Cours de Résistance

Projet de RDM S3/S6M ENIb

Erwan Contal Version du 13/1/2020

1

Livre 3

Chapitre VI : comportement élastique linéaire

Relations contraintes déformations

Le champ de contraintes et le champ des déformations sont liés. Recherchons ce lien.

I : loi de Hooke

Soit une éprouvette homogène et isotrope.

Dimensions initiales : L0, a0, b0

On lui applique un effort F

suivant X

. Les dimensions finales sont L, a, b

Dans la partie centrale de l’éprouvette (loin des points d’application des forces)

s’établit un champ uniaxial de contraintes.

S

FM

Z

Y

X

CCC

X

X

M

ZMYMXM

;)(;

000

000

00

)(

),(),(),(

On mesure les dilatations linéaires :

nulssontleset

E

ESE

F

a

aa

ESE

F

L

LL

ij

XZ

XY

XX

;

.

.

.

.

.

0

0

0

0

Les directions principales des contraintes correspondent aux directions

principales des déformations.

b0

a0

L0 X

Y

Z



2

Cas général :

Les trois contraintes principales sont non nulles.

Taux de déformation

Dû à X

Dû à Y

Dû à Z

X

E

X

E

Y .

E

Z .

Y

E

X .

E

Y

E

Z .

Z

E

X .

E

Y .

E

Z

La linéarité des relations permet de superposer les trois états d’équilibre.

zyxZYXMtrs )(

),,,(

100

010

001

...11

..11

..11

..11

zyxMquelconquerepèreundansmêmede

Idavec

IdsE

sEEE

sEEE

sEEE

IJIJIJ

ZXYZ

Z

YZXY

Y

XZYX

X

ijijij IdsE

...11

zyxZYXM

zyzy

xzxz

xyxy

zz

yy

xx

treélongationnsdéformatiodesmatriceladeTrace

E

E

E

sE

sE

sE

relationslesoùd

)(:)(

1

1

1

..11

..11

..11

6'

sE

e

.21



3

Coefficients de Lamé :

ijijijijijij Ids

EIds

E.

11...1

1

ijijij IdeEE

.211

.

1

.2

5.0

0

:

2

.2.3

;

211

.

)(mod2.1

G

remarques

E

etEcommematériauxleentcaractérisilsLamédetscoefficienlessontet

E

ntcisaillemedeoucoulombdeuleGE

Exemple I : une pièce (1) en alliage d’aluminium 7075 est placée entre deux supports

indéformables, reliés entre eux par quatre boulons identiques en acier (diamètre D, longueur

travaillant h, pas de la vis p). Le montage est supposé parfaitement symétrique.

Au contact, on serre les quatre écrous de 0.05 tour.

On donne : Eacier = 2.10^5 MPa, acier = 0.3, Ealu = 7,2.10^4 MPa, alu = 0.3

Pièce 1 : section carrée de côté a, hauteur h.

AN : h = 1 cm, a = 1 cm, D = 8 mm, p = 1.25 mm.

1 : déterminer les dimensions finales de la pièce (1). Application numérique. Donner la

matrice des contraintes et des déformations au sein de la pièce (1).

2 : on effectue la même expérience mais en empêchant toute déformation de (1) suivant la

direction x

. Déterminer la relation entre la pression de contact p sur les surfaces supérieure et

inférieure et la pression de contact latérale q. Calculer p et q.

3 : on effectue la même expérience mais en empêchant toute déformation de (1) suivant les

directions x

et z

. Déterminer la relation entre la pression de contact p sur les surfaces

supérieure et inférieure et la pression de contact latérale q. Calculer p et q.



4

Solution I :

1 : le problème est hyperstatique (CF solution exemple boulon-entretoise déjà traité)

On trouve

La pièce travaille en traction donc :

[ ] [

],

[ ] [

],

,

2 : on bloque la déformation suivant , donc et une contrainte suivant apparait.

[ ] [

],

(1) x

y

z



5

[ ] [

],

donc

,

, F=P

Hooke :

Géométrie :

D’où p=414 MPa, q=124 MPa, F=41363 N,

,

3 : on bloque la déformation suivant et , donc et une contrainte suivant et

apparaissent.

[ ] [

],

[ ] [

],

donc

(

), F=P

Hooke :

Géométrie :

D’où p=489 MPa, q=209 MPa, F=48871 N,

Exemple II : On comprime du caoutchouc dans un récipient cylindrique d’axe de révolution

, par l’intermédiaire d’un piston sur lequel on applique un effort F. Soit q la pression sur

les parois latérales du cylindre et p celle sur le piston et le fond. Un talcage du cylindre de

caoutchouc permet de négliger les frottements caoutchouc-cylindre.

1 : Ecrire la matrice des contraintes au sein du caoutchouc.

En déduire la matrice des déformations du caoutchouc

2 : Donner la relation entre p et q si la déformation du cylindre en acier est nulle. Calculer la

variation de volume du caoutchouc. Faire l’application numérique. Conclure.

3 : Donner la relation entre p et q si le cylindre en acier est une enveloppe mince déformable

(on négligera la déformation du fond)

A.N :

MPaEMPaE caoutchoucacieraciercaoutchouc

33 10.1.0,10.210,3.0,5.0

rayon intérieur du cylindre = 8 cm, épaisseur = 2mm.



6

Solution II :

1 :

[ ] [

]

,

[ ] [

],

2 :

donc

; AN : q=p, le caoutchouc se comporte comme un fluide : la pression est la

même en tout point.

Variation relative de volume :

[ ]

AN :

, le caoutchouc est incompressible

3 : ça se complique ! Voici l’idée :

On a vu que la paroi travaille en traction : le périmètre va donc augmenter et l’épaisseur va

diminuer (Poisson). On égalise ensuite le déplacement radial de la paroi avec celui du

caoutchouc, et on obtient une relation entre p et q…



7

Chapitre VII : dimensionnement d’un arbre

I : énergie potentielle élastique

C’est l’énergie emmagasinée lors de la déformation.

On isole un pavé élémentaire dX, dY , dZ.

Problème : évaluer le travail des efforts extérieurs

zyzyxzxzxyxyzzyyxx

MM

ZZYYXX

ZZ

YY

XXXX

dV

dW

principalnonrepèreundans

trdV

dW

dVdWtotaltravail

dVdWz

dVdWy

dVdXdZdYdWx

dXdX

XXeélémentairtdéplacemen

dSS

FdFeélémentaireffort

XdFdWdéfinitionpar

22

1

:

2

1

2

1:

2

12

12

1

2

1

2

1:

)()(

X

Y

Z



8

II : contraintes admissibles – contraintes équivalentes

Les contraintes et les déformations doivent être acceptables pour le matériau (inférieures à un seuil).

II 1 : contraintes admissibles : a .(critère élastique) ou Rp (critère à la rupture)

Exemple : barre travaillant en traction simple. Pour un matériau, on définit tractione et pR

Essai de traction du matériau

Le coefficient de sécurité est là pour tenir compte de facteurs divers :

La non homogénéité du matériau (petits défauts moléculaires), les différences statistiques sur

les caractéristiques du matériau, ses altérations, les phénomènes de fatigue (le fil de fer que

l’on plie plusieurs fois et qui finit par casser !)

Un autre coefficient entre en jeu : le coefficient de concentration de contraintes kc :

Un arbre usiné (rainure de clavette, rainure de circlips, augmentation de diamètre…) sera

moins résistant qu’un arbre de diamètre inférieur non usiné (à matériau identique).

Les deux coefficients (sécurité et de concentration de contrainte) se multiplient et divisent la

contrainte limite (élastique ou de rupture).

contrainte de

limite contrainte

ionconcentrattcoefficientractionenélastiquesécuritétcoefficien

tractionenélastique

kk cet

tractione

a

Ou

contrainte de

limite contrainte

ionconcentrattcoefficientractionenrupturesécuritétcoefficien

tractionenrupture

kkR

cRt

Rt

p

Abaques des coefficients de contraintes dans un arbre : retrouvez les sur « Meca Tools »

σ

ε



9



10



11

II 2 : contraintes équivalentes eq

On connaît grâce aux essais mécaniques la résistance élastique et à la rupture d’un matériau

soumis à une sollicitation simple.

Exemple : pour un acier ordinaire, la limite élastique en traction est de tractione =340 MPa, et

de 250 MPa en cisaillement. Si cette dernière n’est pas connue, elle est alors minorée en

divisant par 2 tractione , (170 MPa ici).

Mais quelle contrainte équivalente prendre en cas de sollicitations composées ?

Il faudra alors comparer cette contrainte équivalente eq à tractione (pour un acier ordinaire,

340/ke/kc).

eq peut être définie selon plusieurs critères :

A : pour les matériaux fragiles (fontes)

a : critère de Rankine (contrainte principale maximale)

ZYXeq ,,sup

b : critère de Saint Venant (déformation principale maximale)

ZYXeq E ,,.sup

B : pour les matériaux ductils ou malléables (aciers usuels, alliages d’aluminium)

c : critère de Tresca (contrainte tangentielle maximale) (utilisation plus large que Von Mises)

2sup.2 JI

eq

, ce qui correspond au diamètre du plus grand des trois cercles de Mohr.

d : critère de Beltrami ou Von Mises (énergie de déformation maximale) (plus précis

que Tresca pour la torsion pure et le cisaillement pur)

2/1..2²²² YZZXYXZYXeq

Démarche de dimensionnement

On commence par déterminer les efforts inconnus (transmis par les liaisons

généralement) PFS sur l’ensemble du système.

On détermine ensuite le torseur de cohésion en P, un point courant de la ligne

moyenne. Souvent on distingue plusieurs cas.

On trace les diagrammes des sollicitations simples pour déterminer la section la plus

sollicitée.

On détermine la matrice des contraintes relative à chaque sollicitation simple dans la

section la plus sollicitée. On calcule le coefficient de concentration de contraintes, si

nécessaire.

On détermine les contraintes principales en diagonalisant la matrice des contraintes.

On en déduit la contrainte équivalente avec un critère adapté.

On calcule les dimensions de la pièce en fonction du matériau, ou on choisit le

matériau en fonction des dimensions pour que la contrainte soit inférieure à la

contrainte maximale admissible.



12

Voici une vidéo vous expliquant la démarche de dimensionnement d’un arbre par le

critère de Tresca : Vidéo Tresca

Exercice 1 : dimensionnement d’arbres (flexion + torsion)

Une poutre circulaire en acier de rayon R, de longueur L = 0,4 m est encastrée au point O.

Elle est soumise aux actions suivantes :

action modélisée par le glisseur: 01 yFA1G

action modélisée par le glisseur: 02 xFA

2G

action modélisée par le couple: xCA 0C

Données :

Eacier = 200000 MPa, Re = 500 MPa, coefficient de sécurité s = 2.

F1 = 5000 N ; F2 = 40000 N et C = 250 N.m .

1.1. Déterminer le torseur transmis par la liaison encastrement au point O.

1.2. Déterminer les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion

au point P d’abscisse x, centre de la surface de coupure S.

1.3. Tracer les diagrammes des états de sollicitation.

1.4. Ecrire les matrices des contraintes pour chacune des sollicitations simples prises

séparément.

En déduire le point M le plus sollicité de la section la plus sollicitée.

Ecrire la matrice des contraintes en M.

Déterminer les contraintes principales en M.

Dimensionner l’arbre (R) à la torsion idéale.

2F

S x

P O

y

x

1F

CA

L

https://youtu.be/hkjpWSF_z7s



13

Solution I :

1.1. Déterminons le torseur transmis par la liaison encastrement au point O.

On isole la poutre

Bilan des actions extérieures

- action de pesanteur : négligée / aux autres

- action de l’encastrement au point O:

- actions au point A :

La poutre est en équilibre par rapport au repère galiléen ),,,( zyxORg , on peut donc appliquer le PFS

En projetant dans la base ),,( zyx

1.2. Déterminons les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de

cohésion au point P d’abscisse x, centre de la surface de coupure S.

On isole le morceau de gauche (G)

par déf.: )G/D(coh TT

),,,(),,,( zyxPttnPR zy

repère local associé à la surface de coupure S


- action du morceau de droite D :


- action de l’encastrement au point O:

Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen Rg, on peut donc appliquer le PFS

),,(

,)/(

zy ttnP

cohP

MfzTz

MfyTy

MtN

cohPMRGD

cohTT

même point P

OGG O TTT coh)/( 0)/( Ocoh RRGGR

0,,)/,( OPMPMGGPM TT coh

D/G

BO

O

A

S

P Encastrement O

x

P

P (G)

ty

n

),,(

,

zyxOO

OO

OO

O

OOOO

NZ

MY

LX

OMR

TT

même point O

Opp A TTT O)/(0)/( AO RRppR

0,,)/,( AOMOMppOM TT O

0)/( 2 FXxppR O

0)/,( CLxppOM O

1

1

2

0

0

LFN

M

CL

Z

FY

FX

O

O

O

O

O

O

zFLxCyFxFxLxCROAAMOM AAA 112 )()((,, TT

),,(

1

2

21

00

0000,

zyxA

AAAAAAA F

CF

xCxFyFAMR

TCGGT 21

0)/( 1 FYyppR O

00)/( OZyppR

00)/,( OMyppOM

0)/,( 1 LFNzppOM O

),,(1

1

2

0

0,

zyxO

OOOO

LF

F

CF

OMR

TT

zFxLxCzFxzFLxCyFxFxxzFLxCRPOOMPM OOO 111121 )()()()(,, TT

),,(1

1

2

0

0,

zyxO

OOOO

LF

F

CF

OMR

TT



14

En projetant dans la base locale ),,(),,( zyxttn zy

A.N.:

0)/( 2 FNxGGR

0)/( 1 FTyyGGR

0)/,( CMtxGGPM

1

1

2

)(

0

0

FxLMfz

Mfy

CMt

Tz

FTy

FN

00)/( TzzGGR

00)/,( MfyyGGPM

0)()/,( 1 FxLMfzzGGPM 20005000

0

250

0

5000

40000

xMfz

Mfy

Mt

Tz

Ty

Nen N

en N.m

TyFdx

dMfz 1Tz

dx

dMfy 0On vérifie que

S x

P O

y

x

1F

CA

L

2F

x

Mfy

(N.m)

x

Mt

(N.m)

(N.m)

Mfz

x

N

(N)

x

Tz

(N)

x

x

Ty

(N(N)

40000

-5000

250

-2000

),,(

20000

05000

25040000

,

zyxO

cohO

MfzTz

MfyTy

MtN

cohOMR

cohTLa section de centre O est la plus sollicitée

(valeurs exprimées en N pour les résultantes

et en N m pour les moments)



15

Donnons au point M le plus sollicité de la section de centre O.

La matrice des contraintes de traction.

En tout point M de la section de centre O et dans une base ,,x

La matrice des contraintes de flexion.

O

x

O

x

O

O

x

Q

D

x

O

,,000

000

00

)(

x

t

t M

2

4

D

N

S

Nt

NN 400000

y

z

yy

z

Mf =Mfz z

Mf =Mfz z

M

Nous choisissons le point M parmi les deux points les plus sollicités de la section de

centre O, en effet au point M nous avons :

- Contrainte normale de flexion :

- Contrainte normale de traction:

DM M

zyx

Mf

f M

,,000

000

00

)(

64),(

2

),(4

33

DzOI

Dy

avecyzOI

Mf M

MMf

3

32

D

MfMf

C (M, x)=Mf x

C (M, x)=t x

N = N x

N = N x

mNMfzMf .2000

Mf =Mfz z

D



16

La matrice des contraintes de cisaillement.

En tout point M de la section de centre O et dans une base zyx ,,

La matrice des contraintes de torsion.

La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre O.

O

x

O

x

O

y

z

y

y

z

yTTaOn

Mt x

Mt = Mt x

M M M

zyxMto

Mto

to M

,,00

000

00

)(

32

24

DI

Dr

avecrI

Mt

O

M

M

O

Mto

3

16

D

MtMto

C (M, x)=ci y

O

x

O

x

O

D

2

4

D

T

S

Tci

33 ,,000

00

00

)(

zyx

ci

ci

ci M

T = T y

T = T y

T = T y

mNMt .250

Mt = Mt x

Dy

z

yy

z

)()()()()( MMMMM tofcit

En utilisant le PRINCIPE DE SUPERPOSITION on a :

zyxMto

Mto

zyx

Mf

zyx

ci

ci

x

t

M

,,,,,,,,00

000

00

000

000

00

000

00

00

000

000

00

)(

C (M, x)=Mto z3

NTyT 5000

zyxxz

xy

xzxyx

zyxMto

ci

MtociMft

M

,,,,00

00

00

00)(



17

Diagonalisation de la matrice

Dimensionnons l’arbre à la torsion idéale.

Mit : moment idéal de torsion selon le critère de Tresca : 22MtMfM it

)(M

0)(0

0

0][)(det 3

xy

xyx

xz

xy

xz

xz

xy

xzxyx

IM

0)()()(][)(det 3 xyxyxxzxzIM

0222 xxyxz

0222 xyxzx

2

4

2

4

0

222

2

222

2

1

xyxzxx

Z

xyxzxx

X

Y

eeg

eg

pgidéaletorsion RRavecs

RRerésistancdeCondition

2

1

32

24

DI

Dr

avecrI

M

O

M

P

itidéaletorsion

3

16

D

Mitidéaletorsion

s

R

s

RR

D

M eeg

pgit

idéaletorsion2

163

332

DR

Ms

e

it

3

3

1

3232

e

it

e

it

R

Ms

R

MsD

mmRsoitmDNA 7,210434,0:..



18

Exercice 2: détermination du coefficient de sécurité (critère de Tresca – critère de Von Mises)

Une poutre circulaire en acier de rayon R = 21,7 mm, de longueur L = 0,4 m est

encastrée au point O.




2G

action modélisée par le couple: xCA

0C

Données :

Eacier = 200000 MPa, Re = 500 MPa.

F1 = 5000 N ; F2 = 40000 N et C = 250 N.m .

En reprenant les résultats de l’exercice 1, déterminer le coefficient de sécurité de

l’arbre s par application du critère de Tresca puis du critère de Von Mises. Conlure.

O A x

y

1F

2F

C

S x

L

P



19

Reprenons les résultats de l’exercice 1

La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre O.

Contrainte équivalente selon le critère de Tresca

Contrainte équivalente selon le critère de Von Mises

MPaD

Mt

MPaD

T

MPaD

Mf

MPaD

N

avecM

Mto

ci

Mf

t

zyxxz

xy

xzxyx

zyxMto

ci

MtociMft

58,1516

38,34

21,24932

04,274

00

00

00

00)(

3

2

3

2

,,,,

MPa

MPa

xyxzxx

Z

xyxzxx

X

Y

92,02

4

17,2772

4

0

222

2

222

2

1

MPaZXJIeq 09,278)sup(

s

RRerésistancdeCondition e

peeq 8,1eq

eRssécuritédetCoefficien

MPaXZZYYXeq 63,2772

1 222

s


peeq 8,1eq




20

Exercice 3 :

Une poutre circulaire en acier est encastrée u point O. Elle est constituée de deux

parties, l'une de diamètre D1 = 60 mm et de longueur L1 = 0,1 m, l'autre de diamètre D2 = 40

mm et de longueur L2 = 0,3 m avec un rayon de raccordement r = 2 mm.




2G

action modélisée par le couple: xCA

0C

Données :

Eacier = 200000 MPa, Re = 500 MPa.

F1 = 5000 N ; F2 = 40000 N et C = 250 N m .

3.1. Déterminer le torseur des efforts de cohésion.

3.2. Déterminer la section la plus sollicitée.

3.3. Déterminer le coefficient de sécurité s appliqué à cette pièce (critère de Tresca).

O A x

y

1F

2F

C

L1 L2

B



21

Déterminons le torseur des efforts de cohésion.

Reprenons les résultats de l’exercice 1 avec :

La section la plus sollicitée est la section de centre B

En effet elle présente une variation brusque de section (épaulement). Il nous faut donc

tenir compte du phénomène de concentration des contraintes.

1211

1

2

)()(

0

0

FxLLFxLMfz

Mfy

CMt

Tz

FTy

FN

21 LLL

),,(

,)/(

zy ttnP

cohP

MfzTz

MfyTy

MtN

cohPMRGD

cohTT

),,(

15000

05000

25040000

,

zyxB

cohB

MfzTz

MfyTy

MtN

cohBMR

cohT

(valeurs exprimées en N pour les résultantes

et en N m pour les moments)

)( 1LxB

05,040

2

5,140

60

2

2

1

D

r

d

r

D

D

d

D

05,040

2

5,140

60

2

2

1

D

r

d

r

D

D

d

D

05,040

2

5,140

60

2

2

1

D

r

d

r

D

D

d

D

35,2ttK

8,1ttoK

85,1tfK

Ktt = 2,35

0,05

0,05

0,05

Ktto = 1,8

Ktf = 1,85



22

La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre B.

Déterminons le coefficient de sécurité s appliqué à cette pièce (critère de Tresca).


MPaD

Mt

MPaD

T

MPaD

Mf

MPaD

N

avec

K

KKK

M

Mto

ci

Mf

t

zyxxz

xy

xzxyx

zyxMtoto

ci

MtotociMftfttt

89,1916

98,34

73,23832

83,314

00

00

00

00)(

3

2

2

2

3

2

2

2

,,,,

MPa

MPadonneationdiagonalisla

xyxzxx

Z

xyxzxx

X

Y

5,22

4

95,5182

4

0

222

2

222

2

1

MPaZXJIeq 45,521)sup(

s


peeq 96,0eq




23

Problème de synthèse : Le mécanisme de la page suivante représente un réducteur à axes perpendiculaires.

Objectif : vérifier le dimensionnement de l’arbre 3 par le critère de Tresca.

Données : Contraintes maximales admissibles pour l’acier XC38 utilisé pour l’arbre (3) :

MPaR;MPaR egee 250500

Coefficient de sécurité : s = 2.

Efforts transmis :

- L'action du palier E modélisée par le glisseur:

- L'action du palier F modélisée par le glisseur:

- L'action du pignon modélisée en H par le glisseur:

- L’action du couple en G :

1. Déterminer les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de

cohésion au point P d’abscisse x dans le repère )z,y,x,F( , centre de la surface de

coupure S. On a xxFP .

2. Tracer les diagrammes des états de sollicitation.

En déduire la section la plus sollicitée.

3. Les outils utilisés pour l’usinage de l’axe 3 ont un rayon de 3 mm en tournage et 1,6 mm

en fraisage. Rainure de clavette : h = 3mm.

En tenant compte des concentrations de contraintes, calculer dans la section la plus

sollicitée:

La matrice des contraintes de traction.



La matrice des contraintes de flexion.

4. Vérifier si l’axe 3 est bien dimensionné suivant le critère de Tresca.

0eEE FG

0fFF FG

0hHH FG

mNCavecxCC .138 CGG 0C

NZ

NY

NX

aveczZyYxXF

e

e

e

eeee

2165

1920

2350

NZ

NY

NX

aveczZyYxXF

h

h

h

hhhh

4070

1710

2350

NZ

NYaveczZyYF

f

f

fff

1905

210

mmgetmmcmmbmma 4034;42;79

xgEGetycQHxbFQxcFE ;;



24



25

Problème de synthèse : correction 1. Déterminer les composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de

cohésion au point P d’abscisse x dans le repère )z,y,x,F( , centre de la surface de

coupure S. On a xxFP . ON DISTIGUE 3 CAS

1er

cas P situé entre F et Q ( bx 0 )








- action du palier F: Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen R, on peut donc appliquer le PFS


),,(

,)/(

zy ttnP

cohP

MfzTz

MfyTy

MtN

cohPMRGD

cohTT

A.N.:

même point P

OGG F GTT coh)/( 0)/( fcoh FRGGR

0,,)/,( FPMPMGGPM GT coh

00)/( NxGGR

0)/( fYTyyGGR

00)/,( MtxGGPM

f

f

f

f

YxMfz

ZxMfy

Mt

ZTz

YTy

N

0

0

TyYdx

dMfzf

0)/( fZTzzGGR

0)/,( fZxMfyyGGPM

0)/,( fYxMfzzGGPM

xMfz

xMfy

Mt

Tz

Ty

N

210

1905

0

1905

210

0

TzZdx

dMfyf On vérifie que

en N

en N.m

x

F

A

S

P

ty

n

D/G

BO

P

P

(G)

Palier F

zYxyZxzZyYxxFPFFMPM fffffFF )()()()((0),(),( GG

0fFF FG

NZ

NYaveczZyYF

f

f

fff

1905

210



26

2

ème cas P situé entre Q et E ( axb )








- action du palier F:

- action du pignon :

Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen R, on peut donc appliquer le PFS


),,(

,)/(

zy ttnP

cohP

MfzTz

MfyTy

MtN

cohPMRGD

cohTT

A.N.:

00)/( hXNxGGR

0)/( hf YYTyyGGR

00)/,( hZcMtxGGPM

hhf

hf

h

hf

hf

h

XcYxbYxMfz

ZxbZxMfy

ZcMt

ZZTz

YYTy

XN

)(

)(

TyYYdx

dMfzhf

0)/( hf ZZTzzGGR

0)()/,( hf ZxbZxMfyyGGPM

0)()/,( hhf XcYxbYxMfzzGGPM

72,1511920

1712165

138

2165

1920

2350

xMfz

xMfy

Mt

Tz

Ty

N

TzZZdx

dMfyhf On vérifie que

en N

en N.m

x

F

E

ty

n

D/G

BO

P

P (G)

Palier F

zXcYxbyZxbxZczZyYxXycxxbFPHHMPM hhhhhhhhHH )()()()(])[(0),(),( GG

Q

E

Pignon

H

Eb


0fFF FG

NZ

NYaveczZyYF

f

f

fff

1905

210Bilan

du

1er cas

0hHH FG

NZ

NY

NX

aveczZyYxXF

h

h

h

hhhh

4070

1710

2350

OGG HF GGTT coh)/(

0)/( hfcoh FFRGGR

0,,,)/,( HF PMPMPMGGPM GGT coh

même point P

S

P



27

3ème

cas P situé entre E et G ( gaxa )








- action du palier F:

- action du pignon :

- action du palier E :

Le morceau de gauche (G) est en équilibre par rapport au repère galiléen R, on peut donc appliquer le PFS


),,(

,)/(

zy ttnP

cohP

MfzTz

MfyTy

MtN

cohPMRGD

cohTT

A.N.:

00)/( eh XXNxGGR

0)/( ehf YYYTyyGGR

00)/,( hZcMtxGGPM

ehhf

ehf

h

ehf

ehf

eh

YxaXcYxbYxMfz

ZxaZxbZxMfy

ZcMt

ZZZTz

YYYTy

XXN

)()(

)()(

TyYYYdx

dMfzehf

0)/( ehf ZZZTzzGGR

0)()()/,( ehf ZxaZxbZxMfyyGGPM

0)()()/,( ehhf YxaXcYxbYxMfzzGGPM

0

0

.138

0

0

0

Mfz

Mfy

mNMt

Tz

Ty

N

TzZZZdx

dMfyehf On vérifie que

x

F

E

ty

n

D/G

BO

P

P

(G)

Palier F

zXcYxbyZxbxZczZyYxXycxxbFPHHMPM hhhhhhhhHH )()()()(])[(0),(),( GG

Q

E

Pignon

H

Eb


0fFF FG

NZ

NYaveczZyYF

f

f

fff

1905

210Bilan

du

2ème

cas

0hHH FG

NZ

NY

NX

aveczZyYxXF

h

h

h

hhhh

4070

1710

2350

OGG EHF GGGTT coh)/(

0)/( ehfcoh FFFRGGR

0,,,,)/,( EHF PMPMPMPMGGPM GGGT coh

même point P

E

E

Palier E S

P a

0eEE FG

NZ

NY

NX

aveczZyYxXF

e

e

e

eeee

2165

1920

2350

zYxayZxazZyYxXxxaFPEEMPM eeeeeeEE )()()()(0),(),( GG

Au point G on vérifie que mNCavecxCC .138 CGG 0CT coh



28

),,(712165

801920

1382350

,

zyxQ

cohQ

MfzTz

MfyTy

MtN

cohQMR

cohT

La section de centre Q est la plus sollicitée

(valeurs exprimées en N pour les résultantes et en N m pour les moments)



29

3. Calculer le coefficient de concentration de contrainte à la torsion en ce point. (rainure de clavette : h = 3 mm et rf = 1,6 mm)

Donner au point M le plus sollicité de la section de centre Q (point M à préciser).

La matrice des contraintes de compression.

En tout point M de la section de centre Q et dans une base ,,x

253,03

6,1 ttok

h

r

Q

D

x

Q

D

x

Q

,,000

000

00

)(

x

c

c M

2

4

D

N

S

Nc

MPammD

NNNA c 7,11

16

2350:..

NN 2350

C (M, x)=c x

0,53

Ktto = 2

N = N x N = N x

D



30

La matrice des contraintes de flexion. (effectuer éventuellement un changement de base)

Q

x

Q

x

Q

Q

D

mNMfzMfyMfmNMfz

mNMfy.96,106

.71

.8022

y

z

3y

3z

3y3y

3z

3y

3z

33 zMfMfquetelzchoisitOn

Mfy y

Mfz z

6,4180

71tan

Mfy

Mfz

Mf z3

Mf z3

Mf =Mfz z3

Mf =Mfz z3

M

Nous choisissons le point M parmi les deux points les plus sollicités de la section de

centre Q, en effet au point M nous avons :

- Contrainte normale de flexion :

- Contrainte normale de compression :

DM

M

33 ,,000

000

00

)(

zyx

Mf

f M

64),(

2

),(4

33

DzQI

Dy

avecyzQI

Mf M

MMf

MPammD

mNMfNA Mf 266

16

.96,106:..

3

32

D

MfMf

C (M, x)=Mf x



31


En tout point M de la section de centre Q et dans une base 33 ,, zyx

Q

D

NTzTyTNTz

NTy72,2893

2165

192022

y

z

3y

3z

3y3y

3z

3y3z

3yTTaOn

Ty

y

Tz

z

6,412165

1920tan

Tz

TyComme

C (M, x)=ci y3

T = T y3

Q

x

Q

x

Q

D

2

4

D

T

S

Tci

MPammD

NTNA ci 4,14

16

72,2893:..

33 ,,000

00

00

)(

zyx

ci

ci

f M

T = T y3 T = T y3 T = T y3



32


La matrice des contraintes au point M le plus sollicité de la section de centre Q.

Q

x

Q

x

Q

Mt x

Mt = Mt x

M M M

33 ,,00

000

00

)(

zyxMto

Mto

to M

32

24

DI

Dr

avecrI

MtK

Q

M

M

Q

ttoMto

MPa

mmD

mNMt

K

NA Mto

tto

2,343

16

.138

2

:..

3

16

D

MtKttoMto

mNMt .138

Mt = Mt x

D3y

3z

3y 3y

3z

En effet, il faut tenir compte du phénomène de concentration de contrainte induit par

la rainure pour la clavette.

)()()()()( MMMMM tofcic

En utilisant le PRINCIPE DE SUPERPOSITION on a :

333333 ,,,,,,,,00

000

00

000

000

00

000

00

00

000

000

00

)(

zyxMto

Mto

zyx

Mf

zyx

ci

ci

x

c

M

MPa

MPa

MPa

avecM

xz

xy

x

zyxxz

xy

xzxyx

zyxMto

ci

MtociMfc

2,343

4,14

7,277

00

00

00

00)(

3333 ,,,,

C (M, x)=Mto z3



33

4. Vérifions si l’axe 3 est bien dimensionné suivant le critère de Tresca.

Diagonalisation de la matrice


MPa

MPa

MPa

avecM

xz

xy

x

zyxxz

xy

xzxyx

2,343

4,14

7,277

00

00)(

33 ,,

0)(0

0

0][)(det 3

xy

xyx

xz

xy

xz

xz

xy

xzxyx

IM

0)()()(][)(det 3 xyxyxxzxzIM

0222 xxyxz

0222 xyxzx

MPa

MPa

xyxzxx

Z

xyxzxx

X

Y

7,2312

4

4,5092

4

0

222

2

222

2

1

MPaZXJIeq 1,7417,2314,509)sup(

MPas

RR e

pe 2502

500

TrescadecritèreleselonensionnédimbienpasestnarbrelRComme peeq ''

ZYXZ

Y

X

M

,,00

00

00

)(



34

Formulaire RDM

Loi de Hooke : L

L

S

FE

;;

Loi de Poisson :

a

a

Torseur de cohésion

) t, t, n (K,22

112/1

21

MfT

MfT

MtN

TKcohésion

N effort normal ; T = ²² 21 TT : effort tangentiel

Mt moment de torsion ; Mf = ²² 21 MfMf : moment

de flexion

Formule de Bresse : EI

Mfz(x)''

GZ y ;

M

dSy 2

GZI ; moment quadratique de la section par rapport à GZ

Contraintes

La matrice des contraintes est symétrique z

y

x

CCC

zyzxz

yzyxy

xzxyx

M

zMyMxM

)(

),(),(),(

Vecteur contrainte nC MnM )(),(

Il existe un repère ZYXMR

,,,' tel que Z

Y

X

CCC

Z

Y

X

M

ZMYMXM

00

00

00

)(

),(),(),(

ZYX ,, sont les contraintes principales (valeurs propres)

ZYX

,, sont les directions principales (vecteurs propres)

Tout vecteur contrainte en M suivant une des directions principales est porté par cette

direction principale : la contrainte est purement normale : XC XXM

),(

locauxrepèresZtnMetZtnMprincipalrepèreZYXMglobalrepèreZyxM

,,,,,,,,,,,,,, 2211



35

Contraintes liées aux sollicitations simples :

Contrainte de traction : ncompressioFtractionFS

F0,0;

Contrainte de cisaillement : repèreduchoixdudépendsigneleS

F,

Contrainte de flexion : oz

flI

yMfz. Contrainte de torsion

o

torsionI

rMt.

Déformations

Matrice des déformations

angulaireiationdemixsuivantlinéïquedilatation xyx

zzyxz

zyyxy

xzxyx

M var;;)(

Les de la matrice des déformations sont les demi variations angulaires des angles du repère.

Lois de comportements

zyxZYXM

ijijij

zyxZYXM

tre

IdsE

trs

)(

)(

...11

ijijij IdeEE

.211

.

1

.2

Critères de dimensionnement

Critère de Tresca (utilisation plus large que Von Mises) :

2sup.2 JI

eq

à

comparer à tractione (limite élastique du matériau à la traction)

Critère de Von Mises (plus précis que Tresca pour la torsion pure et le cisaillement pur)

2/1..2²²² YZZXYXZYXeq à comparer à tractione (limite

élastique du matériau à la traction)

Contrainte de torsion idéale : ²²;.

MtMfMtI

rMti

o

i

idéaletorsion (flexion et torsion

uniquement)

Documents

Cours de Résistance