Cours Electrocinetique Ampli-1

7/29/2019 Cours Electrocinetique Ampli-1

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LECTROCINTIQUE

J. Roussel

Promotion Chem.I.St-1. Anne 2005-2006


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Table des matires

1 Lois gnrales de llectrocintique 7

1.1 Courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Notion dintensit du courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Lapproximation des rgimes quasi-stationnaires (ARQS) . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.3 Loi des noeuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Tension lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.1 Diffrence de potentiel (ou tension) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Puissance lectrocintique reue par un diple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Caractre gnrateur et rcepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Circuits en rgime continu 13

2.1 Diples passifs linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Dfinitions conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Linterrupteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3 Le conducteur ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.5 la bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Association des rsistances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.1 en srie, en parallle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.2 Ponts diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Modlisations linaires dun diple actif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.1 Sources de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.2 Sources de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.3 quivalence Thvenin - Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.4 Rcepteurs actifs linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Diples non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

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4 TABLE DES MATIRES

2.4.1 La diode jonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 La diode Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 Exemples dapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.1 Circuit une maille : loi de POUILLET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.2 Thorme de MILLMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.3 Circuits complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Aspects nergtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.1 nergie emmagasine dans un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.2 nergie emmagasine dans une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6.3 Puissance dissipe dans une rsistance (effet Joule) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.4 Puissance fournie et convertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Rgimes transitoires 29

3.1 circuits R,C srie soumis un chelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.2 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3 Bilan dnergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 circuit R,L srie soumis un chelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2.2 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3 circuit R,L,C srie soumis un chelon de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.1 Mise en quation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3.2 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Circuits linaires en rgime sinusodal forc 35

4.1 Signaux priodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1 Caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Signaux sinusodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 tude du circuit R,L,C srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 tablissement du rgime sinusodal forc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2 recherche de la solution force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.3 Rsonance dintensit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.4 Rsonance de tension aux bornes du condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Impdance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.1 Notion dimpdance et dadmittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


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TABLE DES MATIRES 5

4.3.2 Lois dassociation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.3 Rseau linaire en rgime sinusodal forc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Puissance en rgime sinusodal forc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4.1 Puissance moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4.2 Facteur de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Filtres 45

5.1 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.1 Quadriple linaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.3 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2 Exemples de Filtres passifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.1 Filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2.2 Filtre passe-haut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Notions sur lAmplificateur Oprationnel 51

6.1 Caractristiques de lA.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.2 Gain diffrentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.3 Courants de polarisation, courants de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.4 Rsistance dentre diffrentielle et de sortie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.1.5 Modlisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2 Montages en rgimes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.1 Montage suiveur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.2 Amplificateur inverseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2.3 Convertisseur courant-tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.4 Sommateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2.5 Drivateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.6 Intgrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3 Ampli Op en rgime satur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.3.2 Comparateur de tensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3.3 Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59


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6 TABLE DES MATIRES

Ce cours est une initiation llectricit destin aux lves de premire anne du cycle Chem.I.Stde lcole Nationale Suprieure de Chimie de Rennes. Ce cours se concentre essentiellement sur lesnotions thoriques, laspect pratique tant abord en Travaux Pratiques.

partir des lois de llectricit (lois de Kirrchoff) on cherchera dcrire ltat lectrique des circuitslinaires : les rgimes permanents, transitoires et sinusodal forc sont mis en vidence. On aborderala notion trs gnrale de rsonance, ainsi que quelques aspects lectroniques via ltude de lampli-ficateur oprationnel.Cet enseignement sera loccasion de matriser les outils mathmatiques tels que les systmes dqua-tions linaires, les quations diffrentielles linaires ainsi que les quations complexes.


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Chapitre 1

Lois gnrales de llectrocintique

1.1 Courant lectrique

1.1.1 Notion dintensit du courant

Le courant lectrique est le rsultat dun dplacement densemble, sous leffet dune action extrieure(un champ lectrique en gnral), de particules portant une charge lectrique. Lintensit du courantdans une branche oriente de circuit est le dbit de charges travers une section du conducteur :

i(t) =dq

dt(t)

Lintensit lectrique sexprime en Ampre (symbole : A) en hommage Andr-Marie AMPRE1. IL sagitdune unit de base du Systme Internationale. 1A = lintensit du courant qui fait apparatre une forcede 2.107 N entre deux conducteurs filiformes rectilignes infinis distants de 1 m, parcourus par ce courantlectrique.( forces de Laplace).

dans les conducteurs mtalliques les porteurs sont des lectrons libres ; dans une solution lectrolytiquece sont des ions (cations et anions) ; dans les semi-conducteurs (silicium, germanium, etc ..) ce sont deslectrons et / ou des trous (lacunes lectroniques).

Lampremtre : Le courant se mesure laide dun ampremtre, appareil que lon place en srie dansle circuit. On distingue les appareils analogiques des appareils numriques :Il existe plusieurs types dampremtres analogiques : Lampremtre le plus rpandu est magnto-

lectrique, il utilise un galvanomtre cadre mobile. Lampremtre ferro-magntique contient deuxpalettes de fer doux lintrieur dune bobine. Lune des palette est fixe, lautre est monte sur

1Andr-Marie Ampre (1775 - 1836) : Physicien et chimiste franais, fondateur de llectromagntisme.N Polmieux-au-Mont-dOr, prs de Lyon, fi ls dun juge de paix lyonnais guillotin sous la Rvolution, Andr-Marie Ampre

mne une brillante carrire scientifi que : titulaire de la chaire de mcanique lcole Polytechnique en 1809, il est lu lAcadmiedes Sciences en 1814, puis la chaire de physique du Collge de France en 1824.

En 1820, Ampre assiste une reconstitution de la clbre exprience dOersted (1819), o une aiguille aimante se trouve dvieau voisinage dun courant lectrique. Observant que le courant lectrique cre des effets similaires ceux dun aimant, celui queMaxwell appelait le "Newton de llectricit" jette alors les bases dune discipline nouvelle, llectromagntisme, et en donne lespremires formulations mathmatiques. Il montre galement que deux courants peuvent agir lun sur lautre, fondant ainsi llectro-dynamique. Ampre invente les termes de courant et de tension lectriques. Tous ces rsultats sont publis dans son ouvrage Sur lathorie mathmatique des phnomnes lectrodynamiques uniquement dduite de lexprience (1827).

Mathmaticien, physicien, Ampre est aussi chimiste : il est lun des premiers distinguer les atomes des molcules. Indpen-damment dAvogadro, il formule en 1814 la loi, dite parfois loi dAvogadro-Ampre, selon laquelle tous les gaz, volume gal et pression gale, renferment le mme nombre de molcules.

Mort pratiquement dans loubli, Ampre a laiss son nom lunit de courant lectrique, lampre.

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8 CHAPITRE 1. LOIS GNRALES DE LLECTROCINTIQUE

pivot. Quand le courant passe dans la bobine, les deux palettes saimantent et se repoussent, quel quesoit le sens du courant. Cet ampremtre nest donc pas polaris. Dans lampremtre thermique, lecourant circule dans un fil. Ce fil schauffe et sallonge, ce qui provoque la rotation de laiguille. Les

appareils thermiques ne sont pas polariss. Pour changer de calibre, on utilise des shunts. Ce sontdes rsistances additionnelles branches en drivation. Plus le calibre est grand, plus la rsistance dushunt est faible pour driver une plus grande partie du courant.Lampremtre numrique est ralis partir dun voltmtre par mesure de la tension aux bornesdune rsistance de faible valeur parcourue par le courant (shunt).

ordres de grandeurs : 1 A : arrt du coeur 75 mA : seuil de fibrilisation cardiaque irrversible 30 mA : seuil de paralysie respiratoire 10 mA : contraction musculaire - ttanisation 0,5 mA : sensations trs faibles 1-100 kA : courant de foudre

1.1.2 Lapproximation des rgimes quasi-stationnaires (ARQS)

En rgime variable (dpendant du temps) les variations de courant se propagent une vitesse proche de lavitesse de la lumire. Pour des circuits de taille raisonnable la dure de propagation est trs petite devantle temps caractristique T du rgime variable (priode du signal sil est priodique). LARQS consiste ngliger devant T ; on considre alors la propagation instantane .

ARQS : Dans une branche dun circuit, un instant donn, le courant a la mme intensit en tout point.

Intensit algbrique : dans chaque branche, on dfinit un sens conventionnel (le choix est arbitraire !) ducourant et une intensit algbrique i . Si i > 0 , le courant circule dans le sens conventionnel; si i < 0 ,le courant circule dans le sens oppos.

1.1.3 Loi des noeuds

noeud : Un noeud est la rencontre dau moins trois conducteurs lectriques.

La loi des noeuds traduit une conservation de la charge en rgime stationnaire :k

kik = 0

o ik est lintensit algbrique du courant de la branche oriente k, o k = +1 quand le courant estentrant et o k =

1 dans le cas contraire.

Exemple : cf. figure 1.1 .

Remarque : On admet lextension de la loi des noeuds aux rgimes lentement variables.

1.2 Tension lectrique

1.2.1 Diffrence de potentiel (ou tension)

Le transport lectrique est assur grce aux forces lectrostatiques. Chaque point du conducteur possdealors un potentiel lectrique. Lorsque le potentiel lectrique est le mme partout, on dit que le conducteur

est lquilibre : il ny a alors aucun courant lectrique.


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1.2. TENSION LECTRIQUE 9

i2

i

i

i

i

1

3

4

5

FIG . 1.1 Trouver la relation entre i1, i2, i3, i4 et i5.

Par contre lorsque le potentiel lectrique nest plus uniforme, le conducteur nest plus lquilibre ce quignre un courant lectrique (qui tente de rtablir lquilibre).On comprends alors que le grandeur qui joueun rle est la diffrence de potentiel entre deux points A et B dune branche :

UAB = VA VBcette tension sexprime (comme le potentiel lectrique) en Volt (symbole : V), en hommage ALESSAN-DRO VOLTA2.

reprsentation flche : cf. figure 1.2.

ABU = V VA B

A

B

FIG . 1.2 Lorsque la tension est positive, le bout de la flche est port un potentiel lectrique plus levque lautre extrmit.

ordre de grandeur :

lectronique ( circuits intgrs, transistors ) : V , mV et V Piles : 1-10 V Tension maximale dlivr par le rseau EDF : 325 V. lectrotechnique ( moteurs, centrales &) : 100V 400kV.La masse : cest le potentiel de rfrence (fix par convention 0 V) du montage lectrique : un potentiel

nest pas dfini dans labsolu, on parle toujours de diffrence de potentiel. Dans un montage lectro-nique, quand on parlera du potentiel dun point, il sera sous entendu que ce potentiel est rfrenc la masse du montage. La masse sera en gnral le ple moins de lalimentation continue servant polariser le montage. Cette rgle est uniquement une coutume, elle ne sera pas systmatiquementrespecte sur les schmas rencontrs !

La terre : cest une connexion physique au sol ( la terre !). Contrairement aux croyances souvent non-ces, en aucun cas ce potentiel ne peut tre considr comme rfrence absolue, car il est diffrentdun endroit de la Terre (la plante) un autre. De plus, le cble de liaison du laboratoire au sol pr-sente une impdance non nulle : si un courant parasite circule dans ce cble, il va y crer une chute

2(1745 -1827) : Physicien italien et inventeur de la premire pile en 1800.


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(a) La masse (b)Laterre

de potentiel; on aura une diffrence de potentiel entre la prise de terre du labo et le sol. La fonctiondune terre est la scurit : elle permet de protger les utilisateurs dquipement sous tension , etaussi dvacuer les courants induits par la foudre.

1.2.2 Loi des mailles

maille : ensemble de branches adjacentes que lon parcoursune seule fois pour relier un noeud lui mme.

La loi des mailles sexprime par k

kuk = 0

o uk est la k-ime tension adjacente de la maille oriente (sens arbitraire) ,o k = +1 lorsque latension uk est oriente (la flche reprsentative) dans le mme sens que le sens de parcours de la mailleet o k = 1 dans le cas contraire.

Exemple : Trouver les relations entre les tension u1, u2, u3, u4, u5 et u6 reprsentes sur la figure 1.3.

u2

u3u4

5u u6

u1

FIG . 1.3 Loi des mailles. La flche courbe indique le sens de parcours de la maille (arbitraire).

1.3 Puissance lectrocintique reue par un diple.

1.3.1 Dfi nitions

diple : partie dun circuit qui peut tre relie au reste du circuit par deux fils.

La puissance lectrocintique reue (lnergie reue par unit de temps) par un dipole D linstant t ,soumis une tension u(t) et travers par un courant dintensit i(t) vaut, en convention rcepteur :

P(t) = u(t)i(t)


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1.3. PUISSANCE LECTROCINTIQUE REUE PAR UN DIPLE. 11

La puissance lectrique se mesure en Watt (symbole : W) en homage James Watt 3. On rappelle que1 W = 1J.s1.

ordre de grandeur en lectronique : P 1 W 1 mW mW : montre - DEL, laser, calculatrices W : lampe de poche, tube fluorescent, lampe incandescence kW : appareil lectromnager installation lectrique domestique MW : moteur de TGV GW : centrale lectrique PW : futur laser "petawatt" du CEA consommation lectrique de la France en hiver : P 100000 MW.

1.3.2 Caractre gnrateur et rcepteur

si P(t) > 0, le diple absorbe effectivement, linstant t, de lnergie lectrique. Cette nergie reuepar le diple est soit stocke soit convertie sous une autre forme (effet joule dans une rsistance, nergiemcanique dans un moteur).

Si P(t) < 0, le diple fournit effectivement de lnergie lectrique; on dit que le diple un caractregnrateur (batterie en fonctionnement par exemple).

on distingue galement les diples passifs et actifs. Un diple passif ne fournit pas de courant tensionnulle. Dans le cas contraire on parle de diple actif.

rcepteur passif (rsistance, condensateur en charge)actif (moteur lectrique, batterie en charge,D.E.L)

gnrateur passif (condensateur en dcharge)actif (batterie en fonctionnement,pile, photopile)

3James Watt (1736-1819) : Ingnieur britannique, il est linventeur de la machine vapeur piston (1869).


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Chapitre 2

Circuits en rgime continu

2.1 Diples passifs linaires

2.1.1 Dfi nitions conventions

Diple : Partie dun circuit qui peut tre relie au reste du circuit par deux fils.

conventions : En gnral, on adopte la convention rcepteur pour les rcepteurs et la convention gnra-teur pour les gnrateurs (cf. figure 2.1).

(a) Convention gnrateur (b) Convention rcepteur

FIG . 2.1 Diffrentes conventions.

Caractristique courant tension dun diple : reprsentation graphique de la relation i = f(u) en rgimecontinu.

Point de fonctionnement : quand on relie deux diples , lintersection des deux caractristiques donne lepoint de fonctionnement, cest--dire, les valeurs de i et u en rgime continu (cf. figure 2.2).

Diple passif : Si on branche ensemble deux diples identiques et quaucun courant permanent ne passeentre les deux diples quel que soit le sens du branchement, ces diples sont passifs. Ex : rsistances,thermistances, selfs, condensateurs. La caractristique dun diple passif passe donc par lorigine.

Diple actif : La caractristique dun diple actif ne passe pas par lorigine, cest--dire que la tension ses bornes est diffrente de zro mme en boucle ouverte. Pour un diple actif, une partie de lnergielectrique est transforme ou issue dune transformation. Ex : moteur, pile, accumulateur,alternateur.

Diple linaire : Diple dont la relation entre u et i est soit affine (i = au + b) soit intgro-diffrentielle.

2.1.2 Linterrupteur

Il permet dintroduire une coupure dans un circuit lectrique. Nous allons tudier ici le comportement dun

interrupteur parfait.

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14 CHAPITRE 2. CIRCUITS EN RGIME CONTINU

u

i

u

i

u

i

U

i

i

U

1D

D2

I0

U0

1D

D 2

U0I0

P

FIG . 2.2 Dtermination graphique du point de fonctionnement.

Lorsque linterrupteur est ouvert, aucun courant ne circule dans la boucle, et toute la tension se retrouvesur linterrupteur.

Lorsque linterrupteur est ferm, le courant peut circuler librement, la tension ses bornes tant nulle ; onsuppose celui-ci parfaitement conducteur, exempt de toute impdance parasite. On peut donc modliser uninterrupteur ferm par un simple fil (suppos infiniment conducteur).

2.1.3 Le conducteur ohmique

Loi dOHM : U = Ri en convention rcepteur. R dsigne la rsistance du conducteur ohmique etsexprime en Ohm (symbole ) en hommage Georg OHM1.

Le conducteur ohmique est un diple linaire passif car sa caractristique est linaire (droite passant parlorigine). Pour un fil cylindrique de longueur L et de section S on a

R =1

L

S=

L

S

o dsigne la conductivit (en S.m1) . dpend du matriaux, de la temprature et de la pression. augmente avec T dans les mtaux ; cest linverse dans les semi-conducteurs. On dfinit galement larsisitivit = 1

(en m). Le tableau suivant donne quelques ordres de grandeur.

principe du ohmmtre : Le ohmmtre se compose dune pile et dun ampremtre1* Georg Ohm (Erlangen, 1789 - Munich, 1854) : Physicien allemand. Il publie son oeuvre matresse en 1827, Die galvanishe

Kette dans lequel il nonce la loi qui porte aujourdhui son nom. lpoque,ses travaux ne sont pas reconnus par ses pairs, peu

enclins aux dveloppements mathmatiques en physique.


15/60

2.1. DIPLES PASSIFS LINAIRES 15

K

K

U

U

i

i

u

i

u

i

FIG . 2.3 Caractristiques de linterrupteur.

i

U

i

U

R

FIG . 2.4 Diffrentes reprsentations dun conducteur ohmique.

Substance conductivit (S.m1)

Argent 6, 1.107

Cuivre 5, 8.107

Aluminium 3, 5.107

Carbone graphite 8, 0.104

Silicium 1, 6.103

Eau distille 4.106

Verre 1012

TAB . 2.1 Quelques valeurs de conductivits 20C. Notez le rapport dchelle entre les isolants et lesconducteurs.


16/60


2.1.4 Le condensateur

Principe : Le condensateur se compose de 2 armatures composs de matriaux conducteurs spars par unmatriau isolant appel dilectrique. Lorsque lon applique une tension aux bornes dun condensa-teur, les charges lectriques de la source de tension ont tendance migrer mais comme le dilectriqueest non conducteur les charges stagnent sur les armatures du condensateur. Il apparat donc une dif-frence de potentiel et ceci, mme si on dbranche la source de tension puisque les charges sontaccumuls sur les armatures du condensateur.

q

U

i

q

Condensateur idale Condensateur relle

U

i

R

C

i

FIG . 2.5 Diffrentes reprsentations dun condensateur.

Capacit : La tension au borne du condensateur est proportionnelle aux charges prsentes sur les armaturesdu condensateur (cf. lectrostatique 1re anne) :

q = CU i = CdUdt

en convention rcepteur.

C se mesure en Farad (symbole : F) en hommage Michael FARADAY (1791-1867)2 Ordre de grandeur :1012 103F .

Modlisation dun condensateur rel : Lorsque quun condensateur charg est abandonn, en circuit ou-vert, on constate que sa charge diminue au cours du temps ; on parle de fuite de charge. Pour caractrisercette fuite, on la modlise par une rsistance en parallle, dite rsistance de fuite (ordre de grandeur 106 ).

Principe du capacimtre courant constant : Pour dterminer la valeur dune capacit C, on charge celleci avec un courant constant I. Soit t le temps ncessaire ce que la tension aux bornes atteigne la valeurV0. On a C = ItV0 . On commence par dcharger le condensateur dans une rsistance faible puis lorsquela charge courant constant commence, on compte les tops de lhorloge du systme pour dterminer t.Quand la tension aux bornes du condensateur atteint la valeur V0, un comparateur de tension interromptle comptage du temps.

Principe du capacimtre numrique (cf chapitre 6 sur loscillateur relaxation).

2.1.5 la bobinePrincipe : Lorsque quun bobinage est parcourupar un courant, un champ magntique apparat. Le phno-

mne dauto-induction cre aux bornes de la bobine une tension qui tend sopposer aux variationsdu champ magntique et donc du courant (notion dinertie). En courant continue, le champ magn-tique ne varie pas et la bobine peut tre remplace par un fil.

Self-inductance : La tension est proportionnelle la drive du courant par rapport au temps (cf induction2 me anne). En convention rcepteur, pour une bobine idale (sans rsistance), on a :

U(t) = Ldi

dt(t)

2Michael FARADAY (Newington, Surrey, 1791 - Hampton Court, 1867) : Physicien et chimiste anglais. En 1831, il dcouvrelinduction lectromagntique qui permettra la construction des dynamos. En 1833, il tablit la thorie de llectrolyse. Il travailla

galement sur le phnomne dlectroluminescence, le diamagntisme et laction dun champ magntique sur la lumire polarise.


17/60

2.2. ASSOCIATION DES RSISTANCES 17

o L reprsente la Self-inductance. L se mesure en HENRY (symbole : H) en hommage JosephHENRY3

Dans la pratique, le fil formant la bobine est rsistive; il existe de plus une petite capacit entre les

fils. Cest pourquoi, on modlise une bobine relle en ajoutant en srie une rsistance (~quelquesohm) et un condensateur en parallle. Dans la plupart des cas, on pourra ngliger leffet capacitif(sauf si la frquence est trs grande).

i

U

L

iL

U

i

ii

C

r

Bobine relleBobine idale

FIG . 2.6 Reprsentations de la bobine.

mesure de L : lauto-inductance se mesure laide dun inductancemtre. Il existe plusieurs mthode demesure. Un exercice du chapitre 4 propose un principe simple base sur une mesure de temps.

2.2 Association des rsistances

2.2.1 en srie, en parallleEn srie (les conducteurs sont parcourus par le mme courant) :

Req =

k

Rk

En parallle (les conducteurs sont soumis la mme tension) :

Geq =

k

Gk

o Gk = 1Rk est la conductance du k-me conducteur ohmique.

Remarques :On retiendra que deux rsistances en parallle sont quivalent une rsistance Req =

R1R2R1+R2

.

N rsistances identiques R en parallle sont donc quivalentes un conducteur de rsistance RN

.

3HENRY, Joseph (Albany 17 dcembre 1797 - Washington13 mai 1878) : Physicien amricain. En 1830, Henry dcouvre quuncourant peut tre induit dans un conducteur par dplacement dun champ magntique ; principe de llectromagntisme quil nepubliera pas. Ds 1831, il dmontre la possibilit de transmettre des messages distance en utilisant simplement une source decourant, un interrupteur et un lectro-aimant. Une pice mtallique gnrait des chocs audibles au mme rythme que laction deloprateur sur linterrupteur. Henry prsenta au public un appareil exprimental Albany, dans ltat de New York et tablit uneliaison de plus de 150 mtres, dmontrant ainsi la faisabilit du procd. Mais il ne breveta pas son invention, pas plus quil nelui trouva dapplication pratique.. Henry sera "doubl" par M. Faraday qui dcouvrira seul le phnomne dinduction magntique(aot 1831) et par S. Morse qui appliquera cette dcouverte la transmission dinformation (1832). On lui attribue malgr tout, la

dcouverte de lauto-induction (juillet 1832), phnomne fondamental en lectromagntisme


18/60


2.2.2 Ponts diviseurs

Diviseur de tension : On considre deux rsistances R1 et R2 en srie soumises une tension globale U.la tension aux bornes des rsistances vaut alors

Uk =Rk

R1 + R2U k = 1 ou 2

Diviseurs de courant : On considre deux rsistances R1 et R2 en parallle alimentes par un courantglobal i. le courant traversant chacune rsistance a pour intensit :

ik =Gk

G1 + G2i k = 1 ou 2

i1 i2

i

R1

R2 U2

R2R1

U

Diviseur de courantDiviseur de tension

Dmonstration : au tableau.Exemple : On considre le montage de la figure 2.7. Calculer lintensit du courant i.

i

U

R

R R

FIG . 2.7 Exemple dapplication. Calculeri.

2.3 Modlisations linaires dun diple actif

2.3.1 Sources de tension

source de tension idale : Ce qui caractrise une source de tension idale cest la capacit imposer unetension indpendamment du courant qui la traverse.

U = E i


19/60

2.3. MODLISATIONS LINAIRES DUN DIPLE ACTIF 19

o Eest la force lectromotrice (f..m) de la source de tension. source de tension relle : Pour tenir compte despertes par effetjoule dunesource de tension, on modlise

la source par une source idale en srie avec une rsistance dite rsistance interne. La caractristique

scrit alors : U = E RiOn notera quune source de tension se rapproche dune source de tension idale quand sa rsistanceinterne R 0 .

E

R

E

u

i

u

i

Source de tension idale

Source de tension relle

U

U

2.3.2 Sources de courant

source de courant idale :i = J U

o J est le courant lectromoteur(c..m). source de courant relle : Pour tenir compte des pertes par effet joule dune source de courant, on mod-

lise la source par une source idale en parallle avec une rsistance dite rsistance interne. La caract-

ristique scrit alors : i = J GUo G = 1

Rest la conductance interne. On notera quune source de courant se rapproche dune source de

courant idale quand sa rsistance interne G 0 1.

2.3.3 quivalence Thvenin - Norton

Considrons une source de tension relle de caractristique linaire U = ERi. Cette caractristique peutse r-crire i = E

R GU; autrement dit cette source de tension peut sinterprter comme une source de

courant de c.e.m. J = ER

et de conductance G = 1R

. Ainsi une source linaire peut se modliser de deuxmanires :

modlisation de Thvenin : une source de tension idale en srie avec une rsistance.


20/60


J

U

Source de courant relleSource de courant idale

i

J

i

Ri

U

E

I= Er

FIG . 2.8 quivalence Thvenin - Norton

modlisation de Norton : une source de courant idale en parallle avec une conductance.Il est possible de passer dune reprsentation une autre en retenant lquivalence Thvenin-Norton :

J = ER

G = 1R

2.3.4 Rcepteurs actifs linaires

modlisation : U = E + Ri o E reprsente la force contre lectromotrice (f.c..m). schma :

R

+

_

i

E

Rcepteur

U

FIG . 2.9 Schma dun rcepteur actif.

rcepteurs rversibles (ou polariss) : E est fix => fonctionnement en rcepteur ou en gnrateur (bat-

terie)


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2.4. DIPLES NON LINAIRES 21

rcepteurs non rversibles (non polariss) : fonctionnement rcepteur : la f.c..m soriente de faon ceque le courant rentre par le + (moteur continu)

2.4 Diples non linaires

2.4.1 La diode jonction

La diode jonction (dont le schma est donn sur la figure 2.10) se compose de deux semi-conducteursdops diffremment, accols. Les proprits semi-conductrices donnent ce diple un comportement par-ticulier : lorsque lon soumet cette diode une tension U, un courant apparatra que si la tension dpasseune tension de seuil U0. Son fonctionnement macroscopique est assimilable celui dun interrupteur com-mand qui ne laisse passer le courant que dans un seul sens.

d

d

i

V

FIG . 2.10 Reprsentation et caractristique de la diode jonction. Un phnomne davalanche a lieudans la partie grise (la diode est alors dtruite)

La diode est un diple non linaire (cf caractristique). Cependant pour des raisons de commodits decalcul, on linarise la caractristique. On distingue alors trois modles linaires pour la diode : la diodeidale, la diode avec seuil mais sans rsistance, et la diode avec seuil et avec rsistance (cf. figure)

U0U 0

0 0

0

Diode idale Diode avec seuil Diode avec seuil et rsistance

Interrupteur command :

K ouvert si U


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Application : La diode jonction sert redresser un signal (utile lors de la transformation alternatif-continu dun signal), par exemple.

Remarques : La fonction diode a exist bien avant larrive du silicium : on utilisait alors des diodes

vide (les lampes ) dont le fonctionnement tait bas sur leffet thermolectronique. Le silicium aapport les avantages suivants : cot, fiabilit, encombrement, simplicit dutilisation

2.4.2 La diode Zener

Phnomne de claquage : Quand la diode est polarise en inverse (tension ngative) et que la tensionapplique dpasse la valeur spcifie par le fabricant, le courant dcrot (attention : il est dj ngatif!)trs rapidement. Sil nest pas limit par des lments externes, il y a destruction rapide de la diode. Deuxphnomnes sont lorigine de ce rsultat :

phnomne davalanche : quand le champ lectrique au niveau de la jonction devient trop intense, leslectrons acclrs peuvent ioniser les atomes par chocs, ce qui libre dautres lectrons qui sont leur

tour acclrs Il y a divergence du phnomne, et le courant devient important. phnomne Zener : les lectrons sont arrachs aux atomes directement par le champ lectrique dans lazone de transition et crent un courant qui devient vite intense quand la tension atteint une valeur UZdite tension Zner.

Si on construit la diode pour que le phnomne Zner lemporte sur le phnomne davalanche (en sarran-geant pour que la zone de transition soit troite), on obtient une diode Zner. On utilise alors cette diodeen polarisation inverse. Leffet zner nest pas destructif dans ce cas. Ces diodes sont trs utilises pour largulation de tension.

2.5 Exemples dapplication

2.5.1 Circuit une maille : loi de POUILLET

Dans une maille constitue de sources de tension (f..m Ek ) et de rsistances Rk , le courant de maillevaut :

i =

k kEkk Rk

o k = 1 quand Ek est orient dans le mme sens que le courant et k =

1 dans le cas contraire. Ceci

constitue la loi de POUILLET.


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2.6. ASPECTS NERGTIQUES 23

Dmonstration : au tableau.

2.5.2 Thorme de MILLMAN

On considre un noeud N auquel sont relis n rsistances Rk ( k = 1.n). Si VN dsigne le potentieldu noeud N (dfini par rapport au potentiel de rfrence) et Vk le potentiel de lautre borne de chaquersistance, Rk alors on a :

VN =

k GkVk

k Gk

ceci constitue le thorme de M ILLMAN.


2.5.3 Circuits complexes

traitement dun exemple en utilisant les formules du diviseurs et/ou lquivalence T HVENIN NORTONet/ou la loi de POUILLET et/ou le thorme de MILLMAN.

R

510

5

107

5 V 15

10 V

i ?

FIG . 2.12 Calculer lintensit du couranti en utilisant plusieurs mthodes.

2.6 Aspects nergtiques

2.6.1 nergie emmagasine dans un condensateur

P = dedt

avec e = 12CU2 = 1

2Q2

Clnergie lectrostatique stocke.

Lnergie fournie au diple entre deux instants t1et t2 vaut W =t2

t1P dt = e(t2) e(t1).

2.6.2 nergie emmagasine dans une bobine

P = dmdt

avec m = 12Li2 lnergie magntique stocke.

Lnergie fournie au diple entre deux instants t1et t2 vaut W =t2

t1 P dt = m(t2) m(t1).


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2.6.3 Puissance dissipe dans une rsistance (effet Joule)

P = Ri2 > 0.

Lnergie fournie au diple entre deux instants t1et t2 vaut W =

t2t1 Pdt > 0 si t2 > t1 : le diple ne peut

pas rendre lnergie fournie; lnergie est dissipe sous forme de chaleur : cest leffet JOULE.

2.6.4 Puissance fournie et convertie

source de tension : puissance fournie Pf = Ei Ri2 source de courant : Pf = JU GU2 rcepteur actif : puissance convertie Pc = Ei.


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2.7. EXERCICES 25

2.7 Exercices

1. Rsistance dun cube12 rsistances identiques r sont rparties suivant les artes dun cube. Ce cube est reli un circuit extrieur

FIG . 2.13

par 2 sommets opposs (cf. fi gure 2.13). Calculer sa rsistance quivalente en tenant compte de considrationsde symtrie.

2. rsistance quivalenteCalculer la rsistance quivalente entre A et B (cf.fi g 2.14) dans les cas suivants :

R R

R

R

K

R

K

A B

FIG . 2.14

Tous les interrupteurs sont ferms. Tous les interrupteurs sont ouverts. un seul interrupteur est ferm.

3. Transformation toiletriangleOn se donne un quadriple en triangle (ou en ) et un quadriple en toile (ou en T) constitus par des rsis-tances.

R 1 R 2

R 3

r1r2

r3

A B

C

C

BA

(a) En analysant les rsistances vues entre A et C, entre A et B puis entre B et C, trouver les relations liant

leurs rsistances respectives pour que ces deux rseaux soient interchangeables.


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(b) application : dterminer la rsistance quivalente entre les point A et B du diple D de la fi gure ??.

4. Circuits simples

i R

R

R

E

1

2

1

3

R 2R 3

i1

i2

i 3

i0

FIG . 2.15

(a) Dans les circuits de la fi gure 2.15, calculer les intensits dans toutes les branches ;(b) A.N. : E = 10 V, i0 = 2 A, R1 = R2 = 10 , R3 = 5 .

5. Caractristique.

(a) Reprsenter la caractristique courant-tension i = f(u) du diple suivant (la diode sera considreidale) :

R

i i

R

U

6. Diode idaleOn tudie le circuit de la fi gure 2.16 dans lequel la diode sera suppose idale.

R

R

I

2 A

50 V

FIG . 2.16

(a) Calculer I dans le cas o R = 10 .

(b) Mme question si on inverse le sens de la diode.

7. Rseau de rsistances

On considre le montage de la fi gure 2.17. Calculer la tension UAB = VA VB


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2.7. EXERCICES 27

1 k

2 k2 k

1 k

1 k2 k

I

6 V

A

B

FIG . 2.17

(a) En utilisant au maximum lquivalence THVENIN-NORTON.

(b) En appliquant les lois de K IRCHHOFF.

8. Pont de ManceLa fi gure 2.18 reprsente un pont de Mance.

R 3 R4

R2R1

K

r

A

B

D

E

C

FIG . 2.18

(a) En simplifi ant le rseau, calculer lintensit qui circule dans la branche AB du circuit lorsque linterrupteurK est ouvert.

(b) mme question lorsque linterrupteur K est ferm.

(c) Quelle relation doit-il exister entre les 4 rsistances pour que lintensit soit la mme dans les 2 cas (Kouvert ou ferm)?

(d) Quelle application pouvez vous en tirer ?

9. Adaptation dimpdanceUn lectromoteur de f.e.m. Eet de rsistance interne r forme un circuit avec une rsistance R.Comment doit-on choisir R pour que la puissance dissipe dans cette rsistance soit maximale ?


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Chapitre 3

Rgimes transitoires

3.1 circuits R,C srie soumis un chelon de tension

3.1.1 Mise en quation

Principe : On soumets un diple R - C un chelon de tension cest--dire une tension e(t) telle que

e(t) =

0 pour t < 0E pourt 0

de signaux

Gnrateur

i(t)

cU (t)

e(t)

C

R

FIG . 3.1 Schma de principe.

Obtention de lquation-diffrentielle (premier ordre linaire avec second membre) laide des lois deKirchhoff puis laide dune analyse nergtique :

dUcdt

+Uc

=E

pour t > 0

o = RC est homogne un temps. (le vrifier laide de lqua-diff puis laide des units)

Conditions initiales : Uc(0+

) = 0 V car la charge varie de faon continue dans un condensateur.

29


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30 CHAPITRE 3. RGIMES TRANSITOIRES

3.1.2 Rsolution

Rappel-math : Une quation diffrentielle linaire coefficients constants avec second membre du type

any(n)

+ ... + a2y + a1y + a0y = f(t)admet comme solution y(t) = yh(t) + ypart(t) o yh est la solution de lquation sans secondmembre (quation homogne) et ypart est la solution particulire. yh sexprime comme une sommedexponentielle

yh =n

k=1

Akerkt

o rk sont solution de lquation caractristique

anrnk + ... + a2r

2k + a1rk + a0 = 0

Sil existe des racines doubles, lexponentielle est remplacer par (Ak + Bkt)erkt. On vrifiera quele nombre de constantes dintgration (Ak et Bk) est gal n. Pour la solution particulire il existeune mthode gnrale (mthode de la variation des constantes) dont on peut se passer dans les cassimples. On retiendra que la solution particulire est du mme type que le second membre : si lesecond membre est constant, on cherchera une constante, sil sagit dun polynme, on cherchera unpolynme du mme ordre priori (si a ne marche pas il faut envisager un polynme dordre pluslev), si cest une fonction circulaire ( sinus ou cosinus) , on cherchera un sinus et un cosinus demme frquence.

solution :Uc(t) = E

1 e t

i =

E

Re

t

tracs : la tangente lorigine coupe lasymptote en t = . reprsente le temps de relaxation. Plus est petit plus la charge du condensateur est rapide. Le temps de rponse 5% vaut 3.

FIG . 3.2 Charge dun condensateur

La mesure dun temps de relaxation peut permettre de mesurer une capacit ou une rsistance (rsistancede fuite par exemple).


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3.2. CIRCUIT R,L SRIE SOUMIS UN CHELON DE TENSION 31

3.1.3 Bilan dnergie.

le gnrateur a fourni une nergie W = CE2 ; la rsistance en a dissip la moiti ; le condensateur en a

stock la moiti.


Remarque : lnergie dissipe ne dpend pas de la rsistance. cest la dure de la dissipation qui en dpend.

3.2 circuit R,L srie soumis un chelon de tension


Principe : On soumets un diple R - L un chelon de tension.

de signaux

Gnrateur

U (t)L

i(t)

e(t) R

L

FIG . 3.3 Schma de principe.

Obtention de lquation-diffrentielle laide des lois de Kirchhoff puis laide dune analyse nerg-tique :

diLdt

+iL

=E

Lpour t > 0

o = L/R est homogne un temps. (le vrifier laide de lqua-diff puis laides des units).

Conditions initiales : iL(0+) = 0 A car le courant varie de faon continue dans une bobine.

3.2.2 Rsolution

solution :iL(t) =

E

R

1 e t

trac. la tangente lorigine coupe lasymptote en t = . reprsente le temps de relaxation. Plus est petit plus la charge du condensateur est rapide. Le temps

de rponse 5% vaut 3. La mesure dun temps de relaxation peut permettre de mesurer une auto-inductance.


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3.3 circuit R,L,C srie soumis un chelon de tension


On obtient lquation-diffrentielle (second ordre linaire coefficients constants avec second membreconstant) laide des lois de Kirchhoff ou laide dune analyse nergtique :

d2Ucdt2

+0Q

dUcdt

+ 20Uc = 20E pour t > 0

o 0 = 1LC est la pulsation propre du circuit RLC (si il ny avait pas damortissement, la tension

oscillerait la frquence f0 = 2

0) et o 0

Q= R

Lest le coefficient damortissement. Le facteur de qualit

Q est sans dimension et vaut Q = 1R

LC

. On notera que faire disparatre le terme dissipatif (terme defrottement) revient au cas limite Q .

Conditions initiales : dUCdt (0+) = 0 et Uc(0+) = 0 V car la charge et le courant varient de faon conti-

nue.

On obtient un oscillateur harmonique amorti soumis une excitation constante. On rencontrera ce typedquation diffrentielle en mcanique. Lanalyse sera analogue.

3.3.2 Rsolution

solution : Les racines de lquation caractristique sont relles si le discriminent = 20(1

Q2 4) 0 ;

sinon, les racines sont complexes.

rgime pseudo priodique (Q > 1

2) :

Uc(t) = Eet[cos t +

sin t] + E

o =

20 2. Pseudo-priode T = 2 . rgime critique (Q = 12 ) :

Uc(t) = E[1 + e0t(1 + 0t)]rgime pour lequel le retour lquilibre est le plus rapide.

rgime apriodique (Q < 12

) :

x(t) = Eet[( + )

2et +

2

et]

o =

2 20.Reprsentation La figure montre diffrents comportements suivant la valeur de Q .

On notera que plus R augmente plus lamortissement est important et moins il y a doscillations. L etC influencent la fois la frquence des ventuelles oscillations et le facteur de qualit. (cf. animationregressi)


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3.4. EXERCICES 33

.2

.4

.6

.8

1

.2

.4

.6

.8

0 5 10 15 20 25 30

x(t) pour diffrentes valeurs de Q

Q = 0,5

Q = 2

Q = 10

Q = 0,2

diffrentes

FIG . 3.4 Diffrents rgimes transitoires. Ici x =UC (t)

E

3.4 Exercices

1. Dcharge dun condensateur dans un autreOn considre le schma de la fi gure 3.5 . linstant initial, t = 0, on ferme linterrupteur K. Auparavant, on

R

K

CC

i

q q

FIG . 3.5 Dcharge dun condensateur dans un autre

a pris soin de charger le condensateur de gauche sous une tension U = 10 V, lautre tant dcharg. Les deuxcondensateurs sont identiques, de mme capacit C = 10 F.

(a) tablir une relation entre lintensit du courant i et les charges q et q. En dduire une relation entre q etq. Comment interprter cette relation.

(b) tablir lquation diffrentielle que vrifi e q(t) et rsoudre lquation.(c) En dduire q(t) et i(t). Tracer les graphes de q, q et i.

(d) Calculer lnergie dissipe pendant le rgime transitoire. Que se passe-t-il si R 0 ?

2. Charge de deux condensateursOn tudie la charge de deux condensateurs en srie initialement dchargs, de capacit C1 et C2 ; pour cela,

linstant t = 0, on ferme linterrupteur K (cf. fi gure 3.6).

(a) Donner lexpression de q1(t) et de q2(t) (conventions imposer).

(b) Pour t , dterminer lnergie de chaque condensateur, lnergie fournie par la source de tension etlnergie perdue par effet joule.

(c) Les deux condensateurs sont dsormais monts en parallle ; rpondre aux mmes questions.


34/60


E

R

KA

B

C

C2

1

FIG . 3.6

3. Doubleur de tension

Une source de tension continue de f.e.m E = 1 0 V est monte en srie avec un interrupteur K, une diodeparfaite, une bobine idale dinductance L = 10 mHet un condensateur idal de capacit C = 0, 1 F. Lecondensateur tant initialement dcharg, on ferme K partir de linstant t = 0 .

uc

LK

E

FIG . 3.7 Schma du doubleur de tension.

(a) Trouver lquation diffrentielle vrifi e par la tension uC(t).

(b) Rsoudre lquation diffrentielle et montrer que ce dispositif permet de doubler la tension de la source.

4. Systme RL RCAu temps t = 0, on ferme K dans le circuit de la fi gure 3.8; le condensateur de capacit C est initialement

LE

I

R

K

R

C

i i

FIG . 3.8

dcharg.

(a) Donner, en les justifi ant, les expressions des intensits i(0) et i(0).

(b) Donner de la mme faon i(), i() et I().(c) Calculer les intensits i(t), i(t) et I(t) fonctions du temps. Est-ce un systme du second ordre ?

(d) quelle condition le courant dintensit I, dbit par le gnrateur, est-il stationnaire (I constant) lorsquet > 0. Combien vaut-il alors?


35/60

Chapitre 4

Circuits linaires en rgime sinusodal

forc

4.1 Signaux priodiques

4.1.1 Caractristiques

priode : dure T telle que y(t + T) = y(t) t. T sexprime en seconde pour les signaux temporels.frquence : nombre f de priodes dans une seconde : f = 1

T. La frquence sexprime en Hertz en

hommage Heinrich HERTZ1

grandeur moyenne : y = 1T

T

0y(t) dt. physiquement il sagit de la composante continue dun signal.

grandeur efficace : yeff =

y(t)2 : distinction entre yeff DC et yeff AC ,Srie de Fourier : un signal priodique (sous certaines conditions mathmatiques que lon supposera va-

lide ici) peut se dcomposer, en sinus et cosinus de frquences multiple de la frquence f :

y(t) = a0 +

i=1

ai cos(i2t

T) + bi sin(i

2t

T)

o a0 reprsente la composante continue (valeur moyenne) et ai cos(i2tT

) + bi sin(i2t

T) la i-me

harmonique (en musique la premire harmonique sappelle le fondamental).Pour un signal crneau damplitude A et de priode T on a (cf. animation rgressi) :

y(t) =4A

n impair

1

n

sin(n2t

T

)

4.1.2 Signaux sinusodaux

Un signal sinusodal y(t) sexprime par :

y(t) = A cos(t + )

o A dsigne lamplitude, la phase (en radian), la pulsation (en rad/s).

1Heinrich Hertz est n Hambourg en Allemagne (1857-1894). Physicien thoricien, il combina lensemble des connaissancesncessaires et russit la premire mission et rception dondes radio en 1887, sur une distance de 20 mtres donnant du mmecoup une preuve de la validit de la thorie lectromagntique de Maxwell. Dans les milieux scientifi ques, il est considr comme ledcouvreur de la radio. Cest la raison pour laquelle on a donn le nom d ondes hertziennes aux signaux radio et pourquoi lunit

de la frquence vibratoires quon appelait cycles au dpart, a t remplace par Hertz .

35


36/60

36 CHAPITRE 4. CIRCUITS LINAIRES EN RGIME SINUSODAL FORC

La priode est telle que T = 2. la frquence vaut donc f =

2.

la grandeur moyenne vaut zro. la valeur efficace yeff =

A

2 .

4.2 tude du circuit R,L,C srie

4.2.1 tablissement du rgime sinusodal forc

Math : On branche un circuit RLC srie aux bornes dun GBF (Gnrateur basse Frquence) qui dlivreune tension sinusodale de pulsation (signal dexcitation). Lquation diffrentielle vrifie par lacharge q(t) du condensateur scrit

q+

0Q q+

20q =

E

L cos t pour t > 0

o 0 et Q sont dfinis comme dans le chapitre prcdent.La tension capacitive Uc =

qC

vrifie

Uc +0Q

Uc + 20Uc =

20Ecos t pour t > 0

solution de lquation homogne = rgime transitoire. Ce rgime se dissipe aprs une dure ~ Q0

. Concr-tement le rgime transitoire disparat en moins dune seconde. Chercher le rgime sinusodal forc re-vient donc chercher la solution particulire.

solution particulire = rgime sinusodal forc de type A cos(t + ) o A et sont dterminer .

Remarques : lorsque

j est aussi racine du polynme caractristique de lquation diffrentielle il faut

chercher une solution particulire sous la forme f(t)cos(t + ).

Simulations : la figure 4.1 montre ltablissement du rgime forc, cest dire la disparition du rgimetransitoire au dtriment dun rgime sinusodal forc de mme frquence que lexcitation. On notela prsence du rgime transitoire par lapparition dinterfrence entre deux signaux non synchrones :si le facteur de qualit est grand, le rgime transitoire est pseudo priodique de pulsation ~ 0 = .Si la frquence dexcitation est proche de la frquence propre, on voit apparatre un phnomne debattement(interfrence entre deux signaux non synchrones de frquence voisine).

4.2.2 recherche de la solution force

On recherche donc la solution particulire sous la forme dun sinus et dun cosinus. On considre q(t) sousla forme q(t) = A cos(t + ) et lon cherche les valeurs de A et qui vrifient lquation diffrentielle.Loutil complexe permet de trouver rapidement la solution particulire. La mthode consiste associer une grandeur sinusodale y(t) un complexe y(t) :

y(t) = A cos(t + ) y(t) = Aej(t+) = Aejt

o j2 = 1 . Le complexe A = Aej est appel amplitude complexe et contient toute linformationrecherche (lamplitude et la phase).

Lintrt de la notation complexe rside dans le fait que lopration drive est remplace par une simplemultiplication. En effet

d

dt y(t) =

d

dt A cos t jAejt

= jy


37/60

4.2. TUDE DU CIRCUIT R,L,C SRIE 37

FIG . 4.1 tablissement du rgime sinusodal


38/60


En notation complexe, lquation diffrentielle devient :

2q + j0Q

q + 20q =E

Lejt

simplifions par ejt , on obtient :

A =CE

1

0

2+j

0Q

Ainsi lamplitude de charge et le dphasage de la charge par rapport la tension excitatrice valent

A = |A| = CE1

0

22+

Q0

2 = arg(A)

4.2.3 Rsonance dintensitLe courant oscille donc la mme frquence que le signal dexcitation : i(t) = I. cos(t + i). En notationcomplexe, on a

i(t) = I.ejt

La relation entre le courant et la charge permet de relier I A :

i(t) =d

dtq(t) I = jA

on dtermine I(w) et i(). cf. figures 4.2 et4.3.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

i

100 200 300 400 500 600w

influence de la rsistance

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

i

100 200 300 400 500 600w

influence de la bobine

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

i

100 200 300 400 500 600w

influence de la capacit

FIG . 4.2 Influence des diffrents paramtres sur la courbe de rponse en intensit.

Pour = 0 = 1LC , on a I = Imax =ER

: on dit quil y a rsonance de courant. Le circuit secomporte comme une seule rsistance (leffet capacitif est donc compens par leffet inductif).Les pulsations de coupures sont telles que I() = Imax2 . Lintervalle [, +] dfinit la bandepassante. On montre que plus le facteur de qualit est grand et plus la bande passante est troite :

0+

= Q =1

RL

C


39/60

4.2. TUDE DU CIRCUIT R,L,C SRIE 39

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

phase

100 200 300 400 500 600w


1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

phase

100 200 300 400 500 600w


1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

phase

100 200 300 400 500 600w


FIG . 4.3 Influence des diffrents paramtres sur le dphasage courant/tension dentre.

4.2.4 Rsonance de tension aux bornes du condensateur

La tension aux bornes du condensateur est sinusodale en rgime forc : uc(t) = Ucos(t + u). Ennotation complexe on a uc =

qC

do lon tire que la tension uc(t) est en phase avec la charge q(t) etlamplitude U = A

C.

Analysons lvolution U() et u(). cf. figures 4.4 et 4.5.

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Uc

0 100 200 300 400 500 600w


0

5

10

15

20

25

30

Uc

100 200 300 400 500 600w


0

1

2

3

4

5

6

Uc

100 200 300 400 500 600w


FIG . 4.4 Influence des diffrents paramtres sur la courbe de rponse en tension.

On observe une rsonance quand Q >22 . La rsonance est dautant plus aigue que Q est grand.

Il existe une surtension capacitive la rsonance. On a

Uc(0) = QUe


40/60


2.5

2

1.5

1

0.5

0

phase

100 200 300 400 500 600w


3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

phase

100 200 300 400 500 600w


3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

phase

100 200 300 400 500 600w


FIG . 4.5 Influence des diffrents paramtres sur le dphasage tension capacitive/tension dentre.

4.3 Impdance complexe

4.3.1 Notion dimpdance et dadmittance

Dfinition : Impdance dun diple passif linaire :

Z =U

I= R +jX

o R dsigne la rsistance et X la ractance. Z se mesure en .

Ladmittance du diple vautY =

1

Z= G +jS

o G dsigne la conductance et S la susceptance. Y se mesure en 1 = S (Siemens)

exemples ( retenir) : rsistance : ZR = R Bobine : ZL = jL condensateur : ZC = 1jC

4.3.2 Lois dassociation.

En rgime sinusodal forc, dans un rseau linaire, on peut remplacer chaque diple par son impdancepuis simplifier le rseau en utilisant des lois similaires celles que lon connait pour les rsistances.En srie (les conducteurs sont parcourus par le mme courant) :

Zeq =

i

Zi

En parallle (les conducteurs sont soumis la mme tension) :

Yeq =

i

Yi

Exemples :


41/60

4.4. PUISSANCE EN RGIME SINUSODAL FORC. 41

Circuit LC srie : Z = j(L 1C

).On note quil existe une pulsation pour laquelle leffet capacitif est compens par leffet inductif :

Z = 0 =1

LCIl sagit de la condition de rsonance du circuit LC

Circuit LC parallle : Y = j(C 1L

)On note quil existe une pulsation pour laquelle ladmittance sannule

Y = 0 = 1LC

Il sagit de la condition danti-rsonance du circuit LC //.

4.3.3 Rseau linaire en rgime sinusodal forc

Dans un rseau linaire en rgime sinusodal forc, toutes les grandeurs sont sinusodales. On peut rem-placer chaque diple passif par son impdance et les sources par les grandeurs complexes associes. Lesquations de Kirchhoff (loi des noeuds + loi des mailles) donnent des quations algbriques complexes.Les problmes sont donc identiques ceux rencontrs en rgime continu, ceci prs que les grandeursrecherches sont complexes (une amplitude et une phase).

Loi des mailles : k

kuk = 0

Loi des noeuds : k

kik = 0

Thorme de Millman :VN =

k YkVk

k Yk

Diviseur de tension :Uk =

Zk

Z1 + Z2k = 1 ou 2

Diviseur de courant :ik =

YkY1 + Y2

i k = 1 ou 2

quivalence Thvenin-NortonJ = E

Z

Y =

1

Z

4.4 Puissance en rgime sinusodal forc.

4.4.1 Puissance moyenne

puissance instantane : Supposons un diple linaire en rgime sinusodal forc. la tension scrit u(t) =2Ueff cos(t) et lintensit du courant i(t) =

2Ieff cos(t ) o dsigne le dphasage de

la tension par rapport au courant. La puissance instantane vaut donc :

P(t) = u(t)i(t) = UeffIeff[cos + cos(2t + )]

On remarque ainsi que cette puisance oscille autour de UeffIeff cos .


42/60


puissanc eactive : la puissance active est la puissance lectrique moyenne reue par le diple :

P = UeffIeff cos

Consquence : tout diple rsistif dissipe une puissance lectrique

P = RI2eff

Lintensit efficace correspond donc lintensit du courant continu qui produirait la mme dissipationdnergie.

NB : S = UeffIeff est la puissance apparente (en VA ou Volt Ampre)

Pr = UeffIeff sin est la puissance ractive (en VAR ou Volt Ampre Ractif)

4.4.2 Facteur de puissance

Dfinition : le facteur de puissance est la quantit positive cos .Importance du cos : Une installation industrielle ou domestique prsente en gnral un caractre in-

ductif d^ la prsence des moteurs (bobinages). Si linstallation consomme une puissance active P,lintensit du courant arrivant vaut donc

Ieff =P

Ueff cos

cette intensit correspond une puissance dissipe par effet joule dans la ligne de transport qui vaut

Pligne = RI2eff =

RP2

U2eff cos2

Ainsi une faible valeur du facteur de puissance entrane une perte dnergie lectrique en ligne plusimportante. Cest pourquoi , en France, E.D.F impose une valeur au facteur de puissance dtre 0, 93.


43/60

4.5. EXERCICES 43

4.5 Exercices

1. DphasageConsidrons deux tensions sinusodales de mme frquence f = 300 Hz :

u1 = 5 cos(t +

4)

u2 = 10 c os(t +

6)

(a) Exprimer les tensions complexes associes.

(b) Dduire le dphasage de u1 par rapport u2. Quelle est la tension en avance sur lautre?

(c) Quelle est lamplitude de la tension u3 = u1 + u2 ?

(d) Retrouver ces rsultats graphiquement (chelle des temps : 10cm=3ms, chelle des tension : 2cm=1V).

2. Circuit R1R2C en rgime sinusodalOn considre le circuit de la fi gure 4.6 aliment en courant sinusodal de pulsation .

R2

R1

C

B

A

FIG . 4.6 R1 = 40 k, R2 = 320 k et C = 25 nF.

(a) Dterminer en fonction de lexpression de limpdance complexe Z du diple de bornes A et B.

(b) Donner les valeurs numriques de limpdance dans les deux cas suivants :

i. la frquence vaut 50 Hz.

ii. infi niment grande (courant haute frquence)

(c) La valeur effi cace de la tension u applique entre A et B est de 1000 V. Calculer les valeurs effi caces dei dans les deux cas prcdents, ainsi que les dphasages correspondants de i par rapport u.

3. Rgime transitoire et rgime permanentSoit le circuit reprsent fi gure 4.7, pour lequel L et R sont des constantes. On sintresse aux tensions UR(t)et UL(t), en supposant que pour t < 0, toutes les tensions sont nulles.

(a) On applique pour t > 0 la tension sinusodale v(t) = V

2sin t.

i. Dterminer les expressions de UR(t) et UL(t)(on pourra poser = arctan`LR

et = L

R).

ii. Dessiner les courbes reprsentatives dans le cas particulier o R = L.

iii. Montrer, partir de lquation diffrentielle liant v(t) et i(t), que lorsque les courbes reprsentatives

de UR(t) et de v(t) se coupent, la courbe UR(t) prsente une tangente horizontale.


44/60


L

RR

U

U

L

i(t)

v

FIG . 4.7 Circuit R-L

(b) On applique pour t > 0 la tension sinusodale v(t) = V

2sin(t + ) o est une constante rglable.Dterminer les nouvelles expressions de UR(t) et UL(t). Existe-t-il une valeur particulire de pour

laquelle la rponse est sinusodale quel que soit t > 0 pour la tension UR(t) ?

4. Principe dun inductancemtreLinductancemtre permet de mesurer lauto-inductance L dune bobine inconnue. Le principe de mesure est lesuivant : Un oscillateur LC comprend une bobine L0 de 10 H et un condensateur C0 de 10 nF. La bobine L mesurer est place en srie avec la bobine L0 ce qui modifi e la frquence de loscillateur. Un dispositif (uncompteur en fait) mesure le rapport r des frquences

(a) Donner lexpression des frquences f0 et f de loscillateur lectrique avant et aprs avoir plac la bobineinconnue.

(b) Montrer que la valeur de L ne dpend que de ce rapport r.

5. tude nergtique dun circuit en rgime sinusodalOn considre le circuit reprsent sur le schma de la fi gure 4.8. Il est aliment par un gnrateur dlivrant unetension sinusodale de pulsation , de valeur effi cace U = 220 V et de frquence f = 50 Hz. La rsistance Rest variable et L = 1 H.

C R

L

LU(t)

FIG . 4.8

(a) Calculer la puissance moyenne P absorbe par la rsistance R en fonction de R, L , et U.

(b) Calculer la valeur de R0 de R pour laquelle la puissance P est maximale ?

(c) Calculer L et la valeur maximale Pm de P sachant que R0 = 12 .

(d) Pour une valeur R = R1 > R0, la puissance dlivre par le gnrateur vaut P1 = 800 W. Calculer R1.

(e) Le facteur de puissance est gale lunit et R = R1. Calculer dans ces conditions, la valeur de C.


45/60

Chapitre 5

Filtres

5.1 Fonction de transfert

5.1.1 Quadriple linaire.

Dfinition : Un quadriple est un systme lectrique possdant deux bornes dentre et deux bornes desortie. Les grandeurs dentre et de sortie sont les tensions et les courants. On utilisera la conventionrcepteur pour lentre et la convention gnrateur pour la sortie.

ve

ie

is

vsQuadripole^

SortieEntre

FIG . 5.1 Schma dun quadriple.

Un quadriple est linaire quand les lments qui le constituent le sont. Pour un quadriple linaire les grandeurs lectriques obissent une quation diffrentielle linaire

coefficient constant. Lorsque lquation diffrentielle est dordre 1 on parle de filtre du premier ordre.

Le quadriple est passif sil ne possde que des lments passifs (R, L, C). Dans ce cas, la puissancemoyenne en sortie est toujours infrieure ou gale la puissance moyenne en entre. Le quadriple est actif quand il possde des lments actifs (sources, A.O, etc..). Il est possible davoir

un gain de puissance dans ce cas. On caractrise galement le quadriple par son impdance dentre Ze et son impdance de sortieZs. Ze

est limpdance du modle quivalent de Thvenin en entre. Zs est limpdance du modle quivalentde Thvenin en sortie.

5.1.2 Fonction de transfert

On se place dans le cadre du rgime sinusodal forc : tous les signaux sont de mme frquence. On utilise

alors la notation complexe.

45


46/60

46 CHAPITRE 5. FILTRES

Dfinition : la fonction de transfert est le rapport

H(j) =vs(t)

ve(t)=

Us

Ue= H()ej()

o Us et Ue sont les amplitudes complexes,H() est lamplification en tension et () est le dpha-sage de la sortie par rapport lentre.

Pour un quadriple du premier ordre on a en gnral

H(j) = +j

+j

Suivant lallure de H() on donne un nom au quadriple (cf. figure 5.2)H

H

H

H

Filtre passe-hautFiltre passe-bas

Filtre passe-bande Filtre rjecteur de bande

FIG . 5.2 Diffrents types idaux de filtres.

5.1.3 Diagramme de Bode

La fonction de transfert studie en gnral sur un domaine frquentiel trs vaste. IL est alors commodedutiliser une chelle logarithmique.

Dfinitions :

le gain en dcibel vautGdB = 20 log10 H()

La reprsentation de Bode consiste tracer

GdB = f(log10()) = g(log10())

Une dcade est un intervalle de frquence [f1, f2] telle que f2 = 10f1. Sur une chelle logarithmique,cela correspond une intervalle dune unit.

Une octave est un intervalle de frquence [f1, f2] telle que f2 = 2f1.

5.2 Exemples de Filtres passifs

5.2.1 Filtre passe-bas

traitons lexemple du filtre R-C en boucle ouverte. On obtient :


47/60

5.2. EXEMPLES DE FILTRES PASSIFS 47

I R

C UsUe

f0

10f0

GdB

0

10

20

10

20

f

FIG . 5.3 Filtre passe bas et diagramme de Bode associ.

H(j) =Uc

Ue=

1

1 +j 0

o 0 = 1RC =1

.

comportements asymptotiques : BF (basse frquence) : 0 GdB 0 dB .asymptote horizontale y=0. et 0. HF (haute frquence) : 0 GdB 20log10( 0 ) . asymptote horizontale y = 20x +

20 log10 0 : droite de pente -20 dB/dcade. pour la phase on a

2 .

pour = 0, H = 12 et = 4 . Cette tude pralable est souvent suffisante pour tracer lallure du diagramme de Bode (cf. figure)

frquence et pulsation de coupure -3dB : La frquence (pulsation) est la frquence (pulsation) pourlaquelle le gain en tension est rduit dun facteur

2 par rapport au gain maximum. Cest aussi la

frquence (pulsation) pour laquelle le gain en dcibel est diminu de 3 dB par rapport au gain maximum.Ici GdB max = 0 dB et GdB(c) = 3 donne

c = 0

fc = 0/2

Bande passante : le filtre attnue donc les hautes frquences : cest un filtre passe bas. Le domaine [0, c]est la bande passante (en rad/s).

Remarque : ici la bande passante vaut [0, 1] o est le temps de relaxation du circuit RC. un filtre RCde grande bande passante est un systme lectrique de petit temps de rponse. On retiendra cette relationassez gnrale RAPIDIT LARGE BANDE PASSANTE.

5.2.2 Filtre passe-haut

traitons lexemple du filtre C-R en boucle ouverte. On obtient :

H(j ) =j

0

1 +j 0

o 0 = 1RC = 1.


48/60


R

C=100 nF

VsVe

Y1Y2

GBF

f00,1f0

GdB

0

10

20

10

20

f

FIG . 5.4 Filtre passe haut et diagramme de Bode associ.

comportements asymptotiques : HF : 0 GdB 0 dB : asymptote horizontale y = 0 et 0. BF : 0 GdB 20 log10( 0 ) : asymptote horizontale y = 20x + 20 log10 0 : droite de

pente +20 dB/dcade. pour la phase on a 2 . pour = 0, H = 12 et =

4

. Cette tude pralable est souvent suffisante pour tracer lallure du diagramme de Bode (cf. figure)

frquence et pulsation de coupure -3dB : GdB max = 0 dB et GdB(c) = 3 donne

c = 0

fc = 0/2

Bande passante : le filtre attnue donc les basses frquences : cest un filtre passe haut. Le domaine[c, ] est la bande passante.


49/60

5.3. EXERCICES 49

5.3 Exercices

1. Filtre du second ordre.On se place en rgime sinusodal forc et lon considre diffrents fi ltres.

I R

C UsUe C

RI R

C UsUe

FIG . 5.5 Filtres.

(a) Calculer H1 =VS

Vedans le cas du montage a) de la fi gure 5.5, page 49.

(b) En dduire la frquence de coupure f0 et la bande passante f.

(c) On considre maintenant le montage b) de la fi gure 5.5, page 49.

i. Pourquoi H2 =VS

Ve= H21 ?

ii. Exprimer H2 sous la forme

H2 =1

1 +j 1

1 +j

2

.

iii. On injecte un signal de tension effi cace Ueff et de frquence f0 et sans phase. En dduire la tensionde sortie Vs(t) .

iv. Reprsenter le diagramme de Bode et calculer le frquence de coupure.

2. Chane hi-fi.Pour raliser une chane de reproduction du son partir dun enregistrement lectrique, on peut utiliser lemontage de la fi gure 5.6.

Enregistreur

e(t) VVee

(t)Ampli

Filtre

passebas

Filtrepassehaut

HPBF

HPHF

e(t) G.e(t)

RRee

ZZSS

RR

Amplificateur

FIG . 5.6 A gauche : schma de principe dune chane hi-fi . A droite : Modle de lamplifi cateur.

HPBF est un haut parleur basse frquence quil convient dalimenter par lintermdiaire dun fi ltre passe-bas.HPHF est un haut parleur haute frquence quil convient dalimenter par lintermdiaire dun fi ltre passe hautadapt sa bande passante. On modlise lamplifi cateur par le schma de la fi gure 5.6.On considrera Re infi nieet G rel. De plus, on ralise deux expriences :Test 1 : e(t) = Ecos(2f t) ; R = R1 = 16 ; tension effi cace dentre eeff = 1 mV. On mesure alors en

sortie une tension effi cace Veeff1 =2

3 V.


50/60


Test 2 : e(t) = Ecos(2f t) ; R = R2 = 8 ; tension effi cace dentre eeff = 1 mV. On mesure alors ensortie une tension effi cace Veeff2 = 0, 5 V.De plus, on constate pour les deux tests, que le signal de sortie est en phase avec le signal dentre quelque soitla frquence.

(a) Dterminer le gain vide G et limpdance de sortie Zs.

(b) Lamplifi cateur tant aliment par une tension e(t) = Ecos(2f t), quelle doit tre la rsistance de chargeR pour quil fournisse celle-ci le maximum de puissance moyenne E constant.

(c) Le fi ltre passe-bas est de type BUTTERWORTH : la fonction de transfert est telle que

TB()

2

=1

1 +0

6

o 0 = 6000 rad.s1. Reprsenter le diagramme de Bode 20log |TB(x)| = f(log x) avec x = 0(d) Les deux fi ltres peuvent tre considrs comme non dissipatifs. On dsire que la puissance moyenne

totale fournie aux deux rsistances R soit indpendante de la frquence du signal dentre. SoitTH(x)

le module de la fonction de transfert du fi ltre passe-haut charg par une rsistance R. ExprimerTH(x)

pour que la condition ci-dessus soit respecte (on admettra que

TH(0)

= 0).

(e) Tracer le diagramme de Bode 20 log |TH(x)| = f(log x).

3. Filtres en cascadeOn considre deux quadriples Q1et Q2 de fonction de transfert en boucle ouverte H1 et H2. On note Ze1 etZe2 les impdances dentre; Zs1 et Zs2 sont les impdances de sortie. On place en sortie de Q1 le quadripleQ2.

(a) Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte H du quadriple ainsi form.

(b) quelle condition H = H1

.H2

?


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Chapitre 6

Notions sur lAmplifi cateur

Oprationnel

6.1 Caractristiques de lA.O.

6.1.1 Description

On appelle amplificateur oprationnel (abrg par la suite A.O.), un amplificateur possdant une entrediffrentielle, un trs grand gain de tension en mode diffrentiel, un taux de rjection de mode communlev et une faible impdance de sortie. La tension de sortie est gnralement dfinie par rapport la bornecommune de terre. Le qualificatif "oprationnel" provient du fait que ce type damplificateur a t large-

ment utilis au dbut de llectronique pour raliser des calculateurs analogiques ou des simulateurs desystmes contrls. Ces calculateurs permettent de rsoudre des quations diffrentielles (calcul opration-nel). Actuellement les amplificateurs oprationnels dpassent largement le cadre de ce type dapplication.

Les premiers A.O. apparus sur le march taient constitus dlments discrets (rsistances, diodes et tran-sistors) assembls sur un circuit de petite dimension, le tout coul dans un bloc de rsine synthtique pouramliorer la tenue mcanique et assurer une homognit lors de variations de temprature. Le volume taitsemblable celui dune bote dallumettes. Peu avant 1970, des A.O. sous forme de circuits intgrs sur ununique substrat de silicium de petite dimension sont devenus disponibles. Dans cette technologie, qualifiede monolithique, on produit des circuits trs fiables, trs performants, faible consommation et peut co-teux parce que produits en grandes quantits. La structure interne de ces A.O. peut tre trs complique etcomporter plusieurs dizaines de composants, presque uniquement des transistors (bipolaires, JFET, MOS).LA.O. sous forme de circuit intgr est devenu llment de base de toute llectronique analogique aux

basses frquences (jusqu quelques mgahertz).Recommandations :

Il faut avant toute chose, alimenter lA.O. avec une alimentation continue (15 V). La masse du montage(rfrence des potentiels) est impose par lalimentation continue. Par la suite, le circuit dalimentationnest plus reprsent bien quil soit indispensable au fonctionnement de lA.O.

Il possde deux entres diffrentielles (entre inverseuse - et entre non inverseuse +) ne pas confondreavec les bornes dalimentation de lA.O.

6.1.2 Gain diffrentiel.

Caractristique : on tudie la Vs = f() en boucle ouverte. On obtient la caractristique reprsente sur

la figure 6.1. On distingue deux rgimes :

51


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52 CHAPITRE 6. NOTIONS SUR LAMPLIFICATEUR OPRATIONNEL

+

+Vsat

Vsat

Vs

A.O

Vi

i

s

+

FIG . 6.1

Rgime saturVs = Vsato Vsatest lgrement infrieur la tension dalimentation (on prendsouvent Vsat = 15 V)

Rgime linaire : On peut crireVs =

o est le gain diffrentiel en boucle ouverte.

105

Conclusion : En rgime linaire, lintervalle dans lequel peut varier vaut environ 2Vsat

104 V, ce qui justifie alors la modlisation idalise pour laquelle on pose = 0 V.

Remarque : En ralit, on a en rgime linaire :

Vs = (V+ V) + a

2(V+ + V)

o a est le gain en mode commun. Le rapport

a

est le taux de rjection en mode commun (TRMC).Pour lampli-op on peut ngliger a devant car le TRMC est trs grand.

6.1.3 Courants de polarisation, courants de sortie. En entre les courants de polarisations i+ et i sont trs faibles ( nA pA). On considre dans une

modlisation idale quaucun courant ne rentre dans lA.O. En sortie le courant est quelconque,la puissance tant fourniegrce lalimentation de lA.O. Cependant

il existe galement une saturation en sortie. imax 20 mA. Consquence : la puissance maximumdlivre par lA.O vaut environ Pmax 20.103 15 = 0, 3 W.

6.1.4 Rsistance dentre diffrentielle et de sortie.

rsistance dentre diffrentielle : red = { ie }boucle ouverte. Pour un A.O, cette rsistance est trs grande(

M

T) cest dailleurs pour cette raison que les courants dentre sont trs petits.

rsistance de sortie : rs = { vs

is }ve=0. Pour un A.O, cette rsistance est assez faible, ce qui signifie quela tension de sortie ne dpendra quasiment pas du courant de sortie.

6.1.5 Modlisations

Le modle de lA.O rel est reprsent sur la figure 6.2 . Dans de nombreux cas le modle de lA.O idal suffit : on crit alors :

i+ = i = 0 (red ) = 0 en rgime linaire ( ) si > 0 alors Vs = Vsat si < 0 alors Vs = Vsat

Caractristiques lectriques.


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6.2. MONTAGES EN RGIMES LINAIRES 53

V+

-

A.O

= 0s

i

i

+

re

rs

de

-

V

+

-

A.O

s

FIG . 6.2 gauche : schma de lampli-op idal. droite : schma de lampli-op rel.

Paramtres LM741C TL081C Units A.O. idal

Gain diffrentiel 2.105 2.105

courant de sortie maximum imax 25 mA 20 log10(TRMC) 90 dB

slew rate 0,5 13 V/s tension de dcalage ed 2,0 mV 0courant de polarisation 20 0.03 nA 0

impdance dentre diffrentielle red 2,0 106 M

6.2 Montages en rgimes linaires

savoir : il faut retenir que la stabilit du rgime linaire ncessite une rtroaction de la sortie vers lentreinverseuse et quune rtroaction vers lautre entre conduit une saturation en sortie.

6.2.1 Montage suiveur

On considre le montage de la figure 6.3.

ve

10 k10 k

Rsistance

variable dun

potentiomtre

100 k

GBF

A.O

V

-

+

s

FIG . 6.3

Calcul du gain VsVe

en considrant lA.O idal et en rgime linaire. Vs = Ve quelque soit la rsistance desortie.

intrt du montage : adaptateur dimpdance. ltage de sortie ne prlevant aucune puissance sur ltagedentre, ne perturbe pas lentre.

6.2.2 Amplifi cateur inverseur

Considrons le montage de la figure 6.4.


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54 CHAPITRE 6. NOTIONS SUR LAMPLIFICATEUR OPRATIONNEL

2

V

+

A.O

-

V

R

R1

es

FIG . 6.4

lA.O fonctionne-t-il en rgime linaire ou satur ? lA.O. tant considr idal on a

Vs = R2R1

Ve

6.2.3 Convertisseur courant-tension


gJ

+

A.O

R

-

Vs Ru

is

R

FIG . 6.5

(on supposera lA.O idal et fonctionnant en rgime linaire). Vs = RJ. Quelle est linfluence de Rg et Ru sur la tension de sortie ?

Ce montage transforme une source de courant relle en source de tension idale. Ce montage peut servir amplifier le signal dune photo-diode.

6.2.4 Sommateur


Montrer (A.O. idal et en rgime linaire) que

Vs = Rn

j=1

VejRj

LA.O tait au dbut utiliser pour faire des calculs analogiques (somme, produit, calcul diffrentiel).


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6.3. AMPLI OP EN RGIME SATUR 55

R3

R2

R1

Ve3

Ve1

Ve2+

A.O

-

Vs

R

FIG . 6.6

6.2.5 Drivateur


R

C

+

A.O

-

VeVs

FIG . 6.7

Montrer queVs(t) = RC

dVedt (t)

Ce montage permet de transformer un signal triangulaire en un signal carr par exemple.

6.2.6 Intgrateur

Intgrateur idal : refaire le schma prcdent en permutant la rsistance et le condensateur. la relationdevient :

Vs(t) = Vs(0) 1RC

t0

Ve(t)dt

On observe une drive du signal de sortie vers la saturation (haute ou basse).En effet, toute composante continue et en particulier, la tension de dcalage de lA.O., si faible soit-elle

est intgre. De plus le signal fourni par le GBF comporte souvent une lgre composante continue. Toutceci entrane donc la tension de sortie crotre ou dcrotre jusqu

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Cours Electrocinetique Ampli-1