COURS Dynamique B2 : Proposer ou justifier un modèle : B3 : Résoudre et ...mb13010.free.fr/Cours/COURS-TSI-SEQUENCE1/Dynamique.pdf · Suivant leur nature physique : Les actions

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B2 : Proposer ou justifier un modèle : Liaisons : réciprocité mouvement relatif / actions mécaniques associées

Actions mécanique : Modéliser les actions mécaniques de contact ou à distance.

B3 : Résoudre et simuler : PFD : Traduire de façon analytique le comportement d’un système.

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I. Définition

La dynamique est la partie de la mécanique qui permet l’étude des mouvements des solides en relation avec les actions qui les produisent.

Ex : Freinage d’un véhicule

II. Définition d'une action mécanique

D'une façon générale, on appelle action mécanique toute cause physique susceptible de maintenir un corps au repos, de créer, de maintenir ou de modifier un mouvement, de déformer un corps.

III. Classification des actions mécaniques

Suivant leur nature physique : Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique) Les actions mécaniques de contact (liaisons surfaciques…)

Suivant leur situation par rapport au système matériel :

Actions mécaniques extérieures Actions mécaniques intérieures

Exemple : Pince schrader.

(S0) : Bâti (S1) : Piston (S2) : Biellette (S3) : Doigt Soit (E1) l'ensemble constitué par les solides

(S1), (S2) et (S3) Bilan des actions mécaniques extérieures qui

agissent sur le système (E1)

Soit (E2) l'ensemble constitué par le solide

(S2) Bilan des actions mécaniques extérieures qui

agissent sur le solide (E2)

S1 S2 S3

S0

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IV. Modélisation d’une action mécanique (Le torseur d’action mécanique)

1. Notion de force élémentaire

On appelle force, l'action mécanique qui s'exerce mutuellement entre deux particules élémentaires, pas forcément en contact. Une force est toujours appliquée en un point. Elle est modélisée par un vecteur, caractérisé par :

- - - -

Unité :

Notation :

2. Coordonnées d’un vecteur

3. Notion de résultante

La somme des forces élémentaires appliquées de l’extérieur sur un solide S est appelée. Elle est notée :

S1

S2 FS1S2

Point d’application

α

x

y

R

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4. Notion de moment

Les effets physiques d’une action mécanique (notée A.M.) dépendent de la position et de l’orientation

dans l’espace de la résultante p associée à cette A.M. On est amené à introduire la notion de moment

de la résultante p pour caractériser complètement l’A.M.

La balançoire est en équilibre

On change ................................... la balançoire n'est plus en équilibre

On change ........................................................... la balançoire n'est plus en

équilibre

On change ...................................................... la balançoire n'est plus en équilibre

a. Expression du moment d’une force : Bras de levier

b. Convention de signe pour le moment :

Pa b

1 3 2

P

P a

1 3

b

P

2

P

1 3

P

2

a b

aP

b

P1

3

2

A

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c. Produit vectoriel

Soit E un espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3. D’un point de vue géométrique, le

produit vectoriel de deux vecteurs et de E non

colinéaires se définit comme l’unique vecteur tel

que :

Direction

Sens de :

▪ Règle des trois doigts de la main droite :

Pouce : ............................................................................

Index : ...........................................................................

Majeur : .........................................................................

▪Règle du tire-bouchon :

Norme de :

Propriétés

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/99/Main_droite_3T.jpg

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d. Calcul d’un produit vectoriel avec les coordonées.

[

[

Calcul de

[

e. Moment d’une résultante par rapport à un point

On appelle moment par rapport au point A de la résultante R12 appliquée au point M, le vecteur d’origine A défini par la relation :

Unité :

O x

y

z ()

A

M d

MA(R12)

R12

Corollaire : La relation ci-dessus reste valable pour n’importe quel point B appartenant à la direction () de R :

f. Définition géométrique du vecteur moment _MA(R12)

- origine :

- direction :

- sens :

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5. Torseur associé à l’action mécanique

Pour définir complètement une action mécanique nous avons besoin de deux vecteurs :

Une résultante : et un moment MB

L’ensemble de ces deux vecteurs et

, définis en un point B, est appelé torseur de l’action

mécanique relative à la résultante .

Il est noté :

1/2τ

B

B

Remarques : Le point B n’est pas nécessairement un point appartenant au solide 1 ;

et

sont appelés éléments de réduction du torseur {T1/2} ;

6. Principe des actions mécaniques mutuelles

Principe des actions mutuelles : Soient deux solides 1 et 2,

2

1

B

B

B

y

x

1

2

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7. Actions mécaniques particulières

a - Torseur glisseur

On appelle torseur glisseur, tout torseur associé à une action mécanique dont le moment est nul en un point.

B

τ2/1

0

R 1/2

B

b - Torseur couple

On appelle torseur couple, tout torseur associé à une action mécanique dont la résultante est nulle.

B

τ 1ext

) R( 1extBM0

B

Remarque : les éléments de réduction d’un torseur couple sont les mêmes en tout point.

Exemple :

V. Actions mécaniques à distance

1. Actions mécaniques dues à la pesanteur

Définition : Le poids d’un solide peut être représenté par un vecteur résultante noté p et appelé poids du solide tel que :

- Point d’application : - Direction : - Sens : - Intensité ou norme :

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Unités P : m : g :

VI. Modélisation de l’action mécanique de surface

1. Action de surface entre deux solides

Actions réelles appliquées de 1 sur 2 Modélisation de ces actions

1

2

1

2

A

L’action mécanique de contact surfacique est modélisable par un vecteur F12 tel que :

Point d’application :

Direction :

Sens :

Intensité :

2. Action mécanique due à la pression d’un fluide sur une surface

Les actions mécaniques de contact d’un fluide sur une surface plane (S) peuvent se modéliser par un torseur d’action mécanique au centre G de la surface (S) tel que :

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x

fluide (S)

G

(pression p)

£R(fluide

S)

G

τ Sf

G

avec : p : S : x :

Unités légales : Autres unités : Unités pratiques :

Exemple 1 : bocal à poisson Représentez la répartition de pression sur la paroi du bocal : Exemple 2 : Barrage hydraulique

Représentez la répartition de pression sur la paroi du barrage :

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VII. Action transmissible par une liaison parfaite

Soient 1 et 2 deux solides en contact.

1. Hypothèses

Une liaison parfaite entre deux solides 1 et 2 est caractérisée par :

Des surfaces de liaison géométriquement parfaites et indéformables ; Des ajustements sans jeu ; Des contacts sans frottement.

2. Réciprocité mouvement relatif / actions mécaniques associées.

Les mouvements possibles du solide 2 par rapport au solide 1 sont notés Rx, Ry et Rz (rotations) et Tx, Ty et Tz (translations). Si un mouvement (rotation ou translation) est possible suivant un axe, alors il n’y a pas de composante d’effort (respectivement couple ou force) transmissible suivant cet axe.

3. Exemple : La liaison pivot

x

y

z

Mobilités

Tx = Rx = Ty = Ry = Tz = Rz =

Action transmissible (Résultante) (Moment) X L Y M Z N

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4. Modélisation plane des actions mécaniques

Dans certains cas, l’étude du mécanisme dans l’espace peut être délicate. On recherche alors une possibilité de réduire l’étude à un problème plan, sous certaines hypothèses.

Hypothèses

La surface de contact a une géométrie et des actions transmissibles qui présentent une symétrie par rapport à un plan ;

On choisit alors un repère local dont les axes sont confondus avec les axes de symétrie de la liaison.

Simplification :

Lorsque les hypothèses sont réunies, l’écriture du torseur d’action mécanique transmissible par la liaison se simplifie. Subsistent : La composante du moment portée par l’axe perpendiculaire au plan de symétrie ; Les composantes de la résultante contenues dans le plan de symétrie.

Dans notre exemple, le plan de symétrie est ),,( yxA

, le torseur en A associé aux efforts

transmissibles par cette liaison a la forme : Forme générale : Simplification : Forme simplifiée (symétrie) :

S2S1

S2S1

S2S1

S2S1

S2S1

S2S1

S1S2

,

,

,

)(

N

M

L

Z

Y

X

A

A

A

A

A

S2S1

S2S1

S2S1

S2S1

S2S1

S2S1

,

,

,

N

M

L

ZYX

A

A

A

A

A

(6 inconnues) (3 inconnues) Pour une liaison parfaite particulière, parmi les composantes ci-dessus, certaines sont nulles. Mais il n’y a jamais plus de trois inconnues.

(P) plan de symétrie

(P)

A

x

y

z A2

H

Surface de contact entre (S1) et (S2)

£A1z

£A1y

£A1x

A1

£A2z £A2y

£A2x

A1 et A2 (points de contact) et efforts transmissibles, symétriques

par rapport au plan (P)

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5. Tableau récapitulatif : Liaisons parfaites

Tableau récapitulatif de quelques torseurs transmissibles par des liaisons parfaites : Type de liaison et

repère local associé

R=(A, x

, y

, z

) Schématisation spatiale Mobilités

Torseur d’action mécanique

transmissible

Torseur d’action mécanique Simplifié

Schématisation plan

Pivot d’axe (A, )

A

Symétrie par rapport

à (A, y

, z

)

A

1

2

y

z

Glissière d’axe (A, )

A


à (A, x

, z

)

A

x

z

1

2

Pivot glissant d’axe (A, )

A


à (A, y

, z

)

A

1

2

y

z

Appui plan De normale (A, )

A


à (A, x

, y

)

A

1

2

y

x

Sphérique de centre A

A


à (A, x

, y

)

A

2

1

y

x

Linéaire circulaire de centre A

et d’axe (A, )

A


à (A, x

, z

)

A

x

z2

1

Linéaire rectiligne

de normale (A, x

) droite de contact (A,

y

)

A


à (A, x

, z

)

A

z

x

2

1

Ce tableau n’est pas exhaustif

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VIII. Principe fondamental de la dynamique (PFD)

1. Notion de repère galiléen :

Repère absolu : C’est le repère fixe par rapport à l’ensemble de l’univers. Repère de Copernic : Son origine est le centre d’inertie du système solaire (proche du soleil)

dont les axes passent par des étoiles fixent entre elles. En mécanique classique, les vitesses sont négligeables devant la vitesse de la lumière (300000 km/h), on admet donc que le repère de Copernic est absolu).

Repère galiléen : Repère animé d’un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport au repère de Copernic.

Remarque : En négligeant la vitesse de rotation de la terre (1tour/24H) et en considérant le

rayon de courbure de la trajectoire elliptique de la terre très grand, on supposera le repère terrestre comme galiléen.

2. Cas d’un solide ʺponctuelʺ

Le solide (S) de masse m est suffisamment petit pour qu’on puisse le représenter par un point M.

Si le solide S est soumis à des actions extérieures se réduisant à une résultante

Somme des actions extérieures = Masse × vecteur accélération du point M Unités :

: Newton (N)

: Masse en Kg

: Accélération en m/s²

3. Equations générales dans le cas d’un solide quelconqueʺ

Le Solide S a une masse M. Contrairement au solide ponctuel, celui-ci peut subir des efforts en différents point qui peuvent le faire tourner. Il y aura donc une équation des moments en plus.

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Le solide S est considérer comme une somme de points Mi de masse mi ce qui donne les relations suivantes : Si le solide est soumis à des actions extérieures quelconques alors son mouvement dans un repère galiléen est tel que :

∑

∑

On peut aussi écrire cette relation avec des torseurs

{ } { } Dépend des actions Dépend du mouvement Extérieures (Compliquer à calculer dans le cas général)

4. Equations du PFD dans le cas particulier : Mouvement de translation

Dans le cas particulier ou le solide S de masse M est en mouvement de translation, son mouvement est défini par :

∑

∑

: accélération du centre de gravité du solide S (m/s²)

∑ : Somme des actions extérieures appliquées à S (N)

∑ : Somme des moments extérieurs appliqués à S (N.m)

Quel que soit le point A

Uniquement au centre

de gravité G du solide

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5. Equations du PFD dans le cas particulier : Mouvement de rotation

• Expérience : Les masses M sont lâchées en même temps, entraînant S1 et S2 en rotation • Constatation : La masse de droite descend plus vite : Le solide S2 est plus facile à mettre en rotation que S1. (il est aussi plus facile à freiner). Les deux solides ont les même masses, mais réparties différemment autour de l’axe de rotation : ils n’ont pas le même « moment d’inertie » • moment d’inertie d’un point matériel ou d’une masse élémentaire : Le moment d’inertie J par rapport à l’axe du point matériel de masse élémentaire m ou dm situé à la distance r de l’axe de rotation est égal à :

J = r2 dm unités: kg.m2 • moment d’inertie d’un solide quelconque

Ce solide est la somme des points Mi de masses dmi Moment d’inertie du solide (S) par rapport à l’axe (o,z).

∭

Rq : Calcul impossible en classe de terminale

S1 S2

r

dm

M

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• moments d’inerties usuels Cylindre plein :

Cylindre creux :

• Equations du PFD pour une rotation. Rq : pour appliquer ces relations il faut que le solide tourne autour d’un axe fixe et que

cet axe passe par le centre de gravité du solide. Dans ce cas-là on peut écrire les équations suivantes :

∑

∑

: accélération angulaire du solide S (rd/s²) ∑

: Somme des actions extérieures appliquées à S (N) ∑

: Somme des moments extérieurs appliqués à S (N.m)

: Moment d’inertie du solide S autour de l’axe Oz (Kg.m²)

En tout point O de l’axe

de rotation

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