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1 COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS Chapitre1: VIBRATIONS - OSCILLATEURS HARMONIQUES

Cours de Mecanique - Vibrations

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1

COURS DE MECANIQUE- VIBRATIONS

Chapitre1:

VIBRATIONS - OSCILLATEURSHARMONIQUES

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2

INTRODUCTION

Une vibration est le mouvement d'un système

mécanique qui reste voisin d'un état de repos.Un tel mouvement peut :- être provoqué par une excitation : on parle alorsde vibrations forcées ;

- soit être le résultat d'une action imposée à un

instant donné (telle que déplacer le systèmede sa position de repos, ou lui imposer une impulsioninitiale) : on parle alors d'oscillations

libres.

Généralités

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3

En général, les systèmes mécaniques présentent del 'amortissement et les vibrations libres décroissent aucours du temps pour devenir plus ou moins insignifiantes.

 Au contraire, les vibrations forcées subsistent tant qu'il y a

excitation. Un système mécanique non amorti possèdedes vibrations libres particulières qui ont laparticularitéd'être périodiques par rapport au temps : c'est ce quel'on appelle les vibrations propres. Les fréquences

correspondantes sont les fréquences propres dusystème. Le mouvement libre le plus général pour unsystème est une combinaison de ces vibrations

 propres : ce n'est pas en général un mouvement périodique.

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4

INTRODUCTION

Schématisation

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5

Définitions : Oscillations libres

Si un système, abandonné à lui-même autour d'une situationd'équilibre stable, évolue ensuite de part et d'autre de cetétat, on parle alors d'oscillations libres.

L'état instantané du système est caractérisé par l'évolution

d'une grandeur physique mesurable (déplacement x(t) ouangle (t)) qui rend compte de l'écart du système par rapportà la position d'équilibre.

Oscillations linéaires libres non amorties

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6

Définitions: Oscillations non amorties

Si, pendant la durée des mesures, les phénomènes dedissipation de l'énergie sous forme de chaleur (frottements)provoquent une diminution de l'amplitude des oscillations,inférieure à la sensibilité des appareils de mesure, on peut

qualifier les oscillations de non amorties.

Oscillations linéaires libres non amorties

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7

Définitions: Oscillateur linéaire

L'équation différentielle qui régit l'évolution de la grandeur 

caractéristique x(t) (ou (t) ) est linéaire.

Oscillations linéaires libres non amorties

 

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8

Forme de l'équation du mouvement

0,ax cx !&&

2

0 0 x x[ !&&

L'équation du mouvement est de la forme :

que l'on écrit préférentiellement

0

0

0

où est la

2et T la

c pulsation propre

a

 période propre

!

!

Oscillations linéaires libres non amorties

 

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9

La solution générale de l'équation est de la forme:

cos( )  x A t  [ N !

Oscillations linéaires libres non amorties

  

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10

Retour sur le pendule circulaire (le pendule simple)/

/ /

/

dOA F

dt

  OA mg  OA T

Mais OA

OA OA mg

sin 0 ,

, :

  OA T

 

OO

O A

 A

  En utilisant coordonnées polaire on

m

mv

a

 g 

v

U U

� �

¨ ¸! § ! � §© ¹

ª º

! � �

! �

� ! �

!

r uur uuur  r 

uuur uuur ur  r 

uuur r r 

uuur uuur uuur ur  r r 

&&

2

0

petit sin

( )

av

 

0

ec

 

2

  petit oscillation oscillation harmonique

 g g 

T l l 

 g 

U U

U

U

[ T 

U

!

!

!

!&

;

&

A

T

Oscillations linéaires libres non amorties

 

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11

0 x

 o

   Rr 

 P r  f  

0

2

0 0

0

. 0 ( sans f  r ottement)

 

allongementLe PFD:

En pr ojection sur  l'axe (ox):

Soit 0 avec 

est appelée pulsation pr opr e

Solution

 R i

  f k M k   xi

l l a P R f  

m x k  x

k  x x m

[ [ 

!

! !

!!

!

! !

r r  r o

uuuur r  r o

o r r r r 

&&

&&

o

o : cos sin

Ou bien: cos( )

o o

o

  x t B t  

  x X t  

[ [ 

[ N 

!

!

Oscillation Mécanique Harmonique (OMH) Ressort horizontal

Oscillations linéaires libres non amorties

  

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12

Oscillation Mécanique Harmonique (OMH) Ressort vertical

 0

x

0

x0

x(t)

mg

mg

Fe

Fe

/

0

0 0

0

2

0 0

2

0

0

e FD s écr it:

mais (à un point équilibr e)

( )

( ) 0

0 0

avec , la solution géner ale est de la or me:

cos( )

 A ema F F mg  

mx k   x mg  

mg  k  x

mx k  x k  x k  x x

k   x x x

mk 

u x x u u u um

m

u A

[

[

[ N 

� ! § !

!

!! !

!

! ! � !

!

!

r r r r 

&&

&&

&&

&& &&

Oscillations linéaires libres non amorties

  

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13

Oscillation Mécanique Harmonique (OMH) Ressort vertical

 0

x

0

x0

x(t)

mg

mg

Fe

Fe

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

0

0 0

0

cos( )

cos( )

et sin( )

cos( 0)

( ) ( ) cos ,

A 0,( 0) 0 sin 0

( 1

 

2av

)

ec

(c

2

)os

n

 x x t 

  x t x

 x t 

 x a  x t at 

 x t 

  x t a x t x

a xa x

n

mT 

n

[ N 

[ N 

[ [ N 

[ N 

T T 

� !

!

! !! ! ®®

! ¯ ¯! ! !° °

®! ! ±

¯

!

! !

± !°

&

&

Oscillations linéaires libres non amorties

 

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14

0

2

2

interr u pteur  étant ouver t, le condensateur 

 de capacité est char gé q q , l intensité 0

V V V V

O r  V V V V 0

Avec la char ge comme var iable :

0

 A 

M N 

 A 

N M 

i

dq q dii L

dt C dt  

di q L

dt C 

q

d q q L

dt C 

! !

! ! !

! !

!

o

o o o

&& 2

0

2

2 2

0 02

0

Avec l intensité comme var iable :

10 0 , avec

a char ge et l intensité var ient sinusoidalement

avec le tem ps

q q

i

d i i  L i i

dt C LC  

q i

[

[ [

!

! ! !&&

o

 Analogies Électriques: circuit (L,C)

A N

B M

LC

k

Oscillations linéaires libres non amorties

 

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15

 Analogies mécanique -électricité

Oscillations linéaires libres non amorties

 

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16

Oscillation libres amorties

Mise en équation

02

0  x x xP [  !&& &

0et sont onction uniquement

des car actér istiques de l oscillateur 

P [ o

 

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17

Oscillation libres amortiesRésolution de l¶équation

0

2 2

0

2 2

0

2 0

2 0 : équation car actér istique

=

  x x x

r r 

P [

P [

P [

!

� !

(

&& &

_ a

0

2 20

(i) Régime pseudo-pér iodique

' < 0 < , l'amor tissement est faible

Poson

La solution s'écr it:

( ) cos( )

ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )

  x t ae t  

  x t e t B t  

P

P

P [ 

[ [  P

[ N 

[ [ 

( �

!

!

!

o

 

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18

Oscillation libres amorties

0

1 2 0

0

2 2

0

(ii) égime cr itique

0 , l amor tissement est cr itique

a solution s écr it: ( ) (C+Dt)

(iii) égime apér iodique

> 0 > , l amor tissement est or t

osons

a s

r r 

  x t e P

P [

P [

P [[ P [

( ! � !

! ! ! !

( �!

o

o

12

olution s écr it: ( ) ( ch t+Fsh t)

ou bien: ( )

r t r t  

  x t e

  x t Ge He

P [ [!

!

Résolution de l¶équation

 

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19

Oscillation libres amorties

1er exemple : système masse-ressort amorti 

-1

-1

La for ce de f r ottement visqueux est de la for me

, ce qui con

duit a l'eq

uation : 0 ,

ou le facteur  d'amor tissement a pour  dimension [ ] T

et pour  unité associee N.s.m ,

hxu

m  x hx k  xh h

!

r &

&& &

-1

et le ter me est expr ession:

et pour  unite s2

Donc:

  2 0 x x k  x

h

m

P

P

P

!&& &

 

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20

Oscillation libres amorties

2 em exemple : circuit RLC 

 

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21

Cas particulier de la rotation autour d'un axe fixe

Le solide (S) est mis en rotationautour de l¶axe (OZ).

Le PFD pour le solide (S):

0 /0 /0

0

cos

[ ] , 0 sin

0 0

sin sin 0

Cas de petite oscillation + 0 ;  

  zz zz  

  zz zz  

a mg 

  I M M   OG mg mg  

  I mg  a I mg a

mg a mg a

 I I 

U

I U

U U U U

U U [

¨ ̧ ̈ ¸© ¹ © ¹! ! � ! � © ¹ © ¹

© ¹ © ¹ª º ª º ! � !

! !

uuur r r r  r 

&& &&

&&

 

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22

Calcul de moments d'inertie

Définition:

2 2

( . )i ii  I m d   k  g m( ! §

2 2 2

2 2

2 2

  ; OA ,

2 2 2

( ) : On par le le moment d'iner tie par  r appor t à axe (Ox)

( ) :

Avec:

i

î î i i

i

  xx yy zz  xy x z  y z 

  xx i i i

i

  yy i i i

i

 x

u y d u O A

 z 

  I I I I I I I  

  I m y z 

  I m x z 

E

 F

E F K EF EK FK  

( (

(

¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹! ! ! �© ¹© ¹

© ¹ © ¹ª º ª º!

!

!

§

§

uuur uuur  r r 

2 2

On par le le moment d'iner tie par  r appor t à axe (Oy)

( ) : On par le le moment d'iner tie par  r appor t à (Oz)

, , : On par le le pr oduit d'iner tie

 zz  i i i

i

  xy i i i x z  i i i xy i i i

i i i

  I m x y

 I m x y I m x z  I m y z 

!

¾! ! ! ¿À

§

§ § § 

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23

Pour une distribution contenue demasses ( homogène )

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

  ; OA

2 2 2

( ) ( ) ( ) = ( )

i

î  i

i

î i

  xx yy zz  xy x z  y z 

 xx

m v S L

 x

u y

 z 

d  u O A

  I I I I I I I  M M M 

 I y z d m y z d  y z d S y z d l V S L

E

 F

E F K EF EK FK  

(

(

(

¨ ¸¨ ¸

© ¹© ¹! ! © ¹© ¹© ¹ © ¹ª º ª º

! �

! ! ! ! ´ ´´´ ´´ ´

uuur r 

uuur r 

Calcul de moments d'inertie

 

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24

Pour un système d'axes Ox, Oy, Oz, ondéfinit la matrice d'inertie d'un solide en unpoint O sous la forme:

0

0

[ ]

 Nous obtenons :

.[ ]

  xx xy x z 

  xy yy y z 

 x z  y  z zz  

  I I I  

  I I I I  

  I I I  

  I u I u( ( (

« » ¬ ¼! ¬ ¼

¬ ¼ ½

!r r 

Calcul de moments d'inertie

 

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25

 

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26

Théorème de Huygens :

Le moment d'inertie d'un solide par rapportà une droite est égal à la somme du

moment d'inertie par rapport à cette droite

de la masse du solide concentrée au centrede masse G et du moment d'inertie du

solide par rapport à la droite parallèlepassant par G.

( , )

2

( , )Avec 

G m G

m G

  I I I  

 I  md 

( ( (

(

!

!

2 2Par  exem  ple: .( )

  xx Gx G G  I I M y z !

  

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27

Exemple:

Une tige pesante homogène (S) de masse M et de

longueur l . Le centre de masse G est situé à unedistance l/ 2  du point O

X

( , )

2

2 2

( , )

2

0

D'après Th or  me de Huygens :

1On a : (voir  tableau)12

et2 2

L'équation différ entiel de oscillation est:

30 0

2 2

0 , avec 

O z  G z  m G

G z 

m G O z 

OZ 

é è I I I  

 I  ml 

l  ml  I  m I 

l g  I  M  g 

l U U U U

U [  U

(

(

!

!

¨ ¸! !© ¹

ª º

! � !

� !

&& &&

&& 2

0 0

3 3

2 2

 g g 

l l [ [ ! ! 

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28

Repr ésentation de l'oscillateur harmonique non 

amorti dans le plan des phases

Il est possible de r epr  senter  les oscillations du syst medansle , c 'est dir e dans un r ep r e dont l 'axe

des abscisses est ' , et l 'axe desor donn es estsa

 par  r a

é è pl an d es pha  ses à è

l élong ation x é

d érivée x

&  ppor t a

utem ps t (o

uet ).U U

&

Exemple : Système masse-ressort horizontal

 

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29

Repr ésentation de l'oscillateur harmonique non 

amorti dans le plan des phases

Cette équation d'une ellipse de demi-grand-axe A et de demi-petitaxe A0. Il en résulte donc, pour l'ensemble des conditions initiales

, une famille d'ellipses concentriques, décrites dans le sens desaiguilles d'une montre lorsque le temps t augmente.

Pour se convaincre du sensde parcours des ellipses, il

suffit, pour simplifier, deprendre = 0 et A > 0 dansles équations

X(t)= Acos([ 0t)

 

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30

Repr ésentation de l'oscillateur harmonique non 

amorti dans le plan des phases

 

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31

ajuster O scillation libres amorties

Mise en équation

2

02

0  x x xK  [ !&& &

0et sont onction uniquement

des car actér istiques de l'oscillateur 

P [o

 

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32

ajuster O scillation libres amorties

Résolution de l¶équation2

0

2 2

0

2 20

2 0

2 0 : 'équation car actér istique

'=

  x x x

r r 

K  [

K  [

K  [

!

� !

(

&& &

_ a

0

2 2

0

(i) Régime pseudo-pér iodique

' < 0 < , l'amor tissement est faible

Poson

La solution s'écr it:

( ) cos( )

ou bien: ( ) Acos( ) sin ( )

  x t ae t  

  x t e t B t  

K  [ 

[ [  K 

[ N 

[ [ 

( �

!

!

!

o

 

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33

ajuster O scillation libres amorties

0

1 2 0

0

2 2

0

(ii) égime cr itique

' 0 , l'amor tissement est cr itique

a solution s'écr it: ( ) (C+Dt)

(iii) égime apér iodique

' > 0 > , l'amor tissement est or t

Posons

a s

r r 

  x t e K 

K  [

K  [

K  [[ K  [

( ! � !

! ! ! !

( �!

o

o

1 2

olution s'écr it: ( ) ( ch t+Fsh t)

ou bien: ( )

r t r t  

  x t e

  x t Ge He

K  [ [!

!

Résolution de l¶équation

 

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34

ajuster O scillation libres amorties

1er exemple : système masse-ressort amorti 

-1

a or ce de r ottement visqueux est de la or me

, ce qui conduit a l'equation : 0 ,

ou le acteur  d'amor tissement a pour  dimension [ ]= MT

et pour  unité associee .s.

v x xu

mx x k  x

h

P

P

P

!

!

r  r &

&& &

-1

-1

m , et le ter me est expr ession:

= et pour  unite s2

Donc

  2  

:

0 x x

m

 x k K 

PK 

!&& &

 

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35

ajuster O scillation libres amorties

2 ème exemple : circuit RLC 

 

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36

Oscillation libres amorties

3ème exemple : système masse-ressort amorti 

Le moment de frottement visqueux estde la forme :

uz

v z M u QU!

r  r &

0

1

l ' quation mouvement :

[ ]

ce qui conduit à l ' quation :

0

( ),2

= r ottement d'amor tisement ( .m.s)

v

O z 

O z 

é

 I  OG mg M  

é

  I mg  a

 s I 

U QU U Q

 Q

! �

!

!

uuur  r r  r 

&& &

 

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37

Les tr ois r égimes

Suivant le signe de ce discriminant réduit ', trois

types de régimes sont obtenus :

régime critique,

régime apériodique,

régime pseudo-périodique.

 

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Les tr ois r égimes

Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation,

régime critique

 ' = 0 : régime critique

 

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39

Les tr ois r égimes

Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation,

régime apériodique

 ' > 0 : régime apériodique

 

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Les tr ois r égimes régime pseudo-périodique

 ' < 0 : régime pseudo-périodique

 

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41

Repr ésentation graphique

 

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42

Rapport entre deux maximums (resp. minimums)

successif s - Décr ément logarithmique

 

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43

Rapport entre deux maximums (resp. minimums)

successif s - Décr ément logarithmique

 

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44

Facteur de qualité du système

 

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45

Repr ésentation de l'oscillateur harmonique amorti

dans le plan des phases

 

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Mouvement critique

 

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47

Mouvement pseudo-périodique

 

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48

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Equation du mouvement

 

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49

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Solution générale de l'équation

 

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50

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Deux r égimes sont à distinguer.

 

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51

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Méthode d'étude du r égime stationnaire

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Méthode d'étude du r égime stationnaire

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Méthode d'étude du r égime stationnaire

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonancesur un exemple

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise e

n évide

nce du ph

énomè

ne de r 

ésonan

cesur un exemple

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise e

n évide

nce du ph

énomè

ne de r 

ésonan

cesur un exemple

 

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mis

e en

 é

viden

ce du phéno

mèn

e de r éson

an

cesur un exemple

 

OSC O S O C S SO S

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonance

sur un exemple

 

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonance

sur un exemple

 

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonance

sur un exemple

 

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonance

sur un exemple

 

OSCILLATIONS FORCEES SOUS

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OSCILLATIONS FORCEES SOUS

EXCITATION PERIODIQUE

Mise en évidence du phénomène de r ésonance

sur un exemple