Cours de Mécanique

1

Mécanique des solides

Statique

2

Introduction à la mécanique des solidesHypothèses utilisées en mécanique classique

En mécanique classique, nous allons étudier : des systèmes matériels (dont le contenu matériel est ou non variable) qui

existent pendant un intervalle donné de temps dans un espace réel à trois dimensions.

On admettra que, à chaque instant, le système matériel considéré est constitué d’éléments individualisable, de points matériels.

Si un ensemble de points matériel est tel que les distances entre chaque point constituant l’ensemble sont constantes, alors cet ensemble de points sera appelé solide. Un solide est donc indéformable.

La masse d’un élément (d’une partie ou de l’ensemble du système matériel) ne dépend que de la quantité de matière qui le compose.

3

Méthodologie

La méthode que nous allons utiliser consiste à s’intéresser successivement à chacun des solides ou ensemble de solides constituant un mécanisme. Il faut isoler le solide.

Nous analyserons alors : Ses mouvements : un solide possède six degrés de liberté, et à

chaque degré de liberté correspond un paramètre géométrique, linéaire ou angulaire. Deux cas sont alors possible :

Soit ce paramètre est connu (on dira asservi). Cela suppose

qu’une action mécanique inconnue permet d’obtenir la loi de variation de ce paramètre en fonction du temps.

Soit ce paramètre est inconnu, on dira libre, car il est libre d’évoluer en fonction des lois de la mécanique.

Introduction à la mécanique des solides

4

Modélisation des actions mécaniques

Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques, puis généralement, en sens inverse, la traduction des résultats mathématiques obtenus dans le monde réel.

Le but de la modélisation est de choisir une représentation mathématique des actions mécaniques, d’étudier l’action mécanique de la pesanteur et de définir les efforts que peuvent transmettre les liaisons, afin de procéder à leur dimensionnement.

Système matériel à masse conservative

Système matériel : un système matériel E est système sur laquelle est défini la mesure masse.

La masse est l’image mathématique de l’une des caractéristiques fondamentales de la matière définie par une mesure positive et additive, noté : 0m

I. Modèle mathématique

5

Et si on effectue une partition de E en n éléments de masse mi, on aura donc :

1.2 Système matériel à masse conservative : un système matériel E est à masse

conservative si toute partie de E conserve une masse constante au cours du temps :

Un solide réel est constitué d’un grand nombre d’éléments de taille

macroscopique ou microscopique. Dans ce cas il convient d’associer le modèle

continu, pour définir en tout point P des propriétés comme la masse volumique où la

température, qui vont être représentés, par suite, par des fonctions continues :

hypothèse de la continuité.

1.3 Centre d’inertie Le centre d’inertie du système matériel E, de masse m, est le point G défini par : (Le point A étant quelconque).

n

iimm

teconsemtEe tan)(:,

EP

dmAPm

AG1

6

Propriétés :

le point G est unique.

Si le système matériel E est un solide indéformable, le centre d’inertie G est fixe

par rapport à tout repère qui lui est attaché.

Le point G est tel que : 0EP

dmGP

Soit une partition de E (m, G) en élément Ei (mi, Gi), alors :

n

i EP

i

EP i

dmAPdmAP1

n

iii AGmAGm

1

n

iimm

1

n

iii AGm

mAG

1

1

avec :

1.4 Extérieur d’un système matériel :

C’est le complémentaire de E par rapport à l’univers matériel. On le note : EExemple 1

7

2.1 Définition : On appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, ou de créer un mouvement, ou de déformer un corps.

2.2 Classification des actions mécaniques :

Les actions mécaniques sont de deux sortes :

Actions mécaniques à distance, d’origine gravitationnelle (la pesanteur) ou électromagnétique.

Actions mécaniques de contact (liaison entre deux solides,…). Ces liaisons dites encore

surfaciques, s’exercent au niveau de la surface du système matériel.

(S2)(S1)

(S3)

Figure 1.

E= (S1) + (S2)

- l’action mécanique de S3 sur S2 est extérieure à E

- l’action mécanique de S1 sur S2 est intérieure à E

2. Actions mécaniques

8

2.3 Modélisation des actions mécaniques :

La modélisation des actions mécaniques peut se faire d’un point de vue local ou d’un

point de vue global suivant l’objectif de l’étude envisagée :

La modélisation locale a pour but d’étudier l’action mécanique dans la

zone où elle s’exerce : champ de pesanteur, champ de pressions de contact, ….

La modélisation globale, par torseur, caractérise globalement l’action

mécanique dans le but d’appliquer, le premier principe de la statique.

3. Modélisation locale des actions mécaniques

3.1 Représentation par un champ de force :

21, pfP

Les actions mécaniques à distance, ou de contact, qu’exerce un système matériel 1 sur un autre 2 ( ) sont représentées en tout point P de 2 par un champ de glisseurdéfinie relativement à une mesure μ.

E1

21Pf

dμ

P

2

11

9

dfdF PP 2121

Définitions :

Une force est une action mécanique représenté par un vecteur lié : elle est modélisable

par un glisseur.

On appelle force élémentaire au point P, de l’action mécanique de 1 sur 2, le glisseur,

dont le vecteur associé est :

est la densité du champ de forces, relativement à la mesure μ.

Conclusion: La modélisation locale des actions mécaniques est donc réalisée par des

champs de forces.

Exemples :

a) Action mécanique de la pesanteur.

L’action mécanique de la pesanteur sur un ensemble matériel S1 de asse m se représente par un

champ de force uniforme, dans une région localisée de l’espace, dont la densité massique est

le vecteur accélération de la pesanteur g

21Pf

10

Soient deux solides (1) et (2) en contact suivant un surface (S).

L’action mécanique de 1 sur 2 est représentée en chaque point P de (S) par la densité surfacique de forces:

2) Action mécanique de contact.

fp(1 2) = np(1 2) + tp(1 2)

np(1 2) est la densité surfacique normale des forces de contact de l’action mécanique de 1 sur 2

tp(1 2) est la densité surfacique tangentielle des forces de contact de l’action mécanique de 1 sur 2



11

4. Modélisation globale des actions mécaniques

D’une façon générale, si un corps (S) subit de la part d’un ensemble matériel (E) une action

mécanique représentée par un système de n forces , on caractérise globalement cette action

mécanique par les deux vecteurs suivants :

ii FP ,

SER

SEM A

: la résultante générale de l’action mécanique de (E) sur (S).

: le moment résultant au point A de l’action mécanique (de force) de (E) sur (S).

Avec :

dSEFSEdF

FSER

SP

i

SP

i

n

ii

1

dSEFAP

FAPSEM

SP

ii

n

iiA

1

12

Rappel sur les moments

Définition Soit un point P, centre des moments :

Propriété fondamentale :

définition On désigne par [A] un ensemble de vecteurs liés, chacun des V

passant ou étant lié au point Ai Les élément de réduction de l’ensemble [A] au point P sont la somme

géométrique et la somme des moments par rapport à P de tous les vecteurs de [A] :

13

TorseursDéfinition

Un torseur [T] est un objet géométrique constitué par deux champs vectoriels :

• un champ uniforme

• un champ équiprojectif

Un torseur [T] représente en tout point P de l’espace tous les ensemble de

vecteurs équivalents ayant pour somme géométrique et pour moment.

[T] est la classe d’équivalence de tous les ensembles de vecteurs

équivalents. Axe central d’un torseur: c’est le lieu des points K de l’espace où

on démontre que ce lieu est une droite on démontre que le champ des moments est « hélicoïdal » autour de l’axe

central du torseur

14

Premier principe de la statique

Toute action mécanique est entièrement caractérisée, d’un point de vue mécanique,

par un torseur : SEF

SER

SEM A Exemple Supposons qu’à l’extrémité d’une poutre (S), encastrée dans un bâti (S1), on

exerce une force (P,F) par l’intermédiaire d’un câble (c).

Dans ce cas l’action mécanique de (S) sur (S1) dépend de la position de la force par rapport à (S1) . C’est pour ça qu’on est amené à introduire la notion de moment de la force (P, F) par rapport à un point A, quelconque pour compléter la caractérisation de l’action mécanique de (C) sur (S).

On représente l’action mécanique du câble sur la poutre par les deux vecteurs:

A(S)

P

(C)(S1) F

FSCR

FAAPSCM A

15

Propriétés du torseur d’action mécaniqueLe pied H de la perpendiculaire de O sur l’axe central est donné par la

relation:

Action mécanique particulières Action mécanique représentable par un couple

SEF 0 SER

O zaFSEM A 12

Z

-F1

xF1

x

y

x

O Aa

SER

SEMSEROH o

SER

SEMSEROH o

2

16

Action mécanique représentable par un torseur à résultante

Propriétés du torseur d’action mécanique

Z

O

F2

y

F1

y

xH

(S) SEF

SER

0 SEM AH H

Z

-F1

xF2

zF1

x

y

x

O Aa

SEF ZFSER 2

O zaFSEM A 12

Action mécanique équivalent

17

5. Actions mécaniques de la pesanteur Modélisation locale : L’action mécanique de la pesanteur (g) sur un ensemble matériel S1 de masse

m se représente par un champ de forces uniforme, dans une région localisée de l’espace, dont la densité massique est le vecteur accélération de la pesanteur

Modélisation globale :

Le torseur de l’action mécanique de la pesanteur sur l’ensemble matériel (1) s’écrit en un point A quelconque:

Avec:

g

SEF 1gR

1gM A

gmdmggRP

1)1(

11)()1(

PPA gdmAPdmgAPgM

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a) Contact surfacique

Soient deux solides (1) et (2) en contact suivant un surface (S).

L’action mécanique de 1 sur 2 est représentée en chaque point P de (S) par la densité surfacique de forces:

Soit est la vitesse de glissement au point P du solide 1 par rapport au solide 2 (ce vecteur est parallèle au plan (Q))

6. Action mécanique de contact.

fp(1 2) = np(1 2) + tp(1 2)

1/2PV

np(1 2)

tp(1 2)

fp(1 2)



19

L’action mécanique de contact de (S1) sur (S2) se représente globalement par le torseur suivant:

Avec:

Définitions

est appelé composante normale de la résultante générale du torseur d’action mécanique de (S1) sur (S2) ou effort normal.

est appelé composante tangentielle de la résultante générale du torseur d’action mécanique de (S1) sur (S2) ou effort tangentiel.

Avec:

21 SSF 21 SSR

21 SSM A A

sPp dsSSnSSN )()( 2121

sPp dsSStSST )()( 2121

)( 21 SST

)( 21 SSN

sPp dsSSfSSR )()( 2121

SPpA dSSSfAPSSM )( )( 2121

20

La loi de Coulomb exprime, sous une forme très simplifiée, l'intensité des forces de frottement qui s'exercent entre deux solides.

Selon que ces solides glissent ou non l'un contre l'autre, on parle de frottement ou

d'adhérence.

Dans les deux cas, les actions réciproques qui s'exercent entre ces solides

comportent :

une composante normale N qui les presse l'un contre l'autre,

une composante tangentielle T qui s'oppose, ou tend à s'opposer, au glissement.

Adhérence et frottement

Tant que la composante tangentielle n'atteint pas une certaine limite To, le glissement

ne se produit pas. Néanmoins, les solides peuvent éventuellement rouler, à l'image

d'une roue de bicyclette qui roule sans glisser sur le sol. Lorsque la limite est atteinte,

le glissement se produit.

Loi de Coulomb

21

Adhérence (frottement statique)

La loi de Coulomb détermine cette force limite T0 :

Où fo est le coefficient d'adhérence, dont la valeur dépend avant tout des deux matériaux en présence et de l'état de leurs surfaces.

Glissement (frottement dynamique)Lorsque les solides glissent l'un contre l'autre, la composante tangentielle T est

indépendante de la vitesse de glissement et déterminée par la loi de Coulomb :

où f est le coefficient de frottement (de glissement), dont la valeur dépend

des deux matériaux en présence et de l'état de leurs surfaces.

Adhérence et frottement

NfT .0

NfT .

22

Loi de Coulomb On dit qu’il y a glissement (frottement dynamique) entre les solides 1 et 2, si:

Et dans ce cas la densité surfacique tangentielle au point P des forces de contact de S1 sur S2 est opposée à la vitesse de glissement de S2 par rapport à S1, ce qui se traduit par les deux relations :

De plus, on a

On dit qu’il y a adhérence (pas de glissement=frottement statique) entre les solides S1 et S2, si le vecteur de glissement au point P est nul :

01/2 PV

0/.21

0/21

12

12

SSPVSSt

SSPVSSt

p

p

21.21 SSnfSSt pp

01/2 PV 21 .21 SSnfSSt pp et

23

24

25

Des valeurs pour les coefficients d’adhérence et frottement pour quelques couples de matériaux:

Matériaux en contact Frottement f Adhérence f0

Acier sur acier De 0,1 à 0,2 De 0,15 à 0,25

Acier sur bronze De 0,12 à 0,2 De 0,15 à 0,2

Acier sur matériau de friction De 0,2 à 0,35 De 0,3 à 0,4

Cuir sur métal De 0,2 à 0,3 De 0,3 à 0,4

Pneu sur revêtement routier De 0,3 à 0,6 De 0,6 à 1,2

a

26

27

TD n°2 Exercice 1 : Solide sur un plan incliné

Considérons un solide S posé sur un plan incliné faisant un angle φ par rapport à l’horizontale, comme il est présenté sur la figure suivante.

Question:

1) Quelle condition doit vérifier le coefficient de frottement f entre le solide et le plan pour que le solide reste immobile ?

2) Cette condition dépend-elle de la masse du solide ?

S

)( 21 SSR

28

Exercice 2 : Poutre en équilibre sur deux appuis simples

On considère une poutre reposant sur deux appuis linéaires rectilignes sans

adhérence situés en A et B.

Le plan est un plan de symétrie pour la poutre et pour les charges qui lui

sont appliquées.

Le point B est situé sur et C est le milieu de AB.

La poutre est en acier, de longueur L et de section rectangulaire (largeur b et

hauteur h). Cette poutre est uniquement soumise à l'action de la pesanteur

assimilée à une charge uniformément répartie entre A et B et modélisable

par une densité linéique de force :

Déterminer les éléments de réduction des torseurs des actions mécaniques de liaison en A et B.A N:

et

Question:

(Il faudra d'abord calculer la répartition linéique de charge p, en N/mm).

29

b) Contact ponctuel

Soient deux solides (S1) et (S2) en contact ponctuel en un point P Le torseur d’action mécanique de contact est:

Le torseur cinématique du mouvement de S1 par rapport à S2 au point P est:

Avec:

est le vecteur rotation de pivotement

est le vecteur rotation de roulement.

est le vecteur vitesse de glissement

est appelé composante normale de moment

résultant au point P ou moment de pivotement.

est appelé composante tangentielle de moment

résultant au point P ou moment de roulement.

(S1)

(S1)

П

P

Ωn(S1/S2)

ΩT(S1/S2)

Ω(S1/S2)

)( 2/1 SSPV

)( 2/1 SSPV

Ω(S1/S2) Ωn(S1/S2) ΩT(S1/S2)= +

21 SSF 21 SSR

21 SSM A P P

Ω(S1/S2)

)( 2/1 SSPV )( 2/1 SS Ωn(S1/S2)

ΩT(S1/S2)

)( 21 SSM np

)( 21 SSM tp

30

Glissement

Premier cas:

Deuxième cas:

0/.

0/

2112

1221

SSPVSST

SSTSSPV

0)( 2/1 SSPV

0)( 2/1 SSPV

1212 . SSNfSST

1212 . SSNfSST (f est le facteur de frottement entre S1 et S2)

Lorsque le vecteur est nul ou pas, on a entre le torseur d’action mécanique de S1 sur S2 et le torseur cinématique du mouvement de S1 par rapport à S2 des relations analogues à celles mises en évidence dans les lois de coulomb:

)( 2/1 SSPV Ωn(S1/S2)ΩT(S1/S2)ou ou

31

Pivotement

Premier cas:

Deuxième cas:Ωn(S1/S2)=0

oSSMSS nPn 1221 ./

1212 . SSNSSM nP

1212 . SSNSSM nP

est le paramètre de résistance au pivotement entre S1 et S2, il est homogène à une longueur.

Ωn(S1/S2)=0

32

Roulement Premier cas:

Deuxième cas:

0 / 1221 SSMSS tPt

ΩT(S1/S2)=0

oSSMSS tPt 1221 ./

1212 SSNSSM tP

1212 . SSNSSM tP

ΩT(S1/S2)=0

est le paramètre de résistance au roulement entre S1 et S2, il est homogène à une longueur.

33

Tableau de quelques valeurs moyennes du paramètre de résistance au roulement

Matériaux en contact η en cm

Acier sur acier 0.005 à 0.001

Fonte grise sur acier trempé 0.05

Fonte sur sol en bon état 1

Pneus sur sol en bon état 0.5 à 2

34

Classification des liaisons élémentaires Une liaison mécanique entre deux pièces existe s'il y a contact

direct entre une ou plusieurs surfaces respectives de ces

pièces. Il en résulte un ensemble de points de contact; ces

points peuvent êtres isolés dans l'espace, disposés sur une ligne

commune ou répartis sur une surface.

la nature d’une liaison est entièrement liée à la répartition

spatiale de ces vecteurs de contact, ce qui permet de donner

une définition géométrique de la liaison.

En combinant des surfaces de forme simple, on construit une liste de cas correspondant à des liaisons élémentaires.

35

Liaison sans frottement Dans ce cas, la géométrie des surfaces considérées est supposée parfaite,

et les contacts sont sans frottements, c'est à dire sans résistance au

glissement. Autrement dit, en chaque point P de la surface de la liaison, la

densité surfacique est perpendiculaire au plan tangent à S1 et S2 en ce

point.

Nombre de degrés de liberté d’une liaison

c’est le nombre de mouvements de translation et de rotation indépendants

que la liaison autorise.

Le nombre de composantes d’effort transmises par une liaison est égal à

six moins le nombre de degrés de liberté de la liaison.

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Généralement pour les liaisons sans frottement, on rencontre deux types

de liaisons:

Liaisons simples

Une liaison mécanique simple, est une liaison obtenue par un contact entre

une surface simple unique d'une pièce avec celle, simple et aussi unique

d'une autre pièce.

Liaisons composées

Les liaisons composées ne peuvent être obtenues qu’à partir d’association

de surfaces multiples. De ce fait, il est possible de les modéliser par

assemblage de liaisons simples.

Liaisons sans frottement

37

Liaisons sans frottement

Liaisons simples Liaisons composées

Liaison ponctuelle

Liaison linéaire rectiligne

Liaison linéaire annulaire

Liaison rotule

Liaison pivot glissante

Liaison appui plan

Liaison pivot

Liaison glissière

Liaison hélicoïdale

Liaison rotule à doigt

Liaison complète

Liaison nulle

38

Le torseur d’action mécanique de contact s’écrit à l’origine du repère

placé sur chaque liaison:

Avec:

Et nous écrivons le torseur d’action mécanique avec ces composantes de la

façon suivante:

Ce torseur est appelé torseur statique transmissible par la liaison.

21 SSF 21 SSR

21 SSM o

21 SSF NZ

MY

LX

O

zyx eZeYeXSSR 21

zyx eNeMeLSSM 210 O

39

Liaison ponctuelle La liaison ponctuelle décrit un contact entre

deux solides qui se réduit à un point.

Ce contact autorise la transmission d'une

force dans la direction normale

(perpendiculaire) au plan tangent commun

aux deux surfaces en contact. On définit

ainsi son seul degré de liaison .

La normale de contact constitue l'axe principal de la liaison: la résultante

de l’action mécanique est suivant (O z)

La définition d'une liaison ponctuelle doit préciser la localisation du

point de contact et la direction de sa normale.

40

La liaison est à 5 degrés de liberté, et le torseur d’action

mécanique au point de contact O est:

Le torseur statique transmissible de

la liaison est donc :

21 SSF

21 SSR

21 SSM o

21 SSF 0

00

00

ZORemarque:En réalité, une liaison n'est jamais strictement ponctuelle. En effet la pression au point de contact serait infinie, conduisant les solides à se déformer et la zone de contact à s’élargir. Mais tant que cette surface reste très petite devant les dimensions de l'objet, il est raisonnable de considérer que la liaison est ponctuelle (d'un point de vue macroscopique). Ainsi l'appui d'un pied de chaise peut être modélisé par une liaison ponctuelle.

41

Cette liaison est obtenue lorsqu'elle présente un ensemble de points de contact alignés dont les normales sont toutes parallèles. Idéalement elle est 'association de 2 liaisons ponctuelles.

Ainsi, un point assure le contact et le deuxième le assure la tangence à la surface.

La définition complète de cette liaison doit donc préciser la situation de la ligne des points de contact, et la direction commune des normales de contact.

Liaison linéaire rectiligne Deux solides S1 et S2 sont en liaison linéaire

rectiligne si au cours de leur mouvement relatif, une

droite D2 de (S2) reste dans un plan P1 de (S1).

42

Liaison linéaire rectiligne La liaison est à 4 ddl

Le torseur statique transmissible de la liaison

est :

21 SSF

21 SSR

21 SSM o

Remarque:

Le contact suivant une ligne (d'épaisseur nulle) est improbable. Il y a déformation

sous la pression. On pourra assimiler une surface rectangulaire peu large à une

ligne de contact: Un rouleau sur son support ou une plaque posée sur un plan,

sont des cas de liaison linéaire rectiligne.

Dans ce cas aussi, on aboutit le plus souvent à une liaison réelle unilatérale.

21 SSF 0

0

00

Z

M

O

43

Liaison linéaire annulaire

21 SSR

21 SSM o

21 SSF

Deux solides S1 et S2 sont en liaison

linéaire annulaire si, au cours de leur

mouvement relatif, un point A2 de

(S2) reste sur une droite D1 de (S1).

La liaison est à 4 ddl

44

Liaison rotule Deux solides S1 et S2 sont en

liaison rotule si, au cours de leur mouvement relatif, un point A2 de (S2) reste confondu avec un point A1 de (S1).

La liaison est à 3 ddl.

21 SSR

21 SSM o

21 SSF

45

Deux solides S1 et S2 sont en

liaison appui plan si, au cours

de leur mouvement relatif, un

plan P2 de (S2) reste confondu

avec un plan P1 de (S1).


21 SSR

21 SSM o

21 SSF

Liaison appui plan

46

Liaison pivot glissant Deux solides S1 et S2 sont en

liaison pivot glissant si, au cours de leur mouvement relatif, une droite D2 liée à (S2) reste

confondue avec une droite D1

liée à (S1).

La liaison est à 2 ddl

21 SSR

21 SSM o

21 SSF

47

Liaisons composées

48

Liaison glissière Deux solides S1 et S2 sont en liaison

glissière si, au cours de leur mouvement relatif, d’une part un plan P2 de (S2) reste confondu avec un plan P1 de (S1), et d’autre part une droite D2 liée à (S2) et située dans le plan P2 reste confondue avec une droite D1 liée à (S1) et située dans le plan P1.


21 SSR

21 SSM o

21 SSF

49

La liaison linéaire annulaire est obtenue lorsque le contact est réparti suivant un ensemble de points coplanaires et dont les normales de contact concourent. Cet ensemble est un cercle si on dispose une sphère dans un cylindre de même diamètre. Alors les normales de contact se rencontrent au centre de la sphère qui se confond avec le cercle des points de contact.

Cette liaison s'oppose aux deux translations transversales (radiales par rapport au cylindre de l'exemple). Tous les autres mouvements sont libres. La définition complète de cette liaison doit préciser la position du centre et la direction de la ligne suivie par ce centre. Dans certains cas, cette direction peut être variable, comme sur l'exemple ci-dessous où la goulotte contenant la bille change de direction. D'où l'importance de la considération d'un repère local.

On obtient un équivalent en disposant deux ponctuelles au normales concourantes, par exemple un même sphère en contact sur deux plans solidaires et sécants.

En pratique, un jeu est nécessaire pour permettre l'assemblage de deux pièces. Dans le cas représenté d’une barre traversant une plaque, ce jeu autorise un débattement sensible, donc n'offre aucune résistance dans ces directions: la modélisation par une liaison annulaire est admise. On parle alors de centrage court. On admet ce modèle lorsque la longueur de l'assemblage (partie cylindrique commune) est très petite devant le diamètre ajusté. C’est ainsi la configuration obtenue au début de la pose d’un couvercle d’une casserole quand il se centre sur le bord intérieur de la casserole et qu'il peut encore pivoter dans tous les sens

50

Principe fondamental de la statique 4.1 Équilibre un solide (S) (ou un ensemble de solides) est en équilibre par

rapport à un repère (R) si chaque point de (S) reste fixe dans le temps par rapport à (R).

4.2 Repère galiléen Repère tel que pour tout solide (S) (ensemble de solide) en

équilibre par rapport à ce repère le torseur des actions mécaniques extérieures à (S) soit nul.

4.3 Principe fondamental de la statique Pour un système matériel (S), au repos ou en mouvement de

translation uniforme par rapport à un repère galiléen (g), le torseur représentant l’ensemble des actions mécaniques que le reste de l’univers applique à (S) est nul en tout point. (quel que soit le point de réduction du torseur).

51

4.4 remarques

Le principe fondamental de la statique n’est en fait qu’un cas particulier du principe fondamental de la dynamique· Pour un ensemble de solides si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul par rapport au repère galiléen, les différents solides constituant l’ensemble ne sont pas forcément en équilibre, seull’ensemble est en équilibre.

52

Exemple : isolons une paire de ciseaux que l’on manoeuvre « à vide »

Les ciseaux sont soumis à deux forces F égales et opposées. Un solide statiquement et dynamiquement équilibré autour d’un axe

D, pour lequel le torseur des efforts extérieurs est nul, peut se trouver en mouvement de rotation uniforme autour de l’axe D.

53

Exercice 3 : Étude d’une échelle simple

On considère une échelle AB, de masse m et de longueur L, posée sur le

sol en A et appuyée contre un mur en B (frottements négligeables en B). On

note l’angle φ entre l’échelle et le sol.

Questions: a) Déterminer les efforts exercés en A et en B lorsque la barre est en

équilibre. b) Soit f le coefficient de frottement entre l’échelle et le sol, quelle est la

condition sur φ pour que celle-ci reste immobile ? c) Que se passe-t-il si une personne monte à l’échelle ? Retrouver ce

résultat graphiquement.

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