Cours d'Optique Physique SMP 3-SMC 3 2013 2014

Cours d'Optique Physique

SMP3-SMC3

2013-2014

Professeur D. MGHARAZ 1 Université Ibn-ZohrFaculté des Sciences d'Agadir

Professeur D. Mgharaz

Table des matières

1 De l'Optique Géométrique à l'Optique Ondulatoire 31.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Rayon Lumineux- Faisceau Lumineux . . . . . . . . . . 31.1.2 Indice de réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 Chemin optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Théorème de Malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Principe d'Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Les di�érentes théories de la lumière . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 La théorie géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 La théorie corpusculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.3 La théorie ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Concept d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.1 Ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.2 Ondes planes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5.3 Ondes sphériques progressives . . . . . . . . . . . . . . 101.5.4 Ondes sinusoïdales (ou monochromatiques ou harmo-

niques) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Équation d'onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7.1 Ondes planes progressives . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7.2 Ondes planes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Les interférences lumineuses 132.1 Notion de vibration lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1 Dé�nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.2 Correspondance avec l'électromagnétisme . . . . . . . . 142.1.3 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4 Di�érents cas de polarisation . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.5 Superposition de deux polarisations linéaires . . . . . . 19

1

TABLE DES MATIÈRES

2.1.6 Signi�cation physique de la vibration lumineuse . . . . 222.1.7 Intensité lumineuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Ondes à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Ondes progressives sphériques . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Ondes progressives planes . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.3 Relation entre phase et chemin optique . . . . . . . . . 23

2.3 Récepteurs lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Composition de deux vibrations lumineuses . . . . . . . . . . . 242.5 Cohérence temporelle- Cohérence spatiale . . . . . . . . . . . 28

2.5.1 Cohérence temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2 Cohérence spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6 Les di�érents types de sources lumineuses . . . . . . . . . . . 312.6.1 Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6.2 Les diodes électroluminescentes . . . . . . . . . . . . . 31


Chapitre 1

De l'Optique Géométrique à

l'Optique Ondulatoire

L'optique géométrique est basée sur la notion de rayon lumineux. Ellepermet de décrire la formation des images par la plupart des appareils ; ainsi,la position et la taille des images peuvent être déduites par des conditionsgéométriques dans le plan.

Quand les dimensions du système optique sont grandes devant la lon-gueur d'onde (λ) de la lumière qui s'y propage, l'optique géométrique estune approximation justi�ée. Elle ne rend pas compte de phénomènes à uneéchelle microscopique tels que la di�raction ou les interférences, produits parexemple quand la lumière passe à travers des ori�ces réduits. Ces derniersphénomènes s'expliquent dans le cadre de l'optique ondulatoire.

1.1 Préliminaires

1.1.1 Rayon Lumineux- Faisceau Lumineux

Dans un milieu homogène et isotrope, la lumière se propage en lignedroite. En e�et, si on considère l'expérience suivante : on observe un point Ad'un objet et on interpose un obstacle entre l'oeil et ce dernier, on ne le voitplus. On en déduit que la lumière, entre l'oeil et le point, a suivi un segmentde droite.

Figure 1.1 �

3

CHAPITRE 1. DE L'OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE À L'OPTIQUEONDULATOIRE

Rayon Lumineux

Physiquement, un "rayon lumineux" n'a pas d'existence (on ne peut ob-server de rayon unique !). C'est un modèle qui permet de décrire la formationdes images, la réfraction et la ré�exion de la lumière, la dispersion etc... Pourmatérialiser la propagation rectiligne, on représente des "rayons lumineux"sous forme de droites issues de la source, une �èche indiquant le sens depropagation de la lumière.

Faisceau Lumineux

Un faisceau lumineux est composé d'un ensemble de rayons lumineux émisinitialement par la même source. Ces derniers se propagent indépendammentles uns des autres. Un faisceau peut être convergent (�gure 1.2) ou divergent(�gure 1.3). On parle de faisceau parallèle (�gure 1.4) lorsque la source estplacée à très grande distance (Soleil, étoiles).

Figure 1.2 � Faisceau convergent.

Figure 1.3 � Faisceau divergent.

Figure 1.4 � Faisceau parallèle.

1.1.2 Indice de réfraction

De point de vue expérimentale, on peut véri�er que la vitesse de pro-pagation de la lumière dépend du milieu dans lequel elle se propage. Cette



vitesse est maximale dans le vide. Un milieu est caractérisé par son indice deréfraction n dé�ni par le rapport :

n =c

v, (1.1)

où v représente la vitesse de la lumière dans le milieu considéré et c(c=299792km/s), sa vitesse dans le vide.

La valeur de l'indice de réfraction varie très légèrement en fonction dela couleur de la lumière qui traverse le matériau c'est-à-dire de la longueurd'onde du rayonnement considéré.

Quelques exemples

∗ Milieux homogènes :− Pour les matériaux usuels (milieux isotropes) :

1(vide) < n < 2.4 (diamant) ; nverre = 1.5 ou 1.6 ; neau = 1.33− Milieux anisotropes : ils ont des propriétés di�érentes et peuvent avoir

plusieurs indices de réfraction.∗ Milieux inhomogènes : l'indice de réfraction dépend de la position dans

le milieu, n = f(x, y, z).

1.1.3 Chemin optique

On dé�nit un chemin optique le temps que met la lumière pour parcourirun rayon plutôt que comme sa longueur géométrique. Dans un milieu ho-mogène (n(M) = cte, ∀M), le chemin optique [AB] parcouru par le rayonlumineux entre A et A' vaut :

[AA′] = n.AA′, (1.2)

Le chemin optique peut être relié au temps tAA′ mis par la lumière pour allerde A à A' :

tAA′ =AA′

v=n

c.AA′ =

[AA′]

c, (1.3)

Le chemin optique entre ces deux points A et A' sinterprète donc comme ladistance que la lumière parcourrait dans le vide pendant le temps tAA′ .

→ Dans le cas de dioptres successifs (milieux homogènes) :



AM et MA' sont des rayons lumineux.

[AA′] = [AMA′] = [AM ] + [MA′] = n.AM + n′.MA′, (1.4)

→ Pour un milieu inhomogène (l'indice de réfraction n(M) varie) :

[AA′] =

∫ A′

A

n(M)dlM , (1.5)

1.1.4 Principe de Fermat

Le principe de Fermat est équivalent au principe de propagation rectiligne.Ainsi, le chemin optique [AA'] correspond à une valeur stationnaire cest-à-dire extrémal par rapport aux autres chemins. Dans presque tous les cas,l'extremum est un minimum (la lumière choisit le chemin le plus rapide).

1.1.5 Lois de Descartes

Généralement, deux rayons ré�échi et réfracté sont générés lorsqu'unrayon lumineux arrive sur un dioptre quelconque (surface de séparation entre2 milieux d'indice di�érents n et n').

AI le rayon incident.IN est la normale au dioptre en I. Elle dé�nit avec le rayon incident

un plan appelé plan d'incidence, normal par construction, à la surface deséparation.


CHAPITRE 1.

Loi 1

Le rayon ré�échi et le rayon incident sont dans le plan d'incidence.

Loi 2

L'angle de ré�exion r est égal et opposé à l'angle d'incidence i0 : r = −i0.

Loi 3

Le sinus de l'angle de réfraction i1 et le sinus de l'angle d'incidence i0sont en rapport constant autrement dit : n.sin(i0) = n

′.sin(i1).

Expression vectorielle des lois de Snell-Descartes

Démonstration : voir annexe ! !

1.2 Théorème de Malus

Énoncé

Après un nombre quelconque de ré�exions et de réfractions, les rayons is-sus d'une source ponctuelle demeurent perpendiculaires aux surfaces d'ondes.

Exemples

Pour une onde sphérique, les rayons lumineux sont les rayons des sphèresd'ondes ; pour une onde plane, les rayons lumineux sont parallèles entre eux,et perpendiculaires aux surfaces d'ondes.


CHAPITRE 1.

Surafces d'ondes et rayons pour des ondesplanes et sphériques.

Applications

∗ Cas (a) : La source ponctuelle S est placée dans le plan focal objetd'une lentille convergente ; ainsi, les rayons ressortent parallèles, (P) est unplan d'onde =⇒ [SM ] = [SM ′].∗ Cas (b) : Des rayons parallèles convergent en même point K situé dans

le plan focal image d'une lentille convergente ; le principe du retour inversefait que l'on a : [MK] = [M ′K].

Cependant, toute di�érence de phase entre les deux rayons enregistréeavant le plan (P ′) sera conservée jusqu'en K.

1.3 Principe d'Huygens

Énoncé

Tout point d'un front d'onde primaire sert de source à des ondes sphé-riques secondaires telles que le front d'onde plus tard est l'enveloppe de cesondes. En outre, ces ondes avancent avec une longueur d'onde et une fré-quence égale à celle de l'onde primaire.


CHAPITRE 1.

1.4 Les di�érentes théories de la lumière

1.4.1 La théorie géométrique

Une théorie qui permet d'interpréter simplement la construction des imagesà l'aide de lentilles et/ou miroirs. Cette théorie approximative ne rend pascompte de l'aspect ondulatoire de la lumière.

1.4.2 La théorie corpusculaire

NEWTON défend une description corpusculaire de la lumière. Pour lui,le phénomène de di�raction de la lumière s'explique par une in�exion de lalumière par la matière : on voit ici une vision purement mécaniste.

1.4.3 La théorie ondulatoire

La théorie ondulatoire de la lumière a pris son essor au 19ème siècle.C'est Thomas YOUNG qui a démontré la nature ondulatoire de la lumièreet a introduit le principe d'interférence.

Selon les dimensions des obstacles :→ Lorsque ces dimensions sont grandes devant la longueur d'onde λ, le

théorie géométrique su�t.→ Dans le cas où ces dimensions sont petites devant λ, on utilisera la

théorie ondulatoire.

1.5 Concept d'onde

Une onde à un phénomène physique décrit par une fonction scalaire ouvectorielle dépendant à la fois de l'espace et du temps.

Onde=double oscillations coupléesDans la suite, l'onde sera caractérisée par un signal qui dépend de la

position M et du temps t : ψ(M, t)

1.5.1 Ondes planes

ψ s'exprime en coordonnées cartésiennes : ψ(x, y, z, t). Une onde est diteplane si elle ne dépend que d'une seule coordonnée cartésienne et est doncde la forme, ψ(M, t) = ψ(x, t).


CHAPITRE 1.

1.5.2 Ondes planes progressives

L'onde plane est dite progressive si le signal se propage dans un sensdéterminé :→ Onde plane progressive (sens "Ox") : ψ+(M, t) = f(t− x

c).

→ Onde plane régressive (sens "-Ox") : ψ−(M, t) = f(t+ xc).

Onde plane : ψ(x, t) = A.cos(ωt− kx)Sous notation complexe, ψ(x, t) = A.exp[−j(ωt− kx)].

Remarque

A la �n des calculs, c'est la partie réelle qui nous intéresse et qu'a uneinterprétation physique.

1.5.3 Ondes sphériques progressives

Le concept d'onde sphérique correspond physiquement à une émissionisotrope d'un signal à partir d'une source ponctuelle. Il y a alors décroissanceen 1/r de l'amplitude du signal.→ Onde sphérique progressive (sens "~er") : ψ+(M, t) = 1

r.f(t− r

c) avec c

vitesse de propagation.→ Onde sphérique régressive (sens " ~−er") : ψ−(M, t) = 1

r.f(t+ r

c) avec c

vitesse de propagation.Onde sphérique : ψ(~r, t) = A

r.cos(ωt− ~k.~r).

Sous notation complexe : ψ(~r, t) = Ar.exp[−j(ωt− ~k.~r)], A = Cste.

1.5.4 Ondes sinusoïdales (ou monochromatiques ou har-moniques)

Il est possible pour les ondes précédentes de choisir une dépendance sinu-soïdale.

On obtient en particulier une onde plane progressive harmonique (OPPH)très utilisée dans les problèmes de propagation d'ondes :

OPPH progressive (sens "Ox") : ψ(M, t) = ψ0.cos(ωt− ~k. ~OM + ϕ0).* Amplitude de l'onde : ψ0,* Phase à l'origine : ϕ0,* Période temporelle : T = 2π

ω,

* Période spatiale : λ = 2πk,

* Vitesse de phase : vϕ = ωk.


CHAPITRE 1.

1.6 Équation d'onde

On appelle "équation d'onde à une dimension" ou "équation de d'Alem-bert" une équation aux dérivées partielles de la forme :

∂2ψ

∂x2− 1

c2

∂2ψ

∂t2= 0, (1.6)

Cette équation traduit l'existence de phénomènes de propagation pour lagrandeur ψ et la constante c est la célérité.

Autres équations

→ Équation de Sine-Gordon :

∂2ψ

∂x2− 1

c2

∂2ψ

∂t2− ω2

c2ψ = 0, (1.7)

.→

∂2ψ

∂x2− 1

c2

∂2ψ

∂t2− ω2

c2ψ − 1

τc2ψ = 0, (1.8)

.

1.7 Solutions

1.7.1 Ondes planes progressives

Les ondes ψ(x, t) solutions de l'équation de propagation unidimensionnellede d'Alembert :

∂2ψ

∂x2− 1

c2

∂2ψ

∂t2= 0, (1.9)

peuvent s'écrire, de façon générale, sous la forme d'une superposition dedeux ondes planes progressives (OPP) :

f(t− xc) se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants, g(t+ x

c)

se propageant à la vitesse c dans le sens des x décroissants :

ψ(x, t) = f(t− x

c) + g(t+

x

c), (1.10)



CHAPITRE 1.

Remarque

Cette solution s'interprète comme la superposition de deux phénomènesde propagation à vitesse c, l'un suivant les x positifs (onde progressive) etl'autre suivant les x négatifs (onde régressive).

Cas d'un problème à symétrie sphérique

ψ(r, t) =1

r

{f(t− r

c) + g(t+

r

c)}, (1.11)

À démontrer ! !

1.7.2 Ondes planes stationnaires

Méthode de séparation des variables

La solution cherchée constitue une onde stationnaire :

ψ(r, t) = A.cos(k.x+ α).cos(ωt+ θ), (1.12)



Chapitre 2

Les interférences lumineuses

Figure 2.1 �

13

CHAPITRE 2. LES INTERFÉRENCES LUMINEUSES

2.1 Notion de vibration lumineuse

2.1.1 Dé�nition

On appelle une vibration lumineuse une composante quelconque du champélectrique par rapport à un axe perpendiculaire à la direction de propagation,c'est une grandeur vibratoire scalaire associée à une onde lumineuse mono-chromatique. Elle est liée à l'aspect ondulatoire de la lumière et s'écrit, enun point M de l'espace, sous la forme sinusoïdale :

s(M, t) = s0(M).cos(ωt− ϕ(M)), (2.1)

où, s0(M) est l'amplitude de l'onde au point M ,ω est la pulsation liée à la période temporelle T et à la longueur d'onde

dans le vide par T = 2πωet λ0 = cT ,

ϕ(M) est la phase au point M .

Sous notation complexe

s(M, t) = Re[s(M, t)] avec s(M, t) = s0(M).exp[j(ωt− ϕ(M))].

2.1.2 Correspondance avec l'électromagnétisme

Figure 2.2 �



La forme prise par les équations de Maxwell dans le vide, c-à-d en l'ab-sence de charges et de courant :

Div ~B = 0, (2.2)

~rot ~E = −∂~B

∂t, (2.3)

Div ~E = 0, (2.4)

~rot ~B = µ0ε0∂ ~E

∂t, (2.5)

utilisant la formule, ~rot ~rot = ~grad(div)−∆ utilisée à la dernière équation,il vient :

−∆ ~B = µ0ε0∂ ~rot ~E

∂t= −µ0ε0

∂2 ~B

∂t2, (2.6)

∆ ~B − µ0ε0∂2 ~B

∂t2= 0, (2.7)

avec, 1c2

= µ0ε0.

Il apparaît que ~E et ~B dans le vide obéissent à une équation de d'Alembertplus générale tridimensionnelle.

La résolution des équations de Maxwell dans le vide conduit à une équa-tion d'onde de la forme

∆ ~E − ε0µ0∂2 ~E

∂t2= 0, (2.8)

dont une solution est l'onde plane progressive sinusoïdale dont le champélectromagnétique s'écrit :

~E(M, t) = ~E0cos(ωt− ~k0. ~OM) et ~B = 1ω

(~k0 ∧ ~E).~k0 est le vecteur d'onde ; il est dirigé suivant la direction de propagation

et k0 = 2πλ0

= ωcdans le vide.

Remarque

Dans un milieu homogène d'indice n, k = nk0 = n2πλ0

= nωc

= ωv.



2.1.3 Polarisation

Dé�nition

L'étude de la polarisation d'une onde électromagnétique consiste à suivrel'évolution du champ électrique dans un plan normal à sa direction de propa-gation. L'observation se fait selon le sens opposé à celui de la propagation. Lapolarisation est alors dé�ni comme le lieu géométrique qu'occupe l'extrémitédu vecteur champ électrique au cours du temps.

Figure 2.3 �

Le champ électrique d'une onde plane progressive monochromatique dansle vide s'écrit, en toute généralité en notation complexe :

~E = ~E0exp[j(ωt− k0z)], (2.9)

~E0 choisi orthogonal à Oz.En prenant la partie réelle et en projetant sur un système d'axe dans le

plan transversal à la propagation de l'onde électromagnétique, on obtient :

~E = ~E0xcos(ωt− k0z + ϕx) + ~E0ycos(ωt− k0z + ϕy), (2.10)

E0x et E0y sont pris positifs par un choix convenable de ϕx et ϕy.L'extrémité du vecteur ~E suit di�érentes courbes fermées selon la valeur

du déphasage : ϕyx = ϕy − ϕx.

Remarque

Dans le cas général, une ellipse est observée. Cette ellipse peut être dégé-nérée (segment de droite), ou s'identi�er particulièrement à un cercle.

2.1.4 Di�érents cas de polarisation

Polarisation elliptique

Dans le cas général, l'extrémité du vecteur E dans un plan z=cte décritune ellipse. On parle de polarisation elliptique droite (gauche) si l'ellipse



est décrite au cours du temps dans le sens des aiguilles d'une montre (sensinverse des aiguilles d'une montre). En e�et, seule compte la di�érence dephase entre les deux composantes.

Figure 2.4 �

Polarisation circulaire

C'est un cas particulier de la polarisation elliptique :

Figure 2.5 �

Pour le champ de l'expression (*), la polarisation est circulaire si :

→ ϕyx = ϕy − ϕx = ±π2.

→ E0x = E0y.

C'est-à-dire que les deux composantes sont en quadrature temporelle etont même amplitude. De même que la polarisation elliptique, la polarisationcirculaire peut être droite ou gauche suivant le sens de parcours du cercle.Pour le champ de l'expression (2.10), la polarisation est droite pour ϕyx = π

2

et gauche pour ϕyx = −π2.



Polarisation rectiligne

Figure 2.6 �

Elle est obtenue quand le champ ~E vibre dans une direction �xe de l'es-pace, c'est-à-dire que ~E(z.t) est indépendant du temps. Par analogie avecl'électrocinétique, on sait que ce cas est obtenu pour un déphasage nul (à nprès), soit : ϕyx = 0(2π). Cela est équivalent à dire qu'une des deux compo-santes du champ est nulle. En e�et, par rotation des axes autour de Oz, ilest possible d'amener le vecteur ~ux selon la direction de ~E par un choix daxeconvenablement e�ectué, et on a ainsi :

~E = E0cos(ωt− k0z) ~ux, (2.11)

Conclusion

La polarisation d'une onde électromagnétique plane progressive mono-chromatique dans le vide est en général elliptique, gauche ou droite. Plusparticulièrement, elle peut être rectiligne ou circulaire.

Figure 2.7 �



2.1.5 Superposition de deux polarisations linéaires

Les ondes sont polarisées linéairement et les polarisations sont orthogo-nales :

~Ex = E0xcos(ωt− k0z + ϕx) ~ux, (2.12)

~Ey = E0ycos(ωt− k0z + ϕy) ~uy, (2.13)

La somme de ces deux ondes ne dépend que de (z?ct). Il s'agit par consé-quent d'une onde plane progressive et il su�t d'étudier l'évolution du champélecrique en un point.

De manière générale, la polarisation obtenue est une polarisation ellip-tique contenue dans le rectangle dé�ni par −Ex < x < Ex et −Ey < y < Ey.La nature exacte de la polarisation dépend de la phase relative entre les deuxondes.

Ondes en phase : ϕyx = 0

Figure 2.8 �

Les deux ondes sont en phase, le champ électrique s'écrit :

~E = cos(ωt− k0z + ϕx)[E0x ~ux + E0y ~uy], (2.14)

Les composantes du champ électrique véri�ent l'équation :

ExE0x

− EyE0y

= 0, (2.15)

Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation estlinéaire, elle est selon la première diagonale du rectangle.

Ondes en opposition de phase : ϕyx = π

Les deux ondes sont en opposition de phase, le champ électrique s'écrit :

~E = cos(ωt− k0z + ϕx)[E0x ~ux − E0y ~uy], (2.16)



Figure 2.9 �

Les composantes du champ électrique véri�ent l'équation :

ExE0x

+EyE0y

= 0, (2.17)

Le champ électrique décrit un segment de droite : la polarisation estlinéaire, elle est selon la deuxième diagonale du rectangle.



Ondes en quadrature : ϕyx = π2

Figure 2.10 �

Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s'écrit :

~E = E0xcos(ωt− k0z + ϕx) ~ux − E0ysin(ωt− k0z + ϕx) ~uy, (2.18)

Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axesOx et Oy . L'équation véri�ée par les composantes du champ électrique est :

(ExE0x

)2 + (EyE0y

)2 = 1, (2.19)

La composante du champ selon Oy est en retard par rapport à celle qui estselon Ox, autrement dit l'ellipse est parcourue selon le sens trigonométrique.La polarisation est elliptique gauche. Si les amplitudes E0x et E0y sont égales,la polarisation est circulaire.

Ondes en quadrature : ϕyx = −π2

Les deux ondes sont en quadrature, le champ électrique s'écrit :

~E = E0xcos(ωt− k0z + ϕx) ~ux + E0ysin(ωt− k0z + ϕx) ~uy, (2.20)

Le champ électrique décrit une ellipse dont les axes principaux sont les axesOx et Oy . L'équation véri�ée par les composantes du champ électrique est :

(ExE0x

)2 + (EyE0y

)2 = 1, (2.21)

La composante du champ selon Oy est en avance par rapport à celle quiest selon Ox, autrement dit l'ellipse est parcourue selon le sens horaire. Lapolarisation est elliptique droite. Si les amplitudes E0x et E0y sont égales, lapolarisation est circulaire.


CHAPITRE 2.

2.1.6 Signi�cation physique de la vibration lumineuse

On peut écrire le champ électrique sous la forme : ~E(M, t) = s(M, t)~u.Le vecteur unitaire ~u caractérise la polarisation de l'onde, dont nous ne

tiendrons pas compte pour l'étude des phénomènes de di�raction et d'inter-férences.

La phase ϕ(M) de la vibration lumineuse est donc, dans un milieu ho-mogène : ϕ(M) = ϕ0 + ~k.

−−→OM (avec

−−→OM = ~r), à une constante additive ϕ0

près déterminée par la �xation de l'origine des phases en un point donné del'espace :→ Si ce point est O alors ϕ0 = 0.→ Si ce point est S alors ϕ0 = −~k.

−→OS).

2.1.7 Intensité lumineuse

I(M, t) =⟨|s(M, t)|2

⟩: moyenne temporelle du module au carré de la

vibration.C'est la grandeur à laquelle l'oeil est sensible et que mesurent les détec-

teurs (photomultiplicateurs, photodiodes, caméra CCD). C'est une grandeurénergétique également appelée "éclairement". En utilisant la notation com-plexe : I(M) = s(M, t)s∗(M, t).

Pour une vibration lumineuse isolée donc sinusoïdale comme dé�nie ici :I(M) = [s0(M)]2.

2.2 Ondes à trois dimensions

2.2.1 Ondes progressives sphériques

Dans un problème à trois dimensions, pour une symétrie sphérique, onmontre que les solutions de l'équation des ondes : ∆ψ− 1

v2∂2ψ2 = 0 s'écrivent

sous forme de superposition d'ondes progressives dites sphériques, dont lafonction ψ(M, t), cherchée ne dépend que du temps et de la distance r = OM .

Les ondes progressives sphériques harmoniques s'écrivent alors :ψ(r, t) = A

rcos(ωt± kr)

On parle d'onde divergente à partir du point O si la phase est en −kr etconvergente vers O pour une phase en +kr, où k = 2π

λest le module d'onde.

2.2.2 Ondes progressives planes

L'onde progressive plane est la limite d'une onde progressive sphériquelorsque la source est in�niment loin. Une onde progressive plane harmonique


CHAPITRE 2.

s'écrit sous la forme :ψ(~r, t) = A.cos(ωt±~k~r), où ~k est le vecteur d'onde, de module k =

∥∥∥~k∥∥∥ =2πλ.

2.2.3 Relation entre phase et chemin optique

D'une manière générale, l'expression du terme de phase ϕ(M) permet dedémontrer qu'il est lié au chemin optique suivi par la lumière entre un pointS et le point M :

ϕ(M) = ϕ(S) +2π

λ0

.[SM ], (2.22)

Dans un milieu non homogène d'indice n(M) :

ϕ(M) = ϕ(S) +2π

λ0

∫ M

S

n(M)dlM , (2.23)

où λ0 est la longueur d'onde de la lumière dans le vide.

2.3 Récepteurs lumineux

Détecteurs quadratiques

Le couplage entre l'onde et le détecteur ne permet au contraire que decapter des valeurs moyennes (des �ux) énergétiques proportionnelles au carréde l'amplitude de l'onde. En e�et, les détecteurs lumineux sont sensiblesà l'intensité lumineuse moyenne, c'est-à-dire proportionnels à la moyennequadratique de l'amplitude du signal lumineux :

I(t) ∝⟨s2⟩

=

∫ t+τRt

s(t′)2dt′

τR, (2.24)

Temps de réponse du détecteur τR

Cette moyenne se fait sur un temps caractéristique du récepteur qui esttrès grand devant la période du signal.

τR >> T =2π

ω, (2.25)

Par exemple : 120s pour l'oeil et l'oreille, et 10−4ou5s pour un microphone.


CHAPITRE 2.

Figure 2.11 �

2.4 Composition de deux vibrations lumineuses

Considérons les deux sources lumineuses S1 et S2 qui émettent les ondesreprésentées par s1(r1, t) et s2(r2, t).

Quelques caractéristiques

⇒ Les pulsations ω1 et ω2.⇒ Les longueurs d'onde λ1 et λ2.⇒ Les vecteurs d'onde : ~k1 = 2π

λ1~u1 et ~k2 = 2π

λ2~u2.

~u1 et ~u2 sont les vecteurs unitaires des directions S1M et S2M .⇒ Chaque source est responsable d'un éclairement I1 et respectivement

I2.

Au point source

Onde 1 : s1(0, t) = s01exp[j(ω1t)].Onde 2 : s2(0, t) = s02exp[j(ω2t+ ϕ(t))].

Au point M

Onde 1 : s1(r1, t) = s01exp[j(ω1t− k1.r1)].Onde 2 : s2(r2, t) = s02exp[j(ω2t+ ϕ(t)− k2.r2)].

Éclairement

Onde 1 : I1 = s1s∗1.

Onde 2 : I2 = s2s∗2.


CHAPITRE 2.

La superposition des ondes au point M donne :

s(M, t) = s1(r1, t)+s2(r2, t) = s01exp[j(ω1t−k1.r1)]+s02exp[j(ω2t+ϕ(t)−k2.r2)],(2.26)

Posons : φ1 = ω1t− k1.r1, φ2 = ω2t+ ϕ(t)− k2.r2,alors, s(M, t) = s01exp(jφ1) + s02exp(jφ2).L'éclairement est obtenu par : I = s.s∗.

Finalement, on trouve I(M, t) = I1 + I2 + 2√I1I2cos(φ(t)).

avec φ(t) = (ω1 − ω2)t+ k1.r1 − k2.r2 + ϕ(t).

L'intensité résultante est : I(M) = 〈I(M, t)〉 = I1+I2+2√I1I2 〈cos(φ(t))〉.

Conditions d'interférences

Il est impossible d'obtenir un phénomène d'interférence lorsque les inten-sités des ondes s'ajoutent : I(M) = I1 + I2.

Pour que le phénomène d'interférences soit observable, il faudrait que lesdeux sources S1 et S2 soient :

⇒ Cohérentes : on considére que les deux ondes arrivant en M sont is-sues de la même source S, et par conséquent le déphasage ϕ(t) n'est plus unefonction de temps : ϕ(t) = ϕ = Constante.

⇒ Synchrones : les longeurs d'onde des deux sources seront identiques(λ1 = λ2 = λ). Les vecteurs d'ondes auront la même norme : k1 = k2 = 2π

λ.

on aura :

k1.r1 − k2.r2 =2π

λ(r1 − r2) =

2π

λδ, (2.27)

avec, δ = r1 − r2 est appelée la di�érence de marche.Si le milieu avait été d'indice de réfraction n sur tout le trajet S2M :

δ = r1 − nr2.Avec des sources synchrones, on a : φ = 2π

λδ + ϕ.

* Dans le cas où : ϕ = Cste = 0 ⇒ φ = 2πλδ et 〈cos(φ)〉 = cos(2π

λδ).

⇒ il y a interférences puisque I(M) 6= I1 + I2 :

I(M) = I1 + I2 + 2√I1I2cos(

2π

λδ), (2.28)


CHAPITRE 2.

Ordre d'interférences

L'ordre d'interférences p en un point M est dé�ni par : p = δλ.

L'intensité lumineuse devient alors,

I(M) = I1 + I2 + 2√I1I2cos(2πp), (2.29)

→ Sur une frange claire, p est un entier ⇒ Intensité maximale : I =Imax = (I1 + I2)2 "Interférences constructives".→ Sur une frange sombre, p est un entier + 1

2⇒ Intensité minimale :

I = Imin = (I1 − I2)2 "Interférences déstructives".

Figure 2.12 �

Figure 2.13 �

Contraste

On dé�nit le contraste C (ou visibilité V ) des interférences par :

C =Imax − IminImax + Imin

=2√I1I2

I1 + I2

∈ [0, 1] , (2.30)

→ Plus C est proche de 1, les franges brillantes se distinguent plus queles franges sombres.→ Plus C est proche de 0, les franges brillantes et les franges sombres ontdes intensités voisines de l'intensité moyenne.


CHAPITRE 2.

Dans le cas où C = 1 (cas idéal), en supposant que les conditions d'inter-férences sont satisfaites on obtient la formule d'intensité suivante :

I(M) = 2I0[1 + cos(2πδ

λ)], (2.31)

où, I0 = I1+I22

.

Figure 2.14 � C = 0.8

Figure 2.15 � C < 0.1


CHAPITRE 2.

2.5 Cohérence temporelle- Cohérence spatiale

Nous avons vu dans la partie précédente que les interférences lumineusesne peuvent être observées en un point donné que sous certaines conditions.Les ondes qui interfèrent doivent être cohérentes, cest-à-dire être synchrones(avoir la même fréquence) et être obtenues à partir dune source unique. Cettesource doit être de plus de petite dimension. La cohérence des ondes dépendnon seulement de la source primaire, mais aussi du point d'observation et dudispositif interférentiel.

Nous distinguons les conditions d'obtention qui sont liées à la cohérencetemporelle de la source (conditions sur la synchronicité et la source primaireunique) de celles liées à la cohérence spatiale de la source (condition sur lapetitesse de la source primaire).〈Pour la cohérence temporelle, on compare une onde lumineuse avec elle-

même à un instant di�érent. Pour la cohérence spatiale, on compare deuxondes qui se trouvent à des endroits de l'espace di�érents. La lumière peutaugmenter sa cohérence lors de la propagation. La cohérence et l'incohérencene sont donc pas des propriétés de la source lumineuse (Lauterborn et al,1997).

2.5.1 Cohérence temporelle

Figure 2.16 �

Dans la réalité, il n'existe pas de source ponctuelle de lumière rigoureuse-ment monochromatique, autrement dit, il n'existe pas d'onde sinusoïdale dedurée in�nie. Dans une description semi-classique, nous assimilons un atomeà un oscillateur amorti et nous modélisons la lumière qu'il émet par une suc-cession de trains d'ondes émis aléatoirement dont la pseudo période ne peutprendre que certaines valeurs. L'ordre de grandeur de la durée d'un traind'onde ou durée de cohérence τc (10−12s pour une lampe à vapeur), c'est-à-dire l'ordre de grandeur du temps séparant deux collisions d'atomes, esttoujours très faible devant le temps de réponse du récepteur : environ 10−8s.


CHAPITRE 2.

τc = 1∆ν

∆ν étant la largeur spectrale.

Longueur de cohérence

Pour que deux sources secondaires puissent produire des interférencesau point M , autrement dit être cohérentes, elles doivent émettre des trainsd'ondes présentant en M un déphasage constant au cours du temps.

La longueur de cohérence s'écrit : Lc = cτc

2.5.2 Cohérence spatiale

Nous considérons qu'une source primaire de lumière est constituée d'atomesémettant de manière indépendante et que la �gure d'interférences donnéepar deux sources secondaires est égale à la superposition des �gures d'inter-férences données par chaque atome.

Figure 2.17 �

Plus la dimension de la source est petite, plus la di�érence des durées depropagation depuis les deux points les plus éloignés de la source à un pointdonné de l'espace est petite, plus la cohérence spatiale est grande.


CHAPITRE 2.

Largeur de cohérence et angle de cohérence spatiale

Figure 2.18 �

Considérons une source primaire S étendue de largeur l située à unedistance d du point d'observation, on dé�nit la largeur de cohérence spatialeLs par : Ls = λd

l.

On introduit l'angle αs qui s'écrit : αs = λl

Conclusion

〈 Une bonne cohérence spatiale (ou latérale) signi�e que des points di�é-rents dune source étendue sont cohérents. Une bonne cohérence temporelle(ou longitudinale) signi�e que les trains dondes provenant de chaque sourceponctuelle sont longs (Benson 1996).

Figure 2.19 �

(a) : Bonne cohérence spatiale, mauvaise cohérence temporelle.(b) : Bonne cohérence temporelle, mauvaise cohérence spatiale.(c) : Bonne cohérence spatiale, bonne cohérence temporelle.


CHAPITRE 2.

2.6 Les di�érents types de sources lumineuses

2.6.1 Laser

Laser est l'ampli�cation de la lumière par émission stimulée de rayon-nement, c'est un appareil qui produit une lumière spatialement et tempo-rellment cohérente basée sur l'e�et laser.

Les propriétés externes d'un laser : → La monochromaticité,→ La directivité,→ La brillance,→ La granulité (le speckle),→ La cohérence.Les di�érents types de laser : les lasers à �bre, les lasers à CO2, leslaserssemi−

conducteurs...etc

2.6.2 Les diodes électroluminescentes

Un semi-conducteur qui, travaersé par un courant électrique, émet de lalumière monochromatique.

Les propriétés d'une LED :→ Bon rendement énergétique,→ Encombrement réduit,→ Durée de vie importante.


Documents

Cours d'Optique Physique SMP 3-SMC 3 2013 2014