donc, en posant N = b3εc+ 1,

on a pour tout n ≥ N l’inégalité |un| ≤ ε.

Exercice : Montrer que la suite de terme général un = 2n−13n+5 tend vers 2

3 .

Exemple : Soit q un réel, |q| < 1. Alors, qn tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.Posons en effet 1

|q| = 1 + h, avec h > 0. Alors, 1|q|n = (1 + h)n ≥ 1 + nh. Donc, |qn| ≤ ε dès

que 1|q|n ≥

1ε , ou encore dès que n ≥

1ε−1

h .

Proposition 9.1 : Une suite possède au plus une limite.

Démonstration : Soit u une suite. Supposons que u tend vers le ` et aussi vers `′ 6= `.Soit ε = 1

3 |`′ − `|. Il existe un entier N ′ tel que pour tout n ≥ N ′, |un − `| ≤ ε et

un entier N ′′ tel que pour tout n ≥ N ′′, |un − `′| ≤ ε. Soit N = max(N ′, N ′′). On a|`− `′| ≤ |`− uN |+ |uN − `′| ≤ 2ε ≤ 2

3 |`− `′| d’où 1 ≤ 2

3 , contradiction.

Remarque 9.1 : On dit ainsi que ` est LA limite de la suite u. On note u → `, ouun → ` lorsque n→∞, ou ` = limn→∞ un, ou ` = limu.

Définition 9.2 : Une suite est dite convergente lorsqu’elle a une limite réelle. Sinon,on dit qu’elle est divergente.

Proposition 9.2 : Toute suite convergente est bornée, la réciproque étant fausse.

Démonstration : Supposons que u → ` ∈ R. Il existe un entier N tel que pour toutn, on ait

n ≥ N ⇒ |un − `| ≤ 1

ce qui entraîne |un| ≤ 1 + |`|. On en déduit que, pour TOUT entier n,

|un| ≤ max(|u0|, |u1|, . . . , |uN−1|, 1 + |`|)

I. LIMITE D’UNE SUITE 119

Il est facile de trouver des suites bornées divergentes, comme par exemple la suite ((−1)n)n≥0.

Proposition 9.3 : Le produit d’une suite bornée par une suite qui tend vers 0 est unesuite qui tend vers 0. Si une suite tend vers ` ∈ R, sa valeur absolue tend vers |`|. Unesuite tend vers 0 si et seulement si sa valeur absolue tend vers 0.

Démonstration : Soient u une suite bornée et v une suite qui tend vers 0. Il existedonc un réel M > 0 tel que pour tout entier n, |un| ≤ M . Soit ε > 0. Il existe un entierN tel que pour tout n ≥ N, |vn| ≤ ε/M . Mais alors |unvn| ≤ M ε

M = ε. Supposons que utend vers `. On a pour tout entier n ||un| − |`|| ≤ |un − `| donc |u| tend vers |`|. Enfin,||un| − |0|| = |un − 0| d’où l’équivalence lorsque la suite tend vers 0.

Proposition 9.4 : Soient u et v deux suites. On suppose que v → 0, et que pour toutn assez grand, |un| ≤ vn. Alors u→ 0.

Démonstration : Soit ε > 0. Il existe N tel que pour tout n ≥ N , on ait |vn| ≤ ε.Soit N ′ tel que pour tout n ≥ N ′ on ait |un| ≤ vn. Alors, pour tout n ≥ max(N,N ′), on a|un| ≤ ε. Donc, u tend vers 0.

I.2 Limite infinie

Définition 9.3 : Soit u une suite réelle. On dit que la suite tend vers +∞ lorsque

∀M ∈ R,∃N ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ N ⇒ un ≥M

On définit de même une suite tendant vers −∞.

Exemple : La suite de terme général un = n2+53n−1 tend vers +∞. On remarque pour cela

que un ≥ n2

3n = n/3 donc un ≥M dès que n ≥ 3M .

Exemple : Soit q un réel, q > 1. Alors qn tend vers +∞. Posons en effet q = 1 +h, avech > 0. Alors, qn = (1 + h)n ≥ 1 + nh. Étant donné un réel M , on aura donc qn ≥ M dèsque n ≥ M−1

h .

Proposition 9.5 : Une suite possède au plus une limite, finie ou infinie.

Démonstration : Une suite convergente est bornée, alors qu’une suite qui tend versl’infini ne l’est pas. Une suite ne peut pas tendre à la fois vers l’infini, et vers une limitefinie. Une suite qui tend vers +∞ sera supérieure à 1 pour n assez grand. Une telle suitene peut donc pas tendre vers −∞. Enfin, on a déjà vu qu’une suite ne peut pas tendre versdeux réels distincts.


I.3 Opérations sur les limites

Proposition 9.6 : Soient u et v deux suites réelles. On suppose que un → ` et vn → `′

lorsque n→∞. Soit λ ∈ R. Alors :— u+ v → `+ `′.— uv → ``′.— λu→ λ`.

Démonstration : On a |(un + vn) − (` + `′)| ≤ |un − `| + |vn − `′| ≤ ε dès que|un − `| ≤ ε/2 et |vn − `′| ≤ ε/2, ce qui est le cas pour n assez grand. Plus subtil,|unvn − ``′| = |un(vn − `′) + `′(un − `)| ≤ |un||vn − `′| + |`′||un − `|. La suite u converge,donc |un| est majoré par un réelM > 0. On aura |unvn−``′| ≤ ε dès que |un−`| ≤ ε

2(|`′|+1)

et |vn − `′| ≤ ε2M , ce qui est le cas pour n assez grand. En ce qui concerne le produit par

λ, preuve laissée en exercice.

Remarque 9.2 : Le théorème ci-dessus nous dit que l’ensemble RNc des suites réellesconvergentes est une algèbre, et que l’application u 7→ limu est un morphisme de cettealgèbre vers R.

Proposition 9.7 : Les résultats ci-dessus restent vrais pour des limites infinies, àcondition de ne pas être dans un cas d’indétermination.

Remarque 9.3 : Les indéterminations en question sont ∞−∞ et 0 ×∞. Se reporteraux tableaux des opérations sur la droite réelle achevée.

Proposition 9.8 : Soit u une suite tendant vers ` ∈ R∗+. Alors :— Il existe un réel m > 0 et un entier n0 tels que ∀n ≥ n0, un ≥ m.— 1

u tend vers 1` lorsque n tend vers l’infini.

Démonstration : Faisons la preuve pour ` ∈ R∗+. On applique la définition de limiteavec ε = `

2 : pour tout n assez grand, on a `2 ≤ un ≤ 3 `2 . D’où le premier point en posant

m = `2 . Puis, pour n assez grand, | 1

un− 1

` | =|un−`||un|` ≤

|un−`|m` qui est inférieur à tout ε > 0

pourvu que |un − `| ≤ m`ε.

Proposition 9.9 : Soit u une suite strictement positive tendant vers 0. ALors, 1u tend

vers +∞ lorsque n tend vers l’infini.

Proposition 9.10 : Soit u une suite tendant vers ` ∈ R. Soit f une fonction définieau voisinage de `, et telle que f(x)→ `′ ∈ R lorsque x tend vers `. Alors, f(un) tend vers`′ lorsque n tend vers l’infini.

Nous admettons pour l’instant ce théorème, puisque la notion de limite pour les fonc-tions n’a pas encore été abordée de façon théorique. On l’utilisera sur des cas simples.

Exemple : Si un → −∞, alors eun → 0 puisque la limite de l’exponentielle en −∞ estnulle.

Exemple : Soit (un) la suite définie par récurrence par u0 = 0, et ∀n ≥ 0, un+1 =√1 + un. Supposons que lun converge vers un réel `. Alors,

√1 + un converge vers

√1 + `.

I. LIMITE D’UNE SUITE 121

De plus, un+1 converge aussi vers ` (voir suites extraites). Par unicité de la limite, il vientL =

√1 + `. Comme les un (et donc `) sont des réels positifs, on en déduit que SI la suite

converge, c’est forcément vers 1+√

52 .

I.4 Limites et ordre

Proposition 9.11 : Soient u et v deux suites tendant respectivement vers les réelsachevés ` et `′. On suppose que pour tout entier n assez grand, on a un ≤ vn. ALors,` ≤ `′.

Démonstration : Soit ε > 0. Il existe trois entiers N,N ′, N ′′ tels que ∀n ≥ N, |un−`| ≤ε, ∀n ≥ N ′, |vn − `′| ≤ ε et ∀n ≥ N ′′, un ≤ vn. On a donc pour tout n ≥ max(N,N ′, N ′′),`− ε ≤ un ≤ vn ≤ `′ + ε. Ainsi, ` ≤ `′ + 2ε, ceci pour tout ε > 0. D’où ` ≤ `′.

Ne pas confondre ce résultat (passage à la limite dans une inégalité) avec le suivant(théorème d’encadrement)

Théorème 9.12 : Soient u, v, w trois suites réelles. On suppose que u et w convergentvers une même limite réelle ` et que, de plus, la double inégalité un ≤ vn ≤ wn est vérifiéepour tout n assez grand. Alors, la suite v converge vers `.

Démonstration : On a pour tout n assez grand `− ε ≤ un ≤ vn ≤ wn ≤ `+ ε.

Théorème 9.13 : Soient u, v deux suites réelles. On suppose que u tend vers +∞ etque, de plus, l’inégalité un ≤ vn est vérifiée pour tout n assez grand. Alors, la suite v tendvers +∞.

Démonstration : Soit M ∈ R. On a pour tout n assez grand M ≤ un ≤ vn.

Exemple : Soit un =∑2n

k=11k . On a un+1−un =

∑2n+1

k=2n+11k ≥

12 . Minorer chaque terme

de la somme par 12n+1 et remarquer que cette somme comporte 2n termes. Donc, un ≥ n

2et un tend vers +∞.

I.5 Suites extraites

Définition 9.4 : Soit u une suite. On appelle suite extraite de u toute suite v pourlaquelle pour tout n vn = uφ(n), où φ est une fonction strictement croissante de N vers N.

Proposition 9.14 : Toute suite extraite d’une suite tendant vers ` ∈ R tend égalementvers `.

Démonstration : On montre d’abord par une récurrence triviale sur n que φ(n) ≥ n.Faisons par exemple la preuve pour ` réel. Étant donné ε > 0, il existe N tel que n ≥ N ⇒|un − `| ≤ ε. Mais alors, si n ≥ N , φ(n) ≥ n ≥ N , donc |uφ(n) − `| ≤ ε. Donc, vn → `.

Cette proposition sert essentiellement à montrer qu’une suite est divergente, ou à trou-ver des conditions pour qu’elle converge. Prenons deux exemples.


Exemple : La suite de terme général un = (−1)n n’a pas de limite. En effet, u2n tendvers 1 et u2n+1 tend vers −1.

Exemple : Soit la suite définie par un = cosnx, où x ∈ R et supposons que cette suiteconverge vers un réel `. Alors u2n = 2 cos2 nx − 1 = 2u2

n − 1, extraite de u, tend aussivers `. Mais elle tend aussi vers 2l`2 − 1. Donc, par unicité de la limite, ` = 2l2 − 1, d’où` = 0 ou ` = −1

2 . De la même façon, u3n = 4u3n − 3un donc ` = 4`3 − 3` et donc ` = 0, 1

ou −1. En réunissant les deux, on en déduit que ` = 1. Mais alors, sin2 nx = 1− u2n tend

vers 0. Donc, sinnx tend aussi vers 0. On considère enfin un+1 = cosnx cosx+ sinnx sinxqui tend vers cosx. Mais c’est encore une suite extraite de u, elle tend donc vers 1. Ainsi,cosx = 1 donc x ∈ 2πZ. Bilan : si x n’est pas un multiple de 2π, la suite diverge. Et sinon,la suite est constante égale à 1, donc converge.

Ce résultat possède un certain nombre de « réciproques » utiles. Citons la suivante :

Proposition 9.15 : Soit u une suite réelle. On suppose que les deux suites (u2n)n≥0 et(u2n+1)n≥0 tendent vers une même limite ` lorsque n tend vers l’infini. Alors, la suite utend vers `.

Démonstration : Soit ε > 0. Il existe deux entiers N et N ′ tels que, pour tout n ≥ N ,on ait |u2n − `| ≤ ε et pour tout n ≥ N ′ on ait |u2n+1 − `| ≤ ε. Alors, pour tout n ≥max(2N, 2N ′ + 1), on a |un − `| ≤ ε.

Exemple : Considérons un =∑n

k=1(−1)k+1

k . Posons vn = u2n et wn = u2n+1. On montrealors que ces deux suites sont adjacentes, donc convergent vers une même limite (voir plusloin). Ainsi, la suite u converge. Sa limite est ln 2, mais ceci est une autre histoire !

II Théorèmes d’existence de limites

II.1 Suites monotones

Proposition 9.16 : Une suite u est croissante si et seulement si pour tout entier n,un ≤ un+1.

Démonstration : On rappelle qu’une suite u est croissante si et seulement si pour tousentiers n et n′, l’inégalité n ≤ n′ entraîne un ≤ un′ . Si u est croissante, on a clairementla propriété demandée. Supposons inversement que pour tout entier n, on ait un ≤ un+1.Une récurrence triviale montre que pour tous entiers n et p, on a un ≤ un+p. Mais cecin’est autre que la croissance de u.

Proposition 9.17 : Soit u une suite croissante de réels.— Si u est majorée, alors un converge vers ` = supun, n ≥ 0.— Si u n’est pas majorée, alors un diverge vers +∞.

II. THÉORÈMES D’EXISTENCE DE LIMITES 123

Démonstration : Supposons u majorée. L’ensemble E = un, n ∈ N est une partie deR non vide et majorée, qui possède donc une borne supérieure `. Soit ε > 0. Le réel `− εne majore pas E, il existe donc N tel que uN > `− ε. Mais alors, pour tout n ≥ N , on a` − ε ≤ uN ≤ un ≤ ` ≤ ` + ε, donc |un − `| ≤ ε. Le cas où u n’est pas majorée est laisséen exercice.

II.2 Suites adjacentes

Définition 9.5 : Soient u et v deux suites réelles. On dit qu’elles sont adjacentes lorsque— L’une croît, l’autre décroît.— Leur différence tend vers 0.

Proposition 9.18 : Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

Démonstration : Supposons par exemple que u croît et v décroît. La suite (vn − un)est donc décroissante, et tend vers 0. Donc, vn − un ≥ 0 pour tout n. En conséquence, ona pour tout n un ≤ vn ≤ v0. La suite u est croissante et majorée, donc converge vers unréel `. De même, vn ≥ un ≥ u0, donc v converge vers un réel `′. Comme vn − un tend vers0, on conclut enfin que ` = `′.

Exercice : On pose pour tout entier n ≥ 1, un =∑n

k=11k , et vn =

∑nk=1

1k − lnn. Ces

deux suites sont adjacentes. Leur limite commune, γ ' 0.577215, est appelée la constanted’Euler.

Remarque 9.4 : Étant données deux suites adjacentes u et v, leur limite commune `vérifie

∀n ∈ N, un ≤ ` ≤ vn

On dispose donc d’un ecadrement de la limite. La précision de cet encadrement, εn =vn − un, tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

Proposition 9.19 : théorème des segments emboîtés.Soit (In) une suite de segments emboîtés dont la longueur tend vers 0. Alors, l’inter-

section des In est un singleton.

Démonstration : Posons In = [an, bn]. Les hypothèses du théorème nous disent que(an) croît, (bn) décroît, et bn − an tend vers 0. Les suites a et b sont donc adjacentes, etconvergent vers une même limite `. Posons I = ∩n∈NIn. On a tout d’abord an ≤ ` ≤ bnpour tout n, donc ` ∈ I. Par ailleurs soit x ∈ I. On a alors an ≤ x ≤ bn pour tout n. Onen tire facilement |x− `| ≤ bn − an pour tout n. D’où, en passant à la limite, x = `.

II.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass

Théorème 9.20 : Soit u une suite réelle bornée. Il existe une suite extraite de u quiconverge.


Démonstration : Posons, pour tout n ≥ 0, vn = supk≥n uk. La borne sup existe car uest majorée. De plus, v décroît. Enfin, v est minorée car u l’est. Donc, v converge vers unréel `. Montrons qu’il existe une suite extraite de u qui converge vers `. Soit ε > 0. On aalors pour tout n assez grand vn ≥ ` − ε/2 et il existe donc, pour tout n assez grand, unentier k ≥ n tel que uk ≥ `− ε. D’autre part, pour tout n assez grand vn ≤ `+ ε et donc,pour tout n assez grand, pour tout k ≥ n, uk ≤ ` + ε. On a donc pour tout ε > 0, pourtout n assez grand, l’existence d’un entier kn ≥ n tel que |ukn − `| ≤ ε.

On prend successivement ε = 1, 12 ,

13 , . . . pour construire une suite strictement croissante

d’entiers naturels k1, k2, k3 telle que pour tout i ≥ 1, |uki−`| ≤ 1i . La suite de terme général

uki est extraite de la suite u et converge vers `.

III Suites complexes

III.1 Introduction

Soit (zn) une suite à valeurs complexes. On peut fabriquer à partir de (zn) un certainnombre de suites :

— (Re zn), (Im zn), et (|zn|), qui sont des suites réelles.— (zn), qui est une suite complexes.

Définition 9.6 : La suite (zn) est dite bornée lorsque la suite réelle (|zn|) est bornée.

Proposition 9.21 : Une suite complexe est bornée si et seulement si sa partie réelle etsa partie imaginaire sont bornées.

Démonstration : Ceci résulte des inégalités

|Re z| ≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z| et | Im z| ≤ |z| ≤ |Re z|+ | Im z|

valable pour tout nombre complexe z.

III.2 Limites

La définition de limite dans C reste inchangée pour les suites complexes, le moduleremplaçant la valeur absolue. En revanche, on ne parle pas de limite infinie pour une suitecomplexe.

Proposition 9.22 : Une suite complexe est convergente si et seulement si sa partieréelle et sa partie imaginaire sont convergentes. Plus précisément, si L ∈ C, on a

zn → L⇔ Re zn → ReL et Im zn → ImL

Démonstration : Dans un sens, on a |zn − `| ≤ |Re zn −Re `|+ | Im zn − Im `|. Donc,si partie réelle et partie imaginaire convergent, la suite aussi. Inversement, on a |Re zn −Re `| ≤ |zn− `|, donc si la suite converge il en va de même pour sa partie réelle. Idem pourla partie imaginaire.

IV. RÉCURRENCES LINÉAIRES 125

Restent vrais tous les théorèmes « ayant un sens », c’est à dire ne faisant pas appelà des comparaisons de termes de la suite (il n’y a pas de relation d’ordre dans C !) :opérations sur les limites, théorèmes sur les suites extraites, relations de comparaison,Bolzano-Weierstrass.

Proposition 9.23 : Soit q ∈ C.— Si |q| < 1, la suite (qn) tend vers 0.— Si |q| > 1, la suite (qn) diverge. Plus précisément, |qn| tend vers l’infini.— Si |q| = 1, et q 6= 1 la suite (qn) diverge.

Démonstration : On a déjà vu que |q|n tend vers 0 ou +∞ selon que |q| < 1 ou |q| > 1.Seul le cas |q| = 1 est non trivial. Posons dans ce cas q = eix. On s’intéresse donc à la suiteun = einx, où x n’est pas un multiple de 2π. Supposons un instant que cette suite convergevers ` ∈ C.

Or, un+1 = eixun est une suite extraite de un. En passant à la limite, on obtient que`(1 − eix) = 0. Donc ` = 0. Mais ceci est absurde, puisque |un| = 1 pour tout n et donc,toujours par passage à la limite, |`| = 1.

IV Récurrences linéaires

IV.1 Suites arithmétiques et géométriques

Définition 9.7 : La suite complexe u est dite arithmétique lorsqu’il existe a ∈ C tel que∀n ∈ N, un+1 = a+ un. Le nombre a est appelé la raison de la suite.

Proposition 9.24 : Soit u une suite arithmétique de raison a. On a pour tout entiern, un = an+ u0.

Proposition 9.25 : Soit u une suite arithmétique de raison a. Alors,n∑k=0

uk = (n+ 1)u0 +n(n+ 1)

2a

Définition 9.8 : La suite complexe u est dite géométrique lorsqu’il existe q ∈ C tel que∀n ∈ N, un+1 = qun. Le nombre q est appelé la raison de la suite.

Proposition 9.26 : Soit u une suite géométrique de raison q. On a pour tout entier n,un = u0q

n.

Proposition 9.27 : Soit u une suite géométrique de raison q. Alors, si q 6= 1,n∑k=0

uk = u0qn+1 − 1

q − 1

Si q = 1,n∑k=0

uk = (n+ 1)u0


Exercice : Calculons en fonction de n du nième terme de la suite définie par récurrencepar un+1 = aun + b. Supposons a 6= 1. Si a = 1, la suite est arithmétique et on sait faire.Soit ω l’unique complexe vérifiant ω = aω + b. On a alors pour tout entier n, un+1 − ω =a(un − ω). On retrouve une suite géométrique, d’où pour tout n, un − ω = an(u0 − ω).

IV.2 Récurrences linéaires à deux termes

On se donne deux nombres complexes a et b 6= 0 et on s’intéresse aux suites vérifiantla relation de récurrence

(R) ∀n ≥ 0, un+2 = aun+1 + bun

Cherchons tout d’abord les suites géométriques (qn), avec q 6= 0 qui vérifient cette relation.q convient si et seulement si q2 = q + 1. Cette équation est l’équation caractéristique dela récurrence. Deux cas surviennent. Dans un premier cas, l’équation caractéristique adeux racines distinctes q et q′. Montrons qu’une suite u vérifie R si et seulement si existeα, β ∈ C tels que pour tout n, un = αqn + βq′n. Une tel α et un tel β doivent vérifieru0 = α+ β et u1 = αq + βq′. Le déterminant de ce système est q′ − q 6= 0 d’où un uniquecouple (α, β) vérifiant l’égalité aux rangs 0 et 1. On montre ensuite par une récurrence surn que ce couple convient pour tout n. Supposons maintenant que l’équation caractéristiquea une racine double q. Montrons qu’une suite u vérifie R si et seulement si existe α, β ∈ Ctels que pour tout n, un = αqn + βnqn. Une tel α et un tel β doivent vérifier u0 = αet u1 = αq + βq. Le déterminant de ce système est q 6= 0 d’où un unique couple (α, β)vérifiant l’égalité aux rangs 0 et 1. On montre ensuite par une récurrence sur n que cecouple convient pour tout n.

Exemple : La suite de Fibonacci est définie par F0 = 0, F1 = 1 et pour tout entier n,Fn+2 = Fn+1 + Fn. Son équation caractéristique est q2 = q + 1. Elle possède deux racinesφ et φ. Les valeurs de ces racines importent peu. Remarquons simplement que φ + φ = 1et φφ = −1. Il existe α, β ∈ R tels que pour tout n, Fn = αφn + βφn. Ces deux nombressont les racines du système α + β = 0, αφ + βφ = 1, d’où α = 1

φ−φ, β = −1

φ−φ, et donc

Fn = φn−φnφ−φ

.

Exemple : Considérons la suite u définie par u0 = 2, u1 = 1 et pour tout entier n,un+2 = 4un+1−4un. Son équation caractéristique est q2 = 4q−4. Elle possède une uniqueracine qui est 2. Il existe α, β ∈ R tels que pour tout n, un = α2n + βn2n. Ces deuxnombres sont les racines du système α = 2, 2α + 2β = 1, d’où α = 2, β = −3

2 , et doncun = 2n+1 − 3n2n−1.

V. EXERCICES 127

V Exercices

1. Montrer l’existence de trois réels a, b et c tels que

∀k ≥ 1,1

k(k + 1)(k + 2)=a

k+

b

k + 1+

c

k + 2

En déduire une expression simplifiée de un =∑n

k=11

k(k+1)(k+2) , puis la limite deun.

2. Pour les suites récurrentes ci-dessous, donner une expression de un en fonction den.

(a) un+1 = 4(un − u2n), 0 ≤ u0 ≤ 1. On pourra poser u0 = sin2 α.

(b) un+1 =√

2 + un,−2 ≤ u0 ≤ 2. On pourra poser u0 = 2 cos θ.

3. Soit (un) une suite réelle telle que les suites extraites (u2n), (u2n+1) et (u3n)convergent. Montrer que la suite (un) est convergente.

4. Soit (un)n≥0 la suite définie par récurrence par u0 = 0 et ∀n ≥ 0, un+1 = 11+un

.(a) Soient φ et ψ les deux racines de l’équation x(x + 1) = 1. Pour n ≥ 0, soit

vn = un−φun−ψ . Calculer vn+1 en fonction de vn.

(b) En déduire vn en fonction de n, puis un en fonction de n.(c) En déduire le comportement de un lorsque n→∞.

5. Soit A une partie de R. Démontrer que A est dense dans R si et seulement si pourtout réel x, il existe une suite (an)n≥0 d’éléments de A telle que an → x lorsque ntend vers l’infini.

6. Soit (un)n≥0 une suite réelle. On pose, pour n ≥ 1, Un = 1n

∑nk=1 uk.

(a) On suppose que la suite u tend vers un réel L. On se donne un réel ε > 0.Soit N tel que ∀n ≥ N, |un − L| ≤ ε. Soit n ≥ N . Montrer que |Un − L| ≤1n

∑Nk=1 |uk − L|+ ε.

(b) En déduire l’existence d’un entierN ′ tel que ∀n ≥ N ′, |Un−L| ≤ 2ε. Conclusion ?(c) Le résultat ci-dessus (si une suite est convergente, alors elle est convergente “en

moyenne”) est appelé le théorème de Cesaro. Sa réciproque est-elle vraie ?7. Soient a et b deux réels strictement positifs. Étudier les deux suites (un) et (vn)

définies par récurrence par u0 = a, v0 = b, et

∀n ≥ 0,

un+1 = un+vn

2vn+1 =

√unvn

8. Soient a et b deux réels strictement positifs. Étudier les deux suites (un) et (vn)définies par récurrence par u0 = a, v0 = b, et

∀n ≥ 0,

un+1 = un+vn

2vn+1 = 2unvn

un+vn


9. Pour n ≥ 0, on pose un =∑n

k=01

(nk). Étudier la convergence de la suite (un).

10. Soient un =∑n

k=11k − lnn et vn =

∑nk=1

1k − ln(n+ 1). Montrer que ces deux suites

sont adjacentes.Leur limite commune γ ' 0.57721566 est appelée la constante d’Euler. Elle inter-vient dans de nombreux problèmes mathématiques.

11. Soit un =∑n

k=0(−1)k

2k+1 . En étudiant deux suites extraites, prouver que cette suiteest convergente.On peut prouver que la limite de la suite (un) est π

4 .

12. Soit a un réel strictement positif fixé. On considère la suite (un)n≥0 définie paru0 = a, et pour tout entier n, un+1 = 1

2(un + aun

).

(a) Montrer que cette suite converge vers L =√a.

(b) Montrer l’existence d’un réel K tel que ∀n ≥ 0, |un+1 − L| ≤ K.|un − L|2.(c) En déduire un majorant de |un − L| fonction de K, u0, n et L.(d) On prend a = 2. Quelle est l’erreur commise en approchant

√2 par u10 ?

13. Pour n ≥ 0 on pose en =∑n

k=01k! .

(a) Montrer que cette suite est convergente. On note e sa limite.(b) Soient n, p deux entiers naturels, n < p. Montrer que 0 < ep − en ≤ 1

n!n .(c) En déduire que ∀n ≥ 0, 0 < e− en ≤ 1

n!n .(d) Déduire de ce qui précède que e 6∈ Q.

14. Déterminer, pour les suites ci-dessous, un en fonction de n.(a) u0 = 1, u1 = −2,∀n ≥ 0, un+2 = 5un+1 − 6un.(b) u0 = 3,∀n ≥ 0, un+1 = 3un + 2.(c) u0 = 1, u1 = −2,∀n ≥ 0, un+2 = 4un+1 − 4un.

15. Soient (un)n≥1 et (vn)n≥1 les deux suites définies par un =∑n

k=01k! et vn = un +

1n×n! .(a) Montrer que ces deux suites sont adjacentes.(b) Montrer que leur limite commune est irrationnelle.

16. Soient (un)n≥0 et (vn)n≥0 les suites définies par u0 = 1, v0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 =√unvn et vn+1 = un+vn

2 .(a) Montrer que ∀n ∈ N, un ≤ vn.(b) Montrer que ces deux suites sont monotones.(c) Montrer que ces deux suites sont convergentes et qu’elles convergent vers une

même limite.17. (a) Montrer que si une suite u est convergente, alors la suite de terme général u2n−un

converge vers 0.(b) Montrer que la suite de terme général un =

∑nk=1

1k est divergente.

V. EXERCICES 129

18. Soient (un)n≥1 et (vn)n≥1 les deux suites définies par un =∑n

k=11k2

et vn = un+ 1n .

(a) Étudier le sens de variation de ces suites.

(b) Montrer qu’elles sont convergentes.

19. Soit u une suite à valeurs dans Z. Montrer que si u converge, alors u est stationnaire(c’est à dire constante à partir d’un certain rang).

20. Pour tout n ∈ N∗, on pose un = 1×3×5×...×(2n−1)2×4×6×...×(2n) .

(a) Exprimer un à l’aide de factorielles.

(b) Montrer que la suite u est convergente.

(c) Soit vn = (n + 1)u2n. Montrer que la suite v est convergente et en déduire la

limite de la suite u.

21. Pour tout n ∈ N∗, on pose sn =∑n

k=11√k.

(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗, 1√n+1≤ 2(√n+ 1−

√n) ≤ 1√

n.

(b) En déduire que (sn) tend vers l’infini lorsque n tend vers l’infini.

(c) On pose pour tout n ≥ 1 un = sn−2√n. Montrer que la suite u est convergente.

22. Soit u une suite réelle vérifiant ∀n ∈ N, un > 0. On suppose que un+1

untend vers un

réel a < 1 lorsque n tend vers l’inifni. Montrer que un tend vers 0 lorsque n tendvers l’infini.

23. Soit u la suite complexe définie par u0 ∈ C∗ et ∀n ∈ N, un+1 = 15(3un + 2un). La

suite u est-elle convergente ? Si oui, donner sa limite.

24. Pour tout n ∈ N∗, on pose un =(

2nn

)√n4−n.

(a) Considérer le quotient un+1

unet en déduire que la suite u est croissante.

(b) Considérer la différence lnun+1 − lnun, sommer, et en déduire que un ≤ u1e18 .

(c) En déduire que la suite u est convergente. On note ` sa limite.

(d) En considérant la suite de terme général lnun+ 18n , montrer que ∀n ∈ N∗, `e−

18n ≤

un ≤ `.(e) On admet la formule de Stirling : n!

(ne )n√

n→√

2π lorsque n tend vers l’infini.

Calculer `.


Chapitre 10Limites - Continuité

131

132 CHAPITRE 10. LIMITES - CONTINUITÉ

I Étude locale d’une fonction

I.1 Topologie

Définition 10.1 : Soit a ∈ R.• Si a ∈ R, un voisinage de a est un segment [a− ε, a+ ε] où ε > 0.• Si a = +∞, un voisinage de a est un intervalle [M,+∞[, où M ∈ R.• Si a = −∞, un voisinage de a est un intervalle ]−∞,M ], où M ∈ R.Les trois propositions ci-dessous sont faciles à montrer. Leur preuve est laissée en exer-

cice.

Proposition 10.1 : Soit a ∈ R. L’intersection de deux voisinages de a est encore unvoisinage de a.

Proposition 10.2 : Soit a ∈ R. Si a ∈ R, l’intersection des voisinages de a est lesingleton a. Si a = ±∞, l’intersection des voisinages de a est vide.

Proposition 10.3 : Soient a, b ∈ R, a 6= b. Il existe un voisinage V de a et un voisinageW de b tels que V ∩W = ∅.

Notation : On note V(a) l’ensemble des voisinages de a.

Définition 10.2 : Soit A une partie de R. Soit a ∈ R. On dit que a est adhérent à Alorsque tout voisinage de a rencontre A.

Exemple : Les points adhérents à un intervalle sont les points de l’intervalle et sesbornes.

Notation : On note A l’ensemble des points adhérents à A. Cet ensemble est appelél’adhérence de A.

Exemple : L’adhérence d’un intervalle est l’intervalle fermé correspondant.

Définition 10.3 : Soit P(x) une propriété du réel x. Soit a ∈ R. On dit que la propriétéP est vraie au voisinage de a lorsque ∃V ∈ V(a),∀x ∈ V,P(x).

I.2 Limite et continuité en un point

Définition 10.4 : Soit A une partie de R. Soit f : A→ R. Soit a ∈ A. Soit ` ∈ R. Ondit que f tend vers ` en a lorsque

∀V ∈ V(`),∃W ∈ V(a), ∀x ∈W ∩A, f(x) ∈W

Notation : On note f(x)→x→a `.

Remarque 10.1 : Les ensembles A et les objets a que nous considérerons usuellementseront de l’une des formes ci-dessous :

I. ÉTUDE LOCALE D’UNE FONCTION 133

— A est un intervalle et a est un point de A.— A est un intervalle et a est une borne de A, a 6∈ A.— A est un intervalle privé d’un point a. On parle alors quelquefois d’intervalle épointé.

Proposition 10.4 : La limite d’une fonction en un point, si elle existe, est unique.

Démonstration : Supposons que f a deux limites ` et `′ en a. Soient V un voisinagede ` et V ′ un voisinage de `′. Il existe W,W ′ voisinages de a tels que f(W ∩ A) ⊂ Vet f(W ′ ∩ A) ⊂ V ′. Mais W ∩ W ′ est encore un voisinage de a et f(W ∩ W ′ ∩ A) ⊂f(W ∩ A) ⊂ V . De même f(W ∩W ′ ∩ A) ⊂ V ′. Ainsi, V ∩ V ′ 6= ∅. Ceci étant vrai pourtous les voisinages de ` et `′, on a donc ` = `′.

Remarque 10.2 : On parle donc de LA limite de f en a (si elle existe !). L’unicité dela limite justifie la notation ` = lima f ou notations semblables.

Proposition 10.5 : Si une fonction a une limite finie en un point a, cette fonction estbornée au voisinage de a.

Démonstration : Supposons que f tend vers ` ∈ R. Pour tout x assez proche de a,on a donc |f(x) − `| ≤ 1, donc ` − 1 ≤ f(x) ≤ ` + 1. La fonction f est donc bornée auvoisinage de a.

Proposition 10.6 : Soit f : A→ R. Soit a ∈ A. Si f a une limite en a, ce ne peut êtreque f(a).

Démonstration : Supposons f(x) → ` lorsque x → a. Pour tout voisinage V de `,il existe un voisinage W de a tel que f(W ∩ A) ⊂ V . Mais a appartient à W ∩ A, donc,f(a) ∈ V . Ainsi, f(a) est dans tous les voisinages de `. Donc, l est réel et l = f(a).

Remarque 10.3 : Ce que nous venons de montrer peut se révéler gênant dans certainscas. Ainsi, il arrive parfois que l’on « retire » a de l’ensemble de définition de f et que l’onconsidère la limite de f(x) lorsque x tend vers a, x 6= a.

Définition 10.5 : Soit f : A→ R. Soit a ∈ A. On dit que f est continue en a lorsquef a une limite en a (qui est donc forcément f(a)). On note C0(A) l’ensemble des fonctionscontinues sur (en tout point de) A.

Remarque 10.4 : On a donc f continue en a si et seulement si

∀ε > 0,∃α > 0,∀x ∈ A, |x− a| ≤ α⇒ |f(x)− f(a)| ≤ ε

I.3 Reformulations de la notion de limite

La définition de limite par les voisinages a l’avantage d’être valable dans tous les cas,en un point fini ou pas, pour une limite finie ou pas. C’est très bien pour faire des démons-trations très générales, mais cela l’est beaucoup moins dans les situations concrètes. On sedonne f : A → R. Soit a ∈ A. Soit ` ∈ R. On réécrit selon la finitude ou non de a et ` ladéfinition de limite.


Limite réelle en un point réel

Proposition 10.7 : f(x) tend vers ` lorsque x tend vers a si et seulement si

∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ A, |x− a| ≤ α⇒ |f(x)− `| ≤ ε

Limite finie à l’infini

Proposition 10.8 : f(x) tend vers ` lorsque x tend vers +∞ si et seulement si

∀ε > 0,∃M ∈ R,∀x ∈ A, x ≥M ⇒ |f(x)− `| ≤ ε

Remarque 10.5 : On définit de même la notion de limite réelle en −∞.

Limite nulle

Les fonctions ayant une limite nulle en un point donné possèdent des propriétés remar-quables.

Proposition 10.9 : Soit I un intervalle de R. Soit a ∈ I.— Une fonction f a une limite nulle en a si et seulement si |f | a une limite nulle en

a.— Si f a une limite nulle en a, et g est bornée au voisinage de a, alors fg a une limite

nulle en a.

Démonstration : Démonstration analogue à celle qui a été faite pour les suites.

Limite infinie en un point réel

Définition 10.6 : f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a ∈ R si et seulement si

∀M ∈ R, ∃α > 0, ∀x ∈ A, |x− a| ≤ α⇒ f(x) ≥M

Limite infinie à l’infini

Définition 10.7 : f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si et seulement si

∀M ∈ R, ∃M ′ ∈ R, ∀x ∈ A, x ≥M ′ ⇒ f(x) ≥M

On définit de même des limites en −∞, égales à ±∞. Il suffit de changer le sens desinégalités.


I.4 Opérations sur les limites

Proposition 10.10 : Soient f, g : A→ R. Soit a ∈ A. Soit λ ∈ R. Soient `, `′ ∈ R. Onsuppose que f(x)→ ` et g(x)→ `′ lorsque x→ a. Alors :

— f(x) + g(x)→ `+ `′ lorsque x→ a.— f(x)g(x)→ ``′ lorsque x→ a.— λf(x)→ λ` lorsque x→ a.


Remarque 10.6 : Les résultats précédents subsistent lorsque `, `′ ∈ R, sauf dans les casd’indétermination «∞−∞ » et « 0×∞ ».

Proposition 10.11 : Soit g : A → R. Soit a ∈ A. Soit ` ∈ R∗+. On suppose que g(x)tend vers ` lorsque x tend vers a. Alors :

— Il existe un réel m > 0 tel que g(x) ≥ m au voisinage de a.— 1

g(x) tend vers 1` lorsque x tend vers a.


Remarque 10.7 : Le résultat précédent s’adapte évidemment au cas où ` < 0. Ilconvient en revanche de faire attention au cas où ` = 0. Il faut dans ce cas supposer quela fonction g a un signe constant au voisinage de a pour conclure que g tend vers l’infinien a.

Lemme I.1 Soient A et B deux parties de R. Soit f : A → B. Soit a ∈ A. Soit b ∈ R.On suppose que f(x)→ b lorsque x→ a. Alors b appartient à B.

Démonstration : Soit V un voisinage de b. Il existe un voisinage W de a tel quef(W ∩ A) ⊂ V . Comme a est adhérent à A, W ∩ A est non vide, donc f(W ∩ A) estnon vide aussi. Mais f(W ∩ A) ⊂ B, donc V ∩ B est non vide. Ceci étant vrai pour toutvoisinage V de b, on a bien b ∈ B.

Proposition 10.12 : Théorème de composition des limites.Soient f : A → B et g : B → R. Soit a ∈ A, b ∈ B, ` ∈ R. On suppose que f(x) → b

lorsque x→ a, et g(y)→ ` lorsque y → b. Alors g f(x)→ ` lorsque x→ a.

Démonstration : Soit V un voisinage de `. Il existe un voisinage W de b tel queg(W ∩ B) ⊂ V . Il existe ensuite un voisinage X de a tel que f(X ∩ A) ⊂ W . On a alorsg f(X ∩A) ⊂ g(W ∩B) ⊂W . La fonction g f tend bien vers ` en a.


I.5 Limites de fonctions, limites de suites

Proposition 10.13 : Caractérisation séquentielle des limites. Soit f : A→ R.Soit a ∈ A. Soit ` ∈ R. On a f(x) → ` lorsque x → a si et seulement si pour toute suite(xn) de points de A qui tend vers a, la suite (f(xn)) tend vers `.

Démonstration : On fait la démonstration pour a et ` réels. Supposons que f(x)→ `lorsque x→ a. Soit (xn) une suite de points de A qui converge vers a. Soit ε > 0. Il existeδ > 0 tel que ∀x ∈ A, |x− a| ≤ δ ⇒ |f(x)− `| ≤ ε. Soit N ∈ N tel que pour tout n ≥ N ,|xn − a| ≤ δ. On a alors |f(xn) − `| ≤ ε. La suite (f(xn)) tend donc vers `. Supposonsmaintenant que f(x) 6→ ` lorsque x tend vers a. Il existe donc ε > 0 tel que pour tout δ > 0il existe x ∈ A tel que |x−a| ≤ δ et |f(x)− `| > ε. Pour tout entier n ≥ 1, prenons δn = 1

n .Soit xn ∈ A tel que |xn − a| ≤ 1

n et |f(xn)− `| > ε. On a xn → a lorsque n→∞. Mais sil’on suppose que f(xn) → `, on obtient, par passage à la limite, 0 ≥ ε, contradiction. Lasuite (f(xn)) ne tend donc pas vers `.

Exemple : La fonction f : x 7→ sin 1x n’a pas de limite en 0. En effet, supposons que f

a une limite ` en 0. Alors 0 = f( 12nπ )→ ` donc ` = 0. Mais aussi, 1 = f( 1

2nπ+π2

)→ ` donc` = 1, contradiction.

I.6 limites et ordre

Proposition 10.14 : passage à la limite dans une inégalité.Soient f, g : A→ R. Soit a ∈ A. On suppose :— f(x)→ ` lorsque x→ a.— g(x)→ `′ lorsque x→ a.— f ≤ g au voisinage de a.

Alors, ` ≤ `′.

Démonstration : Démonstration analogue à celle du théorème correspondant sur lessuites.

Proposition 10.15 : théorème d’encadrement.Soient f, g, h : A→ R. Soit a ∈ A. Soit ` ∈ R. On suppose :— f ≤ g ≤ h au voisinage de a.— f(x)→ ` lorsque x→ a.— h(x)→ ` lorsque x→ a.

Alors, g(x)→ ` lorsque x→ a.


Proposition 10.16 : théorème d’encadrement.Soient f, g : A→ R. Soit a ∈ A. On suppose :— f ≤ g au voisinage de a.


— f(x)→ +∞ lorsque x→ a.Alors, g(x)→ +∞ lorsque x→ a.


I.7 Limites dans une direction

Définition 10.8 : Soit f : I → R, où I est un intervalle de R. Soit a ∈ I. On supposeque a n’est pas la borne inférieure de I. On définit la limite à gauche de f en a commela limite (si elle existe !) de la restriction de f à I∩] −∞, a[, en a. On note cette limitelimx→a,x<a f(x) ou encore f(a−). On définit de même la limite à droite de f en a.

Remarque 10.8 : Si a est la borne inférieure de I, la notion de limite à droite de f(x)lorsque x→ a et celle de limite de f(x) lorsque x→ a, x 6= a coïncident. Même remarquepour la limite à gauche lorsque a est la borne supérieure de I.

Proposition 10.17 : Soit f : I → R. Soit a ∈ I, a n’étant pas la borne inférieure de I.La fonction f admet une limite en a si et seulement si elle y admet une limite à gauche etune limite à droite, et si celles-ci sont égales à f(a). On a alors lima f = f(a−) = f(a+) =f(a).

Démonstration : Laissée en exercice.

Remarque 10.9 : Si f est définie sur l’intervalle épointé I \ a, il convient d’adapterla proposition précédente en y enlevant les références à f(a).

I.8 Fonctions monotones

Dans ce paragraphe, les fonctions sont définies sur des intervalles.On se donne une fonction f : I → R croissante. Soit également a ∈ I.

Cas où a n’est pas une borne de I

Proposition 10.18 : f admet une limite à gauche et une limite à droite réelles en a.De plus,

— f(a−) = supf(x), x < a.— f(a+) = inff(x), x > a.— f(a−) ≤ f(a) ≤ f(a+).

Démonstration : Soit E = f(x), x ∈ I, x < a = f(I∩] −∞, a[). L’ensemble E estnon vide car a n’est pas la borne inférieure de I. De plus, E est majoré par f(a) puisquef est croissante. Donc, E possède une borne supérieure ` ≤ f(a). Soit ε > 0. Comme` − ε < `, il existe y0 ∈ E tel que y0 > ` − ε. Autrement dit, il existe x0 ∈ I, x0 < a telque f(x0) > `− ε. Posons δ = a− x0. On a alors pour tout x ∈ I, x < a, |x− a| = a− x ≤δ ⇒ x0 ≥ x < a⇒ `− ε ≤ f(x0) ≤ f(x). De plus, f(x) ∈ E donc f(x) ≤ ` ≤ `+ ε. Bref,


|f(x)− `| ≤ ε. Ainsi, f(a−) existe et vaut `. Même démonstration pour la limite à droite.

Cas où a est la borne supérieure de I, et a ∈ I

Proposition 10.19 : f admet une limite à gauche réelle en a. De plus,— f(a−) = supf(x), x < a.— f(a−) ≤ f(a).

Démonstration : Voir le cas précédent.

Cas où a est la borne supérieure de I, mais a 6∈ I

Proposition 10.20 : f admet une limite à gauche réelle ou égale à +∞ en a. De plus,f(a−) = supf(x), x < a (éventuellement infini).

Démonstration : La seule différence, c’est que E n’est plus nécessairement majoré.S’il l’est, f a une limite réelle en a. S’il ne l’est pas, f tend vers +∞ en a.

Le cas de la borne inférieure de I, et celui des fonctions décroissantes, se traitentévidemment de façon identique.

II Propriétés des fonctions continues

II.1 Opérations sur les fonctions continues

Proposition 10.21 : Soit A ⊂ R. L’ensemble C0(A) des fonctions continues sur A estune algèbre.

Démonstration : Ce sont tout simplement les opérations sur les limites qui nous ledisent.

Proposition 10.22 : La composée de deux fonctions continues est encore une fonctioncontinue.

Démonstration : Théorème de composition des limites.

Remarque 10.10 : La fonction identité x 7→ x est clairement continue sur R. Il s’ensuitque tout polynôme P (x) =

∑nk=0 akx

k est continu sur R. De là, les fractions rationnellesF (x) = P (x)

Q(x) sont continues en tout point où Q ne s’annule pas. Nous verrons plus tard quela fonction exponentielle, les fonctions sinus et cosinus, sont continues sur R. La fonctionlogarithme, les fonctions x 7→ xα (où α ∈ R) sont continues sur R∗+.

II. PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS CONTINUES 139

II.2 Prolongement par continuité

Étant donnée une fonction f :]a, . . . | → R, on cherche souvent à prolonger f à [a, . . . |.Un tel prolongement est particulièrement intéressant lorsqu’il est continu.

Définition 10.9 : Soit a ∈ R. Soit f :]a, . . . | → R continue sur ]a, . . . |. On dit que fest prolongeable par continuité en a lorsqu’il existe un prolongement de f à [a, . . . | qui soitcontinu.

Proposition 10.23 : Un tel prolongement existe si et seulement si f admet une limitefinie en a.

Démonstration : Supposons l’existence d’un prolongement g. On a g(x)→ g(a) lorsquex→ a. Mais hormis en a, f et g coïncident. donc f(x)→ g(a) lorsque x→ a. Inversement,supposons que f(x) → ` ∈ R lorsque x → a. Le prolongement g de f en a défini parg(a) = ` est alors continu.

II.3 Image d’un intervalle

Proposition 10.24 : théorème des valeurs intermédiaires.Soit f : [a, b]→ R, continue sur [a, b]. On suppose f(a) < 0 et f(b) > 0. Alors, il existe

c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0.

Démonstration : Soit E = x ∈ [a, b], f(x) ≤ 0. E est non vide (il contient a) etmajoré par b, donc il admet une borne supérieure c. Comme f(a) < 0, par continuité def en a, f < 0 au voisinage de a. Donc, c > a. De même, comme f(b) > 0, on a f > 0au voisinage de b. Donc E est majoré par un réel < b, donc c < b. Pour tout n ≥ 1 assezgrand, on a c < c+ 1

n ∈ [a, b] et donc f(c+ 1n) > 0. Par passage à la limite et continuité de

f en c on en déduit f(c) ≥ 0. De même pour tout n assez grand c > c− 1n ∈ [a, b]. Comme

c − 1n < c, il existe xn ∈]c − 1

n , c] tel que f(xn) ≤ 0. La suite (xn) tend vers c. Passage àla limite et continuité de f en c : f(c) ≤ 0. Finalement, f(c) = 0.

Exemple : Soit f : [0, 1]→ [0, 1] continue. Il existe x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x. Il suffit deconsidérer la fonction g : x 7→ f(x)− x. Cette fonction est continue, g(0) ≥ 0 et g(1) ≤ 0.

Proposition 10.25 : Soit f : [a, b] → R continue. Soient α = f(a), β = f(b). Soit γun réel compris entre α et β. Il existe c ∈ [a, b] tel que f(c) = γ.

Démonstration : Supposons par exemple α ≤ β. Considérons la fonction g : x 7→f(x)− γ. Cette fonction est continue, négative en a et positive en b. Donc, elle s’annule.

Corollaire 10.26 : théorème des valeurs intermédiaires.L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Démonstration : Soit I un intervalle de R. Soit f : I → R continue. Soit J = f(I).Montrons que J est convexe. Ce sera donc un intervalle. Soient α, β ∈ J . Il existe donca, b ∈ I tels que f(a) = α et f(b) = β. Soit γ un réel entre α et β. f étant continuesur [a, b], il existe donc c ∈ [a, b] tel que f(c) = γ. Mais I est convexe puisque c’est unintervalle. Donc c ∈ I et γ = f(c) ∈ J . Ainsi, J est convexe. J est bien un intervalle.


II.4 Image d’un segment

Proposition 10.27 : Soit f : [a, b] → R, continue sur [a, b]. Alors, f admet un maxi-mum et un minimum sur le segment [a, b].

Démonstration : Considérons l’ensemble E = f([a, b]). Cet ensemble est non vide, etpossède donc une borne supérieureM ∈ R, éventuellement égale à +∞. Soit (xn) une suitede points de [a, b] telle que f(xn)→M . La suite (xn) est bornée, elle admet donc d’aprèsle théorème de Bolzano-Weierstrass une suite extraite (xϕ(n)) convergeant vers un réel c.Comme on a pour tout n a ≤ xϕ(n) ≤ b, on a par passage à la limite a ≤ c ≤ b. La fonctionf est donc continue en c, et ainsi, f(xϕ(n)) → f(c). Mais on a aussi que f(xϕ(n)) → M .Donc M = f(c). On en déduit que M est réel, et aussi que M est une valeur prise par f :M = maxE. On fait de même pour le minimum.

Corollaire 10.28 : L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.

Démonstration : L’image d’un segment par une fonction continue est un intervalle(théorème des valeurs intermédiaires) possédant un plus petit et un plus grand élément.Pas de doute, c’est un segment.

II.5 Fonctions continues strictement monotones

Proposition 10.29 : Soit f : I → R continue. Si f est injective, alors f est strictementmonotone.

Démonstration : Supposons f continue et pas strictement monotone. Il existe alorsx, y, z ∈ I tels que x < y < z et, par exemple, f(x) ≥ f(y) et f(y) ≤ f(z) (mais est-cesi évident ?). Si l’une des inégalités est une égalité, alors f n’est pas injective. Supposonsdonc f(x) > f(y) et f(y) < f(z). On a par exemple f(x) < f(z). soit α un réel strictementcompris entre f(y) et f(x). Alors, α = f(t) = f(u) où t ∈]x, y[ et u ∈]y, z[. Donc f n’estpas injective.

Il reste à examiner la réciproque.

Proposition 10.30 : Soit f : I → R continue, strictement croissante. Alors :— J = f(I) est un intervalle de même « type » que I (i.e. fermé ou ouvert aux mêmes

endroits).— f est une bijection de I sur J .— f−1 : J → I est continue, strictement croissante.

Démonstration : Prenons par exemple I = [a, b[, où −∞ < a < b ≤ +∞. On sait queJ est un intervalle puisque f est continue. Mieux, pour tout x ∈ I, f(a) ≤ f(x) ≤ f(b−).f(a) est dans J , f(b−) est la borne supérieure de J (limite d’une fonction monotone),donc J = [f(a), f(b−)[ ou alors J = [f(a), f(b−)]. Supposons que f(b−) soit dans J . Ilexiste alors x < b tel que f(x) = f(b−). Mais alors, par croissance de f , f est constantesur [x, b[. Ce n’est pas possible puisque f est strictement croissante. f est évidemmentinjective, donc f est une bijection de I sur J . Notons g sa réciproque. On voit facilement

III. FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES 141

que g est strictement croissante. Il s’agit de prouver qu’elle est continue sur J . Supposonsque g n’est pas continue en un point y ∈ J . On a alors par exemple a ≤ g(y−) < g(y). Soitg(y−) < c < g(y). Alors, c n’est pas une valeur prise par g, absurde puisque c = g(f(c)).

Exemple : Soit n ∈ N, n ≥ 1. La fonction f : x 7→ xn est continue sur R+. Elleest strictement croissante. Donc f(R+) = [f(0), lim+∞ f [= R+. Cette fonction est doncune bijection de R+ sur R+ et sa réciproque est continue, strictement croissante : c’est lafonction « racine nième ». Si n est impair, on peut se placer sur R tout entier.

Exemple : La fonction f : x 7→ sinx est continue sur [−π2 ,

π2 ], strictement croissante.

Donc f([−π2 ,

π2 ]) = [f(−π

2 ), f(π2 )] = [−1, 1]. f est donc une bijection de [−π2 ,

π2 ] sur [−1, 1]

et sa réciproque est continue, strictement croissante : c’est la fonction « arc sinus ».

Remarque 10.11 : La fonction arc sinus n’est donc PAS la réciproque de la fonctionsinus (qui, soit dit en passant, n’est pas une bijection, et n’a donc pas de réciproque). Nousen reparlerons dans le chapitre sur les fonctions usuelles.

II.6 Fonctions lipschitziennes

Définition 10.10 : Soit f : I → R. Soit k ∈ R+. On dit que f est k-lipschitzienne surI lorsque

∀x, y ∈ I, |f(y)− f(x)| ≤ k|y − x|

Exemple : La fonction x 7→ sinx est 1-lipschitzienne sur R. La fonction x 7→ |x| est1-lipschitzienne sur R. La fonction x 7→

√x, la fonction x 7→ x2, ne sont pas lipschitziennes

sur R+.

Remarque 10.12 : Si la fonction f est k-lipschitzienne, elle est aussi k′-lipschitziennepour tout k′ ≥ k. En fait, l’ensemble des réels k tels que f soit k-lipschitzienne est unintervalle de la forme [k0,+∞[. Le réel k0 est le coefficient de Lipschitz optimal pour lafonction f . Par exemple, k0 = 1 pour la fonction sinus.

Proposition 10.31 : Toute fonction lipschizienne est continue. La réciproque est fausse.

Démonstration : Soit f k-lipschitzienne sur I (k > 0). Soit ε > 0. Soit δ = εk . Alors,

pour tous x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ implique |f(x)− f(y)| ≤ k|x− y| ≤ kδ = ε. En revanche, lafonction x 7→ x2 est continue sur R mais pas lipschitzienne.

III Fonctions à valeurs complexes

Tous ce qui précède passe sans problème aux fonctions à valeurs complexes, à conditionévidemment de ne pas faire intervenir de comparaisons entre des valeurs prises par lafonction. Passent donc aux fonctions à valeurs dans C : définition de limite, opérations


sur les limites, fonctions bornées, limites à gauche et à droite, relations de comparaison,continuité uniforme. Ne passent pas aux fonctions à valeurs dans C : passage à la limitedans les inégalités, encadrement, image d’un intervalle, image d’un segment, et tout cequi concerne les fonctions monotones. Bien entendu une fonction tend vers ` ∈ C si etseulement si sa partie réelle tend vers Re ` et sa partie imaginaire vers Im `.

IV. EXERCICES 143

IV Exercices

1. Soit f : R → R continue, ayant une limite finie en −∞ et +∞. Prouver que f estbornée sur R.

2. Soit f : R→ R une fonction continue en 0, vérifiant pour tout réel x : f(2x) = f(x).Montrer que f est constante.

3. Soit f : R→ R continue, tendant vers −1 en −∞ et vers 2 en +∞. Prouver que fs’annule. (théorème des valeurs intermédiaires "généralisé").

4. Soit f : R→ R périodique, ayant une limite en +∞. Que dire de f ?

5. Soit f :]a, b[→ R une fonction continue. On suppose que f admet une limite en aet en b, et que ces limites sont égales. Prouver que f n’est pas injective.

6. Soit f : R → R une fonction continue décroissante. Montrer qu’il existe un uniqueréel x tel que f(x) = x.

7. On note L l’ensemble des fonctions lipschitziennes sur R.(a) L’ensemble L est-il stable pour l’addition ? Pour la multiplication par un réel ?

Pour la multiplication des applications ? Pour la composition ?

(b) Pour toute fonction f ∈ L, soit K(f) l’ensemble des réels k tels que f soit k-lipschitzienne sur R. Montrer que K(f) possède un plus petit élément. On notek(f) ce réel.

(c) Pour f, g ∈ L et λ ∈ R, que peut-on dire de k(f + g), de k(λf), de k(g f) ?

8. Soit f : R → R. Soit a ∈ R. On dit que f est eunitnoc en a lorsque ∀ε > 0,∃η >0,∀x ∈ R, |x− a| ≤ ε⇒ |f(x)− f(a)| ≤ η.(a) Montrer que toute fonction bornée sur R est eunitnoc en tout point de R.(b) Montrer que si f est eunitnoc en un point, elle est eunitnoc en tout point.

(c) Caractériser de façon simple les fonctions eunitnocs.

9. Soit I un segment de R. Soit f : I → I continue.

(a) Montrer que f admet un point fixe.

(b) Ce résultat reste-t-il valable si I est un intervalle ?

10. Soient f, g : [0, 1] → [0, 1] deux applications telles que g f = f g. Montrer qu’ilexiste c ∈ [0, 1] tel que f(c) = g(c).

11. (a) Déterminer les applications continues f : R→ R vérifiant ∀x, y ∈ R, f(x+ y) =f(x) + f(y).

(b) En déduire les applications continues f : R→ R vérifiant ∀x, y ∈ R, f(x+ y) =f(x)f(y).

12. Soit S un segment de R. Soit f : S → S continue vérifiant ∀x, y ∈ S, x 6= y, |f(x)−f(y)| < |x− y|.(a) Montrer que f admet un unique point fixe α.


(b) Soit x0 ∈ S. Soit (xn)n≥0 la suite définie par x0 et la relation de récurrencexn+1 = f(xn). Montrer que xn → α lorsque n tend vers l’infini.

13. Soit f : R→ R définie par f(x) = xb 1xc si x 6= 0 et f(0) = 1.

(a) Tracer le graphe de f .

(b) Montrer que f est continue en 0.

(c) Montrer que f n’est pas continue en 1.

14. Soient f, g : I → R, continues, ne s’annulant pas, et telles que ∀x ∈ I, |f(x)| =|g(x)|. Montrer que g = f ou g = −f .

15. Soit f : R → R une fonction continue telle que f(0) = 1. On suppose que ∀x ∈R, f(2x) = f(x) cosx.

(a) Exprimer, pour tout réel x et tout entier n, f(x) en fonction de f( x2n ).

(b) Montrer que ∀x ∈ R,∀n ∈ N, sin( x2n )f(x) = sinx

2n f( x2n ).

(c) En déduire l’expression de f(x) pour tout x 6= 0.

(d) Conclure.

16. Soit f : R→ R définie par f(x) = bxc+ (x− bxc)2. Étudier la continuité de f .

17. (a) Soit f : I → R continue. Soient a, b ∈ I. Montrer qu’il existe c ∈ I tel que f(c) =12(f(a) + f(b)). On pourra considérer la fonction g : x 7→ 2f(x)− f(a)− f(b).

(b) Plus généralement, soient p, q deux réels positifs. Montrer qu’il existe c ∈ I telque pf(a) + qf(b) = (p+ q)f(c).

(c) Beaucoup plus généralement, soit n ∈ N∗, soient a1, . . . , an ∈ I, soient t1, . . . , tn ∈R+. Montrer qu’il existe c ∈ I tel que

∑nk=1 tkf(ak) = f(c)

∑nk=1 tk.

Chapitre 11Dérivation

145

146 CHAPITRE 11. DÉRIVATION

I Notion de dérivée

I.1 Définitions

Définition 11.1 : Soit f : I → R. Soit a ∈ I. On dit que f est dérivable en a lorsquela quantité f(x)−f(a)

x−a a une limite réelle lorsque x tend vers a, x 6= a.On appelle dérivée de f en a, et on note f ′(a) la valeur de cette limite.

Proposition 11.1 : f est dérivable en a si et seulement si il existe un réel λ tel quef(x) = f(a) + λ(x− a) + (x− a)ε(x) où ε(x)→ 0 lorsque x→ a. Lorsque f est dérivableen a, on a f ′(a) = λ.

Démonstration : f est dérivable en a si et seulement si f(x)−f(a)x−a = f ′(a) + ε(x) c’est

à dire f(x)− f(a) = (x− a)f ′(a) + (x− a)ε(x).

Proposition 11.2 : Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. La réciproqueest fausse.

Démonstration : La relation ci-dessus nous dit qu’en particulier f(x) = f(a) + ε(x).Donc f(x)→ f(a) lorsque x→ a. La réciproque est fausse, comme le montre l’exemple defonction valeur absolue, continue en 0 mais pas dérivable en 0.

Définition 11.2 : Si f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable surI. On dispose alors de la fonction f ′ : I → R, notée encore Df ou df

dx .

Définition 11.3 : Pour tout entier k ≥ 2, on dit que f est k fois dérivable sur I lorsquef (k−1) est dérivable sur I. On note alors f (k) = (f (k−1))′. On dit que f est indéfinimentdérivable sur I lorsque f est k fois dérivable sur I, ceci pour tout k ≥ 1.

Notation : On utilise aussi les notations Dkf et dkfdxk

pour la dérivée d’ordre k de lafonction f . Pour tout k ∈ [1,+∞[ on note Dk(I) l’ensemble des fonctions k fois dérivablessur I.

Remarque 11.1 : On peut également définir la notion de fonction k fois dérivable enun point a : la fonction f est k fois dérivable en a lorsque f est k − 1 fois dérivable auvoisinage de a et que f (k−1) est dérivable en a.

I.2 Dérivées à droite et à gauche

On définit la notion de dérivée à gauche et à droite de f : I → R en un point a :si a n’est pas la borne inférieure de I, f ′g(a) est la dérivée en a de la restriction de f àI∩] − ∞, a], et si a n’est pas la borne supérieure de I, f ′d(a) est la dérivée en a de larestriction de f à I ∩ [a,+∞[. À retenir :

Proposition 11.3 : Soit f : I → R. Soit a un point qui n’est pas une borne de I. fest dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite en a, et que lesdérivées sont égales. On a alors f ′(a) = f ′g(a) = f ′d(a).

I. NOTION DE DÉRIVÉE 147

Démonstration :Les taux d’accroissement ont une limite en a si et seulement si ils ont une limite à

gauche et une limite à droite, et ces deux limites sont égales.

I.3 Classes de fonctions

Définition 11.4 : Soit f : I → R. On dit que f est de classe C0 sur I lorsque fest continue sur I. Soit k ∈ N∗. On dit que f est de classe Ck sur I lorsque f est k foisdérivable sur I, et que f (k) est continue sur I. On dit enfin que f est de classe C∞ sur Ilorsque f est de classe Ck sur I pour tout entier k.

Notation : On note Ck(I) l’ensemble des fonctions de classe Ck sur I.

Proposition 11.4 : On a les inclusions suivantes :

C0(I) ⊃ D1(I) ⊃ C1(I) ⊃ D2(I) ⊃ C2(I) ⊃ . . . ⊃ C∞(I) = D∞(I)

Remarque 11.2 : Ces inclusions sont en fait toutes strictes.

Remarque 11.3 : Pour tout k ≥ 1, si f ∈ Ck(I), alors f ′ ∈ Ck−1(I). De même pour lesensembles Dk(I).

I.4 Opérations sur les dérivées

Dérivées d’ordre 1

I est un intervalle de R. a est un point de I. f, g sont deux fonctions I → R. Enfin, λest un réel.

Proposition 11.5 : On suppose f et g dérivables en a. Alors— f + g est dérivable en a et (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).— λf est dérivable en a et (λf)′(a) = λf ′(a).— fg est dérivable en a et (fg)′(a) = f ′(a)g(a) + f(a)g′(a).— Si g(a) 6= 0, alors g ne s’annule pas au voisinage de a, 1

g est dérivable en a et

(1g )′(a) = −g′(a)

g(a)2.

— Si g(a) 6= 0, alors g ne s’annule pas au voisinage de a, fg est dérivable en a et

(fg )′(a) = f ′(a)g(a)−f(a)g′(a)g(a)2

.

Démonstration : Faisons la preuve pour le produit et l’inverse (le quotient est leproduit par l’inverse). On a (fg)(x)−(fg(a))

x−a = f(x)g(x)−g(a)x−a +g(a)f(x)−f(a)

x−a . On passe ensuiteà la limite en remarquant que, comme f est dérivable en a, f y est aussi continue. Pourle quotient, g(a) 6= 0 et g est continue en a, donc g est non nulle au voisinage de a. On a1/g(x)−1/g(a)

x−a = −(g(x)−g(a))(x−a)g(x)g(a) . On passe ensuite à la limite.


Proposition 11.6 : Soit f : I → J . Soit g : J → R. Soit a ∈ I. Si f est dérivable en aet g est dérivable en f(a), alors g f est dérivable en a, et on a :

(g f)′(a) = g′(f(a)).f ′(a)

Démonstration :Notons b = f(a). on a g(y) = g(b) + (y − b)g′(b) + (y − b)ε(y) où ε(y) → 0 lorsque

y tend vers b. Lorsque x tend vers a, f(x) tend vers b donc ε′(x) = ε(f(x)) tend vers 0.Prenons y = f(x). Il vient g(f(x)) = g(f(a)) + (f(x)− f(a))g′(b) + (f(x)− f(a))ε′(x) =g(f(a)) + ((x − a)f ′(a) + (x − a)ε′′(x))g′(f(a)) + ((x − a)f ′(a) + (x − a)ε′′(x))ε′(x) oùε′′(x)→ 0 lorsque x tend vers a. On regroupe les termes, et en particulier tout ce qui tendvers 0 : g(f(x)) = g(f(a))+(x−a)f ′(a)g′(f(a))+(x−a)ε′′′(x) où ε′′′(x) tend vers 0 lorsquex tend vers a. La fonction g f est donc dérivable en a, et sa dérivée est f ′(a)g′(f(a)).

Proposition 11.7 : Soit f : I → J une bijection continue (et donc strictement mono-tone). Soit a ∈ I. Soit b = f(a). On supppose que f est dérivable en a. Si f ′(a) 6= 0, alorsf−1 est dérivable en b et

(f−1)′(b) =1

f ′(a)

Si f ′(a) = 0, alors f−1 n’est pas dérivable en b. Plus précisément, la courbe représentativede f−1 possède au point b une tangente verticale.

Démonstration : Posons g = f−1. Soit ∆ = g(y)−g(b)y−b . Posons y = f(x) (de sorte que

x = g(y)). Il vient ∆ = x−af(x)−f(a) . Lorsque y tend vers b, x = g(y) tend vers g(b) = a,

car g est continue en b. Donc, si f ′(a) 6= 0, ∆ tend vers 1f ′(a) . Si f

′(a) = 0, admettantprovisoirement que, du fait de sa monotonie, f ′ a un signe constant, ∆ tend vers ∞.

Remarque 11.4 : La formule qui nous donne la dérivée s’écrit aussi (f−1)′(b) =1

f ′(f−1(b)). C’est sous cette forme qu’il convient de la retenir.

Exemple : Soit f : [−π2 ,

π2 ]→ R définie par f(x) = sinx. Nous avons déjà vu que f est

une bijection continue strictement croisssante. Sa réciproque est la fonction arc sinus, notéearcsin. f est dérivable sur [−π

2 ,π2 ]. Sa dérivée est la fonction cos, qui s’annule uniquement

en ±π2 . Donc, arcsin est dérivable en tout point de [−1, 1] différent de sin(±π

2 ), c’est à diresur ] − 1, 1[ et la courbe représentative de arcsin admet des tangentes verticales en −1 et1. On a pour tout x ∈]− 1, 1[, arcsin′ x = 1

f ′(arcsinx) = 1cos(arcsinx) = 1√

1−sin2(arcsinx). Donc

arcsin′ x = 1√1−x2 .

Dérivées d’ordre supérieur

Proposition 11.8 : Soit k ≥ 1. Soient f, g : I → R deux fonctions k fois dérivablessur I. Soit λ ∈ R. Alors

— f + g est k fois dérivable sur I et (f + g)(k) = f (k) + g(k).

I. NOTION DE DÉRIVÉE 149

— λf est k fois dérivable sur I et (λf)(k) = λf (k).— fg est k fois dérivable sur I et on a la formule de Leibniz :

(fg)(k) =

k∑i=0

(k

i

)f (i)g(k−i)

Démonstration : La somme et le produit par un réel sont une récurrence triviale surk. Le produit est, quant à lui, une récurrence moins triviale. Pour k = 1, c’est évident.Supposons donc la propriété vraie pour un certain entier k ≥ 1. Soient f et g deux fonc-tions k + 1 fois dérivables en a. Elles sont donc a fortiori k fois dérivables dans un voi-sinage V de a. D’après l’hypothèse de récurrence, fg est k fois dérivable sur V et on a∀x ∈ V, (fg)(k)(x) =

∑ki=0

(ki

)f (i)(x)g(k−i)(x). Toutes les fonctions mises en jeu dans le

membre de droite sont dérivables en a. (fg)(k) l’est donc aussi et on peut dériver l’égalité.(fg)(k+1)(a) =

∑ki=0

(ki

)(f (i+1)(a)g(k−i)(a)+f (i)(a)g(k+1−i)(a)). Un calcul analogue à celui

qui a été fait pour prouver la formule du binôme mène à la formule de Leibniz.

Remarque 11.5 : Les ensembles Ck(I) et Dk(I) sont donc des algèbres. Mais attention,l’opérateur D : f 7→ f ′ de dérivation, qui, pour k ≥ 1, envoie Ck(I) sur Ck−1(I), est uneapplication linéaire mais n’est pas un morphisme d’anneaux.

Proposition 11.9 : Soit 0 ≤ k ≤ ∞. Soient f : I → J et g : J → R deux fonctions declasse Ck. Alors, g f est de classe Ck.Démonstration : Si c’est vrai pour tout entier k, c’est clairement vrai pour k = ∞.Faisons donc une récurrence sur k. Pour k = 0, c’est connu : la composée de deux fonctionscontinues est continue. Supposons que ce soit vrai pour k. Soit f, g de classe Ck+1. Ellessont donc a fortiori dérivables donc g f est dérivable sur I. Regardons l’égalité (g f)′ =f ′ × g′ f . Les fonctions f ′, f et g′ sont Ck, donc (hypothèse de récurrence et Leibniz)(g f)′ est Ck. Et donc, g f ∈ Ck+1(I).

Remarque 11.6 : Pas de formule donnée pour la dérivée kième d’une composée. Cetteformule existe, c’est la formule de Faa di Bruno. La voici, for your eyes only :

(gf)(n)(x) =∑

m1+2m2+...+nmn=n

n!

m1!1!m1m2!2!m2 . . .mn!n!mng(m1+...+mn)(f(x))

n∏j=1

(f (j)(x))mj

Proposition 11.10 : Soit k ≥ 0. Soit g ∈ Ck(I) une fonction qui ne s’annule pas. Alors1g ∈ C

k(I).

Démonstration : Laissée en exercice. S’inspirer de la démonstration précédente.

Proposition 11.11 : Soit k ≥ 1. Soit f : I → J ∈ Ck(I) une bijection dont la dérivéene s’annule pas. Alors f−1 ∈ Ck(J).

Démonstration : S’inspirer des preuves précédentes, en écrivant que que f−1 est déri-vable sur J et que (f−1)′ = 1

f ′f−1 .


II Accroissements finis

II.1 Extrema locaux

Proposition 11.12 : Soit f : I → R. Soit a un point de I qui n’est pas une extrémitéde I. Si f admet un extremum local en a, alors f ′(a) = 0. La réciproque est fausse.

Démonstration : Supposons par exemple que f admet un maximum local en a. Pourtout x < a, on a f(x)−f(a)

x−a ≥ 0 car numérateur et dénominateur sont négatifs. On passe à lalimite : f ′(a) = f ′g(a) ≥ 0. En faisant de même à droite de a, on obtient f ′(a) = f ′d(a) ≤ 0.

II.2 Théorème de Rolle

Théorème 11.13 : théorème de RolleSoient a < b deux réels. Soit f : [a, b]→ R. On suppose :— f continue sur [a, b].— f dérivable sur ]a, b[.— f(a) = f(b).

Il existe alors un réel c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Démonstration : Si f est constante, c’est évident car f ′ s’annule en tout point. Sup-posons donc f non constante. Par exemple, f prend une valeur strictement inférieure àf(a) (et donc à f(b)). La fonction f est continue sur le segment [a, b]. Elle y possède doncun minimum en un point c qui, selon les hypothèses, n’est ni a ni b. On a donc f ′(c) = 0.

II.3 Accroissements finis

Notation : Étant donné un intervalle I de R, on note Io l’intervalle I privé de ses bornes(l’intérieur de I).

Théorème 11.14 : égalité des accroissements finis.Soient a < b deux réels. Soit f : [a, b]→ R. On suppose :— f continue sur [a, b].— f dérivable sur ]a, b[.

Il existe alors un réel c ∈]a, b[ tel que f(b)− f(a) = (b− a)f ′(c).

Démonstration : On considère la fonction g : [a, b] → R définie par g(x) = f(x) −f(a)−A(x−a) où A = f(b)−f(a)

b−a . La fonction g est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, etg(a) = g(b) = 0. D’après le théorème de Rolle, il existe c ∈ [a, b] tel que g′(c) = f ′(c)−A =0.

Corollaire 11.15 : inégalité des accroissements finisSoient a < b deux réels. Soit f : [a, b]→ R. On suppose :— f continue sur [a, b].

II. ACCROISSEMENTS FINIS 151

— f dérivable sur ]a, b[.— Il existe deux réels m et M tels que m ≤ f ′ ≤M sur ]a, b[.

Alors,m(b− a) ≤ f(b)− f(a) ≤M(b− a)

Démonstration : Majorer et minorer dans l’égalité des accroissements finis.

Corollaire 11.16 : inégalité des accroissements finis (bis)Soit f : I → R. On suppose :— f continue sur I.— f dérivable sur Io.— Il existe un réel M tel que |f ′| ≤M sur Io.

Alors,∀x, y ∈ I, |f(y)− f(x)| ≤M |y − x|

En d’autres termes, une fonction dérivable et dont la dérivée est bornée est lipschitzienne.

Démonstration : Soient x, y ∈ I. Supposons par exemple x < y. La fonction f vérifietoutes les hypothèses du théorème des accroissements finis sur le segment [x, y]. Il existedonc c ∈]x, y[⊂ Io tel que f(y)−f(x)

y−x = f ′(c). Donc,∣∣∣f(y)−f(x)

y−x

∣∣∣ ≤ M d’où |f(y) − f(x)| ≤M |y − x|.

II.4 Fonctions monotones

Théorème 11.17 : Soit f : I → R, continue sur I et dérivable sur Io. Alors,— f est croissante sur I si et seulement si f ′ ≥ 0 sur Io.— f est décroissante sur I si et seulement si f ′ ≤ 0 sur Io.— f est constante sur I si et seulement si f ′ = 0 sur Io.

Démonstration : Supposons f croissante sur I. Soit a ∈ Io. Pout tout x 6= a, on af(x)−f(a)

x−a ≥ 0. On passe à la limite : f ′(a) ≥ 0. Inversement, supposons f ′ ≥ 0 sur Io. Soientx, y ∈ I tels que x < y. On applique le théorème des accroissements finis sur le segment[x, y] : il existe c ∈ [x, y] ⊂ Io tel que f(y)− f(x) = (y − x)f ′(c). Le membre de droite estpositif, donc f(x) ≤ f(y) et f est bien croissante. Démonstration bien sûr identique pourf décroissante et pour f constante.

Proposition 11.18 : Soit f : I → R, continue sur I, dérivable sur Io, et croissante.Soit E = x ∈ Io, f ′(x) = 0. Alors f est strictement croissante sur I si et seulement si Ene contient aucun intervalle non trivial.

Démonstration : Une fonction croissante f n’est pas strictement croissante si et seule-ment si elle est constante sur un intervalle non trivial.

C’est en particulier le cas si E est un ensemble fini, ou si E ne contient que des points« isolés ».


II.5 Passage à la limite dans une dérivée

Soit f : [a, b]→ R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b]. On se demandesi f est dérivable en a. Une méthode consiste à étudier des taux d’accroissement. Il estcependant logique de se demander ce qui se passe pour f ′(x) lorsque x tend vers a.

Proposition 11.19 :— Si f ′(x) a une limite réelle ` lorsque x tend vers a, x 6= a, alors f est dérivable en

a et f ′(a) = `.— Si f ′(x) tend vers l’infini lorsque x tend vers a, x 6= a, alors f n’est pas dérivable

en a : plus précisément, la courbe représentative de f admet une tangente verticaleen a.

— Si f ′ n’a pas de limite en a, alors on ne peut rien dire.

Démonstration : Pour x > a, on applique le théorème des accroissements finis à fsur le segment [a, x] : il existe a < cx < x tel que f(x)−f(a)

x−a = f ′(cx). Quand x tend versa, cx aussi. Si l’on suppose que f ′(cx) tend vers ` ou ∞, le taux d’accroissement fera demême. Considérons maintenant la fonction f : R→ R définie par f(x) = x2 sin 1

x si x 6= 0,et f(0) = 0. On voit facilement que f est continue sur R et de classe C∞ sur R∗+ et R∗−.De plus, f(x)−f(0)

x−0 = x sin 1x tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, f est dérivable en 0

et f ′(0). Enfin, on a pour tout x non nul f ′(x) = 2x sin 1x − cos 1

x . Le premier terme tendvers 0 lorsque x tend vers 0, mais le second terme n’a pas de limite en 0. La fonction f ′

n’a donc pas de limite en 0.

Remarque 11.7 : Il n’y a aucun paradoxe dans le contre-exemple ci-dessus. Quand unefonction est définie en un point mais qu’elle n’a pas de limite en un point, cela signifie toutsimplement. . . qu’elle n’y est pas continue. Bref, la fonction f ci-dessus est dérivable, maisn’est pas de classe C1.

II.6 Passage à la limite pour les fonctions de classe Ck

Proposition 11.20 : Soit k ∈ N. Soient a, b ∈ R, a < b. Soit f :]a, b]→ R une fonctionde classe Ck. On suppose que pour tout i ∈ 0, . . . , k f (i)(x) a une limite finie lorsque xtend vers a. Alors f est prolongeable en une fonction de classe Ck sur [a, b].

Démonstration : La fonction f a une limite finie en a, elle est donc prolongeable enune fonction continue sur [a, b] que nous continuons à appeler f . Nous allons montrer parrécurrence sur i que pour tout i ∈ 0, . . . , k f est de classe Ci sur [a, b]. Pour i = 0, c’estdéjà fait : f est continue. Supposons la propriété vraie pour un entier i < k. La fonctionf (i) est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b], et, par hypothèse, sa dérivée a une limitefinie en a. Grâce au théorème de passage à la limite dans une dérivée, on conclut que f (i)

est de classe C1 sur [a, b], donc que f est de classe Ci+1 sur [a, b].

Corollaire 11.21 : Soient a, b ∈ R, a < b. Soit f :]a, b] → R une fonction de classeC∞. On suppose que pour tout i ∈ N f (i)(x) a une limite finie lorsque x tend vers a. Alorsf est prolongeable en une fonction de classe C∞ sur [a, b].

III. FONCTIONS À VALEURS COMPLEXES 153

Démonstration : C’est clair : f est prologeable par continuité à [a, b] et d’après lethéorème précédent son prolongement est de classe Ck pour tout entier naturel k.

III Fonctions à valeurs complexes

III.1 Dérivation

Une dérivée est une limite. La notion de dérivée s’étend donc aux fonctions à valeurscomplexes. Les opérations sur les dérivées, la formule de Leibniz, s’étendent sans difficulté.Signalons quand même que pour dériver g f , la fonction f doit être à valeurs réelles. g,en revanche, peut être à valeurs complexes.

Proposition 11.22 : Soit f : I → C. La fonction f est dérivable au point a ∈ I si etseulement si Re(f) et Im(f) le sont. On a alors f ′(a) = Re(f)′(a) + i Im(f)′(a).

Par exemple, on montre facilement avec le résultat ci-dessus la propriété suivante :

Proposition 11.23 : Soit α ∈ C. La fonction f : x 7→ eαx est de classe C∞ sur R eton a pour tout réel x, f ′(x) = αeαx.

III.2 Rolle et accroissements finis

Attention ! Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis ne sont pasvalables pour des fonctions à valeurs complexes. Par exemple, si l’on prend f(x) = x(1 −x) + ix2(1 − x), alors f est de classe C∞ sur [0, 1], f(0) = f(1) = 0, et pourtant f ′(x) =(1− 2x) + ix(2− 3x) ne s’annule pas.

En revanche, l’inégalité des accroissements finis reste vraie :

Théorème 11.24 : Soit f : [a, b]→ C continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. On supposequ’il existe un réel k tel que ∀x ∈]a, b[, |f ′(x)| ≤ k. Alors, |f(b)− f(a)| ≤ k|b− a|.

Démonstration : Contentons-nous d’une démontration lorsque f ∈ C1([a, b]) (le casgénéral est plus délicat). On utilise un résultat d’intégration démontré un peu plus bas :

|f(b)− f(a)| = |∫ b

af ′(t) dt| ≤

∫ b

a|f ′(t)| dt ≤ max

[a,b]|f ′|∫ b

adt

d’où le résultat.

III.3 Intégration

Cette section est un peu prématurée, mais on y démontre un résultat qui est utiliséci-dessus. De plus, le parallèle entre intégrale et dérivée est intéressant.

Soit f : [a, b] → C une fonction continue par morceaux. On appelle intégrale de f sur[a, b] le nombre complexe

∫ ba f(x) dx =

∫ ba Re(f(x)) dx + i

∫ ba Im(f(x)) dx. La linéarité de

l’intégrale reste vérifiée. La formule de Chasles également. On peut évidemment intégrerpar parties ou faire des changements de variable.


En revanche, on ne peut plus parler de croissance ou de positivité de l’intégrale, puis-qu’on ne peut pas comparer deux fonctions à valeurs complexes. On a cependant le résultatsuivant :

Théorème 11.25 : Soit f : [a, b] → C continue par morceaux. Alors∣∣∣∫ ba f(x) dx

∣∣∣ ≤∫ ba |f(x)| dx.

Démonstration : Soit z0 ∈ C∗. Soit Λ : C → R définie par Λ(z) = <z,z0>|z0| où les

crochets dénotent le produit scalaire usuel dans C identifié à R2. On a alors pour toutnombre complexe z, |Λ(z)| ≤ |z|, d’après l’inégalité de Schwarz. De plus, on a égalité lorsquez = z0. On a donc

∫ ba Λ(f(t)) dt ≤

∫ ba |f(t)| dt. De plus,

∫ ba Λ(f(t)) dt = Λ(

∫ ba f(t) dt). Ceci

résulte de la linéarité de a. Ceci reste valable pour tout z0 non nul. En particulier, si∫ ba f(t) dt est non nulle, on l’appelle z0, et on obtient z0 = Λ(z0) ≤

∫ ba |f(t)| dt. Si jamais

l’intégrale est nulle, l’inégalité à montrer est triviale.

IV. EXERCICES 155

IV Exercices

1. (a) Soient f, g : [a, b] → R, continues sur [a, b] et dérivables sur ]a, b[. Démontrerqu’il existe un réel c ∈]a, b[ tel que f ′(c)(g(b) − g(a)) = g′(c)(f(b) − f(a)). Onpourra considérer la fonction x 7→ f(x)(g(b)− g(a))− g(x)(f(b)− f(a)).

(b) (Règle de l’Hospital) Soient f et g deux fonctions dérivables au voisinage d’unréel a et telles que f(a) = g(a) = 0, et g, g′ 6= 0 au voisinage de a (sauf peut-êtreen a). Montrer que si f

′(x)g′(x) → ` ∈ R lorsque x→ a, alors f(x)

g(x) → ` lorsque x→ a.

(c) Calculer les limites suivantes :

limx→0sinx−xx3

, limx→0ln(1+x)−x

x2, limx→0

ln(1+x)−x+x2

2x3

2. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :xx, (cosx)sinx,ln

∣∣tan x2

∣∣, ln(x+√

1 + x2),√x+√

1 + x2

3. Calculer la dérivée nième des fonctions suivantes :1

1−x , exp(x) sinx, 11−x2

4. Soit f : R→ R dérivable. Soit ` ∈ R. On suppose que lim−∞ f = lim+∞ f = `.

(a) On suppose connue une fonction φ :] − 1, 1[→ R, dérivable, surjective, et telleque ∀x ∈] − 1, 1[, φ′(x) > 0. Soit f : [−1, 1] → R définie par f(x) = f φ(x) six 6= 1 et −1, et f(−1) = f(1) = `. Montrer que f satisfait aux hypothèses duthéorème de Rolle. En déduire l’existence d’un réel c tel que f ′(c) = 0.

(b) Montrer que l’application φ définie par φ(x) = 12 ln 1+x

1−x satisfait aux exigencesde la question précédente.

5. Soit f : R→ R de classe C∞ vérifiant pour tout entier n lim−∞ f(n) = lim∞ f

(n) = 0.Prouver que pour tout entier n, la dérivée nième de f s’annule au moins n fois surR.

6. Soit f : R → R définie par f(x) = e−x2 . Démontrer que ∀n ≥ 0,∀x ∈ R, f (n)(x) =

Pn(x)e−x2 où Pn est un polynôme de degré n ayant n racines réelles distinctes.

7. Soit f : R → R dérivable. Montrer que si f ′(x) a une limite ` lorsque x tend vers+∞, alors, f(x)

x tend aussi vers ` lorsque x → ∞. Montrer que la réciproque estfausse.

8. Théorème de Darboux. Soit f : [a, b]→ R une fonction dérivable telle que f ′(a) < 0et f ′(b) > 0.

(a) Montrer que f possède un minimum sur [a, b].

(b) Prouver que ce minimum ne peut être atteint ni en a, ni en b.

(c) En déduire l’existence d’un réel c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0

(d) En déduire que l’image d’un intervalle par une fonction dérivée est un intervalle.

(e) On sait qu’il existe des fonctions dérivées discontinues. Que nous apprend lerésultat précédent sur l’allure des discontinuités d’une dérivée ?


9. Soit f : I → R. Soit k ∈ R∗+. On dit que f est k-enneiztihcspil sur I lorsque∀x, y ∈ I, |f(y)− f(x)| ≥ k|y − x|.(a) Montrer qu’une fonction enneiztihcspil est injective.(b) Montrer que si f : I → R est enneiztihcspil et continue , alors f est strictement

monotone.(c) Donner un exemple de fonction enneiztihcspil sur R et non monotone (et donc,

forcément non continue).(d) L’ensemble E des fonctions enneiztihcspil sur R est-il stable pour l’addition ? La

multiplication par un réel ? La multiplication des fonctions ? La composition ?10. (a) Trouver toutes les applications f : R→ R dérivables vérifiant ∀x, y ∈ R, f(x+y

2 ) =12(f(x) + f(y)).

(b) Même question, mais on suppose seulement la continuité de f .11. Soit f une fonction dérivable en un point a. Déterminer la limite lorsque x tend

vers a de xf(a)−af(x)x−a .

12. Calculer la dérivée nième de la fonction f : x 7→ ex√

3 sinx.

13. Soit f : x 7→ ln(2ex−e−x)x .

(a) Quel est l’ensemble de définition de f ?(b) Prolonger f par continuité.(c) Le prolongement obtenu est-il dérivable en 0 ?(d) Est-il de classe C1 ?

14. Déterminer les fonctions f : R→ R dérivables en 0 telles que ∀x ∈ R, f(2x) = 2f(x).15. Pour x > 0, on pose f(x) = lnx

x . Montrer que pour tout entier n ≥ 1, pour toutx > 0, on a f (n)(x) = (−1)nn!

xn+1 (lnx−∑n

k=11k ).

16. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f : x 7→√x2 − x3.

17. Soit f : R → R dérivable. Montrer : ∀x > 0, ∃c > 0, f(x) − f(−x) = x(f ′(c) +f ′(−c)).

18. Soit f : I → R dérivable. Montrer que f est lipschitzienne sur I si et seulement sisa dérivée est bornée.

19. Soit f : x 7→ cos√x. La fonction f est-elle continue en 0 ? Dérivable en 0 ? f est-elle

de classe C1 sur R+ ?20. (a) Démontrer à l’aide du théorème des accroissements finis que ∀x > 0, 1

x+1 ≤ln(x+ 1)− lnx ≤ 1

x .(b) Prolonger f par continuité.(c) En déduire la limite lorsque n tend vers l’infini de

∑2np=n+1

1p .

(d) Plus généralement, étant donné un entier k ≥ 2, quelle est la limite lorsque ntend vers l’infini de

∑knp=n+1

1p ?

21. Soit α ∈ R. Soit f : R+ → R définie par f(x) = xα sin 1x si x 6= 0 et f(0) = 0. Pour

quelles valeurs de α la fonction f est-elle continue ? Dérivable ? C1 ? Lipschitzienne ?

Chapitre 12Analyse asymptotique

157

158 CHAPITRE 12. ANALYSE ASYMPTOTIQUE

I Comparaison des fonctions au voisinage d’un point

I.1 Négligeabilité, domination

Définition 12.1 : Soit a ∈ R. Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a(sauf peut-être en a). On dit que f

— est dominée par g en a lorsque f = gh, où la fonction h est bornée au voisinage dea. On note alors f = Oa(g).

— est négligeable devant g en a lorsque f = εg, où ε tend vers 0 en a. On note alorsf = oa(g) ou f ≺≺a g.

Remarque 12.1 : Lorsque la fonction g ne s’annule pas au voisinage de a, les définitionsci-dessus équivalent respectivement à (fg ) est bornée au voisinage de a, et à (fg ) tend vers0 en a.

Exemple : On a 3x2−1 = O+∞(x2). Étant donnés deux réels α < β, on a xα = o+∞(xβ)mais xβ = o0(xα).

Proposition 12.1 : Soit f une fonction définie au voisinage de a. Alors oa(f)+oa(f) =oa(f) et oa(f)× oa(f) = oa(f

2). Si f est bornée au voisinage de a, alors oa(f)× oa(f) =oa(f).

Démonstration : On a oa(f) + oa(f) = (ε + ε′)f = ε′′f où toutes les fonctions εtendent vers 0 en a. Preuves analogues dans tous les cas.

Remarque 12.2 : On remarque, dans la proposition précédente, que 1 + 1 ça ne faitpas 2 et que l’égalité n’est pas une relation symétrique. Il faut effectivement faire attentionlorsqu’on manipule des o, car oa(f) représente UNE fonction négligeable devant f en a.Donc, par exemple lorsqu’on écrit oa(f) + oa(f) on additionne deux fonctions négligeablesdevant f , mais ces deux fonctions sont a priori différentes. En cas de doute, il n’y a qu’àrevenir à la définition.

I.2 Fonctions équivalentes

Définition 12.2 : Soient deux fonctions f et g définies au voisinage de a ∈ R. On ditque ces fonctions sont équivalentes en a, et on note f ∼a g, lorsque f = λg, où λ(x)→ 1lorsque x tend vers a.

Remarque 12.3 : Ce qui équivaut à fg tend vers 1 en a, dans le cas où la fonction g ne

s’annule pas au voisinage de a.

Proposition 12.2 : L’équivalence des fonctions en un point est réflexive, symétriqueet transitive.

Proposition 12.3 : Si deux fonctions sont équivalentes en un point, et si l’une desdeux tend vers une limite, alors l’autre tend aussi vers cette même limite.

I. COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN POINT 159

Démonstration : Supposons f ∼a g et g → `. On a f = λg avec λ → 1, d’où lerésultat.

Proposition 12.4 : Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a. On a

f ∼a g ⇔ f = g + oa(g)

Démonstration : Tout simplement parce qu’une fonction λ tend vers 1 si et seulementsi on peut écrire λ = 1 + ε où ε→ 0.

Exemple : Soit P un polynôme. En±∞ P est équivalent à son terme de plus haute degré.En 0, il est équivalent à son terme de plus bas degré. Par exemple, 3x4 +7x2−2x−1 ∼+∞3x4 et 5x3 − 2x2 − 3x ∼0 −3x.

Proposition 12.5 : Si deux fonctions sont équivalentes en a, elles sont de même signeau voisinage de a.

Démonstration : Supposons f = λg, où λ → 1. Pour tout x assez proche de a, on aλ(x) ≥ 1

2 > 0, d’où le résultat.

Proposition 12.6 : L’équivalence des fonctions en un point est compatible avec lamultiplication, la division, et l’élévation à une puissance fixée. En revanche, elle n’est pascompatible avec l’addition.

Démonstration : Le produit et le quotient de deux fonctions qui tendent vers 1 tendencore vers 1. Si la fonction λ tend vers 1 et si α ∈ R, alors λα tend encore vers 1. L’additionpose problème. Par exemple, on a x2 ∼0 x

2 + x3 et −x2 + x4 ∼0 −x2. Mais on n’a PASx4 ∼0 x

3.

I.3 Équivalents classiques

Proposition 12.7 : On a les équivalents suivants EN 0 :

ex − 1 ∼ x

ln(1 + x) ∼ x

(1 + x)α ∼ αx

sinx ∼ x

1− cosx ∼ x2

2

tanx ∼ x

sinhx ∼ x

coshx− 1 ∼ x2

2

tanhx ∼ x

arcsinx ∼ x

arctanx ∼ x

argsh x ∼ x

argth x ∼ x


Démonstration : La plupart de ces formules se montrent de la même façon, en mon-trant qu’un taux d’accroissement tend vers une certaine dérivée. Par exemple, e

x−1x = ex−e0

x−0tend vers la dérivée de l’exponentielle en 0, c’est à dire 1. Seules deux formules, celles du

cosinus et celle du cosinus hyperbolique, se traitent à part. On a 1−cosxx2

=2 sin2 x

2x2

∼ 2x2

4x2

=12 →

12 . Donc, 1− cosx ∼0

x2

2 .

I.4 Fonctions de référence

Proposition 12.8 : Soient a > 1, α > 0, β > 0. On a EN +∞ :— (lnx)β = o(xα)— xα = o(ax)

Démonstration : Voir le chapitre sur la comparaison des suites.

Remarque 12.4 : Ce résultat permet de lever des indéterminations dans certaineslimites en ±∞ et en 0. Par exemple, e

x

x3→ 0 en +∞ puisque x3 = o(ex). Autre exemple,

considérons f(x) = x2 ln7 x, définie au voisinage de 0. Posons t = 1x . On a f(x) = − ln7 t

t2.

Lorsque x→ 0, t→ +∞ donc f(x)→ 0 lorsque x→ 0. Dernier exemple, soit f(x) = x3ex.Posons t = −x. On a f(x) = −t3e−t. Lorsque x → −∞, on a t → +∞, donc f(x) tendvers 0.

II Développements limités

II.1 Formule de Taylor-Young

Proposition 12.9 : Soit n ≥ 0. Soit f : I → R n fois dérivable en a ∈ I. Alors

f(x) =n∑k=0

(x− a)k

k!f (k)(a) + o((x− a)n)

Démonstration : On pose g(x) = f(x) −∑n

k=0(x−a)k

k! f (k)(a). On constate que g estn fois dérivable en a, et que g(a) = g′(a) = · · · = g(n)(a) = 0. Cela signifie en particulierque g est n− 1 fois dérivable dans un voisinage de a. On écrit alors g(x) = g(x)− g(a) =(x − a)g′(c1) avec a < c1 < x. De même g′(c1) = g′(c1) − g′(a) = (c1 − a)g′′(c2) aveca < c2 < c1. On continue jusqu’à g(n−2)(cn−2) = (cn−2 − a)g(n−1)(cn−1). On a doncg(x) = (x − a)(c1 − a) · · · (cn−2 − a)g(n−1)(cn−1) avec a < cn−1 < · · · < c1 < x. Ainsi,∣∣∣ g(x)

(x−a)n

∣∣∣ ≤ ∣∣∣g(n−1)(cn−1)x−a

∣∣∣. Or,∣∣∣g(n−1)(cn−1)

x−a

∣∣∣ ≤ ∣∣∣g(n−1)(cn−1)−g(n−1)(a)cn−1−a

∣∣∣ et cette quantité tend

vers g(n)(a) = 0 lorsque x tend vers a.

II. DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS 161

II.2 Notion de DL

Définition 12.3 : Soit f une fonction définie au voisinage du réel a. Soit n ∈ N. Ondit que f admet un développement limité à l’ordre n en a lorsqu’il existe a0, . . . , an ∈ Rtels que

f(x) =n∑k=0

ak(x− a)k + o((x− a)n)

Remarque 12.5 : On peut encore écrire f(x) = Pn(x−a)+o(x−a)n, avec Pn ∈ Rn[X].La quantité Pn(x− a) est appelée la partie régulière du D.L., et o(x− a)n est le reste.

Proposition 12.10 : Si f est n fois dérivable en a ∈ R, elle admet un D.L. à l’ordren en a.

Démonstration : C’est exactement ce que dit le théorème de Taylor-Young. Ce théo-rème donne également les coeffcients du D.L.

Proposition 12.11 :— f admet un D.L. à l’ordre 0 en a si et seulement si f est continue en a.— f admet un D.L. à l’ordre 1 en a si et seulement si f est dérivable en a.— On ne peut rien dire d’autre.

Démonstration : f a un DL à l’ordre 0 en a si et seulement si f(x) = f(a) + o(1)c’est à dire f(x) → f(a) lorsque x → a. Et f a un DL à l’ordre 1 en a si et seulement sif(x) = f(a) + k(x− a) + o(x− a). On a vu dans le cours de dérivation que ceci équivautà dire que f est dérivable en a (et que f ′(a) = k).

Proposition 12.12 : Si f admet un D.L. au point a, ce D.L. est unique.

Démonstration : Supposons

n∑k=0

ak(x− a)k + o((x− a)n) =n∑k=0

bk(x− a)k + o((x− a)n)

On en déduitn∑k=0

ck(x− a)k = o((x− a)n)

où l’on a posé ck = ak − bk. Supposons l’un au moins des ck non nul. Soit j le plus petitindice tel que cj 6= 0. Alors,

∑nk=0 ck(x − a)k ∼ cj(x − a)j et cette quantité n’est pas

négligeable devant (x− a)n.

Exemple : Si une fonction est définie au voisinage de 0, et paire, tout D.L. de cettefonction en 0 a ses coefficients de degré impair nuls. Remarque analogue pour une fonctionimpaire.


II.3 Utilité des développements limités

Les développements limités permettent de connaître le comportement d’une fonctionau voisinage d’un point : limite éventuelle de cette fonction, signe de la fonction, ex-trema,. . . Par exemple, nous savons que si une fonction est dérivable en un point et ypossède un extremum, alors sa dérivée s’annule. Mais nous savons aussi que la réciproqueest fausse. Si l’on possède un développement limité à l’ordre 2 de la fonction au pointconsidéré, on peut souvent trancher (mais pas toujours, hélas).

Proposition 12.13 : Soit f une fonction définie au voisinage du réel a. On supposeque f admet en a un DL à l’ordre 2 : f(x) = f(a) + λ(x− a)2 + o(x− a)2

— Si λ > 0, f admet un minimum local en a.— Si λ < 0, f admet un maximum local en a.— Si λ = 0 on ne peut rien dire.

Démonstration : Supposons λ 6= 0. On a f(x) − f(a) ∼ λ(x − a)2, du signe de λ auvoisinage de a.

Remarque 12.6 : Si λ = 0, une solution peut consister à faire un DL de f en a à unordre plus élevé. . . jusqu’à ce qu’un coefficient non nul apparaisse.

II.4 Développements classiques

Voici ci-dessous les développements limités en 0 pour les fonctions usuelles, à un ordrequelconque.


Proposition 12.14 :

ex =n∑k=0

xk

k!+ o(xn)

ln(1 + x) =n∑k=1

(−1)k+1xk

k+ o(xn)

arctanx =n∑k=0

(−1)kx2k+1

2k + 1+ o(x2n+2)

sinx =

n∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+2)

cosx =

n∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ o(x2n+1)

sinhx =

n∑k=0

x2k+1

(2k + 1)!+ o(x2n+2)

coshx =

n∑k=0

x2k

(2k)!+ o(x2n+1)

(1 + x)α =

n∑k=0

(α

k

)xk + o(xn)

tanx = x+1

3x3 +

2

15x5 + o(x5)

où(αk

)= α(α−1)...(α−k+1)

k! si k 6= 0, et 1 si k = 0.

Démonstration : Mise à part la fonctions arctan (pour laquelle la preuve attendra unpeu), la démonstration consiste à calculer la dérivée d’ordre k de la fonction puis à l’évalueren 0.

II.5 Somme de DLs

Notation : Si P ∈ Rn[X], et p ∈ N, on note P |p le polynôme P que l’on a tronqué audegré p (suppression des termes de degré > p).

Soient f et g deux fonctions définies au voisinage du point a, et admettant en a des D.L.d’ordres respectifs p et q. On a f(x) = P (x−a)+o(x−a)p et g(x) = Q(x−a)+o(x−a)q oùP ∈ Rp[X] et Q ∈ Rq[X]. On en tire f(x)+g(x) = P (x−a)+Q(x−a)+o(x−a)p+o(x−a)q

ou encore(f + g)(x) = (P +Q)|r(x) + o(x− a)r

où r = min(p, q).


Exemple : Un DL à l’ordre 4 en 0 de sinx est x − 16x

3 + o(x4). Un DL à l’ordre 4 en0 de cosx est 1 − 1

2x2 + 1

24x4 + o(x4). Donc, un DL à l’ordre 4 en 0 de sinx + cosx est

1 + x− 12x

2 − 16x

3 + 124x

4 + o(x4).

II.6 Produit de DLs

Soient f et g deux fonctions définies au voisinage du point a, et admettant en a des D.L.d’ordres respectifs p et q. On a f(x) = P (x− a) + o(x− a)p et g(x) = Q(x− a) + o(x− a)q

où P ∈ Rp[X] et Q ∈ Rq[X]. Posons plus précisément P (x) = xµP1(x) où P1(0) 6= 0, et demême Q(x) = xνQ1(x) où Q1(0) 6= 0. Il vient alors

f(x)g(x) = ((x− a)µP1(x− a) + o(x− a)p)((x− a)νQ1(x− a) + o(x− a)q)

= P (x− a)Q(x− a)|r + o(x− a)r

où r = min(p+ ν, q + µ).

Exemple : Déterminons un DL à l’ordre 3 en 0 de ex sinx. Avec les notations ci-dessus, on a µ = 0 et ν = 1. Il suffit donc de prendre p = 2 et q = 3. ex sinx =(1 + x+ 1

2x2 + o(x2))(x− 1

6x3 + o(x3)) = x+ x2 + 1

3x3 + o(x3).

II.7 Inverse d’un DL

Soit f ayant un développement limité à l’ordre n au point a. On suppose que f(a) 6= 0,et on cherche un D.L. en a de 1

f(x) . Pour simplifier, on suppose f(a) = 1 (on peut facilements’y ramener par une factorisation), et on écrit

f(x) = 1 + P (x− a) + o(x− a)p

où P(0)=0. On a

1

f(x)− 1

1 + P (x− a)=

o(x− a)p

f(x)(1 + P (x− a))= o(x− a)p

ou encore1

f(x)=

1

1 + P (x− a)+ o(x− a)p

Mais

1

1 + P (x− a)= 1− P (x− a) + P (x− a)2 + . . .+ (−1)kP (x− a)k + o(P (x− a)k)

Écrivons P (x) = xµP1(x). Alors o(P (x− a)k) = o(xµk). Donc,

1

1 + P (x− a)= Q(x− a) + o(P (x− a)p)

à condition de choisir k tel que µk ≥ p.


Exemple : Déterminons un D.L. à l’ordre 4 en 0 de 1cosx . On a 1

cosx = 11−u avec

u = 12x

2− 124x

4 +o(x4). Remarquons que o(u2) = o(x4). De là, 1cosx = 1 +u+u2 +o(u2) =

1 + u+ u2 + o(x4) = 1 + 12x

2 + 524x

4 + o(x4).Déduisons-en un D.L. à l’ordre 5 en 0 de tanx : tanx = sinx 1

cosx = (x− 16x

3 + 1120x

5 +o(x5))(1 + 1

2x2 + 5

24x4 + o(x4)) = x+ 1

3x3 + 2

15x5 + o(x5).

II.8 Composition de DLs

Nous traitons juste deux exemples.

Exemple : Soit f(x) = ln cosx. Faisons un DL de f en 0 à l’ordre 4. On a f(x) = ln(1+u)où u = −1

2x2 + 1

24x4 +o(x4) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Donc, f(x) = u− 1

2u2 +o(u2)

et on s’arrête à l’ordre 2 parce que o(u2) = o(x4). Finalement, f(x) = 12x

2 − 112x

4 + o(x4).

Exemple : Faisons un DL à l’ordre 3 en 0 de f(x) = eex . On a f(x) = exp(1+x+ 1

2x2 +

16x

3 + o(x3)) = e expu où u = x + 12x

2 + 16x

3 + o(x3) tend vers 0 lorsque x tend vers 0.Donc, f(x) = e(1 + u+ 1

2u2 + 1

6u3 + o(u3)) = e(1 + x+ x2 + 5

6x3 + o(x3)).

II.9 Primitivation de DLs

Proposition 12.15 : Soit f une fonction dérivable au voisinage du point a. On supposeque f ′ admet en a un D.L. à l’ordre n :

f ′(x) =n∑k=0

ak(x− a)k + o(x− a)n

Alors, f admet en a un D.L. à l’ordre n+ 1 qui est

f(x) = f(a) +

n∑k=0

akk + 1

(x− a)k+1 + o(x− a)n+1

Remarque 12.7 : Ce théorème est bien un théorème d’intégration de D.L : si g a unD.L. à l’ordre n, alors toute primitive de g aura un D.L. à l’ordre n+ 1 en ce même point,obtenu en intégrant « formellement » le D.L. de g. En revanche, si g a un DL à l’ordre nen a, si g est dérivable au voisinage de a, on ne peut absolument pas affirmer que g′ auraun DL en a.

Démonstration : Posons φ(x) = f(x) − f(a) −∑n

k=0akk+1(x − a)k+1. La fonction φ

est dérivable au voisinage de a, et on a φ′(x) = o(x − a)n. Utilisons le théorème desaccroissements finis : φ(x) = φ(x) − φ(a) = (x − a)φ′(c) où c est situé entre a et x. On adonc φ(x) = (x− a)(c− a)nε(c) = (x− a)n+1ε(x) = o(x− a)n+1.

Exemple : Soit f : x 7→ arctanx. La fonction f est de classe C∞ sur R, elle admet doncdes développements limités de tous ordres en 0. On a f ′(x) = 1

x2+1=∑n

k=0(−1)kx2k +


o(x2n+1). Le théorème d’intégration des DL nous dit que arctanx a un DL à l’ordre 2n+ 2en 0, obtenu en intégrant formellement le DL ci-dessus. Ainsi, comme arctan 0 = 0,

arctanx =n∑k=0

(−1)kx2k+1

2k + 1+ o(x2n+2)

Exercice : Déterminer un DL à l’ordre 5 en 0 de arcsinx.

Exemple : Soit f(x) = arccos(1 − x2), définie sur [0, 1]. La fonction f est continuesur [0, 1] et dérivable sur ]0, 1]. Vérifions qu’elle est dérivable en 0. Pour tout x ∈]0, 1],on a f ′(x) = 2√

2−x2 . Donc, f ′(x) tend vers√

2 lorsque x tend vers 0. On en déduit quef est dérivable en 0 et f ′(0) =

√2. Un DL en 0 de f ′ à l’ordre 4 est f ′(x) =

√2 +

x2

2√

2+ 3x4

16√

2+ o(x4). On en déduit grâce au théorème d’intégration des DL, que f(x) =

√2x + x3

6√

2+ 3x5

80√

2+ o(x5). Posant x =

√1− t, on en déduit ce que l’on appelle un

développement asympotique de la fonction arccos en 1 :

arccos t =√

2(1− t)12 +

(1− t)32

6√

2+

3(1− t)52

80√

2+ o((1− t)

52 )

III Développements asymptotiques

III.1 Notion de DA

Si l’on reprend l’exemple de la fonction arccos du paragraphe précédent, on voit quel’on a effectué au voisinage de 1 quelque chose qui ressemble à un développement limité,sauf que ce n’en est pas un. D’ailleurs, aucun développement limité de arccos au voisinagede 1 n’existe (sauf un DL à l’ordre 0), puisque cette fonction n’est pas dérivable en 1. Sil’on regarde attentivement ce que l’on a fait, on a écrit arccosx sous forme d’une sommede fonctions, chaque fonction étant négligeable en 1 devant la précédente. De façon gé-nérale, soit f une fonction définie au voisinage de a ∈ R. On effectue un développementasymptotique de f en a lorsqu’on écrit

f(x) = φ0(x) + φ1(x) + φn(x) + oa(φn(x))

où pour tout k ∈ [1, n], φk(x) = oa(φk−1(x)).On voit qu’un développement limité de f en a ∈ R est un cas particulier de DA, obtenu

en prenant φk(x) = (x− a)k.

III. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 167

III.2 Quelques exemples

Exemple : On prend f(x) = xx et a = 0. On a f(x) = exp(x lnx) = 1 + x lnx +12x

2 ln2 x+ o(x2 ln2 x).

Exemple : On prend f(x) =√

sinhx et a = +∞. On a f(x) =√

12(ex − e−x). On

factorise ex sous la racine : f(x) = 1√2ex2

√1− e−2x. Comme e−2x tend vers 0 lorsque x

tend vers l’infini, on peut faire un « DL » de la racine carrée : f(x) = 1√2ex2 (1 − 1

2e−2x −

18e−4x + o(e−4x)) = 1√

2(e

x2 − 1

2e− 3

2x − 1

8e− 7

2x + o(e−

72x)).

Exemple : On prend f(x) = arctanx et a = +∞. On a pour x > 0 f(x) = π2−arctan 1

x =π2 −

1x + 1

3x3+ o( 1

x3).

Exemple : On prend f(x) = cotan x et a = 0. On a f(x) = cosxsinx = 1

xcosxg(x) où g(x) =

sinxx = 1 − 1

6x2 + 1

120x4 + o(x4). On fait ensuite un DL (à l’ordre 5) de cosx

g(x) = 1 − 13x

2 −145x

4 + o(x5) d’où cotan x = 1x −

13x−

145x

3 + o(x4).

III.3 La formule de Stirling

Il existe des équivalents pas évidents du tout à démontrer. C’est le cas de la formule deStirling.

Proposition 12.16 : On a n! ∼(ne

)n√2πn.

La démonstration de la formule de Stirling est longue et nécessite un certain nombrede lemmes.

Posons un =∑n

k=1 ln k − n lnn+ n− 12 lnn.

Lemme III.1 On a un+1 − un ∼ − 112n2 .

Démonstration : un+1 − un = ln(n+ 1)− (n+ 1) ln(n+ 1) + (n+ 1)− 12 ln(n+ 1) +

n lnn−n+ 12 lnn = 1− (n+ 1

2) ln(1 + 1n). Comme 1

n tend vers 0, on peut utilser un DL deln(1 +x) en 0 : un+1−un = 1− (n+ 1

2)( 1n −

12

1n2 + 1

31n3 + o( 1

n3 )) = − 112n2 + o( 1

n2 ) ∼ − 112n2 .

On voit donc que la différence un+1 − un entre deux termes successifs de la suite (un)tend vers 0. En fait, cette différence tend assez vite vers 0 pour que la suite (un) converge.

Lemme III.2 La suite (un) est convergente.

Démonstration : Pour tout n assez grand, on a 12 ≤

un+1−un− 1

12n2≤ 3

2 , ou encore − 124n2 ≥

un+1−un ≥ − 18n2 . On déduit de la première inégalité que la suite (un) décroît à partir d’un

certain rang N . Il reste à prouver qu’elle est minorée. C’est l’autre inégalité qui permettrade conclure. Soit n ≥ N . On a un =

∑n−1k=N (uk+1− uk) + uN ≥ −1

8

∑n−1k=N

1k2

+ uN . Il nousfaut un lemme pour montrer le lemme . . .


Lemme III.3 Soit vn =∑n

k=11k2. La suite (vn) est majorée.

Démonstration : La suite (vn) est croissante. Pour montrer qu’elle est majorée, il suffitde montrer que la suite extraite (v2n) est majorée. Or, v2n+1−v2n =

∑2n+1−1k=2n

1k2≤ 1

22n×2n

(le nombre de termes de cette somme) ≤ 12n . D’où v2n = (v2− v1) + (v4− v2) + (v8− v4) +

. . .+ (v2n − v2n−1) + v1 ≤ 120

+ 121

+ . . .+ 12n−1 + 1 = 3− 1

2n−1 ≤ 3.

Démonstration : Retour à un. . . On a pour tout n ≥ N , un ≥ uN − 38 . La suite (un)

est décroissante à partir d’un certain rang, minorée, donc converge vers un réel `.

Lemme III.4 Il existe un réel C > 0 tel que n! ∼(ne

)nC√n.

Démonstration : Il séavère que un = ln n!

(ne )n√

n. Cette quantité tend vers `, donc

exp(un) tend vers C = e`, d’où l’équivalent cherché.

Il reste maintenant à calculer C, et même cela n’est pas simple. À cet effet, introduisonsles intégrales de Wallis. Pour tout n ∈ N, soit Wn =

∫ π2

0 sinn t dt.

Lemme III.5 La suite (Wn) est positive, décroissante.

Démonstration : La positivité est évidente : on intègre une fonction positive. Pourtout entier n, on a Wn+1 −Wn =

∫ π2

0 sinn t(sin t− 1) dt. Cette fois on intègre une fonctionnégative, d’où la décroissance.

Lemme III.6 On a pour tout entier n ≥ 2, Wn = n−1n Wn−2.

Démonstration : On intègre par parties Wn, en posant u′ sin t et v = sinn−1 t. Lecalcul est laissé au lecteur (s’il reste un lecteur).

Lemme III.7 On a pour tout entier n, W2n = (2n)!22nn!2

π2 et W2n+1 = 22nn!2

(2n+1)! .

Démonstration : Récurrence sur n, utiliser le lemme précédent.

Lemme III.8 nWnWn+1 → π2 lorsque n tend vers l’infini.

Démonstration : Posons un = nWnWn+1. On a u2n = 2n2n+1

π2 , qui tend bien vers π

2

lorsque n tend vers l’infini. Et u2n+1 = (2n + 1)W2n+1W2n+ 2 = 2n+12n+2

π2 qui tend aussi

vers π2 . On conclut avec la « réciproque » du théorème sur les suites extraites.

Lemme III.9 Wn ∼Wn+1.

III. DÉVELOPPEMENTS ASYMPTOTIQUES 169

Démonstration : On a Wn+2 = n+1n+2Wn ≤ Wn+1 ≤ Wn, d’où n+1

n+2 ≤Wn+1

Wn≤ 1. On

conclut avec le théorème d’encadrement des limites.

Lemme III.10 Wn ∼√

π2n .

Démonstration : En, effet, nWnWn+1 ∼ nW 2n → π

2 .

On y est !

Lemme III.11 C =√

2π

Démonstration : On aW2n = (2n)!22nn!2

π2 ∼

( 2ne )

2nC√

2n

22n((ne )nC√n)

2π2 = 1

Cπ√2n. Par ailleursW2n ∼√

π4n . D’où C ∼

√2π. Mais C est constant. Donc, C =

√2π.

Moralité : il n’est pas toujours facile de trouver un équivalent. . .


IV Exercices

1. Comparer les fonctions suivantes au voisinage des points indiqués.(a) x lnx et ln(1 + 2x) au voisinage de 0.(b) x lnx et

√x2 + 3x ln(x2) au voisinage de +∞.

(c) 1x+1 et ln

(1 + 1

x

)au voisinage de −1.

2. Vrai ou faux ? Si f et g sont équivalentes au voisinage de a, et g est croissante auvoisinage de a, alors f est croissante au voisinage de a.

3. On se donne deux fonctions f et g équivalentes au voisinage de a. Vrai ou faux ?(a) Si f (et donc g) tend vers l ∈ R au point a, alors ef ∼ eg au voisinage de a.(b) Si f (et donc g) tend vers +∞ au point a, alors ef ∼ eg au voisinage de a.(c) Si f (et donc g) tend vers −∞ au point a, alors ef ∼ eg au voisinage de a.

4. On se donne deux fonctions f et g strictement positives équivalentes au voisinagede a. Soit l ∈ R+ \ 1. On suppose que g(x)→ l lorsque x→ a.(a) Montrer que ln f ∼ ln g au voisinage de a.(b) Montrer que la conclusion devient fausse si l = 1.

5. Soient f et g deux fonctions définies au voisinage d’un point a. Montrer

ef∼aeg ⇔ f − g →a 0

6. Déterminer la limite éventuelle de f(x) lorsque x tend vers a.

(a) a = 0, f(x) = x(3 + x)√x+3√

x sin√x.

(b) a = 0, f(x) = (cosx)1/x2 .

(c) a = 0, f(x) =(

xsinx

) sin xx−sin x .

(d) a = 0, f(x) =(1 + 3 tan2 x

) 1x sin x .

(e) a = π4 , f(x) = tan(2x) ln(tanx).

(f) a = +∞, f(x) = tan 1x

√1 + x2.

7. Calculer : limx→0sinhx−x−x

3

6x5

, limx→01x2− 1

tan2 x, limx→e

ex−xe(x−e)2

8. Donner un équivalent en 0 de (2 + cosx)(2 + coshx)− 9

9. Soit f : R→ R définie par f(x) = sin(tanx)−tan(sinx). À l’aide d’une calculatrice,déterminer à quel ordre il faudrait effectuer un DL de f pour en obtenir un équivalenten 0.

10. Déterminer un DL en a à l’ordre n pour la fonction f :

(a) a = 0, n = 2, f(x) = ln(αx + βx) (α, β réels strictement positifs)(b) a = π/4, n = 2, f(x) =

√sinx

IV. EXERCICES 171

(c) a = 0, n = 3, f(x) = e√

1+x

(d) a = 0, n = 4, f(x) =√

1 + cosx

11. Soit f : [−π, π]→ R définie par f(0) = 0 et f(x) = 1x −

12 sin x

2si x 6= 0. Démontrer

que f est de classe C1.

12. Soit f : R→ R définie par f(x) = xex.

(a) Démontrer qu’il existe un segment I centré en 0 sur lequel f ′ > 0. La fonctionf : I → J = f(I) est donc bijective, et sa réciproque, que l’on notera g, est declasse C∞.

(b) Déterminer un DL à l’ordre 3 de la fonction g en 0.

13. (a) Soit f une fonction deux fois dérivable en un réel x. Déterminer la limite lorsqueh→ 0, h 6= 0 de f(x+h)+f(x−h)−2f(x)

h2.

(b) En déduire les fonctions f : R → R de classe C2 vérifiant ∀x, y ∈ R, f(x + y) +f(x− y) = 2f(x)f(y).

14. Soit f : R→ R de classe C2 vérifiant ∀x, y ∈ R, f(x− y)f(x+ y) ≤ f(x)2.

(a) Démontrer que ∀x ∈ R, f(x)f ′′(x) ≤ f ′(x)2.

(b) Dans le cas où f ne s’annule pas, que peut-on dire de ln |f | ?(c) Réciproque ?

15. (a) Montrer que, pour tout réel x > 0, il existe un unique réel θx ∈]0, 1[ tel queln(1 + x) = x

1+θxx.

(b) Prouver que θx tend vers 12 lorsque x tend vers 0.

16. On pose un = n ln(

1 +ln(1+ 1

n)

lnn

).

(a) Déterminer un équivalent de un.

(b) On pose vn = (eun − 1) lnn. Étudier la convergence de (vn).

(c) On pose wn =((

ln(n+1)lnn

)n− 1)

lnn. Étudier la convergence de (wn).

17. Donner un équivalent simple des suites ci-dessous.

(a) un = (n+ 1)1

n+1 − n1n .

(b) un =(tan

(π3 + 1

n

))n.(c) un =

√n+√n2 + 1−

√n+√n2 − 1.

18. Pour tout n ∈ N∗, on pose sn =∑n

k=11√k.

(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗, 1√n+1≤ 2(√n+ 1−

√n) ≤ 1√

n.

(b) En déduire que (sn) tend vers l’infini lorsque n tend vers l’infini.

(c) On pose pour tout n ≥ 1 un = sn−2√n. Montrer que la suite u est convergente.

(d) Donner un équivalent simple de sn.

19. Trouver un équivalent simple des suites suivantes et donner leur limite.


(a) un = n3−√n2+1

lnn−2n2 .

(b) un = n!+en

2n+3n .

(c) un = 2n3−lnn+1n2+1

.

20. Trouver la limite éventuelle des suites suivantes.

(a) un = n

√ln(

1 + 1n2+1

).

(b) un =(1 + sin 1

n

)n.(c) un = n

√n+1

(n+1)√n .

21. On pose pour tout entier n un = n!nn .

(a) Calculer la limite de un+1

unlorsque n tend vers l’infini.

(b) Montrer que (un) est convergente.

(c) Déterminer la limite de (un).

22. Montrer que 1! + 2! + . . .+ n! ∼ n!.

Chapitre 13Groupes, anneaux, corps

173

174 CHAPITRE 13. GROUPES, ANNEAUX, CORPS

I Lois de composition interne

I.1 Définition

Définition 13.1 : Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne(ou plus simplement opération) sur E toute application ? : E × E → E.

L’usage est de noter x ? y l’image du couple (x, y) par l’opération ?. La plupart deslois classiques sont notées additivement (+) ou multiplicativement (×, ou .) mais ce n’estpas obligé (penser à l’intersection et la réunion des ensembles (∩,∪), à la composition desapplications (), à l’opération (x, y) 7→ xy,. . . ).

I.2 Propriétés fondamentales des lois de composition

Commutativité

Définition 13.2 : Soient E un ensemble non vide et ? une opération sur E. On dit que? est commutative lorsque pour tous éléments x et y de E, on a :

x ? y = y ? x

Exemple : L’addition et la multiplication sont commutatives dans R. La compositionn’est pas commutative dans l’ensemble RR des fonctions de R vers R. La soustraction n’estpas commutative dans Z. La réunion est commutative dans l’ensemble P(A) des partiesd’un ensemble A.

Associativité

Définition 13.3 : Soient E un ensemble non vide et ? une opération sur E. On dit que? est associative lorsque pour tous éléments x, y et z de E, on a :

(x ? y) ? z = x ? (y ? z)

Remarque 13.1 : Les parenthèses deviennent alors inutiles, et on peut alors écrire plussimplement x ? y ? z.

Exemple : L’addition et la multiplication sont associatives dans R. La compositionest associative dans l’ensemble RR des fonctions de R vers R. La soustraction n’est pasassociative dans Z. La réunion et l’intersection sont associatives dans l’ensemble P(A) desparties d’un ensemble A.

I. LOIS DE COMPOSITION INTERNE 175

Élément neutre

Définition 13.4 : Soient E un ensemble non vide et ? une opération sur E. Soit e unélément de E. On dit que e est neutre pour l’opération ? lorsque pour tout x dans E on a :

x ? e = e ? x = x

Exemple : 0 est neutre pour l’addition dans C. 1 est neutre pour la multiplication dansQ. idR est neutre pour la composition dans RR. ∅ est neutre pour la réunion dans P(A).La soustraction dans R ne possède pas d’élément neutre : il n’existe aucun réel a tel quepour tout réel x, on ait x− a = a− x = x.

Proposition 13.1 : L’élément neutre, lorsqu’il existe, est nécessairement unique.

Démonstration : Soient e et e′ deux neutres pour ?. On a e ? e′ = e puisque e′ estneutre, mais on a aussi e ? e′ = e′ puisque e est neutre. Donc, e = e′.

Élément absorbant

Définition 13.5 : Soient E un ensemble non vide et ? une opération sur E. Soit ζ unélément de E. On dit que ζ est absorbant pour l’opération ? lorsque pour tout x dans E ona :

x ? ζ = ζ ? x = ζ

Exercice : L’élément absorbant, s’il existe, est-il forcément unique ?

Élément inversible

Définition 13.6 : Soient E un ensemble non vide muni d’une opération ? possédantun neutre e. Soit x un élément de E. On dit que x est inversible pour l’opération ? lorsqueil existe un élément x′ de E tel que :

x ? x′ = x′ ? x = e

Un tel élément x′ est appelé symétrique (ou inverse) de x pour l’opération ?.

Proposition 13.2 : Si l’opération est associative, le symétrique, lorsqu’il existe, estunique

Démonstration : Soit x un élément de E. Soient x′ et x′′ deux symétriques de x.On a x ? x′ = e d’où x′′ ? (x ? x′) = x′′ ? e = x′′. Mais l’opération ? est associative :(x′′ ? x) ? x′ = e ? x′ = x′ = x′′.

Remarque 13.2 : Le symétrique de x est couramment noté x−1. Pour certaines lois(comme l’addition), le symétrique est appelé l’opposé, et le symétrique de x est noté −x.


Élément régulier

Définition 13.7 : Soit E un ensemble non vide muni d’une opération ?. Soit x unélément de E. On dit que x est régulier pour l’opération ? lorsque, pour tous éléments y etz de E, on a

x ? y = x ? z ⇒ y = z et y ? x = z ? x⇒ y = z

Proposition 13.3 : Si l’opération est associative, un élément inversible est toujoursrégulier. La réciproque est fausse.

Démonstration : Soit x inversible, d’inverse x′. Soient y et z tels que x ? y = x ? z.On a alors y = x′ ? x ? y = x′ ? x ? z = z. L’inversibilité entraîne la régularité. En revanche,Dans l’ensemble Z muni de la multiplication, le nombre 2 est régulier (2y = 2z ⇒ y = z)mais pas inversible : il n’existe pas d’entier x tel que 2x = 1.

Distributivité

Définition 13.8 : Soit E un ensemble non vide muni de deux opérations ? et ⊥. Ondit que ? est distributive par rapport à ⊥ lorsque pour tous éléments x, y, z de E, on a :

x ? (y⊥z) = (x ? y)⊥(x ? z) et (y⊥z) ? x = (y ? x)⊥(z ? x)

II Groupes

II.1 Définitions

Définition 13.9 : Soient G un ensemble non vide, et ? une opération sur G. On ditque (G, ?) est un groupe lorsque

— ? est associative.— ? possède un élément neutre.— Tout élément de G est inversible pour la loi ?.

Si, de plus, ? est commutative, on dit que le groupe G est commutatif (ou abélien 1).

Remarque 13.3 : Dans la suite, lorsqu’on travaillera sur un groupe G “abstrait”, onnotera multiplicativement l’opération sur ce groupe. On notera également e le neutre G,sauf mention contraire (et si le groupe est G′, on note son neutre e′, etc).

1. En l’honneur du mathématicien Niels Henrik Abel

II. GROUPES 177

II.2 Puissances d’un élément

Définition 13.10 : Soit G un groupe de neutre e. On définit pour x ∈ G et n ∈ Z,l’élément xn ∈ G par :

— x0 = e— ∀n ∈ N, xn+1 = xnx— ∀n ∈ Z−, xn = (x−n)−1

Proposition 13.4 : Soit G un goupe. On a pour tous x, y ∈ G,— (x−1)−1 = x— (xy)−1 = y−1x−1

Proposition 13.5 : Soit G un groupe. Soient x, y ∈ G tels que xy = yx. On a pourtous entiers m,n ∈ Z xmyn = ynxm.

Démonstration : On montre d’abord par récurrence sur n que pour tout n ∈ N, xny =ynx. C’est clair pour n = 0, 1. Supposons que cela soit vrai pour un certain entier n. Ona alors xn+1y = xnxy = xnyx = yxnx = yxn+1. Conséquence, xm et yn commutent pourtous entiers naturels m et n : poser Y = xm, Y = y. X et Y commutent, donc X et Y n

commutent. Si m < 0 et n ∈ N, on a x−mxmyn = yn et x−mynxm = ynx−mxm = yn. D’oùxmyn = ynxm. De même pour les deux cas restants.

Proposition 13.6 : Soit G un groupe. On a— ∀x, y ∈ G, ∀n ∈ Z, (xy)n = xnyn à condition que xy = yx.— ∀x ∈ G,∀m,n ∈ Z, xm+n = xmxn.— ∀x ∈ G,∀m,n ∈ Z, xmn = (xm)n.

Démonstration : Démontrons la première propriété. On la montre d’abord pour n ∈ Npar récurrence sur n. C’est évident pour n = 0, 1. Supposons que cela soit vrai pour uncertain entier n. On a alors (xy)n+1 = (xy)nxy = xnynxy = xnxyny = xn+1yn+1. Montronsmaintenant la propriété pour n < 0. Pour n = −1, on a (xy)−1 = (yx)−1 = x−1y−1. On a(xy)n = ((xy)−n)−1 = (x−ny−n)−1 = xnyn.

Démontrons la deuxième propriété. Il y a 5 cas à considérer.— Pour n ∈ N, on fait une récurrence sur n. xm+0 = xm = xme = xmx0. Supposons

xm+n = xmxn. Alors xm+n+1 = xm+nx = xmxnx = xmxn+1.— Supposons maintenant m,n < 0. On a xmxn = (x−m)−1(x−n)−1 = (x−nx−m)−1 =

(x−n−m)−1 = xmxn. Dans la dernière égalité, on a utilisé le premier cas puisque−m et −n sont positifs.

— Supposonsm < 0, n > 0 etm+n ≥ 0. On a xmxn = xmx−m+m+n = xmx−mxm+n =xm+n. On a encore une fois utilisé le cas 1 avec −m et m+ n.

— Supposons m < 0, n > 0 et m + n < 0. On a xmxn = (x−m)−1(x−n)−1 =(x−nx−m)−1 = (x−nxn+(−m−n))−1 = (x−nxnx−m−n)−1 = (x−m−n)−1. On a uti-lisé le premier cas avec n et −m− n.

— Dans le cas où m < 0 et n > 0, on utilise −n et −m dans les deux cas précédents :xmxn = (x−nx−m)−1 = (x−n−m)−1 = xmxn.


La troisième propriété est laissée en exercice.

Remarque 13.4 : Conséquence importante de ces formules, les puissances d’un élémentx de G commutent entre-elles.

Remarque 13.5 : Pour certains groupes abéliens G, l’opération est notée « additive-ment ». On ne parle pas de puissances, mais de multiples. Le neutre est la plupart du tempsnoté 0, et ce qui précède devient :

Définition 13.11 : Soit (G,+) un groupe de neutre 0. On définit pour x ∈ G et n ∈ Z,l’élément nx ∈ G par :

— 0x = 0— ∀n ∈ N, (n+ 1)x = nx+ x— ∀n ∈ Z−, nx = −(−nx)

Proposition 13.7 : Soit (G,+) un groupe. On a— ∀x ∈ G,∀m,n ∈ Z, (m+ n)x = mx+ nx.— ∀x ∈ G,∀m,n ∈ Z, (mn)x = m(nx).— ∀x, y ∈ G, ∀n ∈ Z, n(x + y) = nx + ny (l’usage veut que la notation additive soit

réservée à des opérations commutatives).

II.3 Sous-groupes

Définition 13.12 : Soit (G, ?) un groupe. Soit H une partie de G. On dit que H estun sous-groupe de G lorsque (H, ?) est lui-même un groupe.

Proposition 13.8 : Le neutre de H est le même que celui de G, et l’inverse d’unélément de H est le même que celui de cet élément, vu comme un élément de G.

Démonstration : On a eHeH = eH . En multipliant par l’inverse de eH dans G, onobtient eH = eG. On le note simplement e dans la suite. Soit maintenant x ∈ H. Ondispose de x′, inverse de x en tant qu’élément de H, et x′′, l’inverse de x dans G. On axx′ = e. On multiplie par x′′ à gauche, il vient x′′xx′ = x′ = ex′′ = x′′.

Proposition 13.9 : Soit G un groupe. Soit H ⊂ G. Alors, H est un sous-groupe de Gsi et seulement si

— H 6= ∅— Pour tous éléments x et y de H, xy ∈ H— Pour tout élément x de H, x−1 ∈ H.

Démonstration : Dans un sens, c’est clair. Un sous groupe de G contient le neutre,donc il est non vide. De plus, il est stable par multiplication, et on a vu que l’inverse d’unélément de H était l’inverse de cet élément dans G. Inversement, soit H non vide, stablepar multiplication et inversion. L’associativité est automatique puisque H est inclus dansG. Soit x ∈ H. Alors x−1 ∈ H donc e = xx−1 ∈ H. Donc H a bien un neutre (celui de G,évidemment).

II. GROUPES 179

Remarque 13.6 : Les deux dernières assertions sont équivalentes à : pour tous x et yde H, xy−1 ∈ H. Preuve laissée en exercice.

II.4 Morphismes de groupes

Définition 13.13 : Soient (G, ?) et (G′, ∗). deux groupes. Soit f : G→ G′. On dit quef est un morphisme (de groupes) lorsque

∀x, y ∈ G, f(x ? y) = f(x) ∗ f(y)

Proposition 13.10 : Soit f : G→ G′ un morphisme de groupes. On a :— f(e) = e′

— ∀x ∈ G, f(x−1) = f(x)−1

— ∀x ∈ G,∀n ∈ Z, f(xn) = f(x)n

Démonstration : On a ee = e donc f(e)f(e) = f(e). On multiplie des deux côtéspar l’inverse de f(e) et on obtient f(e) = e′. Soit maintenant x ∈ G. On a xx−1 = edonc f(x)f(x−1) = f(e) = e′. On multiplie des deux côtés par l’inverse de f(x) et onobtient f(x−1) = f(x)−1. Pour la dernière propriété, prenons d’abord n ∈ N et faisonsune récurrence. Pour n = 0, c’est clair puisque f(x0) = f(e) = e′ = f(x)0. Supposonsmaintenant que pour un certain entier n, on a f(xn) = f(x)n. Alors f(xn+1) = f(xnx) =f(xn)f(x) = f(x)nf(x) = f(x)n+1. Soit enfin n < 0. On a n = −p où p est un entiernaturel. Alors, f(xn) = f((xp)−1) = f(xp)−1 = (f(x)p)−1 = f(x)n.

Remarque 13.7 : Il convient bien entendu de traduire la proposition précédente lorsquel’une des lois de groupe (voire les deux) est une loi additive. Par exemple, l’exponentielleest un morphisme de (R,+) vers (R∗,×), puisque ex+y = exey. Donc, on a enx = (ex)n

(l’exponentielle d’un multiple est une puissance de l’exponentielle).

Définition 13.14 : Soit f : G→ G′ est un morphisme de groupes, on dit que :— f est un isomorphisme lorsque f est bijectif.— f est un endomorphisme lorsque G = G′ (et que les opérations sur G et G′ sont

identiques).— f est un automorphisme lorsque f est un endomorphisme bijectif.

Définition 13.15 : Deux groupes sont isomorphes lorsqu’il existe un isomorphisme del’un vers l’autre.

II.5 Noyau et image d’un morphisme

Définition 13.16 : Soit f : G→ G′ un morphisme de groupes. On appelle— Noyau de f , et on note ker f l’ensemble des éléments de G dont l’image par f est

le neutre de G′ :ker f = x ∈ G, f(x) = e′


— Image de f , et on note Im f , l’ensemble des images de tous les éléments de G :

Im f = f(x), x ∈ G

Remarque 13.8 : On a ker f = f−1(e′) et Imf = f(G).

Proposition 13.11 :Le noyau d’un morphisme de groupes f : G→ G′ est un sous-groupe de G.L’image d’un morphisme de groupes f : G→ G′ est un sous-groupe de G′.

Démonstration : La remarque ci-dessus nous dit que ker f est l’image réciproquepar f d’un sous-groupe de G′ et Imf est l’image directe par f d’un sous-groupe de G.Montrons donc, dans un élan de généralité, que l’image directe d’un sous-groupe par unmorphisme est un morphisme, et de même pour l’image réciproque. Soit donc H un sous-groupe de G. Soit H ′ = f(H). H est non vide, donc H ′ aussi. Soient y, y′ ∈ H ′. Il existex, x′ ∈ G tels que y = f(x) et y′ = f(x′). D’où yy′ = f(x)f(x′) = f(xx′) ∈ H ′. Ety−1 = f(x)−1 = f(x−1) ∈ H ′. H ′ est bien un sous-groupe de G′.

Soit maintenant H ′ un sous-groupe de G′, et posons H = f−1(H ′). On a f(e) = e′ ∈ H ′donc e ∈ H et H est non vide. Soient x, x′ ∈ H. On a f(xx′) = f(x)f(x′) ∈ H ′ doncxx′ ∈ H. Enfin, f(x−1) = f(x)−1 ∈ H ′ donc x−1 ∈ H. H est bien un sous-groupe de G.

Proposition 13.12 : Soit f : G→ G′ un morphisme de groupes. Alors :— f est injectif si et seulement si ker f = e.— f est surjectif si et seulement si Imf = G′.

Démonstration : Supposons f injectif. Soit x ∈ G. On a x ∈ ker f si et seulement sif(x) = e′ = f(e), si et seulement si x = e par l’injectivité de f . Supposons maintenantque ker f ne contient que e. Soient x, x′ ∈ G tels que f(x) = f(x′). Alors f(x)f(x′)−1 = e′

ou encore f(xx′−1) = e′. Donc xx′−1 ∈ ker f d’où xx′−1 = e et on a bien x = x′. Lacaractérisation de la surjectivité est évidente.

III Anneaux et corps

III.1 Définitions

Définition 13.17 : Soit A un ensemble muni de deux opérations + et × (notées additi-vement et multiplicativement pour simplifier). On dit que (A,+,×) est un anneau lorsque :

— (A,+) est un groupe abélien (dont on notera le neutre 0).— A possède un élément neutre pour la multiplication (que l’on notera 1).— La multiplication dans A est associative.— La multiplication dans A est distributive par rapport à l’addition.

Si, de plus, la multiplication dans A est commutative, on dit que A est un anneau commu-tatif.

III. ANNEAUX ET CORPS 181

Exemple : Z, Q, R, C avec les opérations usuelles sont des anneaux commutatifs. Nn’en est pas un. Si E est un ensemble, l’ensemble RE des applications de E dans R est unanneau, en posant (f+g)(x) = f(x)+g(x) et (fg)(x) = f(x)g(x) pour toutes f, g ∈ RE ettout x ∈ E. Cela fonctionne toujours si, à la place de R on prend un anneau A quelconque.

Remarque 13.9 : L’ensemble 0, muni des opérations 0 + 0 = 0 × 0 = 0 est unanneau, appelé l’anneau nul. Dans cet anneau, on a 1 = 0. Cette situation est tout à faitexceptionnelle. En effet, soit A un anneau dans lequel 1 = 0. Soit x ∈ A. On a alorsx.1 = x, et x.1 = x.0 = 0. Donc, x = 0. Ainsi, A est l’anneau nul. En conclusion, dans unanneau autre que l’anneau nul, on a toujours 1 6= 0.

Définition 13.18 : Soit (A,+×) un anneau commutatif. On dit que A est un corpslorsque

— A est différent de l’anneau nul.— Tout élément non nul de A est inversible pour la multiplication.

Exemple : Z n’est pas un corps. En revanche, Q, R et C en sont. L’anneau RR n’est pasnon plus un corps. Par exemple, la fonction x 7→ x n’a pas d’inverse pour la multiplication.

III.2 Sommes et produits

Soit (A,+,×) un anneau. Étant donnés des éléments a1, a2, . . . , an de l’anneau A,on définit par récurrence sur n

∑nk=1 ak et

∏nk=1 ak en convenant que

∑0k=1 ak = 0 et∏0

k=1 ak = 1. Plus généralement, si I est un ensemble fini, et (ai)i∈I est une famille finied’éléments de A, on définit par récurrence sur le cardinal de I

∑i∈I ai et

∏i∈I ai, en

convenant que si I = ∅, la somme vaut 0 et le produit vaut 1. Attention, pour définir leproduit, on a besoin de savoir que les ai commutent (ce qui sera bien sûr le cas si l’anneauest commutatif).

III.3 Puissances et multiples

Dans un anneau (A,+,×) on dispose à la fois de la notion de multiple d’un élément(pour l’opération +) et de puissance positive d’un élément (pour l’opération ×). Seules lespuissances positives sont autorisées pour un élément quelconque, les puissances négativesn’ayant de sens que lorsque l’élément en question est inversible (pour la multiplication).

III.4 Sous-Anneaux

Définition 13.19 : Soit (A,+,×) un anneau. Soit B ⊂ A. On dit que B est unsous-anneau de A lorsque (B,+,×) est lui-même un anneau, ET que le neutre pour lamultiplication dans B est le même que le neutre pour la multiplication dans A.

On définit de même un sous-corps d’un corps.

Proposition 13.13 : Soit (A,+,×) un anneau de neutre 1 pour la multiplication. SoitB ⊂ A. Alors, B est un sous-anneau de A si et seulement si


— 1 ∈ B.— ∀x, y ∈ B, x− y ∈ B.— ∀x, y ∈ B, xy ∈ B.

B est un sous-corps de A si et seulement si B est un sous-anneau de A et si, de plus,

∀x ∈ B \ 0, x−1 ∈ B

Démonstration : La preuve est laissée en exercice.

III.5 Éléments inversibles d’un anneau

Proposition 13.14 : Soit A un anneau. L’ensemble A∗ des éléments inversibles de A,muni de la multiplication, est un groupe.

Démonstration : La multiplication est associative. Il suffit de vérifier que le produitde deux inversibles est inversible, et que tout inversible a un inverse, qui est lui-mêmeinversible. Mais on le sait déjà.

III.6 Morphismes d’anneaux

Définition 13.20 : Soit f : A → A′ une application d’un anneau A vers un anneauA′ (les lois des deux anneaux sont notées ici + et × pour simplifier). On dit que f est unmorphisme d’anneaux lorsque :

— ∀x, y ∈ A, f(x+ y) = f(x) + f(y).— f(1A) = 1A′.— ∀x, y ∈ A, f(xy) = f(x)f(y).

Remarque 13.10 : On peut parler d’image et de noyau d’un morphisme d’anneaux. Sitf : A→ A′ est un morphisme d’anneaux, ker f = f−1(0) et Imf = f(A). Un morphismed’anneaux étant avant tout un morphisme de groupes additifs, on a que f est injectif siet seulement si son noyau est réduit à 0 et f est surjectif si et seulement si Imf = A′.Mais attention, le noyau de f n’est pas en général un sous-anneau de A (c’est ce que l’onappelle un idéal de A, on verra apparaître cette notion dans les exercices).

III.7 Identités remarquables

Proposition 13.15 : Soient a et b deux éléments d’un anneau A vérifiant ab = ba.Soit n un entier naturel non nul. Alors :

bn − an = (b− a)n−1∑k=0

akbn−1−k

Démonstration :On aX = (b−a)∑n−1

k=0 akbn−1−k =

∑n−1k=0 a

kbn−k−∑n−1

k=0 ak+1bn−1−k.

En posant k′ = k+1 dans la deuxième somme, on voit que celle-ci est égale à∑n

k=1 akbn−k.

III. ANNEAUX ET CORPS 183

Ainsi, X =∑n−1

k=0 akbn−k −

∑nk=1 a

kbn−k. Tous les termes s’éliminent deux à deux, sauf leterme d’indice k = 0 dans la première somme et le terme d’indice k = n dans la deuxièmesomme, qui valent respectivement bn et an.

Un cas particulier important est le cas b = 1 :

Proposition 13.16 : Soit a un élément d’un anneau A . Soit n un entier naturel nonnul. Alors :

1− an = (1− a)

n−1∑k=0

ak

Remarque 13.11 : Si 1− a est inversible, ce qui arrive par exemple lorsque A = C eta 6= 1, on peut diviser l’identité précédente par 1− a, ce qui donne la formule bien connue

n−1∑k=0

ak =1− an

1− a

Bien entendu, si a = 1, alors∑n−1

k=0 ak =

∑n−1k=0 1 = n.

Proposition 13.17 : Soient a et b deux éléments d’un anneau A vérifiant ab = ba.Soit n un entier naturel. Alors :

(a+ b)n =

n∑k=0

(n

k

)akbn−k

Il s’agit de la formule du « binôme de Newton ». Les quantités(nk

)sont les coefficients

binomiaux :(nk

)= n!

k!(n−k)! .

Démonstration : Nous avons déjà démontré la formule du binôme pour a et b com-plexes. Il n’y a aucune différence, la preuve se fait par récurrence sur n.


IV Exercices

1. Soit G un groupe. Montrer que toute intersection de sous-groupes de G est encoreun sous-groupe de G.

2. Soit G un groupe. Soient A et B deux sous-groupes de G. Montrer que A ∪ B estun sous-groupe de G si et seulement si A ⊂ B ou B ⊂ A.

3. Soient (G1,×) et (G2, ?) deux groupes. On définit une opération ⊗ sur G1 ×G2 enposant

(x, y)⊗ (x′, y′) = (x× x′, y ? y′)

Montrer que, muni de cette opération, G1 ×G2 est un groupe.4. Soit G un groupe dans lequel tout élément est égal à son inverse. Montrer que G

est abélien.5. Soit ? l’opération définie sur R par ∀x, y ∈ R, x ? y = x + y + xy. Soit G la plus

grande partie de R sur laquelle la loi ? soit une loi de groupe. Montrer que (G, ?)est isomorphe à (R∗,×).

6. On pose, pour x, y ∈ R, x ? y = 3√x3 + y3. Montrer que (R, ?) est un groupe

isomorphe à (R,+).7. Isomorphes ou pas ?

(a) Prouver que (R∗,×) est isomorphe à R× −1, 1 (cf exercice 3).(b) (R∗,×) est-il isomorphe à (R,+) ?(c) (R∗+,×) est-il isomorphe à (R,+) ?(d) (Q,+) est-il isomorphe à (Z,+) ?(e) (Q,+) est-il isomorphe à (R,+) ?(f) (R,+) est-il isomorphe à (C,+) ?

8. On note R = R ∪ ω, où ω est un symbole sans signification particulière. Soient fet g : R→ R définies par(a) ∀x ∈ R, f(x) = 1− x et f(ω) = ω.(b) ∀x ∈ R∗, g(x) = 1

x et g(0) = ω, g(ω) = 0.

Déterminer le plus petit sous-groupe de S(R) contenant f et g.9. Soit (G,+) un groupe abélien. G1 et G2 étant deux sous-groupes de G, on poseG1 +G2 = x1 + x2, x1 ∈ G1, x2 ∈ G2.(a) Montrer que G1 +G2 est un sous-groupe de G.(b) Montrer que si G1 ∩ G2 = 0, alors les groupes G1 + G2 et G1 × G2 sont

isomorphes.10. Soit G un sous-groupe de (R,+) différent de 0.

(a) Montrer que G∗+ = x ∈ G, x > 0 possède une borne inférieure. On note celle-ciα.

IV. EXERCICES 185

(b) On suppose α 6= 0. Montrer que α ∈ G (on pourra raisonner par l’absurde),puis prouver que G = αZ (adapter la démonstration faite en cours sur les sous-groupes de Z).

(c) On suppose α = 0. Prouver que G est dense dans R (utiliser la proriété d’Ar-chimède).

Les sous-groupes de R se divisent ainsi en deux familles : les sous-groupes de laforme αZ où α ≥ 0 sont dits discrets. Par exemple, Z fait partie de cette famille desous-groupes. Les sous-groupes qui ne font pas partie de la première familles sontdenses dans R. Un exemple en est Q.

11. Soient α, β deux réels strictement positifs. Soit G = αx+ βy, x, y ∈ Z.(a) Montrer que G est un sous-groupe de R.(b) Montrer que G est dense dans R si est seulement si le quotient β

α est irrationnel.12. Soit E =] − 1, 1[. Pour x, y ∈ E, on pose x ? y = x+y

1+xy . A-t-on là une loi decomposition interne sur E ? Étudier l’opération ?.

13. Soit G un groupe. Soit A une partie finie de G stable pour la multiplication.(a) Soit x ∈ A. Montrer qu’il existe deux entiers naturels non nuls distincts m et n

tels que xm = xn.(b) En déduire que x−1 ∈ A.(c) En déduire que A est un sous-groupe de G.

14. Étant donné un groupe G, on appelle centre de G l’ensemble x ∈ G,∀y ∈ G, xy =yx.(a) Quel est le centre d’un groupe abélien ?(b) Quel est le centre de S(1, 2, 3) ?(c) Montrer que le centre d’un groupe G est un sous-groupe de G.

15. Pour tout a ∈ C∗ et tout b ∈ C, on définit fa,b : C → C par fa,b(z) = az + b.Soit S = fa,b, a ∈ C∗, b ∈ C. Montrer que (S, ) est un groupe. Ce groupe est-ilabélien ?

16. Soit G = R∗ × R. On définit une opération ? sur G en posant (x, y) ? (x′, y′) =(xx′, xy′ + y).(a) Montrer que G est un groupe non abélien.(b) Montrer que R?+ × R est un sous-groupe de G.

17. Soit d ∈ N tel que√d 6∈ Q. Soit K = a + b

√d, a, b ∈ Q. Montrer que K est un

corps.18. Soit A un anneau. On suppose que l’application f : A→ A définie par f(x) = x2 est

un endomorphisme d’anneau surjectif. Montrer que A est un anneau commutatif.19. Soit A un anneau commutatif. On appelle élément nilpotent de A tout x ∈ A

vérifiant∃n ∈ N, xn = 0

On note N l’ensemble des éléments nilpotents de A.


(a) Montrer que N est stable pour la multiplication.

(b) Montrer que N est stable par passage à l’opposé.

(c) Montrer que N est stable pour l’addition.

(d) N est-il un sous-anneau de A ?

20. Soit K un corps.

(a) Montrer que ∀x, y ∈ K, xy = 0⇒ x = 0 ou y = 0.

(b) Soit f : K→ K un morphisme d’anneaux. Montrer que f est injectif.

21. Déterminer tous les anneaux à 2, à 3 et à 4 éléments.

22. Dans cet exercice, (A,+, .) désigne un anneau commutatif. On note 0 et 1 et lesneutres respectifs de A pour l’addition et la multiplication. On appelle idéal de Atoute partie I de A vérifiant :• (I,+) est un sous-groupe de A.• ∀a ∈ A,∀x ∈ I, ax ∈ I.

(a) Quel est le plus petit idéal de A ? Le plus grand ?

(b) Montrer que si un idéal I de A contient 1, alors I = A. Quels sont les idéauxd’un corps ?

(c) Montrer que l’intersection, la somme (cf exo ci-dessus) de deux idéaux de A,sont encore des idéaux de A.

(d) On définit le radical d’un idéal I de A comme étant l’ensemble R(I) = x ∈A,∃n ∈ N, xn ∈ I. Montrer que le radical d’un idéal est encore un idéal. Quelest le radical du radical d’un idéal ?

23. Soit A un anneau. Soient a, b ∈ A tels que ab+ ba = 1 et a2b+ ba2 = a.

(a) Montrer que a2b = ba2 et 2aba = a.

(b) Montrer que a est inversible et a−1 = 2b.

Chapitre 14Arithmétique

187

188 CHAPITRE 14. ARITHMÉTIQUE

I Divisibilité dans Z

On suppose connues les propriétés suivantes : (Z,+,×) est un anneau. De plus, dans cetanneau, lorsqu’un produit est nul l’un des facteurs est nul (anneau intègre). Cet anneau esttotalement ordonné par la relation≤, qui est compatible avec l’addition et la multiplication.On dispose également sur Z du concept de valeur absolue.

I.1 Diviseurs, multiples

Définition 14.1 : Soient a, b ∈ Z. On dit que a divise b ou que b est un multiple de a,et on note a|b, lorsqu’il existe un entier relatif c tel que b = ac

Remarque 14.1 : Si a est non nul, l’entier c tel que b = ac est unique car Z est intègre.On l’appelle le quotient de b par a et on le note b

a .

Notation : Soit a ∈ Z. On note aZ = na, n,∈ Z l’ensemble des multiples de a.

Remarque 14.2 : On a a|b si et seulement si bZ ⊂ aZ.

Proposition 14.1 :— La relation « divise » est réflexive et transitive.— Pour tous entiers a et b, on a a|b et b|a si et seulement si b = ±a. La relation

« divise » n’est donc pas tout à fait une relation d’ordre. C’est ce que l’on appelleun pré-ordre.

Démonstration : Soit a, b, c ∈ Z. On a a = 1a donc a|a. Supposons que a|b et b|c.Il existe alors p, q ∈ Z tels que b = pa et c = qb. On en déduit que c = pqa donc a|c.Supposons que a|b et b|a. Il existe p, q ∈ Z tels que b = pa et a = qb. On en déduit b = pqb.Si b 6= 0, il vient pq = 1 donc p = q = 1 (et a = b) ou p = q = −1 (et a = −b). Si b = 0,alors a = q0 = 0 et on a toujours b = ±a. Enfin, si b = ±a, on a évidemment que a|b etb|a.

Remarque 14.3 : La dernière propriété nous dit que a = ±b si et seulement si bZ = aZ.

I.2 Division euclidienne

Proposition 14.2 : Soient a, b ∈ N, b > 0. Il existe un entier naturel n tel que nb > a.

Démonstration : On a b(a+ 1) = ab+ b ≥ a+ b > a.

On dit que l’ensemble N des entiers naturels est archimédien.

Corollaire 14.3 : Soient a et b deux entiers naturels, b > 0. Il existe un unique entiernaturel n tel que nb ≤ a < (n+ 1)b.

Démonstration : Soit E l’ensemble des entiers naturels m tels que mb > a. E est nonvide, donc admet un plus petit élément, notons le m. On a donc (m − 1)b ≤ a < mb. On

II. PGCD, PPCM 189

a m ≥ 1 puisque mb > a ≥ 0. Posons n = m − 1 ∈ N. On a nb ≤ a < (n + 1)b d’oùl’existence. Supposons maintenant que n et n′ conviennent. On a alors nb ≤ a < (n′ + 1)bdonc n < n′ + 1 et ainsi n ≤ n′. De même, n′ ≤ n donc n = n′ et il y a bien l’unicité.

Corollaire 14.4 : Soient a et b deux entiers relatifs, b > 0. Il existe un unique entierrelatif n tel que nb ≤ a < (n+ 1)b.

Démonstration : Si a ≥ 0, c’est le corollaire précédent. Sinon, on applique le ditcorollaire à −a. Il existe m ∈ N tel que mb ≤ −a < (m+1)b. Si nb = −a, alors −mb = a <(−m + 1)b et n = −m convient. Sinon, (−m − 1)b < a < −mb et n = −m − 1 convient.L’unicité se prouve comme dans le corollaire précédent.

Proposition 14.5 : Soient a et b deux entiers relatifs, b 6= 0. Il existe un unique couple(q, r) d’entiers relatifs tel que

a = bq + r0 ≤ r < |b|

q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b. L’entier r est le reste de cettemême division.

Démonstration : Prenons d’abord b > 0. Il existe q ∈ Z tel que qb ≤ a < (q + 1)b.Posons r = a − bq. On a alors 0 ≤ r < b d’où l’existence. Si b < 0, il existe q, r ∈ Z telsque a = (−b)q + r = b(−q) + r avec 0 ≤ r < −b = |b|. L’unicité se prouve comme dans lescorollaires ci-dessus.

Proposition 14.6 : Les sous-groupes de Z sont les parties de Z de la forme nZ, n ∈ N.

Démonstration : Il est clair que nZ est un sous-groupe de Z. Inversement, soit Gun sous-groupe de Z, différent de 0. G possède alors un plus petit élément strictementpositif, a. Comme a ∈ G, on a aZ ⊂ G. Réciproquement, si x ∈ G, on a x = qa + r avec0 ≤ r < a. Mais x et qa étant dans G, r l’est aussi. Comme a est le PLUS PETIT élémentstrictement positif de G, on a nécessairement r = 0.

II PGCD, PPCM

II.1 Somme de deux sous-groupes

Définition 14.2 : Soient H,H ′ deux sous-groupes du groupe abélien (G,+). On appellesomme de H et H ′ le sous-ensemble de G défini par H +H ′ = x+ x′, x ∈ H,x′ ∈ H ′.

Proposition 14.7 : La somme de deux sous-groupes de G est un sous-groupe de G.

Démonstration : On a 0 ∈ H et 0 ∈ H ′ donc 0 = 0+0 ∈ H+H ′. Soient u, v ∈ H+H ′.On a u = x+x′, v = y+y′ où x, y ∈ H et x′, y′ ∈ H ′. Mais alors u−v = (x−y)+(x′−y′) ∈H +H ′ et H +H ′ est donc un sous-groupe de G.


II.2 PGCD

Proposition 14.8 : Soient a, b ∈ Z. Il existe δ ∈ Z tel que aZ + bZ = δZ. L’entier δest unique au signe près.

Démonstration : aZ + bZ est un sous-groupe de Z, d’où l’existence de δ. De plus, δ′

convient si et seulement si δZ = δ′Z ou encore δ′ = ±δ.

Définition 14.3 : On appelle plus grands communs diviseurs de a et b les entiers δdéfinis ci-dessus.

Remarque 14.4 : Deux entiers relatifs admettent deux pgcd (sauf 0 et 0). On abuse endisant LE pgcd de a et b.

Notation : On note a ∧ b le (un) pgcd de a et b. D’autres notations existent, comme(a, b) ou plus évidemment pgcd(a, b).

Proposition 14.9 : Soient a, b ∈ Z. Il existe un entier δ, unique au signe près, tel queδ|aδ|b∀d ∈ Z, d|a et d|b⇒ d|δ

Démonstration : Vérifions tout d’abord que δ = a∧ b convient. a = a1+ b0 ∈ δZ doncδ|a. De même, δ|b. Soit d ∈ Z tel que d|a et d|b. On a δ = 1δ ∈ δZ. Donc δ ∈ aZ + bZ. Ilexiste ainsi u, v ∈ Z tels que δ = ua + vb. Comme a et b sont multiples de d, il en est demême de δ. Soit maintenant δ′ un autre entier qui convient. On a δ′|a et δ′|b donc δ′|δ. Demême, δ|δ′ donc δ′ = ±δ. Les entiers qui conviennent sont donc exactement les pgcd de aet b.

II.3 Théorème de Bézout

Proposition 14.10 : Soient a et b et d trois entiers relatifs. Soit δ = a ∧ b. Alors δ|dsi et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que ua+ vb = d.

Démonstration : d ∈ δZ si et seulement si d ∈ aZ + bZ. C’est exactement ce qu’ilfallait montrer.

Un cas particulier très important est le théorème de Bézout.

Définition 14.4 : Deux entiers sont dits premiers entre eux lorsque leur pgcd est égalà 1 (ou -1, évidemment).

Théorème 14.11 : [Bézout] Soient a et b deux entiers relatifs. Alors, a et b sont premiersentre-eux si et seulement si il existe un couple (u, v) d’entiers relatifs tel que ua+ vb = 1.

Démonstration : Soit δ = a∧ b. On a l’existence d’un tel couple (u, v) si et seulementsi δ divise 1, c’est à dire si et seulement si δ = 1.

II. PGCD, PPCM 191

II.4 Théorème de Gauss

Théorème 14.12 : Soient a, b, c trois entiers relatifs. Alors

a|bca ∧ b = 1

⇒ a|c

Démonstration : Les hypothèses montrent l’existence de trois entiers u, v, d tels quebc = da et ua+ vb = 1. De là uac+ vbc = c, d’où uac+ vad = c, donc a|c.

II.5 Algorithme d’Euclide

Soient a et b deux entiers. Prenons a et b positifs pour simplifier. On pose r0 = a,r1 = b. Pour tout entier n ≥ 1, SI rn 6= 0, on note rn+1 le reste de la division euclidiennede rn−1 par rn. SINON, on pose rn+1 = 0.

On dispose ainsi d’une suite (rn)n≥0. Si un terme de la suite est nul, alors la suite estnulle à partir de ce terme.

Proposition 14.13 : Il existe un entier n ≥ 1 tel que rn = 0.

Démonstration : Supposons que pour tout n, rn soit non nul. On a alors pour toutn ≥ 1, rn+1 < rn, puisque rn+1 est le reste de la division euclidienne de quelque chose parrn. On en déduit facilement par récurrence que rn ≤ r1 − n + 1, pour tout n ≥ 1. Maisalors, rb+1 ≤ r1 − (b+ 1) + 1 = 0, ce qui est impossible car rb+1 > 0.

Proposition 14.14 : Soit n0 le plus petit entier n ≥ 0 tel que rn+1 = 0. Alors,a ∧ b = rn0 .

Démonstration : Soit d ∈ N. On voit facilement que pour tout entier 1 ≤ n ≤ n0,d|rn−1 et d|rn si et seulement si d|rn et d|rn+1. En prenant les extrêmes, on obtient qued|a et d|b si et seulement si d|rn0 et d|rn0+1 = 0, c’est à dire si et seulement si d|rn0 .

II.6 Complexité de l’algorithme d’Euclide

Soient a et b deux entiers naturels, a > b. Nous allons estimer le nombre n0 de divisionsnécessaires à l’obtention de leur pgcd par l’algorithme d’Euclide. Pour cela, rappelons lesnotations : r0 = a, r1 = b, et pour 1 ≤ k ≤ n0, rk−1 = qkrk + rk+1. Les quotients successifssont tous au moins égaux à 1. On a donc pour 1 ≤ k ≤ n0, rk−1 ≥ rk + rk+1. Maintenant,rn0+1 = 0 = F0, rn0 = a ∧ b ≥ 1 = F1. Donc rn0−2 ≥ 1 + 0 = F2. Plus généralement,pour 0 ≤ k ≤ n0 + 1, rn0+1−k ≥ Fk où la suite (Fk) est définie par F0 = 0, F1 = 1et pour tout k ≥ 0, Fk+2 = Fk+1 + Fk. Pour k = n0, on obtient r1 = b ≥ Fn0 . Cettesuite est la suite de Fibonacci. On peut montrer que pour tout entier n, Fn = φn−φn

φ−φ oùφ et φ sont les racines de l’équation x2 = x + 1. Prenons pour φ la racine positive decette équation. On a alors |φ| < 1 et φ − φ =

√5 donc Fn ≥ φn−1√

5. Ainsi, φn0−1√

5≤ b,

d’où n0 ≤ ln(b√

5+1)lnφ . Le majorant trouvé est en gros proportionnel au nombre de chiffres

de l’entier b, le coefficient de proportionnalité étant à peu près égal à 4, 8. L’algorithmed’Euclide est donc très efficace.


II.7 Coefficients de Bézout

Soient a, b ∈ Z. Soit δ = a ∧ b. L’algorithme d’Euclide permet de trouver un couple(u, v) tel que ua+vb = 1. On procède comme suit. On pose u0 = 1, v0 = 0, u1 = 0, v1 = 1.On a u0a+v0b = a = r0 et u1a+v1b = b = r1. Soit q1 tel que r0 = q1r1 +r2. En combinantles deux égalités précédentes, on a u2a + v2b = r2 où u2 = u0 − q1u1 et v2 = v0 − q1v1.Soit 0 ≤ k ≤ n0 − 2. Supposons trouvés uk, vk, uk+1, vk+1 tels que uka + vkb = rk etuk+1a + vk+1b = rk+1. Soit qk+1 le quotient de la division de rk par rk+1. En posantuk+2 = uk − qk+1uk+1 et vk+2 = vk − qk+1vk+1, on obtient uk+2a + vk+2b = rk+2. On adonc montré comment calculer, pour tout entier 0 ≤ k ≤ n0, deux entiers uk et vk telsque uka+ vkb = rk. Mais pour k = n0, on a rk = δ. D’où la construction effective de deuxentiers u et v tels que ua+ vb = δ.

Exemple : Prenons a = 33 et b = 21. On écrit

1× 33 + 0× 21 = 33

0× 33 + 1× 21 = 21

1× 33 + (−1)× 21 = 12

(−1)× 33 + 2× 21 = 9

2× 33 + (−3)× 21 = 3

Si l’on recommence encore une fois, on obtient (−7) × 33 + 11 × 21 = 0. On en déduit33 ∧ 21 = 3, u = 2, v = −3.

II.8 Propriétés utiles

Proposition 14.15 : Un entier a est premier avec chacun des entiers b1, . . . , bn si etseulement si il est premier avec leur produit.

Démonstration : C’est une récurrence sur n. Il suffit de le faire pour n = 2. Supposonsdonc a ∧ b1b2 = 1. D’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et v tels queua+vb1b2 = 1. En lisant cette égalité de deux façons, on constate, toujours d’après Bézout,que a est premier avec b1 et b2. Supposons maintenant que a est premier avec b1 et b2. Ilexiste des entiers u, v, u′, v′ tels que ua + vb1 = 1 et u′a + v′b2 = 1. En multipliant ceségalités on obtient Ua + V b1b2 = 1 avec U = uu′ + uv′b2 + u′vb1 et V = vv′. a est doncpremier avec b1b2, toujours et encore grâce à Bézout.

Proposition 14.16 : Étant donnés n entiers a1, . . . , an premiers entre-eux deux à deux,et un entier b, chacun des ai divise b si et seulement si leur produit divise b.

Démonstration : Ici aussi, il suffit de le prouver pour n = 2. Supposons que a1 et a2

sont premiers entre-eux et que a1 et a2 divisent b. On écrit b = a1c1. a2 divise a1c1 et estpremier avec a1. Par le théorème de Gauss, c1 = a2c2, d’où b = a1a2c2 : a1a2 divise b.

II. PGCD, PPCM 193

Proposition 14.17 : Soient a, b, δ,∈ Z. Alors δ = a∧ b si et seulement si il existe deuxentiers a1, b1 tels que :

a = δa1

b = δb1a1 ∧ b1 = 1

Démonstration : Si a et b sont nuls, le résultat est évident. Supposons donc dans cequi suit que a ou b est non nul. Supposons δ = a ∧ b (on a donc δ 6= 0). On peut alorsécrire a = δa1 et b = δb1. De plus, il existe u et v tels que ua+ vb = δ. En simplifiant parδ, on en tire ua1 + vb1 = 1, donc a1 ∧ b1 = 1.

Inversement, supposons a = δa1, b = δb1, avec a1 ∧ b1 = 1. Appelons ∆ le PGCD dea et b. Par Bézout appliqué à a1 et b1, on a deux entiers u et v tels que ua + vb = δ. Onen déduit que ∆|δ. Mais δ est clairement un diviseur commun de a et b, donc δ|∆. Ainsi,δ = ∆ (au signe près, comme toujours).

Exemple : Soit x ∈ Q. Il existe un unique couple p ∈ Z et un unique q ∈ N∗ tels quep ∧ q = 1 et x = p

q : le rationnel x s’écrit ainsi de façon unique sous forme irréductible.

Démonstration : Commençons par l’existence : x = ab où a ∈ Z et b ∈ Z∗. Soit

δ = a ∧ b. D’après la propriété précédente, on a alors a = δp et b = δq avec p ∧ q = 1.Mais alors x = p

q . Quitte à remplacer p et q par −p et −q, on a également q > 0. Passons

à l’unicité. Supposons x = pq = p′

q′ où p, p′, q, q′ ∈ Z, q, q′ > 0, p ∧ q = 1 et p′ ∧ q′ = 1. On

a pq′ = p′q. Par le théorème de Gauss, q|q′ et aussi q′|q. Mais q, q′ ∈ N, donc q = q′. Onreporte et on obtient p = p′.

II.9 PPCM

Proposition 14.18 : Soient a et b deux entiers relatifs. Il existe un entier µ, uniqueau signe près, vérifiant :

a|µb|µ∀m ∈ Z, a|m et b|m⇒ µ|m

Définition 14.5 : Les entiers µ ci-dessus sont appelés plus petits communs multiplesde a et b. On abuse en parlant DU ppcm de deux entiers. On note µ = a ∨ b ou encoreppcm(a, b).

Démonstration : Écrivons a = δa1, b = δb1, avec a1 ∧ b1 = 1. Soit m un multiplecommun de a et de b. Alors δ|m. Écrivons donc m = δm1. On a alors a1|m1 et b1|m1, donc(Gauss) a1b1|m1. Ainsi, tout multiple commun de a et b est multiple de l’entier µ = δa1b1.

Inversement, l’entier µ ci dessus est bien un multiple commun de a et b. C’est donc unppcm de a et b.

Enfin, si µ1 et µ2 sont des ppcm de a et b, chacun divise l’autre, et ils sont donc égauxau signe près.


Proposition 14.19 : Soient a et b deux entiers, de pgcd δ et de ppcm µ. On a δµ = ab.

Démonstration : δµ = δδa1b1 = ab.

Remarque 14.5 : Dire que les multiples de µ sont les multiples communs de a et brevient à dire que aZ∩bZ = µZ. Ceci serait une façon d’introduire le ppcm analogue à celleutilisée pour le pgcd, en remarquant que l’intersection de deux sous-groupes d’un groupeest encore un sous-groupe.

II.10 Résolution d’une équation diophantienne simple

Soient a, b, c trois entiers relatifs. On suppose a, b, c non nuls. On s’intéresse à l’équation

(E) x, y ∈ Z, ax+ by = c

Soit δ = a∧ b. On voit que si (E) admet une solution, alors δ|c. On peut donc déjà affirmerque si δ 6 |c, alors l’équation n’a pas de solution.

Supposons maintenant c = δc1. On écrit a = δa1, b = δb1, et on est ramenés à l’équation

(E1) x, y ∈ Z, a1x+ b1y = c1

avec a1 ∧ b1 = 1. Cette équation a les mêmes solutions que l’équation (E).On sait trouver une solution à cette équation : il suffit d’appliquer l’algorithme d’Eu-

clide. Celui-ci fournit un couple (u, v) tel que ua1 +vb1 = 1. Le couple (x1, y1) = (uc1, vc1)est alors solution de (E1).

Soit maintenant un couple (x, y) ∈ Z2. Alors, (x, y) est solution de (E1) (ou (E)) si etseulement si a1x+ b1y = a1x1 + b1y1 ou encore

a1(x− x1) = b1(y1 − y)

Le théorème de Gauss permet alors de conclure que (x, y) est solution si et seulement si ilexiste un entier relatif k tel que x = x1 + kb1 et y = y1 − ka1.

II.11 PGCD d’un nombre fini d’entiers

Soient a1, . . . , an n entiers relatifs. L’ensemble a1Z + . . . + anZ est un sous-groupe deZ, il existe donc δ ∈ Z, unique au signe près, tel que a1Z + . . .+ anZ = δZ. L’entier δ estle PGCD de a1, . . . , an, on le note ∧nk=1ak.

Remarquons que∑n

k=1 akZ =∑n−1

k=1 akZ + anZ. On a donc ∧nk=1akZ = ∧n−1k=1akZ +

anZ = ((∧n−1k=1ak) ∧ an)Z. On en déduit qu’au signe près,

∧nk=1ak = (∧n−1k=1ak) ∧ an

On peut donc calculer le PGCD de n entiers de proche en proche, en calculant desPGCD de deux entiers. En réalité, la PGCD est associatif, et les parenthèses peuvent êtreplacées comme bon nous semble. Nous ne prouverons pas cette propriété.

III. NOMBRES PREMIERS 195

Définition 14.6 : Soient a1, . . . , an n entiers relatifs. On dit que les ak sont premiersentre-eux deux à deux lorsque ∀i 6= j, ai∧aj = 1. On dit que les ak sont premiers entre-euxdans leur ensemble lorsque ∧nk=1ak = 1.

Proposition 14.20 : Si des entiers sont premiers entre-eux deux à deux, ils sontpremiers entre-eux dans leur ensemble. La réciproque est fausse.

Démonstration : Le sens direct est est évident. Pour le contre-exemple, prendre parexemple les nombres 6, 10 et 15.

Proposition 14.21 : Soient a1, . . . , an n entiers relatifs. Soit δ = ∧nk=1ak. Soit d ∈ Z.Alors, δ|d si et seulement si il existe u1, . . . , un ∈ Z tels que

∑nk=1 ukak = d.

Démonstration : Il suffit de reforuler : δ|d si et seulement si d ∈ δZ. Or, δZ =a1Z + . . .+ anZ.

Corollaire 14.22 : Soient a1, . . . , an n entiers relatifs. Les ak sont premiers entre-euxdans leur ensemble si et seulement si il existe u1, . . . , un ∈ Z tels que

∑nk=1 ukak = 1.

Démonstration : Il suffit de remarquer que δ|1 si et seulement si δ = 1. C’est lethéorème de Bézout généralisé.

III Nombres premiers

III.1 Définition

Définition 14.7 : Soit p ∈ Z. On dit que p est premier lorsque p 6= ±1, et que p estdivisible uniquement par ±1 et ±p.

Dorénavant, nous nous occuperons uniquement de nombres premiers positifs.

Remarque 14.6 : Un nombre qui n’est pas premier, et qui est différent de ±1 est ditcomposé.

III.2 Propriétés

Proposition 14.23 : Deux nombres premiers distincts sont premiers entre-eux.

Démonstration : Soient p et q deux nombres premiers. Les seuls diviseurs de p sont 1et p. Ceux de q sont 1 et q. Donc le seul diviseur commun de p et q est effectivement 1.

Proposition 14.24 : Tout entier n ≥ 2 possède au moins un diviseur premier.

Démonstration : On le prouve par récurrence forte sur n. Pour n = 2, c’est clair, vuque 2 est premier. Supposons maintenant que tout entier k, 2 ≤ k < n, possède un diviseurpremier.

Si n est premier, alors n a bien un diviseur premier : lui-même.


Si n = ab est composé, alors par exemple 2 ≤ a < n a un diviseur premier p. Mais p|aet a|n donc p|n.

Proposition 14.25 : Il existe une infinité de nombres premiers.

Démonstration : Supposons le contraire, et appelons P = p1, . . . , pn l’ensemble desnombres premiers. Soit alors N =

∏nk=1 pk + 1. L’entier N est clairement supérieur à 2 (il

est même très grand !). Donc il possède un diviseur premier. Mais ce diviseur ne peut êtreaucun des éléments de P. Contradiction.

III.3 Décomposition en produit de facteurs premiers

Proposition 14.26 : Tout entier naturel n ≥ 2 s’écrit comme un produit de nombrespremiers.

Démonstration : On procède par récurrence forte sur n. C’est clair si n = 2. Soitmaintenant un entier n tel que tout entier m < n s’écrive comme produit de nombrespremiers. Il y a deux possibilités :

— Si n est premier, c’est un produit de 1 nombre premier.— Sinon, n = ab avec 2 ≤ a, b < n est composé. Mais a et b sont produits de nombres

premiers d’après l’hypothèse de récurrence. Donc, n aussi.

Proposition 14.27 : La décomposition en produit de nombres premiers est unique àl’ordre près des facteurs.

On s’affranchit du problème de « à l’ordre près » en normalisant l’écriture :Notons P = p1, p2, . . . l’ensemble des nombres premiers. Le théorème d’existence de

la décomposition nous dit que tout entier n ≥ 2 s’écrit

n =∏p∈P

pαp

où les αp ∈ N sont tous nuls sauf un nombre fini. On peut maintenant reformuler les deuxpropositions précédentes :

Théorème 14.28 : Tout entier n ≥ 2 s’écrit de façon unique

n =∏p∈P

pαp

où les αp ∈ N sont tous nuls sauf un nombre fini.

Démonstration : Supposons n =∏p∈P p

αp =∏p∈P p

βp où les αp, βp sont tous nulssauf un nombre fini. Soit q ∈ P. On isole le facteur correspondant : qαqA = qβqB où Aet B sont des produits de nombres premiers différents de q, et donc sont premiers avec q.En appliquant deux fois le théorème de Gauss, on obtient facilement que qαq = qβq , d’oùαq = βq.

IV. CONGRUENCES 197

III.4 Valuation p-adique

Définition 14.8 : Soit n ∈ N∗. Soit p ∈ P. La valuation p-adique de n est le plus grandentier k tel que pk|n. On la note νp(n).

Remarque 14.7 : En d’autres termes, la valuation p-adique de n est l’exposant de pdans la décomposition de n en produit de facteurs premiers. Ainsi, n =

∏p∈P p

νp(n).

Proposition 14.29 : Soient a, b ∈ N∗. Soit p ∈ P. On a νp(ab) = νp(a) + νp(b) etνp(a+ b) ≥ min(νp(a), νp(b)).

Démonstration : Laissée en exercice, c’est facile.

III.5 Application au pgcd et au ppcm

Proposition 14.30 : Soient a =∏p∈P p

αp et b =∏p∈P p

βp deux entiers naturels nonnuls. Alors

a ∧ b =∏p∈P

pmin(αp,βp) et a ∨ b =∏p∈P

pmax(αp,βp)

Démonstration : Soit d =∏p∈P p

γp un entier non nul. Alors, d divise a si et seulementsi pour tout p ∈ P, on a γp ≤ αp : il suffit dans le sens non trivial d’utiliser le théorèmede Gauss. Il en est de même pour b, donc d divise a et b si et seulement si pour toutp ∈ P, on a γp ≤ min(αp, βp). Autrement dit, d divise a et b si et seulement si d divise∏p∈P p

min(αp,βp). On procède de même pour le ppcm.

Remarque 14.8 : On peut encore écrire ce résultat avec des valuations : νp(a ∧ b) =min(νp(a), νp(b)) et νp(a ∨ b) = max(νp(a), νp(b))

IV Congruences

IV.1 Rappels

Nous avons déjà parlé de congruence dans le chapitre sur les relations. Rappelons quesi n ∈ N et a, b ∈ Z, on a ≡ b[n] lorsque b − a ∈ nZ. La relation de congruence modulo nest une relation d’équivalence sur Z. Si n 6= 0, cette relation possède exactement n classes,qui sont 0, 1, . . . , n− 1.

IV.2 Opérations sur les congruences

Proposition 14.31 : Soit n ∈ N. La relation de congruence modulo n est compatibleavec l’addition et la multiplication : ∀a, b, a′, b′ ∈ Z, a ≡ b[n] et a′ ≡ b′[n]⇒ a+a′ ≡ b+b′[n]et aa′ ≡ bb′[n].


Démonstration : Il existe k, k′ ∈ Z tels que b − a = kn et b′ − a′ = k′n. De là,(b+ b′)− (a+a′) = (b−a) + (b′−a′) = (k+k′)n ∈ nZ et bb′−aa′ = b(b′−a′) + (b−a)a′ =(k′b+ ka′)n ∈ nZ.

IV.3 Le petit théorème de Fermat

Lemme IV.1 Soit p un nombre premier. On a, pour tout entier 1 ≤ k ≤ p, p|(pk

).

Démonstration : On a p! = k!(p−k)!(pk

)donc p divise k!(p−k)!

(pk

). Mais p est premier

avec 1, 2, . . . k donc avec k!. De même, p est premier avec 1,. . . ,p− k, donc avec (p− k)!.Donc p est premier avec k!(p− k)!. Par le théorème de Gauss, p divise

(pk

).

Proposition 14.32 : Soit p un nombre premier. On a pour tout a ∈ Z ap ≡ a[p].

Démonstration : Montrons d’abord la propriété pour a entier naturel, par récurrencesur a. C’est clair pour a = 0. Supposons la propriété vraie pour a. On a (a + 1)p =∑p

k=0

(pk

)ak. D’après le lemme, cette somme est congrue à

(p0

)a0 +

(pp

)ap = ap + 1 modulo

p. D’après l’hypothèse de récurrence, elle est bien congrue à a+ 1.Supposons maintenant a < 0. −a ∈ N, donc (−a)p ≡ −a[p]. Si p ≥ 3, alors p est

impair (nombre premier !) donc (−a)p = −ap d’où le résultat. Si p = 2, (−a)p = ap, mais−a ≡ a[p], la propriété est encore vérifiée.

Corollaire 14.33 : Soit p un nombre premier. On a, pour tout a ∈ Z non multiple dep, ap−1 ≡ 1[p].

Démonstration : Le nombre premier p divise ap − a = a(ap−1 − 1). Mais p ne divisepas a donc p est premier avec a (quels sont les diviseurs communs de a et p, sachant quep est premier ?). Par le théorème de Gauss, p divise ap−1 − 1.

V. EXERCICES 199

V Exercices

1. Montrer que pour tout entier relatif n, 15n2+8n+6 et 30n2+21n+13 sont premiersentre eux.

2. Résoudre les équations ci-dessous :(a) x, y ∈ Z, 42x− 37y = 4

(b) a, b ∈ N, a ∨ b− a ∧ b = 21. On posera a = δa1, b = δb1 avec a1 ∧ b1 = 1.(c) x, y ∈ Z, 32x+ 36y = 2

(d) x, y ∈ Z, 32x+ 36y = 4

(e) a, b ∈ N, a+ b = 144, a ∨ b = 420.3. Soit n un entier naturel. Montrer qu’il existe n entiers naturels consécutifs dont au-

cun n’est un nombre premier. (On pourra considérer une quantité faisant intervenirn!).

4. Soient a et b deux entiers premiers entre eux. Montrer que 2a − 1 et 2b − 1 sontpremiers entre eux.

5. Pour tout entier naturel n non nul, on note D(n) la somme des diviseurs de n.(a) Calculer D(n) pour tous les entiers n compris entre 1 et 20.(b) Calculer D(pα) pour tout nombre premier p et tout entier α ≥ 1.(c) Pour tout entier naturel n, on note D(n) l’ensemble des diviseurs de n. Soient

a et b deux entiers non nuls premiers entre eux. Démontrer que l’applicationφ : D(a)×D(b)→ D(ab) définie par φ(d1, d2) = d1d2 est une bijection.

(d) En déduire que pour tous entiers a et b premiers entre eux, on a D(ab) =D(a)D(b).

(e) Que vaut D(2013) ? D(2014) ?6. Pour tout entier naturel n non nul, on note D(n) la somme des diviseurs de n etD′(n) = D(n)− n la somme des diviseurs stricts de n. On dit que n est un nombreparfait lorsque D′(n) = n.

(a) Déterminer tous les nombres parfaits compris entre 1 et 20.Soit n un nombre parfait pair. On écrit n = 2αm, avec m impair et α ≥ 1.(b) Montrer que 2α+1m = (2α+1 − 1)D(m)

(c) En déduire que m = (2α+1 − 1)D′(m)

(d) On pose p = D′(m), de sorte que m = (2α+1 − 1)p. Montrer que p = 1. Onpourra raisonner par l’absurde.

(e) Prouver que (2α+1 − 1) est premier. Qu’en déduit-on sur α+ 1 ?Ainsi, tout nombre parfait pair est de la forme n = 2β−1(2β − 1) où β est un nombre

premier tel que 2β − 1 soit également premier.(f) Prouver la réciproque.


Nota : à l’heure où est écrit ce TD, on ne sait rien des nombres parfaits impairs.On ne sait pas s’il en existe, et s’il y en a, on ne sait pas s’il y en a un nombre finiou une infinité.

7. On considère l’équation x3 + x2 + 2x+ 1 = 0. On suppose que cette équation a unesolution x ∈ Q, x = p/q avec p et q entiers premiers entre-eux, q 6= 0.

(a) Montrer que p = ±1 et q = ±1. On utilisera le théorème de Gauss.

(b) Conclusion ?

8. Soit p un nombre premier. Soit k un entier tel que 1 ≤ k ≤ p− 1. Montrer que(pk

)est divisible par p.

9. Dans cet exercice, on pose Z[i] = x+ iy, x, y ∈ Z.(a) Vérifier rapidement que Z[i] est un sous-anneau de C. On l’appelle l’anneau des

entiers de Gauss.

(b) Vérifier que si z ∈ Z[i], alors |z|2 ∈ Z. En déduire l’ensemble U des élémentsinversibles de l’anneau Z[i].Soit z ∈ Z[i]. On dit que z est premier lorsque z 6∈ U et que z n’est divisible quepar ±z et ±iz (Autrement dit, si z = ab avec a et b dans Z[i], alors a ∈ U oub ∈ U).

(c) Soit z ∈ Z[i]. Montrer que si |z|2 est un nombre premier (dans Z), alors z estpremier dans Z[i]. Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse.

(d) Donner un entier naturel qui est premier dans Z mais pas dans Z[i].

(e) Donner un entier naturel qui est premier dans Z et dans Z[i].

(f) Soit p un nombre premier impair de l’anneau Z. On suppose que p = ab oùa, b ∈ Z[i], mais a, b 6∈ U . En d’autres termes, on suppose que p n’est paspremier dans Z[i].

i. Montrer que |a|2 = |b|2 = p.

ii. Prouver que b = a et en déduire que p = α2 + β2 où α, β ∈ Z.iii. Prouver que p ≡ 1 mod 4.

La réciproque est encore vraie, mais plus délicate à prouver : un nombre premierimpair p est la somme de deux carrés si et seulement si p ≡ 1 mod 4.

10. Soient (a, b) ∈ Z2. On suppose que a et b sont premiers entre-eux. Que dire du pgcdde a+ b et ab ?

11. Démontrer que pour tout entier relatif n, la fraction 21n+414n+3 est irréductible.

12. Déterminer δ = 1575 ∧ 294. Trouver deux entiers u et v tels que 1575u+ 294v = δ.

13. Soit n ∈ N. Montrer que n + 1 et 2n + 1 sont premiers entre-eux. En déduire quen+ 1 divise

(2nn

).

14. Soit p un nombre premier. Montrer que √p est un irrationnel.

15. Soient a et b deux entiers naturels tels que a ∨ (a + 5) = b ∨ (b + 5). Prouver quea = b.

V. EXERCICES 201

16. Soient a, b ∈ Z. Montrer que a∧ b = 1⇒ a2 ∧ b2 = 1. Déterminer les coefficients deBézout de a2 et b2 en fonction de ceux de a et b.

17. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn le nième nombre premier. En consi-dérant l’entier p1p2 . . . pn − 1, montrer que pn+1 < p1p2 . . . pn. En déduire que∀n ∈ N∗, pn < 22n .

18. Trouver tous les entiers naturels a et b tels que a ∨ b = 1764 et a2 + b2 = 85113.


Chapitre 15Polynômes

203

204 CHAPITRE 15. POLYNÔMES

I L’algèbre des polynômes

I.1 Notion de polynôme

Dans tout le chapitre, K est un corps commutatif. On note K[X] l’ensemble des suitesd’éléments de K « presque nulles », c’est à dire dont tous les termes sont nuls sauf unnombre fini. Cette notation s’éclaircira un peu plus loin.

Proposition 15.1 : K[X] est un espace vectoriel, sev de KN.

Définition 15.1 : On appelle polynôme à coefficients dans K tout élément de K[X].

I.2 Degré

Définition 15.2 : Soit P = (Pk)k≥0 un polynôme non nul. On appelle degré de Pl’entier

doP = maxk ∈ N, Pk 6= 0

On pose également do0 = −∞.

Remarque 15.1 : Le degré d’un polynôme est un entier naturel, sauf si ce polynômeest 0. On convient dans la suite que −∞ < n pour tout entier n.

Proposition 15.2 : Soient P et Q deux polynômes, et λ ∈ K∗. On a doλP = doP ,et do(P + Q) ≤ max(doP, doQ). Si les degrés de P et Q sont distincts, alors l’inégalitéprécédente est une égalité.

Démonstration : Faisons la preuve pour la somme. Si P ou Q est nul, c’est évident.Supposons donc P et Q différents de la suite nulle. Soient m et n leurs degrés respectifs.On a donc Pm 6= 0 et pour tout k > m,Pk = 0, et de même pour Q. Soit k > max(m,n).Alors Pk = Qk = 0 donc Pk+Qk = 0. Le degré de P +Q est inférieur ou égal à max(m,n).Si, par exemple, m < n, alors Pn +Qn 6= 0 donc do(P +Q) = max(doP, doQ).

I.3 Produit de polynômes

Proposition 15.3 : Soient P et Q deux polynômes. La suite R définie par

∀k ≥ 0, Rk =k∑j=0

PjQk−j

est un polynôme, appelé produit de P et Q, et noté PQ. On a do(PQ) = doP + doQ.

Démonstration : Si P ou Q est nul, alors R aussi et le résultat est évident. Supposonsdonc P et Q non nuls, de degrés respectifsm et n. Soit k > m+n. On a Rk =

∑kj=0 PjQk−j .

Dans cette somme, il y a deux types de termes. Tout d’abord, ceux pour lesquel j > m.Ces termes sont nuls puisque Pj = 0. Et puis ceux pour lesquels j ≤ m. Mais alors k− j ≥

I. L’ALGÈBRE DES POLYNÔMES 205

k −m > n. Ces termes aussi sont nuls puisque Qj = 0. Finalement, ∀k > m+ n,Rk = 0.On en déduit que R est bien un polynôme, et que doR ≤ m+n. Pour terminer, il suffit deremarquer que pour k = m+ n, tous les termes de la somme sont nuls, sauf un, celui pourj = m, qui vaut PmQn 6= 0. Donc, doR = m+ n = doP + doQ.

Proposition 15.4 : L’ensemble des polynômes, muni des lois précédentes, est une K-algèbre commutative. L’anneau sous-jacent est un anneau intègre.

Démonstration : Vérifications assez fastidieuses pour les propriétés de la multipli-cation. Nous ne les ferons pas. Signalons simplement que le neutre pour l’addition est(0, 0, 0, . . .) et le neutre pour la multiplication est (1, 0, 0, . . .).

I.4 Écriture définitive

On note 1 = (1, 0, 0, · · · ) et X = (0, 1, 0, 0, · · · ). On montre alors facilement par récur-rence sur k que ∀k ∈ N, Xk = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · ).

Proposition 15.5 : Tout polynôme s’écrit, de façon unique,∑∞

k=0 akXk, où les ak ∈ K

sont tous nuls sauf un nombre fini.

Démonstration : On nous demande en fait de montrer que la famille B = (Xk)k≥0 estune base de K[X]. On a (P0, P1, . . .) = P0(1, 0, . . .) + P1(0, 1, 0, . . .) + . . . =

∑∞k=0 PkX

k

donc B est génératrice. Cette somme est en réalité finie puisque tous les Pk sont nuls saufun nombre fini d’entre eux. Supposons mainenant

∑∞k=0 PkX

k = 0. En d’autres termes,(Pk)k≥0 = 0 : B est libre.

Remarque 15.2 :• X est appelé l’indéterminée• On note les sommes jusqu’à l’infini. En fait, elles sont finies, et on peut s’arrêter au

degré du polynôme mis en jeu.• Un polynôme est dit constant lorsqu’il est de degré ≤ 0.• Si P est un polynôme de degré d ∈ N, on appelle coefficient dominant de P le

coefficient de Xd. Si ce coefficient vaut 1, on dit que le polynôme est unitaire.

I.5 composée

Définition 15.3 : Soient P et Q deux, polynômes, avec P =∑∞

k=0 PkXk. On appelle

composée de P et Q le polynôme P Q =∑∞

k=0 PkQk.

Proposition 15.6 : Soient P et Q deux polynômes, avec Q non constant. On a do(P Q) = doP × doQ.

Démonstration : Soitm = doP . On a P Q =∑m

k=0 PkQk = PmQ

m+∑

k<m PkQk. Le

degré de PmQm est mdoQ = doPdoQ. Chaque terme de la somme est de degré strictementinférieur. D’où le résultat.


Remarque 15.3 : Si Q = λ est constant, alors P Q =∑∞

k=0 Pkλk. On constate que

P Q est constant lui aussi. Mais il existe des valeurs de λ (les racines de P ) pour lesquellesP Q = 0. Ainsi, le degré de P Q est −∞ ou 0, et on ne peut rien dire de plus précissans regarder de plus près.

Proposition 15.7 : La composition des polynômes est associative, non commutative,possède X pour neutre, et est distibutive à droite, mais pas à gauche, par rapport à l’addi-tion.

Démonstration : Nous admettons associativité, commutativité, et distributivité àdroite. Pour tout polynôme P , on a P X =

∑∞k=0 PkX

k = P et X P = P donc Xest le neutre pour la composition. Enfin, X2 (X + 1) = (X + 1)2 = X2 + 2X + 1 maisX2 X + 1 X = X2 + 1. On obtient donc deux polynômes distincts (sauf si 2 = 0, bienentendu).

Exercice : Et si 2 = 0 ?

II L’anneau des polynômes

II.1 Multiples, diviseurs, d’un polynôme

Définition 15.4 : Soient A et B deux polynômes. On dit que B divise A, et on noteB|A, lorsqu’il existe C ∈ K[X] tel que A = BC.

Proposition 15.8 : La relation « divise » est réflexive et transitive. En revanche, cen’est pas une relation d’ordre. Plus précisément, soient A,B ∈ K[X]. On a

A|BB|A ⇔ ∃λ ∈ K∗, B = λA

On dit alors que les polynômes A et B sont associés.

Démonstration : Dans le sens direct, on voit que A et B sont nuls tous les deux, ounon nuls tous les deux. Dans le second cas, on a doA ≤ doB, puisque B = AC. De même,doB ≤ doA. On a donc B = AC, avec doC = 0.

II.2 Division euclidienne

Proposition 15.9 : Soient A,B ∈ K[X], B 6= 0. Il existe un unique couple (Q,R) depolynômes tel que

A = BQ+RdoR < doB

Q et R sont appelés le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B.

III. FONCTIONS POLYNÔMES 207

Démonstration : Montrons d’abord l’existence. Si doA < doB, Q = 0 et R = Aconviennent. On fait ensuite une récurrence forte sur n = doA ≥ doB. Soit A ∈ K[X] dedegré n ≥ doB. Supposons l’existence du quotient et du reste de la division par B de toutpolynôme de degré < n. Soit m le degré de B. Considérons A′ = A− An

BmXn−mB. Le degré

de A′ est clairement inférieur ou égal à n, celui de A. Mieux, A′n = An − AnBm

Bm = 0.Donc, doA′ < n. On peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence. Il existe Q′, R tels queA′ = BQ′+R et doR < doB. D’où A = A′+ An

BmXn−mB = (Q′+ An

BmXn−m)B+R = BQ+R.

Pour l’unicité, supposons A = BQ+R = BQ′+R′ où R et R′ sont de degré strictement pluspetit que le degré de B. On a B(Q−Q′) = R′−R donc doB+do(Q−Q′) = do(R′−R) < doB.Ainsi, do(Q−Q′) < 0. Le seul polynôme de degré strinctement négatif est 0. Donc Q = Q′

puis, en reportant, R = R′.

III Fonctions polynômes

III.1 C’est quoi ?

Définition 15.5 : Soit f : K → K. On dit que f est une fonction polynôme lorsqu’ilexiste une suite presque nulle (a0, a1, · · · ) d’éléments de K telle que

∀x ∈ K, f(x) =∞∑k=0

akxk

On note K[x] (j’aurais préféré K[id]) l’ensemble des fonctions polynômes.

Remarque 15.4 : Un polynôme est un objet abstrait. On ne peut pas donner une valeurà X. En revanche, si f est une fonction polynôme, on peut évidemment calculer f(a) poura ∈ K.

Proposition 15.10 : K[x] est une K-algèbre commutative.

Démonstration : C’est une sous-algèbre de KK, l’algèbre des fonctions de K vers K. Ilsuffit de vérifier que la somme et le produit de deux fonctions polynômes sont encore desfonctions polynômes, et de même pour le produit d’une fonction polynôme par un élémentde K.

III.2 Polynômes et fonctions polynômes

Soit ϕ : K[X]→ K[id] l’application qui à P =∑∞

k=0 PkXk associe la fonction P définie

par ∀x ∈ K, P (x) =∑∞

k=0 Pkxk.

Proposition 15.11 : La fonction ϕ est un morphisme d’algèbres surjectif.

Démonstration : La preuve consiste en quelques vérifications que nous ne ferons pas :les lecteurs qui auront scrupuleusement vérifié que K[x] est une algèbre auront d’ailleurs


déjà fait tout le travail (et seuls ceux-ci pourront comprendre cette phrase). Le problèmereste l’injectivité de ϕ : peut-on « identifier » les polynômes et les fonctions polynômes ?Nous allons voir que c’est le cas lorsque le corps K est infini (c’est donc toujours le caslorsque K est un sous-corps de C).

III.3 Racines d’un polynôme

Définition 15.6 : Soit P ∈ K[X]. Soit a ∈ K. On dit que a est racine de P lorsqueP (a) = 0.

Proposition 15.12 : Soit P ∈ K[X]. Soit a ∈ K. Alors a est racine de P si et seulementsi X − a divise P .

Démonstration : Supposons que a est racine de P . On a donc P = (X − a)Q oùQ ∈ K[X]. De là, P (a) = (a− a)Q(a) = 0. Inversement, supposons que P (a) = 0. On écritP = (X − a)Q+R avec doR < do(X − a) = 1. R = λ ∈ K est donc constant. En passantaux fonctions polynômes, on en tire 0 = (a− a)Q(a) + λ d’où λ = 0 et P = (X − a)Q.

Proposition 15.13 : Soient a1, · · · , an des éléments distincts de K. Ce sont des racinesde P si et seulement si

∏nk=1(X − ak) divise P .

Démonstration : Dans un sens, c’est évident. Dans l’autre sens, c’est une récurrencesur n. Faisons-le pour n = 2. Soient a 6= b deux racines de P . On a P = (X−a)Q, puisquea est racine de P . Mais alors, P (b) = 0 = (b− a)Q(b). Comme a 6= b, b est racine de Q, etQ = (X − b)R. Donc, P = (X − a)(X − b)R.

Proposition 15.14 : Soit P un polynôme non nul, de degré n ∈ N. Le polynôme Ppossède au plus n racines.

Démonstration : Si a1, · · · , ak sont des racines distinctes de P , alors, P = Q∏kj=1(X−

aj). Donc, doP = doQ+ k d’où doP ≥ k.

Théorème 15.15 : La fonction ϕ : K[X]→ K[id] définie plus haut est un isomorphismesi est seulement si le corps K est infini.

Démonstration : Supposons le corps K infini. Soit P ∈ kerϕ. La fonction polynôme Pest donc la fonction nulle. P a ainsi une infinité de racines et ne peut être que le polynômenul. Inversement, supposonsK fini. Soit P =

∏a∈K(X−a). Le polynôme P est un polynôme

de degré card K, et pourtant P = 0.

Remarque 15.5 : Dans tout corps K infini comme Q,R,C, on peut donc identifier lespolynômes et les fonctions polynômes, c’est à dire que l’on n’écrira plus les chapeaux. Onécrira aussi parfois P (X) pour un polynôme P . Bref, les fonctions polynômes se prennentpour des polynômes, et les polynômes se prennent pour des fonctions.

IV. DÉRIVATION 209

III.4 Racines multiples

Définition 15.7 : Soit P un polynôme, et a un élément de K. Soit k ∈ N. On dit quea est racine de P de multiplicité k lorsque (X − a)k divise P , mais (X − a)k+1 ne divisepas P .

On parle ainsi de racine simple, double, etc. Une racine de multiplicité 0 est une non-racine.

IV Dérivation

IV.1 Dérivée d’un polynôme

Définition 15.8 : Soit P =∑∞

k=0 PkXk. On appelle dérivée de P le polynôme

P ′ =∞∑k=1

kPkXk−1

Les formules classiques de dérivation d’une somme, d’un produit, d’une composée, sedémontrent sans problème de façon purement formelle. On a bien sûr la notion de dérivéed’ordre supérieur, la formule de Leibniz, etc. Il convient de remarquer que si K est un sous-corps de C et P ∈ K[X] est non constant, on a doP ′ = doP − 1. Ainsi, en dérivant doP + 1

fois le polynôme P , on tombe sur le polynôme nul. On remarque enfin que P ′ = (P )′

lorsque la notion de dérivée d’une fonction polynôme a un sens, c’est à dire, pour nous,lorsque K = R.

IV.2 Formule de Taylor

Ici, K est un sous-corps de C.Proposition 15.16 : Soit P ∈ K[X]. Soit a ∈ K. On a

P (X) =

∞∑k=0

(X − a)k

k!P (k)(a)

Démonstration : On procède par récurrence sur n = doP . C’est clair si P est constant.Sinon, on a P ′(X) =

∑n−1k=0

(X−a)k

k! P (k+1)(a) d’où le résultat en intégrant.

Corollaire 15.17 : Soit P ∈ K[X]. Soit a ∈ K et k ∈ N. Alors, a est racine d’ordre kdu polynôme P si et seulement si P (a) = P ′(a) = · · · = P (k−1)(a) = 0, et P (k)(a) 6= 0.

Démonstration : Si P et ses dérivées jusqu’à l’ordre k− 1 sont nulles en a, la formulede Taylor s’écrit P (X) =

∑nj=k

(X−a)j

j! P (j)(a). On peut donc factoriser (X − a)k dans lepolynôme. Une fois factorisé, le polynôme restant ne s’annule pas en a.

Inversement, on fait une récurrence sur k. Supposons P = (X − a)kQ, où Q(a) 6= 0.Alors, P ′ = (X − a)k−1R où R(a) 6= 0. Par l’hypothèse de récurrence, on a donc P ′(a) =· · · = P ′(k−2)(a) = 0 et P ′(k−1)(a) 6= 0. Enfin, on a bien entendu P (a) = 0.


V Factorisation des polynômes

V.1 Polynômes irréductibles

Définition 15.9 : Soit P ∈ K[X]. On dit que P est irréductible sur K lorsque— P n’est pas constant.— À chaque fois que l’on P = QR, Q ou R est constant.

Exemple :— Les polynômes de degré 1— X2 +X + 1 sur R, mais pas sur C.— X3 − 2 sur Q.— X2 +X + 1 sur Z/2Z.

Proposition 15.18 : Tout polynôme non constant s’écrit de façon unique, à l’ordreprès, comme un produit de polynômes irréductibles.

Démonstration : Montrons tout d’abord l’existence de la décomposition. On fait unerécurrence forte sur n = doP . Si n = 1 c’est clair puisqu’un polynôme de degré 1 est irréduc-tible. Soit n ≥ 1. Supposons l’existence de la décomposition pour tout polynôme de degréstrictement inférieur à n. Soit P un polynôme de degré n. Deux cas se présentent. Premièrepossibilité, P est irréductible. Dans ce cas on a fini. Deuxième possibilité, P = QR avecQ et R non constants. Mais alors Q et R sont de degré strictement inférieur à n. D’aprèsl’hypothèse de récurrence, ils se décomposent en produit de polynômes irréductibles, doncP aussi. L’unicité de la décomposition repose sur le théorème de Gauss que nous n’avonspas encore. Nous l’admettons pour l’instant.

Théorème 15.19 : [D’Alembert-Gauss] Soit P ∈ C[X] non constant. Alors, P a aumoins une racine.

Démonstration : Théorème admis.

Proposition 15.20 :— Les polynômes irréductibles sur C sont les polynômes de degré 1.— Les polynômes irréductibles sur R sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de

degré 2 à discriminant strictement négatif.

Démonstration : Commençons par C. Soit P ∈ C[X]. Si P est de degré 1, il estirréductible. Supposons P de degré supérieur ou égal à 2. Le théorème de d’Alembertaffirme que P a une racine a. On a donc P = (X − a)Q où Q n’est pas constant. Donc Pn’est pas irréductible. Passons à R. Soit P ∈ R[X]. Si P est de degré 1, il est irréductible.Supposons P de degré 2. Si P = QR avec Q et R non constants alors Q et R sont dedegré 1, donc P a une racine. Donc, si son discriminant est strictement négatif, P estirréductible. Inversement, si le discriminant de P est positif ou nul, P a une racine etn’est donc pas irréductible. Supposons pour terminer que doP ≥ 3. Si P a une racineréelle a, alors X − a divise P et P n’est pas irréductible. Sinon, P a une racine non réelle

V. FACTORISATION DES POLYNÔMES 211

ζ. Mais P étant à coefficients réels, on voit facilement que ζ 6= ζ est aussi racine de P .On peut donc écrire P = (X − ζ)(X − ζ)Q où Q est a priori dans C[X]. Cependant,A = (X−ζ)(X− ζ) = X2−2 Re ζX+ |ζ|2 ∈ R[X]. Ensuite, arguments subtils. On a d’unepart P = AQ dans C[X], et d’autre part (division euclidienne dans R[X]) P = AQ′ + Ravec Q′ et R dans R[X]. Mais cette dernière égalité est aussi une égalité dans C[X], etdonc une division euclidienne dans C[X]. Par unicité du quotient et du reste de la divisioneuclidienne, on en déduit Q = Q′ et R = 0, d’où P = AQ avec A,Q ∈ R[X] et doA = 2donc Q non constant. P n’est donc pas irréductible.

V.2 Polynômes scindés

Définition 15.10 : Soit P ∈ K[X]. On dit que P est scindé (sur K) lorsque P est unprdoduit de polynômes de degré 1.

Exemple : Tout polynôme de C[X] est scindé. C’est le théorème de d’Alembert.

Proposition 15.21 : Soit P ∈ K[X] un polynôme non nul de racines α1, · · · , αqd’ordres de multiplicité respectifs k1, · · · , kq. Alors k1 + · · ·+ kq ≤ doP et on a égalité si etseulement si P est scindé sur K.

Démonstration : On remarque que si P = QR et si a est racine d’ordre k de P , maispas de R, alors a est racine d’ordre k de Q. En effet a est clairement racine de Q. Donc,Q = (X − a)Q1. On termine par récurrence sur k.

Ainsi,∏qi=1(X −αi)ki divise P , donc on a bien l’inégalité demandée. La CNS d’égalité

est évidente.

V.3 Relations coefficients-racines

Soit P = aX2 + bX + c un polynôme de degré 2. Supposons P scindé. On a doncP = a(X−x1)(X−x2). En développant on trouve les relations bien connues x1 +x2 = − b

aet x1x2 = c

a . Prenons maintenant un polynôme scindé de degré 3, P = aX3 + bX2 +

cX + d = a(X − x1)(X − x2)(X − x3). Un développement donne x1 + x2 + x3 = − ba ,

x1x2 + x2x3 + x1x3 = ca et x1x2x3 = −d

a . On commence à voir apparaître quelque chose.

Définition 15.11 : Soit n ≥ 1, et k un entier entre 1 et n. On appelle k-ième polynômesymétrique élémentaire le “polynôme à n variables”

σk(X1, · · · , Xn) =∑

1≤i1<···<ik≤nXi1Xi2 · · ·Xik

En particulier σ1 = X1 +X2 + . . .+Xn et σn = X1X2 . . . Xn.

Proposition 15.22 : Soit n ≥ 1. Soit P =∑n

k=0 PkXk un polynôme de degré n

scindé, de racines α1, · · · , αn (éventuellement égales s’il y a des racines multiples). Enclair, P = Pn

∏ni=1(X − αi). On a alors pour tout entier k entre 1 et n

σk(α1, · · · , αn) = (−1)kPn−kPn


Démonstration : On donne juste l’idée de la preuve, qui se fait par récurrence sur n.Pour n = 1, 2, 3 nous avons déjà vu que c’était vrai. Supposons que l’on sait faire pour unpolynôme de degré n ≥ 1, et prenons P = Pn+1

∏n+1k=1(X − αk). On a alors

P = Pn+1

(Xn +

n∑k=1

(−1)n−kσn−k(α1, · · · , αn)Xk

)(X − αn+1)

On réordonne ensuite suivant les puissances de X pour constater que l’on obtient bien lespolynômes symétriques élémentaires en α1, · · · , αn+1.

Exercice : Trouver tous les réels x, y, z vérifiantx+ y + z = 21x + 1

y + 1z = 5

6

xyz = −6

VI Pgcd,Ppcm

VI.1 L’algorithme d’Euclide

Proposition 15.23 : Soient A et B deux polynômes à coefficients dans K. Il existe unpolynôme ∆ vérifiant

∀D ∈ K[X],

D|AD|B ⇔ D|∆

Le polynôme ∆ est unique à constante multiplicative non nulle près.

Définition 15.12 : ∆ est appelé un pgcd de A et B. On parlera abusivement du pgcdde A et B, et on notera ∆ = A ∧B ou ∆ = pgcd(A,B).

Démonstration : L’unicité est claire : si ∆1 et ∆2 sont deux pgcd de A et B, alorschacun divise l’autre, et ils sont donc associés.

Si B = 0, l’existence est assurée, puisque ∆ = A convient. Sinon, un polynôme Ddivise A et B si et seulement si il divise B et R, où R est le reste de la division euclidiennede A par B. On crée ainsi une suite de restes successifs de divisions euclidiennes : c’estl’algorithme d’Euclide. On arrive forcément à un reste nul, car la suite des degrés des restesserait sinon une suite strictement décroissante d’entiers naturels. Le dernier reste non nulest le polynôme ∆ recherché.

Exemple : Pour tout polynôme A, on a A ∧ 1 = 1, A ∧ 0 = A, A ∧ A = A. On a(X2 − 3X + 2) ∧ (X3 − 2X2 +X − 2) = X − 2.

VI. PGCD,PPCM 213

VI.2 Théorème de Bézout

Définition 15.13 : Soient A,B ∈ K[X]. On dit que A et B sont premiers entre euxlorsque A ∧B = 1.

Exemple : Deux polynômes irréductibles non associés sont premiers entre-eux. En effet,soient P et Q irréductibles, non associés. Soit D un polynôme. Si D divise P et Q alorsD = 1 ou P et D = 1 ou Q (àcmnnp). Donc D = 1 àcmnnp.

Théorème 15.24 : Soient A,B ∈ K[X]. Alors, A et B sont premiers entre eux si etseulement si il existe U, V ∈ K[X] tels que AU +BV = 1.

Démonstration : Supposons l’existence de U et V . Alors, Si D divise A et B, ildivise AU +BV , donc 1. Donc, les seuls diviseurs communs de A et B sont les polynômesconstants.

Inversement, supposons que A∧B = 1. On a 1×A+ 0×B = A, et 0×A+ 1×B = B.Soient (Rn) et (Qn) les suites des restes et des quotients des divisions de l’algorithmed’Euclide : R0 = A, R1 = B, et Rn = Rn+1Qn+2 + Rn+2, avec Rn0+1 = 0, et Rn0 = 1.Si l’on a UnA + VnB = Rn, et de même au rang n + 1, il est alors facile de combiner cesdeux égalités (la première moins Qn+2 fois la seconde) pour obtenir la même égalité aurang n+ 2. On termine donc par récurrence.

Remarque 15.6 : Si A∧B = ∆, le raisonnement précédent montre qu’il existe U et Vtels que UA+ V B = ∆. La réciproque est fausse lorsque ∆ n’est pas constant.

VI.3 Théorème de Gauss

Théorème 15.25 : Soient A,B,C ∈ K[X]. On suppose que A|BC et que A ∧ B = 1.Alors, A|C.

Démonstration : On a UA + V B = 1 et BC = QA. Donc, C = UAC + V BC =UAC + V QA = (UC + V Q)A.

VI.4 Propriétés utiles

Les trois propriétés ci-dessous sont analogues aux propriétés vues en arithmétique surZ. Elles se démontrent de la même façon, grâce aux théorèmes de Bézout et Gauss.

Proposition 15.26 : Soient A,B,∆ ∈ K[X]. Alors ∆ = A ∧ B si et seulement si ilexiste A1, B1 ∈ K[X] tels que

A = ∆A1

B = ∆B1

A1 ∧B1 = 1

Proposition 15.27 : Soient A,B1, . . . Bn ∈ K[X]. A est premier avec chacun des Bisi et seulement si il est premier avec leur produit.


Exemple : Soient a, b ∈ K, a 6= b. Soient α, β ∈ N. Alors (X − a)α ∧ (X − b)β = 1.

Proposition 15.28 : Si A1, · · · , An sont premiers entre eux deux à deux et divisent B,alors le produit des Ai divise B.

Remarque 15.7 : Nous allons montrer l’unicité de la décomposition en produit depolynômes irréductibles, que nous avions pour l’instant laissée de côté. On va procédercomme pour les entiers : la difficulté est liée à l’ordre des facteurs. Notons I l’ensembledes polynômes irréductibles et unitaires sur le corps K. Tout polynôme Q ∈ K[X] non nuls’écrit Q = c

∏P∈I P

αP où c ∈ K∗ et les αP sont des entiers naturels tous nuls sauf unnombre fini. Soit Q un polynôme non nul. Supposons Q = c

∏P∈I P

αP = c′∏P∈I P

βP .Le coefficient dominant de Q est c = c′. On a donc

∏P∈I P

αP =∏P∈I P

βP . Soit P0 ∈ I.On a P

αP00 |P βP00

∏P∈I,P 6=P0

P βP . Mais PαP00 est premier avec

∏P∈I,P 6=P0

P βP . Donc, par

le théorème de Gauss, PαP00 |P βP00 . On en déduit que αP0 ≤ βP0 . De la même façon, on

obtient αP0 ≥ βP0 et donc αP0 = βP0 . Il y a bien unicité de l’écriture.

VI.5 Ppcm

Proposition 15.29 : Soient A,B ∈ K[X]. Il existe un poynôme µ, unique à constantemultiplicative non nulle près, tel que

∀M ∈ K[X],

A|MB|M ⇔ µ|M

Démonstration : Voir le cours sur les entiers relatifs. On écrit A = ∆A1, B = ∆B1,où ∆ = A ∧ B et A1 ∧ B1 = 1. On pose µ = ∆A1B1 et on montre ensuite que µ est, àconstante multiplicative non nulle près, l’unique solution du problème.

Définition 15.14 : µ est appelé un ppcm de A et B. On parlera abusivement du ppcmde A et B, et on notera µ = A ∨B ou µ = ppcm(A,B).

Proposition 15.30 : (A ∧B)(A ∨B) = AB.

Démonstration : Avec les notations ci-dessus, (A∧B)(A∨B) = ∆(∆A1B1) = AB.

VI.6 Calculs pratiques

Utilisation de polynômes irréductibles

Soient A =∏P∈I P

αP et B =∏P∈I P

βP où les αP , βP sont des entiers naturels presquetous nuls. Alors, A ∧ B =

∏P∈I P

min(αP ,βP ) et A ∨ B =∏P∈I P

max(αP ,βP ). Se reporterau cours d’arithmétique dans Z pour une démonstration. Cette méthode de calcul n’estévidemment utile que pour des polynômes que l’on sait factoriser.

VII. INTERPOLATION DE LAGRANGE 215

Calcul des coefficients de Bézout

Se reporter au cours d’arithmétique dans Z. La méthode est identique. Elle permet derésoudre complètement l’équation AU +BV = C, d’inconnues U, V ∈ K[X].

VII Interpolation de Lagrange

VII.1 Qu’est-ce que l’interpolation ?

Soit f : I → R ou C. Soit n ∈ N. Soient x0 < x1 < . . . < xn n + 1 réels distincts.Existe-t-il un polynôme P tel que pour tout k ∈ 0, . . . , n, on ait P (xk) = f(xk) ? Onpeut se débarrasser de la fonction f dans la formulation de la question : étant donnésn + 1 réels y0, . . . , yn, existe-t-il un polynôme P tel que pour tout k ∈ 0, . . . , n, on aitP (xk) = yk ?

Pour les toutes petites valeurs de n, la réponse est évidente. Lorsque n = 0, la réponseest clairement oui, on peut prendre par exemple un polynôme constant. Pour n = 2, c’estencore oui en prenant pour P une fonction affine : par deux points du plan il passe uneunique droite ! Ceci peut se généraliser.

VII.2 Existence et unicité

Proposition 15.31 : Soit n ∈ N. Soient x0 < x1 < . . . < xn n + 1 réels distincts.Soient y0 < y1 < . . . < yn n + 1 réels. Il existe un unique polynôme P ∈ Rn[X] tel que∀k ∈ 0, . . . , n, P (xk) = yk.

Démonstration : Supposons que deux tels polynômes P etQ conviennent. Le polynômeP −Q s’annule en x0, . . . , xn, et a donc au moins n+ 1 racines. Mais ce polynôme est dedegré inférieur ou égal à n. Donc, P = Q.

Passons à l’existence. Pour k = 0, . . . , n, soit

Lk =

∏j 6=k(X − xj)∏j 6=k(xk − xj)

On vérifie facilement que ces polynômes sont de degré n, et que pour tous j, k ∈ 0, . . . , n,on a Lk(xj) = δkj , c’est à dire 0 si j 6= k et 1 si j = k. Ces polynômes sont les polynômesde Lagrange élémentaires. Soit maintenant

P =

n∑k=0

ykLk

On a pour tout j entre 0 et n, P (xj) =∑n

k=0 ykLk(xj) =∑n

k=0 ykδkj = yj . Le polynômeP convient donc.

Que se passe-t-il si l’on supprime la condition de degré ? On perd l’unicité. Plus préci-sément :


Proposition 15.32 : Avec les notations ci-dessus, soit Q ∈ R[X]. On a Q(xj) = yjpour j = 0, 1, . . . , n si et seulement si

Q = P +n∏k=0

(X − xk)

Démonstration : Un tel polynôme vérifie clairement les conditions. Inversement, soitQ un polynôme prenant les valeurs yj aux points xj . Le polynôme Q − P s’annule enx0, . . . , xn. On en déduit que Q− P est un multiple de

∏nk=0(X − xk)

VIII. EXERCICES 217

VIII Exercices

1. Soit n ≥ 1. Soit P = (X − 3)2n + (X − 2)n − 2. Quel est le reste de la divisioneuclidienne de P par X − 2 ? Par (X − 2)(X − 3) ? Par (X − 3)2(X − 2) ?

2. Montrer qu’il n’existe pas de polynôme P ∈ C[X] tel que ∀z ∈ C, P (z) = z.3. Soit P ∈ K[X].

(a) Montrer que pour tout entier k ≥ 1, P −X divise P k −Xk.(b) En déduire que P −X divise P P − P .(c) En déduire que que P −X divise P P −X.

4. Déterminer tous les polynômes P ∈ R[X] vérifiant P (2) = 6, P ′(2) = 1, P ′′(2) = 4et ∀n ≥ 3, P (n)(2) = 0.

5. Soit P ∈ C[X]. Soit a ∈ C. Déterminer une CNS sur P et a pour que a soit racinede multiplicité 3 du polynôme Q = (X − a)(P ′(X) + P ′(a))− 2(P (X)− P (a)).

6. Soit P ∈ R[X] ayant toutes ses racines réelles et simples.(a) Montrer que P ′ a toutes ses racines réelles et simples.(b) Soit α ∈ R∗+. Montrer que P 2 + α2 a toutes ses racines non réelles et simples.

7. Soit P ∈ R[X] scindé. Montrer que P ′ est scindé.8. Soit n ∈ N∗. Déterminer une CNS sur a et b pour que le polynôme P = aXn+1 +bXn + 1 soit divisible par (X − 1)2.

9. Résoudre : P ∈ R[X], P (2X) = P ′(X)P ′′(X).10. Trouver tous les polynômes P ∈ R[X] de degré 7 tels que (X − 1)4/(P + 1) et

(X + 1)4/(P − 1). On pourra s’intéresser tout d’abord à P ′.11. Déterminer tous les polynômes P ∈ C[X] dont la fonction polynôme associée est

périodique (on autorise une période complexe).

12. Factoriser (X + i)n − (X − i)n. En déduire∏nk=1

(1 + cotan2 kπ

2n+1

).

13. Pour n ≥ 1, on pose Pn = 1 + X1! + X(X+1)

2! + . . .+ X(X+1)···(X+n−1)n! . Factoriser Pn.

14. Soit P = (X + 1)5 −X5. Mettre P sous la forme P = R (X(X + 1)), avec R dedegré 2. En déduire

∑nk=0 k

2(k + 1)2.15. Quel est le pgcd de 2X4 + 11X3 + 10X2 − 5X − 3 et 2X3 + 5X2 + 5X + 3 ?16. Soit n ∈ N∗. Trouver U et V ∈ R[X] de degré < n tels que UXn + V (1−X)n = 1.

On pourra remarquer que (1−X) +X = 1.17. Trouver tous les polynômes P ∈ R[X] unitaires, de degré 3, divisibles par X − 1, et

dont les restes des divisions euclidiennes par X − 2, X − 3 et X − 4 sont égaux.18. Soit θ ∈ R. Soit A = X2 − 2X cos θ + 1.

(a) Factoriser A sur C.(b) Montrer que pour tout n > 0, A divise Xn sin θ −X sinnθ + sin(n− 1)θ.


19. Factoriser le polynôme P = X6 + 1 sur C et sur R.20. Soient p, q ∈ R. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour

que X2 + 2 divise X4 +X3 + pX2 + qX + 2.

21. Pour tout n ≥ 0, on pose Pn =∑n

k=0Xk

k! . Montrer que Pn n’a que des racinessimples dans C.

22. Soit P = X5 +X + 1.

(a) Montrer que P n’a pas de racine dans Q.

(b) Montrer que j est racine de P .

(c) Factoriser P sur Q[X].

23. Soient P,Q ∈ R[X] tels que P ∧Q = 1 et P 2 +Q2 a une racine double α. Montrerque α est racine de P ′2 +Q′2.

24. Trouver tous les polynômes P ∈ C[X] tels que P ′ divise P .

25. Trouver tous les polynômes P ∈ R[X] tels que P (X2) = (X2 + 1)P (X).

26. Soit n ∈ N. Développer (1 +X)(1 +X2)(1 +X4) . . . (1 +X2n).

27. On pose P0 = 1 et, pour tout k ∈ N∗, Pk = 1k!X(X − 1) . . . (X − k + 1).

(a) Montrer que pour tout entier n, la famille (P0, P1, . . . , Pn) est une base de Rn[X].

(b) Montrer que ∀m ∈ Z,∀k ∈ N, Pk(m) ∈ Z.(c) Trouver tous les polynômes P tels que ∀m ∈ Z, P (m) ∈ Z.

28. Soit P ∈ K[X]. Soient α, β ∈ K.

(a) Calculer le reste de la division euclidiennne de P par (X − α)(X − β).

(b) Calculer le reste de la division euclidiennne de P par (X − α)2.

Chapitre 16Fractions rationnelles

219

220 CHAPITRE 16. FRACTIONS RATIONNELLES

I Le corps des fractions rationnelles

I.1 Notion de fraction rationnelle

Soit K un corps commutatif. L’anneau K[X] des polynômes à coefficients dans K est unanneau intègre. Il possède donc un corps des fractions, unique à isomorphisme près, notéK(X) : le corps des fractions rationnelles à une indéterminée. Formellement, une fractionrationnelle est le quotient F = P

Q de deux polynômes, où le polynôme Q est non nul. Ona les identités suivantes :

PQ = R

S ⇐⇒ PS = QRPQ + R

S = PS+QRQS

PQRS = PR

QS

Enfin, toute fraction s’écrit F = PQ où P et Q sont deux polynômes premiers entre eux.

Une telle écriture est unique, à multiplication par une constante non nulle près en haut eten bas. On dit que l’on a un représentant irréductible de la fraction F .

I.2 Degré d’une fraction rationnelle

Définition 16.1 : Soit F = PQ ∈ K(X). On appelle degré de F la quantité doF =

doP − doQ.Remarque 16.1 : Cette quantité ne dépend pas du représentant choisi pour F . Le degréd’une fraction est soit un entier relatif, soit −∞ lorsque la fraction est nulle. Attention àquelques pièges : une fraction de degré 0 n’est pas forcément constante, par exemple.

Proposition 16.1 : Soient F,G ∈ K(X). On a do(F + G) ≤ max(doF, doG). Si lesfractions ont des degrés différents, c’est une égalité. Sinon, on ne peut rien dire.

Démonstration : On pose F = PQ et G = R

S . On a F +G = PS+QRQS d’où do(F +G) =

do(PS + QR) − do(QS) ≤ max(do(PS), do(QR)) − do(QS). Cette quantité vaut aussimax(do(PS)− do(QS), do(QR)− do(QS)) = max(doP − doQ, doR − doS). Si doF 6= doG,alors doP − doQ 6= doR− doS, donc do(PS) 6= do(QR) et on a bien égalité.

Proposition 16.2 : Soient F,G ∈ K(X). On a do(FG) = doF + doG.

Démonstration :Avec les mêmes notations que ci-dessus, do(FG) = do(PR)−do(QS) =doP + doR− doQ− doS = doF + doG.

I.3 Racines, pôles

Définition 16.2 : Soit F = PQ une fraction écrite sous forme irréductible. On appelle

racine de F toute racine de P , et pôle de F toute racine de Q.

Remarque 16.2 : Une fraction a un nombre fini de pôles. Une fraction non nulle a unnombre fini de racines.

II. ÉLÉMENTS SIMPLES 221

I.4 Fonctions rationnelles

On ne refait pas ce qui a été fait pour les polynômes. Noter simplement qu’une fonc-tion rationnelle est définie sur K sauf peut-être en un nombre fini de points, les pôlesde la fraction rationnelle correspondante. On définit également la dérivée d’une fractionrationnelle.

II Éléments simples

II.1 C’est quoi ?

Définition 16.3 : On appelle élément simple (sur K) toute fraction rationnelle du typeF = P

Qn où n ∈ N∗, Q est irréductible et doP < doQ.

II.2 Exemples de base

• Lorsque Q est de degré 1, on a ce que l’on appelle un élément simple de premièreespèce (d’ordre n). On a alors F = α

(X−a)n , avec α, a ∈ K et n ≥ 1. Ce typed’élément simple est le seul lorsque K = C.

• Si K = R, on trouve également des éléments simples de deuxième espèce : lesfractions F = αX+β

(X2+pX+q)navec α, β, p, q ∈ R, n ≥ 1, et p2 − 4q < 0.

II.3 Partie entière d’une F.R.

Proposition 16.3 : Soit F ∈ K(X). Il existe un unique polynôme E ∈ K[X], et uneunique fraction rationnelle G de degré strictement négatif, tels que F = E +G.

Le polynôme E est appelé la partie entière de la fraction F .

Démonstration : On écrit F = AB . On fait la division euclidienne de A par B :

A = BE +R avec doR < doB. D’où F = E +R/B et l’existence, en posant G = R/B. Si,par ailleurs, F = E1 +G1 = E2 +G2, alors G1 −G2 = E2 −E1 est un polynôme de degréstrictement négatif. C’est donc le polynôme nul, d’où l’unicité.

II.4 Parties polaires d’une fraction

Proposition 16.4 : Soit F = AB1···Bn avec dA <

∑ni=1 d

oBi, et les Bi premiers entre euxdeux à deux. F s’écrit alors de façon unique F =

∑ni=1

AiBi

avec pour tout i, doAi < doBi.

Démonstration : On fait la démonstration dans le cas n = 2. On étend ensuite parrécurrence sur n.


• Existence : Soit F = AB1B2

. D’après Bézout, il existe deux polynômes U et V tels

que UB1 + V B2 = 1. On peut donc écrire F = A(UB1+V B2)B1B2

= V AB1

+ UAB2

. On peutensuite isoler les parties entières de ces fractions, et écrire F = E1 +E2 + A1

B1+ A2

B2.

Mais, forcément, E1 + E2 = 0 puisque doF < 0.

• Unicité : Supposons que F s’écrive de deux façons. On arrive alors à A1B1

= A2B2

avecdoAi < doBi et B1 ∧B2 = 1. On applique ensuite le théorème de Gauss : B1 diviseA1B2, donc B1 divise A1. Donc, pour des raisons de degré, A1 = 0. Puis, de même,A2 = 0.

Remarque 16.3 : Le résultat précédent permet de « séparer » les pôles d’une fraction.

II.5 Décomposition en éléments simples sur les complexes

Proposition 16.5 : Soit F ∈ C(X) une fraction de pôles a1, · · · , an d’ordres de multi-plicités respectifs k1, · · · , kn. Alors

F = E +

n∑j=1

kj∑i=1

αi,j(X − aj)i

où les αi,j ∈ C et E ∈ C[X]. La décomposition est unique.

Démonstration : On admet l’unicité (qui a presque été déjà faite, d’ailleurs). Le po-lynôme E est la partie entière de F . Le jème terme de la somme est la partie polairerelative au pôle aj . Elle se décompose en somme d’éléments simples en écrivant la formulede Taylor (ou en faisant des divisions euclidiennes par X − aj).

II.6 Pôles simples

Soit F une fraction possédant a pour pôle simple. Le théorème précédent nous dit queF = α

X−a +G où a n’est pas un pôle de G. Le scalaire α est appelé le résidu de F au pointa. Il existe essentiellement 2 méthodes pratiques de calcul de α

• Supposons ici que l’on sait écrire F = P(X−a)Q , les polynômes P et Q n’ayant pas a

pour racine. On a alors (X − a)F = PQ = α+ (X − a)G. On a donc α = P (a)

Q(a) .

Exemple : Soit F = X2+1X3−1

. On veut calculer le résidu de F en 1. On a (X−1)F =X2+1

X2+X+1et cette quantité vaut 2/3 en 1. Donc, F = 2

3(X−1) +G où G a pour pôles et . Calculer de même les résidus en et .

• Il arrive que l’on sache que a est pôle simple de F , sans pouvoir factoriser facilementson dénominateur. On suppose ici que F = P

Q , où a est racine simple de Q, et pas

racine de P . On voit, en écrivant Taylor pour Q, que le résidu de F en a est P (a)Q′(a) .

II. ÉLÉMENTS SIMPLES 223

Exemple : Soit F = 1Xn−1 . Les pôles de F sont les racines nièmes de 1. On a

donc F =∑

ω∈UnαωX−ω , avec αω = 1

nωn−1 = ωn .

II.7 Pôles multiples

On traite un exemple dans lequel il y a des pôles doubles ...Soit F = X5

(X−1)2(X+2)2. Alors F = E + aX+b

(X−1)2+ cX+d

(X+2)2. La théorie nous dit que E

s’obtient par une division euclidienne, assez pénible à effectuer ici, car il faut développerle dénominateur. On trouve E = X − 2. Pour obtenir a et b, on multiplie F par (X − 1)2.On a aX+ b+ (X−1)2G = X5

(X+2)2où la fraction G n’a pas 1 pour pôle. En faisant X = 1,

on obtient a + b = 1/9. En dérivant, puis en faisant X = 1, on obtient a = 13/27, d’oùb = −10/27. Terminer la décomposition. On trouve

F = X − 2 +1

9(X − 1)2+

13

27(X − 1)− 32

9(X + 2)2+

176

27(X + 2)

II.8 Fractions réelles

Proposition 16.6 : Soit F = PQ ∈ R(X) une fraction écrite sous forme irréductible.

On suppose que Q se factorise en Q = c∏mi=1(X − ai)αi

∏ni=1(X2 + piX + qi)

βi où c ∈ R∗,les αi, βi sont des entiers non nuls, les ai ∈ R, les pi, qi ∈ R avec p2

i − 4qi < 0. La fractionF s’écrit alors de façon unique

F = E +

m∑i=1

αi∑j=1

λij(X − ai)j

+

n∑i=1

βi∑j=1

µijX + νij(X2 + piX + qi)j

Démonstration : Démonstration admise.

On a souvent à décomposer des fractions à coefficients réels en éléments simples. Lorsqueles pôles non réels sont des pôles simples, on peut décomposer sur C et regrouper les partiescorrespondant à des pôles conjugués. On peut aussi, écrire la décomposition a priori etdonner à X des valeurs particulières.

Exemple : Soit F = 1X4+X2+1

. On a F = 1(X2−X+1)(X2+X+1)

= aX+bX2−X+1

+ cX+dX2+X+1

.Tout d’abord, F est paire. Le changement de X en −X donne la même DES. On endéduit que a = −c et b = d. Maintenant, multiplions par X2 +X + 1. Il vient 1

X2−X+1=

cX + d+ (X2 +X + 1)G où G n’a pas j pour pôle. On fait X = j : 1j2−j+1

= cj + d. Onutilise les relations j2 + j + 1 = 0 et j3 = 1 pour obtenir que 1

j2−j+1= j+1

2 . La famille(1, j) étant libre dans le R-espace vectoriel C, on en déduit c = d = 1

2 . Ainsi

1

X4 +X2 + 1=

1

2

−X + 1

X2 −X + 1+

1

2

X + 1

X2 +X + 1


III Primitives des fractions rationnelles

Toute fraction rationnelle se décompose en une somme contenant un polynôme et deséléments simples. Ainsi, pour obtenir une primitive d’une F.R., il suffit de savoir calculerune primitive d’un élément simple. Le lecteur est évidemment supposé savoir calculer uneprimitive d’un polynôme. . .

III.1 Primitives d’un élément simple de première espèce

On se donne F = 1(X−a)n , avec a ∈ R ou C, et n ≥ 1. On désire calculer

∫F (x) dx. La

variable x reste évidemment réelle.Lorsque n ≥ 2, une primitive de F est −1

(n−1)(x−a)n−1 , que a soit réel ou complexe.Lorsque n = 1 et a est réel, une primitive de F est ln |x− a|.Lorsque n = 1 et a = p + iq avec p, q réels, q 6= 0, on a F (x) = 1

(x−p)−iq = (x−p)+iq(x−p)2+q2

.Une primitive de F est donc 1

2 ln((x− p)2 + q2) + i arctan x−pq .

III.2 Primitives d’un élément simple de deuxième espèce d’ordre 1

On suppose ici les fractions à coefficients réels. On se donne F = αX+βX2+pX+q

avec undénominateur irréductible. Une simple translation (t = x+ p/2) permet de se ramener aucalcul d’une primitive de G(t) = ut+v

t2+a2avec a réel non nul, ce qui s’intègre en u

2 ln(t2 +

a2) + va arctan t

a .

III.3 Primitives d’un élément simple de deuxième espèce d’ordre au moins 2

Une translation de la variable, comme au paragraphe ci-dessus, permet de se ramenerau problème suivant : calculer In =

∫x

(x2+a2)net Jn =

∫1

(x2+a2)n, où n ≥ 2.

Le calcul de In est immédiat : In = −12(n−1)(x2+a2)n−1 .

Pour calculer Jn, on intègre par parties en posant u′ = 1 et v = 1(x2+a2)n

. Il vient

Jn = x(x2+a2)n

+ 2n∫

x2

(x2+a2)n+1 . L’intégrale vaut Jn − a2Jn+1. Connaissant J1, on peutainsi calculer de proche en proche les intégrales Jn.

Exercice : Calculer∫ 1

0dx

(x2+1)2.

IV. EXERCICES 225

IV Exercices

1. Déterminer la limite, lorsque n tend vers l’infini, des sommes ci-dessous :

(a)∑n

k=12k+1

k(k+1)(k+2)

(b)∑n

k=1k+3

(k+1)2(k+2)(on admettra que limn→∞

∑nk=1

1k2

= π2

6 ).

2. Décomposer en éléments simples sur R et/ou sur C les fractions rationnelles sui-vantes :a) X3+2

(X−1)(X+1)(R) b) 1X(X+1)...(X+n)(R) c) X−1

X(X+1)2(R)

d) 1X4+X2+1

(R) e) 1X2(X2+1)2

(R) f) X5

X4−1(R)

g) 1X3−1

(R,C)3. Calculer les primitives des fractions de l’exercice précédent.

4. Soit n ∈ N. Résoudre le système de n équations à n inconnues

n∑j=1

xji+ j

= 1 i = 1 · · ·n

On utilisera la D.E.S. de la fraction F = −∏nk=1(X−k)∏nk=1(X+k)

5. Soient a ∈ C et F ∈ C(X) de la forme F = P (X)(X−a)nQ(X) avec Q(a) 6= 0. Exprimer

la partie polaire de F relative au pôle a en fonction des dérivées successives deG(X) = (X − a)nF (X) au point a.

6. On considère la fraction F = 1(X3−1)3

.

(a) Calculer la partie polaire de F relative au pôle 1.

(b) En remarquant que F (jX) = F (j2X) = F (X), déterminer la D.E.S. de F .7. Soit P un polynôme à coefficients complexes, de racines a1, . . . , am de multiplicités

respectives α1, . . . , αm. Décomposer la fraction P ′/P en éléments simples.

8. Soit P un polynôme de C[X]. Montrer que si les racines de P sont réelles et simples,alors le polynôme Q = P ′2 − PP ′′ n’a pas de racines réelles. On pourra considérerla fraction −

(P ′

P

)′.

9. Soit n ∈ N.(a) Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme P tel que ∀x ∈ R, P (cosx) =

cos(nx).

(b) Quelles sont les racines de P ?

(c) Décomposer la fraction 1/P en éléments simples.10. Soit n un entier naturel non nul. On considère F = 1

X2n+1.

(a) Montrer que F possède 2n pôles simples, tous non réels. Calculer ces pôles enfonction des réels θk = π

2n + k πn , k = 0..2n− 1.


(b) Décomposer F en éléments simples sur C.(c) Regrouper les pôles conjugués de F et en déduire, toujours en fonction des θk,

la décomposition en éléments simples de F sur R.11. Soit F ∈ K(X). Montrer que F s’écrit de façon unique F = P

Q où P,Q ∈ K[X],Q 6= 0, P ∧Q = 1, et Q est unitaire.

12. Calculer la dérivée nième de la fonction arctan.

13. Calculer la dérivée nième de la fonction x 7→ ln(x2 − 1).

14. Soient a, b, c ∈ R. Calculer la dérivée nième de ax2+bx+c(x−1)2

.

15. Calculer la limite lorsque n tend vers l’infini de∑n

k=12

k3+3k2+2k.

16. Soient a, b, c ∈ R. Déterminer une fraction rationnelle dont la courbe représentativeadmet les droites d’équations y = ax + b et x = c comme asymptotes. Calculer ladérivée nième de cette fraction.

17. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a, b, c, d, e pour queles primitives de la fonction x 7→ x4+ax3+bx2+cx+d

x3(x−1)2soient des fractions rationnelles.

18. Soit P ∈ R[X] un polynôme de degré n ≥ 1 possédant n racines distincets nonnulles x1, x2, . . . , xn.

(a) Décomposer la fraction 1XP (X) en éléments simples.

(b) En déduire que∑n

k=11

xkP ′(xk) = − 1P (0) .

19. Pour tout n ∈ N on pose In =∫ 1

0dx

(x2+1)n.

(a) Soit n ∈ N. Exprimer In+1 en fonction de In.

(b) Calculer I3.

20. Pour tout x > 0 on pose f(x) =∫ x

0dtt4+1

.

(a) Calculer f(x).

(b) Quelle est la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞ ?

21. Calculer les primitives de x 7→ x2+1(x2−1)(x2+x+1)

.

22. Soit n ≥ 2. Réduire sous la forme PQ la fraction

∑n−1k=0

ω2k

X−ωk où les ωk sont les racinesnièmes de l’unité.

Chapitre 17Calcul des primitives

227

228 CHAPITRE 17. CALCUL DES PRIMITIVES

Maintenant que nous avons abordé l’étude des fractions rationnelles, il est bon de faireun petit bilan sur le calcul des primitives. Ce chapitre présente un certain nombre detechniques permettant le calcul méthodique de certaines primitives. Il contient des reditespar rapport à ce qui a déjà été vu auparavant, mais aussi des nouveautés.

I Primitives usuelles

Le tableau ci-dessous résume les primitives à connaître. On trouve dans la premièrecolonne la fonction à primitiver. Dans la deuxième colonne sont indiqués le ou les intervalles(les plus grands possible) où la fonction possède des primitives. La dernière colonne contientl’expression d’une primitive de la fonction, valable sur tous les intervalles cités dans lacolonne précédente. Pour avoir toutes les primitives, il convient bien entendu de rajouterdes constantes.

Fonction f Intervalle(s) I Primitive∫f(x)dx sur I

eαx(α ∈ C∗) R 1αe

αx

coshαx(α ∈ R∗) R 1α sinhαx

sinhαx R 1α coshαx

cosαx R 1α sinαx

sinαx R − 1α cosαx

xα(α ∈ C \ −1) R∗+(au moins) xα+1

α+11x R∗+ ou R∗− ln |x|ln |x| R∗+ ou R∗− x ln |x| − x

1cosh2 x

= 1− tanh2 x R tanhx1

sinh2 x= coth2 x− 1 R∗+ ou R∗− − cothx

1cos2 x

= 1 + tan2 x ]− π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z tanx

1sin2 x

= 1 + cot2 x ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z − cotx

tanx ]− π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z − ln | cosx|

cotx ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z ln | sinx|tanhx R ln(coshx)cothx R∗+ ou R∗− ln | sinhx|

1coshx R 2 arctan ex

1sinhx R∗+ ou R∗− ln

∣∣tanh x2

∣∣1

cosx ]− π2 + kπ, π2 + kπ[, k ∈ Z ln

∣∣tan(x2 + π

4

)∣∣1

sinx ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z ln∣∣tan x

2

∣∣1

x2+a2(a ∈ R∗) R 1

a arctan xa

1a2−x2 (a ∈ R∗) R \ −|a|, |a| 1

2a ln∣∣∣x+ax−a

∣∣∣1√

a2−x2 (a ∈ R∗) ]− |a|, |a|[ arcsin x|a|

1√x2+h

(h ∈ R∗) tout intervalle où x2 + h 6= 0 ln∣∣∣x+

√x2 + h

∣∣∣

II. PRIMITIVES SE RAMENANT À DES PRIMITIVES DE F.R. 229

II Primitives se ramenant à des primitives de F.R.

II.1 Fractions en sinus et cosinus

Problème : intégrer F (cosx, sinx) où F est une fraction rationnelle à deux variables.On pose x = 2 arctan t+2kπ, où k est choisi selon l’intervalle d’intégration. Ce changementde variable ne peut être effectué que sur des intervalles du type ](2k − 1)π, (2k + 1)π[. Sil’on a à intégrer sur autre chose, il faut couper en morceaux. On a alors∫

F (cosx, sinx) dx =

∫F (

1− t2

1 + t2,

2t

1 + t2)

2dt

1 + t2

Ne pas oublier de modifier les bornes ! !

Exercice : Intégrer 11−2 sinx et 1

2+sinx Calculer l’intégrale de la seconde fonction entre0 et π.

Il se peut que de meilleurs changements de variable soient possibles :• Si f(x) = F (cosx, sinx) est impaire, alors F (X,Y ) = Y G(X,Y ), où Y n’apparaît

qu’avec des puissances paires. Le changement de variable t = cosx fonctionne alors.

Exemple : tanx = − cos′ xcosx . Ainsi, en posant u = cosx, on a tanx = −u′

u quis’intègre en − lnu.

• f(π − x) = −f(x). On a alors F (− cosx, sinx) = −F (cosx, sinx). On peut alorsmontrer que F (−X,Y ) = −F (X,Y ) et que F = XG(X,Y ) où X n’apparaît dansG qu’avec des puissances paires. On pose t = sinx.• f(π + x) = f(x). On pose alors t = tanx.

II.2 Fractions d’exponentielles

Problème : Intégrer F (ex), où F est une fraction rationnelle. Ce problème inclut leproblème de l’intégration de fractions en sinhx et coshx.

On pose x = ln t. Il vient alors∫F (ex) dx =

∫ F (t)t dt.

Exercice : Calculer pour tout réel x∫ x

0dt

1+cosh t .

II.3 Intégrales abéliennes (I)

Problème : intégrer f(x) = F (x, n√

ax+bcx+d où F est une fraction rationnelle, et ad−bc 6= 0.

On pose t = n

√ax+bcx+d . On a alors x = b−dtn

ctn−a et dx est donc une fraction rationnelle en t.

Exercice :∫ 1

0

√1−x1+x dx.

Remarque 17.1 : Le changement de variable officiel n’est pas le meilleur possible dansl’exemple ci-dessus : en posant x = cos t on obtient une intégrale beaucoup plus facile àcalculer.


II.4 Intégrales abéliennes (II)

Problème : intégrer f(x) = F (x,√ax2 + bx+ c où F est une fraction rationnelle.

On met la quantité sous la racine sous forme canonique, et on fait un changement devariable trigonométrique ou hyperbolique.

Exercice : Calculer la longueur d’un morceau de la parabole d’équation y = x2. Lalongueur du morceau de la courbe représentative de f comprise entre les points d’abscissesa et b est

∫ ba

√1 + f ′(t)2 dt.

III Autres primitives

III.1 Primitives de fonctions faisant intervenir un logarithme ou un arc tan-gente

Soit à trouver une primitive de f(t) ln(t). Si l’on connaît une primitive F de f , on peutfaire disparaître le logarithme ou l’arc tangente : il suffit d’intégrer par parties.∫

f(t) ln t dt = F (t) ln t−∫F (t)

tdt

et de même avec des arc tangentes.

Exercice : Calculer, pour tout entier n ≥ 0,∫tn ln t dt.

III.2 Exponentielle-polynôme

Soit P ∈ C[X] et α ∈ C∗. Soit f(x) = P (x)eαx. On cherche les primitives de f . Bienqu’apparemment très particulier, ce cas est fréquent. Il contient aussi le cas de fonctionsdu type "polynôme × sinus" ou cosinus. Il suffit d’intégrer par parties :∫

P (x)eαx dx =1

αP (x)eαx − 1

α

∫P ′(x)eαx

En réitérant un certain nombre de fois le procédé, on tombe sur le polynôme nul.

Exercice : Calculer, pour tout entier n et tout réel X > 0, In(x) =∫xne−x dx. Quelle

est la limite de In(x) lorsque x tend vers +∞ ?

IV. EXERCICES 231

IV Exercices

1. Calculer les primitives des fonctions ci-dessous, en indiquant à chaque fois le ou lesintervalles sur lesquels les primitives existent.

(a) arcsinx√1−x2 .

(b) 1√1+e2x

.

(c) sin3 x√cosx

.

(d) 3√

2x+1.(e) x2 ln(x6 − 1).(f) (x3 − 1)ch x.(g) ln(x+

√x2 + 1).

(h) 3√ex − 1.

(i) arctanx√x

.

(j) cotan3x.(k) 1

cosx sin4 x.

(l) sin4 x.(m) tanx

1+cosx .

(n) sh x3+sh2x

.

(o) 1x+√x−1

.

(p) 2+√x+1

1+√x+2

.

2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a et b pour que lesprimitives de la fonction x 7→ ax+b


3. (a) Calculer les primitives sur R \ 0, 1 de f : x 7→ 1√|x(1−x)|

.

(b) Montrer que parmi ces primitives il en existe une et une seule prolongeable parcontinuité en 0 et 1 et prenant la valeur 0 en 1

2 . On note F cette primitive.(c) Tracer la courbe représentative de F .

4. Montrer : ∀a ∈ R,∫ sin2 a

0 arcsin√x dx+

∫ cos2 a0 arccos

√x dx = π

4 .

5. Soient x ∈]− π2 ,

π2 [. Soit y ∈ R. Montrer : y =

∫ x0

dtcos t ⇔ x =

∫ y0

duch u .

6. Calculer les intégrales ci-dessous.

(a)∫ 0−1

dx√1+√

1+x.

(b)∫ 1

0 (arcsinx)2 dx.

(c)∫ 1

0 (1 + x2) arctanx dx.


(d)∫ 1√

2

0 arctan√

1− x2 dx.

(e)∫ ba

1x

√x−ax+a dx où 0 < a < b.

(f)∫ 3

2dx

x+√x−1

.

(g)∫ π

20

dx1+cos a cosx où 0 < a < π.

7. Calculer les primitives des fonctions ci-dessous, en indiquant à chaque fois le ou lesintervalles sur lesquels les primitives existent.

(a) arcsinx√1−x2 .

(b) 1√1+e2x

.

(c) sin3 x√cosx

.

(d) 3√

2x+1.

(e) x2 ln(x6 − 1).

(f) (x3 − 1)ch x.

(g) ln(x+√x2 + 1).

(h) 3√ex − 1.

(i) arctanx√x

.

(j) cotan3x.

(k) 1cosx sin4 x

.

(l) sin4 x.

(m) tanx1+cosx .

(n) sh x3+sh2x

.

(o) 1x+√x−1

.

(p) 2+√x+1

1+√x+2

.

8. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a et b pour que lesprimitives de la fonction x 7→ ax+b


9. (a) Calculer les primitives sur R \ 0, 1 de f : x 7→ 1√|x(1−x)|

.

(b) Montrer que parmi ces primitives il en existe une et une seule prolongeable parcontinuité en 0 et 1 et prenant la valeur 0 en 1

2 . On note F cette primitive.

(c) Tracer la courbe représentative de F .

10. Montrer : ∀a ∈ R,∫ sin2 a

0 arcsin√x dx+

∫ cos2 a0 arccos

√x dx = π

4 .

11. Soient x ∈]− π2 ,

π2 [. Soit y ∈ R. Montrer : y =

∫ x0

dtcos t ⇔ x =

∫ y0

duch u .

12. Calculer les intégrales ci-dessous.

IV. EXERCICES 233

(a)∫ 0−1

dx√1+√

1+x.

(b)∫ 1

0 (arcsinx)2 dx.

(c)∫ 1

0 (1 + x2) arctanx dx.

(d)∫ 1√

2

0 arctan√

1− x2 dx.

(e)∫ ba

1x

√x−ax+a dx où 0 < a < b.

(f)∫ 3

2dx

x+√x−1

.

(g)∫ π

20

dx1+cos a cosx où 0 < a < π.


Chapitre 18Espaces vectoriels

235

236 CHAPITRE 18. ESPACES VECTORIELS

I Généralités

I.1 Notion d’espace vectoriel

Définition 18.1 : Soit K un corps commutatif. Soit E un ensemble. On suppose Emuni

— d’une loi de composition interne + : E × E → E.— d’une loi de composition externe . : K× E → E.

On dit que (E,+, .) est un K-espace vectoriel lorsque— (E,+) est un groupe commutatif.— ∀x ∈ E, 1.x = x.— ∀λ ∈ K, ∀x, y ∈ E, λ.(x+ y) = λ.x+ λ.y.— ∀λ, µ ∈ K, ∀x ∈ E, (λ+ µ).x = λ.x+ µ.x.— ∀λ, µ ∈ K,∀x ∈ E, (λµ).x = λ.(µ.x).

Les éléments de E sont appelés des vecteurs . Les éléments de K son appelés des scalaires.

I.2 Propriétés immédiates

Soit E un K-espace vectoriel.

Proposition 18.1 : ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, λ.x = 0 ⇐⇒ λ = 0 ou x = 0.

Démonstration : Soit λ ∈ K. On a λ.0 = λ(0 + 0) = λ.0 + λ.0 d’où, en soustrayantλ.0 : λ.0 = 0. De même, pour tout x ∈ E, 0.x = 0. Inversement, soient λ ∈ K et x ∈ E telsque λ.x = 0. Supposons λ 6= 0. On multiplie par 1

λ : 0 = 1λ(λx) = ( 1

λλ)x = 1.x = x.

Proposition 18.2 : ∀x ∈ E, (−1).x = −x.

Démonstration : 1.x+ (−1).x = (1 + (−1)).x = 0.x = 0.

I.3 Exemples

•Kn

On munit Kn d’une structure de K-espace vectoriel avec les opérations ci-dessous.

+ : Kn × Kn → Kn

(x1, · · · , xn) , (y1, · · · , yn) 7→ (x1 + y1, · · · , xn + yn)

et. : K × Kn → Kn

λ , (x1, · · · , xn) 7→ (λx1, · · · , λxn)

Remarque 18.1 : : C peut être vu à la fois comme le C-espace vectoriel C1 et le R-espace vectoriel R2. Ces deux structures sont différentes. Lorsque le corps de base n’est pasprécisé, c’est le contexte qui permet de savoir.

I. GÉNÉRALITÉS 237

•FX

On se donne un ensemble X et un K-espace vectoriel F . L’ensemble des fonctions deX dans F , muni des opérations

— d’addition des fonctions : (f + g)(x) = f(x) + g(x)— de multiplication d’une fonction par un scalaire : (λ.f)(x) = λ.(f(x)).

est lui-même un K-espace vectoriel. Comme cas particuliers, les fonctions de R vers R, lessuites à valeurs complexes, etc.

•Produit d’espaces vectoriels

Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L’ensemble E×F est muni de façon évidented’une structure d’espace vectoriel. On peut évidemment faire un produit de 3,. . . ,n espacesvectoriels. On remarque que l’espace Kn est en fait le produit K× . . .×K de n copies duK-espace vectoriel K.

I.4 Combinaisons linéaires

Définition 18.2 : Soit E un K-espace vectoriel, x1, . . . , xn n vecteurs de E, et λ1, . . . , λnn scalaires. On appelle combinaison linéaire des xi affectés des coefficients λi le vecteur

u =n∑i=1

λi.xi

Exemple : Dans R2, soient e1 = (1, 1) et e2 = (0, 1). Tout vecteur de R2 s’écrit de façonunique comme combinaison linéaire de e1 et e2. On dit que (e1, e2) est une base du plan.

Exemple : Dans R3, soient e1 = (1, 2, 1), e2 = (2,−1, 0) et e3 = (3, 1, 1). Soit u =(x, y, z) ∈ R3. Le vecteur u est combinaison linéaire des ei si et seulement si il existe 3scalaires λ1, λ2, λ3 tels que u = λ1e1 +λ2e2 +λ3e3. Il est équivalent de dire que le systèmeci-dessous admet au moins une solution :

(S)

x = λ1 + 2λ2 + 3λ3

y = 2λ1 − λ2 + λ3

z = λ1 + λ3

On voit qu’une condition nécessaire d’existence d’une solution pour (S) est que x+2y = 5z.Inversement, si cette égalité est vérifiée, on peut trouver une solution avec λ2 = 0.

On donne maintenant une définition plus générale de la notion de combinaison linéaire.

Définition 18.3 : Soit I un ensemble quelconque, (xi)i∈I une famille de vecteurs deE, et (λi)i∈I une famille de scalaires telle que tous les λi, sauf un nombre fini, soientnuls. On utilisera la notation

∑i∈I λi.xi pour représenter λi1xi1 + . . .+λipxip , où i1, . . . , ip

sont des éléments de I en dehors desquels les λ sont nuls. On convient également qu’unecombinaison linéaire vide est le vecteur nul.


Remarque 18.2 : Une famille de scalaires tous nuls sauf un nombre fini d’entre-eux estdite presque nulle.

Exemple : Dans E = CR, on considère la famille F = (fn)n∈Z définie par ∀n ∈ Z,∀x ∈R, fn(x) = einx. Alors, la fonction cos3 est combinaison des éléments de la famille F . Eneffet, pour tout réel x, on a cos3 x = 3

4 cos 3x+ 14 cosx, donc cos3 = 3

4f3 + 14f1.

II Applications linéaires

II.1 C’est quoi ?

Définition 18.4 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit f : E → F . On ditque f est une application linéaire lorsque

— ∀x, y ∈ E, f(x+ y) = f(x) + f(y).— ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E, f(λx) = λf(x).

Bref, les applications linéaires sont les morphismes d’espaces vectoriels.

Remarque 18.3 : Une application linéaire f est avant tout un morphisme de groupesadditifs. Elle vérifie donc f(0) = 0.

Proposition 18.3 : Soit f : E → F . f est linéaire ⇐⇒ f conserve les combinaisonslinéaires.

Démonstration : Supposons f linéaire. Montrons par récurrence sur n ∈ N que fconserve les combinaisons linéaires de n vecteurs. Pour n = 0, cela vient du fait quef(0) = 0. Pour n = 1, c’est parce que f(λx) = λf(x). Pour n = 2, f(λx + µy) =f(λx) + f(µy) = λf(x) + µf(y). Pour passer de n à n + 1, il suffit de remarquer quecombiner n+ 1 vecteurs revient à combiner les n premiers, puis à combiner le résultat avecle dernier. Donc, si on sait faire pour n et pour 2, on sait faire pour n+ 1. Inversement, sif conserve les combinaisons linéaires, elle est évidemment linéaire, puisque l’addition et leproduit par un scalaire sont des cas particuliers de combinaisons linaires.

Remarque 18.4 : En clair, la linéarité de f permet d’écrire des égalités du type

f(∑i∈I

λixi) =∑i∈I

λif(xi)

II.2 Quelques exemples

Cinq exemples choisis parmi les milliers que nous rencontrerons au fil du cours . . .— Les homothéties : f : E → E;x 7→ αx. Lorsque E = K, ce sont les seules applica-

tions linéaires.— f(P ) = P (1) sur les polynômes.

II. APPLICATIONS LINÉAIRES 239

— f(u) = lim+∞ u sur l’ensemble des suites réelles convergentes.— f : D1(R)→ RR définie par f(φ) = φ′.— f : C0(R)→ C1(R) définie par f(φ)(x) =

∫ x0 φ(t) dt.

II.3 Endomorphismes du plan

On se propose de rechercher toutes les applications linéaires R2 → R2 et de déterminerlesquelles sont bijectives. Soient e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) les vecteurs de la base canoniquede R2. Soit u = (x, y) = xe1 + ye2 un vecteur quelconque. On se donne f linéaire. Posonsu′ = (x′, y′) = f(u). Alors, f(u) = xf(e1) + yf(e2), d’où

(S)

x′ = ax+ cyy′ = bx+ dy

où f(e1) = (a, b) et f(e2) = (c, d). Il est clair qu’inversement l’application ci-dessus estlinéaire. Les endomorphismes de R2 sont donc caractérisés par la donnée de 4 réels a, b, c, d.

Cherchons maintenant lesquels sont injectifs. Si f est injectif, l’équation f(u) = f(0)doit avoir une unique solution : (0, 0). On s’intéresse donc au système

ax+ cy = 0bx+ dy = 0

À quelle condition ce système admet-il pour unique solution le couple (0, 0) ? On voit que siun couple (x, y) est solution, alors (combinaison judicieuse) (ad−bc)x = 0 et (ad−bc)y = 0.Donc, si ad − bc 6= 0, on aura x = y = 0. Inversement, si ad − bc = 0, alors une petitediscussion sur la nullité ou non du couple (a, c) permet de trouver une solution non nulleau système.

Conclusion : f est injective si et seulement si ad− bc 6= 0.Cherchons maintenant une condition de surjectivité. On constate, en résolvant le sys-

tème (S), que si ad − bc 6= 0, alors f est surjective. Mieux, dans ce cas le système admetune solution unique : f est donc bijective. La réciproque de f est d’ailleurs linéaire, et estdonnée par (x′, y′) = f−1(x, y) où

x′ = 1ad−bc (dx− cy)

y′ = 1ad−bc (−bx+ ay)

Si ad− bc = 0, alors , dans le cas où le couple (a, b) n’est pas le couple nul, on constate quesi (S) possède une solution, alors bx′ − ay′ = 0. L’application f n’est donc pas surjective.Si (a, b) = (0, 0), on trouve de même des éléments de R2 qui n’ont pas d’antécédent par f .

Conclusion : f est surjective si et seulement si ad− bc 6= 0.

II.4 Vocabulaire, notations

Soient E et F deux espaces vectoriels. On note L(E,F ) l’ensemble des applicationslinéaires de E dans F . Lorsque E = F , on note plus simplement L(E). Lorsque F = K onnote E∗ = L(E,K) et cet ensemble est appelé le dual de E.

Définition 18.5 : Soit f ∈ L(E,F ). on dit que


— f est un endomorphisme de E lorsque E = F .— f est un isomorphisme lorsque f est bijective.— f est un automorphisme de E lorsque f est un endomorphisme bijectif.— f est une forme linéaire sur E lorsque F = K (le corps de base).

II.5 Opérations sur les applications linéaires

On donne ici quelques théorèmes relatifs aux opérations sur les applications linéaires.

Proposition 18.4 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. L’ensemble L(E,F ),muni de l’addition des fonctions et de la multiplication par un scalaire, est un K-espacevectoriel.

Démonstration : Vérifications immédiates.

En clair, la somme de deux applications linéaires est linéaire, le produit d’une applica-tion linéaire par un sacalaire est linéaire, et ces opérations vérifient tous les axiomes de lastructure d’espace vectoriel. Noter que L(E,F ) ⊂ FE est ce que l’on appellera bientôt unsous-espace vectoriel de FE .

Proposition 18.5 : Soient E,F,G trois K-espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E,F ) etg ∈ L(F,G). Alors

— g f ∈ L(E,G).— Si f est un isomorphisme, alors f−1 ∈ L(F,E).

Démonstration : Soient x, y ∈ E et λ, µ ∈ K. On a g f(λx+ µy) = g(f(λx+ µy)) =g(λf(x)+µf(y)) = λgf(x)+µgf(y). Supposons f ∈ L(E,F ) bijectif et posons g = f−1.Soient x, y ∈ F . Posons x = f(X) et y = f(Y ). On a g(λx+ µy) = g(λf(X) + µf(Y )) =g(f(λX + µY )) = λX + µY = λg(X) + µg(Y ).

Proposition 18.6 : Soit E un K-espace vectoriel. L’ensemble L(E), muni des lois +,. et est une K-algèbre (non commutative en général).

Démonstration : Nous savons déjà que L(E) est un K espace vectoriel. Il reste àvérifier les propriétés d’anneau et une petite propriété dont nous n’avons pas encore parlé.Le neutre pour la composition est idE , qui est clairement linéaire. La composition estassociative, ceci est une propriété universelle. Reste à voir la distributivité par rapport àl’addition. Soient donc f, g, h ∈ L(E) et x ∈ E. On a (g + h) f(x) = (g + h)(f(x)) =g(f(x))+h(f(x)) = (gf+hf)(x) D’où (g+h)f = gf+hf . Remarquons que ceci estvrai sans utiliser la linéarité. En revanche f (g+h)(x) = f(g(x)+h(x)) = (f g+f h)(x)donc f (g + h) = f g + f h. Et là, on a eu besoin de la linéarité de f .

La dernière propriété à vérifier relie le produit par un scalaire à la composition. Il setrouve que pour les algèbres que nous avons rencontrées jusqu’à présent, cette propriétéétait triviale. Ici, ce n’est pas le cas. Il s’agit de voir que ∀f, g ∈ L(E), ∀λ ∈ K, λ(g f) =(λg) f = g (λf). C’est vrai parce que g est linéaire. Laissons la non commutativité decôté pour l’instant. Nous verrons que dès que E est « suffisamment gros » (de dimensionstrictement supérieure à 1), L(E) n’est pas commutatif.

III. SOUS-ESPACES VECTORIELS 241

Proposition 18.7 : Soit E un K-espace vectoriel. L’ensemble des automorphismes deE est un groupe pour la composition, non commutatif en général.

Démonstration : C’est l’ensemble des éléments inversibles de l’anneau L(E). Pour lanon commutativité, même remarque que ci-dessus.

Définition 18.6 : Le groupe des automorphismes de l’espace vectoriel E est appelé legroupe linéaire de E, et est noté GL(E).

III Sous-espaces vectoriels


Définition 18.7 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit F une partie de E. On dit que Fest un sous-espace vectoriel de E lorsque, F est stable pour les lois + et ., et que, muni deces deux lois, F est lui-même un espace vectoriel.

III.2 Caractérisation

Proposition 18.8 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit F une partie de E. F est unsous-espace vectoriel de E si et seulement si

— F est non vide.— ∀x, y ∈ F, x+ y ∈ F .— ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λ.x ∈ F .


Remarque 18.5 :— Cette proposition nous dit que pour prouver qu’un ensemble est un espace vectoriel,

il suffit tout d’abord de remarquer qu’il est inclus dans un « gros » espace vectoriel,puis de vérifier trois petites propriétés. Comparer avec la définition d’espace vec-toriel, qui nécessite de prouver 10 propriétés. Moralité, on utilisera ce théorème àchaque fois que ce sera possible.

— Les deux dernières conditions peuvent être remplacées par ∀λ ∈ K,∀x, y ∈ E, λ.x+y ∈ E.

— Une partie non vide de E est un s.e.v de E si et seulement si elle est stable parcombinaisons linéaires.

III.3 Exemples

Pour tout espace vectoriel E, 0 et E sont des sev de E.Les droites vectorielles sont des s.e.v. de R2. Les droites et les plans vectoriels sont des

sev de R3.L’ensemble des suites réelles convergentes est un sev de l’espace RN des suites réelles.


L’ensemble des fonctions f : R→ R de classe C3 telles que f(0) = 0 est un sev de RR.L’ensemble R[x] des fonctions polynômes à coefficients réels est un sev de RR.L’ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 5 est un sev de R[x].

III.4 Image directe et réciproque par une application linéaire

Proposition 18.9 : Soient E,F deux K-espaces vectoriels, et f ∈ L(E,F ). Soient E′

un s.e.v de E, et F ′ un s.e.v de F . Alors, f(E′) est un s.e.v de F , et f−1(F ′) est un s.e.vde E.

Démonstration : Prouvons le résultat pour l’image directe. L’image réciproque estlaissée en exercice. Tout d’abord, 0 ∈ E′, donc f(0) = 0 ∈ f(E′) : f(E′) est non vide.Soient u, v ∈ f(E′) et λ ∈ K. Il existe x, y ∈ E′ tels que u = f(x) et v = f(y). On a alorsλu+ v = λf(x) + f(y) = f(λx+ y) ∈ f(E′).

Deux cas fondamentaux vont suivre.

III.5 Noyau et image d’une application linéaire

Définition 18.8 : Soit f ∈ L(E,F ) une application linéaire. On appelle noyau de f lesous-espace vectoriel de E Kerf = f−1(0), et image de f le sous-espace vectoriel de FImf = f(E).

Exemple :— f : R2 → R2 définie par f(x, y) = (x + 3y, 2x + 6y). Soit u = (x, y) ∈ R2. Alors

u ∈ ker f si et seulement si x + 3y = 0. ker f est la droite de R2 engendrée par(−3, 1). On a u ∈ Im f si et seulement si il existe a, b ∈ R tels que x = a + 3b ety = 2a+ 6b. Il est facile de voir que ceci équivaut à y = 2x. Donc, l’image de f estla droite engendrée par (1, 2).

— Soit φ : C1(R)→ RR définie par φ(f) = f ′. Alors kerφ est l’ensemble des fonctionsconstantes et le cours d’intégration nous montrera que Im φ = C0(R).

Proposition 18.10 : Soit f ∈ L(E,F ). f est injective si et seulement si ker f = 0,et f est surjective si et seulement si Im f = F .

Démonstration : Voir le chapitre sur les groupes. En effet, une application linéaire estavant tout un morphisme de groupes.

IV Opérations sur les s.e.v

IV.1 Intersection

Proposition 18.11 : Soit E un espace vectoriel. Toute intersection de sous-espacesvectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.

IV. OPÉRATIONS SUR LES S.E.V 243

Démonstration : Soit (Ei)i∈I une famille de sev de E. Soit F = ∩i∈IEi. 0 est danstous les Ei, donc dans F : F est non vide. Soient x, y ∈ F et λ ∈ K. x et y sont dans tousles Ei, donc λx+ y aussi.

IV.2 s.e.v engendré par une partie

Proposition 18.12 : Soit A une partie d’un espace vectoriel E. L’intersection de tousles s.e.v de E contenant A est encore un s.e.v de E contenant A, et c’est même le plus petitau sens de l’inclusion. On l’appelle le s.e.v de E engendré par A et on le note V ect(A) ou< A >.

Démonstration : Toute intersection de sev de E est encore un sev de E. De plus, touteintersection de parties de E contenant A contient aussi A.

Exemple : < ∅ >= 0. Si F est un sev de E, alors < F >= F . Soit u = (1, 2) ∈ R2 : (noté plus simplement ) est la droite vectorielle engendrée par u. Ce seraévident dans deux secondes.

Proposition 18.13 : Soit A une partie d’un espace vectoriel E. Le s.e.v de E engendrépar A est l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A.

Démonstration : Notons F l’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A. Ilest clair que F est un s.e.v de E contenant A. De plus tout s.e.v de E contenant A doitcontenir F , car un s.e.v est stable par combinaison linéaire. Donc, F =< A >.

Un cas important est celui où la partie A est finie. Par exemple, si u ∈ E, alors = λu, λ ∈ K. Si u et v sont deux vecteurs de E, alors < u, v >= λu+µv, λ, µ ∈ K.Remarquer l’abus de notation qui consiste à ne pas écrire les accolades.

Exercice : On se place dans R3, et on pose e1 = (1, 2, 3), e2 = (4, 5, 6) et e3 = (7, 8, 9).Déterminer < e1, e2, e3 >.

IV.3 Quelques propriétés

Proposition 18.14 : Soient A et B deux parties d’un espace vectoriel E. On a— A ⊂< A > avec égalité si et seulement si A est un sev de E.— << A >>=< A >.— A ⊂ B ⇒< A >⊂.— < A ∩B >⊂< A > ∩ .

Démonstration :Premier point : < A > est le plus petit . . . contenant A, donc il contient A. Si on a

égalité, alors < A > est les plus petit sev de E . . . , c’est donc un sev de E. Inversement,si A est un sev de E, il est clair que le plus petit sev de E qui contient A est A.

Second point : puisque < A > est un sev de E, on a << A >>=< A >.


Troisième point : supposons A ⊂ B. Alors A ⊂. Mais < A > est le plus petitsev de E contenant A, et en est un, donc < A >⊂.

Dernier point : A ∩ B ⊂ A, donc < A ∩ B >⊂< A >. De même, < A ∩ B >⊂d’où l’inclusion demandée.

Remarque 18.6 : Soient A = (1, 2) et B = (2, 4) deux parties de R2. On a< A >==< (1, 2) > donc < A > ∩ =< (1, 2) >. En revanche, < A ∩ B >=0. L’inclusion réciproque dans le dernier point de la proposition ci-dessus est donc fausseen général.

V Sous-espaces supplémentaires

V.1 Somme de deux s.e.v

Soient F et G deux s.e.v d’un espace vectoriel E. On appelle somme de F et G la partiede E

F +G = x+ y, x ∈ F, y ∈ G

Proposition 18.15 : F + G est un sev de E. C’est en fait le sev de E engendré parF ∪G.

Démonstration : F + G est non vide et stable par combinaison linéaire. C’est doncun sev de E. Pour tout x ∈ F , on a x = x + 0 ∈ F + G donc F ⊂ F + G. De mêmepour G, d’où F ∪ G ⊂ F + G. Soit H un sev de E contenant F ∪ G. Pour tout x ∈ F ety ∈ G, x, y ∈ H donc x + y ∈ H. Ainsi, F + G ⊂ H. F + G est donc le plus petit sev deE contenant F ∪G, c’est à dire que F +G =< F ∪G >.

Remarque 18.7 : On généralise à la somme de n sev E1, . . . , En d’un espace vectorielE.

V.2 Sommes directes - s.e.v supplémentaires

Définition 18.9 : On dit que F et G sont en somme directe lorsque tout élément z deF +G s’écrit de façon unique sous la forme z = x+ y, avec x ∈ F et y ∈ G.

Lorsque F et G sont en somme directe, on note F ⊕G la somme de F et G.C’est l’unicité qui importe, vu que l’existence est assurée par la définition même de la

somme de deux sev.

Proposition 18.16 : Deux sev de E, F et G, sont en somme directe, si et seulementsi F ∩G = 0.

Démonstration : Supposons F et G en somme directe. Soit x ∈ F ∩ G. Alors, x =x+ 0 = 0 + x et on a deux décompositions de x sur F +G. Comme la somme est directe,la décomposition est unique, et ainsi x = 0. Inversement, supposons que F ∩G = 0. Soit

V. SOUS-ESPACES SUPPLÉMENTAIRES 245

x = x1 +x2 = y1 +y2 un élément de F +G, donné avec deux décompositions sur la somme.On a alors x1− y1 = y2−x2 et ces deux quantités sont dans F ∩G. Elles sont donc nulles.

Définition 18.10 : Deux sev de E, F et G sont dit supplémentaires lorsque F⊕G = E.En d’autres termes, F et G sont supplémentaires lorsque tout vecteur de E s’écrit de

façon unique comme somme d’un vecteur de F et d’un vecteur de G.

Exemple :— Deux droites vectorielles distinctes du plan sont supplémentaires.— Les ensembles P des fonctions paires et I des fonctions impaires de R vers R sont

des sev supplémentaires de RR.

V.3 Somme directe de n sous-espaces vectoriels

Définition 18.11 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit n ∈ N∗, soient F1, . . . , Fn n sevde E. On dit que les Fi sont en somme directe lorsque tout élément x de F1 + . . . + Fns’écrit de façon unique x = x1 + . . . + xn, où les xi ∈ Fi. La somme est alors notéeF1 ⊕ F2 ⊕ . . .⊕ Fn.

Remarque 18.8 : Attention, à partir de n = 3, des sev peuvent avoir une intersectiondeux à deux nulle sans pour autant être supplémentaires. Prendre par exemple trois droitesdu plan !

V.4 Projecteurs

Définition 18.12 : Soit E un espace vectoriel. On appelle projecteur de E tout endo-morphisme p de E vérifiant p p = p.

Proposition 18.17 : Soit E un espace vectoriel. Soit p ∈ L(E). L’endomorphisme p estun projecteur si et seulement si il existe deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires,F et G tels que

— ∀x ∈ F, p(x) = x.— ∀x ∈ G, p(x) = 0.

Les deux sev F et G sont uniquement déterminés par la donnée du projecteur p.

Démonstration : Supposons que p est un projecteur de E. Soient F = Ker(p − id)et G = Kerp. Alors, F et G sont des sev de E puisque ce sont des noyaux d’applicationslinéaires. De plus, F ∩ G = 0 puisque un vecteur x de leur intersection doit vérifierp(x) = x = 0. Enfin, pour tout x de E, on a x = (x − p(x)) + p(x), et p(x − p(x)) = 0,donc x− p(x) ∈ G, et p(p(x)) = p(x), donc p(x) ∈ F , d’où F ⊕G = E.

La réciproque est immédiate.Si F1 et G1 vérifient les mêmes propriétés que F et G, alors pour tout x de F1, on a

p(x) = x, donc x ∈ F = Ker(p− id). De même, G1 ⊂ G. Soit x ∈ F . Alors, x = x1 + x2,


avec x1 ∈ F1 et x2 ∈ G1. On en tire p(x) = p(x1) + p(x2) ou encore x = x1. Donc, x ∈ F1.De même, G1 = G.

Définition 18.13 : Le projecteur p est appelé projecteur sur F parallèlement à G.

V.5 Symétries

Définition 18.14 : Soit E un espace vectoriel. On appelle symétrie de E tout endo-morphisme f de E vérifiant f f = id.

Proposition 18.18 : Soit E un espace vectoriel sur un corps K dans lequel 2 6= 0.Soit f ∈ L(E). L’endomorphisme f est une symétrie si et seulement si il existe deuxsous-espaces vectoriels de E supplémentaires, F et G tels que

— ∀x ∈ F, f(x) = x.— ∀x ∈ G, f(x) = −x.

Les deux sev F et G sont uniquement déterminés par la donnée dde la symétrie f .

Démonstration : Supposons que f est une symétrie de E. Soient F = Ker(f − id) etG = Ker(f+id). Alors, F et G sont des sev de E puisque ce sont des noyaux d’applicationslinéaires. De plus, F ∩ G = 0 puisque un vecteur x de leur intersection doit vérifierf(x) = x = −x. Enfin, pour tout x de E, on a x = x+f(x)

2 + x−f(x)2 , et f(x+f(x)

2 ) = x+f(x)2 ,

donc x+f(x)2 ∈ F , et f(x−f(x)

2 ) = x−f(x)2 , donc x−f(x)

2 ∈ F , d’où F ⊕G = E.La réciproque est immédiate.Si F1 et G1 vérifient les mêmes propriétés que F et G, alors pour tout x de F1, on a

f(x) = x, donc x ∈ F = Ker(f − id). De même, G1 ⊂ G. Soit x ∈ F . Alors, x = x1 + x2,avec x1 ∈ F1 et x2 ∈ G1. On en tire f(x) = f(x1) + f(x2) ou encore x = x1−x2. Donc, enadditionnant les deux égalités donnant x, x = x1 ∈ F1. De même, G1 = G.

Définition 18.15 : On dit que f est la symétrie par rapport à F , parallèlement à G.

VI Familles remarquables de vecteurs

VI.1 Famille libre, famille génératrice, base

Définition 18.16 : Soit F = (ei)i∈I une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E.On dit que la famille F est

— Une famille libre lorsque tout vecteur de E s’écrit d’au plus une façon comme com-binaison linéaire des vecteurs de F .

— Une famille génératrice de E lorsque tout vecteur de E s’écrit d’au moins une façoncomme combinaison linéaire des vecteurs de F .

— Une base de E lorsque tout vecteur de E s’écrit d’exactement une façon commecombinaison linéaire des vecteurs de F .

VI. FAMILLES REMARQUABLES DE VECTEURS 247

Exemple : La famille vide est libre. Une famille (u) de 1 vecteur est libre si et seulementsi ce vecteur est non nul. Dans Kn, la famille (e1, . . . , en) où ei est le n-uplet dont toutesles coordonnées sont nulles, sauf la ième qui vaut 1, est une base. On l’appelle la basecanonique de Kn.

VI.2 Vocabulaire

Les vecteurs d’une famille libre sont dits indépendants.Une famille qui n’est pas libre est dite liée.Si B = (ei) est une base de E, et x =

∑i∈I xiei est un vecteur de E, les scalaires xi,

tous nuls sauf un nombre fini d’entre eux, sont appelés composantes, ou coordonnées, duvecteur x dans la base B.

VI.3 Propriétés faciles

Proposition 18.19 : Une famille F = (ei)i∈I de vecteurs de E est libre si et seulementsi pour toute famille presque nulle de scalaires (λi)i∈I , on a∑

i∈Iλiei = 0⇒ ∀i ∈ I, λi = 0

Démonstration : Supposons la famille F libre. Le vecteur nul s’écrit d’au plus unefaçon comme combinaison des ei. Or, 0 =

∑i∈I 0ei. D’où l’implication. Inversement, sup-

posons F liée. Il existe donc un vecteur x de E s’écrivant de deux façons différentes commecombinaison des vecteurs de F . On a donc x =

∑i∈I λiei =

∑i∈I µiei et il existe au moins

un i ∈ I tel que λi 6= µi. En posant pour tout i νi = λi−µi, il vient 0 =∑

i∈I νiei avec lesνi pas tous nuls, ce qui est la négation de l’implication.

Proposition 18.20 : Une famille F = (ei)i∈I de vecteurs de E est liée si et seulementsi l’un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres (mais on ne peut pasdire lequel !)

Démonstration : Supposons la famille liée. On a alors une combinaison∑

i∈I λiei = 0avec au moins un des λi non nul. Soit i0 ∈ I tel que λi0 6= 0. Alors, on peut exprimer ei0comme combinaison des autres : ei0 =

∑i 6=i0(− λi

λi0)ei. Inversement, s’il existe i0 tel que

ei0 =∑

i 6=i0 µiei, alors, on a une combinaison∑

i∈I λiei = 0, en posant λi = µi si i 6= i0, etλi0 = −1. Combinaison nulle, donc, mais au moins un des coefficients est non nul, puisqu’ilvaut −1.

Proposition 18.21 : Toute « sous-famille » d’une famille libre est libre.

Proposition 18.22 : Toute « sur-famille » d’une famille liée est liée.

Proposition 18.23 : Toute « sur-famille » d’une famille génératrice est génératrice.

Remarque 18.9 : Les problèmes intéressants se posent donc lorsqu’on considère dessur-familles de familles libres ou des sous-familles de familles génératrices, c’est à dire


des familles libres les plus grandes possibles ou des familles génératrices les plus petitespossible.

Exercice : Montrer que les vecteurs e1 = (1, 1, 2), e2 = (1, 1, 1) et e3 = (2, 1, 0) formentune base de R3, et calculer, pour tout vecteur u = (x, y, z) de R3, ses composantes danscette base.

VI.4 Familles remarquables et applications linéaires

Proposition 18.24 : Soit F une famille de vecteurs dans un espace vectoriel E. Soitf ∈ L(E,F ). On a

— f(< F >) =< f(F) >.— Si f est injective, et F est libre, alors f(F) est libre.— Si f est surjective, et F est génératrice de E, alors f(F) est génératrice de F .

Démonstration :Posons F = (ei)i∈I .Premier point : Soit y ∈ E. Alors y ∈ f(< F >) si et seulement si ∃(λi)i∈I , y =

f(∑

i λiei). Comme f(∑

i λiei) =∑

i λif(ei), ceci équivaut à y ∈< f(F) >.Deuxième point : Supposons

∑i λif(ei) = 0. Ceci équivaut à f(

∑i λiei), c’est à dire∑

i λiei ∈ ker f . Mais f est injective, donc∑

i λiei = 0. Donc les λi sont nuls puisque lesei sont libres.

Troisième point : < f(F) >= f(< F >) = f(< E >) = F .

Dans le cas des bases, on a des résultats plus précis.

Proposition 18.25 : Soit B une base de l’espace vectoriel E. Soit f ∈ L(E,F ). Alors— f est injective, si et seulement si f(B) est libre.— f est surjective, si et seulement si f(B) est génératrice de F .— f est bijective, si et seulement si f(B) est une base de F .

Démonstration : Posons B = (ei)i∈I . Le troisième point est évidemment une consé-quence des deux premiers, et les implications des deux premiers points nous sont déjàconnues. Supposons f(B) libre. Soit x =

∑i λiei ∈ ker f . On a donc 0 = f(x) =

∑i λif(ei).

Les f(ei) sont libres, donc les λi sont nuls. Donc x = 0 et f est bien injective. f(B) géné-ratrice ⇒ f surjective est laissé en exercice.

Proposition 18.26 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soit B = (ei)i∈I unebase de E. Soit F ′ = (e′i)i∈I une famille de vecteurs de F indexée par le même ensemble Ique la base B. Il existe alors une unique application linéaire f : E → F telle que

∀i ∈ I, f(ei) = e′i

Démonstration : Supposons qu’une telle application linéaire f existe. Soit x ∈ E.On écrit x =

∑j∈I xjej . On a alors f(x) =

∑j∈I xje

′j ; d’où l’existence d’au plus une

telle application. Inversement, l’application que nous venons de trouver est bien linéaire(exercice) et envoie les ej sur les e′j . D’où l’existence.

VI. FAMILLES REMARQUABLES DE VECTEURS 249

Remarque 18.10 : Ce théorème est d’une importance capitale. Une application linéaireest caractérisée par la donnée de l’image des vecteurs d’une base de l’espace de départ.Grâce à ce théorème, on peut se donner de façon simple des applications linéaires. Ainsi,par exemple, soit (e1, e2, e3) la base canonique de R3. Soit f l’application linéaire de R3

dans R2 définie par f(e1) = (1, 2), f(e2) = (3, 4) et f(e3) = (5, 6). On obtient facilement,en cas de besoin, f(x, y, z) = (x+ 3y + 5z, 2x+ 4y + 6z).

VI.5 Familles libres maximales, génératrices minimales

Proposition 18.27 : Soit F une famille de vecteurs de l’espace vectoriel E. Il y aéquivalence entre

— F est libre et toute sur-famille de F est liée.— F est génératrice et toute sous-famille de F est non-génératrice.— F est une base de E.Ainsi, une famille de vecteurs de E est une base si et seulement si elle est libre maximale

ou génératrice minimale.

Démonstration : Posons F = (ei)i∈I . Supposons F libre maximale. Soit e ∈ E. Lafamille F ∪ (e) est donc liée. Il existe une combinaison nulle 0 =

∑i λiei +λe dans laquelle

tous les coefficients ne sont pas nuls. En fait, λ 6= 0 puisque la famille F est libre. On peutdonc écrire e comme combinaison des vecteurs de F : F est génératrice et c’est donc unebase. Inversement, supposons que F est une base. Soit e ∈ E. Soit G = F ∪ (e). On peutécrire e comme combinaison des ei puisque F est une base. Donc G est liée. F est bienlibre maximale.

L’équivalence entre base et génératrice minimale est laissée en exercice.

VI.6 bases et sev supplémentaires

Proposition 18.28 : Soit E un espace vectoriel, et F1, . . . , Fn des sev de E en sommedirecte tels que ⊕nk=1Fk = E. Pour k = 1, . . . , n, soit Bk une base de Fk. Alors, B1∪. . .∪Bnest une base de E.

Démonstration : Exercice. Il suffit de le faire pour n = 2, puis d’effectuer une récur-rence sur n.


VII Exercices

1. Parmi les ensembles suivants, lesquels (pour des lois « évidentes ») sont des espacesvectoriels ?(a) (x, y, z) ∈ R3, x + y2 − z = 0 ; (b) (x, y, z) ∈ R3, x + 2y − z = 0 ; (c)(x, y, z) ∈ R3, 3x + y − z = 1 ; (d) f : R → R, f(0) − 4f(1) = 0 ; (e) f ∈C0(R), lim+∞ f = f(2) ; (f) f ∈ C0(R), lim+∞ f = f(0)f(1) ; (g) C × C ; (h)f ∈ RR, ∀x ∈ R, f(x)e−x = f(2x)

2. Parmi les applications suivantes, lesquelles sont linéaires ?

(a) f : R3 → R3, (x, y, z) 7→ (3x− 2y + z, x+ y + z, 2x− 3y)

(b) f : R4 → R, (x, y, z, t) 7→ xt− yz(c) f : R2 → R, (x, y) 7→ xt− yz (où z et t sont deux réels fixés)

(d) f : RR → RR, g 7→ (x 7→ (x2 − 1)g(x) + g(0))

(e) f : RR → RR, g 7→ (x 7→ g(x+ 1)− g(x))

(f) f : RR → RR, g 7→ g g

3. Déterminer noyau et image des applications linéaires ci-dessous :

(a) f : R2 → R2, (x, y) 7→ (2x− 3y, 4x− 6y)

(b) f : R3 → R2, (x, y, z) 7→ (x+ 3y + 2z, x+ y + z)

(c) f : R2 → R3, (x, y) 7→ (x+ 2y, 4x+ 5y, 7x+ 8y)

(d) f : R3 → R3, (x, y, z) 7→ (y + z, z + x, x+ y)

(e) f : R[x]→ R[x], P 7→ xP ′(x)−P (x). On rappelle que R[x] est l’espace vectorieldes fonctions polynômes à coefficients réels.

4. Soit E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). Montrer :

(a) ker f ∩ Im f = 0 ⇔ ker f2 = ker f

(b) ker f + Im f = E ⇔ Im f2 = Im f

5. Soient Soient F,G,H trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. ComparerF ∩(G+H) et F ∩G+F ∩H. Faire de même avec F +(G∩H) et (F +G)∩(F +H).

6. Soit E un K-espace vectoriel. Soient p et q deux projecteurs de E.

(a) Démontrer que p+ q est un projecteur si et seulement si p q = q p = 0.

(b) Démontrer que dans ce cas, Im(p+ q) = Im p⊕ Im q et ker(p+ q) = ker p∩ker q.

7. Soit p un projecteur dans un K-espace vectoriel E. Soit α ∈ K. Soit f = idE − αp.Trouver une CNS sur α pour que f ∈ GL(E). Calculer alors f−1.

8. Soit E un C-espace vectoriel. Soit f ∈ L(E) telle que f f = −idE . On poseF = ker(f + i.idE) et G = ker(f − i.idE). Démontrer que F et G sont deux sous-espaces supplémentaires de E.

VII. EXERCICES 251

9. Pour n ∈ N∗, soit fn : R → R définie par fn(x) = sin(nx). Soit F = (fn)n∈N∗ .Démontrer que la famille F est libre. La famille F est-elle une base de RR ? DeC∞(R,R) ? De l’ensemble des fonctions R → R de classe C∞, périodiques et im-paires ?

10. Pour α ∈ R, soit fα : R → R définie par fα(x) = |x − α|. Soit F = (fα)α∈R.Démontrer que F est libre. La famille F est-elle une base de RR ?

11. Soit E un K-espace vectoriel et g un endomorphisme de E. On définit φg : L(E)→L(E) par ∀f ∈ L(E), φg(f) = f g − g f .(a) Montrer que φg est un endomorphisme de L(E).(b) Montrer que si g est nilpotent, c’est-à-dire s’il existe n ∈ N tel que gn = 0, alors

φg est également nilpotent.12. Soit E un K-espace vectoriel. Soient f, g ∈ L(E). Montrer que les deux propriétés

ci-dessous sont équivalentes :(a) f g = g et g f = f .(b) f et g sont des projecteurs et Im f = Im g.

13. Soit E un K-espace vectoriel. Soient u, v ∈ L(E). montrer :(a) keru ⊂ ker(v u).(b) Im (v u) ⊂ Im v.

14. Soient F = f ∈ C2(R), f(0) = f ′(0) = f ′′(0) = 0 et G = x 7→ ax2 + bx +c, (a, b, c) ∈ R3. Montrer que F et G sont des sev supplémentaires de C2(R).

15. Soient A et B deux parties d’un K-espace vectoriel E. Montrer que < A ∪B >=<A > + .

16. Soit E un K-espace vectoriel. Soit f ∈ L(E). Montrer que f est une homothétie siet seulement si ∀x ∈ E, f(x) ∈< x >.

17. Soient F et G deux sev d’une K-espace vectoriel E. Montrer que F ∪G est un sevde E si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F .

18. Soit E le R-espace vectoriel des suites réelles convergentes. Soit F le sev de E dessuites tendant vers 0. Soit G les sev de E formé des suites constantes.(a) Que dire de F et G ?(b) Déterminer le projecteur sur F parallèlement à G et le projecteur sur G paral-

lèlement à F .19. Déterminer noyau et image de l’endomorphisme f de R3 défini par

f(x, y, z) = (2x− y + z, x+ 3y − 2z, 3x+ 2y − z)

Faire de même pour f f .20. Déterminer noyau et image de l’endomorphisme f de R3 défini par

f(x, y, z) = (2x− y + z, 4x− 2y + 2z, 6x− 3y + 3z)

Faire de même pour f f .


21. Soient a, b, c, d ∈ R. Soit f ∈ L(R2) défini par f(x, y) = (ax+ cy, bx+ dy).

(a) Calculer f2 − (a+ d)f + (ad− bc)id.(b) En déduire que f ∈ GL(E) si et seulement si ad− bc 6= 0.

22. Soit E un K-espace vectoriel. Soit f ∈ L(E) telle que f2 − 3f + 2id = 0.

(a) Montrer que f ∈ GL(E).

(b) Montrer que F = ker(f − id) et G = ker(f − 2id) sont des sev supplémentairesde E.

Chapitre 19Dimension finie

253

254 CHAPITRE 19. DIMENSION FINIE

I Dimension

I.1 Espaces de dimension finie

Définition 19.1 : Soit E un K-espace vectoriel. On dit que E est de dimension finielorsque E possède au moins une famille génératrice finie.

Exemple : Kn, dont la base canonique a n éléments. Kn[X], l’espace des polynômes dedegré inférieur ou égal à n, est engendré par les polynômes Xk, k = 0, . . . , n. En revanche,l’espace R[X] des polynômes à coefficients dans R, ne l’est pas. En effet, les polynômesd’une famille génératrice finie ont leurs degrés bornés et leurs combinaisons linéaires aussi.Une famille finie ne peut donc pas engendrer l’espace tout entier.

I.2 Cardinal des familles libres

Lemme I.1 Soit F = (ei)1≤i≤n une famille de n vecteurs de E. Soit F ′ = (e′i)1≤i≤n+1

une famille de n+ 1 vecteurs combinaisons linéaires des vecteurs de F . Alors, F ′ est liée.

Démonstration : On fait une récurrence sur n. C’est clair lorsque n = 1. On supposeque c’est vrai pour un entier n. On prend F = (e1, . . . , en+1), et F ′ = (e′1, . . . , e

′n+2) avec

e′j =∑n+1

i=1 aijei pour j = 1, . . . , n+ 2. Si tous les an+1,j sont nuls, alors les vecteurs de F ′sont combinaisons de n vecteurs, donc sont liés d’après l’hypothèse de récurrence. Sinon,quitte à renuméroter, on peut supposer que an+1,n+2 6= 0.

On pose pour 1 ≤ j ≤ n+ 1, e′′j = e′j − λje′n+2 avec λj choisi de sorte que les e′′j soientcombinaisons de e1, . . . , en. Alors, les e′′j sont liés, et on en tire aisément que les e′j aussi.

Corollaire 19.1 : Soit E un espace vectoriel ayant une famille génératrice de n élé-ments. Alors, toutes les familles libres de E sont finies, et ont au plus n éléments.

Démonstration : Soit G une famille génératrice de E de cardinal n. Toute famille decardinal n + 1 est une famille dont les vecteurs sont des combinaisons des vecteurs de G,et est donc liée. Toute famille de cardinal au moins égal à n + 1 étant une sur-familled’une famille liée est donc aussi liée. Conclusion, les familles libres sont finies, de cardinalinférieur ou égal à n.

Corollaire 19.2 : Toutes les bases d’un espace vectoriel de dimension finie sont finies,de même cardinal.

Démonstration : Soient B et B′ deux bases d’un espace de dmiension finie. La familleB est libre et la famille B′ est génératrice, donc B est finie et card B ≤ card B′. De mêmepour l’autre inégalité en inversant les rôles de B et B′.

Il ne reste plus qu’à prouver que tout espace de dimension finie possède des bases ...

I. DIMENSION 255

I.3 Le théorème de la base incomplète

Proposition 19.3 : [de la base incomplète] Soit E un espace vectoriel de dimensionfinie. Soit F une famille libre de E, et G une famille génératrice finie de E. Alors on peutfabriquer une base de E en rajoutant à la famille F des vecteurs de la famille G.

Démonstration : Quitte à remplacer G par F ∪ G, on peut supposer, que F ⊂ G. Onpose F = (ei)i∈I et G = (ei)i∈J , avec I ⊂ J . Parmi toutes les familles libres (ei)i∈K avecI ⊂ K ⊂ J , il y en a une dont le cardinal est maximal. On montre facilement que c’estune base.

Corollaire 19.4 : Tout espace vectoriel de dimension finie possède des bases.

Démonstration : On applique le théorème de la base incomplète avec F = ∅ et G unefamille génératrice finie de E.

I.4 Bilan

Dans un espace vectoriel de dimension finie, il y a des bases, et elles sont toutes finies,et de même cardinal.

Définition 19.2 : Le cardinal commun des bases d’un espace vectoriel de dimensionfinie E est appelé la dimension de E, et noté dimE, (ou dimKE en cas de confusionpossible).

Exemple :— L’espace nul est de dimension 0. Il a pour seule et unique base la famille vide.— Une droite est un espace vectoriel de dimension 1, un plan un espace de dimension

2.— Kn est de dimension n puisque sa base canonique a n vecteurs. Et donc toutes ses

bases aussi.— Rn[x], l’espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n, est de

dimension n+ 1.— C est de dimension 1 ou 2, selon qu’il est vu comme R-espace vectoriel ou comme

C-espace vectoriel.

Remarque 19.1 : Ci-dessous, quelques faits à se rappeler. L’espace vectoriel E est dedimension n ...

• Les familles libres de E sont finies, de cardinal ≤ n.• Toute famille de cardinal > n est liée.• Les familles génératrices de E sont infinies, ou finies de cardinal ≥ n.• Une famille est une base, si et seulement si elle est libre, et de cardinal n.• Une famille est une base, si et seulement si elle est génératrice, et de cardinal n.


II Sev d’un espace de dimension finie

II.1 Dimension d’un sev

Proposition 19.5 : Soit E un espace de dimension finie n. Soit F un sev de E. Alors— F est de dimension finie p.— p ≤ n.— p = n si et seulement si F = E.

Démonstration : Soit F une famille libre de F . C’est aussi une famille libre de E,donc F possède au plus n éléments. On en déduit les deux premiers points. Si p = n, alorsF possède une base B de cardinal n. Mais B est alors une famille libre de E, de cardinaln = dimE. On en déduit que B est aussi une base de E. D’où = E = F .

Définition 19.3 : Soit E un espace de dimension finie n. On appelle droite de E, toutsev de E de dimension 1, plan de E tout sev de dimension 2, et hyperplan de E tout sevde dimension n− 1.

II.2 Sev supplémentaires

Proposition 19.6 : Soit E un espace de dimension finie n. Soit F un sev de E, dedimension p. Alors, F possède un supplémentaire, et les supplémentaires de F sont tousde dimension n− p.

Démonstration : La réunion d’une base de F et d’une base d’un supplémentaire deF est une base de E. D’où la dimension des supplémentaires. Pour l’existence, c’est lethéorème de la dimension.

III Dimensions classiques

III.1 Image d’un sev par une application linéaire

Proposition 19.7 : Soient E et F deux espaces vectoriels. Soit E′ un sev de dimensionfinie de E. Alors, f(E′) est aussi de dimension finie. Précisément :

— dim f(E′) ≤ dimE′.— Si f est injective, on a égalité.

Démonstration : Soit B une base de E′. Alors, f(B) engendre f(E′). De plus, si f estinjective, f(B) est libre, et est donc une base de f(E′).

III. DIMENSIONS CLASSIQUES 257

III.2 Espaces isomorphes

Proposition 19.8 : Deux espaces vectoriels de dimension finie sur un même corps Ksont isomorphes si et seulement si ils ont la même dimension.

Démonstration : Le sens direct résulte du théorème précédent. Dans l’autre sens, iln’y a qu’à envoyer une base de l’un sur une base de l’autre pour fabriquer un isomorphisme.

Corollaire 19.9 : Soit E un K-espace de dimension n. Alors, E est isomorphe à Kn.Ce résultat affirme que tous les espaces de même dimension sur un corps K sont «

identiques » du point de vue de la structure d’espace vectoriel. Cependant, certains espacespossèdent aussi des propriétés non vectorielles. Par exemple, lorsqu’on travaille sur lespolynômes, on dispose du produit de polynômes, de la notion de degré, . . . , qui ne sontpas des propriétés vectorielles.

III.3 Somme de sous-espaces vectoriels

Proposition 19.10 : Soit E un K-espace de dimension finie. Soient F1, . . . , Fn n sevde E. On a alors

dim(

n∑k=1

Fk) ≤n∑k=1

dimFk

Démonstration : Pour k = 1, . . . , n, soit Bk une base de Fk. La réunion B = ∪nk=1Bkest une famille génératrice de

∑nk=1 Fk. D’où l’inégalité demandée. On peut maintenant se

demander à quelle condition cette inégalité est une égalité. Facile . . .

Proposition 19.11 : L’inégalité de la proposition précédente est une égalité si et seule-ment si les Fk sont en somme directe.

Démonstration : En reprenant les notations de la preuve précédente, supposons queles Fk sont en somme directe. La famille B est alors une base de

∑nk=1 Fk. On a donc

égalité. Inversement, supposons que les Fk ne sont pas en somme directe. Il existe unvecteur de

∑nk=1 Fk qui s’écrit de deux façons différentes comme somme de vecteurs des

Fk. On en déduit, en écrivant ces vecteurs dans les bases Bk, qu’il existe une combinaisonlinéaire non triviale des vecteurs de B. La famille B est génératrice mais pas libre, doncdim(

∑nk=1 Fk) < card B =

∑nk=1 dimFk.

III.4 Produit d’espaces vectoriels

Proposition 19.12 : Soient E et F deux K-espaces de dimension finie. Alors E × Fest aussi de dimension finie, et dimE × F = dimE + dimF .

Remarque 19.2 : Généralisation immédiate à un produit de n espaces vectoriels parrécurrence sur n.


Démonstration : Soient (ei)1≤i≤n une base de E et (fj)1≤j≤p une base de F . La familleconstituée par les couples (ei, 0), 1 ≤ i ≤ n et (0, fj), 1 ≤ j ≤ p est une base de E × F .

Remarque 19.3 : Soient F1, . . . , Fn n sev d’un espace E. Supposons que les Fk sonten somme directe. Alors, F1 ⊕ . . . ⊕ Fn est isomorphe à F1 × . . . × Fn par l’application(x1, . . . , xn) 7→ x1 + . . . + xn. Ces deux espaces ont bien la même dimension, à savoirdimF1 + . . .+ dimFn.

III.5 Dimension des espaces d’applications linéaires

Proposition 19.13 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectivesp et n. Alors, L(E,F ) est de dimension finie, égale à p× n.

Démonstration : Soient B = (ej)1≤j≤p une base de E, et B′ = (e′j)1≤j≤n une base deF . On définit, pour 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ p, l’application gi,j ∈ L(E,F ), par

∀k ∈ 1, . . . , p, gi,j(ek) = δkj e′i

Soit f ∈ L(E,F ). Soit x =∑

j xjej ∈ E. On a f(x) =∑

j xjf(ej). Mais f(ej ∈ F , doncest combinaison linéaire des e′i. Posons f(ej) =

∑i aije

′i. Il vient alors f(x) =

∑i,jj aijxje

′i.

Par ailleurs, gij(x) =∑

k xkgij(ek) =∑

k xkδkj e′i = xje

′i. Ainsi, f(x) =

∑i,j aijgij(x) d’où

f =∑

i,j aijgij . La famille des gij est donc génératrice de L(E,F ). Supposons maintenantque

∑i,j aijgij = 0. On a donc pour tout k 0 =

∑i,j aijgij(ek) =

∑i,j aijδ

kj e′i =

∑i aike

′i.

Les e′i étant libres, il s’ensuit qu’on a pour tous i, k aik = 0. La famille des gij est donclibre, c’est finalement une base de L(E,F ).

Un certain nombre de cas particuliers : si E est de dimension n, alors— dimL(E) = n2.— dimE∗ = dimE = n.

Exercice : On prend E = F et n = p. Avec les notations du théorème, calculer gi,j gk,lpour 1 ≤ i, j, k, l ≤ n.

IV Notion de rang

IV.1 Rang d’une famille de vecteurs

Définition 19.4 : Soit F une famille de vecteurs dans un espace vectoriel E. On appellerang de F l’entier

rgF = dim < F >

Ceci n’a de sens que si l’espace engendré est de dimension finie. Pour une famille finie,le rang de la famille de vecteurs est inférieur ou égal à son cardinal. Il y a égalité si etseulement si la famille est libre.

IV. NOTION DE RANG 259

IV.2 Rang d’une application linéaire

Définition 19.5 : Soit f ∈ L(E,F ). On appelle rang de f la quantité

rgf = dim Im(f)

Bien entendu, on a des liens entre rang d’une famille et rang d’une application linéaire.Par exemple, si B est une base de E, alors

rgf = rgf(B)

IV.3 Le théorème du rang

Proposition 19.14 : Soient E et F deux espaces de dimension finie sur un mêmecorps. Soit f ∈ L(E,F ). Alors

— Pour tout supplémentaire G de ker f , l’application G → Imf ;x 7→ f(x) est unisomorphisme de G sur Im f .

— dim ker f + dim Im f = dimE.

Démonstration : Soit g : G → Im f définie par g(x) = f(x). g est évidemmentlinéaire. Soit x ∈ ker g. Alors, f(x) = 0 et x ∈ G, c’est à dire x ∈ ker f ∩ G. Doncx = 0 puisque ces sev sont en somme directe. Soit maintenant y ∈ Im f . Il existe x ∈ Etel que y = f(x). Écrivons x = x′ + x′′ où x′ ∈ ker f et x′′ ∈ G. On a y = f(x) =f(x′) +f(x′′) = f(x′′) = g(x′′). g est donc surjective, c’est un isomorphisme. Conséquence,dim Im f = dimG = dimE − dim ker f .

IV.4 Quelques conséquences

Proposition 19.15 : Soit f : E → F une application linéaire entre deux espaces demême dimension, finie. Alors, f est injective ⇐⇒ f est surjective ⇐⇒ f est bijective.

Démonstration : C’est immédiat avec le théorème du rang.

Proposition 19.16 : Soient F et G deux sev d’un espace E. Alors

dim(F +G) = dimF + dimG− dimF ∩G

Démonstration : Considérons f : F × G → F + G définie par f(x, y) = x + y.L’application f est surjective, et son noyau est (x,−x), x ∈ F ∩ G : cet ensemble estclairement un sev de F ×G isomorphe à F ∩G par l’application x 7→ (x,−x). Il ne restequ’à appliquer le théorème du rang.

Exercice : Refaire la démo en partant d’une base de F ∩ G et en complétant avec lethéorème de la base incomplète.

Exercice : Soient f ∈ L(E,F ) et g ∈ L(F,G). Montrer


— rg(f) ≤ min(dimE,dimF ).— rg(g f) ≤ min(rg(f), rg(g))— Si g est injective, rg(g f) = rg(f).— Si f est surjective, rg(g f) = rg(g).

IV.5 Calcul pratique d’un rang

Données :— E espace de dimension p.— B = (ei)1≤i≤p une base de E.— F = (uj)1≤j≤n une famille de n vecteurs de E dont on connaît les composantes

dans la base B : uj =∑p

i=1 aijei.

Proposition 19.17 : On ne change pas l’espace engendré par F lorsque :— On échange deux vecteurs de F .— On multiplie un vecteur de F par un scalaire non nul.— On ajoute à l’un des vecteurs de F une combinaison linéaire des autres vecteurs.Ce résultat permet pratiquement de calculer le rang d’une famille de vecteurs. On va

prendre deux exemples.

Exemple : Dans R3, u1 = (1, 2, 5), u2 = (2, 1, 4) et u3 = (1,−1,−1). On écrit lesvecteurs en colonnes

u1 u2 u3

1 2 12 1 −15 4 −1

→(1)1 0 02 −3 −35 −6 −6

→(2)1 0 02 −3 05 −6 0

→(3)

v1 v2 v3

1 0 02 1 05 2 0

avec

1. (3)← (3)− (1) et (2)← (2)− 2(1)

2. (3)← (3)− (2)

3. (2)← −(2)/3

On a donc une famille de rang 2.

Exemple : Dans R5, u1 = (2, 3,−3, 4, 2), u2 = (3, 6,−2, 5, 9), u3 = (7, 18,−2, 7, 7) etu4 = (2, 4,−2, 3, 1).

u1 u2 u3 u4

2 3 7 23 6 8 4−3 −2 −2 −24 5 7 32 9 7 1

→(1)

2 0 0 03 3 15 1−3 5 17 14 −2 −14 −12 12 0 −1

→(2)

2 0 0 03 3 0 0−3 5 −8 −24 −2 −4 −12 12 60 15

→(3)

v1 v2 v3 v4

2 0 0 03 3 0 0−3 5 −2 04 −2 −1 02 12 15 0

V. DUAL D’UN ESPACE VECTORIEL 261

Le rang de la famille est donc 3.

Exercice : Déterminer noyau et image de f ∈ L(R3) définie par f(e1) = e1 + 2e2 + e3,f(e2) = −2e1 + 3e2 + 3e3, f(e3) = 4e1 + e2 − e3.

V Dual d’un espace vectoriel

V.1 Rappels

Soit E un K-espace vectoriel. Rappelons que le dual de E est l’espace E∗ = L(E,K) desformes linéaires sur E. Lorsque E est de dimension finie, E et E∗ ont la même dimension(et sont donc isomorphes). Nous allons dans cette sections étudier quelques aspects de ceque l’on appelle la dualité.

V.2 Formes coordonnées, base duale

Définition 19.6 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit B =(e1, . . . , en) une base de E on appelle formes linéaires coordonnées (relatives à la baseB) les formes linéaires e∗i , i = 1, . . . , n définies par

∀i, j ∈ 1, . . . , n, e∗i (ej) = δij

Remarque 19.4 : Soit x =∑n

j=1 xjej un vecteur de E. On a e∗i (x) =∑n

j=1 xje∗i (ej) =∑n

j=1 xjδij = xi. Ainsi, la i-ème forme coordonnée renvoie tout simplement la ième coor-donnée de x dans la base B.

Notation : On note B∗ la famille des formes coordonnées dans la base B.

Proposition 19.18 : La famille B∗ est une base de E∗. On l’appelle la base duale dela base B.

Démonstration : Comme cette famille est de cardinal n, il suffit de montrer qu’elle estlibre. Supposons donc

∑ni=1 λie

∗i = 0, où les λi sont des scalaires. On applique au vecteur

ej :∑n

i=1 λie∗i (ej) = λj = 0. La famille B∗ est bien libre.

Exemple : Soient x0, x1, . . . , xn n+1 scalaires distincts. Soit B = (Lj)0≤j≤n la famille despolynômes élémentaires de Lagrange associés aux xk (voir le chapitre sur les polynômes).La famille B est une famille de polynômes de Kn[X] de cardinal n + 1. Montrons qu’elleest libre. Supposons que

∑nj=0 λjLj = 0. En évaluant en xj , on obtient λj = 0. La famille

B est donc une base de Kn[X]. Quelle est sa base duale ? La réponse est claire. On doitavoir ∀i, j, e∗i (Lj) = 0, et on sait que ∀i, j, Lj(xi) = 0. Par linéarité, on a pour toutP ∈ K[X], e∗i (P ) = P (xi).


V.3 Hyperplans

Définition 19.7 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit H un sev de E. On dit que H estun hyperplan de E lorsque H possède un supplémentaire qui est une droite.

Remarque 19.5 : En dimension finie n on retrouve la notion usuelle : un hyperplan deE est un sev de E de dimension n− 1.

Proposition 19.19 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit H un sev de E. H est unhyperplan de E si et seulement si

∀a ∈ E \H,H⊕ < a >= E

Démonstration : Le sens réciproque est évident, il suffit même qu’il existe un a.Inversement, soit H un hyperplan de E. Il existe a ∈ E \H tel que H⊕ < a >= E. Soitb ∈ E \H. On a b = h + λa, où h ∈ H et λ ∈ K. Le scalaire λ ne peut pas être nul carb 6∈ H. On en déduit que a = 1

λ(b−h). Soit maintenant x ∈ E. on a x = h′+µa = h′′+νb,donc E = H+ . Enfin, H∩ est clairement réduit à 0, donc E = H⊕ .

V.4 Noyau d’une forme linéaire non nulle

Proposition 19.20 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit ϕ ∈ E∗ \ 0. Le noyau de ϕest un hyperplan de E.

Démonstration : Soit H = kerϕ. Soit a ∈ E tel que ϕ(a) 6= 0. Il en existe puisqueϕ n’est pas nulle. Soit x ∈ E. On a x = h + ϕ(x)

ϕ(a)a où h = x − ϕ(x)ϕ(a)a. On a facilement

ϕ(h) = 0, donc x ∈ H+ < a >. Donc E = H+ < a >. La somme est clairement directe.

Proposition 19.21 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit H un hyperplan de E. Il existeune forme linéaire ϕ non nulle telle que H = kerϕ. De plus, étant données deux formesliéaires non nulles sur E, ϕ et ψ, on a kerϕ = kerψ si et seulement si il existe µ ∈ K∗ telque ψ = µϕ.

Démonstration : Soit a un vecteur qui n’est pas dans H, de sorte que H⊕ < a >= E.La forme linéaire définie par ∀x ∈ H,ϕ(x) = 0 et ϕ(a) = 1 a bien pour noyau H.

Deux formes linéaires non nulles ont clairement même noyau.Soient enfin deux formes linéaires non nulles ϕ et ψ ayant même noyau H. Soit a 6∈ H.

Soit µ = ψ(a)ϕ(a) . On a ψ(a) = µϕ(a) donc, par linéarité, ψ et µϕ coïncident sur < a >. Elles

coïncident aussi sur H. Donc, par linéarité, elles sont égales sur E.

V.5 Équations d’un hyperplan

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soit H un hyperplan de E. L’hyper-plan H est le noyau d’une forme linéaire non nulle ϕ. Il est plus exactement le noyau com-mun des formes linéaires non nulles multiples de φ. Donnons nous une base B = (e1, . . . , en)

V. DUAL D’UN ESPACE VECTORIEL 263

de E. Posons ϕ(ei) = ai pour i = 1, . . . , n. Le n-uplet (a1, . . . , an) est un n-uplet non nulde scalaires. Pour tout x =

∑ni=1 xiei ∈ E, on a par linéarité ϕ(x) =

∑ni=1 aixi. On a alors

x ∈ H si et seulement si φ(x) = 0, c’est à dire∑n

i=1 aixi = 0.

Définition 19.8 : La « formule » (H)∑n

i=1 aixi = 0 est appelée une équation carté-sienne de l’hyperplan H dans la base B.

Proposition 19.22 : Tout hyperplan possède une équation cartésienne. Toute équationcartésienne est l’équation d’un hyperplan. Deux équations cartésiennes sont des équationsd’un même hyperplan si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels.

Démonstration : Ce n’est qu’une reformulation de résultats déjà démontrés : un hy-perplan est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Exemple :• Soit E = R2, muni de la base canonique. Les hyperplans de E sont les droites

vectorielles. Une équation d’une droite vectorielle (dans la base canonique) est donc(D) ax + by = 0 où le couple (a, b) est différent du couple (0, 0). Deux équationsreprésentent une même droite si et seulement si leurs coefficients sont proportionnels.remarquons qu’un vecteur directeur de D est n’importe quel vecteur non nul de D,par exemple le vecteur (−b, a).• Soit E = R3, muni de la base canonique. Les hyperplans de E sont les plans

vectoriels. Une équation d’un plan vectoriel (dans la base canonique) est donc(P ) ax + by + cz = 0 où le triplet (a, b, c) est différent du triplet (0, 0, 0). Deuxéquations représentent un même plan si et seulement si leurs coefficients sont pro-portionnels.• etc.

V.6 Intersections d’hyperplans

Soit E un K-espace de dimension finie n. Soit m ∈ N∗,m ≤ n. Toute intersection dem hyperplans de E est évidemment un sev de E. Peut-on affirmer quelque chose sur sadimension ? Peut-on énoncer une réciproque ?

Proposition 19.23 :• Toute intersection de m hyperplans de E est un sev de E de dimension supérieureou égale à n−m.• Tout sev de E de dimension n−m est l’intersection de m hyperplans de E.

Démonstration : Pour i = 1, . . . ,m, soit Hi = kerϕi où ϕi est une forme linéaire nonnulle sur E. Soit F = H1∩ . . .∩Hm. Considérons l’application linéaire f : E → Km définiepar f(x) = (ϕ1(x), . . . , ϕm(x)). On a justement F = ker f . Appliquons le théorème durang : dimE = n = dimF + r où r = rgf . Mais r ≤ dimKm = m. Donc, dimF = n− r ≥n−m.

Pour démontrer le second point, soit F un sev de E de dimension n −m. Soit B1 =(e1, . . . , en−m) une base de F . On complète cette base de F en une base


B = (e1, . . . , en−m, e′1, . . . , e

′m) de E. Soit maintenant (e′′1, . . . , e

′′m) la base canonique

(par exemple) de Km. Soit f ∈ L(E,Km définie par f(e1) = . . . = f(en−m) = 0, f(e′i) = e′′ipour i = 1, . . . ,m. L’application f envoie une base sur une famille génératrice, elle est doncsurjective. On vérifie aussi aisément que ker f = F . Par ailleurs on a pour tout x ∈ E,f(x) = (ϕ1(x), . . . , ϕm(x)) où les ϕk sont des formes linéaires, forcément non nulles carf est sur jective. Et on a précisément F = kerϕ1 ∩ . . . ∩ kerϕm. Les sev F est doncl’intersection de m hyperplans de E.

VI. EXERCICES 265

VI Exercices

1. On se place dans E = R3. On note (e1, e2, e3) sa base canonique. Soit f ∈ L(E)définie par f(e1) = e2, f(e2) = e3 et f(e3) = e1.

(a) Prouver que f ∈ GL(E).

(b) Trouver toutes les droites de E stables par f .

(c) Soit P un plan de E d’équation ax+ by+ cz = 0. Montrer que f(P ) est un plan,et déterminer son équation. En déduire tous les plans de E stables par f .

2. Soit (x1, ..., xn) une famille libre dans un e.v. E. Soit y = λ1x1 + ... + λnxn unecombinaison linéaire des xi. Trouver une condition nécessaire et suffisante portantsur les λi pour que la famille (x1 − y, ..., xn − y) soit libre.

3. Soit f ∈ L(R2) vérifiant f 6= 0 et f f = 0.

(a) Prouver que ker f = Im f .

(b) Prouver l’existence d’une base (e1, e2) de R2 telle que f(e1) = e2 et f(e2) = 0.

4. Soit f ∈ L(R2) vérifiant f f = −idR2 .

(a) Trouver ker f et Im f .

(b) Prouver l’existence d’une base (e1, e2) de R2 telle que f(e1) = e2 et f(e2) = −e1.

(c) Soit x ∈ R2 un vecteur non nul. Peut-il exister un réel λ tel que f(x) = λx ?

5. Soient F,G,H trois sev d’un espace E. On suppose que F ∩G = F ∩H, F +G =F +H et G ⊂ H. Montrer que G = H.

6. Dans R5, on se donne x1 = (1, 2,−4, 3, 1), x2 = (2, 5,−3, 4, 8), x3 = (6, 17,−7, 10, 22)et x4 = (1, 3,−3, 2, 0).

(a) Quel est le rang de la famille (x1, x2, x3, x4) ?

(b) Trouver α et β tels que x = (2, 4, 6, α, β) appartienne à l’espace engendré parles xi, i = 1..4.

7. Soit F = (Pk)k≥0 une famille de polynômes de K[X] telle que ∀k ∈ N, doPk = k.Montrer que la famille F est une base de K[X].

8. Soit n ≥ 1. Soit ϕ : Rn[X] → Rn−1[X] définie par ϕ(P ) = P (X + 1) − P (X).Montrer que ϕ est linéaire. Déterminer son noyau et son image.

9. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E,F ) et g ∈L(F,G). Montrer que rg (g f) = rg f − dim(Im f ∩ ker g) et rg (g f) = rg g −codim(Im f+ker g) (la codimension d’un s.e.v. E1 de l’espace E est égale à dimE−dimE1).

10. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux s.e.v. de E.Montrer qu’il existe f ∈ L(E) telle que ker f = F et Im f = G si et seulement sidimF + dimG = n.


11. Soit E un K-espace vectoriel. Soit f ∈ E. On appelle valeur propre de f tout scalaireλ vérifiant : ∃x ∈ E \ 0, f(x) = λx. Un tel vecteur x est appelé vecteur proprepour f associé à la valeur propre λ.

(a) Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres d’une homothétie ? D’unprojecteur ? D’une symétrie ? De l’application φ : C∞(R,C) → C∞(R,C); f 7→f ′ ?

(b) Montrer que λ ∈ K est valeur propre de f si et seulement si f − λidE n’est pasinjective.Étant donnée une valeur propre λ de l’endomorphisme f , on appelle sous-espacepropre associé à λ l’ensemble Eλ = x ∈ E, f(x) = λx. Cet ensemble contientdonc tous les vecteurs propres associés à la valeur propre λ, plus le vecteur nul.

(c) Montrer que Eλ est un sous-espace vectoriel de E.

(d) Soient λ1 et λ2 deux valeurs propres distinctes de f . Montrer que Eλ1 et Eλ2sont en somme directe.

(e) Plus généralement, soient λ1,...,λp p valeurs propres distinctes de f , et F =+pi=1Eλi . Prouver que tout vecteur x de F s’écrit de façon unique x =

∑pi=1 xi

où ∀i ∈ 1..p, xi ∈ Eλi . On procèdera par récurrence sur p.

12. Soient E,F,G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E,F ) et g ∈L(F,G). Montrer :

(a) rg f ≤ min(dimE,dimF )

(b) rg (g f) ≤ min(rg f, rg g)

(c) Si g est injective, rg (g f) = rg f

(d) Si f est surjective, rg (g f) = rg g

13. Soit E un K espace vectoriel de dimension n. Soit F = (u1, . . . , un) une famille den vecteurs de E de rang s. On suppose que la famille F ′ = (u1, . . . , ur) (r < n) estde rang s′. Montrer que s′ ≥ r + s− n.

14. Soient E,F,G trois K-espaces vectoriels de dimension finie, f ∈ L(E,F ) et g ∈L(F,G). Montrer que dim ker(g f) ≤ dim ker g + dim ker f . On pourra considérerla restriction de f à ker(g f).

15. Soit E un K espace vectoriel de dimension n. Soit f ∈ L(E) telle que fn−1 6= 0 etfn = 0. Montrer qu’il existe e ∈ E tel que la famille B = (e, f(e), f2(e), . . . , fn−1(e))soit une base de E. Quelle est la matrice de f dans la base B ?

16. Soit E un K espace vectoriel de dimension 3. Soit f ∈ L(E) telle que f2 6= 0 etf3 = 0. Trouver les endomorphismes g de E tels que f g = g f .

17. Soit E un R-espace vectoriel de dimension n. Soit f ∈ L(E) telle que f2 = −idE .(a) Soit e1 ∈ E \ 0. Prouver que (e1, f(e1)) est libre.

(b) On suppose que dimE > 2. Soit e2 6∈< e1, f(e1) >. Montrer que (e1, f(e1), e2, f(e2))est libre.

VI. EXERCICES 267

(c) Soit p ∈ N∗. On suppose trouvés e1, . . . , ep ∈ E tels que (e1, f(e1), . . . , ep, f(ep))soit libre. Montrer que si dimE > 2p, alors il existe un vecteur ep+1 ∈ E tel que(e1, f(e1), . . . , ep+1, f(ep+1)) soit libre.

(d) Déduire de ce qui précède que :

i. La dimension de E est paire : ∃q ∈ N∗, n = 2q.

ii. Il existe une base de E de la forme B = (e1, f(e1), . . . , eq, f(eq)). Quelle estla matrice de f dans la base B ?

18. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux sev de E.Montrer qu’il existe f ∈ L(E) telle que ker f = F et Im f = G si et seulement sidimF + dimG = n.

19. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu’il existe f ∈ L(E) telleque ker f = Im f si et seulement si E est de dimension paire.

20. Soient H et K deux sev d’un ev E de dimension finie. Montrer que H et K ontun supplémentaire commun si et seulement si dimH = dimK. On procèdera parrécurrence sur p = dimH.

21. On se place dans E = R4. Soit G = (x, y, z, t) ∈ R4, x+ y − z + 2t = 0.(a) Montrer que G est un sev de E et donner une base de G.

(b) Soit F =< (1, 1, 0,−1), (1, 0, 0,−1), (1, 0,−1, 0) >. Quelle est la dimension deF ? Déterminer F ∩G.

22. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Soit H un hyperplan de E. Montrerque < E \H >= E.

23. Soit B = (e1, e2, e3) une base de R3. Soit f ∈ L(R3) définie par f(e1) = 2e1+3e2+e3,f(e2) = −4e2 − 2e3, f(e3) = 4e1 + 12e2 + 5e3.

(a) Déterminer le noyau, l’image et le rang de f .

(b) Déterminer les réels λ tel que f − λid soit non bijective.

24. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. Soient F et G deux hyperplansde E. Quelle est la dimension de F +G ? F ∩G ?

25. Un endomorphisme f d’un K-espace vectoriel E est dit nilpotent lorsqu’il existep ∈ N tel que fp = 0.

(a) Soit n ≥ 1. On suppose que pour tout K-espace vectoriel E de dimension n, pourtout f ∈ L(E) nilpotent, on a fn = 0. Soit E un K-espace vectoriel de dimensionn+ 1 et f un endomorphisme nilpotent de E. En considérant l’endomorphismeinduit par f sur Im f , montrer que fn+1 = 0.

(b) Conclusion ?

26. Déterminer noyau et image de l’endomorphisme f de R3 défini par

f(x, y, z) = (2x− y + z, x− 3y − z, 3x− 4y)


27. Déterminer noyau et image de l’endomorphisme f de R3 défini par

f(x, y, z) = (2x− y + z, 4x− 2y + 2z,−2x+ y − z)

28. Soit f ∈ L(R3) telle que f 6= 0, f2 = 0. Montrer qu’il existe une base B = (e1, e2, e3)de R3 telle que f(e1) = e2, f(e2) = f(e3) = 0.

29. Soit f ∈ L(R3) telle que f2 6= 0, f3 = 0. Montrer qu’il existe une base B =(e1, e2, e3) de R3 telle que f(e1) = e2, f(e2) = e3, f(e3) = 0.

Chapitre 20Matrices

269

270 CHAPITRE 20. MATRICES

I Notion de matrice

I.1 C’est quoi ?

Définition 20.1 : Soit E un ensemble. Soient p, q deux entiers non nuls. On appellematrice à p lignes et q colonnes à coefficients dans E toute application M : [1, p]× [1, q]→E.

Une matrice est donc une suite finie à deux indices. On représente la matrice

M = (Mij)1≤i≤p,1≤j≤q

par un tableau à p lignes et q colonnes. Ce tableau est noté indifféremment avec des [] oudes () mais pas avec des || (notation qui sera réservée aux déterminants).

Notation : Mp,q(E) désigne l’ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficientsdans E. Lorsque p = q, on note plus simplement Mp(E) l’ensemble des matrices carréesde taille p× p à coefficients dans E.

Remarque 20.1 : On généralise, et on appelle encore matrice à p lignes et q colonnestoute application M : I × J → E lorsque I et J sont deux ensembles finis de cardinauxrespectifs p et q.

I.2 Structure d’espace vectoriel sur les ensembles de matrices

Dorénavant, on suppose que E est un corps commutatif K. On définit les deux opéra-tions suivantes :

• Addition : (A+B)ij = Aij +Bij

• Multiplication par un scalaire :(λ.A)ij = λAij

Proposition 20.1 : (Mp,q(K),+, .) est un K-espace vectoriel de dimension p× q.

Démonstration : La structure d’espace vectoriel est une simple vérification. Le neutrepour l’addition est la matrice nulle, qui a tous ses coefficients égaux à 0. L’opposé d’unematrice est la matrice ayant tous ses coefficients opposés à la matrice de départ. Une basedeMp,q(K) est la famille (Eij)1≤i≤p,1≤j≤q où, pour tout i et pour tout j, Eij est la matriceayant tous ses coefficients nuls, sauf celui situé à la ligne i, colonne j, qui vaut 1. Autrementdit, (Eij)k` = δki δ

`j où δ est le symbole de Kronecker.

II Vecteurs, applications linéaires et matrices

II. VECTEURS, APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES 271

II.1 Matrice d’un vecteur, d’une famille de vecteurs

Soit E un K-espace vectoriel de dimension p et B = (e1, · · · , ep) une base de E. Soitx ∈ E. On sait que le vecteur x s’écrit de façon unique x =

∑pk=1 xiei où les xi ∈ K sont

les coordonnées de x dans la base B.

Définition 20.2 : On appelle matrice de x dans la base B la matrice colonne matB(x) = x1...xp

.

Proposition 20.2 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension p muni d’une base B.L’application E → Mp,1(K) associant à tout x de E sa matrice dans la base B est unisomorphisme d’espaces vectoriels.

Démonstration : Il est immédiat de vérifier que pour tous vecteurs x, y ∈ E et toutλ ∈ K, on a matB(x+ y) = matB(x) +matB(y) et matB(λx) = λmatB(x). De plus, toutematrice deMp,1(K) est la matrice dans la base B d’un unique vecteur de E.

Pour toutes les opérations sur les vecteurs, on peut donc travailler indifféremment surles vecteurs ou leurs matrices, une fois que l’on s’est fixé une base de E .

Définition 20.3 : Plus généralement, étant donnée une famille F = (x1, · · · , xq) de qvecteurs de E, on définit matB(F) comme la matrice à p lignes et q colonnes dont la jèmecolonne (j = 1..q) est formée des composantes du vecteur xj dans la base B.

II.2 Matrice d’une application linéaire

Définition 20.4 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives qet p et munis de bases B = (e1, · · · , eq) et B′ = (e′1, · · · , e′p). Soit f ∈ L(E,F ). On appellematrice de f dans les bases B et B′ la matrice

matB,B′(f) = matB′(f(B))

C’est donc la matrice à p lignes et q colonnes dont la jème colonne est formée descomposantes du jème vecteur de B dans la base B′.

Notation : Lorsque F = E et B′ = B on note de façon plus légère matB(f).

Exemple : Soit f = idE où dimE = n. Alors, matB(f) = In où In est la matricedont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres coefficients sont nuls. Onl’appelle la matrice identité d’ordre n.

Exemple : Soit f : R3 → R3 définie par f(x, y, z) = (x+4y+7z, 2x+5y+8z, 3x+6y+9z).

La matrice de f dans la base canonique de R3 est

1 4 72 5 83 6 9

.


Théorème 20.3 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions respectives qet p, munis de bases respectives B et B′. L’application L(E,F ) → Mp,q(K) qui à chaqueapplication associe sa matrice dans les bases B et B′ est un isomorphisme d’espaces vecto-riels.

Démonstration : La linéarité est une simple vérification. L’isomorphisme résulte dufait qu’une application linéaire est caractérisée par la donnée des images des vecteurs d’unebase.

Remarque 20.2 : A retenir :matB,B′(f+g) = matB,B′(f)+matB,B′(g) etmatB,B′(λ.f) =λ.matB,B′(f).

Remarque 20.3 : Prenons E = Kq et F = Kp, munis de leurs bases canoniquesrespectives B et B′. Soit A ∈ Mpq(K). Il existe alors une unique f ∈ L(Kq,Kp) telle quematB,B′f = A. L’application f est appelée l’application linéaire canoniquement associée àla matrice A. On se permettra parfois d’appliquer le vocabulaire relatif à f à la matrice A.Par exemple, on parlera du noyau de A, comprendre ker f , de l’image de A, du rang de A,etc.

III Produit matriciel

III.1 Analyse du problème

On se donne trois espaces vectoriels E, F , G, de dimensions respectives r, q et p,munis de bases B, B′ et B′′. Soient f ∈ L(E,F ) et f ∈ L(F,G). Notons B ∈ Mq,r(K) etA ∈Mp,q(K) les matrices respectives de f et g (dans les bases données). Avec des notationsévidentes, on a alors

g f(ej) = g(∑q

k=1Bkje′k)

=∑q

k=1Bkjg(e′k)=

∑qk=1Bkj

∑pi=1Aike

′′i

=∑p

i=1(∑q

k=1AikBkj)e′′i

On constate donc que la matrice de g f dans les bases B et B′′ est la matrice C ∈Mp,r(K) de coefficients Cij =

∑qk=1AikBkj .

III.2 Produit de deux matrices

Définition 20.5 : Soient A ∈ Mp,q(K) et B ∈ Mq,r(K). On appelle produit desmatrices A et B la matrice C ∈Mp,r(K) dont les coefficients valent

Cij =

q∑k=1

AikBkj

III. PRODUIT MATRICIEL 273

Exemple : Calculer le produit de A =

(1 2 34 5 6

)par B =

5 1 20 1 1−1 1 0

.

Exemple : On rappelle que la base canonique de Mpq(K) est (Eij)1≤i≤p,1≤j≤q, où(Eij)kl = δikδjl. Calculons le produit EijEkl. Il faut pour cela que les tailles des matricessoient compatibles, par exemple Eij ∈ Mpq(K) et Ekl ∈ Mqr(K). On a alors pour tous1 ≤ m ≤ p et 1 ≤ n ≤ r, (EijEkl)mn =

∑qs=1(Eij)ms(Ekl)sn =

∑qs=1 δimδjsδksδln =

δimδln∑q

s=1 δjsδks = δimδlnδjk = (δjkEil)mn. Ceci est vrai pour tous m,n, donc

EijEkl = δjkEil

Proposition 20.4 : On se donne trois espaces vectoriels E, F , G, de dimensionsrespectives r, q et p, munis de bases B, B′ et B′′. Soient f ∈ L(E,F ) et f ∈ L(F,G). Alors

matB,B′′(g f) = matB′,B′′(g).matB,B′(f)

Démonstration : C’est une conséquence directe de la définition du produit matriciel.

III.3 Associativité du produit matriciel

Théorème 20.5 : Soient A ∈Mp,q(K), B ∈Mq,r(K) et C ∈Mr,s(K). Alors, (AB)C =A(BC).

Démonstration : Soient E,F,G,H 4 espaces vectoriels de dimensions respectivess, r, q, p munis de bases B,B′,B′′,B′′′. Soient f ∈ L(E,F ), g ∈ L(F,G) et h ∈ L(G,H)telles que A = matB′′,B′′′h, B = matB′,B′′g et C = matB,B′f . On a (AB)C = (matB′′,B′′′h×matB′,B′′g) ×matB,B′f = matB′,B′′′(h g) ×matB,B′f = matB,B′′′((h g) f). De même,A(BC) = matB,B′′′(h (g f)). D’où le résultat puisque la composition des applicationsest associative.

III.4 L’algèbre des matrices carrées

Proposition 20.6 : Soit n un entier non nul.Mn(K) est une K-algèbre, non commu-tative si n 6= 1. De plus, si E est un K-espace vectoriel de dimension n, et B est une basede E, l’application E →Mn(K) qui à tout endomorphisme de E associe sa matrice dansla base B est un isomorphisme d’algèbres.

Démonstration : Nous avons déjà presque tout vérifié. Le neutre pour la multiplicationdes matrices est la matrice identité In. La distributivité de la multiplication matriciellepar rapport à l’addition peut se montrer comme l’associativité de la multiplication, eninterprétant en termes d’applications linéaires.


Remarque 20.4 : La multiplication des matrices n’est pas commutative. Par exemple,

soient A =

(0 10 0

)et B =

(0 01 0

). On a AB =

(1 00 0

)alors que BA =

(0 00 1

).

Exercice : En utilisant les matrices de la remarque ci-dessus, fabriquer deux matricesn× n A et B telles que AB 6= BA.

III.5 Matrices inversibles

On note GLn(K) l’ensemble des matrices carrées inversibles de taille n × n. C’est ungroupe, non commutatif si n ≥ 2. L’isomorphisme du paragraphe précédent montre quece groupe estisomorphe à GL(E) pour tout e.v. E de dimension n. De plus, les endomor-phismes bijectifs et les matrices inversibles se correspondent.

Exemple : A =

(a cb d

)est inversible si et seulement si ad− bc 6= 0.

Proposition 20.7 : Soit A ∈ Mn(K). A est inversible si et seulement si elle estinversible à gauche, si et seulement si elle est inversible à droite.

Démonstration : C’est la conséquence immédiate du fait que si E est un K-ev dedimension finie, f ∈ L(E) est bijective si et seulement si elle est injective si et seulementsi elle est surjective.

Remarque 20.5 : Une matrice qui n’est pas carrée ne peut pas être inversible (car sideux ev sont de même dimension, alors ils sont isomorphes). Elle peut en revanche êtreinversible à gauche ou à droite.

III.6 Image d’un vecteur par une application linéaire

Proposition 20.8 : Soit f ∈ L(E,F ), les deux espaces E et F étant munis de basesrespectives B et B′. Soit x ∈ E. Alors

matB′(f(x)) = matB,B′(f).matB(x)

Démonstration : Posons B = (e1, . . . , eq), B′ = (e′1, . . . , e′p), A = matB,B′f , X =

matBx et X ′ = matB′(f(x)). On a f(x) = f(∑xjej) =

∑i(∑

j Aijxj)e′i. Ainsi, X

′i1 =∑

j Aijxj =∑

j AijXj1. Effectivement, X ′ = AX.

III.7 matrices triangulaires

Définition 20.6 : Soit A ∈Mn(K). On dit que la matrice A est triangulaire supérieurelorsque ∀i > j,Aij = 0. DE même, on dit que A est triangulaire inférieure lorsque ∀i <j,Aij = 0.

III. PRODUIT MATRICIEL 275

Proposition 20.9 : L’ensemble des matrices n × n triangulaires supérieures (resp :inférieures) est une K-algèbre.

Démonstration : On va évidemment montrer que c’est une sous-algèbre de Mn(K).La matrice identité est bien triangulaire, et la stabilité pour la somme et le produit par unscalaire sont évidentes. Reste à montrer la stabilité pour la multiplication matricielle. Soientdonc A,B triangulaires supérieures, et C = AB. Soient i > j. On a Cij =

∑k AikBkj . Si

k > j, alors Bkj = 0. Si k ≤ j, on a i > j ≤ k, donc i > k et Aik = 0. Donc, pour tousi > j, Cij = 0. C est bien triangulaire supérieure.

Proposition 20.10 : Soit M une matrice triangulaire supérieure. M est inversible si etseulement si les coefficients diagonaux de M son non nuls. L’inverse de M est alors aussiune matrice triangulaire supérieure.

Démonstration : Soit E un K-ev de dimension n, B = (e1, . . . , en) une base de E etf ∈ L(E) dont la matrice dans la base B estM . Pour k = 1, . . . , n, soit Ek =< e1, . . . , ek >.Posons aussi E0 = 0. Remarquons que M est triangulaire supérieure si et seulement sipour tout k ≥ 1 f(Ek) ⊂ Ek. Supposons que l’un des coefficients diagonaux deM ,Mkk, soirnul. On a alors f(Ek) ⊂ Ek−1. Mais alors, f ne conserve pas les dimensions, donc n’est pasinjective, et M n’est pas inversible. Supposons maintenant que les coefficients diagonauxdeM sont tous non nuls. On a f(E1) = E1. Soit 1 ≤ k < n tel que f(Ek) = Ek. On a alorsf(Ek+1) = f(Ek+ < ek+1 >) = f(Ek)+ < f(ek+1) >= Ek+ < f(ek+1 >. Mais f(ek+1) =M(k+1)(k+1)ek+1 + u où u ∈ Ek. On en déduit que ek+1 = 1/M(k+1)(k+1)(f(ek+1) − u) ∈f(Ek+1). Ainsi, f(Ek+1) ⊂ Ek+1, mais aussi contient Ek et ek+1. Donc, f(Ek+1) = Ek+1.Pour k = n, on obtient f5e) = E : f est surjective, donc bijective, etM est inversible. Pourterminer, sachant que M est inversible, on a pour tout k f(Ek) = Ek (conservation desdimensions). On a pplique f−1 et on obtient pour tout k f−1(Ek) = Ek. Donc, la matriceM−1 est triangulaire supérieure.

III.8 Blocs

Soit M ∈ Mpq(K). Une décomposition de M en blocs est une écritire de M sous la

forme M =

(A CB D

)où A,B,C,D sont elles-mêmes des matrices de tailles compatibles.

Par exemple, A et C ont le même nombre de lignes, etc. On peut bien entendu décomposeren un plus grand nombre de blocs. Nous admettrons que les additions et les produits dematrices peuvent être effectués par blocs, à conditions bien entendu que les tailles des blocsdes matrices sur lesquelles on opère soient compatibles.

Exemple : Soit M =

1 2 03 4 00 0 5

. On prend A =

(1 23 4

), B =

(0 0

), C =

(00

)et

D = (5). De sorte que M2 =

(A2 + CB BA+DBAC + CD BC +D2

)=

(A2 00 D2

). Ainsi, il suffit de

calculer le carré d’une matrice 2× 2 pour obtenir le carré de M . Les opérations par blocssont clairement conseilllées lorsqu’il y a des blocs nuls dans les matrices mises en jeu.


IV Transposition

IV.1 C’est quoi ?

Définition 20.7 : Soit A ∈ Mp,q(K). On appelle transposée de A la matrice B ∈Mq,p(K) définie pour 1 ≤ i ≤ q et 1 ≤ j ≤ p par bij = aji.

Notation : On note tA transposée de la matrice A.

IV.2 Propriétés

Proposition 20.11 :• t(A+B) =t A+t B• t(λ.A) = λ.tA• ttA = A• t(A.B) =t B.tA• Si A est inversible, tA est inversible et (tA)−1 =t (A−1).

Démonstration : Par exemple, (t(AB))ij = (AB)ji =∑

k AjkBki =∑

k(tB)ik(

tA)kj =(tBtA)ij .

Exercice : Démontrer les autres points.

Remarque 20.6 : L’application A 7→t A est un isomorphisme d’espaces vectoriels entreMp,q(K) etMq,p(K).

Exercice : Calculer tX.X et X.tX lorsque X est une matrice colonne.

IV.3 Matrices symétriques, antisymétriques

Définition 20.8 : Une matrice carrée A est dite• symétrique lorsque tA = A• antisymétrique lorsque tA = −A.

Proposition 20.12 : Soit K un corps dans lequel 0 6= 2.

• Toute matrice de Mn(K) s’écrit de façon unique comme somme d’une matrice sy-métrique et d’une matrice antisymétrique.

• Les ensembles Sn(K) = A ∈ Mn(K),tA = A et An(K) = A ∈ Mn(K),tA =−A sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de Mn(K) de dimensionsrespectives n(n+1)

2 et n(n−1)2 .

V. CHANGEMENTS DE BASE 277

Démonstration : L’applicationφMn(K)→Mn(K) définie par φ(A) =t A est linéaireet vérifie φ2 = id. C’est donc une symétrie deMn(K). Conséquence, les vecteurs invariantset les vecteurs changés en leur opposé sont deux sev deMn(K) supplémentaires. On vérifiefacilement que la décomposition M = S + A d’une matrice M en somme d’une matricesymétrique et d’une matrice antisymétrique s’obtient avec S = 1

2(M +tM) et A = 12(M −t

M).

Exemple : Soit M =

1 4 72 5 83 6 9

. On a M = S + A avec S =

1 3 53 5 75 7 9

et

A =

0 1 2−1 0 1−2 −1 0

V Changements de base

V.1 Matrices de passage

Définition 20.9 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient B et B′ deuxbases de E. On appelle matrice de passage de B à B′ la matrice

PB′B = matB(B′) = matB′,B(idE)

Proposition 20.13 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient B et B′ deuxbases de E. La matrice PB′B est inversible et son inverse est PBB′.

Démonstration : On a I = matB,Bid = matB,B(id id) = matB′,Bid × matB,B′id =PB′B P

BB′ . De même, PBB′P

B′B = I.

V.2 Changement de base pour un vecteur

Proposition 20.14 : Soit E un K-espace vectoriel muni de deux bases B et B′. Soitx ∈ E. Posons P = PB

′B , X = matB(x) et X ′ = matB′(x). Alors X ′ = PX.

Démonstration : On écrit que x = idE(x), où idE part de E muni de la base B′ etarrive dans E muni de la base B.

V.3 Changement de bases pour une application linéaire

Proposition 20.15 : Soient E et F deux K-espaces vectoriels. Soient B1 et B′1 deuxbases de E, et B2 et B′2 deux bases de F . Soit f ∈ L(E,F ). Notons M = matB1,B2(f) etM ′ = matB′1,B′2(f). Notons également Alors P1 = P

B′1B1 et P2 = P

B′2B2 . Alors M

′ = P−12 M.P1.


Démonstration : On écrit f = idF f idE avec idE : E,B′1 → E,B1, f : E,B1 → F,B2

et idF : F,B2 → F,B′2.

Remarque 20.7 : Un cas particulier très important est celui où E = F , B1 = B2 = B,et B′1 = B′2 = B′. On a alors la formule plus simple M ′ = P−1MP où P = PB

′B .

VI Trace

VI.1 Trace d’une matrice carrée

Définition 20.10 : Soit A = (aij)1≤i≤n,1≤j≤n une matrice carrée n × n. On appelletrace de A le scalaire TrA =

∑nk=1 akk.

VI.2 Propriétés

Proposition 20.16 : Soient A et B deux matrices carrées de même taille, et λ unscalaire.

• Tr(A+B) = TrA+ TrB

• Tr(λ.A) = λ.TrA

• Tr(tA) = TrA

• Tr(A.B) = Tr(B.A)

Démonstration :Montrons la dernière égalité. On a Tr(AB) =∑

i(AB)ii =∑

i,k aikbki.Et c’est pareil pour Tr(BA).

VI.3 Trace d’un endomorphisme

Proposition 20.17 : Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E. La quantitéTr(matB(f)) ne dépend pas de la base B choisie. On l’appelle la trace de f , et on la noteTrf .

Démonstration : Si M et M ′ sont les matrices de f dans deux bases de E, on aalors M ′ = P−1MP où P est une matrice de passage. Ainsi, TrM ′ = Tr(P−1MP ) =Tr(MPP−1) = TrM .

Exemple : La trace de idE est égale à la dimension de E. Soit p le projecteur sur F (dedimension k) parallèlement à G, où F et G sont deux sev supplémentaires de E. Soit Bune base de E formée de la réunion d’une base de F et d’une base de G. La matrice de pdans la base B est particulièrement simple. Elle est diagonale, les k premiers éléments dela diagonale valent 1, les autres valent 0. Ainsi, la trace de p est égale à k = dimF , c’està dire au rang de p.

Exercice : Que vaut la trace d’une symétrie ?

VII. RANG 279

VII Rang

VII.1 Rang d’une matrice

Définition 20.11 : Soit A ∈MK(p, q). On appelle trace de A le rang de la famille descolonnes de A, identifiées à des vecteurs de Kp.

Exemple :

rg

(1 2 30 2 4

)= 2.

rg

1 4 72 5 83 6 9

= 2.

rg

1 4 72 5 83 6 10

= 3.

rgIn = n, rg 0 = 0.

Remarque 20.8 :• Si f ∈ L(E,F ), le rang de f est égal au rang de sa matrice dans n’importe quel

couple de bases.• Une matrice A ∈MK(n) est inversible si et seulement si rgA = n.

VII.2 Matrice canonique d’une application linéaire

Proposition 20.18 : Soit f ∈ L(E,F ) où E et F sont deux espaces vectoriels dedimensions q et p. On suppose que rgf = r. Il existe alors une base B de E et une base B′de F telles que

matB,B′(f) =

(Ir 0r,q−r

0p−r,r 0p−r,q−r

)

Notation : On note dorénavant Jp,q,r la matrice ci-dessus. A noter que son rang estégal à r. A noter également, la forme de Jp,q,r lorsque r est égal à p et/ou q (quand f estune surjection et/ou une injection).

Démonstration : ker f est de dimension q− r. Soit G un supplémentaire de ker f . SoitB1 = (e1, · · · , er) une base de G, et B2 = (er+1, · · · , eq) une base de ker f . La réunionB de ces deux familles est une base de E. Soit B′1 = (e′1, · · · , e′r) l’image par f de lafamille B1. D’après le théorème du rang, cette famille est libre. On la complète en une baseB′ = (e′1, · · · , e′p) de F . La matrice de f dans les bases B et B′ a la forme cherchée.


VII.3 Équivalence des matrices

Définition 20.12 : Soient A,B ∈ MK(p, q) deux matrices de même taille. On dit queA est équivalente à B lorsqu’il existe Q ∈ GLK(q) et P ∈ GLK(p) telles que B = P−1.A.Q.

Proposition 20.19 : L’équivalence des matrices est ne relation d’équivalence.


Proposition 20.20 : Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles repré-sentent une même application linéaire dans deux couples de bases.

Démonstration : Supposons que B = P−1AQ. On interprète A comme matB,B′(f) oùf ∈ L(Kq,Kp) (par exemple). On interprète ensuite P comme PB

′1B′ et Q comme PB1B . Il en

résulte que B = matB1,B′1(f). La réciproque provient des formules de changement de base.

Proposition 20.21 : Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont lemême rang.

Démonstration : Supposons A et B équivalentes. Elles sont donc les matrices d’unemême application linéaire f dans deux couples de bases différentes. Ainsi, rgB = rgf =rgA. Inversement, si A et B ont pour rang r, alors elles sont toutes deux équivalentes àJp,q,r, donc elles sont équivalentes.

Remarque 20.9 : Il n’y a aucun résultat « trivial » pour les matrices semblables. Voirles cours d’algèbre linéaire des années suivantes.

VII.4 Rang et transposition

Proposition 20.22 : Soit M ∈Mp,q(K). Alors, rgM = rgtM .

Remarque 20.10 : Ceci implique en particulier que pour chercher le rang d’une famillede vecteurs ou d’une matrice, on peut tout aussi bien opérer sur les lignes que sur les co-lonnes. En revanche, bien noter que des opérations sur les lignes détruisent toute possibilitéde trouver une image ou un noyau.

Démonstration : Soit r le rang de M . La matrice M est équivalente à Jp,q,r. On voitalors facilement que tM équivaut à Jq,p,r et est donc de même rang que M .

VII.5 Rang et matrices extraites

Définition 20.13 : Soit M ∈ Mp,q(K). On appelle matrice extraite de M toute ma-trice M ′ qui est la restriction de M à I × J , I et J étant des sous-ensembles non videsrespectivement de [1, p] et [1, q].

En pratique, extraire une matrice de M c’est rayer des lignes et des colonnes de M .

VIII. SIMILITUDE 281

Exemple : M =

(a cb d

)possède 9 matrices extraites (les écrire).

Exercice : Soit M ∈ Mp,q(K). Montrer qu’on peut extraire (2p − 1)(2q − 1) matricesde M .

Proposition 20.23 : Soit A ∈Mp,q(K) une matrice de rang r. Alors :

• Toutes les matrices extraites de A sont de rang inférieur ou égal à r.

• Il existe une matrice carrée de taille r × r, extraite de A, qui est inversible.

Démonstration : Soit r = rgA. C’est le rang de la famille des colonnes de A. Si l’onextrait r + 1 colonnes ou plus de A, elles seront donc liées. Le fait de rayer des lignesconservera la dépendance linéaire des colonnes. Il reste à extraire de A une matrice r × rinversible. On sait tout d’abord qu’il existe r colonnes de A formant une famille libre. Onles extrait. La matrice p × r ainsi extraite est toujours de rang r. Il y a donc r lignes decette matrice qui forment une famille libre. On les extrait, et on obtient ce que l’on cherche.

VIII Similitude

Définition 20.14 : Deux matrices carrées A et B sont semblables lorsqu’il existe unematrice P inversible telle que B = P−1AP .

Remarque 20.11 : La relation de similitude est aussi une relation d’équivalence, etdeux matrices semblables sont a fortiori équivalentes et ont donc le même rang.

Proposition 20.24 : Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représententun même endomorphisme dans deux bases.

Démonstration : Identique à ce qui a été fait pour les matrices équivalentes. La seuledifférence, c’est qu’ici P = Q.

Proposition 20.25 : Deux matrices semblables ont même trace. La réciproque estfausse.

Démonstration : Soient A,B deux matrices carrées semblables. Il existe une matriceinversible P telle que B = P−1AP . On a alors trB = trP−1AP = trPP−1A = trA.

Il y a en fait bien plus à raconter, mais laissons un peu de travail aux profs de deuxièmeannée. . . Contentons nous de regarder ce qui se passe en dimension 2 sur le corps descomplexes.

Exercice : Soit A ∈ M2(C). Soit f l’endomorphisme de C2 dont la matrice dans labase canonique est A.

1. Montrer que f possède une ou deux valeurs propres.


2. Dans le cas où f possède deux valeurs propres distinctes λ et µ, montrer que A est

semblable à la matrice diagonale D =

(λ 00 µ

). Indication : il existe une base de

C2 formée de deux vecteurs propres pour f .

3. Dans le cas où f possède une unique valeur propre λ et f 6= λid, montrer que A est

semblable à une matrice triangulaire T =

(λ α0 λ

)où α ∈ C. Indication : prendre

un vecteur propre pour f et compléter en une base de C2.

4. Montrer que dans la question précédente on peut prendre α = 1.

IX. EXERCICES 283

IX Exercices

1. Soit

G = M ∈M3(R),M =

1 x z0 1 y0 0 1

, x, y, z ∈ Z

Quelle est la structure de G ?

2. Soient S =

(1 1−1 −1

)et I =

(1 00 1

). Soit E = V ect(I, S). Quelle est la

structure de E ? Quels sont les éléments inversibles de E ?

3. Soit A =

1 1 00 1 10 0 1

. Soit N = A− I3. Calculer N2 et N3. En déduire An pour

tout entier naturel n, puis pour tout entier relatif.

4. Soit α ∈ C. Soit M =

α −1 01 α 00 0 α

.

Calculer, lorsqu’elle existe, la matrice M−1.

5. Soit M ∈ M3(R). On dit que la matrice M est magique lorsque la somme descoefficients de chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales de Mest constante. On note S(M) la somme commune en question.

(a) Trouver toutes les matrices magiques antisymétriques. Vérifier qu’elles formentun sev deM3(R) dont on donnera la dimension.

(b) Trouver toutes les matrices magiques symétriques M telles que S(M) = 0.En déduire toutes les matrices magiques symétriques. Vérifier que les matricesmagiques symétriques forment un sev deM3(R) dont on donnera la dimension.

(c) En déduire toutes les matrices magiques.

6. Soit H = (a −bb a

), a, b ∈ C.

(a) Montrer que H est un corps non commutatif. On note 0 et 1 ses neutres respectifspour l’addition et la multiplication.

(b) Résoudre l’équation q ∈ H, q2 = −1.

(c) Résoudre l’équation q ∈ H, q2 = 1.

7. Soit B =

0 1 · · · 1

1. . . . . .

......

. . . . . . 11 · · · 1 0

. Calculer B2 en fonction de I et de B. En déduire

B−1.


8. Soit α un nombre complexe non nul. Quel est le rang de la matriceM =

1 1/α 1/α2

α 1 1/αα2 α 1

?

9. Soit E = V ect(e1, e2, e3) oùe1 : R→ R;x 7→ eαx cosx

e2 : R→ R;x 7→ eαx sinx

e3 : R→ R;x 7→ eαx

Soit φ : E → E; f 7→ f ′.

(a) Montrer que B = (e1, e2, e3) est une base de E, et calculer A = matB(φ).

(b) Inverser la matriceA. En déduire une primitive de l’application x 7→ eαx(a cosx+b sinx+ c).

10. Soient C ∈ Mn,1(R) et L ∈ M1,n(R). Soit A = CL. On note λ = LC. Démontrerque pour tout entier k ≥ 1, Ak = λk−1A.

11. Inverser si possible les matrices ci-dessous :

A =

0 · · · 0 an... 0

0...

a1 0 · · · 0

, B =

1 · · · · · · 1

0. . .

......

. . . . . ....

0 · · · 0 1

12. Soit M ∈M3(R) telle que M 6= 0 et M2 = 0.

(a) Prouver que rg M = 1.

(b) En déduire l’existence d’une matrice colonne C et d’une matrice ligne L de taille3 telles que M = CL.

(c) Inversement (et toujours en dimension 3), quelle condition doivent vérifier lesmatrices colonnes C et ligne L pour que la matrice M = CL vérifie M2 = 0 ?

13. A et B sont deux matrices carrées d’ordre n.

(a) Résoudre : X ∈Mn(R), X = (TrX)A+B.

(b) Résoudre : X ∈Mn(R), X +t X = (TrX)A.

14. Soit A ∈M2(R). Calculer A2 − (Tr A)A+ (detA)I.

15. Soient α1, · · · , αn n réels. Soit M la matrice n×n dont les coefficients sont les réelsaij = sin(αi + αj), i = 1..n, j = 1..n.Montrer que rg M ≤ 2.

16. Soit φ : Rn[X] → Rn[X] définie par φ(P ) = P (X) − P (1 − X). Trouver une basede Rn[X] dans laquelle la matrice de φ est diagonale.

17. On considère les matrices M =

0 12

12

12 0 1

212

12 0

et P =

1 −1 −11 1 01 0 1

.

IX. EXERCICES 285

(a) Calculer D = P−1MP . En déduire Dn puis Mn pour tout entier naturel n.

(b) On considère les trois suites complexes (an), (bn) et (cn) définies par a0, b0, c0

fixés et, pour tout entier naturel n, par an+1 = bn+cn2 , bn+1 = an+cn

2 , cn+1 =

an+bn2 . Pour tout n ∈ N, on pose X =

anbncn

.

i. Déterminer une matrice M ∈M3(C) telle que Xn+1 = MXn.

ii. En déduire Xn en fonction de n, puis les limites respectives de an, bn et cnlorsque n tend vers l’infini.

18. Soit M = aI + bA où A =

1 0 10 0 01 0 1

. Calculer A2. En déduire An et Mn pour

tout n ∈ N.19. (a) Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n, de base B = (e1, · · · , en). Pour

i = 1, · · · , n, on définit la forme linéaire, notée e∗i surE par ∀j ∈ 1, · · · , n, e∗i (ej) =δij . Démontrer que la famille B∗ = (e∗i )1≤i≤n est une base du dual E∗ de E.

(b) On prend E = R[X], muni de la base canonique B = (en)n≥0 où en = Xn.Montrer que la famille B∗ = (e∗n)n≥0 définie comme à la question précédenteest bien une famille libre du dual de R[X], mais que cette famille n’est pasgénératrice.

20. On note (Eij)1≤i≤n,1≤j≤n la base canonique de Mn(K). Soit N =∑n−1

k=1 Ek,k+1.Déterminer Np pour tout entier naturel p, et en déduire l’inverse de I −N .

21. On se place dans E = R2[X]. Soit φλ,µ : E → E;P 7→ (X2 + λ)P ′′ + (µX + 1)P ′.

(a) Déterminer la matrice de φ dans la base canonique.

(b) Trouver kerφ et Im φ.

(c) On note fλ = φλ,−1. Calculer fλ2 fλ1 , puis fnλ .(d) Trouver P1, P2 ∈ E tels que (1, P1, P2) soit une base de E, P1 soit dans ker(fλ)n

et P2 soit dans Im (fλ)n

22. Soient A =

1 3 12 3 01 2 3

et B =

2 1 40 2 01 2 4

. Les matrices A et B sont-elles

équivalentes ? Semblables ?

23. Soit P0 = 1 +X +X2. Soient φ ∈ L(R5[X]) qui à P associe le reste de la divisioneuclidienne de P par P0 et ψ ∈ L(R5[X]) qui à P associe le quotient de cette mêmedivision. Écrire les matrices de φ et de ψ dans la base canonique de R5[X].

24. Soit φ : R3[X]→ R3[X];P 7→ P +X(P ′ − P ′′). On a clairement φ ∈ L(R3[X]).

(a) Déterminer matB(φ) où B est la base canonique de R3[X].

(b) Quels sont les valeurs propres et vecteurs propres de φ (c’est-à-dire les réels λet les polynômes P ∈ R3[X] \ 0 tels que φ(P ) = λP ) ?


25. Trouver tous les couples (x, y) ∈ R2 vérifiant x ≤ y et tels qu’il existe deux matrices

A et B deM2(R) tellse que AB =

(25 1111 5

)et BA =

(x 1414 y

).

26. Soit A = (aij) ∈Mn(C) telle que pour tout entier i entre 1 et n, |aii| >∑

j 6=i |aij |.On interprète A comme la matrice dans la base canonique d’un endomorphisme fde Rn.(a) Soit x ∈ ker f . Montrer que x = 0. En déduire que f est injective, puis que f

est un automorphisme de Rn.(b) Que dire de A ?

(c) Même question lorsqu’on remplace les hypothèses sur A par : « pour tout entierj entre 1 et n, |ajj | >

∑i 6=j |aij | ».

27. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est

1 −1 00 1 −11 0 −1

.

Déterminer le rang de f , ker f et Im f .

28. Déterminer la matrice dans la base canonique de l’endomorphisme f de R3[X] définipar f(P ) = P (X + 1). Déterminer l’inverse de cette matrice.

29. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A =−1 0 1−1 −2 1−1 −1 1

. Montrer qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de f

est B =

0 0 00 −1 10 0 −1

.

30. Soit A =

3 2 −2−1 0 11 1 0

.

(a) Montrer que A2 est combinaison linéaire de A et I.

(b) Montrer que A est inversible et calculer A−1.

(c) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe deux réels an et bn tels queAn = anA+ bnI.

(d) Calculer an et bn en fonction de n.

31. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique B est

2 1 −10 1 01 1 0

.

Soit B′ = (e′1, e′2, e′3) où e′1 = (1, 0, 1), e′2 = (−1, 1, 0), e′3 = (1, 1, 1).

(a) Montrer que B′ est une base.

(b) Déterminer la matrice de f dans la base B′.(c) Calculer, pour tout n ∈ N, la matrice de fn dans la base B′.

IX. EXERCICES 287

(d) Calculer, pour tout n ∈ N, la matrice de fn dans la base B.32. Soit A ∈Mn(K). Montrer que (∀B ∈Mn(K), AB = BA)⇔ ∃λ ∈ K, A = λI.

33. Soit A ∈ Mn(K). On suppose que la matrice I + A est inversible. On pose B =(I −A)(I +A)−1.

(a) Montrer que B = (I +A)−1(I −A).

(b) Montrer que I +B est inversible puis exprimer A en fonction de B.

34. Déterminer toutes les matrices deM2(R) égales à leur carré.

35. Soit j une racine cubique non réelle de 1. Soit E = a+ bj, a, b ∈ Q.(a) Montrer que E est un Q-espace vectoriel. En donner une base B.(b) Montrer que l’application f : x 7→ jx est un automorphisme de E.

(c) Déterminer la matrice M de f dans la base B.(d) Calculer M2 +M + I. Remarque(s) ?

36. Soit θ ∈ R. Soit A =

0 1 − sin θ−1 0 cos θ− sin θ cos θ 0

. Calculer A3 et en déduire (A+ I)n

pour tout n ≥ 3.

37. Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est A =0 −1 11 2 −31 1 −2

.

(a) Déterminer ker f , ker(f − id) et ker(f + id).

(b) Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de f est diagonale.

(c) Calculer An pour tout n ∈ N.


Chapitre 21Groupes Symétriques

289

290 CHAPITRE 21. GROUPES SYMÉTRIQUES

I Compléments sur les groupes finis

Ce paragraphe peut être sauté en première lecture, mais il éclaire ce que nous feronsdans les sections suivantes. Tous les résultats sont énoncés pour des groupes « multiplica-tifs ». Il convient bien entendu d’adapter dans le cas de groupes dont l’opération est notéeadditivement.

I.1 Groupes cycliques

Définition 21.1 : Soit (G, .) un groupe. On dit que G est cyclique lorsque G est fini etqu’il existe a ∈ G tel que G = ak, k ∈ Z.

Notation : On note G =< a >. Le cardinal de G est aussi appelé son ordre. On le note|G|.

Exemple : Un, Z/nZ pour tout n ≥ 1.

Proposition 21.1 : Soit G =< a > un groupe cyclique d’ordre n. On a— G = e, a, a2, . . . , an−1.— ∀i, j ∈ Z, ai = aj ⇔ j − i ∈ nZ.— ∀k ∈ Z, ak = e⇔ k ∈ nZ.

Démonstration : Le groupe G est fini. On peut donc trouver i, j ∈ Z, i < j tels queai = aj . On a alors aj−i = e : ilexistem ∈ N∗ tel que am = e. Notons E = m ∈ Z, am = e.E est clairement un sous-groupe de Z, et m est son plus petit élément strictement positif.Donc, E = mZ. Soient maintenant i, j ∈ Z. On a ai = aj si et seulement si aj−i = e, c’est àdire j− i ∈ mZ. Enfin, une division euclidienne par m montre facilement que tout élémentde G est de la forme ak avec k ∈ [0,m − 1]. D’où G = e, a, . . . , am−1. Reste à vérifierque toutes ces puissances sont distinctes deux à deux pour en déduire que |G| = m, doncm = n.

I.2 Sous-groupes d’un groupe cyclique

Proposition 21.2 : Soit G =< a > un groupe cyclique de cardinal n. Soit H unsous-groupe de G. Le groupe H est aussi cyclique.

Démonstration : Si H = e, c’est évident. Supposons donc H 6= e. Il existe donck ∈ [1, n − 1] tel que ak ∈ H. Prenons k minimal. On a ak ∈ H, donc < ak >⊂ H.Inversement, soit x = al ∈ H. Effectuons la division euclidienne de l par k : l = qk + ravec 0 ≤ r < k. On a alors x = aqk+r = (ak)qar. On en déduit que ar = x(ak)−q ∈ H. Parminimalité de k, il vient r = 0, donc x = (ak)q ∈< ak >.

Proposition 21.3 : Soit G =< a > un groupe cyclique de cardinal n. Soit k ∈ Z. Ona H =< ak >=< aδ > où δ = k ∧ n.

I. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES FINIS 291

Démonstration : Écrivons k = rδ où r ∈ Z. On a ak = (aδ)r. Donc < ak >⊂< aδ >.Inversement, le théorème de Bézout nous donne l’existence de u, v ∈ Z tels que uk+vn = δ.On en déduit que aδ = (ak)(an)v. Mais an = e, donc aδ ∈< ak > et ainsi < aδ >⊂< ak >.

Corollaire 21.4 : Avec les notations ci-dessus, H = e, a, . . . , a(n/δ−1)δ et |H| = n/δdivise n.

Proposition 21.5 : Soit G =< a > un groupe cyclique de cardinal n. Pour tout diviseurd de n il existe un et un seul sous-groupe de G d’ordre d.

Démonstration : H = an/d est un sous-groupe de G d’odre d, d’où l’existence. Inverse-ment, soitH =< ak > un sous-groupe de G d’ordre d. On a aussiH =< aδ > où δ = kn. Deplus dδ = n puisque δ divise n et H est d’ordre d. On en déduit que H =< aδ >=< an/d >d’où l’unicité.

I.3 Ordre d’un élément, ordre d’un sous-groupe

Définition 21.2 : Soit G un groupe quelconque. Soit a ∈ G. On a appelle ordre de al’entier |a| = | < a > |.

Proposition 21.6 :— |a| est le plus petit entier naturel k tel que ak = e.— G = e, a, a2, . . . , an−1.— ∀i, j ∈ Z, ai = aj ⇔ j − i ∈ nZ.— ∀k ∈ Z, ak = e⇔ k ∈ nZ.

Démonstration : Voir la démonstration faite pour les groupes cycliques : < a > estun groupe cyclique, engendré par a.

Exemple : Ordre des éléments de U6, de Z/12Z.

Exercice : Soit G un groupe. Soient a, b ∈ G tels que ab = ba. Alors |ab| divise |a| ∨ |b|.La relation peut être stricte.

I.4 Le théorème de Lagrange

Proposition 21.7 : Soit G un groupe fini. Soit H un sous-groupe de G. Alors, |H|divise |G|.

Démonstration : Soit ∼ la relation binaire sur G définie par ∀x, y ∈ G, x ∼ y ⇔xy−1 ∈ H. On montre facilement que l’on a là une relation d’équivalence. Notons, pourtout x ∈ G, Cx la classe de x. On remarque que H = Ce. Soit C = Cg une classe modulo∼. On a pour tout x ∈ H,xg ∈ C, puisque (xg)g−1 = x ∈ H. On définit ainsi uneapplication ϕ : H → C en posant ϕ(x) = xg. On voit facilement que ϕ est une bijection :ainsi, H et C ont le même cardinal. Toutes les classes modulo ∼ sont de même cardinal.


Notons C1, C2, . . . , Cp les classes distinctes modulo ∼. On a G = ∪pk=1Ck, et les classessont disjointes. Donc, |G| =

∑pk=1 |Ck| = p|H| : l’ordre de H divise l’ordre de G et le

quotient de ces ordres est le nombre de classes modulo ∼.

Exercice : Montrer qu’un groupe d’ordre premier est cyclique.

Exemple : Sous-groupes de D4, le groupe des isométries du plan laissant invariantl’ensemble des sommets d’un carré.

II Notion de permutation

II.1 Permutations d’un ensemble

Définition 21.3 : Soit E un ensemble non vide. On appelle permutation de E toutebijection de E dans E. On note S(E) l’ensemble des permutations de E.

Proposition 21.8 : Soit E un ensemble. L’ensemble S(E) est un groupe pour lacomposition des applications. Ce groupe est non abélien dès que E possède au moins 3éléments.

Démonstration : La composée de deux bijections, la réciproque d’une bijection, sontdes bijections. La composition des applications est associative. L’identité de E est le neutrepour la composition. En ce qui concerne la non-commutatitivité, soient a, b, c trois élémentsdistincts de E. Soient f, g ∈ S(E) définies comme suit : f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a etpour tout x 6= a, b, c, f(x) = x. g(a) = b, g(b) = a et pour tout x 6= a, b, g(x) = x. On aalors g f(a) = g(b) = b et f g(a) = f(b) = c. Donc, f g 6= g f .

Définition 21.4 : Le groupe S(E) est appelé le groupe symétrique de E. Ses élémentssont appelés permutations de E.

Remarque 21.1 : Soient E et F deux ensembles. Supposons qu’il existe une bijectionφ : E → F . Alors l’application F : S(E) → S(F ) définie par F (f) = φ f φ−1 est unebijection. De plus, F (g f = φ (g f) φ−1 = (φ g φ−1) (φ f φ−1) = φ(g) φ(f).Ainsi, les groupes S(E) et S(F ) sont isomorphes.

Proposition 21.9 : Soit E un ensemble fini de cardinal n ∈ N. Le groupe (S(E), )est un groupe fini, de cardinal n!.

Démonstration : Voir le chapitre sur les entiers naturels.

On ne s’occupera dans ce qui suit que des permutations de l’ensemble [1, n], dont onnotera l’ensemble Sn. Une permutation σ ∈ Sn est notée par le tableau de ses valeurs :

σ =

(1 2 . . . n

σ(1) σ(2) . . . σ(n)

)Enfin, l’usage est de noter multiplicativement la composition des permutations. Attention,donc, aux confusions.

III. ORBITES 293

II.2 Exemples

On a S1 = id, S2 = id, τ où τ(1) = 2, τ(2) = 1. Regardons d’un peu plus près

S3 = id, ρ, ρ2, τ12, τ13, τ23 où ρ =

(1 2 32 3 1

)et τij échange i et j et laisse le troisième

élément invariant. Voici la table de multiplication dans S3 :

id ρ ρ2 τ12 τ23 τ13

id id ρ ρ2 τ12 τ23 τ13

ρ ρ ρ2 id τ13 τ12 τ23

ρ2 ρ2 id ρ τ23 τ13 τ12

τ12 τ12 τ23 τ13 id ρ ρ2

τ23 τ23 τ13 τ12 ρ2 id ρ

τ13 τ13 τ12 τ23 ρ ρ2 id

Exercice : Trouver les sous-groupes de S3.

III Orbites

III.1 Notion d’orbite

Définition 21.5 : Soit a ∈ [1, n]. Soit σ ∈ Sn. On appelle orbite de a suivant σl’ensemble

Oσ(a) = σk(a), k ∈ Z

Proposition 21.10 : Les orbites suivant une permutation σ ∈ Sn forment une parti-tion de [1, n] : les orbites sont non vides, disjointes, et leur réunion est [1, n].

Démonstration : Soit a ∈ [1, n]. On a a = σ0(a), donc a ∈ Oσ(a). Ainsi, les orbitessont non vides et leur réunion est [1, n]. Prenons maintenant deux orbites O = Oσ(a)et O′ = Oσ(a′). Supposons qu’il existe b ∈ O ∩ O′. Il existe donc k, k′ ∈ Z tesl queb = σk(a) = σk

′(a). Donc a′ = σk

′−k(a). On en déduit facilement que O′ ⊂ O. De même,O ⊂ O′ donc O′ = O.

III.2 Étude des orbites

Proposition 21.11 : Soit σ ∈ Sn. Soit a ∈ [1, n]. Soit p le cardinal de l’orbite de a.Alors :

— Pour tout entier relatif k, on a sk(a) = a si et seulement si k ∈ pZ.— Os(a) = sk(a), k = 0, . . . , p− 1.

Démonstration : Soit E = k ∈ Z, sk(a) = a. On vérifie facilement que E est unsous-groupe de Z. Il existe donc P ∈ N tel que E = PZ.


L’entier P est non nul. En effet, l’orbite de a est un ensemble fini, il existe donc deuxentiers distincts i et j tels que si(a) = sj(a). Donc, 0 6= i− j ∈ E.

Soit maintenant k ∈ Z. On a k = Pq+ r, 0 ≤ r < P . Alors sk(a) = sr(sPq(a)) = sr(a).Donc, Os(a) = a, s(a), . . . , sP−1(a).

De plus, si i, j ∈ [0, P − 1], i 6= j et si(a) = sj(a), alors i − j ∈ E = PZ. Mais|i− j| ≤ P − 1. D’où i = j. Donc, Os(a) a exectement P éléments, donc P = p.

III.3 Cycles, Transpositions

Définition 21.6 : On appelle cycle toute permutation ayant exactement une orbite nonréduite à un point.

L’orbite en question est appelée le support du cycle.La longueur du cycle est le cardinal de cette orbite.On appelle tranposition tout cycle de longueur 2.

Notation : Si s est un cycle de longueur l, et a appartient à l’unique orbite de s nonréduite à un point, on note

s = (a s(a) s2(a) . . . sl−1(a))

On remarquera que cette notation est ambiguë, puisque l’on ne sait plus à quel Sn lecycle appartient. En général, ceci n’a pas d’importance. Mieux, c’est plutôt un avantagepuisqu’un cycle dont le support est inclus dans [1, n] peut être vu comme un élément deSn,Sn+1, etc.

Proposition 21.12 : Deux cycles de supports disjoints commutent.

Démonstration : Soient s, s′ deux cycles de supports disjoints. Soit a ∈ [1, n]. Troispossibilités : si a est dans le support de s, alors il n’est pas dans le support de s′ et s(a)non plus. De là, ss′(a) = s(a) = s′s(a). Même raisonnement si a est dans le support de s′.Enfin, si a n’est dans aucun des deux supports, alors s(a) = s′(a) = ss′(a) = s′s(a) = a.

Proposition 21.13 : Toute permutation différente de l’identité s’écrit de façon unique,à l’ordre près des facteurs, comme un produit de cycles de supports disjoints.

Démonstration : Théorème admis.

Exemple : Pour trouver la décomposition, il suffit d’écrire les orbites « dans l’ordre ».Par exemple,(

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113 1 7 8 5 6 2 10 11 4 9

)= (1 3 7 2)(4 8 10)(9 11)

IV. SIGNATURE 295

IV Signature

IV.1 Décomposition en produit de transpositions

Proposition 21.14 : Toute permutation est un produit de transpositions.

Démonstration : On raisonne par récurrence sur n, où σ ∈ Sn.— Si n = 1, c’est trivial.— Supposons la propriété vraie pour les permutations de Sn. Soit σ ∈ Sn+1. Si σ(n+

1) = n+ 1, il n’y a rien à faire : σ, identifiée à un élément de Sn, est un produit detranspositions. Sinon, soit τ = ((n + 1)σ(n + 1))σ. Alors τ(n + 1) = n + 1 donc τest un produit de transpositions d’après le premier cas. Donc, σ aussi.

Exemple : Décomposition d’un cycle. Soit s = (a1a2 . . . ap) un cycle. On a alorsune décomposition de s en produit de transpositions (ce n’est pas la seule) qui est s =(a1a2)(a2a3) . . . (ap−1ap).

Remarque 21.2 : Il n’y a pas unicité de la décomposition. Par exemple, (1 2)(2 3) =(1 2 3) = (2 3 1) = (2 3)(3 1).

IV.2 Signature d’une permutation

Définition 21.7 : Pour σ ∈ Sn, on appelle inversion de σ tout couple (i, j) tel quei < j et σ(i) > σ(j). On note I(σ) le nombre d’inversions de σ.

Exemple : I(id) = 0. Soit τ = (pq) est une transposition. Prenons par exemple p < q.Les couples (i, j) tels que i < j et τ(i) < τ(j) ont soit leur premier élément égal à p, soitleur second élément égal à q. Précisément, les couples concernés sont (p, p+1), (p, p+2),. . . ,(p, q), et aussi (p+ 1, q), (p+ 2, q),. . ., (q − 1, q). Donc I(τ) = 2(q − p)− 1.

Définition 21.8 : Pour σ ∈ Sn, on appelle signature de σ le nombre ε(σ) = (−1)I(σ) ∈−1, 1. Une permutation de signature 1 est dite paire, et une permutation de signature−1 est dite impaire.

Exemple : ε(id) = 1. Pour toute transposition τ , ε(τ) = −1.

Notation : On note P2(n) l’ensemble des parties de 1, . . . , n à deux éléments. On aainsi card P2(n) = n(n−1)

2 .

Lemme IV.1 Soit σ ∈ Sn. L’application, notée encore σ, P2(n) → P2(n) définie parσ(i, j) = σ(i), σ(j) est une bijection.


Démonstration : Il suffit de prouver l’injectivité, qui est évidente.

Proposition 21.15 : Soit σ ∈ Sn. On a

ε(σ) =∏

i,j∈P2(n)

σ(i)− σ(j)

i− j

Démonstration : Soit φ(σ) =∏i,j∈P2(n)

σ(i)−σ(j)i−j . On constate tout d’abord que

φ(σ) =∏i<j

σ(i)−σ(j)i−j . Donc, le signe de φ(σ) est le même que celui de ε(σ).

Considérons ensuite P = |∏i,j∈P2(n)(σ(i)− σ(j))|. Posons i′, j′ = σ(i, j). Alors,

P = |∏i′,j′∈P2(n)(i

′ − j′)|, d’après le lemme démontré plus haut. Ainsi, |φ(σ)| = 1.Les quantités ε(σ) et φ(σ) ont même signe et même valeur absolue, elles sont donc

égales.

Proposition 21.16 : ε : Sn → −1, 1 est un morphisme de groupes, surjectif dès quen ≥ 2.

Démonstration : Soient σ et τ deux permutations de Sn. On a

ε(στ) =∏

i,j∈P2(n)

στ(i)− στ(j)

i− j=

∏i,j∈P2(n)

σ(τ(i))− σ(τ(j))

τ(i)− τ(j)

∏i,j∈P2(n)

τ(i)− τ(j)

i− j

Le second produit est ε(τ). Quant au premier produit, il suffit de poser i′, j′ =τ(i, j), pour voir qu’il est égal à ε(σ).

Corollaire 21.17 : Pour toute permutation σ, la parité du nombre de transpositionsintervenant dans la décomposition de σ en produit de transpositions est indépendante decette décomposition. De plus, si σ = τ1 . . . τp est une décomposition de σ en produit detranspositions, alors ε(σ) = (−1)p.

Démonstration : Soit σ ∈ Sn. Supposons σ = τ1 . . . τp où les τi sont des transpositions.On a ε(σ) = ε(τ1) . . . ε(τp) = (−1)p.

Exemple : Soit s un p-cycle. Alors, s est le produit de p − 1 transpositions. Doncε(s) = (−1)p−1. Ainsi, la signature d’un cycle de longueur paire est −1, la signature d’uncycle de longueur paire est 1.

Exercice : Déterminer les signatures de tous les éléments de S3, de S4 et de S5.

Remarque 21.3 : Soit σ ∈ Sn. Soit m le nombre d’orbites suivant σ. Alors, ε(σ) =(−1)n−m. En effet, décomposons σ = s1 . . . sp en produits de cycles de supports disjoints.Soit `i la longueur du cycle si. On a ε(σ) = ε(s1) . . . ε(sp) = (−1)`1−1 . . . (−1)`p−1 =(−1)`1+...+`p−p. Par ailleurs, le nombre d’orbites suivant σ est p (le nombre de cycles dela décomposition) auquel il faut ajouter le nombre d’orbites réduites à 1 point : n− (`1 +. . .+ `p). Bref, m = p+ n− (`1 + . . .+ `p). D’où n−m = `1 + . . .+ `p − p.

IV. SIGNATURE 297

IV.3 Groupe alterné

Définition 21.9 : On appelle groupe alterné d’ordre n l’ensemble An = ker ε. Unepermutation est dite paire lorsqu’elle est dans An, impaire sinon.

Exemple : Un p-cycle est pair si et seulement si p est impair.

Proposition 21.18 : L’ensemble An est un sous-groupe de Sn. Pour n ≥ 2, on a

card An =n!

2

Démonstration : An est un sous-groupe de Sn en tant que noyau d’un morphismede groupes. De plus, si n ≥ 2, il existe dans Sn au moins une permutation impaire (unetransposition, par exemple). Notons-la τ . L’application σ 7→ τσ est alors une bijection deAn dans Sn \An : il y a autant de permutations paires que de permutations impaires. D’oùle résultat.

Exercice : Décrire A3, A4 et A5.


V Exercices

1. . Calculer pour les permutations ci-dessous : leur décomposition en produit de cyclesde supports disjoints, une décomposition en produit de transpositions, leur inverse,leur signature.

(a) σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 3 7 6 5 1 10 9 2 8

)(b) σ = (123)(234)(345)(456)

(c) σ = (1234)(2345)(3456)

(d) σ = (12345)(23456)(12345)−1

2. Pour quelles valeurs de n le groupe symétrique Sn est-il abélien ? Même questionpour le groupe alterné An.

3. Montrer que pour n ≥ 3, le groupe alterné An est engendré par les 3-cycles (i.e.toute permutation paire est un produit de 3-cycles).

4. (a) Soit σ ∈ Sn. Montrer que σ commute avec toutes les permutations si et seule-ment si σ commute avec toutes les transpositions.

(b) Trouver le centre de Sn, c’est à dire les permutations qui commutent avec toutesles permutations de Sn.

5. Déterminer de même le centre de An. On fera appel à des 3-cycles.6. Montrer que toute permutation de Sn est un produit de transpositions du type

(i i+ 1), i = 1, . . . , n− 1.7. Montrer que la transposition τ = (12) et le cycle γ = (12 . . . n) engendrent Sn,

c’est à dire que toute permutation de Sn est un produit où n’apparaissent que lespermutations τ , γ et γ−1.

8. Soient G = id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) et H = id, (1234), (13)(24), (1432).(a) Montrer que G et H sont des sous-groupes de S4.(b) Soit f : G→ H un morphisme de groupes. Montrer que ∀σ ∈ G, f(σ)2 = id.(c) En déduire que G et H ne sont pas isomorphes.

9. Soient σ ∈ Sn et γ = (x1 . . . xk) un cycle de longueur k.(a) Montrer que σγσ−1 est un cycle que l’on déterminera.(b) Application : calculer (12345)(23456)(54321).(c) Inversement, soient γ et γ′ deux cycles de même longueur k dans Sn. Existe-t-il

σ ∈ Sn telle que γ′ = σγσ−1 ?10. Soit G un groupe fini de cardinal n dont la loi est notée multiplicativement. Pour

g ∈ G, on note ρg l’application G → G définie par ρg(x) = g.x (remarque : onaurait pu aussi l’appeler πr ou dd, mais c’est moins parlant).

(a) Montrer que pour tout g ∈ G, ρg ∈ S(G).

V. EXERCICES 299

(b) Soit ρ : G → S(G) définie par ρ(g) = ρg. Démontrer que ρ est un morphismeinjectif de groupes.

(c) Démontrer le théorème de Cayley : tout groupe de cardinal n est isomorphe àun sous-groupe de Sn.

11. Montrer que les transpositions (1 i), i = 2, . . . , n engendrent Sn.

12. Soient τ, τ ′ deux transpositions de Sn. Montrer que ττ ′ = id ou (ττ ′)2 = id ou(ττ ′)3 = id.

13. Soit f : Sn → C un morphisme de groupes.

(a) Soit τ une transposition. Que vaut f(τ) ?

(b) Soient τ, τ ′ deux transpositions. Montrer qu’il existe σ ∈ Sn telle que τ ′ =στσ−1.

(c) En déduire que toutes les transpositions ont même image par f .

(d) Déterminer f .

14. Soit n ≥ 5. Soient γ et γ′ deux 3-cycles de An. Montrer qu’il existe σ ∈ An telle queγ′ = σγσ−1.

15. Soit n ≥ 2. Soit γ = (1 2 . . . n − 1 n). Déterminer toutes les permutations σ ∈ Sn

qui commutent avec γ.

16. Soit n ≥ 1. Déterminer les signatures des permutations suivantes :

(a) σ =

(1 2 . . . n− 1 nn n− 1 . . . 2 1

).

(b) σ =

(1 2 3 . . . n n+ 1 n+ 2 . . . 2n− 1 2n1 3 5 . . . 2n− 1 2 4 . . . 2n− 2 2n

).

17. Soit σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 93 7 8 9 4 5 2 1 6

). Calculer σ2013.

18. Soient σ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 104 3 6 2 1 8 5 10 7 9

)et γ =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 3 1 5 7 10 9 8 4 6

).

(a) Calculer les signatures de σ et γ.

(b) Montrer que σγ 6= γσ.

(c) Calculer l’ordre de σ, γ, σγ et γσ.

19. Soient γ et γ′ deux cycles de Sn.

(a) On suppose que γ et γ′ commutent. Montrer que les supports de γ et γ′ sontsoit égaux, soit disjoints.

(b) Étudier la réciproque.

20. Soit f : Sn → Sn un automorphisme de groupe qui transforme toute transpositionen une transposition. Pour i = 2, . . . , n on note ti = (1 i).

(a) Montrer qu’il existe a1, a2, a3 ∈ [1, n] tels que f(t2) = (a1 a2) et f(t3) = (a1 a3).Indication : quel est l’ordre de t2t3 ?


(b) Montrer que pour i = 3, . . . , n il existe ai ∈ [1, n] tel que f(ti) = (a1 ai).

(c) Montrer que la fonction s : i 7→ ai est une bijection.

(d) Prouver que ∀σ ∈ Sn, f(σ) = sσs−1.

(e) Réciproque ?

Chapitre 22Déterminants

301

302 CHAPITRE 22. DÉTERMINANTS

I Applications multilinéaires

I.1 Définitions

Définition 22.1 : Soient E1, . . . , En, F n+ 1 K-espaces vectoriels. Soit f : E1 × . . .×En → F une application. On dit que f est n-linéaire lorsque f est « linéaire en chacune deses variables » : ∀i ∈ [1, n],∀x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn ∈ E1× . . .×Ei−1×Ei+1× . . .×En,l’application fi : Ei → F définie par fi(x) = f(x1, . . . , x, . . . , xn) est linéaire.

Si F = K, on dit que f est une forme n-linéaire.

Exemple :— La multiplication des réels est bilinéaire.— Le produit scalaire sur Rn est une forme bilinéaire.— Le produit vectoriel sur R3 est une application bilinéaire.— Le déterminant sur R2 est une forme bilinéaire (cf chapitre de début d’année).— Le déterminant sur R3 est une forme trilinéaire.

Notation : On note L(E1, . . . , En;F ) l’ensemble des applications n-linéaires de E1 ×. . .× En vers F . Lorsque E1 = . . . = En, on note plus simplement Ln(E,F ).

Exemple : Déterminons toutes les formes bilinéaires R2×R2 → R2. Soit (e1, e2) une basedu plan. Soit f une forme bilinéaire sur R2. Soient u = xe1 + ye2 et v = x′e1 + y′e2. On af(u, v) = a11xx

′+a12xy′+a21x

′y+a22yy′ où aij = f(ei, ej). Inversement, toute application

de cette forme est clairement bilinéaire. Creusons un peu. Pour i, j ∈ [1, 2], soit fij définiepar fij(x1e1 + x2e2, x

′1e1 + x′2e2) = x′ix

′j . Toute forme bilinéaire sur R2 s’écrit de façon

unique f =∑

i,j aijfij où les aij ∈ R. En résumé, L2(R2,R) =< fij , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2 >est un R-espace vectoriel de dimension 4.

I.2 Structure des ensembles d’applications n-linéaires

Proposition 22.1 : L(E1, . . . , En;F ) est un K-espace vectoriel de dimension∏nk=1 dimEk×

dimF lorsque tous les espaces mis en jeu sont de dimension finie.

Démonstration : Nous avons vu un cas particulier de ce théorème dans l’exemple ci-dessus. Le cas général se démontre de la même façon, avec beaucoup de bases et beaucoupde sommes partout.

I.3 Formes n-linéaires alternées

Définition 22.2 : Soit f ∈ Ln(E,F ). On dit que f est— symétrique lorsque

∀x1, . . . , xn ∈ E, f(x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xn) = f(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xn)

II. DÉTERMINANT D’UNE FAMILLE DE VECTEURS 303

— antisymétrique lorsque

∀x1, . . . , xn ∈ E, f(x1, . . . , xj , . . . , xi, . . . , xn) = −f(x1, . . . , xi, . . . , xj , . . . , xn)

— alternée lorsque∃i 6= j, xi = xj ⇒ f(x1, . . . , xn) = 0

Exemple : Recherchons toutes les formes antisymétriques sur R2. Nous avons déjà laforme générale d’une forme bilinéaire. En reprenant les notations ci-dessus, supposons fest antisymétrique. Alors, a11 = f(e1, e1) = −f(e1, e1) = −a1,1, donc a11 = 0. De même,a2 = 0. Et a12 = f(e1, e2) = −f(e2, e1) = −a21. Finalement, f(u, v) = k(xy′ − x′y) oùk ∈ R. Inversement, une telle application est bien antisymétrique.

Exercice : Déterminer toutes les formes bilinéaires alternées sur R2.

Proposition 22.2 : Soit K un corps dans lequel 2 6= 0. Soit E un K-espace vectoriel.Soit f ∈ Ln(E,K). Alors, f est antisymétrique si et seulement si f est alternée.

Démonstration : On le fait pour n = 2, histoire de simplifier. Soient x, y ∈ E.Si f est antisymétrique, alors f(x, x) = −f(x, x), d’où 2f(x, x) = 0. Comme 2 est non

nul, f est donc alternée. Si f est alternée, alors 0 = f(x+y, x+y) = f(x, y)+f(y, x) doncf est antisymétrique.

Notation : On note Λn(E) l’ensemble des formes n-linéaires alternées sur E.

Remarque 22.1 : Dans tout ce qui suit, on se place dans un corps tel que R ou C,pour lequel on a évidemment 2 6= 0. On utilise donc indifféremment l’antisymétrie oul’alternance, selon les besoins.

Proposition 22.3 : Soit f ∈ Λn(E). Soit σ ∈ Sn. On a :

∀x1, . . . , xn ∈ E, f(xσ(1), . . . , xσ(n)) = ε(σ)f(x1, . . . , xn)

Démonstration : Toute permutation est un produit de transpositions. La propriétééquivaut à la définition de l’antisymétrie lorsque σ est une transposition. Dans le casgénéral, on raisonne par récurrence sur le nombre de transpositions du produit.

II Déterminant d’une famille de vecteurs

II.1 Notations

Dans ce qui va suivre :— E est un K-espace vectoriel de dimension n ≥ 1.— B = (e1, . . . , en) est une base de E.— x1, . . . , xn sont n vecteurs de E.— xj =

∑ni=1 xijei est l’écriture de xj dans la base B.

— f est une forme n-linéaire alternée sur E.On cherche à exprimer f(x1, . . . , xn) à l’aide des coordonnées des xi.


II.2 Calculs

f (x1, . . . , xn) = f

(n∑

i1=1

xi11ei1 , . . . ,

n∑in=1

xinnein

)

=

n∑i1=1

. . .

n∑in=1

xi11 . . . xinnf (ei1 , . . . , ein)

=∑

(i1,...,in)∈A

xi11 . . . xinnf (ei1 , . . . , ein)

où A = (i1, . . . , in) ∈ [1, n]n,∀j 6= k, ij 6= ik, puisque f (ei1 , . . . , ein) = 0 dès que deuxdes eij sont égaux (alternance de f).

Soit φ : Sn → A définie par φ(σ) = (σ(1), . . . , σ(n)). L’application Φ est une bijection.On peut grâce à elle effectuer un changement d’indice dans la somme qui nous (pré)occupe,et écrire :

f (x1, . . . , xn) =∑σ∈Sn

xσ(1)1 . . . xσ(n)nf(eσ(1)1, . . . , eσ(n)n

)= f(e1, . . . , en)×

∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)1 . . . xσ(n)n

On a donc f(x1, . . . , xn) = Cϕ(x1, . . . , xn) où ϕ : En → K est définie par

ϕ(x1, . . . , xn) =∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)1 . . . xσ(n)n

et C = f(e1, . . . , en) ne dépend pas des vecteurs xj .Conclusion : toute forme n-linéaire alternée sur E est un multiple de ϕ.Il reste à prouver deux choses :— ϕ n’est pas la fonction nulle.— ϕ est n-linéaire alternée.• Les composantes du vecteur ej dans la base B sont les δij , 1 ≤ i ≤ n : ej =∑nij=1 δijjei. Donc,

ϕ(e1, . . . , en) =∑σ∈Sn

ε(σ)δσ(1)1 . . . δσ(n)n

Or, tous les produits dans la somme ci-dessus sont nuls, sauf lorsque σ = id. Donc,ϕ(e1, . . . , en) = 1.• Soit τ une transposition de [1, n]. Posons yj = xτ(j). On a

ϕ(xτ(1), . . . , xτ(n)) =∑σ∈Sn

ε(σ)yσ(1)1 . . . yσ(n)n

=∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)τ(1) . . . xσ(n)τ(n)

=∑σ∈Sn

ε(σ)n∏k=1

xσ(k)τ(k)

II. DÉTERMINANT D’UNE FAMILLE DE VECTEURS 305

On pose dans le produit k = τ(k′) (τ est une bijection). Il vient

ϕ(xτ(1), . . . , xτ(n)) =∑σ∈Sn

ε(σ)

n∏k=1

xστ(k)k

Maintenant, on pose dans la somme σ = σ′τ , et on obtient

ϕ(xτ(1), . . . , xτ(n)) =∑σ∈Sn

ε(στ)n∏k=1

xσ(k)k = −ϕ(x1, . . . , xn)

puisque ε(στ) = −ε(σ).

II.3 Bilan

Proposition 22.4 : Les formes n-linéaires alternées sur E sont les multiples de l’ap-plication ϕ : En → K définie par

ϕ(x1, . . . , xn) =∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)1 . . . xσ(n)n

De plus, ϕ est l’unique application n-linéaire alternée sur E qui prend la valeur 1 en(e1, . . . , en).

Corollaire 22.5 : Λn(E) est un K-espace vectoriel de dimension 1.

II.4 Déterminant d’une famille de vecteurs

Définition 22.3 : Avec les notations qui précèdent, l’application ϕ est appelée « déter-minant dans la base B », et est notée detB :

detB

(x1, . . . , xn) =∑σ∈Sn

ε(σ)xσ(1)1 . . . xσ(n)n

Remarque 22.2 : L’application « déterminant dans la base B » est donc l’uniqueapplication n-linéaire alternée sur E, f , telle que f(B) = 1.

Remarque 22.3 : Lorsque σ décrit Sn, σ−1 aussi. Le changement d’indice σ = σ′−1

dans l’expression de ϕ montre (calcul omis) que l’on a également :

detB

(x1, . . . , xn) =∑σ∈Sn

ε(σ)x1σ(1) . . . xnσ(n)


II.5 Déterminant d’une matrice carrée

Définition 22.4 : Soit A ∈Mn(K). On appelle déterminant de A le déterminant de lafamille des colonnes de A, identifiées à des vecteurs de Kn, dans la base canonique de Kn.

Notation : Si A = (aij), on notera le déterminant de A :

detA =

∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣Proposition 22.6 : Soit A ∈Mn(K). On a dettA = detA.

Démonstration : C’est une conséquence directe de « l’autre » écriture de ϕ dans leparagraphe précédent.

II.6 exemples

Pour n = 2, on a∣∣∣∣ a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21. Pour n = 3, on a

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ =

a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 − a21a12a33 − a11a32a23 − a31a22a13. De façon générale,pour n quelconque, un déterminant est une expression possédant n! termes. La moitié deces termes est affectée d’un signe plus (permutations paires), l’autre moitié d’un signemoins (permutations impaires).

II.7 Déterminants, bases, matrices inversibles

Proposition 22.7 : Soient E un K-espace vectoriel de dimension n, B une base deE, et F une famille de n vecteurs de E. Alors F est une base de E si et seulement sidetB F 6= 0.

Proposition 22.8 : Soit A ∈Mn(K). Alors, A est inversible si et seulement si detA 6=0.

Démonstration : Ces deux propositions sont évidemment deux points de vues d’unmême théorème. (⇒) Supposons que F est une base de E. On dispose alors des DEUXapplications n-linéaires alternées detB, mais aussi detF . Ces deux applications sont pro-portionnelles : il existe donc un réel λ (non nul) tel que detB = λ detF . En particulierdetB(F) = λ detF (F) = λ 6= 0.

(⇐) Supposon que F = (x1, . . . , xn est liée. Alors, l’un des vecteurs est combinaisonlinéaire des autres : ∃i, xi =

∑j 6=i λjxj . Mais alors,

detB

(F) = detB

(x1, . . . ,∑j 6=i

λjxj , . . . , xn)

=∑j 6=i

detB

(x1, . . . , λjxj , . . . , xn)

III. CALCUL DES DÉTERMINANTS 307

où xj se trouve à la position i. Cette quantité est nulle par la propriété d’alternance : xjse trouve à deux positions à la fois.

III Calcul des déterminants

III.1 Déterminant d’une matrice triangulaire

Proposition 22.9 : Soit M = (aij)1≤i,j≤n une matrice triangulaire supérieure : aij = 0si i > j. Alors detM =

∏nk=1 akk.

Démonstration : On a detM =∑

σ∈Sn Tσ où Tσ = aσ(1)1 . . . aσ(n)n. Mais si Tσ 6= 0alors, par la triangularité de M , σ(1) ≤ 1, . . . , σ(n) ≤ n. D’où σ = id par une petiterécurrence. Il n’y a donc au plus qu’un terme non nul dans la somme.

III.2 Déterminant d’une matrice triangulaire par blocs

Proposition 22.10 : Soit A ∈Mn(K). Supposons la matrice M triangulaire par blocs,

c’est à dire qu’il existe un découpage de M de la forme M =

(A C0 D

)où A et D sont des

matrices carrées. Alors, detM = detA× detD.

Démonstration : Nous admettons ce résultat, qui s’étend d’ailleurs à des matricescomportant un plus grand nombre de blocs.

Exemple : Soit M =

1 2 3 42 1 6 50 0 4 30 0 1 1

. On a detM = (1× 1− 2× 2)(4× 1− 3× 1) = −3.

III.3 Opérations sur les lignes et les colonnes

Proposition 22.11 :— Échanger deux colonnes d’un déterminant change le signe de celui-ci.— Multiplier une colonne d’un déterminant par un scalaire λ revient à multiplier ce

déterminant par λ.— Ajouter à une colonne d’un déterminant une combinaison linéaire des autres co-

lonnes ne change pas la valeur du déterminant.

Démonstration : Ce sont des conséquences directes de l’antisymétrie, de la multili-néarité, et de l’alternance.

Remarque 22.4 : Bien entendu, ces résultats sont également valables pour les opérationssur les lignes.


Exemple : Calculons

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 · · · 1

1 x. . . 1

.... . . . . . 1

1 · · · 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣On effectue d’abord C1 ← C1 + C2 + . . .+ Cn. Il vient

Dn = (x+ n− 1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 · · · 1

1 x. . . 1

.... . . . . . 1

1 · · · 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣On effectue ensuite Li ← Li − L1, pour i = 2, 3, . . . , n. Il vient

Dn = (x+ n− 1)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 · · · · · · 1

0 x− 1. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 x− 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x+ n− 1)(x− 1)n−1

III.4 Développement suivant une ligne ou une colonne

Définition 22.5 : Soit A = (aij) ∈Mn(K). On appelle :— Mineur de A d’indices i, j le déterminant de la matrice obtenue en rayant la ligne

i et la colonne j de A.— Cofacteur de A d’indices i, j le mineur de A d’indices i, j multiplié par (−1)i+j.

Exercice : Calculer les mineurs et cofacteurs des matrices(a cb d

)et

1 4 72 5 83 6 9

.

On va maintenant établir une formule permettant de calculer le déterminant d’unematrice en fonction de certains de ses cofacteurs.

Soit A ∈Mn(K). Appelons A1, . . . , An les colonnes de A, identifiées à des vecteurs deKn, et soit B = (e1, . . . , en) la base canonique de Kn. Soit j un entier fixé entre 1 et n. Ona

detA = detB

(A1, . . . , An)

= detB

(A1, . . . ,n∑i=1

aijei, . . . , An)

=n∑i=1

aij detB

(A1, . . . , ei, . . . , An)

III. CALCUL DES DÉTERMINANTS 309

où ei est en jème position.Posons Dij = detB(A1, . . . , ei, . . . , An) :

Dij =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 · · · 0 · · · a1n...

......

... 0...

... 1...

... 0...

......

...an1 · · · 0 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣le 1 étant à la ligne i, colonne j. On effectue les opérations Li ↔ Li+1, Li+1 ↔ Li+2,. . . ,Ln−1 ↔Ln, puis Cj ↔ Cj+1, Cj+1 ↔ Cj+2,. . . ,Cn−1 ↔ Cn, ce qui donne

Dij = (−1)i+j

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n 0...

......

an1 · · · ann 0· · · · · · · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Attention, il n’y a « plus » de ligne i et de colonne j dans le déterminant ci-dessus. Le calculde ce déterminant par la formule de la définition fait apparaître une somme sur les σ ∈ Sn

tels que σ(n) = n. On change d’indice en remarquant que l’ensemble de ces permutationsest en bijection avec Sn−1. On trouve alors que Dij = cof(A, i, j).

Proposition 22.12 : Soit A = (aij) ∈Mn(K). Soit j ∈ [1, n]. On a

detA =

n∑i=1

aij cof (A, i, j)

Définition 22.6 : La formule précédente est appelée développement de detA par rapportà la colonne j.

Tout ce qui vient d’être vu peut être bien sûr transposé :

Proposition 22.13 : Soit A = (aij) ∈Mn(K). Soit i ∈ [1, n]. On a

detA =n∑j=1

aij cof (A, i, j)

Définition 22.7 : La formule précédente est appelée développement de detA par rapportà la ligne i.

Exemple : En développant le déterminant d’une matrice 2× 2, d’une matrice 3× 3, onretrouve les formules déjà vues précédemment.


Exemple : Calcul de

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 + x2 x 0 · · · · · · 0

x 1 + x2 x. . .

...

0. . . . . . . . . . . .

......

. . .

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣On développe par rapport à la première colonne :

Dn = (1 + x2)Dn−1 − x∆n−1

En développant ∆n−1 par rapport à la première colonne, on voit que ∆n−1 = xDn−2. D’où

Dn = (1 + x2)Dn−1 − x2Dn−2

Il ne reste qu’à résoudre cette récurrence, la méthode la plus rapide étant sans doute deconsidérer Dn −Dn−1, qui est le terme général d’une suite géométrique.

III.5 Un exemple plus compliqué

Soit n ∈ N∗. Soient a0, . . . , an−1 n réels ou complexes. Soit Vn(a0, . . . , an−1) le déter-minant n × n dans lequel le coefficient lige i, colonne j est aji . Attention, une fois n’estpas coutume, on numérote les lignes et les colonnes à partir de 0 et pas de 1. Ce déter-minant s’appelle le déterminant de Vandermonde et on se propose de le calculer. Plusexplicitement, on a

Vn =

∣∣∣∣∣∣∣∣x0

0 x10 . . . xn−1

0

x01 x1

1 . . . xn−11

. . .

x0n−1 x1

n−1 . . . xn−1n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣On effectue les opérations suivantes : Cn ← Ck − xn−1Ck−1 pour k = n, n − 1, . . . , 2. Onen déduit

Vn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 x0 − xn−1 x0(x0 − xn−1) . . . xn−2

0 (x0 − xn−1)

1 x1 − xn−1 x1(x1 − xn−1) . . . xn−21 (x1 − xn−1)

. . .

1 xn−2 − xn−1 xn−2(xn−2 − xn−1) . . . xn−2n−2(xn−2 − xn−1)

1 0 0 . . . 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Développons par rapport à la dernière ligne. Nous obtenons

Vn = (−1)n+1

∣∣∣∣∣∣∣∣x0 − xn−1 x0(x0 − xn−1) . . . xn−2

0 (x0 − xn−1)

x1 − xn−1 x1(x1 − xn−1) . . . xn−21 (x1 − xn−1)

. . .

xn−2 − xn−1 xn−2(xn−2 − xn−1) . . . xn−2n−2(xn−2 − xn−1)

∣∣∣∣∣∣∣∣

IV. DÉTERMINANT D’UN ENDOMORPHISME 311

Beaucoup de factorisations sur les lignes ! Pour obtenir finalement

Vn(x0, . . . , xn−1) = Vn−1(x0, . . . , xn−2)n−2∏k=0

(xn−1 − xk)

Par une récurrence simple, on en tire

Vn(x0, . . . , xn−1) =∏k≤j

(xj − xk)

On a donc obtenu une factorisation complète du déterminant de Vandermonde, avec enprime une condition nécessaire et suffisante de nullité :

Proposition 22.14 : Vn = 0 si et seulement si deux des xk sont égaux.

Remarque 22.5 : Dans un sens, c’était évident, puisque si deux des xk sont égaux ona deux lignes égales dans le déterminant. L’autre implication n’était pas triviale.

Remarque 22.6 : On rencontre des déterminants de Vandermonde dans un grandnombre de situations. Prenons juste l’exemple de l’interpolation de Lagrange. Soient x0, . . . , xn−1 ∈C distincts deux à deux, soient y0, . . . , yn−1 ∈ C. Soit P =

∑n−1k=0 akx

k un polynôme deC[X] de degré inférieur ou égal à n−1. On a pour tout j entre 0 et n−1 l’égalité P (xj) = yjsi et seuelement si ∀j ∈ 0, . . . , n − 1,

∑n−1k=0 akx

kj = yj . Interprétons matriciellement ce

système dont les inconnues sont les ak. On peut encore l’écrire AX = Y où X =

a0

a1...

an−1

,

Y =

y0

y1...

yn−1

, et A = (xkj )0≤j,k≤n−1. Le déterminant de A n’est autre qu’un détermi-

nant de Vandermonde (transposé), DONC A est inversible et AX = Y si et seulement siX = A−1Y . Le système a une unique solution, il existe un unique polynôme répondant àla question. Évidemment, cette méthode ne donne pas le polynôme, en tout cas pas sansrésoudre le système, ce que nous ne ferons pas.

IV Déterminant d’un endomorphisme

IV.1 Construction

Proposition 22.15 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soit f ∈ L(E). Ilexiste un unique λ ∈ K tel que

∀φ ∈ Λn(E),∀x1, . . . , xn ∈ E, φ(f(x1), . . . , f(xn)) = λφ(x1, . . . , xn)


Définition 22.8 : Ce scalaire λ est appelé le déterminant de f . Il est noté det f .

Démonstration : Soit φ ∈ Λn(E) \ 0. L’application φ définie par φ(x1, . . . , xn) estencore une forme n-linéaire alternée sur E. Donc, il existe un scalaire α tel que φ = αφ.

Il s’agit maintenant de prouver que α ne dépend pas de φ. Pour cela, soit ψ une autreforme n-linéaire alternée, toujours non nulle. Il existe β tel que ψ = βψ. Mais il existe aussiun scalaire γ, non nul, tel que ψ = γφ, d’où, facilement, ψ = γφ. De là, βψ = βγφ = γαφ.Comme γ et φ sont non nuls, il vient α = β.

Exercice : Pourquoi ce scalaire λ est-il unique ?

IV.2 Calcul pratique

Soit f un endomorphisme de E. Soit B une base de E. Alors, φ = detB est une formen-linéaire alternée. On en déduit φ = (det f)φ. On applique aux vecteurs de la base :φ(B) = (det f)φ(B), ou encore φ(f(B)) = det f , puisque φ(B) = 1. Finalement :

det f = detB

(f(B))

ou encore :det f = det(matB(f))

Exemple : Calcul du déterminant d’une symétrie : si f est une symétrie de E, alorsdet f = (−1)dimG où G est l’ensemble des vecteurs changés en leur opposé par f . Il suffitpour cela d’écrire la matrice de f dans une base judicieuse (laquelle ?).

IV.3 Interprétation

Soient u1, . . . , un n vecteurs indépendants de Kn. Soit B la base canonique de Kn. Dansles cas n = 2 et n = 3, detB(u1, . . . , un) est l’aire (ou le volume) du parallélogramme oudu parallélépipède défini par ces vecteurs. Nous admettrons que ce résultat se généraliseà une dimension quelconque. Soit alors f ∈ L(Kn). Les calculs du paragraphe précédentmontrent que :

det f =detB(f(u1), . . . , f(un))

detB(u1, . . . , un)

En d’autres termes, f transforme les volumes dans un rapport constant, et le coefficientde proportionnalité est précisément le déterminant de f .

IV.4 Propriétés de morphisme du déterminant

Proposition 22.16 : Soient f et g deux endomorphismes d’un K-espace vectoriel dedimension finie E. On a

det(g f) = det g × det f

IV. DÉTERMINANT D’UN ENDOMORPHISME 313

Proposition 22.17 : Soient A,B ∈Mn(K). On a

det(AB) = detA× detB

Démonstration : Ces deux théorèmes sont évidemment deux interprétations d’unemême chose. Soit B une base de E. Soit φ l’application detB. On a φ(g f(B)) = det(g f)φ(B) = det(g f). Mais φ(g f(B)) = φ(g(f(B))) = det gφ(f(B)) = det g det fφ(B) =det g det f doù le résultat.

Proposition 22.18 : L’application det est un morphisme surjectif du groupe (GL(E), )sur le groupe (K∗,×).

Proposition 22.19 : L’application det est un morphisme surjectif du groupe (GLn(K),×)sur le groupe (K∗,×).

Démonstration : Soit f ∈ GL(E). On a f f−1 = id, d’où (det f)(det f−1) = det id =1. On en déduit que det f 6= 0, et de plus, que det(f−1) = 1

det f . Donc, det a bien pourensemble d’arrivée K∗. La propriété de morphisme est déjà connue. La surjectivité estlaissée en exercice.

Remarque 22.7 : On a plus précisément que f est bijective si et seulement si det f 6= 0.En effet, si det f 6= 0, alors detB(f(B)) 6= 0. La famille f(B) est donc une base de E et fest bien bijective. De même, si A ∈Mn(K), on a A inversible si et seulement si detA 6= 0.

Exercice : Deux matrices semblables ont le même déterminant.

IV.5 Orientation d’un espace vectoriel réel

Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie. Notons E l’ensemble des bases de E.On définit une relation binaire ∼ sur E comme suit :

Définition 22.9 : Étant données deux bases B et B′ de E, on a B ∼ B′ si et seulementsi det f > 0, où f est l’unique automorphisme de E qui envoie B sur B′.

Proposition 22.20 : La relation ∼ est une relation d’équivalence sur E.

Démonstration : L’identité envoie toute base B sur elle-même, et det id = 1 > 0.Donc, B ∼ B. Si f ∈ GL(E) en voie B sur B′, et det f > 0, alors f−1 envoie B′ sur Bet det(f−1) = 1

det f > 0. Donc, ∼ est symétrique. La transitivité est laissée en exercice, ilsuffit de constater que la composée de deux automorphismes de déterminant strictementpositif en est encore un.

Proposition 22.21 : Lorsque dimE > 0, la relation ∼ possède exactement deux classesd’équivalence.

Démonstration : Remarquons d’adord qu’il existe f0 ∈ GL(E) telle que det f0 < 0.Pour cela, prendre par exemple une symétrie par rapport à un hyperplan. Soit maintenantB1 une base de E, et C1 la classe de B1 modulo ∼. Soit B2 = f0(B1), soit C2 la classe


de B2. Comme det f0 < 0, on a B1 6∼ B2, donc C1 6= C2. On a au moins deux classesd’équivalence. Soit maintenant B une base quelconque de E. Supposons que B 6∈ C1. Soitf l’unique automorphisme de E qui envoie B sur B1. On a donc det f < 0. Mais f f−1

0

envoie B′′ sur B et det(f f−10 ) > 0 en tant que produit de deux nombres négatifs. Donc

B ∈ C2, on a au plus deux classes.

Définition 22.10 : Orienter E, c’est• Choisir arbitrairement l’une des deux classes.• Décréter directes les bases de la classe choisie.• Décréter indirectes les bases de l’autre classe.

Remarque 22.8 : Une fois l’espace orienté, on passe d’une base directe à une basedirecte par un automorphisme de déterminant >0, d’une base directe à une base indirectepar un automorphisme de déterminant < 0, et d’une base indirecte à une base indirectepar un automorphisme de déterminant >0.

Remarque 22.9 : En dimensions 2 et 3 il y a des conventions pour le choix de l’orien-tation : sens trigonométrique dans le plan, règle des trois doigts dans l’espace.

V Inversion des matrices

V.1 Définitions, Notations

Définition 22.11 : Soit A une matrice carrée. On appelle comatrice de A la matricedont les coefficients sont les cofacteurs de A.

Notation : On note Com A la comatrice de A et A la transposée de la comatrice de A.

Exercice : Calcul de la comatrice et de sa transposée, de

1 4 72 5 83 6 9

.

V.2 Produit d’une matrice et de sa transcomatrice

Proposition 22.22 : Soit A ∈Mn(K). On a :

AA = AA = (detA)In

Démonstration : On calcule AA :

V. INVERSION DES MATRICES 315

— Soit i ∈ [1, n] : on a

(AA)ii =n∑k=1

Aik(A)ki

=

n∑k=1

AikCof(A, i, k)

= detA

— Soient i, j ∈ [1, n], i 6= j :

(AA)ij =n∑k=1

AikCof(A, j, k)

Soit B la matrice fabriquée à partir de A comme suit : les lignes de B sont identiquesaux lignes de A, sauf la ligne j de B que l’on prend égale à la ligne i de A. Ba donc deux lignes identiques, d’où detB = 0. De plus, Aik = Bik = Bjk, etCof(A, j, k) = Cof(B, j, k), car la ligne j de B, la seule qui diffère des lignes de A,n’intervient pas dans ce calcul de cofacteur. Donc,

(AA)ij =n∑k=1

BjkCof(B, j, k) = detB = 0

V.3 Application au calcul de l’inverse

Proposition 22.23 : Soit A ∈Mn(K), detA 6= 0. Alors :

A−1 =1

detAA

Exemple : Soit A =

(a cb d

)une matrice 2× 2. On a A−1 = 1

detA

(d −c−b a

).

Exercice : Soit A =

1 2 34 5 67 8 8

. Calculer l’inverse de A.


VI Exercices

1. Calculer les déterminants ci-dessous (sous forme factorisée, évidemment)

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a b ca 0 c bb c 0 ac b a 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a+ b b · · · b

a. . . . . .

......

. . . . . . ba · · · a a+ b

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x 1 0 · · · 0

1. . . . . . . . .

...

0. . . . . . . . . 0

.... . . . . . . . . 1

0 · · · 0 1 x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a1 − b1 a1 − b2 · · · a1 − bna2 − b1 a2 − b2 · · · a2 − bn

......

......

an − b1 an − b2 · · · an − bn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ D =

∣∣∣∣∣∣α− β − γ 2α 2α

2β β − γ − α 2β2γ 2γ γ − α− β

∣∣∣∣∣∣

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 · · · 1

−1 0. . .

......

. . . . . . 1−1 · · · −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣D′n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 · · · 1

−1 0. . .

......

. . . . . . 1−1 · · · −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣n · · · · · · n... n− 1 · · · n− 1...

.... . .

...n n− 1 · · · 1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣2. S’inspirer des calculs effectués en cours pour le déterminant de Vandermonde pour

factoriser le déterminant de Cauchy

Cn(a1, · · · , an, b1, · · · , bn) = det

((1

ai + bj

)1≤i,j≤n

)

où les ai et les bj sont tels que les sommes ai + bj soient toutes non nulles.

3. Soit A ∈Mn(−1, 1). Montrer que detA est divisible par 2n−1.

4. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soit f ∈ L(E). Pour λ ∈ K, on posePf (λ) = det(f − λidE).

(a) Montrer que Pf est une fonction polynôme de degré n. Quel est son coefficientdominant ? Son coefficient constant ? Son coefficient de degré n− 1 ?

VI. EXERCICES 317

(b) Montrer qu’un scalaire λ est valeur propre de f si et seulement si Pf (λ) = 0.Combien f possède-t-il au plus de valeurs propres ?

(c) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l’endomorphisme f deR3 dont la matrice dans la base canonique a pour coefficients aij = i+ 3(j − 1).

5. On considère la matrice A =

(0 11 1

). On se donne également la suite (Fn)n≥0

définie par F0 = 0, F1 = 1, et pour tout entier naturel n, Fn+2 = Fn+1 + Fn.

(a) Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, on a An =

(Fn−1 FnFn Fn+1

).

(b) En déduire la valeur de F 2n − Fn−1Fn+1.

(c) On note φ et φ les racines du polynôme X2−X−1. Montrer l’existence de deuxmatrices colonnes E1 et E2 deM2,1(R), non colinéaires, tels que AE1 = φE1 etAE2 = φE2.

(d) Déduire de la question précédente l’existence d’une matrice P ∈ GL2(R) (que

l’on calculera ainsi que son inverse) telle que A = P

(φ 0

0 φ

)P−1.

(e) En déduire la valeur de An, puis une expression de Fn en fonction de n.

6. (a) Soient n, p ≥ 1. Soit A ∈Mn(K). Montrer que Ap = In ⇒ (Com A)p = In.

(b) Soit n ≥ 1. Soit A ∈ GLn(K). Montrer que Com A ∈ GLn(K) et (Com A)−1 =Com (A−1).

7. Soit A = (aij) ∈Mn(C). Montrer que | detA| ≤∏nj=1

∑ni=1 |aij |.

8. (a) Soient A,B ∈ GLn(R) telles que AB +BA = 0. Montrer que n est pair.

(b) Donner un exemple de deux telles matrices lorsque n = 2.

9. Soit n ≥ 2. Trouver les matrices A ∈Mn(C) telles que

∀M ∈Mn(C), det(A+M) = detA+ detM

10. Soit n ≥ 1. Soient A,B ∈Mn(R) telles que AB −BA = B.

(a) Montrer que ∀k ∈ N, ABk = Bk(A+ kI).

(b) En déduire que detB = 0.

11. Calculer Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣12 22 32 . . . n2

22 32 42 . . . (n+ 1)2

......

n2 (n+ 1)2 (n+ 2)2 . . . (2n− 1)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

12. Calculer Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣S1 S1 . . . S1

S1 S2 . . . S2...

.... . .

...S1 S2 . . . Sn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ où Sk =∑k

i=1 i.


13. Calculer Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(00

) (11

). . .

(nn

)(10

) (21

). . .

(n+1n

)...

......(

n0

) (n+1

1

). . .

(2nn

)∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (déterminant de taille n+ 1).

14. Calculer Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a b 0 . . . 0

c a. . . . . .

...

0. . . . . . . . . 0

.... . . . . . a b

0 . . . 0 c a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣15. Soit n ≥ 1. Soient A ∈ GLn(R), B ∈Mn(R). Montrer qu’il existe un réel ε > 0 tel

que∀x ∈ R, |x| ≤ ε⇒ A+ xB ∈ GLn(R)

Chapitre 23Systèmes linéaires

319

320 CHAPITRE 23. SYSTÈMES LINÉAIRES

I Sous-espaces affines d’un espace vectoriel

I.1 Espaces affines - Points et vecteurs

Nous ne décrirons pas ici la structure d’espace affine. Un espace affine est un ensembledont les éléments sont appelés des points. À tout espace affine sont associés un espacevectoriel, sa direction, et une opération de translation qui, à un point et un vecteur, associeun nouveau point. Nous nous contenterons dans ce qui suit de travailler dans un espacevectoriel E muni de sa structure canonique : les éléments de E sont vus selons les circons-tances comme des points ou des vecteurs. Le translaté d’un point a par le vecteur u estle point a + u. Le vecteur dont l’origine est le point a et l’extrémité est le point b est levecteur

−→ab = b− a. Concrètement, dans le cas qui nous préoccupe, on a simplement un jeu

de notations : b = a+ u⇔−→ab = u⇔ b− a = u.

I.2 Translations - sous-espaces affines

Définition 23.1 : Soit E un K-espace vectoriel. Soit u un vecteur de E. On appelletranslation de vecteur u l’application τu : E → E définie par τu(x) = x+ u.

Proposition 23.1 : L’ensemble T (E) des translations de E, muni de la compositiondes applications, est un groupe isomorphe au groupe additif de E.

Démonstration : Pour tous vecteurs u, v de E, pour tout x ∈ E, on a τu+v(x) =x + (u + v) = (x + v) + u = (τu τv)(x). On vérifie alors sans peine que l’applicationτ : E → T (E) définie par u 7→ τu est un isomorphisme de groupes.

Définition 23.2 : Soit F une partie de E. On dit que F est un sous-espace affine deE lorsqu’il existe un point a ∈ E et un sous-espace vectoriel F de E tels que F = a+ F .

Proposition 23.2 : Avec les notations ci-dessus, le sous-espace vectoriel F est carac-térisé de façon unique. Quant à a, on peut prendre n’importe quel point de F .

Démonstration : Supposons F = a + F = b + G où a, b ∈ E et F,G sont des sev deE. En remarquant que 0 ∈ F , on obtient que a ∈ F (et de même évidemment pour b).Toujours avec 0 ∈ F , on voit que a ∈ b + G, donc que

−→ba ∈ G (et aussi

−→ab = −

−→ba, et

de même pour F ). Soit x ∈ F . On a a + x ∈ b + G, c’est à dire il existe y ∈ G tela quea+ x = b+ y. D’où x = (b− a) + y ∈ G. Donc, F ⊂ G. L’inclusion réciproque se montrede la même façon, donc F = G.

Définition 23.3 : On dit que F = a + F est le sous-espace affine de E passant par aet dirigé par F .

Remarque 23.1 : La dimension d’un sous-espace affine est par définition celle de sadirection. On parle ainsi de droite affine, de plan affine, etc.

I. SOUS-ESPACES AFFINES D’UN ESPACE VECTORIEL 321

I.3 Parallélisme

Définition 23.4 : Soient F et G deux sous-espaces affines de E de directions respectivesF et G. On dit que F est parallèle à G lorsque F ⊂ G.

I.4 Intersection de sous-espaces affines

Proposition 23.3 : Soit (Fi)i∈I une famille de sous-espaces affines de E. Alors, sil’intersection F = ∩i∈IFi est non vide, c’est un sous-espace affine de E.

Démonstration : Soit a ∈ F . Soit F = ∩i∈IFi. Alors, on montre facilement queF = a+ F .

I.5 Barycentres-Parties convexes

Proposition 23.4 : Soient a1, . . . , an n points de l’espace vectoriel E. Soient λ1, . . . , λn ∈K tels que

∑nk=1 λk 6= 0. Il existe un unique point ω ∈ E tel que

∑nk=1 λk

−−→ωak = 0.

Définition 23.5 : Le point ω est appelé le barycentre des ak affectés des coefficientsλk.

Démonstration : Soit ω ∈ E. On a∑n

k=1 λk−−→ωak =

∑nk=1 λk(

−−→Oak −

−→Oω) où O est

un point quelconque de E. Notons S =∑n

k=1 λk. Le point ω convient si et seulement siS−→Oω =

∑nk=1 λk

−−→Oak d’où l’existence et l’unicité de ω (S est non nul).

Proposition 23.5 : Soit F une partie non vide du K-espace vectoriel E. Alors F estun sous-espace affine de E si et seulement si tout barycentre d’éléments de F est encoreun élément de F .

Démonstration : Supposons que F = a+F est un sous-espace affine de E, passant para, dirigé par F . Soit n ≥ 1. Soient ai = a+xi, 1 ≤ i ≤ n n points de F . Soient λ1, . . . , λn nscalaires dont la somme S est non nulle. Soit ω le barycentre des ai affectés des coefficientsλi. On a ω = 1

S (∑

i λi(a + xi)) = 1S (Sa +

∑i λixi) = a + z où z = 1

S

∑i λixi ∈ F .

Donc, ω ∈ F . Supposons inversement que F est stable par barycentres. Soit a ∈ F . SoitF = p− a, p ∈ F. On a donc F = a+ F , et il s’agit de prouver que F est un sev de E.Tout d’abord, a− a = 0 ∈ F , donc F est non vide. Soient x = p− a, y = q − a ∈ F . Soitz = x+ y. On a donc z = (p+ q− a)− a. Mais p+ q− a est le barycentre de p, q, a affectésdes coefficients 1, 1, −1. Donc p + q − a ∈ F et z ∈ F . Enfin, soit x = p − a ∈ F . Soitλ ∈ K. On a λx = λ(p− a) = λp− (λ− 1)a− a = q − a où q n’est autre que le barycentrede p et a affectés des coefficients λ et 1− λ. Donc, q ∈ F et λx ∈ F . Ainsi, F est bien unsev de E.

Définition 23.6 : Soit E un K-espace vectoriel. Soient x, y ∈ E. Le segment x, y estl’ensemble [x, y] = (1− t)x+ ty, t ∈ [0, 1].

Remarque 23.2 : Soit z ∈ E. Alors, z ∈ [x, y] si et seulement si il existe t ∈ [0, 1],z = (1− t)x+ ty. Ceci s’écrit encore z − x = t(y − x) ou encore −→xz = t−→xy où t ∈ [0, 1].


Définition 23.7 : Soit A une partie du K-ev E. A est dite convexe lorsque pour tousx, y ∈ A on a [x, y] ⊂ A.

Proposition 23.6 : Soit A une partie du K-espace vectoriel E. Alors A est convexe siet seulement si tout barycentre d’éléments de A à coefficients positifs est encore un élémentde A.

Démonstration : Supposons A stable par barycentres à coefficients positifs. Soientx, y ∈ A. Le segment [x, y] est justement constitué des barycentres de x et de y à coefficientspositifs. Donc [x, y] ⊂ A et A est convexe. Supposons inversement que A est convexe.Montrons par récurrence sur n que pour tout n ≥ 1, A est stable par barycentre de npoints à coefficients positifs. Pour n = 1, il n’y a rien à montrer. Pour n = 2, c’est ladéfinition de la convexité. Supposons la propriété vraie pour un certain n ≥ 1. Soienta1, . . . , an+1 n+ 1 points de A. Soient λ1, . . . , λn+1 n+ 1 réels positifs non tous nuls. SoitS leur somme. Soit p le barycentre des ak affectés des coefficients λk. Si λ1 = . . . = λn = 0,on a p = an+1 ∈ F . Sinon, on a p = 1

S

∑n+1k=1 λkak = (1 − λn+1

S )b + λn+1

S an+1 où b =1∑n

k=1 λk

∑nk=1 λkak (vérification facile). Par l’hypothèse de récurrence, on a b ∈ F . Or p

est un barycentre de a et b, donc p ∈ F .

I.6 hyperplans affines

Définition 23.8 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n. On appelle hy-perplan affine de E tout sous-espace affine de E de dimension n− 1.

Définition 23.9 : Soit B = (e1, . . . , en) une base de E. Soit F = Kn → K. La partiede E d’équation dans la base B F (x1, . . . , xn) = 0 est par définition l’ensemble des pointsx =

∑nk=1 xkek tels que F (x1, . . . , xn) = 0.

Proposition 23.7 : Tout hyperplan affine de E admet une équation du type∑n

k=1 akxk =b, où les ak ne sont pas tous nuls. Deux équations représentent le même hyperplan si etseulement si leurs coefficients (second membre y compris) sont proportionnels. Enfin, touteéquation de ce type est celle d’un hyperplan affine.

Démonstration : Remarquons tout d’abord qu’une forme linéairenon nulle sur E estsurjective. En effet, son image est un sev non nul de K, qui est de dimension 1 : c’est doncK. Maintenant, toute équation du type

∑nk=1 akxk = b s’écrit aussi f(x) = b où f est une

forme linéaire non nulle sur E, ou encore f(x) = f(a) puisque f est surjective, ou encoref(x− a) = 0 c’est à dire x− a ∈ H où H = ker f est un hyperplan vectoriel de E. Le restede la preuve consiste à écrire ce que l’on sait sur les équations des hyperplans vectoriels.

II Introduction aux systèmes linéaires

II. INTRODUCTION AUX SYSTÈMES LINÉAIRES 323

II.1 Position du problème

Un système linéaire de p équations à q inconnues est un système d’équations du type

(S)

q∑j=1

aijxj = bi, 1 ≤ i ≤ p

Un tel système pourra plus simplement être écrit

(S) AX = B

où A = (aij) ∈Mp,q(K), X = (xj) ∈Mq,1(K) et B = (bi) ∈Mp,1(K).

Définition 23.10 : Avec les notations ci-dessus :— La matrice A est la matrice du système.— La matrice B est le second membre.— La matrice X est la matrice des inconnues.— Le rang du système est le rang de A.— Le système est dit compatible lorsqu’il a au moins une solution, et incompatible

sinon.— Le système est dit homogène lorsque B = 0 : tout système homogène est compatible,

puisqu’il admet au moins la solution triviale X = 0.

Remarque 23.3 : Si r est le rang du système, alors r ≤ min(p, q).

Proposition 23.8 : Un système de une équation à q inconnues, ayant un premiermembre non trivial, est toujours compatible. L’ensemble de ses solutions est un hyperplanaffine de Kq

Démonstration : Déjà faite.

II.2 Interprétations

Il y a plusieurs façons d’interpréter l’ensemble des solutions d’un système. Chacune ases avantages, en voici quelques unes ci-dessous.

• Résoudre p équations à q inconnues (vue naïve du problème, aucune interprétation,on résout et c’est tout).• Résoudre l’équation matricielle AX = B à une inconnue X (vue matricielle, finale-

ment, on a 1 équation à 1 inconnue).• Résoudre l’équation f(x) = b où f ∈ L(Kq,Kp) (et tout l’arsenal du cours d’algèbre

linéaire est à notre disposition).• Intersection d’hyperplans (vue géométrique).


II.3 Structure des solutions - Systèmes homogènes

Proposition 23.9 : Soit (H) AX = 0 un système de p équations à q inconnues, derang r. L’ensemble SH des solutions de (H) est un sous-espace vectoriel de Kq de dimensionq − r.

Démonstration : Soit f ∈ L(Kq,Kp), de matrice A. L’ensemble des solutions de (H)est SH = ker f . D’où le résultat par le théorème du rang.

Remarque 23.4 : Si p < q (moins d’équations que d’inconnues), alors r ≤ p < q doncq − r > 0 : il y a des solutions non triviales. En revanche, si q ≤ p, on ne peut rien diresans un calcul précis du rang r.

II.4 Structure des solutions - Cas général

Proposition 23.10 : Soit (E) AX = B un système de p équations à q inconnues derang r. Soit (H) AX = 0 le système homogène associé. SI le système (E) est compatible,alors l’ensemble SE des solutions de (E) est un sous-espace affine de Kq dont la directionest SH.

Démonstration : Soit x0 une solution de (E). Soit x ∈ Kq. Alors, x est solution de (E)si et seulement si x− x0 est solution de (H).

Exercice : Regarder les systèmes suivants : trouver matrice, rang, puis résoudre etregarder la structure de l’ensemble des solutions.

1.x+ y = 5x− y = 3

2.x+ y + z = 5x− y − z = 3

3.

x+ y = 1x+ 2y = 33x− y = λ

4.

x + 4t = 12x + 3y − z = 3x + 3y − z − 4t = −2

III Systèmes de Cramer

III.1 Définitions

Définition 23.11 : Un système AX = B est dit de Cramer lorsque :— Il y a autant d’équations que d’inconnues.

III. SYSTÈMES DE CRAMER 325

— La matrice A du système est inversible.En résumé, lorsque p = q = r.

Proposition 23.11 : Soit A ∈Mn(K). Il y a équivalence entre :• A est inversible.• ∀B ∈Mn,1(K), le système AX = B a une unique solution.• ∀B ∈Mn,1(K), le système AX = B est compatible.• ∀B ∈Mn,1(K), le système AX = B a au plus une solution.• La seule solution du système AX = 0 est X = 0.

Démonstration : On interprète en termes de vecteurs et d’applications linéaires. Soitf ∈ L(E). Nous avons à montrer qu’il y a équivalence entre

• f est bijective.• f est bijective (eh oui, encore !).• f est surjective.• f est injective.• ker f = 0.

Mais tout cela, nous le savons déjà.

III.2 Formules de Cramer

Proposition 23.12 : Soit AX = B un système de Cramer, A ∈ GLn(K). Pour 1 ≤j ≤ n, soit Aj la matrice obtenue en remplaçant la jème colonne de A par B. On a alors

∀j ∈ [1, n], xj =detAjdetA

Démonstration : Soient C1, . . . , Cn les colonnes de A. Le système s’écrit alors

x1C1 + . . .+ xnCn = B

Or,

detAj = det(C1, . . . , B, . . . , Cn)

= det(C1, . . . ,

n∑i=1

xiBi, . . . , Cn)

= xj det(C1, . . . , Cn) = xj detA

tous les autres termes étant nuls à cause de la propriété d’alternance.

Exemple : Soit le systèmeax+ cy = αbx+ dy = β

où ad − bc 6= 0. L’unique solution de ce

système est

x =αd− βcad− bc

, y =−αb+ βa

ad− bc


Exercice : Résoudre le système

x+ 2y − z = 13x− y − z = 02x+ 2y + z = 0

Remarque 23.5 : Les formules de Cramer n’ont d’intérêt pratiques que pour les petitesvaleurs de n (2 ou 3). Elles sont en revanche d’un intérêt théorique certain, puisqu’ellesdonnent la forme des solutions du système.

IV Opérations sur les lignes et les colonnes des matrices

IV.1 Matrices élémentaires

Notation : Pour k, l entiers, on note Ekl ∈ Mm,n(K) la matrice définie par (Ekl)ij =δkiδlj .

Les matrices (Ekl)1≤k≤m,1≤l≤n forment en fait la base canonique de Mp,q(K).Soit A ∈Mp,q(K). Prenons m = n = q :

(AEkl)ij =

q∑s=1

Ais(Ekl)sj

=

q∑s=1

Aisδksδlj

= δljAik

Ainsi, AEkl est la matrice dont toutes les colonnes sont nulles, sauf la lième qui est lakème colonne de A.

De même, en prenant m = n = p, EklA est la matrice dont toutes les lignes sont nulles,sauf la kième qui est la lème ligne de A.

IV.2 Multiplication d’une colonne par un scalaire

Proposition 23.13 : Soit Mλl = I+(λ−1)Ell. Alors : AMλ

l est la matrice dont toutesles colonnes sont les colonnes de A, sauf la lième, qui est égale à λ fois la lième colonnede A.

Une multiplication à gauche par Mλl effectue la même opération, mais sur les lignes.

Démonstration : Le lecteur se fera une joie de vérifier cette assertion.

Remarque 23.6 : On a detMλl = λ. Donc, si λ 6= 0, alors det(AMλ

l ) = λ detA etrg(AMλ

l ) = rg A.

V. ALGORITHME DU PIVOT DE GAUSS 327

IV.3 Échange de colonnes

Proposition 23.14 : Soit Xj1j2 = I −Ej1j1 −Ej2j2 +Ej1j2 +Ej2j1. Alors : AXj1j2 estla matrice obtenue en échangeant les colonnes j1 et j2 de la matrice A.

Une multiplication à gauche par Xi1i2 effectue la même opération, mais sur les lignesi1 et i2 de A.

Démonstration : Même remarque que pour la démonstration précédente.

Remarque 23.7 : On a detXj1j2 = −1. Donc, det(AXj1j2) = −detA et rg(AXj1j2) =rg A.

IV.4 Ajout à une colonne d’un multiple d’une autre colonne

Proposition 23.15 : Soit Ωλj1j2

= I + λEj2j1. Alors : AΩλj1j2

est la matrice obtenue enajoutant à la colonne j1 de A, λ fois la colonne j2 de A.

Une multiplication à gauche par Ωλi1i2

effectue la même opération, mais sur les lignesi2 et i1 de A.

Démonstration : Devinez ?

Remarque 23.8 : On a det Ωλj1j2

= 1. Donc, det(AΩλj1j2

) = detA et rg(AΩλj1j2

) = rg A.

IV.5 Application aux systèmes linéaires

Soit (E) AX = B un système de p équations, q inconnues, rang r. Un certain nombresd’opérations fournissent un système ayant les mêmes solutions que (E). Ainsi :

• En échangeant deux équations de (E), on obtient un système (E ′) A′X = B′ ayantmêmes solutions que (E), même rang, et un déterminant opposé.• En multipliant une équation de (E) par le scalaire λ, on obtient un système (E ′) A′X =B′ ayant mêmes solutions que (E), même rang, et un déterminant multiplié par λ.• En ajoutant à une équation de (E) un multiple d’une autre équation, on obtient

un système (E ′) A′X = B′ ayant mêmes solutions que (E), même rang, et mêmedéterminant.

V Algorithme du Pivot de Gauss

Le but de la méthode du pivot est la résolution de systèmes en utilisant exclusivementles opérations décrites plus haut.

Soit le système (E)AX = B de p équations à q inconnues, de rang r. On se propose detransformer ce système en un système équivalent, de même rang, et matrice plus simple.


V.1 Première étape

Si r = 0, alors A = 0 et on n’a rien à faire : le système n’a aucune solution si B 6= 0.Si B = 0, l’ensemble des solutions est Kq.

Si r 6= 0, il existe i, j tels que aij 6= 0. Quitte à échanger deux équations, et peut-être également deux inconnues, on peut supposer i = j = 1. On effectue les opérationssuivantes :

— L1 ← 1a11L1

— Li ← Li − ai1L1 pour i = 2, . . . , p.On obtient ainsi un nouveau système équivalent au premier, et de même rang, (E1)A1X =B1, où

A1 =

1 a1

12 . . . a11q

0 a122 . . . a1

2q...

......

0 a1p2 . . . a1

pq

V.2 Étape générale

Supposons qu’au bout de k étapes, on soit parvenu à un système équivalent au premieret de même rang, (Ek)AkX = Bk, où

Ak =

(Ik . . .

Op−k,k . . .

)Si r = k, alors on a

Ak =

(Ik . . .

Op−k,k Op−k,q−k

)En effet, les k = r premières colonnes de Ak sont indépendantes. Les autres colonnes sontdonc combinaisons linéaires des k premières. En conséquence, on en déduit les solutionsdu système :

— Si brr+1 = . . . = brp = 0, alors les solutions du système sont obtenues en choisissantarbitrairement les inconnues xr+1, . . . , xq. Les autres inconnues, x1, . . . , xr sont alorsuniquement déterminées.

— sinon, il n’y a pas de solution : le système est incompatible.Si r > k, alors il existe i, j > k tels que aij 6= (sinon la matrice Ak serait de rang k).

Quitte à échanger deux équations, voire deux inconnues, on peut supposer que i = j = k+1.On effectue alors les opérations suivantes :

— Lk+1 ← 1a(k+1)(k+1)

Lk+1

— Li ← Li − ai(k+1)Lk+1 pour i 6= k + 1.On obtient ainsi un nouveau système équivalent au premier, et de même rang, (Ek+1)Ak+1X =Bk+1, où

Ak+1 =

(Ik+1 . . .

Op−k−1,k+1 . . .

)

VI. COMPLÉMENTS 329

V.3 Conclusion

On est donc à même de résoudre un système de rang r par la méthode du pivot enexactement r étapes.

VI Compléments

VI.1 Calcul du déterminant d’une matrice carrée

Soit A une matrice carrée n×n. L’algorithme du pivot permet de calculer le déterminantde A. Pour cela, on simule la résolution du système AX = B avec un second membre Bvirtuel (inutile de l’écrire). À chaque étape de l’algorithme, on obtient un nouveau systèmedont on connait le déterminant en fonction du déterminant du système précédent : on amultiplié une ligne par un scalaire, ce qui a multiplié le déterminant par ce même scalaire ;.On a peut-être aussi effectué des échanges de lignes, ce qui a changé le signe du déterminant.Si l’algorithme termine en strictement moins de n étapes, alors detA = 0 puisque rg A < n.Sinon, le dernier système est IX = B, de déterminant 1. D’où la valeur de detA.

VI.2 Inversion d’une matrice carrée

La méthode du pivot peut s’appliquer à un second membre et à inconnues « ma-tricielles » : ceci revient à effectuer une résolution simultanée de systèmes. Prenons un

exemple. Nous allons inverser en trois étapes A =

1 2 34 5 67 8 8

. On part du tableau

1 2 3 1 0 0

4 5 6 0 1 0

7 8 8 0 0 1

et on utilise l’algorithme du pivot. Première étape : L2 ← L2− 4L1 et L3 ← L3− 7L1. Onobtient

1 2 3 1 0 0

0 −3 −6 −4 1 0

0 −6 −13 −7 0 1

Deuxième étape : L2 ← −13L2 puis L1 ← L1 − 2L2 et L3 ← L3 + 6L2. On obtient :

1 0 −1 −53

23 0

0 1 2 43 −1

3 0

0 0 −1 1 −2 1

Et enfin, L3 ← −L3 puis L1 ← L1 + L3 et L2 ← L2 − 2L3. On obtient :

1 0 0 −83

83 −1

0 1 0 103 −13

3 2

0 0 1 −1 2 −1


On lit l’inverse de la matrice A dans les trois dernières colonnes du tableau..

VI.3 Évaluation de la complexité de la méthode du pivot

Soit à résoudre un système de p équations, q inconnues, rang r. Cette résolution se faiten r étapes. À chaque étape, on fait les opérations suivantes :

— Échange possible de 2 lignes : q + 1 échanges.— Échange possible de 2 colonnes : p échanges.— Normalisation d’une ligne : p+ 1 divisions.— Ajout à p− 1 lignes d’un multiple de la pième : (p− 1)((q + 1) + (q + 1)) additions

ou multiplications.On fait donc au total de l’ordre de 2rpq opérations. Pour une système de Cramer n × n,on a donc 2n3 opérations. Ce nombre est également le nombre d’opérations nécessairepour calculer un déterminant avec la méthode du pivot. Pour inverser une matrice, il fautrésoudre n systèmes, et on a donc de l’ordre de 2n4 opérations.

À titre de comparaison, la formule générale pour le déterminant nécessite de l’ordre de(n+ 1)! opérations.

Supposons donnée une machine effectuant 1010 opérations par seconde. Évaluons letemps nécessaire à cette machine pour résoudre un système n × n de Cramer, avec laméthode du pivot, et avec la méthode naïve :

n τGauss τSn3 5.4 10−9s 2.4 10−9s5 2.5 10−8s 7.2 10−8s10 2 10−7s 4.0 10−3s20 1.6 10−6s 162 ans25 3.1 10−6s 1.3 109 ans100 2 10−4s 3.0 10142 ans1000 0.2s 1.3 102553 ans

Remarque 23.9 : Prenons un ordinateur d’une puissance de 100 Watts. Pour résoudreun système de 20 équations avec les formules de Cramer, il faudra une énergie de 4.8 1011

Joules. Sachant qu’une centrale nucléaire fournit une puissance de 109 Watts, cela repré-sente la quantité d’énergie fournie par cette centrale pendant 5 minutes. C’est à dire laconsommation d’environ un demi-kilo d’uranium enrichi. . .

VII. EXERCICES 331

VII Exercices

1. Résoudre les systèmes linéaires ci-dessous (les paramètres éventuels m, a, b sont desnombres complexes) :

(a)

x+my + (m− 1)z = m+ 13x+ 2y +mz = 3(m− 1)x+my + (m+ 1)z = m− 1

(b)

ax+ (b− 1)y + 2z = 1ax+ (2b− 3)y + 3z = 1ax+ (b− 1)y + (b+ 2)z = 2b− 3

(c)

x+ ay + a2z = 0ax+ y + az = 0a2x+ ay + z = 0

(d)

2x+ y − z = 2x− y + z = 43x+ 3y − z = 4a(2− a)x+ 2y − 2z = −2b

2. On considère les deux systèmes ci-dessous :

(S1)

10x+ 9y + z = −509x+ 10y + 5z = 40x+ 5y + 9z = 180

et (S2)

10x+ 9y + z = −509x+ 10y + 5z = 41x+ 5y + 9z = 180

Résoudre ces deux systèmes et commenter le résultat obtenu.

3. Soit m ∈ C. Déterminer le rang des matrices suivantes :

1 1 1−m1 +m −1 2

2 −m 3

1 −m m2

m −m2 mm 1 −m3

1 1 1 m1 1 m 11 m 1 1m 1 1 1

4. Soit m ∈ C. On se donne les plans vectoriels de C3 d’équations respectives x− 2y+z = mx, 3x− y − 2z = my et 3x− 2y − z = mz. Déterminer une CNS sur m pourque ces trois plans contiennent une même droite vectorielle.

5. Soient a, b ∈ C. Résoudre

2x+ y + z + t = 3x+ 2y + z + t = 1x+ y + 2z + t = 2x+ y + z + 2t = 44x− 3y + 3z − 4t = a2x+ 7y + 7z + 2t = b

.


6. Soient a1, . . . , an n nombres réels. Résoudre

x1 + x2 = 2a1

x2 + x3 = 2a2

· · ·xn + x1 = 2an

. Interpréter géo-

métriquement les solutions de ce système.

7. Soient a1, . . . , an n nombres réels. Résoudre

x0 + x1 = a1

x0 + x2 = a2

· · ·x0 + xn = anx0 + x1 + · · ·+ xn = 1

.

8. Soient a, b, c, α ∈ R. Soit (S)

(α− 5)x+ 2y + 3z = ax+ 2y + (α− 3)z = bx+ (α− 4)y + 3z = c

Quels sont les réels α pour lesquels le système S admet une unique solution ? Ré-soudre dans le cas contraire.

9. Soient les doites D1 et D2 de l’espace définies par

(D1)

x = 2 + zy = −1− 3z

et (D2)

x+ 2y + z = 43x+ 3y + 2z = 7

Les droites D1 et D2 sont-elles coplanaires ? Si c’est le cas, donner une équationcartésienne du plan qui les contient.

10. Soient m, a, b, c ∈ R. Soit (S)

x− y + 2z = amx+ (1−m)y + 2(m− 1)z = b2x+my − (3m+ 1)z = c

Quels sont les réels m pour lesquels le système S admet une unique solution ?Résoudre dans le cas contraire.

11. Soit m ∈ C. Soit (S)

x−my +m2z = mmx−m2y +mz = 1mx+ y −m3z = 1

Résoudre le système S en discutant selon les valeurs du paramètre m.

12. Résoudre le système (S)

x1 + x2 = 0x1 + x2 + x3 = 0

x2 + x3 + x4 = 0. . .

xn−2 + xn−1 + xn = 0xn−1 + xn = 0

13. Soit m ∈ C. Soit (S)

mx+ y + z + t = 1x+my + z + t = mx+ y +mz + t = m+ 1

Résoudre le système S en discutant selon les valeurs du paramètre m.

14. Soitm ∈ R. Soit Fm le sous-espace vectoriel de R3 d’équations (Fm)

x+my + z = 0mx+ y +mz = 0

Quelle est la dimension de Fm ?

VII. EXERCICES 333

15. Soit m ∈ R. Soient F et G les sous-espaces vectoriels de R3 définis par

F = (x, y, z) ∈ R3, x+my + z = 0 et mx+ y −mz = 0

etG = (x, y, z) ∈ R3, x−my + z = 0

Déterminer, en fonction de m, la dimension de F et G. Déterminer également ladimension de F ∩G et la dimension de F +G.


Chapitre 24Espaces préhilbertiens réels

335

336 CHAPITRE 24. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS

I Produits scalaires

I.1 Notion de produit scalaire

Définition 24.1 : Soit E un R-espace vectoriel. On appelle produit scalaire sur E touteapplication ϕ : E × E → R vérifiant :

— ϕ est bilinéaire.— ϕ est symétrique : ∀x, y ∈ E,ϕ(x, y) = ϕ(y, x).— ϕ est "positive" : ∀x ∈ E,ϕ(x, x) ≥ 0.— ϕ est "définie" : ∀x ∈ E,ϕ(x, x) = 0⇒ x = 0.

Notation : Les produits scalaires sont notés de beaucoup de façons : x.y ou (x|y) ou< x, y >, etc. Dans la suite, nous utiliserons la notation < •, • >.

Exemple :— E = Rn, < x, y >=

∑nk=1 xkyk : c’est le produit scalaire canonique.

— E = C0([0, 1]), < f, g >=∫ 1−1 f(x)g(x) dx.

— E =Mn(R), et < A,B >= tr(tAB).

Exercice : Trouver tous les produits scalaires sur Rn pour n = 1 et n = 2.

Définition 24.2 : On appelle espace préhilbertien réel tout espace vectoriel réel munid’un produit scalaire. On appelle espace euclidien tout espace préhilbertien réel de dimensionfinie .

I.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Proposition 24.1 : Inégalité de SchwarzSoit E un espace préhilbertien réel. ALors :— ∀x, y ∈ E,< x, y >2≤< x, x >< y, y >— Il y a égalité si et seulement si x et y sont colinéaires.

Démonstration : Si y est nul, on a égalité, ce qui prouve la proposition dans ce casparticulier. Supposons donc y 6= 0. Soit λ un réel. Alors,

0 ≤< x+ λy, x+ λy >=< x, x > +2λ < x, y > +λ2 < y, y >

On a là un trinôme du second degré qui garde un signe constant : son discriminant estdonc négatif ou nul : c’est l’inégalité de Schwarz. Si x et y sont colinéaires, l’égalité estclaire. Inversement, si il y a égalité, le trinôme ci-dessus a un discriminant nul. Le trinômea ainsi une racine réelle α. D’où x+ αy = 0 et la colinéarité des vecteurs x et y.

I. PRODUITS SCALAIRES 337

I.3 Norme euclidienne

Définition 24.3 : Soit E un espace vectoriel réel (ou complexe). Une norme sur E estune application Φ : E → R vérifiant :

— ∀x ∈ E,Φ(x) ≥ 0.— ∀x ∈ E,Φ(x) = 0⇒ x = 0.— ∀x ∈ E,∀λ ∈ K,Φ(λx) = |λ|Φ(x) (homogénéité).— ∀x, y ∈ E,Φ(x+ y) ≤ Φ(x) + Φ(y) (inégalité de Minkowski).

Proposition 24.2 : Soit E un espace préhilbertien. L’application E → R qui à toutvecteur x ∈ E associe ||x|| =

√x.x est une norme sur E, appelée norme euclidienne

(associée au produit scalaire en question).

Démonstration : L’inégalité triangulaire est la seule des propriétés qui soit non tri-viale : ||x+y||2 =< x+y, x+y >= ||x||2 + ||y||2 +2 < x, y >. On termine grâce à l’inégalitéde Schwarz.

Remarque 24.1 : L’inégalité de Schwarz s’écrit dorénavant :

| < x, y > | ≤ ||x||.||y||

Du coup, on constate que si x et y sont non nuls, on a

−1 ≤ < x, y >

||x||.||y||≤ 1

Définition 24.4 : Soient x et y deux vecteurs non nuls de l’espace préhilbertien E. Onappelle écart angulaire entre les vecteurs x et y le réel θ ∈ [0, π] défini par :

θ = arccos< x, y >

||x||.||y||

Exercice : Montrer les propriétés suivantes :— ||x+ y|| = ||x||+ ||y|| si et seulement si x et y sont colinéaires et de même sens.— |||x|| − ||y||| ≤ ||x− y||

Définition 24.5 : On appelle vecteur unitaire tout vecteur de norme 1.

Remarque 24.2 : Tout vecteur u 6= 0 est colinéaire à exactement deux vecteurs uni-taires : u

||u|| et −u||u|| .

I.4 Distance euclidienne

Définition 24.6 : Soit E un ensemble non vide. On appelle distance sur E touteapplication d : E × E → R vérifiant :

— ∀x, y ∈ E, d(x, y) ≥ 0.


— ∀x, y ∈ E, d(x, y) = 0⇔ x = y.— ∀x, y ∈ E, d(x, y) = d(y, x).— ∀x, y, z ∈ E, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Proposition 24.3 : Soit E un espace préhilbertien. L’application d : E×E → R définiepar d(x, y) = ||y − x|| est une distance sur E, appelée distance euclidienne (associée auproduit scalaire de E).

Démonstration : Exercice. Cela résulte facilement des propriétés de la norme.

I.5 Relations utiles

Proposition 24.4 : On a dans tout espace préhilbertien les égalités suivantes :— ||x+ y||2 = ||x||2 + ||y||2 + 2 < x, y >— ||x− y||2 = ||x||2 + ||y||2 − 2 < x, y >— < x, y >= 1

4(||x+ y||2 − ||x− y||2) (identité de polarisation).— < x, y >= 1

2(||x+ y||2 − ||x||2 − ||y||2) (identité de polarisation).— < x, y >= 1

2(−||x− y||2 + ||x||2 + ||y||2) (identité de polarisation).— ||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2) (identité du parallélogramme).

Démonstration : Pour la première et la deuxième égalité, il suffit de développer < x+y, x+y > et < x−y, x−y >. Les identités de polarisation et l’identité du parallélogrammes’en déduisent.

Exercice : On définit sur R2 ||(x1, x2)|| = |x1|+ |x2|. Vérifier que l’on a là une norme,mais que cette norme n’est pas euclidienne.

II Orthogonalité

II.1 Vecteurs orthogonaux

Définition 24.7 : Vecteurs orthogonaux :Deux vecteurs x et y de l’espace préhilbertien E sont dits orthogonaux, et on note x⊥y,

lorsque < x, y >= 0.

Proposition 24.5 :— x⊥y ⇔ y⊥x.— x⊥x⇔ x = 0.— Le seul vecteur orthogonal à tous les vecteurs de E est le vecteur nul.

Démonstration : Le produit scalaire est symétrique, donc l’orthogonalité des vecteursest une relation symétrique. < x, x >= 0 si et seulement si x = 0 Et enfin, si x estorthogonal à tous les vecteurs de E il est orthogonal à lui-même. Donc il est nul.

Définition 24.8 : Familles orthogonales :

II. ORTHOGONALITÉ 339

Une famille F = (ei)i∈I de vecteurs de E est dite orthogonale lorsque :

∀i, j, i 6= j ⇒< ei, ej >= 0

Si, de plus, on a ∀i ∈ I,< ei, ei >= 1, on dit que la famille est orthonormée (ou orthonor-male).

Proposition 24.6 : Théorème de Pythagore.Soit (ei)1≤i≤n une famille finie de vecteurs. Si cette famille est orthogonale, alors

||n∑k=1

ek||2 =n∑k=1

||ek||2

La réciproque est vraie dans le cas où n = 2.

Démonstration :

||n∑k=1

ek||2 = <

n∑k=1

ek,

n∑k=1

ek >

=

n∑k=1

||ek||2 + 2∑i<j

< ei, ej >

d’où le résultat : les produits scalaires en croix sont nuls lorsque la famille est orthogonale.De plus, lorsque n = 2, la formule de Pythagore équivaut à < e1, e2 >= 0.

Proposition 24.7 : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Démonstration : Soit (ei)i∈I) une famille orthogonale de vecteurs non nuls. Supposons∑i∈I λiei = 0. Soit j ∈ I. On a <

∑i∈I λiei, ej >= λj < ej , ej >= 0. D’où λj = 0.

II.2 Sous-ensembles orthogonaux

Définition 24.9 : Soient A et B deux parties de E. On dit que A est orthogonale à B,et on note A⊥B, lorsque

∀(x, y) ∈ A×B, x⊥y

On parle ainsi par exemple de deux droites orthogonales du plan ou de l’espace, ouencore d’une droite et d’un plan orthogonaux dans R3. En revanche, deux plans de R3 nesont jamais orthogonaux.

Exercice : Pourquoi ? Et est-ce que deux plans peuvent être orthogonaux en dimension4 ?


II.3 Orthogonal d’une partie

Définition 24.10 : Soit A ⊂ E. On appelle orthogonal de A l’ensemble

A⊥ = y ∈ E,∀x ∈ A,< x, y >= 0

Proposition 24.8 :

1. E⊥ = 0 et 0⊥ = E.

2. A et A⊥ sont orthogonaux.

3. A⊥ est un sous-espace vectoriel de E.

4. A ⊂ B ⇒ B⊥ ⊂ A⊥

5. A⊥ =< A >⊥

6. A ⊂ A⊥⊥

Remarque 24.3 : Nous verrons bientôt que la dernière inclusion est en fait une égalitéen dimension finie.

Démonstration :

1. 0 est le seul vecteur de E orthogonal à tous les vecteurs de E, donc E⊥ = 0. Tousles vecteurs de E sont orthogonaux à 0 donc 0⊥ = E.

2. Soit A une partie de E. Soient x ∈ A et y ∈ A⊥. On a y⊥x donc A et A⊥ sont bienorthogonaux.

3. A⊥ est non vide, car il contient 0. Soient x, y ∈ A⊥ et z ∈ A. Soit λ ∈ R. On a< x, z >=< y, z >= 0, donc < λx+ y, z >= λ < x, z > + < y, z >= 0.

4. Supposons A ⊂ B. Un vecteur orthogonal à tous les vecteurs de B est a fortioriorthogonal à tous les vecteurs de A. Donc B⊥ ⊂ A⊥.

5. On a A ⊂< A >, donc < A >⊥⊂ A⊥. Inversement, Soit y ∈ A⊥. Il est orthogonalà tous les vecteurs de A, donc, par bilinéarité du produit scalaire, à toutes lescombinaisons linéaires de vecters de A. Donc y ∈< A >⊥.

6. Soit x ∈ A. On a pour tout y ∈ A⊥, x⊥y. Donc, x ∈ A⊥⊥.

II.4 Algorithme de Gram-Schmidt

Dans cette partie, E est un espace euclidien.

Proposition 24.9 : Soit B = (e1, . . . , en) une base de E. Il existe une base orthogonaleB′ = (u1, . . . , un) de E telle que

∀i ∈ 1, . . . , n, < e1, . . . , ei >=< u1, . . . , ui >

II. ORTHOGONALITÉ 341

Démonstration : Posons u1 = e1, et, pour k = 2, . . . , n− 1,

uk+1 = ek+1 −k∑i=1

< ek+1, ui >

< ui, ui >ui

On montre ensuite par récurrence sur k que cette famille répond aux conditions du théo-rème.

Remarque 24.4 : Nous verrons bientôt que ek+1 − uk+1 n’est autre que la projectionorthogonale de ek+1 sur < u1, . . . , uk >.

Corollaire 24.10 : Tout espace euclidien possède des bases orthogonales (et mêmeorthonormales).

Remarque 24.5 : Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de E peut êtrecomplétée en une base orthogonale de E : il suffit pour cela d’appliquer :

— le théorème de la base incomplète, puis— le procédé de Schmidt (à partir d’un certain rang).

Exercice : Orthogonaliser la famille des trois vecteurs de l’espace, (1, 2, 3), (4, 5, 6) et(7, 8, 8).

II.5 Conséquences

Proposition 24.11 : Soit E un espace euclidien. Soit F un sous-espace vectoriel de E.ALors :

— F ⊕ F⊥ = E— F⊥⊥ = F

Démonstration : Soit (e1, . . . , ep) une b.o.n. de F . On la complète en une b.o.n.(e1, . . . , en) de E. Soit G =< ep+1, . . . , en >. On montre facilement que G = F⊥.

Remarque 24.6 : Parmi tous les supplémentaires de F , il y en a donc un qui se distinguedes autres : c’est F⊥, LE supplémentaire orthogonal de F .

Proposition 24.12 : Soit E un espace euclidien. Pour tout vecteur a ∈ E, soit ϕa :E → E définie par ϕa(x) = a.x. L’application ϕ : a 7→ ϕa est un isomorphisme de E surson dual E∗.

Démonstration : L’application ϕ est clairement linéaire, et aboutit bien dans E∗.De plus, si a ∈ kerϕ, alors, a est orthogonal à tous les vecteurs de E, donc a = 0 :l’application ϕ est injective. En raison de l’égalité des dimensions de E et E∗, c’est doncun isomorphisme.

Remarque 24.7 : Ce résultat a priori abstrait est intéressant lorsqu’on le relie à ceque l’on sait sur les hyperplans et les formes linéaires. Rappelons que les hyperplans de E


sont les noyaux des formes linéaires non nulles sur E. Or, le noyau de la forme linéaire ϕaest l’orthogonal de la droite < a >. Encore plus concrètement, plaçons nous dans R3 etconsidérons le plan d’équation x− 2y + 3z = 0. Soit a = (1,−2, 3). Le vecteur u est dansP si et seulement si φa(u) =< a, u >= 0.

II.6 Calculs en bases orthonormées

Soit E un espace euclidien. Soit B = (e1, . . . , en) une base orthonormée de E. Soientx, y ∈ E de composantes xi, yj dans la base B. On a alors

— xi =< x, ei >— < x, y >=

∑xiyi

— ||x||2 =∑x2i

En définitive, tous les calculs sont identiques à ceux que l’on ferait dans Rn muni du produitscalaire canonique.

Exercice : Que deviennent ces formules en base orthogonale ? En base quelconque ?

III Projecteurs orthogonaux - Symétries orthogonales

III.1 Définitions

Définition 24.11 : Soit F un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien E. Le projec-teur orthogonal sur F est le projecteur sur F parallèlement à F⊥. De même, la symétrieorthogonale par rapport à F est la symétrie par rapport à F parallèlement à F⊥.

Remarque 24.8 : Supposons donnée une base orthogonale de F , F = (u1, . . . , uk). Soitx un vecteur de E et p(x) son projeté orthogonal sur F . Alors,

p(x) =k∑i=1

< x, ui >

< ui, ui >ui

Bien entendu, si la base est orthonormée, tout ceci devient :

p(x) =k∑i=1

< x, ui > ui

On reconnaît là les expressions qui intervenaient dans l’algorithme de Schmidt.

III.2 Cas particuliers

Soit D =< e > où e est un vecteur non nul. Alors

pD(x) =< x, e >

||e||2e

IV. HYPERPLANS AFFINES D’UN ESPACE EUCLIDIEN 343

Soit H = e⊥ un hyperplan de E. Alors

pH(x) = x− < x, e >

||e||2e

puisque pD + pH = idE .

III.3 Distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel

Proposition 24.13 : Soit F un sous-espace vectoriel de l’espace euclidien E. Soitx ∈ E. Soit p(x) le projeté orthogonal de x sur F . On a alors

— ∀y ∈ F, d(x, y) ≥ d(x, p(x)).— ∀y ∈ F, d(x, y) = d(x, p(x))⇒ y = p(x).En clair, p(x), et lui seul, réalise le miimum de distance entre x et les vecteurs de F .

Démonstration : On a y − x = (y − p(x)) + (p(x) − x). Comme x − p(x) ∈ F⊥ ety − p(x) ∈ F , ces deux vecteurs sont orthogonaux. Ainsi, par Pythagore, ||y − x||2 =||y − p(x)||2 + ||p(x)− x||2 ou encore d(x, y)2 = d(x, p(x))2 + d(p(x), y)2.

Définition 24.12 : On appelle distance de x à F la quantité d(x, F ) = ||x− p(x)||.

Exemple :— Si H = e⊥ est un hyperplan de E, alors

d(x,H) =< x, e >

||e||2

— Si D =< e > est une droite vectorielle, alors

d(x,D)2 = ||x− < x, e >

||e||2||2

En développant, on obtient

d(x,D) =

√||x||2||e||2− < x, e >2

||e||

IV Hyperplans affines d’un espace euclidien

IV.1 Vecteur normal à un hyperplan

Soit E un espace euclidien. Soit H un hyperplan affine de E, de direction l’hyperplanvectoriel H. L’orthogonal de H est une droite D.

Définition 24.13 : On appelle vecteur normal à H tout vecteur directeur de D.


Soit B = (e1, . . . , en) une base orthonormée de E. Une équation de H dans la base Best

(H) a1x1 + . . .+ anxn = b

où le n-uplet (a1, . . . , an) est non nul. Une équation de H dans la base B est

(H) a1x1 + . . .+ anxn = 0

On constate immédiatement que cette équation peut encore s’écrire < a, x >= 0 où a =∑nk=1 akek. On en déduit également que le vecteur a est un vecteur normal à H.

Exemple :• Dans le plan euclidien R2, soit D la droite d’équation 3x+ 2y − 5 = 0. Un vecteur

normal à D est n = (3, 2).• Dans l’espace euclidien R3, soit P le plan d’équation 3x + 2y + 4z − 5 = 0. Un

vecteur normal à P est n = (3, 2, 4).

IV.2 Distance d’un point à un hyperplan affine

Soit H un hyperplan affine de l’espace euclidien E, passant par un point A, de vecteurnormal unitaire n. La donnée de n fixe la direction H de H. La donnée de A fixe quant àelle H. Soit M un point de E. Soit P un point de H. Écrivons

−−→AM = h+ λn, où h ∈ H et

λ ∈ R. La quantité |λ| est en fait la distance deM à l’hyperplan H. On l’obtient facilementpar un produit scalaire : <

−−→AM,n >=< h, n > +λ < n, n >, d’où λ =<

−−→AM,n >. On a

ainsi :

Proposition 24.14 : Soit H un hyperplan de E passant par A de vecteur normal n.Soit M ∈ E. La distance de M à H est

d(M,H) = | <−−→AM,n > |

Exercice : Soit d ∈ R. L’ensemble des points M de E tels que <−−→AM,n >= d est un

hyperplan affine de E, parallèle à H. De plus, tout hyperplan affine de E parallèle à H estde cette forme, pour un réel d judicieusement choisi.

V. EXERCICES 345

V Exercices

1. Soit φ la forme bilinéaire symétrique sur R3 définie par

∀x, y ∈ R3, φ(x, y) = x1y1 + x2y2 + x3y3 −1

2(x1y2 + x2y1)− 1

2(x2y3 + x3y2)

(a) Soit x ∈ R3. Écrire φ(x, x) comme une somme de trois carrés.(b) En déduire que φ est un produit scalaire.(c) Donner une base de R3 orthonormée pour φ.

2. Dans E = R2[X], on pose < P,Q >=∫ 1−1 P (t)Q(t)

√1− t2 dt. Prouver que l’on a

là un produit scalaire, et déterminer une base orthogonale de E pour ce produitscalaire.

3. Soient F et G deux sev d’un espace euclidien E.(a) Montrer que (F ∪G)⊥ = (F +G)⊥ = F⊥ ∩G⊥

(b) Montrer que (F ∩G)⊥ = F⊥ +G⊥

4. Soit E un espace vectoriel euclidien. Soient B = (ei)1≤i≤n une base orthonormée deE , f ∈ L(E) et A = (aij)1≤i,j≤n la matrice de f dans la base B.Exprimer, pour tout i et tout j, le coefficient aij en fonction de f(ej), de ei et d’unproduit scalaire.

5. Soit E un espace euclidien.

(a) Soit f : E → E une application (on n’impose pas à f d’être linéaire) vérifiant

∀x, y ∈ E, < f(x), y >=< x, f(y) >

Prouver que f est linéaire. Un tel endomorphisme est appelé un endomorphismesymétrique.

(b) Soit B une base orthonormée de E. Montrer qu’un endomorphisme de E est unendomorphisme symétrique si et seulement si sa matrice dans la base B est unematrice symétrique.

(c) Montrer qu’un projecteur orthogonal, une symétrie orthogonale, sont des endo-morphismes symétriques.

6. Soit E = ∫ 1

0 (x2 − ax − b)2 dx, a, b ∈ R. Calculer le plus petit élément de E.Indication : pourquoi cet exercice figure-t-il dans le chapitre sur les espaces préhil-bertiens ?

7. Sur E = C1([0, 1]), on pose < f, g >= f(0)g(0) +∫ 1

0 f′(t)g′(t) dt. Montrer que l’on

a là un produit scalaire.8. Soit E un espace euclidien. Soit F = (ei)1≤i≤n une famille de vecteurs unitaires deE tels que

∀x ∈ E, ||x||2 =

n∑i=1

< x, ei >2

Prouver que F est une base orthonormée de E.


9. Soit P le plan de R3 d’équation 2x+ y + z = 0.

(a) Déterminer P⊥.

(b) Déterminer l’expression du projecteur orthogonal sur P , de la symétrie ortho-gonale par rapport à P .

(c) Soit u ∈ R3. Déterminer la distance de u à P .

10. Mêmes questions, mais pour la droite vectorielle D de R3 engendrée par le vecteur(1, 2, 3).

11. Mêmes questions, mais on est dans R4 et P est le plan engendré par les vecteurs(1, 0, 0, 1) et (1,−1, 1,−1).

12. Soit E un espace euclidien et p un projecteur de E.

(a) On suppose que p est un projecteur orthogonal. Montrer que ∀x ∈ E, ||p(x)|| ≤||x||.

(b) On suppose que p n’est pas un projecteur orthogonal, c’est à dire : p est leprojecteur sur F parallèlement à G (avec F ⊕ G = E) et ∃u ∈ F,∃v ∈ G,<u, v > 6= 0. Montrer qu’il existe un vecteur x de E, combinaison linéaire de u etv, tel que ||p(x)|| > ||x||.

13. Montrer qu’une symétrie σ d’un espace euclidien E est une symétrie orthogonalede E si et seulement si ∀x ∈ E, ||σ(x)|| = ||x||.

Chapitre 25Endomorphismes orthogonaux

347

348 CHAPITRE 25. ENDOMORPHISMES ORTHOGONAUX

I Généralités

Dans tout le chapitre, (E,<,>) désigne un espace euclidien.

I.1 Notion d’endomorphisme orthogonal

Définition 25.1 : Soit f un endomorphisme de E. On dit que f est un endomorphismeorthogonal lorsque f conserve les produits scalaires, c’est à dire :

∀x, y ∈ E,< f(x), f(y) >=< x, y >

Remarque 25.1 : En fait, la linéarité résulte de la conservation des produits scalaires.En effet, soit f : E → E conservant les produits scalaires. Soit B = (e1, . . . , en) une baseorthonormée de E. On a pour tous i, j, < f(ei), f(ej) >=< ei, ej >= δij . Donc, la familleB′ = f(B) est une base orthonormée de E. Soient maintenant x, y ∈ E et i ∈ 1, . . . , n.Soit X =< f(x+y)−f(x)−f(y), f(ei) >. On a X =< f(x+y), f(ei) > − < f(x), f(ei) >− < f(y), f(ei) > par bilinéarité du produit scalaire. Comme f conserve les produitsscalaires, on a donc X =< x+y, ei > − < x, ei > − < y, ei >=< x+y−x−y, ei >= 0. Levecteur f(x+ y)− f(x)− f(y) est donc orthogonal à tous les vecteurs d’une base de E, etdonc, par linéarité, à tous les vecteurs de E. Ainsi, f(x+ y) = f(x) + f(y). On démontrede façon analogue que pour tout vecteur x de E et tout réel λ, on a f(λx) = λf(x).

Exemple : Les symétries orthogonales : Soit F un sous-espace vectoriel de E. Soit s lasymétrie par rapport à F , parallèlement à F⊥. Alors, s est un endomorphisme orthogonalde E. En effet, soient x = x′ + x′′ et y = y′ + y′′ deux vecteurs de E décomposés suivantF⊕F⊥. On a f(x) = x′−x′′ et f(y) = y′−y′′. D’où< f(x), f(y) >=< x′, y′ > + < x′′, y′′ >(les produits scalaires des « primes » par les « secondes » sont nuls). Mais cette quantiéest aussi < x, y >.

Définition 25.2 : Une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan est appelée uneréflexion. Une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace vectoriel de dimensionn− 2 (où n est la dimension de E) est appelée un demi-tour.

Remarque 25.2 : Le déterminant d’une réflexion vaut −1. Celui d’un demi-tour estégal à 1.

Notation : On note O(E) l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E.

I.2 Propriétés élémentaires

Proposition 25.1 : L’ensemble O(E), muni de la loi , est un groupe, sous-groupe deGL(E).


Démonstration : On a vu un peu plus haut qu’une base orthonormée était transforméepar un endomorphisme orthogonal en une base orthonormée. Un endomorphisme orthogo-nal est donc un automorphisme. De plus, idE est clairement dans O(E). Enfin, O(E) eststable par composition et réciproque.

Proposition 25.2 : Soit f ∈ L(E). Alors, f ∈ O(E) si et seulement si f conserve lanorme euclidienne :

∀x ∈ E, ||f(x)|| = ||x||

Démonstration : Si f conserve les produits scalaires, elle conserve évidemment lanorme euclidienne. Inversement, supposons que f conserve la norme. On a pour tous vec-teurs x, y ∈ E

< f(x), f(y) >=1

4(||f(x) + f(y)||2 − ||f(x)− f(y)||2)

La linéarité de f et la conservation de la norme permettent de conclure.

Proposition 25.3 : Soit f ∈ O(E). On a pour tous x, y ∈ E, d(f(x), f(y)) = d(x, y).On dit que les endomorphismes orthogonaux sont des isométries (vectorielles).

Démonstration : Une distance est la norme d’une différence, et les endomorphismesorthogonaux conservent la norme.

Remarque 25.3 : La réciproque est fausse : par exemple, les translations conserventles distances mais ne sont pas linéaires. On peut montrer en revanche que si f conserve lesdistances et f(0) = 0, alors f ∈ O(E). Voir le chapitre sur les isométries affines.

Proposition 25.4 : On rappelle que l’écart angulaire entre deux vecteurs non nuls xet y est l’unique réel θ ∈ [0, 2π] tel que cos θ = <x,y>

||x||||y|| . Les endomorphismes orthogonauxconservent les écarts angulaires.

Démonstration : Un endomorphisme orthogonal conserve le produit scalaire et de lanorme.

I.3 Endomorphismes orthogonaux et bases orthonormées

Proposition 25.5 : Soit B une base orthonormée de E. Soit f ∈ L(E). Alors, f ∈ O(E)si et seulement si f(B) est une base orthonormée de E.

Démonstration : Si f ∈ O(E), alors f conserve les produits scalaires, donc les vecteursorthogonaux. f conserve également la norme, donc les vecteurs unitaires. Donc f conserveles bases orthonormées.

Inversement, supposons que f(B) = B′ où B et B′ sont des bases orthonormées deE. Avec des notations évidentes, on a alors pour tous indices i et j, < f(ei), f(ej) >=δij =< ei, ej >. Mais cela entraîne que pour tous vecteurs x et y de E, < f(x), f(y) >=∑

i,j xiyj < f(ei), f(ej) >=∑

i,j xiyj < ei, ej >=< x, y >. L’application f conserve bienles produits scalaires.


I.4 Matrices orthogonales

Proposition 25.6 : Soit f ∈ L(E). Soit B une base orthonormée de E. Soit M =matBf . Les assertions suivantes sont équivalentes :

• tMM = I• M tM = I• Les colonnes de M , vues comme vecteurs de Rn, forment une base orthonormée deRn.• f ∈ O(E)

Démonstration : L’équivalence des deux premiers points est un résultat connu : unematrice carrée est inversible à gauche si et seulement si elle est inversible à droite, et inverseà gauche et à droite sont alors uniques et égaux (à l’inverse de la matrice).

Le premier et le troisième point sont clairement équivalents : à la ligne i, colonne j detMM , on trouve justement le produit scalaire des colonnes i et j de la matrice M .

Enfin, le troisième et le quatrième point sont équivalents, puisque f est un endomor-phisme orthogonal si et seulement si f(B) est une base orthonormée de E, c’est-à-dire siet seulement si les colonnes de M sont unitaires et orthogonales deux à deux.

Proposition 25.7 : On appelle matrice orthogonale toute matriceM ∈Mn(R) telle quetMM = I (ou, ce qui est équivalent, M tM = I, ou encore M est inversible et M−1 =t M).

Notation : On note On(R) l’ensemble des matrices orthogonales n× n.

Exemple : Fabriquons une matrice orthogonale 3× 3. Cela revient à fabriquer une baseorthonormée de R3 pour le produit scalaire canonique. Par exemple, la matrice

M =1

4

3 1√

6

1 3 −√

6

−√

6√

6 2

convient car ses colonnes sont de norme 1, et orthogonales deux à deux (le vérifier !).

Proposition 25.8 : L’ensemble On(R) est un groupe pour la multiplication matricielle,sous-groupe de GLn(R). Ce groupe est isomorphe à O(E) lorsque n = dimE.

Démonstration : Soit B une base orthonormée de E. L’application Φ : O(E)→ On(R)définie par Φ(f) = matBf est un isomorphisme de groupes.

Proposition 25.9 : Soit M ∈ On(R). Alors, detM = ±1.

Démonstration : C’est une conséquence immédiate de tMM = I.

Proposition 25.10 : Les ensembles SO(E) et SOn(R) formés respectivement des en-domorphismes orthogonaux de déterminant 1 et des matrices orthogonales de déterminant1 sont des groupes. Ces deux groupes sont isomorphes. On les appelle respectivement legroupe spécial-orthogonal de E et le groupe spécial-orthogonal d’ordre n.

II. LE GROUPE ORTHOGONAL DU PLAN 351

Démonstration : Ce sont des groupes, car ce sont les noyaux du morphisme « dé-terminant ». Ils sont isomorphes par le même isomorphisme que celui vu un peu avant.

Définition 25.3 : On appelle rotations les éléments de SO(E).

Remarque 25.4 : On ne voit pas pourquoi. C’est normal. Le reste du chapitre consisteà essayer de s’en faire une idée en dimensions 2 et 3.

I.5 Produit mixte

E désigne un espace euclidien orienté de dimension n.

Proposition 25.11 : Soient B, B′ deux bases de E. Soit P = PB′B la matrice de passage

de B à B′. Soient x1, . . . , xn n vecteurs de E. On amatB(x1, . . . , xn) = P matB′(x1, . . . , xn).

Démonstration : Soient X1, X′1 les matrices respectives de x1 dans les bases B et B′.

On a X1 = PX ′1. Ainsi, la première colonne de la matrice matB(x1, . . . , xn) est la premièrecolonne de la matrice P matB′(x1, . . . , xn). Il en est de même pour les n−1 autres colonnes.

Corollaire 25.12 : Avec les notations ci-dessus, on a

detB

(x1, . . . , xn) = detP detB′

(x1, . . . , xn)

Corollaire 25.13 : Le déterminant detB(x1, . . . , xn) est le même dans toutes les basesorthonormées directes B.

Démonstration : La matrice de passage d’une b.o.n.d à une autre b.o.n.d est unematrice de rotation. Son déterminant est donc égal à 1.

Définition 25.4 : On appelle produit mixte des vecteurs x1, . . . , xn, et on note [x1, . . . , xn]le déterminant des vecteurs x1, . . . , xn dans n’importe quelle b.o.n.d de E.

Exemple : Soit (e1, . . . , en) une b.o.n.d de E. On a [e1, . . . , en] = 1. En effet, c’est ledéterminant de la base dans n’importe quelle b.o.n.d, par exemple elle-même. En revanche,le produit mixte des vecteurs d’une b.o.n.i vaut −1.

II Le groupe orthogonal du plan

On se donne dans cette section f ∈ O(E), où E est un plan euclidien orienté. Onsuppose fixée une base orthonormée B de E. On appelle M la matrice de f dans cette

base. La matrice M est donc orthogonale. Posons M =

(a cb d

).


II.1 Recherche des matrices orthogonales

On écrit tMM = I. Cela fournit le systèmea2 + b2 = 1ac+ bd = 0c2 + d2 = 1

D’après les deux premières équations, il existe des réels θ et φ tels que a = cos θ,b = sin θ, c = cosφ,d = sinφ. La seconde équation montre qu’alors cos(φ − θ) = 0. Deuxcas se présentent :

— Si φ = θ+π/2 modulo 2π, alorsM =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

). On voit qu’alors detM =

1, c’est à dire que M ∈ SO2(R) et f ∈ SO(E).

— Si φ = θ−π/2 modulo 2π, alorsM =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

). On voit qu’alors detM =

−1.

II.2 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant -1

On a ici tM = M . Comme tMM = I, il vient donc M2 = I, d’où f2 = id. f estdonc une symétrie. On vérifie sans peine que f est la symétrie orthogonale (la réflexion)par rapport à la droite dirigée par le vecteur de coordonnées (cos θ2 , sin

θ2) dans la base B.

Il suffit de vérifier que ce vecteur est invariant par f est que le vecteur (− sin θ2 , cos θ2),

orthogonal au premier, est changé par f en son opposé.

II.3 Étude des endomorphismes orthogonaux de déterminant 1

Ici, f est une rotation. Notons M(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

). On a donc SO2(R) =

M(θ), θ ∈ R.

Proposition 25.14 : L’application φ : R → SO2(R) définie par φ(θ) = M(θ) est unmorphisme de groupes surjectif.

Démonstration : Un simple calcul montre que M(θ)M(θ′) = M(θ + θ′). D’où lapropriété de morphisme. Cette application est surjective par définition même de SO2(R).Remarquons enfin que M(θ) = I si et seulement si θ ∈ 2πZ. Notre morphisme a doncl’ensemble 2πZ pour noyau, et n’est donc pas un isomorphisme.

Si l’on veut fabriquer un isomorphisme entre SO2(R) et un groupe connu, il nous fautquelque chose qui représenterait les réels « modulo 2π ». Cela existe : c’est par exemple legroupe U des nombres complexes de module 1.

Proposition 25.15 : L’application φ : U → SO(2) définie par φ(eiθ) = M(θ) est unisomorphisme de groupes.

Démonstration : Laissée en exercice.

II. LE GROUPE ORTHOGONAL DU PLAN 353

Proposition 25.16 : Soit f une rotation de E. La matrice de f ne dépend pas de labase orthonormée directe choisie. Elle est de la forme M(θ), où θ ∈ R est défini de façonunique modulo 2π.

Démonstration : Soient B et B′ deux bond de E. La matrice de f dans la base Best M = M(θ), et celle de f dans la base B′ est M ′ = M(θ′). La matrice de passagede B à B′ est une matrice de rotation, puisque, ces deux bases ont la même orientation.Elle est donc de la forme P = M(φ). Les formules de changement de base donnent alorsM ′ = P−1MP = M(−φ)M(θ)M(φ) = M(−φ+ θ + φ) = M .

Définition 25.5 : Le réel θ est appelé l’angle de la rotation f , et caractérise complète-ment cette rotation.

II.4 Angle orienté de deux vecteurs non nuls

Proposition 25.17 : Soient x et y deux vecteurs non nuls de E. Il existe une uniquerotation f telle que f(x/||x||) = y/||y||. L’angle de cette rotation (défini modulo 2π) estappelé angle (orienté) entre les vecteurs x et y.

Démonstration : On peut supposer x et y unitaires pour faire la démonstration. Fixons

une bond de E. Dans cette base, la matrice de x est X =

(cosαsinα

)et celle de y est

Y =

(cosβsinβ

). Soit f une rotation, de matrice M(θ) dans la même base. On a f(x) = y si

et seulement si M(θ)X = Y ce qui équivaut (calcul immédiat) à θ ≡ β−α mod 2π. D’oùl’existence et l’unicité de f .

Remarque 25.5 : On a déjà parlé du produit mixte au début de l’année. Nous avionsalors défini le produit mixte [x, y] des vecteurs x et y du plan comme leur déterminant,sous-entendu dans la base canonique. En fait, la valeur de detB(x, y) ne dépend pas de labase orthonormée directe B choisie. Le produit mixte [x, y] de x et y est donc le déterminantde la famille (x, y) dans n’importe quelle base orthonormée directe.

Proposition 25.18 : Soient x et y deux vecteurs non nuls du plan. Soit θ l’angle orientéentre x et y. On a

< x, y > = ||x||||y|| cos θ[x, y] = ||x||||y|| sin θ

Démonstration : Immédiat, en reprenant les matrices de x et y ci-dessus.

II.5 Générateurs du groupe orthogonal

Proposition 25.19 : Les réflexions engendrent O(E).

Démonstration : Le produit de deux matrices de réflexion est évidemment une matricede rotation : en effet, deux matrices de déterminant -1 se multiplient en une matrice de


déterminant 1. Mieux, en effectuant effectivement ce calcul, on voit que l’on peut obtenirtoutes les matrices de rotation. On peut même choisir l’une des deux matrices de réflexionde façon complètement arbitraire.

Exercice : Le faire.

III Produit vectoriel

Dans toute cette section, E désigne un espace euclidien orienté de dimension 3.

III.1 Notion de produit vectoriel

Proposition 25.20 : Soient u, v ∈ E. Il existe un unique vecteur a ∈ E tel que∀w ∈ E, [u, v, w] =< a,w >.

Démonstration : L’application w 7→ [u, v, w] est une forme linéaire sur E. Et on saitque l’application a 7→< a, . > est un isomorphisme de E sur son dual E∗.

Définition 25.6 : Le vecteur a est appelé produit vectoriel de u et v et est noté u ∧ v.Il est donc caractérisé par

∀w ∈ E, [u, v, w] =

Proposition 25.21 : L’application (u, v) 7→ u∧v est bilinéaire, antisymétrique, alternée.

Démonstration : Pour tous vecteurs u, u′, v, w, on a < (u+u′)∧v, w >= [u+u′, v, w] =[u, v, w]+[u′, v, w] =< u∧v, w > + < u′∧v, w >=< u∧v+u′∧v, w >. D’où (u+u′)∧v =u ∧ v + u′ ∧ v. De même pour toutes les autres propriétés de la bilinéarité.

Pour l’antisymétrie, [v, u, w] = −[u, v, w] donc < v ∧ u,w >=< −u ∧ v, w > d’oùv ∧ u = −u ∧ v. Pour l’alternance, prendre v = u dans l’antisymétrie.

III.2 Propriétés essentielles

Proposition 25.22 : Soient u, v ∈ E. On a u ∧ v = 0 si et seulement si u et v sontcolinéaires.

Démonstration : u∧v = 0 si et seulement si u∧v est orthogonal à tous les vecteurs wde E c’est à dire ∀w ∈ E, [u, v, w] = 0 ou encore ∀w ∈ E, (u, v, w) est liée. Si (u, v) est liée,c’est bien le cas. Si (u, v) est libre, le théorème de la base incomplète fournit un vecteur wtel que (u, v, w) soit une base de E, et donc [u, v, w] 6= 0.

Proposition 25.23 : Soient u, v ∈ E. Le vecteur u ∧ v est orthogonal à u et à v.

Démonstration : = [u, v, u] = 0 et de même pour v.

III. PRODUIT VECTORIEL 355

Proposition 25.24 : Soit (e1, e2, e3) une b.o.n.d. de E. On a e1∧e2 = e3, e2∧e3 = e1,e3 ∧ e1 = e2.

Démonstration : Le vecteur e1 ∧ e2 est orthogonal à e1 et e2. Il appartient donc àl’orthogonal de V ect(e1, e2) = V ect(e3). Il existe ainsi un réel λ tel que e1 ∧ e2 = λe3. Delà, [e1, e2, e3] = 1 =< e1 ∧ e2, e3 >= λ||e3||2 = λ. Les autres relations se montrent de façonanalogue.

Remarque 25.6 : Par antisymétrie, e2 ∧ e1 = e3 et relations analogues. Si la base estorthonormée indirecte, changer tous les signes.

Remarque 25.7 : Soient u, v ∈ E deux vecteurs non colinéaires. Soit a = u ∧ v. Levecteur a est non nul et orthogonal à u et v. De plus, [u, v, a] =< u∧ v, a >=< a, a >> 0.Ainsi, la famille (u, v, a) est une base (pas orthogonale en général !) directe puisque sondéterminant est strictement positif. Pour caractériser complètement a, il nous faudrait sanorme. C’est ce que nous allons faire.

Proposition 25.25 : Soient u et v deux vecteurs non nuls. Soit θ l’écart angulaire entreu et v. On a ||u ∧ v|| = ||u||||v|| sin θ.

Démonstration : Supposons tout d’abord u et v unitaires. Si u et v sont liés, l’égalitéest évidente. Supposons-les donc libres. Soit u1 = v− < v, u > u = v − cos θu (Gram-Schmidt). Les vecteurs u et u1 sont orthogonaux et non nuls. On a ||u1||2 = ||v||2 +cos2 θ||u||2 − 2 cos θ < u, v >= 1− cos2 θ = sin2 θ. Donc ||u1|| = sin θ. Posons u1 = sin θu′,de sorte que u′ est unitaire et orthogonal à u. On a donc v = cos θu+ sin θu′.

Soit enfin u′′ tel que (u, u′, u′′) soit une base orthonormée directe. On a alors u ∧ v =u ∧ (cos θu+ sin θu′) = cos θu ∧ u+ sin θu ∧ u′ = sin θu′′ et on en tire ||u ∧ v|| = sin θ.

Lorsque u et v ne sont pas forcément unitaires, il suffit de poser u = ||u||u1, v = ||v||v1.Les vecteurs u1 et v1 sont unitaires, et de même écart angulaire que u et v. On a alors||u ∧ v|| = ||u||||v||||u1 ∧ v1|| = ||u||||v|| sin θ.

Corollaire 25.26 : Pour tous vecteurs u, v ∈ E, on a < u, v >2 +||u∧v||2 = ||u||2||v||2.

Démonstration : Si u ou v est nul, c’est évident. Sinon, il suffit d’écrire < u, v >=||u||||v|| cos θ où θ est l’écart angulaire entre u et v.

III.3 Calculs en base orthonormée directe

Soit B = (e1, e2, e3) une base orthonormée directe de E. Soient u, v deux vecteurs de E,de coordonnées ui et vi dans la base B. Calculons les coordonnées de u∧ v. On a u∧ v =<u1e1+u2e2+u3e3, v1e1+v2e2+v3e3 >= (u2v3−u3v2)e1+(u3v1−u1v3)e2+(u1v2−u2v1)e3.La formule n’est pas très jolie, un bon moyen de s’en souvenir est de la voir comme un« déterminant » 3 × 3 dont la troisième colonne contient des vecteurs. Plus précisément,on a la formule formelle

u ∧ v =

∣∣∣∣∣∣u1 v1 e1

u2 v2 e2

u3 v3 e3

∣∣∣∣∣∣


Exemple : Dans R3 euclidien canonique orienté, le produit vectoriel de (1, 2, 3) et (4, 5, 6)

est

∣∣∣∣∣∣1 4 e1

2 5 e2

3 6 e3

∣∣∣∣∣∣ = (−3, 6,−3).

III.4 Annexe : double produit vectoriel

Proposition 25.27 : Soient u, v, w ∈ E. On a

u ∧ (v ∧ w) =< u,w > v− < u, v > w

Démonstration : Écrire les vecteurs u, v, w dans une b.o.n.d et développer les deuxmembres de l’égalité.

Remarque 25.8 : Le produit vectoriel n’est donc pas associatif.

Exercice : Soient u, v, w ∈ E. Montrer que [u ∧ v, v ∧ w,w ∧ u] = [u, v, w]2.On a [u ∧ v, v ∧ w,w ∧ u] =. Par la formule du double

produit vectoriel, (v ∧w) ∧ (w ∧ u) =< v ∧w, u > w− < v ∧w,w > u. Le produit scalaire< v∧w,w > est nul puisque v∧w est orthogonal à w. Donc (v∧w)∧(w∧u) =< v∧w, u >w = [v, w, u]w = [u, v, w]w. De là, [u ∧ v, v ∧ w,w ∧ u] == [u, v, w] = [u, v, w]2.

IV Le groupe orthogonal de l’espace

IV.1 Sous espaces stables

Soit E un espace euclidien de dimension quelconque. Soit f ∈ O(E).

Valeurs propres de f

Soit x ∈ E \0. Supposons qu’il existe un réel λ tel que f(x) = λx. Alors, λ = ±1. Eneffet, ||f(x)|| = ||λ|||x||, mais aussi ||f(x)|| = ||x|| par conservation de la norme. Comme xest non nul, il vient |λ| = 1..

Droites stables par f

Supposons qu’il existe une droite D stable par f . Soit e un vecteur directeur de D. Ilexiste donc un réel λ tel que f(e) = λe. Donc, f(e) = ±e. Par linéarité, on a donc f(x) = xpour tout x ∈ D, ou f(x) = −x pour tout x ∈ D.

Ce qui vient d’être dit ne s’applique bien sûr qu’aux droites stables. Par exemple, dansun plan stable, il peut arriver qu’aucun vecteur (non nul) ne soit changé par f en unmultiple de lui-même (exemple : une rotation du plan, tout simplement).

IV. LE GROUPE ORTHOGONAL DE L’ESPACE 357

Orthogonal d’un sous-espace stable

Proposition 25.28 : Soit F un sous-espace de E stable par f . Alors,• f induit sur F un endomorphisme orthogonal de F .• F⊥ est stable par f .

Démonstration : Le premier point est évident. Soit maintenant x ∈ F⊥. Soit y ∈ F .On a < f(x), f(y) >=< x, y >= 0. Donc, f(x) appartient à l’orthogonal de f(F ). MaisF est stable par f , donc f(F ) ⊂ F . De plus f est un isomorphisme, donc f conserve lesdimensions, et donc f(F ) = F . Finalement, f(x) ∈ F⊥. Donc, F⊥ est lui aussi stable parf .

bilan

L’idée pour étudier un endomorphisme orthogonal de E est donc la suivante : on chercheles vecteurs invariants de f (on pourrait tout aussi bien chercher les vecteurs changés enleur opposé). L’ensemble E1 de ces vecteurs invariants est un sous-espace stable par f . Sice sous-espace est non trivial, alors :

• f est l’identité sur E1.• f est un endomorphisme orthogonal de E⊥1 . Or, dimE⊥1 < dimE. On s’est donc

ramenés à l’étude des endomorphismes orthogonaux d’un espace de dimension stric-tement plus petite.

Dans ce qui suit, on se place dans un espace euclidien orienté de dimension 3.

IV.2 Cas 1 : Les invariants forment tout l’espace

Ce cas est trivial : f = idE .

IV.3 Cas 2 : Les invariants forment un plan

Soit P le plan en question. La droite D = P⊥ est alors stable par f . Les vecteurs deD sont donc changés en leur opposé par f (hormis le vecteur nul, ils ne peuvent pas êtreinvariants, puisque les invariants sont tous dans P , et que D∩P = 0). On constate doncque f est la réflexion par rapport à P .

IV.4 Cas 3 : Les invariants forment une droite

Soit D la droite en question. Le sous-espace P = D⊥ est un plan stable par f , et f estun endomorphisme orthogonal de P . Ce ne peut être une réflexion de P , puisque tous lesvecteurs invariants par f sont sur D. C’est donc une rotation deP (différente de l’identité).

Un petit problème se pose alors : il convient d’orienter P , mais il n’y a aucune façon «logique » d’effectuer cette orientation de manière compatible avec l’orientation de l’espaceE. On procède comme suit :


• On oriente la droite D en choisissant sur D un vecteur unitaire e3 (deux choixarbitraires sont donc possibles).• Une base orthonormée (e1, e2) de P est déclarée directe lorsque la base (e1, e2, e3)

est une base orthonormée directe de E.La restriction de f à P est alors la rotation d’angle θ 6≡ 0[2π].

On remarque que la matrice de f dans une base orthonormée directe de dernier vecteure3 est alors

M =

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

On voit que det f = 1 : f est donc une rotation.

Définition 25.7 : f est la rotation d’axe D orienté par e3, et d’angle θ. L’axe orientéet l’angle caractérisent complètement f .

Remarque 25.9 : Si l’on change l’orientation de D, on change θ en −θ.

IV.5 Cas 4 : Le seul invariant est 0

Là, on est un peu embêtés. Cependant, on peut s’en tirer par une petite acrobatie.Soit λ un réel. Il existe un vecteur x non nul tel que f(x) = λx si et seulement si det(f −λidE) = 0. Or l’application λ 7→ det(f − λidE) est une fonction polynômiale de degré3. Or, tout polynôme de degré 3 a une racine réelle (pourquoi ? penser au théorème desvaleurs intermédiaires). Il existe donc forcément un vecteur non nul x et un réel λ tel quef(x) = λx. Ce λ vaut −1 ou 1, mais ce n’est pas 1. C’est donc −1. Ainsi, l’ensemble G desvecteurs changés en leur opposé est un sous-espace vectoriel non trivial de E. Il peut êtrede dimension 1,2 ou 3. Considérons chacun des trois cas :

• G = E : dans ce cas, f = −idE . Ce n’est pas une rotation.• G est un plan. C’est impossible, car alors G⊥ serait une droite stable, nécessairement

composée de vecteurs invariants. Mais f n’a pas d’invariants à part le vecteur nul.• G = D est une droite. Soit P l’orthogonal de D. Soit σ la réflexion par rapport àP . On constate alors que f σ admet G pour droite d’invariants. Donc, f σ estune rotation ρ d’axe D. De là, f = ρ σ. Et pour finir, det f = det ρdetσ = −1.Donc f n’est pas une rotation.

Remarque 25.10 : On vérifie facilement dans le dernier cas que ρ σ = σ ρ. On peutégalement montrer l’unicité des applications σ et ρ.

IV.6 Conclusion

Proposition 25.29 : Les endomorphismes orthogonaux de E de dimension 3 sont :• Les rotations qui, mise à part l’identité, sont caractérisées par un axe et un angle.• Les réflexions, caractérisées par un plan.• Les composées d’une réflexion et d’une rotation différente de l’identité d’axe ortho-gonal au plan de la réflexion, caractérisées par un axe orienté et un angle.

IV. LE GROUPE ORTHOGONAL DE L’ESPACE 359

Exercice : Vérifier que −idE entre bien dans la dernière catégorie.

IV.7 Générateurs de O(E) et de SO(E)

Nous montrons dans cette section que les réflexions engendrent O(E), c’est à direque tout endomorphisme orthogonal est une composée de réflexions. Ainsi, les réflexionssont des endomorphismes orthogonaux élémentaires, en ce sens que l’on peut avec celles-cifabriquer tous les autres. Nous donnons une démonstration purement matricielle. Elle al’avantage d’être rapide, mais de cacher le sens géométrique de ce théorème. Il est conseilléde faire l’exercice qui suit la proposition.

Proposition 25.30 : Les réflexions engendrent O(E).

Démonstration : Nous allons démontrer que toute rotation est la composée de deux ré-flexions. Comme les endomorphismes orthogonaux de E sont les rotations et les composéesd’une réflexion et d’une rotation, cela prouvera le théorème. Soit f une rotation différentede l’identité, d’angle θ. Dans une base B orthonormée directe judicieuse, la matrice de f

est M =


0 0 1

. Soit A =

cos θ sin θ 0sin θ − cos θ 0

0 0 1

. A est une matrice ortho-

gonale et A2 = I. C’est donc une matrice de symétrie orthogonale. De plus, detA = −1

et A 6= −I, c’est donc la matrice d’une réflexion. De même, B =

1 0 00 −1 00 0 1

est une

matrice de réflexion. On a AB = M , ce qui prouve notre assertion.

Exercice : Déterminer les caractéristiques des réflexions qui apparaissent dans la dé-monstration de la proposition ci-dessus.

Nous énonçons et démontrons un théorème analogue au précédent pour SO(E), maiscette fois-ci avec les demi-tours.

Proposition 25.31 : Les demi-tours engendrent SO(E).

Démonstration : Nous allons démontrer que toute rotation est la composée de deuxdemi-tours. Soit f une rotation différente de l’identité, d’angle θ. Dans une base B or-

thonormée directe judicieuse, la matrice de f est M =


0 0 1

. Soit A =cos θ sin θ 0sin θ − cos θ 0

0 0 −1

. A est une matrice orthogonale et A2 = I, donc A est une matrice

de symétrie orthogonale. De plus, detA = 1 et A 6= I, c’est donc la matrice d’un demi-tour.

De même, B =

1 0 00 −1 00 0 −1

est une matrice de demi-tour. On a AB = M , ce qui prouve

notre assertion.


Exercice : Déterminer les caractéristiques des demi-tours qui apparaissent dans ladémonstration de la proposition ci-dessus.

IV.8 Compléments sur les rotations

Angle entre un vecteur et son image

Soit f une rotation de l’espace d’angle θ. Dans une bond B = (e1, e2, e3) judicieusementchoisie, la matrice de f est

M =


0 0 1

Soit x = ae1 + be2 + ce3 un vecteur unitaire de E. On a f(x) = (a cos θ − b sin θ)e1 +(a sin θ+ b cos θ)e2 + ce3. Ainsi, < x, f(x) >= a(a cos θ− b sin θ) + b(a sin θ+ b cos θ) + c2 =(a2 + b2) cos θ+ c2 = cos θ+ c2(1− cos θ). x et f(x) étant unitaires, cette quantité est égaleà cosφ où φ est l’écart angulaire entre x et f(x) : cosφ = cos θ+ c2(1− cos θ). On constateque cosφ ≥ cos θ, c’est à dire φ ≤ θ, avec égalité si et seulement si c = 0, c’est à dire si etseulement si le vecteur x est orthogonal à l’axe de la rotation.

Expression de l’image d’un vecteur

On reprend f(x) = (a cos θ − b sin θ)e1 + (a sin θ + b cos θ)e2 + ce3 = cos θ(ae1 + be2) +sin θ(−be1+ae2)+ce3. Par ailleurs, ae1+be2 = x−ce3, −be1+ae2 = e3∧x, et c =< x, e3 >.Donc, f(x) = cos θ(x− < e3, x > e3) + sin θe3 ∧ x+ < e3, x > e3. Appelons ω le vecteur e3

(vecteur unitaire orientant l’axe). On obtient

f(x) = (cos θ)x+ (sin θ)ω ∧ x+ (1− cos θ) < ω, x > ω

Exercice : Calculer la matrice dans la base canonique de la rotation d’angle π2 d’axe

orienté par le vecteur (1, 1, 1).

V. EXERCICES 361

V Exercices

1. Soit u un endomorphisme orthogonal dans un espace euclidien E.

(a) On pose v = u− idE . Montrer que Ker v = Im v⊥.

(b) Pour x ∈ E et n ∈ N?, on pose xn = 1n

∑nk=0 u

k(x). Montrer que lorsque n→∞,xn converge vers la projection orthogonale de x sur Ker v.

2. Soit A = (aij)1≤i,j≤n ∈ On(R).

(a) Soit X =

1...1

. Vérifier que tXAX est égal à la somme des coefficients de la

matrice A.

(b) Interpréter la quantité précédente comme un produit scalaire, et en déduire que∣∣∣∣∣∣∑

1≤i,j≤naij

∣∣∣∣∣∣ ≤ n(c) Montrer que le majorant n obtenu ci-dessus est optimal.

3. Soit a = (α1, · · · , αn) un vecteur unitaire de Rn. Déterminer la matrice dans la basecanonique de la symétrie orthogonale par rapport à H = a⊥.

4. Soit E un espace euclidien orienté de dimension n.

(a) Montrer que pour tous vecteurs u1, . . . , un deE, on a |[u1, . . . , un]| ≤ ||u1|| . . . ||un||.(b) En déduire que pour toute matrice A = (aij) ∈ Mn(R) telle que ∀i, j, |aij | ≤ 1,

on a |detA| ≤ nn2 .


Chapitre 26Intégration

363

364 CHAPITRE 26. INTÉGRATION

I Intégration des fonctions en escalier

I.1 Subdivisions d’un segment

Définition 26.1 : Soit I = [a, b] un segment de R. On appelle subdivision de I toutesuite finie σ = (x0, x1, · · · , xn) de points de I vérifiant x0 = a < x1 < · · · < xn = b.

On note S(a, b) l’ensemble des subdivisions du segment [a, b].

Définition 26.2 : Soit σ = (xi)0≤i≤n ∈ S(a, b). On appelle pas de σ le réel µ(σ) =max0≤i<n(xi+1 − xi). On appelle support de σ l’ensemble xi, 0 ≤ i ≤ n.

Exemple : Soient a < b, et n ≥ 1. Pour 0 ≤ k ≤ n posons xk = a + k b−an . On obtientune subdivision à pas constant dont le pas est µn = b−a

n .

Définition 26.3 : Soit σ = (xi)0≤i≤n et σ′ = (x′i)0≤i≤m ∈ S(a, b). On dit que σ estplus fine que σ′, et on note σ′ < σ lorsque le support de σ′ est inclus dans celui de σ.

Proposition 26.1 : Soient σ′, σ′′ ∈ S(a, b). Il existe une subdivision de [a, b] à la foisplus fine que σ et que σ′.

Démonstration : C’est par exemple la subdivision dont le support est la réunion dessupports de σ et de σ′.

I.2 Notion de fonction en escalier

Définition 26.4 : Soit φ : [a, b] → R. On dit que φ est en escalier sur [a, b] lorsqu’ilexiste une subdivision σ = (xi)0≤i≤n de [a, b] telle que φ soit constante sur les intervalles]xi, xi+1[.

Définition 26.5 : Une telle subdivision est une subdivision adaptée à φ. Il est clairque si σ est une subdivision adaptée à φ, alors toute subdivision plus fine que σ est encoreadaptée.

Exemple : Les fonctions constantes sont en escalier sur tout segment.

Proposition 26.2 : L’ensemble E(a, b) des fonctions en escalier sur [a, b] est une R-algèbre.

Démonstration : Montrons que c’est une sous-algèbre de l’algèbre R[a,b]. La fonctionconstante égale à 1 est en escalier. Soient φ, ψ en escalier sur [a, b]. Soit σ une subdivisionadaptée à φ et à ψ. Il suffit pour en créer une de prendre une subdivision adaptée à φ,une subdivision adaptée à ψ, et de créer la subdivision dont le support est la réuniondes supports de ces deux subdivisions. Il est alors clair que cette nouvelle subdivision estadaptée à φ+ ψ, à φψ et à λψ pour tout λ réel.

I. INTÉGRATION DES FONCTIONS EN ESCALIER 365

I.3 Intégrale d’une fonction en escalier

Proposition 26.3 : Soit φ : [a, b]→ R. Soit σ = (xi)0≤i≤n une subdivision adaptée à φ.Soit yi la valeur (constante) de φ sur ]xi, xi+1[. La quantité

∑n−1i=0 yi(xi+1 − xi) ne dépend

pas de la subdivision σ.

Démonstration : Sans entrer dans les détails de la preuve, cela signifie que si l’oncoupe un rectangle en deux, l’aire totale est la somme des aires des deux morceaux.

Définition 26.6 : La quantité introduite dans le théorème précédent est appelée intégralede φ sur [a, b], et notée

∫ ba φ, ou

∫[a,b] φ, ou encore

∫ ba φ(x) dx.

I.4 Propriétés

Proposition 26.4 : On a pour toutes fonctions φ, ψ ∈ E(a, b) et tout réel λ :

• Linéarité 1 :∫ ba (φ+ ψ) =

∫ ba φ+

∫ ba ψ.

• Linéarité 2 :∫ ba λφ = λ

∫ ba φ.

• Croissance : φ ≤ ψ ⇒∫ ba φ ≤

∫ ba ψ.

•∣∣∣∫ ba φ∣∣∣ ≤ ∫ ba |φ|

Démonstration : Pour la linéarité 1, prendre une subdivision adaptée à φ et à ψen même temps. La linéarité 2 et la croissance sont évidentes. Pour la dernière inégalité,remarquons d’abord que si φ ∈ E(a, b), il en va de même pour |φ|. Maintenant, φ ≤ |φ|,donc par la croissance, on a

∫ ba φ ≤

∫ ba |φ|. De même, −φ ≤ |φ|, donc par croissance et

linéarité, −∫ ba φ ≤

∫ ba |φ|. D’où l’inégalité voulue.

Proposition 26.5 : [Formule de Chasles] Soient a, b, c ∈ R, a < b < c. Soit φ : [a, c]→R. Alors φ ∈ E(a, c) si et seulement si φ ∈ E(a, b) et φ ∈ E(b, c). De plus,∫ c

aφ =

∫ b

aφ+

∫ c

bφ

Démonstration : On n’entre pas dans les détails. Disons simplement qu’un réunissantune subdivision adaptée sur [a, b] et une subdivision adaptée sur [b, c], on fabrique unesubdivision adaptée sur [a, c], inversement, si on a une subdivision adaptée sur [a, c], onobtient des subdivisions adaptées sur [a, b] et [b, c] en la coupant en deux et en rajoutantéventuellement b aux deux subdivisions obtenues.

Remarque 26.1 : On généralise la notation intégrale en posant∫ ba φ = −

∫ ab φ et∫ a

a φ = 0. La formule de Chasles est alors vérifiée dans tous les sens (si j’ose dire). Lalinéarité fonctionne encore, mais attention aux inégalités qui se renversent.


II Continuité uniforme

II.1 Définitions

Définition 26.7 : Soit f : I → R. On dit que f est uniformément continue sur Ilorsque

∀ε > 0,∃δ > 0, ∀x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ ⇒ |f(x)− f(y)| ≤ ε

Proposition 26.6 : Si f est uniformément continue sur I, alors f est continue sur I.La réciproque est fausse.

Démonstration : Supposons f uniformément continue sur I. Soit a ∈ I. Soit ε > 0. Ilexiste δ > 0 tel que pour tous x, y ∈ I, |x − y| ≤ δ implique |f(x) − f(y)| ≤ ε. C’est enparticulier vrai pour y = a, d’où la continuité de f en a. Pour la réciproque, voir les deuxexemples ci-dessous.

Exemple : Soit f : R+ → R définie par x 7→ x2. Nous allons montrer que f n’est pasuniformément continue sur R+, c’est à dire que

∃ε > 0, ∀δ > 0,∃x, y ∈ I, |x− y| ≤ δ et |f(x)− f(y)| > ε

En d’autres termes, on peut trouver des x et des y aussi proches que l’on désire maisdont les images sont éloignées de plus de ε, ce ε restant à trouver. Pour n ≥ 1, soientxn = n et yn = n + 1

n . Alors |xn − yn| = 1n qui est aussi petit qu’on le désire. Mais

|x2n − y2

n| = 2 + 1n2 > 2. Donc, ε = 2 fait l’affaire.

Exemple : Soit f : R∗+ → R définie par x 7→ 1x . Nous allons montrer que f n’est pas

uniformément continue sur R∗+. Pour n ≥ 1, soient xn = 1n et yn = 2

n . Alors |xn − yn| =1n

qui est aussi petit qu’on le désire. Mais | 1xn− 1

yn| = n

2 > 123 pour n > 456. Donc ε = 123fait l’affaire.

Vici un exemple important d’e toute une classe de fonctions uniformément continues.

Proposition 26.7 : Toute fonction lipschizienne est uniformément continue. La réci-proque est fausse.

Démonstration : Soit f k-lipschitzienne sur I (k > 0). Soit ε > 0. Soit δ = εk .

Alors, pour tous x, y ∈ I, |x − y| ≤ δ implique |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| ≤ kδ = ε. Pourla réciproque prendre par exemple x 7→ x2 sur R. Pour un contre exemple de fonctionuniformément continue sur un segment mais pas lipschitzienne, voir un peu plus bas.

Proposition 26.8 : Théorème de Heine.Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue.

Remarque 26.2 : La fonction x 7→√x est donc uniformément continue sur [0, 1], alors

qu’elle n’y est pas lipschitzienne.

III. CONSTRUCTION DE L’INTÉGRALE 367

Démonstration : Supposons f continue sur le segment [a, b] mais pas uniformémentcontinue. Il existe donc ε > 0 tel que, pour tout δ > 0, il existe x, y ∈ [a, b] tels que|x − y| ≤ δ et |f(x) − f(y)| > ε. Pour tout entier n ≥ 1, prenons δ = 1

n . On a donc deuxsuites (xn) et (yn) d’éléments de [a, b] telles que |xn − yn| ≤ 1

n et |f(xn)− f(yn)| > ε. Lasuite (xn) est bornée. d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire unesuite (xφ(n)) convergeant vers c (évidemment, c ∈ [a, b]). Comme |xφ(n)−yφ(n)| ≤ 1

φ(n) ≤1n ,

la suite (yφ(n)) converge aussi vers c. Mais f est continue en c donc f(xφ(n)) → f(c) etf(yφ(n)) → f(c). Par passage à la limite dans la minoration par ε, on obtient 0 ≥ ε,contradiction. La fonction f est donc uniformément continue.

Remarque 26.3 : La notion de continuité uniforme est une notion difficile à se repré-senter. Être continu ne suffit pas, sauf si l’on est sur un segment. Être lipschitzien est tropfort ... On peut démontrer que la fonction f : I → R est uniformément continue sur I si etseulement si

∀ε > 0, ∃k ∈ R+,∀x, y ∈ I, |f(x)− f(y)| ≤ k|x− y|+ ε

c’est à dire qu’une fonction est uniformément continue si et seulement si, pour tout ε > 0,elle est k-lipschitzienne « à ε près », le k dépendant du ε. À méditer . . .

III Construction de l’intégrale

III.1 Fonctions continues par morceaux

Définition 26.8 : Soit f : [a, b]→ R. On dit que f est continue par morceaux sur [a, b]lorsqu’il existe une subdivision σ = (xi)0≤i≤n de [a, b] telle que

• f est continue sur les intervalles ]xi, xi+1[.

• f admet une limite à gauche et à droite en tous les xi, 1 ≤ i ≤ n− 1, une limite àdroite en a et une limite à gauche en b.

Une telle subdivision est bien entendu dite « adaptée à f », et toute subdivision plusfine qu’une subdivision adaptée est encore adaptée.

Définition 26.9 : On étend cette notion à des fonctions définies sur un intervallequelconque. Soit f : I → R. On dit que f est continue par morceaux sur I lorsque sarestriction à tout segment inclus dans I est continue par morceaux.

Exemple : La fonction partie entière, la fonction f : R→ R définie par f(x) = x− bxc,sont continues par morceaux sur R.

Proposition 26.9 : L’ensemble Cm([a, b]) des fonctions continues par morceaux sur[a, b] est une R-algèbre et E([a, b]) en est une sous-algèbre.

Démonstration : C’est la même démonstration que celle que nous avons faite pour lesfonctions en escalier.


Théorème 26.10 : L’ensemble E([a, b]) est dense dans Cm([a, b]) au sens suivant : pourtoute fonction f ∈ Cm([a, b]), pour tout réel ε > 0, il existe deux fonctions φ, ψ ∈ E([a, b])telles que φ ≤ f ≤ ψ et ψ − φ ≤ ε.

Démonstration : On allège en faisant la démonstration pour f continue sur [a, b].Soit ε > 0. D’après le théorème de Heine, f est uniformément continue sur [a, b]. Il existedonc α > 0 tel que pour tous x, y ∈ [a, b], |x − y| ≤ α entraîne |f(x) − f(y)| ≤ ε. Soitσ = (x0 = a, . . . , xn = b) une subdivision de [a, b] de pas inférieur ou égal à α. Soitφ en escalier définie comme suit : Pour tout k ∈ [0, n − 1], pour tout x ∈ [xk, xk+1],φ(x) = min[xk,xk+1] f et φ(b) = f(b). On définit de même ψ en mettant max à la place demin. On a clairement φ ≤ f ≤ ψ. Par ailleurs, soit x ∈ [a, b[. Soit k tel que x ∈ [xk, xk+1.On a ψ(x)−φ(x) = max[xk,xk+1] f −min[xk,xk+1] f = f(v)− f(u) où u, v ∈[ xk, xk+1]. Maisalors, |v − u| ≤ µ(σ) ≤ α, donc |f(v) − f(u)| ≤ ε. Ainsi, pour tout x différent de b, on aψ(x)− φ(x) ≤ ε. Pour x = b aussi. Donc, ψ − φ ≤ ε.

III.2 Intégrale d’une fonction continue par morceaux

Notation : Soit f : [a, b] → R bornée. On note E−(f) = ∫

[a,b] φ, φ ∈ E([a, b]), φ ≤ fet E+(f) =

∫[a,b] φ, φ ∈ E([a, b]), φ ≥ f.

Remarque 26.4 : Toute fonction continue par morceaux sur [a, b] est bornée sur [a, b].En effet, elle est bornée sur chacun des morceaux d’une subdivision adaptée.

Proposition 26.11 : Les ensembles E−(f) et E+(f) possèdent respectivement uneborne supérieure et une borne inférieure, et on a inf E+(f) ≥ supE−(f).

Démonstration : f est bornée sur [a, b], c’est à dire minorée et majorée par des fonc-tions constantes. Les ensembles E− et E+ sont donc non vides. De plus, soient x ∈ E− ety ∈ E+. On a x =

∫ ba φ et y =

∫ ba ψ où φ, ψ ∈ E(a, b) et φ ≤ f ≤ ψ. Ainsi, par la croissance

de l’intégrale, x ≤ y. On en déduit que supE− et inf E+ existent, et supE− ≤ inf E+.

Remarque 26.5 : Les réels supE− et inf E+ peuvent être distincts lorsque la fonctionf est « compliquée ». Prenons par exemple la fonction f : [0, 1] → R définie par f(x) = 1si x ∈ Q et f(x) = 0 sinon. On vérifie alors que E−(f) = R− et E+(f) = [1,+∞[.

Proposition 26.12 : Soit f ∈ Cm([a, b]). On a supE−(f) = inf E+(f).

Définition 26.10 : On appelle intégrale de f sur [a, b] le réel inf E+(f) = supE−(f).

Démonstration : Soit ε > 0. Il existe φ, ψ ∈ E([a, b]) telles que φ ≤ f ≤ ψ et ψ − φ ≤εb−a . De là,

∫ ba ψ−

∫ ba φ ≤

∫ ba

εb−a = ε. On minore le membre de gauche : inf E+−supE− ≤ ε.

Ceci étant vrai pour tout ε > 0, on en déduit que inf E+ ≤ supE−.

Notation : On utilise les mêmes notations que pour les fonctions en escalier :∫ ba f , ou∫

[a,b] f , ou encore∫ ba f(x) dx. On vérifie que cela ne prête pas à confusion car si f est en

escalier, alors E−(f) par exemple, a un plus grand élément, qui est∫ ba (f) au sens du I.

IV. PROPRIÉTÉS DE L’INTÉGRALE 369

Exemple : Calculons∫ 1

0 x2 dx. Pour cela, considérons pour tout n la subdivision régulière

(xk)0≤k≤n où xk = kn . Soit φ en escalier définie par φ(x) = f(xk) sur l’intervalle [xk, xk+1[

(et φ(1) = 1). On a φ ≤ f . Calculons son intégrale :∫ 1

0 φ = 1n

∑n−1k=0

(kn

)2= (n−1)(2n−1)

6n2 . Soitde même ψ en escalier définie par ψ(x) = f(xk+1) sur l’intervalle [xk, xk+1[ (et ψ(1) = 1).On a ψ ≥ f . Calculons son intégrale :

∫ 10 ψ = 1

n

∑n−1k=0

(k+1n

)2= (n+1)(2n+1)

6n2 . On a doncpour tout n ≥ 1, (n−1)(2n−1)

6n2 ≤∫ 1

0 f ≤(n+1)(2n+1)

6n2 . Le minorant et le majorant tendentvers 1

3 lorsque n tend vers l’infini. On a donc∫ 1

0 x2 dx = 1

3 .

IV Propriétés de l’intégrale

IV.1 Linéarité

Proposition 26.13 : Soient f, g ∈ Cm([a, b] et λ ∈ R. On a∫ ba (f + g) =

∫ ba f +

∫ ba g et∫ b

a λf = λ∫ ba f .

Démonstration : Soit ε > 0. Il existe φ1, ψ1, φ2, ψ2 en escalier sur [a, b] telles queφ1 ≤ f ≤ ψ1, φ2 ≤ g ≤ ψ2, ψ1−φ1 ≤ ε

2(b−a) et ψ2−φ2 ≤ ε2(b−a) . On en déduit (1)

∫ ba φ1 ≤∫ b

a f ≤∫ ba ψ1, (2)

∫ ba φ2 ≤

∫ ba g ≤

∫ ba ψ2, et (3)

∫ ba φ1 +

∫ ba φ2 ≤

∫ ba (f+g) ≤

∫ ba ψ1 +

∫ ba ψ2. On

ajoute à (3) les inégalités opposées de (1) et (2). On obtient∫ ba (φ1 − ψ1) +

∫ ba (φ2 − ψ2) ≤∫ b

a (f + g)−∫ ba f −

∫ ba g ≤

∫ ba (ψ1 − φ1) +

∫ ba (ψ2 − φ2), d’où |

∫ ba (f + g)−

∫ ba f −

∫ ba g| ≤ ε.

Ceci est vrai pour tout ε > 0, donc l’intégrale de la somme est la somme des intégrales.Pour le produit par un réel, c’est bien plus facile.

IV.2 Croissance

Proposition 26.14 : Soit f ∈ Cm([a, b]). On a f ≥ 0⇒∫ ba f ≥ 0.

Démonstration : La fonction nulle est en escalier et minore f , donc 0 =∫ ba 0 ≤

∫ ba f .

Proposition 26.15 : Soientt f, g ∈ Cm([a, b]). On a f ≥ g ⇒∫ ba f ≥

∫ ba g.

Démonstration : On a g − f ≥ 0, donc∫ ba (g − f) ≥ 0. On termine en utilisant la

linéarité de l’intégrale.

Proposition 26.16 : Soit f ∈ Cm([a, b]). Alors |f | ∈ Cm([a, b]) et |∫ ba f | ≤

∫ ba |f |.

Démonstration : Une subdivision adaptée à f est aussi adaptée à |f |. Pour montrerl’inégalité, il suffit de remarquer que f ≤ |f | et −f ≤ |f |, puis d’utiliser la croissance del’intégrale et sa linéarité.


IV.3 Formule de Chasles

Proposition 26.17 : [Formule de Chasles] Soient a, b, c ∈ R, a < b < c. Soit f : [a, c]→R. Alors f ∈ Cm([a, c]) si et seulement si f ∈ Cm([a, b]) et f ∈ Cm([b, c]). De plus,∫ c

af =

∫ b

af +

∫ c

bf

Démonstration : On n’entre pas dans les détails. L’idée est de travailler avec dessubdivisions adaptées auxquelles on rajoute éventuellement le point b.

Remarque 26.6 : On généralise la notation intégrale en posant∫ ba f = −

∫ ab f et∫ a

a f = 0. La formule de Chasles est alors vérifiée dans tous les sens. Attention cependant :les inégalités concernant les intégrales (comme la positivité ou la croissance) ne sont valablesque lorsque a ≤ b.

IV.4 Nullité de l’intégrale

Proposition 26.18 : Soit f ∈ Cm([a, b]) continue et positive, telle que∫

[a,b] f = 0.Alors f = 0.

Démonstration : Supposons que f n’est pas identiquement nulle sur [a, b]. Il existec ∈ [a, b] tel que f(c) > 0. Supposons c 6= a, b (si c = a ou b, la preuve est analogue).Comme f est continue en c, il existe δ > 0, tel que f(x) ≥ 1

2f(c) pour tout x ∈ [c−δ, c+δ].Prenons δ suffisamment petit pour que a ≤ c− δ et c+ δ ≤ b. On a alors

∫ ba f =

∫ c−δa f +∫ c+δ

c−δ f +∫ bc+δ f ≥

∫ c+δc−δ f ≥ δf(c) > 0.

IV.5 Inégalité de Schwarz

Proposition 26.19 : L’application (f, g) 7→∫ ba fg est une forme bilinéaire symétrique

positive sur Cm([a, b]). C’est même un produit scalaire sur C0([a, b]).

Démonstration : Symétrique car la multiplication des réels est commutative. Bilinéairepar linéarité de l’intégrale. Positive par positivité de l’intégrale. Définie grâce au théorèmede nullité de l’intégrale.

Proposition 26.20 : Soient f, g ∈ Cm([a, b]). Alors

∣∣∣∣∫ b

afg

∣∣∣∣ ≤√∫ b

af2

√∫ b

ag2

Si f et g sont continues sur [a, b], l’inégalité précédente est une égalité si et seulement si fet g sont proportionnelles.

V. APPROXIMATIONS DE L’INTÉGRALE 371

Démonstration : On a une forme bilinéaire symétrique positive. Voir le cours de géo-métrie du plan lorsque nous avons montré l’inégalité de Schwarz pour le produit scalaire. Lecas d’égalité vient de la « définition » du produit scalaire. Voir ce même cours de géométrie.

V Approximations de l’intégrale

V.1 Sommes de Riemann - Méthode des rectangles

Définition 26.11 : On appelle subdivision pointée de [a, b] tout couple S = (σ, τ)où σ = (xi)0≤i≤n est une subdivision « normale » de [a, b] et τ = (ξi)0≤i≤n−1 vérifie∀i ∈ 0, · · · , n− 1, ξi ∈ [xi, xi+1].

Notation : On note S.([a, b)] l’ensemble des subdivisions pointées de [a, b].

Définition 26.12 : Soit f : [a, b] → R. Soit S une subdivision pointée de [a, b]. Onappelle somme de Riemann associée à f et S la quantité

RS(f) =n−1∑i=0

(xi+1 − xi)f(ξi)

Proposition 26.21 : Soit f : [a, b]→ R une fonction continue. Alors

∀ε > 0, ∃δ > 0,∀S ∈ S.([a, b]), µ(S) ≤ δ ⇒∣∣∣∣∫ b

af −RS(f)

∣∣∣∣ ≤ εEn d’autres termes, les sommes de Riemann associées à f convergent vers f lorsque le

pas des subdivisions tend vers 0.

Démonstration : Soit ε > 0. f est uniformément continue sur [a, b], donc il existe δ > 0tel que ∀x, y ∈ [a, b], on a |f(x)− f(y)| ≤ ε

b−a dès que |x− y| ≤ δ. Soit S une subdivisionpointée de [a, b] (mêmes notations que dans la définition) de pas inférieur ou égal à δ. On a|∫ ba f −RS(f)| = |

∑n−1i=0 (

∫ xi+1

xif(x) dx−

∫ xi+1

xif(ξi) dx)| ≤

∑n−1i=0

∫ xi+1

xi|f(x)− f(ξi)| dx ≤∑n−1

i=0

∫ xi+1

xiεb−a dx = ε.

Proposition 26.22 : Soit f : [a, b]→ R k-lipschitzienne. On a alors pour toute subdi-vision pointée S à n+ 1 points∣∣∣∣∫ b

af −RS(f)

∣∣∣∣ ≤ k(b− a)µ(S)

Démonstration : On a |∫ ba f − RS(f)| = |

∑n−1i=0 (

∫ xi+1

xif(x) dx −

∫ xi+1

xif(ξi) dx)| ≤∑n−1

i=0

∫ xi+1

xi|f(x) − f(ξi)| dx ≤ k

∑n−1i=0

∫ xi+1

xi|x − ξi| dx ≤ kµ(S)

∑n−1i=0

∫ xi+1

xidx = k(b −

a)µ(S).


Exemple : Si S est une subdivision régulière de [a, b] en n morceaux, alors∣∣∣∣∫ b

af −RS(f)

∣∣∣∣ ≤ k (b− a)2

n

Exercice : Appliquer la méthode des rectangles à f(x) = expx sur [0, 1]. Prendre dessubdivisions régulières.

V.2 Méthode des trapèzes

NB : ce paragraphe, bien que très instructif, n’est pas au programme.

Soit f : [a, b]→ R. On suppose dans ce qui suit que f est de classe C2. On note M2(f)le maximum de |f ′′| sur le segment [a, b]. On cherche dans un premier temps à approcherf par la fonction affine φ égale à f aux points a et b.

Proposition 26.23 : On a pour tout t ∈ [a, b], |f(t)− φ(t)| ≤ (t−a)(b−t)2 M2(f).

Démonstration : Soit g(x) = f(x)−φ(x)− M22 (x−a)(b−x). On a g ∈ C2[a, b], g(a) =

g(b) = 0, et g′′ = f ′′+M2 ≥ 0. La fonction g′ est donc croissante. De plus, par Rolle, on ac ∈]a, b[, tel que g′(c) = 0. Donc, g′ ≤ 0 sur [a, c] et g′ ≥ 0 sur [c, b]. On en tire les variationsde g sur [a, b], et on constate que g ≤ 0 sur [a, b]. Donc, f(x)− φ(x) ≤ M2

2 (x− a)(b− x).En faisant de même avec h(x) = f(x) − φ(x) + M2

2 (x − a)(b − x), on trouve l’autreinégalité.

Proposition 26.24 : On a |∫ ba f − (b− a)f(a)+f(b)

2 | ≤M2(b−a)3

12 .

Démonstration : On a |∫ ba f −

∫ ba φ| ≤

∫ ba |f − φ| ≤

M22

∫ ba (t− a)(b− t) dt = M2

(b−a)3

12 .On vérifie par ailleurs que

∫ ba φ = (b− a)f(a)+f(b)

2 (aire d’un trapèze).

Proposition 26.25 : Soit n ≥ 1. Soit xi = a+ i b−an , i = 0..n. Alors∣∣∣∣∫ b

af − Tn(f)

∣∣∣∣ ≤ (b− a)3

12n2M2(f)

où Tn(f) = b−a2n

∑n−1i=0 (f(xi) + f(xi+1)).

Démonstration : Soit φ la fonction égale à f aux points xi et affine sur chacun desmorceaux de la subdivision régulière. On a |

∫ ba f −

∫ ba φ| ≤

∑n−1i=0 |

∫ xi+1

xif −

∫ xi+1

xiφ| ≤∑n−1

i=0 M2(b−a)3

12n3 = M2(b−a)3

12n2 . Par ailleurs,∫ ba φ =

∑n−1i=0

∫ xi+1

xiφ = Tn(f).

Remarque 26.7 : On a Tn(f) = b−an

∑n−1i=0 f(xi) + (b−a)(f(b)−f(a))

2n . On constate doncque la somme associée à la méthode des trapèzes est égale à une somme de Riemann àlaquelle on rajoute le terme correcteur (b−a)(f(b)−f(a))

2n .

VI. PRIMITIVES 373

Exemple : Prenons a = 0, b = 1 et f(x) = x2. Il vient Tn(f) = 1n

∑n−1i=0

(in

)2+ 1

2n =(n−1)n(2n−1)

6n3 + 12n = 1

3 + 16n2 . Or,

∫ 10 f = 1

3 . Ainsi, l’erreur commise est 16n2 . Par ailleurs,

l’erreur théorique est M2(b−a)3

12n2 = 16n2 . Ainsi, notre calcul de l’erreur était optimal. Le

majorant que nous avons trouvé est atteint dans notre exemple.

VI Primitives

VI.1 Notion de primitive

Définition 26.13 : Soit I un intervalle de R. Soient f et F deux fonctions définies surI. On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F ∈ D1(I) et que F ′ = f sur I.

VI.2 Existence et unicité des primitives

Théorème 26.26 : Soit f : I → R. Si f admet une primitive sur I, celle-ci est uniqueà constante additive près. Plus précisément, les primitives de f sont les fonctions F + Coù C décrit R.

Démonstration : En effet, si F et G sont dérivables sur I, on a F ′ = G′ si et seulementsi (F −G)′ = 0 c’est à dire si et seulement si F −G est constante sur I.

Théorème 26.27 : [Existence des primitives] Soit f : I → R une fonction continue. Soita ∈ I. L’application F : I → R définie par F (x) =

∫ xa f(t) dt est une primitive de f sur I.

Démonstration :• La fonction F est bien définie sur I puisque pour tout x ∈ I, f est continue sur

[a, x].• Soit x0 ∈ I. Soit x ∈ I. Alors F (x) − F (x0) − (x − x0)f(x0) =

∫ xx0f(t) dt − (x −

x0)f(x0) =∫ xx0

(f(t)− f(x0)) dt. Soit ε > 0. Puisque f est continue en x0, il existeα > 0 tel que |t − x0| ≤ α ⇒ |f(t) − f(x0)| ≤ ε. On a alors pour tout x tel que|x − x0| ≤ α, |F (x) − F (x0) − (x − x0)f(x0)| ≤

∫ xx0|f(t) − f(x0)| dt ≤ |x − x0|ε.

D’où, pour x 6= x0,∣∣∣F (x)−F (x0)

x−x0 − f(x0)∣∣∣ ≤ ε. C’est la définition de limite : F est

dérivable en x0 et sa dérivée est f(x0).

VI.3 Application

Proposition 26.28 : [Théorème fondamental du calcul intégral] Soit f : [a, b]→ R unefonction continue. Soit F une primitive de f sur [a, b]. Alors∫ b

af(x) dx = F (b)− F (a)


Démonstration : Posons G(x) =∫ xa f(t) dt. F et G étant des primitives de f sur

[a, b], il existe un réel c tel que pour tout x ∈ [a, b], on ait F (x) = G(x) + c. Mais alorsF (b)− F (a) = G(b)−G(a) = G(b) =

∫ ba f(x) dx.

VI.4 Intégration par parties

Proposition 26.29 : Soient u, v : [a, b]→ R deux fonctions de classe C1. On a∫ b

au′v = uv|ba −

∫ b

auv′

où φ|ba = φ(b)− φ(a).

Démonstration : On a (uv)′ = u′v + uv′. Et on intègre. Comme (uv)′ est continue,on peut appliquer le théorème fondamental du calcul intégral dans le membre de gauche.Bien évidemment, une primitive de (uv)′ est uv.

Exemple : Cherchons une primitive de la fonction arcsin sur [−1, 1]. Pour cela, consi-dérons F (x) =

∫ x0 arcsin t dt pour −1 ≤ x ≤ 1. On voudrait poser u′ = 1 et v = arcsinx,

malheureusement v n’est pas dérivale en −1 et 1. Supposons donc d’abord −1 < x < 1.Il vient F (x) = t arcsin t|x0 −

∫ x0

t√1−t2 dt = x arcsinx −

√1− x2 + 1. Une primitive de la

fonction arcsin sur ]− 1, 1[ est donc la fonction F : x 7→ x arcsinx−√

1− x2.

Exercice : Justifier sans calculs que F est une primitive de la fonction arcsin sur [−1, 1].

VI.5 Changement de variable

Proposition 26.30 : Soit φ ∈ C1([α, β]). Soit f une fonction continue sur un intervalleI contenant φ([α, β]). On a∫ β

αf(φ(t))φ′(t) dt =

∫ φ(β)

φ(α)f(x) dx

Démonstration : Soit F une primitive de f sur I. On a pour tout t ∈ [α, β], f(φ(t))φ′(t) =

F ′(φ(t))φ′(t) = (F φ)′(t). Ainsi,∫ βα f(φ(t))φ′(t) dt =

∫ βα (F φ)′(t) dt = F φ|βα =

F (φ(β))− F (φ(α)) =∫ φ(β)φ(α) f(x) dx.

Remarque 26.8 : L’énoncé du théorème de changement de variable est compliqué, maisson utilisation est en réalité simple. On désire calculer

∫ ba f(x) dx. Pour cela, on décide de

poser x = φ(t). On cherche alors α et β tels que a = φ(α) et b = φ(β) (quand x vaut a,t vaut α). La question est ensuite : que devient dx ? Le théorème nous dit qu’il devientφ′(t) dt (facile de s’ensouvenir : dx = dx

dt dt). Ainsi∫ β

αf(φ(t))φ′(t) dt =

∫ b

af(x) dx

VII. FORMULES DE TAYLOR 375

Exemple : Soit X ∈ [−1, 1]. Calculons I =∫ X

0 arcsinx dx en posant x = sin t. On aI =

∫ arcsinX0 t cos t dt. Une intégration par parties permet de finir le calcul.

VII Formules de Taylor

VII.1 Introduction

Nous avons déjà rencontré deux formules de Taylor : la formule de Taylor Young, quipermet de calculer dee limites, des équivalents, des développements limités. Et la formulede Taylor pour les polynômes, qui est une formule « exacte », permettant d’exprimer unpolynôme à l’aide des puissances de X − a et des dérivées de ce polynôme en a.

Nous allons dans ce paragraphe donner deux autres formules de Taylor, toujours bâtiessur le même modèle : f est une fonction possédant une certaine régularité, a, b (ou a, x, ouautre chose) sont deux réels, et la formule est toujours

f(b) = Tn(b− a) +Rn

où Tn =∑n

k=0Xk

k! f(k)(a) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n, et Rn est un

reste. C’est ce reste qui va changer selon le théorème.

VII.2 Formule de Taylor avec reste intégral

Proposition 26.31 : Soit n ≥ 0. Soient a, b ∈ R. Soit f : [a, b] (ou [b, a]) → R declasse Cn+1. Alors

f(b) =

n∑k=0

(b− a)k

k!f (k)(a) +Rn

où Rn =∫ ba

(b−t)nn! f (n+1)(t)dt.

Démonstration : C’est une récurrence sur n. Pour n = 0, la formule s’écrit f(b) =

f(a) +∫ ba f′(t) dt, qui n’est autre que le théorème fondamental du calcul intégral. Sup-

posons le théorème vérifié pour un entier n. Soit f ∈ Cn+2([a, b]). On a alors f(b) =∑nk=0

(b−a)k

k! f (k)(a) + Rn d’après l’hypothèse de récurrence. Intégrons Rn par parties enposant u′ = (b−t)n

n! et v = f (n+1)(t). Il vient Rn = (b−a)n+1

(n+1)! +∫ ba

(b−t)n+1

(n+1)! f(n+2)(t)dt d’où le

résultat au rang n+ 1.

VII.3 Inégalité de Taylor-Lagrange

Proposition 26.32 : Soit n ≥ 0. Soient a, b ∈ R. Soit f : [a, b] (ou [b, a]) → R declasse Cn+1. Alors

f(b) =

n∑k=0

(b− a)k

k!f (k)(a) +Rn


où |Rn| ≤ |b−a|n+1

(n+1)! sup[a,b]

∣∣f (n)∣∣.

Démonstration : Il suffit de majorer l’intégrale |Rn| de la formule précédente.

Remarque 26.9 : Contrairement à la formule de Taylor-Young qui ne raconte des chosesque localement, au voisinage d’un certain point, l’inégalité de Taylor-Lagrange est uneinégalité globale. Elle sert donc à prouver. . . des inégalités globales. Prenons un exemple.On prend f(x) = ex, a = 0, b = x. Et n quelconque. Il vient donc ex =

∑nk=0

xk

k! + Rn où|Rn| ≤ |x|n+1

(n+1)! maxS | exp |, avec S = [0, x] ou [x, 0] selon que x est positif ou négatif. Cemax vaut en fait 1 si x ≤ 0 et ex si x > 0. Mais il ne dépend pas de n. Lorsque n tendvers l’infini, le majorant tend vers 0. On vient ainsi de prouver que

∑nk=0

xk

k! tend vers ex

lorsque n tend vers l’infini.

VIII Fonctions à valeurs complexes

Soit f : [a, b]→ C une fonction continue par morceaux (i.e. sa partie réelle et sa partieimaginaire sont continues par morceaux). On appelle intégrale de f sur [a, b] le nombrecomplexe

∫ ba f(x) dx =

∫ ba Re(f(x)) dx + i

∫ ba Im (f(x)) dx. La linéarité de l’intégrale reste

vérifiée. La formule de Chasles également. On peut évidemment intégrer par parties oufaire des changements de variable.

En revanche, on ne peut plus parler de croissance ou de positivité de l’intégrale, puis-qu’on ne peut pas comparer deux fonctions à valeurs complexes. On a cependant le résultatsuivant :

Proposition 26.33 : Soit f : [a, b] → C continue par morceaux. Alors∣∣∣∫ ba f(x) dx

∣∣∣ ≤∫ ba |f(x)| dx.

Démonstration : Soit z0 ∈ C∗. Soit Λ : C → R définie par Λ(z) = <z,z0>|z0| où les

crochets dénotent le produit scalaire usuel dans C identifié à R2. On a alors pour toutnombre complexe z, |Λ(z)| ≤ |z|, d’après l’inégalité de Schwarz. De plus, on a égalité lorsquez = z0. On a donc

∫ ba Λ(f(t)) dt ≤

∫ ba |f(t)| dt. De plus,

∫ ba Λ(f(t)) dt = Λ(

∫ ba f(t) dt). Ceci

résulte de la linéarité de a. Ceci reste valable pour tout z0 non nul. En particulier, si∫ ba f(t) dt est non nulle, on l’appelle z0, et on obtient z0 = Λ(z0) ≤

∫ ba |f(t)| dt. Si jamais

l’intégrale est nulle, l’inégalité à montrer est triviale.

IX. EXERCICES 377

IX Exercices

1. Soient a et b deux réels, a < b. Calculer∫ ba bxc dx dans les deux cas suivants :

(a) a et b sont entiers.(b) a et b sont quelconques.

2. Pour m,n ∈ N, on pose

Im,n =

∫ 1

0xm(1− x)n dx

(a) Trouver une relation simple entre Im,n et Im+1,n−1, pour m ≥ 0, n ≥ 1.(b) En déduire la valeur de Im,n en fonction de m et n.

3. Pour n ∈ N, soit In =∫ π/2

0 sinn t dt.(a) Trouver, pour n ≥ 2, une relation liant In et In−2.(b) Déterminer, pour p ∈ N, la valeur de I2p en fonction de p.(c) Déterminer, pour p ∈ N, la valeur de I2p+1 en fonction de p.

4. Pour n ≥ 2, on pose un =∫ 1

0t2n+2

t2+1dt.

(a) Prouver que un ∼ 14n lorsque n→∞.

(b) Soit vn = 1− 13 + 1

5 + · · ·+ (−1)n

2n+1 . Calculer vn en fonction de un.

(c) En déduire la limite, lorsque n→∞, de∑n

k=0(−1)k

2k+1 .5. Déterminer la limite éventuelle des suites ci-desous :

1n

∑nk=1 cos kπn , 1

nn√∏n

k=1(n+ k), 1n

∑2n−1k=0 ln(1 + k

n),∑2n−1

k=0k

k2+n2 , n∑2n−1

k=n1k2.

6. Pour n ≥ 1, on pose un =(

(2n)!n!nn

) 1n . Écrire lnun comme une somme de Riemann et

en déduire la limite de un lorsque n tend vers l’infini.7. Soit f une fonction de classe C1 sur [0, 2π]. Montrer que

∫ 2π0 f(t) sinnt dt tend vers

0 lorsque n tend vers l’infini.8. Montrer que le résultat précédent reste valable si, au lieu de supposer f de classe C1,

on la suppose en escalier. En déduire que le résultat reste vrai pour toute fonctioncontinue par morceaux.

9. Soit x ∈ R \ −1, 1. Calculer à l’aide de sommes de Riemann l’intégrale∫ 2π

0ln(1− 2x cos t+ x2) dt

10. Soit α > 0.(a) Montrer que pour tout entier k ≥ 2, on a 1

kα ≤∫ kk−1

dttα ≤

1(k−1)α .

(b) En déduire la convergence ou la divergence de la suite de terme général un =∑nk=1

1kα .


11. Soit ε > 0 fixé. Calculer la limite lorsque x tend vers +∞ de x1−ε ∫ x+1x sin(t2) dt.

12. Soit f continue sur [a, b] (a < b). Pour n ≥ 1, on pose un =(∫ b

a |f(t)|n dt) 1n . On

pose M = max[a,b] |f |. On se donne un réel ε > 0.

(a) Montrer que pour tout n ≥ 1, on a un ≤M(b− a)1n . En déduire que pour tout

n assez grand, on a un ≤M + ε.(b) Montrer que pour tout entier n assez grand, on un ≥M−ε. On pourra introduire

un réel c tel que |f(c)| = M , puis considérer δ > 0, tel que pour tout x ∈[c− δ, c+ δ], f(x) ≥M − ε/2.

(c) En déduire que un possède une limite lorsque n tend vers l’infini, et calculercette limite.

13. Soit f : [0, 2π] → R de classe C2 et telle que f ′′ ≥ 0. Déterminer le signe de∫ 2π0 f(t) cos t dt.

14. Soit f : [0, 1]→ [0, 1], continue, non identiquement nulle, et telle que∫ 1

0 f =∫ 1

0 f2.

Montrer que f = 1.15. Soient a, b ∈ R tels que a < b. Soit f : [a, b]→ R continue. Soientm = minx∈[a,b] f(x)

et M = maxx∈[a,b] f(x). On suppose que m > 0.(a) Montrer que

2

√m

M(b− a) ≤ 1

M

∫ b

af +m

∫ b

a

1

f≤(

1 +m

M

)(b− a)

Indication : On pourra étudier la fonction ϕ : [m,M ] → R définie par ϕ(t) =tM + m

t .(b) Montrer que

(b− a)2 ≤∫ b

af

∫ b

a

1

f≤ (b− a)2 (m+M)2

4mM

Indication : Pour la première inégalité, utiliser Schwarz. Pour la deuxième inéga-

lité, on pourra remarquer que((∫ b

a f) 1

2 −√mM

(∫ ba

1f

) 12

)2

≥ 0, puis utiliser

la question précédente.16. Soit f : [a, b]→ R continue.

(a) On suppose que pour toute fonction g : [a, b] → R continue on a∫fg = 0.

Montrer que f = 0.(b) On suppose que pour toute fonction g : [a, b] → R de classe C1 on a

∫fg = 0.

Montrer que f = 0.

17. Trouver la limite lorsque x tend vers 1, x > 1, de∫ x2x

dtln t . Indication : 1

ln t = tt ln t ,

puis IPP.18. Soit f : [0, π]→ R continue, positive, et telle que ∀n ∈ 0, . . . , 4,

∫ π0 f(x) cosnx dx =

(−1)n(2n+ 1)f(0).

IX. EXERCICES 379

(a) Calculer, pour n = 0, 2 et 4,∫ π

0 f(x) cosn x dx.

(b) Calculer∫ π

0 f(x)(1 + cos2 x− cos4 x) dx.

(c) En déduire que f est la fonction nulle.

19. (a) Montrer :∫ π

40 ln(cosx) dx =

∫ π4

0 ln(cos(π4 − x)) dx.

(b) En déduire la valeur de∫ π

40 ln(1 + tan t) dt.

20. Soit a ∈ R∗+. Soit f : [0, a] → R continue telle que pour tout x ∈ [0, a], on aitf(x) 6= 1 et f(x)f(a− x) = 1. Calculer

∫ a0

dx1+f(x) .

21. Déterminer la limite lorsque n tend vers l’infini de∑n

k=1 e1

n+k − n.

22. Déterminer la limite lorsque n tend vers l’infini de n2(∏n

k=1 kk)− 4

n2 .

23. Soit f : R→ R+ une fonction de classe C2. On suppose que f ′′ est bornée sur R eton note M = supx∈R |f ′′(x)|.

(a) Montrer : ∀x, y ∈ R, f(x) + yf ′(x) + y2

2 M ≥ 0.

(b) En déduire : ∀x ∈ R, |f ′(x)| ≤√

2Mf(x).

24. Égalité de Taylor-Lagrange. Soit n ≥ 0. Soit f : [a, b] → R. On suppose que f estde classe Cn sur [a, b], et que f (n) est dérivable sur ]a, b[. Soit λ ∈ R et ϕ : [a, b]→ Rdéfinie par

ϕ(x) =n∑k=0

(b− x)k

k!f (k)(x) + λ

(b− x)n+1

(n+ 1)!

(a) Démontrer l’existence d’un réel λ tel que ϕ(a) = ϕ(b). On suppose un tel λchoisi dans la question suivante.

(b) Appliquer le théorème de Rolle à ϕ et en déduire l’existence d’un réel c ∈]a, b[tel que

f(b) =

n∑k=0

(b− a)k

k!f (k)(a) +

(b− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(c)


Chapitre 27Étude des Fonctions

381

382 CHAPITRE 27. ÉTUDE DES FONCTIONS

Voici un plan d’étude des fonctions d’une variable réelle. Certaines parties de cetteétude peuvent être abordées dans un ordre différent, ou être parfois omises. Tout ce quisuit n’est bien entendu valable que pour des fonctions raisonnablement régulières : onexclut les cas pathologiques et les courbes monstrueuses .

I Ensemble de définition

L’étude de la fonction f commence forcément par la recherche de son ensemble dedéfinition Df . Cette recherche est souvent, mais pas toujours, immédiate.

II Réduction de l’ensemble d’étude

La fonction est-elle paire ? Impaire ? Périodique ? L’expression de f présente-t-elle dessymétries ? À partir des symétries algébriques on peut souvent déduire des symétriesgéométriques de la courbe représentative, et donc une réduction de l’ensemble d’étude.Plus on réduit cet ensemble, et moins on a de travail par la suite.

III Régularité de la fonction

Les théorèmes du cours permettent d’affirmer que la fonction est continue, dérivable,C1, . . . , C∞ sur certains intervalles.

Tout ce qui précède a permis de mettre en évidence un certain nombre de points quenous appellerons remarquables . Ce sont

• +∞ ou −∞ si l’ensemble d’étude de f est non borné.• Les bornes des intervalles trouvés lors de la recherche de Df , ou lors de l’étude de

la régularité de f . En fait, tout point ayant été nommément cité est remarquable.En général, en un tel point, la fonction n’est pas définie, ou alors elle est définiemais les théorèmes généraux du cours ne permettent pas d’affirmer si elle y estcontinue, dérivable, . . . D’autres points remarquables risquent d’apparaître dans lesparagraphes qui suivent.

IV Variations

Le signe de f ′ permet de déterminer des intervalles sur lesquels f est monotone (onrappelle que f est supposée être raisonnablement gentille). Les points d’annulation de f ′

sont également des points remarquables (tangente horizontale).On résume ce qui précède dans le tableau de variations de f , qui doit faire appa-

raître :• Le signe de f ′.

V. POINTS REMARQUABLES RÉELS 383

• Les points remarquables.• Les points que nous trouvons rigolos ou attrayants ( zéros de f , de f ′′, . . . ).Ce tableau est incomplet : il y manque les limites éventuelles de f en certains points

remarquables.

V Points remarquables réels

V.1 Point réel où la fonction n’est pas définie

La fonction a-t-elle une limite infinie en ce point (éventuellement à droite ou à gauche) ?On a alors une asymptote verticale .

A-t-on une limite finie ? On prolonge alors par continuité, et on passe au numéro suivant.Pas de limite ? On abandonne tout espoir d’étude et on dessine comme on peut (cf

sin 1x).

V.2 Points où la fonction est définie

On recherche (en revenant éventuellement à la définition) si la fonction est continueau point, si elle y est dérivable, si on a une tangente verticale à la courbe . . . Lorsqu’il ya tangente oblique on recherche la position de la courbe par rapport à cette tangente auvoisinage du point considéré.

VI Étude à l’infini

on suppose ici à titre d’exemple que la fonction est définie au voisinage de +∞. C’estpareil en −∞.

VI.1 Limite à l’infini

Limite finie

Si f a une limite finie à l’infini, on a alors une asymptote horizontale . Le tableaude variations permet de préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Limite infinie

On passe au paragraphe intitulé « Direction asymptotique ».

Pas de limite

On abandonne l’étude et trace comme on le sent (exemple : sinx).


VI.2 Direction asymptotique

On suppose ici que f(x) tend vers l’infini (plus ou moins) lorsque x→ +∞. On considèref(x)x et on regarde ce que fait cette quantité lorsque x→∞. A-t-on• f(x) ∼ ax avec a 6= 0 ? Il y a direction asymptotique dans la direction de la

droite Y = aX. On passe au paragraphe suivant.• f(x) = o(x) ? Il y a direction asymptotique dans la direction de la droite Ox.

On parle également de branche parabolique dans la direction de l’axe Ox.• x = o(f(x)) ? Il y a direction asymptotique dans la direction de la droite Oy.

On parle également de branche parabolique dans la direction de l’axe Oy.• Rien de tout cela ? On abandonne l’étude à l’infini et on trace au feeling.En résumé, c’est l’étude d’une limite éventuelle de f(x)

x à l’infini qui permet de savoirsi la courbe admet une direction asymptotique.

VI.3 Asymptote, branche parabolique

On suppose ici que f(x) → ±∞ lorsque x → +∞, et que f(x) ∼ ax où a 6= 0. On adonc f(x) = ax + o(x) et il est alors naturel de considérer la quantité f(x) − ax. Cettequantité admet-elle en +∞

• Une limite finie b ? On a alors f(x) = ax+b+o(1) et on dit que la droite Y = aX+best asymptote à la courbe au voisinage de +∞. On passe ensuite au paragraphesuivant.• Une limite infinie ? On a une branche parabolique dans la direction de la droiteY = aX.• Rien du tout ? On se contente de la direction asymptotique, et on arrête l’étude.

VI.4 Position courbe/asymptote

On suppose ici que la courbe admet l’asymptote Y = aX + b (a 6= 0) au voisinagede +∞. Il faut alors étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote, enconsidérant la quantité f(x)−ax−b. Le signe de cette quantité détermine la position. Onpeut chercher ce signe « algébriquement » lorsque les expressions mises en jeu sont simples,ou sinon au voisinage de l’infini par des calculs d’équivalents ou des développementsasymptotiques.

VII Concavité

Cette étude est souvent omise. L’étude du signe de f ′′ permet de préciser les inflexionsde la courbe, et les intervalles où la fonction est convexe ou concave .

VIII. TRACÉ 385

VIII Tracé

C’est le but ultime de l’étude, et il ne doit pas être négligé. Tout ce qui a été étudié doitse voir sur le dessin : les points remarquables et leurs éventuelles tangentes, les asymptoteséventuelles, . . . et des axes avec une indication d’échelle. En revanche, en mathématiquesun tableau de valeurs est totalement inutile en général. Ce qui est important est la formede la courbe, beaucoup plus que son exactitude.


IX Exercices

1. Construire les courbes d’équations y = f(x) où

(a) f(x) = ln(x+1)lnx .

(b) f(x) = exp x2

x2−1.

(c) f(x) = (x− 1) arctanx.

(d) f(x) = xx−x2 .

(e) f(x) = sinxtanx.

2. Tracer le graphe de f , où

(a) f(x) = 3√x2(x− 2)

(b) f(x) = x2+1x−1 e

1x

(c) f(x) =√x3 + x− 2. Inflexions ?

(d) f(x) = (x+ 2)e1x .

(e) f(x) = arctan(1 + tanx+ tan2 x).

(f) f(x) = 1ln(1+x) −

1x .

(g) f(x) =√|x2 − 1| arctanx.

3. (a) Montrer que pour tout x ∈ [−π2 ,

π2 ], | sinx− x+ x3

6 −x5

120 | ≤ 0.01.

(b) Tracer sur un même dessin les graphes de la fonction sinus et de la fonctionx 7→ x− x3

6 + x5

120 .

Chapitre 28Séries

387

388 CHAPITRE 28. SÉRIES

I Généralités

I.1 Notion de série

Définition 28.1 : Soit (un)n≥0 une suite réelle ou complexe.• On appelle série de terme général un la suite (SN )N≥0 définie pour tout entier Npar SN =

∑Nn=0 un.

• On notera informellement∑un la série de terme général un.

• Pour N ∈ N, les sommes SN sont les sommes partielles de la série∑un.

• Pour n ∈ N, un est le nième terme de la série∑un.

Remarque 28.1 : Comme pour les suites, les séries peuvent démarrer à un rang autreque 0. Pour les questions de convergence, les premiers termes de la série ne jouent aucunrôle. En revanche, pour le calcul de ce que nous appellerons la somme de la série, chaqueterme importe. La notation

∑un n’est donc qu’une notation abstraite, plutôt malheureuse,

avec laquelle il ne s’agit pas de faire des calculs.

Exemple :• Soit q ∈ C. On appelle série géométrique de raison q la série

∑qn.

• Soit α ∈ C. On appelle série de Riemann de paramètre α la série∑ 1

nα (la sériedémarre au rang 1).

Définition 28.2 : Soit∑un une série. On dit que la série converge lorsque la suite

de ses sommes partielles est convergente. Sinon, on dit que la série diverge. En cas deconvergence, on appelle somme de la série, et on note

∑∞n=0 un, la limite en question.

Remarque 28.2 : On adapte évidemment la notation si la série démarre à un rangautre que 0 !

Exemple : Soit q ∈ C. Si q = 1,∑N

n=0 qn = N+1 qui tend vers +∞ lorsque N tend vers

l’infini. Si q 6= 1, on a∑N

n=0 qn = 1−qN+1

1−q . Si q 6= 1, cette quantité converge si et seulementsi |q| < 1, et sa limite est alors 1

1−q .

Proposition 28.1 : Soit q ∈ C. La série∑qn converge si et seulement si |q| < 1, et

on a alors∑∞

n=0 qn = 1

1−q .

Remarque 28.3 : Pour la convergence des séries de Riemann, il va falloir attendre unpeu.

I.2 linéarité de la somme

Proposition 28.2 : Soient∑un et

∑vn deux séries convergentes. Soient λ, µ ∈ R ou

C. La série∑

(λun + µvn) est convergente et on a∞∑n=0

(λun + µvn) = λ∞∑n=0

un + µ∞∑n=0

vn


Démonstration : C’est évident. Considérer les sommes partielles et faire tendre N versl’infini.

I.3 Restes

Définition 28.3 : Soit∑un une série convergente, de somme S. Les restes de la série

sont les nombres RN = S − SN , où SN =∑N

n=0 un.

Remarque 28.4 : La suite des restes tend évidemment vers 0 lorsque N tend versl’infini. Chaque reste RN est en fait lui-même la somme de la série

∑∞n=N+1 un.

Exemple : Reprenons les séries géométriques de raison q ∈ C, vérifiant |q| < 1. On aSN = 1−qN+1

1−q et S = 11−q . Donc RN = S − SN =

∑∞n=N+1 q

n = qN+1

1−q .

I.4 Condition nécessaire de convergence

Proposition 28.3 : Soit∑un une série. SI cette série converge, alors son terme général

tend vers 0. La réciproque est fausse.

Démonstration : Supposons que la série converge. La suite de terme général SN =∑Nn=0 un converge donc vers une limite S (qui est la somme de notre série). De là, un =

Sn − Sn−1 tend vers S − S = 0.Pour un contre-exemple de la réciproque, soit par exemple un =

√n −√n− 1, défini

pour n ≥ 1. On voit facilement que un tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. En revanche,SN =

∑Nn=1(√n−√n− 1) =

√N tend vers l’infini lorsque N tend vers l’infini. Nous avons

donc là un exemple d’une série divergente dont le terme général tend pourtant vers 0.

Remarque 28.5 : Ce théorème sert à démontrer qu’une série diverge. Lorsque le termegénéral d’une série ne tend pas vers 0, on dit que la série diverge grossièrement. À retenirabsolument : à chaque fois qu’on s’attaque à l’étude d’une série, on regarde la limiteéventuelle du terme général. Si cette limite n’existe pas, ou n’est pas nulle, c’est RÉGLÉ :la série diverge. Sinon, eh bien il faut travailler davantage.

I.5 Lien entre suites et séries

S’intéresser à la convergence d’une série, c’est par définition même s’intéresser à laconvergence d’une suite : la suite de ses sommes partielles. La fin de la démonstrationprécédente suggère que pour s’intéresser à la convergence d’une suite, on peut si l’on veuts’intéresser à la convergence d’une série.

Proposition 28.4 : Soit (un)n≥0 une suite réelle ou complexe. La suite (un) est conver-gente si et seulement si la série

∑(un+1 − un) est convergente.

Démonstration : C’est immédiat, puisque la somme partielle de cette série est SN =un+1 − u0. On a même mieux : en cas de convergence,

∑∞n=0(un+1 − un) = `− u0 où ` est

la limite de un.


II Séries à termes positifs

II.1 Une CNS très évidente de convergence

Proposition 28.5 : Soit∑un une série à termes positifs (∀n, un ≥ 0). Cette série

converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.

Démonstration : C’est évident. La suite des sommmes partielles est croissante. Or,une suite croissante de réels converge si et seulement si elle est majorée.

Remarque 28.6 : Les conclusions du théorème restent clairement vraies si l’inégalité0 ≤ un est vraie pour tout n assez grand.

II.2 Une CS évidente de convergence

Proposition 28.6 : Supposons que pour tout entier n on ait 0 ≤ un ≤ vn. Si la série∑vn converge, alors la série

∑un converge aussi.

Corollaire 28.7 : Supposons que pour tout entier n on ait 0 ≤ un ≤ vn. Si la série∑un diverge, alors la série

∑vn diverge aussi.

Démonstration : En effet,∑N

n=0 un ≤∑N

n=0 vn ≤ M =∑∞

n=0 vn. Les sommes par-tielles de la série

∑un sont donc majorées.

Remarque 28.7 : Les conclusions du théorème restent clairement vraies si l’inégalité0 ≤ un ≤ vn est vraie pour tout n assez grand.

Remarque 28.8 : Pour montrer qu’une série à termes positifs converge on peut doncmajorer le terme général de cette série par le terme général d’une série à termes positifsconvergente. Mais ça se mord la queue ? Non, l’idée est de posséder un catalogue de sériesconvergentes « de base », et de tenter des majorations par les termes généraux de cesséries. Nous avons déjà les séries géométriques dans notre catalogue. Bientôt les séries deRiemann. . . .

Remarque 28.9 : Remarquer la contraposée de notre théorème : il sert AUSSI àdémontrer qu’une série à termes positifs est divergente.

II.3 Une CS un peu moins évidente de convergence

Proposition 28.8 : Soient∑un et

∑vn deux séries à termes positifs. On suppose que

un ∼ vn lorsque n tend vers l’infini. Alors, la série∑un converge si et seulement si la

série∑vn converge.

Démonstration : On a pour tout n assez grand, un ≤ 32vn, puisque

unvn

tend vers 1 àl’infini. Donc, si

∑vn converge, il en est de même de

∑un. Comme on a aussi vnun → 1, on

a la conclusion réciproque.

III. COMPARAISON ENTRE SÉRIES ET INTÉGRALES 391

Remarque 28.10 : Il suffit de savoir que l’une des deux séries est à termes positifspuisque, si deux suites sont équivalentes, elles ont même signe à partir d’un certain rang.

Exemple : Soit la série de terme général un = n2+13n2+2

e−n. On a bien un ≥ 0. De plus,un ∼ 1

3

(1e

)n, terme général d’une série géométrique de raison 1e . Donc, la série

∑un

converge.

III Comparaison entre séries et intégrales

III.1 Séries vs intégrales

Soit f : R+ → R une fonction décroissante. Considérons la série∑f(n). On a pour

tout n ≥ 1, f(n) ≤∫ nn−1 f(t) dt. On en déduit que pour tous M ≤ N ,

∑Nn=M f(n) ≤

f(M) +∫ NM f(t) dt. De même, on a pour tout n ≥ 0, f(n) ≥

∫ n+1n f(t) dt. On en déduit∑N

n=M f(n) ≥∫ N+1M f(t) dt. On a donc la

Proposition 28.9 : Soit f : R+ → R une fonction décroissante. Soient M ≤ N . On a

∫ N+1

Mf(t) dt ≤

N∑n=M

f(n) ≤ f(M) +

∫ N

Mf(t) dt

Si l’on connaît une primitive de f , on aura alors un encadrement des sommes partiellesde la série qui permet très souvent de conclure à sa convergence ou à sa divergence. Nouspouvons enfin régler le cas des séries de Riemann pour un exposant réel.

Proposition 28.10 : Soit α ∈ R.• Si α ≤ 0, la série

∑ 1nα est grossièrement divergente.

• Si 0 < α ≤ 1, la série∑ 1

nα diverge, bien que son terme général tende vers 0.• Si α > 1, la série

∑ 1nα converge.

Démonstration : Pour α < 0, le terme général ne tend pas vers 0, d’où la diver-gence grossière. Supposons maintenant 0 < α. On prend f(x) = 1

xα dans la propositionprécédente. Trois cas surviennent :

• Le cas 0 < α < 1. Une primitive de f sur R∗+ est x 7→ x1−α

1−α . On a donc∑N

n=11nα ≥∫ N+1

1dxxα = (N+1)1−α−1

1−α . Le minorant tend vers l’infini lorsque N tend vers l’infini,d’où la divergence.• Le cas α = 1. Une primitive de f sur R∗+ est x 7→ lnx. On a donc

∑Nn=1

1nα ≥∫ N+1

1dxx = ln(N + 1). Le minorant tend vers l’infini lorsque N tend vers l’infini,

d’où la divergence.• Le cas α > 1. Une primitive de f sur R∗+ est x 7→ −x1−α

α−1 . On a donc∑N

n=11nα ≤

1 +∫ N

1dxxα = 1 + 1

α−1 −1

α−11

Nα−1 ≤ 1 + 1α−1 . Les sommes partielles sont majorées,

d’où la convergence.


Exercice : Énoncer et démontrer une proposition pour les fonctions croissantes.

Remarque 28.11 : La proposition ci-dessus permet également d’évaluer des restes deséries convergentes. Considérons par exemple la série

∑ 1n2 . Cette série converge, donc

RN =∑∞

n=N1n2 tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini. Cherchons un équivalent de RN .

Pour cela, écrivons l’inégalité de la proposition :∫ N+1

M

dt

t2≤

N∑n=M

1

n2≤ 1

M2+

∫ N

M

dt

t2

c’est à dire1

M− 1

N + 1≤

N∑n=M

1

n2≤ 1

M2+

1

M− 1

N

Faisons tendre N vers l’infini. Il vient :

1

M≤ RM−1 ≤

1

M2+

1

M

d’où RM ∼ 1M lorsque M tend vers l’inini.

III.2 Un exemple complet : la série harmonique

On considère ici la série harmonique∑ 1

n . Nous savons que cette série est divergente,mais nous allons estimer plus précisément ses sommes partielles SN . Tout d’abord, enappliquant le paragraphe précédent, on obtient∫ N+1

1

dt

t≤

N∑n=1

1

n≤ 1 +

∫ N

1

dt

t

ou encoreln(N + 1) ≤ SN ≤ 1 + lnN

On en déduit aisément que SN ∼ lnN lorsque N tend vers l’infini.Considérons maintenant un = Sn− lnn. Nous savons que la suite u et la série de terme

général vn = un+1 − un sont de même nature. Or, un+1 − un =∑n+1

k=11k − ln(n + 1) −∑n

k=11k + lnn = 1

n+1 − ln(1 + 1n) = 1

n(1− 1n + o( 1

n))− 1n + 1

21n2 + o( 1

n2 ) ∼ − 12n2 . La série∑

vn est donc convergente, puisque son terme général est équivalent au terme général d’unesérie de Riemann convergente. Ainsi, uN converge également. Sa limite, γ, est appelée laconstante d’Euler.

Estimons maintenant wN = uN−γ =∑N

n=11n− lnN−γ. Dans le calcul ci-dessus, nous

avons∑N

n=1 vn = uN+1 − u1 = uN+1 − 1 d’où γ =∑∞

n=1 vn + 1. Ainsi, wN = uN − γ =∑N−1n=1 vn + 1 − (

∑∞n=1 vn + 1) = −

∑∞n=N vn. La remarque faite à la fin du paragraphe

précédente nous montre que wn ∼ 12n . En conclusion :

IV. CONVERGENCE ABSOLUE 393

n∑k=1

1

k= lnn+ γ +

1

2n+ o(

1

n)

On pourrait continuer l’expérience en considérant zn =∑n

k=11k − lnn − γ − 1

2n et enappliquant à nouveau le théorème suite-série. On obtiendrait que zn ∼ − 1

12n2 , et ainsi desuite. Application, si l’on veut calculer une valeur approchée de la constante d’Euler on aintérêt à considérer par exemple la quantité

∑nk=1

1k − lnn − 1

2n + 112n2 , qui va converger

vers γ aussi vite qu’un o( 1n2 ).

Considérons la fonction Python ci-dessous :

def approx_gamma(n):s = 0for k in range(1, n+1):s = s + 1.0 / kreturn s - log(n) - 1.0 / (2 * n) + 1.0 / (12 * n ** 2)

L’appel approx_gamma(1000) renvoie instantanément la valeur 0.577215664902 : tous leschiffres sont exacts. Si l’on s’était contentés de return s - log(n), il aurait fallu addi-tionner 1012 termes, c’est à dire attendre quelques années.

Remarque 28.12 : Pourquoi tous les chiffres exacts ? Eh bien le terme suivant dansle développement asymptotique de

∑nk=1

1k est 1

120n4 . Notre fonction approx_gamma rnvoiedonc la valeur de γ avec une erreur de l’ordre de 1

120n4 , et pour n = 1000, cette quantité estinférieure à 10−14. Attention, ceci n’est pas une preuve ! Nous n’avons pas un encadrementde l’erreur commise mais seulement un équivalent.

IV Convergence absolue

IV.1 Séries absolument convergentes

Définition 28.4 : Soit∑un une série à termes dans R ou C. On dit que la série

∑un

converge absolument lorsque la série∑|un| converge.

Exemple : Soit α ∈ R. La série∑ (−1)n

nα est absolument convergente si et seulement siα > 1.

Exemple : Soit α ∈ C. La série∑ 1

nα est absolument convergente si et seulement siReα > 1. En effet, |nα| = nReα.


IV.2 Convergence absolue et convergence

Proposition 28.11 : Il existe des séries qui convergent, mais ne convergent pas abso-lument.

Démonstration : Considérons la série∑ (−1)n−1

n . Cette série ne converge pas absolu-ment, puisque l’on sait que la série de Riemann

∑ 1n est divergente. En revanche, nous avons

vu dans le chapitre sur les suites que cette série converge, avec de plus∑∞

n=1(−1)n−1

n = ln 2.

Proposition 28.12 : Toute série absolument convergente est convergente.Avant de démontrer ce théorème, introduisons une notation.

Notation : Pour tout réel x, on pose x+ = x si x ≥ 0 et x+ = 0 sinon. De même, onpose x− = −x si x ≤ 0 et x− = 0 sinon.

Proposition 28.13 : Pour tout réel x, les réels x+ et x− sont positifs, x = x+ − x− et|x| = x+ + x−.

Démonstration : C’est évident, il n’y a qu’à considérer deux cas.

• Prouvons d’abord le théorème pour une série à termes réels.

Démonstration : Soit (un)n≥0 une suite réelle. Supposons que la série∑|un| est

convergente. On a, pour tout entier n, 0 ≤ u+n ≤ |un| et 0 ≤ u−n ≤ |un|. Les séries à

termes positifs∑u+n et

∑u−n ont donc leur terme général majoré par le terme général

d’une série convergente. On en déduit que ces deux séries convergent. Par linéarité, la série∑un =

∑(u+n − u−n ) est également convergente.

Remarque 28.13 : En poussant un peu plus loin, on a |∑∞

n=0 un| = |∑∞

n=0 u+n −∑∞

n=0 u−n | ≤ |

∑∞n=0 u

+n | + |

∑∞n=0 u

−n | =

∑∞n=0 u

+n +

∑∞n=0 u

−n =

∑∞n=0(u+

n + u−n ) =∑∞n=0 |un|. On a donc l’inégalité triangulaire :

|∞∑n=0

un| ≤∞∑n=0

|un|

Cette démonstration est-elle bien raisonnable ? N’y a-t-il pas plus simple ? Mais oui, voirle cas complexe !

• Prouvons maintenant le théorème pour une série à termes complexes.

Démonstration : Soit (un)n≥0 une suite complexe. Supposons que la série∑|un| est

convergente. On a pour tout entier n, 0 ≤ |Reun| ≤ |un|. La série à termes réels∑

Reunest ainsi absolument convergente, donc convergente. De même pour la série

∑Imun et,

par linéarité, pour la série∑un.

Remarque 28.14 : Soit N ∈ N. On a |∑N

n=0 un| ≤∑N

n=0 |un| par l’inégalité triangulairepour les sommes « finies ». On passe à la limite dans l’inégalité en faisant tendre N vers

V. APPENDICE - REPRÉSENTATIONS P-ADIQUES DES RÉELS 395

l’infini (les deux séries mises en jeu convergent), et on obtient |∑∞

n=0 un| ≤∑∞

n=0 |un|. Ehoui, il y avait plus simple.

Corollaire 28.14 : Soit (un)n≥0 une suite complexe. Soit (vn)n≥0 une suite de réels po-sitifs. On suppose que un = O(vn) et que la série

∑vn est convergente. Alors, la série

∑un

est absolument convergente, donc convergente.

Démonstration : C’est évident, par définition même de la relation de domination. Ilexiste un réel K > 0 tel que pour tout n assez grand, on ait |un| ≤ Kvn.

V Appendice - Représentations p-adiques des réels

Dans toute cette section, p désigne un entier supérieur ou égal à 2.

V.1 Représentation en base p des entiers naturels

Proposition 28.15 : Soit n ∈ N∗. L’entier n s’écrit de façon unique∑N

k=0 akpk où les

ak sont des entiers entre 0 et p− 1, et aN 6= 0.

Démonstration : Pour l’existence, on fait une récurrence forte sur n. Soit n ≥ 1.Supposons que les entiers entre 1 et n − 1 s’écrivent sous la forme voulue. Effectuons ladivision de n par p : n = mp+a0, où a0 ∈ 0, . . . , p−1 etm ∈ N. Sim = 0, on a fini. Sinon,1 ≤ m < n, et on peut donc grâce à l’hypothèse de récurrence écrire m =

∑Nk=0 bkp

k où lesbk sont des entiers entre 0 et p−1 et bN 6= 0. On reporte et on obtient n =

∑Nk=0 bkp

k+1+a0,qui est bien de la forme recherchée, en posant a1 = b0, . . . , aN+1 = bN .

Pour l’unicité, supposons que l’entier n admet deux écritures distinctes∑N

k=0 akpk et∑M

k=0 bkpk. Soit P le plus grand indice tel que aP 6= bP . On a par exemple aP > bP .

Soustrayons, il vient (aP − bP )pP =∑P−1

k=0 (bk − ak)pk. Le membre de gauche est supérieurou égal à pP . Majorons le membre de droite :

∑P−1k=0 (bk − ak)p

k ≤ (p − 1)∑P−1

k=0 pk =

(p− 1)pP−1p−1 = pP − 1. Le membre de gauche et celui de droite ne peuvent pas être égaux,

contradiction.

Notation : Pour n =∑N

k=0 akpk avec les conditions requises sur les ak, on écrit n =

aN . . . a0p, ou plus simplement n = aN . . . a0 lorsque aucune confusion n’est à craindre. Lesak sont appelés les chiffres de l’écriture de n en base p.

Exemple : Les deux valeur de p les plus utilisées sont sans aucun doute p = 10 (écrituredécimale) et p = 2 (écriture binaire). Prenons n = 2013. On a 2013 = 2× 103 + 0× 102 +1 × 101 + 3 × 100 donc l’écriture décimale de 2013 est . . . 2013. Son écriture binaire est11111101001.

def chiffres(n, p):if n == 0: return []else: return chiffres(n // p, p) + [n % p]


V.2 Représentations d’un réel en base p

Tout réel x ≥ 0 s’écrit sous la forme n + y où n = bxc ∈ N et y ∈ [0, 1[. Nous allonsdonc nous concentrer jusqu’à la fin de cette section aux réels de l’intervalle [0, 1[.

Soit x ∈ [0, 1[. Posons x0 = x et a1 = bpx0c. On a a1 ≤ px < a1+1, donc 0 ≤ x− a1p < 1

p .De plus 0 ≤ a1 ≤ p− 1. Ceci sugère de recommencer, en posant x1 = x− a1

p .On construit par récurrence sur n une suite (xn)n≥0 et une suite (an)n≥0 comme suit :

a0 = 0, x0 = x et, pour tout n ∈ N, an+1 = bpn+1xnc et xn+1 = xn − an+1

pn+1 .

Proposition 28.16 : On a pour tout entier n ≥ 0 :• 0 ≤ an ≤ p− 1.• xn = x−

∑nk=0

akpk.

• 0 ≤ xn < 1pn .

Démonstration : Par récurrence sur n. Pour n = 0, c’est évident. Supposons donc lapropriété vérifiée pour l’entier n. On a an+1 ≤ pn+1xn < an+1 + 1. Comme xn < 1

pn , ona an+1 < p donc an+1 ≤ p − 1. Comme xn ≥ 0, an+1 l’est aussi (c’est sa partie entière).Enfin, an+1

pn+1 ≤ xn < an+1

pn+1 + 1pn+1 , d’où, après une petite soustraction, 0 ≤ xn+1 <

1pn+1 .

Corollaire 28.17 : On a x =∑∞

k=0akpk.

Démonstration : Évident : d’après la proposition précédente, xn tend vers 0 lorsquen tend vers l’infini.

Définition 28.5 : La suite (an)n≥1 est appelé un développement p-adique du réel x. Onnote x = 0.a1a2a3 . . ..

Exemple : Un développpement décimal du réel 17 est 0.142857142857 . . .. Montrons-

le. Soit y = 0.142857. La barre indique que l’on répète à l’infini cette séquence de 6chiffres. On a donc 106y = 142857.142857 = 142857 + y. De là, 999999y = 142857 et doncy = 142857

999999 = 17 .

Remarque 28.15 : Si x est un réel positif quelconque, un développement p-adique de xest x = bn . . . b0.a1a2a3 . . . où bn . . . b0 est un développement p-adique de la partie entièrede x. Si x < 0, on écrit x = −y où y = −x.

V.3 Unicité du développement

Eh bien il n’y a pas unicité ! Considérons par exemple le réel x = 0.49999 . . .. On a10x − 4 = 0.9999 . . ., d’où 10(10x − 4) = 9 + 10x − 4, c’est-à dire 90x = 45, d’où x = 1

2 .Mais on a aussi 1

2 = 0.50000 . . .. Ainsi, 12 admet deux développements décimaux distincts.

Nous allons maintenant regarder quels sont précisément les réels admettant plusieursdéveloppements p-adiques, combien ils en ont, et à quoi ressemblent ces développements.

Soit donc x ∈ [0, 1]. On suppose x =∑∞

k=1akpk

=∑∞

k=1bkpk, où les ak et les bk sont des

entiers entre 0 et p− 1, et au moins un des ak est différent du bk correspondant. Prenons

V. APPENDICE - REPRÉSENTATIONS P-ADIQUES DES RÉELS 397

un tel k minimal, notons le k0 et supposons par exemple ak0 > bk0 . On a donc

ak0 − bk0pk0

=∞∑

k=k0+1

bk − akpk

La somme du membre de droite est inférieure ou égal à∑∞

k=k0+1p−1pk

= 1pk0

. Et elle estégale à cette valeur si et seulement si pour tout k ≥ k0, on a bk = p − 1 et ak = 0 (lelecteur est invité à compléter). Le membre de gauche est quant à lui supérieur ou égal à

1pk0

, et est égal à cette valeur si et seulement si ak0 = bk0 + 1. Mais ces deux membres sontégaux. On en déduit donc :

• Pour tout k ≥ k0, on a bk = p− 1 et ak = 0• ak0 = bk0 + 1.On voit donc que si x possède deux développements p-adiques, l’un de ces deux déve-

loppements est nul à partir d’un certain rang. Ceci suggère de définir l’ensemble

E = npk, n ∈ Z, k ∈ N

Muni de l’addition et de la multiplication, cet ensemble est un sous-anneau de R,l’ensemble des nombres p-adiques (ont dit les nombres décimaux lorsque p = 10).

Nous résumons les calculs précédents dans une proposition :

Proposition 28.18 : Soit x ∈ [0, 1[. Le nombre x possède deux développements p-adiques distincts si et seulement si x ∈ E. Dans le cas où x ∈ E, x possède exactementdeux développements p-adiques. L’un est nul à partir d’un certain rang, de la forme x =∑N

k=1akpk, où les ak sont des entiers entre 0 et p−1, et aN 6= 0. L’autre est x =

∑N−1k=1

akpk

+aN−1pN

+∑∞

k=N+1p−1pk

.

Démonstration : Il reste une vérification à faire, à savoir que les deux développementsci-dessus sont bien égaux à x. Elle est laissée au lecteur.

Exemple : On prend p = 10. Soit x = 467510000 . Les deux développements décimaux de x

sont x = 0.4675000 . . . et x = 0.4674999 . . ..

Exemple : Soit x = 1113 . Le réel x n’étant pas un nombre décimal, il possède un unique

développement. L’algorithme de division appris au CM2 nous donne x = 0.846153. Unevérification serait de poser y = 0.846153 et de constater que 1000000y = 846153 + y, donc999999y = 846153 d’où y = 846153

999999 = 1113 = x.


VI Exercices

1. Montrer que la série de terme général un est convergente et calculer sa somme.

(a) un = 1(2n−1)(2n+1) , n ≥ 1.

(b) un = n(n+1)(n+2)(n+3) , n ≥ 0.

(c) un = 2n+1n2(n+1)2

, n ≥ 1.

(d) un = 2n+3n

6n , n ≥ 0.

(e) un = 2n+n2+n2n+1n(n+1)

, n ≥ 1.

(f) un = (−1)n−1(2n+1)n(n+1) , n ≥ 1.

(g) un =ln((1+ 1

n)n(1+n))

ln(nn) ln((n+1)n+1), n ≥ 2.

2. La série de terme général un est-elle convergente ?

(a) un = 1√n(n+10)

, n ≥ 1.

(b) un = sin 1n , n ≥ 1.

(c) un = 2+(−1)n

2n , n ≥ 0.

(d) un = n2

2n , n ≥ 0.

(e) un = lnnn√n+1

, n ≥ 1.

(f) un = lnnn√n+1

, n ≥ 1.

(g) un = 1+√n

(n+1)3−1, n ≥ 1.

(h) un = 110000n+1 , n ≥ 0.

(i) un = n

en2, n ≥ 0.

(j) un =∫ 1n

0

√x

1+x2dx, n ≥ 1.

(k) un =∫ n+1n e−

√x dx, n ≥ 1.

(l) un = ln(n sin 1n), n ≥ 1.

(m) un = 1n√n , n ≥ 1.

3. La série de terme général un est-elle absolument convergente ?

(a) un = cosnn2+1

, n ≥ 0.

(b) un = n cosn+(−1)n

n3 , n ≥ 1.

(c) un = (−1)nn37

(n+1)! , n ≥ 0.

4. On appelle série alternée toute série∑

(−1)nun où les un sont des réels positifs. Onse donne une série alternée qui vérifie que un décroît et tend vers 0 lorsque n tendvers l’infini. On note SN =

∑Nn=0(−1)nun.

VI. EXERCICES 399

(a) Montrer que la suite (S2N )N≥0 est croissante.

(b) Montrer que la suite (S2N+1)N≥0 est décroissante.

(c) Montrer que S2N+1 − S2N tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini.

(d) En déduire que la série∑

(−1)nun est convergente.

5. (a) Utiliser l’exercice précédent pour montrer que la série∑ (−1)n

n converge.

(b) Démontrer que deux façons différentes que la série∑ (−1)n

n2 converge.

6. Règle de D’AlembertSoit

∑un une série à termes strictement positifs. On suppose que un+1

un→ ` ∈ R+

lorsque n tend vers l’infini.

(a) On suppose que ` < 1. On pose q = `+12 . Montrer

i. Pour tout n assez grand un+1 ≤ qun.ii. Il existe un réel K tel que pour tout n assez grand 0 ≤ un ≤ Kqn.iii. La série

∑un converge

(b) On suppose que ` > 1. On pose q = `+12 . Montrer

i. Pour tout n assez grand un+1 ≥ qun.ii. Il existe un réel K tel que pour tout n assez grand un ≥ Kqn ≥ 0.

iii. La série∑un diverge grossièrement.

(c) Montrer par deux exemples que si ` = 1 on ne peut rien conclure.

7. Appliquer la règle de D’Alembert aux séries dont le terme général un est donnéci-dessous.

(a) un = n!22n

, n ≥ 0.

(b) un = n!2

(2n)! , n ≥ 0.

(c) un = 1000n

n! , n ≥ 0.

(d) un = n!22n

, n ≥ 0.

8. (a) Soient p, q ∈ N, 1 ≤ q ≤ p. Montrer que∑pn

k=qn1k tend vers ln p

q lorsque n tendvers l’infini.

(b) On considère le réarrangement suivant de la série harmonique alternée, où troistermes positifs sont suivis de deux termes négatifs :

1 +1

3+

1

5− 1

2− 1

4+

1

7+

1

9+

1

11− 1

6− 1

8+ . . .

Montrer que les sommes partielles S5N de cette série convergent vers ` = ln 2 +12 ln 3

2 .

(c) Montrer que cette série est convergente, de somme `.


Chapitre 29Dénombrements

401

402 CHAPITRE 29. DÉNOMBREMENTS

I Notion d’ensemble fini

I.1 Cardinal

Lemme I.1 Soient E et F deux ensembles non vides. Soient a ∈ E et b ∈ F . Il existeune bijection de E vers F si et seulement si il existe une bijection de E′ = E \ a versF ′ = F \ b. Le résultat reste vrai si l’on remplace bijection par injection ou surjection.

Démonstration : Supposons qu’il existe une bijection f : E′ → F ′. Soit g : E → Fdéfinie par g(x) = f(x) si x ∈ E′ et g(a) = b. Alors g est une bijection de E sur F .Supposons maintenant qu’il existe une bijection f : E → F . Soit φ : F → F définiepar φ(x) = x si x 6= f(a) et x 6= b, φ(f(a)) = b et φ(b) = f(a). La fonction φ échangesimplement b et f(a). Elle est bijective, et d’ailleurs égale à sa réciproque. Considéronsmaintenant la fonction f ′ = φf . f ′ est une bijection de E vers F (composée de bijections)et, de plus f ′(a) = b. La fonction g : E′ → F ′ définie par g(x) = f ′(x) est alors unebijection de E′ sur F ′. La démonstration est totalement identique pour les injections et lessurjections.

Pour tout entier non nul, on note n l’ensemble des entiers entre 0 et n − 1. On noteégalement 0 = ∅.Proposition 29.1 : Soient n et p deux entiers. Il existe une bijection de n sur p si etseulement si n = p.

Démonstration : Dans un sens c’est trivial. En effet, si n = p, alors n = p et il existebien une bijection entre n et p : l’identité. Inversement, on effectue une récurrence surp. Pour p = 0 c’est clair, car s’il existe une application d’un ensemble vers ∅, alors cetensemble est vide. Soit maintenant un entier p tel que ∀n ∈ N, s’il existe une bijection den sur p alors n = p. Soit n ∈ N. Supposons qu’il y a une bijection de n sur p+ 1. On aforcément n ≥ 1, car p + 1 6= 0. D’après le lemme, il existe une bijection de n− 1 sur p.Par l’hypothèse de récurrence, on a n− 1 = p, c’est à dire n = p+ 1.

Lemme I.2 .— Soient n et p deux entiers. Il existe une injection de n sur p si et seulement si n ≤ p.— Soient n et p deux entiers. Il existe une surjection de n sur p si et seulement si

n ≥ p.

Démonstration : On peut par exemple faire une démonstration analogue à celle durésultat sur les bijections.

Définition 29.1 : Soit E un ensemble. On dit que E est fini lorsqu’il existe un entiern tel que E soit en bijection avec n. D’après la proposition précédente, cet entier est nonnul. On l’appelle le cardinal de E, et on le note Card E.

Remarque 29.1 : D’autres notations sont souvent rencontrées, comme par exemple #Eou |E|.

I. NOTION D’ENSEMBLE FINI 403

I.2 Propriétés

Proposition 29.2 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors E et F sont en bijectionsi et seulement si E et F ont le même cardinal.

Démonstration : Soit n = Card E. Soit p = Card F . Soient f : E → n une bijection etg : F → p une bijection. Si n = p, alors g−1 f est une bijection de E vers F . Inversement,si h est une bijection de E vers F , alors, g h f−1 est une bijection de n vers p, doncn = p.

Proposition 29.3 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors il existe une injectionde E vers F si et seulement si Card E ≤ Card F . Et il existe une surjection de E vers Fsi et seulement si Card E ≥ Card F .

Démonstration : Démonstration analogue à celle du théorème sur les bijections.

Proposition 29.4 : Soit E un ensemble fini. Soit E′ ⊂ E. Alors E′ est fini, etCard E′ ≤ Card E. De plus, Card E′ = Card E si et seulement si E′ = E.

Démonstration : On fait une récurrence sur n = Card E. Pour n = 0, c’est clair,puisque E′ = ∅. Soit maintenant un entier n pour lequel la propriété est vérifiée. Soit E decardinal n+1. Soit E′ ⊂ E. Si E′ = E, il n’y a rien à faire : E′ est fini et Card E′ = Card E.Sinon, soit a ∈ E \E′. On a E′ ⊂ E \ a. On a une bijection de E sur n+ 1 donc, d’aprèsle lemme au début du paragraphe, on a une bijection entre E \ a et n. Dons E \ a estfini, de cerdinal n. Par l’hypothèse de récurrence, E′ est fini, de cardinal inférieur ou égalà n (et donc différent de n+ 1).

Proposition 29.5 : Soit f : E → F une application d’un ensemble fini E vers unensemble fini F DE MEME CARDINAL. Alors, f est bijective si et seulement si f estinjective OU f est surjective.

Démonstration : Supposons f injective. f est alors une bijection de E sur f(E) ⊂ F .Donc, Card E = Card f(E) = Card F . Donc f(E) = F et f est surjective. Supposonsmaintenant que f est surjective. f possède un inverse à gauche g qui est injectif. D’aprèsce que nous venons de dire sur les injections, g est bijectif et sa réciproque, f , l’est aussi.

I.3 Dénombrements et ensembles finis

Les deux prochains chapitres nous amèneront à parler de probabilités. Dans un grandnombre de cas, une expérience aléatoire consiste à effectuer des choix, et un calcul deprobabilté se résume à trouver combien il y a de choix possibles, à faire, donc, un dénom-brement. Mathématiquement, les issues de l’expérience forment un ensemble, et dénombrerrevient à trouver le cardinal de cet ensemble.

Exemple : On lance un dé et on regarde le nombre sur sa face supérieure. Combiena-t-on de possibilités ? C’est évidemment un exemple très simpliste. L’ensemble qui nousintéresse est ici E = 1, 2, . . . , 6 et son cardinal est 6 : il y a 6 possibilités. Inutile de


dire que nous nous intéresserons à des problèmes un peu plus compliqués. D’où le reste duchapitre.

II Opérations sur les ensembles finis

II.1 Union disjointe

Proposition 29.6 : Soient E1, . . . , En n ensembles finis disjoints. Leur réunion estalors finie et

Card ∪nk=1 Ek =n∑k=1

Card Ek

Démonstration : On le montre pour n = 2. Une récurrence triviale sur n permet deconclure. Soient donc A et B deux ensembles finis disjoints, de cardinaux respectifs n et p.Soient f : A→ n et g : B → p deux bijections. Considérons l’application h : A∪B → n+ pdéfinie par h(x) = f(x) si x ∈ A et h(x) = g(x) + n si x ∈ B. Alors h est une bijection.

Remarque 29.2 : Si une expérience aléatoire est l’union disjointe de deux autres ex-périences et que pour ces deux expériences on a respectivement n1 et n2 choix, alors nousavons n1 + n2 choix pour l’expérience qui nous intéresse. Par exemple, une boîte contientun dé et une deuxième boîte contient une pièce de monnaie. On choisit une des deux boîtes,on l’ouvre, on lance l’objet qui est dedans et on note le résultat. On a 6+2 = 8 possibilités :1, 2, 3, 4, 5, 6, P, F .

II.2 Différence, union

Proposition 29.7 : Soient A et B deux ensembles finis, B ⊂ A. Alors A \ B est finiet Card (A \B) = Card A− Card B.

Démonstration : On a A = B ∪ (A \B) et la réunion est disjointe.

Proposition 29.8 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors, E ∪ F et E ∩ F sontfinis, et

Card E ∪ F = Card E + Card F − Card E ∩ F

Démonstration : E ∪ F = (E \ (E ∩ F )) ∪ F avec réunion disjointe. Puis on utiliseque E ∩ F ⊂ E.

Remarque 29.3 : On peut généraliser cette formule à la réunion de n ensembles. Laformule que l’on obtient alors s’appelle la formule du crible.

Exercice : Écrire la formule pour trois ensembles.

III. APPLICATIONS ENTRE ENSEMBLES FINIS 405

II.3 Produit cartésien

Proposition 29.9 : Soient E et F deux ensembles finis. Alors E × F est fini, et

Card E × F = Card E × Card F

Démonstration : On a E × F = ∪y∈FE × y, tous ces ensembles étant disjoints etclairement de même cardinal que E.

Remarque 29.4 : Si une expérience aléatoire consiste en la succession de deux expé-riences, la première donnant n1 choix et la deuxième n2 choix, on a alors n1n2 choix pourl’expérience qui nous intéresse. Par exemple, on lance un dé bleu et un dé vert et on notele résultat. On a 6× 6 = 36 possibilités.

Remarque 29.5 : Généralisation évidente à un produit de n ensembles finis. Avec uncas particulier important :

Proposition 29.10 : Soit F un ensemble fini de cardinal n. Soit p ∈ N. L’ensembleF p des p-uplets d’éléments de F est fini, de cardinal np.

III Applications entre ensembles finis

III.1 Dénombrements d’applications

Proposition 29.11 : Soient E et F deux ensembles finis, de cardinaux respectifs p etn. L’ensemble FE des applications de E dans F est fini, de cardinal np.

Démonstration : On fait une récurrence sur p. Pour p = 0, on a E = ∅ et il ya une seule application de E vers F : (∅, F, ∅). Donc, le cardinal de FE est 1 = n0.Supposons maintenant la propriété vérifiée pour un entier p. Soit E de cardinal p + 1.Posons E = E′ ∪a où E′ est de cardinal p. Considérons l’application φ : FE

′ ×F → FE

définie comme suit. À tout couple (f, b) on associe l’application g définie par g(x) = f(x)si x 6= a, et g(a) = b. L’application φ est bijective. Donc, Card FE = Card(FE

′ × F ) =Card FE′Card F = npn = np+1.

III.2 Dénombrements d’injections, de bijections

Proposition 29.12 : Soient E et F deux ensembles finis, de cardinaux respectifs pet n, avec n ≥ p. L’ensemble des injections de E dans F est fini, de cardinal n!

(n−p)!(arrangements).

Notation : On notera (n)p cette quantité. On a ainsi

(n)p =n!

(n− p)!= n(n− 1) . . . (n− p+ 1)


Démonstration : Étant donnés deux ensembles A et B, notons I(A,B) l’ensembledes injections de A vers B. On fait une récurrence sur p. Pour p = 0, c’est clair. Il y aune seule application de E vers F et elle est injective. Soit p ∈ N. Supposons la propriétévraie pour p. Soit E un ensemble de cardinal p+ 1. E = E′ ∪ a où E′ est de cardinal p.Soit Z = ∪b∈FI(E \ a, F \ b)× b.Considérons l’application φ : Z → I(E,F ) définiecomme suit : au couple (f, b) on associe l’application g définie par g(x) = f(x) si x 6= aet g(a) = b (on vérifie que g est bien injective). Alors, l’application φ est bijective, et saréciproque associe à l’injection g : E → F le couple (f, b) où b = g(a) et f est la restrictionde g à E \ a, corestreinte à F \ b. On a donc égalité des cardinaux des ensemblesde départ et d’arrivée de φ : Card I(E,F ) =

∑b∈F Card (I(E \ a, F \ b) × b) =∑

b∈F Card I(E \ a, F \ b) =∑

b∈F(n−1)!

((n−1)−p)! = n (n−1)!(n−(p+1))! = n!

(n−(p+1))! .

Corollaire 29.13 : Soit E un ensemble fini de cardinal n. L’ensemble S(E) desbijections de E dans E est fini, de cardinal n!.

Démonstration : Une application de E vers E est bijective si et seulement si elle estinjective. Il suffit d’appliquer le théorème précédent.

Corollaire 29.14 : Soit F un ensemble fini de cardinal n. Soit p ≤ n. L’ensemble desp-uplets d’éléments distincts de F est fini, de cardinal (n)p.

Démonstration : En effet, cet ensemble est en bijection avec l’ensemble des injectionsde 1, . . . , p dans F .

Remarque 29.6 : Une urne contient 10 boules numérotées de 1 à 10. On tire successi-vement 4 boules de l’urne, sans les remettre. Combien de quadruplets possibles ? Eh bienil y en a (10)4 = 10× 9× 8× 7.

Remarque 29.7 : De façon très générale, si une expérience alétoire consiste en lasuccession de p expériences, de sorte que le nombre de possibilités pour la ième expérienceest ni, on a alors n1n2 . . . np possibilités pour l’expérience qui nous intéresse. Ceci estbeaucoup plus général que notre théorème sur les injections, nous l’admettrons et ne nouspriverons pas de l’utiliser.

IV Parties d’un ensemble fini

IV.1 Nombre total de parties

Proposition 29.15 : Soit E un ensemble fini de cardinal n. L’ensemble P(E) desparties de E est fini, de cardinal 2n.

Démonstration : On procède par récurrence sur n. Pour n = 0 c’est clair puisqueP(∅) = ∅. Supposons maintenant la propriété vraie pour tout ensemble de cardinal n.Soit E = E′ ∪ a un ensemble de cardinal n + 1. Les parties de E sont de deux types :

IV. PARTIES D’UN ENSEMBLE FINI 407

celles qui ne contiennent pas a, et qui ne sont autres que les parties de E′. Il y en a 2n

d’après l’hypothèse de récurrence. Et celles qui contiennent a, et qui sont de la formeA∪a où A est une partie de E′. Il y en a donc autant que de parties de E′. Finalement,Card P(E) = 2n + 2n = 2n+1.

Nous allons maintenant introduire une notation déjà utilisée pour les coefficients bino-miaux au début de l’année. Bien évidemment, nous allons prouver que les nombres ainsinotés SONT les coefficients binomiaux !

IV.2 Nombre de parties de cardinal donné

Définition 29.2 : Soient E un ensemble de cardinal n et p un entier naturel. On note(np

)le nombre de parties de E de cardinal p.

Notation : On note pour tout ensemble E et tout entier naturel k par Pk(E) l’ensembledes parties de E de cardinal k. On a donc

(nk

)= Card Pk(E) où E est un ensemble de

cardinal n.

Remarque 29.8 : On a bien évidemment(np

)= 0 dès que p > n. Le problème est de

calculer cette quantité lorsque 0 ≤ p ≤ n.

Proposition 29.16 : On a les propriétés suivantes :—(np

)=(nn−p)

—∑n

p=0

(np

)= 2n

— Pour n, p ≥ 1,(np

)=(n−1p−1

)+(n−1p

)(triangle de Pascal)

Démonstration : Soit E un ensemble de cardinal n. L’application A 7→ E \ A envoiebijectivement Pp(E) sur Pn−p(E) d’où la première égalité. La seconde égalité résulte deP(E) = ∪np=0Pp(E) puis de la formule donnant le cardinal d’une union disjointe. Pour latroisième égalité, posons E = E′ ∪ a où E′ est de cardinal n − 1. Les parties de E decardinal p sont de deux sortes. Il y a tout d’abord celles qui ne contiennent pas a, et quisont les éléments de Pp(E′). Il y en a

(n−1p

). Et il y a celles qui contiennent a, et qui sont

de la forme A ∪ a où A ∈ Pp−1(E′). Il y en a(n−1p−1

). D’où la formule cherchée.

Proposition 29.17 : Soient n, p deux entiers tels que 0 ≤ p ≤ n. Alors :(n

p

)=

n!

p!(n− p)!

Démonstration : On montre par récurrence sur n que pour tout entier n, P (n) estvraie, où P (n) = ∀p ∈ [0, n],

(np

)= n!

p!(n−p)! . Pour n = 0 c’est évident. Soit maintenant n ∈ Npour lequel on a P (n). Soit 1 ≤ p ≤ n. On a

(n+1p

)=(np

)+(np−1

). On utilise maintenant

l’hypothèse de récurrence :(n+1p

)= n!

p!(n−p)! + n!(p−1)!(n−p+1)! = n!

p!(n+1−p)!((n + 1 − p) + p)qui est l’expression voulue.

Remarque 29.9 : Une urne contient 10 boules numérotées. On tire 4 boules de l’urne.


— Combien a-t-on de quadruplets de boules possibles ? Nous avons déjà répondu àcette question, on en a (10)4 = 5040.

— Combien a-t-on d’ensembles de boules possibles ? Eh bien, on en a(

104

)= 210.

Attention, donc, à ne pas confondre des k-uplets et des ensembles à k éléments !

Proposition 29.18 : Soient a, b deux complexes (ou plus généralement deux élémentsd’un anneau tels que ab = ba) et n ∈ N. Alors

(a+ b)n =n∑k=0

(n

k

)akbn−k

Démonstration : La formule du binôme, nous l’avons déjà prouvée par récurrence.Nous allons maintenant en faire une démonstration combinatoire. On a (a + b)n = (a +b)(a+b) . . . (a+b). Le développement de ce produit de n sommes de deux termes donne 2n

termes. Chacun de ces termes est de la forme akbn−k, où k est le nombre de fois que l’ona choisi a dans un facteur (on a alors évidemment choisi b dans les n− k autres facteurs).Ainsi, (a+ b)n =

∑nk=0C(n, k)akbn−k où C(n, k) est le nombre de façons de choisir a dans

k facteurs parmi n. Mais ce choix de k facteurs n’est rien d’autre que le choix d’une partiede cardinal k dans l’ensemble des n facteurs. On a donc C(n, k) =

(nk

), d’où la formule

cherchée.

V. EXERCICES 409

V Exercices

1. Pour n ≥ 1, on note un le nombre de parties de l’ensemble 1, . . . , n ne contenantpas deux entiers successifs. Calculer u1 et u2, et déterminer, pour tout n ≥ 1, unerelation entre un+2, un+1 et un. Conclusion ?

2. Démontrer que dans un ensemble fini non vide, il y a autant de parties de cardinalpair que de parties de cardinal impair.

3. Soit E un ensemble à n éléments. Déterminer le nombre de couples (A,B) de partiesde E telles que A ∩B = ∅.

4. Soit E un ensemble à n éléments. Déterminer le nombre de couples (A,B) de partiesde E telles que A ⊂ B.

5. Soient m et n deux entiers non nuls. Déterminer le nombre d’applications stricte-ment croissantes de 1, . . . ,m dans 1, . . . , n. Indication : une telle applicationest caractérisée par un ensemble de m entiers entre 1 et n.

6. Même question en remplaçant « strictement croissantes » par croissantes. On pourrase ramener à ce qui précède en remarquant que si f est croissante, l’application gdéfinie par g(x) = f(x) + x− 1 est strictement croissante.

7. Soit n un entier naturel. Dénombrer astucieusement les parties à n éléments dansun ensemble de cardinal 2n et en déduire que

∑nk=0

(nk

)2=(

2nn

).

8. Démontrer que l’application f de N2 dans N définie par f(x, y) = 12(x+ y)(x+ y+

1) + y est une bijection.9. Soit E un ensemble non vide de cardinal n. On note pn le nombre de partitions

de E de cardinal n. Ce nombre est appelé le nombre de Bell d’indice n. On poseégalement p0 = 1.(a) Calculer p1, p2, p3.(b) Montrer que pour tout n ∈ N, pn+1 =

∑nk=0

(nk

)pk.

(c) Que vaut p6 ?10. Formule d’inversion de Pascal

(a) Soit n ∈ N. Soit M =

(

00

) (01

). . .(

0n

)(10

) (11

). . .(

1n

). . .(n0

) (n1

). . .(nn

). Calculer M−1.

(b) Soient (an)n≥0 et (bn)n≥0 deux suites réelles. On suppose que ∀n ∈ N, an =∑k=0

(nk

)bk. Montrer que ∀n ∈ N, bn =

∑k=0(−1)k

(nk

)ak.

11. Soit n ∈ N. On appelle dérangement toute permutation σ ∈ Sn vérifiant pour toutentier k entre 1 et n σ(k) 6= k. On note dn le nombre de dérangements de Sn. Onpose d0 = 1.(a) Calculer d1, d2, d3.(b) Montrer que n! =

∑nk=0

(nk

)dk.

(c) Déduire de la formule d’inversion de Pascal une formule explicite pour dn.


Chapitre 30Probabilités

411

412 CHAPITRE 30. PROBABILITÉS

I Expérience aléatoire et univers

I.1 Notion d’univers

• aléa : vient du latin alea qui signifie jeu de dés.• hasard : vient de l’arabe az-zahr qui signifie jeu de dés.• chance : vient de l’ancien français chaance, évolution du latin cadentia qui signifie

action de tomber, spécialement employé en latin au jeu des osseletsLa théorie des probabilités cherche à modéliser ce qui résulte du hasard. On effectue

un expérience « aléatoire ». L’issue de cette expérience peut changer lorsqu’on répète l’ex-périence. Bien qu’imprévisible, cette issue est quand même restreinte à appartenir à uncertain ensemble de valeurs. Certaines valeurs apparaissent plus souvent que d’autres, etc’est cette notion de « souvent » que la théorie des probabilités cherche à préciser.

Définition 30.1 : On appelle univers tout ensemble fini Ω.

Remarque 30.1 : L’univers Ω est censé être l’ensemble des issues (ou résultats possiblesou réalisations) d’une expérience aléatoire. Dans ce cours, nous ne nous intéresserons qu’àdes univers finis. Dans le cours de deuxième année, les résultats seront étendus à desunivers dénombrables. La branche des probabilités s’intéressant aux univers « continus »est également fondamentale, mais vous ne l’étudierez pas lors des deux prochaines années.Elle fait appel à la théorie de la mesure et de l’intégrale.

Exemple : On joue à pile ou face : on peut prendre pour univers l’ensemble Ω = P, F.On jette deux dés à 6 faces : on peut prendre pour univers l’ensemble Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 62des couples d’entiers entre un et 6. On lance une fléchette sur une cible de rayon R : onpeut prendre pour univers l’ensemble Ω = [0, R]×]− π, π]. Mais que fait-on si la fléchetterate la cible ?

On le voit, le choix d’un univers s’impose la plupart du temps, mais pas toujours.La fléchette peut rater sa cible, le dé peut être « cassé », la pièce peut tomber sur latranche. L’énoncé d’un problème probabilités doit être suffisamment précis pour excluretoute ambiguité.

Remarque 30.2 : Un univers peut être énorme. Prenons l’exemple du lancer d’un dé. Onpeut considérer que l’univers est l’ensemble de toutes les trajectoires possibles du dé dansl’espace, c’est à dire un ensemble de courbes paramétrées décrivant toutes les trajectoires.On peut également inclure dans cet univers des renseignements concernant l’humidité del’air, la pression atmosphérique, le matériau du tapis sur lequel le dé est jeté, l’humeur dulanceur de dé, etc.

Tout est question de modélisation, et la plupart du temps (mais pas toujours) onne retient dans l’univers que les informations utiles au résultat de l’expérience qui nousintéresse. Pour le lancer de dé, on laisse tomber les trajectoires et le réveil du pied gauchedu lanceur de dé, pour ne conserver que la position finale du dé, qui peut être symboliséepar un entier entre 1 et 6.

I. EXPÉRIENCE ALÉATOIRE ET UNIVERS 413

I.2 Notion d’événement

Lorsqu’on effectue une expérience aléatoire, on s’intéresse la plupart du temps à laréalisation de certains résultats, caractérisés par certaines propriétés. Par exemple, onlance deux pièces et on veut savoir si l’une des pièces est tombée sur pile. Ou on lancedeux dés, et on veut savoir si la somme des dés vaut 7. En général, plusieurs issues del’expérience fournissent le résultat voulu. On s’intéresse en fait à une partie de l’univers,ce que l’on appelle un événement.

Définition 30.2 : Un événement est une partie de l’univers Ω.

Exemple : On lance de 2 pièces. L’univers est Ω = (P, P ), (P, F ), (F, P ), (F, F ). L’évé-nement « l’une au moins des pièces est tombée sur pile » est A = (P, P ), (P, F ), (F, P ).

Définition 30.3 :— Un événement élémentaire est un singleton.— Soit A un événement. L’événement contraire de A est Ac = Ω \A.— Soient A et B deux événements. La réunion de A et B, A ∪ B est appelée « A ou

B ». L’intersection de A et B, A ∩B est appelée « A et B ».— L’ensemble vide est l’événement impossible.— L’ensemble Ω est l’événement certain.— Les événements A et B sont dits incompatibles lorsque A et B est impossible, c’est

à dire lorsque A ∩B = ∅.Voici un petit dictionnaire, qui permet de passer du vocabulaire de la théorie des

ensemble à celui des probabilités, et vice versa.

Théorie des ensembles ProbabilitésA Partie de Ω Événementω Singleton Événement élémentaireω Élément de Ω Issue d’une expérience

Ω \A Complémentaire de A Contraire de AA ∪B Réunion de A et B A ou BA ∩B Intersection de A et B A et B∅ Ensemble vide Événement impossibleΩ Événement certain

A ∩B = ∅ Ensembles disjoints Événements incompatibles

I.3 Systèmes complets d’événements

Définition 30.4 : Soit Ω un univers. On appelle système complet d’événements toutensemble E = A1, . . . , An d’événements non vides vérifiant :

• Les Ai sont deux à deux incompatibles.• Ω = ∪ni=1Ai.

Remarque 30.3 : On travaillera souvent avec des systèmes complets de deux événe-ments, à savoir un événement A et son contraire Ac. Par exemple, pour un lancer de dés,A = « la somme des dés est paire » et Ac = « la somme des dés est impaire ».


II Espaces probabilisés finis

Je lance un dé non pipé (« parfait », dit-on aussi). Qu’entends-je par « il y a unechance sur deux pour que j’obtienne un nombre pair » ? L’approche naturelle est sansdoute l’approche expérimentale. Je réalise une expérience, celle du lancer d’un dé. Cetteexpérience réussit si j’obtiens un nombre pair, elle échoue si j’obtiens un nombre impair.J’effectue un « grand »nombre N de fois cette expérience, et j’enregistre le nombre Ns desuccès. J’espère, je suppose, je m’imagine, que Ns

N sera à peu près égal à 0.5. Dit autrement,NsN tend-il vers 1

2 lorsque N tend vers l’infini ?La réponse est non : si j’ai beaucoup beaucoup de chance, j’obtiendrai indéfiniment des

nombres pairs, et ma fraction tendra vers 1. Si je n’ai vraiment pas de chance, elle vaudra(et tendra) vers 0. Et je peux imaginer des suites de lancers qui feront tendre cette fractionvers n’importe quel nombre entre 0 et 1, ou vers rien du tout.

Je peux alors essayer d’affirmer que cette fraction tendra presque sûrement vers 12 .

Le seul problème est de définir presque sûrement : allons donc, cela veut dire « avec uneprobabilité égale à 1 » ! Euh, mais je veux précisément définir le concept de probabilité !

Bref, le concept originel de probabilité ne se laisse pas facilement appréhender. La façonla plus simple de faire est de suivre la route ouverte par Kolmogorov, en ne disant pas cequ’est une probabilité, mais en disant quelles sont les propriétés qu’elle doit vérifier. Toutcomme les axiomes de la théorie des ensembles qui ne nous disent pas ce qu’est un ensembleou les axiomes de la géométrie euclidienne qui refusent obstinément de nous raconter cequ’est un point ou une droite.

La figure ci-dessous montre la fréquence d’apparition de « pile » lors de 5000 tirages àpile ou face d’une pièce non truquée. On voit (en tout cas sur cet exemple), la fréquencetendre vers 0.5. Tout à la fin du prochain chapitre nous verrons apparaître dans l’inégalitéde Bienaymé-Tchebychev des indices que notre intuition initiale de limite d’une fractionest correcte.

Figure 30.1 – 5000 tirages à pile ou face

II. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 415

II.1 Notion de probabilité

Définition 30.5 : Soit Ω un univers. On appelle probabilité sur Ω toute fonction P :P(Ω)→ [0, 1] vérifiant :

• P (Ω) = 1.• ∀A,B ⊂ Ω, A ∩B = ∅ ⇒ P (A ∪B) = P (A) + P (B).

Définition 30.6 : On appelle espace probabilisé tout couple (Ω, P ) où Ω est un universfini et P est une probabilité sur Ω.

Remarque 30.4 : L’additivité s’étend évidemment à un nombre fini d’événements deuxà deux incompatibles. Comme nos univers sont finis, tout va pour le mieux. Mais autant ledire tout de suite, un certain nombre de complications apparaîtront lorsque l’univers serainfini (l’année prochaine).

Remarque 30.5 : Comme nos espaces probabilisés sont finis, une probabilité P estcaractérisée par ses valeurs sur les singletons (les événements élémentaires). En effet, toutepartie A de Ω est une réunion finie de singletons disjoints. Précisément, A = ∪x∈Ax,donc P (A) =

∑x∈A P (x).

Proposition 30.1 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. On a P (∅) = 0.

Démonstration : On a ∅ ∪ ∅ = ∅. Donc P (∅) + P (∅) = P (∅).

Proposition 30.2 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit n ≥ 1. Soient A1, . . . , An névénements deux à deux incompatibles. On a P (∪ni=1Ai) =

∑ni=1 P (Ai).

Démonstration : Récurrence immédiate sur n.

Remarque 30.6 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit A ⊂ Ω. On a A = ∪a∈Aa etces singletons sont évidemment deux à deux incompatibles. Ainsi, P (A) =

∑a∈A P (a).

La probabilité d’une partie de Ω est entièrement déterminée par les probabilités des sin-gletons qui la composent. Pour définir une probabilité sur un univers, il suffit donc de ladéfinir pour chaque événement élémentaire de cet univers.

Proposition 30.3 : Soit Ω un univers fini. Il existe une unique probabilité sur Ωconstante sur les singletons. On l’appelle la probabilité uniforme sur Ω.

Démonstration : Supposons qu’une telle probabilité P existe. Soit p la valeur communede cette probabilité sur les singletons. Soit n = |Ω|. On a alors 1 = P (Ω) =

∑x∈Ω P (x) =∑

x∈Ω p = np donc p = 1n . Inversement la fonction définie sur les singletons par P (x) = 1

nest une probabilité sur Ω.

Proposition 30.4 : Soit P la probabilité uniforme sur un univers Ω. On a pour toutévénement A, P (A) = |A|

|Ω| .

Remarque 30.7 : Par exemple P (x) = 16 pour x = 1, . . . , 6 pour un dé parfait

et P (x) = 12 pour x = P, F pour une pièce parfaite. Ce sera même la définition de

« parfait ».


II.2 Un exemple

On jette 3 dés parfaits. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un 4 ?

Choisissons comme univers Ω = 1, . . . , 63, de cardinal 216, muni de la probabilitéuniforme. L’événement qui nous intéresse est A où A est l’événement « on a obtenu aumoins un 4 ». Nous avons deux méthodes pour calculer sa probabilité :

• Chercher la probabilité de l’événement contraire, qui est « on n’a obtenu aucun 4 ».C’est le plus simple, cette probabilité vaut 53

216 = 125216 . D’où P (A) = 1− 125

216 = 91216 .

• Écrire A = A1 ∪ A2 ∪ A3 où Ai est l’événement « on a obtenu exactement i fois lenombre 4 ». Les Ai sont incompatibles, et P (Ai) =

(3i)53−i

216 . D’où P (A) = P (A1) +P (A2) + P (A3) = 1

216(3× 25 + 3× 5 + 1× 1) = 91216 .

II.3 Propriétés des probabilités

Définition 30.7 : Soient A et B deux événements. On dit que B entraîne A lorsqueB ⊂ A.

Proposition 30.5 : Soient A et B deux événements tels que B entraîne A. On a— P (A \B) = P (A)− P (B).— P (B) ≤ P (A).

Démonstration : On a A = B ∪ (A \ B) et cette réunion est disjointe. Donc P (A) =P (B) + P (A \B).

Corollaire 30.6 : Soit A un événement. On a P (Ac) = 1− P (A).

Proposition 30.7 : Soient A et B deux événements. On a P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A ∩B).

Démonstration : On écrit A∪B = (A\ (A∩B))∪B. Cette réunion est disjointe, doncP (A ∪B) = P (A \ (A ∩B)) + P (B) = P (A)− P (A ∩B) + P (B).

Exercice : Soient A,B,C trois événements. On a P (A∪B ∪C) = P (A∪B) +P (C)−P ((A∪B)∩C) = P (A) +P (B)−P (A∩B) +P (C)−P ((A∩C)∪ (B ∩C) et une dernièreapplication de la formule pour la réunion de deux ensembles fournit

P (A∪B ∪C) = P (A) +P (B) +P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C) +P (A∩B ∩C)

Cette formule se généralise à des réunions de n ensembles : c’est la formule de Poincaré,dite aussi formule du crible.

Exemple : On jette 3 dés non pipés. Quelle est la probabilité de l’événement A = « aumoins un 4 ou au moins un 5 » ? Notons Bi l’événement « on obtient au moins un i ».On a vu que P (Bi) = 91

216 . Il s’agit maintenant de calculer P (B4 ∩ B5). Par exemple en

additionnant les probabilités des événements incompatibles « un 4, un 5 » ((32)×2×4

216 = 24216),

II. ESPACES PROBABILISÉS FINIS 417

« un 4, deux 5 » ( 3216) et « deux 4, un 5 » ( 3

216). Donc P (B1 ∩ B2) = 30216 . Et P (A) =

P (B4) + P (B5)− P (B4 ∩B5) = 152216 = 19

27 .

Vérifions avec Python :

>>> de = range(1, 7)>>> Omega = [(x, y, z) for x in de for y in de for z in de]>>> A = [t for t in Omega if 4 in t or 5 in t]>>> float(len(s1)) / len(s)0.7037037037037037>>> 19. / 270.7037037037037037

Proposition 30.8 : Soit n ≥ 1. Soient A1, . . . , An n événements. On a P (∪ni=1Ai) ≤∑ni=1 P (Ai).

Démonstration : C’est clair pour n = 1, 2. On termine par récurrence sur n.

II.4 Tirages avec remise dans une urne : la loi binomiale

Considérons l’expérience suivante : une urne contient r boules rouges et v boules vertes.On effectue n fois l’opération suivante : on prend une boule dans l’urne, on regarde sacouleur, on remet la boule dans l’urne, et on mélange bien. Soit k ∈ 0, . . . , n. Quelle estla probabilité d’avoir tiré k boules rouges ?

Soit N = r+v. Soit p = rN . On numérote les boules de 1 à N et on choisit pour univers Ω

l’ensemble des n-uplets d’éléments de 1, . . . , N. On munit Ω de la probabilité uniforme.Chaque élément de Ω représente la liste des boules tirées, dans l’ordre chronologique.Une même boule peut y apparaître plusieurs fois car à chaque tirage on remet la bouledans l’urne. Combien y-a-t-il d’éléments de Ω comportant k boules rouges ? On choisitd’abord les k positions où ces boules vont apparaître : il y a

(nk

)possibilités. On remplit

ces k positions avec une boule rouge arbitraire : rk possibilités. Puis on remplit les n − kpositions restantes avec une boule verte arbitraire : vn−k possibilités. Au total, le cardinal del’événement « k boules rouges » est

(nk

)rkvn−k. Le cardinal de Ω est Nn, donc la probabilité

de notre événement est (nk)rkvn−k

Nn =(nk

)( rN )k( vN )n−k =

(nk

)pk(1− p)n−k.

Nous reparlerons de ces probabilités plus loin, lorsque nous aborderons la loi binomialeB(n, p).

II.5 Tirages sans remise dans une urne : la loi hypergéométrique

Considérons l’expérience suivante : une urne contient r boules rouges et v boules vertes.On effectue n fois l’opération suivante : on prend une boule dans l’urne, on regarde sacouleur, on NE REMET PAS la boule dans l’urne. Soit k ∈ 0, . . . , n. Quelle est laprobabilité d’avoir tiré k boules rouges ?

Soit N = r + v. Soit p = rN . et q = 1− p = v

N . On numérote les boules de 1 à N et onchoisit pour univers Ω l’ensemble des parties à n éléments de 1, . . . , N. On munit Ω de la


probabilité uniforme. Chaque élément de Ω représente l’ensemble des n boules tirées. Unemême boule ne peut pas y apparaître plusieurs fois puisque à chaque tirage la boule n’estpas remise dans l’urne. Combien y-a-t-il d’éléments de Ω comportant k boules rouges ? Onchoisit d’abord l’ensemble des k boules rouges qui ont été tirées : il y a

(rk

)possibilités. On

choisit ensuite l’ensemble des n−k boules vertes qui ont été tirées : il y a(v

n−k)possibilités.

Au total, le cardinal de l’événement « k boules rouges » est(rk

)(v

n−k). Le cardinal de Ω est(

Nn

), donc la probabilité de notre événement est (rk)(

vn−k)

(Nn)=

(pNk )( qNn−k)(Nn)

.

Exercice : Quelles sont, en fonction de N, v, r, les valeurs de k pour lesquelles cesprobabilités sont non nulles ?

Exercice : Que vaut∑min(n,r)

k=0

(rk

)(v

n−k)?

Remarque 30.8 : Ces probabilités sont elles aussi liées à une loi importante, la loihypergéométrique H(N,n, p). Nous ne l’étudierons pas plus avant et nous contenteronsd’un histogramme.

Figure 30.2 – Loi hypergéométrique : r = 60, v = 40, n = 30

Remarque 30.9 : On peut très bien faire les calculs en choisissant comme univers Ωl’ensemble des n-uplets d’éléments distincts de 1, . . . , N, muni de la probabilité uniforme.On a cette fois |Ω| = N !

(N−n)! . Pour obtenir un tirage contenant k boules rouges, on choisitd’abord les k indices du n-uplet qui correspondent aux boules rouges :

(nk

)possibilités. Puis,

pour ces k positions, on choisit k boules rouges distinctes : r!(r−k)! possibilités. Puis, pour

les n− k positions restantes, choix de n− k boules vertes distinctes : v(v−n+k)! possibilités.

La probabilité cherchée est donc(nk)

r!(r−k)!

v(v−n+k)!

N !(N−n)!

=(rk)(

vn−k)

(Nn). On retrouve évidemment le

même résultat. Remarquons quand même que bien que le choix de l’univers nous soit laissé,les calculs étaient plus simples avec notre premier choix.

III. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 419

III Probabilités conditionnelles


Définition 30.8 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit B un événement vérifiantP (B) > 0. Soit A un événement. On appelle probabilité (conditionnelle) de A sachant Ble réel

P (A|B) =P (A ∩B)

P (B)

Exemple : Dans une famille de deux enfants, quelle est la probabilité que le se-cond enfant soit une fille sachant qu’il y a au moins une fille ? On prend l’univers Ω =(F, F ), (F,G), (G,F ), (G,G). Soit A l’événement « le second enfant est une fille » et Bl’événement « il y a au moins une fille ». On aA = (F, F ), (G,F ) etB = (F, F ), (G,F ), (F,G).D’où A ∩B = A et P (A|B) = 2

3 .

Proposition 30.9 : L’application PB : P(Ω)→ [0, 1] définie par PB(A) = P (A|B) estune probabilité.

Démonstration : On a PB(Ω) = P (Ω∩B)P (B) = P (B)

P (B) = 1. Soient A,A′ deux événementsincompatibles. On a (A ∪ A′) ∩ B = (A ∩ B) ∪ (A′ ∩ B). Il est clair que A ∩ B et A′ ∩ Bsont incompatibles, d’où PB(A ∪A′) = PB(A) + PB(A′).

Exemple : Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. Soit N = r+ v. Je tiresans remise deux boules de l’urne. Quelle est la probabilité que la seconde boule soit verte,sachant que la première boule est verte ?

La réponse devrait être v−1N−1 . Choisissez un univers, faites le calcul complet, c’est un

excellent exercice.

III.2 Probabilités composées, probabilités totales

Proposition 30.10 : Soient A1, . . . , An n événements tels que P (A1 ∩ . . . ∩ An) 6= 0.On a

P (A1 ∩ . . . ∩An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 ∩A2) . . . P (An|A1 ∩ . . . ∩An−1)

Démonstration : Récurrence sur n. Pour n = 1, 2 c’est évident. Supposons la propriétévraie pour n et donnons nous n+1 événements A1, . . . , An+1 tels que P (A1∩. . .∩An+1) 6= 0.On a P (A1∩. . .∩An+1) = P (An+1|A1∩. . .∩An)P (A1∩. . .∩An). On termine par l’hypothèsede récurrence.

Proposition 30.11 : Soit A1, . . . , An un système complet d’événements, tous deprobabilité non nulle. Soit B un événement. Alors :

P (B) =n∑i=1

P (B|Ai)P (Ai)


Démonstration : On a B = B∩Ω = B∩(∪iAi) = ∪i(B∩Ai). Les Ai sont incompatiblesdeux à deux, donc les B ∩Ai aussi. Donc P (B) =

∑i P (B ∩Ai) =

∑i P (B|Ai)P (Ai).

Exemple : Les usines U1 U2 et U3 fabriquent des boulons pour construire un pont. 10%des boulons sont fabriqués par l’usine U1, 50% des boulons sont fabriqués par l’usine U2,et 40% des boulons sont fabriqués par l’usine U3. On sait également que 3% des boulonsfabriqués par l’usine U1 sont défectueux, 12% des boulons fabriqués par l’usine U2 sontdéfectueux et 5% des boulons fabriqués par l’usine U3 sont défectueux. On contrôle unboulon au hasard sur le pont. Soit D l’événement « le boulon est défectueux ». On aP (D) =

∑3i=1 P (D|Ui)P (Ui) = 0.03× 0.1 + 0.12× 0.5 + 0.05× 0.4 = 0.083.

Exercice : Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. Soit N = r + v. Jetire deux boules de l’urne sans remise. Quelle est la probabilité que la deuxième bouletirée soit verte ? On a, avec des notations évidentes, P (_V ) = P (_V |V_)P (V_) +P (_V |R_)P (R_) = v−1

N−1vN + v

N−1rN = v

N . On remarque que la probabilité que la d’êtreverte est la même pour la première et pour la deuxième boule. Et si on tirait 3 boules ?8 boules ? Explication : prenons pour Ω l’ensemble des couples d’entiers distincts entre 1et N , muni de la probabilité uniforme. L’application (x, y) 7→ (y, x) est une bijection del’événement « la première boule est verte » sur l’événement « la deuxième boule est verte ».Ces deux événements ont donc même cardinal, et comme nous avons choisi la probabilitéuniforme ils ont même probabilité. L’avantage de ce raisonnement est qu’il s’étend sansdifficulté au tirage de n boules sans remise.

III.3 Formule de Bayes

Proposition 30.12 : Soient A et B deux événements tels que P (A) > 0 et P (B) > 0.On a

P (A|B) =P (B|A)P (A)

P (B)

Démonstration : On a P (A ∩B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A).

Proposition 30.13 : Soit A1, . . . , An un système d’événements de probabilités nonnulles. Soit B un événement de probabilité non nulle. On a pour tout j ∈ 1, . . . , n

P (Aj |B) =P (B|Aj)P (Aj)∑ni=1 P (B|Ai)P (Ai)

Démonstration : Il suffit d’utiliser les deux propositions précédentes.

Exemple : On reprend l’exemple des usines et des boulons. On contrôle un boulot sur lepont et on constate qu’il est défectueux. Quelle est la probabilité que ce boulon proviennede l’usine U2 ? Le calcul a déjà été partiellement fait : le dénominateur dans la formule deBayes vaut 0.083. Pour compléter, on a P (U2|D) = P (D|U2)P (U2)

P (D) = 0.12×0.50.083 ' 0.72.

Exercice : Quelle est la probabilité que ce boulon provienne de l’usine U1 ? de l’usineU3 ? Assurez-vous que la somme des trois probabilités trouvées est bien 1 !

III. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 421

III.4 Événements indépendants

Définition 30.9 : Soient A et B deux événements. On dit que A et B sont indépendantslorsque P (A ∩B) = P (A)P (B).

Remarque 30.10 : Si P (B) > 0, A et B sont indépendants si et seulement si P (A|B) =P (A).

Définition 30.10 : Soit (Ai)1≤i≤n une famille (finie) d’événements. On dit que lafamille est indépendante lorsque pour toute partie I de l’ensemble 1, . . . , n on a

P (∩i∈IAi) =∏i∈I

P (Ai)

Remarque 30.11 : Des événements peuvent être indépendants deux à deux sans quela famille le soit. Prenons par exemple Ω = 1, 2, 3, 4 muni de la probabilité uniforme.Soient A = 1, 2, B = 1, 3 et C = 1, 4. On a P (A∩B) = 1

4 = P (A)P (B), et de mêmepour A ∩ C et B ∩ C. Mais P (A ∩B ∩ C) = 1

4 alors que P (A)P (B)P (C) = 18 .

Remarque 30.12 : On lance une pièce deux fois de suite. Quelle est la probabilitéd’obtenir face au deuxième lancer sachant qu’on a obtenu pile au premier lancer ? L’énoncéde notre problème sous-entend l’indépendance des lancers. La réponse est donc 1

2 . C’estce que l’on a implicitement supposé lorsque, dans nos exemples, on munissait l’universΩ : P, F2 de la probabilité uniforme.

La vie n’est pas toujours aussi simple. Imaginons maintenant que la pièce est truquée.Cette pièce a la probabilité p ∈ [0, 1] de tomber sur pile lors d’un lancer (et la probabilitéq = 1 − p de tomber sur face. Quelle probabilité va-t-on mettre sur Ω ? C’est là quel’indépendance doit être explicitée ! On aura ainsi P (F, F ) = P (F )P (F ) = q2, P (P, F ) =P (F, P ) = P (F )P (P ) = pq et P (P, P ) = p2.

Exercice : Un dé truqué a une probabilité de tomber sur 6 égale à 13 et une probabilité

égale de tomber sur les autres faces (qui vaut donc 1− 13

5 = 215). On lance deux fois le dé.

Quelle est la probabilité que la somme des deux chiffres obtenus soit supérieure ou égale à7 ?

L’indépendance des deux lancers est implicite. On prend Ω = 1, . . . , 62, muni de laprobabilité « produit » : P (x, y) = ( 2

15)2 = 4225 si x, y 6= 6, P (x, y) = 2

1513 = 2

45 si x = 6 oubien y = 6, mais pas les deux, et P (6, 6) = 1

9 . L’événement qui nous intéresse contient 10couples ne comportant pas le nombre 6, 10 couples contenant une seule fois le nombre 6,et le couple (6, 6). La probabilité cherché est donc P = 10× 4

225 + 10× 245 + 1

9 = 1115 ' 0.73.


IV Exercices

1. Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soient A et B deux événements tels que P (A) = 34

et P (B) = 13 . Montrer que 1

12 ≤ P (A ∩ B) ≤ 13 . Montrer par des exemples que ces

bornes sont optimales. Faire de même pour P (A ∪B).2. On dispose d’une roulette comportant 7 cases numérotées de 0 à 6. Les cases 1, 2,

3, 6 sont noires. Les autres cases sont rouges. On lance la bille. La roulette tournepuis s’arrête.(a) Quelle est la probabilité que la bille soit sur une case impaire, sachant qu’elle

est sur une case noire ?(b) Quelle est la probabilité que la bille soit sur une case noire, sachant qu’elle est

sur une case paire ?(c) Quelle est la probabilité que la bille soit sur une case noire, sachant qu’elle est

sur une case impaire ?(d) Utiliser les réponses aux questions 2 et 3, appliquer la formule de Bayes, et

retrouver la réponse à la question 1.3. Un institut effectue un sondage pour déterminer qui, de Monsieur A ou de Monsieur

B, est le plus populaire. On propose aux sondés le protocole suivant : six cartes sontprésentées faces cachée. La personne sondée en tire une au hasard. Une des sixcartes porte le message « dites le contraire de la vérité », les cinq autres « dites lavérité ». À l’issue du sondage, une proportion p′ des sondés a répondu « MonsieurA ». Quelle est la proportion p des sondés ayant une préférence pour Monsieur A ?

4. Il pleut un jour sur 5. Je prends mon parapluie un jour sur 3. S’il pleut, je prendsmon parapluie. Quelle est la probabilité que je prenne mon parapluie lorsqu’il nepleut pas ?

5. On place 8 tours sur un échiquier. Quelle est la probabilité qu’aucune tour ne puisseen attaquer une autre ?

6. On lance n dés parfaits. Soit k ∈ 0, . . . , n. Quelle est la probabilité d’obtenir kas ?

7. Un émetteurM0 transmet un message binaire (0 ou 1) à une suite de messagersMn,n ≥ 1. Chaque messager Mn transmet le message reçu à Mn+1 avec une probabilitép, et le contraire du message reçu avec la probabilité q = 1−p. Soit an la probabilitéque le message transmis par Mn soit identique à celui transmis par M0 (on posea0 = 1).(a) Calculer an+1 en fonction de an.(b) En déduire an en fonction de n.(c) Quelle est la limite de an lorsque n tend vers l’infini ?

8. On dispose d’un dé blanc équilibré et d’un dé noir pipé. Le dé noir sort le 6 avecune probabilité 1

3 et les autres numéros avec une probabilité 215 . Deux joueurs s’af-

frontent. Le joueur A prend le dé noir et le lance. Le joueur B prend le dé blanc et

IV. EXERCICES 423

le lance. Le gagnant est celui qui obtient le plus haut score. En cas d’égalité, c’estle joueur B qui gagne.(a) Quelle est la probabilité que B gagne sachant que A a fait 1 ?(b) Quelle est la probabilité que B gagne sachant que A a fait 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? Et 6 ?(c) Quelle est la probabilité que B gagne ?

9. On dispose de deux dés parfaits. L’un est rouge, l’autre est noir.(a) Soit A l’événement « un dés dés marque 1 » et B l’événement « la somme des

dés est 7 ». Montrer que A et B ne sont pas indépendants.(b) Soit A′ l’événement « le dé rouge marque 6 » et B l’événement « la somme des

dés est 7 ». Montrer que A′ et B sont indépendants.10. On lance deux dés parfaits. Montrer que l’événement « la somme des dés est 7 » est

indépendant du score du premier dé, ceci quel que soit ce score. Mointrer que ceciest faux pour l’événement « la somme des dés est s » ceci pour tout s 6= 7.

11. Une urne contient n+1 pièces. Pour k = 0, . . . , n, la pièce numéro k a une probabilitépk = k

n de tomber sur pile.(a) On tire une pièce au hasard dans l’urne et on la lance. Quelle est la probabilité

d’obtenir pile ?(b) On remet toutes les pièces dans l’urne. On tire une pièces au hasard dans l’urne,

on la lance, on note le résultat et on la remet dans l’urne. On retire une pièceet on la lance. Quelle est la probabilité d’obtenir deux pile ?

(c) On remet toutes les pièces dans l’urne. On tire deux pièces au hasard dans l’urneet on les lance. Quelle est la probabilité d’obtenir deux pile ?

(d) On prend toutes les pièces qui sont dans l’urne sauf la pièce numéro 0. On leslance. Quelle est la probabilité d’obtenir n pile ?

12. Dans une classe il y a n élèves.(a) Quelle est la probabilité que tous les élèves aient leurs anniversaires à des jours

différents (ne pas tenir compte des années bissextiles) ?(b) Quelle est la probabilité qu’au moins deux élèves aient leur anniversaire le même

jour ?(c) À partir de quelle valeur de n cette probabilité est-elle supérieure à 1

2 ? supérieureà 0.9 ?

(d) Et si on tient compte des années bissextiles ?13. On lance n ballons au hasard dans n paniers.

(a) Quelle est la probabilité que dans un panier donné, il n’y ait aucun ballon ?(b) Quelle est la probabilité que dans un panier donné, il y ait au moins un ballon ?(c) Quelle est la probabilité que dans au moins un panier il y ait au moins deux

ballons ?(d) Quel est le rapport entre cet exercice et le précédent ?


14. Soit Ω un univers à 4 éléments, muni de la probabilité uniforme.

(a) Combien a-t-on d’événements ?

(b) Combien a-t-on de couples d’événements ?

(c) Combien a-t-on de couples d’événements incompatibles ?

(d) Combien a-t-on de couples d’événements tels que le premier entraîne le deuxième ?

(e) Combien a-t-on de couples d’événements indépendants ? Indication : l’ensembledes probabilités possibles pour un événement est 0, 1

4 ,12 ,

34 , 1. Quels sont les

éléments de cet ensemble dont le produit est encore dans l’ensemble ?

15. Les usines A et B fabriquent des ampoules. Les ampoules de l’usine A une uneprobabilité 2

3 de griller au bout d’un an, celles de l’usine B ont une probabilité 15 de

griller au bout d’un an. L’usine A fabrique les 34 des ampoules du commerce, l’usine

B fabrique le tiers restant. J’achète une ampoule, celle-ci grille au bout d’un an.Quelle probabilité cette ampoule a-t-elle de provenir de l’usine A ?

16. (a) Une urne contient 4 boules rouges et 48 boules blanches. On tire avec remise5 boules de l’urne. Quelle est la probabilité que parmi ces 5 boules il y aitexactement deux boules rouges ?

(b) On tire 5 cartes d’un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité d’obtenir exac-tement 2 as ? Bravo, vous venez de faire deux fois le même exercice !

17. On lance 5 dés parfaits. On écarte les éventuels as obtenus et on lance les désrestants s’il en reste. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 as ? 4 as ? 5as ?

18. On dispose de deux urnes. La première urne contient 6 boules rouges et 4 boulesvertes. La deuxième urne contient 3 boules rouges et 7 boules noires. On disposeégalement d’une pièce truquée ayant la probabilité p ∈ [0, 1] de tomber sur pile. Onlance la pièce. Si c’est pile on tire une boule dans la première urne. Sinon on tireune boule dans la deuxième urne. Quelle est, en fonction de p, la probabilité de tirerune boule rouge ? Une boule noire ? Une boule verte ? Une boule bleue :-) ?

19. (a) Je fais le pari d’obtenir au moins un six en lançant un dé 4 fois de suite. Ai-jeplus de chances de perdre ou de gagner ?

(b) Je fais le pari d’obtenir au moins un double six en lançant deux dés n fois desuite. À partir de quelle valeur de n ai-je plus de chances de gagner que deperdre ?

(c) Quel « pseudo-argument » aurait pu me faire penser que la réponse à la questionb était 24 ?

20. On lance trois dés parfaits. On choisit comme univers l’ensemble Ω = 1, . . . , 63,muni de la probabilité uniforme. Soit A l’événement « la somme des dés est stric-tement supérieure à 10 ». Soit B l’événement « la somme des dés est inférieure ouégale à 10 ».

(a) Que vaut A ∪B ? A ∩B ?

IV. EXERCICES 425

(b) Montrer que l’application (a, b, c) 7→ (7 − a, 7 − b, 7 − c) est une bijection de Asur B.

(c) En déduire P (A) et P (B).


Chapitre 31Variables aléatoires

427

428 CHAPITRE 31. VARIABLES ALÉATOIRES

I Notion de variable aléatoire

Dans tout le chapitre, (Ω, P ) désigne un espace probabilisé fini.

I.1 C’est quoi ?

Pour décrire une quantité X pouvant prendre des valeurs aléatoires, il suffit de définirune fonction sur l’ensemble Ω. Une description précise de l’ensemble de départ de X estsouvent sans intérêt. Ce qui nous intéresse ce sont les valeurs prises par X, ou plus exacte-ment la façon dont ces valeurs sont distribuées dans l’ensemble d’arrivée. Nous allons voirque toute variable aléatoire X : Ω→ E permet de définir de façon naturelle une probabilitésur l’ensemble d’arrivée E, ou plus exactement sur l’ensemble X(Ω), lui-même fini. Cetteprobabilité est ce que l’on appelle la loi de X. Ce chapitre est destiné à fournir les outilsnécessaires à l’étude de la loi d’une variable aléatoire.

Définition 31.1 : Soit E un ensemble. Une variable aléatoire à valeurs dans E est uneapplication X : Ω→ E. Lorsque E ⊂ R on parle de variable aléatoire réelle.

Remarque 31.1 : Nous ne considérons dans ce cours que des univers Ω finis. Une variablealéatoire à valeurs dans un ensemble E ne prend donc qu’un nombre fini de valeurs.

Exemple : On lance deux dés à 6 faces. Par exemple, Ω = 1, . . . , 62. La fonctionX : (x, y) ∈ Ω 7→ x+ y ∈ R est une variable aléatoire réelle. L’ensemble des valeurs prisespar X est 2, . . . , 12.

Notation : Soit A une partie de E. On note X ∈ A ou (X ∈ A) l’événement X−1(A)de Ω. Si x ∈ E, l’événement X = x est X ∈ x. Si X est une variable aléatoire réelle,X ≤ x est X ∈]−∞, x]. On utilise évidemment des notations analogues pour d’autrestypes d’intervalles. Ces notations mettent en évidence le fait que ce qui nous intéresse cesont les valeurs prises par X, et pas vraiment la fonction X.

I.2 Loi d’une variable aléatoire

Définition 31.2 : Soit X : Ω→ E une variable aléatoire. On appelle loi de la variablealéatoire X l’application PX : E → [0, 1] définie pour tout A ⊂ E par PX(A) = P (X−1(A)).

Proposition 31.1 : Avec les notations ci-dessus, PX est une probabilité sur E (ou surX(Ω)).

Démonstration : On a PX(E) = P (X−1(E)) = P (Ω) = 1. Soient A et B deux partiesde E incompatibles. On a PX(A ∪ B) = P (X−1(A ∪ B)) = P (X−1(A) ∪ X−1(B)). LesévénementsX−1(A) etX−1(B) sont eux aussi incompatibles, donc P (X−1(A)∪X−1(B)) =P (X−1(A)) ∪ P (X−1(B)) ou encore PX(A ∪B) = PX(A) ∪ PX(B).

Remarque 31.2 : L’ensemble E devient donc un univers sur lequel PX est une loide probabilité. Le couple (E,PX) est ainsi un espace probabilisé. En toute rigueur, nous

II. LOIS USUELLES 429

n’avons défini que des probabilités sur un univers fini, et il faudrait systématiquementconsidérer X(Ω), et non E. Pour des raisons de simplicité, nous ne le ferons pas. De toutefaçon, pour toute partie A de E telle que A∩X(Ω) = ∅, on a PX(A) = 0. Les événementsincompatibles avec X(Ω) ont une probabilité nulle.

Notation : Les notations introduites précédemment se répercutent bien entendu sur lanotation des probabilités. Ainsi, on note P (X ∈ A) au lieu de PX(A). P (X ∈ x) est toutsimplement noté P (X = x), et si X est une variable aléatoire réelle, P (X ≤ x) dénoteP (X ∈]−∞, x]), etc.

Proposition 31.2 : Soit X : Ω→ E une variable aléatoire. La loi de X est entièrementdéterminée par les nombres px = P (X = x) pour x ∈ X(Ω).

Démonstration : Rappelons que nos univers sont finis. Soit A ⊂ E. On a PX(A) =PX(∪x∈Ax). Les événements x étant incompatibles deux à deux, PX(A) =

∑x∈A P (X =

x) =∑

x∈A px.

Remarque 31.3 : La somme ci-dessus est éventuellement infinie mais contient seulementun nombre fini de valeurs non nulles, puisque l’univers Ω est fini. Si l’on veut absolumentécrire des choses compliquées, on peut encore l’écrire

∑x∈A∩X(Ω) P (X = x).

Exemple : On reprend l’exemple du lancer de deux dés. On met la probabilité uniformesur Ω = 1, . . . , 62. Soit X la somme des deux dés. La loi de X est donnée dans le tableauci-dessous :

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

PX(x) 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

I.3 Image d’une variable aléatoire par une fonction

Soit X : Ω → E une variable aléatoire. Soit f : E → F une application. La fonctionf X : Ω→ F est elle-aussi une variable aléatoire, que l’on note f(X). Soit A ∈ F . On aPf(X)(A) = P (f(X)−1(A)) = P (X−1(f−1(A)) = P (X ∈ f−1(A)).

II Lois usuelles

II.1 Loi uniforme

Définition 31.3 : Soit E = x1, . . . , xn. Soit X : Ω → E. On dit que X suit une loiuniforme lorsque ∀i ∈ 1, . . . , n, P (X = xi) = 1

n .

Remarque 31.4 : On a alors bien entendu ∀A ⊂ E,P (X ∈ A) = |A|n .

Exemple : Lors du lancer d’un dé équilibré, la variable aléatoire X égale à la valeurmarquée par le dé suit une loi uniforme.


II.2 Loi de Bernoulli

Définition 31.4 : Soit p ∈ [0, 1]. Soit X : Ω → 0, 1. On dit que X suit une loi deBernoulli de paramètre p lorsque P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1− p. On note B(p) la loide Bernoulli de paramètre p.

Remarque 31.5 : La loi de Bernoulli intervient dans tout problème où le résultat peutprendre deux valeurs, comme le jeu de pile ou face, ou encore le succès ou l’échec d’uneexpérience, la réponse oui ou non à une question posée, garçon ou fille, boule rouge ouverte, gaucher ou droitier, etc. Le réel p est la probabilité de succès de l’expérience. Le réelq = 1− p est la probabilité d’échec.

Plus mathématiquement, soit A un événement (le succès d’une expérience), tel queP (A) = p. Soit 1A la fonction indicatrice de A. On a 1A : Ω→ 0, 1. La fonction 1A estune variable aléatoire réelle. On a P (1A = 1) = P (A) = p et P (1A = 0) = P (A) = 1− p.Ainsi, 1A suit une loi de Bernoulli de paramètre p : P1A = B(p).

Exemple : Une urne contient r boules rouges et v boules vertes. Soit p = rN où N = r+v

est le nombre total de boules présentes dans l’urne.. On tire une boule au hasard. La variablealéatoire X qui prend la valeur 1 lorsque la boule est rouge et 0 lorsque la boule est vertesuit une loi de Bernoulli de paramètre p.

II.3 Loi binomiale

Définition 31.5 : Soit n ∈ N∗. Soit p ∈ [0, 1]. Soit X : Ω → 0, 1, . . . , n. On ditque X suit une loi binomiale de paramètres n, p lorsque ∀k ∈ 0, 1, . . . , n, P (X = k) =(nk

)pk(1− p)n−k. On note B(n, p) la loi binomiale de paramètres n, p.

Proposition 31.3 : On a là une loi de probabilité.

Démonstration : Il faut essentiellement vérifier que le poids total est bien égal à 1.On a

∑nk=0 B(n, p)(k) =

∑nk=0

(nk

)pk(1− p)n−k = (p+ 1− p)n = 1.

(a) Loi binomiale B(40, 0.3) (b) Loi binomiale B(40, 0.5) (c) Loi binomiale B(40, 0.8)

Figure 31.1 – La loi binomiale

Remarque 31.6 : Remarquons que B(1, p) = B(p). Y a-t-il en lien entre loi de Bernoulliet loi binomiale ? Nous verrons plus loin que la loi binomiale est aussi la loi du nombre desuccès dans la répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes.

III. COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES 431

II.4 Un exemple : tirages avec remise

Nous avons déjà vu cet exemple dans le chapitre précédent, mais nous le traitons cettefois-ci plus simplement, grâce aux variables aléatoires.

Une urne contient N boules. v de ces boules sont vertes, les N − v = r boules restantessont rouges. On tire successivement n boules de l’urne, en remettant à chaque fois la bouletirée. Soit X le nombre de boules vertes tirées. Quelle est la loi de X ?

Soit Ai l’événement « la boule du ième tirage est verte ». Soit Xi = 1Ai . Ainsi, Xi = 1si on tire une boule verte au ième tirage, et Xi = 0 si on tire une boule rouge. Les variablesaléatoires Xi suivent une loi de Bernoulli B(p) où p = v

N . Ces variables sont indépendantes(voir plus loin) car on effectue un tirage avec remise. Et on a X =

∑ni=1Xi. Nous avons

vu au chapitre précédent que la loi de X est une loi binomiale de paramètre p.Exemple numérique : N = 10 boules, Nv = 6 boules vertes, Nr = 4 boules rouges.

Donc, p = 610 = 3

5 .On tire n = 5 boules avec remise. La probabilité de tirer k = 3 boulesvertes est

(53

)(3

5)3(25)2 = 216

625 ' 0.35

Nus voyons sur cet exemple que la somme de n variables aléatoires suivant une loide Bernoulli de paramètre p est une variable aléatoire suivant une loi binomiale de para-mètres n, p. Évidemment, nous n’avons regardé ici qu’un cas particulier : par exemple, pest rationnel. Mais nous verrons que ceci se généralise.

III Couples de variables aléatoires

Soient X : Ω → E et Y : Ω → F deux variables aléatoires. On dispose alors dela variable aléatoire, que l’on va noter (X,Y ) : Ω → E × F définie par (X,Y )(ω) =(X(ω), Y (ω)).

III.1 Loi conjointe, lois marginales

Définition 31.6 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espaceprobabilisé.

— La loi conjointe de X et Y est la loi du couple (X,Y ).— Les lois marginales de (X,Y ) sont les lois de X et de Y .

III.2 Un exemple

On dispose de deux variables aléatoires à valeurs dans 0, 1, 2. La loi du couple (X,Y )est donnée dans le tableau ci-dessous. Par exemple, on lit P ((X,Y ) = (2, 1)) = 0.2. On aégalement indiqué dans ce tableau la somme des lignes et la la somme des colonnes. Bienentendu, la somme de toutes les probabilités est 1.


P X = 0 X = 1 X = 2Y = 0 0.1 0.3 0 0.4

Y = 1 0 0.2 0.2 0.4

Y = 2 0.1 0 0.1 0.2

0.2 0.5 0.3

Remarque 31.7 : La dernière colonne du tableau est la loi de Y , et la dernière ligneest la loi de X. De façon générale, si l’on connaît la loi conjointe de X et Y on peutretrouver les lois de X et Y . En effet, soit a ∈ E. On a X = a = ∪b∈F X = a, Y = b =∪b∈F (X,Y ) = (a, b) et les événements de cette réunion sont incompatibles deux à deux.Donc P (X = a) =

∑b∈F P ((X,Y ) = (a, b)). Ainsi, pour tout a ∈ E, on a

PX(a) =∑b∈F

P(X,Y )((a, b))

La loi PX est donc déterminée de façon unique à partir de la loi P(X,Y ). De même, pourtout b ∈ F , on a

PY (b) =∑a∈E

P(X,Y )((a, b))

Exemple : Dans l’exemple ci-dessus, la probabilité PX est obtenue en sommant lescolonnes : P (X = 0) = 0.2, P (X = 1) = 0.5 et P (X = 2) = 0.3. De même, PY est obtenueen sommant les lignes.

Remarque 31.8 : En revanche, connaissant les lois de X et de Y , il n’est pas possible,sauf informations supplémentaires (cf indépendance, un peu plus loin), de trouver la loiconjointe de X et Y .

III.3 Loi conditionnelle

Définition 31.7 : Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espaceprobabilisé. Soit x ∈ E tel que P (X = x) > 0. Soit B ⊂ F . On pose PY |X=x(B) = P (Y ∈B|X = x).

Exemple : On reprend l’exemple du paragraphe précédent : P (Y 6= 2|X = 2) = 0+0.2 =0.2.

Proposition 31.4 : La connaissance de la loi de X et, pour tout x ∈ E, de loi condi-tionnelle de Y sachant X = x, permet de calculer la loi de Y .

Démonstration : Les événements X = x forment un système complet d’événements.On a pour tout y ∈ F , P (Y = y) = P (∪x∈E(Y = y,X = x)) =

∑X∈E P (Y = y|X =

x)P (X = x).

IV. VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES 433

III.4 Généralisation à n variables aléatoires

On peut bien entendu généraliser ce qui vient d’être dit pour des couples de variablesaléatoires à des n-uplets de variables aléatoires. Prenons par exemple un triplet (X,Y, Z) devariables aléatoires. Nous avons une loi conjointe, trois lois marginales. Les lois marginalesse récupèrent à partir de la loi conjointe. Par exemple, P (X = x) =

∑y,z P (X = x, Y =

y, Z = z). De même, on peut définir un certain nombre de lois conditionnelles, comme parexemple P (X = x, Y = y|Z = z) ou encore P (X = x|Y = y, Z = z), etc.

IV Variables aléatoires indépendantes

IV.1 C’est quoi ?

Définition 31.8 : Soient X : Ω → E et Y : Ω → F deux variables aléatoires. Ondit que X et Y sont indépendantes lorsque pour tout x ∈ X(Ω) et tout y ∈ Y (Ω) on aP (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y)

Proposition 31.5 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On a

∀A ⊂ X(Ω), ∀B ⊂ Y (Ω), P ((X,Y ) ∈ A×B) = P (X ∈ A)P (Y ∈ B)

Démonstration : P ((X,Y ) ∈ A×B) = P (∪a∈A,b∈B(X,Y ) = (a, b)) =∑

a∈A,b∈B P ((X,Y ) =(a, b)) =

∑a∈A,b∈B P (X = a)P (Y = b) =

∑a∈A P (X = a)

∑b∈B P (Y = b) = P (X ∈

A)P (Y ∈ B).

Corollaire 31.6 : Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, alors pourtous événements A et B les événements X ∈ A et Y ∈ B sont indépendants.

IV.2 Généralisation

Définition 31.9 : Soient X1, . . . , Xn n variables aléatoires. On dit que X1, . . . , Xn sontindépendantes lorsque pour tous x1 ∈ X1(Ω), . . . , xn ∈ Xn(Ω) on a P (X1 = x1, . . . , Xn =xn) = P (X1 = x1) . . . P (Xn = xn)

Proposition 31.7 : Soient X1, . . . , Xn n variables aléatoires. Ces variables aléatoiressont indépendantes si et seulement si pour tous Ak ∈ Xk(Ω), k = 1, . . . , n, les événements(Xk ∈ Ak) sont indépendants.


IV.3 Fonctions de variables aléatoires indépendantes

Proposition 31.8 : Soient X : Ω → E et Y : Ω → F deux variables aléatoiresindépendantes. Soient f : E → E′ et g : F → F ′. Les variables aléatoires f(X) et g(Y )sont indépendantes.


Démonstration : Ona P (f(X) = x, g(Y ) = y) = P (X ∈ f−1(x), Y ∈ g−1(y)) =P (X ∈ f−1(x))P (Y ∈ g−1(y)) = P (f(X) = x)P (g(Y ) = y).

Proposition 31.9 : Soient X,Y, Z trois variables aléatoires réelles indépendantes. Lesvariables aléatoires X et (Y,Z) sont aussi indépendantes.

Remarque 31.9 : Cette proposition est un cas particulier du lemme de coalition, quinous dit que si X1, . . . , Xn sont n variables aléatoires réelles indépendantes, ϕ et ψ sontdeux fonctions, et k est un entier entre 2 et n−1, alors les variables aléatoires ϕ(X1, . . . , Xk)et ψ(Xk+1, . . . , Xn) sont elles aussi indépendantes.

Démonstration : On a P (X = x, (Y,Z) = (y, z)) = P (X = x, Y = y, Z = z) =P (X = x)P (Y = y)P (Z = x) par l’indépendance. Mais P (Y = y)P (Z = z) = P (Y =y, Z = z) = P ((Y,Z) = (y, z)).

Corollaire 31.10 : Soient X,Y, Z trois variables aléatoires réelles indépendantes. Lesvariables aléatoires X et Y + Z sont indépendantes.

Démonstration : Les variables X et (Y, Z) sont indépendantes d’après le lemme decoalition. Soit ϕ : (y, z) 7→ y + z. D’après la proposition vue un peu plus haut, X etY + Z = ϕ(Y,Z) sont aussi indépendantes.

Remarque 31.10 : Ceci se généralise bien entendu à des sommes de plus de deuxvariables aléatoires réelles.

IV.4 Retour à la loi binomiale

Nous avons maintenant suffisamment de résultats à notre disposition pour montrer lethéorème suivant.

Proposition 31.11 : Soit n ≥ 1. Soit p ∈ [0, 1]. Soient X1, . . . , Xn n variables aléatoiresindépendantes suivant la loi de Bernoulli B(p). Alors, la variable aléatoire X1 + . . . + Xn

suit la loi binomiale B(n, p).

Démonstration : On fait une récurrence sur n. Pour n = 1, c’est évident puisqueB(p) = B(1, p). Supposons la propriété vraie pour l’entier n ≥ 1. Soient X1, . . . , Xn+1 n+1variables aléatoires indépendantes de loi B(p). Soit Y = X1+ . . .+Xn+1. Remarquons toutd’abord que Y ne prend que des valeurs entre 0 et n+1. Soit tout d’abord k ∈ 1, . . . , n+1.On a Y = k = Xn+1 = 0, X1 + . . . + Xn = k ∪ Xn+1 = 1, X1 + . . . + Xn = k − 1,ces deux événements étant clairement incompatibles. On a donc P (Y = k) = P (Xn+1 =0, X1 + . . . + Xn = k) + P (Xn+1 = 1, X1 + . . . + Xn = k − 1). Le lemme des coalitionsnous dit que X1 + . . . + Xn et Xn+1 sont indépendantes. Donc P (Y = k) = P (Xn+1 =0)P (X1 + . . .+Xn = k) +P (Xn+1 = 1)P (X1 + . . .+Xn = k−1). On applique l’hypothèsede récurrence : P (Y = k) = (1 − p)

(nk

)pk(1 − p)n−k + p

(nk−1

)pk−1(1 − p)n−k+1 = pk(1 −

p)n+1−k((nk

)) +

(nk−1

)) =

(n+1k

)pk(1− p)n+1−k, qui est bien la probabilité voulue.

Reste à regarder ce qui se passe pour k = 0. On a Y = 0 = X1 = 0, . . . , Xn+1 = 0d’où P (Y = 0) = P (X1 = 0) . . . P (Xn+1 = 0) = (1− p)n+1 =

(n+1

0

)p0(1− p)n+1.

V. ESPÉRANCE 435

V Espérance

V.1 Notion d’espérance

Définition 31.10 : Soit X une variable aléatoire réelle. On appelle espérance de X leréel

E(X) =∑

x∈X(Ω)

xP (X = x)

Remarque 31.11 : Si les valeurs prises par X sont X(Ω) = x1, . . . , xn, et si pk =P (X = xk), la formule devient E(X) =

∑nk=1 pkxk.

Exemple : On lance deux dés équilibrés. Soit X la somme des dés. On a E(X) =2 1

36 + 3 236 + . . .+ 7 6

36 + . . .+ 12 136 = 7.

Remarque 31.12 : L’espérance de X peut-être vue comme la « moyenne » des valeursprises par X. Chaque valeur x est prise avec une probabilité px = P (X = x) d’apparaître.Les deux propositions ci-dessous nous donnent deux autres façons de calculer une espérance.

Proposition 31.12 : Soit (Ak)k∈K un système complet d’événements de Ω. Soit X =∑k∈K xk1Ak . Alors, E(X) =

∑k∈K xkP (Ak).

Démonstration : Cette propriété nous dit qu’il est facile de calculer l’espérance d’unevariable aléatoire réelle lorsqu’on l’a écrite comme une combinaison linéaire de fonctionsindicatrices dont les supports sont disjoints. Remarquons d’abord que les valeurs prisespar X sont les xk, ceci parce que les Ak sont disjoints : une et une seule des fonctionsindicatrices peut être non nulle dans la somme. De plus, P (X = xk) = P (ω ∈ Ω, X(ω) =xk = P (Ak). D’où E(X) =

∑k∈K xkP (X = xk) =

∑k∈K xkP (Ak).

Proposition 31.13 : Soit X : Ω→ R une variable aléatoire réelle. On a

E(X) =∑ω∈Ω

P (ω)X(ω)

Démonstration : On a∑

ω∈Ω P (ω)X(ω) =∑

x∈X(Ω)

∑ω∈Ω,X(ω)=x P (ω)X(ω) =∑

x∈X(Ω) x∑

ω∈Ω,X(ω)=x P (ω) =∑

x∈X(Ω) xP (X = x) = E(X).

V.2 Espérance des variables aléatoires usuelles

• Variable aléatoire constante : SoitX une variable aléatoire réelle constante, de valeurm. On a évidemment E(X) = m. En corollaire, si X est une variable aléatoireréelle, le réel E(X) peut être considéré comme une variable aléatoire constante.Donc E(E(X)) = E(X).


• Loi uniforme : soitX une variable aléatoire réelle prenant les valeurs x1, . . . , xn selonune loi uniforme. On a E(X) = 1

n

∑nk=1 xk, c’est à dire la moyenne arithmétique

des valeurs prises par X.• Loi de Bernoulli : soit p ∈ [0, 1]. soit X une variable aléatoire suivant la loi B(p).

On a E(X) = P (X = 0)× 0 + P (X = 1)× 1 = (1− p)× 0 + p× 1 = p.• Loi binomiale : soit n ≥ 1, p ∈ [0, 1]. soit X une variable aléatoire suivant la

loi B(n, p). On a E(X) =∑n

k=0 k(nk

)pk(1 − p)n−k. Nous allons calculer brutale-

ment cette somme, mais nous verrons très bientôt que l’espérance de la loi bino-miale peut être obtenue beaucoup plus simplement. On a

∑nk=0 k

(nk

)pk(1−p)n−k =∑n

k=1n!

(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k =

∑n−1k=0

n!(k)!(n−k−1)!p

k+1(1−p)n−1−k = np∑n−1

k=0

(n−1k

)pk(1−

p)n−1−k = np(p+ 1− p)n−1 = np.

V.3 Propriétés élémentaires

Proposition 31.14 : Soit X une variable aléatoire à valeurs positives. On a• E(X) ≥ 0.• E(X) = 0 si et seulement si P (X 6= 0) = 0.

Remarque 31.13 : Soit (Ω, P ) un espace probabilisé et P(ω) une propriété des élé-ments de Ω. On dit que la propriété P est presque sûrement vraie sur Ω lorsque P (ω ∈Ω,P(ω)) = 1. Ainsi, par exemple, dans la proposition précédente, E(X) = 0 si et seule-ment si X est presque sûrement nulle.

Démonstration : Soient xk, k ∈ K les valeurs prises parX. On aE(X) =∑

k∈K xkP (X =xk) ≥ 0 puisque les xk sont positifs et qu’une probabilité est un réel positif. De plus, cetteespérance est nulle si et seulement si chaque terme de la somme est nulle.

Proposition 31.15 : Soient X,Y deux variables aléatoires réelles telles que X ≤ Y .On a E(X) ≤ E(Y ). Et E(X) = E(Y ) si et seulement si P (X 6= Y ) = 0.

Démonstration : On a Y − X ≥ 0 donc E(Y − X) ≥ 0. En admettant très provi-soirement la linéarité de l’espérance, nous sommes ramenés à la proposition précédente.

V.4 Linéarité de l’espérance

Proposition 31.16 : L’espérance est linéaire : Soient X,Y deux variables aléatoiresréelles, et α, β ∈ R. On a

E(αX + βY ) = αE(X) + βE(Y )

Démonstration :E(αX+βY ) =∑

ω∈Ω P (ω)(αX(ω)+βY (ω)) = α∑

ω∈Ω P (ω)X(ω)+β∑

ω∈Ω P (ω)Y (ω) = αE(X) + βE(Y ).

V. ESPÉRANCE 437

Exemple : Revenons à l’espérance d’une variable aléatoire X suivant une loi binomialeB(n, p). L’espérance de X ne dépend que de la loi de X, et pas de X elle-même. Plusclairement, toutes les variables aléatoires suivant la loi B(n, p) ont la même espérance. Onpeut donc prendre X = X1 + . . .+Xn où les Xk sont n variables aléatoires (indépendantes,mais on n’en a pas besoin) suivant la loi de Bernoulli B(p). Par linéarité de l’espérance, ona E(X) =

∑nk=1E(Xk) =

∑nk=1 p = np. C’est quand même plus facile que le calcul fait

plus haut.

Exemple : Retour à la somme des deux dés. Soit X la variable aléatoire « valeur dupremier dé ». Soit Y la variable aléatoire « valeur du deuxième dé. On a E(X) = E(Y ) = 7

2(loi uniforme). D’où E(X + Y ) = 7, ce qui est une façon beaucoup plus simple d’obtenirl’espérance que de calculer la loi de X + Y !

Remarque 31.14 : Nous avons là un exemple d’un phénomène très fréquent. Pourcalculer l’espérance d’une variable aléatoire réelle, on n’a parfois pas besoin de connaîtresa loi. Si une variable aléatoire s’exprime en fonction d’autres variables aléatoires dont onconnaît l’espérance, on a alors l’espoir d’obtenir l’espérance de notre variable. Voyons toutde suite un autre exemple, où cette idée s’applique pleinement.

V.5 Formule de transfert

Proposition 31.17 : Soit X : Ω→ E une variable aléatoire. Soit ϕ : E → R. On a

E(ϕ(X)) =∑x∈E

ϕ(x)P (X = x)

Démonstration : Écrivons X sous la forme X =∑

k∈K xk1Ak . On a alors ϕ(X) =∑k∈K ϕ(xk)1Ak d’où E(ϕ(X)) =

∑k∈K ϕ(xk)P (Ak) =

∑k∈K ϕ(xk)P (X = xk).

Exemple : La variable aléatoire X prend les valeurs −1, 0, 1, 2 et suit une loi uniforme.On a E(X) = 1

2 , E(X2) = 14(−1)2 + 1

402 + 1412 + 1

422 = 32

Exercice : Calculer E(X4).

V.6 Inégalité de Markov

Proposition 31.18 : Soit X une variable aléatoire à valeurs positives. Soit t > 0. Ona

P (X ≥ t) ≤ E(X)

t

Démonstration : Soit A = x1, . . . , xn l’ensemble des valeurs prises par X. NotonsA+ l’ensemble des x ∈ A tel que x ≥ t. On a tP (X ≥ t) =

∑x∈A+ tP (X = x) ≤∑

x∈A+ xP (X = x) ≤∑

x∈A xP (X = x) = E(X).


Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n, p). On a donc pourtout t > 0, P (X ≥ t) ≤ np

t . Nous apprenons donc par exemple que P (X ≥ 100np) ≤ 1100 .

C’est intéressant lorsque 100np < n, c’est à dire si p < 1100 . Pour continuer l’exemple, si

p < 11000 , alors P (X ≥ n

10) ≤ P (X ≥ 100np) ≤ 1100 .

V.7 Espérance d’un produit de variables aléatoires indépendantes

Proposition 31.19 : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. Ona

E(XY ) = E(X)E(Y )

Démonstration : Soient xk les valeurs prises par X et yl les valeurs prises par Y . Lavariable aléatoire (X,Y ) prend donc les valeurs (xk, yl). On a E(XY ) =

∑k,l xkylP (X =

xk, Y = yl) d’après le théorème de transfert. Par l’indépendance de X et Y , cette sommevaut

∑k,l xkylP (X = xk)P (Y = yl) =

∑k,l xkP (X = xk)

∑l ylP (Y = yl) = E(X)E(Y ).

Remarque 31.15 : L’indépendance de X et Y est inutile pour la somme de deuxvariables aléatoires, mais indispensable pour leur produit. Prenons par exemple X de loide Bernoulli B(p), et Y = X. On a XY = X2 = X, donc E(XY ) = p. Mais E(X)E(Y ) =E(X)2 = p2, donc E(X)2 6= E(X2) sauf dans les cas triviaux où p = 0 ou p = 1.

VI Variance, écart-type, covariance

VI.1 Variance, écart-type

Soit X une variable aléatoire réelle. La connaissance de E(X) est importante, mais nesuffit pas à se faire une idée de X. Prenons par exemple les notes à un concours de l’épreuvede mathématiques et de l’épreuve de physique. Mettons que la moyenne de maths est 8 etcelle de physique est 9. C’est intéressant en soi, mais comme c’est un concours, cela n’estpas si important. Pour être bien classé, vaut il mieux avoir 9 en maths ou 10 en physique ?Le problème n’est pas la valeur de la moyenne, mais la répartition des notes autour de cettemoyenne. On pourrait pour cela considérer la variable aléatoire |X−E(X)| et calculer sonespérance, mais la plupart du temps ce calcul est très compliqué. Il est beaucoup plussimple de calculer E((X − E(X))2).

Définition 31.11 : Soit X une variable aléatoire réelle.• On appelle variance de X le réel

V (X) = E((X − E(X))2)

• On appelle écart-type de X le réel

σ(X) =√V (X)

VI. VARIANCE, ÉCART-TYPE, COVARIANCE 439

Remarque 31.16 : L’intérêt de l’écart-type est d’avoir la même dimension que X. SiX est exprimé en mètres, par exemple, alors V (X) est exprimée en mètres carrés, maisσ(X) est aussi exprimé en mètres. C’est l’écart-type qui mesure l’écart de X à sa moyenne.Nous préciserons davantage cela un peu plus loin, lorsque nous parlerons de l’inégalité deBienaymé-Tchebychev.

Proposition 31.20 : Soit X une variable aléatoire réelle. On a V (X) = E(X2)−E(X)2.

Démonstration : V (X) = E(X2 − 2E(X)X + E(X)2 = E(X2) − 2E(X)E(X) +E(X)2 = E(X2)− E(X)2.

Exemple : On lance deux dés équitables. On appelle X la somme des deux dés. On aV (X) = 35

6 et σ(X) =√

356 ' 2.4.

Proposition 31.21 : Soit X une variable aléatoire réelle. Soient a, b ∈ R. On a V (aX+b) = a2V (X) et σ(aX + b) = |a|σ(X).

Démonstration : Soit Y = aX + b. On a E(Y ) = aE(X) + E(b) = aE(X) + b. DoncE((Y −E(Y ))2 = E(a(X −E(X)))2) = a2E((X −E(X))2) = a2V (X). Pour l’écart-type,prendre la racine carrée.

Remarque 31.17 : Soit X une variable aléatoire réelle d’espérance m et d’écart-typeσ. Soit Y = X−m

σ . On a E(Y ) = 0 : on dit que la variable aléatoire Y est centrée. De plus,on a σ(Y ) = 1

σσ(X) = 1 : Y est dite réduite.

VI.2 Variance des variables aléatoires usuelles

Variable aléatoire presque constante

Proposition 31.22 : Soit X une variable aléatoire constante presque sûrement. On aV (X) = 0.

Démonstration : Soit m la valeur prise par X en dehors d’un ensemble de probabiliténulle. On a E(X2) = m2 puisque X2 est presque sûrement constante, égale à m2. Et on aaussi E(X)2 = m2.

Ce résultat admet une réciproque.

Proposition 31.23 : Soit X une variable aléatoire réelle. On suppose que V (X) = 0.Alors X est presque sûrement constante, égale à son espérance.

Démonstration : Soit Y = (X − E(X))2. L’énoncé nous dit que E(Y ) = 0. MaisY ≥ 0. Donc, X − E(X) est presque sûrement nulle.


Loi uniforme

Proposition 31.24 : Soit n ≥ 1. Soit a ∈ R. Soit b = a + n− 1. Soit X une variablealéatoire suivant la loi uniforme sur l’ensemble a, a+ 1, . . . , b. On a V (X) = n2−1

12 .

Démonstration : On a n = b− a+ 1. C’est le nombre de valeurs prises par X. De làE(X) = 1

n(a+(a+1)+. . .+(a+n−1)) = 1n(na+ n(n−1)

2 ) = a+ b−a2 = a+ n−1

2 . Un peu pluscompliqué maintenant : E(X2) = 1

n

∑n−1k=0(a + k)2 = 1

n

∑n−1k=0(a2 + 2ka + k2) = 1

n(na2 +

2a∑n−1

k=0 k +∑n−1

k=0 k2) = 1

n(na2 + 2an(n−1)2 + (n−1)n(2n−1)

6 ) = a2 + a(n− 1) + (n−1)(2n−1)6 .

Donc V (X) = E(X2)−E(X)2 = a2+a(n−1)+ (n−1)(2n−1)6 −(a2+a(n−1)+ (n−1)2

4 ) = n2−112 .

Remarque 31.18 : Prenons n « grand ». On a alors σ(X) ∼ n√12

qui vaut à peu prèsn

3.5 .

Loi de Bernoulli

Proposition 31.25 : Soit p ∈ [0, 1]. Soit X une variable aléatoire suivant une loi deBernoulli B(p). On a V (X) = p(1− p).

Démonstration : C’est immédiat. D’ailleurs on a déjà fait ce calcul.

Exemple : On lance une pièce équilibrée. Soit X la variable aléatoire qui vaut 1 lorsquela pièce tombe sur pile et 0 lorsque la pièce tombe sur face. On a E(X) = 1

2 et σ(X) = 12 .

Loi binomiale

Proposition 31.26 : Soit p ∈ [0, 1]. Soit n ≥ 1. Soit X une variable aléatoire suivantune loi binomiale B(n, p). On a V (X) = np(1− p).

Démonstration : Admettons pour l’instant que si X et Y sont des variables aléatoiresréelles indépendantes, alors V (X+Y ) = V (X)+V (Y ). La variance d’une variable aléatoirene dépendant que de la loi de celle-ci, on peut donc supposer que X est la somme de nvariables aléatoires indépendantes suivant une loi de Bernoulli de même paramètre p. Lecalcul de la variance est alors évident.

Remarque 31.19 : Cette fois, on a σ(X) ∼ K√n, où K =

√p(1− p). On voit donc

que σ(X) = o(n), c’est à dire que les valeurs prises par X sont « resserrées » autour deson espérance. Voir exemple un peu plus bas, après la preuve de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Par exemple, pour n = 10000 et p = 1

2 on obtient E(X) = 5000 et σ(X) = 50,c’est à dire cent fois moins que l’espérance. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev nous diraentre autres que P (|X − 5000| ≥ 500) ≤ 1

100 . Autrement dit, 99% des valeurs prises par Xsont comprises entre 4500 et 5500.


VI.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Proposition 31.27 : Soit X une variable aléatoire réelle. Soit m = E(X) l’espérancede X. Soit σ = σ(X). l’écart-type de X. Soit λ > 0. On a

P (|X −m| ≥ λ) ≤ σ2

λ2

Démonstration : On applique l’inégalité de Markov à la variable aléatoire Y = (X −m)2, avec t = λ2. Il vient P ((X−m)2 ≥ λ2) ≤ E((X−m)2)

λ2, c’est à dire P (|X−m| ≥ λ) ≤ σ2

λ2.

Remarque 31.20 : Si on remplace λ par λσ dans l’inégalité, on obtient une autre formeplus homogène de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :

P (|X −m| ≥ λσ) ≤ 1

λ2

Exemple : On lance n fois un dé équilibré. On appelle X le nombre de 6 obtenus. Chaquelancer de dé est une expérience aléatoire de type succès-échec, avec une probabilité de succèsp = 1

6 . X suit donc la loi binomiale B(n, 16). L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev devient

doncP (|X − n

6| ≥ λ) ≤ 5n

36λ2

Avec λ = n6 , on obtient P (|X − n

6 | ≥n6 ) = P (X > n

3 ) ≤ 5n , ou encore, en passant à

l’événement contraire : P (X < n3 ) ≥ 1 − 5

n . Pour que la probabilité d’obtenir un nombrede 6 entre 0 et n

3 soit au moins égale à 0.5, il suffit de de choisir n tel que 1 − 5n ≥ 0.5,

c’est à dire par exemple n = 10. Si on veut que cette même probabilité soit supérieure à910 , il faudra prendre n tel que 1− 5

n ≥ 0.9, c’est à dire par exemple n = 50.

Remarque 31.21 : Cette même probabilité peut être calculée à la main sous la formed’une somme. Après tout, on connaît la loi deX. On s’aperçoit qu’en fait il suffit de prendren = 9 pour que la probabilité cherchée soit supérieure à 0.9. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est loin d’être optimale, mais elle a l’incommensurable avantage d’être vraiepour TOUTES les variables aléatoires réelles, quelle que soit leur loi.

Remarque 31.22 : Soit p ∈ [0, 1]. Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indé-pendantes de même loi B(p). Soit n ≥ 1 et X = X1 + . . . + Xn. L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec λ = nε nous dit que P (|X−np| ≥ nε) ≤ V (X)

n2ε2= p(1−p)

nε2. Ce que l’on peut

encore écrireP (

∣∣∣∣X1 + . . .+Xn

n− p∣∣∣∣ ≥ ε) ≤ p(1− p)

nε2

On en déduit donc que pour tout ε > 0 fixé,

P (

∣∣∣∣X1 + . . .+Xn

n− p∣∣∣∣ < ε)→ 1


lorsque n tend vers l’infini.Interprétons ce résultat : soit (Ω, P ) un espace probabilisé. Soit A un événement de

probabilité p. L’événement A représente le succès d’une expérience aléatoire. On réalise nfois cette expérience, et on appelle ns le nombre de succès. On a alors, pour tout ε > 0,P (∣∣nsn − p

∣∣ < ε) → 1 lorsque n tend vers l’infini. Le quotient nsn tend donc d’une certaine

façon vers p (c’est ce qu’on appelle la convergence en probabilité), ce que l’on mouraitd’envie de savoir depuis le début du chapitre précédent. On peut en réalité faire mieux quecela, mais ceci est une autre histoire.

VI.4 Covariance

Définition 31.12 : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On appelle cova-riance de X et Y le réel

Cov(X,Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y )))

Proposition 31.28 : On a Cov(X,Y ) = E(XY )− E(X)E(Y ).

Corollaire 31.29 : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. Ona Cov(X,Y ) = 0.

Démonstration : On développe et on utilise la linéarité de l’espérance. Quant aucorollaire, rappelons que si nos variables aléatoires sont indépendantes, l’espérance duproduit est le produit des espérances. La covariance mesure donc d’une certaine façon le« degré de non indépendance » de X et Y .

Remarque 31.23 : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs −1, 0, 1 selon uneloi uniforme. Soit Y = X2. On vérifie facilement que X et Y ne sont pas indépendantes.Par exemple, P (X = −1, Y = 0) = 0 mais P (X = −1)P (Y = 0) = 1

9 . On a XY = X3 = Xdonc E(XY ) = E(X) = 0. Et E(X)E(Y ) = 0 donc Cov(X,Y ) = 0. La réciproque de laproposition ci-dessus est donc fausse.

Remarquons que nous n’avons pas eu besoin de calculer E(Y ). Cela dit, E(Y ) =E(X2) = V (X) = 2

3 (loi uniforme).

Exemple : On lance trois dés équitables. Soit X la somme des deux premiers dés etY la somme des deux derniers dés. Voici la loi conjointe du couple (X,Y ) (diviser chaquevaleur par 63 = 216).


2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 6

3 1 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 12

4 1 2 3 3 3 3 2 1 0 0 0 18

5 1 2 3 4 4 4 3 2 1 0 0 24

6 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 0 30

7 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36

8 0 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 30

9 0 0 1 2 3 4 4 4 3 2 1 24

10 0 0 0 1 2 3 3 3 3 2 1 18

11 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 12

12 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6

6 12 18 24 30 36 30 24 18 12 6

On a E(XY ) = 62312 , E(X) = E(Y ) = 7, d’où Cov(X,Y ) = 35

12 . Nous allons voir qu’il ya une bien meilleure méthdode pour calculer cette covariance.

VI.5 Quelques propriétés de la covariance

Proposition 31.30 : Soient X, Y , Z des variables aléatoires réelles, α, β, γ, δ quatreréels. On a

• Cov(X,Y ) = Cov(Y,X).• Cov(X,X) = V (X).• Cov(αX + β, γY + δ) = αγCov(X,Y ).• Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) et de même à droite.• |Cov(X,Y )| ≤ σ(X)σ(Y ).

Démonstration : Seul le dernier point mérite qu’on s’y attarde. Le lecteur s’y attarderaen considérant la fonction f : R → R définie par f(t) = E((X + tY )2) et en s’inspirantde la preuve de l’inégalité de Schwarz. Il découvrira alors que E(XY )2 ≤ E(X2)E(Y 2).Puis il appliquera cette inégalité en remplaçant respectivement X et Y par X − E(X) etY − E(Y ).

Exercice : Montrer que |Cov(X,Y )| = σ(X)σ(Y ) si et seulement si il existe trois réelsa, b, c, (a, b) 6= (0, 0), tels que aX + bY + c = 0 presque sûrement.

Exemple : On reprend l’exemple du lancer de 3 dés. X et Y sont respectivementla somme des deux premiers dés et la somme des deux derniers dés. La bilinéarité dela covariance permet de calculer très simplement Cov(X,Y ). En effet, soient A,B,C lesvaleurs des 3 dés. Les variables A,B,C sont indépendantes et on aX = A+B et Y = B+C.D’où Cov(X,Y ) = Cov(A+B,B+C) = Cov(A,B)+Cov(A,C)+Cv(B,B)+Cov(B,C) =Cov(A,B) +Cov(A,C) +Cov(B,C) + V (B). Les trois covariances sont nulles puisque lesvariables aléatoires sont indépendantes. Et B suit une loi uniforme, donc V (B) = 62−1

12 =3512 . Ainsi, Cov(X,Y ) = 35

12 comme déjà vu précédemment.


Remarquer que l’inégalité de Schwarz est bien vérifiée, puisque Cov(X,Y ) = 3512 alors

que σ(X)σ(Y ) = σ(X)2 = 356 .

Remarque 31.24 : Toute ressemblance avec les propriété des produits scalaires estnon fortuite. Mais Cov n’est pas un produit scalaire. C’est une forme bilinéaire symétriquepositive (sur quel espace ?). En revanche, Cov(X,X) = 0 si et seulement si V (X) = 0 c’està dire si et seulement si X est constante presque sûrement. Mais pas nulle !

VI.6 Variance d’une somme de variables aléatoires

Les ressemblances avec les produits scalaires ne s’arrêtent pas là. Nous allons montrerdeux égalités qui correspondent, dans les espaces préhilbertiens, aux identités de polarisa-tion.

Proposition 31.31 : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles. On a• V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y ).• V (X − Y ) = V (X) + V (Y )− 2Cov(X,Y ).

Proposition 31.32 : Si X1, . . . , Xn sont n variables aléatoires réelles, on a

V (X1 + . . .+Xn) = V (X1) + . . .+ V (Xn) + 2∑

1≤i<j≤nCov(Xi, Xj)

Démonstration : On fait la démonstration pour deux variables aléatoires. Pour nvariables, c’est pareil. La deuxième égalité se déduit de la première en changeant Y en −Y .Concentrons-nous sur la première. On a V (X + Y ) = Cov(X + Y,X + Y ) = Cov(X,X) +2Cov(X,Y ) + Cov(Y, Y ) par bilinéarité et symétrie. D’où l’égalité.

Corollaire 31.33 : Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes. Ona V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).

Démonstration : C’est évident, puisque dans ce cas Cov(X,Y ) = 0.

Exemple : Exemple du lancer de deux dés. Soit X = A + B la somme des valeurs desdeux dés. Les variables aléatoires A et B sont indépendantes, donc V (X) = V (A)+V (B) =3512 + 35

12 = 356 . La morale de l’histoire, c’est que si on connaît espérance et variance du lancer

de 1 dé, on peut calculer sans aucun effort espérance et variance du lancer de deux dés,trois dés, etc..

Corollaire 31.34 : Soit n ≥ 1. Soit p ∈ [0, 1]. Soit X une variable aléatoire suivantla loi binomiale B(n, p). On a V (X) = np(1− p).

Démonstration : Car X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivantla loi de Bernoulli B(p). On peut donc additionner les variances.

VII. EXERCICES 445

VII Exercices

1. Une urne contient n boules, dont nr sont rouges et nb = n − nr sont blanches.On dispose d’un dé rouge parfait et d’un dé blanc pipé. Le 6 du dé blanc a uneprobabilité 1

4 d’apparaître. Les autres faces du dé blanc ont la même probabilitéd’apparition. On tire au hasard une boule dans l’urne et on lance le dé de la couleurcorrespondante. Soit X la valeur obtenue avec le dé lancé.(a) Quelle est la loi de X ?(b) Déterminer l’espérance et la variance de X.(c) Quel univers pourrait-on choisir pour modéliser cette expérience ?

2. On dispose d’un jeu de 32 cartes. On tire 5 cartes au hasard. Soit X le nombre d’astirés. L’univers choisi est l’ensemble des parties à 5 éléments de l’ensemble des 32cartes.(a) Déterminer la loi de X.(b) Déterminer l’espérance et la variance de X.

3. Même exercice que le précédent, mais X est le nombre de coeurs tirés.4. On dispose de N + 1 urnes. Pour k = 1, . . . , N + 1, l’urne numéro k contient k − 1

boules rouges et N − k + 1 boules blanches. On choisit une urne au hasard et on ytire n boules avec remise. Soit X le nombre de boules rouges obtenues. Déterminerla loi et l’espérance de X.

5. Soitm,n ∈ N. Soit p ∈ [0, 1]. SoientX et Y deux variables aléatoires indépendantes,de lois respectives B(m, p) et B(n, p). Quelle est la loi de X + Y ?

6. Soit n ∈ N. Soient p1, p2 ∈ [0, 1]. Soient X et Y deux variables aléatoires. Onsuppose que X suit la loi B(n, p1) et que pour k ∈ 0, . . . , n, la loi conditionnellede Y sachant (X = k) est B(k, p2). Quelle est l’espérance de Y ?

7. Deux urnes contiennent chacune n boules numérotées de 1 à n. On prend une bouledans chaque urne et on appelle Xn le plus grand des deux numéros tirés.(a) Soit k ∈ 0, . . . , n. Déterminer P (Xn ≤ k).(b) En déduire P (Xn = k).(c) Calculer E(Xn) ainsi qu’un équivalent de cette espérance lorsque n tend vers

l’infini.8. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives B(m, 1

2)et B(n, 1

2). Déterminer P (X = Y ).9. On lance n ballons au hasard dans n paniers numérotés de 1 à n. Pour i = 1, . . . , n,

on note Xi le nombre de ballons dans le panier i.(a) Déterminer la loi de Xi, son espérance, sa variance.(b) On pose Y = X1 +X2. Déterminer la loi de Y , son espérance, sa variance.(c) Les variables aléatoires X1 et X2 sont-elles indépendantes ?


10. M. Bienaymé laisse tomber 3600 dés parfaits. Soit X le nombre de 6.

(a) Quelle est la loi de X ? Quelle est son espérance ? Sa variance ?

(b) Selon M. Tchebychev, quel est un minorant de la probabilité p queX soit comprisentre 550 et 650 ?

(c) Donner une formule donnant la valeur exacte de p, puis une valeur approchéede p à 10−2 près (ordinateur autorisé).

11. Soient X et Y deux variables aléatoires suivant une même loi de Bernoulli de para-mètre p.

(a) Montrer que X et Y sont indépendantes si et seulement si Cov(X,Y ) = 0.

(b) On suppose X et Y indépendantes. Déterminer les lois de U = X + Y et V =X − Y .

(c) Déterminer la loi conjointe de U et V . Les variables aléatoires U et V sont-ellesindépendantes ?

12. Soit p ∈ [0, 1]. Soient X et Y deux variables aléatoires suivant la loi de BernoulliB(p). On pose λ = P (X = 1, Y = 1).

(a) Que vaut λ lorsque X = Y ? Lorsque X et Y sont indépendantes ?

(b) Déterminer la loi conjointe de X et Y .

(c) Montrer que max(0, 2p− 1) ≤ λ ≤ p.(d) Calculer Cov(X,Y ) en fonction de p et λ.

(e) Toujours en fonction de p et λ, déterminer l’espérance et la variance deX + Yet X − Y .

13. Soit X une variable aléatoire telle que X(Ω) ⊂ N. On note GX la fonction qui àt ∈ R associe

∑k∈N P (X = k)tk. Cette somme est en réalité finie puisque l’univers

Ω est fini.

(a) Que vaut G(1) ?

(b) Calculer G′(1) et G′′(1) en fonction de E(X) et de V (X). En déduire E(X) etV (X) en fonction de G′(1) et G′′(1).

(c) Calculer GX lorsque X suit la loi binomiale B(n, p). Retouver les valeurs bienconnues de E(X) et V (X).

14. On dispose d’une urne contenant au départ une boule blanche et une boule noire.On effectue N fois l’expérience suivante : on tire une boule de l’urne. On notesa couleur, on la remet dans l’urne et on rajoute dans l’urne une boule blanchesupplémentaire. Pour k = 1, . . . , N , on note Ak l’événement « la kième boule tiréeest blanche ». Soit X le nombre de boules blanches tirées.

(a) Calculer P (Ak) pour k = 1, . . . , N . Que vaut E(1Ak) ?

(b) En déduire E(X).

(c) Calculer P (X = 0), P (X = 1) et P (X = N).

VII. EXERCICES 447

15. Même exercice que le précédent, mais à chaque étape on rajoute dans l’urne uneboule noire supplémentaire. On donnera également un équivalent de E(X) lorsqueN tend vers l’infini.

16. Soient n,N ≥ 1. Soient X1, . . . , XN N variables aléatoires indépendantes de loiuniforme sur 1, . . . , n. Soit X = max(X1, . . . , XN.(a) Soit k ∈ 1, . . . , n. Que vaut P (X ≤ k) ? En déduire P (X = k).

(b) Montrer que E(X) = n− 1nN

∑n−1k=0 k

N .

(c) Reconnaître dans l’expression de E(X)n une somme de Riemann et en déduire un

équivalent de E(X) lorsque N tend vers l’infini. Commenter le résultat.


Index

449

Index

SymbolsC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Aadhérence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132affixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61algorithme d’Euclide

dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191pour les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 212

algorithme du pivot de Gauss . . . . . . . . . . 327angle d’une rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180antécédent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302identité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238multilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302multilinéaire alternée . . . . . . . . . . . . . . 302multilinéaire antisymétrique . . . . . . . 302multilinéaire symétrique . . . . . . . . . . . 302réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

arccosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Archimède, propriété d’ . . . . . . . . . . . . . . . . . 80argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . 100

sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . 100tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . 101

associativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384automorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179, 239

Bbarycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49borne supérieure, inférieure. . . . . . . . . . . . . .77branche parabolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Ccardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402

d’ensembles d’applications . . . . . . . . . 405d’ensembles de parties . . . . . . . . . . . . . 406d’ensembles en bijection . . . . . . . . . . . 403d’un produit cartésien . . . . . . . . . . . . . 405d’un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . 403d’une différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404d’une réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404d’une union disjointe. . . . . . . . . . . . . . .404

changement de variable . . . . . . . . . . . 108, 374Chasles, formule de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370classe d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54coefficient binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41cofacteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308comatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314combinaison linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

450

INDEX 451

composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 205

congruencedans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197conjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 322corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181corps ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442Cramer, formules de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Cramer, système de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Ddérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89, 146

àdroite, à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146d’un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

déterminantd’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 311d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . 305d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . 306d’une matrice triangulaire. . . . . . . . . .307développement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308de Vandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310opérations lignes-colonnes . . . . . . . . . . 307

développement asymptotique . . . . . . . . . . .166développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161degré

d’un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . 220

demi-tour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348densité de Q et R \Q dans R . . . . . . . . . . . 81différence de deux ensembles . . . . . . . . . . . . 35dimension

d’espaces vectoriels isomorphes. . . . .257d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 255d’un produit d’espaces vectoriels . . . 257

d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . 256d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257des espaces d’applications linéaires . 258

direction asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . 384disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

d’un point à un hyperplan affine . . . 344d’un vecteur à un sous-espace . . . . . . 343

diviseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188diviseur d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . 206division euclidienne

dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

double produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . 356droite réelle achevée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79dual d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 261

Eécart angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337écart-type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .438élément

absorbant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175inversible, anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . .182neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179, 239orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402ensemble vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33ensembles égaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33équation du second degré. . . . . . . . . . . . . . . .67équations d’un hyperplan . . . . . . . . . . . . . . 262équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22équivalence logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435variable aléatoire constante . . . . . . . . 435

espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320espace préhilbertien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336espace probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

452 INDEX

espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Euler, formule d’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63événement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413certain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413impossible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

événementsincompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65extremum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Ffactorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41famille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 48famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246famille liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247famille libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246fonction

bornée, minorée, majorée . . . . . . . . . . . 87caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . 367continue strictement monotone . . . . .140de classe Ck,Dk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147dominée par une autre . . . . . . . . . . . . . 158en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51lipschitzienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87négligeable devant une autre . . . . . . . 158périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88paire, impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221uniformément continue. . . . . . . . . . . . .366

fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158forme linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239formes coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261formule

d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .420de Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167de Taylor avec reste intégral . . . . . . . 375de Taylor pour les polynômes . . . . . . 209de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 183

formule de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Ggroupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

abélien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176alterné. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348spécial-orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . 350symétrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292

Hhomothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262hyperplan affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322

Iidentité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49identité du parallélogramme. . . . . . . . . . . .338identités de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . 338identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . 182image

d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48d’un morphisme de groupes . . . . . . . . 179d’une application linéaire . . . . . . . . . . 242directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51directe d’un sous-espace vectoriel . . 242réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51réciproque d’un sous-espace vectoriel242

image, nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 61implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25inégalité

de Bienaymé-Tchebytchev. . . . . . . . . .441de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437

INDEX 453

de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336de Schwarz pour les intégrales. . . . . .370de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 375des accroissements finis . . . . . . . . . . . . 150

inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33indépendants, vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 247injection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49intégrale

fonction continue par morceaux . . . . 368fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 365

intégration par parties . . . . . . . . . . . . 107, 374intérieur d’un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 150intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

d’hyperplans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263de sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . 321

intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82image par une fonction continue . . . 139

inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295isométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179, 239issue d’une expérience. . . . . . . . . . . . . . . . . .413

Llimite

d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132d’une fonction monotone . . . . . . . . . . . 137directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137infinie d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119réelle d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90loi

binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417, 430conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432conjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . 428de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .429

loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . 174lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

Mméthode des rectangles. . . . . . . . . . . . . . . . .371

méthode des trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372majorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

canonique d’une application linéaire279d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271d’une application linéaire . . . . . . . . . . 271d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . 271de l’image d’un vecteur . . . . . . . . . . . . 274de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275symétrique, antisymétrique . . . . . . . . 276triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

matriceséquivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

mineur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52minorant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Moivre, formule de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64morphisme

d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188multiple d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . 206multiples

dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Nnégation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63nombre premier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337noyau

d’un morphisme de groupes . . . . . . . . 179

454 INDEX

d’une application linéaire . . . . . . . . . . 242

Oopération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174orbite d’une permutation. . . . . . . . . . . . . . .293ordre d’un élément, d’un sous-groupe. . .291orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . 340orthogonalité

d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . 338de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 339de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Ppériode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88pôle d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . 220paradoxe de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32partie entière

d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . 221

partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60partie réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33parties polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55pas d’une subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364passage à la limite dans une inégalité

fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292plus grand élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52plus grand commun diviseur

de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190plus petit élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52plus petit commun multiple

de deux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 214

point adhérent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132polynôme

d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . 215irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211symétrique élémentaire . . . . . . . . . . . . 211

primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106, 373probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415

probabilitéscomposées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

produitde deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 204mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354produits

dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245projecteur orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48prolongement par continuité . . . . . . . . . . . 139proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22propriété

vraie au voisinage d’un point. . . . . . .132propriété d’Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . 188puissances

dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181dans un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Qquantificateur existentiel . . . . . . . . . . . . . . . . 27quantificateur universel . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Rréciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50racine

carrée d’un nombre complexe . . . . . . . 67d’un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . 220de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209nième d’un nombre complexe. . . . . . . .69

rangd’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323d’une application linéaire . . . . . . . . . . 259d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . 258

INDEX 455

d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

à deux rangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43définir une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348relation

binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52d’ordre total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

restes d’une série convergente . . . . . . . . . . 389restriction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70, 351

Ssérie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

absolument convergente . . . . . . . . . . . . 393convergente, divergente . . . . . . . . . . . . 388de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .388géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82, 321image par une fonction continue . . . 140

signature d’une permutation . . . . . . . . . . . 295similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99somme

de deux sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . 189de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .371de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . 244

somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244sommes

dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181sous-anneau

caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

sous-espace affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320sous-espace vectoriel

caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241engendré par une partie . . . . . . . . . . . . 243

sous-espaces affines parallèles . . . . . . . . . . 321

sous-espaces vectoriels supplémentaires . 244sous-groupe

caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364, 367plus fine qu’une autre . . . . . . . . . . . . . . 364pointée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371régulière, à pas constant . . . . . . . . . . . 364

suitearithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125convergente, divergente . . . . . . . . . . . . 118géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122récurrente linéaire à 2 termes . . . . . . 126

suite extraite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123sup de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86support d’un cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294surjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246symétrie orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342système

compatible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323

système complet d’événements . . . . . . . . . 413

Ttangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . 100théorème

de Bézout dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190de Bézout pour les polynômes. . . . . .213de Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . 123de caractérisation séquentielle des limites

136de composition des limites . . . . . . . . . 135de d’Alembert-Gauss . . . . . . . . . . . . . . 210de Fermat (petit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198de Gauss dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191de Gauss pour les polynômes . . . . . . 213de Heine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

456 INDEX

de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291de nullité de l’intégrale. . . . . . . . . . . . .370de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150des accroissements finis . . . . . . . . . . . . 150des segments emboîtés . . . . . . . . . . . . . 123des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . 139du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259fondamental du calcul intégral . . . . . 373

théorème d’encadrement des limitesfonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

tiragesavec remise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417sans remise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

traced’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 278d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . 278

translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69, 320transposée d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . 276transposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294trigonométrique, forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Uunivers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412

Vvaleur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .428variables aléatoires indépendantes . . . . . . 433variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .440loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440variable presque constante . . . . . . . . . 439

vecteur normal à un hyperplan . . . . . . . . . 343voisinage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

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Cours de Mathématiques - MPSI Blorenzi.marc.pagesperso-orange.fr/Docs/Poly/PolyMaths.pdf · Cours de Mathématiques ClassedeMPSIB Auteur: MarcLorenzi Misàjourle11décembre2014 Lycée