Cours de Mécanique des Milieux Continus - mmaya.frmmaya.fr/PDF/MMCWeb.pdf · allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mécanique à tous types de

Arts et Mtiers ParisTech

Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY

Cours de Mcanique des Milieux Continus

Anne scolaire 2014 2015

Michel MAYA

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26/08/2014 Mcanique des Milieux Continus Page 2

Ce cours est en constante amlioration en partie grce

aux retours que vous pouvez apporter par vos

commentaires. Ces derniers sont les bienvenus sous

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pour avoir une version multimdia sonore.

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Sommaire

Sommaire .......................................................................................................................................................... 3

Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus ...................................................................................... 5

Domaine d'tude .......................................................................................................................................... 5

Hypothse de continuit .............................................................................................................................. 6

Variables d'tudes ........................................................................................................................................ 8

Rfrentiels - Rpres ................................................................................................................................ 8

Description Lagrangienne .......................................................................................................................... 9

Description Eulrienne ............................................................................................................................ 10

Drivation temporelle .............................................................................................................................. 11

Dformations d'un milieu continu ................................................................................................................. 13

Tenseur Gradient ....................................................................................................................................... 13

Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale ................................................................... 14

Etude tridimensionnelle des dformations ............................................................................................... 14

Interprtation des rsultats ....................................................................................................................... 16

Base principale ......................................................................................................................................... 18

Tenseur des dformations linaris.......................................................................................................... 18

Etude des petites perturbations ................................................................................................................ 21

Directions principales ; dformations principales ................................................................................... 22

Reprsentations graphiques ...................................................................................................................... 24

Conditions de compatibilit ...................................................................................................................... 26

Vitesse de dformation .............................................................................................................................. 28

Taux de dformation lagrangien .............................................................................................................. 28

Taux de dformation eulrien .................................................................................................................. 29

Interprtation du tenseur taux de dformation ......................................................................................... 30

Etat de contrainte dans les milieux continus ................................................................................................. 31

Lois de conservation .................................................................................................................................. 31

Drive particulaire dune intgrale de volume ....................................................................................... 31

Thorme de la divergence........................................................................................................................ 32

Thorme de lintgrale nulle ................................................................................................................... 33

Expression gnrale dune loi de conservation ....................................................................................... 33

Contraintes dans un domaine matriel .................................................................................................... 34

Loi fondamentale de la mcanique .......................................................................................................... 34

Vecteur contrainte .................................................................................................................................... 35

Tenseur des contraintes ............................................................................................................................ 36

Equilibre dynamique ................................................................................................................................ 38

Proprits du tenseur des contraintes ....................................................................................................... 41




Lois de Comportement des milieux continus ................................................................................................. 45

Bilan des Equations ................................................................................................................................... 45

Thorme de lnergie cintique .............................................................................................................. 46

Thermodynamique des milieux continus ................................................................................................. 49

Premier Principe de la thermodynamique ................................................................................................ 49

Second Principe de la thermodynamique ................................................................................................. 50

Equation de la chaleur ............................................................................................................................. 51

Thermo-lasticit linaire.......................................................................................................................... 53

Premire approche de llasticit linaire ................................................................................................ 53

Deuxime approche de llasticit linaire .............................................................................................. 55

Convention d'criture ............................................................................................................................... 57

Symtrie plane ......................................................................................................................................... 59

Matriau orthotrope ................................................................................................................................. 59

Matriau isotrope transverse .................................................................................................................... 61

Matriau isotrope ..................................................................................................................................... 62

Elasticit linaire ............................................................................................................................................ 63

Loi de comportement ................................................................................................................................. 63

Equations supplmentaires en lasticit .................................................................................................. 65

Equations de NAVIER............................................................................................................................. 65

Equations de BELTRAMI ....................................................................................................................... 66

Critres de limite lastique........................................................................................................................ 68

Les rsultats dessai ................................................................................................................................. 68

Les diffrents critres ............................................................................................................................... 71

Les schmas de rsolution ......................................................................................................................... 73

Thorme dunicit .................................................................................................................................. 73

Schmas de rsolution ............................................................................................................................. 74

Exemple dapplication ............................................................................................................................. 74

Elasticit bidimensionnelle ........................................................................................................................ 78

Dfinition des tats plans ......................................................................................................................... 78

Fonction dAiry ........................................................................................................................................ 81

Exemple dapplication : flexion simple dune poutre rectangulaire ........................................................ 82

Elasticit plane en coordonnes polaires ................................................................................................. 84

Application en coordonnes polaires ....................................................................................................... 85

Quelques formules .......................................................................................................................................... 87

Elasticit linaire en coordonnes polaires ................................................................................................... 88




Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus

Domaine d'tude

L'objectif de ce cours est de prsenter (hlas succinctement) la mcanique des milieux continus. Nous

allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mcanique tous types de domaines

matriels. En particulier nous pourrons nous intresser aussi bien des domaines ayant des comportements

de corps solide ou des comportements de fluide (liquide ou gaz). La gnralit de ce cours apparat ainsi

vidente.

Il est noter que la distinction

entre ces diffrents tats de la matire

n'est pas vidente. Ainsi comment ne pas

s'interroger devant le phnomne de

changement d'tat liquide-vapeur-liquide

pour un cycle englobant dans le

diagramme Temprature - Entropie le

point K sommet de la courbe d'bullition.

Le dictionnaire ne nous aide pas particulirement dans notre dmarche de distinction. Ainsi Le Petit

Larousse donne les dfinitions suivantes :

*Fluide Se dit des corps (gaz et liquides) qui n'ayant pas de forme propre, sont dformables

sans effort.

*Gaz Tout fluide ariforme (qui a les proprits physiques de l'air (fluide gazeux qui forme

l'atmosphre)). Un des trois tats de la matire, caractris par la compressibilit et l'expansibilit.

*Liquide Qui coule ou qui tend couler. Se dit d'un tat de la matire prsent par les corps

n'ayant pas de forme propre, mais dont le volume est invariable.

*Solide Qui a une forme propre.

Comment avec ces dfinitions trouver la frontire entre un solide plus ou moins mou et un liquide

plus ou moins visqueux? Le sable est-il un solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de

solide mais aprs brassage deviennent fluides. Le verre est un solide notre chelle de temps, mais avec les

sicles, on constate que c'est un liquide trs forte viscosit. Le yaourt peut tre considr comme un fluide

mmoire. Et encore nous ne dirons rien des Alliages Mmoire de Forme (AMF).

s

kJ/K kg

T C

0

100

200

300

400

500

600

374

0 1 2 3 4 5 6 7 8

K

Compression isotherme

isentropiqueDtente

Point critiqueisobare

Echauffement

Vapeur

diphasiqueMlange

Liquide




Comme on peut le constater, la dtermination n'est pas simple et peut tre fonction de nombreux

paramtres (Pression, Temprature, Temps ...). En consquence, on peut considrer que la dmarche du

mcanicien qui consiste regrouper dans un seul enseignement l'tude mcanique de ces diffrents tats de

la matire est lgitime, mais quelle risque de se heurter de nombreuses difficults. L'tude de ces diffrents

comportements est appele la Rhologie.

Pour mener bien une tude de mcanique, la notion de rfrentiel est essentielle. D'une part, afin de

connatre les volutions cinmatiques d'un domaine matriel on devra lui associer un rfrentiel, et d'autre

part le Principe Fondamental de la Mcanique s'appuie sur l'existence d'un repre privilgi appel "Repre

Galilen".

Un repre est dfini par la donne d'une base vectorielle associe une origine. Il est noter qu'en

aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonorme. Bien videment, pour des questions de

simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater que

suite aux dformations imposes notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion

d'orthogonalit. Le mcanicien est ainsi tout naturellement guid vers l'utilisation des notations tensorielles.

A ce sujet, il est noter que l'algbre et l'analyse tensorielle professes en mathmatique sont des

enseignements directement issus de notions mcaniciennes. Le mot tenseur ne provient-il pas du mot tension

? Ainsi on peut constater ce que la science mcanicienne a apport la connaissance des autres sciences.

Cette remarque peut aussi bien s'adapter aux mthodes de rsolutions numriques fortement issues de la

mthode des lments finis.

Hypothse de continuit

Nous allons orienter notre tude sur des domaines matriels continus subissant des transformations

continues. Dans cette simple phrase on peut constater l'importance de l'hypothse de continuit. De nouveau

le Petit Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu : non divis dans son tendue, non interrompu

dans sa dure).

Continuit du domaine matriel tudi.

Pour le physicien, la continuit du domaine sera traduite mathmatiquement par le fait que les

fonctions caractristiques du domaine sont des fonctions continues au sens mathmatique du terme. Ainsi, si

on considre des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la temprature, la pression, on doit

pouvoir les reprsenter par des fonctions continues. Dj, avec cette dfinition, on peut constater qu'il existe

des limites notre tude. Ainsi nous ne pourrons pas tudier un milieu diphasique, de mme pour un

mlange eau-huile. Toutefois, il sera possible de mener bien de telles tudes en considrant n domaines

continus. On conoit que ceci ne nous mnera pas vers une simplification.

De plus il est noter que la continuit parfaite d'un domaine matriel n'existe pas. Ainsi, sans aller

une dfinition atomique de la matire, les moyens d'investigation tels que les microscopes (lectroniques ou

non) montrent clairement que la matire est faite de juxtaposition d'lments ne possdant pas les mmes

caractristiques. De fait la continuit du domaine matriel ne pourra qu'tre une approximation. Suivant le




degr de respect ou de non-respect de cette hypothse, notre tude sera plus ou moins entache d'erreur. Il

faut noter que malgr tout, nous pourrons utiliser ce cours pour tudier des matriaux tels que le bton, le

bois ...

Heureusement, il existe actuellement un processus dit d'homognisation qui permet de limiter les

erreurs. Ainsi les matriaux plastiques chargs de fibre de verre pourront tre traits dans le cadre de cette

tude.

Continuit de la transformation.

Comme nous le verrons ensuite, la

transformation sera essentiellement

caractrise par la donne d'un

champ vectoriel appel champ de

dplacement. L'hypothse de

continuit de la transformation va se

traduire par le fait que les fonctions

scalaires du champ vectoriel doivent

tre des fonctions continues des

variables d'espaces et de temps. De

nouveau nous nous trouvons devant

une limitation de notre tude. On

peut facilement constater qu'il existe

des transformations non continues.

Ainsi les problmes mtallurgiques

de dislocation, l'apparition du

phnomne de cavitation dans les

coulements de domaine fluide et

les fissurations font clairement apparatre des discontinuits de transformation. Ces cas particuliers pourront

tre traits en considrant la notion de continuit par sous-domaines.

Rupture en mode IIIRupture en mode IIRupture en mode I

Dislocation coin




Variables d'tudes

Rfrentiels - Rpres

L'tude d'un domaine matriel impose que l'on procde sa description et son reprage tout au long

de son volution au cours du temps. La notion de rfrentiel doit tre dveloppe pour prciser les

volutions.

Le rfrentiel R est li l'observateur. Il reprsente l'ensemble des points anims du mouvement de

corps rigide de l'observateur. Pour effectuer les reprages spatiaux des points matriels dans un rfrentiel R

on utilise une base vectorielle associe un point origine O. On obtient ainsi un repre R. Ce repre, anim

du mouvement de corps rigide du rfrentiel R permet de matrialiser ce rfrentiel.

Pour les besoins de l'tude, on peut tre amen effectuer des changements de repre. On ralisera

ainsi la mme transformation des coordonnes spatiales sur les composantes des tres mathmatiques

(vecteur, tenseur ...) utiliss pour dcrire le domaine. Il est noter que l'on peut associer plusieurs repres

un mme rfrentiel.

Paralllement, on peut imaginer un changement d'observateur, ce qui va se traduire par un

changement de rfrentiel. On peut se reprsenter une telle transformation en associant chacun des

rfrentiels un repre. Les deux repres tant choisis de telle sorte qu'ils soient concidant un instant donn,

on examine leur volution au cours du temps.

Pour fixer les ides, prenons l'exemple

d'un lopin cylindrique cras par une presse.

On peut penser faire des observations

partir du rfrentiel R associ au plateau "fixe"

de la presse. La notion de fixe tant prise ici

dans le sens de non-dplacement vis vis du

rfrentiel terrestre RT. Pour effectuer ces

observations, on peut soit utiliser un repre

cartsien orthonorm RC ),,;( 321 eeeO

, soit

employer pour des raisons de symtrie

cylindrique un repre cylindro-polaire

orthonorm RP ( ; , , )O e e er z

.

Mais il est tout fait pensable que, par exemple pour tudier le contact pice-plateau mobile, l'on

veuille faire des observations partir du rfrentiel R' associ au plateau mobile.

Avec cet exemple, on conoit fort bien la notion d'objectivit, c'est dire du caractre d'indpendance

vis vis de l'observateur choisi. On parle alors de phnomne intrinsque vis vis du changement de

rfrentiel. Certaines grandeurs sont objectives (dformations, contraintes, masse volumique ...), d'autre ne le

sont pas (vitesse, matrice de changement de base ...).

Enfin pour dcrire la configuration d'un domaine matriel, il est possible de choisir parmi deux types

de variables.

R'

R

e

ee

e

e

e=3 z

1

2

r

Contact pratiquementsans frottement

Contact avecfrottement levO




Description Lagrangienne

Considrons un repre orthonorm R ( ; , , )O E E E

1 2 3 associ un rfrentiel R La cinmatique

classique d'un milieu continu est construite partir des notions :

* de temps, pouvant tre reprsente par une variable relle t dtermine par deux valeurs extrmes.

* d'espace physique, pouvant tre reprsent par un espace affine de dimension 3. Les points de cet

espace sont appels "points matriels".

Dans le repre R, un instant t =0, le point 0M a des coordonnes X X X1 2 3, , qui dfinissent la

position du point matriel M. On appelle aussi ce systme de coordonnes le systme de coordonnes

matrielles dans la configuration de rfrence 0C . Nous pourrons ainsi crire :

XEXEXEXEXOM ii

3322110

Pour dcrire le mouvement du domaine, il convient

donc de se donner la loi d'volution au cours du temps

des positions de l'ensemble des particules matrielles

constituant le domaine. On obtient donc la

configuration actuelle tC . Ainsi il est ncessaire de

dfinir les coordonnes 321 xxx ,, du point tM qui

l'instant t reprsente la position du point matriel M.

xExExExExOM iit

332211

Ce qui revient dire qu'il faut se donner les fonctions scalaires suivantes : x X ti i J ( , )

Dans cette description, les variables indpendantes X X X1 2 3, , et t sont dites "variables ou coordonnes de

Lagrange".

Les fonctions i reprsentent la description lagrangienne du mouvement de notre domaine par

rapport au rfrentiel R.

Connaissant la position chaque instant du point matriel M il est possible de dfinir alors sa vitesse

et son acclration vis vis du rfrentiel R

vecteur vitesse :

dt

OMdtMV t

,

Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sont ),(),( tXt

tXdt

dv J

iJ

ii

.

Dans cette dernire formule, le symbole

t reprsente la drivation partielle par rapport au temps,

c'est dire la drivation en considrant les variables de position X J indpendantes du temps.

O

M

M

X

x

1

0

2

3

E

E

E

t

X

x




vecteur acclration :

2

2,

,dt

OMd

dt

tMVdtM t

Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sont ),(),(2

22

tXt

tXdt

dJ

iJ

ii

vecteur dplacement :

Souvent on prfre employer le

vecteur dplacement au lieu du vecteur position :

XxOMOMtXu tJ

0),(

On peut alors remarquer l'galit :

),(),(),( tXdt

udtX

t

utMV JJ

),(),(),(2

2

2

2

tXdt

udtX

t

utM JJ

Description Eulrienne

Les hypothses de continuit (milieu et transformation) imposent que les fonctions i soient des

bijections de la configuration de rfrence C0 sur la configuration actuelle Ct. Cette bijectivit impose

l'existence d'une relation inverse entre les variables de position de rfrence et les variables de position

actuelle. On a donc : X x tI I j ( , )

On constate donc qu'il est possible de changer de variables spatiales. La description dite eulrienne

consiste considrer les variables 321 xxx ,, et t comme indpendantes et les utiliser sous forme de

"variables ou coordonnes d'Euler".

Dans la description eulrienne, on ne se proccupe pas de savoir ce qu'il advient de chaque particule.

En fait on tudie ce qui se passe, chaque instant, en chaque point de l'espace.

On peut exprimer la vitesse et l'acclration en fonction des variables d'Euler :

vecteur vitesse :

dt

OMdtMV t

, avec ttxt

tXt

v kJi

J

i

i ),,(),(

vecteur acclration :

2

2

,dt

OMdtM t

avec ttxt

tXt

kJ

i

J

i

i ),,(),( 2

2

2

2

Pratiquement, on peut dire qu'en description lagrangienne, on suit le domaine dans son mouvement,

alors qu'en description eulrienne, on observe l'volution du systme en un point gomtrique fixe pour

l'observateur.

u

M

M t

0




Drivation temporelle

Souvent nous aurons considrer les variations d'une grandeur physique, que nous noterons A , au

cours du temps. Cette grandeur peut tre une fonction scalaire, vectorielle ou tensorielle. Nous avons donc :

),( txiaA pour une dtermination vis vis des variables eulriennes

),( tX iAA pour une dtermination vis vis des variables lagrangiennes.

On peut au niveau de cette grandeur, s'intresser deux types de variation.

Ainsi, si nous considrons un point gomtrique de l'espace, la grandeur A tant dfinie en ce point,

nous pourrons exprimer les variations en utilisant la drive partielle par rapport au temps. On appelle

parfois cette drive "drive locale". En variables eulriennes nous pouvons crire :

),(tt

txi

aA

Cependant, les grandeurs utilises sont souvent attaches un domaine matriel (temprature, masse

volumique, vitesse ...). Il convient de considrer aussi la variation de ce domaine matriel au cours du temps.

Pour ce faire on utilise la drive totale par rapport au temps, appele "drive particulaire" (du fait que c'est

une particule que l'on suit dans son mouvement).

En reprsentation lagrangienne, puisque les grandeurs physiques sont repres vis vis de l'lment

de matire, il y a identification entre la drive particulaire et la drive locale :

AAAA

),(),( tXt

tXdt

d

dt

dII

Par contre, pour la reprsentation eulrienne, le calcul de la drive particulaire ncessite de prendre

en compte la variation du domaine dlimit par des variables xi qui sont fonctions du temps :

tx

txt

txdt

d

dt

d i

i

ii

aaaAA ),(),(

Dans cette formule on remarque la prsence de t

i

qui est la ime composante du vecteur vitesse.

D'autre part le terme ix

apeut aussi tre interprt comme la composante de l'oprateur gradient appliqu

la grandeur A On peut donc crire, sous une forme gnrale :

),(.),(),( txVtxtxt

iii

aa gradA

Exemple d'application : calcul de l'acclration en reprsentation Eulrienne.

La formule prcdente donne la relation suivante :

VVt

V

dt

Vd

.grad

Soit sous forme dveloppe, dans un repre cartsien orthonorm :

i

i i i

i

idV

dt

V

t

V

x t




Imaginons par exemple que l'on soit dans un vhicule automobile un vendredi soir de dpart en

vacance l'entre du tunnel sous Fourvire de Lyon. Connaissant depuis longue date le problme du

bouchon, nous avons pris la prcaution de ne pas partir trop tt. Toutefois l'approche du tunnel, nous

constatons un ralentissement. Notre vitesse diminue et bord de notre vhicule nous enregistrons une

dclration (acclration ngative). Par contre dception pour le badaud qui s'amuse regarder circuler les

voitures assis sur le bord de la route depuis une paire d'heure. En effet, comme le bouchon est en train de

sauter, la vitesse des vhicules passant en un point prcis de la route est en constante augmentation. Suite

ce phnomne d'acclration (positive), il n'y aura bientt plus rien voir.

La premire acclration (la ngative) est celle d'une particule que l'on suit dans son mouvement. En

variable de Lagrange, c'est la drive particulaire. Pour la seconde acclration (positive), on observe le

mouvement en un point fixe de l'espace et on ne considre que les variations de vitesse dues au temps : c'est

la drive locale.




Dformations d'un milieu continu

Tenseur Gradient

Il convient de bien diffrencier la notion de dplacement de la notion de dformation. Ainsi que nous

avons dj pu le constater en faisant l'tude mcanique des solides dits indformables, il existe des champs

vectoriels de dplacement qui ne crent aucune dformation.

Autant il est facile de dfinir le champ vectoriel des dplacements, autant la notion de dformation est

dlicate bien cerner. Ainsi que nous allons le voir nous ne pourrons pas parler d'une dformation, mais de

scalaire dformation, de vecteur dformation et de tenseur d'ordre 2 des dformations. Il convient donc de

bien faire attention toutes ces entits.

Pour matrialiser la dformation, on tudie la transformation d'un vecteur "matriel", c'est dire d'un

vecteur ayant origine et extrmit confondus avec des points matriels. Toutefois on conoit bien que l'tat

de dformation n'tant gnralement pas homogne dans la matire, il faille utiliser des points matriels

infiniment voisins afin de bien caractriser la dformation au voisinage d'un lment matriel.

Nous sommes ainsi amens considrer la transformation suivante : xdXd

D'autre part, nous avons les relations suivantes :

),( tXx Jii ),( txX jII

Par abus de langage, et pour rester dans la tradition,

nous crirons :

),( tXxx Jii ),( txXX jII

Sous forme diffrentielle nous obtenons :

JJ

ii dX

X

xxd

et

Ces relations nous permettent de mettre en vidence les composantes d'un tenseur dfinies par :

JiJi dXFxd avec J

iiJ

X

xF

On peut donc crire :

Xdxd

F

Ce qui implique :

xdXd 1F

Le tenseur F qui apparat est appel "tenseur gradient" ou encore "application linaire tangente".

Il permet de caractriser les diffrentes transformations.

dX

dx

x

X




Les composantes de ce tenseur peuvent tre calcules partir du champ de dplacement en

diffrenciant la relation suivante :

XxOMOMtXu tJ

0),(

On a donc : J

iiJ

j

iiJ

X

u

X

xF

U

GradF XdUXdXdXdxd

GradF

Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale

Les quations de la transformation sont

les suivantes :

333

222

111

Xx

Xx

Xx

On peut donc dfinir le tenseur gradient

:

3

2

1

00

00

00

F

On a alors pour la variation d'un volume infinitsimal unitaire :

03210 1 dvdvdv

Cette expression est le cas particulier d'une formule plus gnrale :

0dvJdv avec Fdet),,(

),,(

321

321 XXXD

xxxDJ

Etude tridimensionnelle des dformations

D'aprs l'tude prcdente, on serait tent de croire que le tenseur F est suffisant pour reprsenter

l'tat de dformation d'un domaine matriel. En effet il permet de bien faire apparatre les diffrences entre

les deux vecteurs dX

et dx

. Il semble mme que la diffrence entre ces deux vecteurs soit associer

directement au champ de dplacement. En effet nous avons :

XdUXdXdXdxd

GradF

On pourrait alors conclure que le tenseur gradient du champ de dplacement est le tenseur qui suffit

caractriser les dformations d'un domaine matriel. Cette conclusion est errone, car il existe des cas de

dplacement d'un domaine matriel qui respectent la notion de solides indformables alors que le tenseur

gradient du champ de dplacement est non nul. On peut par exemple imaginer le phnomne de rotation

autour d'un axe. Il faut donc dfinir proprement un tat de dformation.

Pour caractriser les dformations d'un domaine matriel, il faut en fait considrer les variations entre

deux configurations de la distance existante initialement entre deux points matriels arbitraires. Hlas cette

notion de distance n'est pas simple mettre en uvre et on prfre considrer les variations de deux vecteurs

"matriels". Mathmatiquement, cela revient examiner les variations du produit scalaire de ces deux

X

X

X

x

x

x

2

3

1

3

2

1




vecteurs. Un produit scalaire invariant quels que soient les deux vecteurs considrs est quivalent une

dformation nulle du milieu (pas de variation de longueur, pas de variation d'angle). On aura alors dfini les

changements de formes.

Imaginons deux vecteurs "matriels" Xd

et 'Xd

. Aprs transformation, nous obtenons les vecteurs

xd

et 'xd

.

Nous avons les relations :

Xdxd

F '' Xdxd

F

Ce qui nous donne :

'.'. XdXdxdxd TT

FF

'''. XdXdXdXdxdxd TTTT

CFF

En utilisant les notations indicielles et en

omettane par abus de notation le signe de

transposition, nous obtenons :

)')((''. KiKJiJii dXFdXFdxdxxdxd

)'()('. KJiKiJ dXdXFFxdxd

''. KJJK dXdXCxdxd

La dformation locale est alors dfinie par le tenseur C

iKT

JiiKiJJK FFFFC

On a ainsi:

''. XdXdxdxd

C avec FFC T

Dans cette relation C est un tenseur symtrique d'ordre deux (reprsentable par une matrice 3*3)

appel tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit.

C'est un tenseur lagrangien car ses deux rfrences sont faites vis vis de la configuration de

rfrence 0C . Ce tenseur peut tre dfini partir du tenseur gradient du champ de dplacement :

)()( UU TT

GradIGradIFFC

UUUU TT

GradGradGradGradIC )()(

La variation de notre produit scalaire devient alors :

')(''. XdXdXdXdxdxd

IC

Soit encore :

')()(''. XdUUUUXdXdXdxdxd TT

GradGradGradGrad

'2''. XdXdXdXdxdxd

E

Nous obtenons ainsi un nouveau tenseur :

UUUU TT

GradGradGradGradE )()(2

1

Ce tenseur est le tenseur des dformations de Green-Lagrange.

dX

dX'

dx'

dx

u




C'est aussi un tenseur symtrique. On peut remarquer qu'il est identiquement nul dans un mouvement

de corps solide IC . Ses composantes sont :

J

K

I

K

I

J

J

IIJkJkIIJ

X

u

X

u

X

u

X

uFFE

2

1

2

1

On dira que la dformation du systme est homogne si le tenseur des dformations E ne dpend pas

des coordonnes spatiales de rfrence X I .

Remarque

De la mme faon que l'on dfinit le produit scalaire '.dxdx partir du produit scalaire 'XdXd

, on

peut, de manire tout fait symtrique, dfinir le produit scalaire 'XdXd

partir du produit scalaire

'.dxdx .On aura alors les relations suivantes :

''. 1 xdxdXdXd B avec TFFB : Tenseur de Cauchy-Green gauche.

'2'.'. xdxdXdXdxdxd

A

12

1 BIA Tenseur des dformations d'Euler-Almansi.

Le tenseur des dformations d'Euler-Almansi et le tenseur de Cauchy Green gauche sont des tenseurs

eulriens, symtriques.

D'autre part, il est possible de dmontrer la relation suivante :

11)( FEFA T

Soit en composantes :

KLLjKiij EFFA11

Interprtation des rsultats

Variation de longueur :

Prenons un vecteur "matriel" de longueur initiale dX orient selon une direction unitaire N

au voisinage d'un point 0M . Nous pouvons crire :

NdXdX

La transformation nous donne alors :

ndxdx

Il est noter que le vecteur obtenu non seulement n'a pas la mme longueur que le vecteur initial, mais

qu'en plus il ne garde pas la mme orientation.

On peut alors dfinir l'allongement (ou la dilatation linaire) au point 0M dans la direction N

dX

dXdxNM

;0

C'est en fait la variation relative de longueur de notre segment initial.




A partir des tenseurs prcdents, nous pouvons crire :

NNdXXdXddxxdxd CC 22.

1)2(1;0

NNNNdX

dXdxNM

EIC

En effet nous avons la relation :

dXNNdXdXCxdxddx JIIJ 21

21

21

C

Ainsi, dans le cas particulier de la direction E1 , on obtient :

12111; 11111110 ECEEEM

C

De mme, on peut dfinir le glissement (ou la distorsion angulaire) au point 0M dans les directions

initialement perpendiculaires N

et M

:

),(,;

mnMNM

20

Cette entit correspond la

variation d'un angle choisi initialement

droit. Pour la calculer, on utilise les

proprits du produit scalaire entre deux

vecteurs, qui dans la gomtrie

euclidienne fait apparatre le cosinus de

l'angle form entre ces deux vecteurs. On

a ainsi :

sin'

')',cos(

dxdx

xdxdxdxd

D'o :

)(1)(1

2sinsin,;0

MN

MNArc

MMNN

MNArcMNM

E

CC

C

Par exemple, pour les deux directions orthogonales E1et

E2 , on aura :

2211

12

2211

12

212121

2sinsin,

EE

EArc

CC

CArcEE

Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume :

dv dV

dV

dX

dX'

dx

dx' (N,M)




Base principale

Comme le tenseur de Green Lagrange C est un tenseur symtrique, sa reprsentation matricielle est

symtrique dans tout repre. On a en fait affaire une application bilinaire symtrique. Il existe alors une

base de vecteurs IIIIII EEE

,, dans laquelle la reprsentation matricielle de l'application est une matrice

diagonale. On dit que l'on a la base propre ou base principale.

Les vecteurs de cette base sont appels les vecteurs propres de l'application. En mcanique, nous

parlerons plus facilement de directions principales.

Donc dans cette base, nous avons :

iIIIII

I

EC

C

C

00

00

00

C

Un volume lmentaire construit selon ces

directions et de cots IIIIII dXdXdX ,, est transform en un

volume paralllpipdique (pas de glissement) de cots

IIIIII dxdxdx ,, . On peut alors calculer la variation relative

de volume :

dV

dVdv

On a d'autre part les relations :

IIIIII dXdXdXdV et IIIIII dxdxdxdv

Avec par exemple :

III dXCdx

On obtient donc :

dVCCCdXCdXCdXCdv IIIIIIIIIIIIIIIIII

dVdv )det(C

On fait ainsi apparatre le jacobien de la transformation :

dV

dvJ

Ce qui nous donne pour la variation relative de volume :

1J

Tenseur des dformations linaris

Comme nous venons de le voir, la caractrisation de l'tat de dformation d'un domaine matriel

passe par la dtermination de tenseurs plus ou moins compliqus. Quel que soit le choix fait au niveau des

tenseurs, on constate une non-linarit provenant essentiellement des termes du type

FFGradGrad TT UU

)( . Cette non-linarit de l'tat de dformation par rapport au champ de

dplacement complique srieusement les calculs.




Cependant, dans de nombreux cas, on pourra linariser l'tat de dformation en faisant l'hypothse

des transformations infinitsimales. Cette hypothse, encore dnomme hypothse des petites perturbations,

se dcompose en deux ides :

* Le dplacement de chacun des points du domaine matriel est petit. On pourra ainsi

confondre l'tat actuel avec l'tat de rfrence.

* Le tenseur gradient de dplacement ne contient que des termes ngligeables devant l'unit.

Avec ces hypothses, les diffrents tenseurs dformations deviennent :

UUUU TTT

GradGradIGradIGradIFFC )()( Cauchy-Green droit

UU T

GradGradICE )(2

1)(

2

1 Green-Lagrange

CGradGradIGradIGradIFFB UUUU TTT

)()( Cauchy-Green gauche

EGradGradBIA TUU )(2

1)(

2

1 1 Euler-Almansi

On remarque donc qu'il y a une identification entre les descriptions lagrangienne et eulrienne.

Ainsi que nous l'avons dj constat, ce sont les tenseurs de dformation de Green-Lagrange et

d'Euler-Almansi qui, plus que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green, reprsente l'tat de dformation

en un point. En effet dans un dplacement de corps solide indformable, les tenseurs de dformation de

Green-Lagrange et d'Euler-Almansi sont nuls, alors que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green sont

confondus avec le tenseur identit.

On convient de dire que, dans le cas de petites perturbations, l'tat de dformation est reprsent par

le tenseur des dformations linaris dfini par :

AEGradGrad TUU )(2

1

Ce qui nous donne pour les coordonnes cartsiennes :

ij

i

j

j

i

I

J

J

IIJ

x

u

x

u

X

u

X

u

2

1

2

1

Ce nouveau tenseur est en fait la partie symtrique du tenseur gradient. Pour traiter de nombreuses

applications, il peut tre fait l'usage de la partie antisymtrique du tenseur gradient. Les relations sont les suivantes :

T

T

T

U

U

UU

UU

)(

)(2

1

)(2

1

Grad

Grad

GradGrad

GradGrad

Lemploi du tenseur des dformations en lieu et place du tenseur de Green Lagrange E ou du tenseur dEuler Almansi A est une simplification importante car on obtient une linarisation des

dformations vis vis du champ de dplacement. En effet si lon considre deux champs de dplacement aU

et bU

, on peut crire :




baba UUUU GradGradGrad On en dduit alors la relation :

baba UUUU

Interprtation gomtrique

Avec ce qui prcde nous pouvons crire :

XdXdXdxd

XdUXdXdXdxd

gradF

Supposons que Xd

reprsente, dans la configuration initiale, deux points 0M et 0'M . Le vecteur xd

reprsentera alors, dans la configuration actuelle les deux points tM et tM ' , transforms des deux points

initiaux dans le champ de dplacement.

On a alors les relations suivantes :

tttt

tt

tt

MMMMMMMM

MMMUMMMU

MMxdMMXd

0000

0000

00

''''

'''

''

Ce qui nous permet dcrire :

XdXdMUMU

00'

De plus, on peut montrer qu un tenseur antisymtrique

du second ordre, il est possible dassocier un vecteur de tel sorte

que lon puisse remplacer le produit tensoriel par un produit

vectoriel :

XdXd

Ainsi , au voisinage du point 0M , le champ de

dplacement se prsente sous la forme suivante :

XdXdMUMU

00'

On peut reconnatre les composantes dun champ de dplacement de solide indformable avec une

translation 0MU et une rotation Xd

. Le reste reprsente donc la dformation du solide. Cest

pourquoi le tenseur est appel tenseur de dformation.

Remarques

Il existe malheureusement des cas d'tudes qui ne respectent pas l'hypothse de petites perturbations.

On trouve en particulier le non-respect de cette hypothse simplificatrice dans des oprations de mise

en forme imposant la fois de grands dplacements et de grandes dformations. Mais on peut aussi trouver

des applications qui ne respectent pas que l'une des conditions. Ainsi, en robotique, on est souvent confront

des problmes de grands dplacements, mais dans chacun des lments, on peut considrer que les

dformations sont trs faibles.

M0 M0

Mt

Mt

0MU 0MU

dX

dX




Ces hypothses sont d'une relle

importance pour la simplification des calculs.

Prenons par exemple le cas d'une poutre

console encastre en une section extrmit,

libre l'autre extrmit et supportant une

charge uniformment rpartie.

Dj la dfinition rigoureuse de la

charge pose un problme. Cette charge

conserve-t-elle une direction constante qu'elle

que soit la dforme de la poutre (cas de

l'attraction gravitationnelle), ou bien cette

charge est-elle suiveuse, c'est--dire,

conserve-t-elle une direction fixe vis vis de

l'lment de poutre sur lequel est s'applique

(cas d'une pression) ?

La rponse cette question tant trouve, si on

veut dterminer la dforme de notre poutre en utilisant

la thorie classique des poutres, il convient de bien

raliser que, si cette dforme est grande, on a vite affaire

une poutre courbe. En consquence la formule

classique 2

2

Mdx

ydIE Gzfz devra tre dlaisse au profit de

la formule suivante qui fait apparatre le rayon de

courbure de notre poutre initialement droite :

3

2

2

2

1

M

dx

yd

dx

yd

IER

IEGz

Gz

fz

Bien entendu les problmes d'intgration sont accrus. De plus le calcul du moment de flexion pose

tout de suite plus de difficults. En effet suivant que lon prenne en compte ou non la rotation des sections,

on constate quil y a une diffrence dans lvaluation du bras de levier.

Etude des petites perturbations

A partir des hypothses simplificatrices, on peut s'intresser l'tude des allongements et des

glissements au voisinage d'un point matriel.

Du fait des relations existantes entre les diffrents tenseurs, et en ayant remarqu que de nombreux

termes sont ngligeables devant l'unit, nous pouvons crire :

111111111 12111; ECEEEM

C Pour l'allongement dans la direction E1

122211

1221 2

2121

2sin,;

EE

EArcEEM

Pour le glissement dans les directions

E1 et

E2




On peut donc donner une nouvelle dtermination du tenseur des dformations linaris :

iEE

EEEE

EEE

EE

EEEEE

)(2

),(

2

),(2

),()(

2

),(2

),(

2

),()(

M

33231

322

21

31211

Dune faon plus gnrale, si on considre deux vecteurs unitaires orthogonaux

0.;1 baba

, on peut crire :

aaaaaM

; dilatation linaire dans la direction a

abbabaM 22,;

distorsion angulaire de langle droit form entre les directions a

et b

Dune manire gnrale, on dfinira le vecteur dformation pure au point M dans la direction unitaire a par

la relation :

aMaMDp ;

On peut aussi remarquer que, du fait de la symtrie du tenseur de dformation, on a :

abbabaM ab

222,;

En ce qui concerne la variation relative de volume, on obtient :

UdivX

utrJ

dV

dVdv

I

I

1

Directions principales ; dformations principales

La matrice reprsentant l'tat de dformation linaris tant une matrice relle symtrique, on peut

dfinir ses directions principales (vecteurs propres) et les valeurs des dformations principales (valeurs

propres). Du fait de la forte dpendance entre le tenseur des dformations de Green Lagrange et le tenseur

des dformations linaris, il y a identification totale entre les vecteurs propres des matrices associes ces

deux tenseurs.

Pour le tenseur , les relations sont les suivantes :

III NN .

Avec comme reprsentation dans la base principale :

IIIIII

I

N

00

00

00

Comme le tenseur des dformations linaris est symtrique, si les trois dformations principales sont

diffrentes, il existe trois directions principales orthogonales deux deux.




Si deux dformations principales sont distinctes, il y a alors une direction principale associe la

troisime dformation principale. Toute direction orthogonale cette direction principale est principale. Si

les trois directions principales sont identiques, toute direction est principale. On dit alors que le tenseur est

sphrique.

La dtermination des valeurs des directions principales de dformation conduit aussi la

dtermination de trois invariants scalaires du tenseur. En effet, comme pour tout tenseur du second ordre T ,

le calcul des valeurs propres passe par l'annulation du polynme caractristique T ( ) . Ce polynme est

obtenu par le dterminant de ) -( IT .

On a donc :

IIIIII TTT 23

T -=) -(det)(P IT

Les termes T T TI II III, , reprsentant les invariants fondamentaux du tenseur T :

T

TT

T

det2

1 22

III

II

I

T

trtrT

trT

Etat dviatorique :

Pour un tenseur du second ordre quelconque, il est toujours possible de le dcomposer sous forme

dune somme de deux tenseurs de tel sorte que lun soit sphrique et que lautre ait une trace nulle. Les

formules sont les suivantes :

STDIITSDST 3/3/)( iiTtr

Dans le cas du tenseur de dformation, le tenseur sphrique associ change le volume sans changer la

forme alors que le tenseur dviateur change la forme volume constant (la trace est nulle donc pas de

variation relative de volume).

D

S

S D




IIN

IN

IIIN

nA

Reprsentations graphiques

La notion de tenseur tant relativement dlicate apprhender, on recherche souvent des solutions

plus parlantes pour reprsenter un tat tensoriel. Il existe, pour des tenseurs de second ordre dun espace

vectoriel de dimension trois, des reprsentations graphiques, soit tridemensionnelle, soit plane, qui

permettent de tirer quelques enseignements.

Imaginons que lon connaisse un tenseur symtrique, coefficients rels, T par ses composantes dans

la base principale :

iIIIII

I

NT

T

T

00

00

00

T

Considrons un vecteur unitaire quelconque : ii Nnn

On peut alors calculer le vecteur obtenu dans la direction n

:

nnA

T)(

Dans la base principale, les composantes de ce vecteur sont :

ii NAnA

avec

33

22

11

nTA

nTA

nTA

III

II

I

Dautre part, comme le vecteur n

est unitaire nous avons :

2

2

3

2

2

2

2

2

12

3

2

2

2

1 1

IIIIII T

A

T

A

T

Annn

Nous constatons ainsi que les composantes du vecteur A

peuvent trs bien reprsenter les

coordonnes dun point A dans lespace des vecteurs propres. Avec lquation prcdente, on peut dire que le

lieu dcrit dans lespace des vecteurs propres est un ellipsode, appel ellipsode de Lam.

Cette premire

reprsentation graphique

tridimensionnelle permet de

constater que les valeurs

propres reprsentent les valeurs

extrmales de ltat tensoriel.

Ainsi dans le cas du

tenseur de dformation, la plus

grande dilatation linaire et la

plus petite en un point sont

donnes par deux des

dformations principales I ,

II et III .




Par contre cette reprsentation de ltat tensoriel prsente linconvnient dtre tridimensionnelle et

donc peu aise dessiner. Il est possible dobtenir une reprsentation plane en considrant le plan form par

les deux vecteurs n

et nA

. Ce plan prsente gnralement une intersection avec le plan orthogonal au

vecteur n

. On dsigne par N la projection du vecteur nA

sur le vecteur n

, par T

le vecteur obtenu par

projection du vecteur n

sur son plan orthogonal.

On a, avec des notations videntes :

tTnnAnT

nNnnAnN

.

avec N

vecteur normal et T

vecteur tangent, t tant le

vecteur unitaire associ.

Supposons que le vecteur n

appartienne au plan principal form par les vecteurs III NN , , et quil prsente un angle avec la direction principale IN . On peut donc crire :

III NNn sincos

et tanaNANAnA tnIII

21

Avec les formules de changement de base, il est facile de dmontrer que lon a :

)sin(sincos)(

)cos(sincos

22

222

22

IIIIIIt

IIIIIIIIIn

TTTTa

TTTTTTa

On constate donc que dans le plan vectoriel tn

, , lorsque langle varie, lextrmit du vecteur nA

parcourt un cercle dont le centre a

0

2;III

TTpour coordonnes. Le rayon du cercle est os. Le point

extrmit dcrit le cercle en sens inverse et du double de langle de position . Le cercle ainsi obtenu est

appel cercle de Mohr dans le plan principal III NN , . On conoit aisment quil soit ainsi possible de construire trois cercles. La figure obtenue montre ainsi le

tricercle de Mohr de ltat tensoriel.

A partir de la reprsentation de Lam, on peut

dduire que pour une direction unitaire quelconque,

lextrmit du vecteur nA

doit se trouver lintrieur du

tricercle. Les valeurs propres formant le diamtre de plus

grand des cercles de Mohr sont les valeurs extrmales du

vecteur normal. Leur diffrence constitue la plus grande

valeur du vecteur tangent.

t

nA

n

TN




Conditions de compatibilit

Ainsi que nous lavons constat, les diffrents tenseurs dformations sont issus de la donne dun

champ vectoriel, le champ de dplacement. Les relations permettent sans ambigit de calculer, dans un

repre quelconque, les composantes de chacun de ces tenseurs ds lors que lon connat les composantes du

vecteur dplacement.

Par contre la dmarche inverse nest pas immdiate. On conoit en effet quil soit dlicat de

remonter un champ de dplacement partir de la connaissance dun tenseur dformation.

Nous allons raisonner sur la forme linarise des dformations, donc partir du tenseur de

dformation . Ce tenseur, symtrique est dtermin par 6 composantes. Il est clair que des relations doivent

exister entre ces six composantes si le tenseur reprsente un tat de dformation obtenu parti dun champ

vectoriel ayant trois composantes.

Ces relations sappelle les conditions de compatibilit et elles ne sont en fait que les conditions

dintgrabilit au sens de Cauchy pour un systme dquations diffrentielles.

Dans un systme de coordonnes cartsiennes nous avons les relations suivantes :

i

j

j

iij

i

j

j

iij

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

2

1

Nous pouvons crire :

i

kj

j

ik

k

ij

k

j

j

k

ii

k

k

i

jk

ij

ki

j

ij

k

ij

k

kj

i

k

ij

ki

j

kj

i

k

ij

xxx

x

u

x

u

xx

u

x

u

xx

xx

u

xx

u

xx

u

xx

u

x

xx

u

xx

u

x

2

1

2

1

2

1

2222

22

Nous venons ainsi de montrer que nous sommes capables de calculer les composantes du vecteur

gradient de ij . Toutefois nous obtiendrons effectivement un vecteur gradient si le rotationnel est nul, cest

dire si nous pouvons vrifier les relations suivantes :

lk

ij

kl

ij

l

ij

kk

ij

l xxxxxxxx

22

0




Ce sont en fait les conditions dintgrabilit de Cauchy de la diffrentielle mm

ij

ij dxx

d

.

Exprimes en fonction des composantes du tenseur de dformations ces conditions nous donnent un

systme de six quations :

0

2222

ik

lj

jk

il

il

kj

jl

ik

xxxxxxxx

Soit sous forme dveloppe :

002

002

002

2

31

1

23

3

12

321

33

2

13

31

2

2

3

11

2

2

1

33

2

1

23

3

12

2

31

213

22

2

32

23

2

2

2

33

2

2

3

22

2

3

12

2

31

1

23

132

11

2

21

12

2

2

1

22

2

2

2

11

2

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

On peut aussi dmontrer que ces conditions de compatibilit prennent la forme intrinsque suivante :

0

trgraddivdiv

T

gradgradgrad

Donc, si ces quations sont vrifies, il est possible de dterminer le champ de dplacement. La

mthode consiste calculer les composantes du tenseur antisymtrique laide des diffrentielles totales

exactes :

Puis de dterminer les composantes du champ de dplacement laide des trois autres diffrentielles

totales exactes :

jijiji dxdu Le champ de dplacement ainsi obtenu est dfini un champ de dplacement de solide indformable

prs.

En application, nous proposons au lecteur de dfinir le champ de dplacement qui cre ltat de

dformation suivant :

iexbxbxxa

xxaxb

1

121

211

00

0

0

k

i

kj

j

ikk

k

ij

ij dxxx

dxx

d




Vitesse de dformation

Dans l'tude prcdente, on s'est intress aux transformations du systme entre une configuration de

rfrence 0C et une configuration actuelle tC .

Sans se soucier du chemin de dformation suivi

lors du mouvement entre ces deux configurations, on a

tudi la transformation sous un aspect purement

gomtrique, d'un tat initial vers un tat final. On

conoit trs bien que cette tude puisse convenir dans

toute transformation pour laquelle l'tat de dformation

est une fonction d'tat (au sens thermodynamique du

terme). Peu importe alors le chemin suivi pour passer

d'un tat l'autre.

Hlas, de plus en plus frquemment, suite une modlisation plus fine, suite une meilleure

connaissance, suite des dveloppements de moyens de calcul, il devient ncessaire d'tudier les volutions

du systme suivant un chemin de dformation. Nous sommes alors amens faire l'tude de faon

incrmentale, c'est dire tudier la transformation entre deux tats infiniment voisins, puis, par un

processus de type intgration, en dduire le chemin rel de dformation.

Pour caractriser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse

V M t( , ) que l'on peut considrer comme :

* fonction du temps et des coordonnes de rfrence X I (description Lagrangienne)

* fonction du temps et des coordonnes actuelles xi (description Eulrienne)

Taux de dformation lagrangien

Entre les instants t et t + dt, un vecteur "matriel" infinitsimal dx t

se transforme en dx t dt . De la

mme manire que, pour les dformations, nous nous sommes intresss la variation du produit scalaire,

nous allons cette fois considrer sa vitesse de variation.

La vitesse de variation du produit scalaire de deux vecteurs matriels est alors :

'.2'.'.'.'. XdXdXdXddt

dXdXd

dt

dXdXd

dt

dxdxd

dt

d ECFF

'.2'. Xddt

dXdxdxd

dt

d E

Le tenseur tXtXt

tXdt

d,,,

E

EE

est appel taux de dformation Lagrangien

Il est obtenu en drivant par rapport au temps le tenseur des dformations de Green-Lagrange. C'est donc

la vitesse d'volution de la dformation lorsque celle-ci est mesure partir d'un tat de rfrence initial.

dX

dx(t)

dx(t+dt)




Taux de dformation eulrien

Etudions prsent la mme variation de produit scalaire mais en variables eulriennes. On a donc :

dt

XddXdXd

dt

XddXdXd

dt

dxdxd

dt

d '.'.'.'.

F

FFF

FF

En utilisant la relation :

xdXddt

Xdd

dt

xdd

1)( FFFF

On obtient :

'.'.'

.'.'. 11 xdxdxdxddt

Xddxdxd

dt

Xddxdxd

dt

d

FFFFFF

'.'. 11 xdxdxdxddt

d T FFFF

'2.'. xdxdxdxddt

d D

Cette dernire relation nous permet de faire apparatre le tenseur taux de dformation eulrien D .

Il peut tre dtermin partir du tenseur gradient des vitesses.

Nous avons en effet la relation :

F FV

X

X

x

V

xLiK Kj

i

K

K

j

i

j

ij

1

Ainsi le produit 1FF dfini un tenseur L qui n'est autre que le tenseur gradient des vitesses :

V

GradL

Le tenseur D reprsente la partie symtrique du tenseur gradient des vitesses. On peut aussi faire

apparatre le tenseur W qui reprsente la partie antisymtrique.

Les relations sont les suivantes :

TT

TT

TT

txV

txV

VVtx

VVtx

],[)(

,

2

1)(

2

1,

2

1)(

2

1,

LWDGrad

LWDGrad

LLGradGradW

LLGradGradD

On montre que le tenseur W est un tenseur qui reprsente la vitesse de rotation de la matire.

Remarques

1- L'galit des produits scalaires en dfinition lagrangienne et eulrienne nous conduit

la relation suivante :

')2(.'2.'. XdXdxdxdxdxddt

d

ED

On peut alors en dduire la relation :

CFDFE 2

1 T




Ainsi les drives par rapport au temps des tenseurs lagrangiens dcrivant la dformation sont

directement relies au tenseur des taux de dformation. Il n'en va pas de mme pour les tenseurs eulriens.

Par exemple pour le tenseur de Cauchy-Green gauche, on a :

TTTTTTT LBBLLFFFFLFFFFFFB

2- Si l'on considre la transformation infiniment petite entre les configurations tC et

dttC , en prenant la configuration tC comme configuration de rfrence (on parle alors de description

lagrangienne ractualise), le dplacement est alors :

dttxVtxud ),(),(

Le tenseur de dformation est alors dans une forme linarise :

dtVdVdududd TT )()(2

1)()(

2

1 GradGradGradGrad

dtd D

Ainsi, le tenseur D apparat comme le tenseur "tangent" aux dformations, partir de la

configuration actuelle. Cette description est souvent utilise en calcul numrique, car on ractualise souvent

la configuration de rfrence chaque pas de calcul.

3- Dans le cadre des transformations infinitsimales, )( ud

Grad peut tre considr

comme un infiniment petit. On a donc :

ED

Les tenseurs des taux de dformations lagrangien et eulrien peuvent tre confondus.

Interprtation du tenseur taux de dformation

Cette interprtation est tout fait similaire celle des tenseurs de Cauchy-Green droit C et

des dformations de Green-Lagrange E .

Taux de dilatation linaire

En considrant par exemple les deux vecteurs dx

et dx' confondus, de longueur dl et dans la

direction 11 ' EdlxdxdE

, on obtient :

2112

2'2.'. dlDxdxddt

dldxdxd

dt

d

D

Ainsi, D11 est le taux de dilatation linaire (ou encore taux d'allongement ou vitesse d'extension )

dans la direction E1.

Taux de glissement

Nous devons cette fois prendre les deux vecteurs dx

et dx' dans deux directions orthogonales.

En les supposants norms 21 ', ExdExd

, nous avons :

122'2.'. Dxdxdxdxddt

d

D




Etat de contrainte dans les milieux continus

Lois de conservation

La mcanique des milieux continus repose sur des lois ou des principes de la physique. Tout le

monde pense bien entendu immdiatement au principe fondamental de la mcanique, mais il ne faut en

aucun cas ngliger les autres lois constates. Lvolution dun domaine matriel sera souvent loccasion

dchange avec le milieu extrieur et ces changes sont rglements. Ainsi on conoit que les variations entre

les domaines soit assujetties aux principes de la thermodynamique. Le premier principe permet de traduire la

conservation de lnergie et il se prsente sous la forme dune galit. A loppos, le second principe de la

thermodynamique ne sert qu constater limpossibilit que lon a raliser certaines transformations. Il est

alors donn par une ingalit.

A ces trois lois, il faut imprativement ajouter la loi de conservation de la masse. Souvent, en

mcanique, on oublie de traduire le fait que le domaine tudi ne transforme pas sa masse dans son

mouvement. Cela provient du fait que lenseignement traditionnel de la mcanique du solide se fait en

variables de Lagrange et que lon suit la particule (ou le domaine) dans son mouvement. Par contre, en

variables dEuler, il faut bien traduire le fait quil ny a pas de transformation de la masse du milieu tudi

mme si localement il peut y avoir une modification de la masse volumique.

Ainsi que nous allons le constater, ces lois peuvent sexprimer soit sous forme globale, cest dire

crites pour un domaine matriel, soit sous forme locale, cest dire en quation diffrentielle valable en

chaque point du domaine.

Avant de donner des expressions dune loi de conservation, il convient de complter le bagage

mathmatique en prcisant la notion de drive particulaire dune intgrale de volume et les noncs de deux

thormes importants, le thorme de la divergence et le thorme de lintgrale nulle.

Drive particulaire dune intgrale de volume

Soit un domaine D que lon suit dans son mouvement et considrons la variation entre deux instants

infiniment proche de lintgrale dun champ tensoriel volumique sur le domaine : D

dvdt

da

Cette variation est due deux contributions, dune part la variation propre du champ tensoriel entre

les deux instants t

a et dautre part la variation du domaine entre les deux instants.

Pour calculer lexpression totale, dsignons par tD le domaine linstant t et par dttD le domaine

linstant t+dt. Linstant les sparant tant infiniment petit, on peut supposer quils possdent une large

intersection commune que lon dsignera par 0D .




Ainsi le domaine linstant t se dcompose en deux sous domaines, lintersection commune 0D et la

perte de domaine D , alors que le domaine linstant t+dt se dcompose en 0D et le gain de domaine D .

On peut crire :

DDD

dtt

DDD

t

dvdttdvdttdvdtt

dvtdvtdvt

dtt

t

)()()(

)()()(

0

0

aaaJ

aaaJ

On peut alors calculer la variation :

DDD

tdtt

DDDD

tdtt

dvtdvdttdvtdtt

dvtdvtdvdttdvdtt

)()()()(

)()()()(

0

00

aaaaJJ

aaaaJJ

Mais pour les domaines D et D , laccroissement et la diminution de volume sont dus au

dplacement de la surface gnratrice. On peut donc crire :

Pour D dsndtvdsnxddv

Pour D dsndtvdsnxddv

Lintervalle de temps tant infiniment court, on a alors :

DDDD

tdtt

DDD

tdtt

dsnvtdsnvtdvt

tdv

dt

d

dt

dsdtnvtdsdtnvtdvdtt

t

)()()(

)()()(

0

0

aaa

aJJ

aaa

JJ

Dans ces expressions, D (resp. D ) reprsente la surface commune aux domaines 0D et D

(resp. D ). On peut donc en dduire la relation fondamentale suivante :

DDD

dsnvtdvt

tdv

dt

d )(

)(a

aa

Thorme de la divergence

Nous nous contenterons de donner, sans dmonstration, un nonc de ce thorme appel aussi

thorme de Green Ostrogradski :

Le flux dun champ tensoriel A au travers de la surface D enveloppant le domaine D est gal

lintgrale de la divergence du champ tensoriel sur le domaine :

dvdivdsnDD

AA

Remarques :

Dans le cas o A reprsente un champ vectoriel constant, on obtient 0

D

dsn

Dans le cas o A reprsente un champ scalaire f , on obtient dvfgraddsnfDD

)(




Thorme de lintgrale nulle

Lnonc de ce thorme est le suivant :

Considrons un champ vectoriel volumiquea dfini et continu sur un domaine D . Si quelque

soit le sous domaine 'D inclus dans D , lintgrale du champ tensoriel sur le domaine 'D est nulle, alors le

champ tensoriel est identiquement nul.

0aa '0'

DdvD

Pour la dmonstration de ce thorme, il suffit dimaginer que le champ tensoriel nest pas nul en un

point donn du domaine D . Du fait de la continuit, il est alors possible de dfinir un domaine 'D

infiniment petit enveloppant le point et tel que lintgrale du champ tensoriel ne soit pas nul, ce qui va

lencontre de lhypothse de dpart.

Expression gnrale dune loi de conservation

On peut dire que dune manire gnrale, une loi de conservation exprime un bilan dune grandeur

tensorielle A . On peut alors associer cette grandeur :

La densit volumique dans le domaine considr : a

La densit volumique produite par unit de temps dans le domaine considr : va

La densit surfacique associe au flux de A entrant travers de la frontire du domaine : sa

La loi de conservation a alors comme expression gnrale :

D

s

D

v

D

dsdvdvdt

d

dt

daaa

A

Equation qui traduit le fait que la variation de la grandeur A au cours de lintervalle de temps dt est

gale la somme de la quantit produite (algbriquement) lintrieur du domaine et de la quantit entrant

(algbriquement) travers la frontire D du domaine.

Exemple : Equation de continuit

Le principe de conservation de la masse postule quil ny a ni apparition ni disparition de matire. En

consquence la variation de la masse au cours du temps est nulle :

0dt

Md

La masse peut se calculer partir de la masse volumique :

0 DD

dvdt

ddvM

Avec la notion de drive particulaire dune intgrale de volume, on obtient :

0

DDD

dsnvdvt

dvdt

d .




On peut encore utiliser le thorme de la divergence :

0

DDDDD

dvvdivdvt

dsnvdvt

dvdt

d)(.

Ce qui nous donne une forme locale de lquation de continuit avec le thorme de lintgrale nulle :

0

)( vdiv

t

De plus nous avons les relations :

gradvtdt

dgradvvdivvdiv ..)()(

On obtient ainsi une autre forme locale de lquation de continuit :

0 )(vdivdt

d

Contraintes dans un domaine matriel

Loi fondamentale de la mcanique

Il existe plusieurs formulations de la loi fondamentale de la mcanique. Suivant l'nonc choisi, ce

qui est axiomatique dans un cas devient thorme dans un autre cas. Toutes ces formulations (principe de

moindre action, principe des puissances virtuelles, principe fondamental de la mcanique) sont quivalentes.

Toutefois suivant l'application traite, certaines formes peuvent tre plus intressantes que d'autres.

Pour notre part, nous nous contenterons de l'nonc classique du principe fondamental de la

mcanique:

Il existe au moins un repre gR , dit galilen, et une chronologie, dite absolue, tels que, chaque

instant et pour toute partie D d'un systme , la drive par rapport au temps du torseur cintique galilen

est gal au torseur des actions extrieures s'exerant sur D .

Pour pouvoir exploiter le principe fondamental de la mcanique, nous devons donc dfinir une

reprsentation des efforts appliqus par lextrieur au domaine D .

On peut classer ces efforts suivant deux types :

* les efforts extrieurs exercs distance sur D . Ce sont par exemple les forces de pesanteur,

les forces dinertie ou les forces lectromagntiques. Elles sont distribues dans le volume du domaine et

reprsentes par une densit massique de force tMf ,

.

* les efforts extrieurs exercs sur la surface dlimitant le domaine D . Ce sont par exemple

les actions de contact du domaine au niveau des liaisons cinmatiques ou encore les actions de pression




exerces par le fluide enveloppant le domaine. Elles sont gnralement reprsentes par une densit

surfacique de force tMq , .

Vecteur contrainte

La modlisation des efforts intrieurs passe par une axiomatique. Il existe en effet plusieurs modles

employs suivant les domaines d'tudes. Pour notre part, nous nous contenterons de l'exploitation du postulat

de Cauchy, ce qui va nous conduire la reprsentation la plus frquente de l'tat de contrainte en un point

matriel.

Postulat de Cauchy

* Les efforts exercs sur une partie D d'un milieu continu

par le complmentaire de D dans le systme peuvent tre reprsents par

une rpartition surfacique de forces.

* Cette densit surfacique ne dpend du domaine considr

que par la normale extrieure au domaine pour le point d'tude.

On a donc une reprsentation par un vecteur du type nMT

, appel vecteur

contrainte en M dans la direction n

.

On peut considrer que chaque lment de matire est en effet

soumis des forces de liaison provenant soit d'une frontire si celle-ci est

contigu, soit du reste du systme.

Avec l'hypothse de densit surfacique de forces, nous pouvons dire que sur chaque surface

lmentaire dS autour du point M et de normale n

, les lments du systme situs dans la rgion de

M et n'appartenant pas la partie D exercent sur les lments du systme appartenant la partie D une

force lmentaire Fd

dtermine par : dSnMTFd

,

Gnralement, on appelle facette le plan tangent en

M au domaine tudi. La normale n

dfini l'orientation de cette

facette.

On peut alors dfinir la contrainte normale n comme

tant la projection sur la direction de la normale n

du vecteur

contrainte nMT

, .

De mme on a le vecteur contrainte tangentielle n

(encore appel cission ou contrainte de cisaillement) qui

reprsente le vecteur contrainte projet dans le plan de la facette.

On a :

nnMTnnMTn

nnMT

nn

n

,,

.,

n

T(M,n) dS

M

M

T(M,n) dS

n

n

n

n




Une contrainte normale positive traduit localement un tat de traction de la matire. Si au contraire

elle est ngative, nous avons localement un tat de compression.

Remarques

1- Les composantes du vecteur contrainte sont homognes une pression, c'est dire

qu'ils ont la dimension d'une force par unit de surface.

2- Le vecteur contrainte ainsi dfini est dtermin dans la configuration actuelle. Nous

avons ainsi une reprsentation eulrienne de ce vecteur.

3- Une autre axiomatique pourrait tre de considrer une densit de couples en plus de la

densit surfacique nMT

, et de la densit volumique tMf ,

. Cette modlisation est souhaitable en

prsence de champ magntique lev (acclrateur de particules).

Tenseur des contraintes

Le vecteur contrainte ne suffit pas lui seul pour caractriser l'tat de contrainte en un point matriel.

Sa dpendance vis vis de la direction de normale la facette montre clairement qu'il est ncessaire

d'envisager une autre reprsentation pour l'tat de contrainte.

Considrons par exemple une poutre droite circulaire sollicite en traction simple. Si on peut ngliger

les actions gravitationnelles, on obtient une modlisation des efforts extrieurs trs simple.

L'tude de la rpartition des contraintes en un point

donn M passe par la dfinition de plans de coupe. Pour

un plan de section droite, la rpartition de contrainte

(suppose homogne) qui permet de maintenir l'quilibre

du tronon tudi est facilement calculable.

xx ES

FEMT

,

De mme, en faisant une coupe par un plan

mridien, on peut facilement constater que la rpartition

des vecteurs contraintes pour une facette de normale E

est nulle.

0

EMT ,

Ainsi, en un mme point on peut avoir deux vecteurs contraintes totalement diffrents.

Ce qui caractrise l'tat de contrainte, c'est la relation existante entre le vecteur contrainte et la

direction de normale la facette. Pour obtenir cette relation, il suffit de considrer l'quilibre d'un domaine

matriel de forme ttradrique infinitsimal ayant trois faces de normales 321 EEE

,, .




Sur chacune de ces faces, nous pouvons dfinir

le vecteur contrainte par ses projections dans le tridre

de base :

3332321313

3232221212

3132121111

EEEEMT

EEEEMT

EEEEMT

,

,

,

On utilise alors la notation suivante :

ij premier indice i indice de normale

deuxime indice j indice de projection

Avec ces notations, ii reprsente la contrainte normale pour une facette de normale iE

alors que ij

(avec les indices diffrents) reprsente une composante tangentielle du vecteur contrainte pour la facette de

normale iE

.

D'autre part nous sommes amens dfinir la quatrime face de notre quadrilatre par les

composantes 321 nnn ,, de la normale n

la facette. Si on dsigne par idS l'aire infinitsimale de la face de

normale iE

, et par dS l'aire de la surface de normale n

, on a la relation :

dSndS ii

L'quilibre de notre domaine va faire intervenir aussi bien des forces de surface (associes aux

vecteurs contraintes) que des forces de volumes (associes aux efforts extrieurs). Toutefois, ces dernires

faisant intervenir des lments diffrentiels d'ordre suprieur, on peut les ngliger devant les forces de

surfaces si les dimensions de notre ttradre sont infinitsimales.

L'quation d'quilibre est donc :

321

3210SSSS

dSEMTdSEMTdSEMTdSnMT ),(),(),(),(

3322110 dSEMTdSEMTdSEMTdSnMT ),(),(),(),(

dSEMTnEMTnEMTnnMT ),(),(),(),( 3322110

Or, d'aprs la dfinition du vecteur contrainte, on conoit relativement bien la relation suivante :

),(),( nMTnMT

On obtient donc :

),(),(),(),( 332211 EMTnEMTnEMTnnMT

Ainsi, la donne des vecteurs contraintes dans les trois directions de base 321 EEE

,, suffit pour

dterminer le vecteur contrainte dans une direction de facette quelconque.

En utilisant les composantes 321 TTT ,, du vecteur contrainte ),( nMT

dans la base 321 EEE

,, , la

relation prcdente se met sous la forme suivante :

nn

nn

T(M,n)

T

T

T

1

2

3

1

2

3

M




3332321313

3232221212

3132121111

nnnT

nnnT

nnnT

Soit en notation indicielle : jjii nT

On a ainsi dtermin les composantes ij d'un tenseur d'ordre deux dans la base 321 EEE

,, . Ce

tenseur nous permet de calculer le vecteur contrainte en M dans la direction n

grce la relation :

nnMT

),(

Ce tenseur est appel tenseur des contraintes ou encore tenseur de Cauchy. Il est fonction

uniquement du point d'tude.

La donne du champ tensoriel dans le domaine d'tude permet de connatre l'tat de contrainte en tout

point de notre domaine. Bien entendu, cette rpartition de contrainte n'est pas indpendante des sollicitations

exerces sur notre domaine. Les quations d'quilibre vont nous permettre de mettre en vidence cette

dpendance.

Equilibre dynamique

Pour crire les quations de la dynamique, il convient d'isoler un domaine matriel et de lui appliquer

le principe fondamental de la dynamique.

D'un cot de l'galit nous trouvons le torseur rsultant des efforts extrieurs. Celui-ci est la somme

de deux torseurs :

D

D

dmtMfOM

dmtMf

),(

),(

Torseur des actions extrieures (densit massique)

D

Documents

Cours de Mécanique des Milieux Continus - mmaya.frmmaya.fr/PDF/MMCWeb.pdf · allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mécanique à tous types de