Cours Estimation

8/14/2019 Cours Estimation

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Estimation


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Contenu du cours

Sondages

Mesures statistiques sur un chantillon

Estimateurs


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Mesures statistiques sur un chantillon

Sur un chantillon, on peut mesurer lesmmes types de paramtres de position et

de distribution que sur une population Utiliss comme estimateurs des paramtresinconnus dans la population


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Paramtres de position

Moyenne: on appelle m oula moyenne dune variable quantitativecalcule sur un chantillon, tant la

moyenne inconnue dans la population.Avec x: les valeurs de la variable, x lasomme de ces valeurs et n la taille delchantillon

x

m =

x

nLa moyenne m est lestimateur de la moyenne inconnue


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Paramtres de position

Pourcentage: on appelle p un pourcentageobserv sur un chantillon, P tant lepourcentage inconnu dans la population.

Avec n la taille de lchantillon et k lenombre dindividus prsentant lacaractristique

p =k

nLe pourcentage p est lestimateur du pourcentage P inconnu


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Paramtres de dispersion

Variance empirique, dun chantillon Avec x: les valeurs de la variable, m: la moyenne

de lchantillon et n la taille de lchantillon

v =

xm( )n

2

Peut-on estimer 2 , la variance au niveau de lapopulation par v???


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NON

s2=

n

n 1v =

xm( )n 1

2

NB: Lestimateur v est biais

v =

xm( )n

2

E(v) =n 1

n

2


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Variance: on appelle s2la variance dune variablequantitative calcule sur un chantillon, estimateurde la variance 2 inconnue dans la population.Avec x: les valeurs de la variable, m: la moyenne

de lchantillon et n la taille de lchantillon

s

2=

xm( )n 1

2

=

x2( )

x( )2

n

n 1

La variance s2 est lestimateur de la variance 2 inconnue


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Ecart type: on appelle s lcart type calcul sur lesvaleurs de lchantillon, tant lcart typeinconnu dans la population.

Lcart type s est lestimateur de lcart type inconnu

s = s2


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Estimation dun paramtre Dfinir les paramtres dune population partir

des paramtres observs sur un chantillon

inconnu

POPULATION ECHANTILLON

observ

La valeur observe a fort peu de chances dtre exactement

la valeur inconnue de la population elle est nanmoins assez proche si lchantillon est reprsentatif en rptant lchantillonnage, on trouverait dautres valeurs,toutes assez proches les unes des autres


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On a mesur le taux de fer srique de 20 individus. Ce taux, exprim en g/100mlest le suivant: 83,0; 98,0; 183,3; 119,6; 78,5; 162,6; 155,7; 147,3; 100,1;139,2; 172,1; 102,0; 162,8; 113,8; 157,4; 128,5; 136,2; 129,3; 131,6; 157,3.

Calculer les estimations de la moyenne, de la variance et de lcart-type du taux defer srique dans la population partir de cet chantillon.

La moyenne du taux de fer srique dans la population est estime par m,note aussi

x

m =x =

xi

i=1

n

n

=132,915g /100ml

La variance 2est estime par s2

s2=

(xim)2

i=1

n

n 1

= 900

Lcart type est estim par s


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Estimation dune moyenne


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Fluctuation dchantillonnage dune moyenne

chantillon 1 -> m1

chantillon 2 -> m2m1 m3 m2


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Thorme central limite:

La moyenne dune variable quantitative calculesur un chantillon est une variable alatoire

Qui suit une loi normale (convergence vers une loinormale)

Cette loi normale est centre sur la moyenne dela population


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Estimation: intervalle de pari

On se pose le problme suivant. On s'apprte raliser une srie d'expriences, c'est--dire mesurer la variableXsur un chantillon de n

individus. Peut-on construire un intervalle [a,b]tel que la probabilit pour que la moyenneobserve que l'on s'apprte calculer appartienne cet intervalle ait une valeur donne? Il s'agitdonc de construire un intervalle qui contienne

avec une probabilit fixe la valeur observe quel'on va obtenir.


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Rsultat: intervalle de pari de la moyenne

Si, dans une population, une v.a. X a une moyenne et une variance 2, la moyenne des n valeursdun chantillon a une probabilit 1- dtrecomprise entre

z

n

+ z

n

et

Condition de validit: n 30


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Lcart type de la moyenne m peut tre estim par:

sm

=

s

n

Avec s: cart type des valeurs de lchantillonn: taille de lchantillon

Applicable ssi la taille de lchantillon est ngligeable parrapport la taille de la population (10%).

ATTENTION: ne pas confondre s et sm


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Intervalle de confiance dune moyenne

Un intervalle de confiance dun paramtreinconnu est une fourchette de valeurs danslaquelle le paramtre inconnu quon veut estimer a

une probabilit 1- de se trouver (et de ne passe trouver)

m z

sm< < m + z

sm

Ici, on connatm et on cherche dterminer .


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On cherche dterminer

m z

n

< < m + z

n

est inconnu. On le remplace par son estimation s.

m z

s

n

< < m + z

s

n


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Lintervalle de confiance au risque permettantlestimation de partir dun chantillon (m, s)est

La valeur recherchea une probabilit 1- dese trouver dans cet intervalle.

Condition

m z

s

n

n 30


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Machine A garantie par le constructeur comme faisant descomprims de poids moyen 0,80g avec un cart-type de 0,02gEchantillon A prlev 15 comprims mA= 0,79 g

X poids des comprims suit loi normale

Echantillon de 15 cps (n)

Machine A: connu (0.80) connu (0.02)

Intervalle de pari de la moyenne du poids msur un chantillon vaut:

n;+

n


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Machine A garantie par le constructeur comme faisant descomprims de poids moyen 0,80g avec un cart-type de 0,02gmA= 0,79 g

n= 15 , = 0.80; =0.02

Intervalle de pari de la moyenne du poids msur un chantillon vaut:

n

;+

n

0.789;0.811

=1.96


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Estimation dun pourcentage


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Estimation dun pourcentage Etant donn une population o une proportion P des

individus possde un certain caractre. Il sagit destimer P partir de p, proportion trouve dans un chantillon detaille n.

On sait que np suit une loi binomiale B(n,P).

Si n est petit on utilise les calculs de la loi binomiale

Si n est grand,

np suit N nP; cart - type = nP(1- P)( )

p suit loi N P; ecart - type =P(1- P)

n


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Fluctuation dchantillonnage dun pourcentage Un pourcentage observ sur un chantillon est une

variable alatoire. Il varie selon les chantillons.

Cette variable suit une loi normale (convergencevers une loi normale)

Cette loi normale est centre sur le pourcentage Pde la population


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Rsultat: intervalle de pari dun pourcentage

Si, dans une population, on a la proportion P, lepourcentage p sur les n valeurs dun chantillon aune probabilit 1- dtre comprise entre

P z

P(1 P)

n

P + z

P(1 P)

n

et

Condition de validit: nP et n(1 P) 10


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Ecart type dun pourcentage P peut tre estimpar:

sp= p(1

p)

n

Conditions de validit: n ngligeable par rapport la

taille de la population (


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Intervalle de confiance dun pourcentage Le but est destimer P partir dune observation

sur un seul chantillon. Thorme central limite Condition

Lintervalle de confiance au risque permettantlestimation de P partir dun chantillon (p, sp)est

p

z sp

np et n(1 p) 10

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