Cours Et Exercice RDM

Chapitre 1

INTRODUCTION

Ce cours expose les mthodes gnrales de calcul des sollicitations et des d-placements des structures hyperstatiques. Il consacre galement une large place aux problmes isostatiques jugs ncessaires la bonne clart de l'expos. Les mthodes particulires classiques sont galement prsentes afin de donner l'tudiant des moyens de calcul pratiques mais aussi rigoureux que possible. Ce chapitre est consacr des rappels.

1.1 CLASSIFICATION DES CORPS - NOTION DE POUTRE Les corps qu'on rencontre et qu'on sera

amen tudier peuvent tre classer en fonction de leurs dimensions. On distingue :

a) Les poutres (ou barres) : Une dimension est beaucoup plus grande

que les deux autres qui sont de mme ordre de grandeur.

La poutre est l'lment le plus rpandu en construction. Les poutres sont associes, entre elles ou d'autres types d'lments pour constituer des systmes ou structures.

DEFINITION : une poutre est un solide engendr par une aire plane () dont le centre de gravit dcrit une courbe G1G2. Le plan P contenant restant normal la courbe G1G2 (Figure 1.1). Section : l'aire est appele section droite, ou plus simplement section de la poutre.

Fibre : le volume engendr par un lment d de l'aire est dsign par fibre de la poutre.

Fibre moyenne : la courbe G1G2 est appele fibre moyenne ou axe moyen de la poutre. C'est le lieu gomtrique des centres de gravit des sections de la poutre.

Figure 1.1

P

G1 G2

d

2 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

Poutre gauche : c'est une poutre dont la fibre moyenne est une courbe gauche.

Poutre plane : il s'agit d'une poutre dont la fibre moyenne est une courbe plane (c'est--dire contenue dans un plan). Poutre droite : lorsque la fibre moyenne d'une poutre plane est un segment de droite, on parle de poutre droite.

Poutre plan moyen : c'est une poutre possdant un plan de symtrie qui con-tient la fibre moyenne. Ce plan est dsign par plan moyen.

Les poutres plan moyen charges dans ce plan se rencontrent frquemment et constituent un des problmes essentiels traits par la Rsistance des Mat-riaux.

Nous avons suppos la section constante et dans ce cas la poutre est dite section constante ou poutre prismatique. Il arrive aussi qu'on soit amen, gnra-lement pour des raisons d'conomie, choisir des sections variables ; on parle dans ce cas de poutre section variable.

b) Les plaques, coques et membranes : Il s'agit de corps dont deux dimensions, de mme ordre de grandeur, sont

beaucoup plus grandes que la troisime (Figures 1.2a et 1.2b). Ces types d'l-ments ne sont pas traits ici.

c) Les poutres parois minces ou poutres coques : Les trois dimensions sont significatives et aucune n'est faible comparative-

ment aux autres (Figure 1.2c).

1.2 SYSTEMES ET CHARGES CONSIDERES Les systmes qui seront considrs dans ce cours seront constitus de poutres

isoles ou de poutres relies les unes aux autres. Les poutres peuvent tre assem-bles de faon rigide (ex. portiques) ou de manire permettre certaines possibi-lits de dplacement - degrs de libert - (ex. systmes articuls).

Les poutres (ou plus exactement leurs axes moyens), les charges extrieures et les ractions des appuis des systmes tudis dans ce cours seront gnrale-ment situes dans un mme plan. Dans ce cas, on dit qu'on a affaire des sys-tmes plans.

Les charges qui sollicitent les systmes comprennent : - le poids propre (action de la pesanteur), - les forces et les couples concentrs,

(a) (b) (c)

Figure 1.2

I n t roduc t ion 3

- les forces et les couples rpartis.

Il faut signaler qu'on entend par force concentre une force rpartie sur une petite surface (ex. action d'une roue).

Par ailleurs, les charges sont supposes tre appliques lentement, de zro leur valeur finale. On dit dans ce cas que les charges sont appliques statique-ment.

Enfin, nous supposerons que les charges extrieures sont directement appli-ques aux fibres moyennes des poutres. Sous cette hypothse, les poutres peu-vent tre reprsentes par leurs axes moyens.

1.3 APPUIS DES SYSTEMES PLANS Les systmes sont relis l'extrieur par des liaisons appeles appuis, et o

apparaissent des ractions qui ragissent l'action des forces appliques. Les ractions et les charges exerces constituent un systme de forces en quilibre, car les constructions que nous considrons sont toujours en quilibre.

La classification des appuis se fait d'aprs le nombre de degrs de libert (ddl) (c'est--dire les possibilits de mouvement) qu'ils laissent au systme et d'aprs la nature des ractions qu'ils peuvent exercer sur lui.

a) L'appui simple (Figure 1.3) Il a deux degrs de libert :

- la rotation autour de l'appui, - la translation paralllement au support de l'appui.

La raction est connue par son point d'application (point de contact du sys-tme avec l'appui) et par sa direction (elle est perpendiculaire au support). Seule l'intensit reste dterminer.

En rsum, l'appui simple se caractrise par : 2 degrs de libert et 1 compo-sante de raction. La figure 1.3a montre le principe de fonctionnement de l'appui simple. Les figures b, c et d indiquent les reprsentations courantes. La reprsen-tation adopte ici est celle de la figure d.

b) L'appui double (Figure 1.4) Il a un seul degr de libert, la rotation autour de l'appui. Toute translation

est par contre empche.

Dans ce cas, la raction de l'appui est connue uniquement par son point d'ap-plication, le point de contact du systme avec l'appui (point A) (la ligne d'action

A

R A

(b) (c) (d) (a)

Figure 1.3 : l'appui simple.


de la raction passe par A). La raction est dcompose suivant deux directions perpendiculaires et les deux composantes sont dterminer. L'appui double prsente donc 1 degr de libert et 2 composantes de raction.

c) L'encastrement (Figure 1.5) Il n'a aucun degr de libert. Tout d-

placement est empch. La raction est un vecteur pouvant occuper n'importe quelle position du plan. On peut toutefois d-composer la raction en 3 composantes : - deux composantes suivant deux di-

rections perpendiculaires et passant par A,

- un couple appliqu en A.

En dfinitive, l'encastrement se caractrise par : 0 degr de libert et 3 com-posantes de raction.

d) Appui dformable - Appui lastique Un appui qui peut subir un dplacement dans la direction d'une composante

de raction est dit dformable (ex. sol compressible). Si le dplacement est proportionnel la composante de raction qui l'a pro-

voqu, l'appui dformable est dit lastique.

1.4 PRINCIPE GENERAL D'QUILIBRE - QUATIONS DQUILIBRE Les conditions ncessaires et suffisantes pour qu'un systme soit en quilibre

sont : a) les sommes des projections de toutes les forces sur 3 axes passant par un

point quelconque et non situs dans un mme plan doivent tre nulles, b) les sommes des moments par rapport chacun des trois axes doivent tre

nulles.

Pour une construction (structure), la vrification de ces conditions signifie qu'elle ne peut se dplacer comme un tout (corps rigide), autrement dit elle est en quilibre.

R A

R A

A

Art. mtallique Art. de Freyssinet

Reprsentation adopte

Figure 1.4 : l'appui double.

R A

Reprsentation

Figure 1.5 : l'encastrement

CA

I n t roduc t ion 5

Soient oxyz un repre trirectangle et Fx, Fy et Fz les projections sur les axes ox, oy et oz d'une force quelconque. Les conditions d'quilibre (a) et (b) s'cri-vent (cas gnral) :

F MF M

F M

x x

y y

z z

= =

= =

= =

0 00 00 0

///

(1.1)

Les quations (1.1) sont appeles quations d'quilibre de la statique ou six quations universelles d'quilibre.

Dans le cas d'un systme plan, xy par exemple, le systme d'quations (1.1) se rduit :

F F Mx y= = =0 0 0 / (1.2)

o est un axe quelconque perpendiculaire au plan xy. Notons que les quations d'quilibre de la statique sont crites en travaillant

sur la configuration initiale du systme, c'est--dire non dforme ; autrement dit les dformations sont ngliges.

1.5 PRINCIPE DE LA COUPE - LEMENTS DE RDUCTION Considrons la poutre charge reprsente la figure 1.6. Le corps tant en

quilibre sous l'action des charges extrieures et des ractions (supposes con-nues), chaque partie de ce corps se trouve galement en quilibre.

Pratiquons (par l'esprit) une coupe dans la poutre suivant le plan vertical yz, de manire avoir deux tronons. Intressons-nous par exemple la partie de gauche. Le tronon considr est en quilibre sous l'action des sollicitations qui lui sont appliques, des composantes de raction de l'appui A et de l'action du tronon de droite supprim.

L'action du tronon de droite sur le tronon de gauche peut tre remplace par : une force rsultante R (Rx, Ry et Rz) et un couple rsultant C (Cx, Cy et Cz) agissant au centre de gravit de la section . Les six composantes reprsentant l'action de la partie de droite sur la partie de gauche peuvent tre dtermines l'aide des quations de la statique exprimant l'quilibre de la partie considre (3 quations d'quilibre de translation et 3 quations d'quilibre de rotation).

R F F F

C C C Cx x y y z z

x x y y z z

= = =

= = =

R R

C C/ / / (1.3)

A

z

x

y B

Figure 1.6


Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz s'appellent lments de rduction (rduction de toutes les forces droite de la section ) dans la section de la poutre considre. En RDM, on utilise plutt les notations Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz qui dsignent l'effort normal (Nx), les efforts tranchants (Ty et Tz), le moment de torsion (Mt) et les moments flchissants (My et Mz). Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy, Cz et les grandeurs Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz ne diffrent que par le signe.

Les composantes Rx, Ry, Rz, Cx, Cy et Cz sont positives si elles sont orientes dans les sens positifs des axes x, y et z du tridre direct xyz (Figures 1.7b et 1.7c). Par contre, pour Nx, Ty, Tz, Mt, My et Mz nous adopterons des conventions de signes particulires ( 1.6) pour des raisons pratiques qui apparatront plus loin (Figures 1.7b et 1.7d).

La composante Nx (Rx) agit normalement la section ; quant aux efforts Ty et Tz (Ry et Rz), ils s'exercent tangentiellement (transversalement) la section.

La composante Mt s'appelle moment de torsion (Cx couple de torsion), car il tord la poutre. Convenons tout de suite de considrer un moment de torsion comme positif s'il tend faire tourner la section considre dans le sens horlo-gique.

Les deux dernires composantes, My et Mz, sont appeles moments de flexion (Cy et Cz couples de flexion), car ils flchissent la poutre. La seule diffrence entre les moments et les couples de flexion rside comme on l'a soulign dans la convention des signes (Figure 1.7). Les couples Cy et Cz sont positifs s'ils sont orients dans les sens positifs des axes y et z du tridre direct xyz. Pour les mo-ments My et Mz, on a l'habitude de les considrer comme positifs si les centres de courbure de la poutre flchie sont du ct des z ngatifs pour My et du ct des y ngatifs pour Mz.

Ceci nous amne prciser les conventions de signes que nous utiliserons. Mais auparavant, remarquons que dans le cas d'un systme plan, xy par exemple, les lments de rduction se rduisent : un moment flchissant (M = Mz), un effort tranchant (T = Ty) et un effort normal (N = Nx).

Enfin, il convient de noter que si on avait gard le tronon de droite et sup-prim celui de gauche, on aurait trouv dans la section des lments de rduction de mme intensit et de mme nature que ceux trouvs en considrant le tronon de gauche. Il serait absurde en effet de trouver dans la mme section des sollici-tations diffrentes selon qu'on la regarde de la gauche ou qu'on la regarde de la droite.

Ry=Ty

Rx=Nx

Tz=-Rz

Rz z

x

y

Cz

Cx

Cy Mt=-Cx

My=Cy Mz=-Cz

(d) (c) (b) (a) Figure 1.7

I n t roduc t ion 7

1.6 DEFINITIONS ET CONVENTIONS DES SIGNES DE N, T, M Considrons un systme, de prfrence plan pour plus de clart, constitu par

une poutre prismatique (Figure 1.8).

1.6.1 Effort normal D'aprs ce qu'on vient de voir (relations 1.3 notamment), l'effort normal N

dans la section est gal la somme algbrique des projections sur l'axe des x de toutes les forces (charges extrieures et ractions d'appui) agissant sur le tronon gauche de (*).

N F= cos (1.4a) Un effort normal exerant une traction sur la section tudie sera considr

comme positif.

1.6.2 Effort tranchant L'effort tranchant T dans la section est gal la somme algbrique des pro-

jections sur l'axe des y de toutes les forces agissant sur la partie de la poutre situe gauche de la section (*).

T F= sin (1.4b) Nous conviendrons de considrer un effort tranchant comme positif s'il a ten-

dance faire tourner la section dans le sens horlogique.

1.6.3 Moment flchissant Le moment flchissant M dans la section est gal la somme algbrique

des moments crs dans cette section par toutes les sollicitations agissant sur le tronon gauche de (*).

M C Fd= + sin (1.4c) o C et d reprsentent un couple concentr courant et le bras de levier de la com-posante transversale de la force courante F.

_____________________________________

(*) Nous avons considr le tronon gauche de mais il est bien vident qu'on obtiendrait des efforts de mme intensit et de mme nature si on considrait le tronon situ droite de la section tudie.

Figure 1.8

F

()

N

M T


Un moment flchissant qui provoque des tractions dans les fibres infrieures d'une poutre horizontale sera considr positif. Dans le cas des pices obliques ou verticales, on peut considrer comme positif un moment qui tend les fibres de gauche.

1.7 DIAGRAMMES N, T, M La construction des diagrammes des lments de rduction constitue une

tape essentielle dans toute tude de RDM. Un diagramme est un graphe qui indique la valeur (intensit et nature) de la sollicitation considre dans toutes les sections du systme tudi. Ils sont tracs partir des relations (1.4). Les diagrammes des lments de rduction permettent de localiser les sections les plus sollicites (siges des contraintes les plus leves) et servent au dimension-nement des diffrents lments des structures.

Dans la construction des dia-grammes, les valeurs positives et ngatives sont portes de part et d'autre d'un axe-origine. Par ail-leurs, pour le diagramme du mo-ment flchissant, on a pour habi-tude de porter les ordonnes tou-jours du ct des fibres tendues.

Pour viter tout risque de mauvaise interprtation des dia-grammes, il est vivement recom-mand d'ajouter dans chaque aire des diagrammes les prcisions suivantes : - diagramme de N : la lettre C

ou T, selon qu'il s'agisse d'un effort de compression ou d'un effort de traction.

- diagramme de T : le sens de la rotation provoque par l'effort (voir dia-gramme de T).

- diagramme de M : on peut ajouter un arc pour prciser le sens de la courbure provoque par le moment (voir diagramme de M).

F 5 2= t A

2m 2m 1m

5t 5tm 5t

C=5tm 45

H=5t

RA=4t RA=1t

N

T

M

5t

1t

2 7 8

Figure 1.9

4t

I n t roduc t ion 9

1.8 RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS Nous avons vu que les lments

de rduction dans une section repr-sentent l'action sur la partie de la poutre situe d'un ct de cette sec-tion, des forces qui s'exercent sur l'autre partie. Ceci ne veut nullement dire que la section considre soit soumise des sollicitations (N - T - M - Mt) concentres en son centre de gravit (ou ailleurs). A l'intrieur d'un corps il n'y a pas d'efforts concentrs, mais uniquement des contraintes dont la sommation est quivalente aux lments de rduction.

Les relations entre les efforts et les contraintes se dduisent facilement (Fi-gure 1.10).

N dx x=

T dy xy= T dz xz= (1.5)

M ydz x= M zdy x= M y z dt xz xy= + ( ) (1.6)

1.9 RELATIONS DIFFERENTIELLES ENTRE q, T ET M Considrons par exemple une poutre droite symtrique charge dans son plan

de symtrie (mais non soumise une rpartition de moments toutefois) et isolons par deux section (1 et 2) un tronon dx sur lequel agit une charge rpartie transversale q (Figure 1.11).

Sur le tronon dx, les gran-deurs T et M subissent les va-riations dT et dM. L'quilibre du tronon est rgi par les quations de la statique.

L'quation d'quilibre de translation verticale s'crit :

Fv = 0 d'o on tire : q = - dT/dx (1.7a) A partir de l'quation de l'quilibre de rotation, on obtient :

M/o = 0 d'o on tire : T = dM/dx (1.7b) et d'aprs (1.7a) :

q = - d2M/dx2 (1.7c) Les relations (1.7) permettent de tirer quelques enseignements qui facilitent

la construction et le contrle des diagrammes de T et de M. On peut en dduire essentiellement :

Figure 1.10

z

x

y

xz xy

x

1 2

q

M

T

dx

M+dM

T+dT

Figure 1.11

O


1- L'effort tranchant est la tangente de l'angle form par la tangente au dia-gramme de M au niveau de la section considre et l'axe longitudinal de la poutre. De mme, la valeur absolue de la charge rpartie reprsente la tan-gente de l'angle form par la tangente au diagramme de T et l'axe longitudi-nal de la poutre.

2- L o T est nul, M a une valeur extrmale. 3- L o T passe par la valeur zro de faon discontinue, le diagramme de M

perd son allure monotone (voir figure 1.9). 4- L o T subit un saut mais sans passer par zro, le diagramme de M prsente

un point anguleux (M change de pente). 5- La variation de M sur un tronon donn est gale l'aire du diagramme de T

sur ce tronon. 6- La concavit du diagramme de M est tourne dans le sens contraire de la

charge q. 7- Le diagramme de T doit se refermer (en partant de l'extrmit gauche). Ce

corollaire exprime la nullit de la rsultante des forces et permet en mme temps de retrouver les forces localises.

8- Le diagramme de M d'un systme symtrique (gomtrie et chargement) est symtrique tandis que celui de T est antisymtrique.

1.10 EXERCICES

Calculer les ractions des systmes reprsents ci-aprs.

Remarque : Dans les rponses donnes, une raction positive

signifie qu'elle est dirige vers le haut s'il s'agit d'une composante

verticale et de gauche droite lorsqu'il s'agit d'une composante

horizontale. Pour l'effort tranchant, l'effort normal et le moment

flchissant, les conventions des signes sont celles du 1.6.

Exercice 1.1 Exercice 1.2

Rp. : VA = 4.5 t, VB = 1.5 t Rp. : VA = 9 t, VB = 3 t


Rp. : VA = 3.34 t, VB= 4.66 t Rp. : VA= 8 t, VB = 16 t


Rp. : VA=qL/6, VB=qL/3 Rp. : VA= 1.7 t, VB= 5.8 t

F1=9t F3=3t

F2=6t

B A

3m 3.5m 2.5m 1m

q=3t/m

B A

4m 4m

q=3t/m

2m 6m

B

A F1=6t F2=2t

4m 2m 2m

A B

q

A B

L

q=2t/m

F=33t B A

4.5m 2.5m 2m

In tro duc t ion 12


Rp. : VA=-0.83 t, VB=2.83 t, HA=-1 t Rp. : VA=-C/(a+b), VB=C/(a+b)


Rp. : VA=2.6 t, VB=2.4 t Rp. : CA=-21 tm, VA=6 t


Rp. : CA=-7.5 tm, VA=5 t, HA=-1 t Rp. : VA=5.33 t, VB=0.67 t


B A

F2=2t F1=1t

2m 2m 4m

1m A B C

b a

q=2t/m

B A C=2tm F=5t

2m 1.5m 3m

A

3m 3m 3m

C=6tm

F=1t

q=1t/m

5m

A

5m

4

q1=4t/m

4m

q2=2t/m

C=16tm

q=3t/m

B A

4m

In tro duc t ion 13

Rp. : VA=-3 t, VB=3 t Rp. : VA=3P/7, VB=4P/7


Rp. : VA=2.83 t, VB=4.67 t Rp. : VA=3.17 t, VB=3.83 t

Tracer les diagrammes de M, T et N des systmes reprsents ci-

aprs. Exercice 1.17 Exercice 1.18

Rp. : TA=TC(g) =-TD(d)=-TB=P Rp. : MC=-MD=Pa/2

TC(d)=TD(g)=0, MC=MD=Pa TA=TC(g)=TD(d)=TB=-TC(d)=-TD(g)=P/2


Rp. : TA=8 t, TC=TB=-4 t Rp. : TA=TB=TD=-C/(a+b)

MC=8 tm MD(g)=-Ca/(a+b), MD(d)=Cb/(a+b)

C=6tm C=6tm

B A

l=4m

A B

2a a 2a 2a

P

2t/m 1.5t/m 1t/m

A

4m 2m 2m

B

1.5t

a a=2m a/2 a/2

B A

2t

a a a

B A

P P

a a 2a

B A

P

P

C D

D

C

a 2a=4m

B A

q=3t/m

a b

B A C

C D

In tro duc t ion 14


Rp. : TA+TC(g)=3.33 t Rp. : TA=TC(g)=-TC(d)=-TD(g)=4.5 t

TC(d)=TB(g)=-2.67 t, TB(d)=TD=2 t TD(d)=TE(g)=-TE(d)=-TB=1.5 t

MC=6.67 tm, MB=4 tm MC=13.5 tm, MD=-2.25 tm, ME=1.5 tm


Rp. : TA=8 t Rp. : TC=TA(g)=-6 t, TA(d)=11.1 t

TB(g)=-10 t, TB(d)=6 t TB=-3.9 t

Mmax=10.67 tm, MB=-6 tm MA=-18 tm, Mmax=2.5 tm


Rp. : TA=TD(g)=2.6 t Rp. : TA=TB=6 t

TD(d)=TB(g)=2.4 t, TB(d)=TE=0 TD=TC=0

MD=5.2 tm, MB=ME=-2 tm MA=-31 tm, MB=-14 tm, MD=ME=-5 tm

A

2m 2m 4m

B 2t 6t

1m 3m 3.5m

B A 9t

2.5m

6t C D

3t

E C

D

q=3t/m

2m 6m

B

A q=3t/m

5m 3m

B A

6t

C C

C=2tm B

3m

A

1.5m 2m

5t q=2t/m

A

3m 3m 3m

C=5tm

B D E E

D

In tro duc t ion 15


Rp. : TA=TC=-TB=qa Rp. : TA=TC(g)=2P/3

MA=-qa TC(d)=TD=TB=-P/3

Mmax=qa/2 MC=2Pa/3, MD=0, MB=-Pa/3

Exercice 1.29

Rp. : VA= 10.5 t, VB=18.5 t

TA=T1(g)=10.5 t, T1(d)=T2=0.5 t

T3=T4=TB(g)=-9.5 t, TB(d)=9 t

T5(g)=6.33 t, T5(d)=0.33 t, T6 =0

M1=10.5 tm, M2=11 tm,

M3=2 tm, M4(g)=-7.5 tm,

M4(d)=-5.5 tm, MB=-15 tm,

M5=-0.11 tm

Exercice 1.30

Rp. : VA=-8.625 t, VB=16.625 t

HA=-13 t, NAD=8.625 t, NDE=3 t,

NEB=-16.625 t,

TAC=TCA=13 t, TCD=TDC=3 t

TDE=-8.625 t, TED=-16.625 t

TEB=-3 t, TBE=0, MCD=MCA=-52 tm,

MDE=-MDC=55 tm, MED=MEB=4.5 tm

Exercice 1.31

q

A

a 2a

Articulation

B

a 2a

B

a

A

P

C D C

A

B

q1=2t/m

q2=1t/m

10t

1m

4m

4m

3m

D E

C

B A

F1=10t F2=6t q1=5t/m q2=2t/m

1 1 1 1 2m 2m

1 2 4 3 5 6

C=2 tm 1

In tro duc t ion 16

Rp. : HA=-55 KN, VA=135 KN, VB=45 KN, NAE=-135 KN, NEA=-85 KN,

NDE=NED=-40 KN, NEG=NGE=NGB=NBG=-45 KN, MAE=83.75 KNm,

MEA=-41.25 KNm, MED=-71.25 KNm, MEC=-30 KNm, MFC=MFG=-15 KNm,

MGF=MGB=-60 KNm, MBG=-15 KNm, TAE=55 KN, TEA=-5 KN,

TDE=-40 KN, TED=-55 KN, TEC=30 KN, TCE=TCF=TFC=-15 KN,

TFG=TGF=-45 KN, TGB=45 KN, TBG=0.

q2=20KN/m

q1=10KN/m P1=40 2 KN P2=30KN

p=10KN/m

q4=30KN/m

Mo=15KNm

B

A

q3=12KN/m

45

5m

1.5m 3m 1m 1m

3m

F

G

E D C

Chapitre 2

DPLACEMENTS DES POUTRES FLCHIES

Les poutres considres sont droites et possdent un plan de symtrie qui

contient les charges appliques. Dans ces conditions, la flexion se fait dans le

plan de symtrie de la pice considre.

Ce chapitre expose les principales mthodes qui permettent d'obtenir l'qua-

tion de la dforme.

2.1 IMPORTANCE DES CALCULS DE DEPLACEMENTS

Dans toute tude de structure, outre le calcul des ractions, des lments de

rduction et des contraintes, on fait galement des calculs de dplacements. G-

nralement, on fixe pour les dplacements des sections des limites admissibles

ne pas dpasser, tout comme pour les contraintes. Il n'est pas rare mme que les

conditions de dformabilit soient plus svres que les conditions de rsistance.

La limitation des dplacements vise avant tout prserver la fonctionnalit

de la construction. A titre d'exemple, une trop grande dformabilit des poutres

peut provoquer la fissuration des cloisons lgres et engendrer des dsordres trs

gnants.

D'autre part, lorsque les dplacements sont importants ils peuvent modifier

significativement l'action des charges appliques (ils engendrent d'autres efforts,

dits effets du second ordre), et dans ce cas il est ncessaire d'en tenir compte.

Par ailleurs, la rsolution des problmes hyperstatiques, qui constituent l'es-

sentiel des structures habituelles, fait appel aux calculs de dplacements.

Le dplacement de la section d'une poutre peut tre :

- une translation

- une rotation

Dans le cas d'une poutre horizontale flchie dans le plan xy, l'axe des x tant

confondu avec l'axe longitudinal de la pice, les dplacements verticaux des

centres de gravit des sections droites, mesurs partir de l'axe x, sont appels

flches. Les rotations se font autour de l'axe z (axe neutre) et reprsentent les

angles, mesurs en radians, dont tournent les sections droites de la poutre.

1 8 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

2.2 EQUATION DIFFERENTIELLE DE LA DEFORMEE

Considrons une poutre horizontale simplement appuye, flchie dans le plan

vertical xy (Figure 2.1). Aprs flexion, l'axe longitudinal AB de la poutre prend la

forme courbe AMB. Cette courbe est appele dforme ou ligne lastique (ou

lastique tout simplement) de la poutre et peut tre dcrite par une quation de la

forme y = f(x). Les ordonnes y reprsentant les flches subies par les sections

(leurs centres de gravit plus exactement) de la pice.

L'influence de l'effort tranchant sur la courbure de la dforme tant gnra-

lement trs faible, elle peut tre nglige (nous tudierons plus loin l'influence de

T). Nous admettrons donc que la courbure de la ligne lastique en un point donn

ne dpend que de la valeur du moment flchissant en ce point. Dans ce cas, nous

utilisons la relation liant la courbure au moment flchissant obtenue rigoureuse-

ment dans le cas de la flexion pure et qui s'crit :

1

R

M

EI

z

z

= (2.1)

D'autre part, on apprend dans les cours de Gomtrie Diffrentielle que la

courbure en un point M, d'une courbe plane donne par l'quation explicite y =

f(x), vaut :

1

1

2

2

2

3

2R

d y

dx

dy

dx

=

+

[ ( ) ]

(2.2)

Le facteur vaut 1 et a t intro-duit pour des raisons que nous vo-

quons plus loin. Remarquons toutefois

que du point de vue mathmatique vaut + 1 et le signe de la courbure ne dpend que de la valeur de la drive se-

conde (le dnominateur de l'expression (2.2) tant strictement positif). Ainsi, la

courbure (ou la drive seconde) est positive si la concavit de la courbe est

tourne vers les y positifs et elle est ngative quand la concavit est oriente vers

les y ngatifs (Figure 2.2).

Figure 2.2

M

M

y

x

y">0

y"

Dp la ce ments des pou t re s f lch ie s 19

A partir des quations (2.1) et (2.2), on dduit la relation diffrentielle sui-

vante reliant le moment (Mz) et la flche (y).

M

EI

d y

dx

dy

dx

z

z

=

+

2

2

2

3

21[ ( ) ]

(2.3)

Physiquement, la drive premire y' = dy/dx reprsente la pente de la tan-

gente la dforme y au point courant M. Dans le cadre de l'hypothse admise

des petits dplacements, les angles sont trs petits et, non seulement on peut

confondre la tangente et l'angle (dy/dx = tg ), mais le terme (dy/dx)2 devient ngligeable devant l'unit. D'o la simplification de la relation (2.3) :

M

EI

d y

dxy

z

z

= = 2

2" (2.4a)

Notons au passage que dans le cadre des petits dplacements, y' reprsente

galement la rotation de la section d'abscisse x.

La valeur donner se dduit plus facilement de la dernire expression. Il suffit de comparer les signes de y" et de Mz. La convention de signes adopte

pour le moment est exactement l'oppose de celle de y" puisqu'on considre un

moment comme positif quand la concavit de la dforme est tourne vers les y

ngatifs.

D'o le signe adquat prendre :

d y

dxy

M

EI

z

z

"= = ou encore : EI y Mz z" = (2.4b)

Compte tenu des relations diffrentielles reliant q, T et M, on peut en dduire :

d y

dxy

T

EI

y

z

3

3= =

''' et d y

dxy

q

EI

q

EI

IV y

z z

4

4= = = (2.5)

Il importe de noter que dans le cas des barres trs lances, les flches peu-

vent tre importantes et l'expression (2.4b) ne fournit plus une bonne approxima-

tion. Il faut alors faire usage de la relation (2.3), sachant que vaut -1 pour les raisons donnes plus haut. L'utilisation de la dfinition exacte de la courbure

introduit deux diffrences fondamentales par rapport l'approximation (2.4) :

- l'quation diffrentielle n'est plus linaire,

- dans le calcul du moment, il faut tenir compte de l'influence des dplace-

ments, ce qui revient introduire des moments additionnels secondaires

(moments du second ordre).

D'autre part, la relation (2.1) montre qu'il y a proportionnalit entre la cour-

bure et le moment flchissant, autrement dit les dveloppements partir de cette

quation sont valables uniquement dans le domaine lastique linaire. Si on sort

de ce domaine, il faut utiliser une relation non linaire de la forme 1/R = f(M),

dduite de l'tude du comportement lastoplastique de la pice considre.


Nous allons voir dans les paragraphes suivants quelques mthodes parmi les

plus importantes qui permettent d'obtenir l'quation de la ligne lastique d'une

poutre flchie.

2.3 INTEGRATION DIRECTE DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE

Lorsque le chargement est simple et la section constante, l'expression analy-

tique du moment n'est pas complique et le moment d'inertie demeure constant.

L'intgration de l'quation (2.4b) reste alors aise et permet d'obtenir facilement

l'quation de la dforme.

La premire intgration fournit l'expression de y' (y' = tg). Comme on a y' = , en vertu de l'hypothse des petits dplacements, on obtient en fait l'expression gnrale de la rotation dont tourne la section courante. L'angle est videmment

exprim en radians.

Notons par ailleurs que la premire intgration fait apparatre une constante.

La deuxime intgration donne l'expression cherche de la dforme et fait

apparatre une deuxime constante. Les deux constantes d'intgration s'obtien-

nent gnralement en satisfaisant aux conditions d'appui de la poutre et de conti-

nuit de la dforme. Ces conditions sont dsignes habituellement par condi-

tions aux limites.

Il faut toujours s'assurer que les expressions obtenues des flches (y) et des

rotations (y'), sont continues en tout point de la poutre. En effet, une discontinui-

t dans l'expression de y marquerait une interruption dans la poutre tandis qu'une

discontinuit de y' voudrait dire que la poutre se brise en ce point (articulation).

Les deux situations sont absurdes car la dforme est continue.

Par contre, l'expression de la courbure (donc y'') peut tre discontinue. C'est

ce qui se produit dans les sections o le moment prsente une discontinuit (pr-

sence d'un couple concentr) ou bien l o la section varie brusquement (dis-

continuit de Iz).

Considrons l'exemple simple de la

poutre de section constante charge

uniformment pour illustrer la m-

thode (Figure 2.3).

L'expression du moment est :

Mqx

z =

2

2

L'quation diffrentielle de l'lastique devient :

EId y

dxqx

z

=

2

d'o :

EIdy

dxqx

Cz = +3

6 (a) et EI y q

xCx Dz = + +

4

24 (b)

l

q

y

x

Figure 2.3


Pour dterminer les constantes d'intgration C et D, il faut crire deux condi-

tions aux limites. Dans le cas considr, on peut crire dans la section d'encas-

trement deux conditions sur y et y' :

1) en x = l, y = 0 (flche nulle)

2) en x = l, y' = 0 (rotation nulle)

Ces conditions, sur y et y', sont des conditions aux limites gomtriques alors

que les conditions aux limites sur y" et y''' (donc sur M et T, respectivement) sont

dsignes par conditions aux limites statiques.

En utilisant la condition (2), l'quation (a) donne : C = - ql3/6.

Et en appliquant la condition (1), on tire de l'quation (b) : D = ql4/8.

D'o les expressions finales de la rotation et de la flche :

yql

EI

qx

EIz z' = +

3 3

6 6 (2.6a)

yql

EI

ql

EI

qx

EIz z z= +

4 3 4

8 6 24 (2.6b)

Une rotation est positive si elle se fait dans le sens horlogique alors qu'une

flche est positive si elle est du ct des y positifs (vers le bas). En faisant x = 0

dans les expressions (2.6a) et (2.6b), on obtient :

C/EIz = 0 = ql3/6EIz et D/EIz = f0 = ql4/8EIz autrement dit, C et D sont respectivement la rotation et la flche de la section

initiale de la poutre, multiplies par la rigidit flexionnelle de la poutre (EIz).

La mthode d'intgration directe devient fastidieuse quand le chargement

et/ou la section prsente(nt) des discontinuits. Dans ce cas, l'expression de

Mz/EIz change chaque discontinuit et on doit travailler par tronon. On effec-

tue sur chaque tronon une double intgration pour obtenir l'expression de sa

dforme. Mais comme chaque double intgration on voit apparatre deux

constantes d'intgration, le total des constantes pour toute la poutre est gal au

double du nombre de tronons existants.

Les constantes inconnues s'obtiennent en exprimant :

- les conditions d'appui de la poutre,

- les conditions de passage aux sections de jonction entre les diffrents tron-

ons. Ces conditions expriment la continuit de la dforme, donc la conti-

nuit de y et de y',

- certaines conditions statiques en des points particuliers.

Ainsi, si l'expression du second membre de l'quation (2.4b) change plusieurs

fois (prsence de plusieurs tronons), la dtermination des constantes d'intgra-

tion ncessite la rsolution d'un systme de plusieurs quations (avec autant

d'inconnues), d'o un surplus de travail.

Voyons cela sur l'exemple simple de la poutre bi-articule soumise une

charge concentre (Figure 2.4).


Pour plus de commodit, on crit l'quation diffrentielle de l'lastique sous

la forme :

EI y Mz z" =

0 x a (tronon 1) :

M Pbx lz = /

EI yPb

lx Cz 12

12

'= +

113

1z DxCxl6

PbyEI ++=

lxa (tronon 2) : Mz = Pa - Pax/l

22'

2z Cxl2

PaPaxyEI ++=

2232

2z DxCxl6

Pax

2

PayEI +++=

Les inconnues C1, D1, C2 et D2 sont dtermines l'aide des deux conditions

aux limites en x = 0 et x = l, et des deux conditions de passage en x = a.

1) en x = 0, y1 = 0 3) en x = a, y1 = y2

2) en x = l, y2 = 0 4) en x = a, y'1 = y'2

La rsolution de ce systme d'quations donne :

C1 = Pab(a+2b)/6l, D1 = 0, C2 = Pa(2l2+a

2)/6l, D2 = -Pa

3/6

D'o les expressions finales, donnant les rotations et les flches :

0 x a

)b2a(l6

Pabx

l2

PbyEI

2'1z ++= (2.7a)

EI yPb

lx

Pab

la b xz 1

3

6 62= + +( ) (2.7b)

a x l

EI y PaxPa

lx

Pa

ll az 2

2 2 2

2 62' ( )= + + + (2.7c)

EI yPa

xPa

lx

Pa

ll a x

Paz 2

2 3 2 23

2 6 62

6= + + + ( ) (2.7d)

Cet exemple, pourtant simple, montre combien l'application de la mthode

d'intgration directe devient laborieuse quand la pice prsente des discontinuits

(de chargement et/ou de section). On va voir dans le paragraphe suivant com-

ment, grce de petits amnagements dans l'application de la mthode prc-

dente, on arrive rduire le travail effectuer.

Figure 2.4

A B

x

b a

y

l

P


2.4 METHODE DE CLEBSCH OU DES PARAMETRES INITIAUX

Soit la poutre bi-articule de section constante reprsente la figure 2.5. Les

charges appliques divisent la poutre en cinq tronons et une application directe

de la mthode d'intgration conduirait la dtermination de dix constantes d'in-

tgration.

La mthode de Clebsch permet, grce un artifice de calcul, de rduire les

constantes deux seulement, et ce quelque soit le nombre de tronons. D'autre

part, la mthode fournit une expression unique de la dforme, valable pour tous

les tronons. L'expression de la rotation s'obtient naturellement par drivation de

la fonction de la dforme.

L'originalit de la mthode vient de sa prsentation particulire des calculs.

L'ide essentielle de la mthode consiste crire l'expression du moment sur un

tronon en ajoutant de nouveaux termes (au moins un terme) l'expression du

moment sur le tronon prcdent en gardant la mme origine des abscisses x

(voir rgle 1).

Appliquons cet artifice l'exemple considr. Ecrivons pour chaque tronon

l'expression du moment, l'quation diffrentielle de l'lastique puis effectuons les

deux drivations successives.

1re rgle : Elle consiste placer l'origine des coordonnes x, y au centre de

gravit d'une section extrme de la poutre, l'extrmit gauche par exemple.

Tronon 1 ( )0 x a :

M R xz A=

EI y R xz A"

=

EI y Rx

Cz A'

= +2

12

EI yR

x C x DzA

= + +3

31 1

!

En faisant x = 0 dans les deux dernires expressions, on obtient :

Figure 2.5

A B C P

q

x

a

b

c

d

l

RA

y


C EI y EIz z1 0 0= ='

D EI y EI fz z1 0 0= =

Autrement dit, C1 et D1 reprsentent respectivement la rotation et la flche,

multiplies par la rigidit flexionnelle de la poutre (EIz), de la section initiale.

Tronon 2 ( )a x b

M R xq

x az A= 2

2( )

EI y R xq

x az A"

( )= + 2

2

EI y Rx q

x a Cz A'

!( )= + +

23

22 3

EI yR

xq

x a C x DzA

= + + +3 4

3 42 2

! !( )

En faisant x = a dans les deux dernires quations, on en dduit que : C2 = C1

et D2 = D2.

Tronon 3 ( )b x c

2me

rgle : On suppose la charge rpartie applique sur tout le reste de la

poutre et on applique une charge gale et oppose pour quilibrer la charge ajou-

te (cet artifice permet d'avoir des expressions gnrales valables sur toute la

longueur de la poutre).

M R xq

x aq

x bz A= + 2 2

2 2( ) ( )

EI y R xq

x aq

x bz A"

( ) ( )= + 2 2

2 2

EI y Rx q

x aq

x b Cz A'

!( )

!( )= + +

23 3

32 3 3

EI yR

xq

x aq

x b C x DzA

= + + +3 4 4

3 4 43 3

! !( )

!( )

En comparant les flches et les rotations dans la section de jonction x = b, on

trouve : C3 = C2 et D3 = D2.

Tronon 4 ( )c x d

M R xq

x aq

x b P( x cz A= + 2 2

2 2( ) ( ) )

EI y R xq

x aq

x b P( x cz A"

( ) ( ) )= + + 2 2

2 2


EI y Rx q

x aq

x bP

x c Cz A'

!( )

!( ) ( )= + + +

23 3 2

42 3 3 2

EI yR

xq

x aq

x bP

x c C x DzA

= + + + +3 4 4 3

3 4 4 34 4

! !( )

!( )

!( )

En comparant de nouveau les flches et les rotations gauche et droite de la

section x = c, on montre que : C4 = C3 et D4 = D3.

Tronon 5 ( )d x l

3me

rgle : On multiplie le couple concentr par (x-d)0 afin de marquer la

section o commence son influence et pour garder aux expressions leur gnrali-

t.

M R xq

x aq

x b P( x c C x dz A= + + 2 2

2 2 0( ) ( ) ) ( )

EI y R xq

x aq

x b P( x c C x dz A" ( ) ( ) ) ( )= + +

2 2

2 2 0

EI y Rx q

x aq

x bP

x c C x d Cz A'

!( )

!( ) ( ) ( )= + + +

23 3 2

52 3 3 2

EI yR

xq

x aq

x bP

x cC

x d C x DzA

= + + + +3 4 4 3 2

3 4 4 3 25 5

! !( )

!( )

!( ) ( )

En comparant encore une fois les rotations et les flches dans la section de

jonction (x = d), obtenues l'aide des relations valables sur les tronons 4 et 5,

on montre que : C5 = C4 et D5 = D4.

Ainsi, on dmontre qu'il n'y a en dfinitive que deux constantes d'intgration

pour toute la poutre :

C1 = C2 = C3 = C4 = C5 = EIzy'0 = EIz0 D1 = D2 = D3 = D4 = D5 = EIzy0 = EIzf0

Ces deux constantes caractrisent les dplacements (rotation et flche) de la

section initiale de la poutre, d'o leur dsignation par paramtres initiaux. Elles

sont dtermines partir des conditions d'appui de la poutre considre. Dans un

appui simple ou double la flche est nulle, f = 0, tandis que dans un encastrement

on a : f = = 0. On peut rduire quatre le nombre total des quations en adoptant le mode

d'criture suivant :


xa xb xc xd xl

23443A0z0zz

2332

A0z'

z

0222A

"z

022Az

)dx(2

C)cx(

!3

P)bx(

!4

q)ax(

!4

qx

!3

RxEIfEIyEI

)dx(C)cx(2

P)bx(

!3

q)ax(

!3

q

2

xREIyEI

)dx(C)cx(P)ax(2

q)ax(

2

qxRyEI

)dx(C)cx(P)bx(2

q)ax(

2

qxRM

+++=

++=

++=

++=

Pour calculer une grandeur (Mz, y", y' ou y) sur un tronon donn, il faut con-

sidrer uniquement les termes gauche de la limite du tronon tudi.

Dans l'exemple trait, les conditions aux limites s'crivent : y = 0 en x = 0 et

en x = l. La premire condition donne f0 = 0 et partir de la seconde on tire la

valeur de 0.

2.5 METHODE DE LA POUTRE CONJUGUEE

2.5.1 Principe de la mthode

Cette mthode est base sur une analogie entre les allures de la dforme de

la poutre considre et du diagramme des moments flchissants d'une poutre

fictive sollicite par une charge fictive. La mthode est galement appele m-

thode de Mohr, du nom de son auteur, ou encore mthode des poids lastiques.

Pour une poutre flchie, on a les relations diffrentielles suivantes :

y" = - Mz/EIz (i) et Mz" = - q (ii)

qui sont identiques du point de vue mathmatique.

Posons :

y = Mf et Mz/EIz = qf

Avec ces changements, l'quation (i) s'crit :

Mf" = - qf (iii)

et est exactement semblable l'quation (ii). La dernire quation obtenue s'in-

terprte comme ceci : la dforme de la poutre relle (y) est donne par le dia-

gramme du moment flchissant (Mf) d'une poutre fictive, appele poutre conju-

gue, sollicite par une charge qf = Mz/EIz.

L'quation (iii) est du second ordre et ncessite par consquent la dtermina-

tion de deux constantes d'intgration pour la connaissance complte de Mf. Les

deux constantes dfinissent en fait les conditions aux limites de la poutre conju-

gue qui s'obtiennent partir de celles de la poutre relle puisqu'on a les corres-

pondances :

y = Mf et y' = Tf


Les diffrents cas de figure de conditions d'appui sont indiqus ci-aprs.

Poutre relle Poutre conjugue

Ces cas sont illustrs par les deux exemples suivants :

Il faut noter que pour respecter les conventions de signes adoptes pour la ro-

tation et la flche, nous devons considrer que la charge fictive (qf = Mz/EIz) est

dirige de haut en bas si le moment Mz est positif et vice versa.

Poutre relle

Poutre conjugue

Poutre relle

Poutre conjugue

y = 0

y' 0

y = 0

y'= 0

Mf = 0

Tf 0

Mf = 0

Tf = 0

Mf 0 Tf 0

Mf 0 Tf 0

y 0 y' 0

y 0 y' 0

y = 0

y' 0 Mf = 0

Tf 0

(extrmit libre)

(articulation)

(appui intermdiaire)


2.5.2 Exemple d'application

Reprenons l'exemple de la figure 2.3, dj trait par la mthode d'intgration

directe.

Le signe du moment de la poutre relle est ngatif puisqu'il fait tendre les fi-

bres suprieures (Figure 2.6c). Cela signifie que la charge fictive appliquer la

poutre conjugue doit tre dirige de bas en haut (Figure 2.6d).

Les composantes de raction dans la section d'encastrement de la poutre fic-

tive sont :

Tql

EIl

ql

EIE

Z Z

= =

1

3 2 6

2 3

et Mql

EIll ql

EIE

Z Z

= =

1

3 2

3

4 8

2 4

D'o :

z

3

z

3

EI6

qx

EI6

ql'y += (j)

z

4

z

3

z

4

EI24

qx

EI6

xql

EI8

qly += (jj)

Les quations (j) et (jj) sont identiques aux expressions (2.6a) et (2.6b) obte-

nues par la mthode d'intgration directe.

Figure 2.6

(c)

x

Mz = -qx/2

(d)

x

qf = -qx/2EIz

q

l

(a)

Poutre relle

(b)

Poutre conjugue

Diagramme du moment

Chargement de la p.c.


2.6 FLECHE PROVOQUEE PAR L'EFFORT TRANCHANT

Sous l'effet de l'effort tranchant Ty, la section 2 d'abscisse x+dx, subit un glissement dy par rapport la section 1 d'abscisse x (Figure 2.7a).

Les dplacements tant petits, on peut crire :

dy = dx (k) o reprsente la variation que subissent les angles, initialement droits. D'autre part, en vertu de la loi de Hooke, on a :

= /G (l) La dernire expression montre que les dplacements angulaires () et par

consquent les dplacements linaires (dy), en raison de la relation (k), sont la

consquence des contraintes de cisaillement (Figure 2.7b). On sait en effet qu'

l'intrieur des corps il n'y a pas d'efforts concentrs mais uniquement des distri-

butions de contraintes.

Concernant la distribution des contraintes tangentielles provoques par l'ef-

fort tranchant, on apprend dans le cours de flexion simple qu'elle n'est pas uni-

forme sur la section ; ce qui veut dire que la dformation angulaire n'est pas constante mais varie d'une couche l'autre. La variation de entrane un gau-chissement des sections initialement planes (Figure 2.7c).

Evaluons le dplacement yT que subit le centre de gravit d'une section cou-

rante par rapport la position de l'axe de la poutre avant dformation (x).

On a :

dyT = mdx o m reprsente la distorsion, mesure par rapport l'axe non dform de la poutre, de l'angle droit.

dx

(b)

xy

dx

(a)

Ty

1 2

Ty+dTy

Ty G1

m dyT

G2

dx y

(c)

Ty+dTy

Figure 2.7

x

dy


2.6.1 Travail et nergie de dformation

La distorsion peut tre dtermine en comparant le travail accompli par l'ef-

fort tranchant au cours de la dformation de l'lment de longueur dx l'nergie

emmagasine dans ce mme lment.

Le travail effectu par l'effort tranchant vaut :

dxT2

1dyT)

2

1(d myTye == (2.8)

L'nergie emmagasine dans une couche bdx d'paisseur dy (Figure 2.8),

avec dy suffisamment petit pour pouvoir admettre que la contrainte ne varie pas,

est donne par :

dxdyb)2

1(dx)bdy)(

2

1(Wd xyxy

2 == (2.9)

L'nergie emmagasine dans tout le tronon dx s'obtient en considrant toutes

les couches lmentaires bdxdy, c'est--dire en sommant sur toute la section

(note A).

dW bdxdydx

bdyxy xyAA

= = 1

2 2

Sachant que :

=xy

G et que xy

y z

z

T S

bI=

*

o :

- Sz* reprsente le moment statique par rapport l'axe z de l'aire de la section

comprise entre la cote y et la fibre infrieure de la section,

- b est largeur de la section la cote y,

z

y

b

y

dx

Ty

dy

Ty+dTy

xy

Figure 2.8


il vient :

dWdx T S

Gb Ibdy

dx T S

GbIdy

T dx

GI

S

bdy

y z

zA

y z

z

y

z

z

hA= = = 2 2 2

2

2 2

2

2

2

2

*2 *2 *2

(2.10)

est une quantit ayant la dimension d'une aire. Elle ne dpend que

des caractristiques gomtriques de la section et est toujours inf-

rieure la section (A), d'o sa dsignation habituelle par Ard (sec-

tion rduite).

On peut poser :

=A

Ar d avec =

A

I

S

bdy

z

z

h2

*2

(2.11)

Le coefficient , appel facteur de cisaillement, est toujours suprieur 1. Il caractrise la distribution des contraintes tangentielles dues l'effort tranchant.

Plus la distribution de ces contraintes s'loigne de la distribution uniforme, plus est grand (il vaut 1.2 pour une section rectangulaire, 1.111 pour une section cir-

culaire et varie gnralement de 2 3 pour les sections en I).

L'expression (2.10) peut s'crire :

dWT dx

GA

T

GAdx

y

r d

y= =

2 2

2 2

(2.12)

En comparant les relations (2.8) et (2.12) on tire :

m

y

r d

yT

GA

T

GA= = (2.13)

Le glissement dyT entre les sections 1 et 2 devient :

dy dxT m= =T

GAdx

y (2.14)

Or, Tydx = dMz, donc :

dyGA

dMT z=

(2.15)

Le dplacement du centre de gravit de la section d'abscisse x s'obtient en in-

tgrant de 0 x :

y x yGA

M x MT T z z( ) ( ) [ ( ) ( )] = 0 0

(2.16)

Cette dernire expression est particulirement indique pour le calcul des fl-

ches provoques par l'effort tranchant lorsque le diagramme de ce dernier est

I

S

bdy

z

z

h

2

*2


connu. En effet, la variation du moment, Mz(x) - Mz(0), reprsente l'aire du dia-

gramme de Ty compris entre 0 et x.

De la relation (2.14), on peut tirer :

d y

dx GA

dT

dx GAqT

y2

2= =

(2.17)

Cette dernire quantit reprsente la courbure due l'effort tranchant. En su-

perposant les courbures provoques par le moment flchissant et l'effort tran-

chant, on obtient l'quation diffrentielle complte de l'lastique ; qui s'crit :

d y

dx

M

EI GAqz

z

2

2=

(2.18)

Si on utilise la mthode de la poutre conjugue, la charge fictive considrer

est dans ce cas :

qM

EI GAqf

z

z

= +

(2.19)

Remarque : A partir de la relation (2.14), on peut tirer la relation :

dy

dx GATT y=

(2.20)

qui permet de faire une observation intressante. En effet, l'quation (2.20) mon-

tre qu'on n'a pas dyT/dx = 0 dans une section d'encastrement, o Ty est quel-

conque. Les approximations obtenues restent toutefois trs proches des solutions

exactes.

2.6.2 Exemples d'application

Exemple 1

Calculons la flche mi-porte d'une poutre bi-articule sollicite par une

charge P applique en son milieu.

La flche due au moment, qui

peut tre obtenue par particulari-

sation de la relation (2.7b) ou

(2.7d), vaut :

z

3

MEI48

Pl)

2

l(f =

Pour la flche provoque par T, on a, en vertu de l'quation (2.16) :

GA4

Pl

2

1

2

P

GA)

2

l(f)0(f)

2

l(f TTT

=

==

comme G = E/2(1+), il vient :

Figure 2.9

P

1/2 1/2

b

h

l=10h

=0.2


Ebh4

)1(2Pl2.1

3Ebh4

3Pl)

2

l(

Tf)

2

l(

Mf)

2

l(f

++=+=

d'o :

)88.2h

1(

Ebh4

Pl)

2

l(f

2

2

+=

Dans le cas considr, l =10h, la flche due l'effort tranchant est infrieure

3% de celle provoque par le moment.

Exemple 2

Calculons la flche de l'extrmit libre d'une poutre-console de section rec-

tangulaire (bh) soumise une charge uniformment rpartie (Figure 2.3). La

flche provoque par le moment seul s'obtient en faisant x=0 dans l'expression

(2.6b), soit : fql

EIM

Z

=

4

8.

En utilisant une nouvelle fois la relation (2.16) entre 0 et l, on obtient :

)]0(M)l(M[GA

)0(y)l(y zzTT

=

Or l'extrmit libre (x=0) le moment est nul et, d'autre part, dans la section

d'encastrement (x = l) la flche est nulle. L'expression ci-dessus devient alors :

)l(MGA

)0(y zT

=

Sachant que Mz(l) = - ql2/2, il vient :

f yql

GAT T( ) ( )0 0

2

2

= =

L'expression finale de la flche rsultante s'crit :

fql

EI

ql

GA

ql

Ebh

l

hz= + = +

4 2 2 2

28 2 2

32 88

( . )


2.7 EXERCICES

Chercher les dformes et les grandeurs indiques des systmes reprsents

ci-aprs en utilisant la mthode d'intgration directe.

Remarques :

- sauf indication contraire, M dsigne la section mi-trave et EI la rigidit

flexionnelle (EIz).

- dans les rponses donnes, une flche positive est dirige vers le bas et une

rotation est positive si elle se fait dans le sens horlogique.


fM? fB? B?

Rp. : fM = 5ql4/384EI Rp. : fB = Pl

3/3EI, B = Pl2/2EI

EIy = ql4/24+ql3x/24-qlx3/12 EIy = Plx2/2-Px3/6

Exercice 2.3

fM?

Rp. : fM = 5ql4/768EI

EIy = 7ql3x/360-qlx3/36+qx5/120l

Exercice 2.4

0xa, EIy=7qa4/24-qa3x/3+qx4/24

A =-qa3/6EI ax3a (AB)

EIy=5qa4/8-4qa3x/3+qa2x2-qax3/3+qx4/24

fM? A? fM=-qa4/24EI

Exercice 2.5

fA? A? Rp. : fA=181qa

4/48EI,

A =-65qa3/36EI

A B

q

l

A P

B

l

a

q

a

A B (I) (2I) (3I)

a

q

B A

a 2a a

l

q

B A


Exercice 2.6

fM? fC? C? Rp. : fM =pl

3/48EI, fC =-pl

2a/16EI,

C =-Pl2/16EI

Exercice 2.7

fM? fC? C? Rp. : fM =-Pal

2/16EI,

fC =Pa2(a+l)/3EI

C =Pa(3a+2l)/6EI

Exercice 2.8

Rp. : 0xa,EIy=13Pa2x/32-Px3/12

A =13Pa2/32EI a/2x3a/2, EIy=Pa3/12+9Pa2x/32-Px3/24

fM? A? fM =35Pa3/96EI.


ci-aprs en utilisant la mthode des paramtres initiaux.

Exercice 2.9

fE? E?

Rp. : fE =ql4/3EI, E =5ql3/6EI

Exercice 2.10

fA? A?

Rp. : fA =25ql4/384EI, A =-7ql3/48EI

a 1/2 1/2

C A

P

B

M

a 1/2 1/2

C A

P B

M

a a

B A P

M

a

(I) (I) (2I)

B

q

A

l l l

E

F=2ql C=ql

B

q

A

l/2 l/2

C=ql P=ql


Exercice 2.11

fE? E?

Rp. : fE =-17ql4/90EI, E =13ql3/72EI

axl (EA)

EIy=-17ql4/90+13ql

3x/72+qx

5/120l

lx3l (AB), EIy=-17ql4/90+13ql3x/72+qx5/120l-19ql(x-l)3/72-q(x-1)5/120l

Exercice 2.12

fE? E? fF?

Rp. : fE =5ql4/8EI, E =-2ql3/3EI, fF=0

Exercice 2.13

fE? E? avec : P = 3 t, a = 3 m

EIz = 2 1010 Kgcm

2

Rp. : fE =1.35 cm, E =-0.00675 Exercice 2.14

Traiter les exercices 2.2, 2.6 et 2.7 avec la mthode de la poutre conjugue.


ci-aprs en utilisant la mthode de la poutre conjugue.


fM? fC? fE? E?

Rp. : fM =-Pl3/12EI, fC =3Pl

3/4EI Rp. : fE = -2Cl

2/81EI, E=Cl/9EI

B

q

A

2l l

E

B

q A

l l

F

C=2ql

l l

E

l

A

P

l l

P

M

B

l/3

A B

C

E

2l/3

C

a

E

P

B

a a a

P P



fD? D(g)? D(d)? fD? D(g)? D(d)?

Rp. : fD=-Pl3/4EI, D(g)=-Pl2/4EI Rp. : fD =-Pl3/3EI, D(g)=-Pl2/6EI,

D(d) = Pl2/4EI D(d) =Pl2/2EI

Exercice 2.19

Calculer les flches provoques par le moment flchissant (seul) et l'effort

tranchant (seul) au milieu de la poutre de l'exemple d'application n1 et l'ex-

trmit libre de la poutre de l'exemple n2 sachant que :

P = 5 t, q = 2 t/m, h = 50 cm, b = 30 cm, l = 5 m, = 0.2 et E = 105 Kg/cm2.

- Poutre bi-articule avec une force concentre en son milieu.

Rp. : fM (l/2)=0.417 cm ; fT(l/2)=0.012 cm.

- Poutre console uniformment charge (extrmit libre en x = 0).

Rp. : fM (0)=5.00 cm ; fT(0)=0.048 cm.

Exercice 2.20

Une poutre-console de section rectangulaire (bh) en acier (E ; G) de longueur

l supporte son extrmit libre une charge verticale P.

Dterminer l'quation de la dforme en tenant compte de l'influence de l'ef-

fort tranchant.

Calculer la flche de l'extrmit libre sous l'action de l'effort tranchant seul.

Comparer cette flche celle provoque par le moment de flexion seul.

P = 1 t, h = 5 cm, b = 3 cm, l = 1.5 m, E = 21 105 Kg/cm2, G = 8 105 Kg/cm2.

y=Pl3/3EI-Pl

2x/2EI+Px

3/6EI+Pl/GA-Px/GA

yM(0)=fM =Pl3/3EI=17.14 cm

yT(0)=fT =Pl/GA=0.015 cm

l

A

l l l

D B C P

B

l l l

P A D

C

Chapitre 3

LE POTENTIEL INTERNE ET SES APPLICATIONS

3.1 INTRODUCTION

Dans ce chapitre seront examines les relations qui existent entre les sollicita-tions agissant sur un systme et les dplacements qu'elles produisent.

Les systmes considrs sont gnralement plans (gomtrie et chargement) mais les dveloppements thoriques s'appliquent tous les systmes, sauf prci-sion contraire.

Pour garder la thorie toute sa gnralit, tout en simplifiant autant que pos-sible les notations, nous dsignerons une sollicitation par F (sollicitation gnra-lise), que ce soit une force P, un couple C ou une sollicitation globale F (F1, F2, , Fn) et un dplacement par (dplacement gnralis), que ce soit une transla-tion (dplacement linaire) ou une rotation (dplacement angulaire).

3.2 TRAVAIL DES FORCES EXTERIEURES ET ENERGIE DE

DEFORMATION

3.2.1 Notions de travail et de travail complmentaire

Pour fixer les ides, nous considrons le cas d'une barre prismatique soumise une traction axiale F1 qui produit un allongement 1 (Figure 3.1a).

Nous supposons que la force F1 est applique graduellement, d'une manire lente, de faon ne produire aucune force d'inertie. Dans ces conditions, on dit que le chargement (force F1 ici) est appliqu statiquement et le dplacement engendr (ici un allongement) est reli la force applique par une relation re-prsente par le diagramme "F-" de la figure 3.1b.

Soit F une valeur intermdiaire et l'allongement correspondant. A un ac-croissement dF de la charge correspond un allongement supplmentaire d. Le travail lmentaire produit par F au cours de l'accroissement d est dfini par :

de = Fd (3.1)


Il est reprsent par l'aire hachure (hachures inclines) du diagramme F-d (Fi-gure 3.1b).

Remarque : Fd reprsente plus exactement le rectangle "abcd". Autrement dit, le travail effectu par dF au cours du dplacement d, qui est un infiniment petit d'ordre suprieur 1, est nglig.

Le travail total effectu par la force F1 au cours du dplacement 1 est obtenu par sommation des travaux lmentaires, c'est--dire :

e Fd= 01

(3.2)

Il est reprsent par l'aire dlimite par la courbe F- et l'axe des jusqu' 1. De mme, on appelle travail complmentaire lmentaire du dplacement

au cours de l'accroissement de charge dF la quantit :

d dFe * = (3.3) Le travail complmentaire total effectu par F1, applique graduellement de 0

F1, au cours du dplacement 1 est donn par :

eF

dF* = 01

(3.4)

C'est l'aire gauche de la courbe F-.

3.2.2 nergie et nergie complmentaire de dformation

Considrons un corps soumis des sollicitations extrieures. Sous l'action des charges extrieures, le corps se dforme et les efforts internes (contraintes) effectuent un travail qui s'oppose au travail des sollicitations extrieures.

Ce travail interne, chang de signe, est dsign par nergie potentielle de d-formation (W) (-i = W).

d e*

F

F1

F

F1 A

B 0

F1

dF dF

F F

de

a

b c

d

d 1 d

l

1

(a) (b) (c)

Figure 3.1

1

L e po ten t ie l in te rne e t ses app l ica t i ons 41

Isolons un lment dv = dxdydz du corps considr. L'nergie lmentaire emmagasine dans dv se calcule comme le travail effectu par les forces agissant sur les faces de l'lment dv. Ainsi, le travail effectu par la force lmentaire x.dydz au cours de la variation dx de la dformation x, qui produit le dplace-ment dx = dx.dx, vaut :

dW dydz d dx d dvx x x x= = . . (3.5)

En considrant toutes les composantes des contraintes et en utilisant la nota-tion indicielle, on obtient pour l'lment dv :

dW d dvij ij= (3.6)

L'nergie emmagasine dans tout la volume du corps (v) vaut :

W d dvij ijv

= (3.7)

Considrons un diagramme contrainte-dformation unidirectionnel (unidi-mensionnel) (Figure 3.2b).

On a :

dW d0 = (3.8)

Cette quantit a l'unit d'une nergie par unit de volume. L'intgrale :

W d00

1

=

(3.9)

est appele densit de l'nergie de dformation et est reprsente par l'aire com-prise entre la courbe - et l'axe des . Remarquons qu'on a :

W dW dvv

= 0 (3.10)

De mme, l'nergie complmentaire lmentaire produite par un accroise-ment dij des contraintes au cours des dplacements produits par les dforma-tions ij correspondantes vaut :

dvddW ijij* = (3.11)

dW0*

dx

dz

dy x

dx(1+dx)

1

d

d

dW0

(a) (b) Figure 3.2

1


Et pour la totalit du volume du corps :

= v ijij* dvdW (3.12)

On a aussi :

dW d0*

= et W d00

1*=

(3.13)

3.3 TRAVAIL ET ENERGIE DANS LE DOMAINE ELASTIQUE

LINEAIRE

a) Travail d'une force

Revenons au cas de la traction d'une barre prismatique du paragraphe 3.2.1. Si la relation entre F et est linaire, domaine d'application de la loi de Hooke (et petits dplacements), c'est--dire quand on a tout moment du chargement la relation (Figure 3.1c) :

F = k (k = constante) le travail total devient :

e k d k= =1

212

0

1

et comme : F1 = k1 , il vient : e F=

1

21 1 (3.14)

Le travail total est reprsent par l'aire du triangle OAB (Figure 3.1c).

Remarquons que dans le cas de l'lasticit linaire, on a : e e=* .

b) Gnralisation

Si un systme en quilibre est soumis une sollicitation globale F (F1, F2, Fi,,Fn) et que les points d'application de ces forces subissent des dplacements, dont les projections sur les directions de ces mmes sollicitations valent 1, 2,, n, le travail effectu au cours du chargement du systme (passage de l'tat d'quilibre initial l'tat d'quilibre final), vaut :

e i ii

n

F=

=

1

21

(3.15)

Il faut rappeler qu'on suppose que : - le chargement est statique (les mises en charge sont lentes), - le matriau a un comportement lastique linaire (loi de Hooke vrifie), - les dplacements n'affectent pas l'action des charges (hypothse des petits

dplacements, pas d'effets du second ordre).


c) Travail des ractions

Si les appuis sont indformables, le travail fourni par les ractions au cours de la dformation du systme est nul puisque le dplacement d'un appui double ou d'un encastrement dans le sens de la raction est nul et que le dplacement d'un appui simple est perpendiculaire la raction.

Dans le cas d'appuis lastiques, les relations (3.14) et (3.15) restent valables pour les ractions.

d) nergie potentielle de dformation

Dans le domaine lastique linaire, la relation contrainte-dformation (ij-ij) est linaire et comme dans le travail, le facteur 1/2 apparat dans l'expression de l'nergie (Figure 3.3).

Ainsi, le travail fait par la force xdydz au cours de la dformation x qui pro-voque une variation de longueur dx = xdx est :

dW dydz dx dvx x x x= =1

2

1

2 (3.16)

Pour toutes les contraintes agissant sur dv en aura (en notation indicielle)

dW dvij ij=1

2 . (3.17)

et

W dvij ijv

= 1

2 (3.18)

Remarque : Dans le cadre de l'lasticit linaire on a : W = W*.

x

dx

x dy

dx(1+x)

(a) (b) Figure 3.3


3.4 PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'ENERGIE

De manire gnrale, quand un corps est soumis des charges extrieures, ces charges effectuent un travail extrieur qui se transforme en nergie poten-tielle interne (qui dforme le corps), en nergie cintique et en chaleur qui se dissipe lors des frottements.

Supposons maintenant que : a) les charges extrieures sont appliques statiquement (pas d'nergie cintique), b) les frottements dans le corps sont nuls (pas de dissipation d'nergie sous forme de chaleur) c'est--dire que le corps considr est parfaitement lastique, c) les frottements dans les appuis sont nuls (pas de dissipation d'nergie),

alors tout le travail extrieur se transforme en nergie potentielle de dformation, c'est--dire qu'on a :

e W= (3.19a)

Dans ce cas, on dit que le systme (corps + appuis + charges) est conservatif et le travail, ou l'nergie de dformation, puisque e = W, ne dpend pas de l'or-dre dans lequel les forces sont appliques mais uniquement de leur intensit finale. Dans le cas contraire, c'est--dire si le travail dpendait de l'ordre d'appli-cation des forces, on pourrait le charger d'une certaine manire et le dcharger d'une autre manire de faon raliser un gain. Aprs plusieurs cycles, l'nergie ainsi gagne ferait exploser le corps, ce qui est absurde.

Si les charges cessent d'agir, l'nergie emmagasine dans le corps lors du chargement sera restitue sous forme de travail qui va ramener le corps son tat initial.

En plus des hypothses a), b) et c) ci-dessus nous admettrons dans ce qui suit que : d) le matriau vrifie la loi de Hooke (matriau lastique linaire), e) les dplacements sont suffisamment petits et n'affectent pas l'action des char-ges (pas d'effets du second ordre).

Il arrive quelquefois que le systme, dans son tat initial, c'est--dire avant toute application de charges, soit dj assujetti des efforts internes et des d-formations lastiques. C'est le cas notamment des systmes hyperstatiques dont les appuis subissent des dplacements (appuis non concordants), des systmes hyperstatiques soumis des effets thermiques, au phnomne de retrait dans les structures en bton, des effets des dfauts de montage, etc.

Dans un cas pareil, le systme possde dj l'tat initial une nergie lasti-que (Wi) emprisonne dans le corps et qui ne peut se librer que dans des condi-tions particulires. Les efforts et les dformations qui seront produits par les forces extrieures vont s'ajouter aux efforts et aux dformations existants. Dans ce cas, l'nergie de dformation est gale au travail des forces extrieures qui se transforme en nergie lastique interne plus l'nergie lastique initiale, d'o :

e iW W+ = (3.19b)

Les rsultats (3.19) sont parfois dsigns par thorme de Clapeyron.


3.5 TRAVAIL DE DEFORMATION DES SOLLICITATIONS SIMPLES

DANS LE CAS DES POUTRES

Nous allons calculer sparment le travail de dformation (nergie de dfor-mation) en fonction des efforts N, M, T et Mt dans une poutre (droite ou courbe) de longueur l. Considrons un tronon de poutre dx (ds) suffisamment petit pour pouvoir admettre que les efforts ne varient pas sur dx.

a) Effort normal

Sous l'effet des contraintes d'effort normal, le tronon dx subit une variation de longueur dx dfinie par :

dxdx

dx dxE

dxx xx

= = =

Comme dans le cas de l'effort normal on a x = N/A, il vient :

dx = (N/EA)dx L'nergie emmagasine dans le couche dA.dx se calcule comme le travail ef-

fectu par la force x.dA au cours du dplacement dx, d'o :

d W dA dxN

AdA

N

EAdx

N

EAdAdxx

22

2

1

2

1

2

1

2= = =( ) ( )

Remarque : La notation d2W est utilise pour dsigner une quantit plus petite que l'nergie lmentaire.

L'nergie lmentaire emmagasine dans le tronon dx s'obtient par intgra-tion sur l'aire A de la section :

dWdx N

EAdA

N dx

EAdA

N

EAdx

A A= = = 2

1

2 2

2

2

2

2

2

Et pour la totalit de la poutre :

WN

EAdx

l= 1

2

2

(3.20)

xN

A=

N N

dx

dx+dx

dx

z

y (a) (b)

dA

Figure 3.4


b) Moment flchissant

Considrons la couche dAdx. Sous l'effet des contraintes de flexion, la couche subit une variation de longueur : dx = xdx = (x/E)dx. Compte tenu de la rela-tion de Navier, il vient :

xz

z

z

z

M y

Idx

M y

EIdx= =

L'nergie emmagasine dans la couche dAdx vaut :

dAdxEI

yMdx

EI

yMdA

I

yMdxdAWd

z

z

z

z

z

z

x 2

222

2

1)(

2

1)(

2

1===

En intgrant sur la surface on obtient l'nergie emmagasine dans le tronon dx :

dWdx M y

EIdA

M dx

EIy dA

M

EIdxz

zA

z

z

z

zA= = = 2

1

2 2

2 2

2

2

2

22

D'o l'nergie de dformation de la poutre, qui se calcule par intgration sur l :

WM

EIdxz

zl= 1

2

2

(3.21a)

Dans le cas d'une flexion gauche, on a une relation similaire (3.21a) pour chaque moment flchissant et pour les deux moments on aura :

WM

EI

M

EIdxz

z

y

yl= +1

2

2 2

( ) (3.21b)

c) Effort tranchant

D'aprs la relation (2.12) du chapitre 2, l'nergie emmagasine dans un tron-on dx soumis un effort tranchant Ty vaut :

xM z y

I z

=

R

M

d

y

dx+dx (a)

y (b)

z

dA

dx

Figure 3.5

M


dWT

GAdx

y y=

2

2

Et pour toute la poutre :

WT

GAdx

y y

l= 1

2

2

Si la poutre est soumise Ty et Tz on aura :

WT

GA

T

GAdx

y y z z

l= +1

2

2 2

( )

d) Moment de torsion

L'angle dont tourne l'une par rapport l'autre les sections extr-mes du tronon dx soumis un moment de torsion Mt est donn par (Figure 3.6) :

dqM

GIdxt

t

P

=

o : - q est une constante dpendant de la forme et des dimensions de la section, ap-pele coefficient de torsion (q 40Ip

2/A

4). Ce facteur vaut 1 pour la section circu-laire et est suprieur 1 pour les autres cas. - la quantit C = GIp/q est dsigne par rigidit la torsion (ou rigidit torsion-nelle).

L'nergie emmagasine dans le tronon dx se calcule comme le travail effec-tu par Mt lors du dplacement dt :

dW M dqM

GIdxt t

t

P

= =

1

2 2

2

Et pour l'ensemble de la poutre :

WqM

GIdxt

Pl= 1

2

2

(3.23)

3.6 EXPRESSION GENERALE DE L'ENERGIE POTENTIELLE DE

DEFORMATION

Isolons l'intrieur d'un corps lastique un lment dv = dxdydz suffisam-ment petit pour pouvoir admettre que les contraintes ne varient pas sur les facet-tes de l'lment.

Calculons l'nergie emmagasine dans l'lment dv lorsqu'il est soumis l'en-semble des contraintes (Figure 3.7a).

Mt Mt

dx

dt

Figure 3.6


Le travail de dformation de la force xdydz au cours du dplacement dx = xdx (Figure 3.7b) vaut :

dW dydz dx dxdydzx x x x= =1

2

1

2( )

Pour l'ensemble des trois contraintes normales, on applique le rsultat (3.15), d'o :

dW dxdydzx x y y z z= + +1

2( )

o x, y et z sont les dformations longitudinales et peuvent tre exprimes en fonction des contraintes normales partir de la loi de Hooke gnralise.

Les dformations provoques par les contraintes normales et tangentielles tant indpendantes, si outre les contraintes normales il y a des contraintes tan-gentielles, il suffit d'ajouter leur effet.

Le travail de la force xydydz lors du dplacement xydx (Figure 3.7c) vaut :

dW dydz dx dxdydzxy xy xy xy= =1

2

1

2( )

En prsence de toutes les contraintes, il vient :

dW dxdydzx x y y z z xy xy yz yz zx zx= + + + + +1

2( ) (3.24)

L'nergie potentielle de dformation de tout le corps s'obtient par sommation sur le volume entier :

W dvx x y y z z xy xy yz yz zx zxv

= + + + + +1

2( ) (3.25)

L'expression de W peut tre exprime en fonction des contraintes seulement ou des dformations uniquement en utilisant les expressions des contraintes en fonction des dformations donnes par la loi de Hooke gnralise.

Dans le cas d'une poutre soumise aux sollicitations N, M, T et Mt, l'expression de W s'obtient en ajoutant les expressions (3.20), (3.21), (3.22) et (3.23) :

(a) (b)

(c)

dx

dx+dx

x x

y

z

x dy

yx

yz

xz

xy

zx zy

yx

xy

xydx

Figure 3.7

xy


WM

EIdx

N

EAdx

T

GAdx

qM

GIdxt

Pllll= + + + 1

2

1

2

1

2

1

2

2 2 2 2 (3.26)

Notons que cette dernire expression ne dcoule pas de l'application du prin-cipe de superposition, qui n'est pas applicable puisque l'nergie n'est pas relie linairement aux sollicitations. La relation (3.26) s'obtient par sommation des contributions de chaque sollicitation du fait que le dplacement provoqu par une des sollicitations ne provoque pas de travail de la part des autres sollicitations (dplacements indpendants).

Remarque : Si le systme comporte "n" barres, la relation (3.26) s'applique chacune d'elles.

3.7 TRAVAIL VIRTUEL

Considrons une particule m soumise une force F (Figure 3.8). Donnons m un dplacement suivant la direction .

Au cours du dplacement de la particule m, la force F effectue un travail gal, en valeur absolue, au produit de la composante de F agissant dans la direction par le dplacement .

v F= cos . (3.27a) Ce travail, d'o le 1/2 a naturellement disparu car la force F avait dj atteint

sa valeur finale au moment de l'application du dplacement , est appel travail virtuel de F dans le dplacement virtuel . Si les sens du dplacement et de la composante de F suivant la direction de sont concordants, le signe du travail est positif, dans le cas contraire il est ngatif.

Considrons maintenant le systme lastique simple de la figure 3.8b et im-posons lui une dformation reprsente par la courbe c. Au cours de la dforma-tion, la force P, dont le point d'application se dplace de , effectue un travail virtuel de la forme (3.27), avec = 0 dans le cas prsent.

v P= . (3.27b) Prcisons qu'on entend par dplacement virtuel tout petit dplacement possi-

ble. Petit par rapport aux dimensions du systme, donc comparable aux dplace-ments rels. Possible, c'est--dire compatible avec les liaisons extrieures (ap-puis) et intrieures du corps. Peu importe la manire utilise pour produire le dplacement virtuel.

F

P

c

(b) (a)

() m

Figure 3.8


De manire plus gnrale, si un systme supportant la sollicitation F (F1, F2,, Fn), subit un dplacement virtuel qui impose chaque force (Fi) un dpla-cement (i) suivant sa direction, le travail virtuel total effectu au cours du d-placement virtuel s'crit :

v i ii

n

F=

=

1

(3.27c)

3.8 THEOREME DE CASTIGLIANO

3.8.1 Premire forme du thorme

Considrons un systme lastique soumis une sollicitation F (F1, F2,, Fn). Au cours de la mise en charge, le systme se dforme et les points d'application des forces subissent les dplacements 1, 2,, n (i mesur suivant la direction de Fi).

L'nergie W emmagasine dans le systme au cours du chargement peut s'ex-primer en fonction des forces ou des dplacements de leur point d'application ( 3.5).

W W F F Wn n= =( , ,.. . , ) ( , ,... , )1 2 1 2 F (a) Donnons la force Fi un accroisement dFi. Il s'ensuit une variation de l'ner-

gie dfinie par la quantit (W/Fi)dFi et l'nergie totale, sous F (F1, F2, , Fn) et dFi, s'crit :

WW

FdF

ii+

(b)

Etant donn que le tra

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