Cours electromagnétisme

ELECTROSTATIQUEet

MAGNETOSTATIQUE

S.ROBERT

Bloc Fi-ABCD

15 CM 15 TD

Conditions évaluation finale

Durée: 1h30Documents autorisés: Polycopiés de Cours,

Notes de cours et correction des TDsCalculatrice fournie

2013-2014

FI1

CHAPITRE 1 Rappels d’analyses vectorielles

Electrostatique et magnétostatique du vide

Les milieux diélectriques

Les milieux aimantés

CHAPITRE 2

CHAPITRE 3

CHAPITRE 4

S.Robert Electrostatique & Magnétostatique 2

CHAPITRE 1

RAPPELS D’ANALYSE VECTORIELLE

Champ vectoriel, potentiels, Référentiels,

Opérateurs différentiels

Préliminaires essentiels pour la

compréhension du cours :


CHAPITRE 1

I. A)

I. Notion de champ

Scalaire représentant une grandeur

physique en tout point d’une région

de l’espace.

Exemples de champs scalaires: Champ de masse volumique,

champ d’altitude, de potentiel électrique

Exemples de champs vectoriels: Champ de pesanteur terrestre,

champ de forces mécaniques, champ de vecteurs vitesses

A) Définitions

1) Champ scalaire

1) Champ vectoriel

Vecteur représentant une grandeur

physique en tout point d’une région

de l’espace.

Vecteur dont le sens dépend de la convention d’orientation de

l’espace (règle du tire bouchon ou des doigts de la main droite)

« pseudo-vecteur ou vecteur axial» « vrai vecteur ou polaire»

Vecteur ne dépendant pas de

cette convention


CHAPITRE 1

I. A)

Champ stationnaire (ou permanent)

Champ uniforme

Champ constant

En chaque point de l’espace, le champ est invariant dans le temps et ne

dépend que des variables d’espace

En chaque instant, le champ a même valeur en tout point de l’espace et

ne dépend que du temps

Champ stationnaire + Champ uniforme

Exemples : champ d’altitude


CHAPITRE 1

I. B)

Chaque composante du vecteur

dépend des coordonnées du point M

d’observation tel que:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x x

y y

z z

r x, y, z

r r x, y, z

r x, y, z

Ψ = Ψ

Ψ = Ψ = ΨΨ = Ψ

�

��

�

( ) ( )M x, y,z M r=�

z

y

x

.r�

( )rΨ��

O

M

( )x rΨ�

( )y rΨ�

( )z rΨ�

Point d’observation

( )r OM x y z= =� ��

Vecteur position

Champ défini par Ψ��

Ψ��

xe��

ye��

ze��

B) Exemple d’ un champ vectoriel


CHAPITRE 1

I. B)

ATTENTION!

x y z, ,Ψ Ψ Ψ

du vecteur Ψ��

Composantes ≠ x,y,z du vecteur r�

Exemple: ( ) ( )z zr y .eΨ = Ψ��

ye��

xe��

ze��

Invariant par translation

suivant xe��

Une seule composante

suivant Oz

Variation suivant Oy


CHAPITRE 1

I. C)

Ligne de champ

Courbe dont la tangente en chaque

point a la direction du vecteur champ en

ce pointdr��

dr K= ψ��

( )Mψ��

M( )Nψ��

N( )Oψ��

O ( )Pψ��

P

Equation: dr 0∧ ψ =�� r

�

y

z

x

Tube de champ

Surface constituée par l’ensemble des

lignes de champ qui s’appuient sur un

contour fermé

contour

En chaque

point du

contour: une

seule ligne de

champ

C) Ligne et tube de champ


CHAPITRE 1

II. A)

II. Systèmes de coordonnées

A) Coordonnées Cartésiennes x,y,z

z

y

x

O

Mxe��

ye��

ze��

m

x y zr OM x e y e z e = = + +� ��

x

y

z

<+

<+

<+

−∞ < ∞

−∞ < ∞

−∞ < ∞

dz

dy

dx

M

dV=dx.dy.dz

(d3V)

Volume élémentaire

M dy

dx

dS=dx.dy

(d2S)

Surface élémentaire

Base orthonormée ( )x y ze ,e ,e��

1) Définition

2) Éléments différentiels

x y zdr MM ' dx e dy e dz e = = + +��

M’


CHAPITRE 1

II. B) B) Coordonnées Cylindrique

y

x

O

M

m

zr OM e z e ρ= = ρ +� ��

eθ

��

eρ

��

ze��

0

0 2

z

< ρ ∞

< θ π

−∞ < ∞

<+

<

<+

Base locale orthonormée: ( )ze ,e ,eρ θ

��

1) Définition


θ

z

dρ θ

dz

dρ


dV = d d dzρ⋅ ρ ⋅ θ ⋅Surface élémentaire

dS = d dρ⋅ ρ ⋅ θ

zdr MM ' d e d e dz e ρ θ= = ρ + ρ θ +��

M’M

ρ

dθ

dρρ

Utilisation: symétrie axiale

( ), , zρ θ


CHAPITRE 1

II. C) C) Coordonnées sphérique

y

x

OM

m

rr OM r e = =� ��

eθ

��re��

eϕ

��

0 r

0

0 2

<+

<

<

< ∞

< θ π

< ϕ π

( )re ,e ,eθ ϕ

��

1) Définition


θ r

z


( )sin2dV = r dr d d⋅ θ ⋅ ⋅ θ ⋅ ϕ⋅

Surface élémentaire

( )sin d2dS = r d⋅ θ ⋅ θ ⋅ ϕ

( )rdr MM ' dr e rd e r sin d e θ ϕ= = + θ + θ ϕ��

M’

ϕ

rdθ

( )rd sinϕ θ

Utilisation: symétrie sphériqueBase locale orthonormée:

( )r, ,θ ϕ

O

M

dθ

r

dϕ

dr rdθ

r sin dθ ϕ

( )rd sinϕ θ

r sin θ


CHAPITRE 1

II. D) D) Relations entre coordonnées

Cylindriques

Sphériques Cartésiennes

Cartésiennes

( )

( )

x cos

y sin

z z

= ρ θ

= ρ θ =

y

x

O

M

m

θ

z

ρ

( ) ( )

( ) ( )

( )

x r sin cos

y r sin sin

z r cos

= θ ϕ

= θ ϕ

= θy

x

O

M

m

θ r

z

ϕ

( )r sin θ


CHAPITRE 1

III. A)

III. Opérateurs différentiels

A) Le gradient

Grandeur vectorielle rattachée à un scalaire qui prend

au point P la valeur telle que:

φ( )x, y, zφ

( ) x y zMgrad , , e e e

∂φ ∂φ ∂φφ α β γ = + +

∂α ∂β ∂γ

��

Au point on a:

( ) x y zPgrad x, y, z e e e

x y z

∂φ ∂φ ∂φφ = + +

∂ ∂ ∂

��

( )M , ,α β γ

x

y

z

∂

∂ ∂

∇ = ∂

∂

∂

��

grad φ = ∇φ��

Introduction du vecteur « nabla »:

tel que:

φdonne la direction dans laquelle il faut se déplacer pour obtenir la plus forte

pente de dans un entourage immédiat autour de P.

φorienté suivant les valeurs croissantes de et perpendiculaire aux surfaces de

niveau ( =Cte)φ

Exemple physique : E gradV= −��


CHAPITRE 1

III. B) B) Le divergent

Grandeur scalaire rattachée à un vecteur dont les composantes au point

P sont telle que:

A��

( ) ( ) ( )x y zA x, y, z A x, y, z ,A x, y, z,

yx zP

AA Adiv A

x y z

∂∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

��

La divergence mesure la dispersion d’un champ de vecteur ou

« l’accroissement de matière définie par » en un point donné

(exemple: champ vectoriel de vecteur vitesse d’un gaz compressible).

Champ convergent = divergence négative

div A A = ∇��

iAutre définition:

A��

Exemple physique : divE 0=��


CHAPITRE 1

III. C) C) Le rotationnel

Grandeur vectorielle rattachée à un vecteur dont les composantes au

point P sont telle que:

A��


Le rotationnel d’un vecteur mesure la tendance à pivoter qu’aurait un petit

objet situé au point P et sur lequel la grandeur vectoriel aurait un effet

d’entraînement.

y yz x z xP x y z

A AA A A Arot A e e e

y z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

��

rot A A = ∇ ∧��

Autre définition:

mesure locale du tourbillonnement

La direction du rotationnel donne l’axe de rotation et le sens est fixé suivant la

convention du tire bouchon.

Exemple physique :0rot B j= µ

��


CHAPITRE 1

III. D)

1)D) Le laplacien

( ) 2 ∆φ = ∇ ∇ φ = ∇ φ��

iAutre définition:

Grandeur scalaire rattachée à un scalaire qui prend au

point P la valeur telle que:

φ( )x, y, zφ

( )2 2 2

P 2 2 2x, y, z

x y z

∂ φ ∂ φ ∂ φ∆ φ = + +

∂ ∂ ∂

1) Scalaire

On parle également de « concentration de » . Mesure les irrégularités dans

les valeurs d’une fonction (« excès par rapport à la moyenne »)

φφ

Une fonction assez régulière est de Laplacien nulφ

Exemple physique :0

Vρ

∆ = −ε


CHAPITRE 1

III. D)

2)

Mesure les irrégularités en P pour chacune des composantes de dans son

entourage immédiat sous la forme d’un vecteur. (si la pente est constante dans

l’entourage immédiat )

2) Vectoriel

Grandeur vectorielle rattachée à un vecteur dont les composantes au

point P sont telle que:

A��


2 2 22 2 2 2 2 2y y yx x x z z z

P x y z2 2 2 2 2 2 2 2 2

A A AA A A A A AA e e e

x y z x y z x y z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∆ = + + + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

��

2 2 2 2

x x y y z zA A A e A e A e ∆ = ∇ = ∇ + ∇ + ∇��

Autre définition:

PA 0∆ =

��

A��

donne la direction dans laquelle il faut se déplacer pour obtenir la plus forte

irrégularité de A��


CHAPITRE 1

III. E)

1)E) Autres référentiels

Extension aux autres systèmes de coordonnées:

Définitions précédentes valables dans le

système de coordonnées cartésiennes

1) Cylindrique

P

1grad

z

∂φ ∂ρ

∂φφ =

ρ ∂θ ∂φ

∂

��

( ) zP

A A1 1div A A

z

θρ

∂ ∂∂= ρ + +

ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂

��

( )

z

zP

AA1

z

A Arot A

z

A1A

θ

ρ

ρ

θ

∂∂−

ρ ∂θ ∂ ∂ ∂

= −∂ ∂ρ

∂ ∂ ρ −

ρ ∂ρ ∂θ

��

2 2

P 2 2 2

1 1

z

∂ ∂φ ∂ φ ∂ φ∆ φ = ρ + +

ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂θ ∂


CHAPITRE 1

III. E)

2)2) Sphérique

( )

P

r

1grad

r

1

r sin

∂φ

∂∂φ

φ = ∂θ

∂φ θ ∂ϕ

��

( )( )

( )( )( )

2

P r2

A1 1 1div A r A A sin

r r r sin r sin

ϕ

θ

∂∂ ∂= + θ +

∂ θ ∂θ θ ∂ϕ

��

( )( )( )

( )( )

( )

rP

r

A1A sin

r sin

A1 1rot A rA

r sin r

A1rA

r r

θϕ

ϕ

θ

∂ ∂θ − θ ∂θ ∂ϕ

∂ ∂= −

θ ∂ϕ ∂ ∂∂ − ∂ ∂θ

��

( )( )

( )

( )( )

( )( )

22

P 2 2 2 2 2

2 2

P 2 2 2 2 2

1 1 1r sin

r r r r sin r sin

1 1 1r sin

r r r sin r sin

∂ ∂φ ∂ ∂φ ∂ φ ∆ φ = + θ +

∂ ∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ

∂ ∂ ∂φ ∂ φ ∆ φ = φ + θ +

∂ θ ∂θ ∂θ θ ∂ϕ


CHAPITRE 1

III. F) F) Propriétés des opérateurs

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

grad grad grad

div A A div A div A

rot A A rot A rot A

φ + φ = φ + φ

+ = +

+ = +

��

��

��

( )

( )

UV V UU V

x x x

V V

x x

∂ ∂ ∂= + ∂ ∂ ∂

∂ λ ∂ = λ ∂ ∂

Intervention des dérivées dans

les définitions des opérateursLois de la dérivation

applicables

( ) ( )( ) ( )

div A div A grad A

rot A rot A grad A

φ = φ + φ

φ = φ + φ ∧

��

i

��

( ) ( ) ( )

( )1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 2 1

grad grad grad

div A A A rotA A rotA

φ φ = φ φ + φ φ

∧ = − +

��

��

i i

( )( )( )( )

( )( ) ( )

div grad

rot grad 0

div rotA 0

rot rotA grad divA A

φ = ∆φ

φ =

=

= − ∆

��

��

��

��

Il est alors facile de démontrer les propriétés suivantes:


CHAPITRE 1

IV. A)

IV. Intégrales vectorielles

A) Circulation d’un vecteur

La circulation d’un vecteur le long de la courbe ouverte et orientée (C)

joignant deux points M1 et M2 est donnée par:

F�

( )( ) ( ) ( )2

1

M

C

C M

F r F r dr F r drΓ = ⋅ = ⋅∫ ∫� � � � ��

M1 M2

r�

dr��

F�

x

y

z 1) Définition

F�

est constant le long de (C):

2) Cas particuliers

( )( )2

1

M

C

C M

F r F dr F drΓ = ⋅ = ⋅∫ ∫� � � ��

:accroissement de au cours du déplacement élémentaire du

point M

dr��

r�


CHAPITRE 1

IV. A)

2)

F�

F grad = φ� ��

(C) est fermée:

( ) ( )2 1

C C

F dr grad dr M M ⋅ = φ⋅ = φ − φ∫ ∫� ��

C C

F dr F dr⋅ = ⋅∫ ∫� ��

�

x

y

z

r�

dr��F

�

M1=M2

est un gradient

Si M1=M2 la circulation du gradient d’un champ est nulle (conservatif)

La circulation est indépendant du trajet entre M1 et M2

Le gradient d’un champ scalaire est un champ vectoriel conservatif le long d’une courbe fermée

Remarque: Dans la suite la dépendance de en r sera omise par soucis de clarté

F�


CHAPITRE 1

IV. B)

1)B) Flux d’un vecteur

Le flux d’un vecteur à travers une surface ouverte et orientée (S) est

donnée par:

x

z1) Surface ouverte

F�

( )( )S

S

F r F dSφ = ⋅∫∫� � � ��

F�

MExemples: un disque,

un verre, un abat-jour

y

Partie

vide

n� n

�

:vecteur unitaire

normal à l’élément

de surface dS

dS n dS =��

dS

avec

Orientation d’une surface ouverte (S) en un point P:

traçage un contour fermé (C) en P

Choix d’un sens de parcours arbitraire sur (C)

Application de la règle du tire bouchon pour définir le sens de n�


CHAPITRE 1

IV. B)

2)

Pour une surface (S) fermée (délimitant un volume):

x

z2) Surface fermée

n�

n�

( )( )S

S

F r F dSφ = ⋅∫∫� � � ��

�

F�

M Exemples: un ballon

(sphérique), chambre à

air d’un pneu (torique)

y

dS

Orientation d’une surface fermée (S) en un point P:

Par convention, orientation de vers l’extérieur

F�

r�

Le rotationnel d’un vecteur est un champ vectoriel à flux conservatif

à travers une surface fermée

est un rotationnel: F rot A =� ��

( )( )S

S

F r rot A dS 0 φ = ⋅ =∫∫� � ��

�


CHAPITRE 1

IV. C)

1)C) Transformations d’intégrales

m M

m C M S

F dl rot F dS∈ ∈

⋅ = ⋅∫ ∫∫��

�

F�

La circulation de le long d’une courbe fermée (C) est égale au flux du rotationnel

de ce vecteur à travers une surface quelconque (S) s’appuyant sur le contour (C)

F�

(C)

( )C FΓ�

m

(S)

Mrot F ��

Mn�

dS

( )S Mrot Fφ�� Mrot F

��

Mn�

dS

(S)

(S)

( )S Mrot Fφ��

Mrot F ��

Mn�

dS (S)

m décrit (C) et M décrit (S)

1) Théorème de Stokes


CHAPITRE 1

IV. C)

2)

m M

m S M V

F dS divF d ∈ ∈

⋅ = τ∫∫ ∫∫∫��

�

F�

Le flux d’un vecteur à travers une surface fermée (S) est égal à l’intégrale de la

divergence de ce vecteur étendue au volume (V) intérieur à la (S)

(ou théorème de la divergence)

m décrit (S) et M décrit (V)

(S)

(V)

F �

mn�

MF div �

2) Théorème d’Ostrogradsky


CHAPITRE 1

IV. C)

3) et 4)

M m

V S

grad d dS φ τ = φ∫∫∫ ∫∫��

�

3) Formule du gradient

M m

V S

rot F d dS F τ = ∧∫∫∫ ∫∫��

�

4) Formule du rotationnel

(S)

(V)m

n�

M

Remarque: Dans la suite les différents points d’application des

opérateurs différentiels seront omis


CHAPITRE 1

V. A)

V. Potentiels

A) Potentiel scalaire

F grad = − φ� ��

dérive d’un potentiel scalaire s’il existe un scalaire tel que: φ

C

F dr 0⋅ =∫� ��

�

Conséquences sur les vecteurs dérivant d’un potentiel scalaire:

rot F 0 =��

Propriété intégrale

Propriété locale

F�

La circulation sur une courbe fermée

d’un champ qui dérive d’un potentiel scalaire se conserve


CHAPITRE 1

V. B) B) Potentiel vecteur

B rot A =��

dérive d’un potentiel vecteur s’il existe un vecteur tel que: A��

Conséquences sur les vecteurs dérivant d’un potentiel vecteur:

S

B dS 0 =∫∫��

�

divB 0=��

Propriété intégrale

Propriété locale

B��

Le flux à travers une surface fermée d’un

champ qui dérive d’un potentiel

vecteur est conservatif