Cours de Robotique Avanc ee - isir.upmc.fr Robotique 834(1).pdf  Cours de Robotique Avanc ee Redondance

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    Cours de Robotique Avancee

    Redondance et Optimisation

    Ph. Bidaud

    Universite Pierre et Marie Curie - Paris 6Master Sciences de lIngenieur

  • Objectifs du cours

    Ce cours aborde les methodes utilisees en Robotique pour traiter des problemesdanalyse et de commande de systemes complexes. Les systemes complexes consideresici sont :

    1. Les systemes de manipulation redondants cinematiquement

    2. Les systemes non-holonomes

    3. Les systemes a architecture parallele

    4. Les systemes de manipulation coordonnee avec des liaisons unilaterales

    On recouvre lessentiel des problematiques auxquelles on est confronte dans le cadre dela manipulation dextre, la prehension articulee, la locomotion a roues et a pattes, etc ...

    Plan du cours

    1. Cinematique des systemes redondants.

    2. Dynamique des systemes redondants et containts

    3. Cinematique et statique des systemes paralleles et de manipulation coordonnee

    4. Stabilite des contacts unilateraux

    5. Les quantificateurs de performance

    6. Methodes doptimisation multi-criteres

    2

  • Contents

    1 Introduction 6

    2 Cinematique des systemes redondants 62.1 Generateur du mouvement, noyau et leurs complements orthogonaux et

    reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Definition de la redondance cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Analyse du probleme de la redondance cinematique . . . . . . . . . . . . 82.4 Definition dun modele geometrique inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.4.1 Solution par la Jacobienne transposee . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4.2 Solution par la pseudo-inverse de Moore Penrose . . . . . . . . . . 12

    2.5 Homogenesation de J pour le calcul de la pseudo-inverse . . . . . . . . . 142.6 Methodes de determination des mouvements internes . . . . . . . . . . . 15

    2.6.1 Vecteurs du noyau de J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.6.2 Tache secondaire dans lespace articulaire . . . . . . . . . . . . . 162.6.3 Tache secondaire dans lespace cartesien . . . . . . . . . . . . . . 192.6.4 Autre formulation de la tache secondaire . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.7 Augmentation de lespace operationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8 Utilisation de methodes doptimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.8.1 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.8.2 Programmation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.9 Determination des configurations singulieres dans les manipulateurs re-dondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.10 Passage des singularites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3 Dynamique des systemes redondants et contraints 273.1 Principe de dAlembert et travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Modele dynamique inverse des systemes series . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Modele dynamique cartesien des manipulateurs non-redondants . . . . . 313.4 Modele dynamique articulaire des manipulateurs redondants . . . . . . . 323.5 Modele dynamique operationel des manipulateurs redondants . . . . . . . 333.6 Modele dynamique des systemes contraints . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    3.6.1 Multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6.2 Reduction du modele dynamique par resolution des multiplicateurs

    de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6.3 Resolution des accelerations generalisees par optimisation . . . . . 383.6.4 Reduction des equations par le complement orthogonal . . . . . . 38

    4 Commande des systemes redondants 434.1 Commande en acceleration des manipulateurs redondants . . . . . . . . . 434.2 Commande en vitesse des manipulateurs redondants . . . . . . . . . . . . 444.3 Commande en couple des manipulateurs redondants . . . . . . . . . . . . 45

    3

  • 5 Systemes paralleles et systemes de manipulation coordonnee 465.1 Systemes paralleles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    5.1.1 Exemples de systemes paralleles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.1.2 Modele cinematique des systemes paralleles . . . . . . . . . . . . 475.1.3 Modele cinematique des systemes paralleles contraints . . . . . . . 495.1.4 Modele cinematique des systemes paralleles redondants . . . . . . 535.1.5 Modele statique des systemes paralleles . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.6 Modele dynamique des systemes paralleles . . . . . . . . . . . . . 54

    5.2 Systemes de manipulation coordonnee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.1 Statique de la manipulation coordonnee . . . . . . . . . . . . . . 585.2.2 Modele des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.3 Modelisation du contact entre 2 solides . . . . . . . . . . . . . . . 585.2.4 Transmission de mouvement dans les liaisons par contact . . . . . 595.2.5 Champ des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.2.6 Modele de frottement de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.7 Application a la modelisation dune prise . . . . . . . . . . . . . . 635.2.8 Etude de lequilibre de la prise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.9 Famille de reactions statiquement admissibles . . . . . . . . . . . 675.2.10 Analyse algebrique de lequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.11 Determination des forces de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.12 Determination des composantes de serrage . . . . . . . . . . . . . 695.2.13 Rigidite de la prise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.3 Cinematique de la manipulation coordonnee . . . . . . . . . . . . . . . . 725.3.1 Equations de fermeture des chanes cinematiques . . . . . . . . . 725.3.2 Utilisation des torseurs reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.3.3 Projection des mouvements transmis par les doigts sur les contraintes 73

    5.4 Introduction de la cinematique des contacts . . . . . . . . . . . . . . . . 755.4.1 Dynamique de la manipulation coordonnee . . . . . . . . . . . . . 76

    5.5 Cas particulier des robots humanodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5.1 Caracterisation de lequilibre dun humanode . . . . . . . . . . . 78

    6 Analyse des performances 816.1 Indices de manipulabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    6.1.1 Indice de manipulabilite cinematique . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    7 Analyse des performances 827.1 Transmission des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.2 Transmission des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 Transmission des accelerations (manipulabilite dynamique) . . . . . . . . 867.4 Indice de rigidite sun systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.5 Indice de stabilite dun systeme dappuis unilateraux . . . . . . . . . . . 87

    4

  • 8 Configurations singulieres et domaine de travail 878.0.1 Configurations stationnaires dun mecanisme serie . . . . . . . . . 878.0.2 Determination du domaine accessible en position . . . . . . . . . 898.0.3 Extension au mecanismes paralleles . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    9 Techniques doptimisation 91

    5

  • 1 Introduction

    Les systemes robotiques presentent generalement un degre de complexite qui imposede reconsiderer les techniques de modelisation et de commande de leur comportement.Lune des dimensions particulieres dans la complexite des systemes est liee au nombrede leur degre de liberte qui peut induire une redondance/abondance vis-a-vis des tachesa realiser.

    Lexploitation de la redondance cinematique est le premier des points que nous ex-aminerons. Cette redondance peut notamment servir a optimiser par la commande lecomportement du systeme du point de vue de certaines de ses performances. Ce problemepeut etre aborde dun point de vue cinematique ou dynamique selon le type controle bas-niveau mis en oeuvre sur le systeme.

    Une autre dimension dans la complexite des systemes est induite par le fait des con-traintes imposees par des liaisons non-holonomes ou par des cycles cinematiques multiplesdans le mecanisme. Nous considererons les problemes de modelisation et de commandede systemes non-holonomes, de systemes paralleles ainsi que de systemes presentant desliaisons par contact de pour lesquels la persistance de la liaison doit etre maintenue.

    Nous introduirons un certain nombre de moyens pour quantifier les performancescinematiques et dynamiques de ces systemes et nous envisagerons leur utilisation dansleur commande (lorsquils concernent des variables de commande) ou leur conception(lorsquils portent sur des parametres structurels).

    Enfin, nous reviendrons sur plusieurs techniques doptimisation particulierement adapteesau traitement des problemes exposes. Nous introduirons egalement des techniques adapteesau multi-critere.

    2 Cinematique des systemes redondants

    2.1 Generateur du mouvement, noyau et leurs complementsorthogonaux et reciproques

    La relation entre lespace des vitesses generalisees et des vitesses operationnelles est uneapplication lineaire dont J est la matrice associee. Le produit Jq peut etre vu commeune combinaison lineaire des vecteur-colonnes de J . Aussi, on peut definir :

    1. Le generateur de lapplication definit lensemble des vitesses transmissibles par lesysteme.

    R(J) ={X Rm/q Rn X = Jq

    }2. Le complement orthogonal aR(J) constitue lensemble des vitesses non-transmissibles.

    R(J) ={X Rm/X R(J) X tX = 0

    }3. Le complement reciproque a R(J) definit les actions naturellement transmissibles

    R(J)R ={F Rm/X R(J) F tX = 0

    }

    6

  • 4. Le noyau de lapplication constitue lensem