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1 Université d’Orléans Licences de Physique et de Chimie UFR Sciences 1 ère année ELECTRICITE Cours basé sur le manuscrit de M. Pascal Loos Pascal.Loos @ ac-nancy-metz.fr Septembre 2004

Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

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Université d’Orléans Licences de Physique et de ChimieUFR Sciences 1ère année

ELECTRICITE

Cours basé sur le manuscrit de M. Pascal LoosPascal.Loos @ ac-nancy-metz.fr

Septembre 2004

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Chapitre 1

INTRODUCTION : nature du courant électrique

Dans un grand nombre de substances(conductrices) l'apparition d'une différencede potentiel provoque le déplacement decharges présentes dans la substance : uncourant électrique.

On cherche à établir une relation entre lacause (la différence de potentiel) et l'effet(le courant).

I. Conduction dans un métal

I.1. Description de l'état du métal

Un métal est composé d'ions lourds,pratiquement immobiles, et d'électrons qui sedéplacent au hasard en se heurtant aux ions.En l’absence de différence de potentiel entredeux points d’un conducteur métallique(situation d’équilibre électrostatique), cesélectrons « libres » sont en mouvementdésordonné. Dans ce mouvement, dû àl’agitation thermique, les électrons ont destrajectoires en ligne brisée correspondant auxchocs contre les ions fixes du métal. D’autresmatériaux répondent à ce modèle.

I.2. Phénomène d’écoulement de charges

Lorsqu’une différence de potentiel extérieureU est appliquée entre deux sections d’unconducteur cylindrique placées à une distanced l’une de l’autre, elle crée un champélectrique E

r d’intensité U/d constante le long

du conducteur. Les ions du métal restent enplace, mais les électrons libres sont accélérésdans la direction opposée au champ sousl’action de la force électrique de Coulomb,

Eefrr

−= . L’accélération, d’amplitude eE/m,conduit à un accroissement de la vitesse de

l’électron dans la direction opposée au champ,et ce jusqu’à ce que l’électron rencontre union ou un autre électron. Après cette collision,l’électron repart dans une directionquelconque qui est immédiatement corrigéepar la force f

r.

L’effet du champ se superpose donc aumouvement aléatoire de chaque électron (quirésulte à la fois de l’agitation thermique et descollisions avec les ions). Ceci conduit à undéplacement d’électrons en moyenne dans ladirection opposée au champ, avec une vitessemoyenne de dérive Vder qui est de l’ordre de :

ômeE~Vder , où τ est l’intervalle de temps

moyen entre deux collisions. Cette dérivedans la direction opposée au champ conduit àun écoulement d’électrons le long duconducteur, qui est le courant électrique.

Les électrons vont dans le sens des potentielscroissants (à l’opposé du champ électrique).On dit que le courant électrique va dans lesens opposé, celui des potentiels décroissants.

La vitesse instantanée d'un électron est del'ordre de 106 m/s. Sa vitesse moyenne estbeaucoup plus faible, de l'ordre de 1 mm/s.

Tous les électrons ont le même mouvementd'ensemble, à la même vitesse moyenne : iln'y a pas d'accumulation de charges dans levolume du conducteur.

I.3. Mobilité des charges

Comme indiqué ci-dessus, la vitesse moyennedes électrons est proportionnelle au champélectrique appliqué:

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EìVder=

µ est une constante, la mobilité des électrons,qui dépend de l'état du métal (en particulier desa température, qui contrôle la valeur duparamètre τ). Elle se mesure en m2/V.s.

I.4. Comparaison entre l'équilibreélectrostatique et la conduction

Porteurde charge

Champ Potentiel

Métal àl'équilibre

Vitessemoyennenulle

Nul àl'intérieur

Constant

Métaltraversépar uncourant

Vitessemoyennefaible maisnon nulle,dans le sensdespotentielscroissants

Non nul àl'intérieur,dans le sensdes potentielsdécroissants(sens ducourant)

Gradientconstant

I.5. Densité de courant et intensité ducourant

Modèle simplifié de conducteur métallique :conducteur cylindrique homogène ; laconduction se fait dans l'axe du cylindre.

Une différence de potentiel V1 – V2 estappliquée entre deux sections droites ducylindre placées en A et B. Le potentiel,constant sur une section droite quelconque ducylindre est linéairement décroissant enfonction de la distance à l’extrémité A. Lechamp électrique est dirigé suivant l'axe, etconstant en tout point du conducteur. Lavitesse moyenne des électrons aussi.

La quantité de charge qui traverse une sectiondu conducteur pendant une seconde estappelée intensité du courant dans le

conducteur. On peut écrire cette définitionsous la forme :

I = dq/dt

Elle s'exprime en Ampères (C/s).

La quantité de charge qui traverse une sectionde surface unité du conducteur pendant uneseconde est appelée densité de courant. Elles'exprime par j = I/S. C'est pourquoi elles'exprime en A/m2. Elle a une grande utilitépratique, car elle mesure la quantité decourant qu'un matériau peut supporter.

II. Loi d'Ohm

II.2. Relation entre vitesse moyenne desélectrons et intensité du courant

dq est la charge des électrons qui ont traverséune section S pendant dt. Ils se trouvent à unedistance de S inférieure ou égale à Vder.dt

Soit n le nombre d'électrons libres par unitéde volume du métal. Alors

dq = ne(SVder.dt)

Par conséquent

I = neSVder et j = neVder

II.2. Relation entre intensité du courant etdifférence de potentiel

En introduisant la mobilité il vient :

I = neSµE

Or E est la différence de potentiel par unité delongueur Donc :

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C'est l'expression de la loi d'Ohm, en appelantR la résistance du conducteur cylindriqueenvisagé, l étant la longueur du conducteur.

R s'exprime en ohms, 1/R est la conductanceG et s'exprime en Siemens.

ρ est la résistivité du matériau, ρ s'exprime enohms.m. 1/ρ est la conductivité σ,théoriquement en ohms(-1).m(-1), pratiquementen ohms(-1).cm(-1).

III. Conduction dans unesolution d'électrolyte

III.1. Description des phénomènes

Si V1 est inférieur à V2, les charges négativesse dirigent vers l'électrode 2 : c'est l'anode, oùse dirigent les anions. Les cations se dirigentvers la cathode, qui se trouve au plus baspotentiel.

Ces deux types d'ions sont freinés par leurinteraction avec les autres moléculesprésentes dans la solution, en particulier cellesdu solvant.

III.2. Conductivité de la solution

La conductivité électrique de la solution est :

σ = CαNe(µc + µa)

Cette formule est valable pour un électrolytecomprenant une seule espèce d'ions positifs etune seule d'ions négatifs.

C est la concentration du soluté, α son degréde dissociation, N le nombre d'Avogadro, e lacharge élémentaire, µc et µa les mobilités desdeux types d'ions.

La loi d'Ohm s'applique.

IV. Circuit électrique

Un circuit électrique est constitué d’élémentspassifs tels que ceux décrits ci-dessus(conducteurs de résistance non nulle,électrolytes), ou d’autres éléments passifsdécrits plus bas (condensateurs, bobines),ainsi que d’éléments actifs (générateurs,amplificateurs, etc ...). Ces éléments sontreliés les uns aux autres par des fils de liaisonparfaitement conducteurs (ρ ∼ 0).

ABCD1D2D4D3

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Chapitre 2LES BASES : notations, théorèmes généraux

Notations utilisées dans le cours :Sauf précisions, on utilise les notationsconventionnelles suivantes :"minuscules" : u, i, p, … : grandeurs fonctionsdu temps, en remplacement de u(t), i(t), p(t),…"MAJUSCULES" : U, I, Umoy, … : grandeursindépendantes du temps."Caractères gras" : E, B, F, … : grandeursvectorielles, en remplacement de ... , , , FBE

rrr

"Caractères soulignés" : U, I, Z, … :grandeurs complexes associées à desgrandeurs sinusoïdales.

I. Définitions.

I.1. CourantI.1.a. Définition.

Un courant électrique est une circulation deporteurs de charges électriques. L'intensité ducourant électrique est la grandeur quiquantifie le débit de charge en un point ducircuit.

t

qid

d= (II-1)

L'orientation du circuit en ce point fait que l'intensitéest une grandeur algébrique (avec un signe). L’ondécide de l’orientation de manière arbitraire, dans lecas général, mais si possible de manière à faciliter laprésentation (voir conventions de fléchage en I.3)

I.1.a. Loi des intensités (loi des nœuds).La somme de toutes les intensités descourants entrant en un point de liaison, appelénœud, est nulle.

I.1.b. A.R.Q.S. :La loi qui précède ne peut être considéréecomme exacte que dans le cadre del'approximation des régimes quasistationnaires (ARQS) : c'est à dire dans lescas où le produit de la dimension du circuitpar la fréquence des intensités considérées esttrès inférieur à la célérité (vitesse) de lalumière.

Par exemple, pour des fréquences de l'ordrede 1 MHz, la dimension du circuit doit êtretrès inférieure à 300 m.

I.2. Tension ou d.d.p.I.2.a. Définition

Pour obtenir une circulation de courant dansun circuit, il faut qu'au moins deux points dece circuit soient à un instant donné à despotentiels différents.La notion de potentiel, directement liée à cellede champ électrique, sera explicitée en coursd’électrostatique. Pour l’instant, disons quec’est une quantité, définie en tout point ducircuit, qui pourra être imposée en certainspoints (source de tension). C'est une grandeuralgébrique. Conventionnellement, onreprésente la tension BAAB vvu −= entre lespoints A et B du circuit par une flèche dirigéevers le point A (la première des deux lettres Aet B).

BAuAB

I.2.b. Loi des tensions (loi des mailles).La somme des tensions effectuée enparcourant une maille (ensemble d’élémentsreliés bout à bout, point de départ et d’arrivéecommun) est nulle.

BAuABCuBCuCA

En effet 0AA =− vv

0

0

CABCAB

ACCBBA

=++⇒

=−+−+−⇒

uuu

vvvvvv

I.3. DipôleI.3.a. Définition.

Elément d'un circuit électrique comportantdeux bornes. Il impose une relation entre latension u à ses bornes et l'intensité du couranti qui le traverse.La fonction f liant u à i : u = f(i) imposée parle dipôle est appelée caractéristique du

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dipôle. Par extension ce terme désigne aussila représentation graphique de cette fonction.

I.3.b. Convention de fléchage.

- Convention récepteur :BAuABiAB

Le courant et la tension sont fléchés en sens inverse.Cela permet d'obtenir des grandeurs positives pour desdipôles s'opposant à la circulation du courant.

- Convention générateur :BAuABiBA

Le courant et la tension sont fléchés dans le mêmesens. Cela permet d'obtenir des grandeurs positivespour des dipôles favorisant la circulation du courant.

I.3.c. Puissance électriqueLa puissance instantanée mise en jeu par undipôle est :

iup ⋅= (II-2)

Cette puissance correspond à la puissance consomméelorsque u et i sont fléchés selon la convention récepteuret à la puissance fournie lorsqu'ils sont fléchés avec laconvention générateur.

I.4. Vocabulaire

- Conducteur : fil de liaison,- Nœud : connexion de plusieurs fils de

liaison,- Branche : partie du circuit située entre

deux nœuds,- Masse : potentiel de référence d’un

circuit, qui n’est pas nécessairement laTerre

- Terre : potentiel de référence d’uneinstallation (par exemple salle de TP), liéphysiquement au sol.

II. DIPOLES LINEAIRES

Ce sont des dipôles pour lesquels la fonctionu = f(i) est une fonction différentielle àcoefficients constantsExemples:

t

iBiAu

iAu

Au

d

d⋅+⋅=

⋅=

=

II.1. Résistances.II.1.a. Equation caractéristique

Pour une résistance on a :Rui

iRu ⋅= (II-3)au cours du temps, tension et courant sonthomothétique (de même forme).

II.1.b. Puissance consommée

R

uiRp

22 =⋅= (II-4)

On constate que cette puissance est à chaqueinstant positive : la résistance est un élémentdissipatif.

II.1.c. Précaution d'emploiEn régime établi, la résistance ne doit pasdissiper une certaine puissance Pmax dont lavaleur est en général prescrite par leconstructeur. On en déduit les valeursmaximales du courant et de la tension à ne pasdépasser à l'aide de la formule (I-4).La puissance dissipée l'est sous forme dechaleur, et c'est souvent l'augmentation detempérature qui est responsable de ladestruction du composant. Pour des duréeslimitées, il est parfois possible de dépassercette valeur, mais cela dépend de l'inertiethermique de la résistance. En l'absenced'indication du constructeur, il est hasardeuxde tenter sa chance !

II.1.d. Lois d'association

- En série : 21eq RRR += (II-5)

- En parallèle: 21

21eq RR

RRR

+

⋅= (II-6)

Remarques :

- La conductance d'une "résistance" est la

grandeur G telle que : R

G1

= (II-7)

- Un conducteur idéal sera supposé avoirune résistance nulle : R = 0.

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- La résistance d'un conducteur non idéal de

section s et de longueur l est : s

lR ⋅= ρ

(II-8)

II.2. Source de tensionII.2.a. Symbole et équation caractéristique

Une source idéale de tension est un dipôle telque :

ui

THeu = quelque soit i (II-9)Nous ne considérerons dans ce chapitre quedes sources de tensions continues, eTH seradonc constant et noté ETH

II.2.b. Puissance et précautionsOn utilise en général pour ces dipôles laconvention générateur, la grandeur preprésente alors la puissance fournie :

ETHi

iEiup ⋅=⋅= TH

Cette puissance doit rester inférieure à une valeurmaximale imposée par le constructeur, il s'ensuit qu'ilexiste une valeur maximale du courant que peut débitercette source de tension.

II.2.c. Associations

- En série : 21eq EEE += (II 10)

- En parallèle : il est interdit de placer en parallèledeux sources de tensions délivrant des tensionsdifférentes. Le courant de circulation serait eneffet infini.

Remarques :

- Un conducteur parfait doit être considérécomme une source de tension nulle c'est àdire imposant :

U = 0 quelque soit i.

- Rendre passive une source de tensionconsiste à poser ETH = 0 c'est à dire quel'on transforme la source de tension en fil(conducteur parfait). Sur le schéma celaconsiste à supprimer le cercle :

0i

II.3. Sources de courantII.3.a. Symbole et équation caractéristique

Une source idéale de courant est un dipôle telque :

ui

Nii = quelque soit u (II-11)Nous ne considérerons dans ce chapitre quedes sources de courants continus, iN sera doncconstant et noté IN

II.3.b. Puissance maximaleCes sources de courant sont en généralréalisées à l'aide de systèmes électroniques etla tension à leurs bornes est limitée à unevaleur maximale Umax

La puissance que peut alors délivrer la sourcede courant est donc inférieure à :

Nmax IUiup ⋅=⋅=

II.3.c. Associations et précautions

- En parallèle : 21eq III += (II-12)

- En série : il est interdit de placer ensérie deux sources de courant délivrantdes courants d'intensités différentes.

- Une coupure du circuit doit être considérécomme une source de courant nul c'est àdire imposant :

I = 0 quelque soit u.- Il peut être dangereux d'ouvrir une

branche contenant un générateur decourant car cela revient à placer en sérieavec elle une source de courant nul.

- Rendre passive une source de courantconsiste à poser IN = 0 c'est à dire consisteà transformer la source de courant encoupure du circuit Sur le schéma celaconsiste à supprimer le cercle :

u0

II.4. sources liées (ou sources commandées)Il existe des sources de tension ou de courantdont la caractéristique est imposée par uneautre tension ou un autre courant du circuit.

U = k.i' ou kv'I = k.i' ou kv'

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Exemple :iBIN =

β

. iB

La valeur de l'intensité débitée par la sourcede courant est imposée par la valeur de iB

circulant dans une autre branche. Il s'agit alorsd'une source de courant commandée encourant.

III. METHODE D'ETUDE DES CIRCUITS

III.1. Diviseur de tension, diviseur decourant.

III.1.a. Diviseur de tension.R1u1R2R3uT

Lorsque plusieurs résistances sont en série, latension aux bornes de l'une d'entre elle peutêtre déterminée par la relation :

∑⋅=

++⋅=

ii

TTR

Ru

RRR

Ruu 1

321

11 (II-13)

III.1.b. Diviseur de courant.R1i1R2R3iT

Lorsque plusieurs résistances sont enparallèle, le courant qui traverse l'une d'entreelle peut être calculé par la relation :

∑∑⋅=⋅=

++⋅=

i i

T

ii

TT

R

Ri

G

Gi

GGG

Gii

1

1

11

321

11 (II-14)

III.2. Générateurs réelsIII.2.a. Modèles de Thévenin et modèle de

Norton d'un générateur réelBeaucoup de générateurs ne peuvent pas êtreconsidérés comme des sources idéales. Ilssont alors modélisés (dans un certain domainede fonctionnement et au prix de quelquesapproximations) par l'association d'une sourceidéale et d'un dipôle linéaire.

Le modèle équivalent de Thévenin (ouM.E.T.) d'un générateur réel comporte unesource de tension en série avec un dipôlelinéaire :

eTHDipolelinéaire

En continu, la source de tension est unesource de tension continue et le dipôle linéaireune résistance.

ETHr

Le modèle équivalent de Norton (ou M.E.N)d'un générateur réel comporte une source decourant en parallèle avec un dipôle linéaire.En continu c'est l'association en parallèled'une source de courant et d'une résistance :

rIN

Equivalence des deux modèles :Les résistances r des deux modèles sont lesmêmes. Les trois paramètres ETH, IN et r sontliés par la relation :

NTH IrE ⋅= (II-15)

III.2.b. Lois d'associations des générateursréels.

- En série : On transforme chaquegénérateur en M.E.T., puis on associe lessources de tensions entre elles, et lesdipôles linéaires entre eux :

E1r1E2r2

équivaut àE1 + E2r1 + r2

- En parallèle : On transforme chaquegénérateur en M.E.N., puis on associe lessources de courant entre elles, et lesdipôles linéaires entre eux :

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r1I1r2I2équivaut à :I1 + I2

21

21

rr

rr

+

III.3. Théorème de Thévenin et de Norton.Toute portion de circuit comprise entre 2bornes A et B et qui ne contient que deséléments linéaires peut être modélisée par ungénérateur équivalent de Thévenin ou deNorton.

Exemple :ER1R2AB

III.3.a. Valeur à donner à ETH

C'est la même que la valeur de la tensionexistant "à vide" entre A et B, c'est à dire celleque relèverait un voltmètre idéal placé entreles bornes A et B.Pour l'exemple précédent on a :

ERR

RE ⋅

+=

21

1TH : diviseur de tension.

III.3.b. Valeur à donner à IN

C'est celle de l'intensité qui circulerait àtravers un fil reliant les bornes A et B c'est àdire celle mesurée par un ampèremètre idéalplacé entre A et B.Dans notre exemple on obtient :

ER1R2ABIN

soit : 1

N R

EI = ; R2 étant court-circuitée.

III.3.c. Valeur à donner à rC'est la résistance équivalente à celle dudipôle AB rendu passif , soit pour l'exemplecelui de la figure ci-dessous :

R1R2AB

21

21eq RR

RRRr

+

⋅==

Remarques :

- La relation (I-29) liant ces trois valeurs, ladétermination de deux d'entre elles estsuffisante pour réaliser la modélisation.

- On aurait pu utiliser les lois d'associationdes générateurs pour trouver le résultat :Dans l'exemple précédent on peutconsidérer qu'il s'agit de 2 générateurs enparallèles :

ER1R2AB0

que l'on transforme en modèles de Nortonéquivalents :

R1R2AB

1R

E

Ce qui conduit à :

21

21 RR

RE

+⋅ 21

21

RR

RR

+

AB

L'intérêt est que l'on peut remplacer ensuite cetteportion de circuit par le dipôle équivalent trouvé, cequi peut faciliter la résolution d'un problème.

III.4. Théorème de Millman.Il permet de trouver le potentiel d'un point ducircuit lorsqu'on connaît les autres.

R1R2XR3V1V3V2

321

3

3

2

2

1

1

X 111

RRR

R

V

R

V

R

V

V++

++

= (II-17)

La démonstration est immédiate à l'aide de lamodélisation par un ensemble de 3générateurs en parallèle :

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V1R1R2XMasseV2V3R3

En remplaçant par les modèles de Norton équivalent onobtient :

r1I1r2I2I3r3I1+ I2+ I3

Puis on applique la loi d'Ohm.

III.5. Théorème de superposition.Dans un circuit ne comportant que deséléments linéaires et plusieurs sources, onpeut calculer le potentiel d'un nœud du circuit(ou le courant dans une branche) en faisant lasomme des potentiels (ou des courants)obtenus lorsqu'on rend passif tous les sourcesindépendantes sauf une.(Il est nécessaire de laisser les sources liées).

III.6. Conseils pour la résolution desproblèmes.

- Compter le nombre de nœuds dans lecircuit. Par exemple le circuit ci dessousne comporte que 2 nœuds donc une seuletension, les 3 dipôles sont donc enparallèle :

- Affecter le potentiel 0 à la masse dumontage ou , à défaut de précision à laborne (–) du générateur délivrant latension la plus élevée.

- Utiliser les lois permettant de réduire aumaximum le circuit avec le minimum decalcul

- Vérifier que l'on utilise le diviseur detension pour des résistance effectivementen série c'est à dire traversée par le mêmecourant et le diviseur de courant pour desrésistances effectivement en parallèle c'està dire placées entre les mêmes nœuds.

III.7. CondensateursIII.7.a. Equation caractéristique

Pour un condensateur on a :Cui+q-q

t

uC

t

quCq

d

d

d

d ⋅=⇒⋅= (II-18)

t

uCid

d⋅= (II-19)

l'équation (I-10) montre que la tension auxbornes du condensateur ne peut pas subir dediscontinuité, cela correspondrait en effet à uncourant d'intensité infini, donc à unepuissance infinie.

III.7.b. Puissance consomméeL'équation (I-10) conduit à :

t

uuCiupd

d⋅⋅=⋅=

En utilisant la relation mathématique suivante:

( )t

uuu

t

u

t

uu

t

u

d

d2

d

d

d

d

d

d

2

=+= (II-20)

on obtient la relation (I-12)

( )t

u

d

d C

2

1p

2

⋅⋅= (II-21)

la puissance instantanée consommée par uncondensateur est liée à la variation du carré de latension à ses bornes : si celui ci augmente, lecondensateur consomme de la puissance. Mais si lecarré de la tension à ses bornes diminue alors lecondensateur fourni de la puissance au reste du circuit.

L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut :

( )22

2

1CiCf uuCW −⋅⋅= (II-22)

III.7.c. Précaution d'emploiIl ne faut pas dépasser en valeur instantanée lavaleur maximale de la tension prescrite par leconstructeur. En cas de dépassement, mêmetrès bref, on risque de provoquer un claquageentraînant la destruction du composant.D'autre part les condensateursélectrochimiques sont polarisés : une tensioninverse à leurs bornes provoque undégagement gazeux qui peut conduire à uneexplosion.

III.7.d. Lois d'association

- En parallèle : 21eq CCC += (II-23)

- En série: 21

21eq CC

CCC

+

⋅= (II-24)

III.8. Inductances.

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III.8.a. Equation caractéristiqueUne inductance L est un dipôle tel que :

Lui

t

iLud

d⋅= (II-25)

Cette relation vient de l'expression du flux duchamp magnétique et de la loi de Faraday quiseront vues en magnétostatique :

t

iL

tueiL

d

d

d

dt ⋅=

Φ=⋅=Φ (II-26)

L'équation (I-16) montre que l'intensité ducourant traversant une inductance ne peut passubir de discontinuité, cela correspondrait eneffet à une tension infinie à ses bornes, donc àune puissance infinie.

III.8.b. Puissance consomméeL'équation (I-16) conduit à :

t

iiLiupd

d⋅⋅=⋅=

En utilisant la même transformationmathématiques que pour le condensateur, onobtient la relation (I-18)

( )t

i

d

d L

2

1p

2

⋅⋅= (II-27)

la puissance instantanée consommée par uneinductance est liée à la variation du carré de l'intensitéqui la traverse : si celui ci augmente, l'inductanceconsomme de la puissance. Elle en fourni dans le cascontraire.

L'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut :

( )22

2

1LiLf iiLW −⋅⋅= (II-28)

III.8.c. Précaution d'emploiIl ne faut pas dépasser en valeur instantanée lavaleur maximale de l'intensité prescrite par leconstructeur. En cas de dépassement, mêmetrès bref, on risque de "saturer" le circuitmagnétique, ce qui provoque une diminutionbrutale de la valeur de l'inductance pouvantentraîner une surintensité.

III.8.d. Lois d'association

- En série : 21eq LLL += (II-29)

- En parallèle: 21

21eq LL

LLL

+

⋅= (II-30)

Remarques :

- Les lois précédentes ne sont valables quepour des inductances non coupléesmagnétiquement.

- Les bobines utilisées comme inductancessont réalisées à l'aide de bobinage de fil decuivre. La résistance de ces bobines n'estpas toujours négligeable ce qui conduit àmodéliser une bobine réelle parl'association en série d'une inductanceidéale L et d'une résistance r.

Luir

avec : irt

iLu ⋅+⋅=d

d (II-31)

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Chapitre 3REGIMES VARIABLES PERIODIQUES

I. DEFINITIONS.I.1. Notations générales

- g ou g(t) : grandeur variable au cours dutemps,

- <g> = Gmoy = G = valeur moyenne de lagrandeur

- _ valeur de crête.- Geff = G (sans indice) = valeur efficace- U et I valeurs efficaces de tension ou de

courant.- G : nombre complexe pouvant être associé

à une grandeur g(t) fonction sinusoïdaledu temps.

I.2. Grandeurs périodiquessi g(t) est une fonction périodique de périodeT et de fréquence f, on peut écrire :

...)sin(2

...)2sin(2

)sin(2)(

22

11

++

+++

+++=

nn tG

tG

tGGtg

ϕω

ϕω

ϕω

(III-1)

ainsi que :( )tgGtg a+=)( (III-2)

avec

- fT

ππ

ω 22

== : pulsation (rd.s-1) (III-

3)- ga(t) : ondulation ou composante

alternative de g(t).- La valeur moyenne de g(t) :

∫+

=Tt

t

dttgT

G )(1 (III-4)

On défini également :- le fondamental de g(t),

)sin(2)( 111 ϕω += tGtg (III-5)- l'harmonique de rang n de g(t) :

)sin(2)( 1ϕω += tnGtg nn (III-6)

II. PUISSANCE ELECTRIQUE EN REGIMES

VARIABLES

II.1. Cas général.

Soit p(t) la puissance instantanée consomméepar un dipôle à l’instant t.En régime périodique on défini par P lapuissance moyenne ou puissance active :

∫+⋅=Tt

tidtu

TP

1 (III-7)

II.2. Quelques cas particuliersII.2.a. Régimes continus :

P = U . I (III-8)

II.2.b. Une grandeur (u ou i) est continue.Par exemple la tension est continue u = U etl'intensité est périodique. On peut écrire :

IUdttiT

UPTt

t

⋅=⋅= ∫+

)(1 (III-9)

II.2.c. Cas des interrupteurs idéauxPour les interrupteur idéaux, quand u ≠ 0 alorsi = 0 et quand i ≠ 0 alors u = 0.C'est pourquoi à chaque instant, le produit u.i

est nul : P = 0.

II.3. Puissance consommée par les dipôleslinéaires

II.3.a. Résistances ;

On a : dtiT

RPiRuT∫⋅=⇒⋅= 21

Ou bien : dtuTR

PR

ui

T∫⋅=⇒= 211

II.3.b. Valeurs efficacesDéfinition : On pose I : valeur efficace de i(t)la grandeur telle que :

dtiT

IdtiT

ITT∫∫ =⇒= 222 11 (III-10)

I est l’intensité du courant continu quidissiperait la même puissance que i(t) àtravers une résistance.

De la même manière on pose :

dtuT

UT∫= 21 (III-11)

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12

Remarque 1 : U ≥ |_| et I ≥ |_| (démo. = unpeu de math.)Remarque 2 : u(t) et |u(t)| ont la même valeurefficace.Remarque 3 : La valeur efficace d'unetension u n’est pas forcément égale à Û/√2

II.3.c. Inductances puresOn a vu au chapitre 2 (§ III.8.b) que :

t

iiLiupd

d⋅⋅=⋅=

d'où l'on déduit que l'énergie échangée entre 2instants ti et tf vaut :

( )22

2

1LiLf iiLW −⋅⋅=

En régime périodique la valeur du courant estla même au début et à la fin de la période(sinon cela n’est pas un régime périodique).On en déduit :

00 =⇒=Δ PW

Une inductance ne consomme pas de puissance activeen régime périodique.Remarque : on a fait abstraction de sarésistance interne !

II.3.d. CondensateursOn peut montrer que l’on obtient les mêmeséquations que pour l’inductance en inversantL et C ainsi que i et u.

D’où )(2

1 22if UUCW −=Δ

Un condensateur ne consomme pas depuissance active en régime périodique.

II.4. Puissance apparente et facteur depuissance.

II.4.a. Puissance apparenteLa puissance apparente consommée par undipôle est définie par :

effIUIUS ⋅=⋅= eff (III-12)C'est produit des valeurs efficaces. L'unitécorrespondante est le Volt-Ampère (V.A.) etnon pas le Watt.C'est une grandeur un peu artificielle, qui estutile pour le dimensionnement desinstallations.

II.4.b. Facteur de puissanceNoté fp, il est défini par le rapport :

S

Pfp = (III-13)

Attention ! Pour les régimes périodiques nonsinusoïdaux, ce n'est pas un cosinus.

III. REGIMES SINUSOÏDAUX.Ce sont les régimes ou la tension et le courantsont tous les deux des fonctions sinusoïdalesdu temps.Lorsqu'une source de tension sinusoïdalealimente un circuit ne comportant que desdipôles passifs linéaires, toutes les tensions ettoutes les intensités sont des fonctionssinusoïdales du temps ayant même fréquence.

III.1. DéfinitionsIII.1.a. Impédances et admittance des

dipôles linéairesDans le cas de régimes sinusoïdaux, on note Zle rapport de la valeur efficace de la tensionaux bornes du dipôle par la valeur efficace ducourant qui le traverse :

eff

eff

I

U

I

UZ == (III-14)

Z est appelée impédance du dipôle, en Ohm.

Y, l'admittance du dipôle (en Siemens), est l'inversede l'impédance :

UI

Z1Y == (III-15)

III.1.b. Représentation de FresnelCette représentation conduit à une méthode derésolution des problèmes, d’emploi souventsimple, assez puissante, qu’il ne faut pashésiter à employer.On représente une grandeur sinusoïdale de laforme y = a cos (ωt + ϕ) par un vecteur

OM tournant autour d’un point fixe O à unevitesse angulaire ω, ce vecteur ayant unelongueur a et faisant avec l’axe polaire ditl’axe des phases un angle ωt + ϕ.

Dans le cas du circuit passif linéaire, tous lesvecteurs considérés tournant à la mêmevitesse angulaire, l’ensemble de ceux-ci, ditconstruction de Fresnel, tourne autour de Osans se déformer, aussi a-t-on coutume dereprésenter les vecteurs à l’instant t=0.

y

ωt + ϕO

a

y

ωt + ϕO

a

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13

Prenons l’exemple d’un circuit RC sériealimenté par une tension sinusoïdale.

On a :

u = Û ∫+=t

0

dt')i(t'C1

iRtùcos

Cherchons i sous la forme i= Î cos(ωt+ϕ) :uR = R Î cos(ωt+ϕ) et

uC=Cù1 Î sin(ωt+ϕ) =

CùÎ

cos(ωt+ϕ - π/2)

uC est en quadrature retard par rapport à uR.

Il est simple de prendre pour origine desphases la phase de i. La construction deFresnel se fait alors de la façon suivante : parun point O de l’axe on mène le vecteurreprésentant uR, puis on lui ajoutevectoriellement le vecteur représentant uC. Levecteur somme représente u.

Pour calculer Î et ϕ à partir de cettereprésentation, on utilise les propriétés dutriangle rectangle :

2)ùC

1(

ÛÎ

2

+

=

R

et

RCù1)tan( =ϕ

On appelle Z = 2)ùC1(R 2 + l’impédance du

circuit. On définit aussi l’admittance Y=1/Z.Cet exemple se généralise à des circuitscomportant des inductances (dont la ddp auxbornes est en quadrature avance par rapportau courant).

III.1.c. Transformations complexes

Nous utiliserons le plus souvent les nombrescomplexes comme outil pour la résolution desproblèmes d'électrocinétique en régimesinusoïdal. La représentation de Fresnel peutêtre considérée comme la représentation dansle plan complexe de quantités électriques,courants ou tensions, définies de manièresuivante :

A une grandeur g(t) fonction sinusoïdale dutemps et telle que :

)tcos(2G)t(g ϕω += (III-16)on fait correspondre un nombre complexe Gtel que :- Module de G = G : valeur efficace de la

grandeur,- Argument de G = ϕ : phase à l'origine de

la grandeur.On peut alors écrire le nombre complexe G de deuxmanière :- En coordonnées rectangulaires :

ϕϕ sincos GGbaG jj +=+= (III-17)- En coordonnées polaires :

ϕ∠= GG (III-18)

Remarque : en électricité, le nombre complexeimaginaire pur unité est noté j, afin d’éviter laconfusion avec la notation du courant électrique. Nousle noterons j.

Lorsque nous avons besoin de faire la sommeou la différence de deux grandeurssinusoïdales g1(t) et g2(t), on utilise lescoordonnées rectangulaires :( ) ( ) d)(bcadcba +++=+++ jjj )( (III-19)

Lorsque nous avons besoin de faire la produitou la division de deux grandeurs sinusoïdalesg1(t) et g2(t), on utilise les coordonnéespolaires :[ ] [ ] ( )[ ]212121211 )( ϕϕϕϕ +∠⋅=∠⋅∠ GGGG (III-20)

III.1.d. Impédances et admittancescomplexes

Dans le cas de régimes sinusoïdaux on note :)tcos(2U)t(u uϕω += (III-21)

)tcos(2I)t(i iϕω += (III-22)respectivement la tension aux bornes dudipôle et le courant qui le traverse.

R

C

u = Û cos ωt

iRR

C

u = Û cos ωt

iR

OOrigine des phasescelle de i

R iO

Origine des phasescelle de i

Û

R Î

ùCÎ

OOrigine des phasescelle de i

R iO

Origine des phasescelle de i

Û

R Î

ùCÎ

Page 15: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

14

On défini alors l'impédance complexe dudipôle par Z, Z étant le rapport de la tensioncomplexes aux bornes du dipôle par lecourant complexe qui le traverse :

( ) ϕϕϕ ∠=−∠

== ZI

U

I

UZ iu (III-23)

On défini l'admittance complexe du dipôle parY le nombre complexe tel que :

( ) ϕϕϕ −∠=−∠

=== YU

I

U

I

ZY ui

1 (III-24)

Application au cas des dipôle linéaires :

Dipôle Z Y

Résistances R R G

Inductances L jLω -j / Lω

Condensateurs C -j / Cω jCω

III.1.e. M.E.T. et M.E.N. en régimessinusoïdal.

Les loi du diviseur de courant et du diviseurde tension ainsi que les théorèmes deThévenin, Norton et Millman peuvent êtreutilisés en régime sinusoïdal à conditiond'utiliser les nombre complexes images descourants et des tensions ainsi que lesimpédances complexes.Le modèle de Thévenin d'un ensemble dedipôles linéaires est constitués d'une source detension sinusoïdale en série avec uneimpédance :

ETHZ

Le modèle de Norton d'un ensemble dedipôles linéaires est constitué d'une source decourant sinusoïdale en parallèle avec uneimpédance :

YIN

III.2. Puissances en régimes sinusoïdalIII.2.a. Puissance active et puissance

fluctuante.L'expression de la puissance instantanéelorsque la tension et le courant sont desfonctions sinusoïdales du temps conduits à :

)cos()cos(2 iu ttUIp ϕωϕω +⋅+⋅= (III-25)

en utilisant la relation trigonométrique :

( ) ( )[ ]bababa −++=⋅ coscos2

1coscos (III-

26)on obtient :

)cos()2cos( iuui UItUIp ϕϕϕϕω −+++= (III-27)

Cette expression est la somme de deux termes :- La puissance fluctuante : le premier

terme de la formule (III-27). C'est unegrandeur sinusoïdale de fréquence 2f et devaleur moyenne nulle.

- La puissance active : le deuxième terme,qui est d'ailleurs égale à la moyenne de p :

ϕcosUIP = (III-28)_ correspond au déphasage de la tension parrapport au courant.

III.2.b. Puissance apparente et facteur depuissance.

On rappelle que la puissance apparenteconsommée par un dipôle est définie par :

effIUIUS ⋅=⋅= eff (III-12)

et le facteur de puissance par :

S

Pfp = (III-13)

Dans le cas des régimes sinusoïdaux, cefacteur de puissance est égal au cosinus dudéphasage de la tension par rapport àl'intensité. Les distributeurs pénalisent lesgros consommateurs d'électricité dont lefacteur de puissance est inférieur à unecertaine norme (en France 0,93 soit tg ϕ >0,4).

IV. MESURES DE TENSIONS VARIABLES

IV.1. Voltmètres numériquesIV.1.a. Mesure de la tension moyenne

Schéma de principe :

uCi = k.uIkKK’

- K passant et K’ bloqué : on charge Cpendant une durée constante Tint : la durée

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15

d’intégration (en général 100 ms) avec uncourant i = k.u (k dépend du calibrechoisi).

- K bloqué, K’ passant : on mesure la duréeΔt nécessaire pour décharger C à courantconstant = I

Ci dessous nous avons comparé l'évolution dela tension aux bornes du condensateur lorsquel'entrée du montage est soumise à une tensionvariable u puis à une tension 2u :2.iiTint

Δ

t2.

Δ

tuCt

La charge totale stockée vaut : ku.Tint ;Cette charge est ensuite déstockée à courant

constant et vaut donc : I.t ; d’où : tTk

Iu Δ⋅

⋅=

int

Si la tension est doublée, on constate que ladurée de décharge est aussi doublée.

IV.1.b. Mesure de la valeur efficace d’unetension

Les appareils capables de mesurer la valeurefficace d’une tension de forme quelconquesont dits : voltmètres TRMS (True RootMean Square) ou RMS AC+ DC.Principe de la mesure :k.u(k.u)2Xmoyenne<(k.u)2>Valeurefficacevraie

Remarques :- Certains appareils ne mesurent que la

valeur efficace de l’ondulation de u : Ua .Ils sont dits RMS-AC avec AC :alternating current. Par opposition lesvoltmètres qui mesure la valeur efficacede la tension en incluant sa valeurmoyenne sont dits RMS –AC + DC, avecDC : direct current.

- Pour obtenir la valeur efficace vraie avecun voltmètre RMS-AC il faut faire lecalcul suivant : 222

amoyeff UUU +=

IV.1.c. Cas des voltmètres «bas de gamme»Les multiplieurs de précision sont descomposants coûteux, les appareils bas degamme utilisent la méthode de mesuresuivante :

u

moyenneSortiex 1,11Entrée

Ces appareils ne peuvent mesurer que lavaleur efficace de tensions purementsinusoïdales :

2

ˆˆ707,0

UU =⋅

u

moyenneSortie :x 1,11

U637,0 ⋅

Entrée

IV.2. Voltmètres analogiquesBien que l’on n’en fabrique quasiment plus,ils sont encore utilisés dans certaines salles deT.P.. Ce sont des appareils dérivés desampèremètres analogiques.

IV.2.a. Voltmètres magnétoélectriques

Ils sont repérés par le symbole : En position continu ils affichent la valeurmoyenne des tensions de forme quelconque.En position alternatif, ils indiquent la valeurefficace uniquement pour les tensionssinusoïdales (ils fonctionnent selon le mêmeprincipe que les voltmètres numériques bas degamme).

IV.2.b. Voltmètres ferromagnétiques

Ils sont repérés par le symbole : Appareils obsolètes : ils peuvent mesurer lavaleur efficace des tensions de formequelconque, mais leur bande passante estlimitée à quelques centaines de Hz. et leurfaible résistance interne (quelques centainesd’ohms) fait qu’ils perturbent le montage.Il est donc préférable de ne plus les utiliser.

IV.3. LimitationsIV.3.a. Impédance interne

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16

Un voltmètre réel peut être considéré commel'association en parallèle d'un voltmètre idéal(traversé par un courant nul) et d'uneimpédance placée en parallèle :

VZVi = 0

L'impédance interne du voltmètre ZV est en généralconstante pour les voltmètres numériques et fonctiondu calibre choisi pour les voltmètres analogiques.

IV.3.b. Limite en bande passante.La gamme de fréquence pour laquelle levoltmètre est utilisable est définie par leconstructeur. En dehors de cette plage defréquence le voltmètre fourni une valeurerronée, le plus souvent inférieure (mais passystématiquement) à la valeur exacte de latension (Cf. TP Mesures).

V. AUTRES APPAREILS DE MESURES

V.1. AmpèremètresV.1.a. Généralités

Les ampèremètres numériques sont constituésde l ‘association d’un convertisseur courant-tension et d’un voltmètre numérique. Onretrouve donc des appareils numériques et desappareils analogiques du même type que lesvoltmètres, avec les mêmes spécifications.

Remarque : les ampèremètres ferromagnétiques sontencore utilisables pour mesurer la valeur efficace descourants non sinusoïdaux de fréquences industrielles.

Un ampèremètre réel peut être considérécomme l'association en série d'unampèremètre idéal (tension nulle à ses bornes)et d'une impédance placée en série :

AZAu = 0

L'impédance interne ZA d'un ampèremètre esten général fonction du calibre.

V.1.b. Sonde à effet HallLes pinces ampèremétriques à effet Hall seplacent autour d’un conducteur parcouru parl’intensité à mesurer. Elles permettent deconvertir l’intensité de ce courant en unetension proportionnelle. Le facteur deproportionnalité est indiqué sur l’appareil. La

tension est ensuite mesurée par un voltmètreou visualisée par un oscilloscope.

Pour en savoir plus : Un capteur à effet Hall fourni une tensionproportionnelle au champ magnétique et donc dépendant del'intensité i.

uH

i

Mais les non-linéarités et les phénomènes d'hystérésis empêchentd'obtenir une mesure très précise dans une large gamme d'intensité.Aussi le montage est modifié : un système électronique (contreréaction) impose au transformateur ci dessous de fonctionner à fluxnul, et c'est le courant d'annulation du flux is qui est converti entension à l'aide d'un convertisseur à amplificateur opérationnel :

i p

u p

i s

v = R i

R

v s

M s

convertisseur courant-tension

Le rapport de transformation m est égal à 1000 ou 10 000,on a : is = 1/m ·ip.

Ce type de capteur est plus coûteux que le shunt et sa sensibilité auxchamps magnétiques extérieures peut nécessiter quelquesprécautions, mais il apporte de nombreux avantages :- La chute de tension introduite dans le montage est très faible :

vs étant limitée à quelques volts la tension vp est inférieure àquelques mV.

- L’isolation galvanique entre la mesure et le circuit est unélément appréciable de sécurité.

- La bande passante est relativement large : du continu àcouramment 100kHz (500 kHz pour certains modèles), elle estsouvent supérieure à celle du voltmètre mesurant la tension vM.

Si l'utilisation de capteur de calibre 500 kA concerne plus l'industriequ'une salle de travaux pratiques, on trouve dans le commerce desappareils à circuit ouvrable permettant la mesure de courantd'intensité comprise entre quelques dixièmes d'ampère et quelquescentaines d'ampères.Du fait de l'éventail des calibres et de leur bande passante, lescapteurs à effet Hall sont introduits dans un grand nombre d'appareilsde mesure : ampèremètres, multimètres, wattmètres, analyseurs de

réseau et convertisseurs courant-tension pour oscilloscope.

V.2. WattmètresLe wattmètre est muni d’un capteur decourant, d’un capteur de tension et d’un

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17

multiplieur. Il affiche ensuite le produit decette multiplication.Pour pouvoir fonctionner, les deux bornes ducapteur de courant doivent être en série avecle dipôle et les deux bornes du capteur detension en parallèle du dipôle dont on mesurela puissance qu’il consomme.DFigure V.2W

Il est nécessaire de respecter simultanément leslimitations des deux capteurs sous peine de destructionde l’appareil (par exemple, la puissance consomméepar un interrupteur est très faible bien que le courantqui le traverse ne soit pas négligeable).

V.3. OhmmètresUn générateur de courant impose une intensité IM àtravers la résistance RX puis on mesure la tension VM

apparaissant à ses bornes (figure V.3.1). Mais un telmontage ne permet pas de mesurer avec précision desrésistances dont la valeur excède quelques kΩ car lecourant dans le voltmètre n'est alors plus négligeable(la résistance interne du voltmètre étant courammentégale à 10 MΩ). Le montage est donc complété par ungénérateur de courant auxiliaire asservi à la valeur de latension mesurée par le voltmètre et chargé de délivrerle courant dans le voltmètre noté IV (figure V.3.2).

IMVRxFigure V.3.1

IVVRxFigure V.3.2IM

Pour en savoir plus : Lorsque la valeur de la résistance RX estinférieure à une dizaine d'ohms il faut mettre en œuvre un câblagequi évite de prendre en compte les diverses résistances de connexion: il s'agit du montage réalisé dans les ohmmètres 4 fils dont le schémaéquivalent est représenté ci-après :

R x

I M

V

R c

R' c

I V

RC et R’C représentent les résistances des connexions de la résistanceRX à l'ohmmètre.RX étant faible, IV est négligeable devant IM. La chute de tensionRC.IV est donc négligeable devant RX.IM. La chute de tension R’C.IM.n'est, quant à elle, pas prise en compte par le voltmètre.

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18

Chapitre 4

CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL

Le régime sinusoïdal est un cas particulier desrégimes variables. Il est particulièrementimportant pour deux raisons :- C’est le régime sous lequel est produite et

distribuée l’énergie électrique.- Tous les régimes périodiques peuvent être

décomposés en somme de régimessinusoïdaux. Le théorème desuperposition permet d’utiliser lesprincipaux termes de cette décompositionafin de décomposer l’étude d’un circuitlinéaire alimenté en régime périodiquequelconque en somme de circuit alimentéen régime sinusoïdal.

Une première étude des régimes sinusoïdauxa été faite au chapitre 3. On rappelle lesexpressions des impédances et desadmittances complexes des dipôles linéaires :

Dipôle Z Y

Résistances R R G

Inductances L jLω -j / Lω

Condensateurs C -j / Cω jCω

I. REPONSE EN FREQUENCE DES CIRCUITS

LINEAIRES

I.1. Fonction de transfertL ‘association de dipôles linéaires dontl’impédance est liée à la fréquence(inductances, condensateurs) permet deréaliser des circuits dont l’une au moins destensions a une valeur qui dépend de lafréquence d’excitation.Ce type de circuit peut se mettre sous la formed’un quadripôle :T(

ω)Vs(

ω) = T

ω

[Ve(ω

)]Ve(ω

)

On rappelle que la pulsation ω est liée à lafréquence par la relation :

fπω 2=

La fonction T(ω) est couramment appeléefonction de transfert du quadripôle. Il est plus

commode d’utiliser la transformationcomplexe et de définir T(ω) telle que :

)()(

)(ωω

ωe

s

VV

T =

T(ω) est alors un nombre complexe dont lemodule et l’argument dépendent de lafréquence, donc de la pulsation. Il est doncentièrement défini par les expressions :- De son module T = fT(ω)

- De son argument ϕ = fϕ(ω)

Afin de rendre compte des propriétés duquadripôle il est habituel de tracer les deuxcourbes correspondant aux évolutions de sonmodule et de son argument en fonction de lafréquence. Pour des raisons de commodité onpréfère utiliser des échelles logarithmiques,d’où l’introduction du décibel.

I.2. Le décibelI.2.a. Décibel sonore

Au son le plus faible perceptible par l’oreillehumaine (il s’agit évidemment d’unemoyenne réalisée sur un « échantillonreprésentatif ») on fait correspondre la valeurde 0 Bel.. La puissance sonore correspondanteest notée Pref. = 10-12 W.- Un son de puissance 10. Pref. correspond à

1 Bel soit 10 décibels (dB).- Un son de puissance 100. Pref. correspond

à 2 Bel soit 20 dB.- Un son de puissance 10 n. Pref. correspond

à n Bel soit (10.n) dB.

I.2.b. Décibel en électricité.On définit, comme pour les sons, le gain enpuissance d’un quadripôle par GP exprimé enBel :

ePsP

PG log=

Une tension u appliquée aux bornes d’unerésistance R provoque la dissipation d’unepuissance :

RuP2

=

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19

Pour une tension de référence notée Vref

choisie arbitrairement, on peut calculer lavaleur en décibel d’une tension V à l’aide dela relation :

22 10 refn VV ⋅= soit ( ) ref

nVV ⋅= 210

Cette échelle est le plus souvent utilisé pour laquantification du module du gain en tension d’unquadripôle :

TVV

Ge

sV log20log20 ⋅=⋅= .

Cela revient à considérer que Vref = Ve.

Remarque : La valeur du gain en tension d’un

quadripôle qui divise la tension par 2 (ce quicorrespond à une puissance divisée par 2) est égale à :

dB 3 - dB 0103,3 2

1log20 ≈−=⋅=VG

I.3. Diagramme de Bode.Il est constitué de deux courbes ;- La courbe de gain où l’on trace le gain en

fonction du logarithme de la pulsation (oude la fréquence).

- La courbe de phase où l’on tracel’argument de T (en radians) en fonctiondu logarithme de la pulsation.

Propriété importante : Lorsqu’une fonctionde transfert T peut s’écrire sous la forme duproduit de 2 fonctions de transfert T1 et T2

alors son diagramme de Bode peut être tracéen faisant la somme des deux diagrammes deBode de T1 et T2 :

21 TTT ⋅= 221 log20log20log20 TTT +=⇒

21 Arg Arg Arg TTT +=⇒

Afin de pouvoir exploiter la propriètéprécédente, nous présentons ci-dessous lesdiagrammes de Bode des fonctions detransfert les plus élémentaires (avec ω0 choisiarbitrairement : ω0 = 2000 rad/s)

I.3.a. IntégrateurEn sinusoïdal, on obtient l’expressioncomplexe de l’intégrale d’une grandeur endivisant le nombre complexe image de cettegrandeur par jω :

ωωj0=T

dont le diagramme de Bode est :

Courbe de gain

-40

-20

0

20

40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

On remarque que la courbe de gain est unedroite ayant un coefficient directeur négatifégal à - 20 dB par décade.

Ce quadripôle est inutilisable pour les trèsbasses fréquences. En effet l’intégration d’ungrandeur continue conduit à une tension desortie qui tend vers l’infini. Comme cesquadripôles sont le plus souvent réalisés àl’aide de montage comportants desamplificateurs opérationnels, la tension desortie est limitée à une quinzaine de volts.Lorsque la tension de sortie atteint cettevaleur limite, on dit que le quadripôle est“saturé”.

I.3.b. DérivateurLa fonction de transfert d’un dérivateur est :

0ωωj

=T

On multiplie le nombre complexe image de lagrandeur par jω .

Page 21: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

20

Courbe de gain

-40

-20

0

20

40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Le coefficient directeur est positif et égal à +20 dB par décade.A l’inverse du quadripôle intégrateur, ledérivateur conduit théoriquement à unetension de sortie infini pour les très hautesfréquences. Les montages intégrateurs sontdonc saturés à partir d’une certaine valeur dela fréquence d’entrée. D’autre part ils sonttrès sensibles aux parasites de fréquencesélevées qu’ils amplifie considérablement. Lasolution consiste à les empêcher defonctionner au delà d’une certaine fréquence.

I.3.c. Passe bas du premier ordre.Fonction de transfert :

01

1

ωωj

+=T

Diagramme de Bode :

Courbe de gain

-40

-20

0

20

40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

I.3.d. Passe haut du premier ordre n°1Fonction de transfert :

0

0

1ωω

ωω

j

j

+=T

Diagramme de Bode :

Courbe de gain

-40

-20

0

20

40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Page 22: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

21

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

I.3.e. Passe haut du premier ordre n°2Fonction de transfert :

01ωωj

+=T

Diagramme de Bode :

Courbe de gain

-40

-20

0

20

40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Contrairement au précédent il sature pour leshautes fréquences.

I.3.f. Passe bas du second ordre.Fonction de transfert :

20

2

021

1

ωω

ωωξ −+

=j

T

Le diagramme de Bode dépend de la valeurde ξ. ou du facteur de qualité Q (cf. Chapitre4). On rappelle que :

ξ21=Q

Les diagrammes de Bode représentés ci-dessous correspondent à Q = 0,5 pour lescourbes en traits fins et Q = 5 pour lescourbes en traits épais (ω0 = 2000 rd/s)

Courbe de gain

-60

-40

-20

0

20

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

On remarque qu’au-delà de ω0, le coefficientdirecteur vaut – 40 dB par décade, et qu’ilexiste une symétrie de la courbe de phase parrapport au point (ω0 ; -π/2).

II. METHODE D’ETUDE.A partir d’un exemple nous allons développerles méthodes mises en œuvre pour l’étude desquadripôles.

II.1. Expression de la fonction de transfertConsidérons le montage représenté à la figure1 :

Page 23: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

22

RCvsveCRFigure 1

Ce montage est équivalent à celui représenté figure 2, àcondition de poser :

ωCj

RZ −=1

1 2 +=

ω

ωjRCR

Cj

R

CjR

Z

Z1vsveZ2Figure 2

On a alors :

( ) 3

1 31

1 0

0

21

2

+

=+−

=+

=

ωω

ωω

ωω jRC

RCjZZZ

T

en posant RC1

0=ω

II.2. Tracé du diagramme de Bodeasymptotique d’un quadripôle.

- Pour 0→ω , 0ωωj

T→ : dérivateur (Cf. §

I.3.b)

- Pour ∞→ω , ωωj

T 0→ : intégrateur (Cf. §

I.3.a)D’où le diagramme asymptotique :

Courbe de gain

-40

-20

0

20

40

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

En trait fin, on a tracé la courbe réelle : pour

0ωω= , 31=T

On constate que le diagramme asymptotiquefourni une approximation suffisante de lacourbe de gain. Il en n’est malheureusementpas de même en ce qui concerne la courbe dephase : la courbe réelle étant relativementdifférente au voisinage de ω0 .

Courbe de phase

-3,14

-1,57

0,00

1,57

3,14

1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06

II.3. Détermination expérimentale dudiagramme de Bode d’un quadripôle.

Pour tracer le diagramme de Bode d’unquadripôle, on l’alimente avec un générateurdélivrant une tension sinusoïdale dont lavaleur efficace est fixe et dont la fréquenceest réglable (figure 3).

vsveFigure 3Voie 1quadripôle Sondedifférentielle (sinécessaire) Voie 2GBF

Page 24: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

23

Chapitre 5REGIMES TRANSITOIRES

I. RAPPELS DU CHAPITRE 2

La loi des mailles et la loi des nœuds sontapplicables aux expressions instantanées descourants et des tensions.On se limite à l'étude des circuits qui necomportent que des dipôles linéaires :résistances R, inductances pures L,condensateurs C et générateurs parfaits. Leséquations caractéristiques de ces dipôles sont:

Résistance : iRu ⋅= (V-1)

Condensateurs : t

uCid

d⋅= (V-2)

Inductances : t

iLud

d⋅= (V-3),

Sources de tension : Eu = quelque soit i(IV-4)

Les équations (V-2) et (V-3) imposent :- En continu (régime "établi"), la dérivée de

n'importe quelle grandeur étant nulle,l'inductance se comporte comme un fil ouun interrupteur fermé et le condensateurse comporte comme une coupure ducircuit ou un interrupteur ouvert.

- L'intensité qui traverse une inductance nepeut subir de discontinuité (varierinstantanément). De même la tension auxbornes d'un condensateur ne peut subir dediscontinuité.

II. REGIMES TRANSITOIRES DU PREMIER

ORDRE.

II.1. Modification de la charge d'uncondensateur à travers une résistance.

ERCuCiuRKuKFigure 1

II.1.a. Etat initial (t < 0)L’interrupteur K ouvert impose i = 0, donc latension uC aux bornes du condensateur UC0 estconstante (IV-2) et la tension uR aux bornesde la résistance est nulle.La tension uK aux bornes de l'interrupteur vautdonc :

0CK UEu −= (V-5)A t = 0, on ferme l'interrupteur K (rienn'oblige à poser comme origine des tempsl'instant de la fermeture de K, mais c'est pluspratique).

II.1.b. état à t = 0+C'est l'instant qui suit la fermeture de K.L'interrupteur étant fermé, on a uK = 0.La loi des mailles impose :

CKR uuuE ++= (V-6)La tension aux bornes du condensateur vauttoujours UC0. On obtient alors :

00 CR UEu −=+ (V-7)

d'où : R

UEi C00

−=+ (V-8)

Le circuit subit une brusque discontinuité decourant qui impose un début de variation pourla tension uC avec un coefficient directeur àl'origine qui vaut :

RC

UE

t

u C0

0

C

d

d −=

+

(V-9)

II.1.c. A t quelconque.En considérant (IV-1), (IV-2) et (IV-6) onobtient :

CC

d

du

t

uCRE +⋅= (V-10)

Le produit RC, homogène à une durée estappelé constante de temps du circuit.

La solution de l'équation différentielle (V-10)s'obtient à l'aide de la solution généraledonnée en annexe (annexe IV-1) et enconsidérant que :- UC0+ = UC0

- UCf = E

Page 25: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

24

- τ = RCOn en déduit :

( ) ERC

tEUu CC +

−⋅−= exp0 (V-11)

La courbe de la variation de uc correspond à lacourbe type décrite en annexe (§ IV-2).

Remarques :- Plus le produit RC est grand plus les

variations de uC s'effectuerons lentement.- Si le générateur de tension continue est

remplacé par une source de tensionpériodique e(t), de période T et de valeurmoyenne Emoy, la tension qui s'établiraaux bornes du condensateur sera d'autantplus proche de Emoy que τ sera supérieureà T.

II.2. Etablissement du courant dans uncircuit inductif.

ERLuLiuRKFigure 2

L'étude se mène d'une manière similaire àcelle effectuée au paragraphe précédent :- pour t < 0, EuK = et 0=== iuu RL

- à t = 0+ : il ne peut pas y avoir dediscontinuité pour l'intensité traversantl 'inductance L : 0== iuR , de plus

0=Ku donc on a : EuL = (brusquediscontinuité de la tension aux bornes del'inductance).

- Pour t > 0, la loi des mailles impose :

R

Ei

t

i

R

LEuu RL =+⋅⇒=+

d

d (V-12)

La solution de cette équation différentielle estalors :

−−=+

−⋅−=τt

R

E

R

E

R

Lt

R

Ei exp1exp (V-13)

avec R

L=τ , constante de temps du circuit.

Remarques :

- La résistance à prendre en compte est larésistance totale de la maille : à la

résistance du circuit on doitéventuellement ajouter la résistance de labobine et la résistance interne dugénérateur.

- L'ouverture de l'interrupteur lorsque lecourant est établi est contraire au principequi interdit la mise en série de deuxsources de courant imposant des courantsd'intensités différentes (Cf. Chapitre 1, §II-5c). Cette ouverture produit uneétincelle de rupture aux bornes del'interrupteur.

III. REGIMES TRANSITOIRES DU SECOND

ORDRE

III.1. Cas général.Le circuit étudié est représenté à la figure 3.RLuLiuCFigure 3uRuEC

La loi des mailles impose :CLRE uuuu ++=

En utilisant les équations caractéristiques deces dipôles on obtient :

EC uuiRt

iL =+⋅+⋅d

d (V-14)

en substituant (I-10) Dans (IV-11), il vient :

ECCC uut

uRC

t

uLC =++

d

d

d

d2

2

(V-15)

et en dérivant IV-11 :

t

uCi

t

iRC

t

iLC

d

d

d

d

d

d E2

2

=++ (V-16)

Ces grandeurs respectent une équationdifférentielle du second ordre d'oùl'appellation "régimes transitoires du secondordre".

III.2. Solution du régime libre.

On pose 0d

dCte0 =⇒==

t

uu EE . Nous sommes

donc amenés à résoudre l'équationdifférentielle suivante :

01

d

d

d

d0

d

d

d

d2

2

2

2

=++⇔=++ xLCt

x

L

R

t

xx

t

xRC

t

xLC

III.2.a. Notations usuelles

ω0 : pulsation propre en rad/s, telle que :

Page 26: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

25

00

20

11

ωωω

CL

LC=⇒=

τ : temps de relaxation en seconde : R

L=τ

Rc : résistance critique en Ohm : C

LRc 2=

ξ (ou σ , ou m) : coefficient d'amortissement sans unité

: cR

R

L

R==

02 ωξ

Q, facteur de qualité : 0

0 1

2

1

ω

ω

ξ RCR

LQ ===

Avec ces notations, l'équation à résoudre peut s'écrire :

0d

d2

d

d10

d

d1

d

d1

02

2

200

2

2

20

=++⇔=++ xt

x

t

xx

t

x

Qt

x

ω

ξ

ωωω

III.2.b. Solutions de l'équationLe discriminant de l'équation caractéristiqueest égal à :

LCL

R 42

Il est nul lorsque la résistance de la maille estégale à la résistance critique Rc.Les résultats de la résolution des équationsdifférentielles développées en annexe (§ IV-2)nous obligent à différentier 3 régimesdistincts selon la valeur de R, la résistancetotale de la maille :

- Pour R < Rc (ou Q < 0,5 ou ξ >1)

Les racines sont réelles, l'allure de la tension uC estreprésentée à la figure 4 (avec Q = 0,25). On constateque uC ne subit aucune oscillation, ce régime est ditapériodique.

figure 4

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

- Pour R > Rc (ou Q > 0,5 ou ξ <1)

Les racines sont complexes, l'allure de la tension uC estreprésentée à la figure 5 avec (Q = 4). On constate que

uC subit des oscillations, ce régime est dit pseudo-périodique.

figure 5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

La période de ces oscillations vaut :

20 1

22

ξω

πωπ

−⋅==T

Lorsque le facteur de qualité est supérieur à 2, (ξ <0,25), cette pseudo-période est proche de celle quicorrespond au régime oscillant non amorti, soit :

LCT π2= :

- Pour R = Rc (ou Q = 0,5 ou ξ =1), le régime est dit"critique".

La figure 6 nous permet de voir que dans ce cas latension aux bornes du condensateur ne subit aucundépassement et qu'elle s'annule très rapidement.

figure 6

-10

-8

-6

-4

-2

0

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08

III.3. Solution complète.Nous nous limiterons au cas où uE est égal àune constante.La solution particulière s'obtient, comme pourle premier ordre, en cherchant le régime final(ou régime établi). On additionne à ce résultatla solution de l'équation sans second membre,puis on détermine les constantes à l'aide desconditions initiales.

III.4. Applications pratiques

Page 27: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

26

Deux cas se présentent fréquemment enélectricité :

- Les oscillations sont recherchéesOn réalise alors des circuits de très grandsfacteurs de qualité. Le problème consiste àminimiser la résistance de la maille. Enélectronique on utilise parfois des montages"convertisseurs d'impédances négatives" quipermette de l'annuler.

- Les oscillations doivent être éliminées.Les résonances produites peuvent provoquerl'apparition de tensions ou de courantsdétruisant une partie du circuit. Par exempleun condensateur placé en parallèle d'un dipôleinductif pour améliorer le facteur depuissance peut provoquer une mise enrésonance du circuit pour un harmonique duréseau. Il faut alors modifier sa valeur pourdécaler la fréquence de résonance.

IV. ANNEXES

IV.1. Solutions des équations différentiellesdu premier ordre.

IV.1.a. Résolution mathématique

Soit l'équation différentielle du premier ordre :

Axt

x=+

d

La solution de ce type d'équation est lasomme de deux termes : La solution durégime forcé et la solution du régime libre.

Le régime forcé ou régime final, dans ce cas,correspond au moment ou l'on a atteint lerégime continu. La grandeur x est alorscontinue, égale à Xf et sa dérivée est nulle.La solution du régime forcé est donc :

Xf = A

Le régime libre est régit par l'équation différentielle :

0d

d=+ l

l xt

Pour résoudre cette équation, on commence par séparerles variables xl et t :

ττ

t

x

xtxx

l

lll

dddd −=⇒⋅−=⋅

On intègre ensuite les deux membres de cette équation:

Cteln1dd

+−=⇒−=−= ∫∫∫ τττt

xdtt

x

xl

l

l

Si BA = alors ( ) ( )BA expexp = , donc la solution du

régime libre est :

−⋅=

+−=

ττt

Kt

xl expCteexp

Pour obtenir la solution complète x, on additionne lessolutions xl et Xf :

At

Kx +

−⋅=τ

exp

K est une constante d'intégration que l'ondétermine avec la solution complète et lacondition initiale c'est à dire la valeur X0+

prise par x à l'instant t = 0+ :

AXKAKAKX −=⇒+=+

−⋅= ++ 000

expτ

La solution générale est donc :

( ) At

AXx +

−⋅−= + τ

exp0

IV.1.b. Allure des courbes :La courbe obtenue à l'aide des valeurs du §précédent est représentée ci dessous :

x

tg à l'origine

x final

Après une durée correspondant à τ, la valeurde x est X0+ plus 63 % de la variation àeffectuer soit :

)(63,0)( 00 ++ −+= XXXx fτ

Après une durée correspondant à 3τ, la valeurde x est X0+ plus 95 % de la variation àeffectuer soit :

)(95,0)3( 00 ++ −+= XXXx fτ

Enfin, après une durée correspondant à 5τ, lavaleur de x est X0+ plus 99,3 % de la variation

Page 28: Cours d'Electricité (Université d'Orleans) PAscal Loos

27

à effectuer, on peut alors considérer que lerégime transitoire est terminé.

IV.1.c. Demi-périodeDans certains domaines scientifiques il estplus habituel, pour les régimes transitoires dupremier ordre, de définir à la place de laconstante de temps τ une durée T appeléedemi-période (T ≈ 0,7 τ).Après une durée T la variable a effectué lamoitié de la variation, il en reste donc lamoitié. Après deux T il en reste un quart,après 3 T il en reste un huitième etc.. Lerégime transitoire peut être considéré commeterminé après 7 T ≈ 5 τ.Exemples : demi-vie des atomes radioactifs, périoded'un tissu pour les calculs de désaturaturation de l'azoteen plongée sous marine.

IV.2. Solutions des équations différentiellesdu second ordre.

IV.2.a. Solution du régime libre:Il est régit par l'équation différentiellesuivante :

0d

d

d

d2

2

=++ xt

xB

t

xA

On peut montrer que cette équation peut êtredéveloppée sous la forme :

0d

d

d

d

d

d112 =

+−+

+−− x

t

xrx

t

xr

tr

( ) 0d

d

d

d212

2

21 =++− xt

xrr

t

xrr

à condition de poser Arr =⋅ 21 et Brr −=+ 21

La détermination des valeurs de r1 de r2

s'effectue en constatant que ce sont les racinesde l'équation du second degré suivante :

012 =++ BrArCette équation porte le nom d'équationcaractéristique de l'équation différentielle.La solution de l'équation

+−==+− xt

xrXXX

tr

d

d : avec ,0

d

d12

est de la forme (Cf. § IV-1) :( )trKX 22 exp⋅=

Il reste alors à résoudre :

( )trKxt

xrX 221 expd

d=

+−=

ayant pour solution (Cf. § IV-1) :

( ) ( )trKtrKx 2211 expexp +=

Pour les régimes transitoires du second ordrerencontrés en électricité il est d'usage d'écrirel'équation différentielle sous la forme :

0d

d2

d

d 2002

2

=++ xt

x

t

xωξω

Les racines r1 et r2 sont alors les solutions de l'équationcaractéristiques :

02 200

2 =++ ωξω rr

dont le discriminant est ( )1' 220

20

20

2 −=−=Δ ξωωωξ

3 cas se présentent alors :

- 10' 2 >⇒>Δ ξ

On a alors deux racines réelles négatives (car ξ > 0)

( )

−+−=−−−= 11 20

22001 ξξωξωξωr

( )

−−−=−+−= 11 20

22002 ξξωξωξωr

d'où

( ) ( )trKtrKx 2211 expexp +=

Les constantes sont déterminées à l'aide des conditionsinitiales : à t = 0+

- 110' 2 =⇒=⇒=Δ ξξ

Dans ce cas particulier : 021 ω−=== rrr , et la

solution est de la forme :

( ) ( ) ( ) ( )tKtKrtKtKx 02121 expexp ω−+=+=

- 10' 2 <⇒<Δ ξ

Les deux racines sont deux nombres complexesconjugués :

+==

−=

20

*12

201

-1j

-1j

ξξω

ξξω

rr

r

La solution est de la forme :

( ) ( )trKtrKx ⋅+⋅= 2211 expexp

De plus on pose habituellement :

20 1 ξωω −⋅=

d'où :

( ) ( ) ( )( )tKtKtx ⋅+⋅−⋅= ωωξω jexpjexpexp 210

Les constantes K1 et K2 sont déterminées à l'aide desconditions initiales.