Cours De Probabilité mr LAKHAL Elhasan

7/22/2019 Cours De Probabilit mr LAKHAL Elhasan

1/128

COURS DE MATHEMATIQUESPROBABILITES ET STATISTIQUES

Troisieme annee : Filiere Offshoring. Option : qualite logicielle

LAKHEL El Hassan

Universite Cadi AyyadEcole Nationale des Sciences Appliquees

Safiwww.ensasafi.ma

Annee Universitaire : 2006-2007


2/128

Table des matieres

I Probabilites 4

1 Lespace de probabilite (, F, P) 51.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Lunivers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Evenements et operations sur les evenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Le concept de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Definition dune probabilite sur un espace fini. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.1 Equiprobabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.2 Elements danalyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6.3 Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Resume du premier chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Probabilites conditionnelles et independance 18

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Probabilite conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Independance devenements et de sous-tribus. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Independance devenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Independance de sous-tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Application : Apparition dun pile dans un schema de Bernoulli . . . . . . . . 232.5 Resume du deuxieme chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Les variables aleatoires 29

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Probabilite image et loi dune variable aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Cas des variables aleatoires reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.1 Fonction de repartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Lois discretes et lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.1 Lois discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5.2 Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6 Les lois usuelles au programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.1 Le cas fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.2 La loi uniforme discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.3 La loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.4 La loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6.5 Le cas denombrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6.6 La loi geometrique de parametre p

]0, 1[ . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1


3/128

3.6.7 La loi de Poisson de parametre ]0, [ . . . . . . . . . . . . . . . . 383.6.8 Le cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6.9 La loi uniforme continue sur le segment [a, b] : . . . . . . . . . . . . . . 403.6.10 lois gaussiennes (ou lois normales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6.11 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.7 Variables aleatoires independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.8 Resume du troisieme chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Esperance et variance dune variable aleatoire reelle 50

4.1 Cas des variables aleatoires discretes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.1.1 Esperance dune fonction dune variable aleatoire reelle . . . . . . . . 51

4.2 Cas des variables aleatoires a densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Linearite de lesperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Moments, variance et ecart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Inegalites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.5.1 Linegalite de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.2 Linegalite de Bienayme-Tchebycheff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.3 Linegalite de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 Lesperance et la variance des lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.7 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7.1 Integration dune fonction complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.7.2 Fonction caracteristique dune variable aleatoire reelle . . . . . . . . . 584.7.3 Exemples de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8 Theoreme dunicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.9 Annexe : Definition de lesperance dune variable aleatoire : Cas general . . 62

4.9.1 Theoreme de transferet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Variables aleatoires vectorielles 70

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.2 Couples aleatoires discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Couples aleatoires a densite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Independance et esperance de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.5 Covariance et coefficient de correlation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5.1 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.5.2 coefficient de correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Theoremes limites 776.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Les differents types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1 La convergence en probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.2 La convergence presque sure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2.3 La loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.4 La convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.3 Le theoreme central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2


4/128

II Statistiques 84

7 Introduction aux statistiques 85

7.1 Introduction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.1.1 Les statistiques, les probabilites, la statistique . . . . . . . . . . . . . . 85

7.1.2 La demarche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.3 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.3.1 Estimation de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3.2 Estimation de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.4 Estimation par intervalle confiance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.4.1 Etude de cas des echantillons de grande taille n 30 . . . . . . . . . . 907.4.2 Etude de cas X N(m, 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.5 Tests parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8 Examens corriges des annees universitaires 2005-2007 96

8.1 Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3


5/128

Premiere partie

Probabilites

4


6/128

Chapitre 1

Lespace de probabilite (,F, P)

1.1 Introduction :

La theorie des probabilites est la science qui etudie les experiences aleatoires. On entend

par experience aleatoire toute procedure ayant un ensemble bien defini de resultats mais donton ne sait pas dire a lavance lequel va avoir lieu.Le but du cours de probabilites est de modeliser des situations ou intervient le hasard. Onaimerait pouvoir construire un cadre commun pour etudier des experiences aleatoires tresdivers :Exemples :

1. Le jet dun de,2. Le jet successif de n pieces de monnaie,3. La duree de vie dune ampoule.

Ce cadre commun sera lespace de probabilite. Il est compose de plusieurs ingredients : ununivers qui decrit lensemble des issues possibles de lexperience aleatoire, une tribu qui donne

lensemble des evenements et une probabilite qui associe a chaque evenement un nombre quidonne la chance qua cet evenement de se realiser.

1.2 Lunivers

Definition 1.1. Lensemble des resultats dune experience aleatoire est appele lunivers. Onle note generalement.Exemples : Dans chacun des exemples precedents, on a :

1. = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.2. = {P, F}n (pourn= 2, on a = {P P , P F , F P , F F } = {P, F}2).3. = R+

Remarque :On peut aussi modeliser des phenomenes aleatoires plus complexes. Donnons un exemple :Etude dune file dattente. Des clients arrivent successivement dune maniere aleatoire etforment ainsi une file dattente devant un guichet. Le temps de service pour chaque client,peut etre egalement modelise par une grandeur aleatoire. On etudie la longueur de la filedattente, en fonction du temps et des parametres qui interviennent dans la modelisation, asavoir la duree de service, le temps dinter-arrivee des clients.On se demande si la file a tendance a se diminuer ou au contraire a augmenter.

5


7/128

1.3 Evenements et operations sur les evenements

Definition 1.2. Un evenement est une partieA de, cest un fait lie a une experience quipeut se produire ou non.Exemples : Dans nos trois situations, A pourrait, par exemple, etre :

1. A= {2, 4, 6} : obtenir un nombre pair.2. A= {P} {P, F}n1 : Le premier lancer est pile.3. A= [100, +[ : lampoule fonctionne plus de cent heures.

NotationOn noteP() lensemble de toutes les parties de.On va utiliser toutes les operations sur les ensembles :

Notation vocabulaire ensemblite vocabulaire probabiliste

evenement certain ensemble vide evenement impossible{} singleton evenement elementaireA B A est inclus dans B A implique BAc complementaire de A Le contraire de A est realise

A B A union B A ou B est realise iIAi union des(Ai)i I lun desAi est realise

A B A inter B A et B sont realises iIAi intersection des(Ai)i I tous lesAi sont realises

1.4 Tribu

En general, on ne peut pas prendre toutes les parties de comme evenements, on doit selimiter a des familles verifiant certaines proprietes :

Definition 1.3. Soit un ensemble. Une familleFde parties de est appelee une tribu sielle verifie les proprietes suivantes :

i) est un element deFii) (stabilite par complementaire) SiA est un element deF, alorsAc est un element de

Fiii) (stabilite par union denombrable) Si les(Ai)i sont des elements deF, alorsi Ai

est un element deF.Definition 1.4. Soit un ensemble muni dune tribuF, le couple(, F)est appele ensemblemesurable, et les elements deFsont appeles des evenements.

Exercice : Verifier queP() et{, } sont des tribus sur. Exercice : SoitA une partie de. Montrer que{, A , Ac, } est une tribu sur.

Exercice : Soit un ensemble, etA etB deux parties de. on poseF= {, A , B , A B, A B, Ac, Bc, (A B)c, (A B)c, A Bc, Ac B, A Bc, Ac B, }

Montrer queFest une tribu.

Remarque :Si = R, la tribu habituel lement utilisee est la plus petite tribu contenent tousles intervalles ouverts. On lappelle tribu borelienne et on la noteB(R)

6


8/128

Proposition 1.5. Soit un ensemble muni dune tribuF, alors :i) est dansF,ii) Pour toutA etB deF, on aA B, A B A\B sont dansF.iii) Si les (Ai)i , sont des elements deF, alorsi Ai est un element deF (stabilite

par intersection denombrable).

Preuve.i) = et F, donc F.ii) A B Fpar definition.

A B= A B F carA B FA\B = A B Fdapres ce qui precede.

iii)i

Ai= i

Ai F.

Remarque : Une tribu est stable par reunion et intersection finie.

1.5 Le concept de probabiliteDefinition 1.6. Soit un ensemble muni dune tribuF. Une applicationP deF dans[0, 1]est une probabilite si elle verifie les proprietes suivantes :

i) P() = 1ii) (additivite) Si les(Ai)i sont des elements deFdeux a deux disjoints, alors

P(i

Ai) =i

P(Ai).

Le triplet(, F, P) est alors appele un espace de probabilite.Remarques :

1. Les evenements sont donc les parties de auxquels on saura attribuer une probabilitede se realiser.

2. Si estfini,on peut remplacer ii) par ii) pour toutA,B deP()tels queAB= ,P(A B) =P(A) + P(B).

Exemples :1. Jet dun de : = {1, 2,..., 6}, les faces sont equiprobables. On prendF= P() et on

definitP par :

P({1}) =P({2}) =... = P({6}) =16

.

P({2, 3}) =P({2}) + P({3}) =1

3 .

2. Jet dune piece de monnaie = {P, F}, si la piece est equilibree, on choisit :

P({P}) =P({F}) =12

.

Attention ! Le mot probabilite designe donc deux choses differentes : lapplication et lenombre associe par cette application a un evenement. Le contexte permet en general de levertoute ambigute. Exercice : Soit P1 et P2 deux probabilites sur un espace mesurable (, F), et soit[0, 1]. Montrer queP =P1+ (1 )P2 est une probabilite sur(, F).

7


9/128

Nous avons regroupe dans la proposition suivante les regles fondamentales auxquelles obeitune probabilite :

Proposition 1.7. Soit(, F, P) un espace de probabilite.

i) P(

) = 0ii) si(Ai)1in sont des elements deFdeux a deux disjoints, alors

P(n

i=1

Ai) =n

i=1

P(Ai).

iii) siA est dansF, alorsP(Ac) = 1 P(A),iv) siA etB sont des elements deF tels queA B, alorsP(A) P(B).v) siA etB sont deux elements deF, alors

P(A B) =P(A) + P(B) P(A B)vi) si(Ai)1in sont des elements deF, alors

P(i

Ai) i

P(Ai)

vii) si(Ai)1in forment une suite croissante delements deF, cest a dire sils verifienti N Ai Ai+1, alors

P(i

Ai) =limi+P(Ai).

viii) si(Ai)1informent une suite decroissante delements deF, cest a dire sils verifienti N Ai+1 Ai, alors

P(i Ai) =limi+P(Ai).Preuve.

i) On applique le ii) de la definition a la famille devenements disjoints (, , ,...) :

1 =P() +i=1

P().

La serie dans le membre de droite ne converge alors que siP() = 0.

ii) On applique le ii) de la definition a la famille devenements disjoints(A1, A2, . . . , An, , , . . .)en utilisant queP(

) = 0 :

P(n

i=1

Ai) =n

i=1

P(Ai) +n

i=n+1

P() =n

i=1

P(Ai)

iii) On applique ii) a famille devenements disjoints (A, Ac) : P(A) + P(Ac) = P(A Ac) =P() = 1 dapres le i) de la definition.

iv) SoitA etB deux evenements tels queA B. CommeB = (B A) (B Ac), avec(B A) (B Ac) A Ac = , on peut appliquer ii) :

P(B) =P(B A) + P(B Ac) or P(B Ac) 0 P(B A) =P(A)

carA

B

8


10/128

v) On ecritA B comme la reunion disjointeA Bc, A B etB Ac (verifier et faireun dessin), et on remarque queA est la reunion disjointeA Bc, etA B, tandis queB est la reunion disjointeA B etB Ac. On obtient donc :

P(A B) =P(A B) + P(A Bc) + P(B Ac)

= (P(A Bc

) + P(A B)) + (P(A B) + P(B Ac

)) P(A B)=P(A) + P(B) P(A B).Pour les trois derniers points, on construit a partir de la famille (Ai)i une famille(Bi)i de la facon suivante :

B0= A0 eti 1, Bi= Ai \ (i1j=0

Aj),

on verifie alors (exercice) que i N, Bi Ai, et doncP(Bi) P(Ai). i =j = Bi Bj = ,

n

N,

ni=0 Bi=

ni=0 Ai (par recurrence) et donci Bi= i Aivi) P(i Ai) =P(i Bi) = i P(Bi) i P(Ai).

vii) P(

i Ai) =P(

i Bi) =limnn

i=1 P(Bi).Mais

ni=1 P(Bi) = P(

ni=1 Bi) = P(

ni=1 Ai) = P(An) par croissance de la suite

(An)n .Donc

P(iN

Ai) =limnP(An).

viii) Utiliser le point precedent et passer aux complementaires (exercice).

Exercice : Un de a six faces, avec deux faces marquees 5. Donner un espace de probabilitecorrespondant au lancer de ce de.

1.6 Definition dune probabilite sur un espace fini.

Quand lunivers est fini, on peut facilement decrire les probabilites sur.

Theoreme 1.8. Soit = {1, 2,...,n}. Soitp1, p2,...,pn n nombres reels.Il existe une probabiliteP sur(, P()) telle que :

i {1, 2,...,n}, P({i}) =pii {1, 2,...,n}, pi 0

etn

i=1pi= 1.

Pest alors unique, et on a pour tout evenementA

P()

P(A) = i/iA

P({i})

Preuve.) Supposons quil existe une probabiliteP sur(, P()) telle que pour tout

i |[1, n]| pi= P({i}).On a : pi 0, i |[1, n]| et

ni=1pi=

ni=1p({i}) =P() = 1.

De plus pour tout evenementA P() :P(A) =

i/iA

P({i}) =

i/iApi.

DoncP est uniquement determinee par la donnee despi.

9


11/128

) Supposons que i {1, 2,...,n}, pi 0,etn

i=1pi= 1.

SoitP lapplication definie surP() par :

A P(), P(A) = i/iA

pi

Montrons queP est une probabilite sur(, P()).On a :i |[1, n]|, pi 0, doncP(A) 0 A P().Et,

P(A) =

i/iApi

ni=1

pi = 1.

DoncPest une application deP() dans [0, 1].De plus,

P() =

ni=1

pi= 1.

SiA etB sont deux evenements disjoints, on a :

P(A B) =

i/iABpi=

i/iA

pi+

i/iBpi= P(A) + P(B).

Donc P est une probabilite sur (, P()) et par definition de P, P({i}) = pi pourtouti |[1, n]|.

Exemple : Un de biaise :

1 2 3 4 5 6 pi

13

16

112

112

14 p

Determinerp pour que lespi definissent une probabilite. Calculer la probabilite que le resultatdu de soit pair.

1.6.1 Equiprobabilite

Definition 1.9. On dit quil y a equiprobabilite, lorsque les probabilites de tous les evenementselementaires sont egales.On dit aussi queP est la probabilite uniforme sur(, P()).

Remarque : Lunivers est necessairementfini. En effet, si est infini, on a

P() =+i=1

pi=+i=1

= 1,

avec= pi. La serie de terme general converge, donc limi= 0.Donc= 0. Contradiction avec

+i=1 = 1. Par suite lunivers est fini.

10


12/128

Proposition 1.10. Sil y a equiprobabilite, pour tout evenementA, on a :

P(A) =card(A)

card()=

nb de cas favorables

nb de cas possibles

Preuve.

Dans un univers muni de lequiprobabilite, de cardinal n, la probabilite dun evenementelementaire vaut 1n . En effet, posons= pi. On a :

1 =P() =n

i=1

pi=n

i=1

= n.

Donc= 1n .De plus, siA est un evenement quelconque deP(), on a :

P(A) =

i/iApi=

i/iA

1

n=

card(A)

n .

Le calcul de la probabilite dun evenementAse ramene donc a un probleme de denombrement,il sagit de calculer le nombre delements deA et de.

Exercice : Un sac contient deux boules blanches et trois boules noires. On tire une boule dusac. Quel le est la probabilite quel le soit blache ?

On peut choisir deux modeles ; deux univers1, 2 peuvent modeliser le tirage aleatoireprecedent :

1) 1= {B, N}, la probabiliteP1 etant definie par

P1(

{B

}) =

2

5

, P1(

{N

}) =

3

5P1 nest pas une probabilite uniforme.

2) On choisit2= {B1, B2, N1, N2, N3}. Chaque boule du sac a la meme probabilite detretiree. On considere sur2 la probabilite uniforme, que lon noteP2.

P2({B1}) =P2({B2}) =P2({N1} =P2({N2} =P2({N3}) =15

.

SoitA levenement tirer une boule blanche. Et on a :

P2(A) =card(A)

card()=

2

5.

1.6.2 Elements danalyse combinatoire

1- Les p-listes : Elles correspondent a un tirage successif et avec remise cest a direque les repetitions sont possibles et que lordre est important.

2- les suites de p elements distincts : Elles correspondent a un tirage successif etsans remise, cest a dire que les repetitions sont impossibles et que lordre est important.

3- Les permutations :Toutes suite de n elements distincts choisis parmi les n elementsdun ensembleEest appele permutation den elements. Le nombre total de permuta-tions dun ensemble den elements estn!.

11


13/128

Afin daborder les problemes danalyse combinatoire, rappelons les definitions et les pro-prietes des coefficientsCkn etA

kn.

Coefficient Ckn :Ckn est un entier naturel qui est defini par

Ckn = n!

k!(n k)! , 0 k n, avec (0! = 1)

Ckn possede une interpretation tres utile en pratique : Ckn est le nombre de facons de choisir

simultanementk elements parmin elements.Ckn est aussi le nombre de parties ak elements distincts, pris dans un ensemble an elements.

Coefficient Akn :Par definition :

Akn = n!

(n

k)!, 1 k n.

(Akn est le nombre de facons de choisir successivement et sans remise k elements parmi nelements).

Nous sommes a present en mesure de preciser les trois modeles de base qui interviennentfrequemment en pratique.

1.6.3 Exemples fondamentaux

a. Modele de tirage avec remise :Un sac contient k boules differentes que lon suppose numerotees de 1 a k. On noteE=

{1, 2,...,k

}.

On effectuen tiragesavec remise (on remet la boule dans le sac apres chaque tirage).Lensemble des resultats possibles, est lensemble des n-listes, cest-a-dire lensembledes suites delements deEde longueurn (une n-liste est un element deEn).On note =E E ... E=En.Alors :

card() = (cardEn) =kn.

En effet, pour former toutes les n-listes, on a k possibilites pour choisir le premierelement, k pour le second, etc...On met sur la probabilite uniforme :

P({i}) = 1

kn .

Exemple : On reprend lexemple classique du jet dun de equilibre a six faces.On suppose que le de est jette 3 fois.IciE= {1, 2, 3,..., 6}. k= 6 etn= 3. lensemble des triplets ou 3-listes delements deE.Ainsi : (1, 2, 2) , (5, 3, 1) La probabilite de chaque evenement elementaire est 1

63 = 1216 .

En particulier

P({(5, 3, 1)}) =P({(1, 2, 2)}) = 1216

.

12


14/128

b. Modele de tirage sans remise et sans ordre : Combinaison.Un sac contientk boules differentes numerotees de 1 ak. On tire en une seule foismboules du sac m k. On choisit pour lensemble des parties a m elements. On acard() =Cmn . On prend sur la probabilite uniforme :

P({}) = 1

Cmn.

Exemple : On distribue 4 cartes parmi 32, quelle est la probabilitep davoir 4 figures(valet, dame, roi) ?

Le nombre de resultats possibles est

C432= 32!

4!28!=

32 31 30 294 3 2 = 71920.

Il y a 12 figures, donc C412 = 990 choix possibles de quatre figures parmi 12. Puisquelon a choisi sur la probabilite uniforme

p= C412C432

= 0, 014.

c. Modele de tirage sans remise et avec ordre : ArrangementsOn choisit le meme sac que precedemment et on tire une a une, sans les remettre, mboules dun sac contenant initialementk boules avecm k.Les resultats possibles sont les suites de m elements de{1, 2,...,k}, deux a deux distincts.Ainsi sik= 4 etm= 2.,

= {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}Pour compter le nombre des suites, on remarque que lon ak possibilites pour choisirle premier element, cet element etant donne, le deuxieme doit etre distinct du premier,il ne reste que(k 1) possibilites , etc,...On a ainsi

card() =k(k 1)(k 2)...(k m + 1) = k!(k m)! =A

mk .

Exercice : Un sac contient 2 V et 3 B. On effectue 2 tirages sans remise.Donner, calculer la probabilite davoir 2 vertes exactement, 2 blanches exactement,1 V et 1 B.On poseE ={V1, V2, B1, B2, B3}. est lensemble des suites de deux elements deEdeux a deux disjoints.On ecrit :

= {(V1, V2), (V1, B1), (V1, B2), (V1, B3), (V2, V1),...}On acard() =A25= 20.

P(A) = card(B)card() =

A2220 =

220 =

110 .

P(B) = card(A)card() = A2320 =

620 =

310 .

P(C) = card(C)card() = 1220 =

35 ,

card(C) = 2 3 2 = 12.

13


15/128


16/128

1.8 Exercices

Exercice 1. Trois boules sont tirees dun sac contenant des boules blanches et des boules

rouges. Soient les evenements :

A= la premiere boule est blanche B= la deuxieme boule est blanche C= la troisieme boule est blanche.

Exprimer les evenements suivants en terme de A , B et C :

D= toutes les boules sont blanches ,E= les deux premieres sont blanches,

F= au moins une est blanche,

G= une boule au plus est blanche,H= toutes les boules sont rougesK= seulement la troisieme est blanche.

Exercice 2. Soit un ensemble.1) DecrireP() si = {1, 2, 3}2) Calculer le cardinal deP() quand est un ensemble fini (resp. infini).Soitn etk deux entiers non nuls tels quek < n.3) Montrer queCkn =C

nkn .

4) Montrer queCkn =Ck1n1+ C

kn1.

5) Etablir lidentite suivante :

(1 x)n =n

k=0(1)kCknxk.

Exercice 3. On lance 3 des equilibres. Quelle est la probabilite dobtenir :1) A = une fois 1, une fois 2, une fois 3,2) B = trois fois 1,3) C= une fois 1 et deux fois 5.

Exercice 4. On lance 2 des equilibres, lun apres lautre, et on considere les evenementssuivants :A = le premier de donne un resultat pairB = le deuxieme de donne un resultat impair

C = les deux des donnent des resultats de meme parite.1) CalculerP(A B C) etP(A).P(B).P(C).2) CalculerP(A B) etP(A).P(B).

Exercice 5. Dans un aquarium, il y a cinq poissons rouges trois poissons noirs et deuxpoissons argentes. On peche au hasard trois poissons. Calculer la probabilite des evenementssuivants :

A = les trois poissons peches sont de la meme couleur,B = les trois poissons peches sont de trois couleurs differentes,C= les trois poissons peches sont de deux couleurs exactement.

15


17/128

Exercice 6. Soit(, B)un espace probabilisable (Best lensemble des evenements). p1, p2,...,pnsont n probabilites sur (, B). 1, 2,..., n sontn reels positifs tels que

ni=1 i = 1. On

pose

P=n

i=1ipi.

Montrer queP est une probabilite sur(, B)

Exercice 7. Soitf lapplication deR dansR definie parf(x) = x(1+x2)

32

.

= {a,b,c}. SoitFune primitive def surR. (F existe carf est continue). etdeux reels tels que0< < .On considere lapplicationP deP() dansR definie par :

P{a} = 0 f(x)dx, P {b} = f(x)dx, P {c} = 1 F()P{a, b} =P{a} + P{b}P{a, c} =P{a} + P{c}P{b, c} =P{b} + P{c}P() =P{a} + P{b} + P{c}P() = 0

DeterminerF pour queP soit une probabilite sur(, P())

Exercice 8. Un jeu de toto foot consiste a prevoir les resultats de dix equipes de footballen inscrivant les previsions sur une feuille reponse. Pour chaque match trois resultats sontpossibles : victoire dune equipe, victoire de lautre equipe, match nul. combien de chancesa-t-on de gagner si on a joue, dabord une feuille et puis deus feuilles ?

Exercice 9. On fait remplir un questionnaire a 20 questions binaires. Quelle est la proba-

bilite quun candidat repondant au hasard obtienne au moins 16 bonnes reponses ?

Exercice 10.Soit (, A) un espace probabilisable etA un evenement. On appelle fonction indicatrice

de levenementA et on noteIA la fonction definie sur a valeurs dans{0, 1} definie par :

IA() =

1 si A0 si / A

SoitB A. Montrer que :1. IA= IB si, et seulement si, A= B.2. IAc = 1

IA.

3. IAB =IAIB .4. IAB =IA+ IB IAIB.5. SoitA1,..., An des sous ensembes du meme, deux a deux disjoints, montrer que

Ini=1Ai =n

i=1

IAi .

6. Montrer que siA B, IA IB .Exercice 11. Soit(An) une suite devenements. On pose

limsupn

An =

n(

mnAm) et lim inf

nAn =

n(

mnAm).

16


18/128

1) Interpreterlim supn An et lim infn An. Montrer queliminfn An limsupnAn.2) Montrer la propriete suivante :

Sin0

P(An)< +, alors P(limsupn

An) = 0.

Exercice 12. Soit ={B1,...,BN} une partition de. On appelle tribu engendee paret on noteB la plus petite tribu contenant les elements de. LesBn sont les informationselementaires quil est possible dobtenir sur.

1) Montrer queB est constituee de , et de toutes les reunions delements de.

2) Montrer que siF1 etF2 sont deux tribus sur, alors il en est de meme deF= F1 F2.

3) En deduire que siH est une famille quelconque de parties de, il existe unealgebrecontenantHet qui est contenue dans toutes les tribus contenantH(ce qui revient a dire quilexiste une plus petite

algebre contenant

Hnotee(

H)).

4) Soitd N. On appelle tribu borelienne surRd la tribu engendree par la familleO desensembles ouverts deRd . On la noteraB(Rd). AinsiB(Rd) =(O). Montrer que :

(O) =(F),

ou(F) est la tribu engendree par les ensembles fermes deRd.

17


19/128

Chapitre 2

Probabilites conditionnelles etindependance

2.1 IntroductionIl sagit de definir la facon dont les probabilites affectees aux evenements sont susceptibles

detre modifiees par larrivee dinformations nouvel les. Une information est ici une affirma-tion du type levenementA est realise ou levenementB est realise .

Exemple :On lance une fois un de cubique parfait dont les faces sont numerotees de 1 a 6.SoitA levenement : on obtient un nombre inferieur ou egal a 5

etB levenement : on obtient un nombre superieur ou egal a 3 .Supposons que lon sache queA est realise.Le resultat du lancer est donc un element de

{1, 2, 3, 4, 5

}et il y a 5 cas possibles.

B est realise si, et seulement si, {3, 4, 5}. Il y a donc 3 cas favorables pour queB soitrealise.La probabilite queB soit realise sachantA lest est 35 .Or, on aP(A) = 56 etP(A B) = 36 , donc

3

5=

P(A B)P(A)

.

2.2 Probabilite conditionnelle

Definition 2.1. Soit(, A, P)un espace de probabilite et soitA un evenement de probabilitenon nul le. Pour tout evenementB

A, on appelle probabilite conditionnelle deB sachantA

la quantite, noteeP(B/A) et definie par :

PA(B) =P(B/A) =P(A B)

P(A) .

Remarques :1. La Probabilite conditionnelle est une vraie probabilite. Pour cela, montrons que PA

est une application deAdans [0, 1] telle que pour toute suite(Bn)n delements2 a2disjoints deA on a :

PA(n

Bn) =n

PA(Bn).

18


20/128

On aA B AdoncP(A B)existe et on a aussiA B AdoncPA(B) [0, 1]. Soit(Bn)n

une suite delements2 a2 disjoints. On a :

PA(n=0Bn) =P(A (n0Bn))

P(A) =

P(n0(A Bn)P(A)

=

n=0P(A Bn)

P(A) .

2. SiA, B Asont tels queP(A)> 0 etP(B)> 0, on a la propriete evidente mais tresutile suivante :

P(A B) =PB(A)P(B) =PA(B)P(A).Theoreme 2.2. (Formule des probabilites composees)Soit(Ai)1in une famille devenements tel le queP(A1 A2 ... An1) = 0. Alors,

P(ni=1Ai) =P(A1)PA1(A2)...PA1A2...An1(An).Preuve.

Voir TD.

Remaraque : Toutes les probabilites ecrites ont un sens car :

j {1, 2,...,n 1} A1 A2 ... An1 A1 A2 ... Aj.Donc

P(A1 A2 ... Aj) P(A1 A2 ... An1)> 0.Exemple : Un sac contient 3 boules blanches et 7 noires. On tire successivement 3 boulessans remise. Quelle est la probabilite dobtenir les trois boules blanches ?

SoitBk (resp.Nk ) levenement lek ieme tirage donne une boule blanche (resp. noire).

SoitA levenement on obtient 3 boules blanches .

A= B1 B2 B3.Dapres la formule des probabilites composees, on a :

P(A) =P(B1)PB1(B2)PB1B2(B3).

Puisque le sac contient 10 boules dont 3 blanches, on a :

P(B1) = 3

10.

A lissue du premier tirage, le sac contient 9 boules et si la premiere boule tiree est blanche,il ne reste que 2 boules blanches donc,

PB1(B2) =2

9.

A lissue du deuxieme tirage, le sac contient 8 boules et si les deux boules tirees sont blanches,il ne reste que 1 boule blanche donc,

PB1B2(B3) =1

8.

Finalement,

P(A) = 3

102

91

8=

1

120.

19


21/128

Definition 2.3. Une suite finie ou non (Bn)nI devenements de est appelee unepartition de si lesBn sont deux a deux disjoints et si leur reunion est egale a.

On a alors le theoreme :

Theoreme 2.4. (Principe des probabilites totales)Soit(, A, P) un espace probabilise, soit(Bn)nI

une partition telle queP(Bn)> 0 pourtoutn Iet soitA A.On a :

P(A) =nI

PBn(A)P(Bn).

Preuve.P(A) =P(A ) =P(A nIBn)

=P(nI(A Bn))=

nIP(A Bn) =

nIPBn(A)P(Bn).

Remarque : Quandn= 2, on obtient en particulier :

P(A) =PB(A)P(B) + PBc(A)P(Bc).

Exemple On effectue des tirages sans remise dans un sac contenant 3 boules blanches et 7boules noires.Quelle est la probabilite dobtenir une boule noire au deuxieme tirage ?

Le premier tirage a donne soit une boule blanche soit une boule noire, donc :

P(N2) =P(B1)PB1(N2) + P(N1)PN1(N2)

On a

P(B1) = 3

10, etP(N1) =

7

10.

A lissue du premier tirage, le sac ne contient que 9 boules dont 7 noires siB1 a ete realiseet 6 boules noires si cestN1 qui a ete realise. Donc :

PB1(N2) =7

9 et PN1(N2) =

6

9

Dou :

P(N2) = 3

107

9+

7

106

9=

7

10.

Theoreme 2.5. (Formule de Bayes) Soit(, A, P) un espace probabilise, soit (Bk)nk=1 unepartition de telle queP(Bk)> 0, pour toutk {1,...,n} :

PA(Bk) = PBk(A)P(Bk)

n PBn(A)P(Bn)

Preuve. On a :

PBk(A)P(Bk) =PA(Bk)P(A) =PA(Bk)

PBn(A)P(Bn).

20


22/128

Interpretation : Soient(Bk)nk=1 une partition de.

A chacun des evenements (Bk) correspond une information initiale qui permet devaluer apriori (en partant de ce qui precede) les probabilitesP(B1), P(B2),...,P(Bn).Soit A un evenement quelconque pour lequel on connat a priori les probabilites condition-nellesPB1(A), PB2(A),...,PBn(A).

Le theoreme de Bayes permet de calculer les probabilites conditionnellesa posteriori( enpartant de ce qui vient) PA(Bk) a partir des probabilitesa priori lesP(Bk) et lesPBk(A).

Exemple : Reprenons lexemple precedent et effectuons deux tirages. Le second tirage ayantdonne une boule blanche, quelle est la probabilite que la premiere boule tiree ait ete blanche ?CherchonsPB2(B1) :

PB2(B1) = P(B2B1)

P(B2)

= P(B1)PB1(B2)

P(B1)PB1(B2)+P(N1)PN1(B2)

=3102

9310 2

9+ 7

10 3

9

= 29 .

Exercice : Une entreprise utilise trois machines differentesA,B, et C pour fabriquerdes pieces. 40% sont fabriquees parA, 30% parB et30% parC. La machineA produit2%de pieces defectueuses, B4% et C5%.

1. On preleve une piece au hasard. Quelle est la probabilite quelle soit defectueuse ?2. On preleve une piece. Elle est defectueuse. Quelle est la probabilite quelle vienne de

A ?3. On preleve une piece. Elle est saine. Quelle est la probabilite quel le vienne deC?

Solution :SoitA: etre fabrique parA, B: etre fabrique parB,...D: etre defectueuse etD: saine.

On aP(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(C) = 0.3.

A, B etC sont tels queA B= A C=B C= etA B C= .1) En applicant la formule des probabilites totales on a :

P(D) =PA(D)P(A) + PB(D)P(B) + PC(D)P(C)= 0.02 0.4 + 0.04 0.3 + 0.05 0.3 =

2) Dapres le theoreme de Bayes,

PD(A) =PA(D)P(A)

P(D) =

0.02 0.4P(D)

.

3)

PD(C) =PC(D)P(C)

P(D)=

0.95 0.31 P(D) .

2.3 Independance devenements et de sous-tribus.

2.3.1 Independance devenements

Parfois,A etB sont tels quePB(A) =P(A). Autrement dit le fait de savoir queB est realisene donne aucune information supplementaire sur le fait de savoir queA lest. Cela conduita la :

21


23/128

Definition 2.6. Soit(, A, P) un espace probabilise.1. Deux evenementsA etB sont dits independants si :

P(A B) =P(A)P(B).

2. Une suite finie (Ai)i{1,2,...,n} devenements est dite mutuellement independante si,pour toute partie non videI {1, 2,...,n}, on a

P(iIAi) =iI

P(Ai)

3. Une suite finie ou non(Ai) devenements est dite independante deux a deux si, on a

P(Ai Aj) =P(Ai)P(Aj), i =j.

Remarques :

1. Lindependance mutuelle implique evidemment lindependance deux a deux. Mais at-tention, sin 3, la reciproque est fausse.Exemple : Soit = {1, 2, 3, 4} avecP({1}) =P({2}) =P({3}) =P({4}) = 14 .Les evenementsA ={1, 2}, B ={1, 3} etC ={1, 4} sont deux a deux independants(On a : P(AB) = P(A)P(B) = 14 , P(AC) = P(A)P(C) = 14 et P(CB) =P(C)P(B) = 14).Mais pas mutuellement independants (P(A B C) = 14= 18 =P(A)P(B)P(C)).

2. La notion dindependance depend de la probabilite consideree. On peut imaginer unespace mesurable (,

A), sur lequel existent deux probabilites P et Q telles que les

evenements A et B soient independants sous Pet pas sous Q. (Voir serie dexerciceno2).

Attention :Ne confondez pas evenements independants et evenements disjoints ! ! Parexemple,AetAc sont disjoints et ne sont pas independants : si on sait queA est realise, onest sur queAc nest pas realise.

P(A Ac) =P() = 0.Et

P(A)P(Ac) =P(A)(1 P(A)) = 0 en general. Exercice SoitA etB deux evenements. Montrer que siA etB sont independants, alorsA

c

etB (resp. A etB

c

, A

c

etB

c

) sont independants.

2.3.2 Independance de sous-tribus

Definition 2.7. Deux sous tribusG etG deA sont independantes siA G, A G, P(A A) =P(A)P(A).

i.e. tout evenement deG est independant de tout evenement de la tribuG.Exemple : Soit = {1, 2, 3, 4}, etA = P()On pose :

G=

{, ,

{1, 2

},{

3, 4}}

,

22


24/128

etG = {, , {1, 3}, {2, 4}}.

AlorsG etG sont deux sous tribus deA independantes. Exercice : Si deux tribusA1 etA2 sur(, A, P) sont independantes et ayant un elementcommunA, on a : P(A) = 0 ou 1.

On a :P(A A) =P(A)2 =P(A).

DouP(A) = 0 ou 1.

2.4 Application : Apparition dun pile dans un schema de Ber-noulli

On considere une suite infinie de lancers de pile ou face independants ; on suppose quachaque lancer on a une probabilitep ]0, 1[ dobtenir pile. Montrer quavec probabilite 1, faceva apparaitre dans la suite de lancers.

On note An levenement pile apparait au n-ieme lancer . On sait par les hypothesesque les(An)n

sont independants et queP(An) =p >0 pour toutn.On noteA levenement pile apparait au mois une fois . Alors

Ac = n1Acnet donc, pour toutN N,

P(Ac) P(Nn=1Acn) =N

n=1

P(Acn) = (1 p)N

qui tend vers 0 quandNtend vers linfini.Donc,

P(Ac) = 0.

Par suite,P(A) = 1.

23


25/128

2.5 Resume du deuxieme chapitre

1. Ce qui concerne les probabilites conditionnellesProbabilite sachantB : siPB(A) =

P(AB)P(B) .

Partition de : (B1, B2,...,Bn) est une partition de si

= ni=1Biet siBi Bj = chaque fois quei =j (cad que lesBi sont deux a deux disjoints).Principe des probabilites totales : si (B1, B2,...,Bn) est une partition de tellequeP(Bi)> 0 pour touti, on a :

P(A) =n

i=1

PBi(A)P(Bi).

Formule de Bayes : si (B1, B2,...,Bn) est une partition de telle queP(Bi) > 0pour touti, on a :

PA(Bk) = PBkP(Bk)ni=1 PBi(A)P(Bi)

.

2. Ce qui concerne lindependanceDans un espace probabilise(, A, P), deux evenementsA etB sont independants si :

P(A B) =P(A)P(B).

Lindependance de deux evenements depend de la probabilite choisie.Generalisation Des evenements (Ai)iI sont mutuellement independants si, pourtoute partieJ I, on a

P(

i

JAi) = iJP(Ai).

Cette notion est plus forte que lindependance deux a deux. Par exemple, il peut arriverque trois evenements A, B et C soient deux a deux independants, mais ne verifientpas la condition supplementaireP(A B C) =P(A)P(B)P(C) pour lindependancemutuelle.

24


26/128

2.6 Exercices

Exercice 1. (Formule du crible de Poincare )

(, P(), P) est un espace de probabilite. A1, A2,...An sontn evenements.Montrer , par recurrence, que :

P(n

i=1

Ai) =n

i=1

P(Ai) + ... + (1)k+1

1i1


27/128

(Indication : On pourra raisonner par rucurrence surn).

Exercice 5.Un sac contient initialement une boule blanche et une boule noire. On realise indefinimentlexperience suivante : on tire une boule, on regarde sa couleur, on la remet dans le sac

et on rajoute une nouvel le boule de la meme couleur que celle obtenue.NotonsXle nombre de tirage(s) necessaire(s) avant dobtenir une boule noire, avec laconventionX= 0 si on ne tire jamais de boule noire.NotonsBi levenement On obtient une boule blanche aui

eme tirage.

a. Montrer que{X= 1} =Bc1 et que{X=n} =B1 B2 ... Bn1Bcn pourn 2.

b. Que vaut la probabilite deBcn sachantB1 B2 ... Bn1?

c. Calculer, pour i {2,...,n 1}, la probabilite deBi sachantB1 B2 ... Bi1.

d. A laide de la question 1) (en choisissant Ai = Bi si i < n et An = Bcn),montrer queP(X=n) = 1n(n+1)

(On remarquera quen1

i=2i

i+1 = 23...(n1)3...(n1)n =

2n)

e. En remarquant que 1n(n+1) = 1n 1n+1 , montrer que

+n=1

(X=n) = 1.

f. Que vautP(X= 0) ? Interpreter le resultat.Exercice 6.1) SoientA etB deux evenements. Montrer que siA etB sont independants, alorsAc etB

(resp. A etBc, Ac etBc ) sont independants.2) Pour montrer que lindependance nest pas une propriete intrinseque des evenements etqu el le depend de la probabilite considerer, on choisit ={1, 2, 3, 4, 5, 6} muni de la tribuP().SoitP1 etP2 les probabilites definies sur(, P()) par :

i 1 2 3 4 5 6

P1({i}) 16 16 13 19 19 19et

i 1 2 3 4 5 6

P2({i}) 16 16 16 16 16 16On poseA= {1, 2} etB= {2, 3}.

1) Pour i=1, 2, calculerPi(A), Pi(B) etPi(A

B).

2) Conclure.

Exercice 7. Pour juger de lefficacite dune compagne publicitaire ayant porte sur un produit,on a sonde 1500 personne ; 1000 dans la region du Nord et 500 dans la region du sud. Lesresultats sont :

Region C. p. et le consomment C.p. ne le consomment pas Ne connaissent pas le produit

Nord 80 150 770

Sud 50 130 320

Calculer les probabilites suivantes :1. Probabilite de connatre le produit.

26


28/128

2. Probabilite de connatre le produit et le consommer.3. Probabilite de connatre le produit et ne pas le consommer.4. Probabilite detre du nord.5. Quelle est la probabilite pour quune personne qui connaisse le produit soit consom-

matrice de ce produit ?

6. Quelle est la probabilite pour quune personne prise au hasard du sud ne connaisssentpas le produit ?

Exercice 8.guerre passe au-dessus de trois batteries antiaeriennes. Chaque batterie a une chance sur troisdabattre lavion. Quel le est la probabilite que lavion soit abattu ?

Exercice 9.Une usine sadresse a deux fournisseurs A et B pour lapprovisionnement dun composantelectronique. Le controle de conformite effectue sur un echantillon aleatoire de composants

electroniques a donne la repartition suivante des pourcentages de defauts :

Fournisseur\ Repartition du nb de defauts 0 defauts 1 defauts 2 defautsA 60 % 35% 5%

B 65% 25% 10%

Sachant que 70% des composants sont achetes aA et 30% aB.1) Calculer la probabilite pour quun composant ne presente aucun defaut.2) Calculer la probabilite pour quun composant tire aleatoirement et ne presente aucun dedautprovient deB.

Exercice 10.

Dans cet exercice on etudie une maladie rare qui atteint, disons 1 individu sur 1000 ( parexemple la maladie de la vache foulle). On met au point un test pour detecter si un individuest infecte par la maladie. Lorsquun individu est malade, le test a une prbabilite de 0.99 dese reveler positif. Si un individu nest pas porteur de la maladie, le test a une probabilite 0.98de lidentifier comme tel.On teste un individu est le rerultat est positif.1) Quelle est la probabilite que lindividu ainsi teste soit effectivement infecte ?2) Deduire que si on applique un tel test pour depister la maladie de la vache foulle et quonabat les vaches testees positives, on va declencher un massacre inutile.

Exercice 11.

On consideren menteurs I1,...,In. I1 recoit une information sous la forme de oui ounon, la transmet aI2, et ainsi de suite jusquaIn etIn lannonce au monde. Chacun deuxtransmet ce quil a entendu avec la probabilitep ]0, 1[, le contraire avec la probabilite1 p.Les reponses desn personnes sont independantes.On noteAk = Ik transmet linformation initiale, Bk = Ik transmet ce quil a entendu etpk = P(Ak).

1. a. Montrer que, pour toutk= 2,...,n, Ak = (Ak1 Bk) (Ack1 Bck)1. b. En deduire que, pour toutk= 2,...,n, pk = 1 p + (2p 1)pk1.

2. Montrer que la suite(uk) definie paruk =pk 12 est geometrique1 de raison2p 1.En deduire une formule explicite pourun puis pourpn.

3. Quelle est la limite depn quandn ? interpreter le resultat.

27


29/128

1Rappel : Une suite (xk) est geometrique de raison qsi, pour tout k , xk+1 qxk = 0. Dans ce cas, ona la formule explicite xn= x0q

n valable pour tout n .

28


30/128

Chapitre 3

Les variables aleatoires

3.1 Introduction

Soit lunivers associe a une experience aleatoire. Il est parfois interessant dassocier achaque un nombre reel, par exemple la somme des points obtenus lorsquon jette deux des.On est donc amene a etudier des applications de dansRqui sont sous certaines conditionsappelees variables aleatoires reelles.

3.2 Variables aleatoires

Definition 3.1. Soit (, A) et (E, B) deux espaces probabilisables. On appelle variablealeatoire toute applicationX de dansE telle que :

B B, X1(B) A

avecX1(B) = { /X() B}.

On dit aussi queX est une application(A, B)mesurable.Exemple :

1. SiA = P() ouB= {, E}, alors toute application : X : Eest une v.a.2. Fonction indicatrice dun evenement. Soit(, A)un espace mesurable etA un element

deA. On definit la fonction indicatrice deA, notee1A :

, 1A() =

1 si A,0 sinon

alors1A est une v. a. de(, A) dans({0, 1}, P({0, 1})).3. Toute application continue de(R, B ) est une v. a.

Exercice :On lance deux des equilibres et on noteXla somme des deux resultats. Decrireun espace de probabilite correspondant a cette experience aleatoire et definir precisementX.

3.3 Probabilite image et loi dune variable aleatoire

Proposition 3.2. Soit (, A, P) un espace probabilise, (E, B) un espace probabilisable etX : Eune v.a. A toute elementB deB, on peut associe le nombre

P(X1(B)) =P({

/ X() B}

) =P(X

B)

29


31/128

et lapplicationPX : B [0, 1]

B PX(B) =P(X1(B)) =P(X B)definit une probabilite sur (E, B), appelee loi de X ou loi image de P par la variablealeatoireX.Preuve. Verifions les trois axiomes des probabilites :

i) Il est clair quePXest a valeur dans [0, 1].ii) PX(E) =P(X

1(E)) =P() = 1.iii) Si(Bi)i est une suite devenements deux a deux disjoints, on a :

PX(i=1Ai) =P(X1(i=1Ai))=P(i=1X1(Ai)) (car X1(i=1Ai) = i=1X1(Ai))=

i P(X1(Ai) (car Les(X1(Ai)i sont 2 a 2 disjoints)

=

i PX(Ai).

Attention : Ne pas confondre la variable aleatoire avec sa loi. Considerons un de bleu etun de rouge, et notonsXb, respectivementXr, le resultat du lancer du bleu, respectivementrouge. AlorsP(Xb=Xr)> 0 ( En effet ;

P(Xb = Xr) =P(6

k=1

(Xb, Xr) = (k, k)) = 6

36=

1

6.

DoncP(Xb=Xr) = 56). Donc les variables aleatoiresXb etXr sont differentes ; par contre,elles ont la meme loi.Exemple :On tire, avec remise chaque fois, deux boules dun sac contenant 3 boules numerotees de 1a 3.SoitX la v.a. : Somme des points obtenus. On a : = {1, 2, 3}2 et card() = 32 = 9. On a aussi :

X() = {2, 3, 4, 5, 6}.Dou :

{X= 2} = {(1, 1)}, P(X= 2) = 19 .{X= 3} = {(1, 2), (2, 1)}, P(X= 3) = 29 .{X= 4} = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}, P(X= 4) = 39 = 13 .{X= 5} = {(2, 3), (3, 2)}, P(X= 5) = 29{X= 6} = {(3, 3)}, P(X= 6) = 19 .

On peut representer les resultats sous forme dun tableau :

xi 2 3 4 5 6

P(X=xi) 19

29

39

29

19

On verifie que1

9+

2

9+

3

9+

2

9+

1

9= 1

Remarque : La loi deXest determiner parX() et des valeurs

pi= P(X=xi) =PX({xi}).Autrement dit, la loi deXest lensemble des(xi, pi) tels quepi

0 etni=1pi= 1.

30


32/128

3.4 Cas des variables aleatoires reelles

Quand lespace darriveeEdune v. a. X est une partie deR, On dit queX est une v.a. reelle.

3.4.1 Fonction de repartition

Definition 3.3. Soit X une v. a. r. definie sur lespace de probabilite (, P). La fonctionFX definie surR par :

FX(x) =PX(] , x]) =P(X1(] , x])) =P(X x),

est appelee la fonction de repartitiondeX.

La fonction de repartitionFXdune v. a. r. Xverifie les propietes suivantes :

Proposition 3.4. 1. 0

FX

1, limt

FX(t) = 0 et limt

+

FX(t) = 1.

2. FX est croissante3. FXest continue a droite avec des limites a gauche (cadlag).4. pour toutx R, on a : en notantF(x) = lim0 F(x ) la limite a gauche :

P(X=x) =FX(x) F(x).

Preuve.1. Lencadrement0 FX 1 vient du fait queP est a valeurs dans [0, 1].

On a : = n {X n}

et dapres la propriete de la continuite monotone, on a

0 =P() = limn+P(X n) = limn+FX(n) = limnFX(n).

Tandis que :

=n

(X n) (dapres la propriete dArchimid),

Par suite :1 =P() = lim

n+P(X n) = limn+FX(n)2. La croissance decoule de la croissance deP.

3. Montrons que limn+ FX(x + 1n) =FX(x).

On a :

FX(x +1

n) =PX(] , x +1

n]).

La suite des evenementsAn=] , x + 1n ] est et

] , x] = +n=1] , x +1

n].

(En effet, pour touty] , x], on ay x x + 1n pour toutn et donc

y

]

, x +

1

n

].

31


33/128

Reciproquement, touty dans cette intersection verifie :n N, y x + 1n . Le passagea la limite qdn tend vers linfini conservant cette inegalite large.On en deduity x i.e. y] , x].)Dapres la propriete de la croissance monotone,

FX(x) =PX(] , x]) =P(] , x + 1n ])

= limn+ P(] , x + 1n ])= limn+ FX(x + 1n).

La limite a gauche est egalement une consequence de la croissance deFX (Exercice.)(Ind. ecriren] , x 1n ] =] , x[ etFX(x) =PX(] , x[)).

4. On remarque que pour toutx R et toutn N :

PX(]x 1n

, x]) =PX(] , x]) PX(] , x 1n

]) =FX(x) FX(x 1n

).

Or,

{x} = n

]x 1

n , x].Ce qui donne :

P({x}) = limn+PX(]x

1

n, x]).

Remarque : On peut demontrer que deux variables aleatoiresXetY ont la meme fonctionde repartition ssi elles ont la meme loi. Autrement dit :

PX=PY FX=FY.

En pratique : On retrouve la probabilite des intervalles a partir de la fonction de repartition

de la facon suivante : Soit P une probabilite sur (R

, B ), et F sa fonction de repartition,alors pour tousa < b :

P(]a, b]) =F(b) F(a)P([a, b]) =F(b) F(a)P(]a, b[) =F(b) F(a)P([a, b[) =F(b) F(a)P({a}) =F(a) F(a)

Demonstration : La premiere propriete est claire par definition de la fonction de repartition.Montrons la deuxieme : on a

[a, b] = n1]a 1n

, b].

Par limite decroissante, on obtient :

P([a, b]) = limn+P(]a

1

n, b]).

Mais,

P(]a 1n

, b]) =F(b) F(a 1n

)

et

limnF(a

1

n) =F(a),

ce qui prouve le resultat.

32


34/128

Exercice : Montrer les autres ineglites.

Exemple : Considerons lexemple precedent. On a :

X() = {2, 3, 4, 5, 6}

On a :xi 2 3 4 5 6

P(X=xi) 19

29

39

29

19

Determinons la fonction de repartition deX :

FX(x) =P(X x).

Six


35/128

Exercice : SoitXune v.a. reelle dont la loi est definie par :

xi -1 1 2

pi 1

412

14

Determiner la loi deY = 2X+ 1 et deZ=X

2

.Solution :On a lunivers image deY est{1, 3, 5}.

P(Y = 1) =P(X= 1) =14

.

P(Y= 3) =P(X= 1) =1

2.

P(Y= 5) =P(X= 2) =1

4.

De meme , lunivers image deZ est{1, 4}. On a :

P(Z= 1) =P(X= 1) + P(X= 1) =34

.

P(Z= 4) =P(X= 2) =1

4.

Remarques :1. SoitXune v.a. de dans{x1, x2,...,xn}.

La fonction de repartition verifie : x ] , x1[, FX(x) =P() = 0, x [x1, x2[, FX(x) =P(X x) =FX(x1) =P(X=x1) =p1.

...

x [xi, xi+1[, FX(x) = p1+p2+... + pi ( car{X x} ={X = xi ou X =xi1 ou ....ou X =x1}).

X xn, FX(x) = 1 =P().2. Dans le cas discret, comme

FX(xi) FX(xi1) =pi= P(X=xi).

Si on connait la fonction de repartition, on peut reconstruire la loi deXpar differencesuccessives.

Exercice : Soit (a, b) N2 ; a < b ; X est une variable aleatoire discrete de dansNtelle que :

x

|[1, ab]

|; P(X=x) = 1a

1b etP(X=x) = 0 ailleurs.

1) Determiner une CNS sur a et b pour que les relations precedentes definissent effecti-vement une loi de probabilite.

2) Dans ces conditions, tracer la representation graphique de la fonction de repartitionFX deX.

3) Calculer la probabilite pour queX |[a, a+b2 ]|.

3.5.2 Lois continues

Quand la v. a. r. X prend ses valeurs dans un intervalle de R, ou dans une reuniondintervalles deR, on dit queXest une variable aleatoire continue.

34


36/128

Definition 3.6. On dit quune v. a. r. Xadmet une densite sil existe une fonction positive

fX : R R

telle que, pour tout intervalle [a, b] deR, on a

PX([a, b]) =P(X [a, b]) = b

afX(t)dt.

Faisons quelques remarques concernant cette notion :

1. Une densitefX est positive et verifie +

fX(t)dt= 1.

Reciproquement toute fonction verifiant ces deux conditions est la densite dune v.a.r.(on definit la v.a. dont la loi est donnee parP([a, b]) =

ba fX(t)dt)

2. Par definition meme, on a

FX(x) =

x

fX(t)dt.

Par consequent, si la fonctionfXest continue ( ou continue par morceaux), on a :

(FX) = fX.

On passe donc facilement de la fonction de repartition a la fonction densite et vice-

versa.

3.6 Les lois usuelles au programme

Dans toute la suite du chapitre, on fixe un espace probabilise(, A, P), on designe parXune v. a. reelle sur(, A).

3.6.1 Le cas fini

3.6.2 La loi uniforme discrete

Definition 3.7. La v.a.r.Xsuit la loi uniforme sur{

a1, a2,...,an}

siX() ={

a1, a2,...,an}et

PX({ai}) = 1n

, 1 i n.Autrement dit, PXest lequiprobabilite sur{a1, a2,...,an}.Dans ce cas, on noteX U{a1,a2,...,an}.

Exemple : On jette un de non truque et on noteXle resultat obtenu. On a :

X U{1,2,...,6}.

35


37/128

3.6.3 La loi de Bernoulli

Definition 3.8. La v. a. r. Xsuit la loi de Bernoul li de parametrep [0, 1] si elle ne prendque deux valeurs 0 et 1 avec :

P(X= 1) =p, P(X= 0) = 1

p= q.

Dans ca cas, on noteX B(p).

Exemple : On jette une piece de monnaie qui tombe sur pile avec la probabilite p et ondefinitX parX= 1 si on tombe sur pile etX= 0 sinon. Xest une v. a. de Bernoulli.

Remarques :1. SiX

B(p), on peut toujours ecrire

X= 1A, avec A= { /X() = 1}.

cad que la v. a. de Bernoulli est une v. a. indicatrice : elle indique la realisationeventuel le de levenement de probabilitep.

2. Les v. a. de Bernoulli sont naturellement associees a une experience aleatoire qui adeux issues possibles : blan ou noir, pile / face, succes / echec, piece correcte / picedefectueuse, oui / non,....

3.6.4 La loi binomiale

Definition 3.9. La v. a. r. Xsuit la loi binomiale de parametren etp (n

N etp

[0, 1])

si lensemble des valeurs possibles estX() = {0, 1, 2,...,n} etP(X=k) =Cknp

k(1 p)nk, k= 0, 1,...,n.

Dans ce cas, on noteX B(n, p).Remarques :

1. La formule ci-dessus definit bien une loi de probabilite puisque lesCknpk(1p)nk sont

positifs etn

k=0

Cknpk(1 p)nk = (p + (1 p))n = 1n = 1.

2. Les v. a. binomiales sont naturellement associees a la repetition de n experiences

identiques et independantes de Bernoulli a deux issues possibles : succes ou echec.On sinteresse au nombreXde succes obtenus au cours de la realisation denexperiencesaleatoires identiques et independantes.On introduit(1, 2,..., n) la suite des resultats de cesn experiences :

i =

1 si le resultat de la i-ieme experience estS, i= 1,...,n0 Sinon.

Il est evident queX=1+ ... + n =n

i=1 i.Montrons queX B(n, p).

- Les valeurs possibles de sont{

0,1,2,...,n}

.

36


38/128

- Le nombre de tels queX() = k est le nombre de suites de longueurn, formeesdek lettresS et(n k) lettresE. Si la place deSest fixee, celle deE lest aussi.Ce qui revient a choisirk place parmin soitCkn.Dou

P(X=k) =Cknpk(1

p)nk,

k= 0, 1,...,n.

Par exemple, si n = 5 , k = 3 et et 0 = (S ,E ,E ,S ,S ). On a choisi 0 tel queX(0) = 3. Les resultats sont independantes :

P({0}) =p(1 p)(1 p)pp= p3(1 p)2.

Plus generalement, la probabilite dun evenement elementaire vaut :

P({}) =pk(1 p)nk.

ouk designe le nombre de fois ou lon a recontre la lettreS dans.

Exercice .Un couple souhaite avoir exactementn enfants (n N). On considere qua chaque naissancelensemble des possibilites est = {G, F}: G etant levenement avoir un garcon etF etantlevenement avoir une fille, ces 2 evenements etant equiprobables.On considere que les naissances sont independantes.A la ieme naissance, on associe la variable aleatoire discreteXi de Bernoulli, qui prend lavaleur 1 siG est realise, et la valeur0 sinon. SoitX=X1+ ... + Xn.

1. Dans cette questionn= 3.a. Determiner la probabilite que parmi ces trois enfants, le couple ait exactement 3

garcons; exactement 2 garcons ; exactement 2 filles ; exactement 3 filles.b. Determiner la fonction de repartition deX.

2. Determiner la plus petite valeur den pour que la probabilite de ne pas avoir de garconsoit


39/128

3.6.5 Le cas denombrable

On rappelle quun ensemble est dit denombrable si et seulement si il existe une bijectionde N dans . Un ensemble denombrable est donc un ensemble dont on peut numeroter leselements.

3.6.6 La loi geometrique de parametre p]0, 1[Definition 3.10. SoitXune v. a. r.. On dit queXsuit la loi geometrique de parametrepsi et seulement si :

X() = N.k N, P(X=k) =p(1 p)k1.

Remarque : Le fait que la somme des probabilites fasse 1 vient de la formule de sommationdes progressions geometriques :

n rn converge |r| 0

si et seulement si : X() = N.k N, P(X=k) = kek! .Dans ce cas, on noteX P().

Remarque : Le fait que la somme des probabilites fasse 1 vient de la formule de sommationde la serie exponentielle :

R,n

n

n! converge et

n

n

n! =exp().

Champs dapplications : Cest la loi quon obtient en comptant des evenements aleatoiresindependants :

1. Arrivee des particules sur un capteur,2. Nombre de clients entrant dans un magasin,3. comptage de voiture sur une route,4. Etude dattente dans les reseaux dec communication...

Exemple : On supppose que le nombre de clients entrant dans un magasin un jour donneest une variable aleatoire de Poisson de parametre = 12. Quelle est la probabilite de ne pastomber en dessous de 250 entrees de clients durant un mois de 22 jours ouverables ?

(On suppose que les v. a. comptant le nombre dentrees de chaque jour sont independantes.)

38


40/128

SoitXle nombre de clients entrant dans le magasin durant un mois de 22 jours ouverables.On aX=X1+ X2+ ... + X22, avec lesXi sont i.i.d. etXi P(12).Donc,

X P(12 22) = P(264).

P(X 250) = 1 P(X 50 etp


41/128

3.6.8 Le cas continu

3.6.9 La loi uniforme continue sur le segment [a, b] :

Definition 3.13. Une v.a.r. x est dite uniforme sur lintervalle [a, b] (avec b > a) si elleadmet pour densite :

f(x) = 1

b a 1[a,b](x) = 1

ba si a x b,0 sinon.

Dans ce cas, on noteXU[a,b].Remarques :

1) fest clairement mesurable (elle estC par morceaux), positive, et

f(x)dx=

ba

1

b a dx= 1.

2) Soit [, ] [a, b], on a :

PX([, ]) =P( x ) =

1

b a dx=

b a.

De plus tous les intervalles de meme longueur ont meme probabilite.Exercice : Calculer la fonction de repartition de la loiU[a,b].

3.6.10 lois gaussiennes (ou lois normales)

Definition 3.14. Une v. a. r. Xest dite gaussienne de moyennem et de variance2 R+,si elle admet pour densite :

f(x) = 1

22exp(

(x m)2

22 )

Dans ce cas, on noteX N(m, 2).Lorsquem= 0, et= 1 la v. a. Xest dite centee reduite.Remarques :

1. fest clairement mesurable (elle estC), positive, et on peut montrer que lintegralede la densite vaut bien 1- voir TD.

2. Les regions de R a forte probabilite pourN(0, 1) sont les regions ou la densite esteleve.SiX N(0, 1) :

P(X

[

3, 3]) = (3)

F(

3) = 2(3)

1 = 99, 7%,

avec est la fct de repartition de la loiN(0, 1).3. On ne peut pas calculer la fonction de repartition avec des fonction classiques. On

utilise si necessaire une table de valeurs.

Champs dapplications : La loi gaussienne est la lois la plus utilisee en theorie desprobabilites et en statistique. Cela est du au caracteristiques suivantes :

1. Elle permet des developpements mathematiques efficaces.2. Toute linformation est donnee directement par les parametresmet, qui caracterisent

respectivement la valeur moyenne et la dispersion autour de cette valeur moyenne.3. Cest la loi quon obtient naturellement en additionnant un grand nombre de v. a.

independantes (voir theoreme central limite-ch. 7).

40


42/128

4. La plupart des lois de probabilite intervenant dans les tests statistiques comme la loi2 et la loi de student se deduisent de la loi gaussienne par des transformations simples.

2 =

n

i=1X2i avecXi N(0, 1) et sont independantes

5. Elle presente un grand nombre de phenomenes aleatoires comme les erreurs liees auxmesures, la fluctuation des prix, la distribution des tailles de personnes choisies auhasard dans une population donnee, les variations de la longueur des pieces fabriqueesen serie, etc...

Exemple : On suppose que la tail le des individus suit une loi normale de parametresm et.Sachant que4% des individus mesurent moins de 160 cm et11% mesurent plus de 180 cm.Quelle est la valeur dem et ?

Solution : On pose :

Z=

X

m

.

On a, dapres Exo 11 serie no3, Z N(0, 1).Dou :

P(X 160) =P(Z 160 m

) =(160 m

).

Or4% des individus mesurent moins de 160 cm, donc :

(160 m

) = 0, 04.

On a aussi96% des individus mesurent plus de 160 cm, dou

(

m

160

) = 0, 96.

La table de la loiN(0, 1) donne : m160 = 1, 76.De meme :

P(X >160) =P(Z >180 m

) = 1 ( 180 m

).

Or11% des individus mesurent plus de 180 cm, dou :

(180 m

) = 0, 89.

La table de la loiN(0, 1) donne : 180m = 1, 23.Dou le systeme : m 160 = 1, 76m + 180 = 1, 23 = m= 172= 6, 7.3.6.11 La loi exponentielle

Definition 3.15. Soit >0a. La probabiliteP sur(R, B, (R)), dont la densite est donnee par

f(x) =

exp(x) si x >0,= exp(x)1]0,+[(x)

0 sinon

est appelee loi exponentielle de parametre.

41


43/128

b. Soit (, F, P) un espace de probabilite quelconque et X une variable aleatoire de dans R. On dit queXsuit la loi exponentielle de parametre si et seulement si elleadmet pour densite lef defini precedemment.

Remarque 3.1. fest clairement borelienne (elle estC par morceaux), positive, et

R

f(x)dx= 0

exp(x)dx= 1.

Exercice : Montrer que la fonction de repartition de la loi exponentielle est donnee par :F(x) = (1 ex)1[0,+[(x).

Tracer la courbe de F.

Champs dapplications :1. La loi exponentielle intervient en fiabilite pour modeliser la duree de fonctionnement

dun equipement technique : par exemple la duree de vie dun appareil electrique.

2. Elle intervient dans le domaine de la radioactivite : chaque atome radioactif possedeune duree de vie qui sui une loi exponentielle exp(), le parametre sappelle laconstante de desintegration.

3. Elle intervient aussi pour modeliser le temps separant les arrivees de deux clients dansletude dun phenomene dattente : Le temps dattenteT entre deux arrivees suit uneloi exponentielle de parametre, et on a :

P(T > t) =exp(t).Exemple : La fiabilite globale dune carte electronique suit une loi exponentiel le de parametre, avec = 12.106h1. Pour un fonctionnement 24 heures sur 24 pendant 208 jours par an,donnez la probabilite que cette carte electronique fonctionne encore au bout de ces 208 jours.

On at= 24 208 = 5000heures.

SoitX la duree de vie de cette carte electronique, on a

P(X >5000) =exp(0, 000012 5000) = 0, 9418.cad , la probabilite davoir une defail lance pendant la duree de fonctionnement de5000h est5, 8%. Lineret quon porte a cette loi est du a la :

Proposition 3.16. Soit X une v. a. r. suivant la loi exp(), alors X verifie la proprietedabsence de memoire :

s R+, t R+, P(X > t + s/X > t) =P(X > s)(On parle aussi de la propriete de non vieil lissement).

Preuve. On aX exp(), donc

PX>t(X > t + s) = P(X>t+s)

P(X>t)

=

+t+s e

xdx

+t

exdx

= e(t+s)

et =es =P(X > s).

42


44/128

Interpretation :SiXmodelise la duree de vie dun individuA, la propriete queXest sans memoire exprimequeA ne vieillit pas : siA a vecut annees, la probabilite pour quil vive encores annees estla meme que la probabilite pour quun individu similaire aA qui vient de natre vive lui aussis annees. Autrement dit : La duree de vie au-dela de linstantt est independante de linstant

t.

3.7 Variables aleatoires independantes

SoientX etY deux variables aleatoires.a. Cas ou X et Y sont discrietes :

Notons{xi} (resp.{yi}) lensemble des valeurs prises parX(resp. parY).

Definition 3.17. X etY sont dites independantes si, pour tousi etj, on a :

P(

{X=xi

} {Y =yj

}) =P(X=xi)P(Y =yj).

b. Cas ou X et Y sont a densite.

Definition 3.18. X etY sont dites independantes si, pour tous intrevallesI etJ deR, on a :

P({X I} {Y J}) =P(X I)P(Y J).

43


45/128

3.8 Resume du troisieme chapitre

Les lois de probabilites theoriques essaient de decrire des phenomenes aleatoires dans le butde calculer la probabilite de certains evenements et donc davoir une certaine representation

de lavenir.I. Lois discretes :

1. Loi de Bernoulli B(p)La loi de Bernoulli intervient dans le cas dune seule experience aleatoire a laquelleon associe un evenement aleatoire quelconque.La realisation de levenement au cours de cette experience est appelee succes et laprobabilite de realisation est dite probabilite de succes, notee parp. Par contre la nonrealisation de levenement est appelee echec et la probabilite de non realisation delevenement est dite probabilite dechec, note parq= 1 p.

La v. a. X qui caracterise le nombre de succes au cours dune seule

experience aleatoire est appelee v.a. de Bernoulli : elle prend les valeursdans{0, 1} avec probabilites respectivesqetp.Remarque : La v.a. de Bernoulli est une v.a. indicatrice : elle indique la realisationeventuel le de levenement de probabilitep. Le shema de Bernoulli est le plus simpledes modeles probabilistes.

2. Loi Binomiale B(n, p)La loi Binomiale intervient dans le cas de plusieurs (n) experiences aleatoires identiqueset independantes auxqel les on associe un evenement aleatoire quelconque.Les probabilitesp etqrestent constantes au cours de cette suite den experiences.La v. a. X qui caracterise le nombre de succes au cours de n experiences

aleatoires independantes est appelee variable binomiale : elle prend les va-leurs dans{0,...,n}.La probabilite dobtenir k succes et donc nk echecs au cours de n experiencesaleatoires independantes est,

P(X=k) =Cknpk(1 p)nk, k= 0,...,n

Remarque : n= : nb depreuves. k : nb de succes. p : probabilite de succes.Il y a des tables pour eviter de calculer les probabilites devenements lies a la loi

binomiales.

3. Loi GeometriqueG(p)On se place dans une optique differente. A la base il y a toujours lepreuve de Bernoulliqui a deux resultats possibles : evenement de probabilitep et lautre. Mais cette foison ne connait pas le nombre dexperiences.Par exemple : si on lance une piece de monnaie - qui tombe sur pile avec probabilitep- jusqua ce quon tombe sur pile et si on noteX le nombre de lancers effectues, lav.a. X suit la loi de Geometrique de parametre p : elle prend les valeurs dansN.

P(X=k) =p(1 p)k1, k N.

44


46/128

4. Loi de Poisson P(m)La loi de Poisson intervient pour des phenomenes aleatoires dont le nombre derealisations varie de 0 a+ et dont le nombre moyen de realisations est connue.Exemple : nb dappels recus par un standard telephonique, nb daccidents de la cir-

culation, nb de visiteurs dun centre commercial...

La variable aleatoire X qui caracterise le nombre de realisations de cephenomene est app elee variable de Poisson : elle prend les valeurs 0,1, ...

P(X=k) =emmk

k! .

Theoreme dapproximationSoitXune v.a. verifiantX B(n, p), telle quenpn m quandn .

AlorsXn P(m) quandn .En pratique

n >50 etp


47/128

3.9 Exercices

Exercice 1.

1. On lance un de equilibre ; prenons ={1,..., 6}, on muni de la tribuP(). Onmet surP()la probabilite uniforme ( ce qui correspond au fait que le de est equilibre).SoitX la v.a. reelle definie parX(3) =X(6) = 1 etX(1) =X(2) =X(4) =X(5) = 0.X indique si le numero sorti est un multiple de 3.Donner la loiPXde la v.a. X.

2. On lance un de equilibre jusqua obtention dun numero multiple de 3. on noteY lenombre de lancers necessaires pour lobtenir.Calculer la loi de probabilite deY.(Indication calcuerP(Y =n), pourn N).

Exercice 2.

On jette lun apres lautre deux des tetraedriques (les 4 faces numerotees de 1 a 4), equilibres.Associons a cet experience lunivers = {1,..., 4}2. On noteXle plus grand ( au sens large)des numeros apparus.

1. Donner un espace probabilise qui modelise cet experience aleatoire.

2. Montrer queXest une variable aleatoire.

3. Calculer la loiPXde la v.a. X.

4. Trouver la fonction de repartitionFXde la v.a. X.

5. Tracer la courbe representative deFX.

Exercice 3.Un couple souhaite avoir exactementn enfants (n N). On considere qua chaque naissancelensemble des possibilites est = {G, F}: G etant levenement avoir un garcon etF etantlevenement avoir une fille, ces 2 evenements etant equiprobables.On considere que les naissances sont independantes.A la ieme naissance, on associe la variable aleatoire discreteXi de Bernoulli, qui prend lavaleur 1 siG est realise, et la valeur0 sinon. SoitX=X1+ ... + Xn.

1. Dans cette questionn= 3.a. Determiner la probabilite que parmi ces trois enfants, le couple ait exactement 3

garcons; exactement 2 garcons ; exactement 2 filles ; exactement 3 filles.b. Determiner la fonction de repartition deX.

2. Determiner la plus petite valeur den pour que la probabilite de ne pas avoir de garconsoit


48/128

aucune piece defectueuse ?

2. Quelle est la probabilite que la premiere piece defectueuse ne soit pas lune des 20premieres sorties de la chane ?

Exercice 5.SoitX1,...,Xn, n variables definies sur le meme espace de probabilite, independantes et quisuivent la meme loi de BernoulliB(p) de parametre p, ou p]0, 1[. On note S la variablealeatoire discrete qui vaut 0 si pour tout i {1,...,n} Xi = 0, et qui vaut 1 dans le cascontraire.Determiner la plus petite valeur den pour queP(S= 0) 103.Application :Un texte comporte une erreur. On relit ce texte n fois de maniere independante, a chaquefois, la probabilite de remarquer cette erreur est 12 . Determiner la plus petite valeur den pourque la probabilite de ne pas avoir remarque cette erreur soit 11000 .

Exercice 6.Dans une pepiniere 95% des fleurs sont supposees sans virus. Par commodite les fleurs sontrangees par paquets de 2. Un paquet est dit sain si les deux fleurs le sont.

1. Quelle est la probabilite davoir un paquet sain ?2. X=nb de paquets sains sur un lot de 10. Quelle est la loi deX.3. Un lot de 10 est accepte par lacheteur si 9 au moins des paquets sont sains.

Quelle est la probabilite quun lot soit accepte ?

Exercice 7.Une usine employant 30 personnes dont 4 ingenieurs, 10 techniciens et 16 ouvriers.

1. On choisit de facons successive 3 employes : calculer la probabilite davoir un employede chaque categorie professionnelle.2. On choisit de facon successive 3 employes et soitX la variable aleatoire qui represente

le nombre dingenieurs choisis. Donner la loi de probabilite deX.

Exercice 8. On etudie la duree des communications telephoniques dont la fonction derepartition est :

F(x) =

0 si x


49/128

Fig. 1 -Fonction de repartitionFde la v.a. X

1. Pour toutx R, montrer que :

P(X=x) =F(x) F(x),

avecF(x) = lim0 F(x ).2. En exploitant les informations fournies par ce graphique1, donner les valeurs des pro-

babilites suivantes.

P(X= 0), P(X 0), P(4 X 6), P(0< X


50/128

a. Calculer la probabilite pour que le nombre de pieces en stock soit compris entre 80et 160.

b. Calculer la probabilite pour que le nombre de pieces en stock soit superieur a 200.c. Calculer la probabilite pour quil y ait rupture de stock.d. Interpre ter ces resultats.

On donne

(0, 8) = 0, 7881, (1, 6) = 0, 9452 et (2, 4) = 0, 9918.

Exercice 12.SoitUune v. a. r. de loi uniforme sur [0, 1], etXla variable aleatoire definie par

X= 1p

ln(U),

oup >0. Determiner la loi deX.

Exercice 13.Environ 5% des reservations aeriennes sur une ligne donnee ne sont pas utilisees, et cestpourquoi une compagnie vend 100 billets pour 97 places.Quelle est la probabilite pour que tous les passagers aient une place ? Faire le calcul exact(avec une loi binomiale), et le calcul approche (avec une loi de Poisson).

Exercice 14.SoitXune v. a. uniforme sur [1, +1].

1. CalculerP(

|X

|> 12)

2. Quelle est la densite de la v. a. Y = |X|.Exercice 15.On jette 5 des. Apres le premier lancer, on reprend et on lance les des qui nont pas donnede six, jusqua ce quonobtienne 5 six. SoitX le nombre de lancers necessaires.

1. CalcuerP(X n) puisP(X=n) pourn N.2. Combien de lancers sont necessaires en moyenne pour obtenir les 5 six ?

Exercice 16.On desire modeliser le temps dattente dune panne de machine a laide de variables alatoiressans memoire : la probabilite pour que la machine tombe en panne apres la datek + nsachant

quelle fonctionne a linstantn est independante den.

1. Montrer que la loi geometrique de parametre p est sans memoire : cest a dire queP(X > k+ n/X > n) est independante den.

2. Caracteriser toutes les lois des variables aleatoiresX a valeurs dansNqui sont sansmemoire. On pourra calculerP(X >1 + n) en fonction deP(X >1).

3. Caracteriser toutes les lois des variables aleatoiresX a valeurs dansN qui sont sansmemoire.

1Cet exercice constitue le sujet dun devoir libre.

49


51/128

Chapitre 4

Esperance et variance dunevariable aleatoire reelle

Soit(, F, P) un espace de probabilite etXune v. a. de dansR.

4.1 Cas des variables aleatoires discretes

Considerons le cas ou est fini etF= P(). La moyenne des valeursX() est :

m=

X()card()

.

SiP est lequiprobabilite, pour tout , P({}) = 1card() .Donc

m= X()P({})Si P est une probabilite quelconque,

X()P({}) est la moyenne des valeurs X()

ponderees par les probabilites des evenements elementaires{}.En calcul des probabilites, cette moyenne est appelee esperance deXet noteeE(X).Donc si est fini,

E(X) =

X()P({}).

Soit X une v. a. r. discrete prenant ses valeurs dans lensemble{xi}iI, I N. Enregroupant les pour lesquelsXprend la meme valeur, on obtient

E(X) = iI xiP(X=xi), carP(X=xi) = /X()=xi P({})Nous allons definir le concept de probabilite dune v. a. r., qui, representera sa valeur

moyenne.

Definition 4.1. 1. On dit queXest integrable si la somme

iI |xi|P(X=xi)converge.2. SiXest integrable, son esperance est donnee par :

E(X) =iI

xiP(X=xi) =

xX()xP(X=x).

Remarques : 1) La somme

iI |xi|PX(xi)est soit une somme finie (siX()est fini)

et dans ce cas, lesperance existe toujours, soit une serie a terme positifs (siX() est une

50


52/128

partie denombrable infinie), et dans ce cas, la serie peut etre divergente et avoir une sommeegale a+.Rappelons que dans le cas dune serie a termes positifs, la suite des sommes partielles estcroissante, et deux cas se presentent donc :

- soit la suite de ces sommes partielles est majoree et la serie est convergente ;

- soit la suite de ces sommes parielles tend vers+ et la serie diverge vers+.Exemples :

1. SiXest une v.a. constanteX=c, alorsE(X) =c.2. SoitXune v.a. discrete dont la loi est donnee par :

x 2 3 4 5 6

P(x=x) 1929

39

29

19

E(x) = 2 19

+ 3 29

+ 4 39

+ 5 29

+ 6 19

= 4.

3. SoitXune v.a. de Bernoulli de parametrep.On aX=1A, alorsE(X) =E(1A) =P(A) =p.En effet, X() = {0, 1}.On a{X= 1} =A = {/X() = 1}.Donc

E(X) = 0.P(X= 0) + 1 P(X= 1)= P(X= 1) =P(A).

Remarque : Si pour touti I, on a : a xi b, on a :

a E(X) b,

car

iI aP(X=xi) E(X) iI bP(X=xi)et comme

iIP(X=xi) = 1, on a le resultat.

En particulier, siX 0, alorsE(X) 0.

4.1.1 Esperance dune fonction dune variable aleatoire reelle

Soitg une fonction definie surX() a valeurs dansR.

Theoreme 4.2. (Theoreme de transfert)Si I est fini ou si la serie

iIg(xi)P(X = xi) est absolument convergente, alors la v.a.

g(X) admet une esperance et on a :

E(g(X)) = iI g(x

i)P(X=xi).

Preuve. Dans le cas ouI= |[1, n]|.SoitY =g(X). Yprend les valeurs : y1, y2,,...,ym avec les probabilites :

P(Y =yj) =iIj

P(X=xi)

ouIj = {i/g(xi) =yj}.

51


53/128

Donc :

E(Y) =m

j=1 yjP(Y =yj) =m

j=1 yj[

iIj P(X=xi)]=m

j=1[

iIj yjP(X=xi)] =m

j=1[

iIj g(xi)P(X=xi)]=

iIg(xi)P(X=xi), car(Ij)1jm est une partition de|[1, n]|.

Remarque :1. Sig= id, on retrouve la formule donnant lesperance.2. Si la fonctiong est bornee, la formule pourE(g(X))est valable sans aucune condition.

4.2 Cas des variables aleatoires a densite

Definition 4.3. SoitXune v. a. r. a densite.1. On dit queX est integrable si lintegrale

|x|fX(x)dx converge.2. SiXest integrable, son esperance est donnee par :

E(X) = xfX(x)dx.Exemple :SoitX U[a,b] aveca < b.Alors :

E(X) =

+

xf(x)dx=

+

x

b a dx= 1

b a [x2

2]ba=

b + a

2 .

Exemple :SoitX U[a,b] aveca < b. Et soitg(x) =exp(x)Alors :

E(g(X)) =E(exp(X) =

+ g(x)f(x)dx

= +

exp(x)b

a dx= 1b

a [exp(x)]ba =

exp(b)exp(a)b

a .

Lanalogue du theoreme de transfert, dans ce cas, est le resultat suivant :

Theoreme 4.4. SoientXune v. a. r. a densite eth une fonction continue. Alorsh(X) estintegrable si et seulement si lintegrale

|h(x)|fX(x)dx converge.Dans ce cas, on a

E(h(X)) =

h(x)fX(x)dx.

4.3 Linearite de lesperance

Proposition 4.5. 1. SiX etY sont deux v. a. integrables, et sia R, alorsaX+ Yest integrable et

E(aX+ Y) =aE(X) + E(Y).

2. SiXest une v. a. positive, alorsE(X) 0.SiX etY sont deux v. a. integrables, et siX Y, alorsE(X) E(Y).

Autrement dit, X E(X) est une forme lineaire positive.

Preuve.1. La demonstration repose sur un schema classique : on montre dabord la linearite pour

les v. a. simples, puis par approximation, pour les v. a. positives, et finalement, pourtoutes les variables aleatoires integrables en utilisant que E(X) = E(X+) E(X).(Hors programme).

52


54/128

2. Clair par definition de lesperance dune variable aleatoire. On deja demontre lererultat dans le cas discret. Noter aussi que siX Y, alorsY X 0.

4.4 Moments, variance et ecart-type

Definition 4.6. SoientXune v.a.r. etk N. On dit queXadmet un moment dordreksi la v. a. r. Xk est integrable.Dans ce cas, la valeurE(Xk) est appelee moment dordrek deX. On note

mk(X) =E(Xk).

Remarque 4.1. 1. Le moment dordre1 deX, si il existe, est lesperance deX.2. SoitXv. a. a densitef. Comme la fonctionx xr est continue, donc si+ xrf(x)dx

converge absolument, mr(X) existe et on a :

mr(X) = +

xrf(x)dx. ( theoreme de transfert).

3. Si la v. a. r.Xadmet un moment absolu dordrer fini, elle a aussi un moment absoludordrep fini pour toutp |[0, r]| : En effet :Si0 p r, on a :

|X|p 1{|X|1}+ |X|p1{|X|>1} 1 + |X|r.( car : 1= 1{|X|1}{|X|>1}= |X|p = |X|p1{|X|1}+ |X|p1{|X|>1}.)

Definition 4.7. SoitXune v.

Documents

Cours De Probabilité mr LAKHAL Elhasan