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Principe Fondamental de la Statique et applications

Table des Matires

1Modlisation des liaisons

11 - Degrs de libert dun solide

12 - Liaisons lmentaires de 2 solides

33 - Modlisation dun mcanisme

4Modlisation des Actions Mcaniques

41 - Dfinition dune Action Mcanique (A.M.)

52 - Une A.M. particulire: la Force

63 - A.M. assimilables des forces

84 - Moment dune force par rapport un point

105 - Modlisation dune force par un torseur

116 - Modlisation dune A.M. quelconque par un torseur

127 - Changement du point de rduction dun torseur

128 - Torseurs particuliers

139 - A.M. transmissibles par les liaisons usuelles

16Principe Fondamental de la Statique

161 - Isolement dun systme matriel

162 - Equilibre dun systme matriel dans un repre galilen

173 - Principe fondamental de la statique

184 - Cas dun systme soumis 2 ou 3 forces

205 - Simplification plane

216 - Equilibre isostatique ou hyperstatique

227 - Dmarche de rsolution dun problme de statique

23Cinmatique

231 - Trajectoire, vitesse, acclration

252 - Mouvements plans

273 - Torseur cinmatique

29Energtique

291 - Lnergie

292 - La puissance

303 - Le principe de la conservation de lnergie

304 - Rendement dun systme

305 - Travail et puissance dune action mcanique

326 - Les diffrentes formes de lnergie mcanique

337 - Conservation de lnergie mcanique

338 - Thorme de lnergie cintique

34Dynamique

341 - Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.)

342 - P.F.D. appliqu un solide en mouvement de translation (rectiligne ou curviligne)

353 - P.F.D. appliqu un solide en mouvement de rotation autour dun axe fixe de symtrie de (S)

36Rsistance des matriaux

361 - Hypothses de la R.D.M.

362 - Torseur de cohsion dune poutre

373 - Contraintes locales dans le matriau

384 - Caractristiques mcaniques dun matriau

385 - Traction Compression

396 - Cisaillement

397 - Torsion

408 - Flexion

42Mcanique des fluides

421 - Hypothses

422 - Statique des fluides (hydrostatique)

433 - Ecoulement permanent

Modlisation des liaisons

1 - Degrs de libert dun solide

Un solide libre dans lespace possde 6 degrs de libert (ou mobilits):

- 3 translations

- 3 rotations

Ces 6 degrs de libert permettent au solide doccuper nimporte quelle position dans lespace.

Si ce solide est une pice dun systme mcanique (ex: aiguille dune montre, roue dune voiture, contact mobile dun disjoncteur) le nombre de ses degrs de libert sera limit par les liaisons quil entretient avec les autres pices du systme.

2 - Liaisons lmentaires de 2 solides

Les liaisons lmentaires sont les liaisons les plus courantes qui peuvent unir 2 pices dun mcanisme.

On peut reconnatre une liaison lmentaire entre 2 solides:

- en observant les mouvements possibles dun solide par rapport lautre

- en identifiant la nature des surfaces de contact entre les 2 solides.

Pour que les mobilits de la liaison puissent tre clairement dfinies, il faut les exprimer dans un repre qui possde une orientation particulire par rapport la liaison.

On les reprsente laide de schmas normaliss (voir tableau ci-aprs) qui permettent de modliser un mcanisme sous la forme dun schma cinmatique (comme on modlise un circuit lectrique par un schma lectrique).

Une liaison lmentaire peut tre obtenue par association dautres liaisons lmentaires (ex: glissire dun tau ralise par 2 pivots glissants).

Toute liaison lmentaire peut-tre obtenue par association de liaisons ponctuelles.

Nature de la liaison et position par rapport au repre Schmatisation spatialeSchmatisation planeMouvements possibles dans le repre donn

Encastrement

Glissire d'axe (A,

)

EMBED Word.Picture.6

Pivot d'axe (A,

)

Pivot glissant d'axe (A,

)


Hlicodale d'axe (A,

)


Rotule de centre A

Linaire annulaire de centre A et d'axe (A,

)

Appui plan de normale (A,

)

Linaire rectiligne de normale (A,

) et de droite de contact (A,

)


Ponctuelle de normale (A,

)

3 - Modlisation dun mcanisme

( But de la modlisation:la modlisation consiste reprsenter un mcanisme de faon simplifie afin dtudier son comportement mcanique.

( Mthode gnrale pour modliser un mcanisme:

EtapesConseilsExemple du serre-joint

1) Reprer quels sont les diffrents groupes cinmatiques (ou sous-ensembles cinmatiquement lis ou encore classes dquivalence).Reprer les liaisons encastrement puis colorier dune mme couleur toutes le pices lies entre elles.

Lister les pices composant chacun des groupes:

A = { 1, 3, }

B = { 2,5, }

2) Identifier la nature des liaisons existant entre les groupes pour raliser le graphe des liaisons.

Pour reconnatre une liaison entre 2 groupes:

- observer les mobilits possibles entre ces 2 groupes sans tenir compte des mobilits supprimes par des liaisons avec dautres groupes.

- identifier la nature de la surface de contact entre les 2 groupes

3) Etablir le schma cinmatique du mcanisme en utilisant la reprsentation normalise des liaisons.

Il est inutile de respecter les dimensions.

Par contre il faut absolument respecter la position relative et lorientation des liaisons.

4) Rsoudre un problme technique en appliquant les lois de la mcanique.a cest pour plus tard Ex: connaissant leffort de serrage exerc par le patin D sur la pice serrer, on dsire connatre leffort exerc par le coulisseau B sur le mors fixe A.

Modlisation des Actions Mcaniques

1 - Dfinition dune Action Mcanique (A.M.)

Une A.M. est un phnomne physique capable de:

On distingue:

- Les A.M. de contact ou surfaciques, exerces par un solide sur un autre solide par lintermdiaire de leur surface de contact.

- Les A.M. distance ou volumique, qui sexercent sur tous les lments de volume du solide sans quil y ait besoin de contact (ex: action de la pesanteur, forces magntiques).

Remarque importante:

Si un systme 1 exerce sur un systme 2 une A.M., alors le systme 2 exerce sur le systme 1 une A.M. exactement oppose.

Cest ce que lon appelle le principe des actions rciproques ou la troisime loi de Newton.

Ex: une balle de tennis exerce sur la raquette une A.M. exactement oppose celle quexerce la raquette sur la balle.

2 - Une A.M. particulire: la Force

2.1 Dfinition

Une force est laction quexerce un solide sur un autre solide lorsquils sont en liaison ponctuelle.

2.2 Caractristiques

La force est dfinie par:

( un point dapplication: le point de contact entre les 2 solides (ici le point A)

( une direction: normale (=perpendiculaire) au plan tangent au contact.

( un sens: du solide 1 vers le solide 2 sil sagit de lA.M. de 1 sur 2.

( une intensitexprime en Newton (N)

2.3 Modle mathmatique

Le modle mathmatique de la force est le vecteur li ou pointeur, cest dire un vecteur auquel on associe un point origine.

Pour la force exerce en A par le solide 1 sur le solide 2, on utilisera la notation suivante:

dont les proprits algbrique sont les suivantes:

Coordonnes du point dapplication

(en mm ou en m)Composantes algbriques du vecteur

(en N)Norme du vecteur = intensit de la force

(en N)

En 2D

En 3D

notation simplifie:

3 - A.M. assimilables des forces

3.1 Le poids dun solide

La pesanteur ou attraction terrestre agit sur chaque petit lment constituant un solide (A.M. distance ou volumique).

La somme de ces petites actions mcaniques lmentaires est quivalente une force dont les caractristiques sont les suivantes:

( point dapplication:G, centre de gravit du solide

( direction:Verticale

( sens:Vers le bas

( intensit: en Newton (N)

: masse du solide en Kg

: acclration de la pesanteur en m.s-2

mais on prendra (2% derreur)

Cette force note sappelle le poids du solide:

3.2 Les forces de pression

Un fluide sous pression (air, huile, ) en contact avec un solide exerce sur chaque lment de surface du solide une action mcanique lmentaire (A.M. de contact ou surfacique).

La somme de toutes ces A.M. lmentaires est quivalente une force dont voici les proprits:

( point dapplication:C, centre gomtrique de la surface en contact avec le fluide

( direction:normale (perpendiculaire) la surface

( sens:du fluide vers la surface


: pression du fluide en Pa (Pascal); 1 Pa = 1 N/m2

: surface de contact en m2

3.3 Force exerce par un ressort hlicodal

Un ressort hlicodal se comprime ou s'tire proportionnellement l'effort qui lui est appliqu.

La force applique sur le ressort a les proprits suivantes:

( point dapplication:extrmit du ressort

( direction:le long de l'axe du ressort

( sens:dpend du sens de dformation du ressort (compression ou extension)


: raideur du rssort en N/mm

: flche (dformation du ressort) en mm

Remarque : la raideur d'un ressort dpend du matriau qui le compose (gnralement de l'acier spcial dit "acier ressort").

Les autres caractristiques d'un ressort hlicodal qui font varier sa raideur sont:

D: diamtre denroulement du ressort (k diminue si D augmente)

d: diamtre du fil du ressort (k augmente si d augmente)

n: nombre de spires du ressort (k diminue si n augmente)

4 - Moment dune force par rapport un point

4.1 Signification physique du moment dune force

Le moment dune force par rapport un point est un outil qui permet de mesurer la capacit de cette force crer un mouvement rotation autour de ce point.

Ex: le moment de la force de lutilisateur par rapport au point A est sa capacit faire tourner la porte autour du point A:

4.2 Modle mathmatique du moment dune force

On considre une force applique en un point B et un point A quelconque.

Le moment de par rapport au point A est un vecteur not dont les caractristiques sont les suivantes:

( direction:perpendiculaire au plan contenant le point A et la force :

( sens:on applique la rgle du tire-bouchon en considrant que fait tourner le tire-bouchon autour de A.:

( intensit:elle sexprime en Newton mtre (N.m) et on a 3 faons quivalentes de la dterminer:

4.3 Dtermination analytique du moment dune force

4.3.1. un outil mathmatique: le produit vectoriel

Le produit vectoriel est une opration entre 2 vecteurs qui donne comme rsulta un vecteur.

On note qui se lit: V1 vectoriel V2

Si on a alors les caractristiques de sont les suivantes:

( direction:Perpendiculaire et donc au plan dfini par et

( sens :Rgle du tire-bouchon quand on rabat sur

( intensit:

((: angle entre les 2 vecteurs)

4.3.2. calcul analytique du produit vectoriel

on a les vecteurs suivants:

si

alors

mthode mnmotechnique:

4.3.3. dtermination du moment laide du produit vectoriel

Le moment par rapport au point A de la force applique en B a pour expression:

si les coordonnes des vecteurs et des points sont les suivantes:

alors on a:

5 - Modlisation dune force par un torseur

Nous avons vu quune force tait compltement dfinie par:

- un point dapplication (ex: B)

- un vecteur (ex: )

Elle peut tre aussi compltement dfinie par:

- un vecteur (ex: )

- son moment par rapport un point quelconque (ex: )

On peut alors modliser la force laide dun torseur:

6 - Modlisation dune A.M. quelconque par un torseur

Toute action mcanique (force ou autre) exerce sur un systme S par une entit E extrieure S peut tre modlise par un torseur:

est la rsultante de lA.M. de E sur S

est le moment rsultant au point A de lA.M. de E sur S

Remarques:(Un mme torseur peut scrire en nimporte quel point:

son expression varie mais il modlise toujours la mme A.M.

(La rsultante dun torseur est invariante (ne change pas) quel que soit le point auquel on exprime le torseur.

( est souvent la somme des torseurs des forces lmentaires quexerce E sur S.

On peut faire la somme de 2 torseurs uniquement sils sont exprims au mme point (mme point de rduction). Dans ce cas on additionne les rsultantes entre elles et les moments entre eux:

(Le Principe des actions rciproques stipule que lA.M. dun systme E sur un systme S est exactement oppose lA.M. de S sur E:

7 - Changement du point de rduction dun torseur

Lorsquon change le point de rduction dun torseur, seule lexpression du moment rsultant varie.

La loi du transport des moments permet alors, connaissant le moment de lA.M. en un point, de dterminer le moment en nimporte quel point:

8 - Torseurs particuliers

8.1 Le torseur glisseur

Un torseur glisseur est un torseur qui peut toujours scrire avec un moment rsultant nul, condition quon lexprime en un point dune droite particulire appele axe principal du torseur:

si

: axe principal du torseur

ex: Les A.M. de type force sont modlisables par des glisseurs. En effet, quelle que soit le point de la droite daction de la force o lon exprime le torseur, son moment rsultant est nul:

car

8.2 Le torseur couple

Un torseur couple est un torseur dont la rsultante est nulle quel que soit le point auquel on lexprime:

Daprs la loi du transport des moments:

car

Donc lexpression dun torseur couple reste la mme quel que soit son point de rduction.

ex: lA.M. quexerce le stator dun moteur lectrique sur son rotor peut tre modlise par un torseur couple

9 - A.M. transmissibles par les liaisons usuelles

9.1 Cas des liaisons parfaites

On dit que des liaisons sont parfaites si on considre quil ny pas de frottement, cest dire que les dplacements autoriss par la liaison se font sans aucune rsistance.

Lorsque 2 pices (ou groupes cinmatiques) sont lies par une liaison usuelle parfaite, la forme de lA.M. quelles peuvent exercer lune sur lautre dpend de la nature de la liaison (voir tableau).

Si la liaison permet un mouvement de translation suivant une direction, aucune rsultante ne peut alors tre transmise suivant cette direction.

Si la liaison permet un mouvement de rotation autour dun axe, aucun moment ne peut alors tre transmis selon cet axe.

Nature de la liaison et position par rapport au repreSchmatisation spatialeSchmatisation planeMouvements possiblesTorseur transmissible

au point A

Encastrement

R quelconque

Glissire d'axe (A,

)

Pivot d'axe (A,

)

Pivot glissant d'axe (A,

)

Rotule de centre A

Linaire annulaire de centre A et d'axe (A,

)

Appui plan de normale (A,

)

Linaire rectiligne de normale (A,

) et de droite de contact (A,

)

Ponctuelle de normale (A,

)

9.2 Cas des contacts avec frottement

Jusqu prsent nous avons considr les liaisons comme parfaites, cest dire sans efforts dus au frottement.

Dans la ralit, les frottements vont crer des efforts supplmentaires qui sopposent aux dplacements.

ex: contact ponctuel

Sans frottementAvec frottement

est normale la surface de contact. est comprise dans un cne de demi-angle au sommet par rapport la normale au contact.

Le coefficient de frottement dpend essentiellement du couple de matriaux en contact.

Tant que est lintrieur du cne de frottement dangle , il ny a pas glissement possible entre les solides 1 et 2 (on dit quil y a adhrence).

Lorsquil y a glissement entre 1 et 2, se trouve en limite du cne dadhrence et fait donc un angle avec la normale au contact:

Leffort rel C1/2 se dcompose en un effort normal au contact N et un effort tangentiel au contact T.

On a donc:

Principe Fondamental de la Statique

1 - Isolement dun systme matriel

On appelle Systme Matriel une quantit de matire dont la masse reste constante pendant quon ltudie.

Un systme matriel peut tre:

- un solide (ex: mors mobile de ltau)

- un ensemble de solides (ex: ltau complet)

- une masse de fluide (ex: leau dun barrage E.D.F.)

- des solides et des fluides (ex: un vrin hydraulique)

Isoler un systme matriel consiste diviser lunivers en 2 parties:

- le systme matriel considr, not .

- le milieu extrieur , cest dire tout ce qui nest pas et qui est susceptible dagir sur lui, que lon note .

On distingue alors:

- les A.M. intrieures , qui agissent entre les lments de .

- les A.M. extrieures , qui sont exerces par sur .

Lensemble des A.M. extrieures peut tre modlise par un unique torseur expim en un point quelconque:

2 - Equilibre dun systme matriel dans un repre galilen

Un systme matriel est en quilibre par rapport un repre sil est immobile dans ce repre.

Un repre est dit galilen sil est fixe ou en mouvement de translation rectiligne vitesse constante dans lunivers.

Pour nos tudes de mcanique, les repres lis la Terre ou en translation rectiligne vitesse constante par rapport la Terre seront considrs comme galilens.

Ex:( un repre li un vhicule qui roule en ligne droite vitesse constante sera considr comme galilen.

( un repre li un vhicule qui prend un virage, qui freine ou qui acclre ne pourra pas tre considr comme galilen.

3 - Principe fondamental de la statique

Si un systme matriel S est en quilibre dans un repre galilen, alors le torseur des A.M. extrieures est gal au torseur nul:

Ce qui se traduit par 2 thormes:

( Thorme de la rsultante statique:

Si le systme est en quilibre alors la somme des rsultantes des A.M. extrieures est nulle.

( Thorme du moment statique:

Si le systme est en quilibre alors la somme des moments des A.M. extrieures par rapport un mme point est nulle.

Remarques:(Lapplication du P.F.S. fournit 6 quations:

thorme de la rsultante statique:

thorme du moment statique:

(Attention!

Si le torseur des A.M. extrieures un systme est nul, le systme nest pas forcment en quilibre.

Cest la premire loi de Newton ou principe de linertie (initialement formul par Galile)

Ex: une paire de ciseaux

Si lutilisateur exerce 2 forces opposes sur les ciseaux, le torseur des A.M. extrieures aux ciseaux est nul, mais le systme nest pas en quilibre (les ciseaux vont se fermer vitesse constante)

4 - Cas dun systme soumis 2 ou 3 forces

4.1 Systme soumis 2 forces

Soit un systme S en quilibre sous laction de 2 forces et appliques en A et en B.

Lapplication du P.F.S. se traduit par:

( Le thorme de la rsultante statique:

do

Conclusion:Les 2 forces sont opposes (mme norme, mme direction, sens contraire)

( Le thorme du moment statique:

La somme des moments de chacune de ces forces par rapport un point quelconque est nulle.

ex:

On doit avoir:

or car A est le point dapplication de la force

donc

or

comme alors

Conclusion:Les 2 forces ont mme droite daction.

En rsum:Si un systme est en quilibre sous laction de 2 forces alors ces 2 forces sont opposes et ont mme droite daction.

4.2 Systme soumis 3 forces

Soit un systme S en quilibre sous laction de 3 forces quelconques , et appliques aux points A, B et C.

Le P.F.S. se traduit alors par:

( Le thorme de la rsultante statique:

Ceci se traduit graphiquement par le fait que le triangle form par les 3 vecteurs mis bout bout est ferm et donc que les 3 vecteurs sont contenus dans un mme plan.

Conclusion:La somme vectorielle des 3 vecteurs force est nulle et ces 3 vecteurs sont donc coplanaires.

( Le thorme du moment statique:

La somme des moments de chacune des 3 forces par rapport un point quelconque est nulle.

ex:Soit I le point dintersection des droites daction de et

On doit avoir:

or et car I est sur les droites daction de et

donc

donc

comme alors

Conclusion:Les droites daction des 3 forces sont concourantes.

Attention,

cas particulier:

Si 2 des 3 forces sont parallles alors elles ne peuvent pas tre concourantes.

Dans ce cas, la 3me force est forcment parallle aux 2 autres pour que leur somme vectorielle puisse tre nulle.

De plus pour que le thorme du moment statique soit respect, les 3 forces doivent se trouver dans un mme plan.

En rsum:Si un systme est en quilibre sous laction de 3 forces non parallles, alors ces 3 forces sont concourantes, coplanaires et de somme vectorielle nulle.

Si un systme est en quilibre sous laction de 3 forces dont 2 sont parallles, alors ces 3 forces sont parallles, coplanaires et de somme vectorielle nulle.

5 - Simplification plane

Si la gomtrie des liaisons dun systme matriel prsente un plan de symtrie et que les A.M. extrieures exerces sur ce systme sont symtriques par rapport ce plan, alors on peut admettre que le mcanisme est plan, cest dire que:

- les rsultantes des A.M. extrieures sont contenues dans le plan de symtrie- les moments des A.M. extrieures sont perpendiculaires au plan de symtrie.

Le plan (O,x,y) est plan de symtrie de la gomtrie et des A.M. extrieurs donc toutes les A.M. scrivent sous la forme suivante:

Lapplication du PFS ne ncessite donc que la rsolution de 3 quations:

6 - Equilibre isostatique ou hyperstatique

6.1 Dfinition

Un systme matriel est en quilibre isostatique si les composantes inconnues des torseurs des A.M. extrieures peuvent tre dtermines uniquement avec les 6 quations fournies par le P.F.S. (3 quations dans le cas dun systme plan).

Dans le cas contraire (plus dinconnues que dquations fournies par le PFS), on dit que le systme est en quilibre hyperstatique.

6.2 Comment reconnatre un systme en quilibre hyperstatique?

Si le systme que lon isole possde plus de liaisons lmentaires avec lextrieur que le strict minimum permettant dassurer ses mobilits, alors il est en quilibre hyperstatique.

6.3 Exemples de systmes en quilibre iso ou hyperstatique

Systmes isostatiques:

- la porte avec une seule charnire

- un tabouret en appui sur 3 pieds

Systmes hyperstatiques:

- la porte avec plus dune charnire

- le coulisseau de la carrelette avec ses 2 liaisons pivot glissant

- un tabouret en appui sur 4 pieds

6.4 Comment rsoudre un problme hyperstatique?

( En formulant des hypothses simplificatrices

ex: pour le cric hydraulique on fait lhypothse que les A.M. sur les roues sont identiques de chaque ct (hypothse de symtrie)

ex: pour la carrelette on a remplac les 2 pivots glissants par une glissire

( En faisant appel des calculs dlasticit des matriaux (hors programme).

6.5 Avantages et inconvnients des systmes iso ou hyperstatiques

AvantagesInconvnients

Systme Isostatique( Calcul ais des efforts ext.

( Montage facile

( Positionnement relatif peu prcis des liaisons( Solidit et rigidit rduites ou obtenues en apportant beaucoup de matire.

Systme Hyperstatique( Solidit et rigidit avec peu de matire( Difficults de calcul des efforts

( Montage parfois dlicat

( Ncessit de ralisation des liaisons avec plus de prcision.

7 - Dmarche de rsolution dun problme de statique

Remarques:(Pour simplifier la rsolution il est conseill dappliquer le thorme du moment statique au centre dune liaison dont le torseur associ comporte beaucoup dinconnues. On limite ainsi le nombre dinconnues dans les quations obtenues.

(Lorsquun systme comporte beaucoup de pices isoler, il est conseill de commencer par isoler les solides soumis 2 forces.

Ceci permet de dterminer rapidement la direction de ces forces et simplifie les calculs par la suite.

Cinmatique

1 - Trajectoire, vitesse, acclration

1.1 Position dun solide

La position dun solide par rapport un repre R est dfinie par les coordonnes de ses diffrents point dans ce repre.

Ces coordonnes varient en fonction du temps.

1.2 Trajectoire dun point et abscisse curviligne

La trajectoire dun point est lensemble des positions quil a occup pendant un intervalle de temps donn.

Labscisse curviligne s est la longueur de larc allant de lorigine de la trajectoire A0 (position de A t=0) au point A (position linstant prsent).

1.3 Vitesse dun point

1.3.1. vitesse moyenne

La vitesse moyenne dun point A entre 2 dates t1 et t2 est:

en m/s (ou m.s-1)

1.3.2. vecteur vitesse instantanne

Les proprits du vecteur vitesse du point A linstant t sont les suivantes:

point dapplication: A (position linstant t)

direction: tangente la trajectoire

sens: sens de parcours de la trajectoire

intensit:

en m/s (ou m.s-1)

Le vecteur vitesse instantane est en fait la drive par rapport au temps du vecteur position:

avec donc

1.4 Acclration dun point

1.4.1. vecteur acclration instantane

ou

intensit en m/s2 (ou m.s-2)

1.4.2. acclration normale et tangentielle

Le vecteur acclration instantane peut toujours se dcomposer en:

- un composante perpendiculaire la trajectoire: lacclration normale

- un composante tangente la trajectoire: lacclration tangentielle

( est dans le sens de la trajectoire si le point A acclre et dans le sens oppos sil ralentit.

( est toujours dirige vers lintrieure de la courbure de la trajectoire.

R: rayon de courbure de la trajectoire

1.5 Mouvements particuliers dun point

1.5.1. Mouvement rectiligne uniforme (M.R.U.)

La trajectoire du point est rectiligne et sa vitesse est constante.

Si est laxe de la trajectoire, lquation des abscisses est:

avec

: abscisse du point sur en fonction du temps

: vitesse constante (indpendante de )

: abscisse

1.5.2. Mouvement rectiligne uniformment vari (M.R.U.V.)

La trajectoire est rectiligne et lacclration est constante (positive ou ngative).

Si est laxe de la trajectoire,

( lquation de la vitesse est:

( lquation des abscisses est:

avec

: vitesse en fonction du temps

: abscisse du point sur en fonction du temps

: acclration constante (indpendante de )

: vitesse

: abscisse

2 - Mouvements plans

2.1 Mouvement de translation

Le corps 1 est en mouvement de translation par rapport au sol 0.

( Les vecteurs vitesse de 1/0 sont identiques en tout point (appartenant ou non physiquement au solide 1).

On distingue:

- la translation rectiligne (les trajectoires des points sont des droites parallles).

- la translation quelconque (les trajectoires des points sont quelconques mais toutes identiques).

2.2 Mouvement de rotation

Le rotor 2 est en mouvement de rotation par rapport au corps 1.

( Les vecteurs vitesse de 2/1 sont perpendiculaires la droite joignant leur origine et le centre de rotation I.

Intensit:

V = (.r = 2(N.r( en rad/s

N en tour/s

2.3 Composition de mouvement

Le mouvement de 2/0 est la composition du mouvement de 2/1 et du mouvement de 1/0.

En tout point A on a:

De faon gnrale on a:

Cest la loi de composition des vitesses.

2.4 Centre instantan de rotation (C.I.R.)

Pour tout mouvement dun solide par rapport un autre qui nest pas une translation rectiligne pure, il existe tout instant un point o la vitesse est nulle, cest le C.I.R. (Centre instantan de rotation).

Tous les vecteurs vitesse de ce mouvement sont perpendiculaires la droite joignant leur origine et le C.I.R.

2.5 Equiprojectivit des vecteurs vitesse

Quel que soit le mouvement entre 2 solide, les projections orthogonales de 2 vecteurs vitesse quelconques de ce mouvement sur laxe joignant leurs origines sont identiques.

On dit quil y a quiprojectivit du champ des vecteurs vitesse.

3 - Torseur cinmatique

3.1 Dfinition

Le torseur cinmatique permet de dfinir compltement un instant donn le mouvement dun solide (2) par rapport un autre (1):

3.2 Changement de point de rduction

Lorsquon connat le torseur cinmatique du mouvement dun solide en un point, on peut le dterminer en nimporte quel point:

avec

3.3 Cas particuliers

3.3.1. Expression du torseur au C.I.R.

Au C.I.R. du mouvement de 2/1 quon appelle I2/1, la vitesse est nulle:

do

En ralit, dans lespace il y a une infinit de C.I.R. le long dun axe parallle . On parle daxe instantan de rotation.

3.3.2. Torseur dun mouvement de translation

Dans le cas dune translation de 2/1, le vecteur rotation est nul:

avec

Lexpression du torseur est la mme en nimporte quel point (la vitesse est identique en chaque point du solide).

Energtique

1 - Lnergie

Lnergie est une grandeur physique qui peut donner naissance une action (dplacer chauffer, clairer, casser, )

Elle peut prendre plusieurs formes: thermique, mcanique, lectrique, chimique, nuclaire,

Dans les systmes que nous tudierons, on appellera machine tout organe qui transformera lnergie dune forme une autre.

Exemple de chane de transformation dnergie:

locomotive diesel-lectrique

Lnergie se note W (de langlais Work = travail), son unit est le joule (J).

2 - La puissance

La puissance exprime la variation dnergie par rapport au temps:

Elle sexprime en watt (W). 1 W = 1 J/s

Par convention, si on isole une machine, la puissance quelle reoit est positive, celle quelle fournit est ngative. Exemple du moteur lectrique:

3 - Le principe de la conservation de lnergie

Lnergie peut se transformer mais ne peut jamais disparatre. Si on isole une machine qui ne stocke pas dnergie, elle doit donc en fournir autant quelle en reoit. Dans lexemple prcdent du moteur lectrique on doit donc avoir:

4 - Rendement dun systme

Le rendement ( (ta) dune machine est le rapport entre la puissance utile fournie par celle-ci et la puissance absorbe:

avec

Aucun systme ntant parfait, il y a toujours de lnergie perdue, gnralement par effet joule (chaleur). On a donc toujours:

Dans une chane dnergie (voir exemple de la locomotive diesel-lectrique) le rendement total de la chane est le produit des rendement de chacune des machines la constituant:

5 - Travail et puissance dune action mcanique

5.1 Travail et puissance dune force

5.1.1. Travail dune force

Le travail dune force est lnergie dveloppe par une force pour contribuer un dplacement dans un repre.

Il sexprime en joules et il est gal au produit scalaire du vecteur force par le vecteur dplacement de son point dapplication.

Exemple: travail dune force pour un dplacement de A vers B:

avec et

alors

Lintensit et le signe du travail dpendent de lorientation de la force par rapport au dplacement:

force et dplacement dans le mme sens

force et dplacement orthogonaux

force et dplacement en sens opposs

Travail moteur

Travail nul

Travail rsistant

5.1.2. Travail lmentaire et puissance dune force

Le travail lmentaire dune force effectuant un dplacement lmentaire est:

La puissance instantane dveloppe par la force est alors:

or est la vitesse instantane du point dapplication de la force, do:

5.2 Puissance dune A.M. quelconque sur un dplacement quelconque

De faon gnrale, si un solide S se dplace dans un rfrentiel R avec un champ de vitesses et quil est soumis une A.M. extrieure , alors la puissance dveloppe par cette action mcanique sera gale au comoment du torseur daction mcanique par le torseur cinmatique:

5.3 Expression du travail et de la puissance dans les cas les plus simples

Action mcaniqueForce

Couple

MouvementDplacement vitesse colinaire la force Rotation dangle vitesse angulaire autour du mme axe que le couple

Travail

Puissance

6 - Les diffrentes formes de lnergie mcanique

6.1 Energie potentielle de pesanteur

Un corps soumis la pesanteur acquiert de lnergie potentielle (capacit fournir de lnergie) lorsquil slve en altitude. Il pourra par exemple restituer cette nergie en retombant au sol.

Lexpression de lnergie potentielle de pesanteur est alors:

avec

: masse du solide considr (en kg)

: acclration de la pesanteur (=9.81 m.s-2)

: altitude du centre de gravit du solide (en m)

remarque: laltitude est choisie arbitrairement.

6.2 Energie potentielle lastique

Un ressort (ou autre corps lastique) quon comprime ou quon tire acquiert de lnergie potentielle quil pourra librer en revenant a sa position initiale.

Pour un ressort hlicodal, lnergie potentielle lastique est:

avec

: raideur du ressort en N/m

: longueur vide du ressort en m

: longueur du ressort comprim ou tendu en m

6.3 Energie cintique

Un solide en mouvement possde une nergie appele nergie cintique.

( Pour un solide de masse en mouvement de translation avec une vitesse , elle sexprime de la faon suivante:

( Pour un solide en mouvement de rotation autour dun axe avec une vitesse angulaire et dont le moment dinertie (voir chapitre sur la dynamique) autour de est , elle sexprime de la faon suivante:

( Pour un solide en mouvement quelconque, lnergie cintique sera:

avec

: masse du solide

: vitesse de son centre de gravit (ou centre dinertie)

: moment dinertie du solide autour de laxe parallle au vecteur rotation passant par le centre de gravit .

: vitesse de rotation du solide (rad/s)

7 - Conservation de lnergie mcanique

Si un systme est isol (pas dchange dnergie avec lextrieur) alors son nergie mcanique totale reste constante:

8 - Thorme de lnergie cintique

Dans un repre (R) galilen, la variation dnergie cintique dun solide entre les dates t1 et t2 est gale la somme des travaux des A.M. extrieures appliques sur (S) entre ces 2 dates:

En appliquant ce thorme sur un intervalle de temps lmentaire on a:

la puissance des A.M. extrieures est gale la drive de lnergie cintique.

Dynamique

1 - Principe fondamental de la dynamique (P.F.D.)

Cest la deuxime loi de Newton (ou thorme du centre dinertie) : 1.1 P.F.D. appliqu un point matriel

On appelle point matriel un point (sans volume) affect dune masse.

On considre un systme matriel lmentaire (S) constitu uniquement dun point matriel M de masse m.

(S) est soumis des A.M. extrieures modlises par le torseur et il subit une acclration par rapport un repre galilen R (voir chapitre sur le P.F.S.).

En un point quelconque A, le principe fondamental de la dynamique (P.F.D.) sexprime alors de la faon suivante:

1.2 P.F.D. appliqu un systme matriel

Un systme matriel (S) quelconque de masse m peut tre considr comme une somme de points matriels de masses miavec

On appelle G le centre de gravit de (S).

Le P.F.D. appliqu (S) sexprime alors de la faon suivante en un point A quelconque:

les acclrations tant comme prcdemment par rapport un rfrentiel galilen.

2 - P.F.D. appliqu un solide en mouvement de translation (rectiligne ou curviligne)

2.1 Rduction en un point A quelconque

2.2 Rduction en G centre de gravit de S

3 - P.F.D. appliqu un solide en mouvement de rotation autour dun axe fixe de symtrie de (S)

3.1 Moment dinertie dun solide par rapport un axe

3.1.1. dfinition

Soit la masse dun point matriel lmentaire M appartenant un solide (S)

On considre un axe . Soit la distance entre M et .

On appelle moment dinertie de (S) par rapport laxe le scalaire suivant:

3.1.2. quelques valeurs particulires connatre

Cylindre de rvolution plein et homogne

Enveloppe cylindrique homogne de faible paisseur

3.2 P.F.D. exprim en un point O de laxe de rotation

est lacclration angulaire de (S) autour de .

O est un point quelconque de laxe d rotation qui est aussi un axe de symtrie de (S).

Rsistance des matriaux

1 - Hypothses de la R.D.M.

La rsistance des matriaux (R.D.M.) se base sur un certain nombre dhypothses simplificatrices:

( Le matriau est homogne (pareil partout) et isotrope (mme proprits dans toutes les direction, ce qui nest pas le cas des matriaux composites)

( Les pices tudies sont assimilables des poutres cest dire:

- grande longueur par rapport aux autres dimensions

- forme droite (ou trs faiblement courbe)

- section constante (ou variant trs progressivement)

- existence dun plan de symtrie dans le sens de la longueur.

( Les actions mcaniques sont comprises dans le plan de symtrie de la poutre ou sont symtriques par rapport celui-ci.

( Les dformations sont faibles donc on suppose que les points dapplication des A.M. ne bougent pas aprs dformation.

2 - Torseur de cohsion dune poutre

Le torseur de cohsion modlise laction mcanique dune partie de la poutre sur une autre partie de la poutre, de part et dautre dune coupure fictive.

Cest la somme de toutes les A.M. lmentaires quexercent les particules de matire (atomes, molcules) pour assurer la cohsion du matriau.

3 - Contraintes locales dans le matriau

LA.M. de cohsion se traduit en diffrents points de la section tudie par des contraintes locales.

Ces contraintes peuvent tre de 2 types:

- contraintes normales ( , perpendiculaires la section.

- contraintes tangentielles ( , parallles la section.

( et ( sexpriment en pascal (Pa) ou mga-pascal (Mpa)

1 Pa = 1 N/m21 MPa = 1 N/mm2

4 - Caractristiques mcaniques dun matriau

Suivant lintensit des contraintes quon lui applique le matriau des comportements diffrents:

- dformations lastiques: le matriau se dforme sous la contrainte puis revient en position initiale lorsquon supprime les efforts.

- dformations plastiques: le matriau se dforme sous la contrainte et reste dform lorsquon supprime les efforts.

- rupture: sous la contrainte, le matriau se rompt.

Pour caractriser chaque matriau on utilise alors les paramtres suivants:

E: module de Young (coefficient dlasticit longitudinale)

G: module de Coulomb (coefficient dlasticit transversale)

(e et (e : contraintes limites de comportement lastique

(r et (r : contraintes de rupture.

Exemples de valeurs (approximatives, varient en fonction des alliages et traitements):

MatriauE (MPa)(e (MPa) (r (MPa)G (MPa)(e (MPa)(r (MPa)

Acier dusage courant20000025040080000(e/2(r/2

Acier spciaux20000040075080000(e/2(r/2

Fonte10000020030040000(r

Aluminium (Duralumin)7200024032000

Btoncomp. 15

trac. 1,5

Polyamide183049

5 - Traction Compression

5.1 Relation Sollicitation Contrainte

N: effort normal en N

S: surface de la section en m2

La contrainte normale engendre est identique dans toute la section:

5.2 Loi de comportement lastique

E: module de Young en Pa

: allongement relatif (sans unit)

6 - Cisaillement


T: effort tranchant en N

S: surface de la section en m2

La contrainte tangentielle engendre est identique dans toute la section:


G: module de Coulomb en Pa

: glissement transversal relatif (sans unit)

7 - Torsion

7.1 Moment quadratique polaire

7.1.1. dfinition

Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport au point O est:

Io = (2 . S

7.1.2. quelques expressions usuelles


Mt: moment de torsion en Nm

IG: moment quadratique polaire de la section en m4

(: distance au centre de la section en m

La contrainte tangentielle engendre est nulle au centre de la section (fibre neutre) et est de plus en plus leve lorsquon sen loigne.


G: module de Coulomb en Pa

: angle de torsion unitaire en rad/m

IG: moment quadratique polaire de la section en m4

8 - Flexion

8.1 Moment quadratique par rapport un axe

8.1.1. dfinition

Le moment quadratique de la surface (S) par rapport laxe (Ox) est:

IOx = y2 . S

8.1.2. quelques expressions usuelles

8.1.3. relation entre moment quadratique polaire et axial

On a: = x2 + y2

donc : IO = .S = x2.S + y2.S

do: IO = IOx + IOy


Mfz: moment de flexion en Nm

IGz: moment quadratique de la section par rapport laxe (Gz) en m4

y: distance par rapport laxe (Gz) en m

La contrainte normale engendre est nulle le long de laxe (Gz) (fibre neutre) et est de plus en plus leve lorsquon sen loigne.


Mfz: moment de flexion en Nm

E: module de Young en Pa

IGz: moment quadratique par rapport laxe z de la section en m4

f: flche (cart verticale par rapport la position sans sollicitation) en m

f: drive seconde de la flche par rapport labscisse x

Pour obtenir lexpression de la flche, on intgre 2 fois la formule prcdente. Les constantes qui apparaissent lors des intgrations sont dtermines grce aux conditions aux limites.

Mcanique des fluides

1 - Hypothses

Tous les fluides que nous tudierons seront considrs comme incompressible, cest dire que leur masse volumique reste constante:

avec

: masse en kg

: volume en m3

: masse volumique en kg/m3

Les liquides comme leau ou lhuile pourront tre considrs comme des fluides incompressibles. Les gaz comme lair ne pourront pas tre considrs comme des fluides incompressibles.

2 - Statique des fluides (hydrostatique)

2.1 Pression dun fluide

2.1.1. dfinition

La pression en un point quelconque dun fluide caractrise la force lmentaire exerce sur une surface lmentaire de fluide:

avec

force lmentaire en N

surface lmentaire en m2

pression en Pa (ou N/m2)

2.1.2. units usuelles

Lunit lgale est le pascal: 1 Pa = 1 N/m2

mais on rencontre souvent:

- le mgapascal: 1 MPa = 1 N/mm2

- le bar: 1 bar ( 105 Pa ( 0,1 MPa ( 0,1 daN/cm2

1 bar quivaut la pression atmosphrique terrestre au niveau de la mer.

2.1.3. pression relative (ou effective)

Cest la pression couramment indique par les appareils de mesure. Cest la diffrence entre la pression absolue (relle) et la pression atmosphrique:

La pression dun pneumatique dautomobile sexprime par exemple en pression relative.

2.2 Pression dans un fluide soumis lattraction terrestre

Considrons 2 points A et B dans un fluide des altitudes diffrentes et . Les pressions et respectivement au point A et B sont alors lies par la relation suivante:

ou avec

: masse volumique du fluide en kg/m3

: acclration de la pesanteur

2.3 Thorme de Pascal

Toute variation de pression en un point dun fluide au repos entrane la mme variation de pression en tout point du fluide.

3 - Ecoulement permanent

3.1 Dbit dun fluide dans une conduite

3.1.1. dbit volumique

avec

: section de la conduite en m2

: vitesse (ou clrit) du fluide dans la conduite en m/s

: dbit volumique en m3/s

3.1.2. dbit massique

avec

: masse volumique du fluide en kg/m3

: dbit volumique en m3/s

: dbit massique en kg/s

3.2 Caractristiques dun coulement nombre de Renolds

Le nombre de Renolds permet de caractriser un coulement. Il sexprime de la faon suivante:

avec

: vitesse (ou clrit) du fluide dans la conduite en m/s

: diamtre de la conduite en m

: viscosit cinmatique du fluide en m2/s

(unit courante: le stocke: 1 St = 10-3 m2/s )

( ( coulement laminaire

( ( coulement turbulent lisse

( ( coulement turbulent rugueux3.3 Pertes de charge

On appelle pertes de charge lnergie perdue par unit de masse dun fluide. Elle sexprime en J/kg et son signe est toujours ngatif (perte dnergie).

3.3.1. Pertes de charge rgulires

Cest lnergie perdue par frottement entre les filets de fluide (viscosit) et contre les parois:

avec

: coefficient de pertes de charge (sans unit)

: longueur de la conduite considre en m

( coulement laminaire ( (Poiseuille)

( coulement turbulent lisse ( (Blasius)

( coulement turbulent rugueux ( (Blench)

3.3.2. Pertes de charge singulires

Cest lnergie perdue par les turbulences des filets de fluides dans les variations brusques de section, coudes, etc.:

avec : coefficient caractristique de laccident de section (sans unit, valeurs donnes dans des tableaux)

3.4 Thorme de Bernoulli (conservation de lnergie)

Lnergie mcanique totale dun fluide devant rester constante, la variation totale dnergie par unit de masse entre 2 points dun circuit hydraulique doit rester nulle (en J/kg):

En multipliant par la masse de fluide m dplace, on obtient une quation dnergie en joule (J):

En multipliant par la masse volumique , on obtient une quation de pression en pascal (Pa).

En divisant par lacclration de la pesanteur g, on obtient une quation en hauteur de liquide en mtres:


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nergie chimique

nergie mcanique de rotation

nergie lectrique

nergie mcanique de rotation

nergie mcanique de translation

moteur diesel

gnratrice

moteur de traction

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