Cours Filtrage Chap2

Première partie: Filtrage analogiqueChapitre 2: Approximation

Vahid Meghdadi

ENSILELT2

Approximation

Le but est de trouver un H(p) ou A(p) pour que |H(jω)| ou |A(jω)|satisfasse un gabarit prototype donné.

On cherche une fonction rationnelle sous forme

∑∑== j

j

ii

pb

pa

pD

pNpH

)()(

)(

Ce H(p) doit être réalisable.

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-1- position de problème

Simplification

On cherche une méthode systématique.

On prend H(p) sous la forme suivante:

)(11

)( 22

2

Ω+=Ω

FjH

ε

Ce cas particulier donne des méthodes systématiques simples.


Cas idéal

ΩΩc=1-1

2)( ΩjH

Ω-1

2( )A jΩ

Ωc=1

1

Ω-1

2( )F Ω

Ωc=1

Nous allons alors approximer cette fonction.


Approximation de F

Dans la bande passante:

0)(1)( 22 =Ω⇒=Ω FjH

Dans la bande coupée:

2 2( ) 0 ( )H j FΩ = ⇒ Ω = ∞

ε2 nous permet de considérer le F(Ω2) dans son état normalisé: F(1)=1.

Il permet donc de régler l’atténuation autorisé dans la bande passante.

2

2

11

)1(1)1(ε+

=⇒= jHF


Propriété de F

1

-1

2( )F Ω

1 ΩΩΩ=Ω depair odred' Polynôme depair odred' Polynôme

)( 2F

- Les racines du numérateur (les zéros de F) sont les fréquence sans perte ils sont dans la bande passante

- Les racines du dénominateur sont les zéros de transmission car ils sont dans la bande coupée

0)(2 =ΩjH

1)(car 0)(22 ≤Ω≥Ω jHF-Pour des filtres passifs

-Normalisation F(1)=1

-Pour un filtre d’ordre n, F(Ω2) est d’ordre 2n.


Résumé

)(1)( 222 Ω+=Ω FjA ε

Zéro de H ou pôle de AzéroInfinipôle

Zéro d’atténuation1

|H(jΩ)|2

1

|A(jΩ)|2

Zéro

F(Ω2)


Approximation Butterworth

-Approximation la plus simple

-C’est un filtre tout pôle tous les zéros de transmission sont à l’infini

-Toutes les racines de F(Ω2) sont normalement dans la bande passante, on les prend toutes à l’origine

nkF 22)( Ω=Ω

2 2( ) nF Ω = Ω

-2 -1 0 1 2-1

0

1

2

3

4

5

-Puisque F(1)=1 k=1

n=3

n=2

n=1

- Plus n est grand plus F(Ω2) est idéal.

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-2- Approximation Butterworth



La pente à Ω=1 est

nnF n 22)1(1

12 =Ω=′=Ω

−

)1log(10)( 22 n

dBjA Ω+=Ω ε

2

2 2

1( )

1 nH j

εΩ =

+ Ω

-4 -2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ε=0.5, 0.2, 0,1)1log(10)1( 2ε+=dB

jA


100-20

-15

-10

-5

0

ε=1, n=1, 2, 3

10-1

100

101-10

-8

-6

-4

-2

0

n=2, ε=1, 0.5, 0.2


Ω−−=Ω⇒∞→Ω log20log20)(log10,2

njH ε

dB/dec 20pente 20,10 nnH −=⇒−=∆Ω→Ω

Calcul de l’ordre n

Ω+=Ω+=

)1log(10

)1log(1022

min

22max

na

np

A

A

εε

110110

min

max

1.0

1.02

−−=

ΩΩ

A

An

a

p

min

max

0.1

0.1

10 1log1 10 1

2 log

A

A

ca

p

n

−−= Ω

Ω

n doit être entier, il est alors l’entier immédiatement supérieur ou égal à nc.ε se calcule à partir de l’équation (1) ou (2).

−=Ω−=Ω110

110min

max

1.022

1.022

Ana

Anp

εε (1)

(2)


Calcul de H(p)

2( ) ( ) ( )H j H j H jΩ = Ω − Ω

2

2 2

1( ) ( ) ( )

1 njpp j

H p H p H jεΩ=

Ω=

− = Ω =+ Ω

On remplace jΩ par p :

2 2

1( ) ( )

1 ( ) nH p H p

p jε− =

+

H(p)H(-p) a 2n racines :

2 2 2 ( 2 )2

11 ( ) 0 ( )n n j kp j p j e π πε

ε++ = ⇒ =


Calcul de H(p)

( 2 ) / 21/

1 j k nn

p j e π π

ε+=

ε1/n

n pair

ε1/n

n impairRacines de H(p)H(-p)

Pour avoir un système stable, on prend les racine de gauche pour H(p), celles de droite appartiendront alors à H(-p). A partir de ces racines, on pourra construire H(p).


Calcul de H(p)

ε1/n

ε1/n

Les racine de H(p) :

1,...,1,02)12(

/1 −==+

nkej

P nk

j

nk

π

ε

∏−

=

−= 1

0

)(

1)( n

kkpp

pH


Exemple

Calcul du filtre Butterworth pour n=2, ε=1

4/73

4/52

4/31

4/0

,

,ππ

ππ

jj

jj

jePjeP

jePjeP

==

==

))((1

))((1

)( 4/34/10

ππ jj jepjeppppppH

−−=

−−=

121

)( 2 ++=

pppH


Exemple

Le même exercice mais pour n=3.

1221

)( 23 +++=

ppppH

Vérifier:3 2 3 2

1( ) ( )

( 2 2 1)( 2 2 1)H p H p

p p p p p p− =

+ + + − + − +

6

1( ) ( )

(1 )H p H p

p− =

− 6

2

11

)(Ω+

=ΩjH


Table de Butterworth

Cas ε≠1

2

2 2 1/ 2

1 1( )

1 1 ( )n n nH j

ε εΩ = =

+ Ω + Ω

Un changement de variable : Ω=Ω′ n/1ε

2

1/ 2

1( )

1n nH j

ε′Ω =

′+ Ω

Le problème revient à calculer le H(p’) pour le cas où ε=1. Il y a des tables qui donne le Ht(p’) pour différentes valeurs de n.

ppt npHpH /1)()( ε=′′=

1- On calcule le n ; 2- On pose ε=1 et on calcule le Ht(p’) 3- On remplace p’ par pε1/n.


Exercice

Il nous faut un filtre pour - atténuer au moins 10 dB pour les fréquences supérieures à 2- ne pas atténuer plus de 1 dB pour les fréquences inférieures à 1

Solution:

15967.12747.15088.01

)( 23 +++=

ppppH

Utiliser Matlab pour tracer H(jΩ) et vérifier si le gabarit est respecté.


Propriétés Butterworth

[z,p,k] = buttap(3);zplane(p);poly(p); %=> [1 2 2 1]=>p^3+2p^2+2p+1h = freqs(k*poly(z),poly(p),w);semilogx(w,20*log10(abs(h))), gridsemilogx(w,unwrap(angle(h)/pi*180)), grid

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Real Part

Imag

inar

y P

art

10-1

100

101-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

10-1

100

101-40

-30

-20

-10

0


Approximation Chebyshev

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-3- Approximation Chebyshev

-Le filtre Chebyshev est un filtre tout pôle.

- Le filtre de Butterworth était meilleur au milieu de la bande passant (Ω=0) alors que le filtre de Chebyshev traite équitablement tous les points de la bande passante.

)(11

)( 22

2

Ω+=Ω

FjH

ε

Ici, on approxime la fonction F(Ω2) à l’aide de polynôme Chebyshev.

Polynôme de Chebyshev

On définit le polynôme de Chebyshev.

≥ΩΩ≤ΩΩ

=Ω −

−

1)](coshcosh[

1)](coscos[)(

1

1

N

NTN

11

1 2 1 22

1 33

( ) cos[cos ( )]

( ) cos[2cos ( )] 2cos [cos ] 1 2 1

( ) cos[3cos ( )] 4 3

T

T

T

−

− −

−

Ω = Ω = Ω

Ω = Ω = Ω − = Ω −

Ω = Ω = Ω − Ω

)()(2 11 Ω−ΩΩ= −+ NNN TTT 1)(2 22 −Ω= NN TT

Propriétés :


Polynôme de Chebyshev

On prend :2 2( ) ( )NF TΩ = Ω

-1 0 10

1

2

3

4N=1

N=2

N=3

2 2( ) ( )NF TΩ = Ω

-2 -1 0 1 2-20

-15

-10

-5

0

))(1log(10)( 22 Ω+−=Ω FjHdB

ε

ε=1


Propriété Chebyshev

- C’est un filtre à équi-ondulation dans la bande passante.

)1log(10)1( 2ε+=± dBjA

Le filtre de Chebyshev tend vers l’infini quand Ω>1 et de manière monotone. Alors que le filtre Butterworth est monotone à la fois dans la bande passante et dans la bande atténuée.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-15

-10

-5

0

εεεε=1εεεε=0.5εεεε=0.2n=3


Calcul de H(p)

)cos(cos1)()( 122

j

pnpApA −+=− ε

On calcule les racines de ce polynôme. On prend jvuj

p +=−1cos

jnvnujnvnu

jjnvnu

±=−±=+⇒

sinhsincoshcos

)cos(

εεε

πn

ku

212 += 1 1 1 1

arcsinh , : arcsinhvn n

αε ε

= ± =et

Sachant que : )cos( jvujp +=

On pourra calculer : )cos( kkkkk jvujjp +=+= ωσ


Calcul de H(p)

−=+=

+−=1,...,1,0

cosh2

12cos

sinh2

12sin

nk

n

kn

k

k

k

απω

απσ

εα 1

arcsinh1

où n

=

Propriété: 1coshsinh 2

2

2

2

=+α

ωα

σ kk

C’est-à-dire que les racines sont sur une ellipse.

Remarque : Les k=n, …, 2n-1 donnent les racines de H(-p).


Calcul de H(p)

Les racines de H(p)

∏−

=

−∝1

0

)()(n

kkpppA

Il faut aussi un facteur d’échelle, ce qui nous ramène à

11

0

( ) 2 ( )n

nk

k

A p p pε−

−

=

= −∏


Calcul de l’ordre n

2max

2 2 1min

10log(1 )

10log[1 cosh ( cosh / )]a p

A

A n

εε −

= +

= + Ω Ω

min

max

0.11

0.1

1

10 1cosh

10 1cosh /

A

A

a p

n

−

−

−−=

Ω Ω

11

0

( ) 2 ( )n

nk

k

A p p pε−

−

=

= −∏


Remarque:

( )1 2cosh ln 1 1x x x x− = + − ≥

Exemple

Déterminer la fonction de transfert d’un filtre Chebyshev pour n=2 lorsqu’une variation maximale de 1 dB est autorisée dans la bande passante.

Solution :

12.112.1018.1)(

893.055.0,

715.0

509.0

2

21

++=

±−===

pppA

jpp

αε

10-1

100

101-20

-15

-10

-5

0

ΩΩΩΩ

dB


Propriétés

-Le module le H(p) varie entre 0 et -10log(1+ε2) dans la bande passante.

-Le module de H(p) tend vers zéro de manière monotone dans la bande coupée.

-Filtre Chebyshev donne la meilleur atténuation dans la bande coupéparmi tous les filtres tout pôle de même ordre.

-

- Un filtre aux éléments passifs LC ne peut pas donn er une atténuation autre que 0 ou infini à l’origine (f=0). Alors les filtres LC Chebyshev d’ordre pair ne sont pas synthétisables.

pairest n quand 1

1)0(

impairest n quand 0)0(

2ε+=

=

jH

jH


Table de Chebyshev

Table de Chebyshev (suite)

Table de Chebyshev (suite)

Approximation Chebyshev inversée

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-4- Approximation Chebyshev inversée

-Tout filtre tout pôle est « maximally flat » (monotone) dans la bande coupée.

-Le filtre Butterworth est en plus « maximally flat » (monotone) dans la bande passante.

-Chebyshev est équi-ondulation dans la bande passante grâce à la disposition des pôles.

-Filtre Chebyshev inversé est maximally flat dans la bande passante et àéqui-ondulation dans la bande coupée (ce n’est pas un filtre tout pôle).

-Ce filtre peut être obtenu moyennant un changement de variable à partir d’un filtre Chebyshev

-C’est un filtre à pôle et à zéro.



Ondulation dans la bande coupéMonotone dans la bande passante

La fonction F(Ω2) qui en résulte.

)(11

)( 22

2

Ω+=Ω

FjH

ε

Transformation à partir d’un filtre Chebyshev

Dans la bande passante aΩ>Ω →<Ω≤ transform10

Dans la bande transition et coupée

transform1 aΩ > → Ω < Ω

Bande coupée

Bande transition et passante



)/()( 2

2

ΩΩ=Ω

anT

kF Il faut que : )(1)1( 2

anTkF Ω=⇒=

)/(

)(1

1)(

2

22

2

ΩΩΩ+

=Ω

an

an

T

TjH

ε


Calcul de H(p)

min

max

0.11

0.1

1

10 1cosh

10 1cosh /

A

A

a p

n

−

−

−−=

Ω Ω

On obtiendra la même formule que pour le filtre Chebyshev.

Le filtre de Chebyshev inversé a des zéros et des pôles:

1,3,...,2 1cos( / 2 )k

jp k n

k nπ= = −

21 0n

jT

pε + =

Les zéros sont:

Les pôles s’obtiennent par l’équation :

Qui est la même expression que pour Chebyshev mais p1/p


Exemple


Calculer l’ordre d’un filtre Chebyshev inversé pour avoir au moins 60 dB d’atténuation après 2000 Hz et au maximum 0.1 dB d’atténuation avant 250 Hz.Solution: Utilisant la formule précédente n=3.42Pour le filtre normalisé:

Les pôles: pk =

-0.1084 - j0.2737-0.2788 - j0.1208-0.2788 + j0.1208-0.1084 + j0.2737

Les zéros:zk=

0 + j1.08240 - j1.08240 + j2.61310 - j2.6131

-4 -2 0 2 4-3

-2

-1

0

1

2

3

Real Part

Imag

inar

y P

art

Exemple (suite)

0 2 4 6 8 10-100

-80

-60

-40

-20

0

0 0.5 1 1.5

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

La fonction de transfert du filtre prototype.

Att @ 250/2000=0.0042<0.01

Att @ 2000/2000=60


Approximation elliptique (Cauer)

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-5- Approximation elliptique

C’est un filtre à équi-ondulation à la fois dans la bande passante et à la fois dans la bande coupée.

Le filtre elliptique donne un ordre minimal pour un gabarit donné.

2

2 2

1( )

1 ( )n

H jRε

Ω =+ Ω

La fonction rationnelle Rn(Ω) est à optimiser utilisant des outils informatiques.

Comparaison (n=5)

0 0.5 10

0.5

1Butterworth

0 0.5 10

0.5

1Chebychev

0 0.5 10

0.5

1Chebychev inv

0 0.5 10

0.5

1Elliptique


Table du filtre elliptique


Filtre de Bessel

Les quatre filtres précédents s’intéressaient à l’amplitude de la fonction de transfert.

Filtre de Bessel est utilisé quand les caractéristiques de phase deviennent importantes.

Le filtre de Bessel ne présente pas surtension (overshoot) pour la réponse à un échelon.

La phase de filtre de Bessel est presque linéaire dans la bande passante.

Pour les applications audio où la phase peu importe, le filtre de Bessel est rarement utilisé, par contre là où la distorsion de phase est gênante, c’est le filtre de Bessel qui est privilégié.

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-6- Approximation Bessel

Calcul du filtre de Bessel

(arg ( ))d H jdélai

d

ωτω

= = −

Supposons un filtre tout pôle:

où M(p) est la partie paire et N(p) la partie impaire.

1( )

( ) ( )H p

M p N p=

+

La phase de cette fonction sera: (pourquoi ?)1 ( ) /tan

( )N j j

M j

ωφω

−=

11 ( ) ( )tanh cotanh( )

( ) ( )N j M j

jj M j N j

ω ωφ φω ω

−= ⇒ =

Cette phase doit être linéaire: 0( ) Tφ ω ω=

0 0

( )cotanh( ) cotanh( )

( )M p

jT T pN p

ω⇒ = =


Calcul du filtre de Bessel

La relation précédente ne peut pas être vérifiée toujours. On fait une approximation utilisant la série de McLaurin

00

0

0

0

1 1cotanh( )

3 15 1

7...

T pT p

T pT p

T p

= ++

++

Pour un filtre d’ordre n, il suffit de prendre les n premiers termes.


Exemple

Calculer la fonction de transfert d’un filtre de Bessel d’ordre 3.

203

0 0 0

0

0

6( ) 15( ) 1 13 1( ) ( ) 15( )

5

T pM p

N p T p T p T pT p

T p

+= + =++

3 20 0 0

( )( ) 6( ) 15( ) 15

kH p

T p T p T p=

+ + +

K est calculé pour avoir H(0)=1 k=15.

Le dénominateur est toujours un polynôme de Bessel.


Propriété du filtre de Bessel

21 2(2 1)n n nB n B p B− −= − +

0

1

22

3 23

1

1

3 1

6 15 15

B

B p

B p p

b p p p

etc

== +

= + +

= + + +

0 0.5 1 1.5-10

-8

-6

-4

-2

0

n=1n=2

n=3n=4n=5

n=10n=9

n=8

n=7

n=6

Pha

se (

radi

an)

Propriété du polynôme de Bessel


Caractéristique d’amplitude

0 2 4 6 8

-60

-40

-20

0

n=10

n=1


Comparaison amplitude

Chapitre 2: Approximation des filtres 2-7- Comparaison

Comparaison phase


Comparison


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